高一数学等比数列的前n项和1
等比数列前N项和(一)
则有am an a p aq
与你作一笔交易：一个月30天算，我 每天给你5000元，而你只需第1天给我1 分钱，第2天给我2分钱，第3天给我4分 钱，第4天给我8分钱，由此类推，这样 的交易期为一个月，这笔交易你做吗？
这实际上是求以 1 为首项，2为公比的等比数 列的前30项的和。
S30 1 2 2 2 2 (1)
2 3 29
如果用公比2乘以上面等式的两边，得到：
2S30 2 2 2 2 2 (2)
2 3 29 30
为便于对上面两式进行比较，我们将它们列在一起：
S30 1 2 22 23 229 (1)
2 S30 = 2 + 22 + 2 3 +…..+ 2 29 + 230。。。。(2) (2) – (1) : S30 = 2 30 – 1 ≈1073.74万元
错位相减法
这笔交易不能做
等比数列前n项和公式的推导
Sn a1 a2 a3 an …… (1) Sn=a1+a2+ +an=? 1
Sn .an ,q , a1 , n 知三而可求二 .
并能应用.
.了解等比数列的推导过程(错位相减)
an a 2 a 3 a4 因为 a a a a q 1 2 3 n 1 a 2 a 3 a4 a n q 所以 a1 a2 a3 an1 S n a1 q S n an
因为棋盘共有64格,所以各格中的麦子数 组成了一个64项的等比数列 1, 2, 22 , 23 ,263
1 2 264 1 1.841019 1 2
《等比数列的前 n 项和》 学历案
《等比数列的前 n 项和》学历案一、学习目标1、理解等比数列前 n 项和公式的推导过程，掌握等比数列前 n 项和公式。
2、能够运用等比数列前 n 项和公式解决简单的实际问题。
3、体会从特殊到一般、分类讨论、转化与化归等数学思想方法。
二、学习重难点1、重点（1）等比数列前 n 项和公式的推导及应用。
（2）等比数列前 n 项和公式的特点及应用条件。
2、难点（1）错位相减法推导等比数列前 n 项和公式。
（2）对 q ＝ 1 和q ≠ 1 两种情况的讨论及综合应用。
三、知识回顾1、等比数列的定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示（q ≠ 0）。
2、等比数列的通项公式：＼（a_n ＝ a_1 q^｛n 1}＼）（＼（n ∈N^＼）），其中\（a_1\）为首项，＼（q\）为公比。
四、新课导入我们已经知道了等比数列的定义和通项公式，那么如何求等比数列的前 n 项和呢？这就是我们今天要学习的内容。
例如，一个等比数列\（＼｛ a_n\｝＼），首项\（a_1 ＝ 1\），公比\（q ＝ 2\），求它的前\（n\）项和\（S_n\）。
五、公式推导1、当\（q ＝ 1\）时，等比数列\（＼｛ a_n\｝＼）为常数列，＼（a_n ＝ a_1\），则前\（n\）项和\（S_n ＝ na_1\）。
2、当\（q ≠ 1\）时，我们来推导等比数列的前\（n\）项和公式。
设等比数列\（＼｛ a_n\｝＼）的首项为\（a_1\），公比为\（q\），前\（n\）项和为\（S_n\）。
＼（S_n ＝ a_1 ＋ a_2 ＋ a_3 ＋… ＋ a_n\）＼（S_n ＝ a_1 ＋ a_1q ＋ a_1q^2 ＋… ＋ a_1q^｛n 1}＼）①＼（qS_n ＝ a_1q ＋ a_1q^2 ＋ a_1q^3 ＋… ＋ a_1q^n\）②①②得：＼＼begin{align}S_n qS_n&＝a_1 a_1q^n\＼（1 q)S_n&＝a_1(1 q^n)＼＼S_n&＝＼frac{a_1(1 q^n)｝｛1 q}＼end{align}＼综上，等比数列的前\（n\）项和公式为：＼（S_n ＝＼begin{cases}na_1, ＆ q ＝ 1\＼＼frac{a_1(1 q^n)｝｛1 q}，＆q ≠ 1\end{cases}＼）六、公式理解1、当\（q ＝ 1\）时，＼（S_n ＝ na_1\），这是一个关于\（n\）的一次函数。
等比数列的前n项和数列总结
等比数列的前n 项和 一、等比数列的前n 项和公式 1．乘法运算公式法∵S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＝a 1(1＋q ＋q 2＋…＋q n －1)＝a 1·1－q 1＋q ＋q 2＋…＋q n －11－q ＝a 11－q n1－q， ∴S n ＝a 11－q n1－q. 2．方程法 ∵S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＝a 1＋q (a 1＋a 1q ＋…＋a 1q n －2)＝a 1＋q (a 1＋a 1q ＋…＋a 1q n －1－a 1q n －1)＝a 1＋q (S n －a 1q n －1)，∴(1－q )S n ＝a 1－a 1q n .∴S n ＝a 11－q n1－q. 3．等比性质法∵{a n }是等比数列，∴a 2a 1＝a 3a 2＝a 4a 3＝…＝a n a n －1＝q . ∴a 2＋a 3＋…＋a n a 1＋a 2＋…＋a n －1＝q ， 即S n －a 1S n －a n ＝q 于是S n ＝a 1－a n q 1－q ＝a 11－q n1－q. 二、等比数列前n 项和公式的理解(1)在等比数列的通项公式及前n 项和公式中共有a 1，a n ，n ，q ，S n 五个量，知道其中任意三个量，都可求出其余两个量．(2)当公比q ≠1时，等比数列的前n 项和公式是S n ＝a 11－q n 1－q ，它可以变形为S n ＝－a 11－q ·q n ＋a 11－q ，设A ＝a 11－q，上式可写成S n ＝－Aq n ＋A .由此可见，非常数列的等比数列的前n 项和S n 是由关于n 的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1是n 的正比例函数(常数项为0的一次函数)．等比数列前n 项和性质（1）在等比数列{a n }中，连续相同项数和也成等比数列，即：S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…仍成等比数列．（2）当n 为偶数时，偶数项之和与奇数项之和的比等于等比数列的公比，即S 偶S 奇＝q . （3）若一个非常数列{a n }的前n 项和S n ＝－Aq n ＋A (A ≠0，q ≠0，n ∈N *)，则数列{a n }为等比数列，即S n ＝－Aq n ＋A ⇔数列{a n }为等比数列．题型一 等比数列前n 项和公式的基本运算（在等比数列{a n }的五个量a 1，q ，a n ，n ，S n 中，a 1与q 是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a 1和q 表示a n 与S n ，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用；在解决与前n 项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．）1、在等比数列{a n}中，(1)若S n＝189，q＝2，a n＝96，求a1和n；(2)若q＝2，S4＝1，求S8.2、设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3＋S6＝2S9，求数列的公比q.