倍半角公式讲解
三角函数的倍角与半角公式
三角函数的倍角与半角公式三角函数的倍角公式和半角公式是在三角函数领域中常用的数学公式，它们能够将一个角的三角函数值表示成另外一个角的三角函数值的式子。
这些公式在解决三角函数的相关问题，特别是在解析几何、物理和工程等领域中起着至关重要的作用。
本文将详细介绍三角函数的倍角公式和半角公式，给出其推导过程和一些应用实例。
1. 倍角公式1.1 正弦函数倍角公式正弦函数倍角公式可以表示为：sin 2θ = 2sinθcosθ该公式表示的是，一个角的两倍角的正弦值等于这个角的正弦值与余弦值的乘积的两倍。
推导过程：根据三角函数的定义和和差公式，我们可以得到：sin(θ + θ) = sinθcosθ + cosθsinθ = 2sinθcosθ再将左边的sin(θ + θ)进行简化，即可得到sin 2θ = 2sinθcosθ。
1.2 余弦函数倍角公式余弦函数倍角公式可以表示为：cos 2θ = cos²θ - sin²θ也可以表示为：cos 2θ = 1 - 2sin²θ这两个公式表示的是，一个角的两倍角的余弦值等于这个角的余弦值的平方减去正弦值的平方。
推导过程：根据三角函数的定义和和差公式，我们可以得到：cos(θ + θ) = cos²θ - sin²θ再将左边的cos(θ + θ)进行简化，即可得到cos 2θ = cos²θ - sin²θ。
另外，根据正弦函数的平方加余弦函数的平方等于1的关系式，我们可以将cos²θ替换成1 - sin²θ，得到cos 2θ = 1 - 2sin²θ。
2. 半角公式2.1 正弦函数半角公式正弦函数半角公式可以表示为：sin (θ/2) = ±√((1-cosθ)/2)该公式表示的是，一个角的半角的正弦值等于这个角的余弦值减去1再除以2再开平方。
推导过程：根据三角函数的定义和和差公式，我们可以得到sin(θ/2) = sin(θ/2 + θ/2) = sinθcos(θ/2) + cosθsin(θ/2)。
三角函数的倍角与半角公式
三角函数的倍角与半角公式三角函数是数学中重要的概念之一，广泛应用于几何学、物理学、工程学等领域。
其中倍角与半角公式是三角函数的重要性质之一，本文将详细介绍这一概念及其应用。
一、正弦函数的倍角与半角公式正弦函数是三角函数中最基本的函数之一。
其倍角及半角公式如下：1. 倍角公式：sin(2θ) = 2sinθcosθ倍角公式指出，若已知角度θ的正弦值sinθ，那么可以通过上述公式来计算角度2θ的正弦值sin(2θ)，而不需要直接计算。
2. 半角公式：sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2]半角公式则是将角度θ分成两个相等的部分，通过已知角度θ的余弦值cosθ来计算角度θ/2的正弦值sin(θ/2)。
二、余弦函数的倍角与半角公式余弦函数是三角函数中与正弦函数密切相关的一个函数。
其倍角及半角公式如下：1. 倍角公式：cos(2θ) = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ倍角公式指出，若已知角度θ的余弦值cosθ和正弦值sinθ，那么可以通过上述公式来计算角度2θ的余弦值cos(2θ)，而不需要直接计算。
2. 半角公式：c os(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2]半角公式则是将角度θ分成两个相等的部分，通过已知角度θ的余弦值cosθ来计算角度θ/2的余弦值cos(θ/2)。
三、正切函数的倍角与半角公式正切函数是三角函数中与正弦函数和余弦函数密切相关的一个函数。
其倍角及半角公式如下：1. 倍角公式：tan(2θ) = (2tanθ)/(1 - tan²θ)倍角公式指出，若已知角度θ的正切值tanθ，那么可以通过上述公式来计算角度2θ的正切值tan(2θ)，而不需要直接计算。
2. 半角公式：tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)]半角公式则是将角度θ分成两个相等的部分，通过已知角度θ的余弦值cosθ来计算角度θ/2的正切值tan(θ/2)。
倍角及半角公式
倍角及半角公式在三角函数中，倍角及半角公式是求解特定角的重要工具。
它们可以将一个角的角度加倍或减半，从而简化计算，提高效率。
本文将介绍倍角公式和半角公式的定义、推导以及应用。
一、倍角公式倍角公式是将一个角的角度加倍得到另一个角的角度的公式。
常用的倍角公式包括正弦倍角公式、余弦倍角公式和正切倍角公式。
1. 正弦倍角公式正弦倍角公式可以表达为：sin(2θ) = 2sinθcosθ其中，θ为原角的角度。
这个公式可以通过将正弦函数展开为欧拉公式的形式，然后利用三角恒等式和倍角公式进行推导得到。
2. 余弦倍角公式余弦倍角公式可以表达为：cos(2θ) = cos²θ - sin²θ该公式也可以通过将余弦函数展开为欧拉公式的形式，然后利用三角恒等式和倍角公式进行推导得到。
3. 正切倍角公式tan(2θ) = (2tanθ)/(1 - tan²θ)这个公式可以通过将正切函数展开为正弦和余弦的比值形式，然后利用倍角公式进行推导得到。
二、半角公式半角公式是将一个角的角度减半得到另一个角的角度的公式。
常用的半角公式包括正弦半角公式、余弦半角公式和正切半角公式。
1. 正弦半角公式正弦半角公式可以表达为：sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2]其中，θ为原角的角度。
根据正弦半角公式，我们可以通过已知一个角的正弦值来求解该角对应的半角。
2. 余弦半角公式余弦半角公式可以表达为：cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2]该公式可以通过将余弦函数展开为欧拉公式的形式，然后利用半角公式进行推导得到。
3. 正切半角公式tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)]根据正切半角公式，我们可以通过已知一个角的正切值来求解该角对应的半角。
三、应用举例倍角及半角公式在实际问题中有广泛的应用。
例如，在三角函数的求值中，通过利用倍角公式可以将一个角的角度加倍，从而可以快速计算出正弦、余弦和正切值。
三角函数的倍角公式与半角公式
