201X年秋九年级数学上册第二十四章圆小专题训练(五)圆中数量关系的证明习题课件新人教版

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九年级数学上册第二十四章圆典型例题(带答案)

九年级数学上册第二十四章圆典型例题单选题1、如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于E，AB＝8，OD＝5，则CE的长为（）A．4B．2C．√2D．1答案：B分析：连接OA，如图，先根据垂径定理得到AE＝BE＝4，再利用勾股定理计算出OE＝3，然后计算OC﹣OE即可．解：连接OA，如图，∵AB⊥CD，∴AE＝BE=1AB＝4，2在Rt△OAE中，OE=√OA2−AE2=√52−42=3，∴CE＝OC﹣OE＝5﹣3＝2．故选：B．小提示：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．2、已知⊙O的半径为3，OA=5，则点A和⊙O的位置关系是（）A．点A在圆上B．点A在圆外C．点A在圆内D．不确定答案：B分析：根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断，OA小于半径则在圆内，OA等于半径则在圆上，OA大于半径则在圆外．解：∵⊙O的半径为3，OA=5，即A与点O的距离大于圆的半径，所以点A与⊙O外．故选：B．小提示：本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．3、如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E．若AC=4√2，DE=4，则BC的长是（）A．1B．√2C．2D．4答案：C分析：根据垂径定理求出OD的长，再根据中位线求出BC=2OD即可．设OD=x，则OE=OA=DE-OD=4-x．∵AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点，AC=4√2∴AD =DC =12AC =2√2 ∴OD 是△ABC 的中位线∴BC =2OD∵OA 2=OD 2+AD 2∴(4−x)2=x 2+(2√2)2，解得x =1∴BC =2OD =2x =2故选：C小提示：本题考查垂径定理、中位线的性质，根据垂径定理结合勾股定理求出OD 的长是解题的关键．4、如图，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点E ，则下列结论不一定成立的是（）A ．AE ＝BEB ．OE ＝DEC ．AC⌢=BC ⌢D ．AD ⌢=BD ⌢ 答案：B分析：根据垂径定理即可判断．解：∵CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点E ，∴AE =EB ，AC⌢=BC ⌢， AD ⌢=BD ⌢．故选：B ．小提示：本题主要考查垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键．5、斐波那契螺旋线也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，…画出来的螺旋曲线．如图，在每个边长为1的小正方形组成的网格中，阴影部分是依次在以1，1，2，3，5的一个四分之一圆做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为（）A ．54B ．2C ．52D ．4答案：A分析：根据斐波那契数的规律，求出下一个圆弧的底面半径和弧长，结合圆锥的侧面积性质进行求解即可．解：有根据斐波那契数的规律可知，从第三项起，每一个数都是前面两个数之和，即半径为5的扇形对应的弧长l =2π×5×14=52π设圆锥底面半径为r ，则2πr =52π ∴r =54故选：A ．小提示：本题考查圆锥侧面积的计算，结合斐波那契数的规律，及扇形的弧长公式进行转化是解题关键．6、如图，正五边形ABCDE 和正三角形AMN 都是⊙O 的内接多边形，则∠BOM 的度数是（）A ．36°B ．45°C ．48°D ．60°答案：C分析：如图，连接AO ．利用正多边形的性质求出∠AOM ，∠AOB ，可得结论．解：如图，连接AO．∵△AMN是等边三角形，∴∠ANM=60°，∴∠AOM=2∠ANM=120°，∵ABCDE是正五边形，=72°，∴∠AOB=360°5∴∠BOM=120°−72°=48°．故选：C．小提示：本题考查正多边形与圆，等边三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握正多边形的性质，属于中考常考题型．7、如图，斗笠是一种遮挡阳光和蔽雨的编结帽，它可近似看成一个圆锥，已知该斗笠的侧面积为550πcm2，AB是斗笠的母线，长为25cm，AO为斗笠的高，BC为斗笠末端各点所在圆的直径，则OC的值为（）A．22B．23C．24D．25答案：A分析：根据圆锥的侧面积和母线可得底面圆的周长，进而可得底面圆的半径．解：∵侧面积为550π cm2，母线长为25cm，∴1×l×25=550π解得l=44π，2∵2πr=44π，∴OC=r=22，故选：A．小提示：本题考查圆锥的计算，根据侧面积和母线得到底面圆的半径是解题关键．8、如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则正五边形中心角∠COD的度数是（）A．76°B．72°C．60°D．36°答案：B计算即可．分析：根据正多边形的中心角的计算公式：360°n解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为360°=72°，5故选：B．小提示：本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式：360°是解题的关键．n9、如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从A地走到B地有观赏路（劣弧AB）和便民路（线段AB）.已知A、B是圆上的点，O为圆心，∠AOB=120°，小强从A走到B，走便民路比走观赏路少走（）米.A ．6π−6√3B ．6π−9√3C ．12π−9√3D ．12π−18√3答案：D分析：作OC ⊥AB 于C ，如图，根据垂径定理得到AC =BC ，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠A ，从而得到OC 和AC ，可得AB ，然后利用弧长公式计算出AB⌢的长，最后求它们的差即可．解：作OC ⊥AB 于C ，如图，则AC =BC ，∵OA =OB ，∴∠A =∠B =12（180°-∠AOB ）=30°，在Rt △AOC 中，OC =12OA =9， AC =√182−92=9√3，∴AB =2AC =18√3，又∵AB ⌢=120×π×18180=12π，∴走便民路比走观赏路少走12π−18√3米，故选D ．小提示：本题考查了垂径定理：垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．10、在锐角△ABC中，∠ACB=60°，∠BAC、∠ABC的角平分线AD、BE交于点M，则下列结论中错误的是（）A．∠AMB=120°B．ME=MDC．AE+BD=AB D．点M关于AC的对称点一定在△ABC的外接圆上答案：D分析：利用三角形内角和定理以及角平分线的定义求出∠MAB+∠MBA=60°，推出∠AMB=120°，可判断A，证明C，E，M，D四点共圆，利用圆周角定理可判断B；在AB上取一点T，使得AT=AE，利用全等三角形的性质证明BD=BT，可判断C；无法判断∠M′与∠ABC互补，可判断D．解：如图，∵∠ACB=60°，∴∠CAB+∠CBA=120°，∵AD，BE分别是∠CAB，∠CBA的角平分线，∴∠MAB+∠MBA=1（∠CAB+∠CBA）=60°，2∴∠AMB=180°-（∠MAB+∠MBA）=120°，故A符合题意，∵∠EMD=∠AMB=120°，∴∠EMD+∠ECD=180°，∴C，E，M，D四点共圆，∵∠MCE=∠MCD，∴EM⌢=DM⌢，∴EM=DM，故B符合题意，∵四边形CEMD是⊙O的内接四边形，∴∠AME=∠ACB=60°=∠BMD,在AB上取一点T，使得AT=AE，在△AME和△AMT中，{AE=AT∠MAE=∠MATAM=AM，∴△AME≌△AMT（SAS），∴∠AME=∠AMT=60°，EM=MT，∴∠BMD=∠BMT=60°，MT=MD，在△BMD和△BMT中，{MD=MT∠BMD=∠BMTBM=BM，∴△BMD≌△BMT，∴BD=BT，∴AB=AT+TB=AE+BD，故C符合题意，∵M，M′关于AC对称，∴∠M′=∠AMC，∵∠AMC=180°−12(∠CAB+∠ACB)=180°−12(180°−∠ABC)=90°+12∠ABC，∴∠M′与∠ABC不一定互补，∴点M′不一定在△ABC的外接圆上，故D不符合题意，故选D．小提示：本题考查三角形的外接圆，四点共圆，圆周角定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．填空题11、如图，已知A为半径为3的⊙O上的一个定点，B为⊙O上的一个动点（点B与A不重合），连接AB，以AB为边作正三角形ABC．当点B运动时，点C也随之变化，则O、C两点之间的距离的最大值是______．答案：6分析：连接OB，OC，OA，在优弧AB上取点N，使得AN=AO．证明△BAO≌△CAN（SAS），推出OB=CN=3，推出OC≤ON+CN=6，可得结论．解：如图，连接OB，OC，OA，在优弧AB上取点N，使得AN=AO．∵OA=ON，OA=AN，∴AO=ON=AN，∴△OAN是等边三角形，∴∠OAN=60°，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵∠BAC=∠OAN=60°，∴∠BAO=∠CAN，∴△BAO≌△CAN（SAS），∴OB=CN=3，∵OC≤ON+CN=6，∴OC的最大值为6，所以答案是：6．小提示：本题考查了等边三角形的性质，圆的相关性质，垂径定理，利用两地之间线段最短是本题的解题关键．12、一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB=12cm，BC=5cm，则圆形镜面的半径为__________．cm答案：132分析：连接AC，根据∠ABC=90°得出AC是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出AC即可．解：连接AC，∵∠ABC=90°，且∠ABC是圆周角，∴AC是圆形镜面的直径，由勾股定理得：AC=√AB2+BC2=√122+52=13(cm)，cm，所以圆形镜面的半径为132cm．所以答案是：132小提示：本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系和勾股定理等知识点，能根据圆周角定理得出AC 是圆形镜面的直径是解此题的关键．13、如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，D 均在小正方形的顶点上，且点B ，C 在AD⌢上，∠BAC =22.5°，则BC⌢的长为__________．答案：5π4 分析：先找到AD̂的圆心O ，得到∠BOC =45°，利用弧长公式即可求解．解：连接AD ，作线段AB 、AD 的垂直平分线，交点即为AD̂的圆心O ，从图中可得：AD̂的半径为OB =5，连接OC ，∵∠BAC =22.5°，∴∠BOC =2×22.5°=45°，BC ̂的长为45×π×5180=5π4．．所以答案是：5π4.小提示：本题考查了弧长公式，找到AD̂的圆心是解题的关键． 14、如图，正六边形ABCDEF 的边长为4，以A 为圆心，AC 的长为半径画弧，得EC⌢，连接AC 、AE ，用图中阴影部分作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为______．答案：2√33分析：由正六边形ABCDEF的边长为4，可得AB=BC=4，∠ABC=∠BAF=120°，进而求出∠BAC=30°，∠CAE=60°，过B作BH⊥AC于H，由等腰三角形的性质和含30°直角三角形的性质得到AH=CH=12AC，BH=2．在Rt△ABH中，由勾股定理求得AH=2√3，得到AC=4√3．根据扇形的面积公式可得到阴影部分的面积，即是圆锥的侧面积，最后根据圆锥的侧面积公式求解底面半径即可．解：∵正六边形ABCDEF的边长为4，∴AB=BC=4，∠ABC=∠BAF=(6−2)×180°6=120°，∵∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，∴∠BAC=12(180°−∠ABC)=30°，如图，过B作BH⊥AC于H，∴AH=CH=12AC，BH=12AB=12×4=2，在Rt△ABH中，AH=√AB2−BH2=√42−22=2√3，∴AC=2AH=4√3，同理可求∠EAF=30°，∴∠CAE=∠BAF−∠BAC−∠EAF=120°−30°−30°=60°，∴S扇形CAE =60π⋅(4√3)2360=8π，∴S圆锥侧＝S扇形CAE=8π，∵S 圆锥侧＝πrl =πr ⋅AC =4√3πr ，∴4√3πr =8π，∴r =2√33，所以答案是：2√33．小提示：本题考查的是正六边形的性质、扇形面积的计算、等腰三角形的性质、勾股定理、圆锥的侧面积，掌握扇形面积公式和圆锥侧面积公式是解题的关键．15、刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，如图，若用圆的内接正十二边形的面积S 1来近似估计⊙O 的面积S ，设⊙O 的半径为1，则S −S 1=__________.答案：π−3分析：如图，过点A 作AC ⊥OB ，垂足为C ，先求出圆的面积，再求出△ABC 面积，继而求得正十二边形的面积即可求得答案.如图，过点A 作AC ⊥OB ，垂足为C ，∵⊙O 的半径为1，∴⊙O 的面积S =π，OA=OB=1，∴圆的内接正十二边形的中心角为∠AOB=360°12=30°，∴AC=12OB=12，∴S △AOB =12OB•AC=14， ∴圆的内接正十二边形的面积S 1=12S △AOB =3，∴则S −S 1=π−3，故答案为π−3．小提示：本题考查了正多边形与圆，正确的求出正十二边形的面积是解题的关键．解答题16、如图，CD 与EF 是⊙O 的直径，连接CE 、CF ，延长CE 到A ，连接AD 并延长，交CF 的延长线于点B ，过点F 作⊙O 的切线交AB 于点G ，点D 是AB 的中点．(1)求证：EF ∥AB ；(2)若AC =3，CD =2.5，求FG 的长．答案：(1)见解析；(2)65分析：（1）连接DE ，根据CD 和EF 都是⊙O 的直径得到∠DEA =∠ECF =90°，根据直角三角形的性质得到CD =AD =BD ，利用等腰三角形三线合一的性质推出∠ADE =∠CDE ，进而得到∠ADE =∠OED ，即可得到EF ∥AB ；（2）根据直角三角形斜边上的中线求得AB=2CD=5,勾股定理求得BC=4,由（1）可得EF=12AB,根据切线的性质可得FG⊥AB，根据sinB=FGBF =ACAB，代入数值，即可得到FC．（1）证明：连接DE，∵CD和EF都是⊙O的直径，∴∠DEA=∠ECF=90°，∵D是AB的中点，∴CD=AD=BD，∴∠ADE=∠CDE，∵OD=OE，∴∠OED=∠CDE，∴∠ADE=∠OED，∴EF∥AB；（2）连接DF，∵CD是⊙O的直径，∴∠DFC=90°，∴∠DFC=∠FCE=∠CED=90°，∴四边形CEDF是矩形，∴FC=DE，DE∥BC，∴AEEC =ADDB=1，∴AE=CE，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=12BC，∵AB=2CD=5，AC=3，∴BC=√AB2−AC2=√52−32=4，∴FC=2．∴BF=BC−FC=4−2=2∵FG是⊙O的切线，∴GF⊥EF∵EF∥AB∴FG⊥AB∴∠BGF=∠BCA=90°∴sinB=FGBF =ACAB∴FG2=35∴FG=65小提示：此题考查了圆周角定理，矩形的判定定理及性质定理，勾股定理，三角形中位线的性质，熟记圆周角定理是解题的关键．17、如图，D是△ABC的BC边上一点，连结AD，作△ABD的外接圆O，将△ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E 落在⊙O 上．(1)若∠ABC =30°，如图1．①求∠ACB 的度数．②若AD =DE ，求∠EAB 的度数．(2)若AD⌢=BE ⌢,AC =4,CD =2，如图2．求BC 的长．答案：(1)①30°，②60°；(2)BC =6分析：（1）①根据折叠的性质可得∠ACD =∠AED ，根据等弧所对的圆周角即可求解；②根据等边对等角可得∠DAE =∠DEA ，根据（1）的结论可得∠ACB =∠ABC ，进而根据折叠的性质求得∠CAE =60°，进而根据∠CAB −∠CAE 即可求得∠BAE ，（2）根据AD⌢+DE ⌢=BE ⌢+DE ⌢，可得AE ⌢=DB ⌢，AE =BE ，根据折叠的性质可得DB =AE =4，进而即可求解．（1）①∵AD⌢=AD ⌢，∠ABC =30°， ∴∠AED =∠ABD =30°，∵将△ADC 沿直线AD 折叠，点C 的对应点E 落在⊙O 上，∴∠ACB =∠AED =30° ；②∵ AD =DE ，∴∠DAE =∠DEA ，∵∠DEA =∠DBA ，∴∠DAE =30°，∵将△ADC 沿直线AD 折叠，点C 的对应点E 落在⊙O 上，∴∠DAE =∠DAC =30°，△ABC 中，∠ABC =∠ACB =30°，则∠CAB =180°−∠ABC −∠ACB =120°，∵∠CAE =∠CAD +∠EAD =60°，∴∠EAB =∠CAB −∠CAE =120°−60°=60°，∴∠EAB =60°，（2）∵ AD⌢=BE ⌢ ∴AD⌢+DE ⌢=BE ⌢+DE ⌢ ∴AE⌢=DB ⌢ ∴AE =BE∵折叠∴AC =AE∴DB =AE =4∵CD =2∴BC =CD +DB =4+2=6小提示：本题考查了折叠的性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，弧与弦的关系，三角形内角和定理的应用，综合运用以上知识是解题的关键．18、如图，C ，D 是以AB 为直径的半圆上的两点，∠CAB =∠DBA ，连结BC ，CD ．(1)求证：CD ∥AB ．(2)若AB =4，∠ACD =30°，求阴影部分的面积．答案：(1)答案见解析(2)23π 分析：（1）根据同弧所对的圆周角相等得到∠ACD ＝∠DBA ，根据 ∠CAB ＝∠DBA 得到∠CAB ＝∠ACD ，进而得到结论；（2）连结OC ，OD ，证明所求的阴影部分面积与扇形COD 的面积相等，继而得到结论．（1）证明：∵AD ⌒=AD ⌒，∴∠ACD ＝∠DBA ，又∵∠CAB ＝∠DBA ，∴∠CAB ＝∠ACD ，∴CD ∥AB ；（2）解：如图，连结OC ，OD ．∵∠ACD ＝30°，∴∠ACD ＝∠CAB ＝30°，∴∠AOD ＝∠COB ＝60°,∴∠COD ＝180°-∠AOD -∠COB ＝60°．∵CD ∥AB ，∴S △DOC =S △DBC ，∴S 阴影=S 弓形COD +S △DOC =S 弓形COD +S △DBC=S 扇形COD ，∵AB ＝4，∴OA ＝2，∴S 扇形COD=nπr 2360=60×π×22360=23π．∴S阴影=2π．3小提示：本题主要考查扇形的面积，同弧所对的圆周角相等，平行线的判定，掌握定理以及公式是解题的关键．。

秋季人教版九年级数学上册第24章圆知识点总结与练习含答案

（1）点在圆外 ? d r （2）点在圆上 ? d r （3）点在圆内 ? d r
2．直线和圆的位置关系设 r 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离
（1）直线和圆相离? d r ，直线与圆没有交点；（2）直线和圆相切? d r ，直线与圆有唯一交点；（3）直线和圆相交? d r ，直线与圆有两个交点。
【答案】 4 159
【例 8】如图，F 是以 O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是的中点，AD⊥BC
1 于 D，求证：AD= 2 BF.
F A
E
BD O
C
【答案】提示：连接 OF，证明 ADO, FOE, BOE 是全等三角形。
圆周角定理
1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
2．弧长： l =
np R 180 ；
3．圆面积： S = p R2；
1 np R2
4．扇形面积： S ＝ lR =
；
扇形 2
360
【例 11】如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条 AB，AC 夹角为 120°，AB 的长为 30c m，贴纸部分 BD 的长为 20cm，则贴纸部分的面积为( )．
M
A
N
【例2】已知⊙O 的半径为 1，点 P 到圆心 O 的距离为 d，若关于 x 的方程 x2－2x＋d=0 有
实根，则点 P( )．
A．在⊙O 的内部
B．在⊙O 的外部
C．在⊙O 上
D．在⊙O 上或⊙O 的内部
【答案】D
【例3】已知：如图，PA，PB 分别与⊙O 相切于 A，B 两点．求证：OP 垂直平分线段 AB．
A．100 πcm 2 C． 800πcm2
400 B． 3 πcm2

新版新人教版九年级数学上册第24章、圆全章同步练习(word文档有答案)

