【配套K12】2018版高中数学第三章指数函数对数函数和幂函数3.4.2函数模型及其应用学业分层测评
2018版高中数学第三章指数函数和对数函数3.2指数扩充及其运算性质学案北师大版
3.2 指数扩充及其运算性质1. 理解分数指数幂的概念，会进行分数指数幂与根式的互化．(重点)2. 了解无理数指数幂的概念，了解无理数指数幂可以用实数指数幂逼近的思想方法．(易混点)3. 掌握指数的运算性质，能熟练地进行指数的运算．(重难点)[基础·初探]教材整理 1 分数指数幂阅读教材P 64～P 66的有关内容，完成下列问题． 1. 定义给定正实数a ，对于任意给定的正整数m ，n (m ，n 互素)，存在唯一的正实数b ，使得b n ＝a m ，把b 叫作a 的mn次幂，记作b ＝nm a，它就是分数指数幂．2. 几个结论(1)正分数指数幂的根式形式：nm a＝na m(a >0)．(2)负分数指数幂的意义：nm a＝nm a1(a >0，m ，n ∈N ＋，且n >1)．(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 322表示23个2相乘．( )(2)nm a＝ma n(a >0，m ，n ∈N ＋，且n >1)．( )(3) nma-＝1na m(a >0，m ，n ∈N ＋，且n >1)．( )【答案】 (1)× (2)× (3)√ 教材整理 2 指数运算的性质阅读教材P 66～P 67的有关内容，完成下列问题． 若a >0，b >0，对任意实数m ，n 指数运算有以下性质： (1)a m·a n＝am ＋n；(2)(a m )n ＝n m a -；(3)(ab )n ＝a n b n；(4)当a ≠0时，有am an ＝⎩⎪⎨⎪⎧a m －nm >n ，1m ＝n ，a －n －m m <n ；(5)⎝ ⎛⎭⎪⎫a b n ＝anbn (b ≠0)．31064.0-＋160.75＋2125.0-＝________.【解析】 原式＝31-[(0.4)3]＋43[(24)]＋21[(0.5)2]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25－1＋23＋12＝52＋8＋12＝11. 【答案】 11[小组合作型](1)3a ·4a ；(2)a a a ；(3)3a 2·a 3；(4)(3a )2·ab 3.【精彩点拨】 利用根式与分数指数幂的转化式子：nm a＝na m和nm a＝nm a1＝1na m进行转化，注意其中字母a 要使式子有意义．【尝试解答】 (1)原式＝31a·41a＝127a；(2)原式＝21a·41a·81a＝87a；(3)原式＝32a·23a＝613a；(4)原式＝(31a)2·21a ·23b＝67a23b.根式与分数指数幂互化的关键与技巧：关键：解决根式与分数指数幂的相互转化问题的关键在于灵活应用a >0，m ，n ∈N ＋，且n 技巧：当表达式中的根号较多时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂的形式写出来，然后再利用相关的运算性质进行化简.[再练一题]1. 用分数指数幂表示下列各式． (1)3a ·6－a (a <0)； (2)3ab2ab3(a ，b >0)；(3)324)32(b (b <0)； (4)13x5x 22(x ≠0)．【解】 (1)原式＝31a·61)(a -＝31)(a --·61)(a -＝21)(a -- (a <0)；(2)原式＝＝(25a·27b)13＝65a 67b(a ，b >0)；(3)原式＝ (b <0)；(4)原式＝.计算下列各式．【精彩点拨】 (1)将负分数指数化为正分数指数，将小数指数化为分数指数； (2)将根式化为分数指数幂．意运算顺序问题.2. 计算或化简．[探究共研型]探究 1 已知21a＋21-a＝3，求a ＋a －1的值．【提示】 (21a＋21-a)2＝9，∴a ＋a －1＝7.探究 2 在探究1的条件下，求a 2＋a －2的值． 【提示】 (a ＋a －1)2＝49，∴a 2＋a －2＝47.已知32a ＋b ＝1，求9a×3b3a 的值． 【精彩点拨】 应先化成同底数幂的形式．解决此类问题的思路步骤如下：[再练一题]3. 若x >0，y >0，且x －xy －2y ＝0，求2x －xyy ＋2xy的值.【导学号：04100042】【解】 ∵x －xy －2y ＝0，x >0，y >0， ∴(x )2－xy －2(y )2＝0， ∴(x ＋y )(x －2y )＝0， 由x >0，y >0得x ＋y >0， ∴x －2y ＝0，∴x ＝4y ， ∴2x －xy y ＋2xy ＝8y －2y y ＋4y ＝65.1. 下列各式正确的是( ) A ．(3a )3＝aB ．(47)4＝－7C ．(5a )5＝|a | D.6a 6＝a【解析】 (47)4＝7，(3a )3＝a ，(5a )5＝a ，6a 6＝|a |，故选A. 【答案】 A2. 计算51)2431(的结果等于( )A.19B.13 C ．±13D ．－13【解析】51)2431(＝＝13. 【答案】 B3. (1)3a 5＝________. (2)32-a＝________.【解析】 (1)3a 5＝35a.(2) 32-a＝321a＝13a2. 【答案】 (1)35a(2)13a 24. 3227－2116-－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2－32)278(-＝________. 【导学号：04100043】【答案】5 25. 化简：．【解】原式＝。
高中数学 第三章 指数函数、对数函数和幂函数 3.2.2 对数函数(第1课时)对数函数的概念、图象与
2018版高中数学第三章指数函数、对数函数和幂函数3.2.2 对数函数（第1课时）对数函数的概念、图象与性质学案苏教版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高中数学第三章指数函数、对数函数和幂函数3.2.2 对数函数（第1课时）对数函数的概念、图象与性质学案苏教版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3．2。
