高考数学 总复习阶段性测试题四 三角函数、三角恒等变形、解三角形 北师大版
(常考题)北师大版高中数学必修四第三章《三角恒等变形》测试(含答案解析)(1)
一、选择题1．已知,(0,2)αβπ∈，且满足1sin cos 2αα-=，1cos sin 2ββ-=，则sin()αβ+=（ ） A ．1 B．2-或1 C ．34-或1 D ．1或-12．在ΔABC 中,2sin (22c a Ba b c c -=、、分别为角A B C 、、的对边),则ΔABC 的形状为 A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形或直角三角形 D ．等腰直角三角形3．设等差数列{}n a 满足：()22222222272718sin cos cos cos sin sin 1sin a a a a a a a a -+-=+，公差()1,0d ∈-．若当且仅当11n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是（ ） A ．9,10ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,10ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．9,10ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,10ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭4．已知()sin 2cos x x x ϕ+=+对x ∈R 恒成立，则cos 2ϕ=（ ） A ．25-B ．25C ．35D ．355．函数2()3sin cos f x x x x =+的最大值为（ ）AB．C ．33 D．3+6．若函数()sin cos 2sin cos 1f x x x x x a =+-+-在3,44ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上有零点，则实数a 的取值范围（ ）A．⎡⎤⎣⎦B．94⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．⎡-⎣D．94⎤⎥⎦7．已知直线524x π=是函数21()sin 8)22x f x x ωωω=+<≤图象的一条对称轴，则ω=（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．88．若()tan804sin 420α+=，则()tan 20α+的值为（ ）A ．35-B ．35C ．3 D ．3 9．已知函数()23sin 22cos 1f x x x =-+，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若()()129g x g x ⋅=，则12x x -的值可能为（ ） A ．54π B ．34π C ．2π D ．3π 10．已知3cos()63πα+=，则sin(2)6πα-的值为（ ） A ．22B ．13C ．13-D ．22-11．若，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．12．若3sin 2sin 703παα⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，则tan α=（ ） A ．233-B ．233C ．3D ．32二、填空题13．已知4cos 5θ=，且,02πθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭____________． 14．已知6sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()0,απ∈，则cos 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．15．()sin 5013︒+︒的值__________.16．已知方程23310x ax a +++=，()2a >的两根为tan α，tan β，α，,22ππβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则αβ+=________.17．已知2tan 3tan 5πα=，则2sin 59cos 10παπα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭________. 18．已知sin10cos102cos140m ︒-︒=︒，则m =_________.19．已知()tan 2tan αββ+=，,(0,)2παβ∈，则当α最大时，tan2α=________.20．设,(0,)αβπ∈，cos α，cos β是方程26320x x -=-的两根，则sin sin αβ=_________.三、解答题21．已知函数2()cos sin 32233x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （1）若,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求()f x 的递增区间和值域； （2）若004()54f x x ππ=+≤≤，求点02sin 3x ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 22．已知1sin cos 5αα+=，其中0απ<<. （1）求11sin cos αα+的值； （2）求tan α的值.23．已知函数()cos sin )(0)2f x x x x ωωωω=+->，且()f x 的最小正周期为π.（1）求函数()f x 的单调递减区间； （2）若2()f x ，求x 的取值范围. 24．设函数2()cos cos 6f x x x x π⎛⎫=⋅-+ ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值和最小值. 25．已知函数()4sin cos 3f x x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间； （2）当,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最值及取到最值时x 的值；（3）若函数()()g x f x m =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点1x ，2x ，求实数m 的取值范围，并求()12tan x x +的值.26．已知函数2()[2sin()sin ]cos 3f x x x x x π=++．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）若函数()f x 的图象关于点(,)m n 对称，求正数m 的最小值；【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由两角与差的正弦、余弦公式变形由已知求得sin()4πα-和cos()4πβ+，用平方关系求得cos()4πα-和sin()4πα+，而sin()sin ()()44ππαβαβ⎡⎤+=-++⎢⎥⎣⎦，展开后计算，注意分类讨论． 【详解】∵1sin cos 2αα-=，∴sin 224αα-=sin()44πα-=，1cos sin 2ββ-=，4cos 22ββ-=，cos()44πβ+=，∴cos()4πα-=sin()4πα+=± sin()sin ()()sin()cos()cos()sin()444444ππππππαβαβαβαβ⎡⎤+=-++=-++-+⎢⎥⎣⎦，当7cos()sin()448ππαβ-+=时，17sin()188αβ+=+=， 当7cos()sin()448ππαβ-+=-时，173sin()884αβ+=-=-， 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查两角和与差正弦、余弦公式．解题关键是确定已知角和未知角之间的关系，本题中已知等式变形得出4πα-和4πβ+，未知角有()()44ππαβαβ+=-++，这样易确定使用的公式与顺序．2．A解析：A 【解析】依题意，利用正弦定理及二倍角公式得sin sin 1cos 2sin 2C A BC --=，即sin sin cos A C B =，又()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，故sin cos 0B C =，三角形中sin 0B ≠，故πcos 0,2C C ==，故三角形为直角三角形，故选A. 3．D解析：D 【解析】因为22222222272718sin cos cos cos sin sin 1sin()a a a a a a a a -+-=+，所以由余弦二倍角公式、平方差公式及两角和与差的余弦公式可得2272718cos 2cos()cos()1sin()a a a a a a a -+-+=+，再运用积化和差公式可得227181cos 2[cos 2cos 2]21sin()a a a a a -++=+，即72181[cos 2cos 2]21sin()a a a a -=+，再由差化积公式可得727218sin()sin()1sin()a a a a a a --+=+．由于{}n a 是等差数列，因此1827a a a a +=+，即1827sin()sin()a a a a +=+，所以72sin()1a a -=-即sin51d =-注意到()1,0d ∈-，则()55,0d ∈-，所以5210d d ππ=-⇒=-，故对称轴方程故等差数列的前n 项和是1(1)2n n n S na d -=+，即221()()222020n d d S n a n n a n ππ=+-=-++，其对称轴是1202a n ππ+=，由题设可得1202123222a ππ+<<，即11110a ππ<<，应选答案D ．点睛：解答本题的关键是先借助三角变换中的两角和差的余弦公式、余弦二倍角公式、积化和差与和差化积公式等三角变换公式进行化简，再借助差数列的定义和性质求出等差数列的公差10d π=-，然后将等差数列的前n 项和公式1(1)2n n n S na d -=+变形为221()()222020n d d S n a n n a n ππ=+-=-++，借助对称轴11n =的位置建立不等式组1202123222a ππ+<<，进而求得数列首项的取值范围是11110a ππ<<． 4．D解析：D 【分析】利用两角和的正弦公式进行展开，结合恒成立可得cos ϕ，最后根据二倍角公式得结果. 【详解】由题可知，cos sin sin 2cos x x x x ϕϕ+=+， 则cosϕ=，sin ϕ=， 所以283cos22cos 1155ϕϕ=-=-=，故选：D. 【点睛】本题主要考查了两角和的余弦以及二倍角公式的应用，通过恒成立求出cos ϕ是解题的关键，属于中档题.5．A解析：A 【分析】利用降次公式、二倍角公式和辅助角公式化简()f x ，由此求得()f x 的最大值. 【详解】依题意()1cos 233sin 2sin 22222x f x x x x -=+=+12cos 2222262x x x π⎫⎛⎫=-+=-+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，所以()f x 22=. 故选：A 【点睛】本小题主要考查降次公式、二倍角公式和辅助角公式，考查三角函数的最值的求法，属于中档题.6．A解析：A 【分析】由题意结合函数零点的概念可得方程1sin cos 2sin cos a x x x x -=+-在3,44ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上有解，令sin cos 2sin cos y x x x x =+-，通过换元法求得y 在3,44ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的值域即可得解. 【详解】因为函数()sin cos 2sin cos 1f x x x x x a =+-+-在3,44ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上有零点， 所以方程1sin cos 2sin cos a x x x x -=+-在3,44ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上有解，设sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，3,44x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，∴,204x ππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，∴t ⎡⎤∈⎣⎦，212sin cos t x x =+，∴2215sin cos 2sin cos 124y x x x x t t t ⎛⎫=+-=-+=--+ ⎪⎝⎭，当0t =时，y 取得最大值1，当t =y 取得最小值1-，故可得111a ≤-≤，∴2a ≤≤. 故选：A. 【点睛】本题考查了函数与方程的综合应用，考查了三角函数的性质及三角恒等变换的应用，考查了逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题.7．B解析：B 【分析】首先通过三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果． 【详解】解：函数211()sin cos )sin sin()2223xf x x x x x ωπωωωω=+=-+=-， 令：5()2432k k Z πππωπ-=+∈，解得244()5kk Z ω=+∈， 由于08ω<， 所以4ω=． 故选：B ． 【点睛】本题考查三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，8．D解析：D 【分析】 由()tan804sin 420α+=得：()tan 804sin 4204sin 6023α+===，然后将()tan 20α+化为()tan 8060α⎡⎤+-⎣⎦，用正切的差角公式求解.【详解】 因为()tan804sin 4204sin 6023α+===，则()()()()tan 80tan 6023tan 20tan 806071tan 80tan 6012αααα+-⎡⎤+=+-===⎣⎦++⋅+. 故选:D . 【点睛】本题考查诱导公式、正切的差角公式的运用，难度一般.解答时要注意整体思想的运用，即观察目标式与条件式角度之间的和差关系，然后运用公式求解.9．C解析：C 【分析】根据三角恒等变换化简函数()f x ，再由图象的平移得到函数()g x 的解析式，利用函数()g x 的值域，可知12x x -的值为函数()y g x =的最小正周期T 的整数倍，从而得出选项.【详解】函数2()22cos 12cos 22sin 26f x x x x x x π⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭， 将函数()y f x =的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得2sin 46y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象；再把所得图象向上平移1个单位，得函数()2sin 416y g x x π⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭的图象，所以函数()y g x =的值域为[1,3]-.若()()129g x g x ⋅=，则()13g x =且()23g x =，均为函数()y g x =的最大值， 由42()62x k k Z πππ-=+∈，解得()62k x k Z ππ=+∈； 其中1x ､2x 是三角函数()y g x =最高点的横坐标，12x x ∴-的值为函数()y g x =的最小正周期T 的整数倍，且242T ππ==. 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，三角函数的图象的平移，以及函数的值域和周期，属于中档题.10．B解析：B 【解析】 ∵3cos 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5sin 2sin 2sin 26662ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦][221cos 2[2cos 11]6633ππαα⎛⎫⎛⎫=-+=-+-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B.11．C解析：C 【解析】 试题分析：因，故应选C ．考点：同角三角函数的关系及运用．12．A解析：A 【分析】由两角和的正弦公式化简，并引入锐角β，cos 7β=，3sin 7β=，已知条件化为sin()1αβ-=，这样可得22k παβπ=++，k Z ∈，代入tan α，应用切化弦公式及诱导公式可得结论． 【详解】由已知3sin 2sin 73sin 2sin cos cos sin 70333πππααααα⎛⎫⎛⎫-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2sin 37αα=3177αα=， 设cos 7β=，3sin 7β=，且β为锐角， 3cos sin sin cos sin()177ααβαβααβ=-=-=， ∴22k παβπ-=+，k Z ∈，即22k παβπ=++，k Z ∈，tan tan 2tan 22k ππαβπβ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin cos 2sin cos 2πββπββ⎛⎫+ ⎪⎝⎭====-⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 故选：A ． 【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式，考查诱导公式及同角间的三角函数关系，化简变形求值是解题的基本方法．二、填空题13．【分析】由且求得得到再结合两角和的正切公式即可求解【详解】因为且可得所以又由故答案为：【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式以及两角和的正切公式的化简求证其中解答中熟记三角函数的基本关系式和两角解析：17【分析】 由4cos 5θ=，且,02πθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求得3sin 5θ=-，得到3tan 4θ=-，再结合两角和的正切公式，即可求解. 【详解】 因为4cos 5θ=，且,02πθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，可得3sin 5θ===-，所以sin 3tan cos 4θθθ==-， 又由311tan 14tan 341tan 714πθθθ-+⎛⎫+=== ⎪-⎝⎭+. 故答案为：17.【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式，以及两角和的正切公式的化简、求证，其中解答中熟记三角函数的基本关系式和两角和的正切公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.14．【分析】构造角再用两角和的余弦公式及二倍公式打开【详解】故答案为：【点睛】本题是给值求值题关键是构造角应注意的是确定三角函数值的符号解析：26- 【分析】 构造角22643πππαα⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭求，再用两角和的余弦公式及二倍公式打开. 【详解】()50,,,444πππαπα⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭，sin 42πα⎛⎫+=< ⎪⎝⎭，cos 4πα⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，22cos 22cos 1443ππαα⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin 22sin cos 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 6434343πππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2132⎛=⨯+= ⎝⎭故答案为：26【点睛】本题是给值求值题，关键是构造角，应注意的是确定三角函数值的符号.15．1【分析】由结合辅助角公式可知原式为结合诱导公式以及二倍角公式可求值【详解】解：故答案为:1【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系考查了二倍角公式考查了辅助角公式考查了诱导公式本题的难点是熟练运用解析：1 【分析】由sin10tan10cos10︒︒=︒，结合辅助角公式可知原式为2sin50sin 40cos10︒︒︒，结合诱导公式以及二倍角公式可求值. 【详解】解： ()cos10sin501sin50cos10︒+︒︒+︒=︒⨯︒()2sin50cos30sin10sin 30cos102sin50sin 402sin50cos50cos10cos10cos10︒︒︒+︒︒︒︒︒︒===︒︒︒()sin 10902sin50cos50sin100cos101cos10cos10cos10cos10︒+︒︒︒︒︒====︒︒︒︒.故答案为:1. 【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式，考查了辅助角公式，考查了诱导公式.本题的难点是熟练运用公式对所求式子进行变形整理.16．【分析】根据方程的两根为得到由两角和的正切公式得到再确定的范围求解【详解】因为方程的两根为所以则因为所以所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查两角和与差的正切公式的应用还考查了运算求解的能力属于中档题 解析：34π-【分析】根据方程23310x ax a +++=，()2a >的两根为tan α，tan β，得到tan tan 3,tan tan 31a a αβαβ+=-⋅=+，由两角和的正切公式得到()tan αβ+，再确定αβ+的范围求解. 【详解】因为方程23310x ax a +++=，()2a >的两根为tan α，tan β， 所以tan tan 3,tan tan 31a a αβαβ+=-⋅=+， 则()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ++==-⋅，因为2a >，所以tan tan 30,tan tan 310a a αβαβ+=-<⋅=+>， 所以tan 0,tan 0αβ<<，α，,02πβ⎛⎫∈-⎪⎝⎭， (),0αβπ+∈-，所以34παβ+=-. 故答案为：34π- 【点睛】本题主要考查两角和与差的正切公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.17．【分析】由可得然后用正弦的和差公式展开然后将条件代入即可求出原式的值【详解】因为所以故答案为：【点睛】本题考查的三角恒等变换解决此类问题时要善于发现角之间的关系解析：12【分析】由259210πππαα+=++可得22sin sin 5592cos sin 105ππααππαα⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后用正弦的和差公式展开，然后将条件代入即可求出原式的值 【详解】 因为2tan 3tan5πα= 所以222sin sin sin 555922cos cos sin 10255πππαααππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222sincos cos sin tan tan 2tan 1555522222sin cos cos sin tan tan 4tan5555ππππαααππππααα---====----- 故答案为：12【点睛】本题考查的三角恒等变换，解决此类问题时要善于发现角之间的关系.18．【分析】化简得再利用诱导公式与和差角公式化简求解即可【详解】由题故答案为：【点睛】本题主要考查了根据余弦的诱导公式与和差角公式化简求解的问题需要根据题中的角跟特殊角的关系用和差角公式属于中档题【分析】 化简得sin102cos140cos10m ︒-︒=︒,再利用诱导公式与和差角公式化简cos140︒求解即可.【详解】 由题()sin102cos 1030sin102cos140cos10cos10m ︒+︒+︒︒-︒==︒︒sin102cos10cos302sin10sin 302cos10cos302cos30cos10cos10︒+︒︒-︒︒︒︒===︒=︒︒.【点睛】本题主要考查了根据余弦的诱导公式与和差角公式化简求解的问题.需要根据题中的角跟特殊角的关系用和差角公式,属于中档题.19．【分析】根据正切的和角公式将用的函数表示出来利用均值不等式求最值求得取得最大值的再用倍角公式即可求解【详解】故可得则当且仅当即时此时有故答案为：【点睛】本题考查正切的和角公式以及倍角公式涉及均值不等解析：7【分析】根据正切的和角公式，将tan α用tan β的函数表示出来，利用均值不等式求最值，求得取得最大值的tan α，再用倍角公式即可求解. 【详解】0,,0,22ππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭tan 0,tan 0αβ∴>> tan()2tan αββ+=故可得tantan 2tan 1tantan αββαβ+=-则2tan 1tan 112tan 42tan tan βαβββ==≤=++当且仅当12tan tan ββ=，即tan 2β=时，max tan 4α=此时有222tan 4tan 221tan 7116ααα===--. 【点睛】本题考查正切的和角公式，以及倍角公式，涉及均值不等式的使用.20．【分析】由韦达定理得由平方后化为然后凑配成的代数式再代入求值【详解】由是方程的两根所以从而又由知从而【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的平方关系考查韦达定理解题关键是利用平方关系化正弦为余弦解答本题 【分析】由韦达定理得cos cos ,cos cos αβαβ+，由sin sin αβ平方后化为cos ,cos αβ，然后凑配成cos cos ,cos cos αβαβ+的代数式，再代入求值． 【详解】由cos α，cos β是方程26320x x -=-的两根 所以11cos cos ,cos cos 23αβαβ+==-， 从而()()222(sin sin )1cos 1cos αβαβ=--22221cos cos cos cos αβαβ=--+222212cos cos cos cos (cos 2cos cos cos )αβαβααββ=++-++22(1cos cos )(cos cos )αβαβ=+-+22114171329436⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.又由,(0,)αβπ∈知sin sin 0αβ>，从而sin sin αβ= 【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的平方关系，考查韦达定理，解题关键是利用平方关系化正弦为余弦，解答本题的关键是将()()222(sin sin )1cos 1cos αβαβ=--化为22(1cos cos )(cos cos )αβαβ+-+的形式，属于中档题.三、解答题21．（1）,24ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，值域1⎤+⎥⎣⎦；（2）02sin 3x ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 【分析】（1）先利用诱导公式和降幂公式可将()f x 化为()2sin 33x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭数的性质可得函数的单调区间和值域. （2）利用两角差的正弦公式可求02sin 3x ⎛⎫⎪⎝⎭的值. 【详解】①2()sin cos 1cos 3323x x x f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭2sin 33x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由2222332x k k πππππ-≤+≤+得53344k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈， 又2x ππ-≤≤，所以()f x 的递增区间为,24ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 又2x ππ-≤≤，故2033x ππ≤+≤，所以20sin 133x π⎛⎫≤+≤⎪⎝⎭，()f x ∴值域为122⎤+⎥⎣⎦.②由024()sin 335x f x π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭得024sin 335x π⎛⎫+=⎪⎝⎭， 因04x ππ≤≤，所以02233x πππ≤+≤，故023cos 335x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭00002222sin sin sin cos cos sin 3333333333x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦413525=⨯+=. 【点睛】方法点睛：形如()22sinsin cos cos f x A x B x x C x ωωωω=++的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为()()'sin 2'f x A x B ωϕ=++的形式，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、对称轴方程和对称中心等．三角函数的化简求值问题，可以从四个角度去分析：（1）看函数名的差异；（2）看结构的差异；（3）看角的差异；（4）看次数的差异．对应的方法是：弦切互化法、辅助角公式（或公式的逆用）、角的分拆与整合（用已知的角表示未知的角）、升幂降幂法． 22．（1）115sin cos 12αα+=-；（2）4tan 3α=-. 【分析】（1）将等式1sin cos 5αα+=两边平方，可求出sin cos αα的值，进而可求得11sin cos αα+的值； （2）法一：利用同角三角函数的基本关系可求得sin cos αα-的值，结合已知条件可得出关于sin α、cos α的方程组，解出sin α、cos α的值，进而可求得tan α的值；法二：由弦化切可得出222sin cos tan 12sin cos tan 125αααααα==-++，可得出关于tan α的二次方程，由已知条件可得出tan 1α<-，由此可求得tan α的值. 【详解】（1）由1sin cos 5αα+=①，得()21sin cos 12sin cos 25αααα+=+=. 12sin cos 25αα∴=-，所以，111sin cos 5512sin cos sin cos 1225αααααα++===--； （2）法一：由（1）知12sin cos 25αα=-，0απ<<，sin 0α>，cos 0α<，sin cos 0αα∴->.()249sin cos 12sin cos 25αααα∴-=-=，7sin cos 5αα∴-=②.由①②得，4sin 5α，3cos 5α=-，sin 4tan cos 3∴==-ααα； 法二：由（1）知12sin cos 25αα=-，22sin cos 1αα+=，22sin cos 12sin cos 25αααα∴=-+. 2222sin cos 12cos sin cos 25cos αααααα∴=-+，即2tan 12tan 125αα=-+，整理可得212tan 25tan 120αα++=，得4tan 3α=-或3tan 4α=-. 因为0απ<<，所以sin 0α>，cos 0α<， 又1sin cos 05αα+=>，所以sin cos αα>，tan 1α∴<-，所以4tan 3α=-. 【点睛】方法点睛：在利用同角三角函数的基本关系求值时，可利用以下方法求解：（1）应用公式时注意方程思想的应用，对于sin cos αα+、sin cos αα-、sin cos αα这三个式子，利用()2sin cos 12sin cos αααα±=±可以知一求二； （2）关于sin α、cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子． 23．（1）7,()1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）523,()2424k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.【分析】利用二倍角公式和两角和的正弦公式化简()f x ，由周期求出ω， （1）根据正弦函数的单调性可得答案； （2）根据正弦函数的值域可得答案. 【详解】)2()cos sin sin cos 22f x x x x x x x ωωωωωω=+-=+-1cos 2sin 222x x ωω+=+12sin 2sin 223x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 又函数()f x 的最小正周期为x ，所以22ππω=，故1ω=， 所以()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.（1）由题意，得3222,232k x k k πππππ+++∈Z ， 解得7,1212k xk k ππππ++∈Z ， 所以()f x 的单调递减区间是7,()1212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .（2）因为2()sin 232f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 所以39222()434k x k k πππππ+++∈Z ， 解得523()2424k x k k ππππ++∈Z ， 所以523,()2424x k k k ππππ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦Z .【点睛】本题考查了三角函数的性质，关键点是求出正弦函数的解析式，利用正弦函数的性质解题，要求学生熟练掌握三角函数的基础知识.24．（1）T π=，单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）最大值为12，最小值为14-. 【分析】（1）本题首先可通过三角恒等变换将函数解析式转化为()1sin 223f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后通过周期计算公式即可求出最小正周期，通过正弦函数的单调性即可求出单调递增区间；（2）本题可根据,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得出22,363x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，然后根据正弦函数的性质即可求出最值. 【详解】（1）2()cos cos 64f x x x x π⎛⎫=⋅-- ⎪⎝⎭21cos sin 2x x x x ⎫=++-⎪⎪⎝⎭221sin cos 2x x x x =++))2212cos 1sin 22sin 14x x x =-+-+11cos 2sin 2cos 2sin 2244244x x x x x =+-=-111sin 22sin 22223x x x π⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即()1sin 223f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则最小正周期22T ππ==，当222232k x k πππππ-+≤-≤+，即()51212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，函数()f x 单调递增， 函数()f x 的单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.（2）()1sin 223f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 因为,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22,363x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 由正弦函数的性质易知， 当236x ππ-=-，即12x π=时，函数()f x 取最小值，最小值为14-； 当232x ππ-=，即512x π=时，函数()f x 取最大值，最大值为12.【点睛】关键点点睛：本题考查结合三角恒等变换判断三角函数性质，能否根据三角恒等变换将函数转化为()1sin 223f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是解决本题的关键，考查三角函数周期性、单调性以及最值的求法，是中档题.25．（1）最小正周期π，单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）4x π=时，()f x 取得最大值1；12x π=-时，()f x 取得最小值2-；（3）)m ∈，()12tan 3x x +=-. 【分析】（1）利用和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为()sin y A ωx φ=+的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；（2）当,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，利用正弦函数的定义域和值域，求得()f x 的最大值和最小值，并指出()f x 取得最值时对应的x 的值.（3）函数()()g x f x m =-所在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦匀上有两个不同的零点1x ，2x ，转化为函数()f x 与函数y m =有两个交点；可求m 的范围，结合三角函数的图象可知，1x ，2x ，关于对称轴是对称的，可知12x x +，即可求()12tan x x +的值. 【详解】解：（1）函数()4sin cos 3f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭化简可得：()2112sin cos sin 2cos 222f x x x x x x ⎫=-=-++⎪⎭sin 222sin 23x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以函数的最小正周期22T ππ==， 由222232k x k πππππ-≤-≤+，解得：1212k x k π5ππ-≤≤π+， 所以函数的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.（2）由于64x ππ-≤≤，可得22336x πππ-≤-≤， 当236x ππ-=，即4x π=时，()f x 取得最大值1；当232x ππ-=-，即12x π=-时，()f x 取得最小值2-.（3）函数()()g x f x m =-所在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦匀上有两个不同的零点1x '，2x '，转化为函数()f x 与函数y m =有两个交点，令23u x π=-，∵ 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴2,33u ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 可得sin y u =的图象(如图).从图可知：)m ∈时，函数sin y u =与函数y m =有两个交点，其横坐标分别为1x '，2x '.故得实数m 的取值范围是)3,2m ⎡∈⎣， 由题意可知1x '，2x '是关于对称轴是对称的： 那么函数在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的对称轴512x π=， 所以1256x x π''+=， 所以()1253tan tan 6x x π''+==-.【点睛】本题第三问解题的关键在于将问题转化为函数()f x 与函数y m =有两个交点，进而讨论函数在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图象，根据数形结合思想求解，考查运算求解能力，化归转化思想，是中档题.26．（1）T π=，7[,],1212++∈k k k Z ππππ；（2）3π. 【分析】（1）先利用三角恒等变换，将函数转化为()2sin(2)3f x x π=+，再利用正弦函数的性质求解.（2）根据函数()f x 的图象关于点(,)m n 对称，令2()3m k k Z ππ+=∈求解.【详解】（1）2()[2sin()sin ]cos 3=++f x x x x x π2(sin sin )cos =++-x x x x x2(2sin )cos =+x x x x222sin cos sin )x x x x =+-sin 222sin(2)3x x x π==+， T π=， 由3222232k x k πππππ+≤+≤+， 解得71212k x k ππππ+≤≤+， 则()f x 的单调递减区间是7[,],1212++∈k k k Z ππππ. （2）2()3+=∈m k k Z ππ，,26∴=-∈k m k Z ππ 又0m >m ∴的最小值为3π. 【点睛】 方法点睛：1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式． 2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2T ωπ=，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T πω=. 3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．。
高三数学一轮(北师大版)第四章+三角函数、三角恒等变
三角函数与平பைடு நூலகம்向量的综合
已知向量 m＝(f(x)，cosx)，n＝( 3sinx＋cosx,1)， 且 m∥n.