第二十四章圆==本文档为word格式，下载后可随意编辑修改！==24.1 圆的有关性质一．选择题（共20小题）1．（安顺）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（）A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm2．（张家界）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=8cm，则AE=（）A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm3．（临安区）如图，⊙O的半径OA=6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC=（）A．B．C．D．（2题图）（3题图）（4题图）（5题图）（6题图）4．（乐山）《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC是（）A．13寸B．20寸C．26寸D．28寸5．（济宁）如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，则∠BOD的度数是（）A．50° B．60° C．80° D．100°6．（聊城）如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC．若∠A=60°，∠ADC=85°，则∠C 的度数是（）A．25° B．27.5°C．30° D．35°7．（南充）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC=32°，则∠B的度数是（）A．58° B．60° C．64° D．68°8．（铜仁市）如图，已知圆心角∠AOB=110°，则圆周角∠ACB=（）A．55°B．110°C．120°D．125°（7题图）（8题图）（9题图）9．（菏泽）如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA的度数是（）A．64° B．58° C．32° D．26°10．（张家界）如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，连接OC，若∠ACO=30°，则∠BOC的度数是（）A．30° B．45° C．55° D．60°11．（哈尔滨）如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，∠A=42°，∠APD=77°，则∠B的大小是（）A．43° B．35° C．34° D．44°（10题图）（11题图）（13题图）12．（潍坊）点A、C为半径是3的圆周上两点，点B为的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为（）A．或2B．或2C．或2D．或213．（黔西南州）如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB=8，OC=5，则CD的长是（）A．3 B．2.5 C．2 D．114．（乐山）如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，他了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=0.25米，BD=1.5米，且AB、CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是（）A．2米B．2.5米C．2.4米D．2.1米15．（金华）如图，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（）A．10cm B．16cm C．24cm D．26cm（14题图）（15题图）（16题图）16．（泸州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB=8，AE=1，则弦CD的长是（）A．B．2 C．6 D．817．（黔南州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，⊙O的半径为5cm，则圆心O到弦CD的距离为（）A． cm B．3cm C．3cm D．6cm18．（牡丹江）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，OP⊥AB，垂足为点P，则OP的长为（）A．3 B．2.5 C．4 D．3.5（17题图）（18题图）（19题图）19．（赤峰）如图，⊙O的半径为1，分别以⊙O的直径AB上的两个四等分点O1，O2为圆心，为半径作圆，则图中阴影部分的面积为（）A．πB．π C．π D．2π20．（巴彦淖尔）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB=40°，则∠ABD与∠AOD分别等于（）A．40°，80°B．50°，100°C．50°，80°D．40°，100°（20题图）（22题图）二．填空题（共10小题）21．（孝感）已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=16cm，CD=12cm，则弦AB和CD 之间的距离是cm．22．（曲靖）如图：四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A=n°，则∠DCE= °．23．（金华）如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC=60cm．沿AD方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D 拉到点D1时，有AD1=30cm，∠B1D1C1=120°．（1）图2中，弓臂两端B1，C1的距离为cm．（2）如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2为半圆，则D1D2的长为cm．（23题图）（24题图）（25题图）24．（梧州）如图，已知在⊙O中，半径OA=，弦AB=2，∠BAD=18°，OD与AB交于点C，则∠ACO= 度．25．（烟台）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为．26．（雅安）⊙O的直径为10，弦AB=6，P是弦AB上一动点，则OP的取值范围是．27．（湘西州）如图所示，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，垂足为E，已知AB=6，OE=4，则直径CD=28．（常州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为弧BD的中点，若∠DAB=40°，则∠ABC= ．（27题图）（28题图）（29题图）（30题图）29．（湘潭）如图，在⊙O 中，已知∠AOB=120°，则∠ACB= ．30．（安顺）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，CD=6，则BE= ．三．解答题（共5小题）31．（宜昌）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF=AE，连接FB，FC．（1）求证：四边形ABFC是菱形；（2）若AD=7，BE=2，求半圆和菱形ABFC的面积．32．（牡丹江）如图，在⊙O中， =，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，求证：AD=BE．33．（济南）如图，AB是⊙O的直径，∠ACD=25°，求∠BAD的度数．34．（福州）如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为中点，连接BM，CM．（1）求证：BM=CM；（2）当⊙O的半径为2时，求的长．35．（宁夏）已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC．（1）求证：AB=AC；（2）若AB=4，BC=2，求CD的长．24.2 点和圆、直线和圆的位置关系一．选择题（共20小题）1．（哈尔滨）如图，点P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，∠P=30°，OB=3，则线段BP的长为（）A．3 B．3 C．6 D．92．（眉山）如图所示，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连结BC，若∠P=36°，则∠B等于（）A．27° B．32° C．36° D．54°3．（宜宾）在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE=4，EF=3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为（）A． B．C．34 D．104．（重庆）如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为4，BC=6，则PA的长为（）A．4 B．2 C．3 D．2.55．（河北）如图，点I为△ABC的内心，AB=4，AC=3，BC=2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（）A．4.5 B．4 C．3 D．26．（福建）如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点D，若∠ACB=50°，则∠BOD等于（）A．40° B．50° C．60° D．80°7．（泸州）在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P在直线y=上运动，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（）A．3 B．2 C．D．8．（重庆）如图，△ABC中，∠A=30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，AD=2，则线段CD的长是（）A．2 B．C．D．9．（自贡）如图，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A=60°，连接OB、OC，则边BC的长为（）A．B．C．D．10．（泰安）如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（）A．3 B．4 C．6 D．811．（内江）已知⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，圆心距O1O2=4cm，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切12．（常州）如图，AB是⊙O的直径，MN是⊙O的切线，切点为N，如果∠MNB=52°，则∠NOA的度数为（）A．76° B．56° C．54° D．52°13．（深圳）如图，一把直尺，60°的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺交点，AB=3，则光盘的直径是（）A．3 B．C．6 D．14．（台湾）平面上有A、B、C三点，其中AB=3，BC=4，AC=5，若分别以A、B、C为圆心，半径长为2画圆，画出圆A，圆B，圆C，则下列叙述何者正确（）A．圆A与圆C外切，圆B与圆C外切B．圆A与圆C外切，圆B与圆C外离C．圆A与圆C外离，圆B与圆C外切D．圆A与圆C外离，圆B与圆C外离15．（莱芜）如图，AB是⊙O的直径，直线DA与⊙O相切于点A，DO交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC=21°，则∠ADC的度数为（）A ．46°B ．47°C ．48°D ．49°16．（陕西）如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠C=30°，⊙O 的半径为5，若点P 是⊙O 上的一点，在△ABP 中，PB=AB ，则PA 的长为（）A ．5B ．C ．5D ．517．（济南）把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示放置于桌面上，∠CAB=60°，若量出AD=6cm ，则圆形螺母的外直径是（）A ．12cmB ．24cmC ．6cmD ．12cm18．（邵阳）如图所示，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 外一点，CA ，CD 是⊙O 的切线，A ，D 为切点，连接BD ，AD ．若∠ACD=30°，则∠DBA 的大小是（）A ．15°B ．30°C ．60°D ．75°19．（衢州）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，若∠A=30°，则sin ∠E 的值为（）A．B．C．D．20．（襄阳）如图，I是△ABC的内心，AI的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BI、BD、DC．下列说法中错误的一项是（）A．线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DC重合B．线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DI重合C．∠CAD绕点A顺时针旋转一定能与∠DAB重合D．线段ID绕点I顺时针旋转一定能与线段IB重合二．填空题（共8小题）21．（安徽）如图，菱形ABOC的边AB，AC分别与⊙O相切于点D，E．若点D是AB的中点，则∠DOE= °．22．（临沂）如图．在△ABC中，∠A=60°，BC=5cm．能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是cm．23．（镇江）如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD=50°，则∠ACB= °．24．（泰州）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、P的坐标分别为（1，0），（2，5），（4，2）．若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，则点C的坐标为．25．（徐州）如图，AB与⊙O相切于点B，线段OA与弦BC垂直，垂足为D，AB=BC=2，则∠AOB= °．26．（上海）如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，AC=3，BC=4．分别以点A、B为圆心画圆．如果点C在⊙A 内，点B在⊙A外，且⊙B与⊙A内切，那么⊙B的半径长r的取值范围是．27．（泸州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是．28．（徐州）如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠ABC=70°，∠ACB=40°，则∠BOC= °．三．解答题（共8小题）29．（黄冈）如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过B点的切线交OP于点C．（1）求证：∠CBP=∠ADB．（2）若OA=2，AB=1，求线段BP的长．30．（北京）如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．（1）求证：OP⊥CD；（2）连接AD，BC，若∠DAB=50°，∠CBA=70°，OA=2，求OP的长．31．（昆明）如图，AB是⊙O的直径，ED切⊙O于点C，AD交⊙O于点F，AC平分∠BAD，连接BF．（1）求证：AD⊥ED；（2）若CD=4，AF=2，求⊙O的半径．32．（资阳）如图，AB是半圆的直径，AC为弦，过点C作直线DE交AB的延长线于点E．若∠ACD=60°，∠E=30°．（1）求证：直线DE与半圆相切；（2）若BE=3，求CE的长．33．（南充）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若CF=2，DF=4，求⊙O直径的长．34．（白银）如图，AN是⊙M的直径，NB∥x轴，AB交⊙M于点C．（1）若点A（0，6），N（0，2），∠ABN=30°，求点B的坐标；（2）若D为线段NB的中点，求证：直线CD是⊙M的切线．35．（黄石）如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上（异于A，B），AD⊥CD．（1）若BC=3，AB=5，求AC的值；（2）若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．36．（凉山州）阅读下列材料并回答问题：材料1：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．①古希腊几何学家海伦（Heron，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名．他在《度量》一书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称海伦公式．我国南宋数学家秦九韶（约1202﹣﹣约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式：．②下面我们对公式②进行变形：=====．这说明海伦公式与秦九韶公式实质上是同一公式，所以我们也称①为海伦﹣﹣秦九韶公式．问题：如图，在△ABC中，AB=13，BC=12，AC=7，⊙O内切于△ABC，切点分别是D、E、F．（1）求△ABC的面积；（2）求⊙O的半径．24.3 正多边形和圆一．选择题（共10小题）1．（株洲）下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（）A．正三角形 B．正方形C．正五边形 D．正六边形2．（2017•沈阳）正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是（）A．B．2 C．2 D．23．（河北）已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（）A．1.4 B．1.1 C．0.8 D．0.54．（滨州）若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（）A．B．2 C．D．15．（达州）以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（）A．B．C．D．6．（日照）下列说法正确的是（）A．圆内接正六边形的边长与该圆的半径相等B．在平面直角坐标系中，不同的坐标可以表示同一点C．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）一定有实数根D．将△ABC绕A点按顺时针方向旋转60°得△ADE，则△ABC与△ADE不全等7．（南京）已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（）A．1 B．C．2 D．28．（莱芜）正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为：2，则这个正多边形为（）A．正十二边形B．正六边形 C．正四边形 D．正三角形9．（曲靖）如图，AD，BE，CF是正六边形ABCDEF的对角线，图中平行四边形的个数有（）A．2个B．4个C．6个D．8个10．（南平）若正六边形的半径长为4，则它的边长等于（）A．4 B．2 C．2 D．4二．填空题（共18小题）11．（陕西）如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则∠AFE的度数为．12．（玉林）如图，正六边形ABCDEF的边长是6+4，点O1，O2分别是△ABF，△CDE的内心，则O1O2= ．13．（呼和浩特）同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为．14．（温州）小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他绘制了如图2所示的图形．图2中六个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接正六边形和一个小正六边形，若PQ所在的直线经过点M，PB=5cm，小正六边形的面积为cm2，则该圆的半径为cm．15．（河北）如图1，作∠BPC平分线的反向延长线PA，现要分别以∠APB，∠APC，∠BPC为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以∠BPC为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时∠BPC=90°，而=45是360°（多边形外角和）的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图2所示．图2中的图案外轮廓周长是；在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是．16．（贵阳）如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的两边AB、BC上的点．且AM=BN，点O是正五边形的中心，则∠MON的度数是度．17．（上海）我们规定：一个正n边形（n为整数，n≥4）的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n边形的“特征值”，记为λn，那么λ6= ．18．（吉林）如图，分别以正五边形ABCDE的顶点A，D为圆心，以AB长为半径画，．若AB=1，则阴影部分图形的周长为（结果保留π）．19．（宜宾）如图，⊙O的内接正五边形ABCDE的对角线AD与BE相交于点G，AE=2，则EG的长是．20．（台州）如图，有一个边长不定的正方形ABCD，它的两个相对的顶点A，C分别在边长为1的正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点B，D在正六边形内部（包括边界），则正方形边长a的取值范围是．21．（毕节市）正六边形的边长为8cm，则它的面积为cm2．22．（济宁）如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，它的六条对角线又围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2，如此继续下去，则正六边形A4B4C4D4E4F4的面积是．23．（贵阳）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为．24．（绥化）半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为．25．（玉林）如图，在边长为2的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形ABCD，则四边形ABCD的周长是．26．（威海）如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接正三角形EFG的边长为．27．（盐城）如图，正六边形ABCDEF内接于半径为4的圆，则B、E两点间的距离为．28．（钦州）如图，∠MON=60°，作边长为1的正六边形A1B1C1D1E1F1，边A1B1、F1E1分别在射线OM、ON上，边C1D1所在的直线分别交OM、ON于点A2、F2，以A2F2为边作正六边形A2B2C2D2E2F2，边C2D2所在的直线分别交OM、ON于点A3、F3，再以A3F3为边作正六边形A3B3C3D3E3F3，…，依此规律，经第n次作图后，点B n到ON的距离是．24.4 弧长和扇形面积一．选择题（共20小题）1．（盘锦）如图，一段公路的转弯处是一段圆弧（），则的展直长度为（）A．3πB．6πC．9πD．12π2．（黄石）如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD=30°，BO=4，则的长为（）A．B．C．2πD．3．（广安）如图，已知⊙O的半径是2，点A、B、C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分面积为（）A．π﹣2B．π﹣C．π﹣2D．π﹣4．（自贡）已知圆锥的侧面积是8πcm2，若圆锥底面半径为R（cm），母线长为l（cm），则R关于l的函数图象大致是（）A．B．C．D．5．（德州）如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为（）A． 2B．C．πm2D．2πm26．（成都）如图，在▱ABCD中，∠B=60°，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是（）A．πB．2πC．3πD．6π7．（绵阳）如图，蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2，圆柱高为3m，圆锥高为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是（）A．（30+5）π m2B．40π m2C．（30+5）π m2D．55π m28．（遵义）若要用一个底面直径为10，高为12的实心圆柱体，制作一个底面和高分别与圆柱底面半径和高相同的圆锥，则该圆锥的侧面积为（）A．60π B．65π C．78π D．120π9．（山西）如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，以点A为圆心，以AC长为半径画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积为（）A．4π﹣4 B．4π﹣8 C．8π﹣4 D．8π﹣810．（沈阳）如图，正方形ABCD内接于⊙O，AB=2，则的长是（）A．πB．π C．2πD．π11．（广西）如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（）A．B．C．2D．212．（丽水）如图，点C是以AB为直径的半圆O的三等分点，AC=2，则图中阴影部分的面积是（）A．B．﹣2C．D．﹣13．（重庆）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，分别以点A、C为圆心，AD、CB为半径画弧，交AB于点E，交CD于点F，则图中阴影部分的面积是（）A．4﹣2πB．8﹣C．8﹣2πD．8﹣4π14．（衢州）运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB是⊙O的直径，CD、EF是⊙O的弦，且AB∥CD ∥EF，AB=10，CD=6，EF=8．则图中阴影部分的面积是（）A．πB．10π C．24+4πD．24+5π15．（宁夏）圆锥的底面半径r=3，高h=4，则圆锥的侧面积是（）A．12π B．15π C．24π D．30π16．（绵阳）“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动，如图所示是一个陀螺的立体结构图．已知底面圆的直径AB=8cm，圆柱体部分的高BC=6cm，圆锥体部分的高CD=3cm，则这个陀螺的表面积是（）A．68πcm2B．74πcm2C．84πcm2D．100πcm217．（阿坝州）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，若将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A′OB′，则A点运动的路径的长为（）A．πB．2πC．4πD．8π18．（乌鲁木齐）将圆心角为90°，面积为4πcm2的扇形围成一个圆锥的侧面，则所围成的圆锥的底面半径为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm19．（包头）120°的圆心角对的弧长是6π，则此弧所在圆的半径是（）A．3 B．4 C．9 D．1820．（朝阳）如图，分别以五边形ABCDE的顶点为圆心，以1为半径作五个圆，则图中阴影部分的面积之和为（）A．B．3πC．D．2π二．填空题（共10小题）21．（安顺）如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC=60°，∠BCO=90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为cm2．（结果保留π）22．（连云港）一个扇形的圆心角是120°．它的半径是3cm．则扇形的弧长为cm．23．（郴州）如图，圆锥的母线长为10cm，高为8cm，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为cm．（结果用π表示）24．（荆门）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠D=30°，CD=4，以AB为直径的⊙O交BC于点E，则阴影部分的面积为．25．（乐山）如图，△OAC的顶点O在坐标原点，OA边在x轴上，OA=2，AC=1，把△OAC绕点A按顺时针方向旋转到△O′AC′，使得点O′的坐标是（1，），则在旋转过程中线段OC扫过部分（阴影部分）的面积为．26．（济南）如图，扇形纸叠扇完全打开后，扇形ABC的面积为300πcm2，∠BAC=120°，BD=2AD，则BD 的长度为cm．27．（盘锦）如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD是BC边上的高，AB=4cm，分别以B、C为圆心，以BD、CD为半径画弧，交边AB、AC于点E、F，则图中阴影部分的面积是cm2．28．（呼伦贝尔）小杨用一个半径为36cm、面积为324πcm2的扇形纸板制作一个圆锥形的玩具帽（接缝的重合部分忽略不计），则帽子的底面半径为cm．29．（泰州）如图，⊙O的半径为2，点A、C在⊙O上，线段BD经过圆心O，∠ABD=∠CDB=90°，AB=1，CD=，则图中阴影部分的面积为．30．（邵阳）如图所示，在3×3的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点O，A，B均为格点，则扇形OAB的面积大小是．三．解答题（共5小题）31．（湖州）如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．（1）求证：AE=ED；（2）若AB=10，∠CBD=36°，求的长．32．（贵阳）如图，C、D是半圆O上的三等分点，直径AB=4，连接AD、AC，DE⊥AB，垂足为E，DE交AC 于点F．（1）求∠AFE的度数；（2）求阴影部分的面积（结果保留π和根号）．33．（张家界）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2）、B（﹣2，1）、C（1，1）（正方形网格中每个小正方形的边长是1个单位长度）．（1）△A1B1C1是△ABC绕点逆时针旋转度得到的，B1的坐标是；（2）求出线段AC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）．34．（攀枝花）如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF=AD，过点D作DE⊥AF，垂足为点E（1）求证：DE=AB；（2）以A为圆心，AB长为半径作圆弧交AF于点G，若BF=FC=1，求扇形ABG的面积．（结果保留π）35．（新疆）如图，在⊙O中，半径OA⊥OB，过点OA的中点C作FD∥OB交⊙O于D、F两点，且CD=，以O为圆心，OC为半径作，交OB于E点．（1）求⊙O的半径OA的长；（2）计算阴影部分的面积．24.1 圆的有关性质参考答案一．选择题（共20小题）1．C．2．A．3．A．4．C．5．D．6．D．7．A．8．D．9．D．10．D．11．B．12．D．13．C．14．B．15．C．16．B．17．A．18．C．19．B．20．B．二．填空题（共10小题）21．2或14．22．n23．30，10﹣10，24．81．25．（﹣1，﹣2），26．4≤OP≤5．27．10．28．70°．29．60°30．4﹣．三．解答题（共5小题）31．（1）证明：∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∴AE⊥BC，∵AB=AC，∴BE=CE，∵AE=EF，∴四边形ABFC是平行四边形，∵AC=AB，∴四边形ABFC是菱形．（2）设CD=x．连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB=∠BDC=90°，∴AB2﹣AD2=CB2﹣CD2，∴（7+x）2﹣72=42﹣x2，解得x=1或﹣8（舍弃）∴AC=8，BD==，∴S菱形ABFC=8．∴S半圆=•π•42=8π．32．证明：连接OC，∵=，∴∠AOC=∠BOC．∵CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，∴∠CDO=∠CEO=90°在△COD与△COE中，∵，∴△COD≌△COE（AAS），∴OD=OE，∵AO=BO，∴AD=BE．33．解：∵AB为⊙O直径∴∠ADB=90°∵相同的弧所对应的圆周角相等，且∠ACD=25°∴∠B=25°∴∠BAD=90°﹣∠B=65°．34．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD，∴=，∵M为中点，∴=，∴+=+，即=，∴BM=CM；（2）解：∵⊙O的半径为2，∴⊙O的周长为4π，∵===，∴=+=，∴的长=××4π=×4π=π．35．（1）证明：∵ED=EC，∴∠EDC=∠C，∵∠EDC=∠B，（∵∠EDC+∠ADE=180°，∠B+∠ADE=180°，∴∠EDC=∠B）∴∠B=∠C，∴AB=AC；（2）方法一：解：连接AE，∵AB为直径，∴AE⊥BC，由（1）知AB=AC，∴BE=CE=BC=，∵△CDE∽△CBA，∴，∴CE•CB=CD•CA，AC=AB=4，∴•2=4CD，∴CD=．方法二：解：连接BD，∵AB为直径，∴BD⊥AC，设CD=a，由（1）知AC=AB=4，则AD=4﹣a，在Rt△ABD中，由勾股定理可得：BD2=AB2﹣AD2=42﹣（4﹣a）2在Rt△CBD中，由勾股定理可得：BD2=BC2﹣CD2=（2）2﹣a2∴42﹣（4﹣a）2=（2）2﹣a2整理得：a=，即：CD=．24.2 点和圆、直线和圆的位置关系参考答案一．选择题（共20小题）1．A．2．A．3．D．4．A．5．B．6．D．7．D．8．B．9．D．10．C．11．C．12．A．13．D．14．C．15．C．16．D．17．D．18．D．19．A．20．D．二．填空题（共8小题）21．60．22．．23．40．24．（7，4）或（6，5）或（1，4）．25．60．26．8＜r＜10．27．6．28．125．三．解答题（共8小题）29．（1）证明：连接OB，如图，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°，∴∠A+∠ADB=90°，∵BC为切线，∴OB⊥BC，∴∠OBC=90°，∴∠OBA+∠CBP=90°，而OA=OB，∴∠A=∠OBA，∴∠CBP=∠ADB；（2）解：∵OP⊥AD，∴∠POA=90°，∴∠P+∠A=90°，∴∠P=∠D，∴△AOP∽△ABD，∴=，即=，∴BP=7．30．解：（1）连接OC，OD，∴OC=OD，∵PD，PC是⊙O的切线，∵∠ODP=∠OCP=90°，在Rt△ODP和Rt△OCP中，，∴Rt△ODP≌Rt△OCP，∴∠DOP=∠COP，∵OD=OC，∴OP⊥CD；（2）如图，连接OD，OC，∴OA=OD=OC=OB=2，∴∠ADO=∠DAO=50°，∠BCO=∠CBO=70°，∴∠AOD=80°，∠BOC=40°，∴∠COD=60°，∵OD=OC，∴△COD是等边三角形，由（1）知，∠DOP=∠COP=30°，在Rt△ODP中，OP==．31．（1）证明：连接OC，如图，∵AC平分∠BAD，∴∠1=∠2，∵OA=OC，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OC∥AD，∵ED切⊙O于点C，∴OC⊥DE，∴AD⊥ED；（2）解：OC交BF于H，如图，∵AB为直径，∴∠AFB=90°，易得四边形CDFH为矩形，∴FH=CD=4，∠CHF=90°，∴OH⊥BF，∴BH=FH=4，∴BF=8，在Rt△ABF中，AB===2，∴⊙O的半径为．32．证明：（1）连接OC，∵∠ACD=60°，∠E=30°，∴∠A=30°，∵OA=OC，∴∠OCA=∠A=30°，∴∠OCD=∠OCA+∠ACD=90°，∴直线DE与半圆相切；（2）在Rt△OCE中，∠E=30°，∴OE=2OC=OB+BE，∵OC=OB，∴OB=BE，∴OE=2BE=6，∴CE=OE•cosE=．33．解：（1）如图，连接OD、CD，∵AC为⊙O的直径，∴△BCD是直角三角形，∵E为BC的中点，∴BE=CE=DE，∴∠CDE=∠DCE，∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∵∠ACB=90°，∴∠OCD+∠DCE=90°，∴∠ODC+∠CDE=90°，即OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为r，∵∠ODF=90°，∴OD2+DF2=OF2，即r2+42=（r+2）2，解得：r=3，∴⊙O的直径为6．34．解：（1）∵A的坐标为（0，6），N（0，2），∴AN=4，∵∠ABN=30°，∠ANB=90°，∴AB=2AN=8，∴由勾股定理可知：NB==，∴B（，2）．（2）连接MC，NC ∵AN是⊙M的直径，∴∠ACN=90°，∴∠NCB=90°，在Rt△NCB中，D为NB的中点，∴CD=NB=ND，∴∠CND=∠NCD，∵MC=MN，∴∠MCN=∠MNC，∵∠MNC+∠CND=90°，∴∠MCN+∠NCD=90°，即MC⊥CD．∴直线CD是⊙M的切线．35．（1）解：∵AB是⊙O直径，C在⊙O上，∴∠ACB=90°，又∵BC=3，AB=5，∴由勾股定理得AC=4；（2）证明：连接OC∵AC是∠DAB的角平分线，∴∠DAC=∠BAC，又∵AD⊥DC，∴∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴∠DCA=∠CBA，又∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵∠OAC+∠OBC=90°，∴∠OCA+∠ACD=∠OCD=90°，∴DC是⊙O的切线．36．解：（1）∵AB=13，BC=12，AC=7，∴p==16，∴==24；（2）∵△ABC的周长l=AB+BC+AC=32，∴S=lr=24，∴r==．24.3 正多边形和圆参考答案一．选择题（共10小题）1．A．2．B．3．C．4．A．5．A．6．A．7．B．8．B．9．C．10．A．二．填空题（共18小题）11．72°．12．12+4．13．：1．14．815．14，21．16．72．17．．18．π+1．19．﹣1．20．≤a≤3﹣．21．96cm2．22．．23．3．24．1：：．25．8+8．26．2．27．8．28．3n﹣1•．24.4 弧长和扇形面积参考答案一．选择题（共20小题）1．B．2．D．3．C．4．A．5．A．6．C．7．A．8．B．9．A．10．A．11．D．12．A．13．C．14．A．15．B．16．C．17．B．18．A．19．C．20．C．二．填空题（共10小题）21．π．22．2π23．12π．24．﹣．25．．26．20．27．（2+2﹣π）．28．9．29．π．30．．三．解答题（共5小题）31．证明：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵OC∥BD，∴∠AEO=∠ADB=90°，即OC⊥AD，∴AE=ED；（2）∵OC⊥AD，∴，∴∠ABC=∠CBD=36°，∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°，∴．32．解：（1）连接OD，OC，∵C、D是半圆O上的三等分点，∴==，∴∠AOD=∠DOC=∠COB=60°，∴∠CAB=30°，∵DE⊥AB，∴∠AEF=90°，∴∠AFE=90°﹣30°=60°；（2）由（1）知，∠AOD=60°，∵OA=OD，AB=4，∴△AOD是等边三角形，OA=2，∵DE⊥AO，∴DE=，∴S阴影=S扇形AOD﹣S△AOD=﹣×=π﹣．33．解：（1）△A1B1C1是△ABC绕点C逆时针旋转90度得到的，B1的坐标是：（1，﹣2），故答案为：C，90，（1，﹣2）；（2）线段AC旋转过程中所扫过的面积为以点C为圆心，AC为半径的扇形的面积．∵AC==，∴面积为： =，即线段AC旋转过程中所扫过的面积为．34．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，AD=BC，AD∥BC，∴∠DAE=∠AFB，∵DE⊥AF，∴∠AED=90°=∠B，在△ABF和△DEA中，∴△ABF≌△DEA（AAS），∴DE=AB；（2）解：∵BC=AD，AD=AF，∴BC=AF，∵BF=1，∠ABF=90°，∴由勾股定理得：AB==，∴∠BAF=30°，∴扇形ABG的面积==．35．解；（1）连接OD，∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，∵CD∥OB，∴∠OCD=90°，在RT△OCD中，∵C是AO中点，CD=，∴OD=2CO，设OC=x，∴x2+（）2=（2x）2，∴x=1，∴OD=2，∴⊙O的半径为2．（2）∵sin∠CDO==，∴∠CDO=30°，∵FD∥OB，∴∠DOB=∠ODC=30°，∴S阴=S△CDO+S扇形OBD﹣S扇形OCE=×+﹣=+．。