2 对数函数第1课时对数函数的概念、图象与性质1．理解对数函数的概念．2．掌握对数函数的图象和性质．(重点）3．能够运用对数函数的图象和性质解题．（重点）4．了解同底的对数函数与指数函数互为反函数．（难点)[基础·初探］教材整理1 对数函数的概念阅读教材P81“对数函数”至P81思考，完成下列问题．对数函数的概念一般地，函数y＝log a x（a〉0，a≠1)叫做对数函数，它的定义域是(0，＋∞）．1．函数y＝(a2－4a＋4）log a x是对数函数,则a＝________.【解析】由a2－4a＋4＝1，解得a＝1或a＝3。
∵a＞0且a≠1，∴a＝3.【答案】32．对数函数f (x）的图象过点（4，2），则f （8)＝________.【解析】设f (x)＝log a x，则log a 4＝2,∴a2＝4，∴a＝2，∴f (8)＝log2 8＝3。
【答案】3教材整理2 对数函数的图象与性质阅读教材P81“思考"～P84例2，完成下列问题．1．对数函数的图象和性质a>10<a〈1图象续表a〉10<a〈1性质定义域：(0，＋∞)值域：R图象过定点（1，0)在(0,＋∞)上是单调增函数在(0，＋∞)上是单调减函数2。
【K12教育学习资料】高中数学第三章指数函数对数函数和幂函数3.2
【K12教育学习资料】高中数学第三章指数函数对数函数和幂函数3.2教育是最好的老师，小学初中高中资料汇集专注专业学习坚持不懈勇攀高峰1 3.2.2 对数函数自主广场我夯基我达标1.如下图，当a ＞1时，在同一坐标系中，函数y=a -x 与y=log a x 的图象是( )思路解析：首先把y=a -x 化为y=(a 1)x ，∵a ＞1，∴0＜a 1＜1.因此y=(a1)x ，即y=a -x 的图象是下降的，y=log a x 的图象是上升的. 答案:A 2.y=21log (x 2-3x+2)的递增区间是( ) A.(-∞，1) B.(2，+∞) C.(-∞，23) D.(23，+∞)思路解析：首先考虑对数函数的定义域，再利用对数函数的性质.答案:A3.已知函数f(x)=lg(x 2-3x+2)的定义域为F ，函数g(x)=lg(x-1)+lg(x-2)的定义域为G ，那么( ) A.G F B.G=F C.F ?G D.F∩G=? 思路解析：F={x|x 2-3x+20}={x|x2或x1}，G={x|x2}.∴G F.答案:A4.已知函数f(x)=log 2(x 2-ax+3a)在［2，+∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A.（-∞，4）B.（-4，4]C.（-∞，-4）∪［2，+∞)D.［-4，4)思路解析:解决复合函数问题的通法是把复合函数化归为基本初等函数. 令u （x ）=x 2-ax+3a ，其对称轴x=2a .由题意有?????≤+-=.22 ,0324)2(a a a u 解得-4a≤4. 答案:B5.若定义在(-1，0)上的函数f(x)=log 2a(x+1)满足f(x)0，则a 的取值范围是( ) A.(0,21) B.(0,21] C.(21,+∞) D.(0,+∞) 思路解析：本题考查对数函数的基本性质.当x ∈(-1，0)时，有x+1∈(0，1)，此时要满足f(x)0，只要02a1即可.教育是最好的老师，小学初中高中资料汇集专注专业学习坚持不懈勇攀高峰2 由此解得0a21. 答案:A6.函数y=lg 11-x 的图象大致是( )思路解析：本题通法有两种：①图象是由点构成的，点点构成函数的图象，所以可取特殊点(2，0)，(1011，1).②利用函数解析式判断函数的性质，函数的定义域为(1，+∞)，在定义域上函数为减函数.答案:A7.若函数f(x)=log a x(0a1)在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于( ) A.42 B.22 C.41 D.21 思路解析：本题关键是利用f(x)的单调性确定f(x)在［a ，2a ］上的最大值与最小值. f(x)=log a x(0a1)在(0，+∞)上是减函数，当x ∈［a ，2a ］时，f(x)max =f(a)=1，f(x)min =f(2a)=log a 2a.根据题意，3log a 2a=1，即log a 2a=31，所以log a 2+1=31，即log a 2=-32.故由32-a =2得a=232-=42. 答案:A我综合我发展8.log a321，则a 的取值范围是____________. 思路解析：当a1时，log a321=log a a.∴a32.又a1，∴a1. 当0a1时，log a 32log a a.∴a32.又0a1，∴0a32. 答案:(0，32)∪(1，+∞) 9.函数y=log a (x-2)+1(a ＞0且a ≠1)恒过定点______________.思路解析：若x-2=1，则不论a 为何值，只要a ＞0且a ≠1，都有y=1.答案:(3，1)10.函数f(x)=log (a-1)x 是减函数，则a 的取值范围是____________.思路解析：考查对数函数的概念、性质.注意到a-1既受a-1＞0且a-1≠1的制约，又受减函数的约束，由此可列关于a 的不等式求a.。
2018学年高中数学必修一配套课件：第三章 指数函数、对数函数和幂函数 3.2.2(二) 精品
fx＞gx；
当 0＜a＜1 时，
fx＞0，
loga
f(x)＞loga
g(x)⇔gx＞0可省略，
fx＜gx.
知识点三 反函数的概念 思考 如果把y＝2x视为A＝R→B＝(0，＋∞)的一个映射，那么y＝log2x 是从哪个集合到哪个集合的映射？ 答案 如图，y＝log2x是从B＝(0，＋∞)到A＝R的一个映射，相当于A中 元素通过f：x→2x对应B中的元素2x，y＝log2x的作用是B中元素2x原路返 回对应A中元素x.
解析答案
类型三 对数不等式
例3 已知函数f(x)＝loga(1－ax)(a＞0,且a≠1).解关于x的不等式：loga(1－ax) ＞f(1).
解 ∵f(x)＝loga(1－ax)，∴f(1)＝loga(1－a). ∴1－a＞0.∴0＜a＜1. ∴不等式可化为loga(1－ax)＞loga(1－a). ∴11－－aaxx＜＞10－，a. 即aaxx＞＜a1.， ∴0＜x＜1.
