浙江省嘉兴市2013届高三数学上学期基础测试试题 理 新人教A版
浙江省嘉兴市2022-2023学年高三上学期9月基础测试数学试题含答案
嘉兴市2022-2023学年高三上学期9月基础测试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合41A x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，{}2B x x =>，则A B = （）A ．{}04x x <<B ．{}2x x >C ．{}24x x <<D ．{}x x >2．若复数3i1iz +=-（i 为虚数单位），则z =（）A ．5B C ．3D 3．在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且2BE EC = ，3CF FD =，记AB a = ，AD b = ，则EF = （）A ．3143a b -+B ．3143a b +C ．3143a b -D ．1143a b-+ 4．从圆内接正八边形的8个顶点中任取3个顶点构成三角形，则所得的三角形是直角三角形的概率是（）A ．114B ．314C ．720D ．375．已知直线:210l x y +-=及圆()()22:124C x y +++=，过直线l 上任意一点P 作圆C 的一条切线P A ，A 为切点，则PA 的最小值是（）A ．5B ．5C ．5D ．56．已知函数()()π5π2sin sin 011212f x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=-+<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象关于点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，将函数()f x 的图象向左平移π3个单位长度后得到函数()g x 的图象，则()g x 的一个单调递增区间是（）A ．3ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]π,π-C ．π3π,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]0,2π7．已知实数a 满足()()2ln 11ln 21ln 2e a +-<<+，则（）A ．1e aa>B ．1e aa<C ．1e 1e a a -->D ．1e 1e a a --<8．为庆祝国庆，立德中学将举行全校师生游园活动，其中有一游戏项目是夹弹珠．如图，四个半径都是1cm 的玻璃弹珠放在一个半球面形状的容器中，每颗弹珠的顶端恰好与容器的上沿处于同一水平面，则这个容器的容积是（）A ．(25πc m3+B ．(345πc m 3+C ．(325πcm+D ．(385πc m 3+二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知函数()32f x x ax bx c =+++在R 上单调递增，()f x '为其导函数，则下列结论正确的是（）A ．()10f '≥B ．()10f ≥C ．230a b -≤D ．230a b -≥10．如图，在正四面体ABCD 中，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，则（）A ．直线EF 与AB 所成的角为π2B ．直线EF 与AD 所成的角为π4C ．直线EF 与平面BCD 所成的角的正弦值为3D ．直线EF 与平面ABD 所成的角的正弦值为2211．如图，抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线C 交于M ，N 两点，过点M ，N 分别作准线l 的垂线，垂足分别为1M ，1N ，准线l 与x 轴的交点为1F ，则（）A ．直线1F N 与抛物线C 必相切B ．1π2MF N ∠≤C ．111F M F N F F MN⋅=⋅D ．11111FM FN FF F M N ⋅=⋅12．已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()()13f x g x +-=，()()33g x f x +-=．若()y g x =的图象关于点（1，0）对称，则（）A ．()()f x f x -=-B ．()()g x g x -=C ．()202216066k f k ==∑D ．()20201k g k ==∑三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设函数()()222,0lg 1,0x x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩若()0f a ≥，则实数a 的取值范围是___________．14．()()6x y x y +-的展开式中34x y 的系数是___________．（用数字作答）15．树人中学进行篮球定点投篮测试，规则为：每人投篮三次，先在A 处投一次三分球，投进得3分，末投进得0分，然后在B 处投两次两分球，每投进一次得2分，末投进得0分，测试者累计得分高于3分即通过测试．甲同学为了通过测试，进行了五轮投篮训练，每轮在A 处和B 处各投10次，根据统计该同学各轮三分球和两分球的投进次数如下图表：若以五轮投篮训练命中频率的平均值作为其测试时每次投篮命中的概率，则该同学通过测试的概率是___________．16．已知点()5,0M -，点P 在曲线()2210916x y x -=>上运动，点Q 在曲线()2251x y -+=上运动，则2PM PQ的最小值是___________．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4331S a =+，525S =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令2n an b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（12分）如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是正方形，若1124AB A B ==，13BB =，11CC DD ==（1）证明：平面11DCC D ⊥平面ABCD ；（2）求二面角1A CC D --的余弦值．19．（12分）记ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知点D 为AB 的中点，点E 满足2AE EC = ，且()()cos cos cos πsin a A a B C A C +-=-．（1）求A ；（2）若BC =，DE =，求ABC △的面积．20．（12分）某市决定利用两年时间完成全国文明城市创建的准备工作，其中“礼让行人”是交警部门主扲的重点工作之一．“礼让行人”即当机动车行经人行横道时应当减速慢行，遇行人正在通过人行横道，应当停车让行．如表是该市某一主干路口电子监控设备抓拍的今年1-6月份机动车驾驶员不“礼让行人”行为的人数统计数据．月份123456不“礼让行人”333640394553（1）请利用所给的数据求不“礼让行人”人数y 与月份x 之间的经验回归方程()112,y b x a x x '''=+≤≤∈N ，并预测该路口今年11月份不“礼让行人”的机动车驾驶员人数（精确到整数）；（2）交警部门为调查机动车驾驶员“礼让行人”行为与驾龄满3年的关系，从这6个月内通过该路口的机动车驾驶员中随机抽查了100人，如表所示：不“礼让行人”礼让行人驾龄不超过3年1842驾龄3年以上436依据小概率值0.05α=的独立性检验，能否据此判断机动车驾驶员“礼让行人”行为与驾龄满3年有关?并说明理由．附：参考公式：()()()121niii ni i x x y y b x x ==--'=-∑∑，()()()()()22n ad bc a c b d a b c d χ-=++++，其中n a b c d =+++．独立性检验临界值表：α0.100.050.0100.0050.001x α2.7063.841 6.6357.87910.82821．（12分）已知椭圆()222:1024x y C b b +=<<，直线1:l y x m =+与椭圆C 交于A ，B 两点，且AB 的最大值为463．（1）求椭圆C 的方程；（2）当463AB =时，斜率为2-的直线2l 交椭圆C 于P ，Q 两点（P ，Q 两点在直线1l 的异侧），若四边形APBQ 的面积为1669，求直线2l 的方程．22．（12分）已知函数()ln f x ax x =和()(()0g x b x b =>有相同的最小值．（1）求1a b+的最小值；（2）设()()()h x f x g x =+，方程()h x m =有两个不相等的实根1x ，2x ，求证：12122x x <+<．2022年高三基础测试数学参考答案（2022．9）一、选择题：本题共8小题，每小愿5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1-8：CBAD ABDB7．答案D 【解折】由()()2ln e 11ln 21ln 2a +-<<+得111e e 2e a ⎛⎫<+<< ⎪⎝⎭，对于选项A 与B ，令函数()1e xg x x =-在()0,+∞上单调递物，则存在012,23x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x =，即00e 1x x =，又2112e e e 1a <<+且0212e ,e e 1x ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭，所以1e a a >，1e a a <均有可能，即1e a与a 大小不确定．故A 与B 都不正确．对于选项C 与D ，令函数()()ln 11xf x x x =>-得()()211ln 1x x f x x --'=-，令()()11ln 1g x x x x =--≥得()221110xg x x x x-'=-=≤，所以()g x 在[)1,+∞上单调递减所以当1x >时，()()10g x g <=，所以()()()201g x f x x '=<-，所以()f x 在()1,+∞上单调递减，又111e e 2e a ⎛⎫<+<< ⎪⎝⎭，所以()()e f a f >，所以ln ln e 1e 1a a >--，即1e 1e a a --<，故D 正确．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．AC10．ABC11．BD12．BD12．答案BD 【解析】因为()y g x =的图象关于点（1，0）对称，所以()()110g x g x -++=，()g x 的定义域均为R ，故()10g =，由()()13f x g x +-=，得()()13f x g x -++=，所以()()6f x f x +-=，故A 错误；令0x =得，()03f =，因为()()33g x f x +-=，所以()()123g x f x ++-=与()()13f x g x +-=联立得，()()26f x f x +-=，则()()246f x f x -+-=，所以()()4f x f x =-，即()f x 的其中一个周期为4，因为()()33x f x g +-=，所以()()413x f g x +++=．即()()4g x g x +=，所以()g x 的其中一个周期也为4，由()()33g x f x +-=，得()()143g x f x -+-=，与()()13f x g x +-=联立，得()()11g x g x -=-，即()()g x g x =-．所以B 正确；由()()26f x f x +-=，得()()136f f +=，但()1f 与()3f 的值不确定，又()03f =，()23f =，所以()()()()()()2022112505123k f k f f f f f ==++++⎡⎣∑()()460631f f +=+⎤⎦，故C 错误；由()()33g x f x +-=，得()()303g f +=，所以()30g =，又()()123f g -+=，()()143f g +=，两式相加得，()()240g g +=，所以()()()()()20201050512340k g k g g g g ===+++=⎡⎤⎣⎦∑，故D 正确，故选BD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．(][),20,a ∈-∞-+∞ 14．5-15．16125化成小数即为0.50416．20四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）【解析】（1）由4331S a =+，得()114343212a d a d ⨯+=++，即11a =；由525S =，得151025a d +=，则2d =，所以()1121n a a n d n =+-=-．（2）由（1）知214222nna n nb -===，则数列{}n b 是以2为首项，4为公比的等比数列，所以()()()11212142411143n n n n n b q T b b b q---=+++===-- ．18．（12分）【解析】（1）方法一：将四棱台1111ABCD A B C D -补形成四棱锥P ABCD -，取CD 中点E ，连结PE ，BE ，则由题意知PC PD =，且1A ，1B ，1C ，1D 分别是棱PA ，PB ，PC ，PD 的中点，所以PE CD ⊥，又126PB BB ==，BE =，4PE =，所以222PB PE BE =+，所以PE BE ⊥又BE CD E = ，BE ⊂平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PE ⊥平面ABCD ，又PE ⊂平面11DCC D ，所以平面11DCC D ⊥平面ABCD ．方法二：在梯形11BCC B 中过1B 作1B M BC ⊥于M ，过1C 作1C N BC ⊥于N ，设BM x =，则2CN x =-，由11B M C N =，得()22952x x -=--，即2x =，所以0CN =，即1BC CC ⊥，又因为CB CD ⊥，1CC CD C = ，所以CB ⊥平面11DCC D ，又因为CB ⊂平面ABCD ，所以平面11DCC D ⊥平面ABCD ．方法三：过1C 作1C E CD ⊥于E ，连结BE ，1BC ，则在梯形11CDD C 中，1CE =，12C E ==，在正方形ABCD 中，BE ==，在梯形11BCC B中，4BC =，112B C =，1CC =，13BB =，则梯形11BCC B 为直角梯形，其中1BC CC ⊥，1BC ==，所以22211BE EC BC +=，故1C E BE ⊥，又因为1C E CD ⊥，CD BE E = ，所以1C E ⊥平面ABCD ，又因为1C E ⊂平面11DCC D ，所以平面11DCC D ⊥平面ABCD．方法四：以C 为原点，CD ，CB 所在直线为x ，y 轴如图建系．则()0,0,0C ，D （4，0，0），B （0，4，0），设()1,,C x y z ，由方法二、三知1CC =，1C D =，1C B =，则()()2222222225,413,421,x y z x y z x y z ⎧++=⎪⎪-++=⎨⎪+-+=⎪⎩解得1,0,2,x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以()11,0,2C ，故10CB CC ⋅= ，即1CB CC ⊥，又因为CB CD ⊥，1CC CD C = ，所以CB ⊥平面11DCC D ，又因为CB ⊂平面ABCD ，所以平面11DCC D ⊥平面ABCD．（2）方法一：由第（1）问知AD ⊥平面11DCC D ，过D 作1DG CC ⊥于G ，连结AG ，则可证1AG CC ⊥，因此∠AGD 为二面角1A CC D --的一个平面角，在直角△ADG 中，4AD =，DG ==AG ==，所以2cos 3DG AGD AG ∠==，即二面角1A CC D --的平面角的余弦值为23．方法二：由第（1）问方法四知，()0,1,0m = 为平面11DCC D 的一个法向量：()11,0,2CC =，()4,4,0CA = ，设(),,n x y z = 为平面1ACC 的一个法向量，则1,,n CC n CA ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ 即20,440,x z x y +=⎧⎨+=⎩取1z =，则2x =-，2y =，则()2,2,1n =-，设二面角1A CC D --的平面角的大小为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2cos cos ,3m n m n m n θ⋅=== ，所以二面角1A CC D --的平面角的余弦值为23．19．（12分）【解析】（1）由()()cos cos cos πsin a A a B C A C +-=-，得()()cos cos cos sin a B C a B C A C-++-=-，即2sin sin cos sin a B C A C=-由正弦定理得sin sin sin cos sin A B C B A C =，因为在△ABC 中sin 0B >，sin 0C >，所以sin A A =，得tan A =，因为()0,πA ∈，所以2π3A =．（2）在△ABC 中由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得2219b c bc ++=，在△ADE 中由余弦定理得2247943b c bc ++=，所以()22224794319b c bc b c bc ++=++，化简得225224810b bc c --=，即()()2326270b c b c -+=，所以32b c =，代入2219b c bc ++=，计算得3b =，2c =，则△ABC的面积1233sin 3sin 232ABC S bc A π===△．20．（12分）【解析】（1）由表中数据可知：123456762x +++++==，333640394553416y +++++==，所以()()()611622116ˆ6n iii ii i ni ii i x x y y x y x ybx x xx ====---==--∑∑∑∑，即616221692486118ˆ14759162iii ii x yxybxx ==--===--∑∑，所以187142ˆˆ41525ay bx =-=-⨯=，所求得经验回归方程为18142ˆ55y x =+．当11x =时，ˆ68y=，所以预测该路口11月份的不“礼让行人”违章驾驶员人数为68人．（2）零假设为0H ：“礼让行人”与驾龄满3年无关，由题意知22⨯列联表为不礼让行人礼让行人合计驾龄不超过3年184260驾龄3年以上43640合计2278100由表中数据可得()()()()()()22210018364428005.594 3.84122786040143n ad bc a c b d a b c d χ-⨯-⨯===≈>++++⨯⨯⨯根据小概率值0.05α=的独立性检验，我们推新0H 不成立，即认为“礼让行人”与驾龄满3年有关，且推断犯错误的概率不超过0.05，21．【解析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线1l 与椭圆方程得22214x y b y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得()()22224840b x mx m b+++-=，又1x ，2x 是这个方程的两个实根，所以()()()222212222122641640,8444m b m b m x x b m b x x b ⎧⎪∆=-+->⎪⎪-+=⎨+⎪⎪-⎪=+⎩由弦长公式得12244AB xb=-=⋅+，所以当0m=时，AB取到最大值，即maxAB==，解得b=．所以椭圆C的方程为22142x y+=．（2）设直线2l方程为2y x n=-+，()33,P x y，()44,Q x y，联立直线2l与椭圆方程221422x yy x n⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩消去y得2298240x nx n-+-=，所以()2234234(8)4924089249n nnx xnx x⎧∆=-+⨯⨯->⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪-=⎪⎩且(n∈-，记点P，Q到直线1l的距离分别为1d，2d，又1d=，2d=且()()3344x y x y--<，所以12d d+=+====所以()121146||223APBQS AB d d=+=⋅=因为APBQS=，9=，，整理得22n=，所以n=件，综上所述直线的方程为2:2l y x=-±，即为2:20l x y+=．22．（12分）【解析】（1）因为()(21124g x b x b⎡⎤⎫==--⎢⎥⎪⎭⎢⎥⎣⎦，所以()min144bg x g⎛⎫==-⎪⎝⎭；()lnf x ax x=定义域()0,x∈+∞，()()ln1f x a x'=+，令()0f x'=得，1ex=，当0a>时，()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单递增；当0a <时，()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；当0a =时，()0f x =，要使()f x 与()g x 有相同的最小值，则0a >，()min 1e e 4ab f x f ⎛⎫===- ⎪-⎝⎭，所以e 4b a =，所以1e 14b a b b +=+≥=，当且仅当b =时，取等号．（2）由已知得()()()(eln 4h x f x g x bx x b x =+=+，()()12e1ln 1142h x b x b x -⎛⎫'=++- ⎪⎝⎭，令()()12e 1ln 1142H x b x b x -⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，则()32e 11044H x b b x x -'=⋅+⋅>恒成立，则()H x 在()0,+∞上单调递增，即()h x '在()0,+∞单调递增，因为()()2e e 3e e 21110424h b b b -⎛⎫⎛⎫'=-++-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()10h '>，存在()20e ,1x -∈使得()00h x '=，()h x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，又因为()10h =，当01x <<时，()0h x <，因此若方程()h x m =有两个不相等的实根1x ，2x （不防设12x x <），则必有1201x x <<<，因此122x x +<；下证1212x x +>，由()()12h x h x m ==，得((111222e eln ln 44bx x b x bx x b x m +-=+-=，则((1211mx x b ⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭，令())01m x x =<<，令()0,1t =，则()2ln 1t t m t t =-，则()()()()()()222ln 112ln 21ln 11t t t t t t m t t t +----'==--，令()()1ln 01n t t t t =--<<，则()110n t t '=-<成立，所以()n t 在（0，1）上单调递减，()()10n t n >=，即当01t <<时，()0m t '>成立，所以()m t 在（0，1）上单调递增，即()m x 在（0，1）上单调递增，故()()120m x m x <<，由于20x x ，因此((1211x x ⎫⎛⎫=-⎪⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭(21x ⎫<-⎪⎪⎭，得12x x <->，得1>，所以212122x x +>=⎝⎭，综上12122x x <+<．。
【走向高考】(2013春季发行)高三数学第一轮总复习 9-1空间几何体的结构特征及其直观图、三视图 新人教A版
9-1空间几何体的结构特征及其直观图、三视图基础巩固强化1.(文)(2011·合肥市质检)下图是一个几何体的三视图，其中正(主)视图和侧(左)视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是( )A ．6πB ．12πC ．18πD ．24π[答案] B[解析] 由三视图知，该几何体是两底半径分别为1和2，母线长为4的圆台，故其侧面积S ＝π(1＋2)×4＝12π.(理)一个几何体的三视图如图所示，正视图上部是一个边长为4的正三角形，下部是高为3两底长为3和4的等腰梯形，则其表面积为( )A.31π2B.63π2C.π4(57＋737) D.π4(41＋737) [答案] D [解析]由三视图知，该几何体是一个组合体，上部是底半径为2，高为23的圆锥，下部是两底半径分别为2和32，高为3的圆台，其表面积S ＝π×2×4＋π(2＋32)×372＋π·(32)2＝π4(41＋737)，故选D. 2．如图所示是水平放置三角形的直观图，D 是△ABC 的BC 边中点，AB 、BC 分别与y ′轴、x ′轴平行，则三条线段AB 、AD 、AC 中( )A ．最长的是AB ，最短的是AC B ．最长的是AC ，最短的是AB C ．最长的是AB ，最短的是AD D ．最长的是AC ，最短的是AD [答案] B[解析] 由条件知，原平面图形中AB ⊥AC ，从而AB <AD <AC .3．(文)(2012·河南六市联考)如图为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的全面积为( )A．14 3 B．6＋2 3 C．12＋2 3 D．16＋2 3 [答案] C[解析] 该几何体是一个正三棱柱，设底面正三角形边长为a，则32a＝3，∴a＝2，又其高为2，故其全面积S＝2×(34×22)＋3×(2×2)＝12＋2 3.(理)(2011·北京西城模拟)一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为：①长方形；②正方形；③圆；④椭圆．其中正确的是( )A．①②B．②③C．③④D．①④[答案] B[解析] 根据三视图画法规则“长对正，高平齐、宽相等”，俯视图应与正视图同长为3，与侧视图同宽为2，故一定不可能是圆和正方形．4．(文)(2011·广东文，9)如下图，某几何体的正视图(正视图)，侧视图(侧视图)和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为( )A ．4 3B ．4C ．2 3D ．2[答案] C[解析] 由三视图知该几何体是四棱锥，底面是菱形，其面积S ＝12×23×2＝23，高h ＝3，所以V ＝13Sh ＝13×23×3＝2 3.(理)(2012·保定市一模)一个棱锥的三视图如图(尺寸的长度单位为m)，则该棱锥的体积是(单位：m 3)．( )A ．4＋2 6B ．4＋ 6 C.23 D.43[答案] D[解析] 由侧视图和俯视图是全等的等腰三角形，及正视图为等腰直角三角形可知，该几何体可看作边长AB ＝BC ＝3，AC ＝1的△ABC 绕AC 边转动到与平面△PAC 位置(平面PAC ⊥平面ABC )所形成的几何体，故其体积V ＝13×(12×2×2)×2＝43.5．(文)(2011·广东省东莞市一模)一空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为12π＋853，则正视图与侧视图中x 的值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2 [答案] C[解析] 根据题中的三视图可知，该几何体是圆柱和正四棱锥的组合体，圆柱的底半径为2，高为x ，四棱锥的底面正方形对角线长为4，四棱锥的高h ＝32－22＝5，其体积为V ＝13×8×5＋π×22×x ＝12π＋853，解得x ＝3. (理)(2011·新课标全国理，6)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为( )[答案] D [解析]由正视图知该几何体是锥体，由俯视图知，该几何体的底面是一个半圆和一个等腰三角形，故该几何体是一个半圆锥和一个三棱锥组成的，两锥体有公共顶点，圆锥的两条母线为棱锥的两侧棱，其直观图如图，在侧视图中，O 、A 与C 的射影重合，侧视图是一个三角形△PBD ，OB ＝OD ，PO ⊥BD ，PO 为实线，故应选D.6．(文)(2012·河北郑口中学模拟)某几何体的正视图与侧视图如图所示，若该几何体的体积为13，则该几何体的俯视图不可以是( )[答案] D[解析] 由正视图及俯视图可知该几何体的高为1，又∵其体积为13，故为锥体，∴S 底＝1，A 中为三角形，此时其底面积为12，舍去；B 为14个圆，底面积为π4，也舍去，C 为圆，其面积为π舍去，故只有D 成立．[点评] 如果不限定体积为13，则如图(1)在三棱锥P －ABC 中，AC ⊥BC ，PC ⊥平面ABC ，AC ＝BC ＝PC ＝1，则此三棱锥满足题设要求，其俯视图为等腰直角三角形A ；如图(2)，底半径为1，高为1的圆锥，被截面POA 与POB 截下一角，OA ⊥OB ，则此时几何体满足题设要求，其俯视图为B ；如图(3)，这是一个四棱锥，底面是边长为1的正方形，PA ⊥平面ABCD ，此几何体满足题设要求，其俯视图为D.(理)(2012·大同市调研)已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A ．