人教版数学九年级上册第二十四章《圆》知识点及练习题（附答案）

⼈教版数学九年级上册第⼆⼗四章《圆》知识点及练习题（附答案）《圆》章节知识点复习和练习附参考答案⼀、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离⼤于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离⼩于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆⼼，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、⾓的平分线：到⾓两边距离相等的点的轨迹是这个⾓的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平⾏于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平⾏线距离相等的点的轨迹是：平⾏于这两条平⾏线且到两条直线距离都相等的⼀条直线。

⼆、点与圆的位置关系1、点在圆内 ? d r < ? 点C 在圆内；2、点在圆上 ? d r = ? 点B 在圆上；3、点在圆外 ? d r > ? 点A 在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 ? d r > ? ⽆交点；2、直线与圆相切 ? d r = ? 有⼀个交点；3、直线与圆相交 ? d r < ? 有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）? ⽆交点 ? d R r >+；外切（图2）? 有⼀个交点 ? d R r =+；相交（图3）? 有两个交点 ? R r d R r -<<+；内切（图4）? 有⼀个交点 ? d R r =-；内含（图5）? ⽆交点 ? d R r <-；A五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆⼼，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的⼀条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另⼀条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径②AB CD ⊥③CE DE = ④弧BC =弧BD ⑤弧AC =弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。

难点解析-人教版九年级数学上册第二十四章圆专题攻克试题(含答案解析版)

人教版九年级数学上册第二十四章圆专题攻克考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，AB、AC为O的切线，B、C为切点，点D为弧BC上一点，过点D作O的切线分别交AB=，则AEF的周长等于（）．AB、AC于E、F，若6A．6B．12C．9D．182、已知⊙O的半径为4，点O到直线m的距离为d，若直线m与⊙O公共点的个数为2个，则d可取（）A．5 B．4.5 C．4 D．03、如图，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，F为CBD的中点，连接AF、BF、AC，AF交CD于M，过F作FH⊥AC，垂足为G，以下结论：①CF DF=；②HC＝BF：③MF＝FC：④DF AH BF AF+=+，其中成立的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4、如图，在四边形ABCD 中，60,90,2,3,A B D BC CD ∠=∠=∠===则AB ＝（）A ．4B ．5C ．D 5、如图，PA 、PB 分别切O 于点A 、B ，点C 为优弧AB 上一点，若ACB APB ∠=∠，则ACB ∠的度数为（）A ．67.5︒B ．62︒C ．60︒D ．58︒6、一个商标图案如图中阴影部分，在长方形ABCD 中，8cm AB =，4cm BC =，以点A 为圆心，AD 为半径作圆与BA 的延长线相交于点F ，则商标图案的面积是（）A ．()2216cm π+B ．()228cm π+C ．()2416cm π+D ．()248cm π+ 7、在⊙O 中按如下步骤作图：（1）作⊙O 的直径AD ；（2）以点D 为圆心，DO 长为半径画弧，交⊙O 于B ，C 两点；（3）连接DB ，DC ，AB ，AC ，BC ．根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中错误的是（）A ．∠ABD ＝90°B ．∠BAD ＝∠CBDC ．AD ⊥BC D ．AC ＝2CD8、如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB =AC =5，点D 在AC 上，且2AD =，点E 是AB 上的动点，连结DE ，点F ，G 分别是BC ，DE 的中点，连接AG ，FG ，当AG =FG 时，线段DE 长为（）A B C D ．49、若某圆锥的侧面展开图是一个半圆，已知圆锥的底面半径为r ，那么圆锥的高为（）A ．12rB ．rCD ．2r10、如图，⊙O 的半径为5cm ，直线l 到点O 的距离OM =3cm ，点A 在l 上，AM =3.8cm ，则点A 与⊙O 的位置关系是( )A ．在⊙O 内B ．在⊙O 上C ．在⊙O 外D ．以上都有可能第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，直线y ＝﹣34x +6与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点P 是以C （﹣1，0）为圆心，1为半径的圆上一点，连接PA ，PB ，则△PAB 面积的最大值为_____．2、如图，圆锥的母线长OA=6，底面圆的半径为32，一只小虫在圆线底面的点A 处绕圆锥侧面一周又回到点A 处，则小虫所走的最短路程为___________（结果保留根号）3、如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，分别以点A ，C 为圆心，AO 长为半径画弧，分别交AB ，CD 于点E ，F ．若BD ＝4，∠CAB ＝36°，则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留π）．4、如图，在Rt AOB 中，90AOB ︒∠=，3OA =，2OB =，将Rt AOB 绕O 顺时针旋转90︒后得Rt FOE ，将线段EF 绕点E 逆时针旋转90︒后得线段ED ，分别以O ，E 为圆心，OA 、ED 长为半径画弧AF 和弧DF ，连接AD ，则图中阴影部分面积是________．5、如图，已知O 的半径为2，ABC ∆内接于O ，135ACB ∠=，则AB =__________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，AB ＝CD ．求证：(1)AC ＝BD ；(2)△ABE ∽△DCE ．2、如图，在ABC 中，∠ABC =45°，AB AC =，以AB 为直径的⊙O 与边BC 交于点D ．(1)判断直线AC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)若4AB =，求图中阴影部分的面积．3、（1）课本再现：在O 中，AOB ∠是AB 所对的圆心角，C ∠是AB 所对的圆周角，我们在数学课上探索两者之间的关系时，要根据圆心O 与C ∠的位置关系进行分类．图1是其中一种情况，请你在图2和图3中画出其它两种情况的图形，并从三种位置关系中任选一种情况证明12∠=∠C AOB ；（2）知识应用：如图4，若O 的半径为2，,PA PB 分别与O 相切于点A ，B ，60C ∠=°，求PA 的长．4、如图，AB 为O 的直径，射线AD 交O 于点F ，点C 为劣弧BF 的中点，过点C 作CE AD ⊥，垂足为E ，连接AC ．（1）求证：CE 是O 的切线；（2）若30,4BAC AB ∠=︒=，求阴影部分的面积．5、如图，AD BC =，比较AB 与CD 的长度，并证明你的结论．-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】由切线长定理可得,,AB AC DE BE FC FD ===，然后根据线段之间的转化即可求得AEF 的周长．【详解】∵AB 、AC 为O 的切线，所以AB AC =，又∵EF 为O 的切线，∴,DE BE FC FD ==，∴AEF 的周长6612AE AF EF AE DE AF DF AB AC =++=+++=+=+=．故选：B ．【考点】此题考查了圆中切线长定理的运用，解题的关键是熟练掌握切线长定理．2、D【解析】【分析】根据直线和圆的位置关系判断方法，可得结论．【详解】∵直线m 与⊙O 公共点的个数为2个∴直线与圆相交∴d＜半径＝4故选D ．【考点】本题考查了直线与圆的位置关系，掌握直线和圆的位置关系判断方法：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d＝r，③直线l和⊙O相离⇔d ＞r．3、C【解析】【分析】根据弧，弦，圆心角之间的关系，圆周角定理以及三角形内角和定理一一判断即可．【详解】解：∵F为CBD的中点，∴CF DF=，故①正确，∴∠FCM＝∠FAC，∵∠FCG＝∠ACM+∠FCM，∠AME＝∠FMC＝∠ACM+∠FAC，∴∠AME＝∠FMC＝∠FCG＞∠FCM，∴FC＞FM，故③错误，∵AB⊥CD，FH⊥AC，∴∠AEM＝∠CGF＝90°，∴∠CFH+∠FCG＝90°，∠BAF+∠AME＝90°，∴∠CFH＝∠BAF，∴CF BF=，∴HC＝BF，故②正确，∵∠AGF＝90°，∴∠CAF+∠AFH＝90°，∴AH CF+＝180°，∴CH AF+＝180°，∴AH CF AH DF CH AF AF BF+=+=+=+，故④正确，故选：C．【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考选择题中的压轴题．4、D【解析】【分析】延长AD，BC交于点E，则∠E=30°，先在Rt△CDE中，求得CE的长，然后在Rt△ABE中，根据∠E 的正切函数求得AB的长【详解】如图，延长AD，BC交于点E，则∠E=30°，在Rt△CDE中，CE=2CD=6（30°锐角所对直角边等于斜边的一半），∴BE=BC+CE=8，在Rt△ABE故选D.【考点】本题考查了解直角三角形，特殊角的三角函数值，解此题的关键在于构造一个直角三角形，然后利用锐角三角函数进行解答.5、C【解析】【分析】要求∠ACB的度数，只需根据圆周角定理构造它所对的弧所对的圆心角，即连接OA，OB；再根据切线的性质以及四边形的内角和定理即可求解．【详解】解：连接OA，OB，∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，∴OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠PAO=∠PBO=90°，∴∠AOB+∠APB=180°，∵∠AOB=2∠ACB，∠ACB=∠APB，∴3∠ACB=180°，∴∠ACB=60°，故选：C．【考点】此题考查了切线的性质，圆周角定理，以及四边形的内角和，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．6、D【解析】【分析】根据题意作辅助线DE 、EF 使BCEF 为一矩形，从图中可以看出阴影部分的面积=三角形的面积-（正方形的面积-扇形的面积），依据面积公式进行计算即可得出答案．【详解】解：作辅助线DE 、EF 使BCEF 为一矩形．则S △CEF =（8+4）×4÷2=24cm 2，S 正方形ADEF =4×4=16cm 2，S 扇形ADF =9016063π⨯=4πcm 2， ∴阴影部分的面积=24-（16-4π）=()248cm π+．故选：D ．【考点】本题主要考查扇形的面积计算，解题的关键是作出辅助线并从图中看出阴影部分的面积是由哪几部分组成的．7、D【解析】【分析】根据作图过程可知：AD 是⊙O 的直径，BD ＝CD ，根据垂径定理即可判断A 、B 、C 正确，再根据DC ＝OD ，可得AD ＝2CD ，进而可判断D 选项．【详解】解：根据作图过程可知：AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∴A选项正确；∵BD＝CD，∴BD＝CD,∴∠BAD＝∠CBD，∴B选项正确；根据垂径定理，得AD⊥BC，∴C选项正确；∵DC＝OD，∴AD＝2CD，∴D选项错误．故选：D．【考点】本题考查作图-复杂作图、含30度角的直角三角形、垂径定理、圆周角定理，解决本题的关键是熟练掌握相关知识点．8、A【解析】【分析】连接DF，EF，过点F作FN⊥AC，FM⊥AB，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得点A，D，F，E四点共圆，∠DFE=90°，然后根据勾股定理及正方形的判定和性质求得AE的长度，从而求解．【详解】解：连接DF ，EF ，过点F 作FN ⊥AC ，FM ⊥AB∵在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，点G 是DE 的中点，∴AG =DG =EG又∵AG =FG∴点A ，D ，F ，E 四点共圆，且DE 是圆的直径∴∠DFE =90°∵在Rt △ABC 中，AB =AC =5，点F 是BC 的中点，∴CF =BF =12BC =FN =FM =52 又∵FN ⊥AC ，FM ⊥AB ，90BAC ∠=︒∴四边形NAMF 是正方形∴AN =AM =FN =52又∵90NFD DFM ∠+∠=︒，90DFM MFE ∠+∠=︒∴NFD MFE ∠=∠∴△NFD ≌△MFE∴ME =DN =AN -AD =12∴AE =AM +ME =3∴在Rt △DAE 中，DE =故选：A ．【考点】本题考查直径所对的圆周角是90°，四点共圆及正方形的判定和性质和用勾股定理解直角三角形，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．9、C【解析】【分析】设圆锥母线长为R，由题意易得圆锥的母线长为22rR rππ==，然后根据勾股定理可求解．【详解】解：设圆锥母线长为R，由题意得：∵圆锥的侧面展开图是一个半圆，已知圆锥的底面半径为r，∴根据圆锥侧面展开图的弧长和圆锥底面圆的周长相等可得：1802180Rrππ=，∴22rR rππ==，；故选C．【考点】本题主要考查圆锥侧面展开图及弧长计算公式，熟练掌握圆锥的特征及弧长计算公式是解题的关键．10、A【解析】【详解】如图，连接OA，则在直角△OMA中，根据勾股定理得到<．5∴点A与⊙O的位置关系是：点A在⊙O内．故选A．二、填空题1、32【解析】【分析】如图，作CH⊥AB于H交⊙O于E、F，求出A、B的坐标，根据勾股定理求出AB，再由S△ABC＝12 AB•CH＝1OB•AC求出点C到AB的距离CH，即可求出圆C上点到AB的最大距离，根据面积公式求出2即可．【详解】如图，作CH⊥AB于H交⊙O于E、F，∵直线y＝﹣34x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴当y=0时，可得0=﹣34x+6，解得：x=8，∴A（8，0），当x=0时，得y=6，∴B（0，6），∴OA＝8，OB＝6，∴AB=10，∵C（﹣1，0），∴AC=8+1=9，∴S△ABC＝12AB•CH＝12OB•AC，∴1069CH⨯=⨯，∴CH=5.4，∴FH＝CH+CF=5.4+1＝6.4，即⊙C上到AB的最大距离为6.4，∴△PAB面积的最大值＝12×10×6.4＝32，故答案为32．【考点】本题考查了三角形的面积，勾股定理、三角形等面积法求高、求圆心到直线的距离等知识，解此题的关键是求出圆上的点到直线AB的最大距离．2、【解析】【分析】利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长可得圆锥侧面展开图的圆心角，求出侧面展开图中两点间的距离即为最短距离．【详解】∵底面圆的半径为32，∴圆锥的底面周长为2π×32＝3π，设圆锥的侧面展开图的圆心角为n．∴63 180nππ⨯=，解得n＝90°，如图，AA′的长就是小虫所走的最短路程，∵∠O=90°，OA′=OA=6，．故答案为：【考点】本题考查了圆锥的计算，考查圆锥侧面展开图中两点间距离的求法；把立体几何转化为平面几何来求是解决本题的突破点．3、4 5π【解析】【分析】利用矩形的性质求得OA=OC=OB=OD=2，再利用扇形的面积公式求解即可．【详解】解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且BD=4，∴AC=BD＝4，OA=OC=OB=OD=2，∴22362423605AOES Sππ⨯⨯===阴影扇形，故答案为：45π．【考点】本题考查了矩形的性质，扇形的面积等知识，正确的识别图形是解题的关键．4、8π-【解析】【分析】作DH ⊥AE 于H ，根据勾股定理求出AB ，根据阴影部分面积=△ADE 的面积+△EOF 的面积+扇形AOF 的面积－扇形DEF 的面积计算即可得到答案．【详解】解：作DH ⊥AE 于H ，∵∠AOB =90°，OA =3，OB =2，∴AB =由旋转得△EOF ≌△BOA ，∴∠OAB =∠EFO ，∵∠FEO +∠EFO =∠FEO +∠HED =90°，∴∠EFO =∠HED ，∴∠HED =∠OAB ，∵∠DHE =∠AOB =90°，DE AB ==∴△DHE ≌△BOA （AAS ），∴DH =OB =1，325AE AO OE =+=+=，∴阴影部分面积=△ADE 的面积+△EOF 的面积+扇形AOF 的面积－扇形DEF 的面积21190390135232822360360πππ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯+-=-，故答案为：8π-．本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质、全等三角形的判定和性质，掌握扇形的面积公式和旋转的性质是解题的关键．5、【解析】【详解】分析：根据圆内接四边形对边互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可以求得∠AOB的度数，然后根据勾股定理即可求得AB的长．详解：连接AD、AE、OA、OB，∵⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB=135°，∴∠ADB=45°，∴∠AOB=90°，∵OA=OB=2，故答案为点睛：本题考查三角形的外接圆和外心，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．三、解答题1、 (1)见解析(2)见解析【分析】（1）两个等弧同时加上一段弧后两弧仍然相等；再通过同弧所对的弦相等证明即可；（2）根据同弧所对的圆周角相等，对顶角相等即可证明相似．(1)∵AB ＝CD∴AB AD +＝CD AD +∴BAD ADC =∴BD =AC(2)∵∠B =∠C；∠AEB =∠DEC∴△ABE ∽△DCE【考点】本题考查等弧所对弦相等、所对圆周角相等，掌握这些是本题关键．2、 (1)证明见解析(2)6π-【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质与三角形的内角和定理证明,AB AC ⊥ 从而可得结论；（2）如图，记BC 与O 的交点为M ，连接OM ，先证明290,AOM ABC 90,BOM 再利用阴影部分的面积等于三角形ABC 的面积减去三角形BOM 的面积，减去扇形AOM 的面积即可．(1)证明： ∠ABC =45°，AB AC =，45,ACB ABC90,BAC ∴∠=︒ 即,BA AC A 在O 上，AC ∴为O 的切线．(2)如图，记BC 与O 的交点为M ，连接OM ，45ABC ∠=︒ ，290,AOM ABC 90,BOM4AB =，2OA ∴=， 1144822ABC S AB AC ，12222BOM S ， 2902360AOM S 扇形， 826S 阴影．【考点】本题考查的是等腰三角形的性质，切线的判定，扇形面积的计算，掌握“切线的判定方法与割补法求解不规则图形面积的方法”是解本题的关键．3、（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）①如图2，当点O在∠ACB的内部，作直径，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质可得结论；②如图3，当O在∠ACB的外部时，作直径CD，同理可理结论；（2）如图4，先根据（1）中的结论可得∠AOB=120°，由切线的性质可得∠OAP=∠OBP=90°，可得∠OPA=30°，从而得PA的长．【详解】解：（1）①如图2，连接CO，并延长CO交⊙O于点D，∵OA=OC=OB，∴∠A=∠ACO，∠B=∠BCO，∵∠AOD=∠A+∠ACO=2∠ACO，∠BOD=∠B+∠BCO=2∠BCO，∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=2∠ACO+2∠BCO=2∠ACB，∴∠ACB=1∠AOB；2如图3，连接CO，并延长CO交⊙O于点D，∵OA=OC=OB，∴∠A=∠ACO，∠B=∠BCO，∵∠AOD=∠A+∠ACO=2∠ACO，∠BOD=∠B+∠BCO=2∠BCO，∴∠AOB=∠AOD-∠BOD=2∠ACO-2∠BCO=2∠ACB，∴∠ACB=12∠AOB；（2）如图4，连接OA，OB，OP，∵∠C=60°，∴∠AOB=2∠C=120°，∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∴∠OAP=∠OBP=90°，∠APO=∠BPO=12∠APB=12（180°-120°）=30°，∵OA=2，∴OP=2OA=4，∴PA=【考点】本题考查了切线长定理，圆周角定理等知识，掌握证明圆周角定理的方法是解本题的关键．4、（1）证明见解析；（2）23π．【解析】【分析】（1）连接BF，证明BF//CE，连接OC，证明OC⊥CE即可得到结论；（2）连接OF，求出扇形FOC的面积即可得到阴影部分的面积．【详解】（1）连接BF，AB是O的直径，90AFB∴∠=︒，即BF AD⊥，CE AD⊥，//BF CE∴连接OC，∵点C 为劣弧BF 的中点，OC BF ∴⊥，∵//BF CE ，OC CE ∴⊥∵OC 是O 的半径，∴CE 是O 的切线；（2）连接OFOA OC =，30BAC ∠=︒，60BOC ∴∠=︒∵点C 为劣弧BF 的中点，FC BC ∴=，60FOC BOC ∴∠=∠=︒，4AB =，2FO OC OB ∴===，∴S 扇形FOC =260223603ππ⋅⨯=，即阴影部分的面积为：23π．【考点】本题主要考查了切线的判定以及扇形面积的求法，熟练掌握切线的判定定理以及扇形面积的求法是解答此题的关键．5、DC ＝AB ，见解析．【解析】【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，由AD=BC解得AD＝BC，继而得到DC＝AB．【详解】解：DC＝AB，证明如下：∵AD＝BC，∴AD＝BC，∴AD＋AC＝BC＋AC，即DC＝AB．【考点】本题考查圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．。

九年级数学上册第二十四章圆必练题总结(带答案)

