具有脉冲效应和Holling Ⅳ功能性反应的捕食者-食饵系统分析
具有Holling Ⅳ功能性反应的捕食系统的多重周期正解
具有Holling Ⅳ功能性反应的捕食系统的多重周期正解佟玉强;李卫东【摘要】利用重合度理论中的延拓定理,研究了一类食饵具有Smith增长和捕食者具有HollingⅣ型功能性反应的捕食者-食饵系统正周期解的存在性问题.运用分析技巧得到了两个有界开集和至少存在两个周期正解的充分条件.获得了一些新结果.【期刊名称】《辽宁大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(041)002【总页数】7页(P110-116)【关键词】捕食者-食饵系统;Holling Ⅳ型功能性反应;多周期解;重合度理论【作者】佟玉强;李卫东【作者单位】朝阳师范高等专科学校,辽宁朝阳122000;大连交通大学电气信息学院,辽宁大连116028【正文语种】中文【中图分类】O175.140 引言对于具有时滞的Logistic微分方程，许多学者[1～8］深入地研究了其动力学性质.然而，在食物有限情况下的科学实验表明[9］，单种群的相对增长率并不满足线性规律，更符合实际的却是非线性增长阻滞模型(即Smith模型或食物有限模型).对于如下具有Smith增长模型:其中，r(t)，k(t)，a(t)是具有周期ω ＞0 的恒正连续有界函数，bj(t)，dj(t)(j=1，2，…，m)是具有周期ω＞0的非负连续有界函数，状态依赖时滞τj，ηj是连续非负有界的ω周期函数，文献[10］给出了至少存在一个正周期解的充分性条件.本文中我们考虑食饵具有Smith增长和捕食者具有Holling IV型功能性反应的非自治捕食者－食饵两种群系统:其中，y1(t)，y2(t)分别表示 t时刻食饵和捕食者的种群密度，r(t)，a(t)，bj(t)，k(t)，c(t)，dj(t)，d(t)，D(t)，τj(t)，ηj(t)，σ(t)(j=1，2，3，…，m)和h(t)≠const都是周期ω ＞0 的恒正连续有界函数.关于系统(1)各参数的详细生态意义可参见文献[10，11］.记表示由[－τ，0］到的连续向量函数的全体.本文考虑初值问题其中近年来，重合度理论作为一种强有力工具，广泛应用于研究非自治系统的周期解问题[11～15］，但对存在两个以上周期解却不多见.本文利用延拓定理研究系统(1)周期解的存在性，给出了至少存在两个周期正解的代数判据.因此，本文改进和推广了文献[10］的研究成果.1 主要结果引理1是系统(1)的正向不变集.证明积分系统(1)即得，从略.为了证明系统(1)正周期解的存在性，现引入重合度理论中的延拓定理[16］如下: 设X，Z是赋范向量空间，L:DomL⊂X→Z为线性映射，N:X→Z为连续映射.如果dim KerL=dim)(Z/lm L)＜+∞且lm L为Z中的闭子集，称L为指标为零Fredholm算子.如果L为指标为零Fredholm算子，又存在连续投影P:X→X和Q:Z→Z满足lm P=KerL和lm L=DerQ=lm(I－Q)，那么可逆的，记其逆为KP.设Ω是X的有界开集，若)有界且是紧的，则称N在Ω¯是L－紧的.由于lm Q与KerL同构，因此存在同构映射J:lm Q→KerL.引理2设L是指标为零Fredholm算子，N在¯Ω上是L－紧的.假设则方程Lx=Nx在DomL∩¯Ω内至少存在一个解.对连续的ω周期函数g(t)本文采用记号:且令定理2 如果除正初值条件(2)外还满足则系统(1)至少存在两个ω周期正解.证明作变换yi(t)=exj(t)，i=1，2将系统(1)化为对λ∈(0，1)现考察系统我们取是系统(4)的ω周期解，对系统(4)各式两端从0到ω积分有由式(4)～(6)，我们得由于x∈X 所以存在ξi，ti∈[0，ω］，使得一方面，由式(6)和(9)得到结合式(7)，∀t∈[0，ω］有这显然蕴含着即据此，在定理所给定的条件下，可知存在q±＞0，使得另一方面，由式(6)和(9)得到，结合式(7)，∀t∈[0，ω］有这同样有即于是，在定理所给定的条件下，可知存在p±＞0使得由h(t)≠con st是恒正的ω周期函数，可以验证p－＜p+＜q+，且由hL=q－q+＜hu=p－p+有这样，由式(7)和(12)，∀t∈[0，ω］有类似地，我们利用式(9)和(13)，由式(5)得到即结合式(8)，∀t∈[0，ω］有再利用式(9)，(12)和(13)，由式(5)可得即则结合式(8)，∀t∈[0，ω］有取}定义范数，则在范数· 下X是Banach空间.令DomL⊂X，其中，再令N:X→X，即定义两个连续投影为易知KerL=lm P=R2，lm L=KerQ={x(t)∈X:¯x1=¯x2=0}是X的闭子集，dim KerL=dim(Z/lm L)=2.因此，L是指标为零Fredholm算子.定义L的广义逆为KP:lm L→DomL∩KerP如下:易于验证QN和KP(I－Q)N连续.由前面讨论可知ln q－＜ln p－＜ln p+＜ln q+＜ρ.我们取，显然M与λ的选取无关.令则Ω1，Ω2均为X的有界开集.下面我们根据Arzela-Ascoli定理，证明N在)上是L－紧的.对于，由Ω1定义可得因此)是R2上的有界集.易知，且由KP的定义知这表明集合{KP(I－Q)Nx:x∈Ω1}是一致有界且等度连续的，因此N在¯Ω1上是L －紧的.同理可证，N在上是L－紧的.综上讨论，根据及)，均有Lx≠λNx，于是引理 3的条件(a)满足.当 x是常值向量时，由积分中值定理知存在，使得由于代数方程组在定理理所给定的条件下存在正解:u=u±，v=v±，其中由于，且及所以可见，当时，x是 R2中的常值向量且QNx≠0，从而引理2 的条件(b)满足.注意到，直接计算得这里同构J可取恒同映射，因为lm Q=KerL.至此，Ω1，Ω2均满足引理3的所有条件.由引理3，系统(4)分别在Ω1和Ω2内均至少存在一个ω周期解.又Ω1∩Ω2=φ故系统(1)至少存在两个ω周期正解.证毕注:系统(1)至少有两个ω周期正解是无法用本文所列文献[11～14］的方法来判定的.易见，如果将系统(1)中时滞改为常时滞，那么定理的结论仍然成立.参考文献:【相关文献】[1]Gopalsamy K.Stability and Oscillations in Delay Differential Equations of Population Dynamics[M］.Kluwer Academic Publishers，Boston，1992.[2]Gyori I and Ladas G.Oscillation Theory of Delay Differential Equations[M］.Oxford Science Publications，Oxford，1991.[3]Lenhart SM and Travis C C.Global Stability of a Biological Model with TimeDelay[J］.Proc.Amer.Math.Soc.，1986，96:75 －78.[4]Kuang Y.Differential Equations with Applications in Population Dynamics[M］.Academic Press，Boston，1993.[5]Yu JS.Global Attrativity of Zero Solution for a Class of Functional Equtions and its Applications[J］.CIENCE IN CHINA(Series)(in Chinese)，1996，26:23 －33.[6]Li Y K.On a Periodic Logistic Equation with Several Delays[J］.Advances in Mathematics，1999，28(2):135 －142.[7]范猛，王克.具有遗传效应单种群模型的正周期解[J］.应用数学，2000，13(2):58－61.[8]Chen F D，Shi J L.Periodicity in a Logistic Type System with SeveralDelays[J］.Computers and Mathematics with Applications，2004，48:35 －44.[9]Smith F E.Population Dynamics in Daphnia Magna and a new Model for Population Grow th [J］.Ecdagy，1963，44:651－663.[10]Chen R D，Sun D X，Shi J L.Periodicity in a food-limited Population Model with Toxicants and State Dependent Delays[J］.Mathematical Analysis and Applications，2003，288:136 －146.[11]叶丹，范猛，张伟鹏.一类捕食者－食饵系统正周期解的存在性[J］.生物数学学报，2004，19(2):161－168.[12]张正球，王志成.基于比率的三种群捕食者－食饵扩散系统的周期解[J］.数学学报，2004，47(3):531－540.[13]高建国.具有时滞和基于比率的一类捕食者－食饵系统全局周期解的存在性[J］.生物数学学报，2005，20(3):315－329.[14]程荣福.一类具生物控制的多滞量捕食模型正周期解的存在性[J］.北华大学学报，自然科学版，2010，11(1).1－6.[15]田德生，朱长青，朱永松.HollingⅣ 捕食－食饵时滞系统的多个周期解[J］.纯粹数学与应用数学，2009，25(2):339－345.[16]Gaines R E，Mawhin J L.Coincidence Degree and Nonlinear DifferentialEquations[M］.Berlin:Springer-Verlag，1977:40－45.。