8 B.203 C.173D.143[答案] C[解析] 由题可知，原正方体如图所示，被平面EFB 1D 1截掉的几何体为棱台AFE －A 1B 1D 1，则所求几何体的体积V ＝23－V A 1B 1D 1－AEF ＝23－13×(2＋12＋2×12)×2＝173，故选C.7．已知一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，其中正(主)视图是直角梯形，侧(左)视图和俯视图都是矩形，则这个几何体的体积是________cm 3.[答案] 32[解析] 依据三视图知，该几何体的上、下底面均为矩形，上底面是边长为1的正方形，下底面是长为2，宽为1的矩形，左侧面是与底面垂直的正方形，其直观图如图所示，易知该几何体是四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，其体积V ＝S 梯形ABCD ·AA 1＝1＋2×12×1＝32cm 3. 8．(2011·皖南八校联考)已知三棱锥的直观图及其俯视图与侧视图如下，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图面积为________．[答案] 2[解析] 由条件知，该三棱锥底面为正三角形，边长为2，一条侧棱与底面垂直，该侧棱长为2，故正视图为一直角三角形，两直角边的长都是2，故其面积S ＝12×2×2＝2.9．(2011·安徽知名省级示范高中联考)在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，过对角线BD 1的一个平面交AA 1于E ，交CC 1于F ，得四边形BFD 1E ，给出下列结论：①四边形BFD 1E 有可能为梯形； ②四边形BFD 1E 有可能为菱形；③四边形BFD 1E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形； ④四边形BFD 1E 有可能垂直于平面BB 1D 1D ； ⑤四边形BFD 1E 面积的最小值为62. 其中正确的是________．(请写出所有正确结论的序号) [答案] ②③④⑤[解析] ∵平面ADD 1A 1∥平面BCC 1B 1，平面BFD 1E ∩平面ADD 1A 1＝D 1E ，平面BFD 1E ∩平面BCC 1B 1＝BF ，∴D 1E ∥BF ；同理BE ∥FD 1，∴四边形BFD 1E 为平行四边形，①显然不成立；当E 、F 分别为AA 1、CC 1的中点时，易证BF ＝FD 1＝D 1E ＝BE ，∴EF ⊥BD 1，又EF ∥AC ，AC ⊥BD ，∴EF⊥BD ，∴EF ⊥平面BB 1D 1D ，∴平面BFD 1E ⊥平面BB 1D 1E ，∴②④成立，四边形BFD 1E 在底面的投影恒为正方形ABCD .当E 、F 分别为AA 1、CC 1的中点时，四边形BFD 1E 的面积最小，最小值为62. 10．在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，PD ∥MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且AD ＝PD ＝2MA .(1)求证：平面EFG ⊥平面PDC ；(2)求三棱锥P －MAB 与四棱锥P －ABCD 的体积之比． [解析] (1)证明：∵MA ⊥平面ABCD ，PD ∥MA ， ∴PD ⊥平面ABCD ，又BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC ， ∵四边形ABCD 为正方形，∴BC ⊥DC . ∵PD ∩DC ＝D ，∴BC ⊥平面PDC .在△PBC 中，因为G 、F 分别为PB 、PC 的中点， ∴GF ∥BC ，∴GF ⊥平面PDC .又GF ⊂平面EFG ，∴平面EFG ⊥平面PDC .(2)不妨设MA ＝1，∵四边形ABCD 为正方形，∴PD ＝AD ＝2， 又∵PD ⊥平面ABCD ，所以V P －ABCD ＝13S 正方形ABCD ·PD ＝83.由于DA ⊥平面MAB ，且PD ∥MA ， 所以DA 即为点P 到平面MAB 的距离， 三棱锥V P －MAB ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×2×2＝23.所以V P －MAB ：V P －ABCD ＝1：4.能力拓展提升11.(2011·湖南六市联考)一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图中△ABC 是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为( )A.32B.12 C ．1 D ．2[答案] A[解析] 由三视图知，该几何体是正六棱锥，底面正六边形的边长为1，侧棱长为2，故侧视图为一等腰三角形，底边长3，高为正六棱锥的高3，故其面积为S ＝12×3×3＝32. 12．(2011·皖南八校联考)已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为( )[答案] B [解析]由三视图间的关系，易知其侧视图是一个底边为3，高为2的直角三角形，故选B. [点评] 由题设条件及正视图、俯视图可知，此三棱锥P －ABC 的底面是正△ABC ，侧棱PB ⊥平面ABC ，AB ＝2，PB ＝2.13．(2012·内蒙包头市模拟)一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是________．[答案] 16π[解析] 由三视图知，该几何体是一个正三棱柱，底面正三角形边长为3，高为2，故其外接球半径R 满足R 2＝(22)2＋(23×32×3)2＝4，∴R ＝2，∴S 球＝4πR 2＝16π.14．(2011·南京市调研)如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为________cm.[答案] 13[解析] 如图，将三棱柱侧面A1ABB1置于桌面上，以A1A为界，滚动两周(即将侧面展开两次)，则最短线长为AA″1的长度，∴AA1＝5，AA″＝12，∴AA″1＝13.15．圆台侧面的母线长为2a，母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍．求两底面的半径长与两底面面积的和．[解析] 如图所示，设圆台上底面半径为r，则下底面半径为2r，且∠ASO ＝30°， 在Rt △SA ′O ′中，rSA ′＝sin30°， ∴SA ′＝2r ，在Rt △SAO 中，2rSA＝sin30°，∴SA ＝4r .∵SA －SA ′＝AA ′，即4r －2r ＝2a ，r ＝a . ∴S ＝S 1＋S 2＝πr 2＋π(2r )2＝5πr 2＝5πa 2.∴圆台上底面半径为a ，下底面半径为2a ，两底面面积之和为5πa 2.16．(文)(2011·青岛质检)如下的三个图中，上面是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm)．(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； (2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积． [解析] (1)如图．(2)所求多面体体积V ＝V 长方体－V 正三棱锥 ＝4×4×6－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×2×2＝2843(cm 3)． (理)多面体PABCD 的直观图及三视图如图所示，E 、F 分别为PC 、BD 的中点．(1)求证：EF ∥平面PAD ； (2)求证：PA ⊥平面PDC .[解析] 由多面体PABCD 的三视图知，该几何体是四棱锥，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAD 是等腰直角三角形，PA ＝PD ＝2，且平面PAD ⊥平面ABCD .(1)连接AC ，则F 是AC 的中点， 又∵E 是PC 的中点， ∴在△CPA 中，EF ∥PA ， 又PA ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ， ∴EF ∥平面PAD .(2)∵平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ， 又CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面PAD ， ∴CD ⊥PA .∵△PAD 是等腰直角三角形，且∠APD ＝π2.即PA ⊥PD .又CD ∩PD ＝D ，∴PA ⊥平面PDC .1．(2011·宁夏银川一中检测)如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是( )[答案] B[分析] 可以直接根据变化率的含义求解，也可以求出函数的解析式进行判断．[解析] 容器是一个倒置的圆锥，由于水是均匀注入的，故水面高度随时间变化的变化率逐渐减少，表现在函数图象上就是其切线的斜率逐渐减小，故选B.[点评] 本题在空间几何体三视图和函数的变化率交汇处命制，重点是对函数变化率的考查，这种在知识交汇处命制题目考查对基本概念的理解与运用的命题方式值得重视．2.(2011·惠州模拟)用若干个体积为1的正方体搭成一个几何体，其正视图、侧视图都是如图所示的图形，则这个几何体的最大体积与最小体积的差是( )A．6 B．7 C．8 D．9[答案] A3．(2011·河源模拟)如图所示，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的正视图是( )[答案] B[解析] 箭头所指正面的观察方向与底面直角三角形边长为4的边平行，故该边的射影为一点，与其垂直的直角边的长度3不变，高4不变，故选B.4.(2011·辽宁文，8)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为23，它的三视图中的俯视图如右图所示，侧视图是一个矩形，则这个矩形的面积是( )A ．4B ．2 3C ．2 D. 3[答案] B[解析] 由题意可设棱柱的底面边长为a ，则其体积为34a 2·a ＝23，得a ＝2. 由俯视图易知，三棱柱的侧视图是以2为长，3为宽的矩形．∴其面积为2 3.故选B.5．(2011·天津理，10)一个几何体的三视图如下图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.[答案] π＋6[解析] 根据三视图知该几何体是一个长方体上面放一个圆锥．因而V＝V长方体＋V圆锥，又知长方体长、宽、高分别为3、2、1，圆锥的底面半径为1，高为3，从而求出体积为(π＋6)m3.6．下图是一几何体的直观图和三视图．(1)若F为PD的中点，求证：AF⊥平面PCD；(2)求几何体BEC－APD的体积．[解析] (1)证明：由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥EB，PA＝2EB＝4.∵PA＝AD，F为PD的中点，∴PD⊥AF.又∵CD⊥DA，CD⊥PA，∴CD⊥AF.∴AF ⊥平面PCD .(2)V BEC －APD ＝V C －APEB ＋V P －ACD ＝13×12×(4＋2)×4×4＋13×12×4×4×4＝803.。
浙江省嘉兴市2025届高三上学期9月基础测试地理试卷(含答案)
2024 年嘉兴市高三基础测试（2024.9）地理试卷本试题卷分选择题I、选择题II 和非选择题三部分，共8 页，满分100 分，考试时间90 分钟。
考生注意：l ．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。
2 ．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。
选择题部分下图为拉萨市部分城区交通路网分布示意图。
完成1 、2 题。
第1 、2 题图1.影响该交通路网分布的主导因素是A.河流B.地形C.人口D.产业2.该交通路网信息的获取和分布图的制作分别依靠A.GNSS 和GISB.GNSS 和RSC.GIS 和RSD.RS 和GIS下图为太平洋部分区域图。
完成3、4 题。
丙乙丁北回归线甲赤道第3 、4 题图3.图中箭头表示A.西南季风B.季风洋流C.西风漂流D.极地东风4.图中四点中，从海面至5000 米深度，海水密度变化最大的是A.甲B.乙C.丙D.丁海空枢纽是综合交通枢纽的一种，是以城市为单元，同时具有海运与空运功能的交通枢纽。
图1为海空枢纽运行流程图，图2 为2021 年全球部分海空枢纽排名图。
完成5 、6 题。
h r -海空枢纽第5 、6 题图 15.下列海空枢纽城市中，全球联通性最强的是A.悉尼B.宁波C.上海6.影响海空枢纽形成的主要条件有①较强的海、空货运能力 ②充足的劳动力③海港与机场的距离较近 ④配套设施完备A.①②③ B.①②④ C.①③④空运伊斯坦布尔 纽约迪拜上海圣彼得堡 东京新加坡 台北 香港- ·海运第 5 、6 题图 2D.伊斯坦布尔D.②③④印度洋偶极子是由印度洋不同地区海表温度差引起的一种特殊气象现象，通过海—气相互作 用，对周边地区的气候产生重要影响。
当印度洋西部的温度高于东部时，为正偶极，反之为负偶极。
下图为世界某区域略图。
完成 7、8 题。
第 7 、8 题图7.图中板块边界类型及其海底宏观地形分别是A.消亡边界 海沟B.生长边界 海沟C.消亡边界 海岭D.生长边界 海岭8.当印度洋正偶极时，索马里半岛东部海域A.水温偏低B.气温降低C.降水减少D.上升气流增强下图为 1962~2010 年黄河入海径流量变化图。
2013学年高一数学上学期期中试题及答案(新人教A版 第13套)
2012—2013学年东北师大附中高一年级数学学科试卷上学期期中考试注意事项：1．本试题分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分120分。
选择题填涂在答题卡上，非选择题答案填写在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效。
2．请在答题卡的指定位置上粘贴条形码，并填涂或填写班级、姓名、学号。
3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
4．请仔细审题、认真做答。
第Ⅰ卷（选择题 共48分）一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共计48分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） （1） 集合{}1A x x =≥，{}12B x x =-<<，则AB =（A ）{}12x x << （B ）{}1x x >- （C ）{}12x x ≤< （D ）{}12x x -<< （2）中心角为1rad 的扇形AOB 的周长是3，则该扇形的面积为（A ）21（B ）1 （C ）2 （D ）π （3） 函数xxy 212+=的值域是 （A ）()1,0（B ）(]1,0 （C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21 （D ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21（4）下列各组函数中表示同一个函数的是（A ）()()f x g x == （B ）()()21,11x f x g x x x -==-+ （C ）()()01,f x g x x ==（D ）21)(,21)(22+-=+-=x x x g x x x f（5） 函数()xf x x x=+的图象是（A ）（B ）（C ）（D ）（6）在平面直角坐标系中，若角α与β的终边互为反向延长线，则必有（A ）αβ=-（B ）()2k k Z απβ=-+∈（C ）απβ=+ （D ）()2k k Z αππβ=++∈（7） 已知()241xf x =+，则函数()f x 的解析式为（A ）221x ++ （B ）2log 1x + （C ）24log 1x + （D ）2log (1)x +（8）若01x y <<<，则（A ）33yx< （B ）1144x y⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（C ）log 3log 3x y < （D ）3322x y -->（9）已知x x f 3)(=，()g x 是函数()f x 的反函数，若正数201221,,x x x 满足81201221=⋅⋅⋅x x x ，则()()()()22221220112012g x g x g x g x ++++的值等于（A ）4 （B ）8（C ）16（D ）64（10）已知函数()122log ,0log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨⎪-<⎩，则不等式()()f a f a >-的解集是 （A ）()()1,00,1- （B ）()(),11,-∞-+∞ （C ）()()1,01,-+∞（D ）()(),10,1-∞-（11）若不等式2log 0m x x ->在1,12⎛⎫⎪⎝⎭范围内恒成立，则实数m 的取值范围是 （A ）1,116⎡⎫⎪⎢⎣⎭ （B ）()10,1,16⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦（C ）()10,1,16⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（D ）()1,11,16⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（12）函数()22f x x ax a =-+在区间(),1-∞上有最小值，则函数()()f xg x x=在区间()1,+∞上一定（A ）是增函数 （B ）是减函数 （C ）有最小值 （D ）有最大值第Ⅱ卷（非选择题 共72分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共计16分）（13）0113240.0640.015-⎛⎫--+= ⎪⎝⎭_______________．（14）函数x x x f 2)(2-=有_________个零点．（15）函数x x f 2log 211)(-=的定义域为 ____________． （16）已知23)1(2)(2++-=x m mx x f ，22)(-=xx g ，若满足条件：对任意实数R x ∈，0)(<x f 或0)(<x g ，则实数m 的取值范围是______________．三、解答题（本大题共6小题，共56分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （17）（本小题满分8分）若集合{}0322=--=x x x A ，{}02=-=ax x B 满足B B A = ，求实数a 组成的集合．（18）（本小题满分8分）设函数)1lg()(2-=x x f 的定义域为A ,)1(21)(<---=m xm m x x g 的定义域为B ．若B A ⊆,求实数m 的取值范围.（19）（本小题满分10分）已知函数a ax x x f -++-=12)(2在区间[]1,0上的最大值是2,求实数a 的值．（20）（本小题满分10分）已知ax e x f x -+=)1ln()(是偶函数，x x be e x g -+=)(是奇函数． （Ⅰ）求b a ,的值；（Ⅱ）判断)(x g 的单调性（不要求证明）；（Ⅲ）若不等式)())((x m g x f g ->在[)+∞,1上恒成立，求实数m 的取值范围．（21）（本小题满分10分）中央气象台发布：发生于M 地的一股冷空气一直向正南方向移动，其移动速度)/(h km v 与时间)(h t 的函数图象如图所示，过线段OC 上一点)0,(t T 作横轴的垂线l ，S 表示梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积． (Ⅰ)当4=t 时，求S 的值；(Ⅱ)说明面积S 的实际意义，并将S 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；(Ⅲ)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地km 650，试判断这股冷空气是否会侵袭到N 城，如果会，在这股冷空气发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．（22）（本小题满分10分） 设0≥a ，函数a a x x x f --=)( （Ⅰ）当1=a 时，写出函数的单调区间；（Ⅱ）讨论函数)(x f y =零点的个数，并求出零点．。
人教A版高中数学选修一第一章测试题
第一章测试题(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．“a >0”是“|a |>0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析 本题考查充要条件的判断，∵a >0⇒|a |>0，|a |>0D ⇒/a >0，∴“a >0”是“|a |>0”的充分不必要条件．答案 A2．命题“∀x ∈R ，x 2－2x ＋4≤0”的否定为( )A ．∀x ∈R ，x 2－2x ＋4≥0B ．∀x ∉R ，x 2－2x ＋4≤0C ．∃x ∈R ，x 2－2x ＋4>0D ．∃x ∉R ，x 2－2x ＋4>0答案 C3．“x ＝2k π＋π4(k ∈Z )”是“tan x ＝1”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析 tan(2k π＋π4)＝tan π4＝1，所以充分；但反之不成立，如tan 5π4＝1.答案 A4．下列命题中的假命题是( )A ．∀x ∈R,2x －1>0B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0C．∃x∈R，lg x<1 D．∃x∈R，tan x＝2解析对于B选项x＝1时，(x－1)2＝0，故选B.答案 B5．如果命题“綈p”为真，命题“p∧q”为假，那么()A．q为假B．q为真C．p或q为真D．p或q不一定为真解析∵命题“綈p”为真，∴命题“p”为假，又“p∧q”为假，∴q可真也可以假．∴p或q可真也可以假，故应选D.答案 D6．下列说法正确的是()①原命题为真，它的否命题为假；②原命题为真，它的逆命题不一定为真；③一个命题的逆命题为真，它的否命题一定为真；④一个命题的逆否命题为真，它的否命题一定为真．A．①②B．②③C．③④D．②③④答案 B7．设{a n}是首项大于零的等比数列，则“a1<a2”是“数列{a n}是递增数列”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 C8．下列命题中的假命题是()A. ∀x >0且x ≠1，都有x ＋1x >2B. ∀a ∈R ，直线ax ＋y ＝a 恒过定点(1,0)C. ∀φ∈R ，函数y ＝sin(x ＋φ)都不是偶函数D ．∃m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·xm 2－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减解析 A ．当x >0时，x ＋1x ≥2 x ·1x ＝2，∵x ≠1，∴x ＋1x >2，故A 为真命题．B ．将(1,0)代入直线ax ＋y ＝a 成立，B 为真命题．C ．当φ＝π2时，函数y ＝sin(x ＋π2)是偶函数，C 为假命题．D ．当m ＝2时，f (x )＝x －1是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减，∴D 为真命题，故选C.答案 C9．下列选项中，p 是q 的必要不充分条件是( )A ．p ：a ＋c >b ＋d ，q ：a >b ，且c >dB ．p ：a >1，b >1，q ：f (x )＝a x －b (a >0，且a ≠1)的图象不过第二象限C. p ：x ＝1，q ：x 2＝xD ．p ：a >1，q ：f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上为增函数答案 A10．以下判断正确的是( )A ．命题“负数的平方是正数”不是全称命题B．命题“∀x∈N，x3>x”的否定是“∃x0∈N，x30>x0”C．“a＝1”是“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的必要不充分条件D．“b＝0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数”的充要条件解析∵“负数的平方是正数”即∀x<0，则x2>0，是全称命题，∴A不正确；∵对全称命题“∀x∈N，x3>x”的否定是“∃x0∈N，x30≤x0”，∴B不正确；∵f(x)＝cos2ax－sin2ax＝cos2ax，当最小正周期为π时，有2π|2a|＝π.∴|a|＝1D⇒a＝1，∴a＝1是“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的充分不必要条件，故C不正确；D正确．答案 D11．下列四个命题中，其中真命题是()①“若xy＝1，则lg x＋lg y＝0”的逆命题；②“若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)”的否命题；③“若b≤0，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；④“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题．A．①②B．①②③④C．②③④D．①③④解析①逆命题：“若lg x＋lg y＝0，则xy＝1”为真命题．②逆命题：“若a⊥(b－c)，则a·b＝a·c”为真命题，根据逆命题与否命题的等价性，则否命题也为真命题．③当b≤0时，Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b≥0，知方程有实根，故原命题为真命题，所以逆否命题也为真命题．④真命题．答案 B12．已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0.若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤－2或a ＝1B ．a ≤－2或1≤a ≤2C ．a ≥1D ．－2≤a ≤1解析 ∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，即a ≤x 2，当x ∈[1,2]时恒成立，∴a ≤1.∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0，即方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，∴Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，∴a ≤－2，或a ≥1.又p ∧q 为真，故p ，q 都为真，∴⎩⎨⎧ a ≤1，a ≤－2，或a ≥1.∴a ≤－2，或a ＝1.答案 A 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．写出命题：“若方程ax 2－bx ＋c ＝0的两根均大于0，则ac >0”的一个等价命题是________．解析 一个命题与其逆否命题等价，因此只要写出原命题的逆否命题即可．答案 若ac ≤0，则方程ax 2－bx ＋c ＝0的两根不都大于014．已知p ：x 2－x ≥2，q ：|x －2|≤1，且p ∧q 与綈q 同时为假命题，则实数x 的取值范围为________．解析 由x 2－x ≥2，得x ≥2，或x ≤－1，|x －2|≤1，得1≤x ≤3，∵p ∧q 与綈q 同时为假命题，∴q 为真命题，p 为假命题，∴1≤x <2.答案 1≤x <215．已知直线l 1：2x －my ＋1＝0与l 2：x ＋(m －1)y －1＝0，则“m ＝2”是l 1⊥l 2的________条件．解析 若l 1⊥l 2，只需2×1＋(－m )(m －1)＝0，即m 2－m －2＝0，即m ＝2，或m ＝－1，∴m ＝2是l 1⊥l 2的充分不必要条件．答案 充分不必要16．下列四种说法：①命题“∀x ∈R ，都有x 2－2<3x ”的否定是“∃x ∈R ，使得x 2－2≥3x ”；②若a ，b ∈R ，则2a <2b 是log 12a >log 12b 的必要不充分条件；③把函数y ＝sin(－3x )(x ∈R )的图象上所有的点向右平移π4个单位即可得到函数y ＝sin(－3x －π4)(x ∈R )的图象；④若向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为2π3，则|a＋b |＝ 3.其中正确的说法是________．解析 ①正确．②若2a <2b ，则a <b ，当a 或b 为负数时，log 12a >log 12b 不成立，若log 12a >log 12b ，∴0<a <b ，∴2a <2b .故②正确．③把y ＝sin(－3x )的图象上所有点向右平移π4，得到y ＝sin[－3(x－π4)]＝sin(－3x ＋3π4)，故③不正确．④由题可知，a ·b ＝1×2cos 2π3＝－1，∴|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝3，∴|a ＋b |＝3，故④正确．答案 ①②④三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．(1)平面内，凸多边形的外角和等于360°；(2)有一些奇函数的图象过原点；(3)∃x 0∈R,2x 20＋x 0＋1<0；(4)∀x ∈R ，sin x ＋cos x ≤ 2.解 (1)可以改写为“平面内，所有凸多边形的外角和等于360°”，故是全称命题，且为真命题．