九年级数学上册第二十四章圆必练题总结单选题1、如图，点A 是⊙O 外一点，过点A 作⊙O 的切线AB 、AC ，切点分别为B 、C 两点，连结AC 并延长交BO 的延长线于点D ．若AB ＝3，BD ＝4，则⊙O 的半径为（）A ．94B ．83C ．52D ．32答案：D分析：连接OC ，根据题意得到RtΔABD 、RtΔCOD ，由切线长定理求得AC =AB =3，最后根据勾股定理在RtΔABD 、RtΔCOD 中求解即可．解：连接OC ，如图所示：∵点A 是⊙O 外一点，过点A 作⊙O 的切线AB 、AC ，切点分别为B 、C 两点，∴OC ⊥AD ，BD ⊥AB ，∴AC =AB =3，在RtΔABD 中，∠ABD =90°，AB ＝3，BD ＝4，由勾股定理得AD =5，∴CD =AD −AC =5−3=2，设半径OC =OB =r ，则OD =BD −OB =4−r ，在RtΔCOD 中，∠OCD =90°，CD ＝2，OC =r ，OD =4−r ，由勾股定理知CD2+OC2=OD2，得r2+22=(4−r)2，即8r=12，，解得r=32故选：D．小提示：本题考查在圆背景下利用勾股定理求线段长，掌握切线的性质、切线长定理以及在直角三角形中根据勾股定理列方程求解问题是解题关键．2、如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，若∠B=20°，则∠CAD的度数是（）A．60°B．65°C．70°D．75°答案：C分析：首先连接CD，由AD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACD=90°，又由圆周角定理，可得∠D=∠B=20°，再用三角形内角和定理求得答案．解：连接CD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°．∵∠D=∠B=20°，∴∠CAD=180°−90°−∠D=180°−90°−20°=70°．故选：C．小提示：本题考查了圆周角定理、三角形的内角和定理．熟练掌握圆周角定理是解此题的关键．3、小王不慎把一面圆形镜子打碎了，其中三块如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（）A．①B．②C．③D．都不能答案：B分析：要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第②块可确定半径的大小．解：第②块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选：B．小提示：本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．4、如图，在平面直角坐标系中，△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，AB⊥x轴，M为Rt△ABC的外心．若点A的坐标为（3，4），点M的坐标为（﹣1，1），则点B的坐标为（）A．（3，﹣1）B．（3，﹣2）C．（3，﹣3）D．（3，﹣4）答案：B分析：根据M为直角三角形的外心．∠ABC＝90°，得出点M为AC中点，利用中点坐标公式求出点C（-5，-2），根据AB⊥x轴，得出点A，B的横坐标相同都是3，根据BC∥x轴，得出点B、C的纵坐标相同都是-2即可．解：∵M为Rt△ABC的外心．∠ABC＝90°，∴点M为AC中点，∵点A的坐标为（3，4），点M的坐标为（﹣1，1），设点C横坐标为（x,y）,∴x+32=−1,y+42=1，解得x=-5，y=-2，∴点C（-5，-2），∵AB⊥x轴，∴点A，B的横坐标相同都是3，∵∠ABC＝90°，∴BC∥x轴，∴点B、C的纵坐标相同都是-2，∴点B（3，-2）．故选：B．小提示：本题考查直角三角形的外心，中点坐标公式，平行x轴或y轴的点坐标特征，掌握直角三角形的外心的性质，中点坐标公式，平行x轴或y轴的点坐标特征是解题关键．5、如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，若⊙O的半径为2，则△ABC的面积为（）A．√32B．√3C．2√3D．3√3答案：D分析：过点O作OH⊥BC于点H，根据等边三角形的性质即可求出OH和BH的长，再根据垂径定理求出BC的长，最后运用三角形面积公式求解即可．解：过点O作OH⊥BC于点H，连接AO，BO，∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC =60°，∵O 为三角形外心，∴∠OAH =30°，∴OH =12OB =1，∴BH =√BO 2−OH 2=√3，AH =-AO +OH =2+1=3∴BC =2BH =2√3∴S ΔABC =12BC ×AH =12×2√3×3=3√3故选：D小提示：本题考查了等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．6、将一张正方形的透明纸片ABCD 和⊙O 按如图位置叠放，顶点A 、D 在⊙O 上，边AB 、BC 、CD 分别与⊙O 相交于点E 、F 、G 、H ，则下列弧长关系中正确的是（）A ．AD⌢=AE ⌢B ．AD ⌢=AF ⌢ C ．AF⌢=DG ⌢D ．AF ⌢=DH ⌢ 答案：C分析：连接AF,DG ，根据弦与弧的关系，只要比较弦长即可比较弧长的大小即可求解．如图，连接AF,DG ，过点O 作NM ⊥AD ，交AD 于M ，交BC 于N ，则MN ⊥BC ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD =AB =BC =CD ，∠B =∠C ，∴ AM =MD ，∴四边形AMNB,MNCD 是矩形，∴NB =AM =MD =NC ，∴FN =GN ，∴FB =GC ，∴Rt △ABF ≌Rt △CDG ，∴ AF =DG ，A. ∵AD >AE ，∴ AD⌢>AE ⌢，故该选项不正确，不符合题意； B. ∵AD =AB <AF ，∴AD⌢<AF ⌢，故该选项不正确，不符合题意； C. ∵ AF =DG ，∴ AF⌢=DG ⌢，故该选项正确，符合题意； D.∵DH <DC <DG =AF ，∴ AF⌢>DH ⌢，故该选项不正确，不符合题意；故选：C.小提示：本题考查了弦与弧的关系，掌握同圆或等圆中，等弦对等弧是解题的关键．7、如图，点E 是△ABC 的内心，AE 的延长线和△ABC 的外接圆相交于点D ，与BC 相交于点G ，则下列结论：①∠BAD =∠CAD ；②若∠BAC =60°，则∠BEC =120°；③若点G 为BC 的中点，则∠BGD =90°；④BD =DE ．其中一定正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：D分析：根据点E 是△ABC 的内心，可得∠BAD =∠CAD ，故①正确；连接BE ，CE ，可得∠ABC +∠ACB =2（∠CBE +∠BCE ），从而得到∠CBE +∠BCE =60°，进而得到∠BEC =120°，故②正确； ∠BAD =∠CAD ，得出BD⌢=CD ⌢，再由点G 为BC 的中点，则∠BGD =90°成立，故③正确；根据点E 是△ABC 的内心和三角形的外角的性质，可得∠BED =12(∠BAC +∠ABC )，再由圆周角定理可得∠DBE =12(∠BAC +∠ABC )，从而得到∠DBE =∠BED ，故④正确；即可求解．解：∵点E 是△ABC 的内心，∴∠BAD =∠CAD ，故①正确；如图，连接BE ，CE ，∵点E 是△ABC 的内心，∴∠ABC =2∠CBE ，∠ACB =2∠BCE ，∴∠ABC +∠ACB =2（∠CBE +∠BCE ），∵∠BAC =60°，∴∠ABC +∠ACB =120°，∴∠CBE+∠BCE=60°，∴∠BEC=120°，故②正确；∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∴BD⌢=CD⌢,∵点G为BC的中点，∴线段AD经过圆心O，∴∠BGD=90°成立，故③正确；∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC,∠ABE=∠CBE=12∠ABC，∵∠BED=∠BAD+∠ABE，∴∠BED=12(∠BAC+∠ABC)，∵∠CBD=∠CAD，∴∠DBE=∠CBE+∠CBD=∠CBE+∠CAD，∴∠DBE=12(∠BAC+∠ABC)，∴∠DBE=∠BED，∴BD=DE，故④正确；∴正确的有4个．故选：D小提示：本题主要考查了三角形的内心问题，圆周角定理，三角形的内角和等知识，熟练掌握三角形的内心问题，圆周角定理，三角形的内角和等知识是解题的关键．8、如图，从一个边长为2m的正六边形ABCDEF铁皮上剪出一个扇形CAE，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为（）A ．√32mB ．√33mC ．√34mD ．√3m答案：B分析：先求出扇形的半径R 与弧长，再利用扇形弧长与所围成的圆锥的底面周长的关系求出圆锥的底面半径r ．解：过B 作BM ⊥AC 于M ，∵六边形ABCDEF 为正六边形，∴ AB =BC =CD =DE =2m ，∠ABC =∠BCD =∠CDE =120°，∴ ∠BCA =∠DCE =180°−120°2=30°，∠ACE =180°−30°−30°=60°， ∴ BM =12BC =1m ，AM =√BC 2−BM 2=√22−12=√3m ，∵ AB =BC ，BM ⊥AC ，∴ AC =2CM =2√3m ，∴ AE ⌢=60360×2π×2√3=2πr ，解得r =√33．故选：B ．小提示：本题考查了正多边形内角和定理，圆、扇形、圆锥的相关计算，掌握扇形所围的圆锥与扇形之间的等量关系是解决本题的关键．9、如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC=60°,∠BCO=90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为（）A．π3cm2B．π4cm2C．(π3−√38)cm2D．π6cm2答案：B分析：根据已知条件和旋转的性质得出两个扇形的圆心角的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可得出答案．解：∵∠BOC=60°，△B′OC′是△BOC绕圆心O逆时针旋转得到的，∴∠B′OC′=60°，△BCO=△B′C′O，∴∠B′OC=60°，∠C′B′O=30°，∴∠B′OB=120°，∵AB=2cm，∴OB=1cm，OC′=12cm，∴B′C′=√32cm，∴S扇形B′OB=120π×12360=π3cm2，S扇形C′OC=120π×1 4360=π12cm2，∴阴影部分面积=S扇形B′OB+S△B′C′O-S△BCO-S扇形C′OC=S扇形B′OB-S扇形C′OC=π3−π12=π4cm2；故选：B．小提示：此题考查了旋转的性质和扇形的面积公式，掌握直角三角形的性质和扇形的面积公式是本题的关键．10、如图，在以AB为直径的⊙O中，点C为圆上的一点，BC⌢=2AC⌢，弦CD⊥AB于点E，弦AF交CE于点H，交BC于点G，若点H是AG的中点，则∠CBF的度数为（）A．18°B．21°C．22.5°D．30°答案：D分析：由圆周角定理可求∠ACB=90°，由弧的关系得出角的关系，进而可求∠ABC=30°，∠CAB=60°，由直角三角形的性质可求∠CAH=∠ACE=30°，即可求解．解：∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC+∠CAB=90°，∵BC⌢=2AC⌢，∴∠CAB=2∠ABC，∴∠ABC=30°，∠CAB=60°，∵CD⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠ACE=30°，∵点H是AG的中点，∠ACB=90°，∴AH=CH=HG，∴∠CAH=∠ACE=30°，∵∠CAF=∠CBF，∴∠CBF=30°，故选：D．小提示：本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，直角三角形的性质，求出∠CAB的度数是本题的关键．填空题11、如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为_______．答案：（2，1）分析：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，则圆心是（2，1）．故答案为（2，1）．小提示：本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”．12、如图1，把一个半径是7cm的圆分成20等份，然后把它剪开，按照图2的形状拼起来，拼成图形的周长是___________cm．答案：57.96分析：由圆的面积推导过程可知：将圆拼成近似的长方形后，长方形的长就等于圆的周长的一半，宽就等于圆的半径，从而可知这个长方形的周长，据此可得答案．因为将圆拼成近似的长方形后，长方形的长就等于圆的周长的一半，宽就等于圆的半径，所以这个长方形的周长就比原来圆的周长多出了两个半径的长度，即多出了一个直径的长度，即：3.14×2×7+7×2=57.96．所以答案是：57.96．小提示：本题考查了图形的拼接，解答的主要依据是圆的面积的推导过程．13、已知圆锥的高为8cm，母线长为10cm，则其侧面展开图的面积为_______．答案：60πcm2分析：利用勾股定理易得圆锥的底面半径，那么圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．解：圆锥的高为8cm，母线长为10cm，由勾股定理得，底面半径=6cm，底面周长=12πcm，×12π×10=60πcm2．侧面展开图的面积=12所以答案是：60πcm2．小提示：本题利用了勾股定理，圆的周长公式和扇形面积公式求解．14、如图，作⊙O的任意一条直经FC，分别以F､C为圆心，以FO的长为半径作弧，与⊙O相交于点E､A和D､B，顺次连接AB,BC,CD,DE,EF,FA，得到六边形ABCDEF，则⊙O的面积与阴影区域的面积的比值为______；答案：2√3π3分析：可将图中阴影部分的面积转化为两个等边三角形的面积之和，设⊙O的半径与等边三角形的边长为a，分别表示出圆的面积和两个等边三角形的面积，即可求解连接OE，OD，OB，OA，由题可得：EF=OF=OE=FA=OA=AB=OB=BC=OC=CD=OD∴△EFO,△OFA,△OAB,△OBC,△OCD,△ODE为边长相等的等边三角形∴可将图中阴影部分的面积转化为△ODE和△OAB的面积之和，如图所示：设⊙O的半径与等边三角形的边长为a，∴⊙O的面积为S=πr2=πa2∵等边△OED与等边△OAB的边长为a∴S△OED=S△OAB=√3a2 4∴S阴=S△OED+S△OAB=√3a22∴⊙O的面积与阴影部分的面积比为SS阴2√3a22=2√3π3所以答案是：2√3π3．小提示：本题考查了图形的面积转换，等边三角形面积以及圆面积的求法，将不规则图形的面积转换成规则图形的面积是解题关键．15、如图，在⊙O中，OA=3，∠C=45°，则图中阴影部分的面积是_________．（结果保留π）答案：9π4−92分析：由∠C=45°，根据圆周角定理得出∠AOB=90°，根据S阴影=S扇形AOB－S△AOB可得出结论．解：∵∠C=45°，∴∠AOB=90°，∴S阴影=S扇形AOB－S△AOB=90×π×32360−12×3×3=9π4−92，所以答案是：9π4−92．小提示：本题主要考查圆周角定理、扇形的面积计算，根据题意求得三角形与扇形的面积是解答此题的关键．解答题16、如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点E，且BD=CD，过点D作⊙O的切线交AC于点F，过点D作AB的垂线，交AB于点G，交⊙O于点H．(1)求证：DF⊥AC；(2)若OG=1，求AE的长．答案：(1)证明见解析(2)AE=2分析：（1）根据切线，得到∠ODF=90°；连接OD，通过证OD是△ABC的中位线，证OD∥AC，进而得到∠CFD=∠ODF=90°，即可证明；（2）连接DE，分别证AC= AB=2OB，CD=DE，得到CF=BG，CF=EF，再利用AE=AC−CF−EF=2OB−2BG= 2OG，即可求解．（1）证明：∵过点D作⊙O的切线交AC于点F，∴∠ODF=90°，连接OD，∵BD=CD，OA=OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∴∠CFD=∠ODF=90°，∴DF⊥AC．（2）解：设圆与AC 相交于点E ，连接DE ，由（1）可知，OD ∥AC ，∴∠ODB =∠C ，∵OD =OB ，∴∠ODB =∠ABC ，∴∠C =∠ABC ，∴AC = AB =2OB ，∵在Rt △CFD 和Rt △BGD 中，{∠DFC =∠DGB =90°∠C =∠ABCCD =BD， ∴Rt △CFD ≌Rt △BGD(AAS)，∴CF =BG ，又∵四边形ABDE 是圆内接四边形，∴∠AED +∠ABC =180°，又∵∠AED +∠CED =180°，∴∠ABC =∠CED ，∴∠C =∠CED ，∴CD =DE ，又∵DF ⊥AC ，∴CF =EF ，∴AE =AC −CF −EF =2OB −2BG ，即AE =2(OB −BG)=2OG =2．小提示：本题考查圆、全等三角形和等腰三角形的相关知识．包括圆的切线，圆内接四边形；以及全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，综合性强．熟练掌握圆、全等三角形和等腰三角形的判定和性质是本题解题的关键．17、如图，⊙O 的直径AB 为10cm ，弦AC 为6cm,∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ．（1）求AD 的长；（2）试探究CA 、CB 、CD 之间的等量关系，并证明你的结论；（3）连接OD,P 为半圆ADB 上任意一点，过P 点作PE ⊥OD 于点E ，设ΔOPE 的内心为M ，当点P 在半圆上从点B 运动到点A 时，求内心M 所经过的路径长答案：（1）5√2；（2）CA +CB =√2CD ，证明见解析；（3）5√22π．分析：(1)根据直径所对的角是90°，判断△ABC 和△ABD 是直角三角形，根据圆周角∠ACB 的平分线交O 于D ，判断△ADB 为等腰直角三角形，然后根据勾股定理求出值；(2)延长CA 到F ，使AF=CB ，可证△CDF 为等腰直角三角形,从而得到CA 、CB 、CD 之间的等量关系；(3)作辅助线，连接OM ，PM,正确构造图形，确定M 的运动轨迹是圆弧形，先求OD ⏜的长度，再得到点M 经过路径的长．解：(1)∵AB 是直径∴∠ADB =90°∵CD 是∠ACB 的平分线∴∠ACD =∠BCD∴AD=BD 在RtΔABD中，AD2+BD2=AB2∴AD=BD=√22AB=√22×10=5√2(2)CA+CB=√2CD，证明如下延长CA到F，使AF=CB，连接DF∵∠CBD+∠CAD=180°,∠FAD+∠CAD=180°∴∠CBD=∠FAD又AD=BD,AF=BC∴ΔADF≌ΔBDC，∴CD=FD,∠CDF=90°,ΔCDF为等腰直角三角形∴CA+CB=CF=√2CD(3)连接OM、PM∵PE⊥OD∴∠PEO=90°∵点M为ΔOPE的内心∴∠OMP=135°∵OD=OP，∠DOM=∠POM，OM=OM∴ΔOMD≌ΔOMP∴∠OMD=∠OMP=135°∴所以点M 在以OD 为弦，并且所对的圆周角为135°的两段劣弧上（分OD 左右两种情况）；设OMD 所在圆的圆心O′∵∠OMD =135°∴∠OO′D =90°∴O′O =√22OD =5√22 弧OD ⏜的长为90π×5√22180=5√24π ∴点M 经过路径长为2×5√24π=5√22π小提示：本题综合考查了圆周角定理，全等三角形，等腰直角三角形，圆弧的长，勾股定理等知识，解答此题要抓住三个关键，(1)判断出ABC 和 △ABD 是直角三角形，以便利用勾股定理；(2)判断出线段△CDF 和△ABD 是等腰直角三角形，然后将各种线段转化到等腰直角三角形中利用勾股定理解答，(3)通过作辅助线，正确构造图形，确定M 的运动轨迹是圆弧形，再利用弧长公式解答．18、用反证法证明：一条线段只有一个中点．答案：见解析．分析：首先假设结论的反面：一条线段可以有多个中点，不妨设有两个，根据中点的定义得出矛盾，即可证得．解：已知：一条线段AB，点M为AB的中点．求证：线段AB只有一个中点M，证明：假设线段AB有两个中点，分别为点M、N，不妨设点M在点N的左边，则AM<AN，又∵AM=1AB=AN，2这与AM<AN矛盾，∴假设不成立，线段AB只有一个中点M．∴一条线段只有一个中点．小提示：本题主要考查了反证法，正确理解反证法的基本思想是解题的关键．。

人教版九年级数学上册第二十四章圆期末综合专题复习练习

人教版九年级数学上册第二十四章圆期末综合专题复习练习1、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1，CD＝4，连接O C．（1）求⊙O的半径；（2）求sin∠COA的值．2、已知：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，△ABC的外角平分线BD交⊙O于D，DE∥AC交CB的延长线于E．（1）求证：DE是⊙O的切线？（2）若∠A＝30°，求证：BD＝BC．3、如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两个点，且D是⌒BC的中点，OD与BC交于点E，连接AC．（1）若∠A＝70°，求∠CBD的度数；（2）若DE＝2，BC＝6，求半圆O的半径．4、如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是△ABC的高，连接OA．（1）求证：∠CAD＝∠BAO；（2）已知AB＝m，AC＝n，AD＝h，求⊙O的半径（用m、n、h的代数式表示）．5、如图，AB为⊙O直径，C、D为⊙O上的点，∠ACD＝2∠A，CE⊥DB交DB的延长线于点E．（1）求证：直线CE与⊙O相切；（2）若AC＝8，AB＝10，求CE的长．BD，AC为直径，DE⊥BC，垂足为E．AD=⌒6、如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⌒（1）求证：CD平分∠ACE；（2）若AC＝9，CE＝3，求CD的长．7、如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，O是BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径作圆，恰好经过点A，并与BC交于点D．（1）求证：CA是⊙O的切线．（2）若AB＝2 3 ，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．8、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AC的中点，且∠A+∠CDB＝90°，过点A，D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E．（1）求证：直线BD与⊙O相切；（2）若AD：AE＝4：5，BC＝6，求⊙O的直径．9、如图，AB是半圆O的直径，CD与⊙O相切于点C，过点B作BE∥CD，交⊙O于点E，延长AE交切线于点D.（1）求证：∠BAC＝∠CAD；（2）若AB＝6，AC＝5，求AD的长.10、如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD，AC分别交于点E，F，且∠ACB＝∠DCE．（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若AB＝2，BC＝4，求⊙O的半径．11、如图，已知⊙O的直径为10，点A、B、C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．（1）图①，当BC为⊙O的直径时，求BD的长；（2）图②，当BD＝5时，求∠CDB的度数．12、如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC.（1）求证：AC平分∠BAD；（2）若AB=6，AC=42，求EC和PB的长.13、如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的中线，O为AB上一点，以O为圆心，AO为半径的⊙O与AB交于点F，与BC交于点E．连接AE，AE平分∠BAD．（1）求证：BC与⊙O相切于点E；（2）若AB＝10，BC＝16，求⊙O的半径；（3）若AD与⊙O的交点为△ABC的重心，则△ABE的面积△ABC的面积的值为．14、如图，已知直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，连接DC，过点D作DE⊥MN，垂足为E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若∠DCA＝22.5°，DE＝6，求AB的长度．15、如图，在△ABC中，AB=AC=10，∠B=30°，O是线段AB上的一个动点，以O为圆心，OB为半径作⊙O交BC于点D，过点D作直线AC的垂线，垂足为E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）设OB=x，求∠ODE的内部与△ABC重合部分的面积y的最大值．16、如图①，P是⊙O外一点，过点P做⊙O的两条切线，切点分别为A、B．若∠APB＝60°，则点P叫做⊙O的切角点．（1）如图②，⊙O的半径是1，点O到直线l的距离为2．若点P是⊙O的切角点，且点P 在直线l上，请用尺规作出点P；（保留作图痕迹，不写作法）（2）如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1＋3，⊙O是△ABC的内切圆．若点P是⊙O的切角点，且点P在△ABC的边上，求AP的长．17、如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP＝AC．（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）若OH⊥AC，OH＝1，求DH的长．18、如图，AB为⊙O的直径，AB＝4，C为⊙O上一点，且AC⌒＝BC⌒，P为BC⌒上的一动点，延长AP至Q，使得AP•AQ＝AB2，连接BQ．（1）求证：直线BQ是⊙O的切线；（2）若点P由点B运动到点C，则线段PQ扫过的面积是．（结果保留π）19、如图，点D为⊙O上一点，点C在直径AB的延长线上，且∠CAD＝∠BDC，过点A作⊙O的切线，交CD的延长线于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若CB＝3，CD＝9，求ED的长．20、如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若AC＝3，AE＝1，求DF的长．21、如图，AC是⊙O的直径，AB与⊙O相切于点A．四边形ABCD是平行四边形，BC交⊙O于点E．（1）证明直线CD与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为5cm，弦CE的长为8cm，求AB的长．22、如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，且交⊙O于点D，过点D作DE∥BC，交AB的延长线于点E，连接BD、CD．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB＝8，AC＝6，求BE的长．23、下面从认知、延伸、应用三个层面来研究一种几何模型.【认知】如图1，已知点E是线段BC上一点，若∠AED＝∠B＝∠C.求证△ABE∽△ECD.【延伸】如图2，已知点E、F是线段BC上两点，AE与DF交于点H，若∠AHD＝∠B＝∠C.求证△ABE∽△FCD.【应用】如图3，⊙O 是等边△ABC 的外接圆，点D 是BC ⌒上一点，连接BD 并延长交AC 的延长线于点E ；连接CD 并延长交AB 的延长线于点F . 猜想B F 、BC 、CE 三线段的关系，并说明理由.24、问题提出：若一个四边形的两组对边乘积之和等于它的两条对角线的乘积，则称这个四边形为巧妙四边形．初步思考（1）写出你所知道的四边形是巧妙四边形的两种图形的名称：，．（2）小敏对巧妙四边形进行了研究，发现圆的内接四边形一定是巧妙四边形．如图①，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形．求证：AB ·CD ＋BC ·AD ＝AC ·BD ．小敏在解答此题时，利用了“相似三角形”进行证明，她的方法如下：在BD 上取点M ，使∠MCB ＝∠DCA ．（请你在下面的空白处完成小敏的证明过程．）推广运用如图②，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AD＝3，AB＝6，CD＝2．求AC的已知，如图①，在矩形ABCD中，AD＝8，CD＝6，顶点A、D分别在射线OM、ON上滑动，且∠MON＝90°，过点C作CP⊥ON，垂足为P．（1）AC的长度为；1分（2）如图②，以AC为直径的⊙Q与OM相切，求OA的长；5分（3）点E是射线ON上一点（不与点D重合），连接AE、CE，且△AOE∽△EPC．求OA的长度为多少时，四边形ABCE的面积最大？最大值是多少？25、如图，在平面直角坐标系xoy中，⊙O的圆心O在坐标原点，半径OB在x轴正半轴上，点P是⊙O外一点，连接PO，与⊙O交于点A，PC、PD是⊙O的切线，切点分别为点C、点D，AO＝OB=2，∠POB＝120°，点M坐标为(1，－33）．(1)求证：OP⊥CD；(2) 连结OM，求∠AOM的大小；(3) 如果点E在x轴上，且△ABE与△AOM相似，求点E的坐标．26、【数学概念】若等边三角形的三个顶点D、E、F分别在△ABC的三条边上，我们称等边三角形DEF 是△ABC的内接正三角形．【概念辨析】（1）下列图中△DEF均为等边三角形，则满足△DEF是△ABC的内接正三角形的是．【操作验证】（2）如图①，在△ABC中，∠B＝60°，D为边AB上一定点（BC＞BD），DE＝DB，EM 平分∠DEC，交边AC于点M，△DME的外接圆与边BC的另一个交点为N．求证：△DMN是△ABC的内接正三角形．【知识应用】（3）如图②，在△ABC中，∠B＝60°，∠A＝45°，BC＝2，D是边AB上的动点，若边BC 上存在一点E，使得以DE为边的等边三角形DEF是△ABC的内接正三角形．设△DEF 的外接圆⊙O与边BC的另一个交点为K，则DK的最大值为，最小值为．27、下图是某同学对一道作业题的解题思路，课堂上师生据此展开了讨论．可以优化吗？（1）同学们发现不需要证“∠OAB＝90°”也能求解，简要说明理由；有什么收获？（2）面积法是图形问题中确定数量关系的有效方法，请利用面积法求解：如图1，⊙O与△ABC的边BA、B C边的延长线AE、CF相切，切点分别为D、E、F．设△ABC的面积为S，BC＝a，AC＝b，AB＝c，请用含S、a、b、c的式子表示⊙O的半径R，直接写出结果．还能怎么解？（3）几位同学提出了不同的思路：①甲说：S △AOC 和S △ABC 的面积之比既是OC CB ，又是AO AB ，从而OC CB ＝AOAB ； ②乙说：在AB 边上取点G ，使AG ＝AO ，连CG ，可知BG 的长即为所求； ③丙说：延长AC 交△AOB 的外接圆于N ，再利用一次函数或相似求出O C ．请你选择其中一种解法，利用图2和已有步骤．．．．完成解答．。

