【精品】高考数学二轮核心考点突破：专题06-三角函数的图像与性质(含答案)

专题06 三角函数的图像与性质【自主热身，归纳总结】1、已知锐角θ满足tan θ＝6cos θ，则sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝________．【答案】： 3＋2 2【解析】： 由tan θ＝6cos θ得sin θ＝6cos 2θ，即sin θ＝6(1－sin 2θ)，解得sin θ＝63(负值已舍去)，cos θ＝33，代入sin θ＋cos θsin θ－cos θ，可得结果为3＋2 2.2、在平面直角坐标系xOy 中，已知角α，β的始边均为x 轴的非负半轴，终边分别经过点A(1，2)，B(5，1)，则tan (α－β)的值为________． 【答案】： 97【解析】：由三角函数的定义可知tan α＝21＝2，tan β＝15，故tan (α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝2－151＋2×15＝97. 3、 函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像两相邻对称轴的距离为________．【答案】： π2【解析】：由题知函数最小正周期T ＝2π2＝π.图像两相邻对称轴间的距离是最小正周期π的一半即π2.4、若函数f(x)＝A sin (ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的图像与直线y ＝m 的三个相邻交点的横坐标分别是π6，π3，2π3，则实数ω的值为________． 【答案】： 4【解析】：由题意得函数f(x)的最小正周期T ＝2π3－π6＝2πω，从而ω＝4.5、若函数f(x)＝A sin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图像如图所示，则f(－π)的值为________．【答案】： －1【解析】：由题意，A ＝2，T ＝⎝⎛⎭⎪⎫π－π4×4＝3π＝2πω，即ω＝23，解得2π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝2k π－π6，k ∈Z ，因为|φ|＜π，所以φ＝－π6，所以f (－π)＝2sin(－23π－π6)＝－1.解后反思 依图求函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的【解析】式的难点在于确定初相φ，其基本方法是利用特殊点，通过待定系数法、五点法或图像变换法来求解．6函数f (x )＝cos x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 2－3cos x2的最小正周期为________．【答案】2π【解析】：因为f (x )＝cos x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 2－3cos x 2＝12sin x －3·1＋cos x2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－32，所以最小正周期为2π.7、将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像向右平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2个单位长度后，所得函数为偶函数，则φ＝________. 【答案】：. 5π128、 若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的最小正周期为π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值是________． 【答案】： 12【解析】：因为f (x )的最小正周期为π，所以2πω＝π，故ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，从而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin 2π3＋π6＝sin 5π6＝12. 9、 已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos α＝13，sin(α＋β)＝－35，则cos β＝________. 【答案】：－4＋6215【解析】： 因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，cos α＝13，所以sin α＝223.又α＋β∈π2，3π2，sin(α＋β)＝－35＜0，所以α＋β∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，故cos(α＋β)＝－45，从而cos β＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45×13－35×223＝－4＋6215.10、 若tan β＝2tan α，且cos αsin β＝23，则sin(α－β)的值为________． 【答案】： －13【解析】：因为tan β＝2tan α，所以sin βcos β＝2sin αcos α，即cos αsin β＝2sin αcos β.又因为cos αsin β＝23，所以sin αcos β＝13，从而sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝13－23＝－13.11．若函数的图象过点，则函数在上的单调减区间是 ▲ ． 【答案】：（或）12、在同一直角坐标系中，函数y ＝sin(x ＋π3) （x ∈[0，2π]）的图象和直线y ＝12 的交点的个数是 ．【答案】．2解法1 令，可得即，又x ∈[0，2π]，所以或，故原函数图象与的交点个数为2. 解法2 在同一个坐标系下画出这两个函数图象，可得交点个数为213、 已知θ是第三象限角，且sin θ－2cos θ＝－25，则sin θ＋cosθ＝________.【答案】： －3125思路分析 首先试试能否猜出【答案】，猜出的【答案】是否正确．观察得sin θ＝45，cos θ＝35满足方程，但此时θ是第一象限角，不合题意．由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ－2cos θ＝－25，sin 2θ＋cos 2θ＝1，得5cos 2θ－85cos θ－2125＝0，解得cos θ＝35或－725.因为θ是第三象限角，所以cos θ＝－725，从而sinθ＝－2425，所以sin θ＋cos θ＝－3125.解后反思 虽然观察得到的结果不合题意，但是也很有用，在实际解方程时，利用“根与系数的关系”能很快找到我们需要的解． 本质上，⎩⎪⎨⎪⎧sin θ－2cos θ＝－25，sin 2θ＋cos 2θ＝1可看作是二元二次方程组，通常有两解．一般地，由A sin θ＋B cos θ＝C 求sin θ，cos θ可能有两组解．14、 已知sin(x ＋π6)＝13，则sin(x －5π6)＋sin 2(π3－x)的值为________． 【答案】： 59【解析】：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π＝－sin(x ＋π6)＝－13，sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝1－sin 2(x ＋π6)＝1－19＝89，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝－13＋89＝59.解后反思 本题旨在考查角变换和函数名称变换，切不可以把已知和未知的括号打开，以免陷入繁杂的运算中，造成隐形失分． 【问题探究，变式训练】例1、 设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋3cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且满足f (－x )＝f (x )，则函数f (x )的单调增区间为________．