11.2.1实数
华东师大初中数学八年级上册《11.2实数》精品教案 (1)
实数与数轴三维教学目标知识与技能：1、 了解无理数、实数的概念，以及实数的两种分类。
2、 能判断一个数是有理数还是无理数。
3、 了解实数与数轴上的点一一对应的关系。
过程与方法：课堂导入首先我们来进行一个数学活动。
1.做一做：、(1)用计算器求2；(2)利用平方关系验算所得结果． 这里，我们用计算器求得2=1.414213562，再用计算器计算 1.414213562的平方，结果是1.999999999，并不是2，只是接近2．这就是说，我们求得的2的值，只是一个近似值．2.如果用计算机计算2，结果如何呢？阅读课本第15页的计算结果，在数学上已经证明，没有一个有理数的平方等于2，也就是说， 2不是有理数．那么，2是怎样的数呢？教学过程一、探索归纳1、回顾有理数的概念（1）有理数的分类.（2）随意写几个数，将其化为小数，看一看结果，由此可得什么结论。
2、无理数、实数概念无限不循环小数叫做无理数．有理数和无理数统称为实数。
2计算结果是无限不循环小数，所以2不是有理数．类似地，35、圆周率π等也都不是有理数，它们都是无限不循环小数．3、实数的分类（1）从定义分 （2）从正、负分 二、试一试⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧无理数分数整数有理数实数⎪⎩⎪⎨⎧负实数正实数实数01、按计算器显示的结果，想象2在数轴上的位置。
2、在数轴上，你能找到表示2的点吗？三、反思提高1、将所有有理数都标在数轴上，那么数轴被填满了吗？2、若再将所有无理数都标在数轴上，数轴被填满了吗？归纳：数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．数学上可以说明，数轴上的任一点必定表示一个实数；反过来，每一个实数也都可以用数轴上的点来表示．换句话说，实数与数轴上的点一一对应．四、举例应用例1、在下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 3.14,32,π,3,15-,722,38-,,325π,0.20200200020002... 解：有理数是：,8,722,32,14.33- 无理数是：...2020020002.0,5,32,15,3,ππ- 五、课堂练习1.下列各数中： －41，7，3.14159,π,310,－34,0,0.⋅3,38,16,2.121122111222… 其中有理数有___________________________________.无理数有_______________________________________.2.判断正误（1）有理数包括整数、分数和零………………………………………………………（ ）（2）无理数都是开方开不尽的数……………………………………………………（ ）3、在数轴上找到表示3的点。
华东师大版八年级上册数学教案：11.2.1实数(1)
11.2.1实数（1）
课 型
新授课
课 时
本课（节）第1课时总第6课时（本学期通排课时数）
教学目标
1、了解实数的意义，能对实数进行分类。
2、了解数轴上的点与实数一一对应，能用数轴上的点表示无理数。
3、会估计两个实数的大小。
教学重点
了解无理数、实数的概念和实数的分类。
教学难点
正确理解无理数的意义。
习相对比较轻松。
实数集﹛ …﹜无理数集﹛ …﹜有理数集﹛ …﹜
分数集﹛ …﹜
负无理数集﹛ …﹜
2、下列各说法正确吗？请说明理由。
⑴3.14是无理数； ⑵无限小数都是无理数；
⑶无理数都是无限小数； ⑷带根号的数都是无理数；
⑸无理数都是开方开不尽的数； ⑹不循环小数都是无理数。
教学后记
学生在掌握了有理数的分类的基础上，很快就能进入到对实数的学习当中来，学
五．小结
以上由学生回答，教师适时补充的方式，引导学生。
小结：
1．无理数、实数的区别。
2．有理数、实数的区别。
3．实数与数轴的点是正误。
1．有理数与数轴上的点是一 一 对应。
2．无理数与数轴上的点是一 一对应。
3．有理数包括整数和小数。
（二）提高题：
（1）．在下列数：－0.5， ，21， ， ， ， ，0， 中
学情简析
本班学生对有理数的掌握较好，对于本节内容实数的学习，应该较容易掌握。
突破重难点策略
数形结合的方法。
课程资源出处
华师版
教
学
过
程
共案（教学流程、作业、板书等）
个案（增删改评）
教学导入
在小学的时候，我们就认识一个非常特殊的数，圆周率π，它约等于3.14，你还能说出它后面的数字吗？比比看谁记得多。它是一个怎样的数？
11.2+第1课时+实数的概念+课件+2023-2024学年华东师大版数学八年级上册
整数集合：
｛ 0， (－3)2，3 －125，…
｝；
分数集合：
｛ 272，0.25，…
｝；
无理数集合：
｛－3 9，π－3.14， 22，2 3－1，0.212 112 111 2…，π3，… ｝.
【规律方法】判断一个数是什么数应从化简结果来看，注意无理数
的几种常见类型：①开方开不尽的数，如3 9为无理数；②π或化简 后含π的数；③定义本身的形式，如 0.212 112 111 2…；④无理数 与有理数的和差一定是无理数；⑤无理数乘以或除以一个非 0 有理 数为无理数，如π3.
②若 m 是有理数，n 是无理数，则 mn 一定是无理数；
③若一个数的平方根等于它的算术平方根，则这个数是 0 或 1；
④无理数包括正无理数、0、负无理数.
A.0 个
B.1 个
C.2 个
D.3 个
12.对金山于办实公软数件有p限，公我司 们规定：用{ p }表示不小于 p的最小整数.例如：
{ 4}=2，{ 3}=2，现在对 72 进行如下操作：72 { 第一次 72}=9 第二次
2－3，…
｝； ｝； ｝；
非负数集合：
｛ 21.3，0，－ 3 －81，1.212 112 111 2…，( 2)2，｝….
10.有 6 个数：0.142 7，(－0.5)3，3.141 6，272，－2π，0.102 002 0
00 2…，若无理数的个数为 x，整数的个数为 y，非负数的个数为
z，求|3 y +x z |的值.
