高考数学总复习章节练习题及解答 (88)
「精选」人教版最新高考数学总复习(各种专题训练)附参考答案-精选文档
第1讲集合第2讲(附参考答案)一．课标要求：1．集合的含义与表示（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；2．集合间的基本关系（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义；3．集合的基本运算（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。
二．命题走向有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。
考试形式多以一道选择题为主，分值5分。
预测2013年高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。
具体题型估计为：（1）题型是1个选择题或1个填空题；（2）热点是集合的基本概念、运算和工具作用。
三．要点精讲1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。
a∈；若b不是集合A的元素，（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作Ab∉；记作A（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。
2020高考数学(理)必刷试题+参考答案+评分标准 (88)
2020高考数学模拟试题（理科）一、选择题（本大题共12小题）1.已知集合A={x|-1＜x＜2}，，则A∩B=（）A. B. C. D.2.命题“∀x∈N*，x2∈N*且x2≥x”的否定形式是（）A. ,且B. ,或C. ,且D. ,或3.已知数列{a n}中，“a n+12=a n•a n+2”是“数列{a n}为等比数列”的什么条件（）A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要4.设函数，若，则b等于（）A. 2B. 1C.D.5.已知，则cos2α=（）A. B. C. D.6.设向量满足，且与的夹角为，则=（）A. 2B. 4C. 12D.7.已知等差数列{a n}中，a3+a5=π，S n是其前n项和．则sin S7等于（）A. 1B. 0C.D.8.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则C等于（）A. B. C. 或 D. 或9.设f（x）是定义域为R的偶函数，且f（x+3）=f（x-1），若当x∈[-2，0]时，f（x）=2-x，记，，c=f（32），则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.10.已知函数f（x）=sin x-cos x，g（x）是f（x）的导函数，则下列结论中错误的是（）A. 函数的值域与的值域相同B. 若是函数的极值点,则是函数的零点C. 把函数的图象向右平移个单位,就可以得到函数的图象D. 函数和在区间上都是增函数11.在△ABC中，AC⊥AB，AB=2，AC=1，点P是△ABC所在平面内一点，，且满足，若，则2λ+μ的最小值是（）A. B. 5 C. 1 D.12.设函数，若存在f（x）的极值点x0满足，则m的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题）13.已知曲线y=ax+ln x在点（1，a）处的切线过点（2，3），则a=______．14.已知函数f（x）=log a x+b（a＞0，a≠1）的定义域、值域都是[1，2]，则a+b= ______ ．15.由曲线，直线y=2x，x=2所围成的封闭的图形面积为______．16.用g（n）表示自然数n的所有因数中最大的那个奇数，例如：6的因数有1，2，3，6，g（6）=3，9的因数有1，3，9，g（9）=9，那么g（1）+g（2）+g（3）+…+g （22019-1）=______．三、解答题（本大题共6小题）17.给定两个命题，p：对任意实数x都有x2+ax+1≥0恒成立；q：幂函数y=x a-1在（0，+∞）内单调递减；如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．18.已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）若f（x）在区间上的最小值为1，求m的最小值．19.设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S4=16．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）当d＞1时，记，求数列{c n}的前n项和T n．20.已知函数，，（Ⅰ）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a=3，且对任意的x1∈[-1，2]，总存在，使g（x1）-f（x2）=0成立，求实数m的取值范围．21.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=3，求△ABC的周长L的取值范围．22.已知函数，函数g（x）=-2x+3．（Ⅰ）当a=2时，求f（x）的极值；（Ⅱ）讨论函数的单调性；（Ⅲ）若-2≤a≤-1，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）-f（x2）|≤t|g（x1）-g（x2）|恒成立，求实数t的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={x|-1＜x＜2}，={x|x≥0}，∴A∩B={x|0≤x＜2}=[0，2）．故选：C．分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D【解析】解：命题的全称命题，则否定是特称命题，即∃x0∈N*，x02∉N*或x02＜x0，故选：D．根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，结合全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键．比较基础．3.【答案】B【解析】解：若数列{a n}为等比数列，则满足a n+12=a n•a n+2，当数列a n=0时满足a n+12=a n•a n+2，但此时数列{a n}为等比数列不成立，即“a n+12=a n•a n+2”是“数列{a n}为等比数列”的必要不充分条件，故选：B．结合等比数列的性质，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等比数列的性质，利用特殊值法是解决本题的关键．比较基础．4.【答案】B【解析】解：根据题意，函数，则f（）=4×-b=3-b，若b≤2，则3-b≥1，此时f（f（））=f（3-b）=23-b=4，解可得b=1；若b＞2，则3-b＜1，此时f（f（））=f（3-b）=4×（3-b）-b=12-5b=4，解可得b=，（舍）故b=1；故选：B．根据题意，由函数的解析式可得f（）=4×-b=3-b，按b的范围分情况讨论，代入函数的解析式，求出b的值，综合可得答案．本题考查分段函数的解析式，涉及函数值的计算，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：已知，所以，利用三角函数的定义，解得，故cos2α=1-2sin2α=．故选：A．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，同角三角函数关系式的变换，倍角公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．6.【答案】D【解析】解：，∴，∴=．故选：D．根据条件可求出，进而求出，并且，从而根据进行数量积的运算即可求出的值．本题考查了根据向量得到坐标求向量的长度的方法，向量数量积的运算及计算公式，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：等差数列{a n}中，a3+a5=π，∴==，∴sin S7==sin（-）=-sin=-1．故选：C．由等差数列{a n}中，a3+a5=π，得==，由此能求出sin S7．本题考查等差数列中前7项和的正弦值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】A【解析】解：由于，所以，解得A=，由于a=，c=1，所以，解得，由于c＜a，所以．故选：A．直接利用正弦定理余弦定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9.【答案】A【解析】解：∵f（x+3）=f（x-1），∴f（x+4）=f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，当x∈[-2，0]时，f（x）=2-x，则函数f（x）为减函数，即当x∈（0，2]时，f（x）为增函数，log2=-2，则=f（-2）=f（2），c=f（32）=f（9）=f（8+1）=f（1），∵1＜＜2，且当x∈（0，2]时，f（x）为增函数，∴f（1）＜f（）＜f（2），∴a＞b＞c，故选：A．根据f（x+3）=f（x-1），得到函数是周期为4的周期函数，结合函数的奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可．本题主要考查函数值的大小比较，结合条件求出函数的周期，结合函数的周期性，奇偶10.【答案】C【解析】解：函数f（x）=sin x-cos x，∴g（x）=f'（x）=cos x+sin x，对于A，f（x）=sin（x-），g（x）=sin（x+），两函数的值域相同，都是[-，]，A正确；对于B，若x0是函数f（x）的极值点，则x0+=kπ，k∈Z；解得x0=kπ+，k∈Z；，g（x0）=sin（kπ+-）=0，∴x0也是函数g（x）的零点，B正确；对于C，把函数f（x）的图象向右平移个单位，得f（x-）=sin（x-）-cos（x-）=-cos x-sin x≠g（x），∴C错误；对于D，x∈，时，x-∈（-，0），f（x）是单调增函数，x+∈（0，），g（x）也是单调增函数，D正确．故选：C．求出函数f（x）的导函数g（x），再分别判断f（x）、g（x）的值域、极值点和零点，图象平移和单调性问题．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了导数的应用问题，是中档题．11.【答案】D【解析】解：以A为原点，AB，AC所在直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系，则A（0，0），B（2，0），C（0，1），，，∴，∴点M满足：（x-1）2+（y-2）2=1，设M（1+cosθ，2+sinθ），则由得：（1+cosθ，2+sinθ）=（2λ，μ），∴，2λ+μ的最小值是3-．故选：D．建系，分别表示出，，进而表示出，再用参数方程，结合三角函数求出范围．本题考查平面向量基本定理，结合三角函数求范围是关键，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：函数，可得f′（x）=-，∵x0是f（x）的极值点，∴f′（x0）=0，即，得，k∈Z，即x0=mk，k∈Z，∴可转化为：，即k2m2+3＜m2，k∈Z，即，要使原问题成立，只需存在k∈Z，使成立即可，又k2的最小值为0，∴，解得或，故选：B．求出导函数f′（x）=-，利用f′（x0）=0，得到x0=mk，k∈Z，可转化为：k2m2+3＜m2，k∈Z，即要使原问题成立，只需存在k∈Z，使成立即可，转化求解表达式的最值即可．本题考查函数的导数的应用，函数的极值，以及成立条件的转化，考查计算能力，是中档题．13.【答案】1【解析】解：∵y=ax+ln x，∴y′=a+，则y′|x=1=a+1，∴曲线y=y=ax+ln x在点（1，a）处的切线方程为y-a=（a+1）（x-1），∵曲线y=ax+ln x在点（1，a）处的切线过点（2，3），解得：a=1．故答案为：1．求导函数，然后确定切线的斜率，可得切线方程，利用曲线y=ax+ln x在点（1，a）处的切线过点（2，3），建立等式，解之即可求出所求．本题考查了利用导数研究在曲线某点处的切线方程，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题．14.【答案】或3【解析】【分析】本题考查对数函数的性质以及分类讨论的思想方法．分类讨论函数的单调性是正确解决本题关键．属于易错题．分类讨论a的取值范围，得到函数单调性，代入数据即可求解．【解答】解：当0＜a＜1时，易知函数f（x）为减函数，由题意有解得：a=，b=2，符合题意，此时a+b=；当a＞1时，易知函数为增函数，由题意有，解得：a=2，b=1，符合题意，此时a+b=3．综上可得：a+b的值为或3．故答案为：或3．15.【答案】3-2ln2【解析】解：依题意，由解得，∴封闭的图形面积为=（x2-2ln x）=3-2ln2．故答案为：3-2n2．求出曲线，直线y=2x的交点坐标，根据定积分的几何意义列式求解即可．本题考查了定积分的几何意义，定积分的求法，主要考查分析解决问题的能力和计算能力，属于基础题．16.【答案】【解析】解：由g（n）的定义易知g（n）=g（2n），且若n为奇数，则g（n）=n，令f（n）=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2n-1），则f（n+1）=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2n+1-1）=1+3+…+（2n+1-1）+g（2）+g（4）+…+g（2n+1-2）==4n+f（n），即f（n+1）-f（n）=4n，分别取n为1，2，…n，并累加得：，又f（1）=g（1）=1，所以，从而，令n=2019，则所求为：．故答案为：．据题中对g（n）的定义，判断出g（n）=g（2n），且若n为奇数则g（n）=n，利用等差数列的前n项和公式及逐差累加的方法及等比数列的前n项和公式求出g（1）+g（2）+g（3）+…+g（22019-1）．本题考查等差数列的前n项和公式、等比数列的前n项和公式、逐差累加的方法，是中档题．17.【答案】解：对任意实数x都有x2+ax+1≥0恒成立⇔△=a2-4≤0⇔-2≤a≤2，幂函数y=x a-1在（0，+∞）内单调递减⇔a-1＜0⇔a＜1，当p真q假时，有-2≤a≤2且a≥1，得1≤a≤2，当p假q真时，有a＜-2或a＞2且a＜1，得a＜-2，综上，所求实数a的取值范围是（-∞，-2）∪[1，2]．【解析】通过两个命题是真命题求出a的范围，然后通过当p真q假时，当p假q真时，求解即可．本题考查命题的真假的判断与应用，函数恒成立条件的转化，是基本知识的考查．18.【答案】解：（Ⅰ）由已知，有，=，=，所以f（x）的最小正周期：．由得f（x）的单调递减区间是．（Ⅱ）由（1）知，因为，所以．要使f（x）在区间上的最小值为1，即在区间上的最小值为-1．所以，即．所以m的最小值为．【解析】（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．（Ⅱ）利用正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19.【答案】解：（Ⅰ）由题意有，即：，解得：或．故或．（Ⅱ）由d＞1，知a n=2n-1，，故．于是：①，②①-②得：，故．【解析】（Ⅰ）直接利用已知条件建立方程组，求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，进一步利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．20.【答案】解：（Ⅰ）令t=x2，则t∈[1，3]，记，问题转化为函数y=h（t）与y=a有两个交点，∵，可知当t∈（1，2）时，h′（t）＜0，可知当t∈（2，3）时，h′（t）＞0，∴函数h（t）在（1，2）递减，（2，3）递增，从而h（t）min=h（2）=4，，h（1）=5，由图象可得，当时，y=h（t）与y=a有两个交点，∴函数f（x）有两个零点时实数a的范围为：．（Ⅱ）由（1）知f（x）∈[1，2]，记A=[1，2]，当m＞0时，在[-1，2]上单调递增，∴，记，由题意得：B⊆A，∴且，解得：，当m＜0时，在[-1，2]上单调递减，∴，∴且，得，综上，所求实数m的取值范围为．【解析】（Ⅰ）令t=x2，则t∈[1，3]，记，问题转化为函数y=h（t）与y=a有两个交点，利用函数的导数判断函数的单调性求解函数的最小值然后求解实数a的范围．（Ⅱ）由（1）知f（x）∈[1，2]，记A=[1，2]，通过当m=0时，当m＞0时，当m＜0时，分类求实数m的取值范围，推出结果即可．本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）由已知得：，再由正弦定理得：，∵B=π-（A+C），∴sin B=sin（A+C）=sin A cos C+cos A sin C②又C∈（0，π），由①②得，，又A∈（0，π），∴．（Ⅱ）法一：由余弦定理：a2=b2+c2-2bc cos A得b2+c2-bc=9即：（b+c）2-3bc=9，而（当且仅当b=c=3时等号成立）从而，得b+c≤6，又b+c＞a=3，∴3＜b+c≤6，从而周长L∈（6，9]；法二：由正弦定理得：，∴，又，从而△ABC的周长L：=，，∴，∴，从而：L∈（6，9]．【解析】（Ⅰ）由条件可得，再结合正弦定理及三个角之间的关系可得，进而求出A；（Ⅱ）利用余弦定理再结合基本不等式可得3＜b+c≤6，则可求出周长L的范围．本题考查平面向量数量积的运算，设计到正、余弦定理，属于中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）a=2时，f（x）=ln x-x2+x．∵．易知f（x）在（0，1）递增，（1，+∞）递减，∴f（x）极大值=f（1）=0，无极小值．（Ⅱ）．∴．①a≤0时，F′（x）＞0，恒成立，∴F（x）在（0，+∞）单调递增；②当a＞0，由F′（x）＞0得，F′（x）＜0得，所以F（x）在单调递增，在单调递减．综上：当a≤0时，F（x）在（0，+∞）单调递增；当a＞0时，F（x）在单调递增，在单调递减．（Ⅲ）由题知t≥0，．当-2≤a≤-1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增，不妨设1≤x1≤x2≤2．又g（x）单调递减，即f（x2）+tg（x2）≤f（x1）+tg（x1）对任意-2≤a≤-1，1≤x1≤x2≤2恒成立，记，则h（x）在[1，2]递减．对任意a∈[-2，-1]，x∈[1，2]恒成立．令．则在[1，2]上恒成立，则，而在[1，2]单调递增，∴，∴．【解析】（Ⅰ）当a=2时，f（x）=ln x-x2+x，求导得到增减区间，进而得到极值．（Ⅱ）.．①a≤0时，②当a＞0，讨论增减区间．（Ⅲ）当-2≤a≤-1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增，不妨设1≤x1≤x2≤2．不等式等价于f（x2）-f（x1）≤t[g（x1）-g（x2）]．即：f（x2）+tg（x2）≤f（x1）+tg（x1）对任意-2≤a≤-1，1≤x1≤x2≤2恒成立，记，则h（x）在[1，2]递减．对任意a∈[-2，-1]，x∈[1，2]恒成立．转化变量研究H（a）最大值小于等于0，进而求出t的取值范围本题考查函数的单调性的判断，考查实数的最小值的求法，考查函数性质、导数性质、构造法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是难题．。
高考数学复习题集及参考答案
高考数学复习题集及参考答案为了帮助考生更好地复习和准备高考数学科目，特别整理了以下数学复习题集及参考答案，以供同学们参考和练习。
希望这些题目能够帮助大家巩固知识，提高解题能力。
1. 选择题1) 设函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1，求f(-1)的值。
A) -4 B) 2 C) 0 D) -2解析：将x = -1代入函数f(x)中，得到f(-1) = 2(-1)^2 - 3(-1) + 1 = 2 + 3 + 1 = 6，故答案为6。
2) 已知直线l1过点A(1, 2)，斜率为k，直线l2过点B(3, 4)，斜率为-2，则l1与l2的夹角为多少度？A) 45° B) 60° C) 90° D) 120°解析：直线的斜率k1和k2的乘积为-1时，两条直线垂直。
l1的斜率为k，l2的斜率为-2，所以k × (-2) = -1，解得k = 1/2。
两条直线的斜率为k1 = 1/2 和k2 = -2，根据斜率的性质，tanθ = |(k2 - k1)/(1 +k1k2)|，代入数值计算，可得tanθ = 1/3，由此得出l1和l2的夹角θ的正切值为1/3。
通过逆函数求解，夹角θ = arctan(1/3) ≈ 18.43°，故答案为18.43°。
2. 解答题1) 已知函数f(x) = 2x^2 - x，求f(x) = 0的解。
解析：将f(x) = 2x^2 - x = 0进行因式分解，得2x(x - 1) = 0。
由此可得出两个解：x = 0 和x = 1，故f(x) = 0的解为x = 0 和 x = 1。
2) 某舞厅的座位分为A、B、C三类，A类票价为80元，B类票价为60元，C类票价为40元。
一场舞会总共售出票数为500张，总票价为35000元。
已知A类票占总票数的三分之一，B类票占总票数的四分之一，C类票占剩余票数的一半。
高考数学复习典型题型专题讲解与练习88 条件概率与全概率公式