题型二等比数列前n项和性质的应用3、一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项和为170，求出数列的公比和项数．4、等比数列{a n}中，若S2＝7，S6＝91，求S4.题型三等比数列前n项和的实际应用5、借贷10 000元，以月利率为1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016≈1.061,1.015≈1.051)[规范解答] 方法一设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款a n元(1≤n≤6)，则a0＝10 000，a1＝1.01a0－a，a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a，……a6＝1.01a5－a＝……＝1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a.由题意，可知a6＝0，即1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a＝0，a＝1.016×1021.016－1.因为1.016＝1.061，所以a＝1.061×1021.061－1≈1 739.故每月应支付1 739元．方法二一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为S1＝104(1＋0.01)6＝104×(1.01)6(元)．另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a＝a[1＋0.016－1]1.01－1＝a[1.016－1]×102(元)．由S1＝S2，得a＝1.016×1021.016－1. 以下解法同法一，得a≈1 739.故每月应支付1 739元．方法技巧错位相减法求数列的和若数列{a n}为等差数列，数列{b n}为等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{a n b n}，当求该数列的前n项的和时，常常采用将{a n b n}的各项乘以公比q，并向后错位一项与{a n b n}的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法．6、已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为－4.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n ＝(4－a n )q n －1(q ≠0，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .数列归纳整合一、数列的概念及表示方法(1)定义：按照一定顺序排列着的一列数．(2)表示方法：列表法、图象法、通项公式法和递推公式法．(3)分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为递增数列、递减数列、摆动数列和常数列．(4)a n 与S n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1n ＝1，S n －S n －1n ≥2. 等差数列 等比数列性质 ①设{a n }是等差数列，若s ＋t ＝m ＋n ，则a s＋a t ＝a m ＋a n ；②从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列；③等差数列中连续m 项的和组成的新数列是等差数列，即：S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…是等差数列 ①设{a n }是等比数列，若s ＋t ＝m ＋n ，则a s ·a t ＝a m ·a n ； ②从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列； ③等比数列中连续m 项的和组成的新数列是等比数列，即：S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…是等比数列(注意：当q ＝－1且m 为偶数时，不是等比数列)函数特性 ①等差数列{an}的通项公式是n 的一次函数，即an ＝an ＋b(a≠0，a ＝d ，b ＝a1－d)； ②等差数列{an}的前n 项和公式是一个不含常数项的n 的二次函数，即Sn ＝an2＋bn(d≠0) ①等比数列{an}的通项公式是n 的指数型函数，即an ＝c·qn ，其中c≠0，c ＝a1q ； ②等比数列{an}的前n 项和公式是一个关于n 的指数型函数，即Sn ＝aqn －a(a≠0，q≠0，q≠1)三、等差数列、等比数列的判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)⇔{a n }是等差数列；a n ＋1a n＝q (q 为常数，q ≠0)⇔{a n }是等比数列． (2)中项公式法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2⇔{a n }是等差数列；a n ＋12＝a n ·a n ＋2(a n ≠0)⇔{a n }是等比数列．(3)通项公式法：a n ＝an ＋b (a ，b 是常数)⇔{a n }是等差数列；a n ＝c ·q n (c ，q 为非零常数)⇔{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；S n ＝aq n －a (a ，q 为常数，且a ≠0，q ≠0，q ≠1，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．专题一 数列通项公式的求法数列的通项公式是数列的核心之一，它如同函数中的解析式一样，有解析式便可研究函数的性质，而有了数列的通项公式，便可求出数列中的任何一项及前n 项和．常见的数列通项公式的求法有以下几种：(1)观察归纳法求数列的通项公式就是观察数列的特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与序号n 的内在联系，结合常见数列的通项公式，归纳出所求数列的通项公式．(2)利用公式法求数列的通项公式数列符合等差数列或等比数列的定义，求通项时，只需求出a 1与d 或a 1与q ，再代入公式a n ＝a 1＋(n －1)d 或a n ＝a 1q n －1中即可．(3)利用a n 与S n 的关系求数列的通项公式如果给出的条件是a n 与S n 的关系式，可利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1n ＝1，S n －S n －1n ≥2，先求出a 1＝S 1，再通过计算求出a n (n ≥2)的关系式，检验当n ＝1时，a 1是否满足该式，若不满足该式，则a n 要分段表示．(4)利用累加法、累乘法求数列的通项公式形如：已知a 1，且a n ＋1－a n ＝f (n )(f (n )是可求和数列)的形式均可用累加法；形如：已知a 1，且a n ＋1a n＝f (n )(f (n )是可求积数列)的形式均可用累乘法． (5)构造法(利用数列的递推公式研究数列的通项公式)若由已知条件直接求a n 较难，可以通过整理变形等，从中构造出一个等差数列或等比数列，从而求出通项公式．