一类带Holling Ⅳ型功能反应函数的捕食者-食饵模型的整体解
作者简介 ： 芬 （９ ６一 ， ， 李 １ ８ ） 女 硕士研究生 ， 主要从事偏微分方程及其应用研究
第 １ 期
李
芬 ： 类 带 Ｈ ｌｎ 一 ｏ ｉｇⅣ型 功 能 反 应 函 数 的 捕 食 者 一 饵 模 型 的 整 体 解 ｌ 食
３ ３
解的整体存在性． 以下为方便起见， ． ＝｜ （Ｉ），Ｉ ｉ＝ｌ 。 约 定 ｃ， Ｓ ｂ ｌｖ 入 常数 记『 『 。 ・ ． 『 ． Ｋ 是 ｏ ｏｅ 嵌
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或其 他绝 对 常数． 问题 （ ． ）的局 部解 的存在 唯一 性 是 Ａ ｎ １１ ｍａ ｎ的系 列论 文 定理 １ １ 设 非 负 函数 ‰ ，。∈ ． 的直 接推 论 ， 简述 如下 ： （ ， ＞ ｎ 则 问 题 （ ． ）存 在 唯 一 非 负 解 ｕ ∈ Ｃ ［ ， ） 力）Ｐ ， １１ ， （０ Ｔ ，
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本 文讨论 如下 带 自扩散和 交错 扩散 的捕食 者 一 饵模 型 食
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第１ １卷 第 １ 期
２１ ０ ０年 ２月
北华大学学报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ Ｕ Ｎ Ｌ Ｏ Ｅ Ｈ Ａ Ｕ Ｉ Ｅ ＳＴ Ｎ ｔｒｌ ｃ ｎ ｅ Ｏ Ｒ Ａ Ｆ Ｂ Ｉ Ｕ Ｎ Ｖ Ｒ ＩＹ（ ａ ａ Ｓ ｉ ｃ ） ｕ ｅ
具Holling Ⅳ功能反应和避难所的捕食系统的定性分析
具Holling Ⅳ功能反应和避难所的捕食系统的定性分析赵磊;郑唯唯【摘要】研究一类具Holling Ⅳ类功能反应且食饵具有避难所的捕食食饵系统.通过定义Dulac函数,给出了系统正平衡点全局渐进稳定的充分条件.通过构造Bendixson环城,给出了极限环存在的充分条件.%A predator-prey model with Holling Ⅳ functional response incorporating a constant prey refuge is investigated. Depending on a constant prey refuge, for the model,the necessary and sufficient condition of the global stability properties of the equilibria and the existence of limit cycles are given by defining a Dulac function and constructing a Bendixson ring.【期刊名称】《西安工程大学学报》【年(卷),期】2012(026)006【总页数】4页(P807-810)【关键词】避难所;Holling Ⅳ功能反应;极限环【作者】赵磊;郑唯唯【作者单位】西安工程大学理学院,陕西西安710048;西安工程大学理学院,陕西西安710048【正文语种】中文【中图分类】O175.140 引言文献［1］研究了一类具HollingⅢ类功能性反应且食饵具有避难所的捕食食饵系统的平衡点的全局稳定性及极限环的存在惟一性．文献［2］研究了一类食饵具有避难所且具有常数收获率的捕食食饵模型．文献［3］研究了一类具有避难所和扩散的捕食食饵系统的混沌现象及其Hopf分支．文献［4］研究了具BD功能反应和阶段结构的捕食系统．文献［5－6］研究了一类捕食模型解的存在性．文献［7－10］研究了一类带有扩散项的捕食模型的共存态和全局分歧．文献［11］研究一类具有Allee效应和庇护效应的捕食系统模型．本文研究一类具HollingⅣ类功能性反应且食饵具有避难所的捕食食饵系统其中 x表示食饵种群的密度，y表示捕食者种群的密度，α表示食饵种群的内禀增长率，k表示食饵种群的环境容纳量，m表示一个庇护常数，d表示捕食者的死亡率，α，β，a，c，d，m，k是正常数．1 模型的基本性质令Ω0＝｛（x，y）｜x＞m，y＞0｝，根据生物学意义，仅在Ω0或上研究系统（1）．由系统（1）的第一个方程，根据比较定理，易得引理1 系统（1）满足初始条件x（0）＞m，y（0）＞0的解（x（t），y（t））对于所有的t是正的且是有界的．证明显然系统（1）满足初始条件x（0）＞m，y（0）＞0的解（x（t），y （t））对于所有的t是正的．定义函数ω（x，y）＝cx＋y．∀ε＞0，在t充分大时，有x（t）≤k＋ε．沿着系统（1），有˙ω≤2cα（k＋ε）－min｛d，α｝ω．在t充分大时，有ω≤2cα（k＋ε）／min｛d，α｝．为了简单起见，做代换系统（1）变为（这里仍然用x，y，t代表其中 b＝α／k．Ω0转变成了Ω＝｛（x，y）｜x＞0，y＞0｝，且系统（2）是有界的．易知系统（2）最多有3个平衡点E（k－m，0），E1（x1，y1），E2（x2，y2）．其中这里始终假设引理2 当m＞k－x1或m＜k－x2时，E（k－m，0）是稳定的结点．当k－x2＜m＜k－x1时，E（k－m，0）是鞍点．如果k≤ （3／2）x1＋（1／（2a））x－11 ，当0＜m ＜k－x1 时，E1（x1，y1）是稳定的焦点或结点．如果k＞（3／2）x1＋（1／（2a））x－11 ，当0＜m ＜m1 时，E1（x1，y1）是不稳定的焦点或结点．当m1＜m＜k－x1时，E2（x2，y2）是稳定的焦点或结点．当0＜m ＜k－x2 时，E2（x2，y2）是鞍点．证明系统（2）在点E（k－m，0）的Jacobian矩阵为易看出－bk［1＋a（k－m）2］＜0．令f（m）＝－d＋cβ（k－m）－ad（k－m）2．当m＞k－x1或m＜kx2时，f（m）＞0，故E（k－m，0）是稳定的焦点或结点．当k－x2＜m＜k－x1时，f（m）＜0，故E（k－m，0）是鞍点．系统（2）在点E1（x1，y1）的Jacobian矩阵为其中由假设知．所以又Δ＝故R（m）＝0有2个相异实根，设为m1，m2，其中易知R（m）的对称轴为，当时，即当时，有m1≤0，m2＞k．对0＜m＜k－x1，R（m）＞0，又｜J（E1）｜＞0，所以E1（x1，y1）是稳定的焦点或结点．当时，即当时，有0＜m1 ＜k－x1．对0＜m ＜m1，R（m）＜0，又｜J（E1）｜＝（cβ－2adx1）x1y1 ＞0，所以E1（x1，y1）是不稳定的焦点或结点．对m1 ＜m ＜k－x1，R（m）＞0，又｜J（E1）｜＝（cβ－2adx1）x1y1 ＞0，所以E1（x1，y1）是稳定的焦点或结点．系统（2）在点E2（x2，y2）的Jacobian矩阵为由｜J（E2）｜＝（cβ－2adx2）x2y2 ＜0，知对0＜m ＜k－x2，E2（x2，y2）是鞍点．引理3 如果m＞k－x1，则E（k－m，0）是全局渐近稳定的．证明当m＞k－x1时，E（k－m，0）是系统（2）惟一的平衡点．如果系统（2）在Ω内存在一条闭轨线，那么在这条闭轨线内部必存在一个平衡点，这是不可能的．因此系统（2）对m＞k－x1不存在极限环．从系统（2）的有界性知，E（k－m，0）是一个全局渐近稳定的．2 正平衡点的全局稳定性定理1 假设（H1）～（H4）中任意一个条件成立，则系统（2）的正平衡点E1（x1，y1）是全局渐近稳定的．注意到φ（0）＝k（k－m）＞0，易得Δ＝当k－2m≤0，－（amk－am2－1）≥0时，即k≤min｛2m，m＋1／（am）｝时，在［0，＋∞）上，φ′（x）≥0，所以D≤0．系统（2）不存在极限环．当k－2m≥0，Δ≤0，即2m≤k≤（1／3）证明定义Dulac函数B（x，y）＝x－1 y－1，由系统（2），有时，在［0，＋∞）上，φ′（x）≥0，所以D≤0．系统（2）不存在极限环．如果（H1）～（H4）中任意一个条件成立，则E1（x1，y1）是局部渐近稳定的且系统（2）在Ω中不存在极限环，由系统（2）的有界性知E1（x1，y1）是全局渐近稳定的．3 极限环的存在性定理2 假设k＞（3／2）x1＋（1／（2a））x－11 ，0＜m ＜m1，系统（2）在Ω 中至少存在一个极限环．