(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)若函数 f(x)的图像关于直线 x＝x0 对称，且 0<x0<1，求 x0 的值． [思路分析] 对于(1)利用已知求出函数 f(x)的解析式，转化 为三角函数知识，进一步解决问题；对于(2)根据对称坐标之间 的关系求 x0 即可．
④当 b<a<2R 时，B 总是锐角，A 可以是钝角也可以是锐角， 因此，所求的△ABC 存在两个，由 sinA＝2aR，sinB＝2bR得，
当 A<90°时，cosA＝21R 4R2－a2， c＝ a2＋b2＋2abcosA＋B ＝ a2＋b2＋2aRb2 4R2－a2· 4R2－b2－ab； 当 A>90°时，cosA＝－21R 4R2－a2， c＝ a2＋b2－2aRb2 4R2－a2· 4R2－b2＋ab.
(2)①当 a>2R 或 a＝b＝2R 时，所求的△ABC 不存在； ②当 a＝2R 且 b<a 时，A＝90°，所求的△ABC 只存在一个， 且 c＝ a2－b2； ③当 a<2R 且 b＝a 时，A＝B，且 A、B 都是锐角，由 sinA ＝2aR＝2bR＝sinB，A、B 唯一确定；因此，所求的△ABC 只存 在一个，且 c＝2a·cosA＝Ra 4R2－a2；
高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析
高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.已知函数的图象上关于轴对称的点至少有3对，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】原函数在轴左侧是一段正弦型函数图象，在轴右侧是一条对数函数的图象，要使得图象上关于轴对称的点至少有对，可将左侧的图象对称到轴右侧，即，应该与原来轴右侧的图象至少有个公共点如图，不能满足条件，只有此时，只需在时，的纵坐标大于，即，得．【考点】分段函数，函数图象，正弦型函数，对数函数2.若，则函数的最大值是___________．【答案】【解析】由题意因为，所以，所以函数的最大值是．【考点】求最大值．3.已知，，则下列不等式一定成立的是A．B．C．D．【答案】D【解析】,【考点】三角函数的性质4.若，且为第二象限角，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由得又为第二象限角，所以，选B．【考点】两角差余弦公式5.设函数对任意的，都有，若函数，则的值是（）A．1B．-5或3C．-2D．【答案】C【解析】根据题意有是函数图像的对称轴，从而有，所以有，故选C．【考点】三角函数的性质．6.设的最小值为，则．【答案】【解析】，根据题意，结合二次函数在某个区间上的最值问题，对参数进行讨论，当时，其最小值为，所以不合题意，当时，其最小值为，解得，当时，其最小值为，无解，所以．【考点】倍角公式，二次函数在给定区间上的最值问题．7.设函数对任意的，都有，若函数，则的值是（）A．1B．-5或3C．D．-2【答案】D【解析】根据题意有是函数图像的对称轴，从而有，所以有，故选D．【考点】三角函数的性质．8.下列函数中，以为最小正周期的偶函数是（）A．y=sin2x+cos2xB．y=sin2xcos2xC．y=cos（4x+）D．y=sin22x﹣cos22x【答案】D【解析】因为A项为非奇非偶函数，B项是奇函数，C项是奇函数，只有D项是符合题意的，故选D．【考点】诱导公式，倍角公式，三角函数的奇偶性和周期．9.函数的最大值为．【答案】【解析】解析式表示过的直线的斜率，由几何意义，即过定点（4，3）与单位圆相切时的切线斜率为最值．所以设切线得斜率为k，则直线方程为，即 ,【考点】三角函数最值【方法点睛】本题主要考查三角函数最值问题及转化的思想，解决问题的根据是根据所给函数式子转化为直线与圆的位置关系问题，即将所给式子看做定点与单位圆上点的连线的斜率的范围问题，通过模型转化使问题定点巧妙解决，属于经典试题．10.（本题满分12分）如图，在中，边上的中线长为3，且，．（1）求的值；（2）求边的长．【答案】（1）（2）4【解析】（1）利用角的关系，再结合两角差正弦公式展开就可求解（2）先在三角形ABD中，由正弦定理解出BD长，即CD长：由正弦定理，得，即，解得…故；再在三角形ADC中由余弦定理解出AC：；AC= 4试题解析：（1）（2）在中，由正弦定理，得，即，解得…故，从而在中，由余弦定理，得；AC= 4 ；【考点】正余弦定理11.中，，则的最大值为．【答案】【解析】设，由余弦定理的推论，所以，设，代入上式得，，故，当时，此时，符合题意，因此最大值为，故答案为：．【考点】解三角形．【思路点睛】首先假设，然后再根据余弦定理的推论，可得，找到与的关系，再设，代入上式得，利用根的判别式，进而求出结果．本题的关键是利用余弦定理的推论．12.已知函数的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）若，求函数在区间上的单调减区间．【答案】（1）；（2），．【解析】（1）由图象中的最高点和最低点的纵坐标得到关于的方程组求得，再利用图象得到函数的周期，进而得到值，最后代入最低点坐标或最高点坐标结合的范围求出，即得到函数的解析式；（2）先求出，利用两角和差的正弦公式将其化为的形式，再利用整体思想求其单调递减区间．试题解析：（1）由图知，解得，又，所以，所以，将点代入，得，再由，得，所以；（2）因为由，解得；又，故所求的单调减区间为，．【考点】1.三角函数的图象与性质；2.三角恒等变形．13.已知角的终边经过点（-4，3），则= ，= ；【答案】;【解析】由题意可得.【考点】任意角三角函数的定义.14.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若，求△ABC的面积．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）在解三角形的背景下，考查正弦定理，余弦定理，知值求值．（Ⅱ）综合余弦定理，求三角形的面积公式，需要把作为整体求之．试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得将上式代入已知即，即．∵∵∵B为三角形的内角，∴．（Ⅱ）由余弦定理得，结合，可得，所以△ABC的面积．【考点】正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式．15.在△中，角，，所对的边分别为，，，表示△的面积，若，，则．【答案】【解析】∵，∴，∴，∴，．∵，∴，∴，∴，∴．【考点】解三角形．【思路点睛】先利用余弦定理和三角形的面积公式可得，可得，再用正弦定理把中的边换成角的正弦，利用两角和公式化简整理可求得，最后根据三角形内角和，进而求得．16.中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若的面积，则 .【答案】【解析】由余弦定理，，又，，，即，，．【考点】1、余弦定理；2、同角三角函数的基本关系；3、三角形面积公式.【思路点睛】本题主要考查的是余弦定理、同角三角函数基本关系、三角形的面积公式，属于容易题.因为题目求，且的面积，边的平方的形式一般想到余弦定理，面积展开后利用余弦定理即可求得与的关系，从而利用同角三角函数的基本关系求得.17.（2012•安徽）设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且有2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b=2，c=1，D为BC的中点，求AD的长．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）根据2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC，可得2sinBcosA=sin（A+C），从而可得2sinBcosA=sinB，由此可求求角A的大小；（Ⅱ）利用b=2，c=1，A=，可求a的值，进而可求B=，利用D为BC的中点，可求AD的长．解：（Ⅰ）∵2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC∴2sinBcosA=sin（A+C）∵A+C=π﹣B∴sin（A+C）=sinB＞0∴2sinBcosA=sinB∴cosA=∵A∈（0，π）∴A=；（Ⅱ）∵b=2，c=1，A=∴a2=b2+c2﹣2bccosA=3∴b2=a2+c2∴B=∵D为BC的中点，∴AD=．【考点】余弦定理；三角函数的恒等变换及化简求值．18.在中，已知．（Ⅰ）求sinA与角B的值；（Ⅱ）若角A,B,C的对边分别为的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），．【解析】（I）给出了关于角的两个三角函数值，利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式可求得其正弦、余弦，再根据三角形的性质可求得的值；（II）在第一问的基础上，利用正弦定理可求得边，再由余弦定理求边，注意利用三角形基本性质舍解．试题解析：（Ⅰ）∵，，又∵，．∵，且，．（Ⅱ）由正弦定理得，，另由得，解得或（舍去），，．【考点】三角函数的诱导公式，同角三角函数的基本关系式及利用正、余弦定理在解三角形．19.已知，则的值为．【答案】．【解析】，故填：．【考点】三角恒等变形．20.在中，角A，B，C的对边分别为，，，若，则角的值为（）A．或B．或C．D．【答案】A．【解析】，，∴或，故选A．【考点】余弦定理．【思路点睛】由已知条件，可先将切化弦，再结合正弦定理，将该恒等式的边都化为角，然后进行三角函数式的恒等变形，找出角之间的关系；或将角都化成边，然后进行代数恒等变形，可一题多解，多角度思考问题，从而达到对知识的熟练掌握．21.为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点（）A．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的2倍，横坐标不变【答案】A【解析】这是一个三角函数的图象变换问题，一般的为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的横坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍（纵坐标不变）即可，因此为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，故选A.【考点】三角函数的图象变换．【方法点睛】本题是一个三角函数的图象变换问题，属于容易题.一般的要得到函数（其中）的图像可按以下步骤进行：先把的图象向左（）或向右（）平移个单位，再将所得函数的图象上各点的横坐标扩大（）或缩小（）为原来的（纵坐标不变），再把所得函数图象上各点的纵坐标扩大（）或缩小（）为原来的倍（横坐标不变），最后再将所得图像向上（）或向下（）平移个单位，即可得到函数的图象.22.如图，在中，，，点在边上，且，.（I）求；（II）求的长.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），.【解析】（Ⅰ）由图可知，所以，又，所以，再由两角差的正弦公式可求得；（Ⅱ）由题意可用正弦定理、余弦定理即可求出、的长，在中，有，又从而可求得；在中，由余弦定理得，，从而可求出.试题解析：（Ⅰ）在中，因为，所以，所以（Ⅱ）在中，由正弦定理得，在中，由余弦定理得，所以【考点】1.解三角形；2.两角差的正弦公式.23.设的内角对边分别为，已知，且.（1）求角的大小；（2）若向量与共线，求的值.【答案】(1);(2)。
高三数学一轮阶段性测试题4 三角函数、三角恒等变形、
阶段性测试题四(三角函数、三角恒等变形、解三角形)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·辽宁五校联考)已知cos(π2＋α)＝35，且α∈(π2，3π2)，则tanα＝( ) A ．43 B ．34 C ．－34 D ．±34[答案] B[解析] 因为cos(π2＋α)＝35，所以sinα＝－35，显然α在第三象限，所以cosα＝－45，故tanα＝34.2．(2015·襄阳四中、荆州中学、龙泉中学联考)已知角x 的终边上一点的坐标为(sin 5π6，cos 5π6)，则角x 的最小正值为( ) A ．5π6 B ．5π3 C ．11π6 D ．2π3 [答案] B[解析] ∵sin 5π6＝12，cos 5π6＝－32，∴角x 的终边经过点(12，－32)，tanx ＝－3， ∴x ＝2kπ＋5π3，k ∈Z. ∴角x 的最小正值为5π3.3．(文)已知tan α2＝2，则6sinα＋cosα3sinα－2cosα的值为( )A ．76 B ．7 C ．－67 D ．－7 [答案] A[解析] 由已知得tanα＝2tan α21－tan2α2＝－43，故6sinα＋cosα3sinα－2cosα＝6tanα＋13tanα－2＝76.(理)已知函数f(x)＝sinx －cosx 且f ′(x)＝2f(x), f ′(x)是f(x)的导函数，则sin2x ＝( ) A ．13 B ．－35 C ．35 D ．－13[答案] C[解析] 由f(x)＝sinx －cosx 且f ′(x)＝2f(x)得 cosx ＋sinx ＝2sinx －2cosx ，所以tanx ＝3，sin2x ＝2sinxcosx sin2x ＋cos2x ＝2tanx 1＋tan2x＝610＝35，故选C ．4．下列函数中，其中最小正周期为π，且图像关于直线x ＝π3对称的是( ) A ．y ＝sin(2x －π3) B ．y ＝sin(2x －π6) C ．y ＝sin(2x ＋π6) D ．y ＝sin(x 2＋π6)[答案] B[解析] ∵T ＝π，∴ω＝2，排除D ，把x ＝π3代入A 、B 、C 只有B 中y 取得最值，故选B ． 5．(文)(2015·黄山模拟)为了得到函数y ＝sin(2x －π3)的图像，只需把函数y ＝sin(2x ＋π6)的图像( )A ．向左平移π4个长度单位 B ．向右平移π4个长度单位 C ．向左平移π2个长度单位 D ．向右平移π2个长度单位 [答案] B[解析] y ＝sin(2x ＋π6)＝sin[2(x ＋π12)]， y ＝sin(2x －π3)＝sin[2(x －π6)]，∴只需将y ＝sin(2x ＋π6)向右平移π12＋π6＝π4个长度单位．(理)(2015·黄山模拟)将函数y ＝sin2x 的图像向右平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得函数图像对应的解析式为( ) A ．y ＝sin(2x －π4)＋1 B ．y ＝2cos2xC ．y ＝2sin2xD ．y ＝－cos2x[答案] C[解析] 函数y ＝sin2x 的图像向右平移π4个单位得到y ＝sin2(x －π4)＝sin(2x －π2)＝－cos2x ，再向上平移1个单位，所得函数图像对应的解析式为 y ＝－cos2x ＋1＝－(1－2sin2x)＋1＝2sin2x ，选C ． 6.3cos10°－1sin170°＝( ) A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4 [答案] D[解析] 3cos10°－1sin170°＝3cos10°－1sin10° ＝3sin10°－cos10°sin10°cos10°＝2sin 10°－30°sin10°cos10°＝2sin －20°sin10°cos10°＝－2sin20°12sin20°＝－4，选D ．7．(2014·合肥调研)在△ABC 中，若sin(A －B)＝1＋2cos(B ＋C)sin(A ＋C)，则△ABC 的形状一定是( )A ．等边三角形B ．不含60°的等腰三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形 [答案] D[解析] sin(A －B)＝1＋2cos(B ＋C)sin(A ＋C)＝1－2cosAsinB ， sin(A －B)＝sinAcosB －cosAsinB ＝1－2cosAsinB ， 所以sinAcosB ＋cosAsinB ＝1，即sin(A ＋B)＝1， 所以A ＋B ＝π2，故三角形为直角三角形．8．(2015·河南八校联考)将函数y ＝3cosx ＋sinx(x ∈R)的图像向左平移m(m ＞0)个长度单位后，所得到的图像关于原点对称，则m 的最小值是( ) A ．π12 B ．π6 C ．π3 D ．2π3 [答案] D[解析] y ＝3cosx ＋sinx ＝2sin(x ＋π3)，向左平移m 个单位得到y ＝2sin(x ＋m ＋π3)，此函数为奇函数，∴m ＋π3＝kπ，k ∈Z ，∵m>0，∴m 的最小值为2π3.9．(2015·济南一模)△ABC 中，∠A ＝30°，AB ＝3，BC ＝1，则△ABC 的面积等于( ) A ．32 B ．34C ．32或3 D ．32或34[答案] D[解析] 由余弦定理cosA ＝AB2＋AC2－BC22AB·AC，代入各值整理可得AC2－3AC ＋2＝0，解得AC ＝1或AC ＝2三角形面积S ＝12AB·AC·sinA 所以面积为32或34.10．(2015·洛阳统考)设函数f(x)＝|cosx|＋|sinx|，下列四个结论正确的是( ) ①f(x)是奇函数；②f(x)的图像关于直线x ＝3π4对称； ③当x ∈[0,2π]时，f(x)∈[1，2]；④当x ∈[0，π2]时，f(x)单调递增． A ．①③ B ．②④ C ．③④ D ．②③[答案] D[解析] 对于①，注意到f(－x)＝f(x)，因此函数f(x)是偶函数，①不正确；对于②，注意到f(3π2－x)＝|cos(3π2－x)|＋|sin(3π2－x)|＝|sinx|＋|cosx|＝f(x)，因此函数f(x)的图像关于直线x ＝3π4对称，②正确；对于③④，注意到f(x ＋π2)＝|cos(x ＋π2)|＋|sin(x ＋π2)|＝|sinx|＋|cosx|＝f(x)，因此函数f(x)是以π2为周期的函数，当x ∈[0，π2]时，f(x)＝|sinx|＋|cosx|＝sinx ＋cosx ＝2sin(x ＋π4)的值域是[1，2]，故当x ∈[0,2π]时，f(x)∈[1，2]，又f(π4)＝2>1＝f(π2)，因此f(x)在[0，π2]上不是增函数，故③正确，④不正确．综上所述，其中正确的结论是②③，选D ． 第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上) 11．已知α为第二象限角，则cosα1＋tan2α＋sinα1＋1tan2α＝________.[答案] 0[解析] 原式＝cosαsin2α＋cos2αcos2α＋sinαsin2α＋cos2αsin2α＝cosα1|cosα|＋sinα1|sinα|，因为α是第二象限，所以sinα>0，cosα<0， 所以cosx 1|cosα|＋sinα1|sinα|＝－1＋1＝0，即原式等于0. 12．(2014·新课标Ⅱ)函数f(x)＝sin(x ＋2φ)－2sinφcos(x ＋φ)的最大值为________． [答案] 1[解析] 本题考查两角和正弦公式、二倍角公式，三角函数的最值的求法． ∵f(x)＝sin(x ＋2φ)－2sinφcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)·cosφ＋cos(x ＋φ)·sinφ－2sinφcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)·cosφ－cos(x ＋φ)·sinφ ＝sinx≤1.∴最大值为1.13．(2015·九江模拟) 已知函数f(x)＝sin(2x ＋π6)，其中x ∈[－π6，α]．当α＝π3时，f(x)的值域是________；若f(x)的值域是[－12，1]，则α的取值范围是________． [答案] [－12，1] [π6，π2][解析] 若－π6≤x≤π3，则－π3≤2x≤2π3，－π6≤2x ＋π6≤5π6，此时－12≤sin(2x ＋π6)≤1， 即f(x)的值域是[－12，1]． 若－π6≤x≤α，则－π3≤2x≤2α， －π6≤2x ＋π6≤2α＋π6.因为当2x ＋π6＝－π6或2x ＋π6＝7π6时，sin(2x ＋π6)＝－12，所以要使f(x)的值域是[－12，1]， 则有π2≤2α＋π6≤7π6，即π3≤2α≤π，所以π6≤α≤π2，即α的取值范围是[π6，π2]．14．△ABC 中，A 满足条件3sinA ＋cosA ＝1，AB ＝2cm ，BC ＝23cm ，则A ＝________，△ABC 的面积等于________cm2. [答案] 2π33[解析] 由3sinA ＋cosA ＝1得2sin(A ＋π6)＝1，∴A ＋π6＝5π6， 即A ＝23π，由BC sinA ＝AB sinC 得 sinC ＝ABsinA BC ＝2×3223＝12，所以C ＝π6，则B ＝π6.S △ABC ＝12AB×BCsinB ＝3(cm2)．15．把函数y ＝sin2x 的图像沿x 轴向左平移π6个单位，纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数y ＝f(x)图像，对于函数y ＝f(x)有以下四个判断： ①该函数的解析式为y ＝2sin(2x ＋π6)；②该函数图像关于点(π3，0)对称； ③该函数在[0，π6]上是增函数；④函数y ＝f(x)＋a 在[0，π2]上的最小值为3，则a ＝2 3. 其中，正确判断的序号是________． [答案] ②④[解析] 将函数向左平移π6得到y ＝sin2(x ＋π6)＝sin(2x ＋π3)，然后纵坐标伸长到原来的2倍得到y ＝2sin(2x ＋π3)，即y ＝f(x)＝2sin(2x ＋π3)，所以①不正确．y ＝f(π3)＝2sin(2×π3＋π3)＝2sinπ＝0，所以函数图像关于点(π3，0)对称，所以②正确．由－π2＋2kπ≤2x ＋π3≤π2＋2kπ，k ∈Z ，得－5π12＋kπ≤x≤π12＋kπ，k ∈Z, 即函数的单调增区间为[－5π12＋kπ，π12＋kπ]，k ∈Z ，当k ＝0时，增区间为[－5π12，π12]，所以③不正确. y ＝f(x)＋a ＝2sin(2x ＋π3)＋a ，当0≤x≤π2时，π3≤2x ＋π3≤4π3，所以当2x ＋π6＝4π3时，函数值最小为y ＝2sin 4π3＋a ＝－3＋a ＝3，所以a ＝23，所以④正确．所以正确的命题为②④.三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)(文)已知关于x 的方程2x2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sinθ和cosθ，且θ∈(0,2π)，求：(1)sin2θsinθ－cosθ＋cosθ1－tanθ的值； (2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值．[解析] (1)原式＝sin2θsinθ－cosθ＋cosθ1－sinθcosθ＝sin2θsinθ－cosθ＋cos2θcosθ－sinθ ＝sin2θ－cos2θsinθ－cosθ＝sinθ＋cosθ.由条件知sinθ＋cosθ＝3＋12，故sin2θsinθ－cosθ＋cosθ1－tan θ＝3＋12.(2)由sin2θ＋2sinθcosθ＋c os2θ＝1＋2sinθcosθ ＝(sinθ＋cosθ)2，得1＋m ＝(3＋12)2，即m ＝32.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧sinθ＋cosθ＝3＋12，sinθ·cosθ＝34得⎩⎪⎨⎪⎧sinθ＝32，cosθ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧sinθ＝12，cosθ＝32.又θ∈(0,2π)，故θ＝π6或θ＝π3. (理)已知函数f(x)＝－cos2x －sinx ＋1. (1)求函数f(x)的最小值； (2)若f(α)＝516，求cos2α的值． [解析] (1)因为f(x)＝－cos2x －sinx ＋1 ＝sin2x －sinx ＝(sinx －12)2－14， 又sinx ∈[－1,1]，所以当sinx ＝12时， 函数f(x)的最小值为－14. (2)由(1)得(sinα－12)2－14＝516， 所以(sinα－12)2＝916.于是sinθ＝54(舍)或sinα＝－14. 故cos2α＝1－2sin2α＝1－2(－14)2＝78.17．(本小题满分12分)(文)已知函数f(x)＝3sin2x ＋2sinxcosx ＋cos2x －2. (1)求f(π4)的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间． [解析] (1)依题意f(x)＝2sin2x ＋sin2x －1 ＝sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π4)． 则f(π4)＝2sin(2×π4－π4)＝1. (2)f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π. 当2kπ－π2≤2x －π4≤2kπ＋π2时， 即kπ－π8≤x≤kπ＋3π8时，f(x)为增函数．则函数f(x)的单调增区间为[kπ－π3，kπ＋3π8]，k ∈Z.(理)已知向量a ＝(2sinx ，3cosx)，b ＝(sinx,2sinx)，函数f(x)＝a·B ．(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若不等式f(x)≥m 对x ∈[0，π2]都成立，求实数m 的最大值． [解析] (1)f(x)＝2sin2x ＋23sinxcosx ＝1－cos2x ＋23sinxcosx＝3sin2x －cos2x ＋1＝2sin(2x －π6)＋1 由2kπ－π2≤2x －π6≤2kπ＋π2(k ∈Z)． 得kπ－π6≤x≤kπ＋π3(k ∈Z)，∴f(x)的单调增区间是[kπ－π6，kπ＋π3](k ∈Z) (2)∵0≤x≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6. ∴－12≤sin(2x －π6)≤1，∴f(x)＝2sin(2x －π6)＋1∈[0,3]，∴m≤0，m 的最大值为0.18．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2asinA ＝(2b ＋c)sinB ＋(2c ＋b)sinC ． (1)求A 的大小；(2)若sinB ＋sinC ＝1，试判断△ABC 的形状． [解析] (1)由已知，根据正弦定理，得 2a2＝(2b ＋c)b ＋(2c ＋b)c ， 即a2＝b2＋c2＋bC ．由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA ， 故cosA ＝－12，A ＝120°.(2)由a2＝b2＋c2＋bc ，得sin2A ＝sin2B ＋sin2C ＋sinBsinC ． 又sinB ＋sinC ＝1，故sinB ＝sinC ＝12. 因为0°<B<90°，0°<C<90°，故B ＝C ． 所以△ABC 是等腰的钝角三角形．19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2)的图像与y 轴的交点为(0,1)，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0＋2π，－2)．(1)求函数f(x)的解析式及x0的值；(2)若锐角θ满足cosθ＝13，求f(4θ)的值．[解析] (1)∵由题意可得A ＝2，T2＝2π，即T ＝4π， ∴2πω＝4π，∴ω＝12. ∴f(x)＝2sin(12x ＋φ)． 由图像经过点(0,1)得，f(0)＝2sinφ＝1，又|φ|<π2，∴φ＝π6. 故f(x)＝2sin(12x ＋π6)． 又f(x0)＝2sin(12x0＋π6)＝2， ∴12x0＋π6＝2kπ＋π2(k ∈Z)， ∴x0＝4kπ＋2π3(k ∈Z)，根据图像可得x0是最小的正数， ∴x0＝2π3.(2)由(1)知，f(4θ)＝2sin(2θ＋π6) ＝3sin2θ＋cos2θ.∵θ∈(0，π2)，cosθ＝13，∴sinθ＝223，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝－79，sin2θ＝2sinθcosθ＝429， ∴f(4θ)＝3×429－79＝469－79＝46－79.20．(本小题满分13分)(文)(2014·重庆高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝8.(1)若a ＝2，b ＝52，求cosC 的值；(2)若sinAcos2B 2＋sinBcos2A 2＝2sinC ，且△ABC 的面积S ＝92sinC ，求a 和b 的值． [解析] (1)∵a ＋b ＋c ＝8，a ＝2，b ＝52， ∴c ＝8－2－52＝72.由余弦定理，得cosC ＝a2＋b2－c22ab ＝4＋254－4942×2×52＝－15.(2)由sinAcos2B 2＋sinBcos2A2＝2sinC ，可得 sinA·1＋cosB 2＋sinB·1＋cosA2＝2sinC ， 化简得：sinA ＋sinB ＋sin(A ＋B)＝4sinC ， 即sinA ＋sinB ＝3sinC ，由正弦定理可得 a ＋b ＝3C ．又a ＋b ＋c ＝8，∴a ＋b ＝6 ① 又面积S ＝12absinC ＝92sinC ，∴ab ＝9②解①②得a ＝3，b ＝3.(理)(2014·浙江高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，C ．已知a≠b ，c ＝3，cos2A －cos2B ＝3sinAcosA －3sinBcosB ． (1)求角C 的大小；(2)若sinA ＝45，求△ABC 的面积．[解析] (1)由已知cos2A －cos2B ＝3sinAcosA －3sinBcosB 得． 12(1＋cos2A)－12(1＋cos2B)＝32sin2A －32sin2B ， ∴12cos2A －32sin2A ＝12cos2B －32sin2B ， 即sin(－π6＋2A)＝sin(－π6＋2B)，∴－π6＋2A ＝－π6＋2B 或－π6＋2A －π6＋2B ＝π， 即A ＝B 或A ＋B ＝2π3， ∵a≠b ，∴A ＋B ＝2π3，∴∠C ＝π3. (2)由(1)知sinC ＝32，cosC ＝12，∴sinB ＝sin(A ＋C)＝sinAcosC ＋cosAsinC ＝33＋410 由正弦定理得：a sinA ＝csinC ， 又∵c ＝3，sinA ＝45. ∴a ＝85.∴S △ABC ＝12acsinB ＝18＋8325.21．(本小题满分14分)(文)已知函数g(x)＝34－12sinxcosx －32sin2x ，将其图像向左移π4个单位，并向上移12个单位，得到函数f(x)＝acos2(x ＋φ)＋b(a>0，b ∈R ，|φ|≤π2)的图像．(1)求实数a ，b ，φ的值；(2)设函数φ(x)＝g(x)－3f(x)，x ∈[0，π2]，求函数φ(x)的单调递增区间和最值．[解析] (1)依题意化简得g(x)＝12sin(π3－2x)，平移g(x)得f(x)＝12sin(π3－2(x ＋π4))＋12＝12sin(－2x －π6)＋12＝12cos(2x ＋2π3)＋12＝cos2(x ＋π3)∴a ＝1，b ＝0，φ＝π3.(2)φ(x)＝g(x)－3f(x)＝12sin(2x ＋2π3)－32cos(2x ＋2π3)－32＝sin(2x ＋π3)－ 32，由－π2＋2kπ≤2x ＋π3≤π2＋2kπ(k ∈Z)得 －π12＋kπ≤x≤π12＋kπ，(k ∈Z)，因为x ∈[0，π2]，所以当k ＝0时，在[0，π12]上单调增， ∴ φ(x)的单调增区间为[0，π12]，值域为[－3，1－32]，故φ(x)的最小值为－3，最大值为1－32.(理)已知函数f(x)＝2cosxsin(x ＋π3)－32.(1)求函数f(x)的最小正周期T ；(2)若△ABC 的三边a ，b ，c 满足b2＝ac ，且边b 所对角为B ，试求cosB 的取值范围，并确定此时f(B)的最大值．[解析] (1)f(x)＝2cosx·sin(x ＋π3)－32＝2cosx(sinxcos π3＋cosxsin π3)－32＝2cosx(12sinx ＋32cosx)－32＝sinxcosx ＋3cos2x －32 ＝12sin2x ＋3·1＋cos2x 2－32 ＝12sin2x ＋32cos2x ＝sin(2x ＋π3)． ∴T ＝2π|ω|＝2π2＝π.(2)由余弦定理cosB ＝a2＋c2－b22ac 及b2＝ac 得，cosB ＝a2＋c2－ac2ac＝a2＋c22ac －12≥2ac 2ac －12＝12， ∴12≤cosB<1，而 0<B<π，∴0<B≤π3.函数f(B)＝sin(2B ＋π3)， ∵π3<2B ＋π3≤π，∴当2B ＋π3＝π2，即B ＝π12时，f(B)max ＝1.。
(常考题)北师大版高中数学必修四第三章《三角恒等变形》检测题(有答案解析)(1)