1、已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋3n ＋2且a 1＝2，求a n .2、数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝n ＋1n ＋2a n (n ∈N *)，求通项公式a n . 3、已知数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)，a 1＝1，求通项公式．4、设S n 为数列{a n }的前n 项的和，且S n ＝32(a n －1)(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式． 专题二 数列求和求数列的前n 项和S n 通常要掌握以下方法：1、公式法：直接由等差、等比数列的求和公式求和，注意对等比数列q ≠1的讨论．2、错位相减法：主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．3、分组转化法：把数列的每一项分成两项，使其转化为几个等差、等比数列再求和．4、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．5、倒序相加法：把数列正着写和倒着写再相加(即等差数列求和公式的推导过程的推广)．1、求数列214，418，6116，…，2n ＋12n ＋1的前n 项和S n . 2、在数列{a n }中，a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1，又b n ＝2a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前n 项的和． 3、求和S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n .专题三 数列的交汇问题数列是高中代数的重点内容之一，也是高考的必考内容及重点考查的范围，它始终处在知识的交汇点上，如数列与函数、方程、不等式等其他知识交汇进行命题．1、已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且 a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，对任意正整数n ，S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0恒成立，试求m 的取值范围． 2、数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝2－b n .(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n 2·b n ，证明：当且仅当n ≥3时，c n ＋1<c n .。
等比数列的前n项
n a a q 1 探讨1：由 (1 - q)sn = a1 - a1q n 得 sn = 1 1-q q =1时 sn =？ (这里引导学生对 q 进行分 对不对？ 类讨论，得出公式，同时为后面的例题教学打下 基础．）
探讨2： 结合等比数列的通项公式
把 sn 用 a1、an、q 表示出来？（引导学生得出 公式的另一形式）
知识的三个层次：识记、理解和运用．而公式推导用到
了多种重要的数学思想方法，所以既是重点又是难点．
二、目标分析
1．知识与技能目标
理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、 公式的特点，在此基础上能初步应用公式解决与之 有关的问题．
分析：这一目标体现了基础知识的落实、基 本技能的形成，这是数学教学的首要环节，也正 符合课程标准的要求．
以此培养学生的口头表达 能力，归纳概括能力．
设计意图：
8．故事结束，首尾呼应
1 - 264 64 19 S64 = = 2 - 1 ≈ 1.84 10 （粒） 1- 2 约7000亿吨
设计意图： 把引入课题时的悬念给予释疑，
有助于学生克服认知疲劳，促进积极思维．
9．课后作业，分层练习
必做： P129练习1、2、3、4 选作： 思考题(1): 求和 x + 2 x2 + 3 x3 + + nxn .
五、评价分析
本节课通过三种推导方法的研究，使学生从不同 的思维角度掌握了等比数列前n项和公式．错位相减： 变加为减，等价转化；递推思想：纵横联系，揭示本 质；等比定理：回归定义，自然朴实．学生从中深刻 地领会到推导过程中所蕴含的数学思想，培养了学生 思维的深刻性、敏锐性、广阔性、批判性．同时通过 精讲一题，发散一串的变式教学，使学生既巩固了知 识，又形成了技能．在此基础上，通过民主和谐的课 堂氛围，培养了学生自主学习、合作交流的学习习惯， 也培养了学生勇于探索、不断创新的思维品质．
《等比数列的前n项和》
《等比数列的前n项和》一、教材分析1、地位和作用《等比数列的前n项和》是一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。
《等比数列前n项和公式》是高中数学二年级第二学期第十三章第五节内容。
教学对象为高二学生，教学课时为2课时。
本节课为第一课时。
在此之前，学生已学习了数列的定义、等比数列、等比数列的通项公式等知识内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用，而本节内容也为后面学习数列求和、数列极限打下基础。
本节课既是本章的重点，同时也是教材的重点。
从高中数学的整体内容来看，《数列与数学归纳法》这一章是高中数学的重要内容之一，在整个高中数学领域里占据着重要地位，也起着关键性的作用。
首先：数列有着广泛的实际应用。
例如产品的规格设计、储蓄、分期付款的有关计算等。
其次：数列有着承前启后的作用。
数列是函数的延续，它实质上是一种特殊的函数；学习数列又为进一步学习数列的极限等内容打下基础。
再次：数列也是培养提高学生思维能力的好题材。
学习数列要经常观察、分析、猜想,还要综合运用前面的知识解决数列中的一些问题，这些都有利于学生数学能力的提高。
2、学情分析学生在学习本节内容之前已经学习等差、等比数列的概念和通项公式，等差数列的前Ｎ项和的公式，具备一定的数学思想方法，能够就接下来的内容展开思考，而且在情感上也具备了学习新知识的渴求。
从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错．二、教学目标的确定作为一名数学老师,不仅要传授给学生数学知识,更重要的是传授给学生数学思想、数学意识。
第30讲 等比数列及其前n项和1
从而 an＝1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝qn－1＝2n－1. (2)∵bn＝2n－1，∴log2bn＋1＝n， 1 1 ∴dndn＋1＝2－8＋n，∴dn＋1dn＋2＝2－7＋n， dn＋2 1 两式相除，得 d ＝2. n 1 由 d1＝16，d1d2＝2－8＋1＝128，可得 d2＝8，
学 科 能 力
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第30讲
等比数列及其前n项和
[ 方法解读 ]
a1 在等比数列的求和公式 Sn ＝ (1 － qn)(q≠1) 1－q
a1 a1 中， 求和公式中的 是不变的， 所以可以考虑将 作为一个 1－q 1－q 整体，即当作一个量参与化简与运算.