第24章圆人教版九年级数学上册压轴题专题练习(含答案)

人教版九年级数学上册第二十四章圆压轴题专题练习1．如图，在△ABC中，AB＝CB，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，且弧AD＝弧BD，直线l经过点C、D，连接AD，交BC于点E，若∠CAD＝∠CBA．（1）求证：直线l是⊙O的切线；（2）求的值．2．如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，∠CDA＝∠CBD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若∠CBD＝30°，BC＝3，求⊙O半径．3．如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD与BC，OC分别交于E、F．（1）求证：＝；（2）若CE＝1，EB＝3，求⊙O的半径．4．如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有一点F，使DF＝DA，AE∥BC交CF于E．（1）求证：EA是⊙O的切线；（2）判断BD与CF的数量关系？说明理由．5．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为H，P是CD延长线上一点，DE⊥AP，垂足为E，∠EAD＝∠HAD．（1）求证：AE为⊙O的切线；（2）已知P A＝2，PD＝1，求⊙O的半径和DE的长．6．如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE．（1）求证：DE与⊙A相切；（2）若∠ABC＝60°，AB＝4，求阴影部分的面积．7．如图，在Rt△ABC中，AC＜AB，∠BAC＝90°，以AB为直径作⊙O交BC于点D，E 是AC的中点，连接ED．点F在上，连接BF并延长交AC的延长线于点G．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连接AF，求的最大值．8．如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若OB＝BF，EF＝4，求阴影部分的面积．9．如图，正方形ABCD顶点B、C在⊙O上，边AD经过⊙O上一定点E，边AB，CD分别与⊙O相交于点G、F，且EF平分∠BFD．（1）求证：AD是⊙O的切线．（2）若DF＝，求DE的长．10．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AD⊥CD于点D，AC平分∠DAB．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）设AD交⊙O于E，＝，△ACD的面积为6，求BD的长．11．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE、OE．（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由．（2）若⊙O半径r＝3，DE＝4，求AD的长．12．如图，⊙O与Rt△ABF的边BF，AF分别交于点C，D，连接AC，CD，∠BAF＝90°，点E在CF上，且∠DEC＝∠BAC．（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若AB＝AC，CE＝4，EF＝6，求⊙O的直径．13．以等边△ABC的一边AB为直径作半圆，设圆心为点O，半圆O与边AC交于点D，与边BC交于点E，取线段CD的中点F，连结EF、OE．（1）求证：EF是⊙的切线；（2）若⊙O的半径是2，求图中阴影部分的面积．14．如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心I，且点E在半圆弧上．（1）若设△ABC的三边为a，b，c（其中∠A对边为a，∠B对边为b，∠C对边为c），试用含a，b，c的代数式表示AD，BD的长（2）证明：正方形DEFG的面积和△ABC的面积相等．15．如图，已知点D是△ABC外接圆⊙O上的一点，AC⊥BD于G，连接AD，过点B作直线BF∥AD交AC于E，交⊙O于F，若点F是弧CD的中点，连接OG，OD，CD （1）求证：∠DBF＝∠ACB；（2）若AG＝GE，试探究∠GOD与∠ADC之间的数量关系，并证明．16．矩形ABCD的一边长AB＝4，且BC＞AB，以边AB为直径的圆O交对角线AC于H，AH＝2．如图，点K为优弧AKB上一点．（Ⅰ）求∠HKA的度数；（Ⅱ）求CH的长；（Ⅲ）求图中阴影部分的面积；（Ⅳ）设AK＝m，若圆O的圆周上到直线AK的距离为1的点有且仅有三个，求实数m 的值．17．如图所示，在△ABC中，CD为∠ACB的平分线，以CD为弦作一与AB相切的圆，分别交CA，CB于点M，N．（1）求证：MN∥AB；（2）若AC＝12，AB＝10，BC＝8，求MN的长度．参考答案1．如图，在△ABC中，AB＝CB，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，且弧AD＝弧BD，直线l经过点C、D，连接AD，交BC于点E，若∠CAD＝∠CBA．（1）求证：直线l是⊙O的切线；（2）求的值．【解答】解：（1）如图1，连接BD，连接OD，过点C作CF⊥AB于点F，∵，∴∠DAB＝∠ABD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB＝∠DBA＝45°，设∠ABC＝α，∵BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝，∵∠CAD＝∠CBA＝α，∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝45°+α，∴，∴α＝30°，∴CF＝，∵，∴OD＝CF，∵，∴AD＝BD，∵OA＝OB，∴OD⊥AB，∵DP⊥AB，∴CF∥OD∴四边形ODCF是矩形，∴∠ODC＝90°，∴直线l是⊙O的切线；（2）如图2，过点E作EG⊥AB于点G，由（1）知，∠CAD＝∠ABE＝30°，CD∥AB，∴∠ADC＝∠EAB＝45°，则△ACD∽△BEA，∴，∴AE＝CD，∵∠DAB＝45°、∠ABC＝30°，∴BE＝2EG＝2×AE＝AE＝CD＝2CD，∴．2．如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，∠CDA＝∠CBD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若∠CBD＝30°，BC＝3，求⊙O半径．【解答】解：（1）证明：如图，连接OD，∵OD＝OB＝OA，∴∠OBD＝∠ODB，∠ODA＝∠OAD，∵∠CDA＝∠CBD，∴∠CDA＝∠ODB．∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ODB+∠ODA＝90°，∴∠CDA+∠ODA＝∠ODC＝90°．∴OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）∵∠CBD＝30°，∠OBD＝∠ODB，∴∠AOD＝∠OBD+∠ODB＝60°，∴∠C＝30°．∵∠ODC＝90°．∴OD＝OB＝OC，∴OB＝BC，∵BC＝3，∴OB＝1，∴⊙O半径为1．3．如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD与BC，OC分别交于E、F．（1）求证：＝；（2）若CE＝1，EB＝3，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：∵AB是圆的直径，∴∠ADB＝90°，∵OC∥BD，∴∠AFO＝∠ADB＝90°，∴OC⊥AD∴＝．（2）解：连接AC，如图，∵＝，∴∠CAD＝∠ABC，∵∠ECA＝∠ACB，∴△ACE∽△BCA，∴，∴AC2＝CE•CB，即AC2＝1×（1+3），∴AC＝2，∵AB是圆的直径，∴∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝2，∴⊙O的半径为．4．如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有一点F，使DF＝DA，AE∥BC交CF于E．（1）求证：EA是⊙O的切线；（2）判断BD与CF的数量关系？说明理由．【解答】解：（1）证明：如图，连接AO，∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，∴AO平分∠BAC，∴，∵AE∥BC，∴∠CAE＝∠BCA＝60°，∴∠OAE＝∠OAC+∠CAE＝90°，∴OA⊥AE，∴EA为⊙O的切线；（2）BD＝CF，理由如下：∵△ABC为正三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠ABC＝60°；∵A、B、C、D四边共圆，∴∠ADF＝∠ABC＝60°，∵DF＝DA，∴△ADF为正三角形，∴∠DAF＝60°＝∠BAC，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAF+∠CAD，即∠BAD＝∠CAF，在△BAD与△CAF中，，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴BD＝CF．所以BD与CF的数量关系为相等．5．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为H，P是CD延长线上一点，DE⊥AP，垂足为E，∠EAD＝∠HAD．（1）求证：AE为⊙O的切线；（2）已知P A＝2，PD＝1，求⊙O的半径和DE的长．【解答】解：（1）证明：连接AO并延长交⊙O于点M，连接MD，如图，∵AB⊥CD，∴＝，∴∠M＝∠BAD，∵∠EAD＝∠HAD．∴∠M＝∠EAD，∵AM为直径，∴∠ADM＝90°，∴∠M+∠MAD＝90°，∴∠EAD+∠MAD＝90°，即∠MAE＝90°，∴AM⊥AE，∴AE为⊙O的切线；（2）∵∠EAD＝∠HAD，DH⊥AH，DE⊥AE，AD＝AD，∴△AHD≌△AED（AAS）∴DE＝DH，AH＝AE，设DE＝x，AH＝y，则DH＝x，AE＝y，∵∠EPD＝∠HP A，∠PED＝∠PHA＝90°，∴Rt△PED∽Rt△PHA，∴＝＝，即＝＝，∴解得x＝，y＝，即DE的长为，AH＝，设圆的半径为r，则OH＝r﹣，在Rt△OAH中，（r﹣）2+（）2＝r2，解得r＝，即⊙O的半径为．答：⊙O的半轻和DE的长分别为：，．6．如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE．（1）求证：DE与⊙A相切；（2）若∠ABC＝60°，AB＝4，求阴影部分的面积．【解答】（1）证明：连接AE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE＝AB，∴∠AEB＝∠ABC，∴∠DAE＝∠ABC，∴△AED≌△BAC（SAS），∴∠DEA＝∠CAB，∵∠CAB＝90°，∴∠DEA＝90°，∴DE⊥AE，∵AE是⊙A的半径，∴DE与⊙A相切；（2）解：∵∠ABC＝60°，AB＝AE＝4，∴△ABE是等边三角形，∴AE＝BE，∠EAB＝60°，∵∠CAB＝90°，∴∠CAE＝90°﹣∠EAB＝90°﹣60°＝30°，∠ACB＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，∴∠CAE＝∠ACB，∴AE＝CE，∴CE＝BE，∴S△ABC＝AB•AC＝＝8，∴S△ACE＝S△ABC＝＝4，∵∠CAE＝30°，AE＝4，∴S扇形AEF＝＝＝，∴S阴影＝S△ACE﹣S扇形AEF＝4﹣．7．如图，在Rt△ABC中，AC＜AB，∠BAC＝90°，以AB为直径作⊙O交BC于点D，E 是AC的中点，连接ED．点F在上，连接BF并延长交AC的延长线于点G．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连接AF，求的最大值．【解答】（1）证明：连接OD，AD．∵AB为⊙O直径，点D在⊙O上，∴∠ADB＝90°，∴∠ADC＝90°，∵E是AC的中点，∴DE＝AE，∴∠EAD＝∠EDA，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠OAD+∠EAD＝∠BAC＝90°，∴∠ODA+∠EDA＝90°，即∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∵D是半径OD的外端点，∴DE是⊙O的切线；（2）解：过点F作FH⊥AB于点H，连接OF，∴∠AHF＝90°．∵AB为⊙O直径，点F在⊙O上，∴∠AFB＝90°，∴∠BAF+∠ABF＝90°．∵∠BAC＝90°，∴∠G+∠ABF＝90°，∴∠G＝∠BAF，又∠AHF＝∠GAB＝90°，∴△AFH∽△GBA，∴，由垂线段最短可得FH≤OF，当且仅当点H，O重合时等号成立．∵AC＜AB，∴上存在点F使得FO⊥AB，此时点H，O重合，∴≤，即的最大值为．8．如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若OB＝BF，EF＝4，求阴影部分的面积．【解答】解：（1）如图，连接OD，BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，在Rt△BDC中，∵BE＝EC，∴DE＝EC＝BE，∴∠1＝∠3，∵BC是⊙O的切线，∴∠3+∠4＝90°，∴∠1+∠4＝90°，又∵∠2＝∠4，∴∠1+∠2＝90°，∴DF为⊙O的切线；（2）∵OB＝BF，∴OF＝2OD，∴∠F＝30°，∵∠FBE＝90°，∴BE＝EF＝2，∴DE＝BE＝2，∴DF＝6，∵∠F＝30°，∠ODF＝90°，∴∠FOD＝60°，∵OD＝OA，∴∠A＝∠ADO＝∠BOD＝30°，∴∠A＝∠F，∴AD＝DF＝6，OD＝BD＝DF＝2，∴阴影部分的面积＝AD•BD+＝+2π＝3+2π．9．如图，正方形ABCD顶点B、C在⊙O上，边AD经过⊙O上一定点E，边AB，CD分别与⊙O相交于点G、F，且EF平分∠BFD．（1）求证：AD是⊙O的切线．（2）若DF＝，求DE的长．【解答】（1）证明：连接OE，∵OE＝OF，∴∠OEF＝∠OFE，∵FE平分∠BFD，∴∠DFE＝∠OFE，∴∠DFE＝∠OEF，∴OE∥CD，∴∠OED+∠D＝180°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝90°，∴∠OED＝90°，即OE⊥AD，∵OE过O，∴AD是⊙O的切线；（2）解：连接BE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠A＝90°，AB∥CD，AD＝AB，∵OE⊥AD，∴AB∥CD∥OE，∵O B＝OF，∴AE＝DE，设DE＝AE＝x，则AD＝AB＝2x，∵BF为⊙O直径，∴∠BEF＝90°，∴∠ABE+∠AEB＝180°﹣90°＝90°，∠DEF+∠AEB＝180°﹣∠BEF＝90°，∴∠DEF＝∠ABE，∴△ABE∽△DEF，∴＝，∴＝，即得：x＝2，即DE＝2．10．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AD⊥CD于点D，AC平分∠DAB．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）设AD交⊙O于E，＝，△ACD的面积为6，求BD的长．【解答】（1）证明：连接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠OAC＝∠DAC，∴OC∥AD，∴∠OCE＝∠ADC＝90°，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵＝，∴设AC＝5x，CD＝3x，∴AD＝4x，∵△ACD的面积为6，∴AD•CD＝＝6，∴x＝1（负值舍去），∴AD＝4，CD＝3，AC＝5，连接BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠ADC，∵∠DAC＝∠CAB，∴△ADC∽△ACB，∴＝，∴＝，∴AB＝，∴＝，连接BE交OC于F，∴OC⊥BE，BF＝EF，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝∠DEB＝90°，∴四边形CDEF是矩形，∴EF＝CD＝3，∴BE＝6，∴AE＝＝，∴DE＝4﹣＝，∴BD＝＝．11．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE、OE．（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由．（2）若⊙O半径r＝3，DE＝4，求AD的长．【解答】解：（1）连接OD、BD，如图所示．∵点O为AB的中点，点E为BC的中点，∴OE∥AC，且AC＝2OE，∴∠A＝∠BOE．又∵∠BOD＝2∠A，∴∠DOE＝∠A＝∠BOE．在△BOE和△DOE中，，∴△BOE≌△DOE（SAS），∴∠ODE＝∠OBE＝90°，∴DE与⊙O相切；（2）∵AB为⊙O的直径，∴BD⊥AC，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，∴∠ADB＝∠ABC，∴∠A+∠ABD＝∠A+∠C＝90°，∴∠ABD＝∠C，∴△ABD∽△ACB，∴＝，∵AB＝6，BC＝2DE＝8，∴AC＝10，∴AB2＝AD•AC，∴62＝AD×10，∴AD＝．12．如图，⊙O与Rt△ABF的边BF，AF分别交于点C，D，连接AC，CD，∠BAF＝90°，点E在CF上，且∠DEC＝∠BAC．（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若AB＝AC，CE＝4，EF＝6，求⊙O的直径．【解答】解：（1）如图，连接BD，∵∠BAD＝90°，∴点O必在BD上，即：BD是直径，∴∠BCD＝90°，∴∠DEC+∠CDE＝90°，∵∠DEC＝∠BAC，∴∠BAC+∠CDE＝90°，∵∠BAC＝∠BDC，∴∠BDC+∠CDE＝90°，∴∠BDE＝90°，即：BD⊥DE，∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）∵∠BAF＝∠BDE＝90°，∴∠F+∠ABC＝∠FDE+∠ADB＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ADB＝∠ACB，∴∠F＝∠EDF，∴DE＝EF＝6，∵CE＝4，∠BCD＝90°，∴∠DCE＝90°，∴CD＝＝2，∵∠BDE＝90°，CD⊥BE，∴△CDE∽△CBD，∴＝，∴BD＝＝3，∴⊙O的直径＝3．13．以等边△ABC的一边AB为直径作半圆，设圆心为点O，半圆O与边AC交于点D，与边BC交于点E，取线段CD的中点F，连结EF、OE．（1）求证：EF是⊙的切线；（2）若⊙O的半径是2，求图中阴影部分的面积．【解答】（1）证明：连接BD，OE，AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠BDF＝∠AEB＝90°，∴BD⊥CD，AE⊥BC，∵点D，A，B，E在⊙O上，∴∠ADE+∠ABE＝180°，∵∠ADE+∠CDE＝180°，∴∠ABE＝∠CDE，∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABE＝∠CDE，∴DE＝CE，∵点F是CD中点，∴EF⊥CD，∵BD⊥CD，∴EF∥BD，∵AB＝AC，AE⊥BC，∴CE＝BE，∵AO＝BO，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AC，∴四边形FDGE是矩形，∴OE⊥EF，又OE是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：由（1）知∠OEF＝90°，BD∥EF，∴∠OGE＝90°，即OE⊥BD，∴DE＝BE，＝，∴弓形BE的面积＝弓形DE的面积，∴阴影部分面积＝S△DEF，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠BOE＝60°，∴∠CAE＝30°，∵DE＝OA＝2，∴DF＝DE＝1，EF＝，∴图中阴影部分的面积＝＝．14．如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心I，且点E在半圆弧上．（1）若设△ABC的三边为a，b，c（其中∠A对边为a，∠B对边为b，∠C对边为c），试用含a，b，c的代数式表示AD，BD的长（2）证明：正方形DEFG的面积和△ABC的面积相等．【解答】解：（1）如图，设圆I与AC切于点M，与BC切于点N，由切线长定理可知：AD＝AM，CM＝CN，BN＝BD，∴AD+AM＝AB+BC+CA﹣CM﹣CN﹣BN﹣BD＝a+b+c﹣2a＝b+c﹣a，∴AD＝，∴BD＝．（2）连接AE、BE．∵AB是直径，∴∠AEB＝∠ACB＝90°，∴c2＝a2+b2，∴四边形DEFG是正方形，∴ED⊥AB，由射影定理可知：DE2＝AD•BD＝×＝ab．∴正方形DEFG的面积和△ABC的面积相等．15．如图，已知点D是△ABC外接圆⊙O上的一点，AC⊥BD于G，连接AD，过点B作直线BF∥AD交AC于E，交⊙O于F，若点F是弧CD的中点，连接OG，OD，CD （1）求证：∠DBF＝∠ACB；（2）若AG＝GE，试探究∠GOD与∠ADC之间的数量关系，并证明．【解答】（1）证明：∵BF∥AD，∴∠ADB＝∠DBF，∵∠ADB＝∠ACB，∴∠DBF＝∠ACB；（2）∠GOD与∠ADC之间的数量关系为：2∠GOD+∠ADC＝240°．理由如下：作OM⊥DC于点M，连接OC．∵AD∥BF，∴AB＝DF，∵F为CD中点，∴CF＝DF＝AB，∴∠ACB＝∠CBF＝∠DBF，∵AC⊥BD于G，∴∠BGC＝∠AGD＝90°，∴∠DBF+∠CBF+∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CBF＝∠DBF＝30°，∠DBC＝60°，∴∠ADB＝∠ACB＝30°，∠DOC＝2∠DBC＝120°，∵OD＝OC，∴∠ODM＝30°，设GE＝x，则AG＝x，∴DG＝x，BG＝√x，GC＝3x，DC＝x，DM＝x，OD＝x，∴DG＝OD，∴2∠GOD+∠ODG＝180°，∵∠ADB+∠ODC＝60°，∴2∠GOD+∠ODG+∠ADB+∠ODC＝240°，即2∠GOD+∠ADC＝240°．16．矩形ABCD的一边长AB＝4，且BC＞AB，以边AB为直径的圆O交对角线AC于H，AH＝2．如图，点K为优弧AKB上一点．（Ⅰ）求∠HKA的度数；（Ⅱ）求CH的长；（Ⅲ）求图中阴影部分的面积；（Ⅳ）设AK＝m，若圆O的圆周上到直线AK的距离为1的点有且仅有三个，求实数m 的值．【解答】解：（Ⅰ）连接BH，∵AB为⊙O的直径，∴∠AHB＝90°，∵AB＝4，AH＝2，∴sin∠ABH＝＝＝，∴∠ABH＝30°，∴∠HKA＝∠ABH＝30°；（Ⅱ）∵∠AHB＝90°，∠ABH＝30°，∴∠BAH＝60°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴AC＝2AB＝8，∴CH＝AC﹣AH＝6；（Ⅲ）连接OH，则△AOH是等边三角形，∴AO＝AH＝2，∠AOH＝60°，过H作HE⊥AO于E，则HE＝，∵AC＝8，CD＝AB＝4，∴AD＝4，∴图中阴影部分的面积＝×44﹣（﹣×2×）＝9﹣π；（Ⅳ）过O作平行于AK的直线交⊙O于MN，过O作OP⊥AK于Q交⊙O于P，∵⊙O的半径＝2，则PQ＝OQ＝1，∵OA＝2，∴AQ＝，∴AK＝2AQ＝2，∴m＝2．17．如图所示，在△ABC中，CD为∠ACB的平分线，以CD为弦作一与AB相切的圆，分别交CA，CB于点M，N．（1）求证：MN∥AB；（2）若AC＝12，AB＝10，BC＝8，求MN的长度．【解答】（1）证明：连接DN，∵AB是⊙O的切线，∴∠BCD＝∠BDN，∵CD为∠ACB的平分线，∴∠ACD＝∠BCD，∵∠ACD＝∠MND，∴∠MND＝∠BDN，∴MN∥AB；（2）解：∵MN∥AB，∴△CMN∽△CAB，∴，∵CD为∠ACB的平分线，∴＝，∴＝，∴AD＝6，∵AD2＝AC•AM，∴62＝12AM，∴AM＝3，∴CM＝9，∴＝，∴MN＝．。

