课外补充习题与自测题多元实值函数的积分
《多元函数积分学》练习题参考答案
∫ ∫
2 1 2
dx ∫ dy ∫
2
4− x 1 4− y 1
f ( x, y ) dy f ( x, y ) dx
2 4− y 1
（B） （D）
∫
2 1 2 1
dx ∫
4− x
x
2
f ( x, y ) dy
1
∫
dy ∫ f ( x, y ) dx
y
2 4− y 1 1
∫
2
1
dx ∫ f ( x, y ) dy + ∫ dy ∫
0 < r < R, 顺时针 ，沿 L 与 L1 围成 D ，
I =� ∫=
L
L + L1
− ⎟ dσ − � � ∫ −� ∫ = =∫∫ ⎜ ∫ ⎝ ∂x ∂y ⎠
L1 D
⎛ ∂Q
∂P ⎞
L1
y dx − x dy y dx − x dy = ∫∫ 0dσ − � 2 2 ∫ L1 x + 4y r2 D
） ． （ D） I 4
（ A） I 1 解：由对称性 I 2 =
（B） I 2
（C） I 3
∫∫ y cos xdxdy = 0 ，
D2 D1
I 4 = ∫∫ y cos xdxdy = 0 ，
D4
在 D1 上， y cos x > 0 ，所以 I1 = 在 D3 上 y cos x < 0 ， 所 以 I 3 =
则 f ( x, y ) = xy +
1 8
P105-练习 3 计算 I = 解
2 2
∫∫ x
D
2
+ y 2 − 1 dσ ，其中 D : 0 ≤ x ≤ 1 ， 0 ≤ y ≤ 1 ．
多元函数积分学辅导讲义与典型例题答案解析
一、本章学习要求与内容提要（一）学习要求1．了解二重积分的概念, 知道二重积分的性质.2．掌握二重积分在直角坐标系下和极坐标系下的计算方法. 3．会用二重积分解决简单的实际应用题(体积、质量). 4．了解曲线积分的概念和性质. 5．会计算简单的曲线积分.重点 二重积分的概念，直角坐标系与极坐标系下二重积分的计算，曲线积分的概念，格林公式，曲线积分的计算，用二重积分解决简单的实际应用题.难点 直角坐标系与极坐标系下二重积分的计算，格林公式，曲线积分的计算，用二重积分解决简单的实际应用题.（二）内容提要 1．二重积分设二元函数),(y x f z =是定义在有界闭区域D 上的连续函数，用微元法先找出体积微元，再累加求出总体，由这两步所得的表达式，即⎰⎰Dy x f σd ),(称为函数),(y x f z =在闭区域D 上的二重积分，其中),(y x f 称为被积函数，σd ),(y x f 称为被积表达式，D 称为积分区域，σd 称为面积元素，y x 与称为积分变量.2．二重积分的几何意义 在区域D 上当0),(≥y x f 时，⎰⎰Dy x f σd ),(表示曲面),(y x f z =在区域D 上所对应的曲顶柱体的体积.当),(y x f 在区域D 上有正有负时，⎰⎰Dy x f σd ),(表示曲面),(y x f z =在区域D 上所对应的曲顶柱体的体积的代数和.3． 二重积分的性质 (1)可加性[]⎰⎰⎰⎰⎰⎰±=±DDDy x g y x f y x g y x f σσσd ),(d ),(d ),(),(.(2)齐次性⎰⎰⎰⎰=DDk y x f k y x kf )( d ),(d ),(为常数σσ.(3)对积分区域的可加性 设积分区域D 可分割成为1D 、2D 两部分，则有⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=12d ),(d ),(d ),(D D Dy x f y x f y x f σσσ.(4)(积分的比较性质) 若),(),(y x g y x f ≥，其中D y x ∈),(，则σσd ),(d ),(⎰⎰⎰⎰≥DDy x g y x f .(5)（积分的估值性质） 设M y x f m ≤≤),(，其中D y x ∈),(，而M m ,为常数，则⎰⎰≤≤DM y x f m σσσd ),( ,其中σ表示区域D 的面积.(6)（积分中值定理）若),(y x f 在有界闭区域D 上连续，则在D 上至少存在一点D ∈),(ηξ，使得σηξσ),(d ),(f y x f D=⎰⎰.4. 二重积分的计算⑴ 二重积分在直角坐标系下的计算 直角坐标系下的面积元素y x •d d d =σ , ①若D :)()(21x y x ϕϕ≤≤,b x a ≤≤,则⎰⎰D y x y x f d d ),(=x y y x f x x b ad d ),()()(21⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰ϕϕ， ②若D : )()(21y x y ψψ≤≤,d y c ≤≤,则⎰⎰Dy x y x f d d ),(=y x y x f y x d cd d ),()()(21⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰ψψ. ⑵二重积分在极坐标系下的计算极坐标系下的面积元素θσd d d r r =，极坐标与直角坐标的关系⎩⎨⎧θ=θ=.sin ,cos r y r x若D : )()(21θθr r r ≤≤,βθα≤≤,则⎰⎰Dy x y x f d d ),(=⎰⎰Dr r r r f θθθd d )sin ,cos (=θθθθθβαd d )sin ,cos ()()(21⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰r r r r r r f . 5. 对坐标的曲线积分设L 是有向光滑曲线,j ),(i ),(),F(y x Q y x P y x +=是定义在L 上的向量函数,且),( , ),(y x Q y x P 在L 上连续,利用微元法,先写出弧微元j i l y x d d d +=,作乘积=w d L F d ⋅=y )y ,x (Q x )x ,x (P d d +,再无限累加,由这两步所得的表达式,即⎰+y )y ,x (Q x )y ,x (P Ld d 称为函数)y ,x (F 在有向曲线L 上对坐标的曲线积分,其中有向曲线L 称为积分路径.如果),( , ),(y x Q y x P 中有一个为零，则这时曲线积分的形式为⎰⎰y )y ,x (Q x )y ,x (P L Ld d 或,如果曲线L 是封闭曲线，L 上积分记为⎰+y )y ,x (Q x )y ,x (P Ld d .6.对坐标的曲线积分的性质① 设L 为有向曲线弧，-L 是与L 方向相反的有向曲线弧，则y )y ,x (Q x )y ,x (P y )y ,x (Q x )y ,x (P L L d d d d +-=+⎰⎰-.② 如果21L L L +=，则有.y )y ,x (Q x )y ,x (P y )y ,x (Q x )y ,x (P y )y ,x (Q x )y ,x (P L L Ld d d d d d 21+++=+⎰⎰⎰7.格林公式 设D 是平面上以分段光滑曲线L 为边界的有界闭区域,函数),(y x P 及),(y x Q 在D 上有一阶连续偏导数,则有格林公式⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=+σd d d D L y P x Q y Q x P ,其中L 是区域D 的正向边界.8.曲线积分与路径无关(1)定义 设D 是一个单连通区域,将),(y x P 简称为),(,y x Q P 简称为Q ,如果对D 内任意指定的两点A ,B 以及D 内从A 点到B 点的任意两条不相同的曲线21 , L L ,若有y Q x P y Q x P L L d d d d 21+=+⎰⎰,则称曲线积分⎰+y Q x P L d d 在D 内与路径无关.这时,可将曲线积分记为⎰+BAy Q x P d d .(2)曲线积分与路径无关的定理 ①在单连通区域D 内，曲线积分⎰+y Q x P Ld d 与路径无关的充分必要条件是：对D 内任意一条闭曲线L ，均有⎰=+0d d y Q x P L.②设函数),(y x P 和),(y x Q 在单连通区域D 内有一阶连续偏导数，则曲线积分⎰+Lx Q x P d d 与路径无关的充分必要条件是:yPx Q ∂∂=∂∂在区域D 内恒成立. 9. 曲线积分的计算方法 ⑴积分路径由参数方程给出设xOy 面上的有向曲线L 的参数方程为⎩⎨⎧==,)t (y ,)t (x ψϕ且满足:① 当参数t 单调地由α变到β时,曲线上的点由起点A 运动到终点B ; ② )(t ϕ,)(t ψ在以α和β为端点的闭区间I 上具有一阶连续导数,且()()0)()(22≠'+'t t ψϕ;③),(y x P ,),(y x Q 在有向曲线弧L 上连续.则曲线积分⎰+y )y ,x (Q x )y ,x (P Ld d 存在,且y )y ,x (Q x )y ,x (P Ld d +⎰={}t )t ()]t (),t ([Q )t ()]t (),t ([P d ψψϕϕψϕβα'+'⎰.⑵ 积分路径由)(x f y =给出设xOy 面上的有向曲线弧L 的方程为 )(x f y =，这时可先将有向曲线弧L 的方程看作是以x 为参数的参数方程⎩⎨⎧==,)x (f y ,xx 然后再按（1）中的方法计算.要特别注意:在将对坐标的曲线积分转换为定积分时,积分下限一定要对应积分路径的 起点， 积分上限一定要对应积分路径的终点.二 、主要解题方法1．在直角坐标系下二重积分的计算例1 计算 ⎰⎰Dy x y x d d 2其中D 由直线2=y ，x y =和曲线1=xy 所围成.解 画出区域D 的图形如图所示，求出边界曲线的交点坐标A （21，2）, B （1，1）, C （2，2），选择先对x 积分，这时D 的表达式为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤,y x y,y 121 于是⎰⎰Dy x y xd d 2=x y x y y y d d 1221⎰⎰=y x y yy d ]3[11321⎰ =⎰-2142d )1(31y yy =3312111()333y y -+=7249 .分析 本题也可先对y 积分后对x 积分，但是这时就必须用直线1=x 将D 分1D 和2D 两部分.其中1D ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤,21,121y xx 2D ⎩⎨⎧≤≤≤≤,2,21y x x由此得⎰⎰D y x y x d d 2=⎰⎰1d d 2D y x y x +⎰⎰2d d 2D y x y x=y y x x xd d 212121⎰⎰+y y x x x d d 2221⎰⎰=⎰121212d ][ln x y x x+⎰2122d ][ln x y x x =⎰+1212d ]ln 2[ln x x x +⎰-212d ]ln 2[ln x x x=7249. 显然，先对y 积分后对x 积分要麻烦得多，所以恰当地选择积分次序是化二重积分为二次积分的关键步骤.例2 计算σ++⎰⎰d )1(Dy x ，其中D ：1≤+y x .解 画出积分区域D 的图形， 观察被积函数，无论先对x 积分后对y 积分还是先对y 积分后对x 积分都需要将积分区域分成两部分，计算都较繁，这里选择先对y 积分后对x 积分，其中110,11,x D x y x -≤≤⎧⎨--≤≤+⎩201,11,x D x y x ≤≤⎧⎨-≤≤-⎩ 因此σ++⎰⎰d )1(Dy x =σ++⎰⎰d )1(1D y x +σ++⎰⎰d )1(2D y x =σ++⎰⎰+---d )1(d 1101x xy x x +σ++⎰⎰--d )1(d 1110x x y x x=4σ+⎰d )1(21-x +4x x d )1(1⎰-=423+103=. 例3 已知 I =x y x f y yd ),(d 010⎰⎰+x y x f y y d ),(d 2021⎰⎰- 改变积分次序.解 积分区域21D D D +=，其中1D ⎩⎨⎧≤≤≤≤,0,10y x y 2D ⎩⎨⎧-≤≤≤≤,20,21y x y画出积分区域D 的图形， 改变为先对y 积分后对x 积分， 此时 D ⎩⎨⎧-≤≤≤≤,2,102x y x x 因此I =x y x f y yd ),(d 010⎰⎰+x y x f y y d ),(d 2021⎰⎰-=y y x f x x xd ),(d 221⎰⎰- .