证明对系统（2），构造一个包含E1（x1，y1）的Bendixson环域定义是直线L1：y＝0的一段是直线L2：x－（k－m）＝0的一段．定义其中系统（3）过B（k－m，x1）的轨线交直线x＝x1于点，得到了是直线L3：y－＝0的一段是直线L4：x＝0的一段．因为是系统（2）的轨线，又对，比较系统（2）与系统（3），得因此故，与系统（2）相交的正半轨均穿入环域另一方面，有假设知E1（x1，y1）是不稳定的焦点或结点．故由Poincare－Bendixson定理知，系统在⊂Ω中至少存在一个极限环．【相关文献】［1］ CHEN Liujuan，CHEN Fengde，CHEN Lijuan．Qualitative analysis of a predator－prey model with Holling type II functional response incorporating a constant prey refuge ［J］．Nonlinear Analysis：Real World Applications，2010，11（1）：246－252．［2］ JI Lili，WU Chengqiang．Qualitative analysis of a predator－prey model with constant rate prey harvesting incorporating a constant prey refuge［J］．Nonlinear Analysis：Real World Applications，2010，11（4）：2 285－2 295．［3］ LIU Xia，HAN Maoan．Chaos and Hopf bifurcation analysis for a two species predator－prey system with prey refuge and diffusion［J］．Nonlinear Analysis：Real World Applications，2011，12（1）：1 047－1 061．［4］赵磊，郑唯唯．具B－D功能反应和阶段结构的捕食系统研究［J］．纺织高校基础科学学报，2012，25（2）：141－145．［5］徐娟，李艳玲．一类捕食食饵模型正平衡解的存在性［J］．纺织高校基础科学学报，2012，25（2）：149－154．［6］任翠萍．一类捕食－食饵模型解的存在性［J］．西安工程大学学报，2010，24（4）：535－539．［7］刘立昭；李艳玲．一类带交叉扩散项的捕食－食饵模型的共存态［J］．纺织高校基础科学学报，2011，24（3）：353－357．［8］柴俊平，李艳玲．带有交叉扩散项的捕食－食饵模型的全局分歧［J］．纺织高校基础科学学报，2011，24（4）：489－494．［9］张岳，李艳玲．带有交叉扩散项的 Holling－typeⅡ捕食－食饵模型的共存［J］．纺织高校基础科学学报，2010，23（4）：439－444．［10］张玉，李艳玲，闫焱．带有扩散项的三物种捕食－食饵模型的全局分歧［J］．纺织高校基础科学学报，2009，22（1）：15－20．［11］罗立贵，郑唯唯．一类具有 Allee效应和庇护效应的捕食系统模型［J］．西安工程大学学报，2012，3（3）：381－383．。
两类具有Holling功能反应的食饵—捕食者模型的定性分析
南京航空航天大学硕士学位论文两类具有Holling功能反应的食饵—捕食者模型的定性分析姓名：***申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：***20070301南京航空航天大学硕士学位论文摘要近年来，捕食关系成为数学与生态学界研究的一个重要课题。
食饵—捕食者相互作用的研究具有非常重要的理论意义和应用价值，其中生物种群持续生存是捕食理论中的一个重要而又广泛的问题，它受到越来越多的学者的关注。
本文在已有的Lotka-Volterra模型的基础上，对两类具有Holling型功能反应函数的食饵—捕食者模型进行了讨论。
本文首先讨论了一类两种群具有密度制约的Holling III类功能反应模型。
利用定性分析的方法，讨论了模型在收获率条件下平衡点的稳定性，解的有界性，极限环的存在性问题。
然后本文讨论了一类具有两捕食者和一食饵三种群并有Holling型功能反应的周期系数的三维模型，利用Brouwer不动点定理，得到系统存在唯一、全局渐近稳定周期解的充分条件。
最后本文进一步考虑概周期情形，讨论了对应的概周期系统的一致持续生存性，得到了存在唯一、全局渐近稳定正概周期解的充分条件。
这些结果推广了已知的一些结论。
关键词：食饵—捕食者系统，Holling III功能反应，正周期解，正概周期解，全局渐近稳定性I两类具有Holling功能反应的食饵—捕食者模型的定性分析IIAbstractIn recent years, the predator-prey relation has become a very important part inmathematics and ecology. The predator-prey theory has a great importance in both theory and applications. One of the most important questions in population ecology is to find the permanence conditions for the species, which has received a great deal of attention of many mathematicians and biologists. Based on the Lotka-V olterra population models, this thesis studies two classes of predator-prey systems with Holling functional responses. Firstly, this thesis studies the predator-prey system with Holling’s type III functional response under density restriction and linear harvesting rate. Using qualitative analysis methods, the paper studies the boundedness of solutions and the existence of limit cycles. Secondly, two-predator and one-prey systems of three species with Holling’s type III functional response and periodic coefficients are studied. With the help of differential inequality and Liapunov functions, some sufficient conditions are obtained for the existence and global stability of positive periodic solutions and positive almost periodic solutions. These results generalize some existing results.KEY WORDS: prey-predator system, Holling’s type III functional response, positive periodic solution, positive almost periodic solution, global asymptotic stability承诺书本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作所取得的成果。
一类具有Holling Ⅳ型功能性反应捕食模型的定性分析
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学 者 们研型 功能 性反 应捕 食一 食 饵模 型 。 ， 其 中文献 ［ ７ ］ 分 析 了食饵 种
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摘 要 ：对 一 类 食 饵 种 群 具 有 常 数 收 获 率 的简 化 Ｈｏ ｌ ｌ ｉ ｎ ｇ Ｉ Ｖ 型功能性反应 捕食一 食饵模 型进行 了研究． 通 过 对 模型等倾线性态 的讨论 ， 给 出 了 系 统 平 衡 点 存 在 的条 件 ， 并 分 析 了平 衡 点 的稳 定 性 ． 最后 用 Ｄ ｕ ｌ ａ ｃ函 数 法 并 借 助 于 盛 金 定 理得 到 了 极 限 环 不 存 在 的充 分条 件 ． 关键词 ： Ｈｏ ｌ ｌ ｉ ｎ ｇ Ｉ Ｖ 型 功 能 反 应 函数 ； 定 性 分 析 ；平 衡 点 ； 极 限环