6.［2023·宁夏］如图，点 A、B、C 在数轴上，点 A 表示的数是－
1，点 B 是 AC 的中点，线段 AB= 2，则点 C 表示的数是_______
2024年华东师大版八年级数学上册教案1122实数
2024年华东师大版八年级数学上册教案1122实数一、教学内容本节课选自2024年华东师大版八年级数学上册第十一章第二节数学广角，主题为“实数”。
具体内容包括实数的概念、分类和性质，以及实数在数轴上的表示。
教材涉及章节为11.2节。
二、教学目标1. 理解实数的概念，掌握实数的分类及性质。
2. 学会实数在数轴上的表示方法，并能运用其解决实际问题。
3. 培养学生的数感和逻辑思维能力。
三、教学难点与重点教学难点：实数的性质及其在数轴上的表示方法。
教学重点：实数的概念及其分类。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：直尺、圆规、练习本。
五、教学过程1. 引入：通过生活中的实例，如气温、身高等，引导学生了解实数的概念。
2. 新课导入：讲解实数的定义、分类（有理数、无理数）及性质。
3. 例题讲解：讲解实数在数轴上的表示方法，并举例说明。
4. 随堂练习：让学生在数轴上表示给定的实数，并判断其大小关系。
6. 知识拓展：介绍实数在数学及其他学科中的应用。
六、板书设计1. 实数的定义、分类及性质。
2. 实数在数轴上的表示方法。
3. 例题及解答步骤。
七、作业设计1. 作业题目：实数填空题、选择题、解答题。
（1）填空题：填写实数的分类及性质。
（2）选择题：选择正确的实数表示方法。
（3）解答题：求解实数的大小关系，并在数轴上表示。
2. 答案：课后提供标准答案。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：回顾本节课的教学过程，分析学生的掌握情况，针对问题进行改进。
2. 拓展延伸：引导学生了解实数与数的其他概念（如复数、虚数）的关系，激发学生的学习兴趣。
重点和难点解析1. 实数的性质及其在数轴上的表示方法。
2. 实数的概念及其分类。
3. 教学过程中的例题讲解和随堂练习。
4. 作业设计中的解答题和答案。
一、实数的性质及其在数轴上的表示方法实数的有序性：任意两个实数可以比较大小，这是实数在数轴上表示的基础。
实数的封闭性：实数的加、减、乘、除（除数不为零）结果仍为实数。
华东师大版八年级上册 11.2实数课件共23张ppt
把数从有理数扩充到实数以后，有理 数的相反数和绝对值等的概念、大小比 较、运算法则以及运算律，同样适用于 实数。 例如： 2 和 2互为相反数. ∵
2 2
2 2
∴绝对值等于 2 的数是 2 和 2
例：把下列实数表示在数轴上，
并比较它们的大小（用“＜”号连 接）
2 , 2, 1 , 3 2, 1.5
）
6.两个无理数之积不一定是无理数。（ 7.两个无理数之和一定是无理数。（× ） 8.数轴上的任何一点都可以表示实数。（
）
）
随堂练习
二、填空 １、正实数的绝对值是 它本身 ，０的绝对值是 0 ，
负实数的绝对值是 它的相反数 .
２、 3 的相反数是 ３、绝对值等于 5 的数是
3
，绝对值是
3
．
5，
在数轴上表示的两个实数，右边的数总 比左边的数大。
实数的大小比较和运算，通常可取它 们的近似值来进行。
例1、试估计 3 2与π的大小关系. 分析：用计算器求得 3 2 3.14626437 而 这样，容易判断
π 3.141592654 3 2π
练习:比较下列各组数中的两个实数的大小:
,
3
2
3
22 1 , , , 7 3
2 , 0. 3,
9,
3
8, 0
注意:
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(1)用根号表示的数不一定是无理数.如：
(2)无理数不一定都是用根号表示的数. 如：π (3)无理数有无数多个.
(4)无理数可分为正无理数和负无理数.
实数:有理数和无理数统称实数 按数的概念来分：
整数 （有限小数或 有理数 分数 无限循环小数） 实数 无理数 正无理数（无限不循环小数） 负无理数
11.2.1 一元二次方程的解法-直接开平方法(七大题型)-原
1.2.1一元二次方程的解法-直接开平方法考点一、直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x 的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于x 的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.要点：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.题型1：直接开平方法解一元二次方程1．一元二次方程2250x -=的解为（）A ．125x x ==B ．15=x ，25x =-C ．125x x ==-D ．1225x x ==2．若()222a =-，则a 是（）A ．-2B ．2C ．-2或2D ．43．方程x 2-=0的根为_______．4．有关方程290x +=的解说法正确的是（）A ．有两不等实数根3和3-B ．有两个相等的实数根3C ．有两个相等的实数根3-D ．无实数根5．若方程()20ax b ab =>的两个根分别是4m -与38m -，则ba=_____．6．解方程：（1）23270x -=；（2）2(5)360x --=；（3）21(2)62x -=；（4）()()4490+--=y y ．7．计算：4（3x +1）2﹣1＝0、3274y ﹣2＝0的结果分别为（）A ．x ＝±12，y ＝±23B ．x ＝±12，y ＝23C ．x ＝﹣16，y ＝23D ．x ＝﹣16或﹣12，y ＝2382x =）A ．120,x x ==B ．120,x x ==C ．12x x =D ．12x x ==题型2：直接开平方法解一元二次方程的条件9．下列方程中，不能用直接开平方法求解的是()A ．230x =－B ．2(14)0x =－－C ．220x =＋D ．22()12()x =－－10．方程y 2＝-a 有实数根的条件是（）A ．a ≤0B ．a ≥0C ．a >0D ．a 为任何实数11．有下列方程：①x 2-2x=0；②9x 2-25=0；③(2x-1)2=1；④21(x 3)273+=．其中能用直接开平方法做的是()A ．①②③B ．②③C ．②③④D ．①②③④12．方程x 2=（x ﹣1）0）A ．x=-1B ．x=1C ．x=±1D ．x=013．如果方程()257x m -=-可以用直接开平方求解，那么m 的取值范围是（）.A ．0m >B ．7mC ．7m >D ．任意实数14．已知方程()200ax c a +=≠有实数根，则a 与c 的关系是（）.A ．0c =B ．0c =或a 、c 异号C ．0c =或a 、c 同号D ．c 是a 的整数倍题型3：直接开平方法解一元二次方程的复合型15．用直接开平方的方法解方程22(31)(25)x x +=-，做法正确的是（）A ．3125x x +=-B ．31(25)x x +=--C ．31(25)x x +=±-D ．3125x x +=±-16．方程224(21)25(1)0x x --+=的解为（）A ．127x x ==-B ．1217,3x x =-=-C ．121,73x x ==D ．1217,3x x =-=17．解方程：（1）21(2)602y +-=；（2）22(4)(52)x x -=-．