小结 把二重积分化为累次定积分的关键在于正确选择积分次序及积分的上、下限，这里要求上限大于下限.在具体计算重积分时，正确地利用对称性可以使计算简化，但是要注意：只有当积分区域和被积函数均关于所给坐标轴对称时，对称性才能应用，切不可只顾积分域而忘了被积函数.2． 在极坐标系下二重积分的计算 例4 计算⎰⎰σDx y d arctan ，其中D 由422=+y x , 122=+y x ,0=y ,x y = 所围成的第一象限内的区域.解 画出积分区域D 的图形，由于积分区域的边界曲线有圆周， 所以选极坐标系积分. 此时 θ=xyarctan，于是 ⎰⎰σDx yd arctan=⎰θ4π0d ⎰θ21d r r =⎰πθθ40d 212]2[r=234π22θ=6432π. 例 5 求半球体2220y x a z --≤≤在圆柱ax y x =+22(0>a )D 内那部分的体积.解 把所求立体投影到y x o 面，即圆柱ax y x =+22(0>a ）内部,容易看出所求立体的体积以D 为底，以上半球面222y x a z --=为顶的曲顶柱体的体积.由于积分区域的边界曲线为圆周，所以采用极坐标系较好.2xθ此时D ⎪⎩⎪⎨⎧θ≤≤≤θ≤-,cos 0,2π2πa r故 V =y x y x a Dd d 222⎰⎰--=⎰-θ2π2πd ⎰θ-cos 022d a r r r a=32⎰θθ-2π033d )cos 1(a =（3π94-）3a . 小结 在计算二重积分时，当积分区域为圆形区域、圆环区域或扇形区域时，选择用极坐标为好，其他情况用直角坐标为宜.3．对坐标的曲线积分的计算方法例 6 设 I =⎰--Ly y x x xy x d d )3(222 ，其中L 是沿上半圆周22y x +=1上的点A （1，0）到)0,1(-B 一段弧，如图.解一 首先验证曲线积分是否与路径无关.223xy x P -=，y x Q 2-=，因为yP∂∂=xy 2-=x Q ∂∂ ，所以曲线积分与路径无关，可选一条简单路径，即选择线段AB 路径. 得I =⎰--ABy y x x xy x d d )3(222 ，在线段AB 上0=y ，0d =y ，x 从1到1-，所以I =⎰-112d 3x x =113-x =2-.解二 用参数方程代入法，设t 为参数t x cos = ，t y sin =，t 从0到π 得I =⎰---π222d ]cos sin cos )sin )(sin cos cos 3[(t t t t t t t t=⎰--π2d ]4sin 41sin cos 3[t t t t =（t 3cos +161cos4t ）π=2-.显然，法一比法二简单.例7 计算⎰-+-Lx x y y x y y d )1cos e (d )sin e ( ，其中L 为),0(a A ,)0,(a B 联成直线段.解 显然积分路径不是封闭曲线，不能直接用格林公式， 加直线段BO ，OA 构成封闭曲线，所以⎰-+-Lx x y y x y y d )1cos e (d )sin e ( =⎰++---OABO L xxy y x y y d )1cos e (d )sin (e⎰-+--BOx x y y x y y d )1cos e (d )sin e (⎰-+--Axxy y x y y 0d )1cos e (d )sin e (，其中 y y P x -=sin e ，1cos e -=y Q x ，yp∂∂= 1cos e -y x ，x Q ∂∂= y x cos e .因为封闭曲线是反方向，所以由格林公式，得⎰++-+-OABO L x xy y x y y d )1cos e (d )sin e(=y x y Px Q D d d )(⎰⎰∂∂-∂∂-=y x Dd d ⎰⎰-=22a -. 又因为在BO 上0=y ，0=dy ，故⎰---BOxx y y x y y d )1cos e (d )sin e (=0. 在OA 上 0=x ，0d =x ，y 从0变到a ，于是⎰---Axx y y x y y 0d )1c o s e (d )s i n e ( =⎰-ay y 0d ]1[cos =a a -sin ，因此 ⎰---Lxxy y x y y d )1c o s e (d )s i ne (=--22a （a a -sin ）. 小结 计算对坐标的曲线积分⎰+Ly y x Q x y x P d ),(d ),(，（1） 若在单连通域内x Q ∂∂=yP∂∂时，曲线积分与路径无关。
苏教版数学高二数学苏教版选修2-2自我小测函数的和、差、积、商的导数
自我小测1．函数y＝(3x－2)2的导数为__________．2．函数y＝x·e x在x＝1处的导数为__________．3．若f(x)＝x ln x，且f′(x0)＝2，则x0＝__________.4．直线y＝kx＋b与曲线y＝x3＋ax＋1相切于点(2,3)，则b＝__________.5．曲线y＝x3－3x2有一条切线与直线3x＋y＝0平行，则此切线的方程为______________．6．已知函数f(x)＝ax3＋3x2＋2，且f′(－1)＝4，则a＝________.7．已知函数f(x)＝π4f'⎛⎫⎪⎝⎭cos x＋sin x，则π4f⎛⎫⎪⎝⎭的值为__________．8．若f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，则f′(1)＝__________. 9．求下列函数的导数：(1) y＝x4－3x2－5x＋6；(2)y＝sin x－x＋ln x；(3)y＝x4＋6x3－e x＋1π.10．(1)求曲线y＝f(x)＝x3－2x在点(1，－1)处的切线方程；(2)求曲线y＝f(x)＝x3－2x过点(1，－1)的切线方程．参考答案1答案：18x －122答案：2e 解析：∵y ′＝x e x ＋e x ，∴x ＝1时，y ′＝2e.3答案：e 解析：∵f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1，由已知得ln x 0＋1＝2，即ln x 0＝1，解得x 0＝e.4答案：－15 解析：∵y ＝x 3＋ax ＋1，∴y ′＝3x 2＋a .∴x ＝2时，y ′＝12＋a ＝k ①.又∵(2,3)为切点，∴3＝2k ＋b ②，3＝8＋2a ＋1③.联立①②③，得3,15,9.a b k =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩5答案：3x ＋y －1＝0 解析：由于y ′＝3x 2－6x ，设切点为(x 0，y 0)，则由题意可得3x 02－6x 0＝－3，解得x 0＝1，此时切点为(1，－2)，故切线方程为y ＋2＝－3(x －1)，即3x ＋y －1＝0.6答案：103 解析：f ′(x )＝3ax 2＋6x ，则3a －6＝4，故103a =. 7答案：1 解析：∵f ′(x )＝π4f'⎛⎫-⎪⎝⎭sin x ＋cos x ， ∴π4f'⎛⎫ ⎪⎝⎭1-. ∴f (x )＝1)cos x ＋sin x . ∴π14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 8答案：24 解析：∵f ′(x )＝(x －1)′(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)＋(x －1)(x －2)′(x －3)(x －4)(x －5)＋…＋(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)′，∴f ′(1)＝－1×(－2)×(－3)×(－4)＝24.9答案：解：(1) y ′＝(x 4－3x 2－5x ＋6)′＝4x 3－6x －5；(2)y ′＝(sin x －x ＋ln x )′＝(sin x )′＋(－x )′＋(ln x )′＝cos x －1＋1x ； (3)4316e πx y'x x ⎛⎫=+-+' ⎪⎝⎭＝(x4)′＋(6x3)′＋(－e x)′＋1π⎛⎫' ⎪⎝⎭＝4x3＋18x2－e x.10答案：解：(1)由题意f′(x)＝3x2－2，f′(1)＝1，∴点(1，－1)处的切线的斜率k＝1，其方程为y＋1＝x－1，即x－y－2＝0.(2)设切点为(x0，y0)，则y0＝x03－2x0，则切点处的导数值f′(x0)＝3x02－2；若点(1，－1)为切点，由(1)知切线方程为x－y－2＝0；若点(1，－1)不为切点，则3x02－2＝001 1y x +-(x0≠1)，即3x02－2＝300211x xx-+-，∴3x03－2x0－3x02＋1＝x03－2x0，∴2x03－3x02＋1＝0，即(x0－1)(2x02－x0－1)＝0，∴x0＝1或x0＝12-，其中x0＝1舍去，则切点坐标为17,28⎛⎫-⎪⎝⎭，∴斜率为211532224f'⎛⎫⎛⎫-=⨯--=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴切线方程为5x＋4y－1＝0，∴过点(1，－1)的切线方程为x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.。
多元向量值函数积分自测题
1、填空题1） 设L 为取正向的圆周229x y +=则曲线积分()()2224Lxy y dx x x dy -+-=⎰ 18π-。
2） 设曲线积分()()sin cos xLf x e ydx f x ydy ⎡⎤--⎣⎦⎰与积分路径无关，其中()f x 一阶连续可导，且()00f =，则()f x =1122x xe e --。
3）()()()222yz dydz x z dzdx y x dxdy ∑+++++=⎰⎰0,其中∑为单位球面2221x y z ++=的外侧。
4） 设()22sin 2x A e yi xy z j xzy k =+++ ，则()1,0,1divA=0，()1,0,1rotA={}1,0,e --。
2、计算下列曲线积分 1）()22Lx xy dy +⎰，其中L 为椭圆22221x y a b+=，由点(),0A a 经点()0,C b 到点(),0B a -的弧段。
解：L 的参数方程为cos sin x a ty b t =⎧⎨=⎩，t 从0到π。
原式()3322220sin cos cos 2sin cos cos sin 233t ta t ab t t b tdt a b t ab ππ⎡⎤⎛⎫=+=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰243ab =2）()()222Lx ydx x y dy x y z dz +++++⎰，其中L 是22211x y z ++=与221z x y =++的交线，其方向与z 轴正方向呈右手系。
解：L 一般方程可化为2223x y z ⎧+=⎨=⎩，其参数方程为3x y z θθ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，θ从0到2π原式()2222001cos 44sin cos 2d d ππθθθθθθθ-⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭⎰⎰20s i n 4s i n 28πθθθπ⎡⎤=-+=-⎢⎥⎣⎦ 3、计算下列曲面积分 1）2yzdzdx dxdy ∑+⎰⎰，其中∑是上半球面z =的上侧。
多元函数积分学①习题及详细解答
多元函数积分学
二重积分的计算
换元法
解：（1）曲线 y2 b2 x, y b x(a 0,b 0) 所围的图形 D 如图 10-58 所示：
a
a
D 可以表示为：
图 10-58
所求面积为：
a
b2
y2
x
a b
y
0 y b
S
dxdy
D
b
dy
0
ay
b a
b2
y
dx
b a 0 b
y a b2
xydxdy 2 xydxdy
D1
D2
2 sin cos d
1 r3dr 2
2 sin cos d
2 r3dr
0
0
0
1
8.求由下列曲线所围成的闭区域的面积：
(1) 曲线 y 2 b2 x , y b x 所围（a 0,b 0）；
a
a
多元函数积分学
二重积分的计算
累次积分法
(2)曲线 x y a2,x y 2a2, y x , y 2x 所围（x 0, y 0）.