对称，于是A，B两点的坐标为A(a，b)，B(b，a).而A，B都
在直线y＝－x＋3上，所以b＝－a＋3(A点坐标代入)，或a
＝－b＋3(B点坐标代入)，故a＋b＝3.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练4 函数f(x)＝3x (0<x≤2)的反函数的定义域为 (1,9] . 解析 ∵0<x≤2，∴1<3x≤9， 即函数f(x)的值域为(1,9]. 故f(x)的反函数的定义域为(1,9].
答案
一般地，形如函数f(x)＝logag(x)的单调区间的求法：①先求g(x)＞0的解 集(也就是函数f(x)的定义域)；②当底数a大于1时，g(x)＞0限制之下g(x) 的单调增区间是f(x)的单调增区间，g(x)＞0限制之下g(x)的单调减区间是 f(x)的单调减区间；③当底数0<a<1时，g(x)＞0限制之下g(x)的单调区间 与f(x)的单调区间正好相反.
2018学年高中数学必修一配套课件：第三章 指数函数、对数函数和幂函数 3.4.2 精品
①y＝2x－1;
②y＝x2－1；
③y＝2x－1;
④y＝1.5x2－2.5x＋2.
1 234 5
答案
1 234 5
4.某同学最近5年内的学习费用y千元与时间x年的关系如下图所示，可 选择的模拟函数模型是__②___.
①y＝ax＋b; ③y＝aex＋b;
②y＝ax2＋bx＋c； ④y＝aln x＋b.
此类题的解题过程一般有如下五步： (1)作图：即根据已知数据，画出散点图； (2)选择函数模型：一般是根据散点图的特征，联想哪些函数具有类似图 象特征，找几个比较接近的函数模型尝试； (3)求出函数模型：求出(2)中找到的几个函数模型的解析式； (4)检验：将(3)中求出几个函数模型进行比较、验证，得出最合适的函数 模型； (5)利用所求出的函数模型解决问题.
思考2 数据拟合时，得到的函数为什么要检验？ 答案 因为限于我们的认识水平和一些未知因素的影响，现实可能与我 们所估计的函数有误差或甚至不切合客观实际，此时就要检验，调整模 型或改选其他函数模型.
答案
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题型探究
重点难点 个个击破
类型一 利用已知函数模型求解实际问题 例1 某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km.火车出发10 min开 出13 km后，以120 km/h的速度匀速行驶.试写出火车行驶的总路程S与匀 速行驶的时间t之间的关系，并求火车离开北京2 h内行驶的路程.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 2 有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所获得的利润依 次为 Q1 万元和 Q2 万元，它们与投入的资金 x 万元的关系是 Q1＝15x， Q2＝35 x.现有 3 万元资金投入使用，则对甲、乙两种商品如何投资才能 获得最大利润？
【中小学资料】2018版高中数学 第三章 指数函数、对数函数和幂函数 3.2.1 对数(第2课时)对数的运算性质学
第2课时 对数的运算性质1．掌握对数的运算性质，并能运用运算性质进行对数的有关运算．(重点) 2．了解换底公式．3．能用换底公式将一般对数化成自然对数或常用对数解题．(难点)[基础·初探]教材整理1 对数的运算性质 阅读教材P 75～P 76，完成下列问题． 1．符号表示如果a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ； (2)log a M n＝n log a M (n ∈R )； (3)log a M N＝log a M －log a N . 2．文字表述(1)两正数的积的对数等于这两个正数的对数的和； (2)两正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数； (3)一个正数的n 次幂的对数等于n 倍的该数的对数．1．判断(正确的打“√” ，错误的打“×”) (1)积、商的对数可以直接化为对数的和、差．( ) (2)log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )．( ) (3)log a (－2)4＝4log a (－2)．( )【解析】 根据对数的运算性质(1)只有正数积、商的对数才可以直接化为对数的和、差，(2)错误，(3)中－2不能作真数．【答案】 (1)× (2)× (3)×2．(1)log 2 25－log 2 254＝________；(2)log 2 8＝________.【解析】 (1)log 2 25－log 2 254＝log 2 25×425＝log 2 4＝log 2 22＝2log 2 2＝2.(2)log 2 8＝log 2 23＝3log 2 2＝3. 【答案】 (1)2 (2)3 教材整理2 换底公式阅读教材P 77～P 78，完成下列问题． 1．换底公式一般地，我们有log a N ＝log c Nlog c a ，(其中a >0，a ≠1，N >0，c >0，c ≠1)，这个公式称为对数的换底公式．2．与换底公式有关的几个结论(1)log a b ·log b a ＝1(a ，b >0且a ，b ≠1)； (2)log am b n＝n mlog a b (a ，b >0且a ，b ≠1，m ≠0)．若lg 5＝a ，lg 7＝b ，用a ，b 表示log 75＝________. 【解析】 log 75＝lg 5lg 7＝ab.【答案】 a b[小组合作型]计算下列各式的值．(1)lg 2＋lg 5；(2)log 5 35＋2log 122－log 5150－log 5 14；(3)[(1－log 6 3)2＋log 6 2·log 6 18]÷log 6 4.【精彩点拨】 根据对数的运算性质，先将式子转化为只含有一种或几种真数的形式再进行计算．【自主解答】 (1)lg 2＋lg 5＝lg (2×5)＝lg 10＝1. (2)原式＝log 5 35×5014＋2log 12 212＝log 5 53－1＝2.