高考数学复习典型题型专题讲解与练习专题88 条件概率与全概率公式题型一 利用定义求条件概率例1．（2022·全国·高二高考数学复习典型题型专题讲解与练习 专题练习）2022年6月14日是我国的传统节日“端午节”.这天，王华的妈妈煮了五个粽子，其中两个蜜枣馅，三个豆沙馅，王华随机拿了两个粽子，若已知王华拿到的两个粽子为同一种馅，则这两个粽子都为蜜枣馅的概率为( ) A ．14 B ．34 C ．110 D ．310【答案】A 【解析】 【分析】设事件A 为“取出两个粽子为同一种馅”，事件B 为“取出的两个粽子都为蜜枣馅”，计算P (A)、()P AB 的值，从而()(|)()P AB P B A P A =． 【详解】由题意，设事件A 为“取出两个粽子为同一种馅”，事件B 为“取出的两个粽子都为蜜枣馅”，则P (A)222325410C C C +==，22251()10C P AB C ==，()1(|)()4P AB P B A P A ∴==．故选：A ．规律方法利用定义计算条件概率的步骤(1)分别计算概率P(AB)和P(A)．(2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝P（AB）P（A），这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生．例2．（2022·湖南·高二课时练习）甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A=“三个人去的景点各不相同”，B=“甲去了第一个景点”，如果甲、乙、丙互不相识，求()P A B．【答案】23【解析】【分析】这是求甲去第一个景点的前提下，三个人去的景点各不相同的条件概率，求出相应基本事件的个数，即可得出结论．【详解】甲去了第一个景点，则有1个景点可选，乙丙能在三个景点中选择，可能性为339⨯=种，所以甲去了第一个景点的可能性为1339⨯⨯=种，因为三个人去的景点不同的可能性为3216⨯⨯=种，所以()62 (|)()93n ABP A Bn AB=== .例3．（2022·湖南·高二课时练习）根据历年气象统计资料，某地4月份的任一天吹东风的概率为310，下雨的概率为1130，既吹东风又下雨的概率为415．求4月7日在吹东风的条件下下雨的概率．【答案】8 9【解析】【分析】设事件A表示吹东风，事件B表示下雨，得到(),()P A P AB，结合()(|)()P ABP B AP A=，即可求解.【详解】由题意，设事件A表示吹东风，事件B表示下雨，则34 (),()1015P A P AB==，所以在吹东风的条件下下雨的概率为4()815 (|)3()910P ABP B AP A===.题型二条件概率的性质及应用例4．（2022·山东德州·高二期末）已知某电器市场由甲、乙、丙三家企业占有，其中甲厂产品的市场占有率为40％，乙厂产品的市场占有率为36％，丙厂产品的市场占有率为24％，甲、乙、丙三厂产品的合格率分别为45，23，34．(1)现从三家企业的产品中各取一件抽检，求这三件产品中恰有两件合格的概率；(2)现从市场中随机购买一台该电器，则买到的是合格品的概率为多少？【答案】(1)13 30(2)37 50【解析】【分析】（1）由相互独立事件的概率可得；（2）根据各产品的市场占有率和合格率，由条件概率公式计算可得.(1)记随机抽取甲乙丙三家企业的一件产品，产品合格分别为事件1B ，2B ，3B ， 则三个事件相互独立，恰有两件产品合格为事件D ， 则123123123D B B B B B B B B B =++()()()()121323123B B P D P B B P B B P B B B =++4214131231353453453430=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=． 故从三家企业的产品中各取一件抽检，则这三件产品中恰有两件合格的概率是1330． (2)记事件B 为购买的电器合格，记随机买一件产品，买到的产品为甲乙丙三个品牌分别为事件1A ，2A ，3A ，()125P A =，()2925P A =，()3625P A =，14(|)5P B A ==，22(|)3P B A =，33(|)4P B A =， 112233()()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A =++249263375525325450=⨯+⨯+⨯=． 故在市场中随机购买一台电器，买到的是合格品的概率为3750． 规律方法 当所求事件的概率相对较复杂时，往往把该事件分成两个(或多个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用P ((B ∪C )|A )＝P (B |A )＋P (C |A )便可求得较复杂事件的概率．例5．（2022·全国·高二课时练习）已知随机事件A ，B ，()12P A =，()13P B =，()12P B A =，求()P AB ，()P A B .【答案】13;44【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式及其变形求解即可． 【详解】由条件概率公式()(|)()P AB P B A P A =得：111()(|)()224P AB P B A P A ==⨯=．∴1()34(|)1()43P AB P A B P B ===． 例6．（2022·全国·高二课时练习）某工厂有两个车间生产同型号家用电器，已知第1车间生产产品的合格品率为0.85，第2车间生产产品的合格品率为0.88，两个车间生产的产品混合堆放在一个仓库里且无区分标志，假设第1，2车间生产的产品的数量之比为2：3.今有一客户从仓库中随机提一台产品，求该产品是合格品的概率. 【答案】0.868 【解析】 【分析】利用条件概率公式，即可求解. 【详解】设B 表示从仓库中随机提出的一台产品是合格品，i A 表示从仓库中随机提出的一台产品是第i 车间生产的，1,2i =，则12B A B A B =+. 由题意，知()120.432P A ==+，()230.632P A ==+，()()120.85,0.88P BA PB A ==||，由全概率公式，得()()()()1122()|0.40.850.60.880.868P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=|.题型三 全概率公式例7．（2022·全国·高二课时练习）袋中有10个大小、材质都相同的小球，其中红球3个，白球7个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.求： （Ⅰ）第一次摸到红球的概率；（Ⅱ）在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率； （Ⅲ）第二次摸到红球的概率. 【答案】（Ⅰ）310；（Ⅱ）29；（Ⅲ）310. 【解析】（Ⅰ）求出基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数，从而可得所求的概率． （Ⅱ）第一次摸到红球后，还余下2个红球和7个白球，同（Ⅰ）可求概率． （Ⅲ）根据（Ⅰ）（Ⅱ）利用全概率公式可求第二次摸到红球的概率． 【详解】设事件A ：第一次摸到红球；事件B ：第二次摸到红球， 则事件A ：第一次摸到白球.（Ⅰ）第一次从10个球中摸一个共10种不同的结果，其中是红球的结果共3种， 所以 3()10P A =. （Ⅱ）第一次摸到红球的条件下，剩下的9个球中有2个红球，7个白球，第二次从这9个球中摸一个共9种不同的结果，其中是红球的结果共2种. 所以2(|)9P B A =.（Ⅲ）32733()()(|)()(|)10910910P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=.所以第二次摸到红球的概率3 ()10P B=.【点睛】方法点睛：利用全概率公式计算随机事件B的概率时，注意把随机事件B分解为两个随机事件AB和AB，再利用条件概率公式计算两者的概率即可．规律方法全概率公式主要用于计算比较复杂事件的概率，它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用．例8．（2022·吉林·东北师大附中高二期末）现将两个班的艺术类考生报名表分别装进2个档案袋，第一个档案袋内有6名男生和4名女生的报名表，第二个档案袋内有5名男生和5名女生的报名表．随机选择一个档案袋，然后从中随机抽取2份报名表．(1)若选择的是第一个档案袋，求从中抽到两名男生报名表的概率；(2)求抽取的报名表是一名男生一名女生的概率．【答案】(1)13；(2)73 180.【解析】【分析】（1）选择的是第一个档案袋，从中随机抽取2份报名表，基本事件总数21045n C==，从中抽到两名男生报名表包含的基本事件个数为2615m C==，由此能求出从中抽到两名男生报名表的概率；（2）设事件i A表示抽取到第i个档案袋，(1,2)i=，设事件B表示抽取的报名表是一名男生一名女生，利用全概率公式能求出抽取的报名表是一名男生一名女生的概率．(1)（1）第一个档案袋内有6名男生和4名女生的报名表，选择的是第一个档案袋，从中随机抽取2份报名表，基本事件总数21045n C ==，从中抽到两名男生报名表包含的基本事件个数为2615m C ==，∴从中抽到两名男生报名表的概率151453m P n ===． (2)设事件i A 表示抽取到第i 个档案袋，(1,2)i =，设事件B 表示抽取的报名表是一名男生一名女生，则11()2P A =，21()2P A =，116412108(|)15C C P B A C ==，115522105(|)18C C P B A C ==，∴抽取的报名表是一名男生一名女生的概率为：()P B 1122815173(|)()(|)()152182180P B A P A P B A P A =+=⨯+⨯=． 例9．（2022·山东·德州市第一中学高二阶段练习）今年中国共产党迎来了建党100周年，为了铭记建党历史、缅怀革命先烈、增强爱国主义情怀，某区组织了党史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三所学校回答一道有关红色革命根据地建立时间的问题，已知甲校回答正确这道题的概率为34，甲、丙两所学校都回答正确这道题的概率是12，乙、丙两所学校都回答正确这道题的概率是14.若各学校回答这道题是否正确是互不影响的.(1)若规定三个学校都需要回答这个问题，求甲、乙、丙三所学校中至少1所学校回答正确这道题的概率；(2)若规定三所学校需要抢答这道题，已知甲校抢到答题机会的概率为25，乙校抢到的概率为310，丙校抢到的概率为310，求这个问题回答正确的概率. 【答案】(1)9196(2)4980【解析】 【分析】（1）设甲、乙、丙3校答对这道题的概率分别为()P A ，()P B ，()P C ，利用独立事件的概率公式结合题干条件列出方程，求解()P B ，()P C ，再利用对立事件的概率公式，即得解；（2）利用全概率公式结合题干条件，即得解 (1)记甲、乙、丙3校独自答对这道题分别为事件A ，B ，C ，分别设甲、乙、丙3校答对这道题的概率分别为()P A ，()P B ，()P C ，由于每人回答问题正确与否是相互独立的，因此A ，B ，C 是相互独立事件由题意可知()34P A =，()()12P A P C ⋅=，()()14P B P C ⋅=， 解得()38P B =，()23P C =.所以，乙答对这道题的概率为38，丙答对这道题的概率为23.甲、乙、丙三所学校中至少1所学校回答正确为事件D ，则概率为()P D ，其反面是三所学校都回答错误，即()()()()()()332511111148396P A P B P C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则三所学校中至少1所学校回答正确的概率为()59119696P D =-=；(2)若规定三所学校需要抢答这道题，则这个问题回答正确设为事件E ，得到抢答机会分别是事件1A ，2A ，3A ，则()125P A =，()2310P A =，()3310P A =，()134P AA =∣，()238PB A =∣，()323P C A =∣， 则()()()()()()()112233P E P A P AA P A PB A P A PC A =++∣∣∣ 233332495410810380=⨯+⨯+⨯= 这个问题回答正确的概率为4980. 题型四 贝叶斯公式例10．（2022·辽宁·高二阶段练习）2022年北京冬奥会的志愿者中，来自甲、乙、丙三所高校的人数分别为：甲高校学生志愿者7名，教职工志愿者2名；乙高校学生志愿者6名，教职工志愿者3名；丙高校学生志愿者5名，教职工志愿者4名.(1)从这三所高校的志愿者中各抽取一名，求这三名志愿者中既有学生又有教职工的概率；(2)先从三所高校中任选一所，再从这所高校的志愿者中任取一名，求这名志愿者是教职工志愿者的概率. 【答案】(1)5581 (2)13【解析】 【分析】（1）先求出这三名志愿者全是学生和全是教职工的概率，再由对立事件的概率关系可得答案（2）设事件D 为这名志愿者是教职工志愿者，事件1E 为选甲高校，事件2E 为选乙高校，事件3E 为选丙高校,由全概率公式可得答案. (1)设事件A 为从三所高校的志愿者中各抽取一名，这三名志愿者全是学生，则()76570999243P A =⨯⨯=；设事件B 为从三所高校的志愿者中各抽取一名，这三名志愿者全是教职工，则()2348999243P B =⨯⨯=；设事件C 为从三所高校的志愿者中各抽取一名，这三名志愿者中既有学生又有教职工，则()()()708551124324381P C P A P B =--=--=. (2)设事件D 为这名志愿者是教职工志愿者，事件1E 为选甲高校，事件2E 为选乙高校，事件3E 为选丙高校.()()()12313P E P E P E ===，()12|9P D E =，()23|9P D E =，()34|9P D E =.所以这名志愿者是教职工志愿者的概率为：()()()()()()()1122331213141|||3939393P D P E P D E P E P D E P E P D E =++=⨯+⨯+⨯=⋅规律方法 此类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生的可能性大小．例11．（2022·全国·高二课时练习）设某公路上经过的货车与客车的数量之比是1：2，货车中途停车修车的概率为0.02，客车中途停车修车的概率为0.01．今有一辆汽车中途停车修理，求该车是货车的概率．【答案】12． 【解析】 【分析】由全概率公式计算出停车修理的概率，再由贝叶斯公式计算出结论． 【详解】记事件A 为经过的车是货车，事件B 是经过车是客车，事件C 是停车修理．1()3P A =，2()3P B =，(|)0.02P C A =，(|)0.01P C B =，121()()(|)()((|)0.020.013375P C P A P C A P B P C B =+=⨯+⨯=，所以10.02()13(|)1()275P AC P A C P C ⨯===. 例12．（2022·全国·高二课时练习）计算机中心有三台打字机A ，B ，C ，某打字员使用各台打字机打字的概率依次为0.6，0.3，0.1，打字机发生故障的概率依次为0.01，0.05，0.04.已知该打字员因打字机发生故障而耽误了工作进度，求该打字员使用A ，B ，C 打字的概率分别为多少.【答案】0.24；0.6；0.16 【解析】 【分析】设“该打字员因打字机发生故障而耽误了工作进度”为事件M ，“该打字员用A 打字”为事件1N ，“该打字员用B 打字”为事件2N ，“该打字员用C 打字”为事件3N ，则根据全概率公式与贝叶斯公式求解即可 【详解】设“该打字员因打字机发生故障而耽误了工作进度”为事件M ， “该打字员用A 打字”为事件1N ，“该打字员用B 打字”为事件2N ， “该打字员用C 打字”为事件3N ， 则根据全概率公式有()()()130.60.010.30.050.10.040.025i i i P M P N P M N ===⨯+⨯+⨯=∑，根据贝叶斯公式，可得该打字员使用A ，B ，C 打字的概率分别为：()()()()1110.60.010.240.025P N P M N P N M P M ⨯===， ()()()()2220.30.050.60.025P N P M N P N M P M ⨯===， ()()()()3330.10.040.160.025P N P M N P N M P M ⨯===. 题型五 全概率公式与贝叶斯公式的综合应用例13．（2022·全国·高二课时练习）在数字通讯中，信号是由数字0和1的长序列组成的，由于随机干扰，发送的信号0或1各有可能错误接收为1或0．现假设发送信号为0和1的概率均为12；又已知发送信号为0时，接收为0和1的概率分别为0.7和0.3，发送信号为1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1．求已知收到信号0时，发出的信号是0（即没有错误接收）的概率． 【答案】0.875 【解析】 【分析】设事件0A =“发送信号为0”，事件1A =“发送信号为1”，事件0B =“收到信号为0”，事件1B =“收到信号为1”，根据题意可得0A 与1A 构成一完备事件组，分别求出()()01P A P A ，，()00P B A ，()01P B A ，再根据()()()()()0000101P B P A P B A P A P B A =+求得()0P B ，再利用贝叶斯公式即可求出答案. 【详解】解：设事件0A =“发送信号为0”，事件1A =“发送信号为1”，事件0B =“收到信号为0”，事件1B =“收到信号为1”．因为收到信号为0时，除来自发送信号为0外，还有发送信号为1时，由于干扰接收的信号0，因此导致事件0B 发生的原因有事件0A 与1A ，且它们互不相容，故0A 与1A 构成一完备事件组．由题意有()()0112P A P A ==，()000.7P B A =，()010.1P B A =， 故()()()()()0000101110.70.10.422P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=．由贝叶斯公式得收到信号0时，发出的信号是0的概率为()()()()0000000.875P A P B A P A B P B ==．规律方法 P (A i )(i ＝1，2，…，n )是在没有进一步信息(不知道事件B 是否发生)的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识，当有了新的信息(知道B 发生)，人们对诸事件发生可能性大小P (A i |B )有了新的估计，贝叶斯公式从数量上刻画了这种变化． 例14．（2022·全国·高二课时练习）设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区感染此病的比例分别为17，15，14．现从这三个地区任抽取一个人，假设每个人来自三个地区的可能性相同． （1）求此人感染此病的概率；（2）若此人感染此病，求此人来自乙地区的概率．【答案】（1）83420；（2）2883.【解析】【分析】（1）应用全概率公式，求所抽取的人感染此病的概率即可；（2）利用贝叶斯概率公式可得()(|)(|)()P B P D BP B DP D=，即可求概率.【详解】（1）由题意，所抽取的人感染此病的概率111183()3754420P=⨯++=.（2）若,,A B C分别表示来自甲、乙、丙的事件，D表示感染此病的事件，∴此人感染此病且来自乙地区的概率11()(|)2835(|)83()83420P B P D BP B DP D⨯===.例15．（2022·全国·高二课时练习）设某工厂有甲、乙、丙三个车间，它们生产同一种工件，每个车间的产量占该厂总产量的百分比依次为25%，35%，40%，它们的次品率依次为5%，4%，2%．现从这批工件中任取一件．(1)求取到次品的概率；(2)已知取到的是次品，求它是甲车间生产的概率．（精确到0.01）【答案】(1)0.0345；(2)0.36.【解析】【分析】（1）根据题意，结合全概率公式，即可求解；（2）根据题意，结合条件概率计算公式，即可求解.设事件1B ，2B ，3B 分别表示取出的工件是甲、乙、丙车间生产的，A 表示“取到的是次品.易知1B ，2B ，3B 两两互斥，根据全概率公式，可得()()()130.250.050.350.040.40.020.0345i i i P A P B P A B ==∑=⨯+⨯+⨯=．故取到次品的概率为0.0345． (2)()()()()()()11110.250.050.360.0345P B P A B P AB P B A P A P A ⨯===≈．故已知取到的是次品，它是甲车间生产的概率为0.36．例16．（2022·江苏·高二课时练习）在数字通信中心信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05．假设发送信号0和1是等可能的． (1)分别求接收的信号为0和1的概率；(2)已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率． 【答案】(1)0.475，0.525 (2)119【解析】 【分析】（1）由全概率公式和对立事件概率公式计算． （2）由条件概率公式计算．设A =“发送的信号为0”，B =“接收到的信号为0”，则A =“发送的信号为1”，B =“接收到的信号为1”．由题意得()()0.5P A P A ==，(|)0.9P B A =，(|)0.1P B A =， (|)0.05P B A =，(|)0.95P B A =．()()(|)()(|)0.50.90.50.050.475P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=； ()1()10.4750.525P B P B =-=-=．(2)()(|)0.50.051(|)()0.47519P A P B A P A B P B ⨯===．例17．（2022·全国·高二课时练习）假设某种细胞分裂（每次分裂都是一个分裂成两个）和死亡的概率相同．如果一个种群从这样一个细胞开始变化，那么这个种群最终灭绝的概率是多少？ 【答案】35054096【解析】 【分析】求出不分裂就灭绝，分裂1次，2次和3次灭绝的概率，4次以上，概率很小忽略不计，把不分裂和分裂前3次加起来作为这个种群最终灭绝的概率，需要用到条件概率 【详解】由题意得：该细胞分裂和死亡的概率均为12，设这个种群最终灭绝是事件A ，其中没有分裂就灭绝为事件0B ，分裂一次后灭绝为事件1B ，分裂两次后灭绝为事件2B ，分裂三次后灭绝为事件3B ，……，其中()012p B =，()21111228p B ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，()2224222212122222211111111111222224424p B C C C C ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯=+=+-⎢⎥⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦225198264⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()424446481234344441111111122222222p B C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭4234444412344444111111151369112444424824096C C C C ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+-=-=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦若分裂n 次后种群最终灭绝，则()11111112122224221222221111111122222222n n n nn n n n n p B C C C ---------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111111112222212222222111111112444245182n n n n n n n n n n C C C ----------⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥=+++=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故当4n =时，()884510.0282p B ⎛⎫⎛⎫=-≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，随着n 的增大，()n p B 变得特别小，可忽略不计，故()1193693505286440964096p A ≈+++=【同步练习】 一、单选题1．