三角函数的倍角公式与半角公式一、三角函数的倍角公式：1.正弦函数的倍角公式：sin(2θ) = 2sinθcosθ推导过程：利用正弦函数的定义sinθ = y/r和余弦函数的定义cosθ = x/r，将x和y用θ表示，得到：sin(θ) = (2y)/2r = (2y)/2(r)cos(θ) = (x)/r将上述两个函数代入sin(2θ) = 2sinθcosθ中，得到：sin(2θ) = 2(x)/2r * (2y)/2(r)= 2xy/4r^2= xy/2r^2根据直角三角形中的三角关系式x^2 + y^2 = r^2，可得y =sqrt(r^2 - x^2)，代入上述式子得到：sin(2θ) = x * sqrt(r^2 - x^2) / 2r^2由于θ是任意角度，所以x的范围是[-r, r)，故将x/r用sinθ表示，得到：sin(2θ) = sinθ * sqrt(1 - sin^2θ)= sinθ * cosθ故得到了正弦函数的倍角公式sin(2θ) = 2sinθcosθ。
2.余弦函数的倍角公式：cos(2θ) = cos^2θ - si n^2θ推导过程：由余弦函数定义cosθ = x/r和正弦函数定义sinθ = y/r，得到：cos(θ) = x/rsin(θ) = (y)/r将上述两个函数代入cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ中，得到：cos(2θ) = (x/r)^2 - ((y)/r)^2=x^2/r^2-y^2/r^2根据直角三角形中的三角关系式x^2+y^2=r^2，代入上述式子得到：cos(2θ) = (x^2 - r^2 + x^2) / r^2=(2x^2-r^2)/r^2由于θ是任意角度，所以x的范围是[-r, r)，故将x/r用sinθ表示，得到：cos(2θ) = (2(1 - sin^2θ) - r^2) / r^2= 2(1 - sin^2θ)/ r^2 - r^2 / r^2从而可得：cos(2θ) = 2cos^2θ - 1或者cos(2θ) = 1 - 2sin^2θ故得到了余弦函数的倍角公式cos(2θ) = 2cos^2θ - 1 = 1 -2sin^2θ。
三角函数中的倍角公式与半角公式
三角函数中的倍角公式与半角公式三角函数是数学中的重要概念，在几何和物理学中有着广泛的应用。
在三角函数中，倍角公式和半角公式是其中两个重要的公式。
本文将详细介绍三角函数中的倍角公式和半角公式，以及它们的应用。
一、倍角公式倍角公式是指将一个角的两倍表示成该角的三角函数的形式。
三角函数的倍角公式主要包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
1. 正弦函数的倍角公式：sin(2θ) = 2sinθcosθ正弦函数的倍角公式可以通过三角函数的和差公式推导得出。
根据和差公式：sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ令α = β = θ，可以得到：sin(θ + θ) = sinθcosθ + cosθsinθ化简后得到正弦函数的倍角公式。
2. 余弦函数的倍角公式：cos(2θ) = cos²θ - sin²θ余弦函数的倍角公式也可以通过三角函数的和差公式推导得出。
根据和差公式：cos(α ± β) = cosαcosβ - sinαsinβ令α = β = θ，可以得到：cos(θ + θ) = cosθcosθ - sinθsinθ化简后得到余弦函数的倍角公式。
3. 正切函数的倍角公式：tan(2θ) = 2tanθ / (1 - tan²θ)正切函数的倍角公式可以通过正弦函数和余弦函数的倍角公式推导得出。
将正弦函数和余弦函数的倍角公式代入正切函数的定义式，经过简化和化简可以得到正切函数的倍角公式。
二、半角公式半角公式是指将一个角的一半表示成该角的三角函数的形式。
与倍角公式类似，三角函数的半角公式也包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
1. 正弦函数的半角公式：sin(θ/2) = √[(1 - cosθ) / 2]正弦函数的半角公式可以通过正弦函数和余弦函数的和差公式推导得出。
根据和差公式：sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ令α = θ/2，β = θ/2，可以得到：sin(θ/2 + θ/2) = sin(θ/2)cos(θ/2) + cos(θ/2)sin(θ/2)化简后得到正弦函数的半角公式。
三角函数的倍角公式与半角公式
三角函数的倍角公式与半角公式三角函数在数学中是一类重要的函数，它们在各种数学问题和实际应用中都发挥着重要的作用。
在三角函数的研究中，倍角公式和半角公式是两个常用的公式。
本文将重点论述三角函数的倍角公式与半角公式，旨在帮助读者更好地理解和应用这两个公式。
一、倍角公式1. 正弦函数的倍角公式正弦函数的倍角公式表达为：sin(2θ) = 2sinθcosθ其中θ表示任意角度。
这个公式可以直接从正弦函数的和角公式推导得出，也可以通过三角函数的平方公式得到。
具体的推导过程在此不做赘述。
倍角公式的应用十分广泛，在解决各类三角函数问题时特别有用。
例如，在计算三角函数值时，如果给定的角度是一个已知角度的两倍，可以直接利用倍角公式来计算。
2. 余弦函数的倍角公式余弦函数的倍角公式为：cos(2θ) = cos²θ - sin²θ这个公式同样可以通过和角公式或平方公式推导得到。
倍角公式是解决三角函数问题的重要工具。
它们能够将多个三角函数的值联系起来，简化计算过程，提高解题效率。
二、半角公式半角公式是倍角公式的逆运算，它将一个角的值通过三角函数的值反推回去。
1. 正弦函数的半角公式正弦函数的半角公式为：sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2]其中±表示正负号的取值。
这个公式可以通过倍角公式进行推导。
具体的推导过程涉及到平方根的性质和三角函数之间的关系，需要进行一定的代数运算。
2. 余弦函数的半角公式余弦函数的半角公式为：cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2]同样地，±表示正负号的取值。
半角公式在解决三角函数问题时也有着广泛的应用。
如在一些特定条件下，给定一个角度的正弦或余弦函数值，可以通过半角公式求解出这个角度的值。
总结：通过本文的论述，我们了解到了三角函数的倍角公式与半角公式的定义与应用。
倍角公式可以将一个角度的三角函数值通过公式转化为其他角度的三角函数值，提供了一种快速计算的工具。
三角函数的倍角与半角的公式与应用
三角函数的倍角与半角的公式与应用三角函数是数学中重要的概念之一，它们在几何、物理、工程等领域中广泛应用。
本文将介绍三角函数的倍角与半角的公式以及它们的应用。
一、三角函数的倍角公式在三角函数中，有两个重要的倍角公式，即正弦函数的倍角公式和余弦函数的倍角公式。