(3)原式＝[(log 6 6－log 6 3)2＋log 6 2·log 6(2·32)]÷log 6 4 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫log 6 632＋log 662＋log 6 32÷log 6 22＝[(log 6 2)2＋(log 6 2)2＋2log 6 2·log 6 3]÷2log 6 2 ＝log 6 2＋log 6 3＝log 6(2·3)＝1.1．对于同底的对数的化简要用的方法(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； (2)“拆”，将积(商)的对数拆成两对数的和(差)． 2．注意对数的性质的应用，如log a 1＝0，log a a ＝1，alog a N＝N .3．化简的式子中有多重对数符号时，应自内向外逐层化简求值．[再练一题]1．计算下列各式的值：(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)lg 25＋23lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2；(3)2log 3 2－log 3 329＋log 3 8－5log5 3.【解】 (1)法一：原式＝12(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5) ＝12lg 10＝12. 法二：原式＝lg 427－lg 4＋lg 7 5＝lg 42×757×4＝lg (2·5)＝lg 10＝12.(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.(3)原式＝2log 3 2－(log 3 32－log 3 9)＋3log 3 2－3＝2log 3 2－5log 3 2＋2＋3log 3 2－3＝－1.化简：【精彩点拨】 将需表示式子中的真数用已知的式子中的真数表示出来． 【自主解答】 (1)log 2(28×82)＝log 2[28×(23)2]＝log 2(28＋3×2)＝log 2 214＝14.(2)lg 24＝lg (3×8)＝lg 3＋lg 8＝lg 3＋3lg 2.这类问题一般有两种处理方法：一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．要特别注意log a (MN )≠log a M ·log a N ，log a (M ±N )≠log a M ±log aN.[再练一题] 2．化简：(1)log 2(45×82)；(2)log 13 27－log 139；(3)用lg x ，lg y ，lg z 表示lgx 2y3z.【解】 (1)log 2(45×82)＝log 2 (210×26)＝log 2 216＝16log 2 2＝16×2＝32. (2)log 1327－log 139＝log 13279＝log 133＝－1. (3)lgx 2y3z＝lg x 2＋lg y －lg 3z ＝2lg x ＋12lg y －13lg z .(1)已知3a ＝5b＝c ，且1a ＋1b＝2，则c 的值为________．(2)已知x ，y ，z 为正数，3x ＝4y ＝6z,2x ＝py . ①求p ；②证明：1z －1x ＝12y.【精彩点拨】 用换底公式统一底数再求解．【自主解答】 (1)由3a ＝5b＝c ，得a ＝log 3c ，b ＝log 5c ，所以1a ＝log c 3，1b＝log c 5.又1a ＋1b＝2，所以log c 3＋log c 5＝2，即log c 15＝2，c ＝15.【答案】15(2)①设3x＝4y＝6z＝k (k ＞1)，则x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k ，由2x ＝py ，得2log 3k ＝p log 4k ，解得p ＝2log 34.②证明：1z －1x ＝1log 6k －1log 3k＝log k 6－log k 3＝log k 2， 而12y ＝12log 4k ＝12log k 4＝log k 2. 故1z －1x ＝12y.1．换底公式即将底数不同的对数转化成底数相同的对数，从而进行化简、计算或证明．换底公式应用时，一般换成以10为底的常用对数，或以e 为底的自然对数，但也应该结合已知条件来确定．2．换底公式推导出的两个恒等式： (1)log a m N n＝nmlog a N ；(2)log a b ·log b a ＝1，要注意熟练应用．[再练一题]3．计算：(log 2 125＋log 4 25＋log 8 5)(log 5 2＋log 25 4＋log 125 8)．【解】 原式＝(log 2 53＋log 22 52＋log 23 5)(log 5 2＋log 52 22＋log 53 23) ＝(3log 2 5＋log 2 5＋13log 2 5)·(log 5 2＋log 5 2＋log 5 2)＝133·log 2 5·3log 5 2＝13.2015年我国国民生产总值为a 亿元，如果年平均增长8%，那么经过多少年，我国国民生产总值是2015年的2倍？(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 1.08≈0.033 4，精确到1年)【精彩点拨】 认真分析题意，找出其中各量之间的关系，列出式子，并利用对数运算求解．【自主解答】 设经过x 年，我国国民生产总值是2015年的2倍． 经过1年，总产值为a (1＋8%)， 经过2年，总产值为a (1＋8%)2， ……经过x 年，总产值为a (1＋8%)x . 由题意得a (1＋8%)x＝2a ，即1.08x ＝2， 两边取常用对数，得lg 1.08x＝lg 2， 则x ＝lg 2lg 1.08≈0.301 00.033 4≈9(年)．答：约经过9年，国民生产总值是2015年的2倍．解对数应用题的步骤[再练一题]4．2000年我国国内生产总值(GDP)为89 442亿元，如果我国的GDP 年均增长7.8%左右，按照这个增长速度，在2000年的基础上，经过多少年后，我国GDP 才能实现比2000年翻两番的目标？(lg 2≈0.301 0，lg 1.078≈0.032 6，结果保留整数)．【解】 假设经过x 年实现GDP 比2000年翻两番的目标，根据题意，得89 442×(1＋7.8%)x＝89 442×4，即1.078x＝4，故x ＝log 1.078 4＝lg 4lg 1.078≈18.5.