（2022·山东济宁·一模）甲､乙两个箱子里各装有5个大小形状都相同的球，其中甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则取出的球是红球的概率为（ ） A ．15B ．1330C ．1730D ．1325【答案】B 【解析】【分析】根据全概率公式进行求解即可.【详解】设事件A表示从甲箱中随机取出一红球放入乙箱中，事件B表示从甲箱中随机取出一白球放入乙箱中，设事件C表示：从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则取出的球是红球，则有：331221 (),(),(),()562563P A P C A P B P C A======，所以312113 ()()()()()525330P C P A P C A P B P C B=+=⨯+⨯=，故选：B2．（2022·山东菏泽·一模）第24届冬奥会奥运村有智能餐厅A、人工餐厅B，运动员甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.7；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8．运动员甲第二天去A 餐厅用餐的概率为（）A．0.75B．0.7C．0.56D．0.38【答案】A【解析】【分析】第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响，可根据第1天可能去的餐厅，将样本空间表示为“第1天去A餐厅”和“第1天去B餐厅”两个互斥事件的并，利用全概率公式求解.【详解】设1A=“第1天去A餐厅用餐”，1B=“第1天去B餐厅用餐”，2A =“第2天去A 餐厅用餐”，则11A B Ω=⋃，且1A 与1B 互斥，根据题意得：()()110.5P A P B ==，()210.7P A A =，()210.8P A B =， 则()()()()()21211210.50.70.50.80.75P A P A P A A P B P A B =+=⨯+⨯=. 故选：A.3．（2022·全国·高二单元测试）太行山脉有很多优美的旅游景点.现有甲､乙两位游客慕名来到太行山脉，都准备从C ､D ､E ､F ，4个著名旅游景点中随机选择一个游玩.设事件A 为“甲和乙至少一人选择C ”，事件B 为“甲和乙选择的景点不同”，则条件概率()P B A =（ ）A ．716B ．78C ．37D ．67【答案】D 【解析】 【分析】由独立乘法公式、互斥事件加法公式求()P A 、()P A B ⋂，再利用条件概率公式求()P B A 即可. 【详解】由题设，甲乙选景点C 的概率为14，选其它景点的概率为34，则()2102213137444416P A C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12136()()()4416P A B C ⋂==，所以()()6()7P A B P B A P A ⋂==. 故选：D4．（2022·江苏高邮·高三开学考试）某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是（）A．15B．25C．35D．45【答案】C 【解析】【分析】基本事件总数121615n C C==，男生乙和女生丙至少一个被选中包含的基本事件个数11112 124129m C C C C C=+=，由此能求出男生乙和女生丙至少一个被选中的概率．【详解】某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），在男生甲被选中的情况下，基本事件总数121615n C C==，男生乙和女生丙至少一个被选中包含的基本事件个数：11112 124129m C C C C C=+=，∴男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是93155mpn===．故选：C.5．（2022·广东深圳·一模）假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有3个小孩的家庭，随机选择一个家庭，则下列说法正确的是（）A．事件“该家庭3个小孩中至少有1个女孩”和事件“该家庭3个小孩中至少有1个男孩”是互斥事件B．事件“该家庭3个孩子都是男孩”和事件“该家庭3个孩子都是女孩”是对立事件C．该家庭3个小孩中只有1个男孩的概率为1 8D．当已知该家庭3个小孩中有男孩的条件下，3个小孩中至少有2个男孩的概率为4 7【答案】D【解析】【分析】根据互斥事件和对立事件的概念判断A、B；利用列举法求出只有一个男孩的概率，即可判断C；利用条件概率的求法计算，即可判断D.【详解】A：假设事件A：该家庭3个小孩至少有1个女孩，则包含(女，男，男)的可能，事件B：该家庭3个小孩至少有一个男孩，则包含(女，女，男)的可能，所以A B⋂≠∅，故A错误；B：事件“3个孩子都是男孩”与事件“3个孩子都是女孩”不可能同时发生，是互斥但不对立事件，故B错误；C：3个小孩可能发生的事件如下：男男男、男男女、男女女、男女男、女女女、女女男、女男女、女男男共8种，其中只有一个男孩的概率为：38P=，故C错误；D：设M={至少一个有男孩}，N={至少有2个男孩}，由选项C可知，()4()7n MN n M==，，所以()4()()7n MNP M Nn M==，故D正确.故选：D6．（2022·全国·模拟预测）从3个“0”和3个“1”中任选3个组成三位数组，若用A表示“第二位数字为‘0’的事件”，用B表示“第一位数字为‘0’的事件”，则)(P A B 等于（ ）.A ．25B ．34C ．12D ．18【答案】C 【解析】 【分析】由条件概率的计算公式即可求解. 【详解】解：由“0”“1”组成的三位数组共有2228⨯⨯=（个），第一位数字为“0”的三位数组有224⨯=（个），则)(4182P B ==，第一位和第二位数字均为“0”的三位数组有2个，则)(2184P AB ==，所以)()()(12P AB P A B P B ==. 故选：C.7．（2022·安徽亳州·高二期末）某种疾病的患病率为0.5%，通过验血诊断该病的误诊率为2%，即非患者中有2%的人验血结果为阳性，患者中有2%的人验血结果为阴性，随机抽取一人进行验血，则其验血结果为阳性的概率为（ ） A ．0.0689B ．0.049C ．0.0248D ．0.02 【答案】C 【解析】 【分析】根据全概率公式即可求出．【详解】随机抽取一人进行验血，则其验血结果为阳性的概率为P =()()0.5%12%10.5%2%⨯-+-⨯=0.0248．故选：C ．8．（2022·全国·高二）深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.2，0.1，当乙球员担当前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.6，0.2．当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为（ ） A ．0.3B ．0.32C ．0.68D ．0.7 【答案】C 【解析】 【分析】利用全概率公式可求球队某场比赛不输球的概率. 【详解】设1A 表示“乙球员担当前锋”，2A 表示“乙球员担当中锋”，3A 表示“乙球员担当后卫”，4A 表示“乙球员担当守门员”，B 表示“当乙球员参加比赛时，球队输球”． 则()()()()()()()()()12341234P B P A P B A P A P B A P A P B A P A P B A =+++0.20.40.50.20.20.60.10.20.32=⨯+⨯+⨯+⨯=，所以当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为10.320.68-=． 故选：C ． 二、多选题9．（2022·全国·模拟预测）有两个箱子，第1个箱子有3个白球，2个红球，第2个箱子有4个白球，4个红球，现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里，再从第2个箱子中随机取1个球放到第1个箱子里，则下列判断正确的是（）A．从第2个箱子里取出的球是白球的概率为23 45B．从第2个箱子里取出的球是红球的概率为22 45C．从第2个箱子里取出的球是白球前提下，则再从第1个箱子里取出的是白球的概率为15 23D．两次取出的球颜色不同的概率为5 9【答案】ABC【解析】【分析】对于ABD，根据互斥事件和独立事件的概率公式求解，对于C，根据条件概率的公式求解即可【详解】从第2个箱子里取出的球是白球的概率为352423595945⨯+⨯=，故选项A正确；从第2个箱子里取出的球是红球的概率为342522595945⨯+⨯=，故选项B正确；设从第2个箱子取出的球是白球为事件A，再从第1个箱子取出的球是白球为事件B，则()()()351559232345P ABP B AP A ⨯===，故选项C正确；两次取出的球颜色不同的概率为3424459599⨯+⨯=，故选项D错误，10．（2022·山东·青岛二中高三开学考试）从有大小和质地相同的3个红球和2个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则（）．A．第一次摸到红球的概率为3 5B．第二次摸到红球的概率为3 5C．在第一次摸到蓝球的条件下，第二次摸到红球的概率为4 5D．在前两次都摸到蓝球的条件下，第三次摸到红球的概率为23【答案】AB【解析】【分析】根据对古典概型的理解直接计算，即可判断A；根据独立重复试验的概率公式直接计算，即可判断B；根据对条件概率的理解，即可判断C、D.【详解】第一次摸到红球的概率为33325=+，则A正确；第二次摸到红球的概率为3223354545⨯+⨯=，则B正确；在第一次摸到蓝球的条件下，第二次摸到红球，相当于从4个球中摸出1个红球，其概率为34，则C错误；在前两次都摸到蓝球的条件下，第三次摸到红球相当于从3个球中摸出1个红球，其概率为1，则D错误．。
高考数学总复习章节练习题及解答 (89)
课时作业·当堂清一、选择题1．(2011年河北衡水中学三模)若集合A＝{x||x|≤3，x∈Z}，B＝{x|x2－4x＋3≤0，x∈Z}，则()A．“x∈A”是“x∈B”的充分条件但不是必要条件B．“x∈A”是“x∈B”的必要条件但不是充分条件C．“x∈A”是“x∈B”的充要条件D．“x∈A”既不是“x∈B”的充分条件，也不是“x∈B”的必要条件[解析]由题可知集合A＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，集合B＝{1,2,3}，所以“x∈A”是“x∈B”的必要条件但不是充分条件，故选B.[答案] B2．(2010年新课标全国)已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2)中，真命题是()A．q1，q3B．q2，q3C．q1，q4D．q2，q4[解析]p1是真命题，则綈p1为假命题；p2是假命题，则綈p2为真命题；∴q1：p1∨p2是真命题，q2：p1∧p2是假命题，∴q3：(綈p1)∨p2为假命题，q4：p1∧(綈p2)为真命题．∴真命题是q1、q4，故选C.[答案] C3．(2010年天津高考)命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是()A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数[解析]否命题是既否定题设又否定结论．因此否命题应为“若函数f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数”．[答案] B4．f(x)，g(x)是定义在R上的函数，h(x)＝f(x)＋g(x)，则“f(x)，g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的()A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解析] f (x )，g (x )均为偶函数⇒h (－x )＝f (－x )＋g (－x )＝f (x )＋g (x )＝h (x )，即：h (x )为偶函数成立，h (x )是偶函数，若设h (x )＝2x 2，f (x )＝x 2－x ，g (x )＝x 2＋x ，显然f (x )，g (x )均不是偶函数．[答案] B5．(2010年上海)“x ＝2k π＋π4(k ∈Z )”是“tan x ＝1”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 当x ＝2k π＋π4时，tan x ＝1，∴充分性成立．又当tan x ＝1时，x ＝k π＋π4，∴x ＝2k π＋π4不成立，即x ＝2k π＋π4是tan x ＝1的不必要条件，∴x ＝2k π＋π4是tan x ＝1的充分不必要条件．(以上均有k ∈Z )[答案] A6．(2010年江西九校联考)已知p ：不等式x 2＋1≤a 的解集为Ø，q ：f (x )＝a x (a >0且a ≠1)是减函数，则p 是q 的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件[解析] 若不等式x 2＋1≤a 的解集为Ø，则a <1，所以p ：a <1；若f (x )＝a x (a >0且a ≠1)是减函数，则0<a <1，所以q ：0<a <1，故选B.[答案] B7．(2009年湖南理)对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] a ＋b ＝0⇒a ＝－b ⇒a ∥b 而a ∥b ，则a ＝λb ，而λ不一定是－1.∴a ＋b ＝0是a ∥b 的充分不必要条件．[答案] A8．已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(12，－4)∪[4，＋∞)B ．[－12，－4]∪[4，＋∞)C ．(－∞，－12)∪(－4,4)D ．[12，＋∞)[解析] 命题p 等价于Δ＝a 2－16≥0，解得a ≤－4或a ≥4；命题q 等价于－a 4≤3，解得a ≥－12.因为p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，则命题p 和q 一真一假．当p 真q 假时，a <－12；当p 假q 真时，－4<a <4.故选C.[答案] C二、填空题9．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围是________．[解析] 因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3，又因为p (2)是真命题，所以4＋4－m >0，解得m <8，所以实数m 的取值范围是3≤m <8.[答案] 3≤m <810．(2009年重庆高考)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是________．[答案] 若一个数的平方是正数，则它是负数三、解答题11．写出命题“abc ＝0时，a ＝0或b ＝0或c ＝0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．[解] 原命题：若abc ＝0，则a ＝0或b ＝0或c ＝0，是真命题． 逆命题：若a ＝0或b ＝0或c ＝0，则abc ＝0，是真命题． 否命题：若abc ≠0，则a ≠0且b ≠0且c ≠0是真命题．逆否命题：若a ≠0且b ≠0且c ≠0，则abc ≠0，是真命题．12．把命题“正三角形的三个内角相等”改写成“若p ，则q ”的形式并写出它们的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假．[解] 原命题：若一个三角形是正三角形，则它的三个内角相等，是真命题．逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则这个三角形是正三角形(或写成：三个内角相等的三角形是正三角形)，是真命题．否命题：若一个三角形不是正三角形，则它的三个内角不全相等，是真命题．逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，那么这个三角形不是正三角形(或写成：三个内角不全相等的三角形不是正三角形)，是真命题．13．若a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c＝z 2－2x ＋π6，求证：a ，b ，c 中至少有一个大于0.[证明] 假设a ，b ，c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0.则a ＋b ＋c ≤0.而a ＋b ＋c ＝x 2－2y ＋π2＋y 2－2z ＋π3＋z 2－2x ＋π6＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3，∵π－3＞0，且无论x ，y ，z 为何实数，(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2≥0，∴a ＋b ＋c ＞0.这与a ＋b ＋c ≤0矛盾．因此，a ，b ，c 中至少有一个大于0.14．命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0，对一切x ∈R 恒成立，q ：函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．[解] 设g (x )＝x 2＋2ax ＋4，由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立， 所以函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16<0，∴－2<a <2.又∵函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，∴3－2a >1，∴a <1.又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假．(1)若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a ≥1，∴1≤a <2； (2)若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2，或a ≥2，a <1，∴a ≤－2. 综上可知，所求实数a 的取值范围为1≤a <2，或a ≤－2.。
高考数学总复习 椭圆、双曲线、抛物线单元测试题
高考数学总复习 椭圆、双曲线、抛物线单元测试题一.选择题(1) 抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为 ( )A 2B 3C 4D 5 (2) 若焦点在x轴上的椭圆2212x y m +=的离心率为12，则m=( )Ａ Ｂ32 Ｃ83Ｄ23(3) 若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆, 那么实数k 的取值范围是 ( )A (0, +∞)B (0, 2)C (1, +∞)D (0, 1)(4) 设P 是双曲线19222=-y ax 上一点，双曲线的一条渐近线方程为023=-y x ,F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若3||1=PF ，则=||2PF( )A 1或 5B 6C 7D 9(5) 对于抛物线y 2=2x 上任意一点Q, 点P(a, 0)都满足|PQ|≥|a |, 则a 的取值范围是( )A [0, 1]B (0, 1)C (]1，∞- D (-∞, 0)(6) 若椭圆)0(12222〉〉=+b a by a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2=2bx 的焦点分成5：3两段，则此椭圆的离心率为( )A1716B 17174C 54D 552(7) 已知双曲线)0(1222>=-a y ax 的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为 ( )A23 B23C 26D 332(8) 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)是抛物线y 2=2px(p>0)上的两点,并且满足OA ⊥OB. 则y 1y 2等于( )A – 4p 2B 4p 2C – 2p 2D 2p 2(9) 已知双曲线1222=-y x 的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅=则点M 到x 轴的距离为( )A43B53C 3 (10) 设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ， 若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( )A2B C 2 1 二.填空题(11) 若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是()0,10，则双曲线的方程是__________.(12)设中心在原点的椭圆与双曲线2 x 2-2y 2=1有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该椭圆的方程是 .(13) 过双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_________．(14) 以下同个关于圆锥曲线的命题中 ①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，k PB PA =-||||，则动点P 的轨迹为双曲线；②过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，O 为坐标原点，若),(21OB OA OP +=则动点P 的轨迹为椭圆； ③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线13519252222=+=-y x y x 与椭圆有相同的焦点.其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号） 三.解答题(15)点A 、B 分别是椭圆1203622=+y x 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PF PA ⊥.求点P 的坐标； .(16) 已知抛物线C: y=-21x 2+6, 点P （2, 4）、A 、B 在抛物线上, 且直线PA 、PB 的倾斜角互补. (Ⅰ)证明:直线AB 的斜率为定值;(Ⅱ)当直线AB 在y 轴上的截距为正数时, 求△PAB 面积的最大值及此时直线AB 的方程.