题型3：一元二次方程的根的概念深入理解18．一元二次方程2251440t -=的根与249(1)25x -=的根（）A ．都相等B ．都不相等C ．有一个根相等D ．无法确定题型4：直接开平方法解一元二次方程的根的通用形式19．关于x 的方程(x+a)2=b(b>0)的根是（）A ．-aB ．C ．当b≥0时，D ．当a≥0时，20．形如2()(0)ax b p a +=≠的方程，下列说法错误的是（）A ．0p >时，原方程有两个不相等的实数根B ．0p =时，原方程有两个相等的实数根C ．0p <时，原方程无实数根D ．原方程的根为x =题型5：直接开平方法解一元二次方程-降次21．方程4160x -=的根的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4题型6：直接开平方法解一元二次方程-换元法22．若()222225a b +-=，则22a b +的值为()A ．7B ．-3C ．7或-3D ．21题型7：直接开平方法解一元二次方程-创新题，数系的扩充23．我们知道，一元二次方程21x =-没有实数根，即不存在一个实数的平方等于1-．若我们规定一个新数“i ”，使其满足21i =-（即方程21x =-有一个根为i ），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有()21232422,1,(1),(1)1i i i i i i i i i i ==-=⋅=-=-==-=，从而对于任意正整数n ，我们可以得到()41444nn n i i i i i +=⋅=⋅=，同理可得424341,,1n n n i i i i ++=-=-=．那么234202*********i i i i i i ++++++ 的值为________．一、单选题10．若方程()200ax bx c a ++=≠中，,,a b c 满足420a b c ++=和420a b c -+=，则方程的根是（）A ．1,0B ．1,0-C ．1,1-D ．2,2-二、填空题三、解答题19．解下列方程：224(1)x x =-．20．用直接开平方法解下列方程．（1）2160x -=；（2）2(2)9x -=．21．用开平方法解下列方程：(1)2 2.25x =；(2)243x =；(3)27560x -=；(4)()22714x -=．22．解方程：22(1)(12)x x +=-．→→→的顺序运算，请列式并计算结果；（1）嘉嘉说-2，对-2按C A D B答案与解析题型1：直接开平方法解一元二次方程1．一元二次方程2250x -=的解为（）A ．125x x ==B ．15=x ，25x =-C ．125x x ==-D ．1225x x ==【答案】B 【解析】【分析】先移项，再通过直接开平方法进行解方程即可．解：2250x -=，移项得：2=25x ，开平方得：15=x ，25x =﹣，故选B ．【点睛】本题主要考查用开平方法解一元二次方程，解题关键在于熟练掌握开平方方法．2．若()222a =-，则a 是（）A ．-2B ．2C ．-2或2D ．4【答案】C 【解析】【分析】先计算2(2)-，再用直接开平方法解一元二次方程即可．()2224a =-= 2a ∴=±故选C 【点睛】本题考查了有理数的乘方，直接开平方法解一元二次方程，熟练直接开平方法是解题的关键．3．方程x 2-=0的根为_______．【答案】x=±【解析】【分析】，得出x 2=8，利用直接开平方法即可求解．解：x 2-=0，∴x 2=8，∴x =±．故答案为：x =±．【点睛】本题考查直接开平方法解一元二次方程及算术平方根，解题关键是熟练掌握直接开平方法的解题步骤．4．有关方程290x +=的解说法正确的是（）A ．有两不等实数根3和3-B ．有两个相等的实数根3C ．有两个相等的实数根3-D ．无实数根【答案】D 【解析】【分析】利用直接开平方法求解即可．∵290x +=，∴290x =-<，∴该方程无实数解．故选：D 【点睛】考查了直接开平方法解一元二次方程．解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x 2=a （a ≥0）的形式，利用数的开方直接求解．5．若方程()20ax b ab =>的两个根分别是4m -与38m -，则ba=_____．【答案】1【解析】【分析】利用直接开平方法得到x =，得到方程的两个根互为相反数，所以4380m m -+-=，解得3m =，则方程的两个根分别是1与1-1=，然后两边平方得到b a 的值．解：∵()20ax b ab =>，∴2b x a=，∴x =，∴方程的两个根互为相反数，∵方程2ax b =的两个根分别是4m -与38m -，∴4380m m -+-=，解得3m =，∴4341m -=-=-，383381m -=⨯-=，∴一元二次方程ax 2＝b 的两个根分别是1与1-，1=，∴1ba=．故答案为：1．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如2x p =或()()20nx m p p +=≥的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成2x p =的形式，那么可得x =()()20nx m p p +=≥的形式，那么nx m +=6．解方程：（1）23270x -=；（2）2(5)360x --=；（3）21(2)62x -=；（4）()()4490+--=y y ．【答案】（1）123,3x x ==-；（2）1211,1x x ==-；（3）122,2x x ==-；（4）125,5y y ==-．【解析】【分析】（1）先移项，再两边同除以3，然后利用直接开方法解方程即可得；（2）先移项，再利用直接开方法解方程即可得；（3）先两边同乘以2，再利用直接开方法解方程即可得；（4）先利用平方差公式去括号，再移项合并同类项，然后利用直接开方法解方程即可得．（1）23270x -=，2327x =，29x =，3x =±，即123,3x x ==-；（2）2(5)360x --=，2(5)36x -=，56x -=或56x -=-，11x =或1x =-，即1211,1x x ==-；（3）21(2)62x -=，2(2)12x -=，2x -=2x -=-，2x =或2x =-+，即122,2x x ==-；（4）()()4490+--=y y ，21690y --=，225y =，5y =±，即125,5y y ==-．【点睛】本题考查了利用直接开方法解一元二次方程，一元二次方程的主要解法包括：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法等，熟练掌握各解法是解题关键．7．计算：4（3x +1）2﹣1＝0、3274y ﹣2＝0的结果分别为（）A ．x ＝±12，y ＝±23B ．x ＝±12，y ＝23C ．x ＝﹣16，y ＝23D ．x ＝﹣16或﹣12，y ＝23【答案】D 【解析】【分析】直接开平方与开立方，再解一次方程即可．解：由4（3x +1）2﹣1＝0得（3x +1）2＝14，所以3x +1＝±12，解得x ＝﹣16或x ＝﹣12，由3274y ﹣2＝0得y 3＝827，所以y ＝23，所以x ＝﹣16或﹣12，y ＝23．故选：D ．【点睛】本题考查开平方法解一元二次方程与立方根法解三次方程，掌握平方根与立方根性质与区别是解题关键．82x =）A ．120,x x ==B ．120,x x ==C ．