答：约经过19年以后，我国GDP 才能实现比2000年翻两番的目标．[探究共研型]探究1 【提示】 log a MN ＝log a M ＋log a N ，log a M N ＝log a M －log a N ，log a b ＝log c b log c a，log a Mn＝n log a M ，log am b n＝nmlog a b .探究2 解对数方程log a M ＝log a N ，应注意什么？【提示】 ⎩⎪⎨⎪⎧M ＝N ，M >0，N >0.已知lg x ＋lg y ＝2lg (x －2y )，求log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 的值．【精彩点拨】 根据对数的运算性质得到x ，y 的关系式，解方程即可． 【自主解答】 lg x ＋lg y ＝lg (xy )＝2lg (x －2y )＝lg (x －2y )2， 由题知，xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 2－5⎝ ⎛⎭⎪⎫x y＋4＝0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x y－1⎝ ⎛⎭⎪⎫xy－4＝0，故x y＝1或4.又当x ＝y 时，x －2y ＝－y <0，故舍去，∴x y＝4. ∴log 12x y＝log 124＝－2.解含对数式的方程应注意两点： (1)对数的运算性质；(2)对数中底数和真数的范围限制．[再练一题]【解】 原方程等价于3(2log 3 x )－4log 42 x 2－12＝0， 即3log 3 x 2－4log 4 x －12＝0， ∴x 2－x －12＝0， ∴(x ＋3)(x －4)＝0， ∴x ＝4或－3.又⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x 2>0，∴x ＝4，即原方程的解为x ＝4.1．log 2 27·log 3 4＝________；log 2 3·log 3 10·lg 8＝________. 【解析】 log 2 27·log 3 4＝log 2 33·log 3 22＝(3log 2 3)·(2log 3 2)＝6. log 2 3·log 3 10·lg 8＝lg 3lg 2·lg 10lg 3·lg 8lg 10＝lg 8lg 2＝log 2 8＝3.【答案】 6 32．已知lg 2＝a ，lg 7＝b ，那么log 8 98＝________. 【解析】 log 8 98＝lg 98lg 8＝2lg 7＋lg 23lg 2＝a ＋2b3a .【答案】a ＋2b 3a3．若log 5 14·log 4 6·log 6 x ＝2，则x ＝________.【解析】 log 5 14·log 4 6·log 6 x ＝()－log 5 4·()log 4 6()log 6 x ＝－log 5 x ＝2，∴log 5 x ＝－2，∴x ＝5－2＝125. 【答案】1254．已知2m ＝5n＝10，则1m ＋1n＝________.【解析】 因为m ＝log 2 10，n ＝log 5 10，所以1m ＋1n＝log 10 2＋log 10 5＝lg 10＝1.【答案】 15．已知lg(x ＋2y )＋lg(x －y )＝lg 2＋lg x ＋lg y ，求x y的值． 【解】 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y >0，x －y >0，x >0，y>0，x ＋2yx －y ＝2xy ，即⎩⎪⎨⎪⎧x >y ，y >0，x ＋2yx －y ＝2xy ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x >y ，y >0，x －2yx ＋y ＝0，∴x －2y ＝0，∴xy＝2.。
2018学年高中数学必修一配套课件：第三章 指数函数、对数函数和幂函数 3.3 精品
等价于3－2a>0，
a＋1>3－2a，
解得23<a<32.
所以 a 的取值范围是(23，32).
反思与感悟
解析答案
4
跟踪训练3 讨论函数y＝ x 3 的定义域、奇偶性和单调性.
4
解 函数y＝f(x)＝ x 3的定义域为实数集R.
4
1
4
∵f(－x)＝(－x) 3 ＝[(－x)4] 3＝ x＝3 f(x)，
∴f(x)为偶函数.∴函数图象关于y轴对称.
又f(x)在区间[0，＋∞)上为单调增函数，
∴f(x)在区间(－∞，0]上为单调减函数.
解析答案
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1 234 5
1.函数 y＝ 1－x在区间_(_－__∞__，__1_]_上是单调__减__函数.
答案
2.已知幂函数f(x)的图象经过点(2， 22)，则f(4)＝_12_.
1 234 5
答案
1 234 5
3.
设
α∈{
－
1,1
，
1 2
，
3}，
则
使
函
数y
＝
xα
的
定义
域
为
R
的
所
有
α
的
值
为
___1_,3____.
答案
1 234 5
4.把3
,
(
2
)3,
(
1
)0
,
(
3)
2 3
(－
2
)3，( 5
)
13，( 1
)0，( 3
)
22
3，2 3
由小到大排列为____3____3____5____2_____.
2018学年高中数学必修一配套课件：第三章 指数函数、对数函数和幂函数 3.1.1(一) 精品
2.m是实数，则下列式子中可能没有意义的是 ③ .
①4 m2；
②3 m；
③6 m；
④ 5 －m.
1 234 5
答案
3.(4 2)4 运算的结果是 2 .
1 234 5
答案
3
4.
－8的值是
－2
.
1 234 5
答案
5.化简 1－2x2(2x>1)的结果是 2x－1 .
1 234 5
答案
规律与方法
＋1－a＝a－1.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 求下列各式的值：
7
(1)
－27；
解 7 －27＝－2.
4
(2)
3a－34(a≤1)；
解 4 3a－34＝|3a－3|＝3|a－1|＝3－3a.
(3)3 a3＋ 4 1－a4.
解 3 a3＋ 4 1－a4＝a＋|1－a|＝12， a－a≤ 1，1， a>1.
