初中中考数学一轮复习第一部分教材同步复习第四章三角形第18讲全等三角形实用课件
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中考数学总复习第四章第18课时全等三角形课件
证明：∵∠B＝∠C， ∴AB＝AC， 在△ABD 和△ACE 中，
AB＝AC， ∠B＝∠C， BD＝CE，
∴△ABD≌△ACE(SAS).
12.(2023·营口)如图，点 A，B，C，D 在同一条直线上，点 E， F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，∠A＝∠B，∠ACE＝∠BDF.
(1)求证：△ACE≌△BDF. (2)若 AB＝8，AC＝2，求 CD 的长.
角相等，那么这两个角相等
1.运用全等三角形的判定和性质，若题中没给图形，建议根据 题意画出符合题意的图形，数形结合进行分析.
2.对于三角形全等的性质及判定的问题，由于已知条件的不确 定或开放性问题，常用到分类讨论思想.
3.三角形全等是证明线段相等、角相等最常用的方法.证明线 段(或角)相等往往转化为证明线段(或角)所在的两个三角形全等.
第18课时 全等三角形
1.理解全等三角形的概念. 2.掌握两个三角形全等的判定方法. 3.了解定义、命题、定理的含义，会区分命题的条件(题设)和 结论.了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成 立，其逆命题不一定成立.
1.__能__够__完__全__重__合____的两个三角形叫作全等三角形. 2.三角形全等的判定方法有：__S_S__S__、__S_A__S__、__A_A__S__、 __A__S_A___.直角三角形全等的判定除以上的方法还有 HL. 3.全等三角形的性质：全等三角形对应边__相__等____，对应角 __相__等____.
①∠ABC＝∠ADC. ②AC 与 BD 相互平分. ③AC，BD 分别平分四边形 ABCD 的两组对角. ④四边形 ABCD 的面积 S＝21AC·BD.
正确的是__________.(填写所有正确结论的序号) 答案：①④
中考数学一轮复习课件：第18课时 全等三角形
UNIT FOUR
第四单元 三角形第 18 课时 全等三角形
课前双基巩固
考点聚焦
考点一 全等图形及全等三角形的概念
完全重合
课前双基巩固
考点二 全等三角形的性质
相等
相等
课前双基巩固
考点三 全等三角形的判定
课前双基巩固
课前双基巩固
考点四 利用“尺规”作三角形的类型
课前双基巩固
考点五 角平分线的性质
距离
平分线
课前双基巩固
对点演练
题组一 教材题
课前双基巩固
课前双基巩固
课前双基巩固
题组二 易错题
【失分点】
“SSA”与“SAS”易混淆,对判定三角形全等要求至少有一组边相等易忽略.
课前双基巩固
课前双基巩固
课堂考点探究
探究一 全等三角形性质与判定的综合运用
课堂考点探究
课堂考点探究针对训练
课堂考点探究
课堂考点探究
课堂考点探究
课堂考点探究
探究二 利用全等三角形解决实际问题
课堂考点探究
课堂考点探究针对训练
课堂考点探究
探究三 角平分线
【命题角度】
(1)利用角平分线的性质解决线段的位置与数量关系;
(2)角平分线的判定.
课堂考点探究
课堂考点探究针对训练
课堂考点探究
课堂考点探究。
安徽数学中考一轮复习课件：18全等三角形
BC 2
22
命题点一：全等三角形的判定与性质
中考真题
6.【2015·安徽,23,14分】如图①，在四边形ABCD中，点E、F分
别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，
两垂线交于点G，连接GA、GB、GC、GD、EF，若∠AGD＝
∠BGC. 提示：顶点重合的等腰三角形问题，证三角形全等
(1)①∠MPN= 60° ; ②求证:PM+PN=3a;
9
命题点一：全等三角形的判定与性质
中考真题
1.【2014·安徽,23,14分】
(2)如图2,点O是AD的中点,连接OM,ON,求证:OM=ON;
(2)证明:如图2,连接OE,
∵六边形ABCDEF是正六边形,AB∥MP,PN∥DC,O为
AD中点,∴AM=BP=EN,OA=OD=OE,
在四边形OCRD中，∠OCR＝∠ODR＝90°，
∠MON＝150°，
∴∠CRD＝30°，
∴∠ARB＝∠ARO＋∠BRO＝2∠CRO＋2∠ORD＝
2∠CRD＝60°. ............(9分)
∴∠ABR为等边三角形；
18
命题点一：全等三角形的判定与性质
中考真题
4.【202X·安徽,23,14分】(2)延长PC，QD交于点R.