12x x =D ．12x x ==【答案】A 【解析】【分析】利用直接开方法解一元二次方程即可得．2x =(23x =，利用直接开方法得：x ，解得120,x x ==故选：A ．【点睛】本题考查了利用直接开方法解一元二次方程，熟练掌握直接开方法是解题关键．题型2：直接开平方法解一元二次方程的条件9．下列方程中，不能用直接开平方法求解的是()A ．230x =－B ．2(14)0x =－－C ．220x =＋D ．22()12()x =－－【答案】C 【解析】【分析】方程整理后，判断即可得到结果230x =－移项得23x =，可用直接开平方法求解；2(10)4x -=－移项得2(14)x =－，可用直接开平方法求解；22()(12)4x ==－－，可用直接开平方法求解．故选C.【点睛】此题考查解一元二次方程直接开平方法，掌握运算法则是解题关键10．方程y 2＝-a 有实数根的条件是（）A ．a ≤0B ．a ≥0C ．a >0D ．a 为任何实数【答案】A 【解析】【分析】根据平方的非负性可以得出﹣a ≥0，再进行整理即可．解：∵方程y 2＝﹣a 有实数根，∴﹣a ≥0（平方具有非负性），∴a ≤0；故选：A ．【点睛】此题考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是根据已知条件得出﹣a ≥0．11．有下列方程：①x 2-2x=0；②9x 2-25=0；③(2x-1)2=1；④21(x 3)273+=．其中能用直接开平方法做的是()A ．①②③B ．②③C ．②③④D ．①②③④【答案】C 【解析】【分析】利用因式分解法与直接开平方法判断即可得到结果．①x 2-2x=0，因式分解法；②9x 2-25=0，直接开平方法；③(2x-1)2=1，直接开平方法；④21(x 3)273+=，直接开平方法，则能用直接开平方法做的是②③④.故选:C.【点睛】考查直接开方法解一元二次方程，掌握一元二次方程的几种解法是解题的关键.12．方程x 2=（x ﹣1）0）A ．x=-1B ．x=1C ．x=±1D ．x=0【答案】A 【解析】【分析】根据(x-1)0有意义，可得x-1≠0，求出x≠1，通过解方程x 2=1，确定x 的值即可.∵(x-1)0有意义，∴x-1≠0，即x≠1，∵x 2=（x ﹣1）0∴x 2=1，即x=±1∴x=-1.故选A.【点睛】本题考查了解一元二次方程—直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x 2=a （a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．同时还考查了零次幂.13．如果方程()257x m -=-可以用直接开平方求解，那么m 的取值范围是（）.A ．0m >B ．7mC ．7m >D ．任意实数【答案】B 【解析】【分析】根据70-≥m 时方程有实数解，可求出m 的取值范围．由题意可知70-≥m 时方程有实数解，解不等式得7m，故选B ．【点睛】形如()2+m =a x 的一元二次方程当a≥0时方程有实数解．14．已知方程()200ax c a +=≠有实数根，则a 与c 的关系是（）.A ．0c =B ．0c =或a 、c 异号C ．0c =或a 、c 同号D ．c 是a 的整数倍【答案】B 【解析】【分析】将原方程化为2a=c-x 的形式，根据2x 0≥可判断出正确答案．原方程可化为2a =c -x ，∵2x 0≥，∴c0a-≥时方程才有实数解．当c=0时，20=x 有实数根；当a 、c 异号时，c0a-≥，方程有实数解．故选B ．【点睛】形如2=a x 的一元二次方程当a≥0时方程有实数解．题型3：直接开平方法解一元二次方程的复合型15．用直接开平方的方法解方程22(31)(25)x x +=-，做法正确的是（）A ．3125x x +=-B ．31(25)x x +=--C ．31(25)x x +=±-D ．3125x x +=±-【答案】C【分析】一元二次方程22(31)(25)x x +=-，表示两个式子的平方相等，因而这两个数相等或互为相反数，据此即可把方程转化为两个一元一次方程，即可求解．解：22(31)(25)x x +=-开方得31(25)x x +=±-，故选：C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．16．方程224(21)25(1)0x x --+=的解为（）A ．127x x ==-B ．1217,3x x =-=-C ．121,73x x ==D ．1217,3x x =-=【答案】B 【解析】【分析】移项后利用直接开平方法解答即可．解：移项，得224(21)25(1)x x -=+，两边直接开平方，得2(21)5(1)x x -=±+，即2(21)5(1)x x -=+或2(21)5(1)x x -=-+，解得：17x =-，213x =-．故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题型，熟练掌握直接开平方法是解题的关键．17．解方程：（1）21(2)602y +-=；（2）22(4)(52)x x -=-．【答案】（1）122,2y y ==-；（2）121,3x x ==．【分析】（1）原方程先整理，再利用直接开平方法解答即可；（2）利用直接开平方法求解即可．解：（1）21(2)602y +-=，整理，得2(2)12y +=．∴2y +=±即122,2y y ==-；（2）22(4)(52)x x -=- ，4(52)x x ∴-=±-，∴452x x -=-或()452x x -=--，解得：121,3x x ==．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基础题型，熟练掌握直接开平方法是解题的关键．题型3：一元二次方程的根的概念深入理解18．一元二次方程2251440t -=的根与249(1)25x -=的根（）A ．都相等B ．都不相等C ．有一个根相等D ．无法确定【答案】C 【解析】【分析】运用直接开平方法分别求出两个方程的解，然后再进行判断即可得解.2251440t -=，214425t =，∴125t =±；249(1)25x -=，715x -=±，∴1125x =，225x =-；∴两个方程有一个相等的根125.故选C.【点睛】此题主要考查了用直接开平方法解一元二次方程和确定方程的解，用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x 2=a （a≥0）；ax 2=b （a ，b 同号且a≠0）；（x+a ）2=b （b≥0）；a （x+b ）2=c （a ，c 同号且a≠0）．题型4：直接开平方法解一元二次方程的根的通用形式19．关于x 的方程(x+a)2=b(b>0)的根是（）A ．-aB ．C ．当b≥0时，D ．当a≥0时，【答案】A 【解析】【分析】由b>0，可两边直接开平方，再移项即可得．∵b>0，∴两边直接开平方,得：，∴-a ，故选A 【点睛】此题考查解一元二次方程-直接开平方法，解题关键在于掌握运算法则20．形如2()(0)ax b p a +=≠的方程，下列说法错误的是（）A ．0p >时，原方程有两个不相等的实数根B ．0p =时，原方程有两个相等的实数根C ．0p <时，原方程无实数根D ．原方程的根为x =【答案】D 【解析】【分析】根据应用直接开平方法求解的条件逐项判断即得答案．