答案
一般地，有：(1)n次实数方根
一般地，如果一个实数x满足xn＝a(n>1，n∈N*)，那么称x 定义
为a的n次实数方根
性质及 n是 正数的n次实数方根是一个正数 a的n次实数方根用符 表示 奇数 负数的n次实数方根是一个负数 号 n a 表示
性 质
正数的n次实数方 正数a的正的n次实数方根用符号 n a 表示，
n是 根有两个，它们
正数a的负的n次实数方根用符号－ n a 表 示，正的n次实数方根与负的n次实数方根
及 偶数 互为相反数
可以合并成± n a (a>0)的形成
表
示
负数没有偶次实数方根
0的n次实数方根是0，记作 n 0 ＝0
高中数学 第三章 指数函数、对数函数和幂函数 3.2.1 对数(第1课时)对数的概念学案 苏教版必修
2018版高中数学第三章指数函数、对数函数和幂函数3.2.1 对数（第1课时）对数的概念学案苏教版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高中数学第三章指数函数、对数函数和幂函数3.2.1 对数（第1课时）对数的概念学案苏教版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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3．2 对数函数3．2.1 对数第1课时对数的概念1．理解对数的概念．(重点)2．能熟练地进行指数式与对数式的互化．（重点）3．掌握常用对数与自然对数的定义．［基础·初探]教材整理对数的概念阅读教材P72～P74，完成下列问题．1．对数一般地,如果a（a>0，a≠1)的b次幂等于N，即a b＝N，那么就称b是以a为底N的对数,记作log a N＝b，其中a叫做对数的底数,N叫做真数．2．常用对数通常将以10为底的对数称为常用对数，为了方便起见,对数log10N，简记为lg_N。
3．自然对数以e为底的对数称为自然对数．其中e＝2。
718 28…是一个无理数,正数N的自然对数log e N,一般简记为ln_N.4．几个特殊对数值（1)log a1＝0，log a a＝1，log a 1a＝－1。
(其中a＞0且a≠1)．（2）对数恒等式:a log a N＝N(a>0，a≠1,N>0）．（3）零和负数没有对数．1．判断（正确的打“√”，错误的打“×”) (1）因为(－2)4＝16，所以log（－2）16＝4.（）（2）对数式log32与log23的意义一样．( ）(3)对数的运算实质是求幂指数．( )（4)等式log a1＝0对于任意实数a恒成立．（)(5）lg 10＝ln e＝1.（)【解析】(1)－2不能作底数；（2）log23与log32底和真数均不同,意义不一样；（4)a〉0且a≠1.【答案】(1）×(2)×（3)√(4）×（5)√2．计算：log3 9＝________，2log2 3＝________.【解析】log3 9＝2,2log2 3＝3。
[K12学习]2018版高中数学 第三章 指数函数、对数函数和幂函数 3.4.1 第1课时 函数的零
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3.4.1 第1课时 函数的零点(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．若函数f (x )＝mx ＋n 有一个零点是2，则函数g (x )＝nx 2－mx 的零点是________． 【解析】 由条件知，f (2)＝2m ＋n ＝0，∴n ＝－2m .∴g (x )＝nx 2－mx ＝－2mx ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，由g (x )＝0，得x ＝0或x ＝－12.∴g (x )的零点是0和－12.【答案】 0和－122．方程2x＋x ＝0在下列哪个区间内有实数根________．(填序号) ①(－2，－1)；②(0,1)；③(1,2)；④(－1,0)． 【解析】 令f (x )＝2x＋x ，则f (－2)＝－74＜0，f (－1)＝－12＜0，f (0)＝1＞0，f (1)＝3＞0，f (2)＝6＞0.∵f (－1)·f (0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×1＜0， ∴f (x )＝2x＋x 的零点在区间(－1,0)内， 故2x＋x ＝0在区间(－1,0)内有实数根． 【答案】 ④3．已知函数f (x )＝2x＋x ，g (x )＝x ＋log 2 x ，h (x )＝x 3＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为________．【解析】 在同一坐标系中画出y ＝2x和y ＝－x 的图象，可得a <0，同样的方法可得b >0，c ＝0，∴b >c >a .【答案】 b >c >a4．已知函数f (x )＝log 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0＜x 1＜x 0，则f(x 1)的值为________．①恒为负；②等于零；③恒为正；④不小于零．【解析】 因为x 0是方程f (x )＝0的解，所以f (x 0)＝0，又因为函数f (x )＝log 2x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在(0，＋∞)上为增函数，且0＜x 1＜x 0，所以有f (x 1)＜f (x 0)＝0. 【答案】 ①5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c x，x ，若f (－4)＝0，f (－2)＝－2，则关于x的方程f (x )＝x 的解的个数是________.【解析】 由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧16－4b ＋c ＝0，4－2b ＋c ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝5，c ＝4.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋5x ＋x ，x作图象(略)得函数有2个零点． 【答案】 26．关于x 的方程3x 2－5x ＋a ＝0的一根大于－2小于0，另一个根大于1小于3，则实数a 的取值范围是________．【解析】 由 f (x )＝3x 2－5x ＋a 满足条件的大致图象(略)可知⎩⎪⎨⎪⎧f－＞0， f ＜0， f ＜0， f＞0，解得－12＜a ＜0，故实数a 的取值范围是(－12,0)．【答案】 (－12,0)7．已知对于任意实数x ，函数f (x )满足f (－x )＝f (x )．若f (x )有2 015个零点，则这2 015个零点之和为________．【解析】 设x 0为其中一根，即f (x 0)＝0，因为函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，所以f (－x 0)＝f (x 0)＝0， 即－x 0也为方程一根，又因为方程f (x )＝0有2 015个实数解，所以其中必有一根x 1，满足x 1＝－x 1，即x 1＝0，所以这2 015个实数解之和为0. 【答案】 08．若函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (x )为偶函数，又f (x )在(0，＋∞)上是减函数，f (2)＝0，则函数f (x )的零点有________个．【解析】 依据给出的函数性质，易知f (－2)＝0，画出函数的大致图象如图：可知f (x )有两个零点． 【答案】 2 二、解答题9．求函数f (x )＝2x|log 0.5 x |－1的零点个数．【解】 函数f (x )＝2x|log 0.5 x |－1的零点即2x|log 0.5 x |－1＝0的解，即|log 0.5 x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的解，作出函数g (x )＝|log 0.5 x |和函数h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象，由图象可知，两函数共有两个交点， 故函数f (x )＝2x|log 0.5 x |－1有2个零点．10．已知y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x . (1)写出函数y ＝f (x )的解析式；(2)若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，求a 的取值范围． 【解】 (1)当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)， ∵y ＝f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－2(－x )]＝－x 2－2x ，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0.