一、选择题1．已知4sin cos 3θθ+=，,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin cos θθ-的值为（ ） A ．13-B ．13C．3-D．32．已知tan 2α=，则sin cos 2sin cos αααα+=-（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-3．已知2π()2sin ()1(0)3f x x ωω=+->，给出下列判断： ①若函数()f x 的图象的两相邻对称轴间的距离为π2，则=2ω； ②若函数()f x 的图象关于点π(,0)12对称，则ω的最小值为5； ③若函数()f x 在ππ[,]63-上单调递增，则ω的取值范围为1(0,]2； ④若函数()f x 在[0,2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围为4147[,)2424. 其中判断正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．已知cos 2π)4αα=+1tan tan αα+等于（ ） A ．92B ．29C ．9-2D ．2-95．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，已知sin cos 2b A B b =-，则A =（ ）A ．3π B ．4π C ．6π D ．23π 6．已知()sin 2cos x x x ϕ+=+对x ∈R 恒成立，则cos 2ϕ=（ ）A ．25-B ．25C ．35D ．357．若tan 2θ=，则cos2(θ= )A ．45B ．45-C ．35D ．35-8．已知角α满足1cos()63πα+=，则sin(2)6πα-=（ ）A．9-B．9C ．79-D ．799．函数2()3sin cos f x x x x =+的最大值为（ ）A．2B．C．D．3+10．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，BC 边上的高为h，且h =2c a b c c b b ++的最大值是（ ） A．B．C ．4D ．611．已知()4cos 5αβ+=，()1cos 5αβ-=，则tan tan αβ⋅的值为（ ） A ．12B ．35C ．310-D ．3512．若0||4πα<<，则下列说法①sin2α＞si nα，②cos2α＜cosα，③tan2α＞tanα，正确的是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．①③二、填空题13．sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝________. 14．已知4cos 5θ=，且,02πθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭____________． 15．已知4sin 3cos 0+=αα，则2sin 23cos +αα的值为____________. 16．若函数()()()sin cos 2f x x x πϕϕϕ⎛⎫=+++<⎪⎝⎭为偶函数，则ϕ=______. 17．函数()3sin cos22f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最大值为_________.18．已知cosα17=，cos(α﹣β)1314=，且0<β<α2π<，则sinβ=_____. 19．若函数()sin()cos f x x x ϕ=++为偶函数，则常数ϕ的一个取值为________．20．已知角θ的终边经过点(4,3)P -，则22cos sin 12)4--=+θθπθ_____________．三、解答题21．已知函数2()cos sin 32233x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）若,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求()f x 的递增区间和值域； （2）若0043(),54f x x ππ=+≤≤，求点02sin 3x ⎛⎫ ⎪⎝⎭．22．①角α的终边上有一点()2,4M ；②角α的终边与单位圆的交点在第一象限且横坐标为13；③2α为锐角且22sin 42cos 22sin 2ααα=-.在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并加以解答.问题：已知角α的顶点在原点O ，始边在x 轴的非负半轴上，___________.求cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分.23．如图，角θ的顶点与平面直角坐标系xOy 的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P ，若点P 的坐标为04(,)5y -.（1）求tan sin 2θθ-的值；（2）若将OP 绕原点O 按逆时针方向旋转40︒，得到角α，设tan m α=，求()tan 85θ+︒的值.24．已知0πx <<，5sin cos x x +=． （Ⅰ）求sin cos x x -的值；（Ⅱ）求2sin 22sin 1tan x xx+-的值．25．设函数2()cos 22sin 3f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的最大值及取得最大值时x 的集合； （2）若,42⎛⎫∈⎪⎝⎭ππα，且2()5f α=，求sin 2α.26．已知函数2()sin 22sin 6f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. （1）求512f π⎛⎫⎪⎝⎭；（2）求()f x 的单调递增区间及最小正周期. （3）若(0,)2πα∈，且()22f α=，求sin α.（4）若tan 2β=，求3()cos 22f ββ+的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】首先根据题意得到72sin cos 9θθ=，再计算()22sin cos 9θθ-=，根据,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭判断出sin cos θθ-的符号再进行开方计算即可得到答案. 【详解】 因为4sin cos 3θθ+=，所以()216sin cos 12sin cos 9θθθθ+=+=， 所以72sin cos 9θθ=， 所以()22sin cos 12sin cos 9θθθθ-=-=， 因为,42ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以sin cos θθ>，即sin θcos θ0，所以sin cos θθ-= 故选：D ． 【点睛】易错点睛：本题求sin cos θθ-的值时，采用的方法是先对其平方而后再开方，再开方时应注意根据θ的取值范围正确判断sin cos θθ-的符号，从而得到正确的答案.2．A解析：A 【分析】已知正切值要求正余弦值，可以利用商的关系将“弦化切”，代入数值即可. 【详解】原式分子分母同除以cos α得原=tan 12112tan 141αα++==--故选：A. 【点睛】已知正切值求正余弦值,通常有两种做法：一是将所求式子分子分母同除cos α或2cos α，化为tan α求解； 二是利用sin tan cos ααα=得sin tan cos ααα=代入消元即可. 3．C解析：C 【分析】先将()f x 化简，对于①，由条件知，周期为π，然后求出ω；对于②，由条件可得2()612k k Z ωπππ+=∈，然后求出16()k k Z ω=-+∈，即可求解；对于③，由条件，得2362()22362k k Z k ωππππωππππ⎧-+-+⎪⎪∈⎨⎪++⎪⎩，然后求出ω的范围；对于④，由条件，得74221212πππππωωωω-<-，然后求出ω的范围；，再判断命题是否成立即可． 【详解】解：2π2ππ()2sin ()1=-cos(2)=sin(2)336f x x x x ωωω=+-++， ∴周期22T ππωω==． ①．由条件知，周期为π，1w ∴=，故①错误；②．函数()f x 的图象关于点π(,0)12对称，则2()612k k Z ωπππ+=∈， 16()k k Z ω∴=-+∈，(0)>ω∴ω的最小值为5， 故②正确；③．由条件，ππ[,]63x ∈-，ππ2π236636x πωπωω-+≤+≤+由函数()f x 在ππ[,]63-上单调递增得2362()22362k k Z k ωππππωππππ⎧-+-+⎪⎪∈⎨⎪++⎪⎩， 12ω∴≤， 又0>ω，102ω∴<， 故③正确．④．由()sin(2)06f x x πω=+=得2()6x k k Z πωπ+=∈,解得()212k x k Z ππωω=-∈ ()sin(2)6f x x πω=+且()f x 在[0，2]π上恰有7个零点，可得74221212πππππωωωω-<-， ∴41472424ω<， 故④正确； 故选：C 【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，考查了转化思想和推理能力，属中档题．关键点点睛：利用整体思想，结合正弦函数的图像和性质是根据周期，对称，单调性，零点个数求求解参数的关键.4．A解析：A【分析】先利用cos 2sin 22παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭结合cos 2π)4αα=+cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭的值，然后利用二倍角公式得到24cos 22cos 1249ππαα⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即4sin 29α=，又12tan tan sin 2ααα+=，将4sin 29α=代入便可解出答案. 【详解】因为sin22sin coscos2244π4)444πππααααπαππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭===+⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则cos4πα⎛⎫+=⎪⎝⎭所以24cos22cos1249ππαα⎛⎫⎛⎫+=+-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又4cos2sin229παα⎛⎫+=-=-⎪⎝⎭，所以4sin29α=，所以1sin cos1229tan4tan cos sin sin cos sin229ααααααααα+=+====.故选：A.【点睛】本题考查诱导公式，考查正弦、余弦的二倍角公式及其应用，难度一般，解答时公式的变形运用是关键.5．C解析：C【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式，结合sin0B≠，可得2sin23Aπ⎛⎫+=⎪⎝⎭，根据题意可求范围(0,)Aπ∈，根据正弦函数的图象和性质即可求解A的值.【详解】解：∵ bsin cos2A B b-=，∴由正弦定理可得：sin sin cos2sinB A A B B C=，∴sin sin cos2sinB A A B B C=2sin cos cos sin)B A B A B=-+，∴sin sin2sin sinB A B A B=，又∵sin0B≠，∴sin2A A+=，∴2sin23Aπ⎛⎫+=⎪⎝⎭，可得232A kπππ+=+，Zk∈，又(0,)Aπ∈，∴6Aπ=.故选：C.【点睛】本题考查正弦定理和三角恒等变换的运用，考查运算求解能力，求解时注意角的范围.6．D解析：D 【分析】利用两角和的正弦公式进行展开，结合恒成立可得cos ϕ，最后根据二倍角公式得结果. 【详解】由题可知，cos sin sin 2cos x x x x ϕϕ+=+， 则cosϕ=，sin ϕ=， 所以283cos22cos 1155ϕϕ=-=-=，故选：D. 【点睛】本题主要考查了两角和的余弦以及二倍角公式的应用，通过恒成立求出cos ϕ是解题的关键，属于中档题.7．D解析：D 【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式把要求的式子化为221tan 1tan θθ-+，把已知条件代入运算，求得结果． 【详解】tan 2θ=，22222222cos sin 1tan 3cos2cos sin cos sin 1tan 5θθθθθθθθθ--∴=-===-++， 故选D ． 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．8．D解析：D 【分析】由已知利用诱导公式可求133sin πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，sin 2263cos ππαα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再由二倍角公式化简，即可得结果． 【详解】162633cos sin sin ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，2sin 2cos 2cos 2262633cos πππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦22171212()339sin πα⎛⎫=--=-⨯= ⎪⎝⎭．故选D ． 【点睛】本题主要考查了诱导公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．三角函数求值有三类，(1)“给角求值”；(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种系；(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．9．A解析：A 【分析】利用降次公式、二倍角公式和辅助角公式化简()f x ，由此求得()f x 的最大值. 【详解】依题意()1cos 233sin 2sin 2222222x f x x x x -=+=-+12cos 2226x x x π⎫⎛⎫=-+=-+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，所以()f x 22=. 故选：A 【点睛】本小题主要考查降次公式、二倍角公式和辅助角公式，考查三角函数的最值的求法，属于中档题.10．C解析：C 【分析】由余弦定理化简可得2222cos c b a a A b c bc bc ++=+，利用三角形面积公式可得2sin a A =，解得22cos 4sin(6c b a A A A b c bc π++=+=+)，利用正弦函数的图象和性质即可得解其最大值． 【详解】由余弦定理可得：2222cos b c a bc A +=+，故：22222222cos 22cos c b a a b c a bc A a A b c bc bc bc bc+++++===+，而2111sin 222ABC S bc A ah a ∆===，故2sin a A =，所以：2222cos 2cos 4sin()46c b a a A A A A b c bc bc π++=+=+=+． 故选C ． 【点睛】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．11．B解析：B 【分析】根据两角和与差的余弦函数的公式，联立方程组，求得13cos cos ,sin sin 210αβαβ==-，再结合三角函数的基本关系式，即可求解.【详解】由4cos()cos cos sin sin 5αβαβαβ+=-=，1cos()cos cos sin sin 5αβαβαβ-=+=，联立方程组，可得13cos cos ,sin sin 210αβαβ==-， 又由sin sin 3tan tan cos()cos cos 5αβαβαβαβ=+==-.故选：B. 【点睛】本题主要考查了两角和与差的余弦函数，以及三角函数的基本关系式的化简、求值，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.12．B解析：B 【分析】 取6πα=-判断①③，根据余弦函数的性质结合二倍角公式判断②.【详解】当6πα=-时，1sin 2sin ,sin sin ,sin 2sin 3262ππαααα⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭tan 2tan tan tan ,tan 2tan 363ππαααα⎛⎫⎛⎫=-==-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则①③错误；0||4πα<<，cos cos ||αα⎫∴=∈⎪⎪⎝⎭2cos 2cos 2cos cos 1(cos 1)(2cos 1)0αααααα∴-=--=-+<即cos2cos αα<，②正确； 故选：B 【点睛】本题主要考查了求余弦函数的值域以及二倍角的余弦公式的应用，属于中档题.二、填空题13．【分析】首先根据诱导公式将然后结合两角和正弦公式的逆用化简即可求值【详解】sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin77°co解析：2【分析】首先根据诱导公式将sin347cos77︒=-︒、cos148sin58︒=-︒，然后结合两角和正弦公式的逆用化简，即可求值 【详解】sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58° ＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58° ＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77° ＝sin(58°＋77°) ＝sin 135°＝2故答案为：2【点睛】本题考查了利用三角函数的诱导公式、两角和正弦公式化简求值，注意有大角要根据诱导公式将其转化为小角，进而应用三角恒等变换化简求值14．【分析】由且求得得到再结合两角和的正切公式即可求解【详解】因为且可得所以又由故答案为：【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式以及两角和的正切公式的化简求证其中解答中熟记三角函数的基本关系式和两角解析：17【分析】由4cos 5θ=，且,02πθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求得3sin 5θ=-，得到3tan 4θ=-，再结合两角和的正切公式，即可求解. 【详解】 因为4cos 5θ=，且,02πθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，可得3sin 5θ===-，所以sin 3tan cos 4θθθ==-， 又由311tan 14tan 341tan 714πθθθ-+⎛⎫+=== ⎪-⎝⎭+. 故答案为：17.【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式，以及两角和的正切公式的化简、求证，其中解答中熟记三角函数的基本关系式和两角和的正切公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.15．【分析】由已知式求出利用同角三角函数间的平方关系和商数关系将化为代入即可求值【详解】则故答案为：【点睛】本题考查了同角三角函数间的平方关系和商数关系正余弦其次式的计算二倍角的正弦公式属于中档题 解析：2425【分析】由已知式求出3tan 4α=-，利用同角三角函数间的平方关系和商数关系，将2sin 23cos +αα化为22tan 3tan 1αα++，代入即可求值. 【详解】4sin 3cos 0αα+=，3tan 4α∴=-，则22222sin cos 3cos sin 23cos sin cos ααααααα++=+ 22tan 3tan 1αα+=+232()343()14⨯-+=-+ 2425=. 故答案为：2425. 【点睛】本题考查了同角三角函数间的平方关系和商数关系，正、余弦其次式的计算，二倍角的正弦公式，属于中档题.16．【分析】先用辅助角公式函数化简为由偶函数的条件可知是函数的对称轴则又由求得的值【详解】由得因为是偶函数故为其对称轴则又因为所以故答案为：【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换三角函数的奇偶性对称性属于解析：4π【分析】先用辅助角公式函数化简为())4f x x πϕ=++，由偶函数的条件可知，0x =是函数的对称轴，则()42k k Z ππϕπ+=+∈，又由2πϕ<求得ϕ的值.【详解】由()()()sin cos ()2f x x x πϕϕϕ=+++<得())4f x x πϕ=++，因为()f x 是偶函数，故0x =为其对称轴，()42k k Z ππϕπ+=+∈，则()4k k ϕπ=π+∈Z ， 又因为2πϕ<，所以4πϕ=.故答案为：4π. 【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的奇偶性，对称性，属于中档题.17．4【分析】采用二倍角公式和诱导公式转化为关于的二次函数再结合二次函数图像求解即可【详解】令则原函数等价于对称轴为画出大致图像如图：显然在时取到最大值所以函数最大值为4故答案为：4【点睛】本题考查诱导解析：4 【分析】采用二倍角公式和诱导公式转化为关于cos x 的二次函数，再结合二次函数图像求解即可 【详解】22()3sin cos 23cos 2cos 12cos 3cos 12f x x x x x x x π⎛⎫=++=+-=+- ⎪⎝⎭，令cos t x =[]11t ,∈-，则原函数等价于()2231f t t t =+-，对称轴为34t =-，画出大致图像，如图：显然在1t =时取到最大值，()max 4f t =，所以函数()3sin cos22f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭最大值为4故答案为：4 【点睛】本题考查诱导公式，二倍角公式的应用，二次函数型三角函数最值的求解，属于中档题18．【分析】利用同角三角函数的基本关系式求得的值由的值【详解】依题意则所以所以所以故答案为：【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式考查两角差的正弦公式考查化归与转化的数学思想方法属于基础题 3【分析】利用同角三角函数的基本关系式求得()sin ,sin ααβ-的值，由()sin sin βααβ=--⎡⎤⎣⎦的值. 【详解】 依题意02πβα<<<，则02πβ>->-，所以02παβ<-<，所以243sin 1cos αα=-=，()()233sin 1cos αβαβ-=--=()sin sin βααβ=--⎡⎤⎣⎦()()sin cos cos sin ααβααβ=---1317147147142=⨯-⨯==⨯.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的正弦公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.19．（答案不唯一）【分析】根据函数为偶函数有化简得对任意恒成立所以有取其中一个值即可得出答案【详解】解：因为函数为偶函数则所以所以等价于对任意恒成立所以所以所以常数的一个取值为故答案为：（答案不唯一）【解析：π2（答案不唯一） 【分析】根据函数为偶函数有()()f x f x =-，化简得sin cos 0x ϕ=对任意x 恒成立，所以有()2k k Z πϕπ=+∈，取其中一个值即可得出答案.【详解】解：因为函数()sin()cos f x x x ϕ=++为偶函数，则()()f x f x =- 所以sin()cos sin()cos()x x x x ϕϕ++=-++-所以sin cos cos sin cos sin()cos cos()sin cos x x x x x x ϕϕϕϕ++=-+-+ 等价于sin cos 0x ϕ=对任意x 恒成立，所以cos 0ϕ=， 所以()2k k Z πϕπ=+∈，所以常数ϕ的一个取值为π2. 故答案为：π2（答案不唯一） 【点睛】应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法（1）求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解；（2）求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性构造关于()f x 的方程(组)，从而得到()f x 的解析式；（3）求函数解析式中参数的值：利用待定系数法求解，根据()()0f x f x ±-=得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值； （4）画函数图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.20．7【分析】根据角终边定义得将所求分式用倍角公式和差公式化简化为齐次式代化简即可【详解】解：由角的终边经过点得所以故答案为：7【点睛】任意角的三角函数值：（1）角与单位圆交点则；（2）角终边任意一点则；解析：7 【分析】根据角终边定义得3tan 4θ=-，将所求分式用倍角公式、和差公式化简，化为齐次式，代3tan 4θ=-化简即可.【详解】解：由角θ的终边经过点(4,3)P -得3tan 4θ=-所以222cos sin 1(2cos 1)sin cos sin 22sin cos )coscos sin )444-----==+++θθθθθθπππθθθθθ31cos sin 1tan 473sin cos tan 114θθθθθθ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭====++-+.故答案为：7 【点睛】任意角的三角函数值：（1）角α与单位圆交点(,)P x y ，则sin ,cos ,tan (0)yy x x xααα===≠； （2）角α终边任意一点(,)P x y，则sin tan (0)yx xααα===≠； 三、解答题21．（1）,24ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，值域,122⎤+⎥⎣⎦；（2）024sin 310x +⎛⎫= ⎪⎝⎭. 【分析】（1）先利用诱导公式和降幂公式可将()f x 化为()2sin 33x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭数的性质可得函数的单调区间和值域.（2）利用两角差的正弦公式可求02sin 3x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值. 【详解】①2()sin cos 1cos 333x x x f x ⎫=++⎪⎝⎭2sin 33x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由2222332x k k πππππ-≤+≤+得53344k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈， 又2x ππ-≤≤，所以()f x 的递增区间为,24ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 又2x ππ-≤≤，故2033x ππ≤+≤，所以20sin 133x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，()f x ∴值域为1⎤+⎥⎣⎦.②由024()sin 33252x f x π⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭得024sin 335x π⎛⎫+=⎪⎝⎭， 因04x ππ≤≤，所以02233x πππ≤+≤，故023cos 335x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭00002222sin sin sin cos cos sin 3333333333x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦4134525210+=⨯+⨯=. 【点睛】方法点睛：形如()22sinsin cos cos f x A x B x x C x ωωωω=++的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为()()'sin 2'f x A x B ωϕ=++的形式，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、对称轴方程和对称中心等．三角函数的化简求值问题，可以从四个角度去分析：（1）看函数名的差异；（2）看结构的差异；（3）看角的差异；（4）看次数的差异．对应的方法是：弦切互化法、辅助角公式（或公式的逆用）、角的分拆与整合（用已知的角表示未知的角）、升幂降幂法． 22．答案见解析 【分析】选条件①，则根据三角函数定义得cosα=，sin α=，进而根据二倍角公式得3cos25α=-，4sin 25α=，再结合余弦的和角公式求解即可；选条件②，由三角函数单位圆的定义得1cos 3α=，sin α=，进而根据二倍角公式得7cos 29α=-，sin 29α=，再结合余弦的和角公式求解即可；选条件③，由二倍角公式得222sin 42tan 22cos 22sin 212tan 2ααααα==--，并结合题意得1tan 22α=，故cos 2α=，sin 2α=【详解】解：方案一：选条件①. 由题意可知2cos ||OM α===4sin ||OM α===. 所以23cos 22cos 15αα=-=-，4sin 22sin cos 5ααα==.所以cos 2cos 2cos sin 2sin 333πππααα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭314525=-⨯-310+=-. 方案二：选条件②.因为角α的终边与单位圆的交点在第一象限且横坐标为13，所以1cos 3α=，sin 3α==.所以27cos 22cos 19αα=-=-，sin 22sin cos 9ααα==.所以cos 2cos 2cos sin 2sin 333πππααα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭719292=-⨯-⨯=. 方案三：选条件③.22222sin 42sin 2cos 22tan 22cos 22sin 2cos 22sin 212tan 2ααααααααα===---，结合2α为锐角，解得1tan 22α=， 所以cos 2α=，sin 2α=. 所以cos 2cos 2cos sin 2sin 333πππααα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭12==. 【点睛】本题解题的关键在于根据三角函数的定义求得cos ,sin αα，进而根据三角恒等变换求解，考查运算求解能力，是基础题. 23．（1）21100；（2）11m m+-. 【分析】（1）由三角函数定义求得cos θ，再由同角间三角函数关系求得sin θ，tan θ，用二倍角公式得sin 2θ后可得结论；（2）由角的关系得8545θα+︒=+︒，利用两角和的正切公式可求得tan(85)θ+︒． 【详解】解：（1）由题意得：4cos 5θ=-，且角θ为第二象限的角则3sin 5θ==，3tan 4θ=- ∴tan sin 2tan 2sin cos θθθθθ-=-334324212455425100⎛⎫=--⨯⨯-=-+= ⎪⎝⎭（2）由题意知40αθ=+︒，则40θα=-︒ 则()()tan 85tan 45θα+︒=+︒tan tan 451tan tan 45αα+︒=-︒11m m +=-． 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的定义，两角和与差的正切公式，二倍角公式，同角韹三角函数关系．解题确定角的关系是关键．由旋转得40αθ=+︒，则40θα=-︒，从而有8545θα+︒=+︒，再结合已知条件柯得结论．确定已知角和未知角的关系选用恰当的公式也是解题关键．24．（1 ；（2）415【分析】（1）先根据sin cos x x +的值和二者的平方关系联立求得 sin cos x x 的值，再把sin cos x x -平方即可求出；（2）结合（1）求sin x ，cos x 的值，最后利用商数关系求得tan x 的值，代入即可得解． 【详解】（1）∵sin cos x x +=， ∴21(sin cos )12sin cos 5x x x x +=+=， ∴2sin cos 5x x =-， ∵0πx <<，∴sin 0x >，cos 0x <，sin cos 0x x -> ∴249(sin cos )12sin cos 155x x x x -=-=+=，∴sin cos x x -=. （2）sin cos x x +=，sin cos x x -=解得sin 5x =，cos 5x =-， ∴sin tan 2cos xx x==- ∵4sin 25x =-，24sin 5x =，∴24sin 22sin 4551tan 81215x xx -++==-+． 【点睛】方法点睛：三角恒等常用的方法：三看（看角、看名、看式），三变（变角、变名、变式）.25．（1）,3x xx k k Z ππ⎧⎫∈=-+∈⎨⎬⎩⎭∣时，max ()2f x =；（2. 【分析】（1）利用两角和的余弦展开和正弦的降幂公式化简，再利用两角和的正弦写成()()sin f x A x ωϕ=+形式可求最值及对应的x 的值；（2）由3sin 265πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭和α的范围利用平方关系求出cos 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再利用凑角sin 2sin 266ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦可得答案.【详解】（1）1()cos 221cos 222f x x x x =-+-1sin 26x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 当2262x k πππ+=-+，即,3x x x k k Z ππ⎧⎫∈=-+∈⎨⎬⎩⎭∣时，max ()2f x =. （2）21sin 265πα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，3sin 265πα⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭， ,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，272,636πππα⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，4cos 265πα⎛⎫∴+==- ⎪⎝⎭341sin 2sin 266552ππαα⎡⎤-⎛⎫=+-=-⨯= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 【点睛】本题考查了三角函数的性质、三角函数的化简求值，关键点是正用两角和的余弦、正弦公式和逆用两角和的正弦公式，利用凑角求三角函数值，考查了学生的基础知识、基本运算能力.26．（11（2）5[,],1212k k k Z ππππ-+∈，π（3）6（4）15+ 【分析】（1）化简函数解析式代入直接求值即可；（2）由正弦型函数的性质求解即可； （3）先求出cos()3πα-，sin()3πα-再利用33ππαα=-+求解即可； （4）由两角差的正弦化简后再利用弦化切求解.【详解】 （1）2()sin 22sin 6f x x x π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭ sin2cos cos2sin 1cos 266x x x ππ⋅-⋅+-1cos21cos22x x x =-+-3cos212x x =-+213x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,故55sin()111263f πππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭.（2）由（1）知()213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,令222,232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈, 解得5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈, 所以函数()f x 的单调递增区间为5[,],1212k k k Z ππππ-+∈， 函数()f x 的周期为22T ππ==. （3）(0,)2πα∈，且()22f α=，())1223f απα=-+=，即sin()3πα-= 因为(0,)2πα∈，所以cos()33πα-=， 故sin sin[()]sin()cos cos()sin 333333ππππππαααα=-+=-+-12=+=（4）33()cos 2)1cos 2232f πββββ+=-++3sin 221cos 2222βββ=-++211β=+=+1=+1= 【点睛】关键点点睛：涉及三角函数的求值化简问题，关键要根据式子结构特征，选择合适的公式，正用、逆用公式，并结合切化弦、弦化切思想，角的变换技巧，灵活运用公式，熟练运算，属于中档题.。
(常考题)北师大版高中数学必修四第三章《三角恒等变形》检测题(包含答案解析)(1)
一、选择题1．已知sin cos sin cos θθθθ-=，则角θ所在的区间可能是（ ）．A ．0,4π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．3,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭2．已知sin 410πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，02πα<<，则tan α的值为（ ） A ．12-B ．12C ．2D ．12-或2 3．若()π,2πα∈，πcos sin 042αα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则πsin 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A． B ．0 CD．或0 4．在ΔABC 中,2sin (22c a Ba b c c -=、、分别为角A B C 、、的对边),则ΔABC 的形状为 A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形或直角三角形 D ．等腰直角三角形5．已知3cos 25α=，()0,2απ∈，则sin 4απ+⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） AB． CD． 6．设等差数列{}n a 满足：()22222222272718sin cos cos cos sin sin 1sin a a a a a a a a -+-=+，公差()1,0d ∈-．若当且仅当11n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是（ ） A ．9,10ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,10ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．9,10ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,10ππ⎛⎫⎪⎝⎭7．已知25cos2cos αα+=，()4cos 25αβ+=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3,22πβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则cos β的值为（ ） A ．45-B ．44125C ．44125-D ．458．已知α，β均为锐角，5cos()13αβ+=-，3sin()35πβ+=，则sin()3πα-=（ ）A ．3365B ．3365-C ．6365D ．56659．已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 5α=，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．17 B ．7C ．17-D ．-710．若函数()sin cos 2sin cos 1f x x x x x a =+-+-在3,44ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上有零点，则实数a 的取值范围（ ）A ．⎡⎤⎣⎦B ．94⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．⎡-⎣D ．94⎤⎥⎦11．在斜三角形ABC 中，sin A cos B·cos C ，且tan B·tan C ＝1，则角A 的值为( ) A ．4πB ．3π C ．2π D ．34π 12．设函数()f x =sin()cos()x x ωϕωϕ+++（ω＞0，||ϕ＜2π）的最小正周期为π，且()f x -=()f x ，则()f x （ ）A ．在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 B ．在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增D ．在3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增二、填空题13．给出下列命题：①()72cos 22f x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭是奇函数；②若α、β都是第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>；③38x π=-是函数33sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像的一条对称轴；④已知函数()23sin12xf x π=+，使()()f x c f x +=对任意x ∈R 都成立的正整数c 的最小值是2.其中正确命题的序号是______. 14．已知α满足1sin 3α=，那么ππcos cos 44αα⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为________. 15．若函数2sin cos 66y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭图象各点的横坐标缩短为原来的一半，再向左平移24π个单位，得到的函数图象离原点最近的的对称中心是______．16．已知cosα17=，cos(α﹣β)1314=，且0<β<α2π<，则sinβ=_____.17．