(2)“有一些”是存在量词，故该命题为特称命题，显然是真命题．(3)是特称命题．∵2x 20＋x 0＋1＝2(x 0＋14)2＋78>0，∴不存在x 0∈R ，使2x 20＋x 0＋1<0，故该命题为假命题．(4)是全称命题．∵sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)≤2恒成立，∴对任意的实数x ，sin x ＋cos x ≤2都成立，故该命题是真命题．18．(12分)写出命题“已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，则a 2≥4b ”的逆命题，并判断其真假．解 逆命题为：“已知a ，b ∈R ，若a 2≥4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集”．由a 2≥4b 知，Δ＝a 2－4b ≥0.这说明抛物线y ＝x 2＋ax ＋b 与x 轴有交点，那么x 2＋ax ＋b ≤0必有非空解集．故逆命题是真命题．19．(12分)设集合M ＝{x |y ＝log 2(x －2)}，P ＝{x |y ＝3－x }，则“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈(M ∩P )”的什么条件？解 由题设知，M ＝{x |x >2}，P ＝{x |x ≤3}．∴M ∩P ＝(2,3]，M ∪P ＝R当x ∈M ，或x ∈P 时x ∈(M ∪P )＝RD ⇒/x ∈(2,3]＝M ∩P .而x ∈(M ∩P )⇒x ∈R∴x∈(M∩P)⇒x∈M，或x∈P.故“x∈M，或x∈P”是“x∈(M∩P)”的必要不充分条件．20．(12分)写出下列各命题的否定形式并分别判断它们的真假．(1)面积相等的三角形是全等三角形；(2)有些质数是奇数；(3)所有的方程都不是不等式；(4)自然数的平方是正数．解原命题的否定形式：(1)面积相等的三角形不一定是全等三角形，为真命题．(2)所有质数都不是奇数，为假命题．(3)至少存在一个方程是不等式，为假命题．(4)自然数的平方不都是正数，为真命题．21．(12分)已知a>0，a≠1，设p：函数y＝log a(x＋3)在(0，＋∞)上单调递减，q：函数y＝x2＋(2a－3)x＋1的图象与x轴交于不同的两点．如果p∨q真，p∧q假，求实数a的取值范围．解对于命题p：当0<a<1时，函数y＝log a(x＋3)在(0，＋∞)上单调递减．当a>1时，函数y＝log a(x＋3)在(0，＋∞)上单调递增，所以如果p为真命题，那么0<a<1.如果p为假命题，那么a>1.对于命题q：如果函数y＝x2＋(2a－3)x＋1的图象与x轴交于不同的两点，那么Δ＝(2a －3)2－4>0，即4a 2－12a ＋5>0⇔a <12，或a >52.又∵a >0，所以如果q 为真命题，那么0<a <12或a >52.如果q 为假命题，那么12≤a <1，或1<a ≤52.∵p ∨q 为真，p ∧q 为假，∴p 与q 一真一假．如果p 真q 假，那么⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，12≤a <1，或1<a ≤52，⇔12≤a <1. 如果p 假q 真，那么⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，0<a <12，或a >52，⇔a >52.∴a 的取值范围是[12，1)∪(52，＋∞)． 22．(12分)设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0.命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0. (1)当a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 解 (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0，得a <x <3a (a >0)．当a ＝1时，1<x <3，所以p ：1<x <3.由⎩⎨⎧ x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，解得2<x ≤3，所以q ：2<x ≤3.若p ∧q 为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是{x |2<x <3}．(2)设A ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a >0}＝{x |a <x <3a ，a >0}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫⎩⎨⎧ x 2－x －6<0，x 2＋2x －8>0＝{x |2<x ≤3}．根据题意可得B A ，则0<a ≤2且3a >3，即1<a ≤2. 故实数a 的取值范围是{a |1<a ≤2}．。
期末复习综合测试题(2)-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册
模块一复习测试题二一．选择题（共10小题）1．若集合{|15}A x N x =∈,a =则下面结论中正确的是( ) A ．{}a A ⊆B ．a A ⊆C ．{}a A ∈D ．a A ∉2．已知实数1a >,1b >,则4a b +是22log log 1a b ⋅的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若命题“[0x ∀∈,3],都有220x x m --≠ “是假命题,则实数m 的取值范围是( ) A ．(-∞,3]B ．[1-,)+∞C ．[1-,3]D ．[3,)+∞4．若函数2()44f x x x m =--+在区间[3,5)上有零点,则m 的取值范围是( ) A ．(0,4)B ．[4,9)C ．[1,9)D ．[1,4]5．已知2x >,则12y x x =+-的( ) A ．最小值是2 B ．最小值是4 C ．最大值是2 D ．最大值是46．已知函数12x y +=的图象与函数()y f x =的图象关于直线0x y +=对称,则函数()y f x =的反函数是( )A ．21log ()y x =--B ．2log (1)y x =--C ．12x y -+=-D ．12x y -+=7．已知cos()3παα+=为锐角）,则sin (α= )A B C D8．设函数()sin f x x x =,[0x ∈,2]π,若01a <<,则方程()f x a =的所有根之和为()A ．43π B ．2π C ．83π D ．73π 二．多选题（共4小题）9．若集合M N ⊆,则下列结论正确的是( ) A ．MN N =B ．M N N =C ．()M M N ∈D ．()M N N ⊆10．下列说法中正确的有( )A ．不等式2a b ab +恒成立B ．存在a ,使得不等式12a a+成立 C ．若a ,(0,)b ∈+∞,则2b a a b+ D ．若正实数x ,y 满足21x y +=,则218x y+ 11．已知函数||()1x f x x =+,则( ) A ．()f x 是奇函数B ．()f x 在[0,)+∞上单调递增C ．函数()f x 的值域是(,1)[0-∞-,)+∞D ．方程2()10f x x +-=有两个实数根12．下列选项中,与11sin()6π-的值相等的是( ) A ．22cos 151︒-B ．cos18cos 42sin18sin 42︒︒-︒︒C ．2sin15sin 75︒︒D ．tan30tan151tan30tan15o oo o+-三．填空题（共4小题）13．化简32a b-= （其中0a >,0)b >．14．高斯是德国的著名数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设x R ∈,用[]x 表示不超过x 的最大整数,则[]y x =称为高斯函数,例如:[ 3.4]4-=-,[2.7]2=．已知函数21()15x x e f x e =-+,则函数[()]y f x =的值域是 ． 15．若1lgx lgy +=,则25x y+的最小值为 ． 16．若42x ππ<<,则函数32tan 2tan y x x =的最大值为 ．四．参考解答题（共8小题） 17．已知0x >,0y >,且440x y +=． （Ⅰ）求xy 的最大值; （Ⅱ）求11x y+的最小值． 18．已知函数2()21f x x ax a =--+,a R ∈．（Ⅰ）若2a =,试求函数()(0)2f x y x x=>的最小值; （Ⅱ）对于任意的[0x ∈,2],不等式()f x a 成立,试求a 的取值范围; （Ⅲ）存在[0a ∈,2],使方程()2f x ax =-成立,试求x 的取值范围． 19．解方程 （1）231981xx-=（2）444log (3)log (21)log (3)x x x -=+++20．设函数33()sin cos 2323x x f x ππ=-． （1）求()f x 的最小正周期;（2）若函数()y g x =与()y f x =的图象关于x 轴对称,求当[0x ∈,3]2时,()y g x =的最大值．21．已知函数()cos()(0,0,||)2f x A x B A πωϕωϕ=++>><的部分图象如图所示．（Ⅰ）求()f x 的详细解析式及对称中心坐标;（Ⅱ）先将()f x 的图象纵坐标缩短到原来的12,再向右平移6π个单位,最后将图象向上平移1个单位后得到()g x 的图象,求函数()y g x =在3[,]124x ππ∈上的单调减区间和最值．22．已知函数2()3sin 2cos 12xf x x =-+． （Ⅰ）若()23()6f παα=+,求tan α的值;（Ⅱ）若函数()f x 图象上所有点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的12倍得函数()g x 的图象,且关于x 的方程()0g x m -=在[0,]2π上有解,求m 的取值范围．模块一复习测试题二参考正确答案与试题详细解析一．选择题（共10小题）1．若集合{|15}A x N x =∈,a =则下面结论中正确的是( ) A ．{}a A ⊆B ．a A ⊆C ．{}a A ∈D ．a A ∉【详细分析】利用元素与集合的关系直接求解．【参考解答】解:集合{|15}{0A x N x =∈=,1,2,3},a =a A ∴∉．故选:D ．【点评】本题考查命题真假的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意元素与集合的关系的合理运用．2．已知实数1a >,1b >,则4a b +是22log log 1a b ⋅的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【详细分析】根据充分必要条件的定义以及基本不等式的性质判断即可． 【参考解答】解:1a >,1b >, 2log 0a ∴>,2log 0b >,2a b ab +,4a b +,故4ab ,222222222log log log ()log 4log log ()[]()1222a b ab a b +⋅==,反之,取16a =,152b =,则1522224log log log 16log 215a b ⋅=⋅=<, 但4a b +>,故4a b +是22log log 1a b ⋅的充分不必要条件, 故选:A ．【点评】本题考查了充分必要条件,考查基本不等式的性质,是一道基础题．3．若命题“[0x ∀∈,3],都有220x x m --≠ “是假命题,则实数m 的取值范围是( ) A ．(-∞,3]B ．[1-,)+∞C ．[1-,3]D ．[3,)+∞【详细分析】直接利用命题的否定和一元二次方程的解的应用求出结果．【参考解答】解:命题“[0x ∀∈,3],都有220x x m --≠ “是假命题,则命题“[0x ∃∈,3],使得220x x m --= “成立是真命题, 故222(1)1m x x x =-=--． 由于[0x ∈,3],所以[1m ∈-,3]． 故选:C ．【点评】本题考查的知识要点:命题的否定的应用,一元二次方程的根的存在性的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型．4．若函数2()44f x x x m =--+在区间[3,5)上有零点,则m 的取值范围是( ) A ．(0,4)B ．[4,9)C ．[1,9)D ．[1,4]【详细分析】判断出在区间[3,5)上单调递增,(3)0(5)0f f ⎧⎨>⎩得出即1090m m -⎧⎨->⎩即可．【参考解答】解:函数2()44f x x x m =--+,对称轴2x =,在区间[3,5)上单调递增 在区间[3,5)上有零点,∴(3)0(5)0f f ⎧⎨>⎩即1090m m -⎧⎨->⎩ 解得:19m <, 故选:C ．【点评】本题考查了二次函数的单调性,零点的求解方法,属于中档题． 5．已知2x >,则12y x x =+-的( ) A ．最小值是2 B ．最小值是4 C ．最大值是2 D ．最大值是4【详细分析】直接利用不等式的基本性质和关系式的恒等变换的应用求出结果． 【参考解答】解:已知2x >,所以20x ->,故11222(2)2422y x x x x x =+=-++-=--（当3x =时,等号成立）． 故选:B ．【点评】本题考查的知识要点:不等式的基本性质,关系式的恒等变换,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题．6．已知函数12x y +=的图象与函数()y f x =的图象关于直线0x y +=对称,则函数()y f x =的反函数是( )A ．21log ()y x =--B ．2log (1)y x =--C ．12x y -+=-D ．12x y -+=【详细分析】设(,)P x y 为()y f x =的反函数图象上的任意一点,则P 关于y x =的对称点(,)P y x '一点在()y f x =的图象上,(,)P y x '关于直线0x y +=的对称点(,)P x y ''--在函数12x y +=的图象上,代入详细解析式变形可得．【参考解答】解:设(,)P x y 为()y f x =的反函数图象上的任意一点, 则P 关于y x =的对称点(,)P y x '一点在()y f x =的图象上,又函数()y f x =的图象与函数12x y +=的图象关于直线0x y +=对称,(,)P y x ∴'关于直线0x y +=的对称点(,)P x y ''--在函数12x y +=的图象上,∴必有12x y -+-=,即12x y -+=-,()y f x ∴=的反函数为:12x y -+=-;故选:C ．【点评】本题考查反函数的性质和对称性,属中档题7．已知cos()3παα+=为锐角）,则sin (α= )A B C D 【详细分析】由11sin sin[()]33ααππ=+-,结合已知及两角差的正弦公式即可求解．【参考解答】解:cos()3παα+=为锐角）,∴1sin()3απ+=,则11111sin sin[()]sin())33233ααππαπαπ=+-=++,1(2=-,=故选:C ．【点评】本题考查的知识点是两角和与差的余弦公式,诱导公式,难度不大,属于基础题．8．设函数()sin f x x x =,[0x ∈,2]π,若01a <<,则方程()f x a =的所有根之和为( )A ．43π B ．2π C ．83π D ．73π 【详细分析】把已知函数详细解析式利用辅助角公式化积,求得函数值域,再由a 的范围可知方程()f x a =有两根1x ,2x ,然后利用对称性得正确答案．【参考解答】解:1()sin 2(sin )2sin()23f x x x x x x π=+=+=+,[0x ∈,2]π,()[2f x ∴∈-,2],又01a <<,∴方程()f x a =有两根1x ,2x ,由对称性得12()()33322x x πππ+++=,解得1273x x π+=．故选:D ．【点评】本题考查两角和与差的三角函数,考查函数零点的判定及应用,正确理解题意是关键,是基础题．二．多选题（共4小题）9．若集合M N ⊆,则下列结论正确的是( ) A ．MN N =B ．M N N =C ．()M M N ∈D ．()M N N ⊆【详细分析】利用子集、并集、交集的定义直接求解． 【参考解答】解:集合M N ⊆,∴在A 中,M N M =,故A 错误;在B 中,M N N =,故B 正确;在C 中,()M M N ⊆,故C 错误;在D 中,M N N N =⊆,故D 正确．故选:BD ．【点评】本题考查了子集、并集、交集定义等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题． 10．下列说法中正确的有( )A ．不等式2a b ab +恒成立B ．存在a ,使得不等式12a a+成立 C ．若a ,(0,)b ∈+∞,则2b a a b+ D ．若正实数x ,y 满足21x y +=,则218x y+ 【详细分析】结合基本不等式的一正,二定三相等的条件检验各选项即可判断．【参考解答】解:不等式2a b ab +恒成立的条件是0a ,0b ,故A 不正确;当a 为负数时,不等式12a a+成立．故B 正确; 由基本不等式可知C 正确;对于212144()(2)4428y x y x x y x y x y x y x y+=++=+++=, 当且仅当4y x x y =,即12x =,14y =时取等号,故D 正确． 故选:BCD ．【点评】本题考查基本不等式的应用,要注意应用条件的检验．11．已知函数||()1x f x x =+,则( ) A ．()f x 是奇函数B ．()f x 在[0,)+∞上单调递增C ．函数()f x 的值域是(,1)[0-∞-,)+∞D ．方程2()10f x x +-=有两个实数根【详细分析】根据函数的奇偶性判断A ,根据函数的单调性判断B ,结合图象判断C ,D 即可．【参考解答】解:对于||:()()1x A f x f x x --=≠--+,()f x 不是奇函数,故A 错误; 对于:0B x 时,1()111x f x x x ==-++在[0,)+∞递增,故B 正确; 对于C ,D ,画出函数()f x 和21y x =-的图象,如图示:,显然函数()f x 的值域是(,1)[0-∞-,)+∞,故C 正确,()f x 和21y x =-的图象有3个交点,故D 错误;故选:BC ．【点评】本题考查了函数的单调性,奇偶性问题,考查数形结合思想,转化思想,是一道中档题．12．下列选项中,与11sin()6π-的值相等的是( ) A ．22cos 151︒-B ．cos18cos 42sin18sin 42︒︒-︒︒C ．2sin15sin 75︒︒D ．tan30tan151tan30tan15o oo o+- 【详细分析】求出11sin()6π-的值．利用二倍角的余弦求值判断A ;利用两角和的余弦求值判断B ;利用二倍角的正弦求值判断C ;利用两角和的正切求值判断D ．【参考解答】解:111sin()sin(2)sin 6662ππππ-=-+==． 对于A ,22cos 1531cos30o -=︒=对于B ,1cos18cos42sin18sin 42cos(1842)cos602︒︒-︒︒=︒+︒=︒=; 对于C ,12sin15sin 752sin15cos15sin302︒︒=︒︒=︒=; 对于D ,tan30tan15tan(3015)tan 4511tan30tan15o oo o+=︒+︒=︒=-．∴与11sin()6π-的值相等的是BC ． 故选:BC ．【点评】本题考查三角函数的化简求值,考查诱导公式、倍角公式及两角和的三角函数,是基础题．三．填空题（共4小题）13．化简32a b -= a （其中0a >,0)b >．【详细分析】根据指数幂的运算法则即可求出．【参考解答】解1311132322()b b bb ⨯=== 原式2111()3322a b a ---==,故正确答案为:a ．【点评】本题考查了指数幂的运算,属于基础题．14．高斯是德国的著名数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设x R ∈,用[]x 表示不超过x 的最大整数,则[]y x =称为高斯函数,例如:[ 3.4]4-=-,[2.7]2=．已知函数21()15x x e f x e =-+,则函数[()]y f x =的值域是 {1-,0,1} ．【详细分析】先利用分离常数法将函数化为92()51x f x e =-+,进而求出()f x 的值域,再根据[]x 的定义可以求出[()]f x 的所有可能的值,进而得到函数的值域．【参考解答】解:212(1)212192()215151551x x x x x x e e f x e e e e+-=-=-=--=-++++, 0x e >,11x e ∴+>,∴2021x e <<+,∴19295515x e -<-<+, 即19()55f x -<<,①当1()05f x -<<时,[()]1f x =-, ②当0()1f x <时,[()]0f x =,③当91()5f x <<时,[()]1f x =, ∴函数[()]y f x =的值域是:{1-,0,1},故正确答案为:{1-,0,1}．【点评】本题主要考查了新定义运算的求解,关键是能通过分离常数的方式求得已知函数的值域,是中档题．15．若1lgx lgy +=,则25x y+的最小值为 2 ． 【详细分析】根据对数的基本运算,结合不等式的解法即可得到结论．【参考解答】解:1lgx lgy +=,1lgxy ∴=,且0x >,0y >,即10xy =, ∴25251022210x y x y +=, 当且仅当25x y =,即2x =,5y =时取等号, 故正确答案为:2【点评】本题主要考查不等式的应用,利用对数的基本运算求出10xy =是解决本题的关键,比较基础．16．若42x ππ<<,则函数32tan 2tan y x x =的最大值为 16- ．【详细分析】直接利用三角函数的性质和关系式的恒等变换的应用及二次函数的性质的应用求出结果．【参考解答】解:若42x ππ<<,则tan (1,)x ∈+∞, 另22tan tan 21tan x x x=-, 设tan x t =,(1)t >, 则422222244416111111()()24t y t t t t ===-----,当且仅当t =时,等号成立．故正确答案为:16-．【点评】本题考查的知识要点:三角函数关系式的变换,关系式的变换和二次函数的性质,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于中档题．四．参考解答题（共8小题）17．已知0x >,0y >,且440x y +=．（Ⅰ）求xy 的最大值; （Ⅱ）求11x y+的最小值． 【详细分析】（1）由已知得,40424x y xy =+=解不等式可求,（2）由题意得,11111()(4)40x y x y x y +=++,展开后结合基本不等式可求． 【参考解答】解:（1）0x >,0y >,40424x y xy ∴=+=当且仅当4x y =且440x y +=即20x =,5y =时取等号,解得,100xy ,故xy 的最大值100．（2）因为0x >,0y >,且440x y +=．所以111111419()(4)(5)(540404040y x x y x y x y x y +=++=+++=, 当且仅当2x y =且440x y +=即403x =,203y =时取等号, 所以11x y +的最小值940． 【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用,属于中档题18．已知函数2()21f x x ax a =--+,a R ∈．（Ⅰ）若2a =,试求函数()(0)2f x y x x =>的最小值; （Ⅱ）对于任意的[0x ∈,2],不等式()f x a 成立,试求a 的取值范围;（Ⅲ）存在[0a ∈,2],使方程()2f x ax =-成立,试求x 的取值范围．【详细分析】（Ⅰ）对式子变形后,利用基本不等式即可求得结果;（Ⅱ）先由题设把问题转化为:2210x ax --对于任意的[0x ∈,2]恒成立,构造函数2()21g x x ax =--,[0x ∈,2],利用其最大值求得a 的取值范围;（Ⅲ）由题设把问题转化为:方程21a x =-在[0a ∈,2]有解,解出x 的范围．【参考解答】解:（Ⅰ）当2a =时,2()41111()22212222f x x x y x x x x -+===+-⨯-=-（当且仅当1x =时取“= “),1min y ∴=-;（Ⅱ）由题意知:221x ax a a --+对于任意的[0x ∈,2]恒成立,即2210x ax --对于任意的[0x ∈,2]恒成立,令2()21g x x ax =--,[0x ∈,2],则(0)10(2)340g g a =-⎧⎨=-⎩,解得:34a , a ∴的取值范围为3[4,)+∞; （Ⅲ）由()2f x ax =-可得:210x a -+=,即21a x =-, [0a ∈,2],2012x ∴-,解得:11x -,即x 的取值范围为[1-,1]．【点评】本题主要考查基本不等式的应用、函数的性质及不等式的解法,属于中档题．19．解方程 （1）231981x x -= （2）444log (3)log (21)log (3)x x x -=+++【详细分析】（1）直接利用有理指数幂的运算法则求解方程的解即可．（2）利用对数运算法则,化简求解方程的解即可．【参考解答】解:（1）231981x x -=,可得232x x -=-,（2分） 解得2x =或1x =;（4分）（2）444log (3)log (21)log (3)x x x -=+++,可得44log (3)log (21)(3)x x x -=++,3(21)(3)x x x ∴-=++,（2分）得4x =-或0x =,经检验0x =为所求．（4分）【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系,对数方程的解法,考查计算能力．20．设函数3()cos 323x x f x ππ=-． （1）求()f x 的最小正周期;（2）若函数()y g x =与()y f x =的图象关于x 轴对称,求当[0x ∈,3]2时,()y g x =的最大值． 【详细分析】（1）利用辅助角公式化积,再由周期公式求周期;（2）由对称性求得()g x 的详细解析式,再由x 的范围求得函数最值．【参考解答】解:（1）3()cos sin()32333x x f x x ππππ=-=-． ()f x ∴的最小正周期为263T ππ==;（2）函数()y g x =与()y f x =的图象关于x 轴对称,()()3sin()33x g x f x ππ∴=-=-． [0x ∈,3]2,∴[333x πππ-∈-,]6π, sin()[33xππ∴-∈,1]2,()[g x ∈,3]2． ∴当[0x ∈,3]2时,()y g x =的最大值为32． 【点评】本题考查sin()y A x ωϕ=+型函数的图象和性质,考查三角函数最值的求法,是中档题．21．已知函数()cos()(0,0,||)2f x A x B A πωϕωϕ=++>><的部分图象如图所示． （Ⅰ）求()f x 的详细解析式及对称中心坐标;（Ⅱ）先将()f x 的图象纵坐标缩短到原来的12,再向右平移6π个单位,最后将图象向上平移1个单位后得到()g x 的图象,求函数()y g x =在3[,]124x ππ∈上的单调减区间和最值．【详细分析】（Ⅰ）由函数的图象的顶点坐标求出A ,B ,由周期求出ω,由特殊点的坐标求出ϕ的值,可得函数的详细解析式,再根据余弦函数的图象的对称性,得出结论． （Ⅱ）由题意利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律,正弦函数的单调性、定义域和值域,得出结论．【参考解答】解:（Ⅰ）由函数()cos()(0,0,||)2f x A x B A πωϕωϕ=++>><的部分图象知: 1(3)22A --==,1(3)12B +-==-,72212T πππωω-==⇒=, ()2cos(2)1f x x ϕ∴=+-,把点(,1)12π代入得:cos()16πϕ+=, 即26k πϕπ+=,k Z ∈． 又||2πϕ<,∴6πϕ=-,∴()2cos(2)16f x x π=--． 由图可知(,1)3π-是其中一个对称中心, 故所求对称中心坐标为:(,1)32k ππ+-,k Z ∈． （Ⅱ）先将()f x 的图象纵坐标缩短到原来的12,可得1cos(2)62y x π=--的图象,再向右平移6π个单位,可得11cos(2)sin 2222y x x π=--=- 的图象, 最后将图象向上平移1个单位后得到1()sin 22g x x =+的图象． 由22222k x k ππππ-++,k Z ∈,可得增区间是[4k ππ-,]4k ππ+,当3[,]124x ππ∈时,函数的增区间为[,]124ππ． 则32[,]62x ππ∈,当22x π=即,4x π=时,()g x 有最大值为32, 当322x π=,即34x π=时,()g x 有最小值为11122-+=-． 【点评】本题主要考查由函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象求详细解析式,由函数的图象的顶点坐标求出A 、B ,由周期求出ω,由特殊点的坐标求出ϕ的值,余弦函数的图象的对称性．函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律,正弦函数的单调性、定义域和值域,属于中档题．22．已知函数2()2cos 12x f x x =-+．（Ⅰ）若()()6f παα=+,求tan α的值; （Ⅱ）若函数()f x 图象上所有点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的12倍得函数()g x 的图象,且关于x 的方程()0g x m -=在[0,]2π上有解,求m 的取值范围． 【详细分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换,化简()f x 的详细解析式,根据条件,求得tan α的值． （Ⅱ）根据函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律,求得()g x 的详细解析式,再利用正弦函数的定义域和值域,求得()g x 的范围,可得m 的范围．【参考解答】解:（Ⅰ）2()2cos 1cos 2sin()26x f x x x x x π-+-=-,()()6f παα=+,∴sin()6παα-=,∴1cos 2ααα-=,即cos αα-=,∴tan α=（Ⅱ）把()f x 图象上所有点横坐标变为原来的12倍得到函数()g x 的图象, 所以函数()g x 的详细解析式为()(2)2sin(2)6g x f x x π==-, 关于x 的方程()0g x m -=在[0,]2π上有解, 等价于求()g x 在[0,]2π上的值域, 因为02x π,所以52666x πππ--, 所以1()2g x -,故m 的取值范围为[1-,2]．【点评】本题主要考查三角恒等变换,函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律,正弦函数的定义域和值域,属于中档题．。