ｓ ｈ ａ ｐｅ，ａｎ ｄ ｔ ｈｅ ｓ ｔ ａｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ ｔ ｈｅ ｅ ｑｕｉ ｌ ｉ ｂｒ ｉ ｕｍ ｐ ｏｉ ｎ ｔ ａ ｒ ｅ ａ ｎ ａ ｌ ｙｓ ｅ ｄ． Ｆｉ ｎａ ｌ ｌ ｙ， ｔ ｈｅ ｎｏ ｎｅ ｘ ｉ ｓ ｔ ｅ ｎｃ ｅ ｏ ｆ ｔ ｈｅ ｃ ｌ ｏｓ ｅ ｄ ｏ ｒ ｂｉ ｔ ｉ ｓ
Holling-iv型功能反应函数的脉冲捕食系统定性分析
文章编号 ： １ ６ ７ ２ — ３ １ ９ ８ （ ２ Ｏ ｌ ３ ） Ｏ ６ 一 Ｏ １ ７ ６ 一 Ｏ ３
Ｖ ｏ ＝｛ ｙ： Ｒ＋ ×Ｒ ａ Ｒ＋， 在（ 丁， （ ＋ １ ） Ｔ ］ × 脉冲现象作为一种 瞬时突变现象， 在现代科技各领域 非 负 整 数 集 ， 上 连续 ， 且 ｌ ｉ ｍ （ ￡ ， ） 一Ｖ（ Ｔ ＋， ） 存 在） 。 的实际问题中普遍存在 ， 其数学模型往往可归结为滕神微 Ｒ
（ 南京 航 空航 天 大 学理 学 院 ， 江苏 南京 ２ 究了功能反映 函数 为 Ｈｏ ｌ ｌ ｉ ｎ ｇ —ｉ ｖ型 的捕食 一食饵 系统， 对其在 脉冲 状 态下 。 利 用脉 冲微 分 方程 的 比较 原 理、 Ｆ ｌ ｏ ｑ ｔ ｌ ｅ ｔ 定理等 ， 分析 了该 系统的解的穗 定性 与 系统的持久性 ， 得 到 了系统稳 定性与持久性 的条件 。
＾． ． ０ ， ‘
泛 函分析 的理论 ， 证 明 此 系 统 周 期 解 的存 在 性 ； 等等 。 本 文 主要 针 对 系统 （ １ ） ， 研 究 在 脉 冲 状 态 下 平 衡 点 的 稳
Ｘ（ Ｏ ＋） ＞Ｏ ， 则 Ｘ（ ￡ ） ＞０ ， 对所有 的 ￡ ≥Ｏ 。
定 性与 系统的持久 性 ：
１ 预 备知 识 为单调不 减的 。如果 ｒ （ ｆ ） 是 下面纯量脉 冲微 分系统 ： 记Ｒ ＋＝［ ０ ， ｏ ｏ ） ， Ｒ ＝｛ ｚ ∈Ｒ 。 ： ≥０ ） ， Ｏ －ｉ ｎ ｔ Ｒ ￣ － ， Ｎ 为
其 中函数 ｇ： Ｒ＋×Ｒ ａ Ｒ＋满 足条 件 （ Ｈ） ， ： Ｒ＋ａ Ｒ＋
具Holling-IV功能反应捕食系统的平衡点分析
Ｅｑｕ ｉ ｌ ｉ ｂ ｒ ａ ａ ｎ ａ ｌ ｙ ｓ ｉ ｓ ｏ ｆ ａ ｐｒ ｅ ｙ－ ｐ ｒ ｅ ｄ ａ ｔ ｏ ｒ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ｗｉ ｔ ｈ Ｈｏ ｌ ｌ ｉ ｎｇ － Ｉ Ｖ ｆ ｕｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ ｒ ｅ ｓ ｐ ｏ ｎｓ ｅ
ＣＨＥ Ｎ Ｊ ｉ ａ ｎ ｇ ． ｂ ｉ ｎ
陈 江彬
（ 福州大 学至诚 学院，福建 福州 ３ ５ ０ ０ ０ ２ ）
摘要 ： ２ ０ １ ０年 已研 究 了 系统 ｄ ｘ （ １
一
－
一 ：
）一
，
＝ （
一Ｄ）
正解 的有界性 ， 正平衡点不稳定 时系统至 少存在一 个稳 定极 限环 ， 以及 利用 Ｈ ｏ ｐ ｆ 分 支理论 讨论 了系统 至少存在 两
ｄ ｘ
（ １
一
－ —ｋ ２ ｘ ２ ）一
， ｄ ＝ｙ （ ｔ
一Ｄ） ，
，
ａ ｎ ｄ ｈ ａ ｓ ｇ ｏ ｔ ｔ ｅ ｎ ｓ ｏ ｍｅ ｒ ｅ ｓ ｕ ｌ ｔ ｓ：ｐ ｏ ｓ ｉ ｔ ｉ ｖ ｅ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎｓ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ａ ｒ ｅ ａ ｌ ｌ ｂ ｏ ｕ ｎ ｄ ｅ ｄ
ｓ ｔ ｕｄｉ ｅ ｓ．
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄｓ：Ｈｏ ｌ ｌ ｉ ｎｇ ・ Ｉ Ｖ ｆ ｕｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ；ｐ ｒ ｅ ｙ — ｐ ｒ ｅ ｄ ａ ｔ ｏ ｒ ；ｅ ｑ ｕ ｉ ｌ ｉ ｂ ｒ ｉ ｕ ｍ ｐ ｏ ｉ ｎ ｔ
在 种群 动力 系统 中 ， 具 Ｈｏ ｌ ｌ ｉ ｎ ｇ功 能 反 应 函 数 的 捕 食 模 型 具 有 重 要 的 地 位 ， 已经 有 相 当多 的 学者 对 此 进 行 了大量 的研究 ， 如文 献 ［ １—８］ ．其 中 ， 文献 ［ １—４］ 对 具 有 Ｈｏ Ｉ ｌ ｉ ｎ ｇ — Ｉ Ｖ功 能反 应 函数 的捕 食 系统 进 行 研 究 ， 得到 很好 的结果 ； 本 文是 继续 文献 ［ １ ］ 的 研 究 考 虑 具 Ｈｏ ｌ ｌ ｉ ｎ ｇ ． Ｉ Ｖ 功 能 反 应 函 数 的 食 饵 一捕 食 者 系 Ｚ ｈ ｉ ｅ ｈ ｅ ｎ ｇ ， Ｆ ｕ ｚ ｈ ｏ ｕ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｎ ｉ ｔ ｙ ， Ｆ ｕ ｚ ｈ ｏ ｕ ， Ｆ ｕ ｊ ｉ ａ ｎ ３ ５ ０ ０ ０ ２ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
具Holling-IV功能反应函数的捕食系统的定性分析
具Holling-IV功能反应函数的捕食系统的定性分析种群生态学,是生物数学的一个重要研究分支.而种群之间的相互制约问题,是生物入侵问题研究的重点.种群之间的相互制约关系可以用一个函数来表示,称为功能反应函数.根据种群的不同,功能反应函数可以划分为很多类,如Holling型、Beddington型等等,而本文主要研究功能反应函数应用较为广泛的Holling-IV型的系统.本文首先介绍了具有Holling-IV型功能反应函数的捕食系统的提出与目前的研究状况.其次,本文讨论了该系统的平衡点的存在性与稳定性,具有正初始条件的解的有界性,极限环存在和不存在的充分条件.然后,本文研究了具有时滞和Holling-IV型反应函数的捕食系统,采用时滞微分方程的理论,分析时滞系统的平衡点的稳定性和Hopf分岔,得出了系统稳定和分岔的一些充分条件.最后,对于具有脉冲和Holling-IV型功能反应函数的捕食系统,利用脉冲微分方程理论的比较定理、Floquent定理等对脉冲系统进行分析,得到了该系统的稳定与持久的一些充分条件.。
具有脉冲和Holling Ⅳ类功能反应的三维捕食系统
即 （， ， 在 ｔ ｔ时单调不增 ， ｔ。 ｔ ） ＞ 。 ｔ 且可计算得 （ ＋ ） ，， ） 。下面采用数学归纳法证明： ｔ １ Ｐ （ ０ ＝ 当 ∈
１ 持 续 生存 性
定义 １ 如果 存在 正 的常数 ，和 使 得 系统 （ ） Ｊ １ 的任何 正解 （ （） （） （ ） 满 足 ： ｔ ，。 ｔ ，， ｔ ）
≤ ｌ ｆ （） ｌ ｕ ｘ（） ， ＝１２ ３ ｉ ｉ ｘ ≤ ｉ ｓｐ ≤ ａ ｒ ｎ ａ ｒ ｉ ，， ，
），Ｏｍ） ； 妻则 ＜（≤ ｔ
（ 若ｅ（ 一＜≤， Ｏ）∞ （ Ｄ ） ，ｒｔ ∞ ０ ｉ ｘ 一 １Ｐ ０ （ ＝１ ｉ ｐ ） ） ｍ ＋ 素则 （≥ ＞； ｅ）
（ｉ 若 ＰＩＯ 对 方程 （ ） ｉ） ｉ ＞ ， ４ 的任意 正解 ｍ（）＞ ０和 ＞ ， Ｔ Ｏ： ｔ Ｔ 有 ｍ（） ＋ ０ Ｉ 当 １ ， ＞ ＞ ｔ≤ 。
Ａｂ ｔａ ｔ Ａ ｔｒｅｓ ｅ ｉｓｐ ｅ ａｏ—ｒｙ ｓｓｅ ｗｉ ｍｐ ｌｅ ａ ｄ Ｈｏｌ ｇ １ ｕ ｃｉｎ ｌｒｓ ｏ ｓ ｓｄｓｕ ｓｄ Ｔ ｅ ｐ ｒｉ ・ ｓｒ ｃ ｈｅ —ｐ ｃｅ ｒｄ ｔｒｐｅ ｙ ｔｍ ｔ ｉ ｕｓ ｎ ｌｎ Ｖ ｆｎ ｔ ａ ｅ ｐ ｎ ｅ ｉ ｉ ｓｅ ． ｈ ｅｓｓ ｈ ｉ ｏ ｃ ｔ
因此 ， 文建 立 了在 固定时刻 具有 脉 冲效应 和 Ｈ ｌｎ 类 功能反 应 的三 维捕 食 系 统 ， 式 （ ） 研 究 本 ｏ ｉｇＩ ｌ Ｖ 见 １，
了该 系统 的相关 动力 学性质 ， 给 出了保持 这 些性质 时 脉冲项 应满 足 的界 限 。 并
具Ivlev功能反应函数的捕食者—食饵反应扩散系统的动力学性质
具Ivlev功能反应函数的捕食者—食饵反应扩散系统的动力学性质微分方程在力学、物理学、管理科学、经济学和生物学等许多实际问题中均具有广泛应用,本文主要研究微分方程在种群问题中的应用。
如果种群的生命较长,各个世代彼此重叠,如人和很多脊椎动物、多年生植物等,可以近似地认为其种群增长是连续的,可用微分方程来描述该种群的发展变化规律。
首先,生物经常从一地区转移到另一地区,这种地区之间的物种扩散,有利于各地生物群落的演替,丰富了每个地区物种的多样性。
其次,物种之间相互作用也会影响物种的数量,其中捕食者-食饵是常见的相互作用。
再次,任何物种都有成熟期,因此时滞对种群变化也起到重要的影响。
上述现象可用偏微分方程或泛函微分方程进行刻画,因此,偏(泛函)微分方程的动力学行为的研究是一个极其重要的研究课题。