于是
1
2
1 2a2
2 a2
a2
S dxdy
dudv dv
du dv ln 2
D
2v a2 u2a2
1
a2 2v
1 2v
2
1v2
9.证明：
(1)
b
dy
y y
x
n
f
(x )dx
b
1
f (x )b x n1 dx ;
a
a
a n1
解：相应二重积分得积分区域D如图所示：
b
dy
考研数学一(多元函数积分学)模拟试卷2(题后含答案及解析)
考研数学一（多元函数积分学）模拟试卷2(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．已知函数f(x，y)在点(0，0)某邻域内连续，且则A．点(0，0)不是．f(x，y)的极值点．B．点(0，0)是f(x，y)的极大值点．C．点(0，0)是f(x，y)的极小值点．D．根据所给条件无法判断点(0，0)是否为f(x，y)的极值点．正确答案：A 涉及知识点：多元函数积分学2．如图，正方形{(x，y)丨丨x丨≤1，丨y丨≤1}被其对角线划分为四个区域Dk(k=1，2，3，4)，Ik={Ik} =A．I1B．I2C．I3D．I4正确答案：A 涉及知识点：多元函数积分学3．设，其中D=丨(x，y)丨x2+y2≤1}，则A．I3＞I2＞I1．B．I1＞I2＞I3．C．I2＞I1＞I3．D．I3＞I1＞I2．正确答案：A 涉及知识点：多元函数积分学4．设S：x2+y2+z2=a2(z≥0)，S1是S在第一卦限中的部分，则有A．B．C．D．正确答案：C 涉及知识点：多元函数积分学5．设有空间区域Ω1：x2+y2+z2≤R2，z≥0及Ω2：x2+y2+z2≤R2，x≥0，y≥0，z≥0，则正确的是A．B．C．D．正确答案：C 涉及知识点：多元函数积分学6．设f(x，y)为连续函数，则等于A．B．C．D．正确答案：C 涉及知识点：多元函数积分学7．设曲线L：f(x，y)=l(f(x，y)具有一阶连续偏导数)，过第Ⅱ象限内的点M和第N象限内的点N，F为己上从点M到点N的一段弧，则下列积分小于零的是A．B．C．D．正确答案：B 涉及知识点：多元函数积分学填空题8．交换二次积分的积分次序：=_________.正确答案：涉及知识点：多元函数积分学9．设函数f(x)在[0，1]上连续且，则=_________.正确答案：1/2A2 涉及知识点：多元函数积分学10．计算二重积分=_________.正确答案：e-1. 涉及知识点：多元函数积分学11．设区域D={(x，y)丨x2+y2≤1，x≥0}二重积分=__________.正确答案：(π/2)ln2 涉及知识点：多元函数积分学12．设L为椭圆x2/4+y2/3=1，其周长为a，则(2xy+3x2+4y2)ds=__________.正确答案：12a解析：原式=（3x2+4y2）ds=12a. 知识模块：多元函数积分学13．其中a，b为正的常数，L为从点A(2a，0)沿曲线到点O(0，0)的弧I=___________．正确答案：(a2/2)[π(b-a)+4b]. 涉及知识点：多元函数积分学14．计算曲线积分+2(x2-1)ydy，L是曲线y=sinx上从点(0，0)到点(π，0)的一段I=___________.．正确答案：-π2/2解析：知识模块：多元函数积分学15．已知曲线L的方程为y=1-丨x 丨(x∈[-1，1])，起点是(-1，0)，终点为(1，0)，则曲线积分+x2dy=_________.正确答案：0解析：知识模块：多元函数积分学16．已知L是第一象限中从点(0，0)沿圆周x2+y2=2x到点(2，0)，再沿圆周x2+y2=4到点(0，2)的曲线段．计算曲线积分3x2ydx+(x3+x-2y)dy=_________．正确答案：(π/2)-4 涉及知识点：多元函数积分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
多元函数积分学检测题
2010级《多元函数积分学》检测题班级_____________________ 学号_______ 姓名________________ 成绩________ 一、选择题( 15分)14000002222222212(,),(cos ,sin )().()(,);()(,);()(,);()(,).:,0:,0,0,0,().(x yf x y d f r r rdr A f x y dy B f x y dy C f x y dx D f x y dx V x y z R z V x y z R x y z πθθθ=++≤≥++≤≥≥≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1.设为连续函数则2.设空间区域和则121212122222222222)4;()4;()4;()4.3.(0)().()4;()2;()2(2);()(2).4.[()]sin ()cos V V V V V V V V x LA xdV xdVB ydV ydVC zdV zdVD xyzdV xyzdV x y ax a x y z a A a B a C a D a f x e ydx f x ydy ππ====+=>++=----⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰圆柱面位于球面内的面积是设()22223335555()(0)0()().();();()1;()1.22225..1212()4;()4;();().55x x x x x x x x Sf x f f x e e e e e e e e A B C D S x y z R x dydz y dzdx z dxdy A R B R C R D R ππππ----==--++--++=++=--⎰⎰Ò与路径无关，且有一阶连续导数，，则设为球面的内侧，则曲面积分二、填空题( 15分 ) 222211222222221.:(,)________________________________.2.(),()(),()_________________.3.1,,(234)________________.434.y x y z t L dy f x y dx f u F t f x y z dxdydz F t y x L a xy x y ds L --++≤='=++=+=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ñ交换积分次序设连续则设为椭圆其周长为则设为一22222,,,-________________.25.11,(-)(-)()____________.LSL xdy ydxx y S x y z x y z x y dydz y z dzdx z x dxdy =+++=++=++-=⎰⎰⎰Ñ条不过原点的光滑闭曲线且原点位于内部其走向为逆时针方向则曲线积分设为平面位于球面内的上侧则曲面积分三、（8分）设l 是过原点，方向为(,,)αβγ（其中2221αβγ++=）的直线，均匀椭球2222221x y z a b c++≤（其中0c b a <<<，密度为1）绕l 旋转. （1）求其转动惯量；（2）求其转动惯量关于方向(,,)αβγ的最大值和最小值.四、( 8分)222 1. 2.V z x y z V V +=设是由所围成的立体,求：的体积；的表面积.22222(sin ),(0)(,0)(,0).Lx x y dx xy dy L x y a a A a B a -++=>-⎰五、(8分)计算其中为上半圆周从点到点的弧段六、( 8分 )220.L xdx aydyL a x y-=+⎰Ñ已知是平面上任意一条简单闭曲线，问为何值时曲线积分2,(,),0,(,)(,),:,(,)(,)0.LD f x y t f tx ty t f x y D L yf x y dx xf x y dy -∀>=-=⎰Ñ七、(8分)设在上半平面内有连续偏函数且对都有证明对内任意分段光滑的有向简单闭曲线有(1,0,0),(0,2,0),(0,0,3)(,,),{,,},,,,?A B C M a b c F yz zx xy a b c F =r r八、(10分)设质点从原点出发沿直线运动到以为顶点的三角形内某一点在此过程中受到力的作用问取何值时对质点作功最大九、( 10分)22222计算是球面的下半部分的上侧.SS x y z a ++=2222()(),()()(,),(0.9),130?x y h t t z h t h t cm cm +=-十、(10分)设有一高度为为时间的雪堆在融化过程中其侧面满足方程长度单位为时间为小时已知体积减少的速度与侧面面积成正比比例系数问高度为的雪堆全部融化需多少小时。
多元函数积分学100题
多元函数积分学100题（附答案）一．计算下列二重积分1. (1)Dx y d σ--⎰⎰，其中:0,0,1D x y x y ≥≥+≤；2.22Dyd xyσ+⎰⎰，其中2:,1D y x y y ≤≤≤≤；3. xyDxe d σ⎰⎰ ，其中1:2,12D y x x≤≤≤≤；4. x yDed σ+⎰⎰，其中:1D x y +≤；5. Dxyd σ⎰⎰，其中D 是由1y x =-及226y x =+所围成的闭区域；6. (2)Dx y d σ+⎰⎰，其中D 是由22y x =及21y x =+所围成的闭区域；7.2sin Dy d σ⎰⎰，其中D 是由0,1x y ==及y x =所围成的闭区域；8．3(3)Dx y d σ+⎰⎰，其中D 是由22,4y x y x ==及1y =所围成的闭区域； 9.Dσ⎰⎰，其中2:D x y ≤≤10. 1Dx d y σ+⎰⎰，其中D 是由21,2y x y x =+=及0x =所围成的闭区域；11. 2Dy x d σ-⎰⎰，其中:01,01D x y ≤≤≤≤；12. Dxy d σ⎰⎰，其中222:D x y a +≤；13. 22x yDed σ+⎰⎰，其中22:4D x y +≤；14.22ln(1)Dx y d σ++⎰⎰，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥；15.arctanDy d xσ⎰⎰，其中D 是由22224,1,x y x y +=+=及0,y y x ==围成的第一象限内的闭区域；16. Dσ⎰⎰，其中22:D x y Rx +≤；17. 2214Dx y d σ+-⎰⎰，其中22:1D x y +≤；18. Dσ⎰⎰，其中22:D x y x +≤；19. Dσ⎰⎰，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥；20. 22Dx y d σ⎰⎰，其中D 是由两条双曲线1,2,xy xy ==及,4y x y x ==围成的第一象限内的闭区域；21. 2222()Dx y d abσ+⎰⎰，其中2222:1x y D ab+≤；22. 222yxdx edy -⎰⎰； 23. 66cos yx dy dx xππ⎰⎰；24. 设D 是以点(0,0),(1,2),(2,1)O A B 为顶点的三角形区域，求Dxdxdy ⎰⎰；25. 设212,0(,)0x yx y x f x y ⎧≤≤≤≤=⎨⎩，其他.，求(,)Df x y dxdy ⎰⎰，其中22:2D x y x +≥；26. Dσ⎰⎰，其中D是由0)y a a =-+>及y x =-所围成的闭区域；27. 221()2[1]x y Dy xedxdy ++⎰⎰，其中D 是直线,1y x y ==-及1x =围成的闭区域；28. 22()22sin()x y Dex y dxdy π-+-+⎰⎰，其中22:D x y π+≤；29. )Dy d σ⎰⎰，其中D 是由圆224x y +=及22(1)1x y ++=所围成的平面区域；30. Dydxdy ⎰⎰，其中D是由曲线x =及2,0,2x y y =-==所围成的平面区域；二． 