2024年浙江省嘉兴市高三上学期9月基础测试物理试题
2024年浙江省嘉兴市高三上学期9月基础测试物理试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的答案中，只有一个符合题目要求。
(共8题)第(1)题一列简谐横波在均匀介质中沿x轴方向传播，在时刻的波形如图甲所示，图乙为质点M的振动图像。
下列说法正确的是（ ）A．该波沿x轴负方向传播B．该波传播的速度大小为0.5m/sC．在时刻，质点P正在沿y轴负方向运动D．在1s~3.5s时间内，质点N的路程为30cm第(2)题如图所示，圆心为O、半径为R的半圆形玻璃砖置于水平桌面上，光线从P点垂直界面入射后，恰好在玻璃砖圆形表面发生全反射；当入射角时，光线从玻璃砖圆形表面出射后恰好与入射光平行。
已知真空中的光速为c，则（ ）A．玻璃砖的折射率为1.5B．之间的距离为C．光在玻璃砖内的传播速度为D．光从玻璃到空气的临界角为30°第(3)题原子核符号中，12表示（ ）A．中子数B．质子数C．电子数D．质量数第(4)题如图所示，固定在水平面上的半径为r的金属圆环内存在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。
长为l的金属棒，一端与圆环接触良好，另一端固定在竖直导电转轴上，随轴以角速度匀速转动。
在圆环的A点和电刷间接有阻值为R的电阻和电容为C、板间距为d的平行板电容器，有一带电微粒在电容器极板间处于静止状态。
已知重力加速度为g，不计其它电阻和摩擦，下列说法正确的是（ ）A．棒产生的电动势为B．微粒的电荷量与质量之比为C．电阻消耗的电功率为D．电容器所带的电荷量为第(5)题如图为我国传统豆腐制作流程中用到的过滤器，正方形纱布的四角用细绳系在两根等长的、相互垂直的水平木杆两端，再通过木杆中心转轴静止悬挂在空中。
豆浆过滤完，纱布与豆渣的总质量为m，细绳与竖直方向的夹角始终为。
下列说法正确的是（ ）A．此时每根细绳受到的拉力为B．此时每根细绳受到的拉力为C．豆浆从纱布流出过程中，忽略纱布的拉伸形变，细绳受到的拉力变大D．豆浆从纱布流出过程中，纱布中豆浆和豆渣整体的重心不变第(6)题如图所示，两个质量分别为和的带电小球A、B（可视为质点）通过一根绝缘轻绳跨放在光滑的定滑轮上（滑轮大小不计，上方用细线悬挂在天花板上），两球静止，O为滑轮正下方AB连线上的一个点。
(新教材)人教A版数学选择性必修第三册单元测试：第06章 计数原理(A卷基础卷)(学生版+解析版)
（新教材）人教A版数学选择性必修第三册单元测试第六章计数原理（A卷基础卷）考试时间：100分钟；学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一．选择题（共8小题）1．（2020春•河西区期中）一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，则不同的选法种数是（）A．9 B．10 C．20 D．402．（2020春•和平区校级期末）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（）A．16种B．18种C．24种D．36种3．（2020春•通州区期末）甲、乙等7人排成一排，甲在最中间，且与乙不相邻，那么不同的排法种数是（）A．96 B．120 C．360 D．4804．（2020春•重庆期末）有6名医生到3个医院去作新冠肺炎治疗经验交流，则每个医院至少去一名的不同分派方法种数为（）A．216 B．729 C．540 D．4205．（2020•北京）在（2）5的展开式中，x2的系数为（）A．﹣5 B．5 C．﹣10 D．106．（2020•济宁模拟）在的展开式中，常数项为（）A．B．C．D．7．（2020春•天津期末）若（n∈N*）的展开式中常数项为第9项，则n的值为（）A．7 B．8 C．9 D．108．（2020春•东城区期末）若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取3个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有（）A．36种B．40种C．44种D．48种9．（2020春•东海县期中）下列各式中，等于n!的是（）A．A B．A C．nA D．m!C10．（2020春•常州期中）若的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（）A．第3项B．第4项C．第5项D．第6项11．（2019春•日照期中）将四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有多少种？下列结论正确的有（）A．C C C C B．C AC．C C A D．1812．（2020春•宝应县期中）若（2x+1）10＝a0+a1x+a2x2+…a10x10，x∈R，则（）A．a0＝1 B．a0＝0C．a0+a1+a2+…+a10＝310D．a0+a1+a2+…+a10＝3三．填空题（共4小题）13．（2020•上城区校级模拟）在二项式的展开式中，二项式系数之和是，含x4的项的系数是．14．（2020•甘肃模拟）某班星期一共八节课（上午、下午各四节，其中下午最后两节为社团活动），排课要求为：语文、数学、外语、物理、化学、各排一节，从生物、历史、地理、政治四科中选排一节．若数学必须安排在上午且与外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则不同的排法有种．15．（2020春•南郑区校级期中）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射“和“御“两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有种．16．（2020春•西城区校级期中）设有编号为1，2，3，4，5的五把锁和对应的五把钥匙．现给这5把钥匙也分别贴上编为1，2，3，4，5的五个标签，则有种不同的姑标签的方法；若想使这5把钥匙中至少有2把能打开贴有相同标签的锁，则有种不同的贴标签的方法．（用数字作答）17．（2019春•武汉期中）现有5本书和3位同学，将书全部分给这三位同学．（1）若5本书完全相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？（2）若5本书都不相同，共有多少种分法？（3）若5本书都不相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？18．（2019春•黄浦区校级期中）从6名男医生和3名女医生中选出5人组成一个医疗小组，请解答下列问题：（1）如果这个医疗小组中男女医生都不能少于2人，共有多少种不同的建组方案？（用数字作答）（2）男医生甲要担任医疗小组组长，所以必选，而且医疗小组必须男女医生都有，共有多少种不同的建组方案？（3）男医生甲与女医生乙不被同时选中的概率．（化成最简分数）19．（2020春•栖霞市月考）有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．（1）选5人排成一排；（2）排成前后两排，前排4人，后排3人；（3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；（4）全体排成一排，女生必须站在一起；（5）全体排成一排，男生互不相邻．20．（2019春•台州期末）已知（1+x）n的展开式中第4项和第8项的二项式系数相等．（Ⅰ）求n的值和这两项的二项式系数；（Ⅱ）在（1+x）3+（1+x）4+…+（1+x）n+2的展开式中，求含x2项的系数（结果用数字表示）．21．（2020•南通模拟）已知（1+2x）n＝a0+a1x+a2x2+…+a n x n（n∈N*）．（1）当n＝6时，求a0+a2+a4+a6的值；（2）化简：C22k．（新教材）人教A版数学选择性必修第三册单元测试：第六章计数原理（A卷基础卷）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2020春•河西区期中）一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，则不同的选法种数是（）A．9 B．10 C．20 D．40【解答】解：利用第一种方法有：种，利用第二种方法有：种方法．、故共有：5+4＝9种完成工作．故选：A．2．（2020春•和平区校级期末）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（）A．16种B．18种C．24种D．36种【解答】解：由题意知，甲丙的位置固定，先排乙，再把剩余的节目全排列，故台晚会节目演出顺序的编排方案共有有A31A33＝18种．故选：B．3．（2020春•通州区期末）甲、乙等7人排成一排，甲在最中间，且与乙不相邻，那么不同的排法种数是（）A．96 B．120 C．360 D．480【解答】解：从出甲乙之外的5人中选2人排在甲的两边并和甲相邻，剩下的全排即可，故有A52A44＝480种，故选：D．4．（2020春•重庆期末）有6名医生到3个医院去作新冠肺炎治疗经验交流，则每个医院至少去一名的不同分派方法种数为（）A．216 B．729 C．540 D．420【解答】解：根据题意，分2步进行计算：①先将6名医生分为3组，若分为1、1、4的三组，有C64＝15种分组方法，若分为1、2、3的三组，有C63C32＝60种分组方法，若分为2、2、2的三组15种分组方法，则有15+60+15＝90种分组方法；②将分好的三组对应三个医院，有A33＝6种情况，则每个医院至少去一名的不同分派方法种数为90×6＝540种；故选：C．5．（2020•北京）在（2）5的展开式中，x2的系数为（）A．﹣5 B．5 C．﹣10 D．10【解答】解：（2）5的展开式中，通项公式为T r+1•（﹣2）r•，令2，求得r＝1，可得x2的系数为•（﹣2）＝﹣10，故选：C．6．（2020•济宁模拟）在的展开式中，常数项为（）A．B．C．D．【解答】解：因为（x）6的通项公式为：T r+1•x6﹣r•（）r＝（）r••x6﹣2r；6﹣2r＝0时，r＝3；6﹣2r＝﹣1时，r不存在；∴的展开式中，常数项为：（）3•3；故选：A．7．（2020春•天津期末）若（n∈N*）的展开式中常数项为第9项，则n的值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：∵（n∈N*）的展开式中的第9项T9•（﹣3）8•2n﹣8•x2n﹣20为常数项，故有2n﹣20＝0，∴n＝10，故选：D．8．（2020春•东城区期末）若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取3个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有（）A．36种B．40种C．44种D．48种【解答】解：根据题意，将9个数分为2组，一组为奇数：1、3、5、7、9，一组为偶数：2、4、6、8，若取出的3个数和为奇数，分2种情况讨论：①取出的3个数全部为奇数，有C53＝10种情况，②取出的3个数有1个奇数，2个偶数，有C51C42＝30种情况，则和为奇数的情况有10+30＝40种．故选：B．二．多选题（共4小题）9．（2020春•东海县期中）下列各式中，等于n!的是（）A．A B．A C．nA D．m!C【解答】解：n!，A正确；（n+1）!，B错误；n n•（n﹣1）!＝n!，C正确；m!m!•n!，D错误；故选：AC．10．（2020春•常州期中）若的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（）A．第3项B．第4项C．第5项D．第6项【解答】解：∵的展开式中第3项与第8项的系数相等，∴；所以n＝9，则展开式中二项式系数最大的项为第五项和第六项；故选：CD．11．（2019春•日照期中）将四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有多少种？下列结论正确的有（）A．C C C C B．C AC．C C A D．18【解答】解：根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有1〜3号的盒子中，且没有空盒，则三个盒子中有1个中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个，有2种解法：（1）分2步进行分析：①、先将四个不同的小球分成3组，有C42种分组方法；②、将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有A33种放法；则没有空盒的放法有C A种；（2）分2步进行分析：①、在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中，有C C种情况②、将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个小盒中，有A22种放法；则没有空盒的放法有C C A22种；故选：BC．12．（2020春•宝应县期中）若（2x+1）10＝a0+a1x+a2x2+…a10x10，x∈R，则（）A．a0＝1 B．a0＝0C．a0+a1+a2+…+a10＝310D．a0+a1+a2+…+a10＝3【解答】解：因为（2x+1）10＝a0+a1x+a2x2+…a10x10，x∈R，令x＝0可得：a0＝1；令x＝1可得a0+a1+a2+…a10＝310；故选：AC．三．填空题（共4小题）13．（2020•上城区校级模拟）在二项式的展开式中，二项式系数之和是32，含x4的项的系数是10．【解答】解：在二项式的展开式中，二项式系数之和是25＝32，通项公式为T r+1•（﹣1）r•x10﹣3r，令10﹣3r＝4，求得r＝2，可得含x4的项的系数是10，故答案为：32；10．14．（2020•甘肃模拟）某班星期一共八节课（上午、下午各四节，其中下午最后两节为社团活动），排课要求为：语文、数学、外语、物理、化学、各排一节，从生物、历史、地理、政治四科中选排一节．若数学必须安排在上午且与外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则不同的排法有种1344．【解答】解：从生物、历史、地理、政治四科中选排一节，有4种方法，若数学排第一节，则英语可以排3，4，5，6节，其余全排列，此时有4×A，若数学排第二节，则英语可以排4，5，6节，其余全排列，此时有3×A，若数学排第三节，则英语可以排1，5，6节，其余全排列，此时有3×A，若数学排第四节，则英语可以排1，2，5，6节，其余全排列，此时有4×A，则共有4（4×A3×A3×A4×A）＝4×14×A4×14×24＝1344，故答案为：134415．（2020春•南郑区校级期中）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射“和“御“两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有120种．【解答】解：根据题意，“数”必须排在前三节，据此分3种情况讨论：①“数”排在第一节，“射“和“御“两门课程联排的情况有4×A22＝8种，剩下的三门课程有A33＝6种情况，此时有8×6＝48种排课顺序；②“数”排在第二节，“射“和“御“两门课程联排的情况有3×A22＝6种，剩下的三门课程有A33＝6种情况，此时有6×6＝36种排课顺序；③“数”排在第三节，“射“和“御“两门课程联排的情况有3×A22＝6种，剩下的三门课程有A33＝6种情况，此时有6×6＝36种排课顺序；则有48+36+36＝120种排课顺序；故答案为：12016．（2020春•西城区校级期中）设有编号为1，2，3，4，5的五把锁和对应的五把钥匙．现给这5把钥匙也分别贴上编为1，2，3，4，5的五个标签，则有120种不同的姑标签的方法；若想使这5把钥匙中至少有2把能打开贴有相同标签的锁，则有31种不同的贴标签的方法．（用数字作答）【解答】解：根据题意，现给这5把钥匙也贴上编号为1，2，3，4，5的五个标签，则有A55＝120种不同的贴标签的方法：若这5把钥匙中至少有2把能打开贴有相同标签的锁，分3种情况讨论：①5把都可以打开贴有相同标签的锁，即5个标签全部贴对，有1种贴标签的方法；②5把钥匙中有3把可以打开贴有相同标签的锁，即有3个标签贴对，有C53＝10种贴标签的方法；③5把钥匙中有2把可以打开贴有相同标签的锁，即有2个标签贴对，有2C52＝20种贴标签的方法；则一共有1+10+20＝31种贴标签的方法；故答案为：120，31．四．解答题（共5小题）17．（2019春•武汉期中）现有5本书和3位同学，将书全部分给这三位同学．（1）若5本书完全相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？（2）若5本书都不相同，共有多少种分法？（3）若5本书都不相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？【解答】解：（1）根据题意，若5本书完全相同，将5本书排成一排，中间有4个空位可用，在4个空位中任选2个，插入挡板，有C42＝6种情况，即有6种不同的分法；（2）根据题意，若5本书都不相同，每本书可以分给3人中任意1人，都有3种分法，则5本不同的书有3×3×3×3×3＝35＝243种；（3）根据题意，分2步进行分析：①将5本书分成3组，若分成1、1、3的三组，有C53＝10种分组方法，若分成1、2、2的三组，有15种分组方法，则有10+15＝25种分组方法；②将分好的三组全排列，对应3名学生，有A33＝6种情况，则有25×6＝150种分法．18．（2019春•黄浦区校级期中）从6名男医生和3名女医生中选出5人组成一个医疗小组，请解答下列问题：（1）如果这个医疗小组中男女医生都不能少于2人，共有多少种不同的建组方案？（用数字作答）（2）男医生甲要担任医疗小组组长，所以必选，而且医疗小组必须男女医生都有，共有多少种不同的建组方案？（3）男医生甲与女医生乙不被同时选中的概率．（化成最简分数）【解答】解：（1）根据条件可知有以下两种情况：①选两个男医生和三个女医生，有C•C15种建组方案；②选三个男医生和两个女医生，有C•C60种建组方案；故共有15+60＝75种不同的建组方案．（2）男医生甲要担任医疗小组组长，所以必选，而且医疗小组必须男女医生都有，若选2男3女，甲必选，则还需要在5名男医生选1名，有5种建组方案；若选3男2女，甲必选，则还需要在5名男医生选2名，有30种建组方案；若选4男1女，甲必选，则还需要在5名男医生选3名，有30种建组方案；则共有5+30+30＝65种组建方案．（3）6名男医生和3名女医生中选出5人组成一个医疗小组，有126种组建方法，若男医生甲与女医生乙被同时选中，则有35种方法，则男医生甲与女医生乙不被同时选中的方法有126﹣35＝91种，则男医生甲与女医生乙不被同时选中的概率P．19．（2020春•栖霞市月考）有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．（1）选5人排成一排；（2）排成前后两排，前排4人，后排3人；（3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；（4）全体排成一排，女生必须站在一起；（5）全体排成一排，男生互不相邻．【解答】解：（1）根据题意，有3名男生、4名女生，共7人，从中选出5人排成一排，有A75＝2520种排法；（2）根据题意，前排4人，有A74种排法，后排3人，有A33种排法，则有A74×A33＝5040种排法；（3）根据题意，甲不站排头也不站排尾，有5种情况，将剩下的6人全排列，有A66种排法，则有5×A66＝3600种排法；（4）根据题意，将4名女生看成一个整体，有A44种排法，将这个整体与3名男生全排列，有A44种排法，则有A44×A44＝576种排法；（5）根据题意，先排4名女生，有A44种排法，排好后有5个空位，在5个人空位中任选3个，安排3名男生，有A53种排法，则有A44×A53＝1440种排法．20．（2019春•台州期末）已知（1+x）n的展开式中第4项和第8项的二项式系数相等．（Ⅰ）求n的值和这两项的二项式系数；（Ⅱ）在（1+x）3+（1+x）4+…+（1+x）n+2的展开式中，求含x2项的系数（结果用数字表示）．【解答】解：（Ⅰ）因为，所以n＝10，所以120，故两项的二项式系数120．（Ⅱ）含x2项的系数为285，故答案为：285．21．（2020•南通模拟）已知（1+2x）n＝a0+a1x+a2x2+…+a n x n（n∈N*）．（1）当n＝6时，求a0+a2+a4+a6的值；（2）化简：C22k．【解答】解：（1）当n＝6时，令x＝1，则（1+2）6＝36＝a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6①，令x＝﹣1，则（1﹣2）6＝1＝a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6②，①+②得，；（2）③，④，③+④得，，即．。
2013-2014学年高一数学上学期期中试题及答案(新人教A版 第6套)
泸源中学2013—2014学年上学期期中考试题答案高一数学1．本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．2．本卷答案必须做在答题卷的相应位置上，做在试题卷上无效．一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的）1、设集合{}0,1=A ，{}0,1-=B ，则集合A B =（ ）A ．0B ．{}0C ．φD ．{}1,0,1-选择B2、若集合{|1}X x x =>-，下列关系式中成立的为（ ） A ．0X ⊆ B ．{}0X ∈ C ．X φ∈ D ．{}0X⊆选择D 3、函数f(x)＝3x21－x＋＋的定义域是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.[0,1) 答案： D4、下列各组两个集合A 和B,表示同一集合的是( )A={}π,3,1,B={}3,1,-π B. A={}3,2,B={})32(，C. A={}π,B={}14159.3 D. A={}N x x x ∈≤<-,11,B={}1答案 A5、函数2x y -=的单调递增区间为（ ）A ．]0,(-∞B ．),0[+∞C ．),0(+∞D ．),(+∞-∞ 答案 A6、下列函数是偶函数的是（ ）A. x y =B.322-=x y C. 21-=x y D.]1,0[,2∈=x x y 答案 B7、已知函数()则，x x x x x f ⎩⎨⎧>+-≤+=1,31,1f(2) =（ ）A.3B.2C.1D.0 答案 C8、当10<<a 时,在同一坐标系中,函数x y a y a xlog ==-与的图象是（ ）A B C D答案 C9、若函数()log (01)a f x x a =<<在区间[],2a a 上的最大值是最小值的2倍，则a 的值为（ ）A 、4B 、14C 、2D 、12答案 B10、.三个数3.0222,3.0log ,3.0===c b a 之间的大小关系是（ ）A.b c a <<.B. c b a <<C. c a b <<D.a c b << 答案 C11、已知奇函数()f x 在0x ≥时的图象如图所示，则不等式()0xf x <的解集为（ ） A ．(1,2) B ．(2,1)-- C ．(1,1)- D ．(2,1)(1,2)--答案 D12、若f(x)、g(x)分别是R ( ) A ．g(0)<f(2)<f(3) B ．g(0)<f(3)<f(2) C ．f(2)<g(0)<f(3) D ．f(2)<f(3)<g(0)解析： 用－x 代入x ，则有：f(－x)－g(－x)＝e －x ，即－f(x)－g(x)＝e －x ，结合f(x)－g(x)＝ex ，可得f(x)＝ex －e －x 2，g(x)＝－e －x ＋ex2.所以f(x)在R 上为增函数，因此f(0)＝0，g(0)＝－1，f(3)>f(2)>f(0)＝0，所以f(3)>f(2)>g(0)，故选A. 答案： A第II 卷 非选择题（共90分）二、 填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13、(log43＋log83)(log32＋log98)＝________. 答案：251214、若函数y ＝(m ＋2)xm －1是幂函数，则m ＝________. 答案： －115、函数⎪⎩⎪⎨⎧>+≤<+≤+=1)( 5-1),(0 30),(32x x x x x x y 的最大值是_______.答案： 416、函数2)(12+-=-x a x f 恒过定点的坐标是________． 解析： 令2x －1＝0，解得x ＝12，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－a0＋2＝1，∴f(x)过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.答案： ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1三、解答题（本大题共6个小题，共70分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17、(本题满分10分)(1)232021)23()833()2013()412(--+---； (2)3log 15.222ln 001.0lg 25.6log +-+++e解析： (1)原式＝32－1－49＋49＝12.(2)原式＝2－3＋12＋12×3＝1.18、(本题满分12分)已知集合{|240}A x x =-<，{|05}B x x =<<， 全集U R =，求：（1）AB ； （2）()UC A B .解：{|240}A x x =-<{|2}x x =< {|05}B x x =<< （1）{|02}AB x x =<<（2）{|2}U C A x x =≥(){|2}{|05}U C A B x x x x =≥<<{|25}x x =≤<19、(本题满分12分)（1）已知f(x)+2f(x 1)=3x,求f(x)的解析式；(2)已知函数)(x g y =)1(+=x g y 的定义域.解析：（1）由f(x)+2f(x 1)=3x 知f(x 1)+2f(x)=3x 1.由上面两式联立消去f(x 1)可得f(x)=x2－x.(2)由312<+<-x ,得23<<-x ,所以)1(+=x g y 的定义域为]2,3[-.20、(本题满分12分)已知函数f(x)＝2x ＋2ax ＋b ，且f(1)＝52，f(2)＝174.(1)求a 、b ；(2)判断f(x)的奇偶性．解析： (1)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧52＝2＋2a ＋b ，174＝4＋22a ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0.(2)由(1)知f(x)＝2x ＋2－x.任取x ∈R ，则f(－x)＝2－x ＋2－(－x)＝f(x)， 所以f(x)为偶函数．21、(本题满分12分)已知函数f(x)＝lg(1＋x)＋lg(1－x)． (1)求函数f(x)的定义域； (2)判断函数f(x)的奇偶性； (3)求函数f(x)的值域．解析： (1)由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x>0，1－x>0，得－1<x<1，∴函数f(x)的定义域为(－1,1)．(2)定义域关于原点对称，对于任意的x ∈(－1,1)， 有－x ∈(－1,1)，f(－x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＝f(x)， ∴f(x)为偶函数．(3)f(x)＝lg[(1＋x)(1－x)]＝lg(1－x2) 令t ＝1－x2∵x ∈(－1,1)，∴t ∈(0,1]又∵y ＝lg t ，在(0,1]上是增函数． ∴y≤lg 1＝0∴函数f(x)的值域为(－∞，0]．22、(本题满分12分)设a>0，f(x)＝ex a ＋aex 在R 上满足f(x)＝f(－x)．(1)求a 的值； (2)讨论f(x)在[0，＋∞)上的单调性．(3)已知1ln )(+>m x f 在[0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围． 解析： (1)依题意，对一切x ∈R ，有f(x)＝f(－x)，即ex a ＋a ex ＝1aex ＋aex ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a ⎝⎛⎭⎪⎫ex －1ex ＝0对一切x ∈R 成立，由此可得a －1a ＝0，即a2＝1.又因为a>0，所以a ＝1.(2)由(1)知x x e e x f 1)(+=，则令x e u =，u u y 1+= 因xe u =在[0，＋∞)上为增函数，而u u y 1+=在[1，＋∞) 上为增函数，故x x e e x f 1)(+=在[0，＋∞)上为增函数。