图 (1)三角形的有关概念
形 (2)三角形的稳定性 (3)三角形内角和定理
的 (4)三角形内角和定理的推论 性 (5)三角形的任意两边之和大于第三边
质 (6)全等三角形的有关概念
考试要求目标
ABCD
√ √
√ √ √ √
3
考纲解读（参202X考纲）
单元
考试内容
知识条目
22
命题点一：全等三角形的判定与性质
中考真题
6.【2015·安徽,23,14分】如图①，在四边形ABCD中，点E、F分
别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，
两垂线交于点G，连接GA、GB、GC、GD、EF，若∠AGD＝
∠BGC. 提示：顶点重合的等腰三角形问题，证三角形全等
(1)①∠MPN= 60° ; ②求证:PM+PN=3a;
9
命题点一：全等三角形的判定与性质
中考真题
1.【2014·安徽,23,14分】
(2)如图2,点O是AD的中点,连接OM,ON,求证:OM=ON;
(2)证明:如图2,连接OE,
∵六边形ABCDEF是正六边形,AB∥MP,PN∥DC,O为
AD中点,∴AM=BP=EN,OA=OD=OE,
在四边形OCRD中，∠OCR＝∠ODR＝90°，
∠MON＝150°，
∴∠CRD＝30°，
∴∠ARB＝∠ARO＋∠BRO＝2∠CRO＋2∠ORD＝
2∠CRD＝60°. ............(9分)
∴∠ABR为等边三角形；
18
命题点一：全等三角形的判定与性质
中考真题
4.【202X·安徽,23,14分】(2)延长PC，QD交于点R.
图 (1)三角形的有关概念
形 (2)三角形的稳定性 (3)三角形内角和定理
的 (4)三角形内角和定理的推论 性 (5)三角形的任意两边之和大于第三边
质 (6)全等三角形的有关概念
考试要求目标
ABCD
√ √
√ √ √ √
3
考纲解读（参202X考纲）
单元
考试内容
知识条目
中考数学新突破复习第一部分教材同步复习第四章三角形4.4全等三角形课件
2．判定 (1)“边角边”或“SAS”：两边和它们的夹角对应相等的 两个三角形全等； (2)“角边角”或“ASA”：两角和它们的夹边对应相等的 两个三角形全等； (3)“角角边”或“AAS”：两角和其中一角的对边对应相 等的两个三角形全等； (4)“边边边”或“SSS”：三边对应相等的两个三角形全 等； (5)HL公理：__斜__边____和一条_直__角__边___对应相等的两个 直角三角形全等．
(3)AAA和ASS不能判定两个三角形全等． 如图1，△ABC与△A′B′C′的三个角都相等，但△ABC 和△A′B′C′不全等．
图1
如图2，△ABC和△ABC′中，AB＝AB，AC＝AC′，∠B ＝∠B，但△ABC和△ABC′不全等．
图2
三年中考 ·讲练
典 例 精析
全等三角形的判定
【例1】 (2015·六盘水)如图，已知∠ABC＝∠DCB， 下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是( D )
A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD
【思路点拨】 本题考查全等三角形的判定．本题要判 定△ABC≌△DCB，已知∠ABC＝∠DCB，BC是公共边，具 备了一组边对应相等，一组角对应相等，故添加AB＝DC、 ∠ACB＝∠DBC、∠A＝∠D后可分别根据SAS、ASA、AAS 能判定△ABC≌△DCB，而添加AC＝BD后则不能．
【解答】 A．可利用AAS定理判定△ABC≌△DCB， 故此选项不符合题意；
B．可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不 符合题意；
C．利用ASA判定△ABC≌△DCB，故此选项不符合题 意；
D ． SSA 不 能 判 定 △ ABC≌△DCB ， 故 此 选 项 符 合 题 意．
中考数学专题复习第四单元三角形第18课时全等三角形
第六页，共二十八页。
课前双基巩固
考点(kǎo diǎn)五
角平分线的性质
性质
判定
角平分线上的点到角两边的① 距离( jùlí)
相等
角的内部到角两边的距离相等的点在这个角的② 平分线 上
第七页，共二十八页。
课前双基巩固
对点演练(yǎn
题组一
教材
liàn)
[答案] 0.8 cm
(jiàocái)题
[解析] ∵∠EBC+∠BCE=90°,∠BCE+
证明:∵AB∥CD,∴∠A=∠D.
点,且 EC∥BF,连接 AD,分别与 EC,BF 相交于点 G,H.若
∵EC∥BF,∴∠CGD=∠AHB.
AB=CD,求证:AG=DH.
∵AB=CD,∴△ ABH≌△DCG.
∴AH=DG.∴AH-GH=DG-GH,
即 AG=DH.
图 18-11
第十八页，共二十八页。
∴PA=PD=4,∴PE=4.
第二十四页，共二十八页。
课堂考点探究
针对(zhēnduì)训练
1.[2017·枣庄] 如图 18-17,在 Rt△ ABC 中,∠C=90°,以顶点 A 为圆心,
适当长为半径画弧,分别交 AC,AB 于 M,N,再分别以 M,N 为圆心,以
1
大于 MN 长为半径画弧,两弧交于点 P,作射线 AP 交 BC 于点 D,若
(2)从三角板的刻度可知 AC=25 cm,请你帮小明求出砌墙砖块的厚度 a(单位:cm)的大小(每块砖的厚度相等).