下列判断正确的有___________. ①如果θ是第一象限角，那么恒有sin02θ>；②sin 200a ︒=，则tan 200︒=③若()f x 的定义域为R ，周期为4，且满足()()f x f x -=-，则()f x 在[4,8]x ∈-至少有7个零点； ④若0,,0,66x y ππ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且cos tan x y x ⋅=，则x y <. 18．化简4cos80︒︒=________.19．在半径为2的半圆形钢板上截取一块面积最大的矩形，则最大面积是________.20．已知角θ的终边经过点(4,3)P -，则22cos sin 12)4--=+θθπθ_____________．三、解答题21．设函数()2cos 22sin 3f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 取得最大值时的自变量x 的值； （2）求函数()f x 的单调递增区间.22．已知函数2()2cos 1cos (01)f x x x x ωωωω=-+<<，直线3x π=是函数f (x )的图象的一条对称轴.（1）求函数f (x )的单调递增区间;（2）已知函数y =g (x )的图象是由y =f (x )的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移23π个单位长度得到的，若6(2),(0,),352g ππαα+=∈求sin α的值.23．（1）若角α的终边上有一点()1,3P ，求值：()()cos sin 32cos sin 22απαππαα-+-⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）计算ln 229lg 20lg 2log 3log 162sin 330e-+⋅-+︒.24．如图，在Rt ACB 中，斜边2AB =，1BC =，在以AB 为直径的半圆上有一点D （不含端点），DAB θ∠=，设ABD △的面积1S ，ACD △的面积2S .（1）若2l S S =，求θ；（2）令12S S S =-，求S 的最大值及此时的θ. 25．求值：（1）cos540tan 225cos(330)sin(240)︒︒︒︒+--+-；（2）1cos201sin10tan 52sin 20tan 5︒︒︒︒︒+⎛⎫-- ⎪⎝⎭26．在①364f π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，②()f x 的最大值在12x π=处取到，③当()()121f x f x -=，则12min 2x x π-=这三个条件中任选一个，补充并解答下面问题．问题：已知函数()sin cos 3f x x x πωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，(]0,3ω∈．若_______，求实数ω的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】先化简已知得22sin sin24πθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，然后根据各个选项确定等式两端的取值范围从而得到答案. 【详解】由sin cos sin cos θθθθ-=得，22sin sin24πθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 对于A ， 当0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，,044ππθ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，sin 04πθ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，而0,22θπ⎛⎫⎪⎝⎭∈，sin20θ>，两个式子不可能相等，故错误； 对于B ，当,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0,44ππθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，sin 4πθ⎛⎛⎫-∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，()0,24πθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ ，22,ππθ∈⎛⎫⎪⎝⎭，()sin20,1θ∈，存在θ使得sin24πθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故正确；对于C ， 3,24ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，42,4πππθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，sin 42πθ⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2,4πθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，而3,22πθπ⎛∈⎫⎪⎝⎭，()sin21,0θ∈-，不可能相等，所以错误；对于D ， 当3,4πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，3,424πππθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，sin 42πθ⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2,4πθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，而3,222ππθ⎛∈⎫⎪⎝⎭，()sin21,0θ∈-，不可能相等，所以错误 故选：B. 【点睛】本题主要考查了三角恒等式的应用，三角函数在各象限内的符号，关键点是根据各个选项确定等号两端式子的取值范围，考查了学生分析问题、解决问题的能力.2．C解析：C 【分析】由同角间的三角函数关系先求得cos()4πα-，再得tan()4πα-，然后由两角和的正切公式可求得tan α． 【详解】 ∵02πα<<，∴444πππα-<-<，∴cos 4πα⎛⎫-=⎪⎝⎭ ∴sin 14tan 43cos 4παπαπα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭，∴tan tan 44ππαα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1tan 11432111tan 34παπα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭===⎛⎫--- ⎪⎝⎭.故选：C ． 【点睛】思路点睛：本题考查三角函数的求值．考查同角间的三角函数关系，两角和的正切公式．三角函数求值时首先找到“已知角”和“未知角”之间的联系，选用恰当的公式进行化简求值．注意三角公式中“单角”与“复角”的区别与联系，它们是相对的．不同的场景充当的角色可能不一样．如题中4πα-在tan tan4tan 41tan tan 4παπαπα-⎛⎫-=⎪⎝⎭+作为复角，但在tan tan 44ππαα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦中充当“单角”角色．3．B解析：B 【分析】根据题意，化简得到cos sin 222αα+=-，所以3,24αππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，取得1sin 2α=-，再利用三角函数的基本关系式和两角和的正弦函数公式，即可求解. 【详解】由cos sin 042παα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，可得22cos sin cos sin 02222αααα⎫-+-=⎪⎝⎭，即cossincos sin 022222αααα⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为(),2αππ∈，所以,22αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos sin 022αα-≠，解得cos sin222αα+=-，所以3,24αππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以11sin 2α+=，所以1sin 2α=-， 又3,22παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以cos 2α==，所以π11sin 062222α⎛⎫+=-+⨯= ⎪⎝⎭. 【点睛】三角函数的化简求值的规律总结：1、给角求值：一般给出的角是非特殊角，要观察所给角与特殊角的关系，利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题；2、给值求值：即给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使相关角相同或具有某种关系；3、给值求角：实质上可转化为“给值求值”即通过求角的某个三角函数值来求角（注意角的范围）.4．A解析：A 【解析】依题意，利用正弦定理及二倍角公式得sin sin 1cos 2sin 2C A BC --=，即sin sin cos A C B =，又()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，故sin cos 0B C =，三角形中sin 0B ≠，故πcos 0,2C C ==，故三角形为直角三角形，故选A. 5．C解析：C 【分析】 根据2α是4α的二倍角求出sin α的值，再求cos 4α和sin 4απ+⎛⎫⎪⎝⎭的值. 【详解】因为2α是4α的二倍角，所以2311cos 152sin 4225αα--===， 又()0,2απ∈，所以0,42a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 44αα===cos所以sin sin sin cos cos sin 4444445252104απαπαπαπ+⎛⎫⎛⎫=+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C. 【点睛】 本题考查了二倍角的余弦公式，考查了同角公式，考查了两角和的正弦公式，属于中档题.6．D解析：D 【解析】因为22222222272718sin cos cos cos sin sin 1sin()a a a a a a a a -+-=+，所以由余弦二倍角公式、平方差公式及两角和与差的余弦公式可得2272718cos 2cos()cos()1sin()a a a a a a a -+-+=+，再运用积化和差公式可得227181cos 2[cos 2cos 2]21sin()a a a a a -++=+，即72181[cos 2cos 2]21sin()a a a a -=+，再由差化积公式可得727218sin()sin()1sin()a a a a a a --+=+．由于{}n a 是等差数列，因此1827a a a a +=+，即1827sin()sin()a a a a +=+，所以72sin()1a a -=-即sin51d =-注意到()1,0d ∈-，则()55,0d ∈-，所以5210d d ππ=-⇒=-，故对称轴方程故等差数列的前n 项和是1(1)2n n n S na d -=+，即221()()222020n d d S n a n n a n ππ=+-=-++，其对称轴是1202a n ππ+=，由题设可得1202123222a ππ+<<，即11110a ππ<<，应选答案D ．点睛：解答本题的关键是先借助三角变换中的两角和差的余弦公式、余弦二倍角公式、积化和差与和差化积公式等三角变换公式进行化简，再借助差数列的定义和性质求出等差数列的公差10d π=-，然后将等差数列的前n 项和公式1(1)2n n n S na d -=+变形为221()()222020n d d S n a n n a n ππ=+-=-++，借助对称轴11n =的位置建立不等式组1202123222a ππ+<<，进而求得数列首项的取值范围是11110a ππ<<． 7．B解析：B 【分析】先根据二倍角余弦公式求cos α，解得cos2α，最后根据两角差余弦公式得结果. 【详解】2125cos2cos 10cos cos 30cos 2ααααα+=∴--=∴=-或35因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3cos 5α=22443247sin ,sin 22,cos 2cos sin 5552525ααααα∴==⨯⨯==-=-,42ππα⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭()()43cos 2,2(2,3)sin 255αβαβππαβ+=+∈∴+=cos cos(22)cos(2)cos 2sin(2)sin 2βαβααβααβα∴=+-=+++4732444525525125=-⨯+⨯=故选：B 【点睛】本题考查二倍角余弦公式、两角差余弦公式，考查基本分析求解能力，属中档题.8．B解析：B 【分析】由所给三角函数值利用同角三角函数的关系求出()sin αβ+、cos 3πβ⎛⎫+⎪⎝⎭，3πα-记为()3παββ⎛⎫+-+⎪⎝⎭，利用两角差的正弦公式展开代入相应值计算即可.【详解】α，β均为锐角，5cos()013αβ+=-<，,2παβπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，∴()12sin 13αβ+==，β均为锐角，5,336πππβ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，则1cos 322πβ⎛⎫⎛⎫+∈- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4cos 35πβ⎛⎫∴+==- ⎪⎝⎭或45（4152>，舍去），()sin()sin 33ππααββ⎡⎤⎛⎫∴-=+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()sin cos cos sin 33ππαββαββ⎛⎫⎛⎫=+⋅+-+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭124533313513565⎛⎫⎛⎫=⨯---⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：B 【点睛】本题考查同角三角函数的关系、两角差的正弦公式、三角函数在各象限的符号，属于中档题.9．A解析：A 【分析】根据角的范围以及平方关系求出4cos ,5α=-再利用商的关系求出3tan 4α=-，最后由两角和的正切公式可得答案. 【详解】因为,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，3sin 5α=，所以4cos ,5α==-sin 3tan cos 4ααα==-， tan tan4tan 41tan tan 4παπαπα+⎛⎫+== ⎪⎝⎭-⋅17 故选：A. 【点睛】本题主要考查平方关系、商的关系以及两角和的正切公式，属于基础题.10．A解析：A 【分析】由题意结合函数零点的概念可得方程1sin cos 2sin cos a x x x x -=+-在3,44ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上有解，令sin cos 2sin cos y x x x x =+-，通过换元法求得y 在3,44ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的值域即可得解. 【详解】因为函数()sin cos 2sin cos 1f x x x x x a =+-+-在3,44ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上有零点， 所以方程1sin cos 2sin cos a x x x x -=+-在3,44ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上有解，设sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，3,44x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，∴,204x ππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，∴t ⎡⎤∈⎣⎦，212sin cos t x x =+，∴2215sin cos 2sin cos 124y x x x x t t t ⎛⎫=+-=-+=--+ ⎪⎝⎭， 当0t =时，y 取得最大值1，当t =y取得最小值1-，故可得111a ≤-≤，∴2a ≤≤. 故选：A. 【点睛】本题考查了函数与方程的综合应用，考查了三角函数的性质及三角恒等变换的应用，考查了逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题.11．A解析：A 【详解】由tan tan 1B C =可得sin sin (1cos cos B C B C =，进而得cos cos A C B =，由于sin cos A B C =， 所以sin cos A A =，可得4A π=,故选A.12．A解析：A 【分析】由题意结合三角恒等变换得()+4f x x πωϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由三角函数的性质可得ω、ϕ，再由三角函数的图象与性质即可得解.【详解】由题意()sin()cos()+4f x x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+++=+ ⎪⎝⎭，因为函数()f x 的最小正周期为π，且()f x -=()f x ， 所以2ππω=，且+4πϕ=,2k k Z ππ+∈，解得ω=2，ϕ=,4k k Z ππ+∈，又||ϕ<2π，所以ϕ=4π，所以()f x =2+2x π⎛⎫⎪⎝⎭2x ， 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()20,x π∈，故()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故A 正确，C 错误； 当3,44x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，2,232x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，故B 、D 错误. 故选：A. 【点睛】本题考查了三角函数图象与性质的综合应用，考查了三角恒等变换的应用，牢记三角函数图象的特征是解题关键，属于中档题.二、填空题13．①③④【分析】对①化简得可判断；对②取特殊值可说明；对③代入求值可判断；对④化简求出其最小正周期即可判断【详解】对①是奇函数故①正确；对②如但故②错误；对③当时取得最大值故③正确；对④则的最小正周期解析：①③④ 【分析】 对①，化简得()()2sin 2f x x =可判断；对②，取特殊值可说明；对③，代入38x π=-求值可判断；对④，化简()f x ，求出其最小正周期即可判断. 【详解】 对①，()()72cos 22sin 22f x x x π⎛⎫=--= ⎪⎝⎭是奇函数，故①正确； 对②，如7,33ππαβ==，但tan tan αβ=，故②错误； 对③，当38x π=-时，333sin 2384y ππ⎡⎤⎛⎫=⨯--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，取得最大值，故③正确； 对④，()()2353sin1cos 222xf x x ππ=+=-+，则()f x 的最小正周期为22ππ=，则c 的最小值是2，故④正确. 故答案为：①③④. 【点睛】本题考查三角函数奇偶性的判断，考查三角函数的单调性和对称性以及周期性，解题的关键是正确化简，正确理解三角函数的性质.14．【分析】化简原式为即得解【详解】由题得故答案为：【点睛】本题主要考查和角差角的余弦考查二倍角的余弦意在考查学生对这些知识的理解掌握水平 解析：718【分析】 化简原式为21(12sin )2α-，即得解. 【详解】 由题得cos()cos()sin )+sin )4422ππαααααα+-=-⋅222111(cos sin )cos 2(12sin )222αααα=-==- 117(12)2918=-⨯=.故答案为：718【点睛】本题主要考查和角差角的余弦，考查二倍角的余弦，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15．【分析】由二倍角公式化简函数式然后由三角函数图象变换得新解析式结合正弦函数性质得对称中心【详解】由题意经过图象变换后新函数解析式为由绝对值最小的是因此所求对称中心为故答案为：【点睛】本题考查三角函数 解析：(),024π【分析】由二倍角公式化简函数式，然后由三角函数图象变换得新解析式，结合正弦函数性质得对称中心． 【详解】 由题意sin(2)3y x π=-，经过图象变换后新函数解析式为sin[4()]sin(4)2436y x x πππ=+-=-，由46x k ππ-=，424k x ππ=+，k Z ∈，绝对值最小的是24x π=，因此所求对称中心为(),024π．故答案为：(),024π．【点睛】本题考查三角函数的图象变换，考查正弦函数的性质，考查二倍角公式，掌握正弦函数性质是解题关键．16．【分析】利用同角三角函数的基本关系式求得的值由的值【详解】依题意则所以所以所以故答案为：【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式考查两角差的正弦公式考查化归与转化的数学思想方法属于基础题【分析】利用同角三角函数的基本关系式求得()sin ,sin ααβ-的值，由()sin sin βααβ=--⎡⎤⎣⎦的值. 【详解】 依题意02πβα<<<，则02πβ>->-，所以02παβ<-<，所以sin α==，()sin αβ-==()sin sin βααβ=--⎡⎤⎣⎦()()sin cos cos sin ααβααβ=---1317147147142=⨯-⨯==⨯.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的正弦公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.17．③【分析】①利用来判断；②利用来判断；③通过来判断；④通过当时有恒成立来判断【详解】解：①由已知则此时在第一或第三象限有可能小于零错误；②是第三象限角所以则与矛盾错误；③由已知为奇函数故则又所以则有解析：③ 【分析】 ①利用24k k θπππ来判断；②利用sin 2000a ︒=<来判断； ③通过(0)0f =，(2)0f =来判断； ④通过当0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有tan sin ααα>>恒成立来判断. 【详解】 解：①由已知22,2k k k Z ππθπ，则,24k k kZ θπππ，此时2θ在第一或第三象限，sin2θ有可能小于零，错误；②200︒是第三象限角，所以sin 2000a ︒=<， 则tan 2000︒=<，与tan 2000︒>矛盾，错误；③由已知()f x 为奇函数，故(0)0f =，则(4)(4)(8)(0)0f f f f -====， 又(2)(24)(2)(2)f f f f =-=-=-，所以(2)0f =，则有(2)(2)(6)0f f f =-==， 则()f x 在[4,8]x ∈-至少有7个零点，正确；④当0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有tan sin ααα>>恒成立，证明：单位圆中当0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，如图点P 为角α的终边与单位圆的交点，由图可知OPA 的面积小<扇形OPA 的面积小<OTA 的面积 则211111sin 111tan 222ααα⋅⋅⋅<⋅⋅<⋅⋅⋅，整理得tan sin ααα>>. 若0,,0,66x y ππ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，tan cos tan tan x x x y y >=⋅>，所以x y >，故错误. 故答案为：③ 【点睛】本题考查函数周期性的应用，考查当0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有tan sin ααα>>恒成立这个性质的灵活应用，考查角所在象限和三角函数值符号的关系，是中档题.18．1【分析】利用诱导公式得到通分整理后由利用两角差的正弦公式展开化简后得到答案【详解】故答案为：【点睛】本题考查诱导公式进行化简求值利用两角差的正弦公式进行化简求值属于中档题解析：1 【分析】利用诱导公式，得到cos80sin10︒︒=，通分整理后，由()sin 20sin 3010︒︒︒=-，利用两角差的正弦公式，展开化简后，得到答案. 【详解】4cos803︒︒2sin 203sin10︒︒+=()2sin 30103cos10︒︒︒︒-=2sin 30cos102sin10cos303sin10︒︒︒︒︒-+=cos1033cos110︒︒︒︒+==. 故答案为：1. 【点睛】本题考查诱导公式进行化简求值，利用两角差的正弦公式进行化简求值，属于中档题.19．4【分析】做出图像由三角函数定义设其中一个顶点坐标从而表示矩形的长与宽进而表示面积求出最大值【详解】由题可构建图像根据三角函数的定义可知所以矩形的面积当时故答案为：4【点睛】本题考查三角函数定义的实解析：4 【分析】做出图像，由三角函数定义设其中一个顶点坐标，从而表示矩形的长与宽，进而表示面积，求出最大值. 【详解】 由题可构建图像根据三角函数的定义，可知()2cos ,2sin A αα 所以矩形的面积4cos 2sin 4sin2S ααα=⋅= 当4πα=时，max 4sin 244S π⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭故答案为：4 【点睛】本题考查三角函数定义的实际应用，注意建模，再借助三角函数求最值，属于中档题.20．7【分析】根据角终边定义得将所求分式用倍角公式和差公式化简化为齐次式代化简即可【详解】解：由角的终边经过点得所以故答案为：7【点睛】任意角的三角函数值：（1）角与单位圆交点则；（2）角终边任意一点则；解析：7 【分析】根据角终边定义得3tan 4θ=-，将所求分式用倍角公式、和差公式化简，化为齐次式，代3tan 4θ=-化简即可.【详解】解：由角θ的终边经过点(4,3)P -得3tan 4θ=-所以222cos sin 1(2cos 1)sin cos sin 22sin cos 2)2(sin coscos sin )444-----==+++θθθθθθπππθθθθθ31cos sin 1tan 473sin cos tan 114θθθθθθ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭====++-+.故答案为：7 【点睛】任意角的三角函数值：（1）角α与单位圆交点(,)P x y ，则sin ,cos ,tan (0)yy x x xααα===≠； （2）角α终边任意一点(,)P x y，则sin tan (0)yx xααα===≠； 三、解答题21．（1）π3x k π=-，k Z ∈时，()f x 取得最大值；（2）()2,63k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z . 【分析】（1）利用两角和的余弦公式、二倍角公式、辅助角公式对()f x 化简，再利用三角函数性质即可求解；（2）由（1）知()sin 216f x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，解不等式3222262k x k πππππ+≤+≤+，k Z ∈即可求解.【详解】（1）()1cos 221cos 222f x x x x =-+-sin 216x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，所以当sin 216x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即2262x k πππ+=-，k Z ∈，即π3x k π=-，k Z ∈时，()f x 取得最大值.（2）由（1）知，()sin 216f x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭， 要求其单调单增区间，只需求sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递减区间， 令3222262k x k πππππ+≤+≤+，k Z ∈， 解得：263k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈所以()f x 的单调递增区间为()2,63k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z . 【点睛】方法点睛：已知三角函数的解析式求单调区间先将解析式化为()sin y A ωx φ=+或()cos y A x ωϕ=+()0,0A ω>>的形式，然后将x ωϕ+看成一个整体，根据sin y x =与cos y x =的单调区间列不等式求解.22．（1）22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2【分析】（1）首先化简函数()2sin 26f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，再根据3x π=是函数的一条对称轴，代入求ω，再求函数的单调递增区间；（2）先根据函数图象变换得到()12cos2g x x =，并代入6(2)35g πα+=后，得3cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再利用角的变换求sin α的值.【详解】（1）()cos 222sin 26f x x x x πωωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 当3x π=时，2,362k k Z πππωπ⨯+=+∈，得13,22kk Z ω=+∈， 01ω<<，12ω∴=， 即()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令22262k x k πππππ-+≤+≤+，解得：22233k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈， 函数的单调递增区间是22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）()1212sin 2cos 2362g x x x ππ⎡⎤⎛⎫=++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 622cos 365g ππαα⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得3cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2,663πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，4sin 65πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭， sin sin sin cos cos sin 666666ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦4313525210=⨯-⨯=【点睛】方法点睛：本题考查函数的图象变换，以及()sin y A ωx φ=+的性质，属于中档题型，()sin y A x ϕ=+的横坐标伸长（或缩短）到原来的1ω倍，得到函数的解析式是()sin y A ωx φ=+，若sin y A x ω=向右（或左）平移ϕ（0ϕ>）个单位，得到函数的解析式是()sin y A x ωϕ=-⎡⎤⎣⎦或()sin y A x ωϕ=+⎡⎤⎣⎦. 23．（1）47-；（2）0. 【分析】（1）由三角函数定义求得tan α，用诱导公式化简后利用商数关系化为tan α的式子，代入tan α可得．（2）由对数的运算法则和诱导公式、特殊值的正弦函数计算． 【详解】解：（1）由已知3tan 31α，原式cos sin 1tan 42sin cos 2tan 17αααααα++==-=---+；（2）原式()242320lg log 3log 222sin 302=+⋅-+-︒ 231lg1032log 2222log ⎛⎫=+⋅-+- ⎪⎝⎭12210=+--=．【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的定义，考查诱导公式和同角间的三角函数关系，考查对数的运算法则．在三角函数求值中如果遇到关于sin ,cos αα的齐次式，一般利用商数关系化为tan α的代数式，代入tan α求值．当角比较复杂时利用诱导公式化简是首先需要考虑的问题．24．（1）3πθ=；（2）512πθ=，S 有最大值12-. 【分析】由已知可得11sin 22S AD BD θ=⨯⨯=，21sin 26S AD CF πθθ⎛⎫=⨯⨯=+ ⎪⎝⎭.（1）根据12S S 解sin 2sin 6πθθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可得答案；（2）由sin 23cos sin 6S πθθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭化简为13sin 223πθ⎛⎫--⎪⎝⎭，根据θ的范围可得答案. 【详解】因为Rt ACB △中，2AB =，1BC =， 所以3AC =，6BAC π∠=，3ABC π∠=.又因为D 为以AB 为直径的半圆上一点， 所以2ADB π∠=.在Rt ADB 中，2cos AD θ=，2sin BD θ=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 作CF AD ⊥于点F ，则36CF πθ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 1112cos 2sin sin 222S AD BD θθθ=⨯⨯=⨯⨯=，2112cos 33sin 2266S AD CF ππθθθθ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯=⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （1）若12S S ，则sin 23sin 6πθθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为cos 0θ≠， 所以2sin 36πθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 所以332sin sin 2θθθ=+，整理得13sin 2θθ=， 所以tan 3θ=3πθ=.（2）sin 23sin 6S πθθθ⎛⎫=-+⎪⎝⎭1sin2cos2θθθθ⎫=+⎪⎪⎝⎭3sin2sin2cos2)4θθθ=-+1sin224θθ=-1sin223πθ⎛⎫=-⎪⎝⎭因为02πθ<<，所以22333πππθ-<-<，当232ππθ-=时，即512πθ=，S有最大值124-.【点睛】本题考查了三角函数的性质和解三角形，关键点是利用已知得到1sin2Sθ=，2sin6Sπθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，正确的利用两角和与差的正弦公式得到函数表达式()()sinf x A xωϕ=+的形式，考查了运算能力.25．（1）0（2）2【分析】（1）利用诱导公式化简，即可求解；（2）先利用二倍角公式化简1cos202sin20︒︒+，由切化弦化1tan5tan5︒︒-，通分后利用两角差的正弦公式展开即可化简求值.【详解】利用（1）原式cos(3180)tan45cos30sin60110;22︒︒︒=⨯︒+-+=-+-+=（2）原式=22cos10cos5sin5sin10()4sin10cos10sin5cos5︒︒︒=-︒-︒︒︒︒22cos10cos5sin5cos10cos10cos10sin10sin102cos1012sin10sin5cos52sin102sin10sin102︒︒-︒︒︒︒=-︒=-︒⋅=-︒︒︒︒︒︒︒cos102sin20cos102sin(3010)2sin102sin10︒-︒︒-︒-︒==︒︒1cos102(cos10)222sin10︒︒︒︒-=== 【点睛】关键点点睛：三角函数化简求值，需要根据式子的结构特征选择合适的公式，并且要注意公式的正用、逆用，特别是复杂式子的灵活运用，属于难题.26．①64f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，1ω=； ②()f x 的最大值在12x π=处取到，1ω=；③当()()121f x f x -=，则12min 2x x π-=，1ω=.【分析】 可先利用倍角公式将()f x 化简为()sin A x B ωϕ++的形式，再利用其性质逐一求解.【详解】()sin cos 3f x x x πωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1sin cos 2x x x ωωω⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭21sin cos 2x x x ωωω=⋅11cos 2sin 242x x ωω-=11sin 2222x x ωω⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭1sin 2234x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. 选①64f π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则sin 033ωππ-⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()33k k Z ωπππ-+=∈ 解得13k ω=-，(]0,3ω∈，1ω∴= 选②()f x 的最大值在12x π=处取到，则有sin 163ωππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ()2632k k Z ωππππ+=+∈112k ω=+，(]0,3ω∈，1ω∴=选③当()()121f x f x -=，则12min 2x x π-= 代入可得1211sin 2sin 212323x x ππωω⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 12sin 2sin 2233x x ππωω⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12min 2x x π-=意味着函数()sin 23g x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭的相邻两条对称轴距离为2π T π∴=22T πππωω∴=== 1ω∴=【点睛】方法点睛：对于三角函数，解决最小正周期和最值，单调区间，对称轴等问题时，可先把所给三角函数式化为()sin A x B ωϕ++或()cos A x B ωϕ++的形式，再利用其性质求解.它们的最小正周期为2T πω=，最大值为A B +，最小值为A B -+.。