【走向高考】(2013春季发行)高三数学第一轮总复习 6-3等比数列 新人教A版
6-3等比数列基础巩固强化1.(2012·哈尔滨质检)已知等比数列{a n }中，a 5，a 95为方程x 2＋10x ＋16＝0的两根，则a 20·a 50·a 80的值为( )A ．256B ．±256C ．64D ．±64 [答案] D[解析] 由韦达定理可得a 5a 95＝16，由等比中项可得a 5a 95＝(a 50)2＝16，故a 50＝±4，则a 20a 50a 80＝(a 50)3＝(±4)3＝±64.2．(2012·沈阳质检)已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则该数列的通项a n ＝( )A ．4×(23)n －1B ．4×(23)nC ．4×(32)nD ．4×(32)n －1[答案] D[解析] 据前三项可得(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)，解得a ＝5，故等比数列的首项为4，q＝a 2a 1＝32， 故a n ＝4×(32)n －1.3．(文)(2011·青岛一模)在等比数列{a n }中，若a 2＝9，a 5＝243，则数列{a n }的前4项和为( )A ．81B ．120C ．168D ．192[答案] B[解析] 设等比数列{a n }的公比为q ，根据题意及等比数列的性质可知：a 5a 2＝27＝q 3，所以q ＝3，所以a 1＝a 2q ＝3，所以S 4＝31－341－3＝120.(理)(2011·吉林长春模拟)已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列{1a n}的前5项和为( )A.8532B.3116C.158D.852[答案] B[解析] ∵9S 3＝S 6，∴8(a 1＋a 2＋a 3)＝a 4＋a 5＋a 6， ∴8＝q 3，∴q ＝2， ∴a n ＝2n －1，∴1a n ＝(12)n －1，∴{1a n }的前5项和为1－1251－12＝3116，故选B. 4．(2011·江西抚州市高三模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1、S 3、S 2成等差数列，则{a n }的公比等于( )A ．1 B.12 C ．－12D.1＋52[答案] C[解析] 2S 3＝S 1＋S 2，即2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)＝a 1＋a 1＋a 1q ， 得q ＝－12，故选C.5．(文)(2011·哈尔滨九中模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n－1，则数列{a n }的奇数项的前n 项和为( )A.2n ＋1－13B.2n ＋1－23C.22n－13D.22n－23[答案] C[解析] 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n－2n －1＝2n －1.∴a n ＝2n －1(n ∈N *)，则数列{a n }的奇数项的前n 项和为1－22n1－22＝22n－13，故选C. (理)(2011·泉州市质检)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1，a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝2，S n ＝15，则项数n 为( )A ．12B ．14C ．15D ．16[答案] D[解析]a 5＋a 6＋a 7＋a 8a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝q 4＝2，由a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1.得a 1(1＋q ＋q 2＋q 3)＝1， 即a 1·1－q 41－q＝1，∴a 1＝q －1，又S n ＝15，即a 11－q n 1－q＝15，∴q n＝16，又∵q 4＝2，∴n ＝16.故选D.6．(2011·安徽皖南八校联考)设{a n }是公比为q 的等比数列，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则q 等于( )A ．－43B ．－32C ．－23或－32D ．－34或－43[答案] C[解析] 集合{－53，－23,19,37,82}中的各元素减去1得到集合{－54，－24,18,36,81}，其中－24，36，－54,81或81，－54,36，－24成等比数列，∴q ＝－32或－23.7．已知f (x )是一次函数，若f (3)＝5，且f (1)、f (2)、f (5)成等比数列，则f (1)＋f (2)＋…＋f (100)的值是________．[答案] 10000[解析] 设f (x )＝kx ＋b ，f (3)＝3k ＋b ＝5，由f (1)、f (2)、f (5)成等比数列得(2k ＋b )2＝(k ＋b )·(5k ＋b )，可得k ＝2，b ＝－1.∴f (n )＝2n －1，则f (1)＋f (2)＋…＋f (100)＝100×1＋100×992×2＝10000.8．(文)(2010·浙江金华)如果一个n 位的非零整数a 1a 2…a n 的各个数位上的数字a 1，a 2，…，a n 或适当调整次序后能组成一个等比数列，则称这个非零整数a 1a 2…a n 为n 位“等比数”．如124,913,333等都是三位“等比数”．那么三位“等比数”共有________个．(用数字作答)[答案] 27[解析] 适当调整次序后能组成一个三位“等比数”的非零整数可分为以下几类：(1)111,222，…，999；(2)124,248,139.其中第(1)类“等比数”有9个；第(2)类“等比数”有3×6＝18个；因此，满足条件的三位“等比数”共有27个．(理)(2012·北京东城练习)已知等差数列{a n }首项为a ，公差为b ，等比数列{b n }首项为b ，公比为a ，其中a 、b 都是大于1的正整数，且a 1<b 1，b 2<a 3，那么a ＝________；若对于任意的n ∈N *，总存在m ∈N *，使得b n ＝a m ＋3成立，则a n ＝________.[答案] 2 5n －3[解析] 由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧a <b ，ab <a ＋2b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a <b ，a －2b <a ，若a ＝2，显然符合条件；若a >2，则a <b <aa －2，解得a <3，即2<a <3，即不存在a 满足条件，由此可得a ＝2.当a ＝2时，a n ＝2＋(n －1)b ，b n ＝b ×2n －1，若存在m ∈N *，使得b n ＝a m ＋3成立，则b ×2n－1＝2＋(m －1)b ＋3，即得b ×2n －1＝bm ＋5－b ，当b ＝5时，方程2n －1＝m 总有解，此时a n ＝5n －3.9．(2011·锦州模拟)在等比数列{a n }中，若公比q >1，且a 2a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7＝________.[答案] 23[解析] ∵a 2a 8＝6，∴a 4a 6＝6，又∵a 4＋a 6＝5，且q >1，∴a 4＝2，a 6＝3，∴a 5a 7＝a 4a 6＝23. 10．(文)(2012·北京东城练习)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －3(n ∈N *)． (1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，且b 1＝2，求数列{b n }的通项公式． [解析] (1)证明：因为S n ＝4a n －3，所以n ＝1时，a 1＝4a 1－3，解得a 1＝1. 因为S n ＝4a n －3，则S n －1＝4a n －1－3(n ≥2)， 所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1， 整理得a n ＝43a n －1.又a 1＝1≠0，所以{a n }是首项为1，公比为43的等比数列．(2)因为a n ＝(43)n －1，b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，所以b n ＋1－b n ＝(43)n －1.可得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝2＋1－43n －11－43＝3·(43)n －1－1(n ≥2)，当n ＝1时符合上式，∴b n ＝3·(43)n －1－1.(理)(2012·浙江绍兴质量调测)已知数列{a n }中，a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，且对任意n ∈N *，有a n ＋1＝kS n ＋1(k 为常数)．(1)当k ＝2时，求a 2、a 3的值；(2)试判断数列{a n }是否为等比数列？请说明理由． [解析] (1)当k ＝2时，a n ＋1＝2S n ＋1， 令n ＝1得a 2＝2S 1＋1，又a 1＝S 1＝1，得a 2＝3； 令n ＝2得a 3＝2S 2＋1＝2(a 1＋a 2)＋1＝9，∴a 3＝9. ∴a 2＝3，a 3＝9.(2)由a n ＋1＝kS n ＋1，得a n ＝kS n －1＋1， 两式相减，得a n ＋1－a n ＝ka n (n ≥2)， 即a n ＋1＝(k ＋1)a n (n ≥2)， 且a 2a 1＝k ＋11＝k ＋1，故a n ＋1＝(k ＋1)a n .故当k ＝－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝10.n ≥2此时，{a n }不是等比数列； 当k ≠－1时，a n ＋1a n＝k ＋1≠0，此时，{a n }是首项为1，公比为k ＋1的等比数列． 综上，当k ＝－1时，{a n }不是等比数列； 当k ≠－1时，{a n }是等比数列.能力拓展提升11.(2011·浙江温州质检)一个直角三角形的三内角的正弦成等比数列，其最小角的正弦值为( )A.5－12 B.12 C.5－14D.5＋14[答案] A[解析] 设三内角A <B <C ， ∵sin A 、sin B 、sin C 成等比数列， ∴a 、b 、c 成等比数列，∴b 2＝ac ， ∴c 2－a 2＝ac ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋a c－1＝0. ∵a c >0，∴a c ＝5－12＝sin A ，故选A. [点评] 在△ABC 中，由正弦定理a ＝2R sin A 、b ＝2R sin B 可知，a <b ⇔A <B ⇔sin A <sin B . 12．(文)(2012·深圳二调)已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n(n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2[答案] C[解析] 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，∵a 5·a 2n －5＝a 1q 4·a 1q2n －6＝22n ，即a 21·q2n－2＝22n⇒(a 1·qn －1)2＝22n⇒a 2n ＝(2n )2，∵a n >0，∴a n ＝2n ，∴a 2n －1＝22n －1，∴log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝log 22＋log 223＋…＋log 222n －1＝1＋3＋…＋(2n －1)＝1＋2n －12·n ＝n 2，故选C.(理)(2011·辽宁沈阳二中检测，辽宁丹东四校联考)已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－5B ．－15C ．5 D.15[答案] A[分析] 根据数列满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)．由对数的运算法则，得出a n ＋1与a n的关系，判断数列的类型，再结合a 2＋a 4＋a 6＝9得出a 5＋a 7＋a 9的值．[解析] 由log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)得，a n ＋1＝3a n ，∵a n >0，∴数列{a n }是公比等于3的等比数列，∴a 5＋a 7＋a 9＝(a 2＋a 4＋a 6)×33＝35， ∴log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝－log 335＝－5.13．(文)(2011·长春模拟)已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，b n ＝a 3na 2n ＋1，且{b n }的前n 项和为T n ，若对一切正整数n 都有S n >T n ，则数列{a n }的公比q 的取值范围是( )A ．0<q <1B ．q >1C ．q > 2D ．1<q < 2[答案] B[解析] 由于{a n }是等比数列，公比为q ，所以b n ＝a 3na 2n ＋1＝1q 2a n ，于是b 1＋b 2＋…＋b n ＝1q2(a 1＋a 2＋…＋a n )，即T n ＝1q 2·S n .又S n >T n ，且T n >0，所以q 2＝S n T n>1.因为a n >0对任意n ∈N *都成立，所以q >0，因此公比q 的取值范围是q >1.(理)(2011·榆林模拟)在等比数列{a n }中，a n >0(n ∈N ＋)，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又a 3与a 5的等比中项为2，b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，则当S 11＋S 22＋…＋S nn最大时，n 的值等于( )A ．8B ．9C ．8或9D ．17[答案] C[解析] ∵a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25， ∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25， 又a n >0，∴a 3＋a 5＝5， 又q ∈(0,1)，∴a 3>a 5， ∵a 3a 5＝4，∴a 3＝4，a 5＝1，∴q ＝12，a 1＝16，a n ＝16×(12)n －1＝25－n，b n ＝log 2a n ＝5－n ，b n ＋1－b n ＝－1，∴{b n }是以b 1＝4为首项，－1为公差的等差数列， ∴S n ＝n 9－n 2，∴S n n ＝9－n 2，∴当n ≤8时，S nn>0；当n ＝9时，S n n＝0；当n >9时，S n n<0， ∴当n ＝8或9时，S 11＋S 22＋…＋S nn最大．14．(2012·江苏，6)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．[答案] 35[解析] 本题考查等比数列及古典概型的知识．等比数列的通项公式为a n ＝(－3)n －1.所以此数列中偶数项都为负值，奇数项全为正值．若a n ≥8，则n 为奇数且(－3)n －1＝3n －1≥8，则n －1≥2，∴n ≥3，∴n ＝3,5,7,9共四项满足要求．∴p ＝1－410＝35.[点评] 直接考虑情况较多时，可以从其对立面来考虑问题．15．(2011·新课标全国文，17)已知等比数列{a n }中，a 1＝13，公比q ＝13.(1)S n 为{a n }的前n 项和，证明：S n ＝1－a n2；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{b n }的通项公式． [解析] (1)因为a n ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝13，S n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13＝1－13n 2，所以S n ＝1－a n2.(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n ) ＝－n n ＋12.所以{b n }的通项公式为b n ＝－n n ＋12.16．(文)(2011·山东淄博一模)设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7，且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n . [解析] (1)设数列{a n }的公比为q (q >1)，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1＋3＋a 3＋42＝3a 2，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1－6a 2＋a 3＝－7，⎩⎪⎨⎪⎧a 11＋q ＋q 2＝7，a 11－6q ＋q 2＝－7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2.故数列{a n }的通项为a n ＝2n －1.(2)由(1)得a 3n ＋1＝23n，∴b n ＝ln a 3n ＋1＝ln23n＝3n ln2， 又b n ＋1－b n ＝3ln2，∴{b n }是以b 1＝3ln2为首项，以3ln2为公差的等差数列． ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n b 1＋b n 2＝n 3ln2＋3n ln22＝3n n ＋1ln22即T n ＝3n n ＋12ln2.(理)(2011·安庆模拟)已知数列{a n }中，a 1＝12，点(n,2a n ＋1－a n )在直线y ＝x 上，其中n ＝1,2,3….(1)令b n ＝a n ＋1－a n －1，求证数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项．[解析] (1)由已知得2a n ＋1＝a n ＋n ，又a 1＝12，∴a 2＝34，b 1＝a 2－a 1－1＝34－12－1＝－34，又∵b n ＝a n ＋1－a n －1，∴b n ＋1＝a n ＋2－a n ＋1－1， ∴b n ＋1b n ＝a n ＋2－a n ＋1－1a n ＋1－a n －1 ＝a n ＋1＋n ＋12－a n ＋n2－1a n ＋1－a n －1＝a n ＋1－a n －12a n ＋1－a n －1＝12.∴{b n }是以－34为首项，以12为公比的等比数列．(2)由(1)知，b n ＝－34×(12)n －1＝－3×(12)n ＋1∴a n ＋1－a n ＝1－3×(12)n ＋1，∴a 2－a 1＝1－3×(12)2a 3－a 2＝1－3×(12)3……a n －a n －1＝1－3×(12)n各式相加得a n ＝n －1－3×[(12)2＋(12)3＋…＋(12)n ]＋12＝n －12－3×14×[1－12n －1]1－12＝32n ＋n －2.1．已知数列{a n }的前n 项的和S n 满足S n ＝2n －1(n ∈N *)，则数列{a 2n }的前n 项的和为( )A ．4n－1 B.13(4n－1) C.43(4n－1) D ．(2n－1)2[答案] B[解析] n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －1)－(2n －1－1)＝2n －1，又a 1＝S 1＝21－1＝1也满足，∴a n ＝2n －1(n ∈N *)．设b n ＝a 2n ，则b n ＝(2n －1)2＝4n －1，∴数列{b n }是首项b 1＝1，公比为4的等比数列，故{b n }的前n 项和T n ＝1×4n－14－1＝13(4n－1)． 2．等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为( )A ．4B ．6C ．8D ．10[答案] C[解析] 由题意知，85q ＝170，∴q ＝2， ∴85＋170＝1×2n－12－1，∴n ＝8.3．(2011·山东济南模拟)已知各项不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8等于( )A ．2B ．4C ．8D ．16[答案] D[解析] 由题意可知，a 27＝2(a 3＋a 11)＝4a 7.∵a 7≠0，∴a 7＝4，∴b 6b 8＝b 27＝a 27＝16. 4．已知等比数列{a n }的公比q >0，其前n 项的和为S n ，则S 4a 5与S 5a 4的大小关系是( )A ．S 4a 5<S 5a 4B ．S 4a 5>S 5a 4C ．S 4a 5＝S 5a 4D ．不确定 [答案] A[解析] (1)当q ＝1时，S 4a 5－S 5a 4＝4a 21－5a 21＝－a 21<0.(2)当q ≠1且q >0时，S 4a 5－S 5a 4＝a 211－q (q 4－q 8－q 3＋q 8)＝a 21q 31－q (q －1) ＝－a 21q 3<0.[点评] 作差，依据前n 项和与通项公式化简后判断符号是解决这类问题的基本方法，应注意对公比分类讨论．5．(2012·广州一模)两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．如下图中的实心点个数1,5,12,22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a 1＝1，第2个五角形数记作a 2＝5，第3个五角形数记作a 3＝12，第4个五角形数记作a 4＝22，…，若按此规律继续下去，则a 5＝________，若a n ＝145，则n ＝________.[答案] 35 10[解析] a 2－a 1＝4，a 3－a 2＝7，a 4－a 3＝10，观察图形可得，数列{a n －a n －1}(n ≥2，n ∈N *)构成首项为4，公差为3的等差数列，所以a 5－a 4＝13，所以a 5＝35，a n －a n －1＝3n －2(n ≥2，n ∈N *)，应用累加法得a n －a 1＝4＋7＋10＋…＋(3n －2)＝n －13n ＋22， 所以a n ＝n －13n ＋22＋1(n ≥2，n ∈N *)，当a n ＝145时，n －13n ＋22＋1＝145，解得n ＝10.6．已知{a n }是首项为a 1、公比q (q ≠1)为正数的等比数列，其前n 项和为S n ，且有5S 2＝4S 4，设b n ＝q ＋S n .(1)求q 的值；(2)数列{b n }能否是等比数列？若是，求出a 1的值；若不是，请说明理由．[解析] (1)由题意知5S 2＝4S 4，S 2＝a 11－q 21－q ，S 4＝a 11－q 41－q， ∴5(1－q 2)＝4(1－q 4)，又q >0，∴q ＝12. (2)∵S n ＝a 11－q n 1－q ＝2a 1－a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1， 于是b n ＝q ＋S n ＝12＋2a 1－a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1， 若{b n }是等比数列，则12＋2a 1＝0， ∴a 1＝－14.此时，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1. ∵b n ＋1b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝12，∴数列{b n }是等比数列． 所以存在实数a 1＝－14，使数列{b n }为等比数列． 7．已知数列{a n }和{b n }，数列{a n }的前n 项和记为S n .若点(n ，S n )在函数y ＝－x 2＋4x 的图象上，点(n ，b n )在函数y ＝2x的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n b n }的前n 项和T n .[解析] (1)由已知得S n ＝－n 2＋4n ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2n ＋5，又当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，符合上式．∴a n ＝－2n ＋5.(2)由已知得b n ＝2n ，a n b n ＝(－2n ＋5)2n . T n ＝3×21＋1×22＋(－1)×23＋…＋(－2n ＋5)×2n ， 2T n ＝3×22＋1×23＋…＋(－2n ＋7)×2n ＋(－2n ＋5)×2n ＋1，两式相减可得， T n ＝－6＋(23＋24＋…＋2n ＋1)＋(－2n ＋5)×2n ＋1 ＝231－2n －11－2＋(－2n ＋5)×2n ＋1－6 ＝(7－2n )×2n ＋1－14.。
2013届高三人教A版数学章末综合测试题(17)统计与统计案例、算法初步(1))