(17) 双曲线12222=-by a x (a>1,b>0)的焦距为2c,直线l 过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线l 的距离与点(-1,0)到直线l 的距离之和s ≥54c.求双曲线的离心率e 的取值范围(18) 已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4、且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5.过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M.（1）求抛物线方程；（2）过M 作FA MN ⊥，垂足为N ，求点N 的坐标；（3）以M 为圆心，MB 为半径作圆M ，当)0,(m K 是x 轴上一动点时，讨论直线AK 与圆M 的位置关系.参考答案一选择题:1.D[解析]：点A 与抛物线焦点的距离就是点A 与抛物线准线的距离，即5)1(4=-- 2.B[解析]：∵焦点在x 轴上的椭圆2212x y m +=的离心率为12，∴2122=-m 则m=233.D[解析]： ∵方程x 2+ky 2=2，即12222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆 ∴22>k故10<<k 4.C[解析]：双曲线19222=-y ax 的一条渐近线方程为023=-y x ，故2=a 又P 是双曲线上一点，故4||||||21=-PF PF ，而3||1=PF ，则=||2PF 75.C[解析]：对于抛物线y 2=2x 上任意一点Q, 点P(a, 0)都满足|PQ|≥|a |,若,0≤a 显然适合若0>a ，点P(a, 0)都满足|PQ|≥|a |就是2222)2(y y a a +-≤ 即1142≤+≤y a ，此时10≤<a 则a 的取值范围是(]1，∞- 6.D[解析]：3522=-+b c bc ，5245222==∴=∴=a c e a c b c 7.D[解析]：双曲线)0(1222>=-a y a x 的准线为122+±=a a x抛物线x y 62-=的准线为23=x 因为两准线重合，故122+a a =23，2a =3，则该双曲线的离心率为328.A[解析]：∵A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)是抛物线y 2=2px(p>0)上的两点,并且满足OA ⊥OB.∴04)(0,12122212121=+∴=+∴-=⋅y y py y y y x x k k OBOA 则y 1y 2 = – 4p 29.C[解析]：∵120,MF MF ⋅=∴点M 在以F 1F 2为直径的圆322=+y x 上故由32||1232222=⎪⎩⎪⎨⎧=-=+y y x y x 得 则点M 到x 轴的距离为332 10.D[解析]：不妨设点P 在 x 轴上方，坐标为),(2ab c ,∵△F 1PF 2为等腰直角三角形∴|PF 2|=|F 1F 2|，即c a b 22=，即e e a c ac a 2122222=-∴=- 故椭圆的离心率e1二填空题:11. 1922=-y x [解析]： 因为双曲线的渐近线方程为x y 3±=，则设双曲线的方程是λ=-922y x ，又它的一个焦点是()0,10 故1109=∴=+λλλ12. 1222=+y x [解析]：双曲线2 x 2-2y 2=1的焦点为（)0,1±，离心率为2故椭圆的焦点为（)0,1±，离心率为22, 则1,2,1===b a c ，因此该椭圆的方程是1222=+y x 13. 2[解析]：设双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 1，右顶点为A ，因为以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点， 故|F 1M|=|F 1A|，∴c a ab +=2∴2112=∴+=-e e e 14. ③④[解析]：根据双曲线的定义必须有||||AB k ≤，动点P 的轨迹才为双曲线，故①错 ∵),(21OB OA OP +=∴P 为弦AB 的中点，故090=∠APC 则动点P 的轨迹为以线段AC 为直径的圆。
高考数学专题复习-集合真题练习(附答案)
专题一集合与常用逻辑用语1.1集合考点一集合及其关系1.(2013山东理,2,5分)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是()A.1B.3C.5D.9答案C因为x∈A,y∈A,所以=0,=0或=0,=1或=0,=2或=1,=0或=1,=1或=1,=2或=2,=0或=2,=1或=2,=2,所以B={0,-1,-2,1,2},所以集合B中有5个元素,故选C.2.(2013江西文,2,5分)若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元素,则a=()A.4B.2C.0D.0或4答案A若a=0,则A=Ø⌀,不符合要求;若a≠0,则Δ=a2-4a=0,得a=4,故选A.3.(2012课标理,1,5分)已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则B中所含元素的个数为()A.3B.6C.8D.10答案D解法一:由x-y∈A及A={1,2,3,4,5}得x>y,当y=1时,x可取2,3,4,5,有4个;当y=2时,x可取3,4,5,有3个;当y=3时,x可取4,5,有2个;当y=4时,x可取5,有1个.故共有1+2+3+4=10(个),选D.解法二:因为A中元素均为正整数,所以从A中任取两个元素作为x,y,满足x>y的(x,y)即为集合B中的元素,故共有C52=10个,选D.4.(2011福建理,1,5分)i是虚数单位,若集合S={-1,0,1},则()A.i∈SB.i2∈SC.i3∈SD.2i∈S答案B i2=-1,-1∈S,故选B.5.(2015重庆理,1,5分)已知集合A={1,2,3},B={2,3},则()A.A=BB.A∩B=Ø⌀C.A⫋BD.B⫋A答案D∵A={1,2,3},B={2,3},∴A≠B,A∩B={2,3}≠Ø;又1∈A且1∉B,∴A不是B的子集,故选D.6.(2013课标Ⅰ理,1,5分)已知集合A={x|x2-2x>0},B={x|-5<x<5},则()A.A∩B=ØB.A∪B=RC.B⊆AD.A⊆B答案B化简A={x|x>2或x<0},而B={x|-5<x<5},所以A∩B={x|-5<x<0或2<x<5},A项错误;A∪B=R,B项正确;A与B没有包含关系,C项与D项均错误.故选B.7.(2012课标文,1,5分)已知集合A={x|x2-x-2<0},B={x|-1<x<1},则()A.A⫋BB.B⫋AC.A=BD.A∩B=Ø答案B A={x|-1<x<2},B={x|-1<x<1},则B⫋A,故选B.8.(2012大纲全国文,1,5分)已知集合A={x|x是平行四边形},B={x|x是矩形},C={x|x是正方形},D={x|x 是菱形},则()A.A⊆BB.C⊆BC.D⊆CD.A⊆D答案B由已知x是正方形,则x必是矩形,所以C⊆B,故选B.9.(2012湖北文,1,5分)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C 的个数为()A.1B.2C.3D.4答案D A={1,2},B={1,2,3,4},所以满足条件的集合C的个数为24-2=22=4,即C={1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}.故选D.评析本题考查集合之间的关系.10.(2016四川,1,5分)设集合A={x|-2≤x≤2},Z为整数集,则集合A∩Z中元素的个数是()A.3B.4C.5D.6答案C A中包含的整数元素有-2,-1,0,1,2,共5个,所以A∩Z中的元素个数为5.11.(2012天津文,9,5分)集合A={x∈R||x-2|≤5}中的最小整数为.答案-3解析由|x-2|≤5,得-5≤x-2≤5,即-3≤x≤7,所以集合A中的最小整数为-3.12.(2013江苏,4,5分)集合{-1,0,1}共有个子集.答案8解析集合{-1,0,1}的子集有Ø,{-1},{0},{1},{-1,0},{-1,1},{0,1},{-1,0,1},共8个.评析本题考查子集的概念,忽视Ø是学生出错的主要原因.考点二集合的基本运算1.(2021北京,1,4分)已知集合A={x|-1<x<1},B={x|0≤x≤2},则A∪B=()A.{x|0≤x<1}B.{x|-1<x≤2}C.{x|1<x≤2}D.{x|0<x<1}答案B因为集合A={x|-1<x<1},B={x|0≤x≤2},所以用数轴表示两集合中元素如图,可知A∪B={x|-1<x≤2},故选B.2.(2021浙江,1,4分)设集合A={x|x≥1},B={x|-1<x<2},则A∩B=()A.{x|x>-1}B.{x|x≥1}C.{x|-1<x<1}D.{x|1≤x<2}答案D利用数轴可得A∩B={x|1≤x<2}.3.(2022浙江,1,4分)设集合A={1,2},B={2,4,6},则A∪B=()A.{2}B.{1,2}C.{2,4,6}D.{1,2,4,6}答案D由题意得A∪B={1,2,4,6}.故选D.4.(2022全国乙文,1,5分)集合M={2,4,6,8,10},N={x|-1<x<6},则M∩N=()A.{2,4}B.{2,4,6}C.{2,4,6,8}D.{2,4,6,8,10}答案A由题意知M∩N={2,4},故选A.5.(2022全国甲文,1,5分)设集合A={-2,-1,0,1,2},B=U0≤<A∩B=()A.{0,1,2}B.{-2,-1,0}C.{0,1}D.{1,2}答案A集合A中的元素只有0,1,2属于集合B,所以A∩B={0,1,2}.故选A.6.(2022全国乙理,1,5分)设全集U={1,2,3,4,5},集合M满足∁U M={1,3},则()A.2∈MB.3∈MC.4∉MD.5∉M答案A由题意知M={2,4,5},故选A.7.(2022新高考Ⅱ,1,5分)已知集合A={-1,1,2,4},B={x||x-1|≤1},则A∩B=()A.{-1,2}B.{1,2}C.{1,4}D.{-1,4}答案B由|x-1|≤1得0≤x≤2,则B={x|0≤x≤2},∴A∩B={1,2},故选B.8.(2022北京,1,4分)已知全集U={x|-3<x<3},集合A={x|-2<x≤1},则∁U A=()A.(-2,1]B.(-3,-2)∪[1,3)C.[-2,1)D.(-3,-2]∪(1,3)答案D在数轴上作出全集U及集合A,如图所示,可知∁U A=(-3,-2]∪(1,3).故选D.易错警示:集合A中含有元素1,不含元素-2,故∁U A中含有元素-2,不含元素1,注意区间的开闭.9.(2022天津,1,5分)设全集U={-2,-1,0,1,2},集合A={0,1,2},B={-1,2},则A∩(∁U B)=()A.{0,1}B.{0,1,2}C.{-1,1,2}D.{0,-1,1,2}答案A∵U={-2,-1,0,1,2},B={-1,2},∴∁U B={-2,0,1},又A={0,1,2},∴A∩(∁U B)={0,1}.故选A.10.(2022新高考Ⅰ,1,5分)若集合M={x|<4},N={x|3x≥1},则M∩N=()A.{x|0≤x<2}B.U13≤<2C.{x|3≤x<16}D.U13≤<16答案D由题意知M={x|0≤x<16},N=U≥M∩N=U13≤<16,故选D.11.(2022全国甲理,3,5分)设全集U={-2,-1,0,1,2,3},集合A={-1,2},B={x|x2-4x+3=0},则∁U(A∪B)=() A.{1,3} B.{0,3} C.{-2,1} D.{-2,0}答案D因为B={x|x2-4x+3=0}={1,3},所以A∪B={-1,1,2,3},所以∁U(A∪B)={-2,0},故选D. 12.(2021全国甲理,1,5分)设集合M={x|0<x<4},N=U13≤≤5,则M∩N=()A.U0<≤B.U13≤<4C.{x|4≤x<5}D.{x|0<x≤5}答案B<<4,≤5,得13≤x<4,故选B.13.(2021全国甲文,1,5分)设集合M={1,3,5,7,9},N={x|2x>7},则M∩N=()A.{7,9}B.{5,7,9}C.{3,5,7,9}D.{1,3,5,7,9}答案B解题指导:对可化简的集合,先化成最简形式;注意仔细审题,利用“∩”的含义,进行基本运算.解析N={x|2x>7}=U M∩N={5,7,9},故选B.易错警示:区分“∩”与“∪”.14.(2021新高考Ⅰ,1,5分)设集合A={x|-2<x<4},B={2,3,4,5},则A∩B=()A.{2}B.{2,3}C.{3,4}D.{2,3,4}答案B在数轴上表示出集合A,如图,由图知A∩B={2,3}.15.(2021全国乙理,2,5分)已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z},T={t|t=4n+1,n∈Z},则S∩T=()A.ØB.SC.TD.Z答案C解题指导:首先结合集合S、T的元素特征得到T⫋S,然后依据集合的交集运算得出结果.解析依题知T⫋S,则S∩T=T,故选C.16.(2021全国乙文,1,5分)已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},则∁U(M∪N)=()A.{5}B.{1,2}C.{3,4}D.{1,2,3,4}答案A解题指导:先求M∪N,再求∁U(M∪N),即可得出结果.解析由题意得M∪N={1,2,3,4},则∁U(M∪N)={5},故选A.易错警示学生易因混淆交集和并集的运算而出错.17.(2020新高考Ⅰ,1,5分)设集合A={x|1≤x≤3},B={x|2<x<4},则A∪B=()A.{x|2<x≤3}B.{x|2≤x≤3}C.{x|1≤x<4}D.{x|1<x<4}答案C已知A={x|1≤x≤3},B={x|2<x<4},在数轴上表示出两个集合,由图易知A∪B={x|1≤x<4}.故选C.18.(2020新高考Ⅰ,5,5分)某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是() A.62% B.56% C.46% D.42%答案C用Venn图表示学生参加体育锻炼的情况,A+B表示喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例,B+C表示喜欢足球的学生数占该校学生总数的比例,A+B+C表示喜欢足球或游泳的学生数占该校学生总数的比例,即A+B=82%,B+C=60%,A+B+C=96%,B表示既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例,故B=82%+60%-96%=46%.故选C.19.(2020北京,1,4分)已知集合A={-1,0,1,2},B={x|0<x<3},则A∩B=()A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-1,1,2}D.{1,2}答案D集合A与集合B的公共元素为1,2,由交集的定义知A∩B={1,2},故选D.20.(2019课标Ⅱ理,1,5分)设集合A={x|x2-5x+6>0},B={x|x-1<0},则A∩B=()A.(-∞,1)B.(-2,1)C.(-3,-1)D.(3,+∞)答案A本题考查了集合的运算;以集合的交集为载体,考查运算求解能力,旨在考查数学运算的素养要求.由题意得A={x|x<2或x>3},B={x|x<1},∴A∩B={x|x<1}.21.(2019课标Ⅱ文,1,5分)已知集合A={x|x>-1},B={x|x<2},则A∩B=()A.(-1,+∞)B.(-∞,2)C.(-1,2)D.Ø答案C本题主要考查集合的交集运算;考查数学运算的核心素养.∵A={x|x>-1},B={x|x<2},∴A∩B={x|-1<x<2},即A∩B=(-1,2).故选C.22.(2019课标Ⅲ理,1,5分)已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x2≤1},则A∩B=()A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-1,1}D.{0,1,2}答案A本题考查集合的运算,通过集合的不同表示方法考查学生对知识的掌握程度,考查了数学运算的核心素养.由题意可知B={x|-1≤x≤1},又∵A={-1,0,1,2},∴A∩B={-1,0,1},故选A.23.(2019北京文,1,5分)已知集合A={x|-1<x<2},B={x|x>1},则A∪B=()A.(-1,1)B.(1,2)C.(-1,+∞)D.(1,+∞)答案C本题主要考查集合的并集运算,考查学生运算求解的能力,考查的核心素养是数学运算.∵A={x|-1<x<2},B={x|x>1},∴A∪B={x|x>-1},故选C.A)∩B=()24.(2019浙江,1,4分)已知全集U={-1,0,1,2,3},集合A={0,1,2},B={-1,0,1},则(∁UA.{-1}B.{0,1}C.{-1,2,3}D.{-1,0,1,3}答案A本题考查补集、交集的运算;旨在考查学生的运算求解的能力;以列举法表示集合为背景体现数学运算的核心素养.∵∁U A={-1,3},∴(∁U A)∩B={-1},故选A.25.(2018课标Ⅰ文,1,5分)已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B=()A.{0,2}B.{1,2}C.{0}D.{-2,-1,0,1,2}答案A本题主要考查集合的基本运算.∵A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},∴A∩B={0,2},故选A.26.(2018课标Ⅱ文,2,5分)已知集合A={1,3,5,7},B={2,3,4,5},则A∩B=()A.{3}B.{5}C.{3,5}D.{1,2,3,4,5,7}答案C本题主要考查集合的运算.由题意得A∩B={3,5},故选C.27.(2018课标Ⅲ理,1,5分)已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},则A∩B=()A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}答案C本题考查集合的运算.∵A={x|x≥1},B={0,1,2},∴A∩B={1,2},故选C.28.(2018北京理,1,5分)已知集合A={x||x|<2},B={-2,0,1,2},则A∩B=()A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{-2,0,1,2}D.{-1,0,1,2}答案A本题主要考查集合的运算.化简A={x|-2<x<2},∴A∩B={0,1},故选A.29.(2018天津文,1,5分)设集合A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},C={x∈R|-1≤x<2},则(A∪B)∩C=()A.{-1,1}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{2,3,4}答案C本题主要考查集合的运算.由题意得A∪B={1,2,3,4,-1,0},∴(A∪B)∩C={1,2,3,4,-1,0}∩{x∈R|-1≤x<2}={-1,0,1}.故选C.A=()30.(2018浙江,1,4分)已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,3},则∁UA.Ø⌀B.{1,3}C.{2,4,5}D.{1,2,3,4,5}答案C本题考查集合的运算.∵U={1,2,3,4,5},A={1,3},∴∁U A={2,4,5}.31.(2017课标Ⅱ理,2,5分)设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B={1},则B=()A.{1,-3}B.{1,0}C.{1,3}D.{1,5}答案C本题主要考查集合的运算.∵A∩B={1},∴1∈B,∴1-4+m=0,∴m=3.由x2-4x+3=0,解得x=1或x=3.∴B={1,3}.经检验符合题意.故选C.32.(2017课标Ⅰ文,1,5分)已知集合A={x|x<2},B={x|3-2x>0},则()A.A∩B=<B.A∩B=ØC.A∪B=<D.A∪B=R答案A本题考查集合的运算.由3-2x>0得x<32,则B=<所以A∩B=<故选A.33.(2017课标Ⅱ文,1,5分)设集合A={1,2,3},B={2,3,4},则A∪B=()A.{1,2,3,4}B.{1,2,3}C.{2,3,4}D.{1,3,4}答案A本题考查集合的并集.A∪B={1,2,3}∪{2,3,4}={1,2,3,4}.故选A.34.(2017课标Ⅲ文,1,5分)已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则A∩B中元素的个数为()A.1B.2C.3D.4答案B因为集合A和集合B有共同元素2,4,所以A∩B={2,4},所以A∩B中元素的个数为2.35.(2017天津理,1,5分)设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x∈R|-1≤x≤5},则(A∪B)∩C=()A.{2}B.{1,2,4}C.{1,2,4,6}D.{x∈R|-1≤x≤5}答案B本题主要考查集合的表示和集合的运算.因为A={1,2,6},B={2,4},所以A∪B={1,2,4,6},又C={x∈R|-1≤x≤5},所以(A∪B)∩C={1,2,4}.故选B.36.(2017北京理,1,5分)若集合A={x|-2<x<1},B={x|x<-1或x>3},则A∩B=()A.{x|-2<x<-1}B.{x|-2<x<3}C.{x|-1<x<1}D.{x|1<x<3}答案A本题考查集合的交集运算,考查运算求解能力.由集合的交集运算可得A∩B={x|-2<x<-1},故选A.37.(2017北京文,1,5分)已知全集U=R,集合A={x|x<-2或x>2},则∁A=()UA.(-2,2)B.(-∞,-2)∪(2,+∞)C.[-2,2]D.(-∞,-2]∪[2,+∞)答案C本题考查集合的补集运算.根据补集的定义可知,∁U A={x|-2≤x≤2}=[-2,2].故选C.38.(2016课标Ⅰ理,1,5分)设集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A∩B=()A.−3,−B.C.1,3答案D因为A={x|x2-4x+3<0}={x|1<x<3},B=>所以A∩B={x|1<x<3}∩>=< x<3.故选D.思路分析通过不等式的求解分别得出集合A和集合B,然后根据交集的定义求得A∩B的结果,从而得出正确选项.方法总结集合的运算问题通常是先化简后运算,可借助数轴或韦恩图解决.39.(2016课标Ⅱ理,2,5分)已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z},则A∪B=()A.{1}B.