计算下列三重积分31. 2(1)d x y z υΩ+++⎰⎰⎰，其中Ω是由1x y z ++=和三个坐标平面所围成的空间闭区域；32. xyzd υΩ⎰⎰⎰，其中Ω是由1,,,0x y x z y z ====所围成的空间闭区域；33. 23xy z d υΩ⎰⎰⎰，其中Ω是由,1,,0z xy y y x z ====所围成的空间闭区域；34. ||z e d υΩ⎰⎰⎰，其中Ω：2221x y z ++≤；35. 222222ln(1)1z x y z d x y zυ++++++⎰⎰⎰，其中Ω：2221x y z ++≤；36. ()x z d υΩ+⎰⎰⎰，其中Ω是由z z ==所围成的立体区域；37. 22xye d υ--Ω⎰⎰⎰，其中Ω：221,01x y z +≤≤≤；38. zd υΩ⎰⎰⎰，其中Ω是由22,z x y z =+=39. x y zΩ++⎰⎰⎰，其中Ω是由2221x y z ++≤所围成的第一象限内的闭区域；40. 22()x y d υΩ+⎰⎰⎰，其中Ω：22212,0,0x y z x y ≤++≤≥≥；41. υΩ⎰⎰⎰，其中Ω是由0,3,0y z z y ====所围成的空间闭区域；42. zd υΩ⎰⎰⎰，其中Ω：2222222(),x y z a a x y z ++-≤+≤；43. υΩ⎰⎰⎰，其中Ω是由球面222x y z z ++=所围成的空间闭区域；44. 22()x y d υΩ+⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面22225()4x y z +=及平面5z =所围成的空间闭区域；45. 22()x y d υΩ+⎰⎰⎰，其中Ω：0,0a b z <≤≤≥；三．重积分的应用46. 求球面2222x y z ++=与抛物面22z x y =+所围立体的体积； 47. 求球面2222x y z a ++=被柱面22x y ax +=所截那部分面积；48. 平面薄片所占的区域D 由抛物线2y x =及直线y x =围成，面密度2(,)x y x y μ=，求质心坐标； 49. 设球体Ω：2222x y z Rz ++≤各点处的密度等于该点到原点的距离的平方，求该球体的质心； 50. 设均匀平面薄片所占区域D 由抛物线29,22y x x ==围成，求转动惯量,x y I I .四、计算下列曲线积分51. Lxyds ⎰，其中L 是22y x =从原点到点(2,2)A 的一段弧；52. Lyds ⎰，其中L 是y x =-上从1x =-到1x =的一段弧；53. Lxds ⎰，其中L 是直线y x =及抛物线2y x =所围成的区域的整个边界； 54. 22()x y ds +⎰，其中L 是摆线(cos sin ),(sin cos ),02x a t t t y a t t t t π=+=-≤≤；55. 2Ly ds ⎰，其中L 为摆线的一拱：(sin ),(1cos ),02x a t t y a t t π=-=-≤≤；56. 2221ds x y zΓ++⎰，其中Γ是曲线cos ,sin ,t t tx e t y e t z e ===上从0t =到2t =的一段弧；57. 2x yzds Γ⎰，其中Γ是折线A B C D ,其中(0,0,0),(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)A B C D ；58. 22()Lx y dx -⎰, 其中L 是抛物线2y x =上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧；59. Lxydx ⎰，其中L 是圆周222()(0)x a y a a -+=>及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界（按逆时针方向绕行）；60. Lydx xdy +⎰，其中L 为圆周cos ,sin x R t y R t ==上对应于0t =到2t π=的一段弧；61. 22()()Lx y dx x y dyx y+--+⎰，其中L 为圆周222(0)x y a a +=>（按逆时针方向绕行）；62. 2x dx zdy ydz Γ+-⎰， Γ是曲线,cos ,sin x k y a z a θθθ===上对应于0θ=到θπ=的一段弧；63. (1)xdx ydy x y dz Γ+++-⎰，其中Γ是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直线；64. dx dy ydz Γ-+⎰ ，其中Γ是有向闭折线段A B C A ，其中(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)A B C ；65. ()()Lx y dx y x dy ++-⎰，其中L 是曲线2221,1x t t y t =++=+上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧；66. (24)(536)Lx y dx y x dy -+++-⎰ ，其中L 为三顶点(0,0),(3,0),(3,2)的三角形正向边界；67. 222(cos 2sin )(sin 2)xxLx y x xy x y e dx x x ye dy +-+-⎰ ，L 为正向星形线222333(0)x y a a +=>；68. 22()(sin )Lx y dx x y dy --+⎰，其中L 为圆周y =(0,0)到点(1,1)的一段弧；69. 222()Lydx xdy x y -+⎰，其中L 是圆周22(1)2x y -+=，方向为逆时针方向；70. 证明(2,1)423(1,0)(23)(4)xy y dx x xy dy -++-⎰与路径无关，并计算其值；71. 验证22(2cos cos )(2sin sin )x y y x dx y x x y dy ++-是某个函数(,)u x y 的全微分，并求(,)u x y ； 72. 解全微分方程(2)0yye dx xe y dy +-=； 73. 设曲线积分2()Lxy dx y x dy ϕ+⎰与路径无关，其中()x ϕ具有连续导数，且(0)0ϕ=，试计算(1,1)2(0,0)()xy dx y x dy ϕ+⎰的值；74. 设Γ是曲线23,,x t y t z t ===上从0t =到1t =的一段弧，把对坐标的第二型曲线积分Pdx Q dy Rdz Γ++⎰化为对弧长的第一型曲线积分；75. 把对坐标的第二型曲线积分LP d x Q d y+⎰化为对弧长的第一型曲线积分，其中L 为圆周y =(0,0)到点(1,1)的一段弧；五、计算下列曲面积分76. 4(2)3z x y dS ∑++⎰⎰，其中∑为平面1234x y z ++=在第一卦限中的部分；77. 2(22)z xy x x dS ∑+--⎰⎰，其中∑为平面226x y z ++=在第一卦限中的部分；78. ()x y z dS ∑++⎰⎰，其中∑为球面2222x y z a ++=上(0)z h h a ≥<<的部分；79. ()xy yz zx dS ∑++⎰⎰，其中∑为锥面z =222x y ax +=所截得的部分；80. 22()x y dS ∑+⎰⎰，其中∑为锥面z =及平面1z =所围成的区域的整个边界曲面；81. ()x y dydz ∑+⎰⎰，∑是以原点为中心，边长为2a 的正方体,,x a y a z a ≤≤≤的整个表面的外侧；82.2z dxdy ∑⎰⎰，其中∑是上半球面z =22(0)x y ax a +=>之外部分的外侧；83. 2()z x dydz xdxdy ∑+-⎰⎰，∑是旋转抛物面221()2z x y =+介于平面0z =及2z =之间部分的下侧；84.[(,,)][2(,,)][(,,)]f x y z x dydz f x y z y dzdx f x y z z dxdy ∑+++++⎰⎰，其中∑是平面1x y z -+=在第四卦限部分的上侧；85. 22()x y dzdx zdxdy ∑++⎰⎰，其中∑为锥面z =1z =所截下在第一卦限部分的下侧；86. 化第二型曲面积分(,,)(,,)(,,)P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy ∑++⎰⎰为第一型曲面积分，其中∑是平面平面326x y ++=在第一卦限部分的上侧；六、高斯公式和斯托克斯公式87. 222x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰ ，其中∑为平面0,,0,,0,x x a y y a z z a ======所围立体表面的外侧；88. 333x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰ ，其中∑为球面2222x y z a ++=的外侧；89. 2232()(2)xz dydz x y z dzdx xy y z dxdy ∑+-++⎰⎰ ，其中∑为上半球体0z ≤≤的外侧；90. xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰ ， ∑是介于平面0,3z z ==之间的圆柱体229x y +≤的表面的外侧；91. 24xzdydz y dzdx yzdxdy ∑-+⎰⎰ ，其中∑为平面0,1,0,1,0,1x x y y z z ======所围立体表面的外侧；92. 求向量场2(23)()(2)x z xz y y z =+-+++A i j k穿过球面∑：222(3)(1)(2)9x y z -+++-=流向外侧的通量；93. 323232()()()x az dydz y ax dzdx z ay dxdy ∑+++++⎰⎰，其中∑为上半球面z =的上侧；94. ydx zdy xdz Γ++⎰，其中Γ为圆周2222,x y z a ++=0x y z ++=，若从x 轴的正向看去，取逆时针方向；95. ()()()y z dx z x dy x y dz Γ-+-+-⎰，其中Γ为椭圆222x y a +=，1(0,0)x z a b ab+=>>，若从x轴的正向看去，取逆时针方向； 96. ABC Azdx xdy ydz ++⎰，其中A B C A 是以(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)A B C 为顶点的三角形边界曲线，它的正向与这个三角形所在平面上侧的法向量之间符合右手法则；97. 223ydx xdy z dz Γ+-⎰ ，其中Γ为圆周2229x y z ++=，0z =，若从z 轴的正向看去，取逆时针98.()()()z y dx x z dy x y dz Γ-+-+-⎰，其中Γ是曲线221,x y +=2x y z -+=，若从z 轴的正向看去，取顺时针方向；99. 求向量场32()()3x z x yz xy =-++-A i j k沿闭曲线Γ（从z 轴的正向看取逆时针方向）的环流量，其中Γ为圆周20z z =-=；100. 求向量场(23)(3)(2)x y x z y x =-+-+-A i j k的旋度.参考答案： 1. 16， 2.1ln 2122-， 3.421(2)2e e e --， 4. 1e e-，5. 36， 6.3215，7. 1cos 12-， 8. 25， 9. 655， 10.91ln 3ln 282--， 11.1130， 12.42a， 13. 4(1)e π-，14.(2ln 21)4π-，15. 2364π，16. 34()33Rπ-，17. 