2013届高三数学章末综合测试题（17）统计与统计案例、算法初步一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．条件结构不同于顺序结构的明显特征是含有( ) A ．处理框 B ．判断框 C ．起止框 D ．输入、输出框解析 B 由条件结构与顺序结构定义可知，条件结构有判断框，而顺序结构中无判断框．2．给出以下四个问题：①输入一个数x ，输出它的绝对值；②求面积为6的正方形的周长；③求三个数a ，b ，c 中的最大数；④求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ≤0，x 2＋1，x >0的函数值．其中需要用条件结构来描述算法的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析 C 其中①③④都需要对条件作出判断，都需要用条件结构，②用顺序结构即可．3.若右面的流程图的作用是交换两个变量的值并输出，则(1)处应填上( )A ．x ＝yB ．y ＝xC ．T ＝yD ．x ＝T解析 A 中间变量为T ，将T ＝x 后，T 就是x ，则将x ＝y 后，x 就变为y 了．故选A.4．对于算法： 第一步，输入n .第二步，判断n 是否等于2，若n ＝2，则n 满足条件；若n ＞2，则执行第三步． 第三步，依次从2到n －1检验能不能整除n ，若不能整除n ，则执行第四步；若能整除n ，则执行第一步．第四步，输出n . 满足条件的n 是( )A ．质数B ．奇数C ．偶数D ．合数解析 A 只能被1和自身整除的大于1的整数叫质数，2是最小的质数．这个算法通过对2到n －1一一验证，看是否有其他约数，来判断其是否为质数．5．(2011·湖北八校联考)在样本的频率分布直方图中，共有5个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他4个小长方形的面积和的14，且样本容量为100，则正中间的一组的频数为( )A ．80B ．0.8C ．20D ．0.2解析 C ∵在样本的频率分布直方图中，小长方形的面积＝频率，∴中间的一个小长方形所对应的频率是15，又∵频率＝频数样本容量，∴正中间一组的频数是15×100＝20.故选C.6．已知程序框图如图所示，该程序运行后，为使输出的b 值为16，则循环体的判断框内①处应填( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析 B a ＝1时进入循环，此时b ＝21＝2；a ＝2时再进入循环，此时b ＝22＝4；a ＝3时再进入循环，此时b ＝24＝16.∴a ＝4时应跳出循环，∴循环满足的条件为a ≤3，故选B.7．下列程序框图是循环结构的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④解析 C 由循环结构的定义，易知③④是循环结构．8．(2011·江西八校联考)在2011年3月15日那天，南昌市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行了调查，5家商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：其线性回归直线的方程是y ^＝－3.2x ＋a ，则a ＝( )A ．－24B ．35.6C ．40.5D ．40解析 D 由题意得到x ＝15×(9＋9.5＋10＋10.5＋11)＝10，y ＝15×(11＋10＋8＋6＋5)＝8，且回归直线必经过点(x ，y )＝(10,8)，则有8＝－3.2×10＋a ，a ＝40，故选D.9．变量X 与Y 相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U 与V 相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r 1表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则( )A ．r 2<r 1<0B ．0<r 2<r 1C ．r 2<0<r 1D ．r 2＝r 1解析 C 对于变量Y 与X 而言，Y 随X 的增大而增大，故Y 与X 正相关，即r 1>0；对于变量V 与U 而言，V 随U 的增大而减小，故V 与U 负相关，即r 2<0，所以有r 2<0<r 1.故选C.10．阅读如图所示的程序框图，若输入的n 是100，则输出的变量S 和T 的值依次是( )A ．2 500,2 500B ．2 550,2 550C ．2 500,2 550D ．2 550,2 500解析 D 由程序框图知，S ＝100＋98＋96＋…＋2＝2 550，T ＝99＋97＋95＋…＋1＝2 500，故选D.11．(2011·山西三市联考)某同学进入高三后，4次月考的数学成绩的茎叶图如图，则该同学数学成绩的方差是( )A ．125B ．5 5C ．45D ．3 5解析 C 由图可知，4次成绩分别为114,126,128,132,4次成绩的平均值是125，故该同学数学成绩的方差是s 2＝14[(114－125)2＋(126－125)2＋(128－125)2＋(132－125)2]＝14×(121＋1＋9＋49)＝45.12．某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体调查结果如下表：表1 市场供给量表2( )A ．(2.4,2.5)B ．(2.5,2.8)C ．(2.8,3)D ．(3,3.2)解析 C 由表1、表2可知，当市场供给量为60～70时，市场单价为2.5～3，当市场需求量为65～70时，市场单价为2.8～3.2，∴市场供需平衡点应在(2.8,3)内，故选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．如图甲是计算图乙中空白部分面积的程序框图，则①处应填________．解析 由题意可得：S ＝⎣⎡⎦⎤14π⎝⎛⎭⎫a 22－12×a 2×a 2×8＝⎝⎛⎭⎫π2－1a 2， 故①处应填S ＝⎝⎛⎭⎫π2－1a 2. 【答案】 S ＝⎝⎛⎭⎫π2－1a 2 14．给出以下算法： 第一步：i ＝3，S ＝0；第二步：i ＝i ＋2； 第三步：S ＝S ＋i ；第四步：如果S ≥2 013，则执行第五步；否则执行第二步； 第五步：输出i ； 第六步：结束．则算法完成后，输出的i 的值等于________．解析 根据算法可知，i 的值i n 构成一个等差数列{i n }，S 的值是数列{i n }相应的前n 项的和，且i 1＝5，d ＝2，又S ≥2 013，所以n ≥43，所以输出的i 的值为i 1＋(n －1)×d ＝5＋(43－1)×2＝89.【答案】 8915．对一些城市进行职工人均工资水平x (千元)与居民人均消费水平y (千元)统计调查后知，y 与x 具有相关关系，满足回归方程y ＝0.66x ＋1.562.若某被调查城市居民人均消费水平为7.675(千元)，则可以估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为________%(保留两个有效数字)．解析 依题意得，当y ＝7.675时，有0.66x ＋1.562＝7.675，x ≈9.262.因此，可以估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为7.6759.262≈83%.【答案】 8316．如图所示的程序框图可用来估计π的值(假设函数RAND(－1，1)是产生随机数的函数，它能随机产生区间(－1,1)内的任何一个实数)．如果输入1 000，输出的结果为788，则运用此方法估计的π的近似值为________．解析 本题转化为用几何概型求概率的问题．根据程序框图知，如果点在圆x 2＋y 2＝1内，m 就和1相加一次；现输入N 为1 000，m 起始值为0，输出结果为788，说明m相加了788次，也就是说有788个点在圆x 2＋y 2＝1内．设圆的面积为S 1，正方形的面积为S 2，则概率P ＝S 1S 2＝π4，∴π＝4P ＝4×7881 000＝3.152.【答案】 3.152三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)如图所示的算法中，令a ＝tan θ，b ＝sin θ，c ＝cos θ，若在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪－π4＜θ＜3π4，θ≠0，π4，π2中，给θ取一个值，输出的结果是sin θ，求θ值所在的范围．解析 由框图知，输出的a 是a 、b 、c 中最大的．由此可知，sin θ＞cos θ，sin θ＞tan θ.又θ在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ| －π4＜θ＜3π4，θ≠0，π4，π2中，∴θ值所在的范围为⎝⎛⎭⎫π2，3π4.18．(12分)(2011·江西七校联考)为庆祝国庆，某中学团委组织了“歌颂祖国，爱我中华”知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(成绩均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后画出如图所示的部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题．(1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图； (2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分．解析 (1)设第i 组的频率为f i (i ＝1,2,3,4,5,6)，因为这六组的频率和等于1，故第四组的频率：f 4＝1－(0.025＋0.015×2＋0.01＋0.005)×10＝0.3. 频率分布直方图如图所示．(2)由题意知，及格以上的分数所在的第三、四、五、六组的频率之和为(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75，抽样学生成绩的及格率是75%.故估计这次考试的及格率为75%.利用组中值估算抽样学生的平均分：45·f 1＋55·f 2＋65·f 3＋75·f 4＋85·f 5＋95·f 6＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.从而估计这次考试的平均分是71分．19．(12分)国庆期间，某超市对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额： ①若不超过200元，则不予优惠；②若超过200元，但不超过500元，则按所标的价格给予9折优惠；③如果超过500元，500元的部分按②优惠，超过500元的部分给予7折优惠． 设计一个收款的算法，并画出程序框图．解析 依题意，付款总额y 与标价x 之间的关系式为(单位为元)：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≤200)，0.9x (200＜x ≤500)，0.9×500＋0.7×(x －500)(x ＞500).算法：第一步，输入x 值．第二步，判断，如果x ≤200，则输出x ，结束算法；否则执行第三步．第三步，判断，如果x ≤500成立，则计算y ＝0.9x ，并输出y ，结束算法；否则执行第四步．第四步，计算：y ＝0.9×500＋0.7×(x －500)，并输出y ，结束算法． 程序框图：20.(12分)如图所示的是为了解决某个问题而绘制的程序框图，仔细分析各图框的内容及图框之间的关系，回答下列问题：(1)该程序框图解决的是怎样的一个问题？(2)当输入2时，输出的值为3，当输入－3时，输出的值为－2，求当输入5时，输出的值为多少？(3)在(2)的前提下，输入的x 值越大，输出的ax ＋b 是不是越大？为什么？ (4)在(2)的前提下，当输入的x 值为多大时，可使得输出的ax ＋b 结果等于0?解析 (1)该程序框图解决的是求函数f (x )＝ax ＋b 的函数值问题，其中输入的是自变量x 的值，输出的是x 对应的函数值．(2)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝3， ①－3a ＋b ＝－2， ②由①②，得a ＝1，b ＝1.f (x )＝x ＋1， 当x 输入5时，输出的值为f (5)＝5＋1＝6. (3)输入的x 值越大，输出的函数值ax ＋b 越大． 因为f (x )＝x ＋1是R 上的增函数． (4)令f (x )＝x ＋1＝0，得x ＝－1， 因而当输入的x 为－1时， 输出的函数值为0.21．(12分)(2011·东北三校一模)某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用茎叶图表示30人的饮食指数．(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主)(1)根据茎叶图，帮助这位学生说明其亲属30人的饮食习惯； (2)根据以上数据完成下列2×2列联表：(3)能否有99% 附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ).类为主．(2)2×2列联表如下：(3)因为K 2＝30×(8－128)12×18×20×10＝30×120×12012×18×20×10＝10>6.635，所以有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关．22．(12分)对任意函数f (x )，x ∈D ，可按如图构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据x 0∈D ，经数列发生器输出x 1＝f (x 0)；②若x 1∉D ，则数列发生器结束工作；若x 1∈D ，则将x 1反馈回输入端，再输出x 2＝f (x 1)，并依此规律继续下去．现定义f (x )＝4x －2x ＋1.(1)输入x 0＝4965，则由数列发生器产生数列{x n }，请写出数列{x n }的所有项；(2)若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x 0的值． 解析 (1)函数f (x )＝4x －2x ＋1的定义域为D ＝(－∞，－1)∪(－1，＋∞)， ∴输入x 0＝4965时，数列{x n }只有三项：x 1＝1119，x 2＝15，x 3＝－1.(2)若要数列发生器产生一个无穷的常数列， 则f (x )＝4x －2x ＋1＝x 有解，整理得，x 2－3x ＋2＝0，∴x ＝1或x ＝2. x 0＝1时，x n ＋1＝4x n －2x n ＋1＝x n ，即x n ＝1；x 0＝2时，x n ＋1＝4x n －2x n ＋1＝x n ，即x n ＝2.∴x 0＝1或x 0＝2.。
【走向高考】(2013春季发行)高三数学第一轮总复习 6-4数列的综合问题与数列的应用 新人教A版
6-4数列的综合问题与数列的应用基础巩固强化1.(2012·杭州第一次质检)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则a 6＋a 7>0是S 9≥S 3的( )A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] ∵S 9≥S 3⇔a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9≥0⇔3(a 6＋a 7)≥0⇔a 6＋a 7≥0，∴a 6＋a 7>0⇒a 6＋a 7≥0，但a 6＋a 7≥0⇒/ a 6＋a 7>0，故选A.2．(2011·淄博模拟)已知{a n }是递增数列，且对任意n ∈N *都有a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是( )A ．(－72，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－3，＋∞)[答案] C[解析] a n ＝n 2＋λn ＝(n ＋λ2)2－λ24，∵对任意n ∈N *，a n ＋1>a n ， ∴－λ2≤1，∴λ≥－2，故选C.3．(文)设函数f (x )＝x m＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1f n }(n ∈N *)的前n项和是( )A.n n ＋1B.n ＋2n ＋1 C.nn －1D.n ＋1n[答案] A[解析] f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋1，∴a ＝1，m ＝2， ∴f (x )＝x (x ＋1)，1f n ＝1n n ＋1＝1n －1n ＋1， ∴S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝n n ＋1. (理)(2011·北京西城期末)已知各项均不为零的数列{a n }，定义向量c n ＝(a n ，a n ＋1)，b n＝(n ，n ＋1)，n ∈N *.则下列命题中为真命题的是( )A ．若对于任意n ∈N *总有c n ∥b n 成立，则数列{a n }是等差数列B ．若对于任意n ∈N *总有c n ∥b n 成立，则数列{a n }是等比数列 C ．若对于任意n ∈N *总有c n ⊥b n 成立，则数列{a n }是等差数列 D ．若对于任意n ∈N *总有c n ⊥b n 成立，则数列{a n }是等比数列 [答案] A[解析] 若对任意n ∈N *，有c n ∥b n ，则a n n ＝a n ＋1n ＋1＝a n ＋2n ＋2，所以a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1，即2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，所以数列{a n }为等差数列．4．(文)(2011·山西运城教学检测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，过点P (n ，S n )和Q (n ＋1，S n ＋1)(n ∈N *)的直线的斜率为3n －2，则a 2＋a 4＋a 5＋a 9的值等于( )A ．52B ．40C ．26D ．20[答案] B[解析] 由题意得S n ＋1－S nn ＋1－n＝3n －2，∴S n ＋1－S n ＝3n －2，即a n ＋1＝3n －2，∴a n ＝3n－5，因此数列{a n }是等差数列，a 5＝10，而a 2＋a 4＋a 5＋a 9＝2(a 3＋a 7)＝4a 5＝40，故选B.(理)两个正数a 、b 的等差中项是72，一个等比中项是23，且a <b ，则双曲线x 2a 2－y2b 2＝1的离心率e 等于( )A.34 B.152C.54D.53[答案] D[解析] ∵a ＋b ＝7，a ·b ＝12，b >a >0，∴a ＝3，b ＝4.∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝53.5．(2011·江西新余四中期末)在△ABC 中，sin A cos A ＝2cos C ＋cos A2sin C －sin A 是角A 、B 、C 成等差数列的( )A ．充分非必要条件B ．充要条件C ．必要非充分条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A [解析]sin A cos A ＝2cos C ＋cos A 2sin C －sin A⇒2sin A sin C －sin 2A ＝2cos A cos C ＋cos 2A ⇒2cos(A ＋C )＋1＝0⇒cosB ＝12⇒B ＝π3⇒A ＋C ＝2B ⇒A 、B 、C 成等差数列．但当A 、B 、C 成等差数列时，sin Acos A＝2cos C ＋cos A 2sin C －sin A 不一定成立，如A ＝π2、B ＝π3、C ＝π6.故是充分非必要条件．故选A.6．(2012·东北三省四市第三次联考)设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1－2a n ＋1，记数列{a n }的前n 项之积为T n ，则T 2010的值为( )A ．1B ．2 C.13 D.23[答案] D[解析] ∵a 1＝2，a 2＝1－22＋1＝13，a 3＝1－213＋1＝－12，a 4＝1－2－12＋1＝－3，a 5＝1－2－3＋1＝2. ∴a n ＋4＝a n ，∴{a n }是以4为周期的数列，T 4＝2×13×(－12)×(－3)＝1.∴T 2010＝T 2008×a 2009×a 2010＝23，故选D.7．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是( )A ．8B ．9C ．10D ．11 [答案] D[解析] 由程序框图可知，S ＝1＋2＋22＋…＋2k ＝2k ＋1－1，由S <2014得，2k ＋1<2015，∴k ≤9.∵1＋2＋22＋…＋29＝1023，∴S 的值加上29后，变为S ＝1023<2014，此时k 的值增加1变为k ＝10，再执行一次循环体后，S＝1023＋210＝2047，k＝10＋1＝11，此时不满足S<2014，输出k的值11后结束．[点评] 这是最容易出错的地方，解这类题时，既要考虑等比数列求和，在k取何值时，恰满足S≥2014，又要顾及S与k的赋值语句的先后顺序．8．(文)已知数列{a n}的通项公式为a n＝2n(n∈N*)，把数列{a n}的各项排列成如图所示的三角形数阵：22223242526272829210……记M(s，t)表示该数阵中第s行的第t个数，则M(11,2)对应的数是________(用2n的形式表示，n∈N)．[答案] 257[解析] 由数阵的排列规律知，第m行的最后一个数是数列{a n}的第1＋2＋3＋…＋m＝m m＋12项，且该行有m项，由此可知第11行的第2个数是数列{a n}的第10×112＋2＝57项，对应的数是257.(理)若数列{a n}满足1a n＋1－1a n＝d(n∈N*，d为常数)，则称数列{a n}为调和数列．已知数列{1x n}为调和数列，且x1＋x2＋…＋x20＝200，则x5＋x16＝________.[答案] 20[解析] 由题意，若{a n}为调和数列，则{1a n}为等差数列，∵{1x n}为调和数列，∴数列{x n}为等差数列，由等差数列的性质可知，x5＋x16＝x1＋x20＝x2＋x19＝…＝x10＋x11＝20010＝20.故填20.9．(文)(2011·江苏镇江市质检)已知1，x1，x2,7成等差数列，1，y1，y2,8成等比数列，点M(x1，y1)，N(x2，y2)，则线段MN的中垂线方程是________．[答案] x＋y－7＝0[解析] 由条件得x1＝3，x2＝5，y1＝2，y2＝4，∴MN的中点(4,3)，k MN＝1，∴MN的中垂线方程为y－3＝－(x－4)，即x＋y－7＝0.(理)已知双曲线a n－1y2－a n x2＝a n－1a n(n≥2，n∈N*)的焦点在y轴上，一条渐近线方程是y ＝2x，其中数列{a n}是以4为首项的正项数列，则数列{a n}的通项公式是________．[答案] a n ＝2n ＋1[解析] 双曲线方程为y 2a n －x 2a n －1＝1，∵焦点在y 轴上，又渐近线方程为y ＝2x ，∴a na n －1＝2，又a 1＝4，∴a n ＝4×2n －1＝2n ＋1.10．(文)(2011·北京海淀)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，且S n ＝S n －1＋2n (n ≥2，n ∈N *)．(1)求S n ；(2)是否存在等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 2＝a 3，b 3＝a 9？若存在，则求出数列{b n }的通项公式；若不存在，则说明理由．[解析] (1)因为S n ＝S n －1＋2n ，所以有S n －S n －1＝2n 对n ≥2，n ∈N *成立． 即a n ＝2n 对n ≥2成立．又a 1＝S 1＝2×1， 所以a n ＝2n 对n ∈N *成立． 所以a n ＋1－a n ＝2对n ∈N *成立． 所以{a n }是等差数列． 所以S n ＝n 2＋n ，n ∈N *.(2)存在．由(1)知a n ＝2n 对n ∈N *成立， 则a 3＝6，a 9＝18.又a 1＝2，所以由b 1＝a 1，b 2＝a 3，b 3＝a 9，得b 2b 1＝b 3b 2＝3.即存在以b 1＝2为首项，公比为3的等比数列{b n }，其通项公式为b n ＝2·3n －1.(理)(2012·天津十二区县联考一)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝a (S n －a n ＋1)(a 为常数，且a ≠0，a ≠1)．(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a 2n ＋S n ·a n ，若数列{b n }为等比数列，求a 的值． (3)在满足条件(2)的情形下，设c n ＝1b n ＋1－1b n ＋1－1，数列{c n }的前n 项和为T n ，求证：T n >2n －12.[解析] (1)S 1＝a (S 1－a 1＋1)，∴a 1＝a ， 当n ≥2时，S n ＝a (S n －a n ＋1)，S n －1＝a (S n －1－a n －1＋1)，两式相减得a n ＝a ·a n －1，a na n －1＝a ，即{a n }是等比数列，∴a n ＝a ·an －1＝a n.(2)由(1)知a n ＝a n，S n ＝a a n －1a －1，∴b n ＝(a n )2＋a a n －1a －1a n＝2a －1a 2n －aa na －1，若{b n }为等比数列，则有b 22＝b 1b 3，而b 1＝2a 2，b 2＝a 3(2a ＋1)，b 3＝a 4(2a 2＋a ＋1)， 故[a 3(2a ＋1)]2＝2a 2·a 4(2a 2＋a ＋1)， 解得a ＝12，再将a ＝12代入，得b n ＝(12)n成立，所以a ＝12.(3)证明：由(2)知b n ＝(12)n，所以c n ＝112n＋1－112n ＋1－1＝2n 2n ＋1＋2n ＋12n ＋1－1＝2－12n ＋1＋12n ＋1－1， 所以c n >2－12n ＋12n ＋1，T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n>(2－12＋122)＋(2－122＋123)＋…＋(2－12n ＋12n ＋1)＝2n －12＋12n ＋1>2n －12.能力拓展提升11.在圆x 2＋y 2＝10x 内，过点(5,3)有n 条长度成等差数列的弦，最短弦长为数列{a n }的首项a 1，最长弦长为a n ，若公差d ∈(13，23]，那么n 的取值集合为( )A ．{4,5,6}B ．{6,7,8,9}C ．{3,4,5}D ．{3,4,5,6}[答案] A[解析] ∵圆x 2＋y 2＝10x ，∴(x －5)2＋y 2＝5，圆心为(5,0)，半径为5.故最长弦长a n＝10，最短弦长a 1＝8，∴10＝8＋(n －1)d ，∴d ＝2n －1，∵d ∈(13，23]，∴13<2n －1≤23，∴4≤n <7，又∵n ∈N *，∴n 的取值为4,5,6，故选A.12．(文)(2011·安徽百校论坛联考)已知a >0，b >0，A 为a ，b 的等差中项，正数G 为a ，b 的等比中项，则ab 与AG 的大小关系是( )A ．ab ＝AGB ．ab ≥AGC ．ab ≤AGD ．不能确定[答案] C[解析] 由条件知，a ＋b ＝2A ，ab ＝G 2，∴A ＝a ＋b2≥ab ＝G >0，∴AG ≥G 2，即AG ≥ab ，故选C.[点评] 在知识交汇点处命题是常见命题方式，不等式与数列交汇的题目要特别注意等差(等比)数列的公式及性质的运用．(理)已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比q ≠1，设P ＝12(log 0.5a 5＋log 0.5a 7)，Q ＝log 0.5a 3＋a 92，P 与Q 的大小关系是( )A ．P ≥QB ．P <QC ．P ≤QD ．P >Q[答案] D[解析] P ＝log 0.5a 5a 7＝log 0.5a 3a 9，Q ＝log 0.5a 3＋a 92，∵q ≠1，∴a 3≠a 9，∴a 3＋a 92>a 3a 9又∵y ＝log 0.5x 在(0，＋∞)上递减， ∴log 0.5a 3＋a 92<log 0.5a 3a 9，即Q <P .故选D.13．(2011·湖北荆门调研)秋末冬初，流感盛行，荆门市某医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{a n }，已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，则该医院30天入院治疗流感的人数共有________人．[答案] 255[解析] ∵a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n(n ∈N *)，∴n 为奇数时，a n ＋2＝a n ，n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝2，即数列{a n }的奇数项为常数列，偶数项构成以2为首项，2为公差的等差数列．故这30天入院治疗流感人数共有15＋(15×2＋15×142×2)＝255人．14．(2011·江苏，13)设1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________．[答案]33[解析] ∵a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，且a 1＝1， ∴a 3＝q ，a 5＝q 2，a 7＝q 3，∵a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列， ∴a 4＝a 2＋1，a 6＝a 2＋2， ∵a 2≥1，q ＝a 3≥a 2≥1，∴q 2＝a 5≥a 4＝a 2＋1≥2，q 3＝a 7≥a 6＝a 2＋2≥3， ∵q ≥1，∴q ≥2且q ≥33，∴q ≥33， ∴q 的最小值为33.15．(2011·蚌埠质检)已知数列{a n }满足，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n ∈N *.(1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式．[解析] (1)b 1＝a 2－a 1＝1，当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝a n －1＋a n 2－a n ＝－12(a n －a n －1)＝－12b n －1，所以{b n }是以1为首项，－12为公比的等比数列．(2)由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －2＝1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，当n ＝1时，53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－121－1＝1＝a 1.所以a n ＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1(n ∈N *)．16．(文)(2011·山东文，20)等比数列{a n }中，a 1、a 2、a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1、a 2、a 3中的任何两个数不在下表的同一列.(1)n (2)若数列{b n }满足：b n ＝a n ＋(－1)nln a n ，求数列{b n }的前2n 项和S 2n . [解析] (1)依次验证知a 1＝2，a 2＝6，a 3＝18时符合题意，∴a n ＝2·3n －1.(2)∵b n ＝a n ＋(－1)n ln a n ＝2·3n －1＋(－1)n ln(2·3n －1)＝2·3n －1＋(－1)n(ln2－ln3)＋(－1)nn ln3∴S 2n ＝b 1＋b 2＋…＋b 2n ＝2(1＋3＋…＋32n －1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)2n](ln2－ln3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)2n·2n ]ln3＝2×1－32n1－3＋n ln3＝32n＋n ln3－1.(理)(2011·湖南六校联考)为加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干年时间更换一万辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车．替换车为电力型和混合动力型车．今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆；计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入a 辆．(1)求经过n 年，该市被更换的公交车总数S (n )； (2)若该市计划7年内完成全部更换，求a 的最小值．[解析] (1)设a n ，b n 分别为第n 年投入的电力型公交车，混合动力型公交车的数量，依题意，{a n }是首项为128，公比为1＋50%＝32的等比数列，{b n }是首项为400，公差为a 的等差数列． {a n }的前n 项和S n ＝128×[1－32n]1－32＝256[(32)n－1]．{b n }的前n 项和T n ＝400n ＋n n －12a ，所以经过n 年，该市更换的公交车总数为： S (n )＝S n ＋T n ＝256[(32)n －1]＋400n ＋n n －12a .(2)若计划7年内完成全部更换，所以S (7)≥10000，所以256[(32)7－1]＋400×7＋7×62a ≥10000，即21a ≥3082，所以a ≥1461621.又a ∈N *，所以a 的最小值为147.1．若x 的方程x 2－x ＋a ＝0和x 2－x ＋b ＝0(a ≠b )的四个根可组成首项为14的等差数列，则b 的值可以为( )A.38B.1124 C.1324 D.35144[答案] D[解析] 由题意四个根为14、14＋16、14＋13、34，则b ＝14×34＝316，或b ＝512×712＝35144，选D.2．