九年级数学上册第二十四章圆练习 (新版)新人教版

第二十四章圆24．1 圆的有关性质24．1.1 圆01 基础题知识点1 圆的有关概念圆上各点到定点(圆心)的距离都等于定长(半径)；到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．如图，在圆O 中，弦有AC ，AB ，半径有OA ，OB ，OC ，直径是AB ，ABC ︵，CAB ︵是优弧，劣弧有AC ︵，BC ︵，半圆是AB ︵，OA ＝OB ＝OC ．1．下列条件中，能确定一个圆的是(C )A ．以点O 为圆心B ．以2 cm 长为半径C ．以点O 为圆心，以5 cm 长为半径D ．经过点A2．下列命题中正确的有(B )①弦是连接圆上任意两点的线段；②半径是弦；③直径是圆中最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．如图所示，在⊙O 中，弦有AC ，AB ，直径是AB ，优弧有ABC ︵，CAB ︵，劣弧有AC ︵，BC ︵.第3题图第4题图4．如图，在⊙O 中，点B 在⊙O 上，四边形AOCB 是矩形，对角线AC 的长为5，则⊙O 的半径长为5．知识点2 圆中的半径相等5．如图，AB 是⊙O 的直径，∠C＝20°，则∠BOC 的度数是(A )A ．40°B ．30°C ．20°D ．10°第5题图第6题图6．如图，已知AB ，CD 是⊙O 的两条直径，∠A BC ＝30°，那么∠BAD 等于(D )A ．45°B ．60°C ．90°D ．30°7．如图，在△ABC 中，BD ，CE 是两条高，点O 为BC 的中点，连接OD ，OE ，求证：B ，C ，D ，E 四个点在以点O 为圆心的同一个圆上．证明：∵BD，CE 是两条高， ∴∠BDC ＝∠BEC ＝90°.∵△BEC 为直角三角形，点O 为BC 的中点， ∴OE ＝OB ＝OC ＝12BC.同理：OD ＝OB ＝OC ＝12BC.∴OB ＝OC ＝OD ＝OE.∴B，C ，D ，E 在以O 为圆心的同一个圆上．8．如图，AB ，AC 为⊙O 的弦，连接CO ，BO 并延长，分别交弦AB ，AC 于点E ，F ，∠B＝∠C.求证：CE ＝BF.证明：∵OB，OC 是⊙O 的半径， ∴OB ＝OC.又∵∠B ＝∠C，∠BOE ＝∠COF， ∴△EOB≌△FOC (ASA )． ∴OE ＝OF.∵CE ＝CO ＋OE ，BF ＝BO ＋OF ， ∴CE ＝BF.02中档题9．如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B＝60°，∠BOD＝100°，则∠C的度数为(C)A．50°B．60°C．70°D．80°10．下列四边形：①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形．其中四个顶点在同一个圆上的有(B) A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，A，B是⊙O上两点，若四边形ACBO是菱形，⊙O的半径为r，则点A与点B之间的距离为(B)A.2rB.3rC．rD．2r12．已知A，B是半径为6 cm的圆上的两个不同的点，则弦长AB的取值范围是0<AB≤12cm.13．如图，CE是⊙O的直径，AD的延长线与CE的延长线交于点B，若BD＝OD，∠AOC＝114°，求∠AOD的度数．解：设∠B＝x.∵BD＝OD，∴∠DOB＝∠B＝x.∴∠ADO＝∠DOB＋∠B＝2x.∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO＝2x.∵∠AOC＝∠A＋∠B，∴2x＋x＝114°.解得x＝38°.∴∠AOD＝180°－∠A－∠ADO＝180°－4x＝180°－4×38°＝28°.14．如图所示，AB是⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F，且AE＝BF，请你找出线段OE与OF的数量关系，并给予证明．解：OE＝OF.证明：∵OA，OB是⊙O的半径，∴OA＝OB.∴∠OBA＝∠OAB.又∵AE＝BF，∴△OAE≌△OBF(SAS)．∴OE＝OF.15．如图所示，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E点，已知AB＝2DE，∠E＝18°，求∠AOC的度数．解：连接OD.∵AB为⊙O的直径，OC，OD为半径，AB＝2DE，∴OC＝OD＝DE.∴∠DOE＝∠E，∠OCE＝∠ODC.又∵∠ODC＝∠DOE＋∠E，∴∠OCE＝∠ODC＝2∠E.∵∠E＝18°，∴∠OCE＝36°.∴∠AOC＝∠OCE＋∠E＝36°＋18°＝54°.03综合题16．如图，AB，CD是⊙O的直径，且AB⊥CD，点P，Q为弧CB上的任意两点，作PE⊥CD，PF⊥AB，QM⊥CD，QN⊥AB，则线段EF，MN的大小关系为EF＝MN.(填“＜”“＞”或“＝”)24．1.2 垂直于弦的直径01 基础题知识点1 认识垂径定理(1)圆是轴对称图形，它的对称轴有无数条；(2)垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．图1如图1，在⊙O 中，点A 是圆上一点，OA⊥弦CD 于点B ，则BC ＝BD ，AC ︵＝AD ︵.1．(黔西南中考)如图，在⊙O 中，半径OC 与弦AB 垂直于点D ，且AB ＝8，OC ＝5，则CD 的长是(C )A ．3B ．2.5C ．2D ．1第1题图第2题图2．(遵义仁怀市期末)如图，⊙O 的直径CD 垂直于弦AB 于点E ，且CE ＝2，OB ＝4，则AB 的长为(D )A ．2 3B ．4C ．6D ．433．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB，垂足为M ，下列结论不一定成立的是(D )A ．CM ＝DM B.CB ︵＝DB ︵C ．∠ACD ＝∠ADC D ．OM ＝MB第3题图第4题图4．(黔西南中考)如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为⊙O 的一条弦，CD⊥AB 于点E ，已知CD ＝4，AE ＝1，则⊙O 的半径为52．知识点2 垂径定理的推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．如图1，在⊙O 中，点A 是圆上一点，OA 与弦CD 交于点B ，且BC ＝BD ，则∠OBD＝90°，AC ︵＝AD ︵. 5．如图，⊙O 的弦AB ＝8，M 是AB 的中点，且OM ＝3，则⊙O 的半径等于(D )A．8 B．2 C．10 D．5第5题图第6题图6．如图，⊙O的弦AB＝8，P是劣弧AB的中点，连接OP交AB于C，且PC＝2，则⊙O的半径为5.知识点3垂径定理的应用7．(南宁中考)在直径为200 cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB＝160 cm，则油的最大深度为(A)A．40 cmB．60 cmC．80 cmD．100 cm8．(茂名中考)如图，小丽荡秋千，秋千链子的长OA为2.5米，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离AB 为3米，则秋千摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(即CD)为0.5米．易错点忽略垂径定理的推论中的条件“不是直径”9．下列说法正确的是(D)A．过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧B．弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心C．过弦的中点的直径垂直于弦D．平分弦所对的两条弧的直径平分弦02 中档题10．(黔东南中考)如图，已知⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为点E，∠ACD＝22.5°，若CD＝6 cm，则AB的长为(B)A．4 cm B．3 2 cmC．2 3 cm D．2 6 cm第10题图第11题图11．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝16 cm，则球的半径为(B)A ．10 3 cmB ．10 cmC ．10 2 cmD ．8 3 cm12．如图，在⊙O 中，AB ，AC 是互相垂直的两条弦，OD⊥AB 于点D ，OE⊥AC 于点E ，且AB ＝8 cm ，AC ＝6 cm ，那么⊙O 的半径OA 长为5__cm .第12题图第13题图13．如图，AB 是⊙O 的弦，AB 长为8，P 是⊙O 上一个动点(不与A ，B 重合)，过点O 作OC⊥AP 于点C ，OD⊥PB 于点D ，则CD 的长为4．14．(遵义中考)如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝4，点M 是OA 的中点，过点M 的直线与⊙O 交于C ，D 两点．若∠CMA＝45°，则弦CD 的长为14.15．(佛山中考)如图，⊙O 的直径为10 cm ，弦AB ＝8 cm ，P 是弦AB 上的一个动点，求OP 的长度范围．解：作直径MN⊥弦AB ，交AB 于点D ，由垂径定理，得AD ＝DB ＝12AB ＝4 cm.又∵⊙O 的直径为10 cm ，连接OA ，则OA ＝5 cm. 由勾股定理，得OD ＝OA 2－AD 2＝3 cm. ∴OP 的长度范围是3 cm≤OP≤5 cm.03 综合题16．(湖州中考)已知在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C ，D(如图所示)．(1)求证：AC ＝BD ；(2)若大圆的半径R ＝10，小圆的半径r ＝8，且圆心O 到直线AB 的距离为6，求AC 的长．解：(1)证明：过点O 作OE⊥AB 于点E. 则CE ＝DE ，AE ＝BE. ∴AE －CE ＝BE －DE ，即AC＝BD.(2)连接OA，OC.由(1)可知，OE⊥AB且O E⊥CD，∴CE＝OC2－OE2＝82－62＝27. AE＝OA2－OE2＝102－62＝8.∴AC＝AE－CE＝8－27.24．1.3 弧、弦、圆心角01 基础题知识点1 认识圆心角圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心．顶点在圆心的角叫做圆心角．如图，在⊙O 中，∠AOC 与∠ABC 中，是圆心角的是∠AOC ．1．如图所示，图中的圆心角(小于平角的)有(B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．已知圆O 的半径为5 cm ，弦AB 的长为5 cm ，则弦AB 所对的圆心角∠AOB＝60°.知识点2 弧、弦、圆心角之间的关系在同圆或等圆中，相等的圆心角⇔所对的弧相等⇔所对的弦也相等．如图，∠AOB＝∠COD ⇔AB ︵＝CD ︵⇔AB ＝CD.3．如图，已知AB 为⊙O 的直径，点D 为半圆周上的一点，且AD ︵所对圆心角的度数是BD ︵所对圆心角度数的两倍，则圆心角∠BOD 的度数为60°.第3题图第4题图4．(兰州中考)如图，在⊙O 中，点C 是AB ︵的中点，∠A＝50°，则∠BOC＝(A )A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°5．(贵港中考)如图，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠COD＝34°，则∠AEO 的度数是(A )A ．51°B ．56°C ．68°D ．78°第5题图第6题图6．如图所示，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠A＝30°，则∠B＝(B )A ．150°B ．75°C ．60°D ．15°7．如图，AB ，DE 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上的一点，且AD ︵＝CE ︵，求证：BE ＝CE.证明：∵∠BOE ＝∠AOD， ∴BE ︵＝AD ︵. 又∵AD ︵＝CE ︵， ∴BE ︵＝CE ︵. ∴BE ＝CE.易错点对圆中的有关线段的关系运用不当而致错8．如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四点，且AD ＝BC ，则AB 与CD 的大小关系为(B )A ．AB >CD B ．AB ＝CDC ．AB <CD D ．不能确定02 中档题9．如图，在⊙O 中，已知弦AB ＝DE ，OC⊥AB，OF⊥DE，垂足分别为C ，F ，则下列说法中正确的个数为(D )①∠DOE ＝∠AOB ；②AB ︵＝DE ︵；③OF ＝OC ；④AC ＝EF .A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．已知⊙O 中，M 为AB ︵的中点，则下列结论正确的是(C )A ．AB ＞2AM B ．AB ＝2AMC ．AB ＜2AMD ．AB 与2AM 的大小不能确定11．如图，AB 是半圆O 的直径，E 是OA 的中点，F 是OB 的中点，ME⊥AB 于点E ，NF⊥AB 于点F.下列结论：①AM ︵＝MN ︵＝BN ︵；②ME＝NF ；③AE＝BF ；④ME＝2AE.其中正确结论的序号是①②③．12．如图所示，以▱ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作圆，交AD ，BC 于E ，F ，延长BA 交⊙A 于G ，求证：GE ︵＝EF ︵.证明：连接AF.∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD∥BC.∴∠GAE ＝∠B， ∠EAF ＝∠AFB.又∵AB，AF 为⊙A 的半径，AB ＝AF ， ∴∠B ＝∠AFB. ∴∠GAE ＝∠EAF. ∴GE ︵＝EF ︵.13．(教材9上P84例3变式)如图，AB 是⊙O 的直径，AC ︵＝CD ︵，∠COD ＝60°.(1)△AOC 是等边三角形吗？请说明理由； (2)求证：OC ∥BD .解：(1)△AOC 是等边三角形． ∵AC ︵＝CD ︵，∴∠AOC ＝∠COD ＝60°. 又∵OA ＝OC ，∴△AOC 是等边三角形． (2)证明：∵AC ︵＝CD ︵，∴OC⊥AD.∵∠AOC ＝∠COD ＝60°，∴∠BOD ＝180°－(∠AOC ＋∠COD )＝60°. ∵OD ＝OB ，∴△ODB 为等边三角形． ∴∠ODB ＝60°.∴∠ODB ＝∠COD ＝60°. ∴OC∥BD.03 综合题14．如图，∠AOB＝90°，C ，D 是AB ︵的三等分点，连接AB 分别交OC ，OD 于点E ，F ，求证：AE ＝BF ＝CD.证明：连接AC ，BD.∵AC ︵＝CD ︵＝DB ︵，∠AOB ＝90°，∴∠AOC ＝∠COD ＝∠DOB ＝13∠AOB ＝13×90°＝30°，AC ＝CD ＝BD.∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠ABO ＝45°.∴∠AEC ＝∠AOC ＋∠OAB ＝75°. ∵在△AOC 中，OA ＝OC ，∴∠ACO ＝180°－∠AOC 2＝180°－30°2＝75°.∴∠AEC ＝∠ACO.∴AE ＝AC. 同理BF ＝BD. ∴AE ＝BF ＝CD.24.1.4 圆周角第1课时圆周角定理及其推论01 基础题知识点1 圆周角定理(1)顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角，图中是圆周角的是∠ABC ；(2)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．如图，在⊙O 中，∠ABC＝12∠AOC.1．(遵义桐梓县期末)如图，已知点A ，B ，C 在⊙O 上，∠ACB＝50°，则∠AOB 的度数为(B )A ．50°B ．100°C ．25°D ．70°第1题图第2题图2．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，连接OA ，OB ，∠OBA＝50°，则∠C 的度数为(B )A ．30°B ．40°C ．50°D ．80°3．(柳州中考)如图，在⊙O 中与∠1一定相等的角是(A )A ．∠2B ．∠3C ．∠4D ．∠5第3题图第4题图4．(娄底中考)如图，将直角三角板60°角的顶点放在圆心O 上，斜边和一直角边分别与⊙O 相交于A 、B 两点，P 是优弧AB 上任意一点(与A ，B 不重合)，则∠APB＝30°．知识点2 圆周角定理的推论同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．如图，在⊙O 中，若AB ＝CD ，则∠ACB＝∠DAC ；若AD 是直径，则∠ACD＝90°；若∠ACD＝90°，则AD 是直径．5．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠A＝35°，则∠B 的度数是(C )A ．35°B ．45°C ．55°D ．65°第5题图第6题图6．(绍兴中考)如图，BD 是⊙O 的直径，点A ，C 在⊙O 上，AB ︵＝BC ︵，∠AOB＝60°，则∠BD C 的度数是(D )A ．60°B ．45°C ．35°D ．30°7．(黔西南中考)如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠BAC＝50°，则∠AEC 的度数为(A )A ．65°B ．75°C ．50°D ．55°第7题图第8题图8．如图，已知AB 是⊙O 的直径，∠D＝40°，则∠CAB 的度数为50°.易错点忽略弦所对的圆周角不唯一而致错9．已知⊙O 的弦AB 的长等于⊙O 的半径，则此弦AB 所对的圆周角的度数为30°或150°．02 中档题10．(广州中考)如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB⊥CD，垂足为E ，连接CO ，AD ，∠BAD＝20°，则下列说法中正确的是(D )A ．AD ＝2OB B ．CE ＝EOC ．∠OCE ＝40°D ．∠BOC ＝2∠BAD第10题图第11题图11．(遵义仁怀市期末)如图，AB ︵是半圆，连接AB ，点O 为AB 的中点，点C ，D 在AB ︵上，连接AD ，CO ，BC ，BD ，OD.若∠COD＝62°，且AD∥OC，则∠ABD 的大小是(B )A ．26°B ．28°C ．30°D ．32°12．(南昌中考)如图，A ，B ，C ，D 四个点均在⊙O 上，∠AOD＝70°，AO∥DC，则∠B 的度数为(D )A ．40°B ．45°C ．50°D ．55°第12题图第13题图13．(贵阳中考)如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在⊙O 上，∠BOD＝130°，AC∥OD 交⊙O 于点C ，连接BC ，则∠B＝40度．14．如图，⊙C 经过原点，并与两坐标轴分别交于A ，D 两点，已知∠OBA＝30°，点A 的坐标为(2，0)，则点D 的坐标为(0，23)．第14题图第15题图15．(遵义道真县月考改编)如图，△ABC 的三个顶点都在⊙O 上，AP⊥BC 于点P ，AM 为⊙O 的直径．若∠BAM＝15°，则∠CAP＝15°.16．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，以AB 为直径的⊙O 分别交BC ，AC 于点D ，E ，且点D 为边BC 的中点．(1)求证：△ABC 为等边三角形； (2)求DE 的长．解：(1)证明：连接AD. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°.∵点D 是BC 的中点，∴AD 是BC 的垂直平分线．∴AB ＝AC. 又∵AB ＝BC ，∴AB ＝AC ＝BC. ∴△ABC 为等边三角形． (2)连接BE.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°.∴BE⊥AC. ∵△ABC 是等边三角形，∴AE ＝EC ，即E 为AC 的中点．又∵D 是BC 的中点， ∴DE 是△ABC 的中位线．∴DE ＝12AB ＝12×2＝1.03 综合题17．(东营中考)如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，AB ＝8 cm ，AC ︵＝CD ︵＝BD ︵，M 是AB 上一动点，CM ＋DM 的最小值为8__cm.第2课时圆内接四边形01 基础题知识点圆内接四边形的性质如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆，圆内接四边形的对角互补．如图，四边形ABCD内接于⊙O，则∠A＋∠BCD＝180°.1．如图所示，图中∠A＋∠C＝(B)A．90° B．180°C．270° D．360°第1题图第2题图2．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点．若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是(B) A．115° B．105° C．100° D．95°3．圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是(D)A．1∶2∶3∶4 B．1∶3∶2∶4C．4∶2∶3∶1 D．4∶2∶1∶34．(娄底中考)如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠C＝∠D，则AB与CD的位置关系是AB∥CD．第4题图第5题图5．如图，AB是半圆O的直径，∠BAC＝30°，D是弧AC的中点，则∠DAC的度数是30度．6．圆内接四边形相邻三个内角度数的比为2∶1∶7，求这个四边形各内角的度数．解：根据圆内接四边形的对角互补可知，其对角和相等，所以四个内角的度数的比为2∶1∶7∶8.设这四个内角的度数分别为2x°，x°，7x°，8x°，则2x＋x＋7x＋8x＝360.解得x＝20.2x＝40，7x＝140，8x＝160.答：这个四边形各内角的度数分别为40°，20°，140°，160°.7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝50°，∠ACD＝25°，∠BAD＝65°.求证：(1)AD＝CD；(2)AB是⊙O的直径．证明：(1)∵四边形ABCD 内接于⊙O， ∴∠ADC ＝180°－∠B ＝130°. ∵∠ACD ＝25°，∴∠DAC ＝180°－∠ACD －∠D ＝180°－25°－130°＝25°. ∴∠DAC ＝∠ACD. ∴AD ＝CD.(2)∵∠BAC ＝∠BAD －∠D AC ＝65°－25°＝40°，∠B ＝50°， ∴∠ACB ＝180°－∠B －∠BAC ＝180°－50°－40°＝90°. ∴AB 是⊙O 的直径．易错点对圆内接四边形的概念理解不清导致错误8．(来宾中考)如图，在⊙O 中，点A 、B 、C 在⊙O 上，且∠ACB＝110°，则∠α＝140°．02 中档题9．(广东中考)如图，四边形ABCD 内接于⊙O，DA ＝DC ，∠CBE＝50°，则∠DAC 的大小为(C )A ．130°B ．100°C ．65°D ．50°10．(聊城中考)如图，四边形ABCD 内接于⊙O，F 是CD ︵上一点，且DF ︵＝BC ︵，连接CF 并延长交AD 的延长线于点E ，连接AC.若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E 的度数为(B )A ．45°B ．50°C ．55°D ．60°第10题图第11题图11．(南京中考)如图，在⊙O 的内接五边形ABCDE 中，∠CAD＝35°，则∠B＋∠E＝215°．12．如图，⊙C 经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A 与点B ，点A 的坐标为(0，4)，M 是圆上一点，∠BMO ＝120°.求⊙C 的半径．解：∵四边形ABMO内接于⊙C，∴∠BAO＋∠BMO＝180°.∵∠BMO＝120°，∴∠BAO＝60°.在Rt△ABO中，AO＝4，∠BAO＝60°，∴AB＝8.∵∠AOB＝90°，∴AB为⊙C的直径．∴⊙C的半径为4.13．(苏州中考)如图，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD ＝BD.连接AC交圆O于点F，连接AE，DE，DF.(1)求证：∠E＝∠C；(2)若∠E＝55°，求∠BDF的度数．解：(1)证明：连接AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.∵CD＝BD，∴AD垂直平分BC.∴AB＝AC.∴∠B＝∠C.又∵∠B＝∠E，∴∠E＝∠C.(2)∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，∴∠AFD＝180°－∠E.又∵∠CFD＝180°－∠AFD，∴∠CFD＝∠E＝55°.∵∠E＝∠C＝55°，∴∠BDF＝∠C ＋∠CFD＝110°.03 综合题14．(佛山中考)如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F.(1)若∠E＝∠F时，求证：∠ADC＝∠ABC；(2)若∠E＝∠F＝42°时，求∠A的度数；(3)若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β.请你用含有α，β的代数式表示∠A的大小．解：(1)证明：∵∠DCE ＝∠BCF，∠E ＝∠F，又∵∠ADC ＝∠E ＋∠DCE，∠ABC ＝∠F ＋∠BCF， ∴∠ADC ＝∠ABC.(2)由(1)知∠ADC ＝∠ABC， ∵四边形ABCD 内接于⊙O， ∴∠ADC ＋∠ABC ＝180°. ∴∠ADC ＝90°.在Rt△ADF 中，∠A ＝90°－∠F ＝90°－42°＝48°. (3)连接EF.∵四边形ABCD 为圆的内接四边形， ∴∠ECD ＝∠A.∵∠ECD ＝∠CEF ＋∠CFE， ∴∠A ＝∠CEF ＋∠CFE.∵∠A ＋∠CEF ＋∠CFE ＋∠DEC ＋∠BFC ＝180°， ∴2∠A ＋α＋β＝180°. ∴∠A ＝90°－α＋β2.小专题7 圆周角定理——教材P90T14的变式与应用【教材母题】如图，A ，P ，B ，C 是⊙O 上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°.判断△ABC 的形状，并证明你的结论．解：△ABC 为等边三角形．证明：∵∠APC ＝∠ABC，∠CPB ＝∠BAC，又∵∠APC ＝∠CPB ＝60°， ∴∠ABC ＝∠BAC ＝60°. ∴∠ACB ＝60°.∴△ABC 为等边三角形．【问题延伸1】求证：PA ＋PB ＝PC.证明：在PC 上截取PD ＝AP ，连接AD ，如图， ∵∠APC ＝60°，∴△APD 是等边三角形．∴AD ＝AP ＝PD ，∠ADP ＝60°，∠ADC ＝120°. ∵∠APB ＝∠APC ＋∠BPC ＝120°， ∴∠ADC ＝∠APB.在△APB 和△ADC 中，⎩⎨⎧∠ABP ＝∠ACD，∠APB ＝∠ADC，AP ＝AD ，∴△APB≌△ADC (AAS )． ∴BP ＝CD.又∵PD ＝AP ，∴PA ＋PB ＝PC.证明线段的和、差、倍、分问题的常见做法是“截长补短”法，具体做法是：在某一条线段上截取一条线段与特定线段相等，或将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．【问题延伸2】若BC ＝23，点P 是AB ︵上一动点(异于点A ，B)，求PA ＋PB 的最大值．解：由上题知PA ＋PB ＝PC ，要使PA ＋PB 最大，则PC 为直径，作直径BG ，连接CG.∴∠G ＝∠BAC ＝60°，∠BCG ＝90°.∵BC ＝23，∴BG ＝4.即PA ＋PB 的最大值为4.直径是圆中最长的一条弦，在求最值的问题中经常用到这一结论．1．如图，四边形APBC 是圆内接四边形，延长BP 至E ，若∠EPA＝∠CPA，判断△ABC 的形状，并证明你的结论．解：△ABC 是等腰三角形，理由：∵四边形APBC 是圆内接四边形， ∴∠EPA ＝∠ACB.∵∠EPA ＝∠CPA，∠CPA ＝∠ABC， ∴∠ACB ＝∠ABC. ∴AB ＝AC.∴△ABC 是等腰三角形．2．如图，A ，P ，B ，C 是半径为8的⊙O 上的四点，且满足∠BAC＝∠APC＝60°.(1)求证：△ABC 是等边三角形； (2)求圆心O 到BC 的距离OD.解：(1)证明：∵∠ABC ＝∠APC ＝60°，∠BAC ＝∠APC ＝60°， ∴∠ABC ＝∠BAC ＝60°. ∴△ABC 是等边三角形． (2)连接OB ，OC.可得∠BOC ＝2∠BAC ＝2×60°＝120°. ∵OB ＝OC ，∴∠OBD ＝∠OCD ＝12×(180°－120°)＝30°.∵∠ODB ＝90°，∴OD ＝12OB ＝4.3．(广州中考改编)如图，点A ，B ，C ，D 在同一个圆上，且C 点为一动点(点C 不在BAD ︵上，且不与点B ，D 重合)，∠ACB＝∠ABD＝45°.(1)求证：BD 是该圆的直径；(2)连接CD ，求证：2AC ＝BC ＋CD.证明：(1)∵AB ︵＝AB ︵，∴∠ACB ＝∠ADB ＝45°. ∵∠ABD ＝45°， ∴∠BAD ＝90°.∴BD 是该圆的直径．(2)在CD 的延长线上截取DE ＝BC ，连接EA ， ∵∠ABD ＝∠ADB，∴AB ＝AD.∵∠ADE ＋∠ADC ＝180°，∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∴∠ABC ＝∠ADE. 在△ABC 和△ADE 中，⎩⎨⎧AB ＝AD ，∠ABC ＝∠ADE，BC ＝DE ，∴△ABC≌△ADE (SAS )． ∴∠BAC ＝∠DAE.∴∠BAC ＋∠CAD ＝∠DAE ＋∠CAD. ∴∠BAD ＝∠CAE ＝90°.∵AD ︵＝AD ︵，∴∠ACD ＝∠ABD ＝45°. ∴△CAE 是等腰直角三角形． ∴2AC ＝CE.∴2AC ＝DE ＋CD ＝BC ＋CD.小专题8 与圆的性质有关的计算与证明类型1 求角度1．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，BA ，DC 的延长线交于点E ，AB ＝2CE ，∠E＝25°，则∠BOD＝75°．2．(南京中考)如图，A ，B 是⊙O 上的两个定点，P 是⊙O 上的动点(P 不与A ，B 重合)，我们称∠APB 是⊙O 上关于点A ，B 的滑动角．已知∠APB 是⊙O 上关于点A ，B 的滑动角．(1)若AB 是⊙O 的直径，则∠APB 的度数是90°；(2)若⊙O 的半径是1，AB ＝2，则∠APB 的度数是45°或135°__．3．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，∠ACD＝60°，∠ADC＝50°，则∠CEB 的度数为100°．第3题图第4题图4．(永州中考)如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，点D 是AC ︵的中点，点E 是BC ︵上的一点．若∠CED＝40°，则∠ADC＝100度．5．(南京中考)如图，四边形ABCD 是菱形，⊙O 经过点A ，C ，D ，与BC 相交于点E ，连接AC ，AE.若∠D＝78°，则∠EAC＝27°．类型2 求长度6．(黔东南中考)如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，∠A＝15°，半径为2，则弦CD 的长为(A )A ．2B ．－1C. 2D ．4第6题图第7题图7．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC.若AB＝8，CD＝2，则EC的长为213__．8．如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为2 3 cm.第8题图第9题图9．如图，AB，AC，AD为⊙O的弦，∠BAC＝60°，∠DAC＝30°，AB＝4，AD＝6，则CD的长为13．10．(十堰中考)如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，∠ACB的平分线交⊙O于点D.若AC＝6，BD＝52，则BC的长为8．24.2点和圆、直线和圆的位置关系24．2.1点和圆的位置关系01 基础题知识点1点与圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：(1)点P在圆外⇨d>r；(2)点P在圆上⇨d＝r；(3)点P在圆内⇨d＜r．1．若⊙O的半径为5 cm，点A到圆心O的距离为4 cm，那么点A与⊙O的位置关系是(C) A．点A在圆外B．点A在圆上C．点A在圆内D．不能确定2．(遵义中考模拟)已知⊙O半径为6，点P在⊙O内，则OP长可能是(A)A．5 B．6 C．7 D．83．已知⊙O半径为3 cm，点P到圆心O的距离为3 cm，则点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O上．4．已知⊙O的半径为6 cm，点P在圆外，则线段OP的长度的取值范围是OP＞6__cm．5．已知⊙O的半径为7 cm，点A为线段OP的中点，当OP满足下列条件时，分别指出点A与⊙O的位置关系．(1)OP＝8 cm；(2)OP＝14 cm；(3)OP＝16 cm.解：(1)在圆内．(2)在圆上．(3)在圆外．知识点2三角形的外接圆与外心不在同一条直线上的三个点确定一个圆，三角形外接圆的圆心叫外心，它是三角形三条边垂直平分线的交点；一个三角形的外接圆有1个，一个圆的内接三角形有无数个．6．下列关于三角形的外心的说法中，正确的是(C)A．三角形的外心在三角形外B．三角形的外心到三边的距离相等C．三角形的外心到三个顶点的距离相等D．等腰三角形的外心在三角形内7．如图，MN所在的直线垂直平分线段AB，利用这样的工具，最少使用2次就可以找到圆形工件的圆心．第7题图第8题图8．如图，△ABC的外接圆圆心的坐标是(－2，－1)．知识点3反证法反证法不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立．9．用反证法证明“平行于同一条直线的两条直线互相平行”时，先假设平行于同一条直线的两条直线相交成立，然后经过推理与平行公理相矛盾．10．用反证法证明：若∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，则其中至少有一个角不大于60°.证明：假设∠A，∠B，∠C都大于60°.则有∠A＋∠B＋∠C>180°，这与三角形的内角和等于180°相矛盾．因此假设不成立，即∠A，∠B，∠C中至少有一个角不大于60°.易错点概念不清11．下列说法：①三点确定一个圆；②三角形有且只有一个外接圆；③三角形的外心到三角形三边的距离相等；④圆有且只有一个内接三角形．其中正确的是②(填序号)．02 中档题12．已知⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为d，若关于x的方程x2－2x＋d＝0有实数根，则点P(D) A．在⊙O的内部B．在⊙O的外部C．在⊙O上D．在⊙O上或⊙O的内部13．用反证法证明“两条直线相交只有一个交点”应该先假设(A)A．两条直线相交至少有两个交点B．两条直线相交没有两个交点C．两条直线平行时也有一个交点D．两条直线平行没有交点14．如图，在△ABC中，BC＝3 cm，∠BAC＝60°，那么△ABC能被半径至少为3cm的圆形纸片所覆盖．15．若O为△ABC的外心，且∠BOC＝60°，则∠BAC＝30°或150°．16．已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，斜边AB边上的高为CD，若以点C为圆心，分别以R1＝2，R2＝2.4，R3＝3为半径作⊙C1，⊙C2，⊙C3，试判断点D与这三个圆的位置关系．解：由勾股定理，得AB＝AC2＋BC2＝5，由面积公式，得CD＝2.4，∴d＝CD＝2.4.∴d>R1，d＝R2，d<R3.∴点D在⊙C1的外部，在⊙C2上，在⊙C3的内部．17．如图，已知，△ABC中，∠A＝25°，∠B＝40°.(1)求作：⊙O，使得⊙O是△ABC的外接圆；(要求尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法)(2)综合应用：在你所作的圆中，求∠AOB的度数．解：(1)如图．作法：分别作边AB，AC的垂直平分线GH，EF，交于点O，以O为圆心，以OA为半径的圆就是△ABC的外接圆．(2)在优弧AB上取一点D，连接DA，DB.∵∠CAB＝25°，∠CBA＝40°，∴∠C＝180°－∠CAB－∠CBA＝115°.∵四边形CADB是圆的内接四边形，∴∠ADB＝180°－∠C＝180°－115°＝65°.∴∠AOB＝2∠ADB＝130°.24．2.2 直线和圆的位置关系第1课时直线和圆的位置关系01 基础题知识点1 直线与圆的位置关系的判定如图，直线l 与⊙O 有三种位置关系：(1)图1中直线l 与⊙O 相交，有两个公共点，这条直线叫做圆的割线．图1 图2 图3(2)图2中直线l 与⊙O 相切，有1个公共点，这条直线叫做圆的切线． (3)图3中直线l 与⊙O 相离，无公共点．1．(梧州中考)已知半径为5的圆，其圆心到直线的距离是3，此时直线和圆的位置关系为(C )A ．相离B ．相切C ．相交D ．无法确定2．已知一条直线与圆有公共点，则这条直线与圆的位置关系是(D )A ．相离B ．相切C ．相交D ．相切或相交3．(张家界中考)如图，∠O＝30°，C 为OB 上一点，且OC ＝6，以点C 为圆心，半径为3的圆与OA 的位置关系是(C )A ．相离B ．相交C ．相切D ．以上三种情况均有可能4．⊙O 的半径为6，一条弦长63，以3为半径的同心圆与这条弦的关系是(A )A ．相切B ．相交C ．相离D ．相切或相交5．在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AB ＝4 cm ，BC ＝2 cm ，以C 为圆心，r 为半径的圆与AB 有何种位置关系？请你写出判断过程．(1)r ＝1.5 cm ；(2)r ＝ 3 cm ；(3)r ＝2 cm . 解：过点C 作CD⊥AB，垂足为D. ∵AB ＝4，BC ＝2，∴AC ＝2 3. 又∵S △ABC ＝12AB·CD ＝12BC·AC，∴CD ＝BC·ACAB ＝ 3.(1)r ＝1.5 cm 时，相离． (2)r ＝ 3 cm 时，相切． (3)r ＝2 cm 时，相交．知识点2 直线与圆的位置关系的性质已知⊙O 的半径为r ，圆心到直线l 的距离为d ，根据直线和圆相交，相切，相离的定义，可以得到： (1)直线l 与⊙O 相交⇔d ＜r ；(2)直线l 与⊙O 相切⇔d ＝r ；(3)直线l 与⊙O 相离⇔d ＞r.6．设⊙O 的半径为4，点O 到直线a 的距离为d ，若⊙O 与直线a 至多只有一个公共点，则d 的取值范围为(C )A ．d ≤4B ．d ＜4C ．d ≥4D ．d ＝47．(益阳中考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为2的⊙P 的圆心P 的坐标为(－3，0)，将⊙P 沿x 轴正方向平移，使⊙P 与y 轴相切，则平移的距离为(B )A ．1B ．1或5C ．3D ．58．(西宁中考)⊙O 的半径为R ，点O 到直线l 的距离为d ，R ，d 是方程x 2－4x ＋m ＝0的两根，当直线l 与⊙O 相切时，m 的值为4．9．如图，在Rt △ABC 中，∠A＝90°，∠C＝60°，BO ＝x ，⊙O 的半径为2，求当x 在什么范围内取值时，AB 所在的直线与⊙O 相交，相切，相离？解：过点O 作OD⊥AB，垂足为D.∵∠A ＝90°，∠C ＝60°，∴∠B ＝30°. ∴OD ＝12OB ＝12x.当AB 所在的直线与⊙O 相切时，OD ＝r ＝2.∴BO ＝4.∴0<x<4时，相交；x ＝4时，相切；x>4时，相离．易错点题意理解不清10．已知⊙O 的半径为2，直线l 上有一点P 满足PO ＝2，则直线l 与⊙O 的位置关系是相切或相交．02 中档题11．(遵义汇川月考)如图，在Rt △ABC 中，∠B＝90°，∠A＝60°，BC ＝4 cm ，以B 为圆心，2 cm 长为半径作圆，则⊙B与AC的位置关系是(B)A．相离B．相切C．相交D．外切12．(百色中考)以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y＝－x＋b与⊙O相交，则b的取值范围是(D) A．0≤b<2 2 B．－22≤b≤2 2C．－23<b<2 3 D．－22<b<2213．(铜仁模拟)已知如图，∠BOA＝30°，M是OB上一点，以M为圆心、2 cm为半径作⊙M，点M在射线OB上运动，当OM＝5 cm时，⊙M与直线OA的位置关系是相离．第13题图第14题图14.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC≠BC，点M是边AC上的动点．过点M作MN∥AB交BC于点N，现将△MNC沿MN折叠，得到△MNP.若点P在AB上．则以MN为直径的圆与直线AB的位置关系是相交．15．如图所示，半径为2的⊙P的圆心在直线y＝2x－1上运动．(1)当⊙P和x轴相切时，写出点P的坐标；并判断此时y轴与⊙P的位置关系；(2)当⊙P和y轴相切时，写出点P的坐标；并判断此时x轴与⊙P的位置关系；(3)⊙P是否能同时与x轴和y轴相切？若能，写出点P的坐标；若不能，说明理由．解：(1)∵⊙P的圆心在直线y＝2x－1上，∴圆心坐标可设为(x，2x－1)．当⊙P和x轴相切时，2x－1＝2或2x－1＝－2，解得x1＝1.5，x2＝－0.5.∴P1(1.5，2)，P2(－0.5，－2)．∵1.5<2，|－0.5|<2，∴y轴与⊙P相交．(2)当⊙P和y轴相切时，x＝2或－2.得2x－1＝3或2x－1＝－5.∵|－5|>2，3>2，∴x轴与⊙P相离．(3)不能．∵当x＝2时，y＝3，当x＝－2时，y＝－5，|－5|≠2，3≠2，∴⊙P不能同时与x轴和y轴相切．03 综合题16．(永州中考)如图，给定一个半径长为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d，即OM＝d.我们把圆上到直线l 的距离等于1的点的个数记为m.如d＝0时，l为经过圆心O的一条直线，此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点，即m＝4，由此可知：(1)当d＝3时，m＝1；(2)当m＝2时，d的取值范围是1＜d＜3．第2课时切线的判定与性质01 基础题知识点1切线的判定经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，∵AB⊥BC，∴BC为⊙O的切线．1．下列说法中，正确的是(D)A．AB垂直于⊙O的半径，则AB是⊙O的切线B．经过半径外端的直线是圆的切线C．经过切点的直线是圆的切线D．圆心到直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线2．如图，AB是半圆的直径，O为圆心，AD，BD是半圆的弦，且∠PDA＝∠PBD.判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由．解：PD是⊙O的切线．理由如下：∵AB为直径，∴∠ADB＝90°.∴∠ADO＋∠ODB＝90°.∵OD＝OB，∴∠OBD＝∠ODB.∵∠PDA＝∠PBD，∴∠ADO＋∠PDA＝90°，即∠PDO＝90°.又∵直线PD经过⊙O半径的外端，∴PD是⊙O的切线．知识点2切线的性质圆的切线垂直于过切点的半径．3．如图，直线AB 与⊙O 相切于点A ，⊙O 的半径为2，若∠OBA＝30°，则OB 的长为(B )A ．4 3B ．4C ．2 3D ．2第3题图第4题图4．(黔南中考)如图，已知直线AD 是⊙O 的切线，点A 为切点，OD 交⊙O 于点B ，点C 在⊙O 上，且∠ODA＝36°，则∠ACB 的度数为(D )A ．54°B ．36°C ．30°D ．27°5．如图，PA 切⊙O 于A ，PO 交⊙O 于B ，若PA ＝6，PB ＝3，则⊙O 的半径是(C )A ．5B ．4C ．4.5D ．3.5第5题图第6题图6．如图，AB 是⊙O 的弦，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，BC 经过圆心，若∠B＝25°，则∠C 等于40°. 7．(济南中考)如图，AB 与⊙O 相切于点C ，∠A＝∠B，⊙O 的半径为6，AB ＝16.求OA 的长．解：连接OC.∵AB 与⊙O 相切于点C ， ∴OC⊥AB.∵∠A ＝∠B，∴OA ＝OB. ∴AC ＝BC ＝12AB ＝8.∵OC ＝6，∴OA ＝62＋82＝10.易错点判断圆和各边相切时考虑不全面而漏解8．如图，在平面直角坐标系第一象限内有一矩形OABC ，B(4，2)，现有一圆同时和这个矩形的三边都相切，则此圆的圆心P 的坐标为(1，1)或(3，1)或(2，0)或(2，2)．02 中档题9．(教材9上P 101习题T 5变式)如图，两个同心圆的半径分别为4 cm 和5 cm ，大圆的一条弦AB 与小圆相切，则弦AB 的长为(C )。