图 18-13
(2)∵一块墙砖的厚度为 a cm,∴AD=4a,BE=3a,由(1)得:△ ADC≌△CEB,∴DC=BE=3a,
湖南省2017中考数学 第一部分 教材知识梳理 第四单元 三角形 第18课时 全等三角形讲义
MN=3.
(1)求证：BN=DN； 【思维教练】要证BN=DN，将其放在△ABN与△ADN中 ， 可证△ABN≌△ADN，已知∠1=∠2，AN=AN，BN⊥ A证N，明根：据∵AASNA平得分证∠；BAC， ∴∠1=∠2.
∵BN⊥AN， ∴∠ANB=∠AND=90°.又 ∵AN=AN，
∴△ABN≌△ADN(ASA)， ∴BN=DN；
⑧__S_A_S___ A1B1=A2B2，∠B1=∠B2，B1C1=B2C2
类型 判定方法
需知条件
直角三 ⑨__H__L___ 角形的
A1B1=A2B2，A1C1=A2C2
判定(如
图(2)) 以上方法均适用判定直角三角形全等
常考类型剖析
类型 全等三角形的相关证明与计算
例 (2013永州)如图，M是△ABC的边BC的中点， AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D ，连接NM，已知AB=10，BC=15，
单元三角形
第18课时全等三角形
中考考点清单
考 点 全等三角形的性质与判定(高频)
1. 定义：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 2. 性质：
(1)全等三角形的对应边①__相__等____，对应角②__相__等____． (2)全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高线、中位 线)相等，对应周长③__相__等____，对应面积④__相__等____.
AD=CE ∴△ABD≌△CAE(SAS)；
(2)解：∵△ABD≌△CAE， ∴∠ABD=∠CAE， ∵∠BPF=∠BAP+∠ABD， ∴∠BPF=∠BAP+∠CAE=∠BAC=60°， ∵BF⊥AE， ∴∠PFB=90°， ∴∠PBF=30°， ∴PF= 1 BP=3.
(1)求证：BN=DN； 【思维教练】要证BN=DN，将其放在△ABN与△ADN中 ， 可证△ABN≌△ADN，已知∠1=∠2，AN=AN，BN⊥ A证N，明根：据∵AASNA平得分证∠；BAC， ∴∠1=∠2.
∵BN⊥AN， ∴∠ANB=∠AND=90°.又 ∵AN=AN，
∴△ABN≌△ADN(ASA)， ∴BN=DN；
⑧__S_A_S___ A1B1=A2B2，∠B1=∠B2，B1C1=B2C2
类型 判定方法
需知条件
直角三 ⑨__H__L___ 角形的
A1B1=A2B2，A1C1=A2C2
判定(如
图(2)) 以上方法均适用判定直角三角形全等
常考类型剖析
类型 全等三角形的相关证明与计算
例 (2013永州)如图，M是△ABC的边BC的中点， AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D ，连接NM，已知AB=10，BC=15，
单元三角形
第18课时全等三角形
中考考点清单
考 点 全等三角形的性质与判定(高频)
1. 定义：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 2. 性质：
(1)全等三角形的对应边①__相__等____，对应角②__相__等____． (2)全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高线、中位 线)相等，对应周长③__相__等____，对应面积④__相__等____.
AD=CE ∴△ABD≌△CAE(SAS)；
(2)解：∵△ABD≌△CAE， ∴∠ABD=∠CAE， ∵∠BPF=∠BAP+∠ABD， ∴∠BPF=∠BAP+∠CAE=∠BAC=60°， ∵BF⊥AE， ∴∠PFB=90°， ∴∠PBF=30°， ∴PF= 1 BP=3.
湖南省2024年数学中考第一轮复习第十八讲全等三角形课件
(2)判定: ①SSS:____三__边__对__应__相__等____的两个三角形全等; ②SAS:____两__边__及__其__夹__角__对__应__相__等____的两个三角形全等; ③ASA:____两__角__及__其__夹__边__对__应__相__等____的两个三角形全等; ④AAS:____两__角__分__别__相__等__,_且__其__中__一__组__等__角__的__对__边__相__等___的两个三角形全等; ⑤HL:____斜__边__和__一__条__直__角__边__分__别__相__等____的两个直角三角形全等.