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第30讲
【跟踪练习】 A．5 2 B．7
例 1 【配例 1 使用】[2015· 青岛二模] 设{an}是等差数列，{bn}是 各项都为正整数的等比数列，且 a1＝b1＝1，a13b2＝50，a8＋b2＝a3＋a4 ＋5. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； 1 (2)若数列{dn}满足 dndn＋1＝ －8＋log2bn＋1(n∈N*)，且 d1＝16，试求数 2 列{dn}的通项公式及其前 2n 项和 S2n.
(2)1
第30讲
等比数列及其前n项和
思想方法
14.整体处理思想在等比数列运算中的应用
【典例】若等比数列{an}的前 n 项、前 2n 项、前 3n 项的和分 别为 Sn，S2n，S3n，求证：Sn2＋S2n2＝Sn(S2n＋S3n)．
思路 利用等比数列前 n 项和公式求解或者把前 n 项和作为一个 整体进行证明．
31 4
[总结反思] (1)与等差数列一样，求等比数列的基本量时也常运用方程 的思想方法． 从方程的观点看等比数列的通项公式和求和公 式，共有五个量 a1，n，q，an，Sn，知道其中的三个通过构 造方程(组)可求出另外两个． (2)应用等比数列的前 n 项和公式时，必须注意对公比 q＝1 与 q≠1 的情况进行分类讨论．
等比数列的前n项和 (1)
第四课时
例1(A)已知数列n a
范例讲解
的通项公式
an 3 2n 为
，这个数列是等比数列吗？
分析：用定义法证明
等比数列的例题
例2 已知 a n , bn 是项数相同的等比数列， 证明:设数列 an 首项为a1,公比为q1 n 首项为b1,公比为q 2 ;b 那么数列 an bn 的第n项与第n+1项 分别为：
课堂小结
a1 (1 q n ) (q 1) Sn 1 q 或S n na (q 1) 1
减)并能应用.
由
a1 an q (q 1) 1 q . na (q 1) 1
.理解等比数列的推导过程(错位相
Sn .an ,q , a1 , n 知三而可 求二 .
公式应用：
例1：求等比数列
1 1 1 , , , 的前8项的和。 2 4 8
1 1 1 1 解:由 a1 , q , n 8 ,得 2 4 2 2
1 1 8 [1 ( ) ] 2 2 255 Sn 1 256 1 2
公式应用：
例2 已知等比数列 an ,
课堂总结
1．等比数列的前 n 项和公式分两类，一类是当 公比 q＝1 时，其公式为 Sn＝na1；另一类是当 q≠1 a11－qn a1－anq 时，Sn＝ ＝ 1－q 1－q
复习:
等差数列 等比数列
定义
通项公式
an1 an d
an a1 (n 1)d
an am (n m)d
错解：Sn＝a1＋a2＋…＋an ＝(a2＋a4＋…＋a2n)－(a＋a2＋…＋an) a21－a2n a1－an ＝ . 2 － 1－a 1－a
等比数列前n项和
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第二章 2.5 第2课时
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在等比数列{an}中，公比 q＝－2，S5＝22，则 a1 的值等于 ( ) A．－2 C．1 [ 答案] [ 解析] B．－1 D．2
D a1[1－－25] ∵S5＝22，q＝－2，∴ ＝22， 1－－2
∴a1＝2.
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[例3]
在等比数列{an}中，公比q＝2，前99项的和S99
＝56，求a3＋a6＋a9＋„＋a99的值． [分析] 考虑通过基本量a1和q来处理或通过a3＋a6＋a9
＋„＋a99是前99项中的一组，与另两组联系在一起进行求 值．
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等比数列前n项和的性质
设{an}是任意等比数列，它的前 n 项和、前 2n 项和与前 3n 项和分别为 X、Y、Z，则下列等式中恒成立的是 ( ) A．X＋Z＝2Y C．Y2＝XZ B．Y(Y－X)＝Z(Z－X) D．Y(Y－X)＝X(Z－X)
[ 答案]
D
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思考感悟
1．若一个数列是等比数列，它的前n项和写成Sn＝Aqn ＋B(q≠1)，则A与B有何关系？
提示：A＋B＝0， a11－qn a1 a1 n ∵Sn＝ ＝ － · q ，则常数项与qn的系数 1－q 1－q 1－q 互为相反数．
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第二章 2.5 第2课时
《等比数列前n项和》说课稿(精选10篇)
《等比数列前n项和》说课稿（精选10篇）因为an = a1q^(n-1)这次为您整理了《等比数列前n项和》说课稿（精选10篇），在大家参照的同时，也可以分享一下给您最好的朋友。
《等比数列前n项和》说课稿篇一一、教材分析《等比数列前n项和》选自北师大版高中数学必修5第一章第3节的内容。
等比数列的前n 项和是“等差数列及其前n项和”与“等比数列”内容的延续，也是函数的延续，它实质上是一种特殊的函数；公式推导中蕴涵的数学思想方法如分类讨论等在各种数学问题中有着广泛的应用，如在“分期付款”等实际问题中也经常涉及到。
具有一定的探究性。
二、学情分析在认知结构上已经掌握等差数列和等比数列的有关知识。
在能力方面已经初步具备运用等差数列和等比数列解决问题的能力；但学生从特殊到一般、分类讨论的数学思想还需要进一步培养和提高。
在情感态度上学习兴趣比较浓，表现欲较强，但合作交流的意识等方面尚有待加强。
并且让学生在探究等比数列前n项和的过程中体会合作交流的重要性。