{1,2}C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3}答案C由(x+1)(x-2)<0⇒-1<x<2,又x∈Z,∴B={0,1},∴A∪B={0,1,2,3}.故选C.40.(2016课标Ⅲ理,1,5分)设集合S={x|(x-2)(x-3)≥0},T={x|x>0},则S∩T=()A.[2,3]B.(-∞,2]∪[3,+∞)C.[3,+∞)D.(0,2]∪[3,+∞)答案D S={x|(x-2)(x-3)≥0}={x|x≤2或x≥3},在数轴上表示出集合S,T,如图所示:由图可知S∩T=(0,2]∪[3,+∞),故选D.评析本题主要考查了集合的运算,数轴是解决集合运算问题的“利器”.41.(2016课标Ⅰ文,1,5分)设集合A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5},则A∩B=()A.{1,3}B.{3,5}C.{5,7}D.{1,7}答案B∵A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5},∴A∩B={3,5},故选B.42.(2016课标Ⅱ文,1,5分)已知集合A={1,2,3},B={x|x2<9},则A∩B=()A.{-2,-1,0,1,2,3}B.{-2,-1,0,1,2}C.{1,2,3}D.{1,2}答案D由已知得B={x|-3<x<3},∵A={1,2,3},∴A∩B={1,2},故选D.B=()43.(2016课标Ⅲ文,1,5分)设集合A={0,2,4,6,8,10},B={4,8},则∁AA.{4,8}B.{0,2,6}C.{0,2,6,10}D.{0,2,4,6,8,10}答案C由补集定义知∁A B={0,2,6,10},故选C.44.(2016天津理,1,5分)已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=3x-2,x∈A},则A∩B=()A.{1}B.{4}C.{1,3}D.{1,4}答案D由题易知B={1,4,7,10},所以A∩B={1,4},故选D.45.(2016山东理,2,5分)设集合A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2-1<0},则A∪B=()A.(-1,1)B.(0,1)C.(-1,+∞)D.(0,+∞)答案C∵A=(0,+∞),B=(-1,1),∴A∪B=(-1,+∞).故选C.Q)=()46.(2016浙江,1,5分)已知集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则P∪(∁RA.[2,3]B.(-2,3]C.[1,2)D.(-∞,-2]∪[1,+∞)答案B∵Q=(-∞,-2]∪[2,+∞),∴∁R Q=(-2,2),∴P∪(∁R Q)=(-2,3],故选B.47.(2015课标Ⅱ,1,5分)已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x-1)(x+2)<0},则A∩B=()A.{-1,0}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{0,1,2}答案A因为B={x|(x-1)(x+2)<0}={x|-2<x<1},A={-2,-1,0,1,2},故A∩B={-1,0}.选A.48.(2015课标Ⅰ文,1,5分)已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B中元素的个数为()A.5B.4C.3D.2答案D由已知得A={2,5,8,11,14,17,…},又B={6,8,10,12,14},所以A∩B={8,14}.故选D.49.(2015课标Ⅱ文,1,5分)已知集合A={x|-1<x<2},B={x|0<x<3},则A∪B=()A.(-1,3)B.(-1,0)C.(0,2)D.(2,3)答案A因为A=(-1,2),B=(0,3),所以A∪B=(-1,3),故选A.50.(2015陕西文,1,5分)设集合M={x|x2=x},N={x|lg x≤0},则M∪N=()A.[0,1]B.(0,1]C.[0,1)D.(-∞,1]答案A由题意知M={0,1},N={x|0<x≤1},所以M∪N=[0,1].故选A.51.(2014课标Ⅰ理,1,5分)已知集合A={x|x2-2x-3≥0},B={x|-2≤x<2},则A∩B=()A.[-2,-1]B.[-1,2)C.[-1,1]D.[1,2)答案A由不等式x2-2x-3≥0解得x≥3或x≤-1,因此集合A={x|x≤-1或x≥3},又集合B={x|-2≤x<2},所以A∩B={x|-2≤x≤-1},故选A.52.(2014课标Ⅱ理,1,5分)设集合M={0,1,2},N={x|x2-3x+2≤0},则M∩N=()A.{1}B.{2}C.{0,1}D.{1,2}答案D由已知得N={x|1≤x≤2},∵M={0,1,2},∴M∩N={1,2},故选D.53.(2014课标Ⅱ文,1,5分)已知集合A={-2,0,2},B={x|x2-x-2=0},则A∩B=()A.⌀B.{2}C.{0}D.{-2}答案B∵集合A={-2,0,2},B={x|x2-x-2=0}={2,-1},∴A∩B={2},故选B.54.(2013课标Ⅱ理,1,5分)已知集合M={x|(x-1)2<4,x∈R},N={-1,0,1,2,3},则M∩N=()A.{0,1,2}B.{-1,0,1,2}C.{-1,0,2,3}D.{0,1,2,3}答案A化简得M={x|-1<x<3},所以M∩N={0,1,2},故选A.55.(2013课标Ⅰ文,1,5分)已知集合A={1,2,3,4},B={x|x=n2,n∈A},则A∩B=()A.{1,4}B.{2,3}C.{9,16}D.{1,2}答案A∵B={x|x=n2,n∈A}={1,4,9,16},∴A∩B={1,4},故选A.56.(2013课标Ⅱ文,1,5分)已知集合M={x|-3<x<1},N={-3,-2,-1,0,1},则M∩N=()A.{-2,-1,0,1}B.{-3,-2,-1,0}C.{-2,-1,0}D.{-3,-2,-1}答案C由题意得M∩N={-2,-1,0}.选C.57.(2013上海理,15,5分)设常数a∈R,集合A={x|(x-1)(x-a)≥0},B={x|x≥a-1},若A∪B=R,则a的取值范围为()A.(-∞,2)B.(-∞,2]C.(2,+∞)D.[2,+∞)答案B当a=1时,集合A=R,满足A∪B=R.当a>1时,A=(-∞,1]∪[a,+∞),由A∪B=R,得a-1≤1,所以1<a≤2;当a<1时,A=(-∞,a]∪[1,+∞),由A∪B=R,得a-1≤a,所以a<1.综上所述,a≤2.58.(2012大纲全国理,2,5分)已知集合A={1,3,},B={1,m},A∪B=A,则m=()A.0或3B.0或3C.1或3D.1或3答案B由A∪B=A得B⊆A,则m∈A,所以有m=或m=3,所以m=3或m=1或m=0,又由集合中元素的互异性知m≠1,故选B.59.(2011课标文,1,5分)已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则P的子集共有()A.2个B.4个C.6个D.8个答案B由题意得P=M∩N={1,3},∴P的子集为⌀,{1},{3},{1,3},共4个,故选B.M=⌀,则M∪N=() 60.(2011辽宁理,2,5分)已知M,N为集合I的非空真子集,且M,N不相等,若N∩∁IA.MB.NC.ID.⌀答案A∵N∩∁I M=⌀,∴N⊆M.又M≠N,∴N⫋M,∴M∪N=M.故选A.61.(2020江苏,1,5分)已知集合A={-1,0,1,2},B={0,2,3},则A∩B=.答案{0,2}解析∵A={-1,0,1,2},B={0,2,3},∴A∩B={0,2}.62.(2018江苏,1,5分)已知集合A={0,1,2,8},B={-1,1,6,8},那么A∩B=.答案{1,8}解析本题考查集合的运算.∵A={0,1,2,8},B={-1,1,6,8},∴A∩B={1,8}.。
1988年高考数学试卷及详解【独家收藏,绝对珍品!】
1988年试题(理工农医类)一、本题每一个小题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的,把你认为正确的结论的代号写在题后的括号内.(A)1 (B)-1 (C)I (D)-i【】[Key]一、本题考查基本概念和基本运算.(1)B(2)设圆M的方程为(x-3)2+(y-2)2=2,直线L的方程为x+y-3=0,点P的坐标为(2,1),那么(A)点P在直线L上,但不在圆M上(B)点P在圆M上,但不在直线L上(C)点P既在圆M上,又在直线L上(D)点P既不在圆M上,也不在直线L上【】[Key] (2)C(3)集合{1,2,3}的子集总共有(A)7个 (B)8个(C)6个 (D)5个【】[Key] (3)B(A)10 (B)5【】[Key] (4)A(5)在的展开式中,x6的系数是【】[Key] (5)D(6)函数y=cos4x-sin4x的最小正周期是(A)π(B)2π【】[Key] (6)A(7)方程的解集是【】[Key] (7)C(A)圆(B)双曲线右支(C)抛物线(D)椭圆【】[Key] (8)D(9)如图,正四棱台中,A＇D＇所在的直线与BB＇所在的直线是(A)相交直线(B)平行直线(C)不互相垂直的异面直线(D)互相垂直的异面直线【】[Key] (9)C【】[Key] (10)D(11)设命题甲:△ABC的一个内角为60°.命题乙:△ABC的三个内角的度数成等差数列.那么(A)甲是乙的充分条件,但不是必要条件(B)甲是乙的必要条件,但不是充分条件(C)甲是乙的充要条件(D)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件【】[Key] (11)C(12)复平面内,若复数z满足│z+1│=│z-i│,则z所对应的点Z的集合构成的图形是(A)圆(B)直线(C)椭圆(D)双曲线【】[Key] (12)B(13)如果曲线x2-y2-2x-2y-1=0经过平移坐标轴后的新方程为那么新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为(A)(1,1) (B)(-1,-1)(C)(-1,1) (D)(1,-1)【】[Key] (13)D(14)假设在200件产品中有3件是次品,现在从中任意抽取5件,其中至少有2件次品的抽法有【】[Key] (14)B(15)如图,二面角αˉABˉβ的平面角是锐角,C是面α内的一点(它不在棱AB 上),点D是点C在面β上的射影,点E是棱AB上满足∠CEB为锐角的任意一点,那么(A)∠CEB>∠DEB(B)∠CEB=∠DEB(C)∠CEB<∠DEB(D)∠CEB与∠DEB的大小关系不能确定【】[Key] (15)A二、只要求直接写出结果.(5)已知等比数列{a n}的公比q>1,并且a1=b(b≠0),求[Key] 二、本题考查基础知识和基本运算,只需要写出结果.[Key] 三、本题主要考查三角公式和进行三角式的恒等变形的能力.解法一:解法二:解法三:解法四:四、如图,正三棱锥S-ABC的侧面是边长为a的正三角形,D是SA的中点,E是BC的中点,求△SDE 绕直线SE旋转一周所得到的旋转体的体积.[Key] 四、本题主要考查空间想象能力、体积计算等知识和推理能力.解法一:连接AE,因为△SBC和△ABC都是边长为a的正三角形,并且SE和AE分别是它们的中线,所以SE=AE,从而△SEA为等腰三角形,由于D是SA的中点,所以ED⊥SA.作DF⊥SE,交SE于点F.考虑直角△SDE的面积,得到所求的旋转体的体积是以DF为底面半径,分别以SF和EF为高的两个圆锥的体积的和,即解法二:连结BD.因为BD是正三角形SBA的中线,所以BD⊥SA.连结CD,同理CD⊥SA.于是SA⊥平面BDC,所以SA⊥DE.作DF⊥SE,交SE于点F.在直角△SDE中,SD2=SF·SE,所求的旋转体的体积为[Key] 五、本题主要考查对数函数的性质,以及运用重要不等式解决问题的能力.解法一:情形1∶0<a<1.情形2∶a>1.解法二:当t>0时,由重要不等式可得当且仅当t=1时取“=”号.当0<a<1时,y=log a x是减函数,当a>1时,y=log a x是增函数,解法三:因为t>0,又有当且仅当t=1时取“=”号,当且仅当t=1时取“=”号.以下同解法二.六、给定实数a,a≠0,且a≠1设函数证明(1)经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴;(2)这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形.[Key] 六、本题主要考查考生在正确理解数学概念(函数的图象的概念,轴对称图形的概念等)的基础上进行推理的能力,以及灵活运用学过的代数和解析几何的知识(互为反函数的图象之间的关系,两条直线平行的条件等)解决问题的能力.证法一:(1)设M1(x1,y1),M2(x2,y2)是这个函数图象上任意两个不同的点,∵a≠1,且x1≠x2,∴y2-y1≠0.因此,M1M2不平行于x轴.即,由此得a=1,与已知矛盾,于是由②式得证法二:(1)设M1(x1,y1),M2(x2,y2)是这个函数的图象上任意两个不同的点,则x1≠x2.假如直线M1M2平行于x轴,那么y1=y2,即亦即(x1-1)(ax2-1)=(x2-1)(ax1-1),整理得a(x1-x2)=x1-x2,因为x1≠x2,所以a=1,这与已知矛盾.因此M1M2不平行于x轴.(2)先求所给函数的反函数:由得y(ax-1)=x-1,即(ay-1)x=y-1.即ax-a=ax-1,由此得a=1,与已知矛盾,所以ay-1≠0.因此得到由于函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对证法三:(1)任取一条与x轴平行的直线L,则l的方程为y=c(c为常数).考虑L与所给函数的图象是否相交以及交点数目的情况.将②代入①得c(ax-1)=x-1,即(ca-1)x=c-1. ③从而直线L与所给函数的图象无交点.这说明原方程组恰有一个解,从而直线L与所给函数的图象恰有一个交点.综上述,平行于x轴的直线与所给函数的图象或者不相交,或者恰有一个交点.因此,经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴.(2)同证法一或证法二.[Key] 七、本题主要考查考生利用方程研究曲线性质的能力,以及综合运用学过的代数知识(一元二次方程的判别式,根与系数的关系,解二元二次方程组,解不等式等)去解题的能力.解法一:假定椭圆上有符合题意的四个点,则这四个点的坐标都应满足下面的椭圆方程:又这四个点的坐标应满足下面的抛物线方程y2=2px,从而它们都是下面的方程组的解:将②式代入①式,得由于上述方程组有4个不同的实数解,所以方程③的判别式应大于零,整理得 3p2-4p+1>0,由已知,椭圆上的点的横坐标都大于零,所以方程③的两个根应都为正数,于是得 7p-4<0, 解此不等式得由④、⑤以及已知条件得一次项系数7p-4<0,所以x1,x2都为正数.把x1及x2分别代入②中,可解得显然y1,y2,y3,y4两两不相等.由于(x1,y1)适合②式和③式,从而也适合①式,因此点M1(x1,y1)是符合题意的点.同理M2(x1,y2),M3(x2,y3),M4(x2,y4)都是符合题意的点,并且它们是互不相同的.解法二:椭圆上有四个点符合题意的充要条件是方程组有四个不同的实数解.所以原方程组有四个不同的实数解,当且仅当方程③有两个不相等的正根.而这又等介于在p>0的条件下,解此不等式组,得到解法三:易求出所给椭圆的方程为假定这个椭圆上有符合题意的四个点,则这些点的坐标应是下述方程组的解:把②式化简得y2=2px.以下同解法一．。
高三数学复习题含详细答案
高三数学复习题含详细答案高三数学复习题含详细答案在高三的数学复习中，做题是非常重要的一部分。
通过做题，不仅可以巩固知识点，还可以提高解题能力和应试技巧。
本文将为大家提供一些高三数学复习题，并附上详细的解答，希望对大家的复习有所帮助。
1. 已知函数 f(x) = x^2 + 3x + 2，求 f(-2) 的值。
解答：将 x = -2 代入函数 f(x) 中，得到 f(-2) = (-2)^2 + 3(-2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0。
所以 f(-2) 的值为 0。
2. 某商品原价为 200 元，现在打 8 折出售，求打折后的价格。
解答：打 8 折相当于打 80% 的折扣，所以打折后的价格为200 × 80% = 160 元。
3. 已知直角三角形的两条直角边分别为 3cm 和 4cm，求斜边的长度。
解答：根据勾股定理，斜边的长度为√(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5cm。
4. 解方程 2x + 5 = 3x - 1。
解答：将方程中的 x 都移到一边，得到 2x - 3x = -1 - 5，即 -x = -6。
两边同时乘以 -1，得到 x = 6。
所以方程的解为 x = 6。
5. 已知集合 A = {1, 2, 3, 4, 5}，集合 B = {3, 4, 5, 6, 7}，求 A 与 B 的交集和并集。
解答：A 与 B 的交集为 {3, 4, 5}，并集为 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}。
6. 某数学竞赛共有 80 人参加，其中男生占总人数的 60%，女生占总人数的百分之几？解答：男生占总人数的 60%，那么女生占总人数的比例为 100% - 60% = 40%。
所以女生占总人数的百分之几为 40%。
7. 某数列的前两项为 1 和 2，从第三项开始，每一项都是前两项的和，求第 10项的值。
解答：根据数列的定义，第三项为 1 + 2 = 3，第四项为 2 + 3 = 5，依次类推可以得到数列的前十项为：1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89。
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项(函数的概念及其表示)练习(附答案)
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项（函数的概念及其表示）练习一、基础小题练透篇1．下列各组函数中，表示同一个函数的是( )A ．y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x 0和y ＝1C ．f (x )＝x 2和g (x )＝(x ＋1)2D ．f (x )＝（x ）2x 和g (x )＝x（x ）22．下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．43．[2023ꞏ安徽省六安市新安中学高三模拟]已知函数f (x ＋2)＝x 2＋6x ＋8，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝x 2＋2xB ．f (x )＝x 2＋6x ＋8C ．f (x )＝x 2＋4xD ．f (x )＝x 2＋8x ＋64．[2023ꞏ河南省名校联盟高三模拟]已知函数f (x )＝a x a x ＋1(a >0，且a ≠1)，若f (2)＝13 ，则f (－2)＝( )A ．23B ．34C ．13D ．145．[2023ꞏ北京市朝阳区高三模拟]函数f (x )＝x ＋2 ＋1x ＋1 的定义域是__________． 6．已知f (x )的定义域为{x |x ≠0}，满足3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1，则函数f (x )＝________．二、能力小题提升篇1.[2023ꞏ江西省南昌市第二中学模拟]已知函数f (x )的定义域为(1，＋∞)，则函数F (x )＝f (2x －3)＋3－x 的定义域为( )A ．(2，3]B ．(－2，3]C ．[－2，3]D ．(0，3]2．[2023ꞏ海南华侨中学高三检测]已知函数f (x －1)＝xx ＋1，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝x ＋1x ＋2B ．f (x )＝xx ＋1C ．f (x )＝x －1xD ．f (x )＝1x ＋23．[2023ꞏ山西省部分学校高三模拟]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 16x ，x ≤22f （x －1），x >2 ，则f (4)＝( ) A ．14 B ．2 C ．12 D ．14．[2023ꞏ江苏省淮安市高三上学期期中]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2，x ≤1，x ＋1x －1，x >1， 则使得f (x )≥1的x 的取值范围为( )A ．[－1，1]B ．(－1，1)C ．(－1，＋∞)D ．[－1，＋∞)5．[2023ꞏ山东济南质检]已知函数f (2x －1)的定义域为(0，1)，则函数f (1－3x )的定义域是________．6．[2023ꞏ陕西省西安市高三上学期检测]设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1eꞏln x ，x ≥1 ，若f (a )＝f (e a )，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝________．三、高考小题重现篇1.[2021ꞏ上海卷]已知参数方程⎩⎨⎧x ＝3t －4t 3，y ＝2t 1－t2，t ∈[－1，1]，下列选项的图中，符合该方程的是( )2．[山东卷]设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，2（x －1），x ≥1.若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．83．[浙江卷]若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关4．[2020ꞏ北京卷]函数f (x )＝1x ＋1 ＋ln x 的定义域是________．5．[江苏卷]函数f (x )＝log 2x －1 的定义域为________．6．[2021ꞏ浙江卷]已知a ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，x >2，|x －3|＋a ，x ≤2. 若f (f (6 ))＝3，则a ＝________．四、经典大题强化篇1.[2023ꞏ江苏省连云港市海滨中学模拟]已知二次函数f (x )的最小值为3，且f (1)＝f (3)＝5.(1)求f (x )的解析式；(2)若y ＝f (x )的图象恒在直线y ＝2x ＋2m ＋1的上方，求实数m 的取值范围．2．[2023ꞏ河南省驻马店市部分重点中学质检]已知函数f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x2－2x.(1)求f(x)的解析式；(2)若关于x的方程f(x)＝m(|x－1|＋2)＋n有3个不同的实数解，求m的取值范围．参考答案1．