【变式训练】 1.(2023·常 德 安 乡 县 期 末 ) 根 据 下 列 已 知 条 件 , 能 确 定 △ABC 的 形 状 和 大 小B的 是
() A.∠A=50°,∠B=60°,∠C=70° B.∠A=50°,∠B=50°,AB=5 cm C.AB=5 cm,AC=4 cm,∠B=30° D.AB=6 cm,BC=4 cm,∠A=30°
高频考点·释疑难 考点1 确定三角形全等的条件 【例1】(2023·凉山州中考)如图,点E、点F在BC上,BE=CF,∠B=∠C,添加一个 条件,不能证明△ABF≌△DCE的是 ( ) D A.∠A=∠D B.∠AFB=∠DEC C.AB=DC D.AF=DE
【方法技巧】
确定三角形全等条件的三种思路
【方法技巧】 应用全等三角形的性质与判定进行证明的技巧
(1)抓住关键寻找对应边角: 公共边一定是对应边,公共角(或对顶角)一定是对应角;相等的边所对的角为对应 角,相等的角所对的边为对应边. (2)分析法寻找证明思路: 由结论逆推,探寻结论成立所需要的条件,进而打通证明思路. (3)作辅助线联通已知和未知: 紧扣题目中的关键条件添加辅助线,联通已知和未知.如针对中点倍长中线,针对 角平分线作垂线段或截长补短等.
中考数学总复习 第一部分 教材同步复习 第四章 三角形 第18讲 相似三角形课件
26021/12/9
第二十六页，共二十九页。
第五页，共二十九页。
1．若ab＝37，则a＋b b＝___17_0____. 2．如图，AD∥BE∥CF，直线 l1，l2 与这三条平行线分别交 于点 A，B，C 和点 D，E，F.若ABBC＝23，DE＝6，则 EF＝____9 ____.
3．若点 P 是线段 AB 的黄金分割点，AB＝10 cm，则较长线段 AP 的长是_5__5_－__5_ cm.
• 6．若两个(liǎnɡ ɡè)相似多边形的周长之比为1∶3，则它们的面积之比1为∶9 ________.
• 7．两个相似多边形的相似比是493或∶9 7，其中一个多边形的最长边是21， 则另一个多边形的最长边是________.
214021/12/9
第十四页，共二十九页。
江西5年真题 ·精选
29021/12/9
图1 若∠1＝∠2，则△ADE∽△ABC
第九页，共二十九页。
已知条件 有两边对应成 比例
直角三角形
可供选择的判定方法
常见的基本类型
夹角相等或第三边也 （3）“垂直型”（有时需利用“同角的余角
对应成比例
相等”找等角，其中图 2、图 3 需满足∠1＝
一对锐角相等或两组 ∠2）
直角边对应成比例
身高 建筑物的高度 时刻，物高与影长成比例，即影长＝建筑物的影长.
211021/12/9
第十一页，共二十九页。
• 4．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为5∶6，则△ABC与 △DEF的面积之比为_______25_∶；36周长之比为_____5_∶_6_.
• 5．如图，点P在△ABC的边AC上，请你添加(tiān jiā)一个条件，使得 △APB∽△ABC，这个条件可以是__∠_AB_P_＝_∠_C_（_答_案__(d_á _àn_)不__唯_一_）_____.
中考数学复习方案 第四单元 三角形 第18课时 全等三角形课件
C.AC=DB
D.AB=DC
图18-1
第七页，共四十三页。
基
础
知
识
巩
固
2.用直尺和圆规(yuánguī)作一个角等于已知角,如图18-2,能得出∠A'O'B'=∠AOB的依据是
( D)
A.SAS
B.AAS
C.ASA
高
频
考
向
探
究
图18-2
第八页，共四十三页。
D.SSS
基
础
知
识
巩
固
3.如图18-3,方格纸上有一个格点三角形和
高
频
考
向
探
究
折后,能与△A'B'C'重合,则称它们是轴对称型
全等三角形.图18-11是常见的轴对称型全
等三角形,其对称轴l是对称点所连线段的垂直
平分线.
图18-11
第三十一页，共四十三页。
基
础
知
识
巩
固
识别轴对称三角形全等要注意题中的一些隐含(yǐn hán)条件,例如有些具有公共边(如
图①中的AC,图④中的AA'),有些具有公共角或对顶角(如图②中的∠BAC
∴△ABC≌△AEF(SAS),∴EF=BC.
第十八页，共四十三页。
基
础
知
识
巩
固
例1[2019·苏州]如图18-8,△ABC中,点E在BC边上,AE=AB,将线段AC绕点A旋转到AF的位置,使
得(shǐ de)∠CAF=∠BAE.连接EF,EF与AC交于点G.
(2)若∠ABC=65°,∠ACB=28°,求∠FGC的度数.
第四单元(dānyuán) 三角形
中考数学复习 第四单元 三角形 第18课时 全等三角形课件
1
大于 MN 长为半径画弧,两弧交于点 P,作射线 AP 交 BC 于点 D,若
2
CD=4,AB=15,则△ ABD 的面积为
(
)
[答案] B
[解析] 由题意得 AP 是∠BAC 的平分线,
例 3 (2)如图 18-16,AB∥CD,BP 和 CP 分别平分∠ABC 和
∠DCB,AD 过点 P,且与 AB 垂直.若 AD=8,则点 P 到 BC
的距离是
[答案] 4
[解析]过点 P 作 PE⊥BC 于 E,
∵AB∥CD,PA⊥AB,∴PD⊥CD,
.