1. 正弦函数的倍角公式正弦函数的倍角公式可以表示为：sin(2θ) = 2sinθcosθ这个公式表明，正弦函数的两倍角可以表示为两个一角的正弦函数和余弦函数的乘积。
这个公式在解决一些三角函数的问题时非常有用。
2. 余弦函数的倍角公式余弦函数的倍角公式可以表示为：cos(2θ) = cos²θ - sin²θ这个公式表明，余弦函数的两倍角可以表示为一角的余弦函数和正弦函数的平方差。
同样地，这个公式在解决一些三角函数的问题时非常有用。
二、三角函数的半角公式与倍角公式类似，三角函数还有半角公式。
半角公式可以将一个角的三角函数表示为另一个角的三角函数和一个常数的形式。
1. 正弦函数的半角公式正弦函数的半角公式可以表示为：sin(θ/2) = √[(1 - cosθ)/2]根据这个公式，我们可以通过已知角的余弦函数值来求解未知角的正弦函数值，进而解决相关的数学问题。
2. 余弦函数的半角公式余弦函数的半角公式可以表示为：cos(θ/2) = √[(1 + cosθ)/2]这个公式与正弦函数的半角公式类似，可以帮助我们求解与角的余弦函数有关的问题。
三、三角函数公式的应用三角函数的倍角与半角公式在数学问题的求解中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 角的求解通过倍角公式和半角公式，我们可以解决与角度相关的问题。
例如，已知一个角的正弦函数值，我们可以利用正弦函数的半角公式计算出该角的半角的正弦函数值。
这样我们就能够准确地求解出未知角的值。
2. 三角函数的性质推导倍角和半角公式也可以用于三角函数性质的推导。
通过这些公式，我们可以进一步研究三角函数之间的关系，从而深入理解三角函数的性质和特点。
倍角公式和半角公式-简单难度-讲义
倍角公式和半角公式知识讲解一、倍角公式sin 22sin cos ααα=；2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=-22tan tan 21tan ααα=- 3sin 33sin 4sin ααα=-；3cos34cos 3cos ααα=-；323tan tan tan 313tan αααα-=- 二、半角公式1cos sin22αα-=±；1cos cos 22αα+=±； 1cos 1cos sin tan21cos sin 1cos ααααααα--=±==++ 三、万能公式22tan2sin 1tan 2ααα=+；221tan 2cos 1tan 2ααα-=+；22tan2tan 1tan 2ααα=-四、公式的推导sin 2sin()sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=22cos2cos()cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=⋅-⋅=- 再利用22sin cos 1αα+=，可得：2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- ()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==-⋅-sin 2tan2cos2ααα===sin 2sinsin1cos 222tan2sin cos 2sin cos 222ααααααααα-=== sin 2cossinsin 222tan21cos cos2cos cos222ααααααααα===+ 【说明】这里没有考虑cossin22αα==，实际处理题目的时候需要把等于０的情况分出来单独讨论一下．五、综合运用1.倍角、半角、和差化积、积化和差等公式的运用1）并项功能： 2221sin 2sin cos 2sin cos (sin cos )ααααααα±=+±=± 2）升次功能 ： 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- 3）降次功能： 221cos 21cos 2cos ,sin 22αααα+-== 2.三角变换中常用的数学思想方法技巧有：1）角的变换：和、差、倍、半、互余、互补的相对性，有效沟通条件与结论中角的差异， 比如：3015453060452︒︒=︒-︒=︒-︒=, ()()22αααββαββ=-+=+-=⋅()()()()ππ2()()44ααβαβαββααα=++-=+--=+--()()222βαβαβαααβα⎛⎫-=-+=-=-- ⎪⎝⎭ππππππ244362αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=++-=++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭π3ππ2ππ5ππ443366αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=++-=++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2）函数名称的变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数，在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名；有时可以使用万能公式将所有函数名化为正切； 3）常数代换：在三角函数运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如：2222ππππ1sin cos sec tan sintan 2sin 2464αααα=+=-===； 4）幂的变换：降幂是三角变换时常用的方法 常用的降幂公式有：21cos2cos 2αα+=，21cos2sin 2αα-=但降幂并非绝对，有时也需要对某些式子进行升幂处理，比如221cos22cos ,1cos22sin αααα+=-=；21sin 2(sin cos )ααα±=±；5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用， 例如：tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±⋅⋅m ； 6）辅助角公式的运用：在求值问题中，要注意辅助角公式() sin cos y a b αααϕ=++的应用，其中tan b aϕ=，ϕ所在的象限由,a b 的符号确定．典型例题一．选择题（共8小题）1．（2018•绵阳模拟）若，则tan2α=（）A．﹣3 B．3 C． D．