初等几何专题研究(1～7)

18.⊙O1、⊙O2 半径皆为 r，⊙O1 平行四边形`过的二顶 A、B， ⊙O
2 过顶点
B、C，M
D
C
是⊙O1、⊙O2 的另一交点，求证△AMD 的外接圆半径也是 r．证明:设 O 为 MB 的终点 连接 CO 并延长⊙O1 于 E ∵O 平分 MB O 平分
A O
1
M O B
O
2
则由对称知 O 为 CE 的中点 CE
1 BD， 求证:BD 2
AED BCA 90 CBD CAF 又 ACF BCA 90 又 AE
ADE BDC AC BC
ACF BCD AF BD 1 1 BD AE AF 2 2 又 ABEE BE BE平分ABF 即BD平分ABC
初等几何专题研究
一、线段与角的相等 1． ⊙O1、⊙O2 相交于 A、B，⊙O1 的弦 BC 交⊙O2 于 E，⊙O2 的弦 BD 交⊙O1 于 F， 求证: （1）若∠DBA=∠CBA，则 DF=CE； (2) 若 DF=CE，则∠DBA=∠CBA． 证明:(1)连接 AC、AE、AF、AD 在⊙O1 中，由∠CBA=∠DBA 得 AC=AF 在⊙O2 中，由∠CBA=∠DBA 得 AE=AD 由 A、C、B、E 四点共圆得∠1=∠2 由 A、D、B、E 四点共圆得∠3=∠4 所以△ACE≌△AF ∴DF=CE ∵DF=CE
∴∠1=∠3，∠2=∠4，∠6=∠7 ∴A、C、N、D 共圆（视角相等） ∴∠5=∠6 即∠ACD=∠BCM
∴∠3=∠4
∴∠5=∠7（同弧 AD）
17. 已知∠ABC=∠ACD=60°， 且∠ADB=90°的 证明:延长 CD 使得 BD＝DE，并连结 AE ∴2∠ADB＋∠BDC＝180° ∴∠ADB＝∠ADE
3.已知，在凸五边形 ABCDE 中，∠BAE=3 ，BC=CD=DE，且∠BCD=∠CDE=180°－2 ，求证:∠ BAC=∠CAD=∠DAE．
1
证明 : 连接 BD ，得 Δ CBD 是等腰三角形且底角是∠ CDB=[180 °－ (180°－2 )]÷2= ． ∴∠BDE=(180°－2 )- =180°－3 同理 A、C、D、E 共圆 ∴A、B、D、E 共圆
F H G r O J D C L E K r A
1 1 1 1 1 1 即: BF×r+ FO×r+ BO×r= CE×r+ OE×r+ OC×r 2 2 2 2 2 2
I B
1 1 (BF+FO+BO)×r= (CE+OE+OC)×r 2 2
BF+FO+BO=CCE+OE+OC ∴CE+OE+OC-OG-OI=CE+OE+OC-OL-OJ 又 F、E 分别为 AB、AC 之中点 ∴AB=AC
∵两个相等的内切圆☉O1 、☉O3 在对顶三角形 △AOB 与△COD 中 ∴周长 C△AOB=C△COD
C
∴AO+BO+AB=CO+DO+CD OP=OQ=OM=ON
又∵
∴（AO+BO+AB)-(OP+OQ)=(CO+DO+CD)-(OM+ON) ∴2AB=2CD ∴AB=CD 同理 AD=BC ∴四边形 ABCD 是菱形
∴四边形 ADBH 是□ ∴BD=R，而 CD=2R
又∵AH 等于外接圆的半径(R)
∴在 Rt△BCD 中，CD=2BD，即∠BCD=30° 又∵∠BAC=∠BDC
∴∠BDC=60°
∴∠BAC=∠BDC=60°
5. 在△ABC 中，∠C=90o，BE 是∠B 的平分线，CD 是斜边上的高，过 BE、CD 之交点 0 且平行于 AB 的直线分别交 AC、BC 于 F、G，求证 AF=CE． 证明:如图∵∠1＝∠3，∠1=∠2． ∵ ∠5=∠4=∠6，∴CO =CE， ∴AF／CF=BG／CG=GO／CG， ∴CO／CF=GO／CG=AF／CF， ∴∠2=∠3， ∴GB = GO，
∴A，E，D，F 四点共圆． E 又∠ABC=∠ADE=∠AFE． ∴∠BAC=∠BFC． ∴∠BAC=∠DAE．
A
∴A，B，C，F 四点共圆 又∠DFE=∠BFC．
20. 在锐角△ABC 中，过各顶点作其外接圆的切线，A、C 处的两切线分别交 B 处的切线于 M、N，设 BD 是△ABC 的高（D 为垂足） ，求证:BD 平分∠MDN． 证明:如上图，m、n 分别表示过 M、N 的切线长，再自 M 作 MM’ ⊥ AC 于 M’，作 NN’⊥AC 于 N’， 则有 ∴△MAM’∽△NCN’ ∵∠N＝∠B＝∠NCN’
∴∆BCE'≌∆ACE ∴∆BHE∽∆ACE
∵DL∥CK∥E'B 及 DC=CE'
∴KL=LB．
6