在研究微分方程的解的定性理论中,分支问题是一个重要的方向,分支问题就是研究当参数(如种群的成熟期、环境容量或者捕食率等)变化经过某些临界值时,微分方程的解的定性结构和拓扑结构发生变化。
本文主要通过使用微分方程中心流形理论、规范型方法、Hopf分支和稳态分支定理、特征值分析、上下解方法,以及极值原理、比较原理等,对几类连续种群的偏(泛函)微分方程模型进行了深入的研究。
其主要的工作归纳如下:(1)对一类具有Ivlev型功能反应函数和Neumann 边值的捕食者-食饵模型,通过分析特征值的分布证明了平衡点的局部稳定性和空间齐次周期解以及空间非齐次周期解的存在性,以及稳态分支的存在性。
通过偏微分方程中心流形理论以及规范型方法分析了Hopf分支方向以及所分支出的周期解的稳定性。
(2)对一类具有Ivlev型功能反应函数和Neumann边值的捕食者-食饵模型,研究了时滞对系统的动力学行为的影响。
通过对特征方程的分析,讨论了非负平衡解的稳定性和Hopf分支的存在性。
并且应用规范型方法以及中心流形理论,讨论了Hopf分支周期解的稳定性和分支周期解的分支方向。
具Holling-Ⅳ型功能反应函数的捕食者—食饵系统的定性分析
具Holling-Ⅳ型功能反应函数的捕食者—食饵系统的定性分析本文研究一类具Holling-IV型功能反应函数的捕食者-食饵系统: 由其生态意义,只在（R+）|-<sup>2</sup> ={（x,y）|x≥0,y≥0}上对系统（*）进行讨论。
第一部分,对系统（*）奇点的性态,特别是对正平衡点的性态作出了全面的定性分析; 第二部分,运用Poincare形式级数法进行细焦点的焦点量的计算,得出了正平衡点（ x<sub>1</sub> ,y<sub>1</sub>）至多为二阶稳定细焦点的结论; 第三部分,给出唯一正平衡点（ x<sub>1</sub> ,y<sub>1</sub>）为全局渐近稳定的参数条件,还证明了系统（*）所有的正初始条件的解有界,且当（ x<sub>1</sub> ,y<sub>1</sub>）为不稳定平衡点时,系统在（R+）
|-<sup>2</sup> ={（x,y）|x≥0,y≥0}上至少存在一个稳定极限环; 第四部分,讨论系统（*）的分支问题: 1.运用图示法,我们可以清楚描绘正平衡点
（ x<sub>1</sub> ,y<sub>1</sub>）由二阶细焦点到一阶细焦点的变化过程; 还利用Hopf分支理论研究系统的极限环问题,得出系统在一定条件下至少存在两个极限环; 2.对退化孤立奇点的分支情况进行研究。
一类具有Holling IV类功能反应的时滞捕食系统周期解
Ｌ 声 ＝ ＝ ＋
对 于 ∈ Ｃ（ ［ 一１ ， ０ ］ ， Ｒ ） ， 定义
１ ２ ］ ８ （ ０ ） ＋ ［ ］ ｃ ＋ １ 。
Ｉ ｆ ｄ ， ’ 一１ ≤０ 、 ＜０ ＼ ， Ａ （ ） 一｛ 。 Ｉ ｄ Ｉ ＇ ７ （ ， ） （ ） ， ０ 一。
动力学 性 质 的一 个 重要 因素 就是 功能 性反 应 函数 。从 著名 的 Ｌ ｏ ｔ ｋ ａ — Ｖｏ ｌ ｔ ｅ ｒ ｒ ａ 捕 食系 统开 始 ， 已经有 很 多
关 于不 同功 能 性 反应 函数 的捕食 系统 研 究 成果 。最 近 ， 李 冰 等 研 究 了一 类 具 有非 单 调 Ｈｏ ｌ ｌ ｉ ｎ ｇ Ｉ Ｖ
理 和规 范型理 论得 到确 定 Ｈｏ ｐ ｆ 分岔的方向、 分岔 周 期 解 的稳 定 性 和 周 期 大 小 的 计 算公 式 。最
后 利 用仿 真示例 ， 验 证 了所 得 结 果 的 正 确 性 。
滨
州 Ｂ
学
关键词 ： 时滞 ； Ｈｏ ｌ ｌ ｉ ｎ ｇ Ｉ Ｖ 类功 能性反 应 函数 ； Ｈｏ ｐ ｆ 分岔； 分岔 周期 解
・
。 ） ］ ，
３ ４ ・
第 ２期
张子振 ， 缑 超博 ， 齐子 健 ， 等 一 类具 有 Ｈｏ ｌ ｌ ｉ ｎ ｇ Ｉ Ｖ类 功 能反应 的时滞 捕食 系统 周期 解 ＋６ ２ ３ ｑ ２ ｅ 。 ＋ｂ ２ ４ ｅ ） ］ ，
ｇ １ １一 一 ＤＥ ２ ｂ １ ｌ ＋ｂ ｌ ｚ （ ｑ ｚ ＋ｑ ２ ） ＋ｂ １ ３ ｑ ２ ｑ ２ ＋ （ ６ ２ ｌ ｑ ｚ ｑ ２ ＋ｂ ２ ｚ ｅ ｇ 。 一 ２ ｔ ｏ — Ｄ［ ｂ ＋ ｂ ｎ ｑ ＋ｂ １ ３ － ｝ － ｑ 一 ￣（ ６ 。 ＋易 ｅ
一类具有脉冲效应的食饵-捕食者模型研究
本科生毕业论文(设计)题目一类具有脉冲效应的食饵-捕食者模型研究姓名学号院系班级导师答辩时间目录摘要 (2)1 绪论 (3)1.1 研究背景 (3)1.2 研究意义 (3)1.3 研究目的 (4)2 脉冲发生在整周期的食饵-捕食者模型 (5)2.1 预备知识 (5)2.2 整周期脉冲 (6)3 脉冲发生在非整周期的食饵-捕食者模型 (7)3.1 预备知识 (9)3.2 非整周期脉冲 (10)4 结果分析 (11)5 结论 (14)参考文献 (15)一类具有脉冲效应的食饵-捕食者模型研究学生姓名指导教师：摘要：当前生物数学领域最为热点的问题之一就是害虫综合治理这一课题，伴随着生物数学越来越发展进步，研究者们对于害虫综合治理问题的解决方案和针对这一问题建立的模型也越来越接近生活实际，更能科学有效的完成课题目标。
最早只是简单的应用常微分系统，后来开始应用固定时刻的脉冲微分系统，到了今天，我们已经可以应用状态依赖的脉冲微分系统。
在这样的研究背景下，本文主要研究捕食者食饵模型。
利用脉冲微分方程理论，以一类具有脉冲效应的食饵对捕食者模型进行了研究，主要探究具有脉冲作用的捕食系统。
捕食者-食饵系统是非常重要的数学模型，本文正是以这一系统的研究，基于综合害虫管理，提出并研究了一类具有脉冲效应的捕食者系统和其食饵系统，利用脉冲微分方程的理论，得到了种群灭绝和持续生存的充分条件。
关键词：脉冲效应；食饵；捕食者模型1 绪论1.1 研究背景在现代化农业技术应用于生产的当代，农药的长期使用使得许多害虫都进化产生了抗药性，加之害虫出生率之高和气候适宜等一系列原因，虫害非常容易产生。
比如美国在2000年爆发的大豆蚜虫泛滥虫害和中国在2002年经历的多地蝗虫灾害，都造成了非常严重的经济损失。
因此，控制害虫的繁衍壮大是经济发展中一个迫切需要解决的问题，近年来由于将生物控制技术和化学控制方法相结合的IPM（综合害虫管理）日渐发展壮大，人们发现这是当前减小经济损失最为有效的手段之一。
一类具Holling-Ⅳ型功能反应函数的动力学分析——脉冲捕食-食饵模型
一类具Holling-Ⅳ型功能反应函数的动力学分析——脉冲捕
食-食饵模型
路杰;李明政;任璐
【期刊名称】《价值工程》
【年(卷),期】2018(007)015
【摘要】通过讨论一类具Holling-Ⅳ型功能反应函数的脉冲捕食-食饵模型的动力学行为,对系统1的计算得出其无害虫(捕食者灭绝)周期解的存在性及解的具体表达形式,全局吸引及持久和全局渐近吸引的充分条件,为生物害虫的防治提供理论依据.【总页数】4页(P202-205)
【作者】路杰;李明政;任璐
【作者单位】宿州职业技术学院基础教学部,宿州234101;安徽省五河第一中学高中部数学组,蚌埠233300;安徽五河第二实验小学数学组,蚌埠233300
【正文语种】中文
【中图分类】O175
【相关文献】
1.一类具Ivlev功能反应和脉冲效应的两食饵-捕食者系统的动力学分析 [J], 吴兴杰;黄文韬
2.一类食饵具有脉冲生育和Iv1ev型功能性反应的食饵-捕食者模型的动力学分析[J], 梁桂珍;刘蒙蒙
3.一类具Holling-Ⅱ功能反应函数和密度制约的IGP模型的动力学分析 [J], 秦晶
4.一类食饵具有脉冲生育和Iv1ev型功能性反应的食饵-捕食者模型的动力学分析[J], 梁桂珍[1];刘蒙蒙[1,2]
5.带有脉冲和Holling-Ⅳ型功能反应函数的中立型捕食-食饵模型的周期解 [J], 蒋婷婷;杜增吉
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具Holling Ⅳ型反应捕食-食饵系统的概周期解
具Holling Ⅳ型反应捕食-食饵系统的概周期解
刘瑞娟
【期刊名称】《南京工程学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2016(014)002
【摘要】研究一类具有Holling Ⅳ型功能反应的半比例依赖捕食-食饵系统的概周期解.首先利用微分方程比较定理,并结合概周期函数的性质,在适当条件下证明系统概周期解的永久性;然后构造适当的Lyapunov函数,给出系统存在唯一全局吸引的正概周期解的充分条件;最后数值实例说明了结论的可行性.
【总页数】6页(P35-40)
【作者】刘瑞娟
【作者单位】南京工程学院数理部,江苏南京211167
【正文语种】中文
【中图分类】O175.1
【相关文献】
1.基于HollingⅢ型功能反应的具时滞捕食者-食饵系统的周期正解 [J], 冯涛;梁峰
2.基于HollingⅢ型功能反应的具时滞捕食者-食饵系统的周期正解 [J], 冯涛;梁峰;
3.具HollingⅡ型功能性反应的捕食者-食饵系统的极限环 [J], 杜海卫
4.一类具Holling II型功能性反应的捕食者-食饵系统周期解的存在性 [J], 刘成钢;樊永红;王琳琳