北师大版 高考数学总复习 三角恒等变形 阶段测评(三)
阶段测评(三)时间：90分钟 满分：120分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．sin 15°cos 75°＋cos 15°sin75°等于( ) A ．0 B.12 C.32 D ．1解析：sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 75°＝sin(15°＋75°)＝sin 90°＝1. 答案：D2．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan 2α的值为( ) A ．－47 B.47 C.18 D ．－18 解析：∵α＋β＋(α－β)＝2α， ∴tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)] ＝tan (α＋β)＋tan (α－β)1－tan (α＋β)tan (α－β)＝3＋51－15＝8－14＝－47.答案：A3.⎝⎛⎭⎪⎫cos π12－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12等于( ) A ．－32 B ．－12 C.12 D.32 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12＝cos 2π12－sin 2π12＝1＋cos π62－1－cos π62＝cos π6＝32. 答案：D4．已知sin(α＋45°)＝55，则sin 2α等于( ) A ．－45 B ．－35 C.35 D.45解析：cos 2(α＋45°)＝1－2sin 2(α＋45°)＝35cos 2(α＋45°)＝cos(2α＋90°)＝－sin 2α ∴sin 2α＝－35. 答案：B5．若α∈(0，π)，且cos α＋sin α＝－13，则cos 2α＝( ) A.179 B ．±179 C ．－179 D.173 解析：∵(cos α＋sin α)2＋(cos α－sin α)2＝2 ∴(cos α－sin α)2＝2－19＝179又∵α∈(0，π)，cos α＋sin α<0，∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴cos α－sin α<0，∴cos α－sin α＝－173. cos 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×⎝⎛⎭⎪⎫－173＝179. 答案：A6．在△ABC 中，cos A cos B >sin A sin B ，则△ABC 为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．无法判定解析：cos A cos B －sin A sin B >0，cos(A ＋B )>0 cos C ＝－cos(A ＋B )<0，∴∠C 为钝角，故选C. 答案：C7．设a ＝12cos 6°－32 sin 6°，b ＝2tan 15°1－tan 215°， c ＝1－cos 50°2，则有( ) A ．a >b >c B ．a <b <c C ．b <c <a D ．a <c <b 解析：∵a ＝12cos 6°－32sin 6°＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin 24°<12， b ＝2tan 15°1－tan 215°＝tan 30°>12， c ＝1－cos 50°2＝ sin 225°＝sin 25°<12，sin 25°>sin 24°.∴b >c >a . 答案：D8．已知函数f (x )＝(1＋cos 2x )sin 2x ，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数 D ．最小正周期为π2的偶函数 解析：∵f (x )＝(1＋cos 2x )·sin 2x＝(1＋2cos 2x －1)·sin 2x ＝2sin 2x cos 2x ＝12sin 22x ＝12·1－cos 4x 2＝14(1－cos 4x )，∴T ＝2π4＝π2. 故f (x )是以π2为最小正周期的偶函数． 答案：D9．若动直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图像分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．2解析：设x ＝a 与f (x )＝sin x 的交点为M (a ，y 1)， x ＝a 与g (x )＝cos x 的交点为N (a ，y 2)， 则|MN |＝|y 1－y 2|＝|sin a －cos a | ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －π4≤ 2. 答案：B10．函数f (x )＝cos 2x ＋2sin x 的最小值和最大值分别为( ) A ．－3,1 B ．－2,2 C ．－3，32 D ．－2，32 解析：∵f (x )＝cos 2x ＋2sin x＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2(sin 2x －sin x )＋1＝－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122－14＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋32，又∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝12时，f (x )有最大值 32， 当sin x ＝－1时，f (x )有最小值 －3. 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)11．求值：tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝________. 解析：tan 60°＝tan(20°＋40°)＝tan 20°＋tan 40°1－tan 20°tan 40°＝3，3－3tan 20°tan 40°＝tan 20°＋tan 40°， 所以tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝ 3. 答案： 312．已知sin α＋cos β＝13，sin β－cos α＝12，则sin(α－β)＝________.解析：根据已知可得：(sin α＋cos β)2＋(sin β－cos α)2＝1336， 2sin(α－β)＝－5936，故sin(α－β)＝－5972.答案：－597213．已知tan α＝2，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是________．解析：1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝(sin α＋cos α)2(sin α＋cos α)(sin α－cos α) ＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3. 答案：314．已知角α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan(α＋β)＝－3，sin β＝2sin(2α＋β)，则α＝________.解析：由sin β＝2sin(2α＋β)得， sin(α＋β－α)＝2sin(α＋β＋α)，即sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝2sin(α＋β)cos α＋2cos (α＋β)sin α，∴－sin(α＋β)cos α＝3cos(α＋β)sin α， 又tan(α＋β)＝－3，∴tan α＝－13tan(α＋β)＝－13×(－3)＝1， 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＝π4. 答案：π4三、解答题(本大题共4小题，15、16小题各12分，17、18小题各13分，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．已知α为第二象限角，且sin α＝154，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1的值．解：首先将原式进行化简：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1＝22(sin α＋cos α)2sin αcos α＋2cos 2α＝2(sin α＋cos α)4cos α(sin α＋cos α)，当α为第二象限角，且sin α＝154时， sin α＋cos α≠0，cos α＝－14， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1＝24cos α＝－ 2.16．已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，(1)求cos (π＋2α)tan (π－2α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α的值；(2)求β.解：(1)∵cos α＝17，且0<α<π2， ∴sin α＝1－cos 2α＝1－149＝437.cos 2α＝2cos 2α－1＝2×149－1＝－4749，cos (π＋2α)tan (π－2α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝(－cos 2α)(－tan 2α)·cos 2α－sin 2α＝cos 2α·sin 2αcos 2α·cos 2α－sin 2α＝－cos 2α＝4749.(2)∵0<β<α<π2，∴0<α－β<π2， ∵cos(α－β)＝1314，sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13142＝3314， 又∵β＝α－(α－β)，∴cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝13＋367×14＝497×14＝12.∴β＝π3.17．已知函数f (x )＝cos x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值和最小值．解：(1)由已知，有f (x )＝cos x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x －3cos 2x ＋34 ＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34 ＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以， f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上是增函数．f ⎝⎛⎭⎪⎫－π4＝－14， f ⎝⎛⎭⎪⎫－π12＝－12， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝14. 所以，函数f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.18．已知函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若关于x 的方程f (x )－m ＝2在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上有解，求实数m 的取值范围．解：(1)f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x ＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x －3cos 2x ＝1＋sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1，最小正周期T ＝π；令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )． (2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，所以2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1， 所以f (x )的值域为[2,3]．而f (x )＝m ＋2，所以m ＋2∈[2,3]，即m ∈[0,1]．。
高中数学三角恒等变形综合检测题(北师大版附答案)
高中数学三角恒等变形综合检测题（北师大版附答案）第三章三角恒等变形(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．sin 15cos 75＋cos 15sin 75等于()A．0 B.12C.32D．1【解析】sin 15cos 75＋cos 15sin 75＝sin(15＋75)＝sin 90＝1.【答案】 D2．在锐角△ABC中，设x＝sin Asin B，y＝cos Acos B，则x、y的大小关系为()A．xy B．x＞yC．x＜y D．xy【解析】y－x＝cos(A＋B)＝cos(－C)＝－cos C，∵C为锐角，－cos C＜0，y－x＜0，即x＞y.【答案】 B3．若sin ＋cos ＝tan (02)，则的取值范围是()A．(0，6) B．(4)C．(3) D．(2)【解析】因为sin ＋cos ＝2sin(＋4)，当02时，此式的取值范围是(1，2]，而tan 在(0，4)上小于1，故可排除A，B；在(2)上sin ＋cos 与tan 不可能相等，所以D不正确，故选C.【答案】 C4．在△ABC中，若sin C＝2cos Asin B，则此三角形必是() A．等腰三角形B．正三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【解析】sin C＝sin[－(A＋B)]＝sin(A＋B)，sin Acos B＋cos Asin B＝2cos Asin B.sin(A－B)＝0，A＝B，△ABC为等腰三角形．【答案】 A5．(2019陕西高考)设向量a＝(1，cos )与b＝(－1，2cos )垂直，则cos 2等于()A.22B.12C．0 D．－1【解析】a＝(1，cos )，b＝(－1,2cos )．∵ab，ab＝－1＋2cos2＝0，cos2＝12，cos 2＝2cos2－1＝1－1＝0.【答案】 C6．当02时，函数f(x)＝1＋cos 2x＋8sin2xsin 2x的最小值为()A．2 B．23C．4 D．43【解析】f(x)＝1＋cos 2x＋8sin2xsin 2x＝2cos2x＋8sin2x2sin xcos x＝cot x＋4tan x24＝4.当且仅当cot x＝4tan x，即tan x＝12时取得等号．故选C.【答案】 C7．(2019江西高考)若sin 2＝33，则cos ＝()A．－23 B．－13C.13D.23【解析】cos ＝1－2sin22＝1－2332＝1－23＝13.【答案】 C8．(2019重庆高考)4cos 50－tan 40＝()A.2B.2＋32C.3 D．22－1【解析】4cos 50－tan 40＝4sin 40－sin 40cos 40＝4sin 40cos 40－sin 40cos 40＝2sin 80－sin 40cos 40＝sin 80＋sin60＋20－sin60－20cos 40＝sin 80＋2cos 60sin 20cos 40＝sin 80＋sin 20cos 40＝sin50＋30＋sin50－30cos 40＝2sin 50cos 30cos 40＝3cos 40cos 40＝3.【答案】 C9．已知f(x)＝sin2(x＋4)，若a＝f(lg 5)，b＝f(lg 15)，则() A．a＋b＝0 B．a－b＝0C．a＋b＝1 D．a－b＝1【解析】由题意知f(x)＝sin2(x＋4)＝1－cos2x＋22＝1＋sin 2x2，令g(x)＝12sin 2x，则g(x)为奇函数，且f(x)＝g(x)＋12，a＝f(lg 5)＝g(lg 5)＋12，b＝f(lg 15)＝g(lg 15)＋12，则a＋b＝g(lg 5)＋g(lg 15)＋1＝g(lg 5)＋g(－lg 5)＋1＝1，故a＋b＝1. 【答案】 C10．对于函数f(x)＝2sin xcos x，下列选项中正确的是() A．f(x)在(2)上是递增的B．f(x)的图像关于原点对称C．f(x)的最小正周期为2D．f(x)的最大值为2【解析】f(x)＝2sin xcos x＝sin 2x，f(x)为奇函数，f(x)图像关于原点对称．【答案】 B二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中的横线上)11．(2019江西高考)若sin ＋cos sin －cos ＝12，则tan 2＝________.【解析】由sin ＋cos sin －cos ＝12，等式左边分子、分母同除cos 得，tan ＋1tan －1＝12，解得tan ＝－3，则tan 2＝2tan 1－tan2＝34.【答案】3412．知，(0，4)，tan 21－tan22＝14，且3sin ＝sin(2＋)，则＋＝________.【解析】由tan 21－tan22＝14，得tan ＝12.由3sin ＝sin(2＋)，得3sin[(＋)－]＝sin[(＋)＋]，化简得tan(＋)＝2tan ＝1.由于，(0，4)，故＋(0，2)，所以＋＝4.【答案】 413．若是第二象限角，cos 2－sin 2＝1－sin ，则角2所在的象限是________．【解析】∵1－sin ＝sin 2－cos 22＝|sin 2－cos 2|＝cos 2－sin 2，sin cos 2.∵是第二象限角，2＋2k＋2k，kZ.则4＋k2＋kZ.由上可得54＋2k32＋2k，kZ.所以2是第三象限角．【答案】第三象限角14．函数f(x)＝sin2(2x－4)的最小正周期是________．【解析】f(x)＝1－cos22x－42＝1－cos4x－22＝1－sin 4x2，最小正周期T＝22.【答案】 215．(2019江苏高考)设为锐角，若cos(＋6)＝45，则sin(2＋12)的值为________．【解析】∵为锐角且cos(＋6)＝45，sin(＋6)＝35.sin(2＋12)＝sin[2(＋6)－4]＝sin 2(＋6)cos 4－cos 2(＋6)sin 4＝2sin(＋6)cos(＋6)－22[2cos2(＋6)－1]＝23545－22[2(45)2－1]＝12225－7250＝17250.【答案】17250三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)(2019辽宁高考)设向量a＝(3sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x0，2.(1)若|a|＝|b|，求x的值；(2)设函数f(x)＝ab，求f(x)的最大值．【解】(1)由|a|2＝(3sin x)2＋sin2 x＝4sin2x，|b|2＝cos2x＋sin2x＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.又x0，2，从而sin x＝12，所以x＝6.(2)f(x)＝ab＝3sin xcos x＋sin2x＝32sin 2x－12cos 2x＋12＝sin2x－6＋12，当x＝0，2时，sin2x－6取最大值1.所以f(x)的最大值为32.17．(本小题满分12分)若2sin(4＋)＝sin ＋cos ，2sin2＝sin 2，求证：sin 2＋12cos 2＝0.【证明】由2sin(4＋)＝sin ＋cos 得2cos ＋2sin ＝sin ＋cos ，两边平方得2(1＋sin 2)＝1＋sin 2，即sin 2＝12(sin 2－1)，①由2sin2＝sin 2得，1－cos 2＝sin 2. ②将②代入①得sin 2＝12[(1－cos 2)－1]得sin 2＝－12cos 2，即sin 2＋12cos 2＝0.18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝4cos xsinx＋4(＞0)的最小正周期为.(1)求的值；(2)讨论f(x)在区间0，2上的单调性．【解】(1)f(x)＝4cos xsinx＋4＝22sin xcos x＋22cos2x＝2(sin 2x＋cos 2x)＋2＝2sin2x＋4＋2.因为f(x)的最小正周期为，且＞0，从而有2＝，故＝1.(2)由(1)知，f(x)＝2sin(2x＋4)＋2.若02，则2x＋54.当2x＋2，即08时，f(x)单调递增；当2＜2x＋54，即8＜x2时，f(x)单调递减．综上可知，f(x)在区间0，8上单调递增，在区间2上单调递减．19．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝sin(x＋6)＋sin(x－6)－2cos2x2，xR(其中0)．(1)求函数f(x)的值域；(2)若对任意的aR，函数y＝f(x)，x(a，a＋]的图像与直线y ＝－1有且仅有两个不同的交点，试确定的值(不必证明)，并求函数y＝f(x)，xR的单调增区间．【解】(1)f(x)＝sin(x＋6)＋sin(x－6)－2cos2x2＝2sin xcos 6－cos x－1＝2sin(x－6)－1，∵xR，f(x)的值域为[－3,1]．(2)由题意得函数f(x)的周期为.2＝，＝2，f(x)＝2sin(2x－6)－1.令2k22x－2k2，kZ.得k6k3，kZ.函数f(x)的单调增区间为[k6，k3]，kZ.图120．(本小题满分13分)如图1，以Ox为始边作角与)，它们的终边分别与单位圆相交于点P、Q，已知点P的坐标为(－35，45)．(1)求sin 2＋cos 2＋11＋tan 的值；(2)若OPOQ＝0，求sin(＋)．【解】(1)由三角函数定义得cos ＝－35，sin ＝45，则原式＝2sin cos ＋2cos21＋sin cos ＝2cos sin ＋cos sin ＋cos cos＝2cos2＝2(－35)2＝1825.(2)∵OPOQ＝0，－＝2.＝－2.sin ＝sin(－2)＝－cos ＝35，cos ＝cos(－2)＝sin ＝45.sin(＋)＝sin cos ＋cos sin＝4545＋(－35)35＝725.21．(本小题满分13分)(2019湖北高考)设函数f(x)＝sin2x＋23sin xcos x－cos2x＋(xR)的图像关于直线x＝对称，其中，为常数，且(12，1)．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若y＝f(x)的图像经过点(4，0)，求函数f(x)的值域．【解】(1)因为f(x)＝sin2x－cos2x＋23sin xcos x＋＝－cos 2x＋3sin 2x＋＝2sin(2x－6)＋，由直线x＝是y＝f(x)图像的一条对称轴，可得sin(2－6)＝1，所以2－6＝k2(kZ)，即＝k2＋13(kZ)．又(12，1)，kZ，所以k＝1，故＝56.所以函数f(x)的最小正周期是65.(2)由y＝f(x)的图像过点(4，0)，得f(4)＝0，我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。
北师大版 高考数学总复习 解三角形 阶段测评2
阶段测评(二)时间：90分钟 满分：120分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．在不等边三角形中，a 是最大的边，若a 2<b 2＋c 2，则角A 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πB.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 解析：因为a 是最大的边，所以A >π3.又a 2<b 2＋c 2，由余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc >0， 可知A <π2，故π3<A <π2.答案：C2．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且c ＝2a ，则cos B 等于( )A.14 B.34 C.24D.23解析：∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2＝ac .又c ＝2a ，∴b 2＝2a 2. ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34.答案：B3．锐角△ABC 中，b ＝1，c ＝2，则a 的取值范围是( ) A ．1<a <3 B ．1<a <5 C.3<a < 5D ．不确定解析：若a为最大边，则b2＋c2－a2>0，即a2<5，∴a<5，若c为最大边，则a2＋b2>c2，即a2>3，∴a>3，故3<a< 5.答案：C4．满足A＝45°，c＝6，a＝2的△ABC的个数记为m，则a m的值为() A．4 B．2C．1 D．不确定解析：由正弦定理asin A＝csin C得sin C＝c sin Aa＝6×222＝32.∵c>a，∴C>A＝45°，∴C＝60°或120°，∴满足条件的三角形有2个，即m＝2，∴a m＝4.答案：A5．在△ABC中，lg a－lg b＝lg sin B＝－lg 2，B为锐角，则A的值是() A．30°B．45°C．60°D．90°解析：∵lg sin B＝－lg 2，∴sin B＝22，又B为锐角，∴B＝45°，∵lg a－lg b＝－lg 2，∴a＝22b，sin A＝22sin B＝12，∴A＝30°.答案：A6．有一长为1 km的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为()A．1 km B．2sin 10°kmC．2cos 10°km D．cos 20°km解析：如图所示，∠ABC＝20°，AB ＝1 km ，∠ADC ＝10°， ∴∠ABD ＝160°.在△ABD 中，由正弦定理AD sin 160°＝AB sin 10°，∴AD ＝AB ·sin 160°sin 10°＝sin 20°sin 10°＝2cos 10°(km)． 答案：C7．在△ABC 中，若lg sin A －lg cos B －lg sin C ＝lg 2，则△ABC 是( ) A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形 解析：∵lg sin A －lg cos B －lg sin C ＝2， ∴lg sin Acos B sin C ＝lg 2，∴sin A ＝2cos B sin C ， ∵A ＋B ＋C ＝180°，∴sin(B ＋C )＝2cos B sin C ， ∴sin(B －C )＝0，∴B ＝C ，∴△ABC 为等腰三角形． 答案：B8．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝3，A ＝30°，B 为锐角，那么角A ，B ，C 的大小关系为( )A ．A >B >C B ．B >A >C C ．C >B >AD ．C >A >B解析：由正弦定理得a sin 30°＝b sin B ，∴sin B ＝32，又∵B 为锐角，∴B ＝60°，∴C ＝90°，即C >B >A .答案：C9．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“a ＝2b cos C ”是“△ABC 是等腰三角形”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若a ＝2b cos C ，由正弦定理得sin A ＝2sin B cos C ，即sin(B ＋C )＝2sinB cosC ，所以sin(B ＋C )＝2sin B cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C ， 即sin B cos C －cos B sin C ＝0，所以sin(B －C )＝0， 即B ＝C ，所以△ABC 是等腰三角形．若△ABC 是等腰三角形，当A ＝B 时，a ＝2b cos C 不一定成立，所以“a ＝2b cos C ”是“△ABC 是等腰三角形”的充分不必要条件，选A.答案：A10．在△ABC 中，若cos A a ＝cos B b ＝sin Cc ，则△ABC 的形状是( ) A ．有一内角为30°的直角三角形 B ．等腰直角三角形C ．有一内角为30°的等腰三角形D ．等边三角形解析：由cos A a ＝cos B b ＝sin C c 和正弦定理，知cos A 2R sin A ＝cos B 2R sin B ＝sin C 2R sin C ＝12R ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧cos A ＝sin A ，cos B ＝sin B ，∴A ＝B ＝45°， ∴△ABC 为等腰直角三角形，故选B. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)11．在△ABC 中，BC ＝3，AC ＝2，A ＝π3，则B ＝________.解析：在△ABC 中，BC ＝3，AC ＝2，A ＝π3，则由大边对大角可得B <A ，故B <π3.再由正弦定理可得3sin π3＝2sin B ，解得sin B ＝22，故B ＝π4.答案：π412．在△ABC 中，若S △ABC ＝123，ac ＝48，c －a ＝2，则b ＝________. 解析：由S △ABC ＝12ac sin B 得sin B ＝32， ∴B ＝60°或120°.由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a －c )2＋2ac －2ac cos B ∴b 2＝22＋2×48－2×48cos B ， ∴b 2＝52或148，即b ＝213或237. 答案：213或23713．在△ABC 中，a ＝1，B ＝45°，S △ABC ＝2，则△ABC 的外接圆的直径为________．解析：S △ABC ＝12ac ·sin B ＝12·c ·sin 45°＝24c ， 又因为S △ABC ＝2，所以c ＝42，由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝1＋32－2×1×42×22＝25， ∴b ＝5，所以△ABC 外接圆的直径2R ＝bsin B ＝5 2. 答案：5 214．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝9，AB ＝3，AC ＝5，那么△ABC 是________三角形．解析：∵AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝15cos A ＝9， ∴cos A ＝35，∴BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A＝32＋52－2×3×5×35＝16， ∴BC ＝4，∴AC 2＝AB 2＋BC 2， ∴△ABC 为直角三角形． 答案：直角三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征．李明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A 点测得泉标顶端的仰角为60°，他又沿着泉标底部方向前进15.2 m ，到达B 点，又测得泉标顶部仰角为80°.你能帮李明同学求出泉标的高度吗？(精确到1 m)解：如图所示，点C ，D 分别为泉标的底部和顶端，依题意，∠BAD ＝60°，∠CBD ＝80°，AB ＝15.2 m ，则∠ABD ＝100°，故∠ADB ＝180° －(60°＋100°)＝20°.在△ABD 中，据正弦定理， BD sin 60°＝ABsin ∠ADB， ∴BD ＝AB ·sin 60°sin 20°＝15.2·2sin 60°sin 20°≈38.5(m)．在Rt △BCD 中，CD ＝BD sin 80°＝38.5·sin 80°≈38(m)，即泉城广场上泉标的高约为38 m.16．(12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79.(1)求a ，c 的值； (2)求sin(A －B )的值．解：(1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )， 又b ＝2，a ＋c ＝6，cos B ＝79， 所以ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3. (2)在△ABC 中，sin B ＝ 1－cos 2B ＝429，由正弦定理得sin A ＝a sin Bb ＝223.因为a ＝c ，所以A 为锐角．所以cos A ＝1－sin 2A ＝13.因此sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝10227.17．(12分)已知A 、B 、C 为△ABC 的三内角，且其对边分别为a 、b 、c .若向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2A 2，cos A 2－1，向量n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，cos A 2＋1，且2m ·n ＝－1.(1)求A 的值；(2)若a ＝23，三角形面积S ＝3，求b ＋c 的值．解：(1)∵向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2A 2，cos A 2－1，向量n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，cos A 2＋1，且2m ·n ＝－1.∴cos 2A 2－sin 2A 2＝－12，得cos A ＝－12，又A ∈(0，π)，所以A ＝23π.(2)S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc sin 2π3＝3，∴bc ＝4. 又由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 2π3＝b 2＋c 2＋bc . ∴16＝(b ＋c )2，所以b ＋c ＝4.18．(14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ≥b ，sin A ＋3cos A ＝2sin B .(1)求角C 的大小； (2)求a ＋bc 的最大值．解：(1)sin A ＋3cos A ＝2sin B ，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝2sin B ，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝sin B .因为0<A ，B <π，又a ≥b 进而A ≥B ， 所以A ＋π3＝π－B ，故A ＋B ＝2π3，C ＝π3. (2)由正弦定理及(1)得a ＋bc ＝sin A ＋sin B sin C ＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3 ＝3sin A ＋cos A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6. 当A ＝π3时，a ＋b c 取最大值2.。
高考数学北师大(理)一轮复习单元质检卷四 三角函数、解三角形(B) Word含解析
A.1
B.- 2
2
C. 2
2
D. 3
2
6.(2018 河北衡水中学金卷一模,10)已知函数 f(x)=-2cos ωx(ω>0)的图像向左平移 φ
( ) 0
<
φ
<
π 2
个单位,所得的部分函数图像如图所示,则 φ 的值为()
A.π6 C.π 12
B.5π6 D.51π2
二、填空题(本大题共 2 小题,每小题 7 分,共 14 分) 7.在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,△ABC 的面积为 S,(a2+b2)tan C=8S,则
2(sin
2
C+cos
C)=
22.故选 C.