三、教学目标分析：知识与技能目标：（1）能够推导出等比数列的前n项和公式；（2）能够运用等比数列的前n项和公式解决一些简单问题。
过程与方法目标：提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力。
体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法、错位相减法和分类讨论思想。
情感与态度目标：培养学生勇于探索、敢于创新的精神，磨练思维品质，从中获得成功的体验。
四、重难点的确立《等比数列的前n项和》是这一章的重点，其中公式推导所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一，它蕴含了多种重要的数学思想，因此，本节课的教学重点为等比数列的前n项和公式的推导及其简单应用．而等比数列的前n项和公式的推导过程中用到的方法学生难以想到，因此本节课的难点为等比数列的前n项和公式的推导。
五、教学方法为突出重点和突破难点，我将采用的教学策略为启发式和探究式相结合的教学方法，教学手段采用计算机进行辅助教学。
高中数学等比数列的前n项和-知识点剖析
等比数列的前n 项和-知识点剖析1．推导等比数列的前n 项和公式方法一：设等比数列a 1，a 2，a 3，…，a n ，它的前n 项和是S n =a 1+a 2+a 3+…+a n .依等比数列通项公式有S n =a 1+a 1q+a 1q 2+…+a 1q n-1.① ①式两边同乘以q ，得qS n =a 1q+a 1q 2+a 1q 3+…+a 1q n .② ①－②，得（1-q ）S n =a 1-a 1q n ，由此得q≠1时，S n =qq a n --1)1(1. ∵a n =a 1q n-1，∴上式可化为S n =q q a a n --11. 当q=1时，S n =na 1.方法二：由等比数列定义知12a a =23a a =34a a =…=1-n n a a =q. 当q≠1时，1321432-⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++n n a a a a a a a a =q ，即nn n a S a S --1=q. 故S n =q q a a n --11=qq a n --1)1(1. 当q=1时，S n =na 1.方法三：S n =a 1+a 1q+a 1q 2+…+a 1q n-1=a 1+q （a 1+a 1q+a 1q 2+…+a 1q n-2）=a 1+qS n-1=a 1+q （S n -a n ）.∴当q≠1时，S n =q q a a n --11 =qq a n --1)1(1. 当q=1时，S n =na 1.2．注意问题（1）上述证法中，方法一为错位相减法，方法二为合比定理法，方法三为拆项法.各种方法在今后的解题中都经常用，要用心体会.（2）公比为1与不为1时公式不同，若公比为字母，要注意分类讨论.（3）当已知首项a 1，公比q ，项数n 时，用公式S n =qq a n --1)1(1，当已知a 1，a n ，n 时，用公式S n =q q a a n --11. （4）在解决等比数列问题时，如已知a 1，a n ，S n ，n ，q 中任意三个，可由通项公式或前n 项和公式求解其余两个.3．等比数列的前n 项和的一般形式一般地，如果a 1，q 确定，那么S n =qq a n --1)1(1=q a -11+q a -11q n ，设A=q a -11，则上式可以写成S n =A-Aq n（q≠1）.4．等比数列的前n 项和的性质（1）若某数列前n 项和公式为S n =a n -1（a≠0，a≠1），则{a n }是等比数列.（2）在等比数列中，若项数为2n （n ∈N *），则奇偶S S =q.（3）若数列{a n }是公比为q 的等比数列，则①S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n 成等比数列.②S n+m =S n +q n S m .5．前n 项和的重点性质的证明 （1）若数列{a n }是等比数列，前n 项和为S n ，则S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n 满足（S 2n -S n ）2=S n （S 3n -S 2n ）.（2）若等比数列{a n }的公比为q ，则S n+m =S n +q n S m .证明：（1）设首项为a 1，公比为q.若q=1，则S n =na 1，S 2n =2na 1，S 3n =3na 1，显然满足.若q≠1，则S n =q q a n --1)1(1，S 2n =q q a n --1)1(21，S 3n =qq a n --1)1(31. 则S 2n -S n =q q a n --1)1(21-q q a n --1)1(1=)1(11n nq qq a --， S 3n -S 2n =q q a n --1)1(31-qq a n --1)1(21=s. ∴（S 2n -S n ）2=2221)1(q q a n-（1-q n ）2， S n （S 3n -S 2n ）=q q a n --1)1(1·)1(121n n q q q a --=2221)1(q q a n -（1-q n ）2，即（S 2n -S n ）2=S n （S 3n -S 2n ）.（2）设首项为a 1，公比为q.若q=1，显然满足.若q≠1，则S m+n =qq a n m --+1)1(1，S n =q q a n --1)1(1，S m =q q a m --1)1(1， ∴S n +q n S m =q q a n --1)1(1+qq q a m n --1)1(1=)1(11n m q q a +--=)1(11n m n n q q q q a +-+--=S m+n ， 即S n+m =S n +q n S m .练习请和你的同学一起阅读下面的材料并思考材料之后的问题.历史上的等比数列人类在古代随着自然数、分数的概念和四则运算的产生，为了生产与生活的需要，就产生了数列的知识.