(2012·河南新乡、平顶山、许昌调研)设正项等比数列{a n }的前n 项之积为T n ，且T 10＝32，则1a 5＋1a 6的最小值为( )A ．2 2 B. 2 C ．2 3 D. 3[答案] B[解析] 由条件知，T 10＝a 1a 2…a 10＝(a 5a 6)5＝32，∵a n >0，∴a 5a 6＝2，∴1a 5＋1a 6＝12·a 5a 6·(1a 5＋1a 6)＝12(a 5＋a 6)≥12×2a 5a 6＝2，等号在a 5＝a 6＝2时成立． 3．(2011·银川一中三模)已知函数f (x )＝x 2＋bx 的图象在点A (1，f (1))处的切线l 与直线3x －y ＋2＝0平行，若数列{1f n }的前n 项和为S n ，则S 2012的值为( )A.20092010 B.20102011 C.20112012D.20122013[答案] D[解析] 本题考查导数的几何意义及数列求和知识；由于f ′(x )＝2x ＋b ，据题意则有f ′(1)＝2＋b ＝3，故b ＝1，即f (x )＝x 2＋x ，从而1f n ＝1n n ＋1＝1n －1n ＋1， 其前n 项和S n ＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)＝1－1n ＋1＝n n ＋1，故S 2012＝20122013.4．(2012·吉林省实验中学模拟)已知正数组成的等差数列{a n }的前20项的和是100，那么a 6·a 15的最大值是( )A ．25B ．50C ．100D ．不存在[答案] A[解析] 由条件知，a 6＋a 15＝a 1＋a 20＝110S 20＝110×100＝10，a 6>0，a 15>0，∴a 6·a 15≤(a 6＋a 152)2＝25，等号在a 6＝a 15＝5时成立，即当a n ＝5(n ∈N *)时，a 6·a 15取最大值25.5．(2011·黄冈月考)在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n(n ≥2，n ∈N *)，则a 3a 5的值是( )A.1516 B.158 C.34 D.38[答案] C[解析] ∵a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n， ∴a 2a 1＝a 1＋1，∴a 2＝2，； ∵a 3a 2＝a 2－1，∴a 3＝12；∵a 4a 3＝a 3＋1，∴a 4＝3； ∵a 5a 4＝a 4－1，∴a 5＝23，∴a 3a 5＝34.6．(2012·北京海淀期中)已知数列A ：a 1，a 2，…，a n (0≤a 1<a 2<…<a n ，n ≥3)具有性质P ：对任意i ，j (1≤i ≤j ≤n )，a j ＋a i 与a j －a i 两数中至少有一个是该数列中的一项：现给出以下四个命题：①数列0,1,3具有性质P ； ②数列0,2,4,6具有性质P ； ③若数列A 具有性质P ，则a 1＝0；④若数列a 1，a 2，a 3(0≤a 1<a 2<a 3)具有性质P ，则a 1＋a 3＝2a 2.其中真命题有( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个[答案] B[解析] 数列0,1,3中a 3－a 2＝2，a 3＋a 2＝4都不是该数列中的一项，即其不具有性质P ，得命题①不正确；数列0,2,4,6经验证满足条件，即其具有性质P ，得命题②正确；若数列A 具有性质P ，因n ≥3，故其最大项a n >0，则有a n ＋a n ＝2a n >a n 不是数列中的项，故a n －a n ＝0必为数列中的一项，即a 1＝0，得命题③正确；若数列a 1，a 2，a 3(0≤a 1<a 2<a 3)具有性质P ，则a 1＝0,0<a 2<a 3，a 2＋a 3>a 3不是数列中的项，必有a 3－a 2＝a 2，即a 3＝2a 2，因a 1＝0，故a 1＋a 3＝2a 2，得命题④正确，综上可得真命题共有3个，故应选B.7．(2011·杭州二检)已知{a n }是公差不为0的等差数列，{b n }是等比数列，其中a 1＝2，b 1＝1，a 2＝b 2,2a 4＝b 3，且存在常数α、β，使得a n ＝log αb n ＋β对每一个正整数n 都成立，则αβ＝________.[答案] 4[解析] 设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧2＋d ＝q 22＋3d ＝q2，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2d ＝0(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝4d ＝2，所以a n ＝2n ，b n ＝4n －1.若a n ＝log αb n ＋β对每一个正整数n 都成立，则满足2n ＝log α4n －1＋β，即2n ＝(n －1)log α4＋β，因此只有当α＝2，β＝2时上式恒成立，所以αβ＝4.8．(2011·天津市二十区县联考)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，向量a ＝(a n －1，－2)，b ＝(4，S n )满足a ⊥b ，则S 5S 3＝________.[答案]317[解析] ∵a ＝(a n －1，－2)，b ＝(4，S n )满足a ⊥b ， ∴a ·b ＝0，∴4a n －4－2S n ＝0，即S n ＝2a n －2， ∴S n －1＝2a n －1－2(n ≥2)． 两式相减得a n ＝2a n －1，∴a na n －1＝2. 由S n ＝2a n －2(n ∈N *)，得a 1＝2.∴{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝2n.∴S 5S 3＝21－251－221－231－2＝317. 9．(2011·苏州检测)正整数按下列方法分组：{1}，{2,3,4}，{5,6,7,8,9}，{10,11,12,13,14,15,16}，…，记第n 组中各数之和为A n ；由自然数的立方构成下列数组：{03,13}，{13,23}，{23,33}，{33,43}，…，记第n 组中后一个数与前一个数的差为B n ，则A n ＋B n ＝________.[答案] 2n 3[解析] 由题意知，前n 组共有1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2个数，所以第n －1组的最后一个数为(n －1)2，第n 组的第一个数为(n －1)2＋1，第n 组共有2n －1个数，所以根据等差数列的前n 项和公式可得A n ＝[n －12＋1]＋[n －12＋2n －1]2(2n －1)＝[(n －1)2＋n ](2n －1)，而B n ＝n 3－(n －1)3，所以A n ＋B n ＝2n 3.10．已知点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，13是函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)的图象上一点，等比数列{a n }的前n项和为f (n )－c ，数列{b n }(b n >0)的首项为c ，且前n 项和S n 满足S n －S n －1＝S n ＋S n －1(n ≥2)．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1前n 项和为T n ，问使T n >10002009的最小正整数n 是多少？[解析] (1)∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，13是函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)的图象上一点，∴f (1)＝a ＝13.已知等比数列{a n }的前n 项和为f (n )－c ，则当n ≥2时，a n ＝[f (n )－c ]－[f (n －1)－c ]＝a n (1－a －1)＝－23n .∵{a n }是等比数列，∴{a n }的公比q ＝13.∴a 2＝－29＝a 1q ＝[f (1)－c ]×13，解得c ＝1，a 1＝－23.故a n ＝－23n (n ≥1)．由题设知{b n }(b n >0)的首项b 1＝c ＝1，其前n 项和S n 满足S n －S n －1＝S n ＋S n －1(n ≥2)，由S n －S n －1＝S n ＋S n －1⇒S n －S n －1＝1，且S 1＝b 1＝1. ∴{S n }是首项为1，公差为1的等差数列， 即S n ＝n ⇒S n ＝n 2.∵b n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)， 又b 1＝1＝2×1－1，故数列{b n }的通项公式为：b n ＝2n －1(n ≥1)． (2)∵b n ＝2n －1(n ≥1)， ∴1b n b n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1.∴T n ＝∑k ＝1n1b k b k ＋1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫11－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝n2n ＋1. 要T n >10002009⇔n 2n ＋1>10002009⇔n >10009＝11119，故满足条件的最小正整数n 是112.11．(2011·焦作模拟)已知函数f (x )＝a x的图象过点(1，12)，且点(n －1，a n n 2)(n ∈N ＋)在函数f (x )＝a x的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝a n ＋1－12a n ，若数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：S n <5.[解析] (1)∵函数f (x )＝a x的图象过点(1，12)，∴a ＝12，f (x )＝(12)x.又点(n －1，a n n 2)(n ∈N ＋)在函数f (x )＝a x的图象上，从而a n n 2＝12n －1，即a n ＝n 22n －1.(2)由b n ＝n ＋122n－n 22n ＝2n ＋12n 得， S n ＝32＋522＋…＋2n ＋12n ， 则12S n ＝322＋523＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1，两式相减得：12S n ＝32＋2(122＋123＋…＋12n )－2n ＋12n ＋1，∴S n ＝5－2n ＋52n ，∴S n <5.。
三角函数的概念、基本关系式、诱导公式、两角和与差及二倍角公式 理(含解析)新人教A版
浙江省2014届理科数学专题复习试题选编16：三角函数的概念、基本关系式、诱导公式、两角和与差及二倍角公式一、选择题 1 ．（浙江省杭州市2013届高三上学期期中七校联考数学（理）试题）下列命题正确的是 （ ）A ．α、β都是第二象限角,若sin sin αβ>,则tan tan αβ>B ．α、β都是第三象限角,若cos cos αβ>,则sin sin αβ>C ．α、β都是第四象限角,若sin sin αβ>,则tan tan αβ>D ．α、β都是第一象限角,若cos cos αβ>,则sin sin αβ>【答案】C 2 ．（浙江省十校联合体2013届高三上学期期初联考数学（理）试题）已知4sin cos (0)34πθθθ+=<<,则sin cos θθ-的值为 （ ）A B ． C ．13D ．13-【答案】B3 ．（浙江省重点中学协作体2013届高三摸底测试数学（理）试题）已知α为锐角,且有()052cos 3tan 2=+⎪⎭⎫⎝⎛+--βπαπ,()()01sin 6tan =-+++βπαπ,则αsin 的值是（ ）A ．553 B ．773 C ．10103 D ．31 【答案】C4 ．（浙江省五校2013届高三上学期第一次联考数学（理）试题）已知α∈(2π,π),sin α=53,则tan(4πα-)等于（ ）A ．-7B ．-71 C ．7 D ．71 【答案】（ ）A ．5 ．（浙江省宁波一中2013届高三12月月考数学（理）试题）若1sin()34πα-=,则cos(2)3πα+=（ ）A ．78-B ．14-C ．14D ．78【答案】A 6 ．（浙江省宁波市金兰合作组织2013届高三上学期期中联考数学（理）试题）函数()sin cos()6f x x x π=-+的值域为（ ）A ．[]2,2-B ．⎡⎣C ．[]1,1-D ．⎡⎢⎣【答案】B7 ．（浙江省嘉兴市2013届高三上学期基础测试数学（理）试题）已知,αβ是锐角,且a≠45∥,若cos(α-β)=sin(α+β),则tan β等于（ ）A ．2B ．1C D 【答案】B 8 ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））已知210cos 2sin ,=+∈αααR ,则=α2tan （ ）A ．34 B ．43 C ．43-D ．34-【答案】C 9 ．（浙江省“六市六校”联盟2013届高三下学期第一次联考数学（理）试题）已知α为第二象限角,33cos sin =+αα,则=α2cos （ ）A ．35 B ．95-C ．95 D ．35-【答案】D10．（浙江省嘉兴市2013届高三第二次模拟考试理科数学试卷）函数x x y 2sin 2cos +=,R ∈x 的值域是（ ）A ．]1,0[B ．]1,21[C ．]2,1[-D ．]2,0[【答案】A; 11．（浙江省温岭中学2013届高三高考提优冲刺考试（五）数学（理）试题）已知α是终边在第四象限的角,cos α=54,则tan2α等于 （ ）A ．247B ．247-C ．724D ．724- 【答案】D 提示 由cos α=54,得sin α=53-,所以tan α=43-,由正切倍角公式即可得.二、填空题12．（浙江省黄岩中学2013年高三5月适应性考试数学(理)试卷 ）若2tan =α,则=+-ααααcos 2sin cos sin 2________.【答案】4313．（浙江省重点中学2013届高三上学期期中联谊数学（理）试题）已知sin()2sin()2ππαα-=-+,则=αtan __________;【答案】2-14．（浙江省杭州市2013届高三第二次教学质检检测数学（理）试题）已知2cos ()3x x R =?,则cos()3x p-=__________________. 【答案】61531±. 15．（浙江省十校联合体2013届高三上学期期初联考数学（理）试题）已知α为第三象限的角,3cos 25α=-,则tan(2)4πα+= _______________. 【答案】-1/7;16．（浙江省建人高复2013届高三第五次月考数学（理）试题）若)2,0(πα∈,且2cos α+1sin(2)22πα+=,则tan α=______.【答案】117．（浙江省五校联盟2013届高三下学期第二次联考数学（理）试题）已知[,],s i n 2παπα∈=,则sin 2α=_______.【答案】18．（浙江省永康市2013年高考适应性考试数学理试题 ）若)2sin(3)6sin(αππα-=+,则=α2tan ____;【答案】 19．（浙江省宁波市金兰合作组织2013届高三上学期期中联考数学（理）试题）设α为锐角,若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则)122sin(π+a 的值为______.【答案】5020．（浙江省杭州市2013届高三上学期期中七校联考数学（理）试题）已知3(0,),cos()245ππαα∈+=,则cos cos2αα=__.。
【新教材】高中数学新教材人教A版选择性必修培优练习：专题05 直线的倾斜角与斜率(学生版+解析版)
专题05 直线的倾斜角与斜率一、单选题1．（2020·四川省高二期末（理））直线x =( ) A ．30B ．45C ．60D ．902．（2019·四川省仁寿一中高二期中（文））若直线1x =的倾斜角为α，则α=（ ） A ．0B ．3πC ．2π D ．π3．（2020·江苏省丹徒高中高一开学考试）直线10x y ++=的倾斜角为（ ）A ．4πB ．34π C ．54π D ．2π 4．（2019·江苏省扬州中学高一期中）如果()3,1A 、()2,B k -、()8,11C 在同一直线上，那么k 的值是( ) A ．-6B ．-7C ．-8D ．-95．（2019·山东省高二期中）若直线过点(2,4)，(1,4+，则此直线的倾斜角是（ ） A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒6．（2019·浙江省高三期中）以下哪个点在倾斜角为45°且过点（1，2）的直线上（ ） A ．（﹣2，3）B ．（0，1）C ．（3，3）D ．（3，2）7．（2020·四川省高二期末（理））已知一直线经过两点(2,4)A ，(,5)B a ，且倾斜角为135°，则a 的值为（ ） A ．-1B ．-2C ．2D ．18．（2019·浙江省高二期中）直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π) B ．3[0,][,)44πππ⋃ C ．[0,]4πD ．[0,][,)42πππ⋃9．（2019·内蒙古自治区高二期末（文））已知直线l 的倾斜角为α，若tan 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭α=（ ）A ．0B ．2π C ．56π D ．π10．（2019·浙江省镇海中学高一期末）已知直线倾斜角的范围是,32ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦，则此直线的斜率的取值范围是（ ） A．⎡⎣B．(,-∞)+∞ C．⎡⎢⎣⎦D．,⎛-∞ ⎝⎦⎫+∞⎪⎪⎣⎭二、多选题11．（2020·吴江汾湖高级中学高一月考）下列说法中正确的是( ) A ．若α是直线l 的倾斜角，则0180α≤< B ．若k 是直线l 的斜率，则k ∈RC ．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D ．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角12．（2020·江苏省苏州实验中学高一月考）有下列命题：其中错误的是（ ） A ．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应； B ．若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应； C ．坐标平面上所有的直线都有倾斜角； D ．坐标平面上所有的直线都有斜率．13．（2018·全国单元测试）已知直线1:10l x y --=，动直线2:(1)0()l k x ky k k R +++=∈，则下列结论错误．．的是（ ） A ．不存在k ，使得2l 的倾斜角为90° B ．对任意的k ，1l 与2l 都有公共点 C ．对任意的k ，1l 与2l 都不．重合 D ．对任意的k ，1l 与2l 都不垂直．．．三、填空题14．（2019·银川唐徕回民中学高三月考（理））已知点P (1)，点Q 在y 轴上，直线PQ 的倾斜角为120°，则点Q 的坐标为_____．15．（2020·浙江省温州中学高三月考）平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围为______，一条直线可能经过______个象限.16．（2019·浙江省效实中学高一期中）若直线斜率k ∈(－1,1)，则直线倾斜角α∈________.17．（2018·山西省山西大附中高二期中（文））已知直线l 经过点()1,0P 且与以()2,1A ，()3,2B -为端点的线段AB 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围为____． 四、解答题18．（2019·全国高一课时练习）已知点()1,2A ，在y 轴上求一点P ，使直线AP 的倾斜角为120︒． 19．（2019·全国高一课时练习）点(,)M x y 在函数28y x =-+的图像上，当[2,5]x ∈时，求11y x ++的取值范围.20．（2020·广东省恒大足球学校高三期末）已知直线l ：320x y +-=的倾斜角为角α. （1）求tan α；（2）求sin α，cos2α的值.21．（上海市七宝中学高二期中）已知直线l 的方程为320x my -+=，其倾斜角为α. （1）写出α关于m 的函数解析式； （2）若3,34ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求m 的取值范围.22．（2019·全国高一课时练习）经过点(0,1)P -作直线l ，若直线l 与连接(1,2)(2,1)A B -、的线段总有公共点.（1）求直线l 斜率k 的范围； （2）直线l 倾斜角α的范围；23．（上海位育中学高二期中）直角坐标系xOy 中，点A 坐标为(-2,0)，点B 坐标为(4,3)，点C 坐标为(1,-3)，且AM t AB =（t ∈R ）.(1) 若CM ⊥AB ，求t 的值；(2) 当0≤ t ≤1时，求直线CM 的斜率k 和倾斜角θ的取值范围.专题05 直线的倾斜角与斜率一、单选题1．（2020·四川省高二期末（理））直线x =( ) A ．30 B ．45C ．60D ．90【答案】D 【解析】直线x ∴其倾斜角为90. 故选：D .2．（2019·四川省仁寿一中高二期中（文））若直线1x =的倾斜角为α，则α=（ ） A ．0 B ．3πC ．2π D ．π【答案】C 【解析】直线1x =与x 轴垂直，故倾斜角为2π. 故选：C.3．（2020·江苏省丹徒高中高一开学考试）直线10x y ++=的倾斜角为（ ） A ．4π B ．34π C ．54π D ．2π 【答案】B 【解析】由题意，直线10x y ++=的斜率为1k =- 故3tan 14k παα==-∴= 故选:B4．（2019·江苏省扬州中学高一期中）如果()3,1A 、()2,B k -、()8,11C 在同一直线上，那么k 的值是( ) A ．-6 B ．-7C ．-8D ．-9【答案】D 【解析】(3,1)A 、(2,)B k -、(8,11)C 三点在同一条直线上，∴直线AB 和直线AC 的斜率相等， ∴11112383k --=---，解得9k =-．故选：D ．5．（2019·山东省高二期中）若直线过点(2,4)，(1,4+，则此直线的倾斜角是（ ） A ．30︒ B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】C 【解析】由题意知，直线的斜率k =即直线的倾斜角α满足tan α=， 又0180α︒︒≤<，120α︒∴=，故选：C6．（2019·浙江省高三期中）以下哪个点在倾斜角为45°且过点（1，2）的直线上（ ） A ．（﹣2，3） B ．（0，1）C ．（3，3）D ．（3，2）【答案】B 【解析】由直线的倾斜角为45°，则直线的斜率为tan 451k ==，则过点()2,3-与点（1，2）的直线的斜率为321213-=---，显然点()2,3-不满足题意；过点()0,1与点（1，2）的直线的斜率为12101-=-，显然点()0,1满足题意； 过点()3,3与点（1，2）的直线的斜率为321312-=-，显然点()3,3不满足题意； 过点()3,2与点（1，2）的直线的斜率为22031-=-，显然点()2,3-不满足题意； 即点()0,1在倾斜角为45°且过点（1，2）的直线上， 故选：B.7．（2020·四川省高二期末（理））已知一直线经过两点(2,4)A ，(,5)B a ，且倾斜角为135°，则a 的值为（ ）A ．-1B ．-2C ．2D ．1【答案】D 【解析】由直线斜率的定义知,tan1351AB k ==-, 由直线的斜率公式可得,542AB k a -=-， 所以5412a -=--,解得1a =. 故选:D8．（2019·浙江省高二期中）直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π) B ．3[0,][,)44πππ⋃ C ．[0,]4πD ．[0,][,)42πππ⋃ 【答案】B 【解析】直线xsinα+y +2＝0的斜率为k ＝﹣sinα， ∵﹣1≤sinα≤1，∴﹣1≤k ≤1 ∴倾斜角的取值范围是[0，4π]∪[34π，π） 故选：B ．9．（2019·内蒙古自治区高二期末（文））已知直线l 的倾斜角为α，若tan 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭α=（ ） A ．0 B ．2π C ．56π D ．π【答案】A 【解析】tan 3πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭tan 0α=，0απ≤<，0α∴=.故选:A10．（2019·浙江省镇海中学高一期末）已知直线倾斜角的范围是,32ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦，则此直线的斜率的取值范围是（ ） A．⎡⎣B．(,-∞)+∞ C．,33⎡-⎢⎣⎦D．,3⎛-∞-⎝⎦3⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭【答案】B 【解析】因为直线倾斜角的范围是,32ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭2,23ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦,又直线的斜率tan k α=,,32ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦.故tan tan3πα≥=2tan tan3πα≤=故(,k ∈-∞)+∞. 故选：B 二、多选题11．（2020·吴江汾湖高级中学高一月考）下列说法中正确的是( ) A ．若α是直线l 的倾斜角，则0180α≤< B ．若k 是直线l 的斜率，则k ∈RC ．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D ．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 【答案】ABC 【解析】A. 若α是直线l 的倾斜角，则0180α≤<,是正确的；B. 若k 是直线l 的斜率，则tan k α=∈R ，是正确的；C. 任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率，倾斜角为90°的直线没有斜率，是正确的；D. 任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角，是错误的，倾斜角为90°的直线没有斜率. 故选：ABC12．（2020·江苏省苏州实验中学高一月考）有下列命题：其中错误的是（ ） A ．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应； B ．若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应； C ．坐标平面上所有的直线都有倾斜角；D ．坐标平面上所有的直线都有斜率． 【答案】BD 【解析】任何一条直线都有倾斜角，但不是任何一条直线都有斜率 当倾斜角为90︒时，斜率不存在 故选：BD13．（2018·全国单元测试）已知直线1:10l x y --=，动直线2:(1)0()l k x ky k k R +++=∈，则下列结论错误．．的是（ ） A ．不存在k ，使得2l 的倾斜角为90° B ．对任意的k ，1l 与2l 都有公共点 C ．对任意的k ，1l 与2l 都不．重合 D ．对任意的k ，1l 与2l 都不垂直．．．【答案】AC 【解析】逐一考查所给的选项：A .存在0k =，使得2l 的方程为0x =，其倾斜角为90°，故选项不正确．B 直线1:10l x y --=过定点()0,1-，直线()()()2:1010l k x ky k k R k x y x +++=∈⇒+++=过定点()0,1-，故B 是正确的．C .当12x =-时，直线2l 的方程为1110222x y --=，即10x y --=，1l 与2l 都重合，选项C 错误；D .两直线重合，则：()()1110k k ⨯++-⨯=，方程无解，故对任意的k ，1l 与2l 都不垂直，选项D 正确． 故选：AC. 三、填空题14．（2019·银川唐徕回民中学高三月考（理））已知点P (1)，点Q 在y 轴上，直线PQ 的倾斜角为120°，则点Q 的坐标为_____． 【答案】(0，－2) 【解析】因为Q 在y 轴上，所以可设Q 点坐标为()0,y ，又因为tan120︒==2y =-，因此()0,2Q -，故答案为()0,2-.15．（2020·浙江省温州中学高三月考）平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围为______，一条直线可能经过______个象限. 【答案】0, 0，2，3【解析】平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围为[)0,π，一条直线可能经过2个象限，如过原点，或平行于坐标轴； 也可能经过3个象限，如与坐标轴不平行且不过原点时； 也可能不经过任何象限，如坐标轴； 所以一条直线可能经过0或2或3个象限． 故答案为：[)0,π，0或2或3．16．（2019·浙江省效实中学高一期中）若直线斜率k ∈(－1,1)，则直线倾斜角α∈________. 