( ) 6.C 由题知,T=2
11π 12
-
5π 12
=π,
∴ω=2π T =2,∴f(x)=-2cos 2x, ∴f(x+φ)=-2cos(2x+2φ),
( ) ( ) ∴f
5π 12
+
φ
=-2cos
5π 6
+
2φ
=2,
故5π6 +2φ=π+2kπ(k∈Z),
sin(θ+φ)=-24
10
+
mm,由正弦函数的性质有:-1≤-2140
+
mm≤1,
求解关于实数 m 的不等式可得:16≤m≤36, 则 m 的最小值为 16. 9.解 (1)f(x)=(sin x+ 3cos x)(cos x- 3sin x)
( ) =sin xcos x-
(2)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,A=α-π 12,且 sin Bsin C=sin2A,求 b-c 的值.
(常考题)北师大版高中数学必修四第三章《三角恒等变形》测试题(含答案解析)(4)
一、选择题1．已知sin cos sin cos θθθθ-=，则角θ所在的区间可能是（ ）．A ．0,4π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．3,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭2．已知函数()sin os 0(c f x x a x a ωω=+>且0>ω），周期2T π<，()3f π()f x 在6x π=处取得最大值，则ω的最小值为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．143．已知tan α，tan β是方程2506x x a -+=的两个实数根，且()tan 1αβ+=，则实数a =（ ）A ．16B ．116C ．512D ．7124．已知4sin cos 3θθ+=，,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin cos θθ-的值为（ ）A ．13- B ．13C ．3-D ．35．已知cos 410πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin 2θ=（ ） A ．2425-B ．1225-C ．1225D ．2425 6．若tan 2θ=，则cos2(θ= )A ．45B ．45-C ．35D ．35-7．角α的终边与单位圆的交点坐标为1)2，将α的终边绕原点顺时针旋转34π，得到角β，则cos()αβ+=（ ）A ．4B ．4C ．14D ．08．在ABC 中三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222b c a +=，2bc =，则角C 的大小是（ ）A ．6π或23π B ．3πC ．23π D ．6π 9．已知α∈3π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭,cos α=-45,则tan π4α⎛⎫- ⎪⎝⎭等于( )A ．7B ．17C ．-17D ．-710．已知直线524x π=是函数21()sin (08)222x f x x ωωω=+-<≤图象的一条对称轴，则ω=（ ） A ．2B ．4C ．6D ．811．在ABC 中，若sin 2sin cos B A C =，那么ABC 一定是（ ）A ．等腰直角三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等边三角形12．已知函数()()()()21cos cos 02f x x x x ωωωω=+->，若()f x 在,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为（ ） A ．(]0,2B ．(]0,1C ．2,13⎛⎤⎥⎝⎦D ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦二、填空题13．tan 80tan 4080tan 40︒+︒︒︒=________. 14．已知tan 2α=，则2sin 2cos αα+=________． 15．已知4cos 5θ=，且,02πθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭____________． 16．函数3sin 4cos y x x =-在x θ=处取得最大值，则sin θ= ______ 17．在ABC 中，A ∠，B ，C ∠对应边分别为a ，b ，c ，且5a =，4b =，()31cos 32A B -=，则ABC 的边c =________.18．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知b =22cos c a b A -=，则a c +的取值范围为______.19．在ABC ∆中，5AB =，BAC ∠的平分线交边BC 于D .若45ADC ∠=.BD 则sin C =___________.20．在半径为2的半圆形钢板上截取一块面积最大的矩形，则最大面积是________.三、解答题21．函数()3sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，其中7,03B π⎛⎫⎪⎝⎭，且最高点A 与B 的距离AB（1）求函数()f x 的解析式；（2）若(),,4363f ππαα⎛⎫∈-= ⎪⎝⎭，求cos2α的值. 22．（1）求值：4sin 220tan320-︒︒； （2）已知43sin ,4544x x πππ⎛⎫+=--<<⎪⎝⎭，求22cos sin 2x x +的值.23．设函数23()3sin cos 3sin 2f x x x x =+-. （1）求函数的单调递减区间；（2）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,]44ππ-上的值域. 24．如图，角θ的顶点与平面直角坐标系xOy 的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P ，若点P 的坐标为04(,)5y -.（1）求tan sin 2θθ-的值；（2）若将OP 绕原点O 按逆时针方向旋转40︒，得到角α，设tan m α=，求()tan 85θ+︒的值.25．如图，设单位圆与x 轴的正半轴相交于点(1,0)Q ，当2()k k απβ≠+∈Z 时，以x 轴非负半轴为始边作角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于点1(cos ,sin )P αα，1(cos ,sin )Q ββ．（1）叙述并利用上图证明两角差的余弦公式；（2）利用两角差的余弦公式与诱导公式．证明：sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-． （附：平面上任意两点()111,P x y ，()222,P x y 间的距离公式()()22122121PP x x y y =-+-26．已知函数21()3cos cos 2222x x x f x =++. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）将函数()y f x =的图象上的各点________；得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =的最大值及取得最大值时x 的取值集合.你需要在①､②中选择一个，补在（2）中的横线上，并加以解答. ①向左平移32π个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半； ②纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的一半，再向右平移4π个单位.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】先化简已知得22sin sin24πθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，然后根据各个选项确定等式两端的取值范围从而得到答案. 【详解】由sin cos sin cos θθθθ-=得，22sin sin24πθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，对于A ， 当0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，,044ππθ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，sin 04πθ⎛⎫-< ⎪⎝⎭， 而0,22θπ⎛⎫⎪⎝⎭∈，sin20θ>，两个式子不可能相等，故错误；对于B ，当,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0,44ππθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，sin 4πθ⎛⎛⎫-∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，()0,24πθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ ，22,ππθ∈⎛⎫⎪⎝⎭，()sin20,1θ∈，存在θ使得sin24πθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故正确；对于C ， 3,24ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，42,4πππθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，sin 42πθ⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2,4πθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，而3,22πθπ⎛∈⎫⎪⎝⎭，()sin21,0θ∈-，不可能相等，所以错误；对于D ， 当3,4πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，3,424πππθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，sin 4πθ⎫⎛⎫-∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， (2,4πθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，而3,222ππθ⎛∈⎫⎪⎝⎭，()sin21,0θ∈-，不可能相等，所以错误 故选：B. 【点睛】本题主要考查了三角恒等式的应用，三角函数在各象限内的符号，关键点是根据各个选项确定等号两端式子的取值范围，考查了学生分析问题、解决问题的能力.2．C解析：C 【分析】利用辅助角公式，求得()f x 的解析式，根据题意，可求得ϕ的表达式，根据tan a ϕ=，可求得1tan 6a πω⎛⎫=⎪⎝⎭，又根据()3f π=，可求得cos 6πω⎛⎫= ⎪⎝⎭sin 6πω⎛⎫⎪⎝⎭的值，根据同角三角函数的关系，可求得a 的值，即可求得ω的表达式，根据ω的范围，即可求得答案.【详解】()sin cos ),tan f x x a x x a ωωωϕϕ=+=+=，因为22T ππω=<，所以1ω>，因为()f x 在6x π=处取得最大值，所以2,62k k Z πωπϕπ+=+∈，即2,26k k Z ππωϕπ=+-∈，所以1tan tan 2tan 2626tan 6k a ππωππωϕππω⎛⎫⎛⎫=+-=-== ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭， 所以1tan 6aπω⎛⎫=⎪⎝⎭，因为()3f π3πωϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭sin 3πωϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以sin sin 2sin cos 3326266k πωπωππωππωπωϕπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++-=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以sin tan cos 666πωπωπω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又2222sin cos 166πωπω⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得23a =，又0a >，所以a =1sin 62πω⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以2,66k k Z πωππ=+∈或52,66k k Z πωππ=+∈，解得121,k k Z ω=+∈或125,k k Z ω=+∈，又1ω>，所以ω的最小值为13. 故选：C 【点睛】解题的关键是根据题意，求得ϕ的表达式，代入求得tan 6πω⎛⎫⎪⎝⎭，cos 6πω⎛⎫⎪⎝⎭的表达式，再结合同角三角函数关系进行求解，计算量大，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题.3．A解析：A 【分析】首先利用韦达定理求得5tan tan 6αβ+=，tan tan a αβ⋅=，再结合()tan 1αβ+=，利用两角和正切公式得到关于a 的等量关系式，求得结果.因为tan α，tan β是方程2506x x a -+=的两个实数根， 所以有5tan tan 6αβ+=，tan tan a αβ⋅=， 因为()tan 1αβ+=，所以有5611a=-，所以16a =，故选：A. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关两角和正切公式，解题思路如下： （1）先利用韦达定理，写出两根和与两根积；（2）利用两角和正切公式，结合题中条件，得到等量关系式，求得结果.4．D解析：D 【分析】首先根据题意得到72sin cos 9θθ=，再计算()22sin cos 9θθ-=，根据,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭判断出sin cos θθ-的符号再进行开方计算即可得到答案. 【详解】 因为4sin cos 3θθ+=，所以()216sin cos 12sin cos 9θθθθ+=+=， 所以72sin cos 9θθ=， 所以()22sin cos 12sin cos 9θθθθ-=-=， 因为,42ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以sin cos θθ>，即sin θcos θ0，所以sin cos 3θθ-=. 故选：D ． 【点睛】易错点睛：本题求sin cos θθ-的值时，采用的方法是先对其平方而后再开方，再开方时应注意根据θ的取值范围正确判断sin cos θθ-的符号，从而得到正确的答案.5．D解析：D 【分析】由2sin 2cos(2)cos[2()]2cos ()1244πππθθθθ=-=-=--，代入即可求解.因为cos 410πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭， 由24924sin 2cos(2)cos[2()]2cos ()1212445025πππθθθθ=-=-=--=⨯-=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的化简、求值，其中解答中熟记余弦的倍角公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.6．D解析：D 【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式把要求的式子化为221tan 1tan θθ-+，把已知条件代入运算，求得结果． 【详解】tan 2θ=，22222222cos sin 1tan 3cos2cos sin cos sin 1tan 5θθθθθθθθθ--∴=-===-++， 故选D ． 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．7．A解析：A 【分析】先求α的正余弦三角函数，再求β的正余弦三角函数，然后根据余弦的两角和与差的公式计算即可得到答案. 【详解】由角α的终边经过点1)2，得1sin ,cos 2αα==， 因为角β的终边是由角α的终边顺时针旋转34π得到的，所以3331sin sin()sin cos cos sin ()444222πππβααα=-=-=⨯-=3331cos cos()cos cos sin sin (4442πππβααα=-=+=+=1cos()cos cos sin sin 2αβαβαβ+=-==， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义以及两角和与差的正余弦公式的应用，属于中档题.8．A解析：A 【分析】由222b c a +=可得cosA 2=2bc =可得2A =C 值. 【详解】∵222b c a +=，∴cos A 222222b c a bc bc +-===， 由0＜A ＜π，可得A 6π=，∵2bc =，∴24A =∴5sin 6C sinC π⎛⎫-=⎪⎝⎭)1sinCcosC 122cos C +-=解得50C 6π<< ∴2C=3π或43π，即C=6π或23π 故选A 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的运用，同时考查两角和差的正弦公式和内角和定理，属于中档题．9．B解析：B 【分析】先根据同角三角函数关系求tan α，再根据两角差正切公式求结果. 【详解】 由已知得tan α=34,则tan π1tan 141tan 7ααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭. 选B 【点睛】本题考查同角三角函数关系、两角差正切公式，考查基本求解能力.10．B解析：B【分析】首先通过三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果． 【详解】解：函数211()sin cos )sin sin()2223xf x x x x x ωπωωωω=+=-+=-， 令：5()2432k k Z πππωπ-=+∈，解得244()5kk Z ω=+∈， 由于08ω<， 所以4ω=． 故选：B ． 【点睛】本题考查三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，11．B解析：B 【分析】利用两角和与差公式化简原式，可得答案． 【详解】因为sin 2sin cos B A C =， 所以sin()2sin cos A C A C +=所以sin cos cos sin 2sin cos A C A C A C += 所以sin cos cos sin 0A C A C -= 所以sin()0A C -=, 所以0A C -=, 所以A C =.所以三角形是等腰三角形. 故选：B. 【点睛】本题考查三角恒等变换在解三角形中的应用，考查两角和与差公式以及两角和与差公式的逆用，考查学生计算能力，属于中档题．12．D解析：D 【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简函数()f x ，根据()f x 在,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，建立不等关系，解出ω的取值范围． 【详解】因为()1cos 21sin 2sin 22226x f x x x ωπωω+⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭，由题意得,362,262ωπππωπππ⎧-+≥-⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩解得23ω≤，又0>ω，所以203ω<≤. 故选：D 【点睛】本题考查正弦函数单调性的应用，考查三角恒等变换，属于中档题．二、填空题13．【分析】逆用两角和的正切公式进行化简即可得所求的值【详解】解：根据两角和的正切公式可得所以所以故答案为：【点睛】本题考查两角和的正切公式的逆用考查化简运算能力属于基础题解析： 【分析】逆用两角和的正切公式进行化简，即可得所求的值. 【详解】解：根据两角和的正切公式，可得tan80tan 40tan120tan(8040)1tan 40tan80︒︒︒︒︒︒︒+=+==-所以tan 40tan 80tan 40tan 80)40tan 80︒︒︒︒︒︒+=-=，所以tan 80tan 4080tan 40︒︒︒︒+=故答案为：. 【点睛】本题考查两角和的正切公式的逆用，考查化简运算能力，属于基础题.14．1【分析】本题先求出再化简代入求值即可【详解】解：∵∴或①当且时；②当且时故答案为：1【点睛】本题考查了同角三角函数关系二倍角公式是基础题解析：1 【分析】本题先求出sin α、cos α，再化简2sin 2cos αα+代入求值即可. 【详解】解：∵ tan 2α=，sin tan cos ααα=，22sin cos 1αα+=，∴sin 5cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin 5cos 5αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩①当sin α=cos α=时，222sin 2cos 2sin cos cos 21555ααααα⎛+=⋅+=⨯+= ⎝⎭； ②当sin α=且cos α=时，222sin 2cos 2sin cos cos 21555ααααα⎛⎫⎛⎛⎫+=⋅+=⨯-⨯-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：1. 【点睛】本题考查了同角三角函数关系，二倍角公式，是基础题.15．【分析】由且求得得到再结合两角和的正切公式即可求解【详解】因为且可得所以又由故答案为：【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式以及两角和的正切公式的化简求证其中解答中熟记三角函数的基本关系式和两角解析：17【分析】 由4cos 5θ=，且,02πθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求得3sin 5θ=-，得到3tan 4θ=-，再结合两角和的正切公式，即可求解. 【详解】 因为4cos 5θ=，且,02πθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，可得3sin 5θ===-，所以sin 3tan cos 4θθθ==-， 又由311tan 14tan 341tan 714πθθθ-+⎛⎫+=== ⎪-⎝⎭+. 故答案为：17.【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式，以及两角和的正切公式的化简、求证，其中解答中熟记三角函数的基本关系式和两角和的正切公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.16．【分析】利用辅助角公式两角差的正弦公式化简解析式：并求出和由条件和正弦函数的最值列出方程求出的表达式由诱导公式求出的值【详解】解：其中依题意可得即所以故答案为：【点睛】本题主要考查辅助角公式诱导公式解析：35【分析】利用辅助角公式、两角差的正弦公式化简解析式：()5sin y x ϕ=-，并求出cos ϕ和sin ϕ，由条件和正弦函数的最值列出方程，求出θ的表达式，由诱导公式求出sin θ的值． 【详解】解：()343sin 4cos 5sin cos 5sin 55y x x x x x ϕ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，其中3cos 5ϕ=，4sin 5ϕ=依题意可得()5sin 5θϕ-=，即()sin 1θϕ-=，2,2k k Z πθϕπ∴-=+∈所以3sin sin 2cos 25k πθϕπϕ⎛⎫=++== ⎪⎝⎭故答案为：35【点睛】本题主要考查辅助角公式、诱导公式，以及正弦函数的最大值的应用，考查化简、变形能力．17．6【分析】由可知然后由可求再由正弦定理三角函数恒等变换的应用可求由可求结合同角平方关系可求代入进而可求进而根据余弦定理可求的值【详解】解：可知由正弦定理于是可得又可得可得由余弦定理可得故答案为：6【解析：6 【分析】由a b >可知A B >，然后由cos()A B -可求sin()A B -，再由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求cos B ，由cos cos[()]cos()cos sin()sin A A B B A B B A B B =-+=---可求cos A ，结合同角平方关系可求sin A ，代入cos()cos cos sin sin A B A B A B +=-，进而可求cos C ，进而根据余弦定理可求c 的值．【详解】解：a b >， A B ∴>，31cos()32A B -=， ∴可知(0,)2A B π-∈，sin()A B ∴-==， 由正弦定理，sin 5sin 4A aB b ==， 于是可得5sin 31sin sin[()]sin()cos sin cos()sin 432B A A B B A B B B A B B B ==-+=-+-=+，3sin B B ∴，sin cos 22B B 1+=，又B A <，可得3cos 4B =，3139cos cos[()]cos()cos sin()sin 32416A AB B A B B A B B ∴=-+=---⨯=，可得sin A ，931cos cos()cos cos sin sin 1648C A B A B A B ∴=-+=-+=⨯=，∴由余弦定理可得6c ．故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了正弦定理、同角三角函数的基本关系及和差角的三角公式的综合应用，同时考查了运算的能力，属于中档题．18．【分析】将已知等式化边为角结合两角和的正弦公式化简可得已知由余弦定理和基本不等式求出的最大值结合即可求解【详解】由正弦定理及得因为所以化简可得因为所以因为所以由已知及余弦定理得即因为所以得所以当且仅解析：【分析】将已知等式化边为角，结合两角和的正弦公式化简可得B ，已知b ，由余弦定理和基本不等式，求出a c +的最大值，结合a c b +>，即可求解. 【详解】由正弦定理及22cos c a b A -=， 得2sin sin 2sin cos C A B A -=. 因为()C A B π=-+，所以()2sinsin 2sin cos A B A B A +-=.化简可得()sin 2cos 10A B -=.因为sin 0A ≠，所以1cos 2B =. 因为0B π<<，所以3B π=.由已知及余弦定理，得2223b a c ac =+-=， 即()233a c ac +-=，因为0a >，0c >，所以()22332a c a c +⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭，得()212a c +≤，所以a c +≤，当且仅当a c ==.又因三角形任意两边之和大于第三边，所以a c +>，a c <+≤故a c +的取值范围为.故答案为： 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换解三角形，利用基本不等式求最值，属于中档题.19．【分析】由已知结合正弦定理可求结合为的平分线可得再由结合和角正弦公式即可求解【详解】中由正弦定理可得所以为的平分线即故答案为：【点睛】本题考查角的正弦值的计算涉及正弦定理以及两角和的正弦公式的应用考【分析】由已知结合正弦定理可求sin BAD ∠，结合AD 为BAC ∠的平分线可得BAD CAD ∠=∠，再由()sin sin 45C DAC =∠+，结合和角正弦公式即可求解.【详解】ABD ∆中，由正弦定理可得，5sin sin135BAD =∠，所以sin 10BAD ∠=AD 为BAC ∠的平分线即sin sin 10BAD CAD ∠=∠=，()10sin sin 451021025C DAC ∴=∠+∠=+=..【点睛】本题考查角的正弦值的计算，涉及正弦定理以及两角和的正弦公式的应用，考查计算能力，属于中等题.20．4【分析】做出图像由三角函数定义设其中一个顶点坐标从而表示矩形的长与宽进而表示面积求出最大值【详解】由题可构建图像根据三角函数的定义可知所以矩形的面积当时故答案为：4【点睛】本题考查三角函数定义的实解析：4 【分析】做出图像，由三角函数定义设其中一个顶点坐标，从而表示矩形的长与宽，进而表示面积，求出最大值. 【详解】 由题可构建图像根据三角函数的定义，可知()2cos ,2sin A αα 所以矩形的面积4cos 2sin 4sin2S ααα=⋅= 当4πα=时，max 4sin 244S π⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭故答案为：4 【点睛】本题考查三角函数定义的实际应用，注意建模，再借助三角函数求最值，属于中档题.三、解答题21．（1）()13sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2323- 【分析】（1）根据最高点A 与点B 的距离AB ==，求得,T ω，点7,03B π⎛⎫ ⎪⎝⎭在图象上求解.（2）由(),,463f ππαα⎛⎫∈-= ⎪⎝⎭，求得sin 2,cos 266ππαα⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后由cos2cos 266ππαα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭求解.【详解】（1）最高点A 与点B 的距离AB ==，14,2T πω==， ()13sin ,2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为点7,03B π⎛⎫⎪⎝⎭在图象上， 所以773sin 0,36f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为2πϕ<，所以6πϕ=-，所以()13sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（2）()43sin 2266f ππααα⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为,63ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，所以2,622πππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以cos 26πα⎛⎫-== ⎪⎝⎭， 所以cos2cos 266ππαα⎛⎫=-+⎪⎝⎭， cos 2cos sin 2sin 6666ππππαα⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6=. 【点睛】 方法点睛：已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)五点法，由ω＝2Tπ即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ；(2)代入法，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求．22．（1）2）825. 【分析】（1）利用诱导公式，同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角和的正弦与余弦公式以及辅助角公式求解即可；（2）先利用已知条件得到4x π+的范围，进而求出cos 4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再利用二倍角公式和诱导公式求解即可. 【详解】（1）4sin 220tan320-︒︒()()sin 18040tan 360404︒+︒-︒-=︒ sin 440tan 40︒+=-︒ sin 440sin 40cos 40︒︒=-+︒sin 40cos 40sin 40cos 440︒︒+︒-=︒sin80sin 40co 402s -=︒+︒︒()0sin 3010cos 402cos1︒+︒+︒=-︒0sin 30cos10cos32cos 0sin10co 01s 4︒+︒︒+︒︒=-︒3cos1022cos 40-︒︒︒40cos 40︒==︒（2）344x ππ-<<， 422x πππ∴-<+<，则cos 04x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭， 所以3cos 45x π⎛⎫+=⎪⎝⎭， 又2cos 22cos 1x x =-，cos 2sin 2sin 22sin cos 2444x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭432425525⎛⎫=⨯-⨯=- ⎪⎝⎭，则22412cos cos 2112525x x =+=-+=； sin 2cos 2cos 224x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2972cos 12142525x π⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-=-⨯-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以21782cos sin 2252525x x +=+=； 【点睛】关键点睛：本题主要考查了三角函数与三角恒等变换问题.灵活的运用诱导公式，同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角和的正弦与余弦公式以及辅助角公式是解决本题的关键.23．（1）511[,] ()1212k k k Z ππππ++∈；（2）3[2-. 【分析】（1）由二倍角公式，两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数的单调区间求解．（2）由图象变换得出()g x ，由整体法可求值域．【详解】解：（1）()23()22sin 122f x x x =+-=32cos222x x -23x π⎫⎛=- ⎪⎝⎭因为：3222232k x k πππππ+≤-≤+5111212k x k ππππ⇔+≤≤+.所以函数的单调递减区间是511[,] ()1212k k k Z ππππ++∈（2）由题可知， ()))4312g x x x πππ=+-=-.因为1344x ππ-≤≤⇔123123x πππ-≤-≤，所以sin()1212x π-≤-≤.故()g x 在3[,]44ππ-上的值域为3[2-. 【点睛】方法点睛：本题考查两角差的正弦公式，二倍角公式，考查正弦函数的性质．此类问题的解题方法是：利用二倍角公式降幂，利用诱导公式、两角和与差的正弦（余弦）公式展开与合并，最终把函数化为()sin()f x A x m ωϕ=++形式，然后结合正弦函数性质求解． 如果求函数值域，则可由x 的范围求出x ωϕ+的范围，然后由正弦函数性质得值域． 24．（1）21100；（2）11m m+-. 【分析】（1）由三角函数定义求得cos θ，再由同角间三角函数关系求得sin θ，tan θ，用二倍角公式得sin 2θ后可得结论；（2）由角的关系得8545θα+︒=+︒，利用两角和的正切公式可求得tan(85)θ+︒． 【详解】解：（1）由题意得：4cos 5θ=-，且角θ为第二象限的角则3sin 5θ==，3tan 4θ=- ∴tan sin 2tan 2sin cos θθθθθ-=-334324212455425100⎛⎫=--⨯⨯-=-+= ⎪⎝⎭（2）由题意知40αθ=+︒，则40θα=-︒ 则()()tan 85tan 45θα+︒=+︒tan tan 451tan tan 45αα+︒=-︒ 11m m+=-． 【点睛】 关键点点睛：本题考查三角函数的定义，两角和与差的正切公式，二倍角公式，同角韹三角函数关系．解题确定角的关系是关键．由旋转得40αθ=+︒，则40θα=-︒，从而有8545θα+︒=+︒，再结合已知条件柯得结论．确定已知角和未知角的关系选用恰当的公式也是解题关键．25．（1）两角差的余弦公式为：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）先构造向量()()11cos ,sin ,cos ,sin OP OQ ααββ==，再利用数量积111111cos OP OQ OP AQ POQ ⋅=⋅∠代入计算即得结果；（2）利用诱导公式知()sin cos 2παβαβ⎛⎫-=-+-⎪⎝⎭，再结合两角差的余弦公式展开即得结论.【详解】解：（1）两角差的余弦公式为：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+.证明：依题意，()()11cos ,sin ,cos ,sin OP OQ ααββ==， 则11cos cos sin sin OP OQ αβαβ⋅=+，11111,OP AQ POQ αβ==∠=- 故由111111cos OP OQ OP AQ POQ ⋅=⋅∠得，()cos cos sin sin 11cos αβαβαβ+=⨯⨯-，即cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，当()2k k απβ=+∈Z 时，容易证明上式仍然成立．故cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+成立；（2）证明：由诱导公式可知，()sin cos 2παβαβ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭. 而cos cos 22ππαβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos cos sin sin 22ππαβαβ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ sin cos cos sin αβαβ=-+，故[]sin()sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβ-=--+=-.即证结论.【点睛】本题解题关键在于构造向量，综合运用数量积的定义法运算和坐标运算，即突破难点.26．（1）函数的周期为2π；（2）条件选择见解析，max ()2g x =，使函数()g x 取得最大值的集合为5|,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. 【分析】（1）用正弦余弦的二倍角公式整理()f x 可得正弦函数标准型，可得函数最小正周期； （2）选①先平移变换后周期变换可得对应的()g x ，可得()g x 的最值；选②先周期变换后平移变换得对应的()g x ，由此可求得最值．【详解】（1）∵函数1cos 1()sin()1226x f x x x π+=++=++， 所以函数的周期为2π；（2）<选择①>依题意：()cos(2)16g x x π=-++， 令226x k πππ+=+，即5()12x k k Z ππ=+∈. 使函数()g x 取得最大值2，即max ()2g x =，使函数()g x 取得最大值的集合为5|,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭； <选择②>依题意：()cos(2)16g x x π=-++， 令226x k πππ+=+，即5()12x k k Z ππ=+∈，使函数()g x 取得最大值2，即max ()2g x = 使函数()g x 取得最大值的集合为5|,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭． 【点睛】关键点点睛：在解决正弦型函数的周期，最值，单调性等性质时，关键在于利用三角恒等变换将函数化成正弦型函数的标准形，再利用整体代换的思想求解．。
(常考题)北师大版高中数学必修四第三章《三角恒等变形》测试卷(包含答案解析)(4)