在世界数学史上，对级数（数列）的讨论具有悠久的历史，中国、巴比伦、古希腊、埃及和印度等，都曾经研究过级数，中国古代数学名著《周髀算经》《九章算术》《孔子算经》《张邱建算经》等，对等比级数a+aq+aq 2+…+aq n 都列举出计算的例子，说明中国古代对级数的研究曾作出过一定的贡献.古老的《易经》一书中写到：“是故《易》有太极，是生两仪；两仪生四象，四象生八卦”，实际上，这种分割，已经寓有数学中等比数列的思想；记载有这样的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?”这是一个等比级数问题，即已知等比为2，项数为5，S5为5，求首项a1.在外国，公元前约2000年，巴比伦人在烧制的泥板上记载了一些数学知识.其中有他们经过观察而制定的一个月亮周相表，用现代符号表示为5，10，20，40；20，36，52.可以看出，前者是一个等比数列，后者是一个等差数列.他们在具体问题里算出了等差数列和等比数列的和.还有一个问题：今有七个人，每人有七只猫，每只猫吃了七只老鼠，每只老鼠吃了七棵麦穗，每棵麦穗又可以长出七升麦粒 问麦粒升数总数是多少?这是一个公比为7的等比数列求和问题，虽给出了答案为16 807升，但是没指出所用方法，估计是通过简单的逐项相加实现的.公元前四世纪，古希腊的算术在巴比伦和埃及的基础上，又有新发展，在研究音乐理论中得到了调和平均数.他们发现，乐器的弦长决定乐器发出的声音，而且绷得一样紧的弦，当其长度成整数比时即发出谐音.例如，如果一根弦的长度是另一根弦长度的2倍，就产生谐音，两音相差8度；如果一根与另一根的弦长之比是3∶2，则发出另一谐音，等等.它与后来发现的调和级数相联系.约公元前300年，欧几里得（Euclid，约公元前330年～公元前275年）的名著《几何原本》（共13篇）第九篇的命题35给出了对等比数列之和的一个漂亮的证明.请你和你的同学思考文章中的问题是否是等比数列的模型，请你们共同查找资料，看历史上还有什么样的等比数列模型.。
]第1课时等比数列的前n项和
![]第1课时等比数列的前n项和](https://img.taocdn.com/s3/m/12a380e24bfe04a1b0717fd5360cba1aa8118caf.png)
探究点三 等比数列前n项和公式的实际应用
【典例3】从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产
业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少
1 5
，本年度当地旅游业收入
估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后旅游业收入每年会比上年增加
1 4.
【补偿训练】各项都是正数的等比数列{an}，前n项和 记为Sn，若S10＝10，S30＝70，求S40.
【解析】设等比数列{an}的公比为q. 由题意知q≠±1，由S10，S20－S10，S30－S20， S40－S30成公比为q10的等比数列，则S30＝S10＋(S20－S10)＋(S30－S20)＝S10＋q10S10 ＋q20S10， 即q20＋q10－6＝0，得q10＝2或q10＝－3(舍)， 所以S40＝S10＋(S20－S10)＋(S30－S20)＋(S40－S30) ＝10×(1＋2＋22＋23)＝150.
－4 000×1－45n
>0，化简得5×54
n
＋2×45
n
－7>0，即45
n
2 <5
，可得n≥5.所
以，至少要经过5年旅游业的总收入才能超过总投入．
【类题通法】解答数列应用题的步骤 (1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意． (2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄 清该数列的结构和特征． (3)求解——求出该问题的数学解． (4)还原——将所求结果还原到实际问题中． 具体解题步骤用框图表示如下：
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋k)－(3n－1＋k)＝3n－3n－1＝ 2·3n－1. 由已知知{an}为等比数列，所以a1＝3＋k＝2，则k＝－1. 方法二：由已知知，{an}是等比数列， a1＝3＋k，a2＝S2－S1＝6，a3＝S3－S2＝18， 由a22 ＝a1a3得18(3＋k)＝36，解得k＝－1. 答案：－1
等比数列的前n项和公式理解
等比数列的前n项和公式理解等比数列的前 n 项和公式，这可是高中数学里一个相当重要的知识点呢！咱先来说说啥是等比数列。
比如说，有这么一组数：1，2，4，8，16……每一项与它前一项的比值都相等，这就是等比数列啦。
那等比数列的前 n 项和公式是啥呢？就是：$S_n = \frac{a_1(1 -q^n)}{1 - q}$ ，这里的$a_1$是首项，q 是公比。
咱们来举个例子感受感受。
比如说有个等比数列，首项$a_1 = 2$，公比$q = 3$，要求前 5 项的和。
那就把数字带进公式里算算呗。
$S_5 = \frac{2(1 - 3^5)}{1 - 3}$ ，算出来结果就是 242 。
我还记得之前给学生讲这部分知识的时候，有个学生特别迷糊，怎么都弄不明白。
我就给他打了个比方，假如你有一个存钱罐，第一天放进去 2 块钱，第二天放进去的钱是第一天的 3 倍，也就是 6 块钱，第三天是第二天的 3 倍，18 块钱……一直这样下去，那到第 5 天的时候，你存钱罐里一共多少钱？他一下子就好像有点明白了。
再来说说这个公式怎么推导出来的。
其实方法有好几种，常见的就是错位相减法。
咱还是拿刚才那个例子，$S_n = a_1 + a_1q + a_1q^2 + \cdots + a_1q^{n - 1}$ ，两边同时乘以 q ，得到$qS_n = a_1q + a_1q^2 + a_1q^3 + \cdots + a_1q^n$ 。