(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，最小值为－1； ∴当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－x 2－2x ＝1－(x ＋1)2，最大值为1. ∴据此可作出函数y ＝f (x )的图象，如图所示，根据图象得，若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，则a 的取值范围是(－1,1)．[能力提升]1．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x ＞0，零点的个数为________．【解析】 x ≤0时，令x 2＋2x －3＝0，解得x ＝－3，x ＝1(舍去)， ∴f (x )在(－∞，0]上有一个零点；x ＞0时，f (x )＝ln x －2在(0，＋∞)上递增， f (1)＝－2＜0，f (e 3)＝1＞0.∵f (1)·f (e 3)＜0，∴f (x )在(0，＋∞)上有且只有一个零点． 综上，f (x )在R 上有2个零点． 【答案】 22．已知函数f (x )为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于________． 【解析】 ∵奇函数的图象关于原点对称，∴若f (x )有三个零点，则其和必为0. 【答案】 03．若方程x 2－2|x |－a ＝0恰有3个实根，则a 的取值范围是________．【解析】 本题可化为y ＝x 2－2|x |与y ＝a 这两个函数图象交点个数的问题，在同一坐标系内，画出这两个函数的图象如图所示，观察图象，可知只有当a ＝0时两个图象才恰有3个交点．【答案】 a ＝04．已知f (x )＝|x 2－1|＋x 2＋kx ，若关于x 的方程f (x )＝0在(0,2)上有两个解x 1，x 2，求k 的取值范围.【解】 当0＜x ≤1时，方程化为1＋kx ＝0， 可知两解在(0,1]范围内不可能． 当1＜x ＜2时，方程化为2x 2＋kx －1＝0，若两解在(1,2)范围内，则x 1·x 2＞1，这与x 1·x 2＝－12矛盾．故两解在(1,2)范围内不可能．若方程的一解在(0,1]内，另一解在(1,2)内，则⎩⎪⎨⎪⎧0＜1－k≤1，f 1 f 2＜0，解得－72＜k ＜－1.故k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，－1.。
【配套K12】江苏省启东市2017-2018学年高中数学 第3章 指数函数、对数函数和幂函数 3.2.2 对数函数(2)学
§3.2.2对数函数学习目标：1. 巩固对数函数图象及性质，以及对数函数的图像与性质的综合应用。
2.解简单的指对数方程及不等式。
学习重难点：对数函数的图像与性质的综合应用。
学习过程：一. 温故链接，导引自学说明下列函数图象与对数函数y=log 3x 的图象的关系，并画出图象。
① y=log 3(x+1) ②y=log 3x +1 ③y=log 3|x| ④y=|log 3x|⑤y=log 3|x+1|二.交流质疑，精讲点拨例1：判断下列函数的奇偶性：（1）22()log (1)log (1)f x x x =++-（2）22()log (1)log (1)f x x x =++-（3）())f x x =-变式训练1：判断下列函数的奇偶性：（1）1()lg1x f x x-=+ （2）()lg(f x x =例2：已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，()log (2)(0,1)a f x x a a =+>≠，求()f x 的表达式。
变式训练2：已知定义在R 上奇函数)(x f ，当0>x 时，)21(log )(2+=x x f ，则不等式0)(≤x f 的解集为 。
例3 .已知函数f(x)=2+log 3x ，x []81,1∈，求()[]()22x f x f y +=的最大值及对应的x 值。
变式训练3：设09)(log 9)(log 221221≤++x x 的解集为M ，求M x ∈时，函数)8)(log 2(log )(22x x x f =的最大值与最小值。
例4．已知函数2log ()a y ax x =-在区间[]2,4上是增函数，求实数a 的取值范围。
变式训练4：已知函数22()log ()f x x ax a =--在(,1-∞上是单调减函数，则实数a的取值范围是_____________________________三.当堂反馈，拓展迁移1．已知函数()log (2)a f x ax =-在[0，1]上是减函数，a 的范围_____________。
2018版高中数学第三章指数函数对数函数和幂函数3.4.2函数模型及其应用学案苏教版
3.4.2 函数模型及其应用1．了解数学建模的基本步骤，体会数学建模的基本思想．(难点)2．了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型的意义，并能进行简单应用(重点)．[基础·初探]教材整理 函数模型及其应用 阅读教材P 98至P 100，完成下列问题． 1．常见的函数模型(1)一次函数模型：f (x )＝kx ＋b (k ，b 为常数，k ≠0)； (2)反比例函数模型：f (x )＝k x＋b (k ，b 为常数，k ≠0)； (3)二次函数模型：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)； (4)指数函数模型：f (x )＝ab x＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0，b ＞0，b ≠1)； (5)对数函数模型：f (x )＝m log a x ＋n (m ，n ，a 为常数，m ≠0，a ＞0，a ≠1)； (6)幂函数模型：f (x )＝ax n＋b (a ，b ，n 为常数，a ≠0，n ≠1)． (7)分段函数模型．2．用函数模型解决实际问题的基本步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型；(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中．1．某商店每月利润的平均增长率为2%，若12月份的利润是当年1月份利润的k 倍，则k ＝________.【解析】 设1月份利润为x ，则12月份的利润y ＝x (1＋2%)11＝kx ，∴k ＝1.0211. 【答案】 1.02112．在一定范围内，某种产品的购买量y t 与单价x 元之间满足一次函数关系，如果购买1 000 t ，每吨为800元；购买2 000 t ，每吨为700元，一客户购买400 t ，单价应该是________元．【解析】 依题意，可设y 与x 的函数关系式为y ＝kx ＋b ， 由x ＝800，y ＝1 000及x ＝700，y ＝2 000， 可得k ＝－10，b ＝9 000， 即y ＝－10x ＋9 000， 将y ＝400代入得x ＝860(元)． 【答案】 860[小组合作型]1.通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明，用f (x )表示学生掌握和接受概念的能力(f (x )值越大，表示接受的能力越强)，x 表示提出和讲授概念的时间(单位：min)，可有以下的公式：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.1x 2＋2.6x ＋43，0<x ≤10，59，10<x ≤16，－3x ＋107，16<x ≤30.(1)开始后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？ (2)开讲后5 min 与开讲后20 min 比较，学生的接受能力何时强一些？(3)一个数学难题，需要55的接受能力以及13 min 时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？【精彩点拨】 精读题目，理解题意及分段函数的意义进行求解． 【自主解答】 (1)当0<x ≤10时，f (x )＝－0.1x 2＋2.6x ＋43＝－0.1(x －13)2＋59.9.故f (x )在(0,10]上单调递增，最大值为f (10)＝－0.1×(－3)2＋59.9＝59；当16<x ≤30时，f (x )单调递减，f (x )<－3×16＋107＝59.因此，开讲后10 min ，学生达到最强的接受能力(值为59)，并维持6 min. (2)f (5)＝－0.1×(5－13)2＋59.9 ＝59.9－6.4＝53.5，f (20)＝－3×20＋107＝47<53.5＝f (5)．