【解答】解：∵=，可求tanα=﹣3，∴tan2α===．故选：D．2．（2018•海淀区校级三模）已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边落到直线y=﹣2x上，则cos2α=（）A．﹣ B． C．D．﹣【解答】解：∵角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边落到直线y=﹣2x上，∴tanα=﹣2，则cos2α====﹣，故选：A．3．（2018•中山市一模）函数y=2sin2（x+）﹣1是（）A．最小正周期为π的偶函数B．最小正周期为π的奇函数C．最小正周期为的偶函数D．最小正周期为的奇函数【解答】解：函数y=2sin2（x+）﹣1，化简可得y=﹣cos（2x+3π）=cos2x．∴函数y是最小正周期T==π的偶函数．故选：A．4．（2018春•福州期末）化简的结果为（）A．﹣2 B． C．﹣1 D．1【解答】解：==﹣=﹣1故选：C．5．（2017春•江西月考）已知α是第二象限角，且3sinα+4cosα=0，则tan=（）A．2 B．C．﹣2 D．﹣【解答】解：∵3sinα+4cosα=0，∴3tanα+4=0，可得：tanα=﹣=，整理可得：2tan2﹣3tan﹣2=0，∴解得：tan=2，或﹣，∵α是第二象限角，∴kπ+＜＜kπ+，k∈Z，∴tan＞0，故tan=2．故选：A．6．（2017春•简阳市期末）已知cos α=，α∈（），则cos 等于（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：∵已知cos α=，α∈（），∴∈（，π），则cos=﹣=﹣=﹣，故选：B．7．（2017春•西华县校级期中）如果|cos θ|=，＜θ＜4π，那么cos的值等于（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：|cos θ|=，＜θ＜4π，∴cosθ=，θ∈（，），∈（，），∴cos＞0，由cosθ=2﹣1=，得cos=，故选：C．8．（2016秋•怀仁县校级期中）已知，cos2x=a，则sinx=（）A．B．C． D．【解答】解：∵cos2x=a，∴1﹣2sin2x=a，可得sin2x=，又∵，可得sinx＜0，∴sinx=﹣．故选：B．二．填空题（共8小题）9．（2018春•浦东新区期末）若sinθ=﹣，且θ∈（﹣，0），则sin2θ=﹣．【解答】解：∵sinθ=﹣，且θ∈（﹣，0），∴=．∴sin2θ=2sinθcosθ==﹣．故答案为：．10．（2018春•南京期末）已知α为锐角，且，则sin2α的值为．【解答】解：∵α锐角，且，∴sin=，∴sin2α=2sinαcosα=2×=．故答案为：．11．（2018春•扬州期末）求值：sin75°•cos75°=．【解答】解：sin75°•cos75°==故答案为：12．（2018•道里区校级三模）已知tana=﹣2，则tan2a=．【解答】解：∵tana=﹣2，∴tan2a===，故答案为：．13．（2017•普陀区二模）若＜α＜π，sinα=，则tan=3．【解答】解：若＜α＜π，sinα=，则cosα=﹣=﹣，∴tan==3，故答案为：3．14．（2017春•邗江区校级期中）已知，则tanα的值为﹣．【解答】解：tanα===﹣，故答案为﹣．15．（2016秋•浦东新区校级期中）已知θ是第三象限角，若sinθ=﹣，则tan的值为﹣3．【解答】解：∵θ是第三象限角，若sinθ=﹣，∴cosθ=﹣，∴tan===﹣3．故答案是：﹣3．16．（2015•闵行区二模）若cosα=，且α∈（0，π），则tan=．【解答】解：∵cosα=，且α∈（0，π），∴sinα=，则tan===，故答案为：．三．解答题（共8小题）17．（2014春•瓜州县校级期中）（1）化简•，（2）一个扇形的面积为1，周长为4，则中心角的弧度数为？【解答】解：（1）•==2sinx；（2）设扇形的圆心角的弧度数为α，圆的半径为r，则，解得：α=2．18．（2013春•江西校级期末）已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+，△ABC 三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c且f（A）=1．（I）求角A的大小；（Ⅱ）若a=7，b=5，求c的值．【解答】解：（I）因为f（x）=sinxcosx﹣cos2x+==sin（2x﹣）…（6分）又f（A）=sin（2A﹣）=1，A∈（0，π），…（7分）所以，∴…（9分）（Ⅱ）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得到，所以c2﹣5c﹣24=0 …（11分）解得c=﹣3（舍）或c=8 …（13分）所以c=819．（2013•亭湖区校级二模）已知A，B，C是三角形△ABC三内角，向量，且．（1）求角A；（2）若，求的值．【解答】解：（1）∵∴，即，，∴，∵0＜A＜π∴∴∴．（2）由题知．20．（2013秋•缙云县校级期中）已知：sinα=，α∈（，π），求sin2α和cos2α的值．【解答】解：sinα=，α∈（，π），故有cosα=﹣=﹣，故sin2α=2sinαcosα=﹣；cos2α=1﹣2sin2α=．21．求证：（1）=；（2）tan=．【解答】证明：（1）∵等式的右边==== ===左边，∴等式=成立．（2）等式的右边== ==tan=左边，∴等式tan=成立．22．已知cosβ=﹣，（0＜β＜π），求：sin，cos，tan的值．【解答】解：∵0＜β＜π，∴∈（0，），sin，cos，tan的值都是正值．∵cosβ=﹣=2cos2﹣1，（0＜β＜π），∴cos=；∴tan===．23．已知sinα=，且α=（，π），求cos2α，sin2α及sin的值．【解答】解：∵sinα=，且α=（，π），∴cosα=﹣=﹣，∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣=，sin2α=2sinαcosα=﹣，由α∈（，π）知，∈（，），∴sin===．24．已知cosα=，α的终边在第四象限，求sin，cos，tan的值．【解答】解：α的终边在第四象限，且cosα=，∴2kπ﹣＜α＜2kπ﹣，k∈Z，即kπ﹣＜＜kπ﹣，k∈Z，∴为第二或第四象限角．由半角公式可知：sin2=（1﹣cosα）=×（1﹣）=，cos2=（1+cosα）=×（1+）=，当为第二象限角，∴sin＞0，cos＜0，tan＜0，∴sin==，cos=﹣=﹣，tan==﹣；当为第四象限角，∴sin＜0，cos＞0，tan＜0，∴sin=﹣=﹣，cos==，tan==﹣．。