然后用第一个式子减去第二个式子，就能把中间很多项消掉，最后就得出了前 n 项和公式。
在实际做题的时候，一定要注意公比 q 不能等于 1 哦，如果等于 1 ，那这个等比数列的前 n 项和就简单了，直接是$S_n = na_1$ 。
有时候，题目会故意设置一些小陷阱，比如告诉你前几项的和，让你求公比或者首项。
这时候可别慌，冷静地把公式拿出来，看看能得到什么信息。
等比数列的前 n 项和公式在很多实际问题中也能用到呢。
等比数列的前n项和(刘世明)
课题：等比数列的前n项和（第一课时）北京市顺义一中刘世明一、教材分析●教学内容本节课选自普通高中课程标准实验教科书必修5第二章第5节，课标安排本节课为两课时，本节课为第一课时，重在研究等比数列的前n项和公式的推导过程并充分揭示公式的结构特征及公式的简单应用．●地位与作用《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容, 就知识的应用价值上看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等,另外公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、归纳、猜想、证明，这有助于培养学生的创新思维和探索精神,同时也是培养学生应用意识和数学能力的良好载体．二、学情分析●知识基础：前几节课学生已学习了等差数列求和，等比数列的定义及通项公式等内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用.●认知水平与能力：本节课教学对象为示范高中普通班学生，学生初步具有自主探究的能力，能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题，但从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有所不同，这对学生的思维来说是一个难点，另外，对于1q 这一特殊情况，学生也往往容易忽略，尤其是在后面使用的过程中容易出错．三、目标分析依据新课标的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标：1.教学目标●知识与技能目标理解用错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题．●过程与方法目标通过对公式的研究过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质．●情感、态度与价值目标通过学生自主对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，并从中获得成功的体验。
等比数列的前n项和公式的几种推导方法
赏析等比数列的前n 项和公式的几种推导方法山东 张吉林（山东省莱州五中 邮编261423）等比数列的前n 项和公式是学习等比数列知识中的重点内容之一，其公式：当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1 ① 或qq a a S n n --=11 ②当q=1时，1na S n =本身不仅蕴涵着分类讨论的数学思想，而且用以推导等比数列前n 项和公式的方法---错位相减法，更是在历年高考题目中频繁出现。
本文变换视野、转换思维，从不同的角度加以推导，以加深对公式的理解与应用,希望能起到抛砖引玉的效果。
一般地，设等比数列123,,,n a a a a L L 它的前n 项和是=n S n a a a a Λ+++321公式的推导方法一：当1≠q 时，由⎩⎨⎧=+++=-11321n n nn qa a a a a a S Λ 得⎪⎩⎪⎨⎧++++=++++=---nn n n n n qa q a q a q a q a qS q a q a q a q a a S 1113121111212111ΛΛn n q a a S q 11)1(-=-∴∴当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1 ① 或qq a a S n n --=11 ②当q=1时，1na S n =当已知1a , q, n 时常用公式①；当已知1a , q, n a 时，常用公式②.拓展延伸：若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，对形如{}n n a b g 的数列，可以用错位相减法求和。
例题 数列{}n a 的前n 项和221(1)2(2)2222n n n S n n n --=+-⨯+-⨯++⨯+L ，则n S 的表达式为（ ）．A ．1222n nn S n +=+-- B ．122n n S n +=-+ C ．22nn S n =--D ．122n n S n +=--解析：由221(1)2(2)2222n n n S n n n --=+-⨯+-⨯++⨯+L ，①可得23122(1)2(2)2222n nn S n n n -=+-⨯+-⨯++⨯+L ，②②－①，得2112(12)22222212n n nn n S n n n -+-=++++-=-=---L ，故选（D ）．点评：这个脱胎于课本中等比数列前n 项公式推导方法的求和法，是高考中命题率很高的地方，应予以高度的重视。