答案：C答案解析：因为B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2x≥12 ＝[－1，＋∞），A ＝{x |x 2＋2x >0}＝（－∞，－2）∪（0，＋∞），所以A ∪B ＝（－∞，－2）∪[－1，＋∞）.故选C. 2．答案：A答案解析：∵{0，1}＝B ⊆A ＝{1，a ，a 2－1}，∴a ＝0或a 2－1＝0， ∴a ＝0或a ＝±1，又由于集合元素的互异性，应舍去1， ∴a ＝0或a ＝－1. 故选A. 3．答案：C答案解析：命题p ：“∀x ≥0，2x－sin x ≥0”是全称命题，又全称命题的否定是特称命题，故“∀x ≥0，2x－sin x ≥0”的否定是“∃x 0≥0，2x 0－sin x 0<0”．4．答案：A答案解析：因为|x －2|<2⇒0<x <4，x 2－3x ＋2<0⇒1<x <2，所以A ＝{x |0<x <4}，B ＝{x |1<x <2}，因此∁R B ＝{x |x ≤1或x ≥2}， 所以A ∩∁R B ＝（0，1]∪[2，4），故选A. 5．答案：B答案解析：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12 ≤1得：－1≤x ＋12 ≤1，所以－32 ≤x ≤12 ， 又因为x ∈Z ，所以B ＝{－1，0}， 故A ∩B ＝{－1}，A 错误； A ∪B ＝{－1，0，1}，B 正确； A ∩（∁R B ）＝{1}，C 错误；（∁R A ）∪B ＝{x |x ≠1}，D 错误． 故选B. 6．答案：B答案解析：因为xy ＋1≠x ＋y 即xy ＋1－x －y ≠0，即（x －1）（y －1）≠0， 即等价于x ≠1且y ≠1，故“xy ＋1≠x ＋y ”的充要条件是x ，y 都不为1. 故选B. 7．答案：C答案解析：命题p ：14<2x －1≤4，即2－2<2x －1≤22，－2<x －1≤2，－1<x ≤3；命题q ：（x －m ）（x －m －1）≤0，解得m ≤x ≤m ＋1，由于p 是q 的必要不充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧m >－1m ＋1≤3 ，解得－1<m ≤2，所以m 的取值范围是（－1，2].故选C. 8．答案：C答案解析：因为M ＝{1，3，6}，P ＝{3，4，5}，所以M ∩P ＝{3}，M ∪P ＝{1，3，4，5，6}，因为U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，所以∁U （M ∪P ）＝{2，7，8}，由Venn 图易知，Venn 图中阴影部分表示的集合是∁U （M ∪P ）∪（M ∩P ）， 故Venn 图中阴影部分表示的集合是{2，3，7，8}． 9．答案：B答案解析：要使“对任意x ∈[1，2），x 2－a ≤0”为真命题，只需要a ≥4，所以a >4是命题为真的充分不必要条件．10．答案：B答案解析：由题意，甲：A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ； 乙：∁U A ⊆∁U B ⇔B ⊆A ； 丙：（∁U A ）∪（∁U B ）＝∁U A ⇔∁U B ⊆∁U A ⇔A ⊆B ；丁：∁U （A ∪B ）＝（∁U A ）∩（∁U B ）对任意的集合A ，B 均成立． 若有且只有一个不成立，则必为乙． 故选B.11．答案：A答案解析：“若am 2>bm 2，则a >b ”的逆命题为“若a >b ，则am 2>bm 2”，①正确；“∀x >0，1－1x ≤ln x ”的否定是“∃x 0>0，1－1x 0>ln x 0”，②正确；命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝2”的否命题为“若x 2－3x ＋2≠0，则x ≠2”，③不正确；“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0”的逆否命题是“若a ，b 不全为0，则a 2＋b 2≠0”，④不正确．故选A.12．答案：B 答案解析：对于A ：当等腰三角形的顶角∠BAC 无限小时，且底边上的高AD 比较大，BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，如图所示：显然BE ＋CF <AD ，故BE 、CF 、AD 不满足三角形的三边，故选项A 错误；对于B ：由x －1x －2 ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（x －2）≤0x －2≠0 ，解得1≤x <2，任取x 1，x 2且x 1≥x 2，则 2≤x 1＋x 2<4，0≤x 1－x 2<1，又1≤x 3<2，所以x 1－x 2<x 3<x 1＋x 2，即选项B 成立；对于C ：因为|x －1|＋|x －3|＝2，当x ≤1时，－（x －1）－（x －3）＝2，解得x ＝1； 当x ≥3时，（x －1）＋（x －3）＝2，解得x ＝3；当1<x <3时（x －1）－（x －3）＝2，即2＝2恒成立，所以1<x <3；综上可得1≤x ≤3，即{x ||x －1|＋|x －3|＝2}＝{x |1≤x ≤3}，令a ＝b ＝1，c ＝3，显然a ＋b <c ，不满足a ，b ，c 为某一三角形的三边长，故选项C 错误；对于D ：因为y ＝log 2（3x －2），所以3x －2>0，解得x >23，所以{x |y ＝log 2（3x －2）}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >23 ，令a ＝b ＝1，c ＝3，显然a ＋b <3，不满足a ，b ，c 为某一三角形的三边长，故选项D 错误．故选B.13．答案：m ≤1 答案解析：因为命题“∀x ∈R ，x 2－2x ＋m >0”为假命题，所以命题“∃x ∈R ，x 2－2x ＋m ≤0”为真命题，所以Δ＝（－2）2－4m ≥0，解得m ≤1.14．答案：k ≤2答案解析：因为A ＝{x |x 2－5x ＋4≤0}＝{x |1≤x ≤4}， 所以∁R A ＝{x |x <1或x >4}，当B ＝∅时，k ＋1>2k ，即k <1，适合题意；当B ≠∅时，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1≤2k k ＋1≥12k ≤4，解得1≤k ≤2，综上，实数k 的取值范围是k ≤2.15．答案：120答案解析：当b ＝1时，a ≠1显然是正确的，由题意，则b ≠1；当a ≠1时，由b ≠1，则c ＝1，而c ≠2显然正确，由题意，则a ＝1； 故c ≠2是正确的，易知b ＝2，c ＝0，故100a ＋10b ＋c ＝100×1＋10×2＋0＝120. 16．答案：①③答案解析：g （x ）＝2sin [2（x －π4 ）＋π3 ]＝2sin （2x －π6），p 1：g （x ）的周期T ＝2π2＝π，所以函数的最小正周期是π，所以p 1是假命题；p 2：当x ∈（－π3 ，0）时，2x －π6 ∈（－5π6 ，－π6），在此区间函数先减后增，所以p 2是假命题；p 3：x ∈[0，π2 ]时，2x －π6 ∈[－π6 ，5π6 ]，所以sin （2x －π6 ）∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 ，函数g （x ）的值域是[－1，2]，所以p 3是真命题．根据复合命题真假的判断方法可知①③正确．17．答案解析：由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．（1）∵A ∩B ＝[0，3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝0，m ＋2≥3. ∴m ＝2.（2）∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}，∵A ⊆∁R B ， ∴m －2>3或m ＋2<－1，即m >5 或m <－3.所以实数m 的取值范围是{m |m >5，或m <－3}． 18．答案解析：（1）因为A ＝{x |1<x <5}，B ＝{x |－2<x <2}， 所以A ∩B ＝{x |1<x <2}，A ∪B ＝{x |－2<x <5}．（2）由“x ∈A ”是“x ∈B ”成立的充分不必要条件， 知集合A 是集合B 的真子集，因为m 2＋1－（m －1）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －12 2 ＋74 >0，所以由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥－2m 2＋1≤2 ，解得－1≤m ≤1.当m ＝－1时，A ＝B ，不满足条件， 当m ＝1时，A ＝{x |0<x <2}满足条件， 所以实数m 的取值范围为－1<m ≤1. 即m ∈（－1，1].19．答案解析：（1）∵A ＝{x ∈R |x 2－5x ＋8＝2}＝{2，3}，B ＝{x ∈R |x 2＋2x －8＝0}＝{2，－4}，∴A ∪B ＝{2，3，－4}．（2）∵A ∩C ≠∅，B ∩C ＝∅，∴2∉C ，－4∉C ，3∈C .∵C ＝{x ∈R |x 2－ax ＋a 2－19>0}，∴⎩⎪⎨⎪⎧22－2a ＋a 2－19≤0，（－4）2＋4a ＋a 2－19≤0，32－3a ＋a 2－19>0，解得⎩⎨⎧－3≤a ≤5，－2－7≤a ≤－2＋7，a <－2或a >5，∴－3≤a <－2.∴实数a 的取值范围是[－3，－2）.20．答案解析：（1）由p ：2x 2－5x －3>0，即p ：x >3或x <－12，设A ＝{x |x >3或x <－12}，B ＝{x |x >a }，因为p 是q 的必要不充分条件，所以集合B 是集合A 的真子集，所以a ≥3.（2）由r ：x 2≤m （m >0），即r ：－m ≤x ≤m ，¬p ：－12 ≤x ≤3，设C ＝{x |－m ≤x ≤m }，D ＝{x |－12≤x ≤3}，因为¬p 是r 的必要条件，所以C ⊆D ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－12m ≤3m >0，解得0<m ≤14 ，所以m 的最大值为14 .21．答案解析：（1）由题意解不等式（4x ＋1）（x ＋2）<0得：－2<x <－14，解3x ＋1 >1，即3x ＋1 －1＝－x ＋2x ＋1>0，得－1<x <2， 故A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－2<x <－14 ，B ＝{x |－1<x <2}，故M ＝B ΔA ＝{x |x ∈B, 且x ∉A }＝B ∩∁R A＝{x |－1<x <2}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－2或x ≥－14＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－14≤x <2 . （2）若x ∈P 是x ∈M 的必要条件，则M ⊆P .①当2a >2－a 即a >23 时，P ＝{x |2－a <x <2a }，则⎩⎪⎨⎪⎧2－a <－142a ≥2a >23，即a >94； ②当2a <2－a 即a <23时，P ＝{x |2a <x <2－a }，则⎩⎪⎨⎪⎧a <232a <－142－a ≥2，即a <－18 ； ③当2a ＝2－a 即a ＝23时，P ＝∅，此时不满足条件，综上，所求实数a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪a <－18或a >94 .22．答案解析：（1）若p 为真，（ln x ＋3x ）min ≥2m 2－m 恒成立，因为x ∈[1，3]，函数y ＝ln x ，y ＝3x在[1，3]为单调递增函数，所以函数y ＝ln x ＋3x在[1，3]为单调递增函数，所以（ln x ＋3x）min ＝3，所以，3≥2m 2－m ，解得：－1≤m ≤32 .所以实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32 . （2）若q 为真，存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，4 ，使得不等式4x ＋1x ＋2m －3≤0成立，所以只需（4x＋1x＋2m －3）min ≤0，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，4 ，4x ＋1x ≥4，当且仅当x ＝12 时等号成立， 所以（4x ＋1x＋2m －3）min ＝4＋2m －3＝2m ＋1，所以2m ＋1≤0，即m ≤－12；若p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，则p ，q 一真一假．若q 为假命题，p 为真命题，则⎩⎪⎨⎪⎧－1≤m ≤32m >－12，即－12 <m ≤32 ；若p 为假命题，q 为真命题，则⎩⎪⎨⎪⎧m <－1或m >32m ≤－12，即m <－1.综上，实数m 的取值范围为（－∞，－1）∪（－12 ，32].。
2024年高考数学总复习第六章《数列》测试卷及答案解析
2024年高考数学总复习第六章《数列》测试卷及答案(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 10＝100，则a 7的值为()A ．11B ．12C ．13D ．14答案C解析由S 10＝100及公差为2，得10a 1＋10×(10－1)2×2＝100，所以a 1＝1.所以a n ＝2n －1，故a 7＝13.故选C.2．若等差数列{a n }的公差d ≠0且a 1，a 3，a 7成等比数列，则a2a 1等于()A.32B.23C.12D ．2答案A解析设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则a 3＝a 1＋2d ，a 7＝a 1＋6d .因为a 1，a 3，a 7成等比数列，所以(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，解得a 1＝2d .所以a 2a 1＝2d ＋d 2d＝32.故选A.3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6＝30，S 10＝10，则S 16等于()A ．－160B ．－80C ．20D ．40答案B解析a 1＋15d ＝30，a 1＋45d ＝10，解得a 1＝10，d ＝－2，故S 16＝16a 1＋120d ＝16×10＋120×(－2)＝－80，故选B.4．记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于()A ．－3B ．5C ．－31D ．33答案D解析由题意知公比q ≠1，S 6S 3＝a 1(1－q 6)1－qa 1(1－q 3)1－q ＝1＋q 3＝9，∴q ＝2，S 10S 5＝a 1(1－q 10)1－qa 1(1－q 5)1－q＝1＋q 5＝1＋25＝33.5．(2019·湖南五市十校联考)已知数列{a n }满足2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，a 2＋a 4＋a 6＝12，a 1＋a 3＋a 5＝9，则a 1＋a 6等于()A ．6B ．7C ．8D ．9答案B解析由数列{a n }满足2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)得数列{a n }为等差数列，所以a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝12，即a 4＝4，同理a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝9，即a 3＝3，所以a 1＋a 6＝a 3＋a 4＝7.6．(2019·新乡模拟)为了参加冬季运动会的5000m 长跑比赛，某同学给自己制定了7天的训练计划：第1天跑5000m ，以后每天比前1天多跑200m ，则这个同学7天一共将跑()A ．39200mB ．39300mC ．39400mD ．39500m答案A解析依题意可知，这个同学第1天，第2天，…跑的路程依次成首项为5000，公差为200的等差数列，则这个同学7天一共将跑5000×7＋7×62×200＝39200(m)．故选A.7．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m 等于()A ．38B ．20C ．10D ．9答案C解析因为{a n }是等差数列，所以a m －1＋a m ＋1＝2a m ，由a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，得2a m －a 2m ＝0，由S 2m －1＝38知a m ≠0，所以a m ＝2，又S 2m －1＝38，即(2m －1)(a 1＋a 2m －1)2＝38，即(2m －1)×2＝38，解得m ＝10，故选C.8．(2019·青岛调研)已知各项均不相等的等比数列{a n }，若3a 2，2a 3，a 4成等差数列，设S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 3a 3等于()A.139B.79C ．3D ．1答案A解析设等比数列{a n }的公比为q ，∵3a 2，2a 3，a 4成等差数列，∴2×2a 3＝3a 2＋a 4，∴4a 2q ＝3a 2＋a 2q 2，化为q 2－4q ＋3＝0，解得q ＝1或3.又数列的各项均不相等，∴q ≠1，当q ＝3时，S 3a 3＝a 1(33－1)3－1a 1×9＝139.故选A.9．(2019·广东六校联考)将正奇数数列1，3，5，7，9，…依次按两项、三项分组，得到分组序列如下：(1，3)，(5，7，9)，(11，13)，(15，17，19)，…，称(1，3)为第1组，(5，7，9)为第2组，依此类推，则原数列中的2019位于分组序列中的()A ．第404组B ．第405组C ．第808组D ．第809组答案A解析正奇数数列1，3，5，7，9，…的通项公式为a n ＝2n －1，则2019为第1010个奇数，因为按两项、三项分组，故按5个一组分组是有202组，故原数列中的2019位于分组序列中的第404组，故选A.10．(2019·新疆昌吉教育共同体月考)在数列{a n }中，a 1＝2，其前n 项和为S n .在直线y ＝2x －1上，则a 9等于()A ．1290B ．1280C ．1281D ．1821答案C解析由已知可得S n ＋1n ＋1－1＝又S11－1＝a 1－1＝1，1，公比为2的等比数列，所以Sn n －1＝2n －1，得S n ＝n (1＋2n －1)，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n ＋1)2n －2＋1，故a 9＝10×128＋1＝1281.11．(2019·长沙长郡中学调研)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2＋4n ，若首项为13的数列{b n }满足1b n ＋1－1b n ＝a n ，则数列{b n }的前10项和为()A.175264B.3988C.173264D.181264答案A解析由S n ＝n 2＋4n ，可得a n ＝2n ＋3，根据1b n ＋1－1b n＝a n ＝2n ＋3，结合题设条件，应用累加法可求得1b n n 2＋2n ，所以b n ＝1n 2＋2n ＝1n (n ＋2)＝所以数列{b n }的前n项和为T n －13＋12－14＋…＋1n －－1n ＋1－所以T 10－111－＝175264，故选A.12．已知数列{a n }的通项a n ＝nx(x ＋1)(2x ＋1)…(nx ＋1)，n ∈N *，若a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2018<1，则实数x 可以等于()A ．－23B ．－512C ．－1348D ．－1160答案B 解析∵a n ＝nx(x ＋1)(2x ＋1)…(nx ＋1)＝1(x ＋1)(2x ＋1)…[n (x －1)＋1]－1(x ＋1)(2x ＋1)…(nx ＋1)(n ≥2)，∴a 1＋a 2＋…＋a 2018＝x x ＋1＋1x ＋1－1(x ＋1)(2x ＋1)…(2018x ＋1)＝1－1(x ＋1)(2x ＋1)…(2018x ＋1)，当x ＝－23x ＋1>0，nx ＋1<0(2≤n ≤2018，n ∈N *)，此时1－1(x ＋1)(2x ＋1)…(2018x ＋1)>1.当x ＝－512时，x ＋1>0，x ＋2>0，nx ＋1<0(3≤n ≤2018，n ∈N *)，此时1－1(x ＋1)(2x ＋1)…(2018x ＋1)<1；当x ＝－1348时，x ＋1>0，x ＋2>0，x ＋3>0，nx ＋1<0(4≤n ≤2018，n ∈N *)，此时1－1(x ＋1)(2x ＋1)…(2018x ＋1)>1；当x ＝－1160时，x ＋1>0，x ＋2>0，x ＋3>0，x ＋4>0，x ＋5>0，nx ＋1<0(6≤n ≤2018，n ∈N *)，此时1－1(x ＋1)(2x ＋1)…(2018x ＋1)>1.故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和为S n ，若a 4＋a 10＝0，2S 12＝S 2＋10，则d 的值为________．答案－10解析由a 4＋a 10＝0，2S 12＝S 2＋10，1＋3d ＋a 1＋9d ＝0，a 1＋12×112d2a 1＋d ＋10，解得d ＝－10.14．(2019·沈阳东北育才中学模拟)等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若Sn T n ＝2n ＋13n ＋2，则a 3＋a 11＋a 19b 7＋b 15＝________.答案129130解析原式＝3a 112b 11＝32·2a 112b 11＝32·a 1＋a 21b 1＋b 21＝32·S 21T 21＝32·2×21＋13×21＋2＝129130.15．(2019·荆州质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝(2n －2则S 2019＝________.答案2020解析∵a n ＝(2n －2＝(1－2n )sinn π2，∴a 1，a 2，…，a n 分别为－1，0，5，0，－9，0，13，0，－17，0，21，0，…，归纳可得，每相邻四项和为4，∴S 2019＝504×4＋a 2017＋a 2018＋a 2019＝2016＋[(1－2×2017)＋0＋(2×2019－1)]＝2016＋4＝2020.16．(2019·长沙长郡中学调研)已知点列P 1(1，y 1)，P 2(2，y 2)，P 3(3，y 3)，…，P n ＋1(n ＋1，y n ＋1)在x 轴上的投影为Q 1，Q 2，…，Q n ＋1，且点P n ＋1满足y 1＝1，直线P n P n ＋1的斜率1n n P P k ＋＝2n .则多边形P 1Q 1Q n ＋1P n ＋1的面积为________．