516π，18. 815，19.284ππ-，20.7ln 23，21.2abπ ，22.41(1)2e--，23. 12，24.32，25.4920，26. 221()162a π-，27. 23-， 28.(1)2e ππ+，29. 16(32)9π-，30. 42π-， 31. 3ln 24-， 32.148， 33.1312， 34. 2π，35. 0， 36.8π，37. 1(1)e π--，38.712π， 39.1cos 12π-， 40.21)15π-， 41. 8， 42. 476a π， 43.10π，44. 8π，45.554()15b a π-， 46.76π ，47. 22(2)a π-，48. 3535(,)4854 ，49. 5(0,0,)4R ，50.7296,57. 51. 1315+， 52. 53. 11)12， 54. 2322(21)a ππ+，55.325615a ，2)2e --, 57. 9, 58.5615-, 59. 312a π-, 60. 0, 61. 2π-，62. 33213k a ππ-， 63. 13， 64.12， 65.323，66. 12, 67. 0, 68.17sin 246-, 69. π-,70. 5, 71. 22cos sin x y y x C ++，72. 2yxe y C -=， 73.12， 74. Γ⎰，75. (1)]Lx Q ds +-⎰，76. , 77. 274-, 78. 22()a a h π-, 79.4,80.12+, 81. 38a ， 82.41132a π， 83. 4π， 84.12，85. 146π-，86. 32()555P Q dS ∑++⎰⎰,87. 43a , 88.5125a π, 89.525a π, 90. 81π, 91.32， 92. 108π， 93.52920a π， 94. 2a ，95. 2()a a b π-+ ，96. 32, 97. 9π, 98. 2π-, 99. 12π, 100. 246=++rot A i j k.。
多元积分学练习题有答案
x2 一、计算曲面积分 ( 3 y )dS ，其中
: x y z R
2 2 2
2
x2 解： ( y )dS 3
1 ( x 2 y 2 z 2 )dS ydS 9 4 4 R 9
二、 计算重积分：
zdv
其中 是由
L
(e x sin y y 1)dx (e x cos y 1)dy
四、将积分
化为对弧长的积
分, 其中L 沿上半圆周 五、计算
其中L为圆周
答
一、计算重积分: ( x y z )
2
案
dxdydz
, 其中
是由 : x 2 y 2 z 2 R 2 所围之立体。 解
D xy
24 16 8
四、计算重积分:
2 ( x y)dxdydz, 其中
是由 z x2 y 2 , z 4 所围之立体。 解：
关于 y 0 对称， y 是关于 y 的奇函数
ydxdydz 0
0 2 x y 4 投影区域为 0 r 2 ，选择柱坐标， z 0 0 z 4 2 2 4 2 2 3 ( x y ) dxdydz cos d r dr dz
dx
0
1
1 x 0
dy
1 x y 0
dz
1 6
2 2 三、设 L 为 x y x 从点 A(1,0) 到点 O(0,0)
的上半圆弧，求曲线积分
Q x 解: 由 e cos y ， x 连续，应用格林公式
L
微积分补充习题与参考答案
微积分补充习题第1章 函数的极限与连续一、单项选择题：1．函数()()22ln 1-=x x f 的定义域为（ ）．（A ）()()+∞⋃∞-,22, （B ）()()+∞⋃∞-,11,（C ）()()()+∞⋃⋃∞-,33,22, （D ）()()()()+∞⋃⋃⋃∞-,33,22,11, 2．函数()231-=x e x f 在()+∞∞-,上是（ ）． （A ）单调增加函数 （B ）单调减少函数 （C ）非单调函数 （D ）有界函数 3．下列函数中为奇函数的是（ ）．（A ）()24x x x f -= （B ）()⎪⎭⎫⎝⎛-=2sin πx x f （C ）()x x x f cos += （D ）()xxx f --=224．下列变量在给定变化过程中为无穷小的是（ ）．（A ）)0(1sin →x x （B ）)0(1→x e x （C ）)0)(1ln(2→+x x （D ）)3(932→--x x x5．函数()x f 在点0x 处有定义是()x f 在点0x 处连续的（ ）． （A ）必要条件 （B ）充分条件 （C ）充要条件 （D ）无关条件二、填空题：1．函数3x y =的反函数为 ． 2．函数x y 5sin =的周期为 ． 3．当∞→x 时，()x f 与21x是等价无穷小，则()=∞→x f x x 23lim ． 4．=-→20cos 1limxxx ． 5．设函数()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠=0,20,sin x k x x x x f 在()+∞∞-,内连续，则=k ．第2章 导数与微分一、单项选择题：1．设()00=f 且极限()x x f x 0lim→存在，则()xx f x 0lim →等于（ ）． （A ）()x f ' （B ）()0'f （C ）()0f （D ）()0'21f2．设()x f 在点1=x 处可导，而且()()2111lim 0=∆-∆+→∆x f x f x ，则()1'f 等于（ ）． （A ）21- （B ）41- （C ）41 （D ）213．设()x f 在点0x 处可导，而且()10=x f ，则()x f x x 0lim →等于（ ）．（A ）1 （B ）0x （C ）()0'x f （D ）不存在 4．函数()x f 在点0x 处连续是()x f 在点0x 可导的（ ）． （A ）必要条件 （B ）充分条件 （C ）充要条件 （D ）无关条件 5．设函数()x x x f 2ln =而且()2'0=x f ，则()0x f 等于（ ）． （A ）12-e （B ）1 （C ）e 21（D ）e 二、填空题：1．设函数()()xe xf -=cos ，则()=0'f ．2．设函数()xex f sin =，则()=x f " ．3．设()()()x e x x f ϕ-=，其中()x ϕ在点e x =处连续，则()x f 在点e x =处可导，而且()=e f ' ．4．曲线x x y 2sin +=在点⎪⎭⎫⎝⎛+21,2ππ处的切线方程为 ．5．设函数()x xe x f =，则()=0"f ．第3章 微分中值定理与导数的应用一、单项选择题：1．在区间[]1,1-上，满足罗尔定理条件的函数是（ ）． （A ）1-=x y （B ）21x y -= （C ）xy 1=（D ）x y =2．函数21x y -=在区间[]3,1-上满足拉格朗日中值定理条件的ξ是（ ）．（A ）0 （B ）1 （C ）1- （D ）23．在区间()+∞∞-,内，函数x x y -=arctan 是（ ）． （A ）单调减少 （B ）单调增加 （C ）不单调 （D ）有界 4．以下结论正确的是（ ）．（A ）函数()x f 的不可导点，一定不是()x f 的极值点； （B ）函数()x f 的驻点，一定是()x f 的极值点； （C ）函数()x f 的极值点，一定是()x f 的驻点；（D ）0x 为()x f 的极值点且()0'x f 存在，则必有()0'0=x f ． 5．设()0"x f存在且0x 是函数()x f 的极大值点，则必有（ ）．（A ）()0'0=x f ，()0"0>x f （B ）()0'0=x f ，()0"0=x f （C ）()0'0=x f ，()0"0<x f （D ）以上都不对一、填空题：1．设函数()()()()321---=x x x x f ，则方程()0'=x f 的实根个数为 ．2．函数()2123223+-+=x x x x f 的单调减少区间为 ．3．函数()222+-=x x x f 的极小值是 ．4．曲线133+-=x x y 的拐点是 ． 5．曲线()31-=x y 的上凸区间为 ．第4章 不定积分一、单项选择题：1．()=⎰dx x f dx d（ ）． （A ）()x f ' （B ）()⎰dx x f ' （C ）()C x f + （D ）()x f2．()=⎰dx x f '（ ）． （A ）()x f （B ）()C dx x f +⎰ （C ）()C x f + （D ）()C x f +'3．函数()x f 的一个原函数是x1，则()=x f '（ ）． （A ）x 1 （B ）x ln （C ）32x （D ）21x-4．()xe xf 2-=的不定积分是（ ）．（A ）x e 221- （B ）x e 221-- （C ）C e x +-221 （D ）C e x +--2215．若())0(1'2>=x xx f ，则()=x f （ ）．（A ）C x +2 （B ）C x +2 （C ）C x +ln （D ）C x +ln 2二、填空题：1．设函数()x f 的一个原函数是2x e -，则()=⎰dx x f ．2．若()C edx x f x +=⎰33，则()=x f ．3．设()xe xf 2=，则()⎰dx x f '等于 ．4．=⎰xdx e xcos sin ．5．=⎰dx x x ln 1．第5章 定积分一、单项选择题：1．函数)(x f 在],[b a 上有界是函数)(x f 在],[b a 上可积的（ ）． （A ）充分必要条件 （B ）充分条件，但非必要条件 （C ）必要条件，但非充分条件 （D ）既非必要条件，也非充分条件2．设⎰=20 2d sin πx x P ，⎰=20 d sin πx x Q ，⎰-=2 22d sin 21ππx x R ，则（ ）．（A ）R P Q => （B ）R Q P <= （C ）R Q P << （D ）R Q P >> 3．变上限的定积分()⎰xa t t f d 是（ ）． （A ）()x f '的一个原函数 （B ）()x f '的全体原函数 （C ）()x f 的一个原函数 （D ）()x f 的全体原函数 4．设()()22d -=⎰x f t t f xa ，且()10=f ，则()=x f （ ）．（A ）2x e （B ）x e 21 （C ）x e 2 （D ）x e 221 5．下列积分中正确的是（ ）． （A ）⎰⎰=-111d 2d 22x xe x xe x x （B ）⎰⎰=-222d sin 2d sin πππx x x x（C ）0d sin cos 32=⎰-ππx x x x （D ）34d 12d 1111=-=-⎰⎰-x x x x 二、填空题：1．若⎰=xt t y 0d sin ，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛6'πy ． 2．定积分()=++⎰-2 223d 1sin cos x x x x x．3．=⎰→320d 2sin lim xt t xx ．4．若()7d 231=-⎰x k x ，则=k ．5．=+⎰∞+ 02d 11x x． 第6章 多元函数微分学一、单项选择题：1．设22),(y x xyy x f -=+，则=),(y x f （ ）．（A ）x x y +-1)1(2 （B ）y x x +-1)1(2 （C ）xy y +-1)1(2 （D ）y y x +-1)1(22．二元函数22221arcsin 4lnyx y x z +++=的定义域是（ ）． （A ）4122≤+≤y x （B ）4122≤+<y x （C ）4122<+≤y x （D ）4122<+<y x （A ）0= （B ）不存在，但不是∞ （C ）1= （D ）∞= 3．