倍角公式和半角公式课件
倍角公式的证明方法
01
02
03
04
证明倍角公式的方法有多种， 包括直接证明、反证法、数学
归纳法等。
直接证明是利用三角函数的定 义和性质，通过代数运算和恒
等变换来证明倍角公式。
反证法是通过假设倍角公式不 成立，然后推导出矛盾，从而
证明倍角公式成立。
数学归纳法是通过数学归纳法 的基本步骤，逐步推导倍角公
倍角公式和半角公式 课件
contents
目录
• 倍角公式介绍 • 倍角公式的推导与证明 • 半角公式介绍 • 半角公式的推导与证明 • 倍角公式和半角公式的比较与联系
01
倍角公式介绍
倍角公式的定义
定义
倍角公式是指利用三角函数的基 本关系，将一个角度的三角函数 值转化为两个相同或不同角度的 三角函数值的公式。
04
半角公式的推导与证明
半角公式的推导过程
半角公式是通过三角函数的和差化积公式推导出来的，通过对正弦、余弦函数进行 一系列的变形和运算，最终得到半角公式。
半角公式的推导过程需要运用三角函数的和差化积公式、二倍角公式以及三角函数 的周期性和奇偶性等基础知识。
在推导过程中，需要注意运算的准确性和逻辑的严密性，以确保最终得到的半角公 式是正确的。
单击此处添加正文，文字是您思想的提一一二三四五 六七八九一二三四五六七八九一二三四五六七八九文 ，单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了最 终呈现发布的良好效果单击此4*25}
在使用倍角公式和半角公式时，需要注意公式的适用 范围和限制条件，以确保公式的正确性和有效性。
THANKS
感谢观看
举例
$sin
2alpha
=
2sinalphacosalpha$，$cos
倍角公式和半角公式的推导和应用
倍角公式和半角公式的推导和应用倍角公式和半角公式是数学中常见的公式，它们在解决三角函数问题和几何问题中起着重要的作用。
本文将对倍角公式和半角公式进行推导，并探讨其在实际问题中的应用。
一、倍角公式的推导和应用1. 正弦倍角公式的推导在三角函数中，正弦函数的倍角公式可以通过欧拉公式得出。
欧拉公式是一个重要的数学公式，表达为：e^ix = cos(x) + isin(x)其中，e是自然对数的底，i称为虚数单位，满足i^2 = -1。
我们可以通过欧拉公式将sin(x)表示成e的形式：sin(x) = (e^(ix) - e^(-ix)) / (2i)因此，sin(2x)可以表示为：sin(2x) = (e^(2ix) - e^(-2ix)) / (2i)再利用欧拉公式化简上式，得到：sin(2x) = 2isin(x)cos(x)2. 余弦倍角公式的推导余弦函数的倍角公式可以通过sin(2x)的推导得出。
我们已经推导出了sin(2x)的表达式，可以通过将其代入三角函数等式cos^2(x) + sin^2(x) = 1，得到：cos^2(x) + (2isin(x)cos(x))^2 = 1化简上式，得到：cos^2(x) - sin^2(x) = 1 - 4sin^2(x)cos^2(x)进一步化简，得到：cos^2(x) - sin^2(x) = (1 - 2sin^2(x))(1 - 2cos^2(x))利用三角函数关系cos^2(x) = 1 - sin^2(x)，化简上式，得到：cos(2x) = 2cos^2(x) - 1倍角公式可以应用到很多问题中，例如求解三角方程、计算三角函数值等。
通过利用倍角公式，我们可以将原问题化简为更简单的形式，从而更易解决。
二、半角公式的推导和应用1. 正弦半角公式的推导正弦函数的半角公式可以通过倍角公式推导得出。
我们已经推导出了sin(2x)的表达式，将其中的2x替换为x，得到：sin(x) = 2sin(x/2)cos(x/2)进一步化简上式，得到：sin(x/2) = ±√[(1 - cos(x))/2]2. 余弦半角公式的推导余弦函数的半角公式可以通过倍角公式推导得出。
最新倍角公式和半角公式一资料
最新倍角公式和半角公式一资料倍角公式和半角公式是解析几何中常用的一组公式，用于求解两个角的倍角和半角。
它们在三角函数、平面几何和立体几何等应用领域都有广泛的应用。
下面将详细介绍最新的倍角公式和半角公式，并给出相关的例题和解析。
一、倍角公式倍角公式是指将一个角的角度加倍后的角的正弦、余弦、正切等三角函数与原来的角度的三角函数之间的关系。
1.正弦的倍角公式sin2θ = 2sinθcosθ通过这个公式，我们可以将一个角的正弦值表示为这个角的余弦值和正弦值的乘积的二倍。
例题1：已知角A的正弦值为1/2，求角2A的正弦值。
解析：根据倍角公式，sin2A = 2sinAcosA代入sinA = 1/2，得到sin2A = 2 × 1/2 × √3/2 = √3/2所以角2A的正弦值为√3/22.余弦的倍角公式cos2θ = cos^2θ - sin^2θ通过这个公式，我们可以将一个角的余弦值表示为这个角的余弦值和正弦值的差的平方。
解析：根据倍角公式，cos2B = cos^2B - sin^2B代入cosB = 3/5，sinB = √1 - cos^2B = √1 - 9/25 = 4/5，得到cos2B = (3/5)^2 - (4/5)^2 = 9/25 - 16/25 = -7/25所以角2B的余弦值为-7/253.正切的倍角公式tan2θ = (2tanθ)/(1 - tan^2θ)通过这个公式，我们可以将一个角的正切值表示为这个角的正切值的两倍除以1减去这个角的正切值的平方。
例题3：已知角C的正切值为2，求角2C的正切值。
解析：根据倍角公式，tan2C = (2tanC)/(1 - tan^2C)代入tanC = 2，得到tan2C = (2 × 2)/(1 - 2^2) = -8/3所以角2C的正切值为-8/3二、半角公式半角公式是指将一个角的角度减半后的角的正弦、余弦、正切等三角函数与原来的角度的三角函数之间的关系。
三角函数的倍角与半角公式
三角函数的倍角与半角公式三角函数在数学中有着广泛的应用，其中倍角与半角公式是计算三角函数值时常用的工具。
倍角公式用于将角度扩大为原来的两倍，而半角公式则是将角度缩小为原来的一半。
本文将详细介绍三角函数的倍角和半角公式，以及它们的相关性质和应用。
一、正弦函数的倍角与半角公式1. 倍角公式对于一个角θ，其正弦函数值sinθ可以表示为以下两个倍角公式之一：sin(2θ) = 2sinθcosθsin^2θ = (1 - cos2θ)/2在上述公式中，θ为任意角度。