5.具比率依赖Ho lling Ⅲ型功能性反应的非自治捕食者-食饵系统的正周期解 [J], 马超;赵治涛
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具Monod-Haldane功能反应的四种群食饵-捕食脉冲系统的动力学分析
具Monod-Haldane功能反应的四种群食饵-捕食脉冲系统
的动力学分析
黄文韬;吴兴杰;李伟
【期刊名称】《工程数学学报》
【年(卷),期】2010(027)006
【摘要】基于害虫综合管理策略,本文利用脉冲比较定理、Floquent理论及微小扰动法,研究了一类具有Monod-Haldane功能反应、脉冲比例收获和脉冲常数投放的四种群食饵-捕食系统的动力学性质,证明了系统两食饵灭绝和持续生存的充分条件,而且给出了一食饵种群灭绝其余三种群持续生存的两个充分条件.数值模拟表明,随着投放量的增加,系统出现拟周期分支、倍周期分支、混沌、半周期分支等复杂的动力学性质.
【总页数】13页(P1051-1063)
【作者】黄文韬;吴兴杰;李伟
【作者单位】桂林电子科技大学数学与计算科学学院,桂林,541004;合肥师范学院数学系,合肥,230061;合肥师范学院数学系,合肥,230061
【正文语种】中文
【中图分类】O175.15
【相关文献】
1.一类具功能反应的食饵-捕食者两种群模型的定性分析 [J], 郑冬梅;鲁世平
2.一类具Holling-Ⅳ型功能反应函数的动力学分析——脉冲捕食-食饵模型 [J],
路杰;李明政;任璐
3.一类具Ivlev功能反应和脉冲效应的两食饵-捕食者系统的动力学分析 [J], 吴兴杰;黄文韬
4.具功能反应食饵捕食模型动力学分析 [J], 钟晓芸;郭上江;李洁
5.一类具Holling Ⅳ功能反应的两食饵一捕食者脉冲系统的动力学性质 [J], 黄文韬;吴兴杰;李伟
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具有迁移效应和收获率的 Hassell-Varley-Holling捕食者-食饵系统的周期解
具有迁移效应和收获率的 Hassell-Varley-Holling捕食者-食饵系统的周期解刘子珍;刘秀湘【摘要】A predator prey system with dispersal and harvest , in which the functional response is the general Has-sell-Varley-Holling function is discussed .Based on continuous theorem of coincidence degree theory , the bounds of solutions of this system are analyzed , in which there are eight possible cases , the sufficient conditions of the exist-ence of multiple periodic solutions are established .%研究了在2个斑块具有迁移效应和收获率的捕食者-食饵系统，其中的功能性反应函数是具有一般性的Has-sell-Varley-Holling功能性反应。
利用迭合度理论连续定理，对系统的解的界的情形进行了细致分析，给出了8种可能情形，建立了多个周期解存在的充分条件。
【期刊名称】《华南师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(000)002【总页数】7页(P10-16)【关键词】Hassell-Varley-Holling功能性反应;捕食者-食饵系统;周期解【作者】刘子珍;刘秀湘【作者单位】华南师范大学数学科学学院，广州510631;华南师范大学数学科学学院，广州510631【正文语种】中文【中图分类】O175.1Hassell和 Varley［1］于1969年首次发现充裕的捕食者数量对捕食量有反作用的实验证据，并提出如下Hassell-Varley型的功能性反应(营养函数)其中N和P分别是食饵和捕食者的种群数量，α是搜索效率，σ是衡量捕食者之间干扰的常数，被称为Hassell-Varley 常数．此后 Arditi和Akcakaya［2］、Schenk等［3］和 Sutherland［4］分别提出了下述 2 个营养函数其中h＞0表示捕食时间．这2个营养函数具有一般性．如果σ=0则分别为著名的Holling(II)和(III)功能性反应，故φ2和φ3分别被称为Hassell-Varley-Holling(II)和(III)功能性反应．如果σ=1，则φ2和φ3分别称为比率相关的功能性反应，相应的数学模型具有丰富的动力学行为并得到了广泛的研究［5-7］．Cosner等［8］对 Hassell-Varley 常数给出一个分类:对具有相对固定数目个体而形成紧密团体的陆生捕食者可取σ=1/2;对具有相对固定数目个体而形成紧密团体的水生捕食者可取σ=1/3，对绝大部分捕食者而言，σ［1/2，1)．这种类型的功能性反应很快引起了学者的注意［9-12］．种群的栖息地经常被看成几个斑块(patch)以进一步考虑到种群的迁徙［13］．本文假设被捕食者在2个斑块之间进行迁徙而捕食者没有迁徙．设xi(t)(i=1，2)表示第i板块食饵种群在t时刻的密度，y(t)表示捕食者种群在第一个斑块t时刻的密度．由于2个斑块之间有食饵者迁移，我们把这个迁移效率记为 Di(t)(i=1，2)．Ruan 等［14］指出了密度依赖的非线性死亡率对系统动力学有极为重要的影响．本文假设捕食者具有密度依赖的非线性死亡率，于是得到下述非自治的捕食者-食饵模型:其中ai、d和β/α均为正值函数且分别代表食饵的内禀增长率、捕食者的死亡率和能量的转化率，ai/bi为食饵的环境容纳量，σ(0，1)表示捕食者的干扰．hi(t)(i=1，2，3)表示收获率．b3(t)为捕食者的密度相关的非线性死亡系数．利用基于度理论的连续定理证明了上述系统在适当条件下至少具有8个周期解．首先给出常用的符号说明．记R+=［0，∞)，．对R+上的有界函数f(t)，定义ω＞0为常数．并记，其中g(t)是 R+上的连续ω 周期函数．本文假设 ai，bj，Di，hj，α，β，r，d(i=1，2;j=1，2，3)均为 R+上的连续ω 周期函数且有正下界．下面简要介绍度理论一些基本概念的相关引理．设X，Z为实Banach空间．L:Dom L⊂X→Z为线性映射，N:X→X为连续映射．若dim Ker L=condim Im L＜∞且Im L在Z中是闭的，则称L是指标为0的 Fredholm映射．若 L是指标为0的Fredholm映射且存在连续投射P:X→X及Q:Z→Z使得 Im P=Ker L，Ker Q=Im L=Im(I-Q)，则L|Dom L∩Ke r P:(I-P)X→Im L是可逆的并定义其逆映射 KP．设Ω是X的有界开集，若QN×［0，1］)有界且KP(I-Q)N:×［0，1］→X 是紧的，则称映射N在×［0，1］是L-紧的．因为Im Q与 Ker L同构，故存在同构映射J:Im Q→Ker L．下面的引理见文献［15］．引理1 (连续定理)设L是指标为0的Fredholm映射且N在×［0，1］是 L-紧的．如果满足(1)Lx≠λN(x，λ)，对任给的x ∂Ω，λ(0，1);(2)QN(x，0)≠0，对任给的x ∂Ω∩Ker L;(3)deg{JQN，Ω∩Ker L，0}≠0，则算子方程Lx=Nx在Dom上至少有一个解．经过简单的计算有下面的引理．引理2 设x＞0，y＞0，z＞0，x＞，对于函数和有如下结论:(1)f(x，y，z)和 g(x，y，z)在 x ［0，+∞)上关于x分别是单调递增和单调递减的;(2)f(x，y，z)和 g(x，y，z)在 y ［0，+∞)上关于y分别是单调递减和单调递增的;(3)f(x，y，z)和g(x，y，z)在z ［0，+∞)上关于z分别是单调递减和单调递增的．使用引理1来证明系统(1)正周期解的存在性．为此将系统(1)转化成相应的算子方程．作变换u1(t)=ln x1(t)，u2(t)=ln x2(t)，u3(t)=ln y(t)，则系统(1)变为易见若方程(2)有一ω-周期解 (u*1(t)，u*2(t)，是系统(1)的正ω-周期解．因此只需证明方程(2)有ω-周期解即可．令 X=Z={u=(u1，u2，u3)T C(R，R3):u(t+ω)=u(t)}，‖u‖ =max t［0，ω］|u1(t)|+max t［0，ω］|u2(t)|+max t［0，ω］|u3(t)|．于是 X，Z 均为Banach 空间．记ω令 L:Dom L⊂X→Z，L u=(u'1，u'2，u'3)T，其中Dom L={u=(u1，u2，u3)TC(R，R3)}，并令N:X×［0，1］→Z 为利用这些记号可将方程(2)写成等价的算子方程L u=N u，uX．很明显 Ker L=R3，Im L={z Z:是Z的闭集，且dimKerL=codim Im L=3．故L是指标为0的Fredholm映射．