【答案】[0°，45°)∪(135°，180°) 【解析】直线的斜率为负时，斜率也随着倾斜角的增大而增大由于斜率有正也有负，且直线的斜率为正时，斜率随着倾斜角的增大而增大，故α∈(0°，45°)；又直线的斜率为负时，斜率也随着倾斜角的增大而增大，故α∈(135°，180°)；斜率为0时，α＝0°.所以α∈[0°，45°)∪(135°，180°) 故答案为[0°，45°)∪(135°，180°) 17．（2018·山西省山西大附中高二期中（文））已知直线l 经过点()1,0P 且与以()2,1A ，()3,2B -为端点的线段AB 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围为____． 【答案】3[0,][,)44πππ 【解析】当直线l 过B 时，设直线l 的倾斜角为α，则3tan 14παα=-⇒=当直线l 过A 时，设直线l 的倾斜角为β，则tan 14πββ=⇒=综合：直线l 经过点()P 1,0且与以()A 2,1，()B 3,2-为端点的线段AB 有公共点时，直线l 的倾斜角的取值范围为][30,,44πππ⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭四、解答题18．（2019·全国高一课时练习）已知点()1,2A ，在y 轴上求一点P ，使直线AP 的倾斜角为120︒．【答案】(0,2P 【解析】设(0,)P y ，201PA y k -=-，tan120︒∴＝201y --，2y ∴=P ∴点坐标为(0,2.19．（2019·全国高一课时练习）点(,)M x y 在函数28y x =-+的图像上，当[2,5]x ∈时，求11y x ++的取值范围. 【答案】15,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】1(1)1(1)y y x x +--=+--的几何意义是过(,),(1,1)M x y N --两点的直线的斜率，点M 在线段28,[2,5]y x x =-+∈上运动，易知当2x =时，4y =，此时(2,4)M 与(1,1)N --两项连线的斜率最大，为53； 当5x =时，2y =-，此时(5,2)M -与(1,1)N --两点连线的斜率最小，为16-.115613y x +∴-+,即HF 的取值范围为15,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦20．（2020·广东省恒大足球学校高三期末）已知直线l ：320x y +-=的倾斜角为角α.（1）求tan α；（2）求sin α，cos2α的值.【答案】（1）13-；（2）10；45 【解析】（1）因为直线320x y +-=的斜率为13-，且直线的倾斜角为角α， 所以1tan 3α=- （2）由（1）知1tan 3α=-， 22sin 1tan cos 3sin cos 1ααααα⎧==-⎪∴⎨⎪+=⎩解得sin 10cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩sin 10cos αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩224cos 22cos 1215αα⎛∴=-=⨯-= ⎝⎭21．（上海市七宝中学高二期中）已知直线l 的方程为320x my -+=，其倾斜角为α.（1）写出α关于m 的函数解析式；（2）若3,34ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求m 的取值范围. 【答案】（1）3arctan ,0,023arctan ,0m m m m m παπ⎧>⎪⎪⎪==⎨⎪⎪+<⎪⎩；（2）3,3m .【解析】（1）直线l 的方程为320x my -+=，其倾斜角为α，当0m =时，2πα=当0m >时，则斜率3tan k m α==，3arctan m α=， 当0m <时，则斜率3tan k m α==，3arctan mαπ=+， 所以3arctan ,0,023arctan ,0m m m m m παπ⎧>⎪⎪⎪==⎨⎪⎪+<⎪⎩； （2）当,32ππα时，33,,0,3k m m ，当2πα=时，0m =， 当3,24ππα时，3,1,3,0k m m ， 综上所述：3,3m .22．（2019·全国高一课时练习）经过点(0,1)P -作直线l ，若直线l 与连接(1,2)(2,1)A B -、的线段总有公共点.（1）求直线l 斜率k 的范围；（2）直线l 倾斜角α的范围；【答案】（1）11k -≤≤（2）3044ππααπ≤≤≤<或 【解析】（1）2(1)110pA k --==-- 1(1)120pB k --==- l 与线段AB 相交pA pB k k k ∴≤≤11k ∴-≤≤（2）由（1）知0tan 11tan 0αα≤≤-≤<或由于tan 0,2y x π⎡⎫=⎪⎢⎣⎭在及(,0)2π-均为减函数3044ππααπ∴≤≤≤<或 23．（上海位育中学高二期中）直角坐标系xOy 中，点A 坐标为(-2,0)，点B 坐标为(4,3)，点C 坐标为(1,-3)，且AM t AB =（t ∈R ）.(1) 若CM ⊥AB ，求t 的值；(2) 当0≤ t ≤1时，求直线CM 的斜率k 和倾斜角θ的取值范围.【答案】(1) 15t =；(2) k ∈(-∞.,-1]⋃[2,+∞]，3[arctan 2,]4πθ∈ 【解析】(1)由题意可得()42,30(6,3)AB =+-=，(6,3)AM t AB t t ==， ()12,30(3,3)AC =+--=-，所以(63,33)CM AM AC t t =-=-+， ∵CM AB ⊥，则CM AB ⊥，∴()()6633334590CM AB t t t ⋅=-++=-=， ∴解得15t =； (2)由01t ≤≤，AM t AB =，可得点M 在线段AB 上，由题中A 、B 、C 点坐标，可得经过A 、C 两点的直线的斜率11k =-，对应的倾斜角为34π，经过C 、B 两点的直线的斜率22k =，对应的倾斜角为2arctan ,则由图像可知(如图所示)，直线CM 的斜率k 的取值范围为：1k ≤-或2k ≥，倾斜角的范围为：3[arctan 2,]4πθ∈.。
浙江省长兴中学2013届高三数学5月仿真考试题 理 新人教A版
2013届高三全真模拟考试试题卷数学（理科）本试卷分第I 卷和第II 卷两部分．考试时间120分钟，满分150分．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上． 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式24πS R =()()()P A B P A P B +=+球的体积公式34π3V R = 如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径)()()(B P A P AB P =棱柱的体积公式 V=Sh如果事件A 在一次试验中发生的概率是p 棱锥的体积公式 V=31Sh 那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率： 棱台的体积公式：()(1)(01,2)k kn k n n P k C P P k n -=-=，，， V=31h （2211S S S S ++）第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合B A x y x B x y y A 则},1|{},|{2-====1（ ）A ．(]1,∞-B ．]1,1[-C ．[0，1]D ．[)∞-,12．设复数1234,z i z t i =+=+且12,z z R ⋅∈则实数t 等于（ ）A ．43B ．34 C ． －43 D ．－343. 不等式21π<<x 成立是不等式0tan )1(>-x x 成立的 ( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .非充分非必要条件4．已知(n x 的展开式中所有项的二项式系数之和为64，则展开式中含3x 项的系数是（ ）A .154 B. 52 C .154- D . 52- 5．设α是空间中的一个平面，,,l m n 是三条不同的直线，①若,,,,m n l m l n l ααα⊂⊂⊥⊥⊥则； ②若//,//,,;l m m n l n αα⊥⊥则③若//,,l m m n αα⊥⊥，则n l // ④若,,,//m n l n l m αα⊂⊥⊥则；则上述命题中正确的是 （ ） A ．①② B ．①④ C ．③④ D ．②③ 6．如果执行右面的程序框图，那么输出的t =（ ） A ．96 B ．120 C ．144 D ．300 7. 从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复 数字的三位数，其中奇数的个数为（ ）A .24B .18C .12D .6 8．如右图所示，,,A B C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与 线段AB 交于圆内一点D ,若OC xOA yOB =+，则（ ）A ．01x y <+<B ．1x y +>C ．1x y +<-D ．10x y -<+<9. 已知双曲线(>0)mx y m -=221的右顶点为A ，若该双曲线 右支上存在两点,B C 使得ABC ∆为等腰直角三角形，则该双曲线 的离心率e 的取值范围是 ( )A ．(1,2)B ．(1,2)C ．(1,3)D ．(1,3)10. 已知c b a ,,满足0≠a 且,0,=++≥≥c b a c b a 则函数c bx ax x f ++=2)(截x 轴所得到的弦长的取值范围为（ ）]2,21.[A ]3,23.[B ]3,26.[C ]9,49.[D 第II 卷 (共100分)二、 填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分。
浙江省嘉兴市高三地理学科基础测试试题新人教版
1 / 4嘉兴市学科基础测试地理试题卷（11月）考生须知：1．本测试分为试题卷和答题卷。
试题卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共100分。
2．采用标准化答题卡的考生将选择题的答案填在标准化答题卡上，不采用标准化答题卡的考生将选择题的答案填在答题卷相应的空格内，填在试卷上无效。
第I 卷（选择题 共50分）一、本卷共25小题，每小题2分，共计50分。
在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
近些年来台湾游很火爆。
翠玉白菜（图1）是用翡翠雕刻成的工艺 品，它是台北故宫博物馆的镇馆之宝。
翡翠是在低温、极高压力条件下 （岩层强烈挤压）重新结晶形成的。
据此回答1～2题。
1．这块翠玉白菜工艺品属于 A ．喷出岩 B ．侵入岩 C ．沉积岩 D ．变质岩 2．下列说法正确的是 A ．阿里山、日月潭目前不是世界遗产 B ．翠玉白菜中因有一颗白菜化石故名 C ．翡翠的硬度等级一般要比滑石低 D ．翡翠矿床分布的区域地壳稳定图2为我国某处园林景观素描图。
读图回答3～4题。
3．对当地的自然环境，推测正确的是A ．风沙漫天B ．温暖湿润C ．结冰期长D ．多针叶林 4．与图2描绘的园林风格同属一类的是A ．北京故宫B ．印度泰姬陵C ．苏州拙政园D ．西藏布达拉宫5．图3是芬兰历史上三个阶段人口自然增长率、死亡率变化状况图。
下列对芬兰人口变化状况的分析，正确的是 A ．自然增长率一直在下降 B ．死亡率呈波动上升 C ．从乙阶段进入了现代型D ．出生率一直在下降 在智利北部一个距海岸仅0.5公里的 山坡上，有一张长12米、宽4米的大网，下方有水槽可以把网上流下的水引向一个蓄水池（图4）。
据此回答6～7题。
6．当地居民利用此设施收集的水资源是 A ．积雪融水 B ．冰川融水 C ．雾气 D ．雨水 7．此地该种水资源非常丰富，与其影响因素关系不大．．的是 A ．海风 B ．下垫面状况 C ．山地冰雪 D ．洋流读非洲马达加斯加岛上某东西延伸的地质、地形剖 面图（图5），回答8～9题。
浙江省金华一中高三数学上学期10月月考试题 理 新人教A版
2012-2013学年浙江省金华一中高三（上）10月月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知函数的定义域为M，g（x）=ln（1+x）的定义域为N，则的定义域为2．（5分）““”是“不等式”成立的（），可得所以由“一定在“””．”是“不等式”成立的必要不充分条件．3．（5分）（2012•鹰潭模拟）设tanα=，则sinα﹣cosα的值（）==，﹣﹣﹣（﹣）+．n n5128×（×（5．（5分）（2012•黑龙江）已知ω＞0，函数在上，．6．（5分）（2012•山东）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=3x﹣y的取，，7．（5分）（2010•莒县模拟）已知函数f（x）=，则函数y=f（1﹣x）的8．（5分）不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣2，1），则不等式ax2+（a+b）x+c﹣a＜0的解﹣）×1=9．（5分）已知定义域为R的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x+2），当x＞1时，f（x）单12121210．（5分）已知O是锐角三角形ABC的外接圆的圆心，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A=，若，则m，的值为（）一点，则=+，代入A==+可得：=+=），=+，是解答的关键．二、填空题：（本大题共7小题，每小题4分，共28分．）11．（4分）已知数列{a n}满足a m•n=a m•a n（m，n∈N*），且a2=3，则a8= 27 ．12．（4分）若tanθ+=4，则sin2θ= ．=4===，13．（4分）（2009•江西）已知向量=（3，1），=（1，3），=（k，7），若（）∥，则k= 5 ．，=）∥，14．（4分）（2013•奉贤区一模）已知x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是﹣4＜m＜2 ．）展开后利用基本不等式求得其最小值，）=4++≥4+215．（4分）若平面向量满足：||≤3，则的最大值是．+4≤9，再利用基本不等式求得9≥4≥8，由此可得满足：||≤3，∴+4+2=4≥8，故，16．（4分）已知在函数的曲线上存在唯一点P（x0，y0），过点P作曲线的切线l与曲线有且只有一个公共点P，则切线l的斜率k= 9 ．），切线方程为17．（4分）（2012•丰台区二模）在平面直角坐标系中，若点A，B同时满足：①点A，B都在函数y=f（x）图象上；②点A，B关于原点对称，则称点对（A，B）是函数y=f（x）的一个“姐妹点对”（规定点对（A，B）与点对（B，A）是同一个“姐妹点对”）．那么函数的“姐妹点对”的个数为 1 ；当函数g（x）=a x﹣x﹣a有“姐妹点对”时，a的取值范围是a＞1 ．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（2012•蓝山县模拟）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且acosC+c=b．18．（13分）（1）求角A的大小；（2）若a=1，求△ABC的周长l的取值范围．2RsinAcosC+cosA=l=1+））∵accosC+2RsinAcosC+sinC=sinBsinC=cosAsinC=，，（（sinB+），∴B，∴B+，）19．（14分）等差数列{a n}是递增数列，前n项和为S n，且a1，a3，a9成等比数列，S5=a52．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=，求数列{b n}的前99项的和．+，．+）×=n=﹣（﹣﹣））=20．（15分）（2010•江西模拟）已知△ABC的周长为6，角A，B，C所对的边a，b，c成等比数列．（1）求角B及边b的最大值．（2）设△ABC的面积为s，求s+的最大值．，．，从而，时它有最大值21．（15分）设函数（I）当a=b=时，求函数f（x）的单调区间；（II）令＜x≤3），其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围；（III）当a=0，b=﹣1时，方程f（x）=mx在区间[1，e2]内有唯一实数解，求实数m的取值范围．k≤恒成立，知导函数≤恒成立，再转化为所以a≥（﹣有唯一实数解，再利用单a=b=x x﹣==lnx+=≤a≥（﹣，时，﹣x．所以a≥．．=1+=1+=1+m=1+．22．（15分）已知函数．（Ⅰ）求证：存在定点M，使得函数f（x）图象上任意一点P关于M点对称的点Q也在函数f（x）的图象上，并求出点M的坐标；（Ⅱ）定义，其中n∈N*且n≥2，求S2011；（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的S n，求证：对于任意n∈N*都有．，．，使得函数时，由（Ⅱ）知等价于．…（，则成立，取。
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2012年高中学科基础测试理科数学 试题卷一选择题（本大题共同10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的） 1． 设全集U=R ，集合[)(,1)(1,),1,A B =-∞-+∞=-+∞，则下列关系正确的是：A ．B A ⊆ B ．U AC B ⊆ C ．()U C A B B = D ．A B =∅２．若a,b 都是实数，则“a-b>0”是“220a b ->”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 ３．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的s 值为 A ．26 B ．102C ．410D ．6144．已知{}n a 为等差数列，其公差为-2，且7a 是3a 与9a 的 等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和，n N *∈，则10S 的值为：A ．-110B ．-90C ．90D ．110 5.已知,αβ是锐角，且a ≠45∥,若cos(α-β)=sin(α+β), 则tan β等于 A ．2 B ．1C 6.已知不同的直线l,m,不同的平面,αβ，下命题中：①若α∥β,,l α⊂则l ∥β ②若α∥β，,;l l αβ⊥⊥则 ③若l ∥α，m α⊂，则l ∥m ④,,l m αβαββ⊥⋂=⊥若则真命题的个数有Ａ．0个 Ｂ．1个 Ｃ．2个 Ｄ．3个7.已知不等式组210y x y kx y ≤-+⎧⎪≤-⎨⎪≥⎩所表示的平面区域为面积等于14的三角形，则实数k 的值为A ．-1 B.12-C.12D.1 8.已知焦点在y 轴上的双曲线的渐近线过椭圆221416x x +=和椭圆2231164x y +=的交点，则双曲线的离心率是A.3D.29.设函数[] x 0()(1) x<0x x f x f x ⎧-≥⎪=⎨+⎪⎩其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]1.3-=-2，[]1.3=1，则函数11()44y f x x =--不同零点的个数 A. 2 B. 3 C. 4 D. 510.从正方形的8个顶点选取4个点，连接成一个四面体，则关于这个四面体的各个面，下列叙述错误的是A ．有且只有一个面是直角三角形B ．每个面可能都是等边三角形C ．每个面可能都是直角三角形D ．有且只有一个面是等边三角形 第Ⅱ卷二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分) 11．设复数11,z i =-21z i =+(i 是虚数单位)，则2111z z += 。
12．设5(2)x -的展开式中3x 的系数为A ，则A= 。
13．若某空间几何体的三视图如下图所示， 则该几何体的体积是 。
14．已知向量1a =，2b =，()a a b ⊥-，则向量a 与b 的夹角的大小是 。
15．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知1a =1，12(2)n n n a S S n -=-≥，则n S = 。
16．若44log (2)log (2)1x y x y ++-=，则x y -的最小值是 。
17．已知集合{},,,,A a b c d e =，{}1,2,3B =，定义函数:f A B →满足条件： ①函数f 的值域为B ；②f (a)≠f (b)，则满足条件的不同函数f 的个数 。
三、解答题(本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18．(本小题满分14分)已知函数()2cos(2)cos(2)133f x x x x ππ=+++--其中,06x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦(Ⅰ)求函数f(x)的周期和值域(Ⅱ)在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c,若f (B)=0,32BA BC ⋅=,且a+c=4,求边b 的长。
19．(本小题满分14分)一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设袋子中的每一个球被摸到可能性是相等的。
(Ⅰ)从袋子中任意摸出3个球，求摸出的球均为白球的概率；(Ⅱ)一次从袋子中任意摸出3个球，若其中红球的个数多于白球的个数，则称“摸球成功”(每次操作完成后将球放回)，某人连续摸了3次，记“摸球成功”的次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望。
20．(本小题满分14分)如图，1111ABCD A B C D -是棱长为1的正方体，四棱锥1111P A B C D -中，P ∈平面11DCC D，112PC PD ==。
(Ⅰ)求证：平面11PA B 平面11ABC D ；(Ⅱ)求直线1PA 与平面11ADD A 所成角的正切值。
21．(本小题满分15分)如图，11(,)A x y ，22(,)B x y 是抛物线2:2C x py =(p 为正常数，p>0)上的两个动点，直线AB 与x 轴交于点P ，与y 轴交于点Q ，且2124p y y =(Ⅰ)求证：直线AB 过抛物线C 的焦点；C1C A第20题(Ⅱ)是否存在直线AB ，使得113?PA PB PQ+=若存在，求出直线AB 的方程；若不存在，请说明理由。
22．(本小题满分15分) 已知函数()32(31)ln af x x a x x=+--+(x>0,实数a 为常数) (Ⅰ)a=4时，求函数()f x 在1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上的最小值； (Ⅱ)设1132a <<，求证：不等式：1212()()f x f x x x -<-对于任意不相等的1x ，21,3x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭都成立。
2012年高中学科基础测试 理科数学 参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分）二、填空题：本大题共7小题，每题4分，共28分 11．1；12．250-；13．8；14．3π；15．12+n ；16．3；17．114． 三、解答题（本大题共5小题,共72分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18．（Ⅰ）1)32cos()32cos(2sin 3)(--+++=ππx x x x f =1)62sin(2-+πx ． …3分周期是π，由⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈0,6πx ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈+6,662πππx ，值域是[]0,2-． …7分（Ⅱ）由01)62sin(2)(=-+=πB B f 得21)62sin(=+πx 由π<<B 0，得3π=B . …10分由23=⋅，得23cos =B ac ，得3=ac ．…12分再由余弦定理得，ac c a B ac c a b 3)(cos 22222-+=-+=7=．7=b ． …14分 19．（Ⅰ）设从袋子中任意摸出3个球, 摸出的球均为白球的概率是P .301=C C =P 31034 …4分 （Ⅱ）由一次”摸球成功”的概率32=C C C +C =P 310142636. …8分 随机变量ξ服从二项分布)2,3(B ,分布列如下 …12分2=ξE …14分20．取11C D 的中点H ，连结PH ，AH ．2511==PD PC ,111=C D ,∈P 平面11D DCC ， ∴21,111=⊥H D C D PH ，∴12121=-=H D PD PH ，∴A A D D PH 11////， A A PH 1=，∴四边形AH PA 1为平行四边形，∴AH PA //1， 又⊂AH 平面11D ABC ,⊄1PA 平面11D ABC ， ∴//1PA 平面11D ABC ．…4分在正方体ABCD 中， AB B A //11， ∴//11B A 平面11D ABC ，1111A B A PA = ，∴平面//11B PA 平面11D ABC…7分（II ）方法1以直线1,,DD DC DA 为轴轴轴，z y x ,的如图所示空间直角坐标系，令，则)1,0,1(1A ，,2,21,0⎪⎭⎫ ⎝⎛P )0,0,0(D ∴ ,1,21,11⎪⎭⎫⎝⎛--=PA…8分 ∵ =n （0，1，0）是平面11A ADD 的一个法向量…10分设直线1PA 与平面11A ADD 所成角为θ（第20题）PBDC1B A1A 1C 1D H31sin ==θ，42tan =θ ∴直线1PA 与平面11A ADD 所成角的正切值为42…14分方法2：∵AH PA //1，∴直线1PA 与平面11A ADD 所成角等于直线AH 与平面11A ADD 所成角． 正方体1111D C B A ABCD -中，显然⊥1HD 平面11A ADD ， ∴1HAD ∠就是直线AH 与平面11A ADD 所成角．…10分在1HAD Rt ∆中，211=H D ,21=AD ,42tan 111==∠AD H D HAD∴直线1PA 与平面11A ADD 所成角的正切值为42． …14分21．（Ⅰ）由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为零． 设直线AB 的方程为：b kx y += （0≠k ，0>b ）由⎩⎨⎧=+=pyx bkx y 22，得0222=--pb pkx x ． ∴⎪⎩⎪⎨⎧-==+>+=∆pb x x pk x x pb k p 22084212122， …4分∴2222121214)2(22b ppb p x p x y y =-=⋅=． ∵4221p y y =，∴422p b =，∵0>b ，∴2p b =．∴直线AB 的方程为：2pkx y +=．抛物线C 的焦点坐标为)2,0(p，∴直线AB 过抛物线C 的焦点．…8分 （Ⅱ）假设存在直线AB ，使得||3||1||1PQ PB PA =+, 即3||||||||=+PB PQ PA PQ ． 作x AA ⊥/轴，x BB ⊥/轴,垂足为/A 、/B ，∴ 212121//222||||||||||||||||y y y y p y py p BB OQ AA OQ PB PQ PA PQ +⋅=+=+=+ …11分∵p pk p x x k y y +=++=+221212)(，4221p y y =∴||||||||PB PQ PA PQ +=42222pp pk p +⋅=242+k ． …15分由3242=+k ，得21±=k ． 故存在直线AB ，使得||3||1||1PQ PB PA =+．直线AB 方程为221p x y +±=． …15分22．（Ⅰ）4=a 时，()222'41331343x x x x x x f +-=-+=2)4)(13(xx x --=， …2分 ),4,31(∈x 0)('<x f ，),4(+∞∈x ，0)('>x f ，即)(x f 在),4,31(上单调递减，在),4(+∞单调递增 …4分在区间⎪⎭⎫⎝⎛+∞,31上，当时，4=x )(x f 有最小值=)4(f .2ln 2613- …6分（Ⅱ）当,2131<<a ()222')13(3133x a x a x x a x a x f ++-=+-+= =2))(13(xa x x --， )(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛a ,31单调递减，不妨设21x x <，则当⎪⎭⎫⎝⎛∈a x x ,31,21时)()(21x f x f >，故不等式2121)()(x x x f x f -<-等价于2211)()(x x f x x f +<+ …10分 令函数x x f x g +=)()(，则1)()(''+=x f x g =222)13(4134xax a x x a x a ++-=+-+ 再令=)(x h a x a x ++-)13(42，对称轴)21(31813<<+=a a x 由于，,091)31(>=h 0)(2>=a a h ，从而0)(>x h 当⎪⎭⎫⎝⎛∈a x ,31时恒成立， 即0)('>x g 当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈a x ,31时恒成立，所以)(x g 在⎪⎭⎫⎝⎛a ,31为增函数，所以2211)()(x x f x x f +<+从而对于任意的⎪⎭⎫⎝⎛∈a x x ,31,21,都有不等式2121)()(x x x f x f -<- …15分。