∵BP 和 CP 分别平分∠ABC 和∠DCB,
∴PA=PE,PD=PE,
∴PE=PA=PD,∵PA+PD=AD=8,
图 18-16
∴PA=PD=4,∴PE=4.
2021/12/9
第二十四页，共二十八页。
课堂考点探究
针对(zhēnduì)训练
1.[2017·枣庄] 如图 18-17,在 Rt△ ABC 中,∠C=90°,以顶点 A 为圆心,
适当长为半径画弧,分别交 AC,AB 于 M,N,再分别以 M,N 为圆心,以
为
.
∠ACD=90°,∴∠EBC=∠DCA.
∠ = ∠,
在△ CEB 和△ ADC 中, ∠ = ∠,
= ,
∴△ CEB≌△ADC(AAS),
∴BE=DC,CE=AD=2.5 cm.
∵DC=CE-DE,DE=1.7 cm,
图 18-1
∴DC=2.5-1.7=0.8 (cm),∴BE=DC=0.8 cm.
边相等易忽略.
4.如图 18-4,已知∠ABC=∠DCB,添加以下条件,不能判定△ ABC
大于 MN 长为半径画弧,两弧交于点 P,作射线 AP 交 BC 于点 D,若
2
CD=4,AB=15,则△ ABD 的面积为
(
)
[答案] B
[解析] 由题意得 AP 是∠BAC 的平分线,
例 3 (2)如图 18-16,AB∥CD,BP 和 CP 分别平分∠ABC 和
∠DCB,AD 过点 P,且与 AB 垂直.若 AD=8,则点 P 到 BC
的距离是
[答案] 4
[解析]过点 P 作 PE⊥BC 于 E,
∵AB∥CD,PA⊥AB,∴PD⊥CD,
.
∵BP 和 CP 分别平分∠ABC 和∠DCB,
∴PA=PE,PD=PE,
∴PE=PA=PD,∵PA+PD=AD=8,
图 18-16
∴PA=PD=4,∴PE=4.
2021/12/9
第二十四页，共二十八页。
课堂考点探究
针对(zhēnduì)训练
1.[2017·枣庄] 如图 18-17,在 Rt△ ABC 中,∠C=90°,以顶点 A 为圆心,
适当长为半径画弧,分别交 AC,AB 于 M,N,再分别以 M,N 为圆心,以
为
.
∠ACD=90°,∴∠EBC=∠DCA.
∠ = ∠,
在△ CEB 和△ ADC 中, ∠ = ∠,
= ,
∴△ CEB≌△ADC(AAS),
∴BE=DC,CE=AD=2.5 cm.
∵DC=CE-DE,DE=1.7 cm,
图 18-1
∴DC=2.5-1.7=0.8 (cm),∴BE=DC=0.8 cm.
边相等易忽略.
4.如图 18-4,已知∠ABC=∠DCB,添加以下条件,不能判定△ ABC
中考数学专题复习第四单元三角形第18课时全等三角形
课堂考点探究
4.已知△ ABN 和△ ACM 的位置如图 18-12 所示,AB=AC,
AD=AE,∠1=∠2.
= ,
证明:(1)在△ ABD 和△ ACE 中, ∠1 = ∠2,
= ,
∴△ ABD≌△ACE(SAS),∴BD=CE.
(1) 求证:BD=CE;
(2)∵∠1=∠2,∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE,
第五页，共二十八页。
课前双基巩固
考点四
利用(lìyòng)“尺规”作三角形的类型
(1)
已知三角形的三边,求作三角形
(2)
已知三角形的两边及其夹角,求作三角形
(3)
已知三角形的两角及其夹边,求作三角形
(4)
已知三角形的两角及其中一角的对边,求作三角形
(5)
已知直角三角形一条直角边和斜边,求作三角形
第六页，共二十八页。
A.边角边
B.角边角
C.边边边
D.边边角
第二十二页，共二十八页。
课堂考点探究
探究(tànjiū)三 角平分线
[答案] 8
【命题角度】
[解析]作 DE⊥AB 于 E,
(1)利用角平分线的性质解决线段的位置(wèi
zhi)与数量关系;
∵AD 是△ ABC 的一条角平分线,∠C=90°,DE⊥AB,
(2)角平分线的判定.
件,使得△ ADC≌△BEC(不添加其他字母及辅助线),你添加的
条件是
.
图 18-5
第十三页，共二十八页。
[答案] 答案不唯一,如 CA=CB,CE=CD 等.
课堂考点探究
探究一
全等三角形性质(xìngzhì)与判定的综合运用
中考数学专题复习第四单元三角形第18课时全等三角形
在△ CEB 和△ ADC 中, ∠ = ∠,
= ,
∴△ CEB≌△ADC(AAS),
∴BE=DC,CE=AD=2.5 cm.
∵DC=CE-DE,DE=1.7 cm,
图 18-1
∴DC=2.5-1.7=0.8 (cm),∴BE=DC=0.8 cm.
第八页，共二十八页。
课前双基巩固
∠ = ∠,
∴△ ACM≌△ABN(ASA),∴∠M=∠N.