解：A 、当0p >时，原方程有两个不相等的实数根，故本选项说法正确，不符合题意；B 、当0p =时，原方程有两个相等的实数根，故本选项说法正确，不符合题意；C 、当0p <时，原方程无实数根，故本选项说法正确，不符合题意；D 、当0p ≥时，原方程的根为x =故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题目，熟练掌握应用直接开平方法求解的条件是关键．题型5：直接开平方法解一元二次方程-降次21．方程4160x -=的根的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】【分析】移项得416x ==24,然后两边同时开四次方得x-=±2，由此即可解决问题．解：∵4160x -=∴416x ==24，∴x=±2，∴方程4160x -=的根是x=±2.故选B.【点睛】本题考查高次方程的解法，解题的关键是降次，这里通过开四次方把四次降为了一次．题型6：直接开平方法解一元二次方程-换元法22．若()222225a b +-=，则22a b +的值为()A ．7B ．-3C ．7或-3D ．21【答案】A 【解析】【分析】把()222225a b +-=两边开方得到a 2+b 2-2=±5，然后根据非负数的性质确定22a b +的值．解：∵()222225a b +-=，∴a 2+b 2-2=±5，∴a 2+b 2=7或a 2+b 2=-3（舍去），即a 2+b 2的值为7．故选A ．【点睛】本题考查解一元二次方程-直接开平方法：形如x 2=p 或（nx+m ）2=p （p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．题型7：直接开平方法解一元二次方程-创新题，数系的扩充23．我们知道，一元二次方程21x =-没有实数根，即不存在一个实数的平方等于1-．若我们规定一个新数“i ”，使其满足21i =-（即方程21x =-有一个根为i ），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有()21232422,1,(1),(1)1i i i i i i i i i i ==-=⋅=-=-==-=，从而对于任意正整数n ，我们可以得到()41444nn n i i i i i +=⋅=⋅=，同理可得424341,,1n n n i i i i ++=-=-=．那么234202*********i i i i i i ++++++ 的值为________．【答案】1-【解析】【分析】根据()41444nn n i i i i i +=⋅=⋅=，424341,,1n n n i i i i ++=-=-=，化简各式即可求解．解：依题意有()()()22123242,1,1,11i i i i i i i i i i ==-=⋅=-=-==-=，∵2022÷4＝505…2，∴2022i =21i =-∴234202*********i i i i i i ++++++ ＝−1−i ＋1＋i ＋…＋1＋i −1＝−1．故答案为：-1．【点睛】此题考查了一元二次方程的解，实数的运算，根据题意得出数字之间的变化规律是解本题的关键．一、单选题二、填空题11．方程240x -=的根是______．【答案】12x =-，22x =【分析】根据直接开平方法求解即可．【解析】解：240x -=，18．我们知道，一元二次方程21x =-没有实数根，即不存在一个实数的平方等于1-．若我们规定一个新数“i ”，使其满足21i =-（即方程21x =-有一个根为i ），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有()21232422,1,(1),(1)1i i i i i i i i i i ==-=⋅=-=-==-=，从而对于任意正整数n ，我们可以得到()41444n n n i i i i i +=⋅=⋅=，同理可得424341,,1n n n i i i i ++=-=-=．那么234202*********i i i i i i ++++++ 的值为________．【答案】1-【分析】根据()41444n n n i i i i i +=⋅=⋅=，424341,,1n n n i i i i ++=-=-=，化简各式即可求解．【解析】解：依题意有()()()22123242,1,1,11i i i i i i i i i i ==-=⋅=-=-==-=，∵2022÷4＝505…2，∴2022i =21i =-∴234202*********i i i i i i ++++++ ＝−1−i ＋1＋i ＋…＋1＋i −1＝−1．故答案为：-1．【点睛】此题考查了一元二次方程的解，实数的运算，根据题意得出数字之间的变化规律是解本题的关键．三、解答题【解析】解：原式＝m 2﹣1﹣（4m 2+4m +1）+3m 2+6m＝m 2﹣1﹣4m 2﹣4m ﹣1+3m 2+6m＝2m ﹣2，∵m 2﹣1＝0，∴m ＝±1，当m ＝1时，原式＝2﹣2＝0，当m ＝﹣1时，原式＝﹣2﹣2＝﹣4，综上所述：原式的值为0或﹣4．【点睛】本题考查整式的化简求值，准确掌握乘法公式是解题的关键，计算中注意符号问题．26．计算(1)化简：2(1)(1)+--m m m (2)小华在解方程2(6)90x +-=时，解答过程如下：解：移项，得2(6)9x +=第一步两边开平方，得63x +=第二步所以3x =-第三步“小华的解答从第_________步开始出错，请写出正确的解答过程．【答案】(1)-1；(2)二；正确的解答过程，见解析【分析】（1）利用平方差公式展开，合并同类项即可；（2）根据直接开平方法求解即可．【解析】（1）解：2(1)(1)+--m m m 221m m =--=-1；（2）解：第二步开始出现错误；正确解答过程：移项，得（x +6）2=9，两边开平方，得x +6=3或x +6=-3，解得x 1=-3，x 2=-9，故答案为：二．【点睛】本题主要考查了整式的混合运算、解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．27．嘉嘉和琪琪用图中的A 、B 、C 、D 四张带有运算的卡片，做一个“我说你算”的数学游戏，规则如下：嘉嘉说一个数，并对这个数按这四张带有运算的卡片排列出一个运算顺序，然后琪琪根据这个运算顺序列式计算，并说出计算结果．例如，嘉嘉说2，对2按A B C D →→→的顺序运算，则琪琪列式计算得：222[(23)(3)2](152)(17)289+⨯--=--=-=．（1）嘉嘉说-2，对-2按C A D B →→→的顺序运算，请列式并计算结果；（2）嘉嘉说x ，对x 按C B D A →→→的顺序运算后，琪琪得到的数恰好等于12，求x ．【答案】（1）2(223)(3)--+⨯-，3-；（2）嘉嘉出的数是1或3．【分析】（1）根据题意，可以写出相应的算式，然后计算即可；（2）根据题意，可以得到关于x 的方程，然后解方程即可．【解析】（1）2(223)(3)--+⨯-1(3)=⨯-3=-.（2）根据题意得2[(2)(3)]312x -⨯-+=，29(2)9x -=，2(2)1x -=，11x =，23x =.x 为整数，∴嘉嘉出的数是1或3.【点睛】本题考查有理数的混合运算、解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的算式，。
八年级数学上册 11.2 实数课件 (新版)华东师大版
0 .7 9
如图是两个边长1的正方形
拼成的长方形, 其面积是2.