2. 半角公式对于一个角θ，其正弦函数值sinθ也可以表示为以下两个半角公式之一：sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2]sin^2(θ/2) = (1 - cosθ)/2值得注意的是，在半角公式中，sin(θ/2)的符号取决于θ的象限。
二、余弦函数的倍角与半角公式1. 倍角公式对于一个角θ，其余弦函数值cosθ可以表示为以下两个倍角公式之一：cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ = 1 - 2sin^2θ = 2cos^2θ - 1在上述公式中，θ为任意角度。
2. 半角公式对于一个角θ，其余弦函数值cosθ也可以表示为以下两个半角公式之一：cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2]cos^2(θ/2) = (1 + cosθ)/2与正弦函数的半角公式类似，cos(θ/2)的符号取决于θ的象限。
三、正切函数的倍角与半角公式1. 倍角公式对于一个角θ，其正切函数值tanθ可以表示为以下倍角公式：tan(2θ) = (2tanθ)/(1 - tan^2θ)在上述公式中，θ为任意角度且不等于(2n + 1)π/2，其中n为整数。
2. 半角公式对于一个角θ，其正切函数值tanθ也可以表示为以下半角公式之一：tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)]tan^2(θ/2) = (1 - cosθ)/(1 + cosθ)值得注意的是，在半角公式中，tan(θ/2)的符号取决于θ的象限。
三角函数的倍角与半角公式
三角函数的倍角与半角公式三角函数是数学中的重要概念，与几何形状和角度有关。
在三角函数中，倍角与半角是一种常见的概念，它们可以帮助我们简化计算并得到更方便的结果。
本文将介绍三角函数的倍角与半角公式，希望能够帮助读者更好地理解和应用三角函数。
一、正弦函数的倍角与半角公式正弦函数是三角函数中常见的一种，表示为sin(x)。
在正弦函数中，倍角与半角的关系可以通过以下公式来表示：1. 倍角公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)这个公式告诉我们，在计算sin(2x)时，可以通过sin(x)和cos(x)来计算，而不需要直接计算sin(2x)。
这样可以简化计算，并且减少出错的可能性。
2. 半角公式：sin^2(x/2) = (1 - cos(x))/2这个公式告诉我们，如果已知cos(x)，可以通过该公式来计算sin(x/2)的平方。
同样地，这也可以简化计算过程，并提高计算的准确性。
二、余弦函数的倍角与半角公式余弦函数是三角函数中的另一种重要函数，表示为cos(x)。
在余弦函数中，倍角与半角的关系可以通过以下公式来表示：1. 倍角公式：cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)这个公式告诉我们，在计算cos(2x)时，可以通过已知的cos(x)和sin(x)来计算，而不需要直接计算cos(2x)。
这样可以减少计算的复杂性，并提高计算的准确性。
2. 半角公式：cos^2(x/2) = (1 + cos(x))/2这个公式告诉我们，如果已知cos(x)，可以通过该公式来计算cos(x/2)的平方。
同样地，这也可以简化计算过程，并提高计算的准确性。
三、正切函数的倍角与半角公式正切函数是三角函数中的另一个重要函数，表示为tan(x)。
在正切函数中，倍角与半角的关系可以通过以下公式来表示：1. 倍角公式：tan(2x) = (2tan(x))/(1 - tan^2(x))这个公式告诉我们，在计算tan(2x)时，可以通过已知的tan(x)来计算，而不需要直接计算tan(2x)。
三角函数的倍角与半角公式
三角函数的倍角与半角公式三角函数是数学中重要的概念之一，它在解决几何问题、物理问题等方面具有广泛的应用。
在使用三角函数时，我们常常会遇到倍角和半角的情况。
倍角与半角公式是用来计算倍角和半角的数学公式，帮助我们简化计算，并且拓展了三角函数的应用范围。
下面，我们将介绍三角函数的倍角和半角公式以及它们的推导过程。
一、正弦函数的倍角与半角公式1. 倍角公式：当角A的余弦值已知时，我们可以通过倍角公式计算角2A的正弦值。
设角A的余弦值为cos(A)，则角2A的正弦值为：sin(2A) = 2 *sin(A) * cos(A)。
2. 半角公式：当角B的正弦值已知时，我们可以通过半角公式计算角B/2的余弦值。
设角B的正弦值为sin(B)，则角B/2的余弦值为：cos(B/2) = √[(1+ cos(B)) / 2]。
二、余弦函数的倍角与半角公式1. 倍角公式：当角C的正弦值已知时，我们可以通过倍角公式计算角2C的余弦值。
设角C的正弦值为sin(C)，则角2C的余弦值为：cos(2C) =cos^2(C) - sin^2(C)。
2. 半角公式：当角D的余弦值已知时，我们可以通过半角公式计算角D/2的正弦值。
设角D的余弦值为cos(D)，则角D/2的正弦值为：sin(D/2) = √[(1 - cos(D)) / 2]。
三、正切函数的倍角与半角公式1. 倍角公式：当角E的正切值已知时，我们可以通过倍角公式计算角2E的正切值。
设角E的正切值为tan(E)，则角2E的正切值为：tan(2E) = (2 * tan(E)) / (1 - tan^2(E))。
2. 半角公式：当角F的正切值已知时，我们可以通过半角公式计算角F/2的正弦值和余弦值。
设角F的正切值为tan(F)，则角F/2的正弦值为：sin(F/2) = (2 * tan(F)) / (1 + tan^2(F))。
角F/2的余弦值为：cos(F/2) = (1 - tan^2(F)) / (1 + tan^2(F))。
三角函数的倍角与半角公式
三角函数的倍角与半角公式三角函数是数学中的重要概念，它在几何、物理、工程等众多领域中都有广泛应用。
本文将介绍三角函数的倍角与半角公式，它们是求解三角函数值的重要工具。
一、正弦函数的倍角与半角公式正弦函数是三角函数中的一种，表示角的正弦值与其对边与斜边之比。
正弦函数的倍角与半角公式如下：1. 倍角公式：sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)2. 半角公式：sin(θ/2) = ±√[(1-cos(θ))/2]其中，θ为任意角。
二、余弦函数的倍角与半角公式余弦函数是三角函数中的另一种，表示角的余弦值与其邻边与斜边之比。
余弦函数的倍角与半角公式如下：1. 倍角公式：cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ)2. 半角公式：cos(θ/2) = ±√[(1+cos(θ))/2]其中，θ为任意角。