一、选择题1．已知函数44()cos sin f x x x =-在区间,()4t t t R π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦上的最大值为()M t ，最小值为()N t 则函数()()()g t M t N t =-的最小值为（ ）A 1-B ．1C ．2D ．12-2．已知tan 2α=，则sin cos 2sin cos αααα+=-（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-3．已知2π()2sin ()1(0)3f x x ωω=+->，给出下列判断： ①若函数()f x 的图象的两相邻对称轴间的距离为π2，则=2ω； ②若函数()f x 的图象关于点π(,0)12对称，则ω的最小值为5； ③若函数()f x 在ππ[,]63-上单调递增，则ω的取值范围为1(0,]2； ④若函数()f x 在[0,2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围为4147[,)2424. 其中判断正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．已知函数()sin cos f x a x b x =+，其中,a b ∈R ，且0ab ≠，若()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，则（ ）. A ．ππ56f f ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()5π2f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．π4f x ⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数 D ．π4f x ⎛⎫+⎪⎝⎭是奇函数 5．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2παβπ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，且4cos 5α=，2sin()3αβ+=，则（ ）A ．0,3πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ B ．,32ππβ⎛⎫∈⎪⎝⎭ C ．2,23ππβ⎛⎫∈⎪⎝⎭D ．2,3πβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭6．德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36的等腰三角形（另一种是顶角为108的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC 中，512BC AC -=.根据这些信息，可得sin126=（ ）A ．1254- B ．35+ C ．154+ D ．458+ 7．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 3cos 23b A a B b c -=-，则A =（ ）A ．3π B ．4π C ．6π D ．23π 8．已知72cos 410πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin 2θ=（ ） A ．2425-B ．1225-C ．1225D ．24259．已知α∈3π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭,cos α=-45,则tan π4α⎛⎫- ⎪⎝⎭等于( ) A ．7B ．17C ．-17D ．-7 10．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，BC 边上的高为h ，且3ah =，则2c a b c c b b ++的最大值是（ ） A ．22B ．23C ．4D ．611．已知()4cos 5αβ+=，()1cos 5αβ-=，则tan tan αβ⋅的值为（ ） A ．12B ．35C ．310-D ．3512．若，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知函数()2cos 3sin cos f x x x x =在区间[]0,m 上单调递增，则实数m 的最大值是______.14．经过点(4,1)P -作圆2220x y y +-=的切线，设两个切点分别为A ，B ,则tan APB ∠=__________．15．若2cos()3πα-=-,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan α的值是____________．16．已知tan 2α=，则22sin cos αα-=______________.17．已知方程23310x ax a +++=，()2a >的两根为tan α，tan β，α，,22ππβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则αβ+=________.18．若角α的终边与单位圆的交点为1,()3m m R ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos2=α______.19．已知2tan 3tan 5πα=，则2sin 59cos 10παπα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭________. 20．已知α，()0,βπ∈，且()23tan αβ-=53tan β=2αβ-的值为_______.三、解答题21．（1）求值：4sin 220tan320-︒︒； （2）已知43sin ,4544x x πππ⎛⎫+=--<<⎪⎝⎭，求22cos sin 2x x +的值.22．已知向量()21,cos 1a x =-，(sin 231,23b x =+，()()f x a b x R =⋅∈.（1）求函数()f x 的对称中心及单调减区间； （2）若,43x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求()f x 的值域. 23．已知5sin 2α=，()5cos13αβ+=，()0,απ∈，0,2πβ⎛⎫∈⎪⎝⎭. （1）求sin 2α的值； （2）求sin β的值.24．（1）若3tan =4α-，求sin cos sin cos αααα+-的值；（2）已知锐角,αβ满足11cos()14αβ+=-，若sin()7αβ-=，求cos β的值. 25．已知300cos 25παβπα<<<<=，，． （1）分别求cos 2sin 2sin 2ααα，，的值；（2）若1sin()3αβ+=，求cos β．26．已知函数()21sin cos 12f x x x x =+-(x ∈R ) （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值，并分别写出相应的x 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先利用平方差公式、同角三角函数关系以及二倍角公式将函数变形为()cos 2f x x =，然后发现区间长度刚好是四分之一个周期，从而利用余弦函数的对称性，得到当区间,4t t π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，关于cos 2y x =的对称轴对称时，此时最大值与最小值的差值最小，求出此时的最大值和最小值，即可得到答案． 【详解】 函数44222222()cos sin (cos sin )(cos sin )cos sin cos 2f x x x x x x x x x x =-=+-=-=，所以函数()f x 的周期为22T ππ==，区间,()4t t t R π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦的区间长度刚好是函数()f x 的四分之一个周期，因为()f x 在区间,()4t t t R π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦上的最大值为()M t ，最小值为()N t ，由函数cos 2y x =的对称性可知，当区间,4t t π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，关于2y cos x =的对称轴对称时，此时最大值与最小值的差值最小，即函数()()()g t M t N t =-取最小值，区间,4t t π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的中点为428t tt t ππ-+==-，此时()f t 取得最值±1， 不妨()f t 取得最大值()=1M t ， 则有cos 2()18t π-=，解得224t k ππ-=，所以,,8t k k Z ππ=+∈所以()cos 2cos 2cos 44N t t k πππ⎛⎫==+==⎪⎝⎭故()()()g t M t N t =-取最小值为12-． 故选：D ． 【点睛】关键点睛：本题考查了三角函数的最值，涉及了二倍角公式的应用、同角三角函数关系的应用、三角函数的周期性、对称性的应用，解题的关键是分析出当区间,4t t π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦关于cos 2y x =的对称轴对称时，此时最大值与最小值的差值最小.2．A解析：A 【分析】已知正切值要求正余弦值，可以利用商的关系将“弦化切”，代入数值即可. 【详解】原式分子分母同除以cos α得 原=tan 12112tan 141αα++==--故选：A. 【点睛】已知正切值求正余弦值,通常有两种做法：一是将所求式子分子分母同除cos α或2cos α，化为tan α求解； 二是利用sin tan cos ααα=得sin tan cos ααα=代入消元即可. 3．C解析：C 【分析】先将()f x 化简，对于①，由条件知，周期为π，然后求出ω；对于②，由条件可得2()612k k Z ωπππ+=∈，然后求出16()k k Z ω=-+∈，即可求解；对于③，由条件，得2362()22362k k Z k ωππππωππππ⎧-+-+⎪⎪∈⎨⎪++⎪⎩，然后求出ω的范围；对于④，由条件，得74221212πππππωωωω-<-，然后求出ω的范围；，再判断命题是否成立即可． 【详解】解：2π2ππ()2sin ()1=-cos(2)=sin(2)336f x x x x ωωω=+-++， ∴周期22T ππωω==． ①．由条件知，周期为π，1w ∴=，故①错误；②．函数()f x 的图象关于点π(,0)12对称，则2()612k k Z ωπππ+=∈， 16()k k Z ω∴=-+∈，(0)>ω∴ω的最小值为5， 故②正确；③．由条件，ππ[,]63x ∈-，ππ2π236636x πωπωω-+≤+≤+ 由函数()f x 在ππ[,]63-上单调递增得2362()22362k k Z k ωππππωππππ⎧-+-+⎪⎪∈⎨⎪++⎪⎩， 12ω∴≤， 又0>ω，102ω∴<， 故③正确．④．由()sin(2)06f x x πω=+=得2()6x k k Z πωπ+=∈,解得()212k x k Z ππωω=-∈()sin(2)6f x x πω=+且()f x 在[0，2]π上恰有7个零点，可得74221212πππππωωωω-<-， ∴41472424ω<， 故④正确； 故选：C 【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，考查了转化思想和推理能力，属中档题．关键点点睛：利用整体思想，结合正弦函数的图像和性质是根据周期，对称，单调性，零点个数求求解参数的关键.4．B解析：B 【分析】利用辅助角公式可得()()f x x ϕ=+，又()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立知π4f a ⎛⎫==⎪⎝⎭a b =，整理得()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用正弦函数的单调性可判断A ，利用诱导公式以及三角函数的奇偶性可判断选项BCD ，进而可得正确选项. 【详解】由0ab ≠知0a ≠且0b ≠，利用辅助角公式可得()()sin cos f x a x b x x ϕ=+=+，其中tan baϕ=， 又()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，知π4f ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最值，所以πππsin cos 44422f b a a b ⎛⎫=+=+= ⎝⎪⎭， 即22221122a b ab a b +++=，所以2211022a b ab +-=，即()2102a b -=， 所以a b =，tan 1b a ϕ==，可得4πϕ=，所以()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于选项A ：9sin sin 55420f ππππ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 5sin sin 66412f ππππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为5912202πππ<<，则59sin sin 1220ππ<，当0a >时，ππ56f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当0a <时，ππ56f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选项A 不正确； 对于选项B ：sin sin 5π5π11π3π2244sin 4f x x x x π⎛⎫-=--- ⎪⎝⎛⎫⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭()ππ4sin sin 4x f x x π⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--+，故选项B 正确；对于选项C ：sin sin ππ444x x f x π⎛⎫--⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭是奇函数，故选项C 不正确；对于选项D ：si πππ442n sin cos 4f x x x x π⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎛⎫+++ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭⎝是偶函数，故选项D 不正确， 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是从已知条件()π4f x f ⎛⎫≤⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，知π4f ⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 的最值，π4f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，从而得()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，属于中档题.5．C解析：C 【分析】由0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，可得()0,βπ∈，再由()βαβα=+-展开式结合同角三角函数关系可得1cos (,0)2β=-，从而得解. 【详解】由0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，,02πα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，可得()0,βπ∈. 又4cos 5α=，2sin()3αβ+=，且0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以3sin 5α==，cos()3αβ+==-. 所以cos cos[()]cos()cos sin()sin βαβααβααβα=+-=+++423(0535=⨯+⨯=<.因为6127015230--+=>，所以1cos (,0)2β∈-所以2,23ππβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】方法点睛：在利用两角和与差的三角函数公式求值或化简时，常根据角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系，运用角的变换，沟通条件与结论的差异，使问题获解，常见角的变换方式有：()ααββ=+-，2()()ααβαβ=++-，2()αβααβ-=+-等.6．C解析：C 【分析】 计算出5cos 72=，然后利用二倍角公式以及诱导公式可计算得出sin126cos36=的值，即可得出合适的选项.【详解】因为ABC 是顶角为36的等腰三角形，所以，72ACB ∠=，则112cos72cos 4BCACB AC =∠==，()sin126sin 9036cos36=+=， 而2cos722cos 361=-，所以，131cos364+====. 故选：C. 【点睛】本题考查利用二倍角公式以及诱导公式求值，考查计算能力，属于中等题.7．C解析：C 【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式，结合sin 0B ≠，可得2sin 23A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，根据题意可求范围(0,)A π∈，根据正弦函数的图象和性质即可求解A 的值. 【详解】解：∵ bsin cos 2A B b -=，∴由正弦定理可得：sin sin cos 2sin B A A B B C =，∴sin sin cos 2sin B A A B B C =2sin cos cos sin )B A B A B =-+，∴sin sin 2sin sin B A B A B =，又∵sin 0B ≠，∴sin 2A A +=，∴2sin 23A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得232A k πππ+=+，Z k ∈， 又(0,)A π∈，∴6A π=.故选：C . 【点睛】本题考查正弦定理和三角恒等变换的运用，考查运算求解能力，求解时注意角的范围.8．D解析：D 【分析】由2sin 2cos(2)cos[2()]2cos ()1244πππθθθθ=-=-=--，代入即可求解.【详解】因为cos 410πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭， 由24924sin 2cos(2)cos[2()]2cos ()1212445025πππθθθθ=-=-=--=⨯-=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的化简、求值，其中解答中熟记余弦的倍角公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.9．B解析：B 【分析】先根据同角三角函数关系求tan α，再根据两角差正切公式求结果. 【详解】 由已知得tan α=34,则tan π1tan 141tan 7ααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭. 选B本题考查同角三角函数关系、两角差正切公式，考查基本求解能力.10．C解析：C【分析】由余弦定理化简可得2222cos c b a a A b c bc bc++=+，利用三角形面积公式可得2sin a A =，解得22cos 4sin(6c b a A A A b c bc π++=+=+)，利用正弦函数的图象和性质即可得解其最大值．【详解】由余弦定理可得：2222cos b c a bc A +=+， 故：22222222cos 22cos c b a a b c a bc A a A b c bc bc bc bc+++++===+， 而2111sin 222ABC S bc A ah a ∆===，故2sin a A =，所以：2222cos 2cos 4sin()46c b a a A A A A b c bc bc π++=+=+=+． 故选C ．【点睛】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．11．B解析：B【分析】 根据两角和与差的余弦函数的公式，联立方程组，求得13cos cos ,sin sin 210αβαβ==-，再结合三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】 由4cos()cos cos sin sin 5αβαβαβ+=-=，1cos()cos cos sin sin 5αβαβαβ-=+=， 联立方程组，可得13cos cos ,sin sin 210αβαβ==-， 又由sin sin 3tan tan cos()cos cos 5αβαβαβαβ=+==-. 故选：B.本题主要考查了两角和与差的余弦函数，以及三角函数的基本关系式的化简、求值，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 12．C解析：C【解析】 试题分析：因，故应选C ．考点：同角三角函数的关系及运用． 二、填空题13．【分析】利用辅助角公式进行化简结合函数的单调性进行求解即可【详解】解：当时∵在区间上单调递增∴得即m 的最大值为故答案为：【点睛】本题考查二倍角公式和辅助角公式化简考查三角函数的单调性属于基础题 解析：6π【分析】利用辅助角公式进行化简，结合函数的单调性进行求解即可.【详解】解：()1cos 2312sin 2262x f x x x π+⎛⎫==++ ⎪⎝⎭， 当0x m ≤≤时，266x m ππ≤≤+，∵()f x 在区间[]0,m 上单调递增， ∴262m ππ+≤， 得6m π≤，即m 的最大值为6π. 故答案为：6π. 【点睛】 本题考查二倍角公式和辅助角公式化简，考查三角函数的单调性，属于基础题. 14．【分析】由圆的方程可以求出圆心坐标及半径进而可以求出从而求出的值由利用二倍角的正切公式可以求出的值【详解】圆的方程可化为则圆心为半径为r=1设则【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系考查了圆的性质考查解析：199 【分析】 由圆的方程可以求出圆心坐标及半径，进而可以求出25PD =，1DA =，从而求出tan APD ∠的值，由2APB APD ∠∠=，利用二倍角的正切公式，可以求出tan APB ∠的值. 【详解】圆的方程可化为()2211x y +-=，则圆心为()0,1D ，半径为r =1，设APD ∠θ=，AP DA ⊥，()2241125PD =+--=，2220119PA PD r =-=-=，则19tan 19DA PA θ===,22192tan 1919 tan tan211tan 119APB θθθ∠====--.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了圆的性质，考查了两点间的距离公式，二倍角的正切公式，属于基础题．15．【分析】由诱导公式化简再利用同角三角函数间的关系和角的范围可得答案【详解】由且得故答案为：【点睛】本题考查三角函数的诱导公式和同角三角函数间的关系在运用公式时注意角的范围属于基础题解析：142-【分析】由诱导公式化简cos()πα-，再利用同角三角函数间的关系和角的范围可得答案.【详解】由2cos()3πα-=-，且,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭， 得227714cos 1tan 39322ααα==--=-==-．故答案为：2-. 【点睛】 本题考查三角函数的诱导公式和同角三角函数间的关系，在运用公式时，注意角的范围，属于基础题.16．【分析】原式分母看做利用同角三角函数间的基本关系化简将的值代入计算即可求出值【详解】∵∴原式故答案为【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用熟练掌握基本关系是解本题的关键属于基础题 解析：35【分析】原式分母看做“1”，利用同角三角函数间的基本关系化简，将tan α的值代入计算即可求出值．【详解】∵tan 2α=，∴原式22222222sin cos tan 1413sin cos sin cos tan 1415αααααααα---=-====+++，故答案为35. 【点睛】 本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于基础题.17．【分析】根据方程的两根为得到由两角和的正切公式得到再确定的范围求解【详解】因为方程的两根为所以则因为所以所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查两角和与差的正切公式的应用还考查了运算求解的能力属于中档题 解析：34π-【分析】根据方程23310x ax a +++=，()2a >的两根为tan α，tan β，得到tan tan 3,tan tan 31a a αβαβ+=-⋅=+，由两角和的正切公式得到()tan αβ+，再确定αβ+的范围求解.【详解】因为方程23310x ax a +++=，()2a >的两根为tan α，tan β，所以tan tan 3,tan tan 31a a αβαβ+=-⋅=+，则()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ++==-⋅， 因为2a >，所以tan tan 30,tan tan 310a a αβαβ+=-<⋅=+>，所以tan 0,tan 0αβ<<，α，,02πβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭， (),0αβπ+∈-， 所以34παβ+=-. 故答案为：34π-【点睛】本题主要考查两角和与差的正切公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 18．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得再利用二倍角公式求得的值【详解】由题意角的终边与单位圆的交点为可得解得即又由故答案为：【点睛】本题主要考查了任意角的三角函数的定义二倍角的正弦公式的应用其 解析：79【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得cos α，再利用二倍角公式求得cos2α的值.【详解】由题意，角α的终边与单位圆的交点为1,()3m m R ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得2119m +=，解得3m =±，即cos 3α=±， 又由287cos 22cos 12199αα=-=⋅-=. 故答案为：79. 【点睛】 本题主要考查了任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦公式的应用，其中解答中熟记三角函数的定义，结合余弦的倍角公式求解是解答的关键，属于基础题.19．【分析】由可得然后用正弦的和差公式展开然后将条件代入即可求出原式的值【详解】因为所以故答案为：【点睛】本题考查的三角恒等变换解决此类问题时要善于发现角之间的关系 解析：12【分析】由259210πππαα+=++可得22sin sin 5592cos sin 105ππααππαα⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后用正弦的和差公式展开，然后将条件代入即可求出原式的值【详解】 因为2tan 3tan 5πα= 所以222sin sin sin 555922cos cos sin 10255πππαααππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2222sincos cos sin tan tan 2tan 1555522222sin cos cos sin tan tan 4tan 5555ππππαααππππααα---====----- 故答案为：12【点睛】本题考查的三角恒等变换，解决此类问题时要善于发现角之间的关系. 20．【分析】根据正切差角公式代入可求得将角配凑后可求得根据及可得的范围即可求得的范围进而求得的值【详解】因为由正切差角公式展开可得代入化简可求得则因为所以即所以则所以故答案为:【点睛】本题考查了正切差角 解析：23π-【分析】根据正切差角公式,代入tan β=可求得tan 9α=.将角配凑后可求得()tan 2αβ-=根据tan 1α=<及tan 0β=<可得,αβ的范围,即可求得2αβ-的范围,进而求得2αβ-的值.【详解】因为()tan αβ-=,tan β= 由正切差角公式展开可得()tan tan tan 1tan tan 3αβαβαβ--==+⋅代入tan 11β=-tan α=⎝⎭化简可求得tan 9α= 则()()tan 2tan αβααβ-=+-⎡⎤⎣⎦()()tan tan 1tan tan ααβααβ+-=-⋅-+==因为tan 19α=< 所以04πα<<,即022πα<<tan 0β=< 所以2πβπ<< 则20παβ-<-< 所以223παβ-=-故答案为: 23π-【点睛】本题考查了正切差角与和角公式的应用,配凑角的形式求正切值,根据三角函数值判断角的取值范围,属于中档题. 三、解答题21．（1）2）825. 【分析】（1）利用诱导公式，同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角和的正弦与余弦公式以及辅助角公式求解即可；（2）先利用已知条件得到4x π+的范围，进而求出cos 4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再利用二倍角公式和诱导公式求解即可.【详解】（1）4sin 220tan320-︒︒()()sin 18040tan 360404︒+︒-︒-=︒sin 440tan 40︒+=-︒sin 440sin 40cos 40︒︒=-+︒ sin 40cos 40sin 40cos 440︒︒+︒-=︒ sin80sin 40co 402s -=︒+︒︒ ()0sin 3010cos 402cos1︒+︒+︒=-︒0sin 30cos10cos32cos 0sin10co 01s 4︒+︒︒+︒︒=-︒3cos1022cos 40-︒︒︒== （2）344x ππ-<<， 422x πππ∴-<+<，则cos 04x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭， 所以3cos 45x π⎛⎫+=⎪⎝⎭， 又2cos 22cos 1x x =-，cos 2sin 2sin 22sin cos 2444x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭432425525⎛⎫=⨯-⨯=- ⎪⎝⎭， 则22412cos cos 2112525x x =+=-+=； sin 2cos 2cos 224x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2972cos 12142525x π⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-=-⨯-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以21782cos sin 2252525x x +=+=； 【点睛】关键点睛：本题主要考查了三角函数与三角恒等变换问题.灵活的运用诱导公式，同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角和的正弦与余弦公式以及辅助角公式是解决本题的关键.22．（1）对称中心为,126k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，k Z ∈，单调递减区间是71212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，；（2）[]0,3. 【分析】（1）由()f x a b =⋅可得()2sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，然后由正弦函数的对称中心和单调递减区间可得答案；（2）根据x 的范围得到23x π+的范围，可以得sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的范围，从而得到答案. 【详解】（1）∵()21,cos 1a x =-，(sin 21,b x =，∴()f x a b =⋅22sin 21sin 21x x x x =++-=+)2sin 22cos 11sin 2212sin 213x x x x x π⎛⎫=+-+=+=++ ⎪⎝⎭. ∴()2sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 由2,3x k k Z ππ+=∈得,26k x k Z ππ=-∈， ∴对称中心为,126k ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，k Z ∈， 令3222232k x k πππππ+≤+≤+，则71212k x k ππππ+≤≤+， 即函数()f x 单调递减区间是71212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦， （2）∵()2sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，∵43x ππ-≤≤， ∴2223x ππ-≤≤，∴263x πππ-≤+≤，∴当236x ππ+=-，即4πx =-时，min 1()2102f x ⎛⎫=⋅-+= ⎪⎝⎭， ∴当232x ππ+=，即12x π=时，max ()213f x =+=，∴当43x ππ-≤≤时，()f x 的值域为[]0,3. 【点睛】 本题考查了三角函数的化简与性质，关键点是化简为()2sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，要熟练掌握三角函数的性质，考查了学生的基本运算.23．（1）2425；（2）1665． 【分析】（1）由二倍角公式求得cos α，再由平方关系得sin α，然后由正弦的二倍角公式得sin 2α；（2）确定α的范围，得αβ+范围，从而可求得sin()αβ+，再由两角差的正弦公式计算．【详解】（1）由已知223cos 12sin 12255αα⎛⎫=-=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，又(0,)απ∈，∴(0,)2πα∈，∴sin 45α==， ∴4324sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=； （2）∵(0,)2πβ∈，∴(0,)αβπ+∈，∴12sin()13αβ+=， ∴1235416sin sin[()]sin()cos cos()sin 13513565βαβααβααβα=+-=+-+=⨯-⨯=．【点睛】关键点点睛：本题考查二倍角公式，两角和与差的正弦公式，同角间的三角函数关系，解题关键是确定“已知角”和“未知角”之间的关系，确定选用的公式和应用公式的顺序．在应用三角函数恒等变换公式时注意“单角”和“复角”的相对性．如在sin ,cos αβ，求cos()a β+时，,αβ是单角，αβ+是两个单角的和，但象本题中求sin β时，αβ+作为一个单角，α作为一个单角，()βαβα=+-．由此直接应用公式求解．24．（1）17-；（2（1）原式可变形，上下同时除以cos α，代入3tan =4α-后，计算结果；（2）利用角的变换，先求()()cos2cos βαβαβ=+--⎡⎤⎣⎦，展开后代入三角函数值，化简求值，最后求cos β的值.【详解】（1）原式上下同时除以cos α， 变形为31tan 1143tan 1714αα-++==----； （2）0,022ππαβ<<<<，0αβπ∴<+<，22αβππ∴-<-<， ()11cos 14αβ+=-，()sin αβ∴+==()sin 7αβ-=，()1cos 7αβ∴-=， ()()cos2cos βαβαβ=+--⎡⎤⎣⎦()()()()cos cos sin sin αβαβαβαβ=+-++-111147⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭12=， ()20,βπ∈，236ππββ∴=⇒=， cos 2β∴=【点睛】 思路点睛：本题第一问是关于sin ,cos αα的齐次分式，上下都是一次形式，则上下同时除以cos α，若上下都是二次形式，则上下同时除以2cos α，第二问是角的变换，将条件中的角看成一个整体，表示结论中的角，再求三角函数值. 25．（1）724cos 2,sin 2,sin 252525ααα=-== ；（2）415- ． 【分析】（1）先由30cos 25παα<<=，，求出sin α，然后分别求cos 2sin 2sin 2ααα，，的值； （2）先判断αβ+的范围，再凑角()βαβα=+-，利用两角差的余弦公式即可求解．（1）因为30,cos 25παα<<=，所以24sin 1cos 5αα．所以27cos 22cos 1,2524sin 22sin cos ,25sin 2αααααα=-=-====； （2）因为0,02παβπ<<<<，所以302παβ<+<， 因为14sin()sin 35αβα+=<=，所以αβ+不可能是锐角，所以cos()3αβ+==-， 所以4cos cos[()]cos()cos sin()sin 15βαβααβααβα-=+-=+++=． 【点睛】利用三角公式求三角函数值的关键：(1)角的范围的判断；(2)根据条件进行合理的拆角，如()()2()βαβαααβαβ=+-=++-，等． 26．（1）π；（2）当3x π=时，()max 1f x =-；当12x π=-时，()min 32f x =-. 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式，将函数转化为()1sin 2123f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭求解.. （2）根据,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得到22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，再利用正弦函数的性质求解. 【详解】（1）()21sin cos cos 1224f x x x x =-+-， 1sin 2214x x =--， 1sin 2123x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 所以()f x 的最小正周期为22T ππ==.（2）∵,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， ∴22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当233x ππ-=，即3x π=，()max 1f x =-， 当232x ππ-=-，12x π=-时，()()min 131122f x =⨯--=-. 【点睛】 方法点睛：1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式． 2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2T ωπ=，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T πω=. 3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．。
北师大版走向高考数学专题整合三角函数三角恒等变形解三角形
第四章
专题整合
走向高考 ·高考一轮总复习 ·北师大版 ·数学
(2)给定三个正实数 a，b，R，其中 b≤a.问：a，b，R 满 足怎样的关系时，以 a，b 为边长，R 为外接圆半径的△ABC 不存在、存在一个或存在两个(全等的三角形算作同一个)？在 △ABC 存在的情况下，用 a，b，R 表示 c. [思路分析] (1)利用三角函数与平面几何的内在联系， 构
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专题整合
走向高考 ·高考一轮总复习 ·北师大版 ·数学
三角函数不仅常和其他的数学知识，(如函数、几何、向 量等)相结合命题，而且也常和其他学科及现实生活中的实际 问题相结合命题，并随着新课程改革的深入，逐渐成为新课 标高考的一个热点，三角函数与其他数学知识的综合运用问 题，将仍然是命题的一大热点.