第十九页，共二十八页。
课堂考点探究
探究二 利用全等三角形解决实际(íjì)问题
例 2 课间,小明拿着老师的等腰三角板玩,不小心掉到两墙之间,如图 18-13.
(1)求证:△ ADC≌△CEB;
(2)从三角板的刻度可知 AC=25 cm,请你帮小明求出砌墙砖块的厚度 a(单位:cm)的大小(每块砖的厚度相等).
[解析] ∵∠EBC+∠BCE=90°,∠BCE+
1.[八上 P56 复习题 12 第 9 题改编] 如图 18-1,∠ACB=90°,AC=BC,AD
⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为 D,E,若 AD=2.5 cm,DE=1.7 cm,则 BE 的长
为
.
∠ACD=90°,∴∠EBC=∠DCA.
∠ = ∠,
∠DCB,AD 过点 P,且与 AB 垂直.若 AD=8,则点 P 到 BC
的距离是
[答案] 4
[解析]过点 P 作 PE⊥BC 于 E,
∵AB∥CD,PA⊥AB,∴PD⊥CD,
.
∵BP 和 CP 分别平分∠ABC 和∠DCB,
∴PA=PE,PD=PE,
∴PE=PA=PD,∵PA+PD=AD=8,
图 18-16
= ,
= ,
∴△ CEB≌△ADC(AAS),
∴BE=DC,CE=AD=2.5 cm.
∵DC=CE-DE,DE=1.7 cm,
图 18-1
∴DC=2.5-1.7=0.8 (cm),∴BE=DC=0.8 cm.
第八页，共二十八页。
课前双基巩固
∠ = ∠,
∴△ ACM≌△ABN(ASA),∴∠M=∠N.
第十九页，共二十八页。
课堂考点探究
探究二 利用全等三角形解决实际(íjì)问题
例 2 课间,小明拿着老师的等腰三角板玩,不小心掉到两墙之间,如图 18-13.
(1)求证:△ ADC≌△CEB;
(2)从三角板的刻度可知 AC=25 cm,请你帮小明求出砌墙砖块的厚度 a(单位:cm)的大小(每块砖的厚度相等).
[解析] ∵∠EBC+∠BCE=90°,∠BCE+
1.[八上 P56 复习题 12 第 9 题改编] 如图 18-1,∠ACB=90°,AC=BC,AD
⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为 D,E,若 AD=2.5 cm,DE=1.7 cm,则 BE 的长
为
.
∠ACD=90°,∴∠EBC=∠DCA.
∠ = ∠,
∠DCB,AD 过点 P,且与 AB 垂直.若 AD=8,则点 P 到 BC
的距离是
[答案] 4
[解析]过点 P 作 PE⊥BC 于 E,
∵AB∥CD,PA⊥AB,∴PD⊥CD,
.
∵BP 和 CP 分别平分∠ABC 和∠DCB,
∴PA=PE,PD=PE,
∴PE=PA=PD,∵PA+PD=AD=8,
图 18-16
= ,
2019云南省中考数学一轮复习《第18讲：全等三角形》课件
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13
备考策略 旋转模型
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2 ．如图， C 是线段 BD 上一点，以 BC ， CD 为边在 BD 同侧作等边△ ABC 和等边
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备考策略
轴对称模型
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11
1．如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝CD，求证：OA＝OC．
证明：连接 AC， ∵AB⊥BC，AD⊥DC，∴∠D＝∠B＝90° . ∵在 Rt△CBA 和 Rt△ADC
△ABC≌△DEF.
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7
【解答】
∵AB∥DE，BC∥EF，
∴∠A＝∠EDF，∠F＝∠BCA． 又∵AD＝CF，∴AD＋DC＝DC＋CF，即 AC＝DF. ∠A＝∠EDF， ∵在△ABC 和△DEF 中，AC＝DF， ∠BCA＝∠F， ∴△ABC≌△DEF(ASA)．
HL)．
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第一部分 教材同步复习
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∴Rt△CBA≌Rt△ADC(HL)，∴∠BAC＝∠DCA，∴OA＝OC．
11
• 类型3 旋转模型 • 例3 如图，∠CAE＝∠BAD，∠B＝∠D，AC＝AE，求证：
△ABC≌△ADE.
【解答】 ∵∠CAE＝∠BAD， ∴∠CAE＋∠EAB＝∠EAB＋∠BAD，即∠CAB＝∠EAD， ∵在△ABC 和△ADE，∠ ∠BC＝AB∠＝D∠，EAD，
1
知识点二 全等三角形的判定
• 1．判定三角形全等的方法 • (1)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简记为SAS)； • (2)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简记为ASA)； • (3)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(简记为AAS)； • (4)三边对应相等的两个三角形全等(简记为SSS)； • (5)①____斜__边____和一条②_直__角__边_____对应相等的两个直角三角形全等
又∵AD＝CF，∴AD＋DC＝DC＋CF，即 AC＝DF. ∵在△ABC 和△DEF 中，∠ ACA＝＝D∠FE，DF，
∠BCA＝∠F， ∴△ABC≌△DEF(ASA)．
7
备考策略
• 平移模型
8
• 类型2 轴对称模型
• 例2 如图，AB＝AC，AD平分∠BAC，证明：△ABD≌△ACD．
不能再找边对应相等
不能找已对应相等的角 的对边对5 应相等
重难点 ·突破
重难点 全等三角形的判定 重点
• 类型1 平移型模型 • 例1 如图，已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD＝CF，求证：
△ABC≌△DEF.