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[多选]注视打开的电灯几分钟后闭上眼睛，眼前会产生一片黑背景，黑背景中间有一电灯形式的光亮形状，这就是（）A．后像B．继时对比C．正后像D．无彩色对比 [单选]钩体病的传播方式为（）A.呼吸道飞沫传播B.消化道传播C.直接接触传播D.节肢动物间接传播E.血液传播 [判断题]电气设备和防雷设施的接地装置交接时，只需测试接地阻抗。A.正确B.错误 [多选]下列关于通货膨胀对于业绩评价的影响的表述中，不正确的有()。A、只有通货膨胀水平较高时，才考虑通货膨胀对于业绩评价的影响B、只有通货膨胀水平较高时，才会对财务报表造成影响C、在通货膨胀时期，为了在不同时期业绩指标之间建立可比性，可以用非货币资产的个别价格(现行 [名词解释]适熟叶 [多选]气管切开术后护理应特别注意()A．保持气管套管通畅B．每4～6小时清洗消毒内套管一次C．严格无菌操作，吸痰导管一用一消毒D．痰液粘稠时可给予气道雾化吸人E．贮液瓶内应先放入250毫升消毒液 [单选]素描是造型训练，如石膏写生，其作画过程共分（）个步骤。A、２个B、３个C、４个D、５个 [单选,A2型题,A1/A2型题]人体实验（）。A.只要医学研究需要就可进行B.只要经过大量、可靠的动物实验后就可进行C.只要课题组论证充分就可进行D.研究者应将有关信息向伦理委员会提供以供审查，如果来不及报告，可以补审E.课题组必须上报完整、严谨的报告，经专家组向上级主管部门按 [单选]小儿化食丸除消食化滞外，还能（）A.泻火通便B.祛痰通便C.健脾和胃D.清热解毒E.驱虫 [单选]属轮机部负责的应急救生设备有()。A.救生艇发动机、水密门B.救生艇发动机、逃生孔C.应急消防泵，救生艇发动机D.水密门、逃生孔 [单选,A型题]肾癌侵犯周围结构的影像表现不包括（）A.肾周脂肪密度增高B.肾前筋膜增厚C.肾门有软组织肿块D.肾静脉充盈缺损E.输尿管末端梗阻 [单选,A1型题]既能消食和胃又能发散风寒的药物是（）A.紫苏B.藿香C.山楂D.陈皮E.神曲 [单选]下列不属于串励直流电动机的特点（）A.绕组导线截面粗B.绕组匝数少C.励磁绕组和电枢绕组串联D.需提供两个电源 [判断题]铂钴比色法测定水的真实色度时，如果水样浑浊，则放置澄清，亦可用离心机或用孔径为0.45gm滤膜过滤去除悬浮物。A.正确B.错误 [单选]乳腺癌的超声特征不包括（）。A.边界清晰B.边缘毛刺C.微小钙化D.血流信号丰富E.后方声影 [名词解释]村建设运动 [单选]产后子宫重量逐渐减少，不恰当的是（）.A.产后2周约为200gB.分娩结束时约有1000gC.产后2周约为300gD.产后1周约为500gE.产后6周约为50g [多选]瓦斯抽采管理工作应当确保（）。A.机构健全B.制度完善C.执行到位D.监督有效 [多选]文章四友指（）A.杜审言B.李峤C.崔融D.苏味道E.陈子昂 [单选]正常成人妇女的乳房（不包括胸壁和肌肉）在超声断面图上，主要分为几部分（）。A.3部分B.4部分C.5部分D.6部分E.7部分 [单选,A1型题]人群易感性升高的主要因素是（）A.免疫接种B.新生儿增加C.隐性感染D.非易感人群迁入E.传染病流行 [填空题]四乙基铅主要通过（）侵入人体使其中毒。 [单选,A4型题,A3/A4型题]男性，33岁，左小腿被锈铁钉刺伤一段时间后出现乏力、头疼、打哈欠，继而有张口困难、蹙眉和苦笑面容等表现，全身肌肉阵发性痉挛，但神志一直清醒，诊断为破伤风。该病潜伏期一般为（）A.1周B.2周C.3周D.4周E.5周 [单选]按照规定不需要在工商管理机关办理注销登记的，应当自有关机关批准或者宣告终止之日起（），持有关证件向原税务登记管理机关申报办理注销税务登记。A.10日内B.15日内C.30日内D.45日内 [单选]危机干预需要评估的下列哪项是错误的（）A.现场干预B.认知状态C.情绪状态D.意志行为E.应对方法资源 [单选]在一般智能建筑系统中，应优先考虑使用的火灾探测器为（）。A.感烟火灾探测器B.感光火灾探测器C.感温火灾探测器D.气体火灾探测器 [单选]关于勃起功能障碍的检查，属于主观指标的是（）A.国际勃起功能评分B.夜间勃起实验C.阴茎海绵体注射实验D.球海绵体肌反射潜伏时间E.性激素检查 [单选,A2型题,A1/A2型题]雄激素性秃发一般开始发病的年龄为（）。A.10～20岁B.20～30岁C.30～40岁D.40～50岁E.50～60岁 [问答题,简答题]请演示脊柱骨折的搬运方法。 [单选]县级以上人民政府信访工作机构收到信访事项，应当予以登记，并区分情况，在（）日内分别按规定要求，以不同的方式处理。A.30B.20C.15D.10 [填空题]FTP（FileTransferProtocol）就是（），是最基本的网络服务 [单选,A2型题,A1/A2型题]比较明确地把郁证作为一个独立的病证加以论述，始于（）A.唐代B.金元时代C.宋代D.明代E.东汉 [填空题]每一位员工要求树立诚心诚意为客户服务的意识，要做到将（）和（）结合起来，为客户创造更高的服务价值。 [单选,A2型题,A1/A2型题]下列哪项不是女性青春期的显著生理特性表现（）A.全身发育，身高、体形已渐发育为女性特有的体形B.第二性征发育，呈现女性特有体态C.重要标志是月经来潮D.具有生育能力E.乳房发育成熟 [填空题]化工管道的涂色。生产中将各种管道涂以各种不同的颜色，可以使人们很容易的辨别判断各种管道中所盛装的不同介质，即方便操作，又易排除故障或处理事故。工业水管涂（）。 [单选,A2型题,A1/A2型题]下列诊断肺病最有意义的是（）A.胸闷B.少气C.自汗D.咳喘E.水肿 [单选,A1型题]当创伤事件的片段如同黑白影片中的一个个画面一样在当事人的脑中反复闪现时，当事人出现的创伤后反应是（）A.焦虑B.抑郁C.精神病性症状D.解离E.创伤后应激障碍 [单选]Aluminumlifeboatsaresubjecttodamagebyelectrolyticcorrosion(thealuminumbeingeatenaway).Inworkingaroundboatsofaluminumyoumustbeverycareful（）.A.tokeeptheboatscoveredatalltimesB.nottoleavesteelorirontoolslyinginorneartheseboatsC.tokeepanelectricchargeonth [单选]在使用动画输出制式里，NTSC表示每秒播放多少帧：（）A．15B．30C．24D．25 [单选,A1型题]颈正中线甲状腺区上方的球形肿块可能是（）A.皮脂腺囊肿B.淋巴结C.甲状舌管囊肿D.癌肿E.上述任何一种都可能
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