答案3×2n －n －3解析根据题意可得y n ＋1－y n ＝2n ，结合y 1＝1，应用累加法，可以求得y n ＋1＝2n ＋1－1，根据题意可以将该多边形分成n 个直角梯形计算，且从左往右，第n 个梯形的面积为S n ＝y n ＋y n ＋12＝3×2n －1－1，总的面积应用分组求和法，可求得多边形的面积为S ＝3(2n －1)－n ＝3×2n －n －3.三、解答题(本大题共70分)17．(10分)已知{a n }是以a 为首项，q 为公比的等比数列，S n 为它的前n 项和．(1)当S 1，S 3，S 4成等差数列时，求q 的值；(2)当S m ，S n ，S l 成等差数列时，求证：对任意自然数k ，a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 也成等差数列．(1)解由已知，得a n ＝aq n －1，因此S 1＝a ，S 3＝a (1＋q ＋q 2)，S 4＝a (1＋q ＋q 2＋q 3)．当S 1，S 3，S 4成等差数列时，S 4－S 3＝S 3－S 1，可得aq 3＝aq ＋aq 2，化简得q 2－q －1＝0.解得q ＝1±52.(2)证明若q ＝1，则{a n }的各项均为a ，此时a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 显然成等差数列．若q ≠1，由S m ，S n ，S l 成等差数列可得S m ＋S l ＝2S n ，即a (q m －1)q －1＋a (q l －1)q －1＝2a (q n －1)q －1，整理得q m ＋q l ＝2q n .因此a m ＋k ＋a l ＋k ＝aq k －1(q m ＋q l )＝2aq n＋k －1＝2a n ＋k ，所以a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 成等差数列．18．(12分)(2019·安徽皖南八校联考)数列{a n }的前n 项和记为S n ，且4S n ＝5a n －5，数列{b n }满足b n ＝log 5a n .(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝1b n b n ＋1，数列{c n }的前n 项和为T n ，证明T n <1.(1)解∵4S n ＝5a n －5，∴4a 1＝5a 1－5，∴a 1＝5.当n ≥2时，4S n －1＝5a n －1－5，∴4a n ＝5a n －5a n －1，∴a n ＝5a n －1，∴{a n }是以5为首项，5为公比的等比数列，∴a n ＝5·5n －1＝5n .∴b n ＝log 55n ＝n .(2)证明∵c n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴T n…＝1－1n ＋1<1.19．(12分)(2019·安徽皖中名校联考)已知数列{a n }满足：a n ＋1＝2a n －n ＋1，a 1＝3.(1)设数列{b n }满足：b n ＝a n －n ，求证：数列{b n }是等比数列；(2)求出数列{a n }的通项公式和前n 项和S n .(1)证明b n ＋1b n ＝a n ＋1－(n ＋1)a n －n ＝2a n －n ＋1－(n ＋1)a n －n＝2(a n －n )a n －n ＝2，又b 1＝a 1－1＝3－1＝2，∴{b n }是以2为首项，2为公比的等比数列．(2)解由(1)得b n ＝2n ，∴a n ＝2n ＋n ，∴S n ＝(21＋1)＋(22＋2)＋…＋(2n ＋n )＝(21＋22＋…＋2n )＋(1＋2＋3＋…＋n )＝2(1－2n )1－2＋n (n ＋1)2＝2n ＋1－2＋n (n ＋1)2.20．(12分)(2019·湖南衡阳八中月考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －n (n ∈N *)．(1)证明：{a n ＋1}是等比数列；(2)若数列b n ＝log 2(a n ＋1)n 项和T n .(1)证明当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，∴a 1＝1.∵S n ＝2a n －n ，∴S n ＋1＝2a n ＋1－(n ＋1)，∴a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴{a n ＋1}是以a 1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列．(2)解由(1)得a n ＋1＝2n ，∴b n ＝log 22n ＝n ，∴1b 2n －1·b 2n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝∴T n －13＋13－15＋…＋12n －1－＝n 2n ＋1.21．(12分)(2019·青岛调研)已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n .(1)若对任意n ∈N *，S n ＝n 2＋n ＋12都成立，求a n ；(2)若a 1＝1，a 2＝2，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，且数列{b n }是公比为3的等比数列，求S 2n .解(1)由S n ＝n 2＋n ＋12，得S n －1＝(n －1)2＋n2，n ≥2，两式相减得a n ＝n ，n ≥2，又a 1＝S 1＝32，不满足a n ＝n ，∴a n n ＝1，n ≥2.(2)S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2n －1＋a 2n )＝b 1＋b 2＋…＋b n ，∵b 1＝a 1＋a 2＝3，{b n }是公比为3的等比数列，∴S 2n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝3(1－3n )1－3＝32(3n－1)．22．(12分)(2019·湖南岳阳一中质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n －2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为T n ，b 1＝1，点(T n ＋1，T n )在直线x n ＋1－y n ＝12上，若存在n ∈N *，使不等式2b 1a 1＋2b 2a 2＋…＋2b na n≥m 成立，求实数m 的最大值．解(1)∵S n ＝2a n －2，①∴S n ＋1＝2a n ＋1－2，②∴②－①得a n ＋1＝2a n ＋1－2a n (n ≥1)，∴a n ＋1＝2a n ，即a n ＋1a n＝2，∴{a n }是首项为2，公比为2的等比数列．∴a n ＝2n .(2)由题意得，T n ＋1n ＋1－T n n ＝12，成等差数列，公差为12.首项T 11＝b11＝1，∴T n n ＝1＋12(n －1)＝n ＋12，T n ＝n (n ＋1)2，当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝n (n ＋1)2－n (n －1)2＝n ，当n ＝1时，b 1＝1成立，∴b n ＝n .∴2b n a n ＝2n2n ＝n 2n －1＝－1，令M n ＝2b 1a 1＋2b 2a 2＋…＋2b na n，只需(M n )max ≥m .∴M n ＝1＋2×12＋3＋…＋n －1，③12M n ＝12＋2＋3＋…＋n ，④③－④得，12M n ＝1＋12＋＋…－1－n 1－12n＝2－(n ＋，∴M n ＝4－(n ＋－1.∵M n ＋1－M n ＝4－(n ＋－4＋(n ＋－1＝n ＋12n>0.∴{M n }为递增数列，且(n ＋－1>0，∴M n <4.∴m ≤4，实数m 的最大值为4.。
数学高三总复习试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，则f(x)的图像是：A. 上升的抛物线B. 下降的抛物线C. 双曲线D. 直线2. 下列不等式中正确的是：A. x^2 > xB. x^2 < xC. x^2 ≤ xD. x^2 ≥ x3. 已知数列{an}满足an = an-1 + 2，且a1 = 1，则数列{an}的通项公式是：A. an = 2n - 1B. an = 2nC. an = n^2 - 1D. an = n^24. 已知函数f(x) = log2(x + 1)，则f(x)的值域是：A. (-∞, +∞)B. (-∞, 0)C. (0, +∞)D. (0, 1]5. 在△ABC中，a=3，b=4，c=5，则sinA的值是：A. 1/3B. 2/3C. 1/2D. 16. 下列命题中正确的是：A. 对于任意的实数x，都有x^2 ≥ 0B. 对于任意的实数x，都有x^3 ≥ 0C. 对于任意的实数x，都有x^2 + x ≥ 0D. 对于任意的实数x，都有x^2 - x ≥ 07. 已知函数f(x) = |x - 1| + |x + 1|，则f(x)的最小值是：A. 0B. 1C. 2D. 38. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a^2 + b^2 - c^2 = 0，则△ABC是：A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 等腰三角形9. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，若f(x)在x=1时取得极值，则：A. a > 0，b > 0B. a < 0，b < 0C. a > 0，b < 0D. a < 0，b > 010. 下列函数中，在定义域内单调递增的是：A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = |x|D. f(x) = e^x二、填空题（每题5分，共50分）1. 若数列{an}满足an = 3an-1 - 2an-2，且a1 = 1，a2 = 2，则a3 = ________。
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项(函数与方程、函数的实际应用)练习(附答案)
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项（函数与方程、函数的实际应用）练习一、 基础小题练透篇1．[2023ꞏ北京市清华附中高三模拟]函数f (x )＝ln x ＋x －6的零点一定位于区间( ) A ．(2，3) B ．(3，4) C ．(4，5) D ．(5，6)2．[2023ꞏ辽宁省名校联考]函数f (x )＝x 3＋x 2＋x ＋c 的零点个数为( ) A ．1 B ．1或2C ．2或3D ．1或2或33．[2023ꞏ陕西省汉中高三模拟]关于函数f (x )＝(ln x )2－2ln x ，下列说法正确的是( ) A ．函数f (x )有2个零点 B ．函数f (x )有4个零点 C ．e 是函数f (x )的一个零点 D ．2e 是函数f (x )的一个零点4．[2023ꞏ河南省新乡市三模]已知函数f (x )＝|x 2＋3x ＋1|.若关于x 的方程f (x )－a |x |＝0恰有两个不同的实根，则a 的取值范围是( )A ．(1，5)B ．[1，5]C ．(1，5)∪{0}D ．[1，5]∪{0}5．[2023ꞏ内蒙古自治区赤峰市试题]核酸检测分析是用荧光定量PCR 法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR 扩增进程中成指数级增加的靶标DNA 实时监测，在PCR 扩增的指数时期，荧光信号强度达到阀值时，DNA 的数量X 与扩增次数n 满足lg X n ＝n lg (1＋p )＋lg X 0，其中X 0为DNA 的初始数量，p 为扩增效率．已知某被测标本DNA 扩增12次后，数量变为原来的1 000倍，则扩增效率p 约为( )(参考数据：100.25≈1.778，10－0.25≈0.562)A ．22.2%B ．43.8%C ．56.2%D ．77.8%6．[2023ꞏ湖北省黄冈中学考试]若函数f (x )＝x 2＋ax －a2 在区间(－1，1)上有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－2，23B ．⎝⎛⎭⎫0，23C ．(2，＋∞)D ．(0，2)7．[2023ꞏ河南豫南九校联考]食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康造成了一定的危害．为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每年共投入200万元，每个大棚至少投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收益P (单位：万元)、种黄瓜的年收益Q (单位：万元)与投入金额a (单位：万元)满足P ＝80＋42a ，Q ＝14 a ＋120.设甲大棚的投入金额为x (单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f (x )(单位：万元)，合理安排甲、乙两个大棚的投入金额，则两个大棚的总收益f (x )的最大值为________万元．8.[2023ꞏ陕西咸阳二模]为了抗击新冠肺炎，某医药公司研制出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量y (mg/m 3)与时间t (h)的函数关系为y ＝⎩⎨⎧kt ，0<t <12，1kt ，t ≥12，其图象如图所示，实验表明，当药物释放量y <0.75 mg/m 3时对人体无害．(1)k ＝________；(2)为了不使人受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过________分钟人方可进入房间．二、 能力小题提升篇1.[2023ꞏ广东深圳第二次质检]函数f (x )＝x －4－(x ＋2)ꞏ⎝⎛⎭⎫23 x 的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．32．[2023ꞏ陕西省西安市模拟]已知函数f (x )，g (x )的定义域为R ，f (x ＋1)是奇函数，g (x ＋1)是偶函数，若y ＝f (x )ꞏg (x )的图象与x 轴有5个交点，则y ＝f (x )ꞏg (x )的零点之和为( )A ．－5B ．5C ．－10D ．103．[2023ꞏ北京理工大学模拟]每年红嘴鸥都从西伯利亚飞越千山万水来到美丽的昆明过冬，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数v ＝12 log 3x100 －lg x 0(单位：km/min)，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数x 0表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差．若雄鸟的飞行速度为1.3 km/min ，雌鸟的飞行速度为0.8 km/min ，则此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的( )A ．2倍B ．3倍C ．4倍D ．5倍4．[2023ꞏ四川省南充市试题]设函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，满足f (x －2)＋f (x )＝0.当x ∈[－1，1]时，f (x )＝x 3，则下列结论中正确的是( )A ．函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称B ．函数y ＝f (x )在区间[7，9]单调递减C ．当x ∈[－1，2 023]时，f (x )有1 012个零点D ．函数y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称5．[2023ꞏ广西柳州二模]若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －a ，x <1，（x －2a ）（x －a 2），x ≥1 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________．6．[2023ꞏ清华大学附属中学期中]函数y ＝f (x )的定义域为[－2.1，2]，其图象如图所示，且f (－2.1)＝－0.96.(1)若函数y ＝f (x )－k 恰有2个不同的零点，则k ＝________；(2)已知函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤0，x 3＋2x －16，x >0， 则y ＝g (f (x ))有________个不同的零点．三、高考小题重现篇1.[2019ꞏ全国卷Ⅲ]函数f (x )＝2sin x －sin 2x 在[0，2π]上的零点个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．52．[2020ꞏ全国卷Ⅲ]Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：I (t )＝K1＋e－0.23（t －53） ，其中K 为最大确诊病例数．当I (t *)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln 19≈3)( )A ．60B ．63C ．66D ．693．[2020ꞏ山东卷]基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I (t )＝e rt描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位：天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0＝1＋rT .有学者基于已有数据估计出R 0＝3.28，T ＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)( )A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天 4．[2019ꞏ全国卷Ⅱ]2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 2点的轨道运行．L 2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M 1，月球质量为M 2，地月距离为R ，L 2点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：M 1（R ＋r ）2 ＋M 2r 2 ＝(R ＋r )M 1R3 .设α＝rR .由于α的值很小，因此在近似计算中3α3＋3α4＋α5（1＋α）2 ≈3α3，则r 的近似值为( ) A ．M 2M 1 R B ．M 22M 1RC ．33M 2M 1 RD ．3M 23M 1 R5．[2020ꞏ天津卷]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≥0，－x ，x <0. 若函数g (x )＝f (x )－|kx 2－2x |(k ∈R )恰有4个零点，则k 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－∞，－12 ∪(22 ，＋∞) B ．⎝⎛⎭⎫－∞，－12 ∪(0，22 ) C ．(－∞，0)∪(0，22 ) D ．(－∞，0)∪(22 ，＋∞)四、经典大题强化篇1.设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪1－1x (x >0). (1)作出函数f (x )的图象；(2)当0<a <b 且f (a )＝f (b )时，求1a ＋1b 的值；(3)若方程f (x )＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围．2．[2023ꞏ福建省龙岩市试题]为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，并决定近期投放市场．根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价y (单位：元)与上市时间x (单位：天)的数据如下表上市时间x /天 2 6 32 市场价y /元 148 60 73(1)根据上表数据，从①y ＝ax ＋b ()a ≠0 ，②y ＝ax ＋b ()a ≠0 ，③y ＝a log b x (a ≠0，b >0，b ≠1)，④y ＝ax ＋bx (a >0，b >0)中选取一个恰当的函数描述每枚该纪念章的市场价y 与上市时间x 的变化关系(无需说明理由)，并利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低市场价；(2)记你所选取的函数y ＝f (x )，若对任意x ∈[k ，＋∞）（k >0） ，不等式kf (x )－32k －210≥0恒成立，求实数k 的取值范围．参考答案一 基础小题练透篇1．答案：C答案解析：由题意得f （x ）＝ln x ＋x －6为连续函数，且在（0，＋∞）单调递增， f （2）＝ln 2－4<0，f （3）＝ln 3－3<0，f （4）＝ln 4－2<ln e 2－2＝0，f （5）＝ln 5－1>ln e －1＝0，根据零点存在性定理，f （4）·f （5）<0，所以零点一定位于区间（4，5）. 2．答案：A答案解析：因为函数f （x ）＝x 3＋x 2＋x ＋c ，所以f ′（x ）＝3x 2＋2x ＋1，因为Δ＝4－12＝－8<0，所以f ′（x ）>0，从而f （x ）＝x 3＋x 2＋x ＋c 在R 上单调递增，又当x →－∞时，f （x ）→－∞，当x →＋∞时，f （x ）→＋∞，由零点存在定理得：函数f （x ）＝x 3＋x 2＋x ＋c 有且只有一个零点．3．答案：A答案解析：令（ln x ）2－2ln x ＝ln x ·（ln x －2）＝0，解得：x ＝1或x ＝e 2，所以函数f （x ）有2个零点．4．答案：C 答案解析：当x ＝0时，f （0）＝1≠0，故x ＝0不是方程f （x ）－a |x |＝0的根，当x ≠0时，由f （x ）－a |x |＝0得，a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x＋3 ，方程f （x ）－a |x |＝0恰有两个不同的实根等价于直线y ＝a 与函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x＋3 的图象有两个不同的交点，作出函数y ＝f （x ）的大致图象如图所示，由图可知，a ＝0或1<a <5. 5．答案：D答案解析：由题意知，lg （1 000X 0）＝12lg （1＋p ）＋lg X 0，即lg 103＋lg X 0＝12lg （1＋p ）＋lg X 0， 即3＋lg X 0＝12lg （1＋p ）＋lg X 0，所以1＋p ＝100.25≈1.778，解得p ≈0.778＝77.8%. 故选D. 6．