6
【解答】 ∵AB∥DE，BC∥EF，
∴∠A＝∠EDF，∠F＝∠BCA．
【解答】 ∵AD 平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD．
∵在△ABD 和△ACD 中，∠ABB＝AADC＝，∠CAD， AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD(SAS)．
9
备考策略
• 轴对称模型
10
• 1．如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝CD，求证：OA＝OC．
证明：连接 AC， ∵AB⊥BC，AD⊥DC，∴∠D＝∠B＝90°. ∵在 Rt△CBA 和 Rt△ADC 中，AACB＝＝ACCD，，
• (2)探究两条线段的位置关系时，一般也是先利用全等的性质证明角相 等，进而利用角之间的关系来判断线段的位置关系．
19
谢谢观看！
已知对应相 等
的两个元素
寻找第三个对 应相等的元素
判定方法的选择
Hale Waihona Puke 两角任意一边“ASA”或“AAS”
两边
两边的夹角或 第三边
一角及其对 边
任意一角
一角及其一 任意一角或另
邻边
一邻边
“SAS”或“SSS”
“AAS” “AAS”或“ASA”或
“SAS”
温馨提示
不能找第三个角对应相 等
不能找已对应相等的边 的对角对应相等
∵AD⊥EF，FA⊥AC，∴∠FAE＝∠C＝90°. ∵在△AFE 和△CAB 中，∠ AEF＝AEB＝C，∠C，
∠DEA＝∠B， ∴△AFE≌△CAB(ASA)，∴AB＝EF.
17
备考策略
• 三垂直模型
18
备考策略
• (1)证明两条线段相等或者两个角相等时，常用的方法是证明这两条线 段或者这两个角所在的三角形全等．当所证的线段或者角不在两个全等 的三角形中时，可通过添加辅助线的方法构造全等三角形．它的步骤是： 先证全等，再利用全等的性质进行证明．
(简记为HL)．
2
• 【易错提示】 AAA和ASS不能判定两个三角形全等． • 如图1，△ABC与△A′B′C′的三个角都相等，但△ABC和
△A′B′C′不全等．
图1
3
• 如图2，在△ABC和△ABC′中，AB＝AB，AC＝AC′，∠B＝∠B，但 △ABC和△ABC′不全等．
图2
4
• 2．判定三角形全等的技巧
第一部分 教材同步复习
第四章 三角形
第18讲 全等三角形
知识要点 ·归纳
知识点一 全等三角形及其性质
• 1．全等三角形的概念 • 能够①___完_全__重__合__的两个三角形叫做全等三角形． • 2．全等三角形的性质 • (1)全等三角形的对应边②__相__等______，对应角③相_等_________. • (2)全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高、中位线)相等． • (3)全等三角形的周长④__相__等______，面积⑤相_等_________.
AC＝AE， ∴△ABC≌△ADE(AAS)．
12
备考策略
• 旋转模型
13
• 2．如图，C是线段BD上一点，以BC，CD为边在BD同侧作等边△ABC和 等边△CDE，AD交CE于点F，BE交AC于点G.
• 求证：△ACD≌△BCE.
14
证明：∵等边△ABC 和等边△CDE， ∴∠ACB＝∠ECD＝60°，AC＝BC，CD＝CE， ∴∠ACB＋∠ACE＝∠ECD＋∠ACE，即∠ACD＝∠BCE， 在△ACD 和△BCE 中，C∠DA＝CDC＝E，∠BCE，
AC＝BC， ∴△ACD≌△BCE(SAS)．
15
• 类型4 三垂直模型 • 例4 如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E在AC上，且AE＝BC，ED⊥AB
于点D，过A点作AC的垂线，交ED的延长线于点F.求证：AB＝EF.
16
【解答】 ∵ED⊥AB，∴∠ADE＝∠ACB＝90°.
∴∠DAE＋∠DEA＝∠DAE＋∠B＝90°，即∠DEA＝∠B．
11
• 类型3 旋转模型 • 例3 如图，∠CAE＝∠BAD，∠B＝∠D，AC＝AE，求证：
△ABC≌△ADE.