=+→→22)(lim 220y x y x y x （ ）．（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）e4．设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=0,00,),(4444445y x y x y x xy x y x f ，则()0,0x f （ ）．（A ）0= （B ）不存在，但不是∞ （C ）1= （D ）∞= 5．设vu u z =，则=∂∂uz（ ）． （A ）1-⋅v u vuu （B ）)1ln (1+⋅-u v u uv u v （C ）u u v u ln （D ）)1(ln 1+⋅⋅-u u u v v u u二、填空题：1．=→→yxyy x sin lim2 ．2．已知二元函数()y x f z ,=在点()2,1处连续，则()=→→y x f y x ,lim 21 ．3．设()yx y x f arcsin,=，则()=1,'x f x ． 4．函数yx z =的全微分是=dz ．5．函数()224y x y x z ---=的极值点为 ．第9章 微分方程与差分方程一、单项选择题：1．下列各式是微分方程的有（ ）． （A ）()'''uv uv v u =+ （B ）y y y 3'2"++ （C ）()''xxe y e y +=+ （D ）13'2"=++y y y 2．微分方程()012=--dy x dx y 是（ ）微分方程．（A ）一阶线性齐次 （B ）一阶线性非齐次 （C ）可分离变量 （D ）一阶线性齐次 3．下列方程中为二阶微分方程的是（ ）． （A ）1'"2=++y xy y x （B ）()0''2=+yy y（C ）x y x y y sin '22=+ （D ）()3212=-+y y x4．微分方程ydy x xdx y ln ln =满足初始条件11==x y的特解是（ ）．（A ）0ln ln 22=+y x （B ）1ln ln 22=+y x （C ）y x 22ln ln = （D ）1ln ln 22+=y x 5．微分方程xyx y dx dy tan +=的通解是（ ）．（A ）x C x y =sin（B ）C x x y +=sin （C ）Cx xy=sin （D ）C y x =sin二、填空题：1．设xey -=是微分方程()x y x p xy =+'的一个解，则()=x p ．2．微分方程1'"2=++y xy y x 的通解中所含的任意常数个数为 ． 3．设xxeC e C y 221-+=是某一微分方程的通解，则满足()()20',10-==y y 的特解为 ．4．方程02'=+y y 的通解为 ．5．一阶线性非齐次微分方程)()('x q y x p y =+的通解是 ．参考答案第1章 函数的极限与连续一、单项选择题：1．D 2．A 3．D 4．C 5．A二、填空题：1．3x y = 2．52π 3．3 4．215．1- 第2章 导数与微分一、单项选择题：1．B 2．D 3．A 4．A 5．C二、填空题：1．1sin 2．()x x exsin cos2sin - 3．()e ϕ 4．x +1 5．2第3章 微分中值定理与导数的应用一、单项选择题：1．B 2．B 3．A 4．D 5．D二、填空题：1．2 2．[]1,2- 3．1 4．()1,0 5．()1,∞-第4章 不定积分一、单项选择题：1．D 2．C 3．C 4．D 5．B二、填空题：1．C ex +-22．3x e 3．C e x +2 4．C e x +sin 5．C x +ln ln第5章 定积分一、单项选择题：1．C 2．A 3．C 4．A 5．C二、填空题：1．21 2．4 3．32 4．411- 5．2π 第6章 多元函数微分学一、单项选择题：1．D 2．A 3．A 4．C 5．B二、填空题：1．2 2．()2,1f 3．221x x - 4．xdy x dx yxy y ln 1+- 5．()2,2-第9章 微分方程与差分方程一、单项选择题：1．D 2．C 3．A 4．C 5．A二、填空题：1．()xe x +1 2．2 3．xey 2-= 4．xCey 2-= 5．()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-C dx e x q e y dxx p dx x p。
专升本高等数学二(多元函数积分学)模拟试卷1(题后含答案及解析)
专升本高等数学二（多元函数积分学）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．化二重积分f(x，y)dxdy为极坐标下的二次积分，其中D由y=x2及y=x围成，正确的是( )A．∫0dθ∫0tanθf(rcosθ，rsinθ)rdrB．∫0dθ∫0tanθsecθf(rcosθ，rsinθ)rdrC．∫0dθ∫0tanθsecθf(rcosθ，rsinθ)rdrD．∫0dθ∫0tanθcscθf(rcosθ，rsinθ)rdr正确答案：C解析：由题意可得直角坐标系下的D可表示为：0≤x≤1，x2≤y≤x，令x=rcos θ，y=rsinθ，则0≤θ≤，0≤r≤tanθsecθ，则二重积分可表示为f(rcosθ，rsinθ)rdr，故选C．知识模块：多元函数积分学2．若D=｛(x，y)｜a2≤x2+y2≤4a2，(a＞0)｝，则二重积分dxdy= ( )A．3πa2B．πa3C．πa2D．πa3正确答案：D解析：=∫02πdθ∫a2ar2dr=πa3．知识模块：多元函数积分学3．区域D为( )时，dxdy=2．A．｜x｜≤1，｜y｜≤1B．｜x｜+｜y｜≤1C．0≤x≤1，0≤y≤2xD．0≤x2+y2≤2正确答案：B解析：由二重积分的性质知=SD=2，可求得A的面积SD=4，B的面积SD=2×2×=2，C的面积SD=2×1×=1，D的面积SD==2π，故选B．知识模块：多元函数积分学4．设L为抛物线x一1=y2一2y上从点A(1，0)到点B(1，2)的一段弧，则∫L(ey+x)dx+(xey一2y)dy= ( )A．e一1B．e+1C．e2一5D．e2+5正确答案：C解析：=ey，所以积分与路径无关，原积分路径可以改为沿着x=1从A点到B点，则∫L(ey+x)dx+(xey－2y)dy=∫02(ey一2y)dy=(ey一y2)｜02=e2一5，故选C．知识模块：多元函数积分学5．设L是y=x2上从点(0，0)到点(1，1)之间的有向弧，则∫L(x3一y)dx一(x+siny)dy= ( )A．B．C．D．正确答案：B解析：=一1，所以积分与路径无关，则可把积分看成先所以积分∫L(x3－y)dx—(x+siny)dy=∫01x3dx+∫01－(1+siny)dy=(－1+cos1)一(0+1)=cos1—．知识模块：多元函数积分学6．已知闭曲线L：x2+y2=4，则对弧长的曲线积分(4x2+4y2一6)ds= ( )A．40πB．12πC．6πD．4π正确答案：A解析：令x=2cost，y=2sint，则(4x2+4y2一6)ds=∫02π10dt=∫02π20dt=40π．知识模块：多元函数积分学填空题7．比较积分I1=(x+y)7dσ与I2=(x+y)8dσ的大小，其中D由Ox轴、Oy轴及直线x+y=1围成，则________．正确答案：I1≥I2解析：在区域D内可知x+y≤1，所以在区域D上(x+y)7≥(x＋y)8(等号仅在x+y=1处取得)，故(x+y)7dσ≥(x+y)8dσ，即I1≥I2．知识模块：多元函数积分学8．设=4π，这里a＞0，则a=________．正确答案：a=4解析：=aπ=4π，所以a=4．知识模块：多元函数积分学9．设I=交换积分次序，则有I=________．正确答案：∫04dx∫x24xf(x，y)dy解析：I=∫016dy的积分区域为D=｛(x，y)｜0≤y≤16，｝=｛(x，y)｜0≤x≤4，x2≤y≤4x｝，所以I=∫04dx∫x24xf(x，y)dy．知识模块：多元函数积分学10．化二次积分I=∫02dx为极坐标下的二次积分，则I=_______．正确答案：I=dθ∫02secθcosr．rdr解析：因积分区域D=｛(x，y)｜0≤x≤2，x≤y≤｝=｛(x，y)｜1≤tan θ≤，0≤rcosθ≤2)｝=｛(θ，r)｜，0≤r≤2secθ｝，所以I=dθ∫02secθcosr．Rdr 知识模块：多元函数积分学11．设D：｜x｜≤1，｜y｜≤1，且[f(x，y)+2]dσ=________．正确答案：9解析：=1+2×2×2=9．知识模块：多元函数积分学12．设a＞0，f(x)=g(x)=而D表示全平面，则I=f(x)g(y—x)dxdy=________．正确答案：a2解析：I=f(x)g(y—x)dxdy=a2dxdy=a2∫01dx∫xx＋1dy=a2∫01[(x+1)一x]dx=a2．知识模块：多元函数积分学13．若L为圆周曲线x2+y2=a2，方向为逆时针方向，则曲线积分2xdy 一3ydx=_______．正确答案：5πa2解析：L围成的平面图形的面积SD=πa2，则5dxdy=5SD=5πa2．知识模块：多元函数积分学14．设L为x2+y2=1逆时针方向，则xy2dy－x2ydx=_______．正确答案：解析：xy2dy一x2ydx=y2一(－x2)dxdy=∫02πdθ∫01r2．rdr=．知识模块：多元函数积分学15．设L：y=x2(0≤x≤)，则∫Lxds=_______．正确答案：解析：由于L由方程y=x2(0≤x≤)给出，因此∫Lxds=．知识模块：多元函数积分学解答题16．交换积分次序∫12dx∫xf(x，y)dy．正确答案：因积分区域D=｛(x，y)｜1≤x≤2，≤y≤x｝=｛(x，y)｜≤x≤2｝+｛(x，y)｜1≤y≤2，y≤x≤2｝，所以原式=+∫12dy∫y2f(x，y)dx．涉及知识点：多元函数积分学17．求(x3+y)dxdy，其中D是由曲线y=x2与直线y=1所围成的有界平面区域．正确答案：由于积分区域D关于y轴对称，因此x3dxdy=0．记D1为区域D在第一象限的部分，则=2∫01dx∫x21ydy=∫01(1－x4)dx=．所以(x3+y)dxdy=．涉及知识点：多元函数积分学18．计算｜xy｜dσ，其中D由x轴，y+x=1和y—x=1围成．正确答案：如图5—5所示，D：0≤y≤1，y一1≤x≤1一y，故｜xy｜d σ=∫01dy∫y－10(－xy)dx＋∫01dy∫01－yxydx=∫01dy＋∫01dy=∫01y(y－1)2dy=．涉及知识点：多元函数积分学19．计算(x2一y2)dxdy，D是闭合区域：0≤y≤sinx，0≤x≤π．正确答案：(x2一y2)dxdy=∫0πdx∫0sinx(x2一y2)dy=∫0π(x2sinx一sin3x)dx=(－x2cosx)｜0π+2∫0πxcosxdx一∫0πsinxdx—∫0πcos2xdcosx=π2一．涉及知识点：多元函数积分学20．计算sin(x2+y2)dσ，其中D：≤x2+y2≤π．正确答案：涉及知识点：多元函数积分学21．计算(xey+x2y2)dxdy，其中D是由y=x2，y=4x2，y=1围成．正确答案：因D关于y轴对称，且xey是关于x的奇函数，x2y2是关于x 的偶函数，则I=xeydxdy＋x2y2dxdy=0＋x2y2dxdy，I=2∫01dy x2y2dx=2∫01y2dy=．涉及知识点：多元函数积分学22．计算二重积分，其中D是由y2=2x，x=1所围成的平面区域．正确答案：如图5—8所示，D=｛(x，y)｜≤x≤1｝，所以，涉及知识点：多元函数积分学23．计算，其中D：x2+y2≤x．正确答案：改写积分区域D为：(x－)2＋y2≤．如图5—11所示，因积分区域为圆，故选择极坐标系下计算二重积分．涉及知识点：多元函数积分学24．计算∫L(exsiny－2y)dx+(excosy－2)dy，其中L为上半圆周(x－a)2+y2=a2(y≥0)沿逆时针方向．正确答案：取L1为y=0(x：0→2a)，则L+L1为封闭曲线，其所围区域D为半圆面，则由格林公式(exsiny一2y)dx+(excosy一2)dy=(excosy—excosy+2)dσ=πa2=πa2．因此，原积分=πa2一∫L1(exsiny一2y)dx+(excosy一2)dy=πa2一[∫02a(ex．sin0－2．0)dx+0]=πa2一0=πa2．涉及知识点：多元函数积分学25．计算对坐标的曲线积分I=∫L(x+y一1)dx+(x—y+1)dy，其中L是曲线y=sinx上由点0(0,0)到点A(，1)的一段弧．正确答案：令P(x，y)=x+y一1，Q(x，y)=x—y+1．因为，所以积分与路径无关．引入点B(，0)，则I=(x+y一1)dx+(x—y+1)dy+(x+y一1)dx+(x—y+1)dy=．涉及知识点：多元函数积分学26．计算(x＋y)ds，其中L为连接点O(0，0)，A(1，0)，B(0，1)的闭折线．正确答案：如图5-15，涉及知识点：多元函数积分学。