三、正切函数的倍角与半角公式正切函数是三角函数中的第三种，表示角的正切值与其对边与邻边之比。
正切函数的倍角与半角公式如下：1. 倍角公式：tan(2θ) = (2tan(θ))/(1-tan²(θ))2. 半角公式：tan(θ/2) = ±√[(1-cos(θ))/(1+cos(θ))]其中，θ为任意角。
四、倍角公式与半角公式的推导这些倍角与半角公式的推导过程相对复杂，本文不再赘述。
读者可通过数学教材或网络搜索了解具体的推导过程。
五、例题演练为了更好地理解倍角与半角公式的应用，我们通过一些例题来进行演练。
例题一：已知sinθ = 3/5，求cos(2θ)的值。
解析：根据倍角公式cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ)，代入sinθ的值可得：cos(2θ) = cos²(θ) - (1 - cos²(θ)) = 2cos²(θ) - 1由sinθ = 3/5，可得cos²(θ) = 1 - sin²(θ) = 1 - (9/25) = 16/25代入结果得：cos(2θ) = 2(16/25) - 1 = 32/25 - 1 = 7/25例题二：已知tan(θ/2) = 4/3，求sinθ的值。
三角函数倍角半角公式大全
三角函数倍角半角公式大全三角函数是数学中的一个重要分支，它在几何、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
其中，倍角公式和半角公式是三角函数中常见的一类公式，它们可以帮助我们简化复杂的三角函数表达式，从而方便求解问题。
在本文中，我们将详细介绍三角函数的倍角公式和半角公式，帮助读者更好地理解和应用这些重要的数学工具。
1.倍角公式的概念和推导在三角函数中，倍角指的是角度的两倍。
而倍角公式则是用来表示一个角的两倍的三角函数值与该角的三角函数值之间的关系。
常见的倍角公式包括正弦函数的倍角公式、余弦函数的倍角公式和正切函数的倍角公式。
1.1正弦函数的倍角公式正弦函数的倍角公式可以表示为：sin(2θ) = 2sinθcosθ其中，θ表示原角的大小。
这个公式可以通过利用三角形的性质和勾股定理来进行推导。
假设在单位圆上，一个角的终边与x轴的交点为P(x, y)，那么P点的坐标可以表示为(cosθ, sinθ)。
因此，角2θ的终边与x轴的交点可以表示为(cos2θ, sin2θ)。
通过单位圆的性质，我们可以得到：cos2θ = cos^2θ - sin^2θsin2θ = 2sinθcosθ将sin2θ的表达式带入上述公式中，即可得到正弦函数的倍角公式。
1.2余弦函数的倍角公式余弦函数的倍角公式可以表示为：cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θcos(2θ) = 2cos^2θ - 1cos(2θ) = 1 - 2sin^2θ这个公式可以通过正弦函数的倍角公式推导得到。
首先，根据正弦函数的倍角公式，我们可以将cos2θ表示为cos2θ = 1 -2sin^2θ。
然后，利用三角恒等式sin^2θ + cos^2θ = 1，可以将cos2θ用sinθ表示出来。
1.3正切函数的倍角公式正切函数的倍角公式可以表示为：tan(2θ) = (2tanθ)/(1 - tan^2θ)这个公式可以通过利用sin2θ和cos2θ的表达式，以及tanθ = sinθ/cosθ的表达式，将sin2θ和cos2θ用tanθ表示出来，并进行简化得到。
倍半角公式
倍半角公式倍半角公式是指将角度用倍数或半数表示的三角函数公式。
这些公式可以用来简化三角函数计算，特别是在高中数学和工程学中经常使用。
以下是一些常见的倍半角公式：正弦函数：$$begin{aligned}sin(2theta)&=2sinthetacosthetasin(frac{theta}{2})&=pmsqrt{frac{1-costheta}{2}}end{aligned}$$余弦函数：$$begin{aligned}cos(2theta)&=cos^2theta-sin^2thetacos(frac{theta}{2})&=pmsqrt{frac{1+costheta}{2}}end{aligned}$$正切函数：$$begin{aligned}tan(2theta)&=frac{2tantheta}{1-tan^2theta}tan(frac{theta}{2})&=pmsqrt{frac{1-costheta}{1+costheta}} end{aligned}$$这些公式可以用来在不使用计算器的情况下，快速计算三角函数的值。
例如，要计算$sin(frac{5pi}{8})$，可以使用倍半角公式将其表示为$sin(frac{pi}{2}-frac{pi}{8})=cos(frac{pi}{8})$，然后再使用正弦函数公式计算出$cos(frac{pi}{8})$的值。
倍半角公式还可以用来推导其他常用的三角函数公式，如和差公式和半角公式等。
因此，熟练掌握倍半角公式对于学习三角函数和解决三角函数相关问题非常有帮助。
倍半角公式
倍半角公式倍半角公式，简称求根公式，是指用一元二次方程通式解法求解二次方程的公式，广泛应用于数学、物理等领域。
在本文中，我们将简要介绍倍半角公式的定义、特点及应用。
一、定义对于一元二次方程ax²+bx+c=0（其中a≠0），它的通式解法也就是倍半角公式为：x1,x2=[-b±√(b²-4ac)]/2a其中，x1和x2分别表示方程的两个解，其具体的求解方法是：首先将b²-4ac计算出来，再求其平方根得到√(b²-4ac)，然后带入公式中计算x1和x2的值，即可求出方程的两个解。
二、特点倍半角公式是一种非常重要的求解二次方程的方法，它的特点有以下几点：1.适用于所有的一元二次方程，包括有理数、无理数和复数。
2.倍半角公式的推导需要借助基本初等函数和三角函数及三角恒等式的知识。
3.倍半角公式的求解结果可能包括重复根，在求解的过程中需要注意。
4.倍半角公式适用于所有的一元二次方程，但是在实际应用中需要考虑方程的特殊性质，避免出现无解或者多解的情况。
三、应用倍半角公式在数学和物理等领域都有广泛的应用，具体包括以下几个方面：1.求解抛物线、圆以及椭圆、双曲线等二次曲线方程。
2.求解一些工程、经济学问题中涉及到的最优解问题，如求解最小二乘问题等。
3.在数学、物理等领域中，倍半角公式还经常被用来求解一些特殊函数的根。
4.倍半角公式也可以被用来证明一些数学重要问题，如勾股定理等。
5.在高中数学教学中，倍半角公式也被广泛应用于一元二次方程的教学中，帮助学生更好地掌握解方程的方法。