【解答】 ∵∠CAE＝∠BAD， ∴∠CAE＋∠EAB＝∠EAB＋∠BAD，即∠CAB＝∠EAD， ∵在△ABC 和△ADE，∠ ∠BC＝AB∠＝D∠，EAD，
1
知识点二 全等三角形的判定
• 1．判定三角形全等的方法 • (1)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简记为SAS)； • (2)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简记为ASA)； • (3)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(简记为AAS)； • (4)三边对应相等的两个三角形全等(简记为SSS)； • (5)①____斜__边____和一条②_直__角__边_____对应相等的两个直角三角形全等
又∵AD＝CF，∴AD＋DC＝DC＋CF，即 AC＝DF. ∵在△ABC 和△DEF 中，∠ ACA＝＝D∠FE，DF，
∠BCA＝∠F， ∴△ABC≌△DEF(ASA)．
7
备考策略
• 平移模型
8
• 类型2 轴对称模型
• 例2 如图，AB＝AC，AD平分∠BAC，证明：△ABD≌△ACD．
不能再找边对应相等
不能找已对应相等的角 的对边对5 应相等
重难点 ·突破
重难点 全等三角形的判定 重点
• 类型1 平移型模型 • 例1 如图，已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD＝CF，求证：
△ABC≌△DEF.
6
【解答】 ∵AB∥DE，BC∥EF，
∴∠A＝∠EDF，∠F＝∠BCA．
【解答】 ∵AD 平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD．
∵在△ABD 和△ACD 中，∠ABB＝AADC＝，∠CAD， AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD(SAS)．
9
备考策略
• 轴对称模型
10
• 1．如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝CD，求证：OA＝OC．
证明：连接 AC， ∵AB⊥BC，AD⊥DC，∴∠D＝∠B＝90°. ∵在 Rt△CBA 和 Rt△ADC 中，AACB＝＝ACCD，，
• (2)探究两条线段的位置关系时，一般也是先利用全等的性质证明角相 等，进而利用角之间的关系来判断线段的位置关系．
19
谢谢观看！
已知对应相 等
的两个元素
寻找第三个对 应相等的元素
判定方法的选择
Hale Waihona Puke 两角任意一边“ASA”或“AAS”
两边
两边的夹角或 第三边
一角及其对 边
任意一角
一角及其一 任意一角或另
邻边
一邻边
“SAS”或“SSS”
“AAS” “AAS”或“ASA”或
“SAS”
温馨提示
不能找第三个角对应相 等
不能找已对应相等的边 的对角对应相等
∵AD⊥EF，FA⊥AC，∴∠FAE＝∠C＝90°. ∵在△AFE 和△CAB 中，∠ AEF＝AEB＝C，∠C，
∠DEA＝∠B， ∴△AFE≌△CAB(ASA)，∴AB＝EF.
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备考策略
• 三垂直模型
18
备考策略
• (1)证明两条线段相等或者两个角相等时，常用的方法是证明这两条线 段或者这两个角所在的三角形全等．当所证的线段或者角不在两个全等 的三角形中时，可通过添加辅助线的方法构造全等三角形．它的步骤是： 先证全等，再利用全等的性质进行证明．
(简记为HL)．
2
• 【易错提示】 AAA和ASS不能判定两个三角形全等． • 如图1，△ABC与△A′B′C′的三个角都相等，但△ABC和
△A′B′C′不全等．
图1
3
• 如图2，在△ABC和△ABC′中，AB＝AB，AC＝AC′，∠B＝∠B，但 △ABC和△ABC′不全等．
图2
4
• 2．判定三角形全等的技巧
第一部分 教材同步复习
第四章 三角形
第18讲 全等三角形
知识要点 ·归纳
知识点一 全等三角形及其性质
• 1．全等三角形的概念 • 能够①___完_全__重__合__的两个三角形叫做全等三角形． • 2．全等三角形的性质 • (1)全等三角形的对应边②__相__等______，对应角③相_等_________. • (2)全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高、中位线)相等． • (3)全等三角形的周长④__相__等______，面积⑤相_等_________.
AC＝AE， ∴△ABC≌△ADE(AAS)．
12
备考策略
• 旋转模型
13
• 2．如图，C是线段BD上一点，以BC，CD为边在BD同侧作等边△ABC和 等边△CDE，AD交CE于点F，BE交AC于点G.
• 求证：△ACD≌△BCE.
14
证明：∵等边△ABC 和等边△CDE， ∴∠ACB＝∠ECD＝60°，AC＝BC，CD＝CE， ∴∠ACB＋∠ACE＝∠ECD＋∠ACE，即∠ACD＝∠BCE， 在△ACD 和△BCE 中，C∠DA＝CDC＝E，∠BCE，
AC＝BC， ∴△ACD≌△BCE(SAS)．
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• 类型4 三垂直模型 • 例4 如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E在AC上，且AE＝BC，ED⊥AB
于点D，过A点作AC的垂线，交ED的延长线于点F.求证：AB＝EF.
16
【解答】 ∵ED⊥AB，∴∠ADE＝∠ACB＝90°.
∴∠DAE＋∠DEA＝∠DAE＋∠B＝90°，即∠DEA＝∠B．