多元函数积分学典型习题解答与提示
第七章 多元函数积分学典型习题解答与提示习 题 7-11．（1）2σ=⎰⎰DV xyd ； （2）|sin |σ=⎰⎰DV xy d 。
2．提示：利用σσ=⎰⎰Dd 。
3．（1）小于零； （2）零； （3）大于零； （4）大于零。
4．（1）利用估值不等式(),σσσ≤≤⎰⎰Dm f x y d M 易于发现，当(),x y 在边界时，函数1++x y 取得最小值和最大值，已知01,02≤≤≤≤x y ，故114≤++≤x y ，即1,4==m M ，122σσ==⨯=⎰⎰Dd ，所以()218σ≤++≤⎰⎰Dx y d ；（2）提示，()()11m ax ,,m in ,100102====M f x y m fx y ，200σ=，故10051原积分2≤≤。
5．（1）0； （2）0； （3）124=I I 。
习 题 7-21．（1）3223a ； （2）9； （3）12； （4）0。
2．（1）83； （2）16；（3）令=⎰⎰DI ，122⎡⎤===⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰I dx ，=t ，则21,2=-=-x t dx tdt ，()()()0122418212415I tt t dt ttdt =--=-=⎰⎰；（4）22222211arctan ⎤⎤==⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰yyy Dyy yx dxdy dx dy dy x yx y y()2111arctan arctan ln 1424ππ⎤⎡=-=-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦y dy y y y y1ln 2122=-；（5）0111111+-+++----=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰x x x y x yx yx x De dxdy dx edy dx edy1111110[][]+++-----=+⎰⎰x yx x yxx x edx edx()()01211211+---=-+-⎰⎰x x eedx e edx121121101122+---⎡⎤⎡⎤=-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦x x e e x ex e 1=-e e。
多元函数练习题及答案
1、 讨论函数()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=0,0,00,0,1sin ,2222y x y x y x y x y x f 在()0,0点处的连续性，偏导数存在性，可微性.2.求函数22yx xy z +=当2=x ，1=y ，01.0=∆x ，03.0=∆y 时的全增量和全微分.3. 设yx y z 1tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛=，求x z ∂∂及yz ∂∂.4. 设⎰-=xyt dt e y x f 02),(，求222222yfx y y x f x f y x ∂∂+∂∂∂-∂∂。
5.()y x u f z ,,=，其中yxe u =,求函数的22x z ∂∂，y x z ∂∂∂2，22yz∂∂（其中f 具有二阶连续偏导数）6. 设,y x z xf yg x x y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中,f g 均为二阶可微函数，求2z x y ∂∂∂。
7、已知()(),,,z f x y x y z ϕ==，其中,f ϕ均为可微函数，求dz dx。
8. 设3333z z x y +=+，求dz 和22zx∂∂。
9. 求曲线mx y 22=，x m z -=2在点()000,,z y x 处的切线和法线方程.10. 求244)(),(y x y x y x f +-+=的极值。
11.求平面1222=++z c w y b v x a u 的三截距之积在条件1222222=++cw b v a u 之下的最小值.12.在椭圆4422=+y x 上求一点，使其到直线0632=-+y x 的距离最短。
1．解：1）因为()2222221sin0y x yx y x +≤++≤又0lim 2200=+→→y x y x 由夹逼准则知：()01sinlim 222200=++→→y x y x y x ,又因 ()00,0=f ,所以 ()y x f ,在()0,0处连续2）根据定义()y x f ,在()0,0处的偏导数为：()()()()()01sinlim 0,00,0lim 0,02200'=∆∆⋅∆=∆-∆+=→∆→∆xx x xf x f f x x x同理可得()00,0'=y f3）()()()()[]()()22221sin0,00,0y x y x f y x f z∆+∆⋅∆+∆=-∆+∆+=∆()()()()[]()()2222''1sin0,00,0y x y x y f x f y x ∆+∆⋅∆+∆+∆+∆=而()()[]()()()()01sinlim222222=∆+∆∆+∆⋅∆+∆→∆→∆y x y x y x y x所以()y x f ,在()0,0处可微分2.02.0=∆z ，03.0=dy3. 解：两边取对数有：⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y y z tan ln 1ln 两边对x 求偏导有：x y xy x y x z z 22sec tan1111⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂故xyx y xx z y2112s e ct a n 1-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂ 同理：xy x y xy x y x y y y z y y2112sec tan 1tan ln tan 1-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂ 4. 解：22y x ye x f -=∂∂，223222y x e xy x f --=∂∂，22222222y x y x e y x e yx f ---=∂∂∂ 22y x xe y f -=∂∂，223222y x ye x yf --=∂∂，222222yf x y y x f x f y x ∂∂+∂∂∂-∂∂=222y x e -- 5. 解：22y x ye x f -=∂∂，223222y x e xy x f --=∂∂，22222222y x y x e y x e yx f ---=∂∂∂ 22y x xe y f -=∂∂，223222y x ye x yf --=∂∂， 222222y f x y y x f x f y x ∂∂+∂∂∂-∂∂=222y x e -- 6. 解：121221z y y f xf y g g f f yg g x x y x ⎛⎫∂⎛⎫''''''=+-++=-++ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭21122222111z y x x f f f g yg g x y x x x x y y ⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫⎛⎫'''''''''=--++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1122222y x x f g g g x y y'''''''=-+-- 7. 解：利用全微分的不变形计算，方程两边微分可得,x y y z dz f dx f dy dx dy dz ϕϕ=+=+消去dy 可得y y y x z y dz f dx f dx f dz ϕϕϕ-=-故y y xy z yf f dz dx f ϕϕϕ+=+ 8 解：对方程3333z z x y +=+两边求微分，得 dy dx x dz dz z 333322+=+，于是 dy z dx z x dz 111222+++=， 由dy y zdx x z dz ∂∂+∂∂=，得 122+=∂∂z x x z ， 22zx ∂∂=2222)1(2)1(2+∂∂⋅-+z x zzx z x =224232(1)2(1)x z x z z +-+9.切线方程：00021z z z y y y x x --=-=- 法线方程：()()()02100000=---+-z z z y y y mx x10. 解：由⎪⎩⎪⎨⎧=+-==+-=0)(240)(2433y x y f y x x f yx ， 得驻点)1,1(，)1,1(--，)0,0(。