定义2个投射P:X→X和Q:Z→Z分别为易证P，Q是连续投射且Im P=Ker L，Ker Q=Im L=Im(I-Q)，于是广义逆映射KP:Im L→Dom L∩Ker P存在且为从而对u X有由Lebesgue控制收敛定理知QN和KP(I-Q)N是连续的．利用 Arzela-Ascoli定理，不难证明对任意有界开集Ω⊂X是紧的，而且QN)有界，所以对任意有界开集Ω⊂X，N在×［0，1］是 L-紧的．为了方便定理证明过程表达，我们引进下列16个正数:其中本文的主要结果如下:定理1 如果下列条件成立:则系统(1)至少存在8个ω-正周期解．证明首先由引理2、条件(H1)和条件(H4)可得:同时容易证明根据引理1，只需寻找8个合适的有界开集Ωi(i=1，2，…，8)即可．相应于算子方程Lx=λN(x，λ)，λ(0，1)有假设(u1(t)，u2(t)，u3(t))T是方程(3)对于某个(0，1)的一个ω -周期解，则存在ξi，ηiω］(i=1，2，3)，使得(t)，i=1，2，3，且u'i(ξi)=0，u'i(ηi)=0，i=1，2，3．根据方程(3)可得分以下2种情形进行分析．情形(i):u2(η2)≤u1(η1)．此时由式(4)得故得到 u2(η2)和u1(η1)的上界情形(ii):u2(η2)≥u1(η1)．此时由式(5)有也得u2(η2)和u1(η1)的上界于是由式(10)、(11)可得由式(6)知于是得到由式(4)、(13)有因此进一步有类似地由式(7)有考虑到式(4)可知结合式(12)得于是有利用式(7)、(12)有根据式(14)、(16)并结合条件(H1)和条件(H4)得到u1(η1)的估计: 再根据引理2得到u1(η1)的范围由式(15)、(17)可知则利用式(5)得到所以根据式(8)不难看出由式(5)，有从而结合式(12)有类似的，由式(8)、(12)不难得到由式(20)、(22)，结合(H2)和(H4)得到u2(η2)的估计式再根据引理2得到u2(η2)的所在区间为由式(21)、(23)可得从而由式(6)可知进一步则为同理由式(9)可得根据式(13)、(18)可得利用式(6)有即进一步有因此另根据式(9)得到由式(26)、(28)可得即有u3(η3)的估计区间同理由式(27)、(29)可得从而知u3(ξ3)的估计区间其中ln均与λ无关．令显然Ωi(i=1，2，…，8)是 X 上的开集，Ωi∩Ωj= Ø(i，j=1，2，…，8，i≠j)．从而Ωi(i=1，2，…，8)满足引理1的条件(1)．现往证引理1的条件(2)也成立，即要证若u ∂Ωi∩Ker L= ∂Ωi∩R3时有 QN(u，0)≠0(i=1，2，…，8)．用反证法，假设 QN(u，0)=0，则有:即易知代数方程组(32)有8个不同的解:其中由引理2，易验证:从而意味着u，这与 u矛盾，故引理1的条件(2)也成立．由式(33)～(35)有由于Ker L=Im Q，取 J=I．假设 u是式(32)在Ωi(i=1，2，…，8)中的解，则于是相应的Brouwer度为从而证得Ωi(i=1，2，…，8)满足引理1的条件(3)，至此证明了Ωi(i=1，2，…，8)满足引理1的所有条件，因此方程(2)至少有8个ω-周期解，即系统(1)至少有8个ω-正周期解．定理得证．参考文献:［1］Hassell M P，Varley G C．New inductive population model for insect parasites and its bearing on biological control［J］．Nature，1969，223:1133-1137．［2］Arditi R，Akcakaya H R．Underestimation of mutual interference of predators［J］．Oeclogia，1990，83(3):358-361．［3］Schenk D，Bersier L，Bacher S．An experimental test of the nature of predation:Neither prey-nor ratio-dependent［J］．Journal of Animal Ecology，2005，74:86-91．［4］Sutherland W J．Aggregation and the‘idea free distribution’［J］．Journal of Animal Ecology，1983，52:821-828．［5］Liu X，Huang L．Permanence and periodic solutions for a diffusive ratio-dependent predor-prey system［J］．Applied Mathematical Modelling，2009，33:683-691．［6］Pang P Y H，Wang M．Qualitative analysis of a ratio-dependent predator-prey with diffusion［J］．Proceedings of the Royal Society of Edinburgh:Section A，2003，133:919-942．［7］Xiao D，Ruan S．Global dynamics of a ratio-dependent predator-prey system［J］．Journal of Mathematical Biology，2001，43:268-290．［8］Cosner C，Deangelis D L，Ault JS，et al．Effect of spatial grouping on the functional response of predators［J］．Theoretical Population Biology，1999，56:65-75．［9］Hsu SB，Hwang TW，Kuang Y．Global dynamics of a predator-prey model with Hassell-Varley type functional response［J］．Discrete and Continuous Dynamical systems:Series B，2008，10:857-871．［10］刘秀湘，翁佩萱．具新功能性反应的捕食者—食饵系统的持续生存［J］．生物数学学报，2007，22(5):799-804．Liu X，Weng PX．The permanence of predator-prey system with new functional response ［J］．Journal of Bioma thematics，2007，22(5):799-804．［11］Liu X，Lou Y．Global dynamics for a predator-prey model ［J］．Journal of Mathematical Analysis and Applications，2010，371:323-340．［12］钟敏玲，刘秀湘．具有Hassell-Varlay-Holling反应非自治捕食者-食饵系统的动力学分析［J］．数学物理学报，2011，31A(5):1295-1310．Zhong M L，Liu X X．Dynamical analysis of a predator prey system with Hassell-Varlay-Holling functional response［J］．Acta Mathematica Scientia，2011，31A(5):1295-1310．［13］Fang H，Xiao Y．Existence ofmultiple periodic solutions for delay Lotka-Volterra competition patch systems with harvesting［J］．Applied Mathematical Modelling，2009，33:1086-1096．［14］Ruan SG，Ardito A，Ricciardi P，et al．Coexistence in competition models with density-dependent mortality［J］．Comptes Rendus Biologies，2007，330(12):845-854．［15］Gaines R E，Mawhin J L．Coindience degree and nonlinear differential equations［M］． Berlin:Springer，1977．。
关于具有脉冲与HollingⅣ型功能反应的时滞捕食-食饵Gompertz模型的研究(英文)
关于具有脉冲与HollingⅣ型功能反应的时滞捕食-食饵
Gompertz模型的研究(英文)
方先家;邵远夫;王圳
【期刊名称】《应用数学》
【年(卷),期】2016(29)2
【摘要】本文运用比较定理和频闪映射,研究一类具有HollingⅣ型功能反应函数和不同时刻有脉冲收获与储存的Gompertz模型,得到成熟捕食者灭绝周期解存在和全局吸引的充分条件.利用时滞脉冲微分方程比较理论,研究系统的持久性条件.最后通过数值模拟进一步验证理论结果的合理性.