√2
现剪下两个角重新拼成一个
正方形, 新正方形的边长是√__2___
下图数轴中, 正方形的对角线长
为√_2___, 以原点为圆心, 对角线长为
半径画弧截得一点, 该点
与原点的距离是_√_2__,
√2
该点表示的数是√_2___.
-√2 -1
一定要知道 • (1)用根号表示的数不一定是无理数.如：1 6 • (2)无理数不一定都是用根号表示的数.如
：π
• (3)无理数有无数多个.
• (4)无理数可分为正无理数和负无理数.
找一找
给出下列各数中: √5
, -3, √33
,√3-27
,
355 113
,
3.1415,
π
2
,√121
, 33++√29 , 2√2
0
1 √2 2
实数与数轴上的点是一一对应关系.
例练2
1. 已知: x =√2 , 求 x 的值. 2. 求 2-√5 的相反数和绝对值. 3. 根据如图数轴表示, 化简下式:
a2( 3b)2( 2b)2
a
b
√- 2
0
√2 √3
进行实数的运算时可应用有理数的运算法则行 注意：牵涉到无理数，若要求精确度，一般应 取近似值，苦无精确度要求，结果一定不能取
1、无理数与实数等的概念:
无限不循环小数叫做无理数.
无理数与有理数统称为实数. 2、实数的பைடு நூலகம்类
例2
1. 比较下列各组数的大小:
⑴√2 +√3 与π
⑵π 与
22 7
华师大版数学八年级上册11.2《实数》教学设计1
华师大版数学八年级上册11.2《实数》教学设计1一. 教材分析华东师范大学版数学八年级上册11.2《实数》是学生在学习了有理数、无理数相关知识的基础上，进一步对实数进行系统地学习。
本节内容主要包括实数的定义、实数的分类以及实数与数轴的关系。
通过本节的学习，使学生能更好地理解实数的内涵，提高他们分析问题和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在七年级时已经学习了有理数和无理数，对数的运算、大小比较等有一定的基础。
但学生对实数的理解还停留在表面，对实数的内涵和实数与数轴的关系认识不够深入。
因此，在教学过程中，要注重引导学生深入理解实数的内涵，建立实数与数轴的联系。
三. 教学目标1.理解实数的定义，掌握实数的分类。
2.理解实数与数轴的关系，能正确表示实数在数轴上的位置。
3.提高学生分析问题和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.实数的定义和分类。
2.实数与数轴的关系。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、数形结合法等教学方法，引导学生主动探究、积极思考，提高学生分析问题和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教学课件。
2.数轴道具。
3.练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用数轴道具，引导学生回顾有理数和无理数的概念，提出问题：“有理数和无理数能否包含所有的数呢？”引发学生思考，引出本节课的主题——实数。
2.呈现（15分钟）讲解实数的定义，呈现实数的分类，包括正实数、负实数和零。
同时，通过数轴展示实数与数轴的关系，让学生直观地感受实数在数轴上的表示。
3.操练（15分钟）让学生分组讨论，分析实数与数轴的关系，每组选取一个实数，在数轴上表示出来。
然后，各组进行交流，总结实数与数轴的关系。
4.巩固（10分钟）出示一些判断题，让学生判断实数的分类，如“2是正实数”、“-3是负实数”等。
同时，让学生在数轴上表示出这些实数，加深对实数的理解。
5.拓展（10分钟）让学生举例说明实数在实际生活中的应用，如温度、长度等。
华师大数学八上11.2实数(共32张PPT)
1 4， 3+π 2 、含有π的数： ， π (3)、无限不循环小数：0.101001000„(两个 “1”之间依次多一个0)
3
把下列各数写成小数的形式，你有什么发现？
3 47 9 11 5 3, , , , , 5 8 11 90 9 3 47 3 3.0, 0.6, 5.875, 5 8 9 11 5 0. 81, 0.1 2, 0. 5 11 90 9
如果a 2 2，那么a 2。 当a 0时，a 2。
即：2是2的算术平方根。
那么 2究竟有多大呢？ 计算机上计算的结果是 怎样得到的？
1 12 4
2 2
1.4 1.961.5 2.25
2 2
1 2 2;
1.4 2 1.5
答案
2 1.
4 1 4
无理数的特征:
１．圆周率 π及一些含有 π 的数 ２．开方开不尽数 ３．有一定的规律，但 不循环的无限小数
0.1010010001 （每两个 1之 间 依 次 增 加 一 个 0 ）
π
2
注意:带根号 的数不一定是 无理数
判断下列数哪些是有理数？哪些是无理数？ π 22 6, , 1.23, , 36 2 7
事实上，任何一个有理数都可以写成有限小数或 无限循环小数。
反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是 有理数
47 9 5.875 , 0. 81 , 8 11
除了有限小数和无限循环小数， 还有什么其它类型的小数吗？
无限不循环的小数
----------叫做无理数
无限不循环小数就叫41421356237309504880168872420969807856967187537694807 3176679737990732478462107038850387534327641572735013846 2309122970249248360558507372126441214970999358314132226 6592750559275579995050115278206057147010955997160597027 4534596862014728517418640889198609552329230484308714321 4508397626036279952514079896872533965463318088296406206 1525835239505474575028775996172983557522033753185701135 4374603408498847160386899970699004815030544027790316454 2478230684929369186215805784631115966687130130156185689 8723723528850926486124949771542183342042856860601468247 2077143585487415565706967765372022648544701585880162075 8474922657226002085584466521458398893944370926591800311 3882464681570826301005948587040031864803421948972782906 4104507263688131373985525611732204024509122770022694112 7573627280495738108967504018369868368450725799364729060 7629969413804756548237289971803268024744206292691248…
华东师大版八年级上册数学第11章课题2 实数的大小比较及运算
解:原式= 2 × (9 + 2 × 5 − 4)
= 18.94≈18.9 注意：计算过程中要多保留一位!