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋k π，k π(k ∈Z ) 【解析】：由题意可得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π3.又最小正周期为π，故ω＝2.又该函数的对称轴为直线x ＝0，所以φ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，解得φ＝k π＋π6(k ∈Z )．又因为||φ<π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝2cos x ，故单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋k π，k π(k ∈Z )．【变式1】、.. 若f(x)＝3sin (x ＋θ)－cos (x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ≤π2是定义在R 上的偶函数，则θ＝________.【变式2】、. 将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图像向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是________． 【答案】π6解法1 函数y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图像向左平移m (m >0)个单位长度后所得图像的函数【解析】式是y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m ＋π3，由于函数y ＝2sin x 的图像至少向左平移π2个单位长度后可得到关于y轴对称的图像，所以m ＋π3的最小值是π2，故m 的最小值是π6.【关联6】、将函数y ＝sin2x 的图像向左平移φ(φ>0)个单位长度，若所得图像过点（π6，32)，则φ的最小值为________.【答案】： π6【解析】：将函数y ＝sin2x 的图像向左平移φ(φ>0)个单位长度得到y ＝sin(2x ＋2φ)的图像，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32代入得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2φ＝32，所以π3＋2φ＝2k π＋π3或π3＋2φ＝2k π＋2π3(k ∈Z )，即φ＝k π或φ＝k π＋π6(k ∈Z )，又因为φ>0，所以φ的最小值为π6.易错警示 错以为函数y ＝sin2x 的图像向左平移φ(φ>0)个单位长度之后变成了y ＝sin(2x ＋φ)的图像，从而导致了错误．还有的考生的【答案】为0，充分说明没看清题目条件． 例2、设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，－π2<φ<π2，x ∈R 的部分图像如图所示．(1) 求函数y ＝f (x )的【解析】式；(2) 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，求f (x )的取值范围．【解析】： (1) 由图像知，A ＝2，(2分)又T 4＝5π6－π3＝π2，ω>0，所以T ＝2π＝2πω，得ω＝1.(4分) 所以f (x )＝2sin(x ＋φ)，将点π3，2代入，得π3＋φ＝π2＋2k π(k∈Z )，即φ＝π6＋2k π(k ∈Z )，又－π2<φ<π2，所以φ＝π6.(6分)所以f (x )＝2sin x ＋π6.(8分)(2) 当x ∈[－π2，π2]时，x ＋π6∈[－π3，2π3]，(10分)所以sin x ＋π6∈[－32，1]，即f (x )∈[－3，2]．(14分)易错警示 在求f (x )的【解析】式中φ的值时，如果选用图像过点5π6，0来求，往往会导致增根，这是因为在正弦函数的一个周期内会有3个零点，因此，在求φ的值时，一般会用最值点来求，这样，就会有效地避免出现增根．【变式1】、已知函数（其中A ，，为常数， 且A ＞0，＞0，）的部分图象如图所示．（1）求函数f (x )的【解析】式； （2）若，求的值．【解析】：（1）由图可知，A 2， Tf (x )又，且，故． 于是，f (x )（2）由，得． 所以，=．【变式2】、已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，0<φ<π2部分图像如图所示．(1) 求函数f (x )的【解析】式；【解析】：(1) 首先把函数化简为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，其中A ＞0，ω＞0.(2) 利用正弦、余弦定理，列出关于边a ，b 的方程组． 规范解答 (1) 因为f (x )＝32sin2x －12(1＋cos2x )－12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1所以函数f (x )的最小值是－2，此时2x －π6＝2k π－π2，k ∈Z ，得x ＝k π－π6，k ∈Z ，即x 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π－π6，k ∈Z .(2) 由f (C )＝0，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π6＝1.又C ∈(0，π)，所以2C －π6＝π2，得C ＝π3由sin B ＝2sin A 及正弦定理，得b ＝2a .(11分) 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得a 2＋b 2－ab ＝3由⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ，a 2＋b 2－ab ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.【关联】、已知向量a ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x ，34，b ＝(cos x ，－1)．(1) 当a ∥b时，求tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的值；(2) 设函数f (x )＝2(a ＋b )·b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求f (x )的值域．【解析】 (1) 因为a ∥b ，所以34cos x ＋sin x ＝0，所以tan x ＝－34，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝tan x －11＋tan x ＝－34－11－34＝－7.(2) f (x )＝2(a ＋b )·b＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin x ＋cos x ，－14·(cos x ，－1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ＋cos 2x ＋14 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋32.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以π4≤2x ＋π4≤5π4，所以－22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤1，所以12≤f (x )≤32＋2，即函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32＋2.。