走向高考· 数学
北师大版 ·高考一轮总复习
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第四章 三角函数、 三角恒等变形、解三角形
第四章 三角函数、三角恒等变形、解三角形
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第四章
专 题 整 合
第四章 三角函数、三角恒等变形、解三角形
a· b，|a＋b|；
3 (2)若 f(x)＝a· b－2m|a＋b|≥－2对一切实数 x 都成立，求 实数 m 的取值范围．
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[思路分析]
(1)利用向量的坐标运算以及三角函数和角、
倍角公式进行运算，注意结果化为最简形式. (2)利用已知条件，根据题意，把问题转化为函数问题需 讨论，做到不重不漏．
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2020-2021学年北师大版高中数学必修4《三角恒等变形》单元综合测试题及解析
（新课标）最新北师大版高中数学必修四三角恒等变形一.选择题1. 已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在区间[0，2π]的图像如下：那么ω=（ ） A.1B. 2C.21D.312. 已知πcos(α)+sin α=6-，则7πsin(α+)6= （ ）A. C.45- D.454. 要得到函数y=sinx 的图象，只需将函数（ ）πy =cos(x )3-的图象A.向右平移π6个单位 B.向右平移π3个单位C.向左平移π3个单位D.向左平移π6个单位5. 函数y=cosx(x ∈R)的图象向左平移π2个单位后，得到函数y= g(x)的图象，则g(x)的解析式为（ ）A.－sinxB. sinxC.－cosxD.cosx6. 函数sinxf(x)=x sinx +2sin 2是（ ）A.以4π为周期的偶函数B.以2π为周期的奇函数C.以2π为周期的偶函数D.以4π为周期的奇函数7. 为得到函数πy =cos(x +)3的图象，只需将函数y=sinx 的图像（ ） A.向左平移π6个长度单位 B.向右平移π6个长度单位 C.向左平移5π6个长度单位D.向右平移5π6个长度单位 8. 函数f(x)=sinx －cosx 的最大值为（ ）A.1B.2C.3D.29. 设函数f (x)sin(2x )2π=- x ∈R ，则f(x)是（ ）A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为π2的奇函数D.最小正周期为π2的偶函数 A.b<a<c B.c<b<a C.b<c<a D.a<b<c10 在同一平面直角坐标系中，函数x 3πy =cos(+)22(x ∈ [0，2π])的图象和直线y=0.5的交点个数是（ ）A.0B.1C.2D.4二.填空题1. 若函数πy =cos(ωx )(ω>0)6-最小正周期为π5， 则ω= . 2. 不等式11[||+](sinx 2)<0x +1x +1-的解为． 3.函数πf(x)=+sin(+x)2的最大值是 ． 4. 函数y=sinxcos(x+450)+ cosxsin (x+450)的最小正周期T=.5. 已知函数πf(x)=sin(ωx )6-(ω>0)在4π(0)3，单调增加，在4π(2π)3，单调减少，则ω=_．三.解答题1. 已知函数f(x)=ωx +)cos(ωx +)φ-φ(0<φ<π，ω>0)为偶函数，且函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为π2．(Ⅰ)求πf ()8的值； (Ⅱ)将函数y=f(x)的图象向右平移π6个单位后，得到函数y=g(x)的图象， 求g(x)的单调递减区间．2. 已知函数f(t)=，17π g(x)=cosx f(sinx)+sinx f(cosx)x (π]12⋅⋅∈， (Ⅰ)将函数g(x)化简成Asin(ωx+φ)+B(A>0，ω>0)，φ∈[0，2π)）的形式；(Ⅱ)求函数g(x)的值域．3. 已知1tan α3=-，cos β=5，α，β∈(0,π). (1)求tan(α+β)的值；(2)求函数f(x)=α)+cos(x +β)-的最大值．答案：一.选择题1.B2.C3.A4.A5.A6.A7.C8.B 9.B 10.C 二.填空题1. 102. (-∞，-1)3. 24. π5. 12 三.解答题1. 解ωx+φ)－cos(ωx+φ)1=2[ωx +)cos(ωx +)]22φ-φπ=2sin[ωx +]6φ-． 因为f(x)为偶函数，所以对x ∈R ，f(－x)= f(x)恒成立， 因此ππsin(ωx +)=sin(ωx +)66-φ-φ-． 即ππsin ωxcos()+cos ωxsin()66-φ-φ- ππ=sin ωxcos()+cos ωxsin()66φ-φ-，整理得πsin ωxcos()=06φ-． 因为ω>0，且x ∈R ，所以πcos()06φ-=．又因为0<φ<π，故ππ62φ-=． 所以πf(x)=2sin(ωx +)=2cos ωx 2． 由题意得2ππ2ω2=⋅，所以ω>2．故f(x)=2cos2x ．因此ππf()=2cos =84(Ⅱ)将f(x)的图象向右平移π6个单位后，得到πf(x )6-的图象， 所以πππg(x)=f(x )=2cos[2(x )]=2cos(2x )663---． 当π2k π2x 2k π+π3-≤≤(k ∈z)， 即π2πk π+x k π+63≤≤(k ∈z)时，g(x)单调递减， 因此g(x)的单调递减区间为π2π[k π+k π+]63，(k ∈z)． 试题分析:通过三角变换将含有正、余弦差的函数化为正弦型函数y=Asin(ωx+φ)，然后借助函数的奇偶性定义确定参数得到具体函数f(x)，代入8π求得函数值；第二问可依下面的顺序作变换： πf(x)f(x )=g(x).6→- 高考考点: y=Asin(ωx+φ)的图像、性质及变换。
北师大版高中数学必修四三角恒等变形.docx
三角恒等变形一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．已知3cos 5α=-，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12sin 13β=-，β是第三象限角，则()cos βα-的值是（ ） A ．3365-B.6365C.5665D.1665- 2.已知α和β都是锐角，且5sin 13α=，()4cos 5αβ+=-，则sin β的值是（ ） A.3365 B.1665 C.5665 D.6365 3.已知32,244x k k ππππ⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭()k Z ∈，且3cos 45x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则cos2x 的值是（ ） A.725- B. C. D.4.设()()12cos sin sin cos 13x y x x y x +-+=，且y 是第四象限角，则2y tan 的值是（ ） A.23± B.32± C.32- D.23-5.函数()sin cos 22f x x x ππ=+的最小正周期是（ ）A.πB.2πC.1D.26.将函数的图像向右移个单位后，再作关于轴的对称变换得到的函数的2425-2425725x x f y sin )(=4πxcos 2y x =图像，则可以是（ ）A. B 、 C 、 D 、7.若f （tanx ）=sin2x ，则f （－1）的值是（ ）A. －sin2B.－1C.21D. 18.函数 的图象的一条对称轴的方程是（ ）10.A ，B ，C 是ABC 的三个内角，且是方程的两个实数根，则ABC 是（ ）A.钝角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中的横线上）11.求值：0000tan 20tan 403tan 20tan 40++=_____________。
12.函数f x x x x ()cos sin cos =-223的最小正周期是___________。
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(三角函数、三角恒等变形、解三角形)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2011·湖北理)已知函数f (x )＝3sin x －cos x ，x ∈R ，若f (x )≥1，则x 的取值范围为( )A ．{x |k π＋π3≤x ≤k π＋π，k ∈Z }B ．{x |2k π＋π3≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }C ．{x |k π＋π6≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z }D ．{x |2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z }[答案] B[解析] 本题考查三角变换公式及三角不等式的解法． ∵f (x )＝3sin x －cos x ＝2sin(x －π6)，∴f (x )≥1即sin(x －π6)≥12.∴2kπ＋π6≤x －π6≤2k π＋5π6，∴2k π＋π3≤x ≤2k π＋π，k ∈Z .2．(2012·宜春调研)已知sin α＝2m －5m ＋1，cos α＝－mm ＋1，且α为第二象限角，则m 的允许值为( )A.52<m <6 B ．－6<m <52C ．m ＝4D ．m ＝4或m ＝32[答案] C[解析] 由sin 2α＋cos 2α＝1得，(2m －5m ＋1)2＋(－m m ＋1)2＝1，∴m ＝4或32，又sin α>0，cos α<0，把m 的值代入检验得，m ＝4.3．函数y ＝|sin x |－2sin x 的值域是( ) A ．[－3，－1] B ．[－1,3] C ．[0,3] D ．[－3,0][答案] B[解析] 当0≤sin x ≤1时，y ＝sin x －2sin x ＝－sin x ， 此时y ∈[－1,0]；当－1≤sin x <0时，y ＝－sin x －2sin x ＝－3sin x ， 这时y ∈(0,3]，求其并集得y ∈[－1,3]．4．(2012·潍坊一模)下列函数中，其中最小正周期为π，且图像关于直线x ＝π3对称的是( )A ．y ＝sin(2x －π3)B ．y ＝sin(2x －π6)C ．y ＝sin(2x ＋π6)D ．y ＝sin(x 2＋π6)[答案] B[解析] ∵T ＝π，∴ω＝2，排除D ，把x ＝π3代入A 、B 、C 只有B 中y 取得最值，故选B.5．(2012·厦门模拟)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3 C.π6或5π6D.π3或2π3[答案] D[解析] 依题意得，a 2＋c 2－b 22ac ·tan B ＝32，∴sin B ＝32，∴B ＝π3或B ＝2π3，选D. 6．(文)(2012·焦作模拟)要得到函数y ＝cos2x 的图像，只需将函数y ＝sin2x 的图像沿x 轴( )A ．向右平移π4个长度单位B ．向左平移π4个长度单位C ．向右平移π8个长度单位D ．向左平移π8个长度单位[答案] B[解析] ∵y ＝cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2， ∴只需将函数y ＝sin2x 的图像沿x 轴向左平移π4个单位，可得y ＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cos2x .故选B.(理)(2012·济南模拟)为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图像，只需把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像( )A ．向左平移π4个长度单位B ．向右平移π4个长度单位C ．向左平移π2个长度单位D ．向右平移π2个长度单位[答案] B[解析] y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12， y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，∴只需将y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6向右平移π12＋π6＝π4个长度单位． 7．(2011·重庆理)若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )A.43 B ．8－4 3 C ．1 D.23[答案] A[解析] 本题主要考查余弦定理的应用．在△ABC 中，C ＝60°，∴a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ＝ab ，∴(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝3ab ＝4，∴ab ＝43，选A.8．(2012·原创题)设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a 、b 、α、β都是非零实数，若f (2012)＝－1，那么f (2013)等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．2[答案] C[解析] 因为f (2012)＝a sin(2012π＋α)＋b cos(2012π＋β)＝a sin α＋b cos β＝－1，所以f (2013)＝a sin(2013π＋α)＋b cos(2013π＋β) ＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β) ＝－(a sin α＋b cos β)＝1.9．(2012·西安模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图像如图所示，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2012)的值为( )A ．2011 B.40232C ．2012 D.40252[答案] C[解析] 由f (x )的图像可以得到A ＝12，b ＝1，T ＝4，所以ω＝π2，故f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋φ＋1，再由点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在f (x )的图像上，可得φ＝2k π，k ∈Z ， 所以f (x )＝12sin πx2＋1.所以f (1)＝12＋1，f (2)＝0＋1，f (3)＝－12＋1，f (4)＝0＋1，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝4.所以f (1)＋f (2)＋…f (2012)＝2012.10．(2012·皖南八校第二次联考)定义行列式运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1 a 2a 3 a 4＝a 1a 4－a 2a 3，将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 sin ωx 1 cos ωx (ω>0)的图像向左平移5π6个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则ω的最小值是( )A.15 B ．1 C.115D ．2[答案] B[解析] 由题意知，f (x )＝3cos ωx －sin ωx ＝2cos(ωx ＋π6)．将函数f (x )的图像向左平移5π6个单位后所得图像对应的函数y ＝2cos(ωx ＋5π6ω＋π6)为偶函数，所以5π6ω＋π6＝k π，k ∈Z ，ω＝65k －15，k ∈Z ，∵ω>0，∴ωmin ＝1，故选B.第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上) 11．(2011·大纲理)已知α∈(π2，π)，sin α＝55，则tan2α＝________.[答案] － 43[解析] 本小题考查的内容是三角函数值的求法与二倍角公式． sin α＝55，∴cos α＝－255，∴tan α＝－12， tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－11－14＝－43. 12．(2012·连云港调研)在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C ，则△ABC 是________三角形．[答案] 等边[解析] 由已知条件及正弦定理，得tan A ＝tan B ＝tan C ，又0<A <π，0<B <π，0<C <π，故A ＝B ＝C ，所以△ABC 为等边三角形．13．在△ABC 中，A 满足条件3sin A ＋cos A ＝1，AB ＝2cm ，BC ＝23cm ，则A ＝________，△ABC 的面积等于________cm 2.[答案]2π33[解析] 由3sin A ＋cos A ＝1得 2sin(A ＋π6)＝1，∴A ＋π6＝5π6，即A ＝23π，由BC sin A ＝ABsin C 得sin C ＝AB sin ABC ＝2×3223＝12，所以C ＝π6，则B ＝π6.S △ABC ＝12AB ×BC sin B ＝3(cm 2)．14．(2012·合肥月考)已知函数f (x )＝－3sin 2x ＋sin x cos x ，则f (25π6)的值为________．[答案] 0[解析] f (x )＝－3×1－cos2x 2＋12sin2x ＝－32＋12sin2x ＋32cos2x ＝－32＋sin(2x ＋π3) ∴f (256π)＝－32＋sin 26π3＝－32＋sin 2π3＝－32＋32＝0. 15．(2011·安徽文)设f (x )＝a sin2x ＋b cos2x ，其中a ，b ∈R ，ab ≠0，若f (x )≤|f (π6)|对一切x ∈R 恒成立，则①f (11π12)＝0②|f (7π10)|<|f (π5)|③f (x )既不是奇函数也不是偶函数④f (x )的单调递增区间是[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )⑤存在经过点(a ，b )的直线与函数的图像f (x )不相交 以上结论正确的是________(写出正确结论的编号)． [答案] ①③[解析] 由f (x )≤|f (π6)|对一切x ∈R 恒成立知，直线x ＝π6是f (x )的对称轴．又f (x )＝a 2＋b 2sin(2x ＋φ)(其中tan φ＝b a)的周期为π，∴f (11π12)＝f (π6＋3π4)可看作x ＝π6的值加了34个周期，∴f (11π12)＝0.故①正确．∵7π10－2π3＝π30，π5－π6＝π30， ∴7π10和π5与对称轴的距离相等． ∴|f (7π10)|＝|f (π5)|，故②不正确．∵x ＝π6是对称轴，∴sin(2×π6＋φ)＝±1，∴π3＋φ＝±π2＋2k π，k ∈Z . ∴φ＝π6＋2k π或φ＝－5π6＋2k π，k ∈Z ，tan φ＝b a ＝13，∴a ＝3b .∴f (x )＝2|b |sin(2x ＋π6)或f (x )＝2|b |sin(2x －5π6)．∴f (x )既不是奇函数也不是偶函数，故③正确．由以上知f (x )＝2|b |sin(2x ＋π6)的单调递增区间为[－π3＋k π，π6＋k π]，k ∈Z .f (x )＝2|b |sin(2x －5π6)的单调递增区间为[π6＋k π，2π3＋k π]，k ∈Z . 由于f (x )的解析式不确定，∴单调递增区间不确定，故④不正确． ∵f (x )＝a sin2x ＋b cos2x ＝a 2＋b 2sin(2x ＋φ)(其中tan φ＝ba)． ∴－a 2＋b 2≤f (x )≤a 2＋b 2. 又∵ab ≠0，∴a ≠0，b ≠0. ∴－a 2＋b 2<b <a 2＋b 2，∴过点(a ，b )的直线必与函数f (x )的图像相交．故⑤不正确．[点评] 本题考查了三角函数的对称性、周期、最值、单调区间，不等式等知识，综合性较强，题目较难．主要考查学生分析、转化、化简问题的能力.三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)(2012·青岛模拟)已知tan(α＋π4)＝－3，α∈(0，π2)．(1)求tan α的值； (2)求sin(2α－π3)的值．[解析] (1)由tan(α＋π4)＝－3可得tan α＋11－tan α＝－3.解得tan α＝2.(2)由tan α＝2，α∈(0，π2)，可得sin α＝255，cos α＝55.因此sin2α＝2sin αcos α＝45，cos2α＝1－2sin 2α＝－35，sin(2α－π3)＝sin2αcos π3－cos2αsin π3＝45×12＋35×32＝4＋3310.17．(本小题满分12分)(文)(2011·大纲理，17)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知A －C ＝90°，a ＋c ＝2b ，求C .[解析] 由a ＋c ＝2b 及正弦定理可得 sin A ＋sin C ＝2sin B .又由于A －C ＝90°，B ＝180°－(A ＋C )，故cos C ＋sin C ＝2sin(A ＋C )＝2sin(90°＋2C )＝2cos2C . 22cos C ＋22sin C ＝cos2C ， cos(45°－C )＝cos2C . 因为0°<C <90°，所以2C ＝45°－C ，C ＝15°.(理)(2011·山东理，17)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －ab.(1)求sin C sin A的值；(2)若cos B ＝14，b ＝2，求△ABC 的面积S .[解析] (1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝csin C＝k ， 则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin Asin B， 所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B，即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ， 化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )． 又A ＋B ＋C ＝π， 所以sin C ＝2sin A . 因此sin Csin A＝2.(2)由sin C sin A＝2得c ＝2a .由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及cos B ＝14，b ＝2.得4＝a 2＋4a 2－4a 2×14.解得a ＝1. 从而c ＝2，又因为cos B ＝14，且0<B <π.所以sin B ＝154. 因此S ＝12ac sin B ＝12×1×2×154＝154.18．(本小题满分12分)已知向量a ＝(1，sin x )，b ＝(sin 2x ，cos x )，函数f (x )＝a ·b ，x ∈[0，π2]．(1)求f (x )的最小值；(2)若f (α)＝34，求sin2α的值．[解析] (1)f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＝1－cos2x 2＋sin2x2＝2sin 2x －π4＋12，因为x ∈[0，π2]，所以2x －π4∈[－π4，3π4]．当2x －π4＝－π4，即x ＝0时，f (x )有最小值0.(2)f (α)＝2sin2α－π4＋12＝34，得sin(2α－π4)＝24，∵α∈[0，π2]，2α－π4∈[－π4，3π4]，又0<sin(2α－π4)＝24<22，∴2α－π4∈(0，π4)，得cos(2α－π4)＝1－242＝144， sin2α＝sin(2α－π4＋π4)＝22[sin(2α－π4)＋cos(2α－π4)]＝1＋74. 19．(本小题满分12分)(2012·焦作模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，A >0，ω>0,0<φ<π2)的部分图像如图所示．(1)求f (x )的解析式；(2)设g (x )＝[f (x －π12)]2，求函数g (x )在x ∈[－π6，π3]上的最大值，并确定此时x 的值．[解析] (1)由图知A ＝2，T 4＝π3，则2πω＝4×π3，∴ω＝32. 又f (－π6)＝2sin[32×(－π6)＋φ] ＝2sin(－π4＋φ)＝0， ∴sin(φ－π4)＝0， ∵0<φ<π2，∴－π4<φ－π4<π4， ∴φ－π4＝0，即φ＝π4， ∴f (x )的解析式为f (x )＝2sin(32x ＋π4)． (2)g (x )＝[f (x －π12)]2＝4sin 2(32x ＋π8) 由x ∈[－π6，π3]得(32x ＋π8)∈[－π8，5π8]， 则当32x ＋π8＝π2，即x ＝π4时g (x )max ＝4. 20．(本小题满分13分)(2012·上饶一模)已知函数f (x )＝sin 2x ＋23sin(x ＋π4)cos(x －π4)－cos 2x － 3. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递减区间；(2)求函数f (x )在[－π12，2536π]上的最大值和最小值，并指出此时相应的x 的值． [解析] (1)f (x )＝sin 2x ＋23sin(x ＋π4)cos(x －π4)－cos 2x －3＝23sin 2(x ＋π4)－cos2x － 3 ＝3sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π6)，所以T ＝2π2＝π. 由2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )得，k π＋π3≤x ≤k π＋5π6(k ∈Z )， 所以函数f (x )的最小正周期为π，单调递减区间为[k π＋π3，k π＋5π6](k ∈Z )． (2)由(1)有f (x )＝2sin(2x －π6)． 因为x ∈[－π12，2536π]， 所以2x －π6∈[－π3，119π]． 因为sin(－π3)＝sin 43π<sin 119π， 所以当x ＝－π12时，函数f (x )取得最小值－3； 当x ＝π3时，函数f (x )取得最大值2. 21．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝2cos x sin(x ＋π3)－32. (1)求函数f (x )的最小正周期T ；(2)若△ABC 的三边a ，b ，c 满足b 2＝ac ，且边b 所对角为B ，试求cos B 的取值范围，并确定此时f (B )的最大值．[解析] (1)f (x )＝2cos x ·sin(x ＋π3)－32＝2cos x (sin x cos π3＋cos x sin π3)－32＝2cos x (12sin x ＋32cos x )－32＝sin x cos x ＋3·cos 2x －32＝12sin2x ＋3·1＋cos2x 2－32＝12sin2x ＋32cos2x ＝sin(2x ＋π3)． ∴T ＝2π|ω|＝2π2＝π. (2)由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac得，cos B ＝a 2＋c 2－ac2ac＝a 2＋c 22ac －12≥2ac 2ac －12＝12，∴12≤cos B <1，而 0<B <π，∴0<B ≤π3.函数f (B )＝sin(2B ＋π3)，∵π3<2B ＋π3≤π，当2B ＋π3＝π2.即B ＝π12时，f (B )max ＝1.。