解：利用计算器得： 2＋ 3≈3.14626437，
∵π≈3.14159265，∴ 2＋ 3＞π.
仿例 直接在横线上填上“＞”“＜”或“＝”．
(1) － 10_＜__3 20； (3) 3 －4_＜__3 －3.33；
(2) 2 5_＞__3 2；
(4)
22＋1_＜__
3＋1 2.
归纳： 实数比较大小的方法： (1)添加根号法或比较平方法：两个同次方根比较大小， 被开方数大的值也大；平方(或立方)后值大的，其根 式值也大； (2)差值比较法：两数相减，将所得差值与零相比．
第11章 数的开方 11.2 实数
课题2 实数输入你的副标题
文字是您思想的提炼
为了最终演示发布的良好效果
请尽量言简意赅的阐述观点
学习目标
1．了解在有理数范围内的有关概念、运算法则、运算律在实数 范围内仍然适用； 2．会正确进行简单实数大小的比较； 3．学会估算并培养估算的意识，能利用化简对实数进行简单的 混合运算．
【学习重点】
会正确进行简单实数大小的比较，培养估算意识．
【学习难点】
培养估算意识，能利用化简对实数进行简单的混合运算．
情景导入
1．回想有理数的相反数、倒数、绝对值的概念． 2．实数与数轴上的点有什么关系？(一一对应) 3．数轴上的点表示的数如何比较大小？有什么特点？
自学互研
知识模块一 实数的性质 阅读教材P10～P11，完成下面的内容： 在有理数范围内的一些概念(如相反数、倒数和绝对值 等)及性质在实数范围内仍然适用，可由此解决下列问 题：
11.2.1实数的相关概念及分类知识考点梳理课件 2024-2025学年华东师大版数学八年级上册
（3）具有特定结构的无限不循环小数，
如0.202 002 000 2…（每两个 2 之间依次多一个
0）
第一课时 实数的相关概念及分类
返回目录
续表
考
点
有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是
清
单 无理数与
无限不循环小数
解
读 有理数的
所有的有理数都可以写成分数的形式，而无理
区别
数不能
第一课时 实数的相关概念及分类
混 为 π 是有理数.
分
析
领悟提能 只有无限不循环小数才是无理数，无限循环
小数能化成分数，是有理数，带根号的式子要先化简再判
断，化简后含 π 的数是无理数.
1. 实数与数轴的关系：实数与数轴上的点一一对应.
第一课时 实数的相关概念及分类
返回目录
2. 实数范围内绝对值、相反数、倒数的意义及性质与有
考
点
清 理数相同.
单
名称
性质
解
读
相反数 a 与 b 互为相反数⟷a+b=0
倒数
a 与 b 互为倒数⟷ab=1
任何实数 a 的绝对值都是非负数，即|a|≥0
绝对值
对值为
，求代数式
x
+
的值．
突
破
第一课时 实数的相关概念及分类
返回目录
［解析］若两个实数互为相反数，则它们的和为 0；若
重
难
题 两个实数互为倒数，则它们的积为 1.找出题中隐含的已知
型 条件，再求解．
突
破
［答案］ 解：根据题意，得 a+b=0，cd=1，|x|=
，即x2=7，∴x2+ + +
第11章 11.2 第1课时 实数的概念与分类
第1课时 实数的概念与分类
1. 有限小数或者无限循环小数叫做 有理数 ； 无限不循环小数 叫做无理数． 2. 有理数 与 无理数 统称为实数． 3. 实数 与数轴上的点一一对应．
知识点 实数的概念与分类
1. (2017·邯郸一模)下列各数中，是无理数的是
(B)
A．－1
1.(2017·简阳期中)如图，已知数轴上 A、B、C 三 点，AB＝2BC，点 A、B 表示的数分别是－2 2和 1， 则点 C 表示的数为 32＋ 2 ．
【解析】∵A、B两点表示的数分别是－2 2和1，
∴AB＝1＋2 2，∵AB＝2BC，∴BC＝12AB＝21＋ 2，
1
3
∴点C表示的数为1＋(2＋ 2)＝2＋ 2.
B．π
C．0
D. 9
2. 下列说法正确的是( C ) A．无理数是用根号表示的数 B．无理数是开方开不尽的数 C．无理数是无限不循环小数 D．无理数包括正无理数，0，负无理数
3. 下列说法中正确的是( D ) A．若 a 为实数，则 a≥0
1 B．若 a 为实数，则 a 的倒数为a C．若 x，y 为实数，且 x＝y，则 x＝ y D．若 a 为实数，则 a2≥0
…
；
(2)理数集合：
34，
5，－π，
…
；
(3)正实数集合：
34，
5，
9，191，0.2. 1. ，
… ；
(4)负实数集合： －6.8，3 －8 ，－5，－π， … .
9.已知 a，b，c，d，e，f 为实数，且 a，b 互为倒 数，c，d 互为相反数，e 的绝对值为 2，f 的算术平方根
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/52021/9/52021/9/52021/9/59/5/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月5日星期日2021/9/52021/9/52021/9/5 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/52021/9/52021/9/59/5/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/52021/9/5September 5, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/52021/9/52021/9/52021/9/5
华东师大版八年级数学上册教案：11.2.1实数
《实数》教案
一、教学目标
1、知识与技能：（1）了解无理数、实数的概念和实数的分类；
（2）知道实数与数轴上的点是一一对应。
2、数学思考：
（1）通过动手拼图，让学生感知无理数的存在，经历数系从有理数扩展到实数的过程。
（2）通过无理数的引入，培养学生从特殊到一般、具体到抽象的逻辑思维能力；
（3）经历对实数进行分类及在数轴上表示实数，渗透分类讨论思想及数形结合的思想
3、过程与方法：经历对数的认识从有理数扩展到实数的过程，及把无理数在数轴上表示出来的
过程，体验知识的发现与发展，培养学生的创新意识。
4、情感态度：经历无理数的发现过程，激发学生的求知欲，使学生感受数学活动充满了探索性
与创造性，体验发现的快乐，获取成功的体验．
二、教学重点和难点
重点：了解无理数、实数的意义，能准确的对实数进行分类
难点：正确理解无理数的意义以及实数与数轴上的点一一对应关系。
三、教学方法
课后反思
利用动态画面，使学生能回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与已有的知识进行紧密联系，注意改善学生的学习方式，这样会更好。
11.2.1实数
3
9 3 0.13
一
新课探究
下面我们一起来探究吧！
一
新课探究
如图是两个边长1的正方形拼成的长方形, 其面积是2.