答案：B答案解析：因为f （x ）为开口向上的抛物线，且对称轴为x ＝－a2，在区间（－1，1）上有两个不同的零点，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）>0f （1）>0f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2<0－1<－a 2<1，即⎩⎪⎨⎪⎧1－a －a2>01＋a －a 2>0⎝ ⎛⎭－a 22－a 22－a 2<0－2<a <2， 解得0<a <23 ，所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23 . 7．答案：282答案解析：f （x ）＝80＋42x ＋14 ×（200－x ）＋120＝－14x ＋42x ＋250，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥20，200－x ≥20， 得20≤x ≤180，故f （x ）＝－14 x ＋42x ＋250（20≤x ≤180）.令t ＝x ，t ∈[25 ，65 ]，则g （t ）＝－14 t 2＋42 t ＋250＝－14 （t －82 ）2＋282，当t ＝82 时，即x ＝128时，f （x ）max ＝282，∴甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元．8．答案：（1）2 （2）40答案解析：（1）由图象可知，当t ＝12时，y ＝1，则2k ＝1，所以k ＝2.（2）由（1）可知，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0<t <12，12t，t ≥12，当0<t <12 时，y ＝2t 单调递增；当t ≥12 时，y ＝12t 单调递减．令12t <0.75，解得t >23.所以在消毒后至少经过23小时，即40分钟后人方可进入房间．二 能力小题提升篇1．答案：C答案解析：令f （x ）＝0，得x －4＝（x ＋2）·⎝ ⎛⎭⎪⎫23 x，显然x ＝－2不是该方程的根，故等价变形得到x －4x ＋2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23 x ，在同一直角坐标系中分别作出y ＝x －4x ＋2 ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23 x 的图象如图所示，观察可知，它们有2个交点，故函数f （x ）＝x －4－（x ＋2）·⎝ ⎛⎭⎪⎫23 x 有2个零点．2．答案：B答案解析：由题意，f （－x ＋1）＝－f （x ＋1）⇔f （2－x ）＝－f （x ），又g （2－x）＝g （x ），所以f （2－x ）·g （2－x ）＝－f （x ）g （x ），所以函数y ＝f （x ）·g （x ）的图象关于点（1，0）对称．设y ＝f （x ）·g （x ）的零点为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，易知x 3＝1，设x 1<x 2<1<x 4<x 5，则x 1＋x 5＝x 2＋x 4＝2，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝5.故选B. 3．答案：B答案解析：设雄鸟每分钟的耗氧量为x 1，雌鸟每分钟的耗氧量为x 2，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧1.3＝12log 3x 1100－lg x 00.8＝12log 3x 2100－lg x 0，两式相减可得12 ＝12 log 3x 1x 2 ，所以log 3x 1x 2 ＝1，即x 1x 2 ＝3，故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍．故选B. 4．答案：C答案解析：对于f （x －2）＋f （x ）＝0，有f （x ）＋f （x ＋2）＝0⇒f （x ＋2）＝－f （x ）⇒f ()x ＋4 ＝－f （x ＋2）＝f （x ），即f （x ）周期为4.又对于f （x －2）＋f （x ）＝0， 有f （x ＋1）＋f （x －1）＝0⇒f （x ＋1）＝－f （x －1），因f （x ）是定义在R 上的奇函数．则f ()1＋x ＝f ()1－x ，故f （x ）关于x ＝1对称．又当x ∈[]－1，1 时，f （x ）＝x 3，据此可做出f （x ）部分图象如下．对于A 选项，结合图象可知：f （x ）图象关于x ＝1＋2k ，k ∈Z 对称，故A 错误． 对于B 选项，因f （x ）周期为4，故f （x ）在[]7，9 上单调性与f （x ）在[]－1，1 上保持一致．又当x ∈[]－1，1 时，f （x ）＝x 3，f （x ）在[]－1，1 上单调递增，故B 错误． 对于C 选项，结合图象可知：f （x ）零点为2k ，k ∈Z ，则令－1≤2k ≤2 023，解得：0≤k ≤1011，故当x ∈[]－1，2 023 时，f （x ）有1 012个零点，故C 正确． 对于D 选项，结合图象可知：f （x ）图象关于()2k ，0 对称，其中k ∈Z ，故D 错误． 故选C.5．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 ∪{2}∪[e，＋∞） 答案解析：易知当a ≤0时，不满足题意；当0<a <2时，e －a >0，要使函数f （x ）恰有2个零点，则a 2<1≤2a ，得12≤a <1；当a ＝2时，由e x－2＝0，得x ＝ln 2，满足x <1，由（x －2a ）（x －a 2）＝0，得x ＝4，此时f （x ）共有2个零点，满足题意；当a >2时，a 2>2a >4，要使函数f （x ）恰有2个零点，则e －a ≤0，即a ≥e.综上，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 ∪{2}∪[)e ，＋∞ .6．答案：（1）4或0 （2）4 答案解析：（1）∵y ＝f （x ）－k 恰有2个不同的零点，∴y ＝f （x ）和y ＝k 的图象有2个不同的交点．由图可得当y ＝f （x ）和y ＝k 的图象有2个不同的交点时，k ＝4或k ＝0.（2）∵g （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤0，x 3＋2x －16，x >0， ∴当x ≤0时，由2x ＋1＝0，得x ＝－12 .当f （x ）＝－12时，由图可知g （f （x ））＝0有一个解．当x >0时，易知g （x ）＝x 3＋2x －16单调递增，∵g （2）＝－4，g （3）＝17，∴g （x ）在（2，3）上有一个零点x 0，当f （x ）＝x 0，x 0∈（2，3）时，由f （x ）的图象可知g （f （x ））＝0有3个解，∴y ＝g （f （x ））共有4个零点．三 高考小题重现篇1．答案：B答案解析：由f （x ）＝2sin x －sin 2x ＝2sin x －2sin x cos x ＝2sin x ·（1－cos x ）＝0得sin x ＝0或cos x ＝1，∴x ＝k π，k ∈Z ，又∵x ∈[0，2π]，∴x ＝0，π，2π，即零点有3个． 2．答案：C 答案解析：I （t *）＝K1＋e －0.23（t *－53） ＝0.95K ，整理可得e0.23（t *－53）＝19，两边取自然对数得0.23（t *－53）＝ln 19≈3，解得t *≈66.3．答案：B答案解析：∵R 0＝1＋rT ，∴3.28＝1＋6r ，∴r ＝0.38. 若⎩⎪⎨⎪⎧I （t 1）＝e0.38t 1，I （t 2）＝e0.38t 2，I （t 2）＝2I （t 1），则e0.38（t 2－t 1）＝2，0.38（t 2－t 1）＝ln 2≈0.69，t 2－t 1≈1.8.4．答案：D答案解析：由M 1（R ＋r ）2 ＋M 2r 2 ＝（R ＋r ）M 1R 3 ，得M 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋r R 2 ＋M 2⎝ ⎛⎭⎪⎫r R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋r R M 1.因为α＝r R，所以M 1（1＋α）2 ＋M 2α2 ＝（1＋α）M 1，得3α3＋3α4＋α5（1＋α）2 ＝M 2M 1 .由3α3＋3α4＋α5（1＋α）2≈3α3，得3α3≈M 2M 1，即3⎝ ⎛⎭⎪⎫r R 3 ≈M 2M 1 ，所以r ≈ 3M 23M 1 ·R .5．答案：D答案解析：由题意知函数g （x ）＝f （x ）－|kx 2－2x |恰有4个零点等价于方程f （x ）－|kx 2－2x |＝0，即f （x ）＝|kx 2－2x |有4个不同的根，即函数y ＝f （x ）与y ＝|kx 2－2x |的图象有4个不同的公共点．当k ＝0时，在同一平面直角坐标系中，分别作出y ＝f （x ）与y ＝|2x |的图象如图1所示，由图1知两图象只有2个不同的公共点，不满足题意．图1当k <0时，y ＝|kx 2－2x |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1k 2－1k ，其图象的对称轴为直线x ＝1k <0，直线x ＝1k 与y ＝|kx 2－2x |的图象的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ，－1k ，点⎝ ⎛⎭⎪⎫1k，－1k 在直线y ＝－x 上，在同一平面直角坐标系中，分别作出y ＝f （x ）与y ＝|kx 2－2x |的图象如图2所示，由图2易知函数y ＝f （x ）与y ＝|kx 2－2x |的图象有4个不同的公共点，满足题意．图2当k >0时，函数y ＝|kx 2－2x |的图象与x 轴的2个交点分别为原点（0，0）与⎝ ⎛⎭⎪⎫2k，0 ，则当x >2k时，由kx 2－2x ＝x 3，得x 2－kx ＋2＝0，令Δ＝k 2－8＝0，得k ＝22 ，此时在同一平面直角坐标系中，分别作出函数y ＝f （x ）与y ＝|kx 2－2x |的图象如图3所示，由图3知两图象有3个不同的公共点，不满足题意．令Δ＝k 2－8>0，得k >22 ，此时在同一平面直角坐标系中，分别作出函数y ＝f （x ）与y ＝|kx 2－2x |的图象如图4所示，由图4知两图象有4个不同的公共点，满足题意．令Δ＝k 2－8<0，得0<k <22 ，易知此时不满足题意．图3 图4综上可知，实数k 的取值范围是（－∞，0）∪（22 ，＋∞）．四 经典大题强化篇1．答案解析：（1）如图所示．（2）∵f （x ）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －1，x ∈（0，1]，1－1x ，x ∈（1，＋∞），故f （x ）在（0，1]上是减函数，而在（1，＋∞）上是增函数． 由0<a <b 且f （a ）＝f （b ），得0<a <1<b 且1a －1＝1－1b，∴1a ＋1b＝2.（3）由函数f （x ）的图象可知，当0<m <1时，方程f （x ）＝m 有两个不相等的正根． 2．答案解析：（1）由题表知，随着时间x 的增大，y 的值随x 的增大，先减小后增大，而所给的函数y ＝ax ＋b （a ≠0），y ＝a log b x ()a ≠0，b >0，b ≠1 和y ＝ax＋b （a ≠0）在（0，＋∞）上显然都是单调函数，不满足题意，故选择y ＝ax ＋b x()a >0，b >0 .把()2，148 ，()6，60 ，分别代入y ＝ax ＋bx()a >0，b >0 ，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b2＝1486a ＋b 6＝60，解得a ＝2，b ＝288，∴y ＝2x ＋288x，x ∈（0，＋∞）.又y ＝2x ＋288x≥22x ·288x＝48，∴当且仅当2x ＝288x时，即当x ＝12时，y 有最小值，且y min ＝48.故当该纪念章上市12天时，市场价最低，最低市场价为每枚48元．（2）原不等式可以整理为：f （x ）≥32＋210k，x ∈[)k ，＋∞ ，因为对∀x ∈[)k ，＋∞ ()k >0 ，都有不等式kf （x ）－32k －210≥0恒成立，则f （x ）min ≥32＋210k.（ⅰ）当0<k ≤12时，f （x ）＝2x ＋288x≥22x ·288x＝48，当且仅当2x ＝288x时，即当x ＝12时， f （x ）min ＝48.∴48≥32＋210k，解得k ≥13.125，不符合假设条件，舍去．（ⅱ）当k >12时，f （x ）在[k ，＋∞）（k >0）单调递增，故f （x ）min ≥32＋210k，只需2k ＋288k≥210k＋32.整理得：k 2－16k ＋39≥0， ∴k ≥13（k ≤3舍去），综上，实数k 的取值范围是[13，＋∞）.。
高考数学一轮总复习习题解析与训练
高考数学一轮总复习习题解析与训练一、选择题选择题是高考数学中的重要题型之一，通常占据了整个试卷的较大比重。
因此，对选择题的学习和解析是高考数学备考的重要一环。
下面将对高考数学一轮总复习中常见的选择题进行解析和训练。
1. 已知函数f(x) = 2x + 3，求f(4)的值是多少？解析：根据函数f(x)的定义，将x的值代入函数中即可求得f(x)的值。
代入x=4，得到f(4) = 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11。
练习：已知函数g(x) = 3x - 2，求g(2)的值是多少？2. 某班级共有男生和女生，男生人数是女生人数的2倍，如果总人数是36人，那么男生人数是多少？解析：设女生人数为x，则男生人数为2x。
根据题意，男生人数加上女生人数等于总人数，可以得到2x + x = 36，解方程可得x = 12，男生人数为2x = 2 * 12 = 24。
练习：某班级共有男生和女生，男生人数是女生人数的3倍，如果总人数是40人，那么女生人数是多少？二、解答题解答题是高考数学中要求考生进行详细步骤和推理的题型，需要运用所学的数学知识和解题方法进行分析和解答。
下面将对高考数学一轮总复习中常见的解答题进行解析和训练。
1. 解方程：3x + 4 = 19。
解析：将方程转化为一元一次方程的标准形式，即ax + b = c的形式，即3x + 4 - 19 = 0，化简得到3x - 15 = 0，再通过移项和合并同类项的方法，解得x = 5。
练习：解方程：2y + 3 = 11。
2. 已知三角形的两边长分别为3cm和4cm，夹角的正弦值为0.6，求三角形的面积。
解析：根据三角形的面积公式S = 0.5 * a * b * sinC，将已知的边长和夹角的正弦值代入公式中，得到S = 0.5 * 3 * 4 * 0.6 = 3.6 cm²。
练习：已知三角形的两边长分别为5cm和7cm，夹角的正弦值为0.8，求三角形的面积。
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课时作业·当堂清
一、选择题
1．(2009年江西九江二模)不等式|x －1|＜1的解集是( )
A ．(－1,2)
B ．(－1,0)
C ．(0,2)
D ．(－∞，0)∪(2，＋∞)
[解析] ∴－1＜x －1＜1 ∴0＜x ＜2.
[答案] C
2．(2009年安徽理)若集合A ＝{x ||2x －1|＜3}，B ＝{x |2x ＋13－x
＜0}，则A ∩B 是( )
A ．(－1，－12)∪(2,3)
B ．(2,3)
C ．(－12，2)
D ．(－1，－12)
[解析] ∵A ＝(－1,2)，B ＝(－∞，－12)∪(3，＋∞)，
∴A ∩B ＝(－1，－12)．
[答案] D
3．(2010年江西高考)不等式|x －2|>x －2的解集是( )
A. (－∞，2)
B. (－∞，＋∞)
C. (2，＋∞)
D. (－∞，2)∪(2，＋∞)
[解析] 当x －2≥0时，|x －2|＝x －2，此时原不等式的解集为Ø；当x －2<0，即x <2时，|x －2|>0>x －2，故原不等式的解集为(－∞，
2)．
[答案] A
4．(2010年唐山二模)已知不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为{x |－2<x <1}，则不等式cx 2＋bx ＋a >c (2x －1)＋b 的解集为( )
A. {x |－2<x <1}
B. {x |－1<x <2}
C. {x |x <12或x >2}
D. {x |12<x <2}
[解析] 由条件利用根与系数的关系得：b ＝a ，c ＝－2a ，且a >0，
代入cx 2＋bx ＋a >c (2x －1)＋b ，整理得2x 2－5x ＋2<0，解得12<x <2，选
D.
[答案] D
5．(2010年浙江)已知x 0是函数f (x )＝2x ＋11－x
的一个零点．若
x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则( )
A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0
B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0
C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0
D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0
[解析] 由于函数g (x )＝11－x ＝－1x －1
在(1，＋∞)上单调递增，函数h (x )＝2x 在(1，＋∞)上单调递增，故函数f (x )＝h (x )＋g (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )在(1，＋∞)上只有唯一的零点x 0，且在(1，x 0)上f (x 1)<0，在(x 0，＋∞)上f (x 2)>0，故选B.
[答案] B
6．(2009年重庆理)不等式|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)
B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)
C ．[1,2]
D ．(－∞，1]∪[2，＋∞)
[解析] ∵|x ＋3|－|x －1|≤4，
∴a 2－3a ≥4，即：a 2－3a －4≥0，
∴a ≤－1或a ≥4，选项为A.
[答案] A
7．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧ －x ＋1 (x ＜0)x －1 (x ≥0)则不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1的解集是( )
A ．[－1，2－1]
B ．(－∞，1]
C ．(－∞，2－1]
D ．[－2－1，2－1]
[解析] ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＜0x ＋(x ＋1)(－x )≤1或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋1≥0x ＋(x ＋1)x ≤1 ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜－1x ∈R 或⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥－1－2－1≤x ≤2－1 ∴x ＜－1或－1≤x ≤2－1∴x ≤2－1.
[答案] C
二、填空题
8．(2008年江苏)若集合A ＝{x |(x －1)2＜3x ＋7，x ∈R }，则A ∩Z 中有________个元素．
[解析] ∵A ＝(－1,6)，∴A ∩Z ＝{0,1,2,3,4,5}，即有6个元素．
[答案] 6
9．设全集U ＝R ，已知非空集合P ＝{x ||x －1|<a }与集合M ＝{x |x 2
－4>0}之间满足P ∩(∁U M )＝P ，则实数a 的取值范围是________．
[解析] ∵P 为非空集合，∴a >0.
且P ＝{x |1－a <x <1＋a }，
又∁U M ＝{x |－2≤x ≤2}，
而P ⊆∁U M ，
∴－2≤1－a 且1＋a ≤2，
解得0<a ≤1.
[答案] (0,1]
10．(2010年山东高考)若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1
≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．
[解析] 若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1
≤a 恒成立，只需求得y ＝x x 2＋3x ＋1的最大值即可．因为x >0，所以y ＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12 x ·1x ＋3
＝15，当且仅当x ＝1时取等号，所以a 的取值范围是[15，＋∞)．
[答案] [15，＋∞)
三、解答题
11．若不等式mx 2＋2(m ＋1)x ＋9m ＋4＜0的解集为R ，求实数m 的取值范围．
[解] 分类讨论：
①当m ＝0时，原不等式变为2x ＋4＜0，显然它的解集不是R ，所以m ＝0不满足条件；
②当m ≠0时，只要满足Δ＝[2(m ＋1)]2－4m (9m ＋4)＜0，且m ＜
0即可，解得m ＜－12.
由①②知，m ＜－12.
12．(2011年襄樊一调)已知函数f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋b .
(1)解关于a 的不等式f (1)>0；
(2)当不等式f (x )>0的解集为(－1,3)时，求实数a 、b 的值．
[解] (1)由f (1)>0得－3＋a (6－a )＋b >0⇒a 2－6a ＋3－b <0，∴(a －3)2<6＋b .
当b ≤－6时，不等式的解集为Ø；
当b >－6时，不等式的解集为(3－6＋b ，3＋6＋b )．
(2)由f (x )>0得3x 2－a (6－a )x －b <0，因f (x )>0的解集为(－1,3)，即不等式3x 2－a (6－a )x －b <0的解集为(－1,3)，故x ＝－1、x ＝3是方程3x 2－a (6－a )x －b ＝0的两个实根，由根与系数的关系，得⎩⎨⎧ －1＋3＝a (6－a )3－1×3＝－b 3⇒⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝3±3
b ＝9. ∴a ＝3±3，b ＝9.
13．设不等式mx 2－2x －m ＋1＜0对于满足|m |≤2的一切m 的值都成立，求x 的取值范围．
[解] 令f (m )＝(x 2－1)m ＋(1－2x )．
∵|m |≤2时，f (m )＜0恒成立，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (－2)＜0f (2)＜0即：⎩⎪⎨⎪⎧
2x 2＋2x －3＞02x 2－2x －1＜0. ∴⎩⎨⎧
x ＜－1＋72或x ＞7－121－32＜x ＜3＋12. ∴7－12＜x ＜3＋12.
因此x 的取值范围是(7－12，3＋12).。