16. 点 M 在四边形 ABCD 内，使得 ABMD 为平行四边形，试证:若∠CBM= ∠CDM，则∠ACD=∠BCM． 证明:作 AN∥BC 且 AN=BC，连接 DN、NC ∵ABMD 为平行四边形，AN∥BC 且 AN=BC ∴ABCN、DMCN 为平行四边形，AD=BM ∴△ADN≌△BMC ∵∠1=∠2 ∴DN=CM、AN=BC
1 ∠BDC， 求证:△ABC 是等腰 2
∵∠ADB＝90°－
1 ∠BDC 2
又∠BDC＋∠ADB＋∠ADE＝180° ∴△ADB≌△ADE
又∵BD＝DE，AD＝AD
∴∠ABD＝∠AED＝60°，AB＝AE ∴△ACE 为正三角形 ∴AC＝AE
又∵∠ACD＝60° ∴AB＝AC ∴△ABC 为等腰三角形
(2)由（1）得∠1=∠2，∠3=∠4 ∴△ACE≌△AFD ∴AD=AE
在⊙O2 中，由 AD=AE 可得∠DBA=∠CBA
2.在△ABC 中， AC=BC， ∠ACB=90O ， D 是 AC 上的一点， AE⊥BD 的延长线于 E， 又 AE= 平分∠ABC． 证明:延长 AE，BC 交于点 F
证明:连结 O1 、O2，分别作 O1 、O2 到 AC 的垂线，垂足分别为 P 、M ∵在△ABC 中，BO 是☉O1 、☉O2 的公切线 ∴BO⊥O1 O2 又∵☉O1 、☉O2 半径相同，且都与 AC 相切 ∴O1 O2‖AC ∴BO⊥AC BD⊥AC
B O1 Q O2 P O4 O N D M O3 A
B
M K H
C
13．
在矩形 ABCD 中，M 是 AD 的中点，N 是 BC 的中点，在 CD 的延
长线取 P 点，记 Q 为 PM 与 AC 的交点，求证:∠QNM＝∠MNP
5
证明:利用矩形的中心
设 O 是矩形 ABCD 的中心，则 O 也是 MN 的中点，
延长 QN 交 OC 的延长线于 R，如图，则 O 又是 PR 的 中点，故 NC 平分∠PNR． ，而 NM⊥NG． ∴NM 平分∠PNQ
∵AD 是∠A 的平分线 ∵CE∥AD
∴∠3=∠5， ∠4=∠2
∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠5 ∴AF=DF，EF=CF ∴△ABC 是等腰三角形 ∴AC=DE
则△FAD 和△FCE 是等腰三角形 同理可证 BC=DE ∴AC=BC
7． 三条中线把△ABC 分成 6 个三角形，若这六个三角形的内切圆中有 4 个相等． 求证:△ABC 是正三角形． 证明:∵△AOF、△AOE、△COD、△COE、△BOF、△BOD 面积 都相等 ∴S△OFB=S△OEC
∴四边形 ABCD 是平行四边形又∵AC⊥BD
10. 在锐角△ABC 中，BD，CE 是两高，并自 B 作 BF⊥DE 于 F，自 C 作 CG⊥DE 于 G，证明:EF=DG． 证明:设 O，M 分别是 BC，FG 的中点， 因为 BF⊥FG， 所以 OM⊥FG， 所以 BCDE 四点在以 BC
4
CD 1 OD 2
∵∠DOA=∠D ∴
KO 1 AO 2
∴△AOK～
∵ OA=OB
∴OB=OA=2KO，即 OK=KB
15． 从 C、
在等腰直角∆ABC 的两直角边 CA，CB 上取点 D、E 使 CD=CE，
D 引 AE 得垂线，并延长它们分别交 AB 于 K、L，求证:KL=KB． 证明:延长 AC 至 E'使 CE'=CE，再连 BE'交 AE 的延长线于 H． ∵∆ABC 是等腰直角三角形 又∵CE=CE' ∵∠AEC=∠BEH ∴AC=BC ，∠ACB=∠BCE'=90° ∴∠CAE=∠CBE' ∴∠BHE=∠ACB=90°
7
E
∴MEBC 是平行四边形 ∴MEAD 亦是平行四边形
∴ME∥BC∥AD ∴△MAE≌△AMD
∴△AMD 的外接圆半径也为 r
19．
在凸五边形 ABCDE 中，有∠ABC=∠ADE，∠
D F C
AEC=∠ADB，相交于 F，如图，
B
∵∠AEC=∠ADB． ∴∠DAE=∠DFE．
B F D H
L I M K
G C
E O
12．在△ABC 中，M 是 BC 的中点，I 是内心，AH⊥BC 于 H，AH 交 MI 于 E， 求证:AE 与内切圆半径相等． 证明:如图所示 作△ABC 的内切圆，
A L
F
E G I
∴切点分别交于 BC 于点 K、AB 于点 F、AC 于点 G，连接 KL 与 AC ∴ KL 是直径， 又∵AH⊥BC 上 ∴AE∥LI 证． ∴四边形 AEIL 为平行四边形 ∴AE＝LI 命题得 又∵M 为 BC 的中点，I 为内心，则 AL∥ＭＩ ∴AH∥LK 又∵点 E 点 I 分别都在 AH、LK
D
3
E
O
I B