综上所述，倍半角公式作为一种求解二次方程的重要方法，具有广泛的应用前景。
在实际应用中，我们需要根据具体的问题特点，灵活运用倍半角公式和其他数学方法，快速解决问题。
半角倍角公式
半角倍角公式——数学中的常用公式一、什么是半角倍角公式？是数学中的一种基础公式，能够在数学推理、计算和解题中起到重要的作用。
二、半角与全角在介绍半角倍角公式之前，需要了解半角和全角的概念。
半角是指英文字符的输入方式，每个字符占用一个宽度，其中字母、数字和符号都是半角。
而全角是指中文字符的输入方式，每个字符占用两个宽度，中文字符都是全角。
三、半角倍角公式的定义是指将一个角的正弦、余弦、正切、余切的值，转化为它的两倍角或半角的值。
而正弦、余弦、正切、余切则是三角函数中常见的概念，它们分别代表了一个角度在不同直角三角形的比例关系。
四、半角倍角公式的推导1.正弦的半角公式：sin(2θ)=2sinθcosθsin(θ/2)=±√[(1-cosθ)/2]2.余弦的半角公式：cos(2θ)=cos²θ-sin²θcos(θ/2)=±√[(1+cosθ)/2]3.正切的半角公式：tan(2θ)=(2tanθ)/(1-tan²θ)tan(θ/2)=±√[(1-cosθ)/(1+cosθ)]4.余切的半角公式：co t(2θ)=[cot²θ-1]/2cotθcot(θ/2)=±√[(1+cosθ)/(1-cosθ)]五、半角倍角公式的使用在数学中，半角倍角公式可以帮助我们简化计算，提高计算效率。
当需要计算复杂的三角函数时，可以首先将其转化为半角或倍角的形式，再进行计算。
此外，半角倍角公式还常常用于解题，如求角的大小、判断角度是否相等等等。
六、半角倍角公式的实际应用不仅在数学中有着很大的作用，还可以用于其他领域。
如在工程设计中，计算机辅助设计（CAD）中的角度大小及其转化、角度的摆放等都需要用到半角倍角公式。
在图形学中，旋转变换、形态变换等也需要用到半角倍角公式。
七、总结是数学中的一种基础公式，能够在数学推理、计算和解题中起到重要的作用。
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倍角公式和半角公式
【基础知识】
1.倍角公式=α2sin __________________； _______________________________________________2cos ===α；
____________________2tan =α.
2.半角公式.___________2
tan
_;__________2
cos
_;__________2
sin
===α
α
α
(注意符号的选择)
3.升幂公式=+αcos 1 =-αcos 1 =+α2cos 1 =-α2cos 1 降幂公式=2
cos 2
α
=2
sin 2
α
=α2cos =α2sin
4.积化和差公式：=βαcos cos
=βαsin sin =βαcos sin =βαsin cos
5.和差化积公式：sinx+siny= ;sinx-siny=
cosx+cosy= ;cosx-cosy= . 6.掌握“弦化切”的二倍角公式
ααα2tan 1tan 22sin += α
α
α2
2tan 1tan 12cos +-= 【自主检测】
一．选择题（共10题，每题5分，共50分） 1.=125cos 12cos ππ （ ） A. 161 B. 81 C . 41 D. 21
2.=+-)12
sin 12)(cos 12sin 12(cos ππππ ( )
A ．2
3-
B ．2
1-
C ．
2
1 D ．
2
3 3.已知),4
,4(,542sin π
παα-∈-=则α4sin 的值为 （ ） A. 2524 B. 2524- C. 54 D. 25
7
4.0215cos 3
4
32+-
= （ ） A .
23 B. 33 C. 2
2
D. 21
5.已知)0,2(π
-
∈x ，5
4
cos =
x ，则=x 2tan （ ）
A.247
B. 247-
C. 724
D. 7
24- 6.若ΔABC 内角A 满足sin2A=3
2
，则sinA+cosA= （ ）
A.
315 B . 3
15
- C . 35 D. 35-
7.已知tan =+=+-2
tan 01x 8x 7tan 2
β
αβα的两个根，则是方程， （ ）
A. -2
B. 21
C. -2或21
D. 2或2
1 8.已知==αα
cos ,32
tan 则
（ ） A ．
5
4
B ．－
5
4 C ．
15
4
D ．－
5
3 9. 若sin αcos α=25
12
，则cos2α等于 （ ） A.
257 B. 257± C. 257- D. 5
13±
10.α
α
⋅
α+α221222cos cos cos sin = （ ）
A ．αtan
B ．α2tan
C ．1
D ．
2
1
11．当0<x <π
2时，函数f (x )＝1＋cos2x ＋8sin 2x sin2x
的最小值为 ( )
A ．2
B ．23
C ．4
D ．43
12.sin(180°＋2α)1＋cos2α·cos 2αcos(90°＋α)
等于 ( )
A ．－sin α
B ．－cos α
C ．sin α
D ．cos α
二.填空题（4×5=20分）
13.已知3
322cos 2sin =+θθ，那么θsin 的值为_____，θ2cos 的值为___ _．
14.已知5
3
|cos |=θ且πθπ325<<，则=2sin θ =2cos θ
15.化简)2
4(sin 2)2cos 2(sin
22α
-π+α+α得 . 16.化简： )
2
9sin()sin()3sin()cos()
211cos()2cos()cos()2sin(απ
απαπαπαπαπαπαπ+-----++-＝___________
三.解答题
17.已知α为钝角，β为锐角，且54sin =α，13
12
sin =β， 求2cos βα-的值.
18．已知α、β为锐角，向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，
c ＝(12，－12)．
(1)若a ·b ＝
2
2，a ·c ＝3－14
，求角2β－α的值； (2)若a ＝b ＋c ，求tan α的值．
19.已知tan 22
=α，求：
（Ⅰ）4
tan(π
α+）的值；（Ⅱ）
α
αα
αcos 2sin 3cos sin 6-+的值.
20.已知函数f(x)=sin(2x+
6π)+sin(2x-6
π
)+2cos 2x(x ∈R)． (1)求函数f(x)的最大值及此时自变量x 的取值集合；
(2)求函数f(x)的单调递增区间；。