2021秋九年级数学上册第二十四章圆小结习题课件新版新人教版

②∵OG＝GD＝OD，
∴△OGD 为等边三角形．
∴∠BOD＝60°.
∴∠OBD＝30°.
∴OB＝2OD＝4.
(2)
由勾股定理，得 BD＝ OB2－OD2＝2 3，
∴S 阴影＝S△OBD－S 扇形 DOG＝12×2 3×2－603π6×022＝2 3－23π.
10. (2021·江苏南京期末)如图，AB 为⊙O 的直径，C，D 为⊙O 上的两点， ∠BAC＝∠DAC，过点 C 作直线 EF⊥AD，交 AD 的延长线于点 E，连接 BC. (1)求证：EF 是⊙O 的切线；
A. π cm
B. 2π cm
C. 4π cm
D. 48π cm
8. (2021·浙江温州期中)已知圆锥的侧面积为 4π cm2，且它的侧面展开图是一
个半圆，则这个圆锥的底面半径是____2____ cm，母线长为__2___2___ cm.
9. 如图(1)，⊙O 与△ABC 的边 BC，AC 分别相切于点 D，E，BO 是∠ABC 的平分线，与⊙O 相交于点 G. (1)求证：直线 AB 是⊙O 的切线；
解：(1)连接 OA，OB.∵PA 是切线，∴PA⊥OA.∴∠PAO＝90°.
PA＝PB，
在△PAO 和△PBO 中，PO＝PO， OA＝OB，
∴△PAO≌△PBO(SSS)． ∴∠PBO＝∠PAO＝90°. ∴PB⊥OB. ∴PB 是⊙O 的切线．
5. (2021·江苏南京鼓楼区期中)如图，P 是⊙O 外一点，PA 是⊙O 的切线，A 是切点，B 是⊙O 上一点，且 PB＝PA，射线 PO 交⊙O 于 C，D 两点． (2)求证：AC 平分∠PAB；
第二十四章圆
小结
考点 1 与圆的基本性质有关的计算和证明 1. (2020·襄阳模拟)在圆 O 中，∠AOB＝84°，则 AB 所对的圆周角的度数为

人教版九年级数学上册第二十四章圆分类复习训练(包含答案)

第二十四章圆类型一垂径定理及其推论1．如图1所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，以点C 为圆心，CA 长为半径的圆与AB 交于点D ，则AD 的长为( )图1A.95B.245C.185D.522．如图2，⊙O 的半径为5，AB 为弦，C 为AB ︵的中点，若∠ABC ＝30°，则弦AB 的长为( )图2A.12B ．5C.533 D ．5 33．已知⊙O 的直径CD ＝10 cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，且AB ＝8 cm ，则AC 的长为( )A ．2 5 cmB ．4 5 cmC ．2 5 cm 或4 5 cmD ．2 3或4 3 cm 4．如图3，⊙O 为锐角三角形ABC 的外接圆，半径为5.(1)用尺规作图作出∠BAC 的平分线，并标出它与劣弧BC ︵的交点E(保留作图痕迹，不写作法)；(2)若(1)中的点E 到弦BC 的距离为3，求弦CE 的长．图3类型二圆心角与圆周角5．如图4，点A ，B ，C 均在⊙O 上，若∠A ＝66°，则∠OCB 的度数是( )图4A ．24°B ．28°C ．33°D ．48°6．如图5所示，C 为半圆上一点，AC ︵＝CE ︵，过点C 作直径AB 的垂线CP ，P 为垂足，弦AE 交PC 于点D ，交CB 于点F.求证：AD ＝CD.图5类型三与圆有关的计算7．如图6，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，若将△AOB 绕点O 顺时针旋转90°得到△A ′OB ′，则点A 运动的路径AA ′︵的长为( )图6A ．πB ．2πC ．4πD ．8π8．已知圆锥的底面半径为3 cm ，高为4 cm ，则圆锥的侧面积是________ cm 2. 9．如图7，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，⊙O 的半径为6，则这个正六边形的边心距OM 的长为________．图710．如图8所示，已知AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，垂足为E ，∠AOC ＝60°，OC ＝2. (1)求OE 和CD 的长； (2)求图中阴影部分的面积．图8类型四点、直线与圆的位置关系11．已知⊙O 的半径为4 cm ，A 为线段OP 的中点，当OP ＝7 cm 时，点A 与⊙O 的位置关系是( )A．点A在⊙O内B．点A在⊙O上C．点A在⊙O外D．不能确定12．设⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离OP＝m，且m使得关于x的方程2x2－2 2 x＋m－1＝0有实数根，则直线l与⊙O的位置关系是( )A．相离或相切B．相切或相交C．相离或相交D．无法确定类型五切线的判定与性质13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝8，CB＝6，则△ABC内切圆的周长为________．14．如图9，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若OB＝10，CD＝8，求BE的长．图915．如图10，直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，且AB∥CD，OB＝6 cm，OC ＝8 cm.求：(1)∠BOC的度数；(2)BE＋CG的长；(3)⊙O 的半径．图10类型六数学活动16．如图11，已知⊙O 的直径AB ＝12 cm ，AC 是⊙O 的弦，过点C 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点P ，连接BC.(1)求证：∠PCA ＝∠B ；(2)已知∠P ＝40°，点Q 在优弧ABC ︵上，从点A 开始按逆时针方向运动到点C 停止(点Q 与点C 不重合)，当△ABQ 与△ABC 的面积相等时，求动点Q 所经过的弧长．图111．C [解析] 如图，过点C 作CM ⊥AD ，垂足为M.∵∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，∴AB ＝5.∵AC ·BC ＝AB ·CM ，∴CM ＝125.∵AC ＝3，在Rt △ACM 中，利用勾股定理可求得AM ＝95.∵AM ＝MD ，∴AD ＝185.故选C.2．D [解析] 如图，连接OA ，OC ，OC 交AB 于点M.∵AB 为弦，C 为AB ︵的中点， ∴OC ⊥AB ，且OC 平分AB. ∵∠ABC ＝30°， ∴∠O ＝2∠B ＝60°， ∴∠A ＝90°－∠O ＝30°， ∴OM ＝12OA ＝52.在Rt △AOM 中，AM ＝OA 2－OM 2＝52－（52）2＝523，∴AB ＝5 3.故选D. 3．C [解析] 连接AC ，AO ，∵⊙O 的直径CD ＝10 cm ，∴OA ＝OD ＝OC ＝5 cm.∵AB ⊥CD ，AB ＝8 cm ，∴AM ＝12AB ＝12×8＝4(cm)．当点C 的位置如图①所示时，OM ＝OA 2－AM 2＝52－42＝3(cm)， ∴CM ＝OC ＋OM ＝5＋3＝8(cm)．∴AC ＝AM 2＋CM 2＝42＋82＝4 5(cm)；当点C 的位置如图②所示时，同理得OM ＝3 cm ，∵OC ＝5 cm ，∴MC ＝OC －OM ＝5－3＝2(cm)．在Rt △AMC 中，AC ＝AM 2＋MC 2＝42＋22＝2 5(cm)．故选C.4．解：(1)如图所示：(2)连接OE 交BC 于点F ，连接OC ，CE ，如图．由(1)得∠BAE ＝∠CAE ，∴BE ︵＝CE ︵，∴OE ⊥BC. 在Rt △OCF 中，CF ＝OC 2－OF 2＝52－22＝21. 在Rt △ECF 中，CE ＝CF 2＋EF 2＝21＋9＝30. 5．A [解析] ∵∠A ＝66°， ∴∠BOC ＝2∠A ＝132°.∵OC ＝OB ，∴∠OCB ＝12(180°－∠BOC)＝24°.故选A.6．证明：如图，连接AC.∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∴∠ACD ＋∠DCB ＝90°. ∵CP ⊥AB 于点P ， ∴∠B ＋∠DCB ＝90°， ∴∠ACD ＝∠B.又∵AC ︵＝CE ︵，∴∠B ＝∠CAD ， ∴∠CAD ＝∠ACD ， ∴AD ＝CD.7．B [解析] ∵△AOB 绕点O 顺时针旋转90°得到△A ′OB ′，∴∠AOA ′＝90°，∴点A 运动的路径AA ′︵的长为90×π×4180＝2π.8．15π [解析] 圆锥的母线长＝32＋42＝5(cm)，所以圆锥的侧面积＝12×2π×3×5＝15π(cm 2)．9．3 3 [解析] 连接OB ，OC ，如图．∵六边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，∴∠BOC ＝60°， OB ＝OC. ∵OM ⊥BC ，∴∠BOM ＝12∠BOC ＝30°，∴BM ＝12OB ＝3.在Rt △OBM 中，OM ＝OB 2－BM 2＝62－32＝3 3. 10．解：(1)在△OCE 中，∵∠CEO ＝90°，∠EOC ＝60°，OC ＝2， ∴∠OCE ＝30°，∴OE ＝12OC ＝1，∴CE ＝ 3.∵OA ⊥CD ，∴CE ＝DE ，∴CD ＝2 3. (2)∵S △ABC ＝12AB ·CE ＝12×4×3＝2 3，∴S 阴影＝12π×22－2 3＝2π－2 3.11．A12．B [解析] 因为方程有实数根，所以Δ＝b 2－4ac ＝(－2 2)2－4×2(m －1)≥0，解得m ≤2，所以直线l 与⊙O 相切或相交．13．4π [解析] △ABC 内切圆的半径为12×(6＋8－10)＝2，故该圆的周长为4π.14．解：(1)证明：连接OD ，如图所示． ∵BD 为∠ABC 的平分线， ∴∠1＝∠2.又∵OB ，OD 均为⊙O 的半径， ∴OB ＝OD ， ∴∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3， ∴OD ∥BC ，∴∠ODA ＝∠C ＝90°，即OD ⊥AC.又∵OD 是⊙O 的半径， ∴AC 是⊙O 的切线．(2)过圆心O 作OF ⊥BE 于点F ，如图所示．在Rt △BOF 中，OB ＝10，OF ＝CD ＝8，根据勾股定理可得OB 2＝BF 2＋OF 2，即102＝BF 2＋82，解得BF ＝6. 由垂径定理可知F 为BE 的中点， ∴BE ＝2BF ＝12.15．解：(1)连接OF ，根据切线长定理得BE ＝BF ，CF ＝CG ，∠OBF ＝∠OBE ，∠OCF ＝∠OCG. ∵AB ∥CD ，∴∠ABC ＋∠BCD ＝180°， ∴∠OBF ＋∠OCF ＝90°， ∴∠BOC ＝90°.(2)由(1)知，∠BOC ＝90°. ∵OB ＝6 cm ，OC ＝8 cm ，∴由勾股定理可得BC ＝OB 2＋OC 2＝10 cm ， ∴BE ＋CG ＝BC ＝10 cm. (3)∵OF ⊥BC ，∴△BOC 的面积＝12OB ·OC ＝12BC ·OF ，∴OF ＝OB ·OCBC ＝4.8 cm.即⊙O 的半径为4.8 cm.16．解：(1)证明：如图，连接OC. ∵PC 是⊙O 的切线，OC 为半径，∴∠PCO ＝90°， ∴∠PCA ＋∠OCA ＝90°. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∴∠OCB ＋∠OCA ＝90°， ∴∠OCB ＝∠PCA. ∵OC ＝OB ， ∴∠OCB ＝∠B ， ∴∠PCA ＝∠B. (2)∵∠P ＝40°， ∴∠COP ＝50°.∵△ABQ 与△ABC 的面积相等， ∴∠AOQ 1＝50°，∴动点Q 所经过的弧长＝50×π×6180＝53π(cm)；或者∠AOQ 2＝130°，∴动点Q 所经过的弧长＝130×π×6180＝133π(cm)；或者∠BOQ 3＝50°，∴动点Q 所经过的弧长＝230×π×6180＝233π(cm)．∴动点Q 所经过的弧长是53π cm 或133π cm 或233π cm.人教版九年级数学上册第二十四章圆分类复习训练（包含答案）11 / 11。