【总页数】11页(P258-268)
【关键词】年龄结构;脉冲;功能反应函数;全局吸引;一致持久
【作者】方先家;邵远夫;王圳
【作者单位】桂林理工大学理学院,广西桂林541000
【正文语种】中文
【中图分类】O175.1
【相关文献】
1.一类具有时滞和HollingⅡ类功能反应的捕食者-食饵模型 [J], 唐贵坚;唐清干
2.具有HollingⅡ类功能性反应的基于比率的时滞离散N-种群捕食者-食饵模型的一致持久性 [J], 刘荣秀;高建国
3.一类具有迁移率和Holling-II型功能性反应的时滞捕食–食饵模型 [J], 段全恒;
郭志明;;
4.一类具有脉冲出生与食饵脉冲捕获的时滞捕食-食饵模型的动力学分析（英文）[J], 刘钦;邵远夫;周斯;王圳
5.一类具有反应扩散和脉冲效应的Holling-Tanner捕食食饵模型研究(英文) [J], 师向云;崔学英
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具有脉冲投放益虫生物控制害虫的捕食-食饵模型
具有脉冲投放益虫生物控制害虫的捕食-食饵模型程惠东【摘要】讨论了具有阶段结脉冲时滞HollingII功能反应的捕食模型,其中天敌(益虫)进行人工脉冲周期投放,害虫具有阶段结构及成熟期的时滞现象,并进行了系统的数学及生物方面的研究.首先利用离散动力系统的频闪映射得到了害虫根除周期解的存在性,并且利用脉冲及时滞微分方程的基本知识证明了该害虫根除周期解的唯一性和全局吸引性.进一步证明了当天敌的投放量或者投放周期在一定的范围内,能够控制害虫在作物的经济危害水平(EIL)运行的情况下使天敌与害虫可以共存.得出的结论为害虫的生物治理提供了策略基础.%Predator-prey model of a stage structured impulse delay HollingII functional response, in which predator (natural enemy ) is released impulsively and the prey has stage structured and maturation time delay are discussed, and a systematic mathematical and ecological study are performed. Using the discrete dynamical system determined by the stroboscopic map, we obtain the existence of pest-eradication periodic solution. And show that the pest-eradication periodic solution is unique and globally attractive by using the basis of impulse and delay differential equation. Further, we prove that ff the pulse releasing rate or impulsive period for natural enemy is within an appropriate range, the pest population can be controlled under the economic injury level (EIL) E, that is, the pest population and the natural enemy population may coexist. The results provide reliable tactical basis for the practical pest management.【期刊名称】《中山大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(050)001【总页数】5页(P23-26,30)【关键词】脉冲;阶段结构捕食模型;时滞;全局吸引性;害虫管理【作者】程惠东【作者单位】山东科技大学理学院,山东,青岛,266510【正文语种】中文【中图分类】O175.14在自然界生物系统中，有关害虫的科学有效的治理一直是人们研究的问题，人们试图利用喷洒杀虫剂作为控制害虫的数量，这会造成环境污染，也对天敌益虫及人类造成伤害，经常会因为害虫的变异及适应性的增强而使得杀虫剂失效，这样显然不利于人们的长远发展，也不经济；而利用人工培养或从外地迁入天敌的方法，即定期进行天敌投放，以达到控制害虫的目的，这样可以避免环境污染给人类带来的损失。
一类带有Holling type-IV功能反应的捕食与被捕食系统的分支分析
一类带有Holling type-IV功能反应的捕食与被捕食系统的分支分析黄继才【期刊名称】《华中师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2002(036)001【摘要】In this paper, a predator-prey system with Holling type-IV functional response:p(x)=(x)/(a+bx+x2) is considered. Bifurcations analysis of the mode is carried out as b>0. The bifurcation analysis of the model depending on all parameters indicates that it exhibits numerous kinds of bifurcation phenomena including the saddle-node bifurcation, the Hopf bifurcation and the homoclinic bifurcation etc. In the generic case, the model has the cusp bifurcation of codimension 2 (I.e. Bogdanov-Takens bifurcation).%考查了一类带 Holling type-IV功能反应的捕食与被捕食系统的分支,包括鞍结点分支,Hopf分支,同宿分支,以及尖点型的余维2分支.【总页数】8页(P3-10)【作者】黄继才【作者单位】华中师范大学,数学系,武汉,430079【正文语种】中文【中图分类】O175.14【相关文献】1.一类具有Hollin gⅢ型功能反应的捕食与被捕食系统的定性分析 [J], 高艳玲;崔国忠2.一类具有HollingⅡ功能反应时滞的捕食系统的Hopf分支 [J], 吴雪芹;李必文3.一类带疾病的具有Holling III功能反应的捕食系统稳定性分析 [J], 张蓬霞4.一类具HollingⅢ型功能反应的捕食与被捕食系统模型的极限环 [J], 陈海波5.一类具有Holling-Ⅲ类功能反应及阶段结构的捕食系统的稳定性及Hopf分支[J], 魏玉芬;朱焕因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
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［ 要］ 构建 和分 析了在 固定时刻脉 冲投放捕食者且具有 Ｈ ｌｎ 摘 ｏｌ ｇ Ｖ功能性反应 的～个捕食者两 ｉ Ｉ
个食饵系统 ， 利用脉 冲比较定理和微分方 程ห้องสมุดไป่ตู้的分析方法 ， 得到 了平凡周期 解稳定 和系统持续 生存
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［ 关键词 ］ 捕食者— 食饵系统 ， ｏ ｉ ｐ Ｖ， Ｈ ｌｎ ｔ ｅＩ 脉冲效应 ， ｌｇ ｙ 灭绝 ， 持续生存
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维普资讯
第３ ０卷第 ２期
２０ ０ ７年 ６月
南京 师大学报 （ 自然科学版）
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具有脉冲效应和 Ｈ ｌｎ Ｖ功能性反应 的捕食者一 ｏｌ ｇＩ ｉ 食饵 系统分析
庞 国萍 ， 陈兰荪
（． １ 玉林 师范学 院数学与计算机科学系， 广西 玉林 ５７ ０ ） ３０ ０
（． ２ 大连 理 工 大 学 应 用数 学 系 ， 宁 大 连 １６ ２ ） 辽 １０ ４
（． ３ 福建师范大学闽南科技学 院， 福建 南安 ３２ ３ ） ６ ３ ２
．
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