现剪下两个角重新拼成一个 正方形, 新正方形的边长是_____
以原点为圆心, 对角线长为半径画弧截得一点,该点与原点的距离是___
该点表示的数是 ± ____ .
-1 0 1 2
一
归纳总结
每一个无理数都能在数轴上表示出来. 数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数. 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来， 数轴上的每一点都表示一个实数。即实数和数轴上的点 是一一对应的。
一
强化练习
把下列各数分别填入相应的集合内：
3
2,
1 , 4
3
7,
,
5 , 2
5 , 2
自主学习：
阅读教材例3、例5,学习和认识用计算器求算术平方根 和立方根的方法。
11.2.1 无理数和实数
一
复习回顾
合作交流：回忆有理数的分类方法
正整数 正整数
正有理数 有理数
零 负有Байду номын сангаас数
整数 有理数 分数
正分数 负整数 负分数
零 负整数 正分数
负分数
其中分数都可以写成小数的形式，且一定是有 限小数或者无限循环小数。
5
64
64
0. 6
3 4
3
9 3 0.13
（1）有理数集合： 9 （2）无理数集合： 3 5 （3）整数集合： （4）负数集合：
9
3 4
3 0. 6 4
3
3 0.13
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• 课本 • 第11页 第1题
2、把下列各数分别填入相应的集合内： 7 5 3 2, , 7 , 2 1, , 0, 3 2
20 , 3
4 , 9
3
5,
8,
3
8,
3
0.3737737773
2,
5 7 , , 2
3
4 , 9
0,
20 2 1, , 5, 3 0.3737737773
7,
有理数集合
无理数集合
(1)开方开不尽的数是无理数; (2) 是无理数。 (3)无限不循环的小数是无理数。 (4)无理数与有理数的和、差一定是无理数。 (5)无理数与有理数（不为0）的积、商一 定是无理数。
5≈
7
10 ≈
≈ 2.236
2
1.414
3
6
≈
≈
1.732
2.449
2.828
≈ 2.64么叫有理数？ 2、有理数如何分类？ 3、什么是无理数？ 4、带根号的数都是无理数吗？
无限不循环小数就叫无理数
无理数的特征:
1、圆周率及含有圆周率的数。 ２．开方开不尽数
３．不循环的无限小数
注意:带根号的 数不一定是无 理数
小试牛刀 下列说法正确与否, 若错则举例说明:
有一个人，是他第一个发现了除有理数外的数，却 被抛进大海，你想知道这其中的曲折离奇吗？
这得追溯到2500年前，有个叫毕达哥拉斯的人，他 是一个伟大的数学家，他创立了毕达哥拉斯学派，这 是一个非常神秘的学派，他们以领袖毕达哥拉斯为核 心，认为毕达哥拉斯是至高无尚的，他所说的一切都 是真理。 毕达哥拉斯( Pythagoras) 认为“宇宙间的一切现象都 能归结为整数或整数之比”，即都可用有理数来描述。
但后来，这学派的一位年轻成员希伯索斯(Hippasus) 发现边长为1的正方形的对角线的长不能用有理数来表 示，这就动摇了毕达哥拉斯学派的信条，引起了信徒 们的恐慌，他们试图封锁这一发现，然而希伯索斯偷 偷将这一发现传播出去，这为他招来了杀身之祸，在 他逃回家的路上，遭到毕氏成员的围捕，被投入大海。 他这一死，使得这类数的计算推迟了500多年，给数 学的发展造成了不可弥补的损失。 这是怎样的一类数呢？
华师大版八年级数学上册
§11.2.1实数
讲课教师：张庆东
• 1、理解无理数的概念。
• 2、能正确的判断出一个数是有理 数还是无理数。
认真看课本P8—P9
（1）回顾有理数的定义、分类。
（2）想一想无理数都有什么特征。 （3）思考无理数和有理数有什么不同之处。 5分钟后，将进行检测，比比看谁完成的较好。
3.162
8 ≈
无理数与有理数有什么不同之处？
（1）从定义作出判断；
（2）所有的有理数都能写成分数形式， 但无理数则不能。
1.下列说法正确的是(
). B.所有小数都是有理数; )
A.无限小数都是无理数; 2.在
1 , 0, , 4 3
C.带有根号的数都是无理数; D.无理数都是无限小数. , 2 这五个数中无理数有( 3 C. 3个 ， 0， D. 4个 A.0个 B. 2个
3
3、写出一个3和4之间的无理数
4、下列实数
7 ， 1 190
。
， 21
49 ，
3
，
1.1010010001…中，设有m个有理数，n个无理数， 则
n
m
=
。
5、设m是
13 的整数部分，n是 13
的
小数部分，求m-n的值.
设a、b是有理数，且满足 a 2b 2b 5 2 求a+b的平方根？
9. 任何无理数的绝对值总是正数 ( √ )
1、判断下列数哪些是有理数？哪些是无理数？
6,
2
,
1. 2 3,
22 7,
22 , 7
36
36
1.232232223 (两个3之间依次多一个 2)
有理数是： 无理数是：
1. 2 3 ,
6 ,
2
, 1.232232223 (两个3之间依次多一个 2)
1. 无限小数是无理数. ( × ) 2. 无理数是无限小数. ( √ ) 3. 无理数就是开不尽方的数. ( × ) 4. 带根号的数都是无理数. ( × )
5. 无理数与无理数的和是无理数( × )
6. 无理数与有理数的和是无理数 (√ )
7. 无理数与无理数的积是无理数( ×)
8. 无理数与有理数的积是无理数( × )