人教版九年级数学上册第二十四章圆练习(含答案)[005]

第二十四章圆一、单选题1．下列说法中，不正确的是（）A ．直径是最长的弦.B ．同圆中，所有的半径都相等.C ．圆既是轴对称图形又是中心对称图形.D ．长度相等的弧是等弧.2．如图，在⊙O 中，半径OC 与弦AB 垂直于点D ，且8AB =，3OD =，则OC 的长是（）A ．2B ．3C ．4D ．5 3．如图，AB 是O 的直径，BC CD DE ==，38COD ∠=︒，则AOE ∠的度数是（）．A ．52°B ．57°C ．66°D ．78° 4．如图，AB 是O 直径，CD 是O 的弦，如果∠BAD=34°，则∠ACD 的大小为（）A．34B．46C．56D．665．已知AB是经过圆心O的直线，P为O上的任意一点，则点P关于直线AB的对称点P'与O的位置关系是（）A．点P'在⊙○内B．点P'在O外C．点P'在O上D．无法确定6．如图，AD，AE分别是⊙O的切线，D，E为切点，BC切⊙O于F，交AD，AE于点B，C，若AD＝8．则三角形ABC的周长是( )A．8 B．10 C．16 D．不能确定7．O的半径为2，则它的内接正六边形的边长为()A．2 B．C D．8．如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个正五边形，则要完成这一圆环还需（）个这样的正五边形A．6 B．7 C．8 D．99．如图，在Rt ABC中，∠B=90°，AB=2，以B为圆心，AB为半径画弧，恰好经过AC的中点D，则弧AD与线段AD围成的弓形面积是（）A ．223π-B ．23πC ．23π-D ．43π-10．如图，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∠AMN=30°，点B 为劣弧AN 的中点，P 是直径MN 上一动点，则PA+PB 的最小值为（）AB ．1C ．2D ．二、填空题11．如图，AB 是O 的直径，CD AB ⊥于E ，24CD =，8BE =，则AB =__________．12．在△ABC 中，已知∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，以点C 为圆心，2.5为半径作圆，那么直线AB 与这个圆的位置关系分别是_________．13．一个正五边形和一个正六边形都有一边在直线l 上，且有一个公共顶点,O 其摆放方式如图所示，则12∠+∠=____________________．14．如图，在扇形AOB 中90AOB ∠=︒，正方形CDEF 的顶点C 是AB 的中点，点D 在OB 上，点E 在OB 的延长线上，当正方形CDEF 的边长为时，则阴影部分的面积为________．三、解答题15．往直径为68cm 的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图所示，若油面宽60AB cm =，求油的最大深度．16．如图，△ABC 分别交⊙O 于点A ，B ，D ，E ，且CA ＝CB ．求证：AD ＝BE ．17．如图，在O 中的内接四边形ABCD 中，AB AD =，E 为弧AD 上一点．（1）若110C ∠=︒，求BAD ∠和E ∠的度数；（2）若E C ∠=∠，求证：ABD △为等边三角形．18．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的直线与AB 的延长线交于点P ，连接AC ，若CA=CP ，30A ︒∠=．（1）求证：CP 是⊙O 的切线；（2）若OA=2，求弦AC 的长．19．如图，在ABC ∆中，BC ＝4，且ABC ∆的面积为4，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 交AB 于E ，交AC 于F ，点P 是⊙A 上一点，且∠EPF ＝45°．（1）求证：BC 为⊙A 的切线；（2）求图中阴影部分的面积答案1．D2．D3．C4．C5．C6．C7．A8．B9．B10．A11．2612．相交13．13214．24π-15.解：过点O作OC⊥AB于点D，交弧AB于点C．∵OC⊥AB于点D∴BD＝12AB＝12×60＝30cm，∵⊙O的直径为68cm∴OB=OC＝34cm∵在Rt△ODB中，16==（cm），∴DC ＝OC ﹣OD ＝34﹣16＝18（cm ）；答：油的最大深度为18cm ．16.证明：∵AC ＝BC ，∴∠A ＝∠B ，∴BD AE =，∴BD DE AE DE -=-，即BE AD =，∴AD ＝BE ．17.（1）∵四边形ABCD 内接于O ， ∴180BAD C ∠+∠=︒，∵110C ∠=︒，∴70BAD ∠=︒，∵AB AD =，∴55ABD ADB ∠=∠=︒，∵四边形ABDE 内接于O ，∴180ABD E ∠+∠=︒，∴125E ∠=︒；（2）∵四边形ABCD 内接于O ，∴180BAD C ∠+∠=︒，∵四边形ABDE 内接于O ，∴180ABD E ∠+∠=︒，又∵E C ∠=∠，∴BAD ABD ∠=∠，∴AD BD =，∵AB AD =，∴AB AD BD ==，∴ABD △为等边三角形．18.（1）证明：如图，连接OC ．∵CA=CP ，∠A ＝30°，∴∠P ＝∠A ＝30°．∴∠ACP ＝180°-2∠A ＝120°．∵OA ＝OC ，∴∠OCA ＝∠A ＝30°．∴∠PCO ＝∠ACP -∠OCA ＝120°-30°＝90°．∴OC ⊥CP ．∴CP 是⊙O 的切线．（2）解∵OA=2，OA＝OC，∴OC=2在Rt△OCP中，∠P＝30°，∴OP＝2OC＝4．∴CP∴AC＝CP＝19.解：（1）过点A作AD⊥BC，如图，∵BC=4，S△ABC=4，∴1144 22BC AD AD⨯⨯=⨯⨯=，∴AD=2，又⊙A的半径为2，∴BC与⊙A相切，切点为点D，（2）∵由（1）可知⊙A与BC相切于点D，∴AD⊥BC，且AD＝2，又∵∠EPF＝45°∴∠BAC=90°，而BC＝4，4ABCS=，∴S阴＝ABCS S-扇形EAF＝12BC×AD﹣2902360π⨯＝4π-。

九年级数学上册第二十四章圆 24.1 圆的有关性质 24.1.1 圆(拓展提高)同步检测(含解析)(新版)新人教

24.1 圆的有关性质24.1.1 圆基础闯关全练拓展训练1. 如图,是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周,P为上任意一点,若AC=5,则四边形ACBP周长的最大值是( )A.15B.20C.15+5D.15+52.如图,点B,O,O',C,D在一条直线上,BC是半圆O的直径,OD是半圆O'的直径,两半圆相交于点A,连接AB,AO',若∠BAO'=67.2°,则∠AO'C=度.3.如图所示,三圆同心于O,AB=4 cm,CD⊥AB于O,则图中阴影部分的面积为cm2.能力提升全练拓展训练1.在平面直角坐标系中,☉C的圆心坐标为(1,0),半径为1,AB为☉C的直径,若点A的坐标为(a,b),则点B的坐标为( )A.(-a-1,-b)B.(-a+1,-b)C.(-a+2,-b)D.(-a-2,-b)2.已知半径为R的半圆O,过直径AB上一点C,作CD⊥AB交半圆于点D,且CD=R,则AC的长为.三年模拟全练拓展训练1.(2016江苏无锡期中,9,★★☆)如图,四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形,顶点P在弧MN 上,且不与M、N重合,当P点在弧MN上移动时,矩形PAOB的形状、大小随之变化,则PA2+PB2的值( )22A.变大B.变小C.不变D.不能确定2.(2017江苏淮安盱眙二中月考,18,★★☆)如图,直线y=x+3与坐标轴交于A 、B 两点,☉O 的半径为2,点P 是☉O 上动点,△ABP 面积的最大值为 cm 2.五年中考全练拓展训练在△ABC 中,∠C 为锐角,分别以AB,AC 为直径作半圆,过点B,A,C作,如图所示.若AB=4,AC=2,S 1-S 2=,则S 3-S 4的值是()A. B. C. D.核心素养全练拓展训练如图,在平面直角坐标系xOy 中,M 点的坐标为(3,0),☉M 的半径为2,过M 点的直线与☉M 的交点分别为A 、B,则△AOB 的面积的最大值为 .24.1.1 圆基础闯关全练拓展训练1.答案 C 由已知得AC=CB=BP=5,要使四边形ACBP 的周长最大,只要AP 取最大值,AP 的最大值为AD=5,此时四边形ACBP 的周长最大,是15+5,故选C.32.答案 89.6解析连接OA,∵OA=OB,∴∠BAO=∠B,∴∠AOO'=2∠B. ∵O'A=O'O,∴∠O'AO=∠AOO'=2∠B.∵∠BAO'=∠BAO+∠O'AO=67.2°,∴∠B=22.4°, ∴∠AO'C=∠B+∠BAO'=89.6°.3.答案 π解析 S 阴影=S 大圆=π(4÷2)2=π(cm 2). 能力提升全练拓展训练1.答案 C 如图,作AD⊥x 轴于D,BE⊥x 轴于E,∵AB 为☉C 的直径,∴CA=CB,而∠ACD=∠BCE, ∴Rt△ACD≌Rt△BCE, ∴AD=BE,DC=CE.∵点A 的坐标为(a,b),☉C 的圆心坐标为(1,0), ∴BE=AD=b,EC=CD=a -1, ∴OE=1-(a-1)=-a+2,∴点B 的坐标为(-a+2,-b),故选C.2.答案R 或R解析分两种情况:(1)如图1,∵CD⊥AB,∴OD 2=OC 2+CD 2,∵OD=R,CD=R,∴CO=R,∴AC=R.(2)如图2,∵CD⊥AB,∴OD 2=OC 2+CD 2,∵OD=R,CD=R,∴CO=R,∴AC=R.4 4故答案为R 或R.三年模拟全练拓展训练1.答案 C 连接OP,∵Rt△P AB 中,AB 2=PA 2+PB 2,又∵矩形PAOB 中,OP=AB,∴PA 2+PB 2=AB 2=OP 2.故选C.2.答案 11解析 ∵直线y=x+3与坐标轴交于A 、B 两点,∴A(-4,0),B(0,3),∴OA=4,OB=3.在Rt△AOB 中,由勾股定理得AB=5.∵△PAB 中,AB=5是定值,∴要使△PAB 的面积最大,需☉O 上的点到AB 的距离最大.如图,过点O 作OC⊥AB 于C,CO 的延长线交☉O 于P,此时S △PAB 最大,∵S △AOB=OA·OB=AB·OC,∴OC===,∵☉O 的半径为2,∴CP=OC+OP=,∴S △PAB =AB·CP=×5×=11.五年中考全练拓展训练答案 D ∵AB=4,AC=2,∴S 1+S 3=2π,S 2+S 4=,∴(S 1-S 2)+(S 3-S 4)=(S 1+S 3)-(S 2+S 4)=π,∵S 1-S 2=,∴S 3-S 4=π,故选D. 核心素养全练拓展训练答案 6解析∵AB为☉M的直径,☉M的半径为2,∴AB=4,∴当点O到AB的距离最大时,△AOB的面积取得最大值,即当OM⊥AB时,△AOB的面积取得最大值,最大值为×3×4=6.5。

人教版九年级数学上册第二十四章圆分类训练(含答案)

第二十四章圆类型一确定圆的条件1．下列说法中，正确的是( ) A ．三点确定一个圆B ．三角形有且只有一个外接圆C ．四边形都有一个外接圆D ．圆有且只有一个内接三角形2．如图1，O 为锐角三角形ABC 的外心，四边形OCDE 为正方形，其中点E 在△ABC 的外部，则O 也是下列哪个三角形的外心( )A ．△AED 的外心B ．△AEB 的外心C ．△ACD 的外心 D ．△BCD 的外心图1类型二弧、弦、圆心角与圆周角的关系3．如图2，AB 为⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ADC ＝35°，则∠CAB 的度数为( ) A ．35° B ．45° C ．55° D ．65°图2 图34．如图3，AB 是半圆的直径，O 为圆心，C 是半圆上的点，D 是AC ︵上的点，若∠BOC ＝40°，则∠D 的度数为( )A ．100°B ．110°C ．120°D ．130°5．同圆中，已知弧AB 所对的圆心角是100°，则弧AB 所对的圆周角是________． 6．如图4，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠A ＝40°，∠C ＝20°，则∠B ＝________°.图47．如图5，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，点P 在⊙O 上，∠1＝∠BCD . (1)求证：CB ∥PD ；(2)若BC ＝3，sin P ＝35，求⊙O 的直径．图5类型三利用垂径定理进行计算 8．图6是某座天桥的设计图，设计数据如图所示，桥拱是圆弧形，则桥拱的半径为( ) A ．13 m B ．15 m C ．20 m D ．26 m图69．如图7，⊙O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ，连接AO 并延长交⊙O 于点E ，连接EC .若AB ＝8，CD ＝2，则EC 的长为( )A ．215B ．．213图710．如图8，A ，B 是⊙O 上两点，AB ＝12，P 是⊙O 上的动点(点P 与点A ，B 不重合)，连接AP ，PB ，过点O 分别作OE ⊥AP 于点E ，OF ⊥PB 于点F ，则EF ＝________．图811．如图9，CD 为⊙O 的直径，CD ⊥AB ，垂足为F ，AO ⊥BC ，垂足为E ，CE ＝2.(1)求AB 的长； (2)求⊙O 的半径．图9类型四弧长及扇形面积的计算12．2018·黄石如图10，AB 是⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点，且∠ABD ＝30°，BO ＝4，则BD ︵的长为( )A.23πB.43π C ．2π D.83π图10 图1113．如图11，正方形ABCD 内接于⊙O ，⊙O 的半径为2，以点A 为圆心，以AC 长为半径画弧交AB 的延长线于点E ，交AD 的延长线于点F ，则图中阴影部分的面积为( )A ．4π－4B ．4π－8C ．8π－4D ．8π－814．一个扇形的圆心角为135°，弧长为3π cm ，则此扇形的面积是________ cm 2. 15．如图12，图①是由若干个相同的图形(图②)组成的美丽图案的一部分，图②中，图形的相关数据如下：半径OA ＝2 cm ，∠AOB ＝120°，则图②的周长为________ cm(结果保留π)．图1216．用半径为10 cm ，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为________ cm.17．如图13①，AE 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，连接AC 并延长AC 至点D ，使CD ＝CA ，连接ED 交⊙O 于点B .(1)求证：C 是AB ︵的中点；(2)如图②，连接EC ，若AE ＝2AC ＝6，求阴影部分的面积．图13类型五数学活动18．图14是小明制作的一副弓箭，A ，D 分别是弓臂BAC 与弓弦BC 的中点，弓弦BC ＝60 cm.沿AD 方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC 始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图②，当弓箭从自然状态的点D 拉到点D 1时，有AD 1＝30 cm ，∠B 1D 1C 1＝120°.(1)图②中，弓臂两端B 1，C 1的距离为______ cm.(2)如图③，将弓箭继续拉到点D 2，使弓臂B 2AC 2为半圆，则D 1D 2的长为__________ cm.图14答案1．B 2.B 3．C 4．B 5．50° 6．607．解：(1)证明：∵∠BCD ＝∠P ，∠1＝∠BCD ， ∴∠1＝∠P ，∴CB ∥PD .(2)如图，连接AC . ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°. 又∵CD ⊥AB ，∴BC ︵＝BD ︵， ∴∠P ＝∠CAB ，∴sin ∠CAB ＝sin P ＝35，即BC AB ＝35.又∵BC ＝3，∴AB ＝5，∴⊙O 的直径为5.8．A [解析] 如图，设桥拱所在圆的圆心为E ，作EF ⊥AB ，垂足为F ，延长EF 交圆于点H ，连接AE .由垂径定理，知F 是AB 的中点．由题意，知FH ＝10－2＝8，AE ＝EH ，EF ＝EH －HF .由勾股定理，得AE 2＝AF 2＋EF 2＝AF 2＋(AE －HF )2，解得AE ＝13 m.9．D [解析] 如图，∵⊙O 的半径OD ⊥弦AB ，∴AC ＝12AB ＝4.设⊙O 的半径为r ，则OC＝r －2.在Rt △AOC 中，OA 2＝AC 2＋OC 2，即r 2＝42＋(r －2)2，解得r ＝5，∴AE ＝2r ＝10，OC ＝3. 连接BE ，则BE ＝2OC ＝6.在Rt △BCE 中，CE ＝BE 2＋BC 2＝62＋42＝213.故选D.10．6 [解析] ∵P 是⊙O 上的动点(点P 与点A ，B 不重合)，OE ⊥AP 于点E ，OF ⊥PB 于点F ，∴根据垂径定理，知AE ＝EP ，BF ＝PF ，即E 为AP 的中点，F 为PB 的中点， ∴EF 为△APB 的中位线．又∵AB ＝6，∴EF ＝12AB ＝12×12＝6.11．解：(1)∵CD ⊥AB ，AO ⊥BC ，∴∠AFO ＝∠CEO ＝90°. 在△AOF 和△COE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠AFO ＝∠CEO ，∠AOF ＝∠COE ，AO ＝CO ，∴△AOF ≌△COE ， ∴CE ＝AF . ∵CE ＝2， ∴AF ＝2.∵CD 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ， ∴AF ＝BF ＝12AB ，即AB ＝4.(2)∵AO 是⊙O 的半径，AO ⊥BC ， ∴CE ＝BE ＝2. ∵AB ＝4，∴BE ＝12AB .∵∠AEB ＝90°，∴∠A ＝30°. 又∵∠AFO ＝90°， ∴cos A ＝AF AO ＝2AO ＝32，∴AO ＝43 3，即⊙O 的半径是43 3.12．D [解析] 连接OD .∵∠ABD ＝30°，∴∠AOD ＝2∠ABD ＝60°，∴∠BOD ＝120°，∴BD ︵的长＝120π×4180为8π3.13．A [解析] 利用对称性可知阴影部分的面积＝扇形AEF 的面积－△ABD 的面积＝90×π×42360－12×4×2＝4π－4.14．6π [解析] 设扇形的半径为R cm.∵扇形的圆心角为135°，弧长为3π cm ，∴135π×R 180＝3π，解得R ＝4，所以此扇形的面积为135π×42360＝6π(cm 2)．15.8π3 [解析] 由图①得AO ︵的长＋OB ︵的长＝AB ︵的长．∵半径OA ＝2 cm ，∠AOB ＝120°，则图②的周长为2×120π×2180＝8π3.16.103 [解析] 设圆锥的底面圆半径为r ，依题意，得2πr ＝120π×10180，解得r ＝103 cm.17．解：(1)证明：如图①，连接CE .∵AE 是⊙O 的直径，∴CE ⊥AD . ∵AC ＝CD ，∴AE ＝ED ， ∴∠AEC ＝∠DEC ，∴BC ︵＝AC ︵，即C 是AB ︵的中点．(2)如图②，连接BC ，OB ，OC .∵AE ＝2AC ＝6，∠ACE ＝90°，∴∠AEC ＝30°，⊙O 的半径为3，∴∠AOC ＝60°. ∵BC ︵＝AC ︵，∴∠BOC ＝60°，∴∠EOB ＝60°. ∵OB ＝OC ，∴△OBC 是等边三角形，∴∠OBC ＝60°，则AE ∥BC ，∴S △OBC ＝S △EBC ， ∴S 阴影＝S 扇形OBC ＝60π×32360＝32π.18．(1)30 3 (2)(10 5－10)[解析] (1)在图①中，连接B 1C 1交DD 1于点H . ∵D 1A ＝D 1B 1＝30 cm ，∴D 1∵AD 1⊥B 1C 1，∠B 1D 1H ＝12∠B 1D 1C 1＝60°，∴B 1H ＝C 1H ＝30×sin60°＝15 3(cm)， ∴B 1C 1＝30 3 cm ，即弓臂两端B 1，C 1的距离为30 3 cm.(2)在图②中，连接B 1C 1交DD 1于点H ，连接B 2C 2交DD 2于点G . 设半圆的半径为r cm ，则πr ＝120×π×30180，∴r ＝20，∴AG ＝GB 2＝20 cm ，GD 1＝30－20＝10 (cm)，在Rt △GB 2D 2中，GD 2＝302－202＝10 5(cm)，∴D 1D 2＝(10 5－10)cm. 故答案为30 3，(10 5－10)．。

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24.1。

4 圆周角基础闯关全练拓展训练1.（2017山东日照莒县模拟）如图,☉O是△ABC的外接圆,AD是☉O的直径，连接CD,若☉O的半径r=5，AC=5,则∠B的度数是( ）A.30°B.45°C。

50° D.60°2。

（2017江苏盐城中考)如图，将☉O沿弦AB折叠,点C在上,点D在上,若∠ACB=70°,则∠ADB=°。

能力提升全练拓展训练1。

（2016湖北十堰丹江口期中）如图,☉C过原点O，且与两坐标轴分别交于点A、B,点A的坐标为(0，4)，点M是第三象限内上一点，∠BMO=120°,则☉C的半径为（）A.4 B。

5 C。

6 D。

22.(2018广东佛山南海期中)已知抛物线y=ax2—8ax+12a与x轴交于A、B两点，以AB为直径的☉G经过该抛物线顶点C，直线l∥x轴交该抛物线于M、N两点,交☉G于E、F两点,若EF=2，则MN的长为。

三年模拟全练拓展训练1。

(2017天津滨海新区期中,9，★★☆）如图，☉O的直径AB为4，点C在☉O上，∠ACB的平分线交☉O于点D，连接AD、BD,则AD的长等于( )A.2 B。

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