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1.设一金属薄片占有xOy 平面上的区域D ,薄片上连续分布着面密度为),(y x μ的电荷,试用二重积分表示D 上电荷的总量.2.利用二重积分的几何意义求下列积分的值: (1)⎰⎰--Dd y x σ224,{}4),(22≤+=y x y x D ,(2)⎰⎰Dd σ5,{}0,1,1),(≥≤-≤+=y x y y x y x D .3.利用二重积分的性质估计下列积分的值: (1)⎰⎰Dxyd σ,{}0,0,1),(22≥≥≤+=y x y x y x D , (2)⎰⎰++Dd y xσ)94(22,{}41),(22≤+≤=y x y x D .4.比较下列各组二重积分值的大小: (1)⎰⎰+Dd y x σ2)(与⎰⎰+Dd y x σ3)(,{}0,0,1),(≥≥≤+=y x y x y x D , (2)[]⎰⎰+Dd y x σ2)ln(与[]⎰⎰+Dd y x σ3)ln(,{}32,21),(≤≤≤≤=y x y x D . 5.填空:设),(y x f 在平面区域D 上连续,且具有奇偶性,则有 (1) 区域D 关于x 轴对称,1D 为D 在上半平面部分,则二重积分 (2) 区域D 关于y 轴对称,2D 为D 在右半平面部分,则二重积分(3) 区域D 关于x 轴或y 轴均对称, 1D 为D 在第Ⅰ象限部分,则二重积分 (4) 区域D 关于直线x y =对称,则二重积分σσd f d y x f DD),(),(⎰⎰⎰⎰=.6.根据第5题“填空”的结果,说明下列结论成立的理由: 设 {}1),(≤+=y x y x D ,{}0,0,1),(1≥≥≤+=y x y x y x D , (1) ⎰⎰⎰⎰+=+DD d y x d y x 1)sin(4)sin(2222σσ, (2) ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==+=+DDDDd y d x d y x d y x σσσσ2222222)()(, (3)⎰⎰⎰⎰--=DDx y yx d e d eσσ.7.作出积分区域的图形,确定积分次序,计算下列二重积分: (1) ⎰⎰+D d y x σ, {}20,10),(≤≤≤≤=y x y x D ,(2)⎰⎰Dxy d xe σ, {}01,10),(≤≤-≤≤=y x y x D ,(3)⎰⎰+Dd y x σ)cos(, {}π≤≤≤≤=y y x y x D 0,0),(,(4)⎰⎰Dd xyx σsin, {}10,0),(≤≤≤≤=x x y y x D , (5) ⎰⎰Dxyd e σcos , ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=20,sin 0),(πy y x y x D , (6)[]σd exy Dy x ⎰⎰++)(, {}10,1),(≤≤≤≤=x y x y x D ,(7) ⎰⎰Dd y x σ2,其中D 是由直线2=y ,x y =和双曲线1=xy 所围成,(8) ⎰⎰Dxyd σ,其中D 是由直线2+=x y 和抛物线2x y =所围成, (9)⎰⎰-Dd x y σ, {}1,1),(≤≤=y x y x D , (10)⎰⎰-D d xy σ2, {}20,1),(≤≤≤=y x y x D .8.作出积分区域的图形,更换积分次序,计算出结果: (1)⎰⎰-112dy e dx xy , (2) ⎰⎰10sin xxdy yydx , (3)⎰⎰+1131ydx x dy , (4) ⎰⎰202cos sin ππx dy yxy y dx . 9.一半径为a 的半圆形薄片,其上每点的面密度与该点到圆心的距离平方成正比(比例系数为k ),求此半圆形薄片的质量. 10.利用极坐标将二重积分⎰⎰Dd y x f σ),(化成二次积分,其中D 分别为:(1){}0,),(222≥≤+=y a y x y x D , (2){}2222),(by x a y x D ≤+≤=,(3){}ay y x ay y x D 2),(22≤+≤=, (4){}ax y x ay y x y x D 2,2),(2222≤+≤+=, (5){}2222),(a y x ax y x D ≤+≤=, (6){}222),(a y xax y x D ≤+≤=.11.将下列二重积分⎰⎰Dd y x f σ),(化为极坐标下的二次积分,并计算其值:(1) ⎰⎰+Dd y x σ2322)(,{}1),(22≤+=y x y x D , (2)⎰⎰+Dd y x σ22sin ,{}22224),(ππ≤+≤=y x y x D ,(3) ⎰⎰--Dd y x σ221,{}x y x y x D ≤+=22),(,(4)⎰⎰++Dd y x σ)1ln(22,{}0,1),(22≥≤+=x y x y x D . 12.利用二重积分计算下列曲面所围成的立体的体积:(1)222y x z --=,0=z , (2)222y x z --=, 22y x z +=, (2) 22y x z +=,222a y x =+,0=z ,(4)4222=++z y x , 223y x z +=(含z 轴的部分). 13.求由)0(sin π≤≤=x x y 与0=y 所围的均质薄片的质心. 14.适当地选择积分次序,将三重积分⎰⎰⎰ΩdV z y x f ),,(化成直角坐标下的三次积分,其中Ω为 (1) 由1=++z y x ,0≥x ,0≥y ,0≥z 所围成, (2) 由1=+z y ,x y =,0≥x ,0≥z 所围成,(3) 由z y =,21x y -=,0≥z 所围成. 15.利用直角坐标计算下列三重积分: (1) ⎰⎰⎰Ω+dV y x )(,其中Ω是以点(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1)为顶点的四面体,(2)⎰⎰⎰ΩyzdV ,其中Ω是由z y =,0=z ,1=y 及抛物面柱面2xy =所围成区域,(3)⎰⎰⎰Ω+++dV z y x 3)1(1,其中Ω是由1=++z y x 及0=x ,0=y ,0=z 所围成. 16.利用柱面坐标计算下列三重积分: (1) ⎰⎰⎰Ω+dV y x 22,其中Ω是由抛物面224y x z --=与0=z 所围区域,(2)⎰⎰⎰Ω+dV y x z22,其中Ω是由圆柱面22x x y -=及平面0=z ,a z =)0(>a 及0=y 所围区域,(3)⎰⎰⎰Ω+dV y x)(22,其中Ω是由抛物面z y x 222=+及平面2=z 所围区域.17.利用球面坐标计算下列三重积分: (1) ⎰⎰⎰Ω++dV z y x )(222,其中Ω为球体:2222)(a a z y x ≤-++, (2)⎰⎰⎰ΩdV y 2,其中Ω为立体:41222≤++≤z y x ,(3)⎰⎰⎰Ω+dV y x)(22,其中Ω为上半球面222y x a z --=和上半锥面22y x z +=所围区域,(4)⎰⎰⎰Ω++dV xea z y x 2222,其中Ω为立体:2222a z y x ≤++, 0≥x ,0≥y ,0≥z .18.一均质物体由曲面22y x z +=,1=z 所围成,试求: (1) 物体的质量, (2) 物体的质心.19.求底半径为R ,高为H 的正圆柱体,其体密度为常量μ,求其关于底面直径的惯性矩(转动惯量). 20.设由锥面22y x z +=与球面222y x R z --=所围(含z 轴部分)的均质物体,求其对在锥顶点处的一单位质量的质点的引力. 21.计算下列第一类(对弧长)曲线积分:(1) ⎰Γ+dl y x )(,其中Γ为以(0,0),(1,0),(0,1)为顶点的三角形围线, (2) []⎰Γ++dl y y x 3322)(,其中Γ为222a y x =+,0≥x ,(3)⎰Γ+dl y x 22,其中Γ为ax y x =+22 )0(>a ,(4) ⎰Γ+dl y x )(3434,其中Γ为星形线323232a yx =+的一周,(5) ⎰Γxyzdl 其中Γ为连接)0,0,0(A ,)3,2,1(B ,)3,4,1(C 的折线ABC , (6) ⎰Γ++dl z y x )(222,其中Γ为① 圆柱螺线t x cos =,t y sin =,t z =对应于t 从0到π2的一弧,② 圆⎩⎨⎧=++=++.0,2222z y x a z y x22.设半径为R ,中心角为θ2的均质(线密度μ为常量)圆弧,求其 (1) 质心,(2) 关于对称轴的惯性矩(转动惯量).23.半径为)0(>a a 的半圆形均质(线密度=μ常数)质线,求其对位于圆心处的单位质点的引力.24.设圆柱螺线弧,其方程为t a x cos =,t a y sin =,bt z = )20(π≤≤t ,它的线密度222),,(z y x z y x u ++=,求它关于z 轴的惯性矩(转动惯量).25.计算下列曲面在指定部分的面积:(1) 球面2222a z y x =++介于平面0=z 和)0(a h h z <<=之间的部分, (2) 上半锥面22y x z +=包含在圆柱面x y x 222=+内的部分,(3) 球面2222a z y x =++包含在圆柱面)0(22>=+a ax y x 内的部分. 26.计算下列第一类(对面积)曲面积分: (1) ⎰⎰∑dS z 1,其中∑是球面2222a z y x =++在平面)0(a h h z <<=的h z >部分, (2) ⎰⎰∑xyzdS ,其中∑是平面1=++z y x ,0=x ,0=y ,0=z 所围四面体的全表面,(3)⎰⎰∑++dS z y x )(,其在∑是球面2222a z y x=++的0≥Z 部分,(4)⎰⎰∑+dS y x 22,其中∑是上半锥面22y x z +=被平面h z =所截下的部分.27.设抛物面)0(222≥--=z y x z ,其上质量分布的面密度为22),(y x y x +=μ,求其质量.28.设均质上半球面222y x a z --=,求:(1)质心,(2)关于z 轴的转动惯量.自测题一、单项选择题1.设D 是xOy 平面上以坐标(-1,-1),(-1,1)和(1,1)为顶点的三角形区域,1D 是D 在第一 象限的部分,则⎰⎰=+Dd y x xy σ)sin cos (( )A. ⎰⎰12D xyd σ B. ⎰⎰1sin cos 2D yd x σC. 0D. ⎰⎰+1)sin cos (4D d y x xy σ2.设{}0,),,(2222≥≤++=Ωz a z y x z y x ,{}0,0,0,),,(22221≥≥≥≤++=Ωz y x a z y x z y x ,则( )成立.A. ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=14xdV xdV B. ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=14ydV ydVC.⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=14zdV zdV D. ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=14xyzdV xyzdV3.设{}222),(a y x y x D ≤+=,则⎰⎰+Dd y xf σ)(22化为极坐标下的二次积分是( ).A. ⎰⎰πθ2002)(ardr a f d B. ⎰⎰πθ202)(aadr a f dC.⎰⎰πθ20)(a rdr r f d D. ⎰⎰πθ202)(ardr r f d4.设{}π≤≤≤≤=x x y y x D 0,0),(,则二重积分=-⎰⎰Dxd σ2sin 1( )A. 0B. 2πC. 2D. π 二、填空题1.更换二重积分的次序:()()()()⎰⎰⎰⎰=1),(),(yydy y x f dx dx y x f dy .2.设区域{}222),(a y x y x D ≤+=,则⎰⎰=+D d n y mx σ)(2222( ).3.将三重积分⎰⎰⎰≤++++1222222)(z y x dV z y x f 化为球面坐标下的三次积分是()()()()()()()()⎰⎰⎰⋅ρϕθd f d d .4.将直角坐标下积分⎰⎰⎰---+++10)(302222222)(y y yy y x dz z y x f dx dy 化为柱面坐标下的三次积分是( ).三、求由221y x z --=与平面0=z 为边界所围立体的体积. 四、计算积分⎰⎰1122dy xe dx xy .五、计算三重积分⎰⎰⎰Ω++-+dV e z x z y x)(222)(,其中{}0,0,0,41),,(222≥≥≥≤++≤=Ωz y x z y x z y x . 六、设平面曲线Γ为下半圆周21x y --=,计算曲线积分⎰Γ+dl y x )(22.七、计算第一类曲面积分⎰⎰∑zdS ,其中∑为锥面22y x z +=在柱体x y x 222≤+内的部分.八、设)(u f 在[]b a ,上连续,试证⎰⎰⎰-=bax abadx x f x b dy y f dx )()()(.。