因此，开讲后5 min 学生的接受能力比开讲后20 min 强一些． (3)当0<x ≤10时，令f (x )＝55， 则－0.1×(x －13)2＝－4.9，(x －13)2＝49. 所以x ＝20或x ＝6，但0<x ≤10， 故x ＝6.当16<x ≤30时，令f (x )＝55， 则－3x ＋107＝55. 所以x ＝1713.因此，学生达到(或超过)55的接受能力的时间为1713－6＝1113≤13(min)，所以老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题． [再练一题]1．某公司试销一种新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价500元/件，又不高于800元/件．经试销调查发现，销售量y (件)与销售单价x (元/件)近似满足一次函数y ＝kx ＋b 的关系(图象如图343所示)．(1)根据图象，求一次函数y ＝kx ＋b 的表达式；(2)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为S 元，求该公司可获得的最大毛利润，并求出此时相应的销售单价．图343【解】 (1)由题图可知所求函数图象过点(600,400)，(700,300)，得⎩⎪⎨⎪⎧400＝k ×600＋b ，300＝k ×700＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝1 000，所以y ＝－x ＋1 000(500≤x ≤800)．(2)由(1)可知S ＝xy －500y ＝(－x ＋1 000)(x －500) ＝－x 2＋1 500x －500 000＝－(x －750)2＋62 500(500≤x ≤800)， 故当x ＝750时，S max ＝62 500.即销售单价为750元/件时，该公司可获得最大毛利润为62 500元． 2．利用指数函数、对数函数、幂函数模型解决实际问题．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2Q10，单位是m/s ，其中Q 表示燕子的耗氧量．(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？【精彩点拨】 第(1)问知v 求Q ，直接求得；第(2)问知Q 求v ，也是直接代入． 【自主解答】 (1)由题知，当燕子静止时，它的速度v ＝0，代入题中给出的公式可得：0＝5log 2Q10，解得Q ＝10.即燕子静止时的耗氧量是10个单位． (2)将耗氧量Q ＝80代入题中给出的公式得：v ＝5log 28010＝5log 28＝15(m/s)．即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s. [再练一题]2．某学校为了预防甲型H1N1流感，对教室采用药熏消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －a (a 为常数)，如图344所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：图344(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为________；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．【解析】 药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比，则设函数为y ＝kt (k ≠0)，将点⎝⎛⎭⎪⎫110，1代入可得k ＝10，则y ＝10t ；将点⎝ ⎛⎭⎪⎫110，1代入y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －a，得a ＝110.1．应用已知函数模型解题，有两种题型： (1)直接依据题中的函数解析式解决相关问题；(2)若函数解析式中含有参数，将题中相应数据代入解析式，求得参数，从而确定函数解析式，并解决问题，这时用到的是待定系数法．2．信息量大是数学应用题的一大特点，当所给条件错综复杂，一时难以理清关系时，可采用列表分析的方法，有些典型应用题也可以画出相应的图形，建立坐标系等．3．有些实际问题，可能需要多个函数模型，这时应注意分段函数模型的使用，在写分段函数时必须注意区间端点值不能重复，也不能遗漏．[探究共研型]探究1 【提示】 数据拟合是研究变量之间相互影响、相互联系，并给出近似的数学表达式的一种方法．探究2 用数据拟合法如何建立函数模型？【提示】 一般是先做出散点图，近而根据散点趋势选择相关模型予以拟合．某人对西红柿市场做了一次调查，通过调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/102 kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：(1)t 的变化关系．Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ， Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t .(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本． 【精彩点拨】 根据这四种函数增长速度的特点选择适合表中数据函数模型，然后再用该模型解决问题．【自主解答】 (1)做出散点图，如图，根据散点图，应选取二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 进行描述．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ×502＋b ×50＋c ＝150，a ×1102＋b ×110＋c ＝108，a ×2502＋b ×250＋c ＝150.解得a ＝1200，b ＝－32，c ＝4252.∴Q ＝1200t 2－32t ＋4252.(2)由(1)知，Q＝1200(t－150)2＋100.∴当t＝150天时，西红柿的种植成本是最低100元/102 kg.根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程，如下图所示．[再练一题]3．有一组实验数据如下表所示：①y＝log a x(a＞1)；②y＝ax＋b(a＞1)；③y＝ax2＋b(a＞0)；④y＝log a x＋b(a＞1)．【解析】通过所给数据结合散点图可知y随x增大，其增长速度越来越快，而①④中的函数增长速度越来越慢，而②中的函数增长速度保持不变．【答案】③1．用长度为20的铁丝围成一个长方形场地，使其一边靠墙，若靠墙的一边长设为x，则长方形的面积为________．【解析】 因为靠墙的一边长为x ， 则另一边长为20－x 2＝10－x2，则长方形的面积为y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫10－x 2(0<x <20)．【答案】 y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫10－x 2(0<x <20)2．已知：(1)y ＝a ＋bx；(2)y ＝a ＋bx ；(3)y ＝a ＋log b x ；(4)y ＝a ·b x.【解析】 由表知x 可以取“0”，排除(1)、(3)， 对于(2)：当x ＝0时，y ＝a ＝1，∴a ＝1， 当x ＝1时，y ＝a ＋b ＝2.02.b 可以取1， 当x ＝2时，y ＝1＋2＝3；当x ＝3时，y ＝1＋3＝4与表中各数据相差较大，可知只有(4)正确． 【答案】 (4)3．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图345中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是________元．图345【解析】 由题意可知，收入y 是销售量x 的一次函数，设y ＝ax ＋b ，将(1,800)，(2,1300)代入得a ＝500，b ＝300.当销售量为x ＝0时，y ＝300. 【答案】 3004．一天，亮亮发烧了，早晨他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午时亮亮的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升．直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫了．各图能基本上反映出亮亮这一天(0时～24时)体温的变化情况的是________．(填序号)【解析】 从亮亮的体温变化可以看出图象应为：早晨37 ℃以上――→降上午37 ℃(中午)――→升下午晚上――→降半夜37 ℃. 【答案】 (3)5．某工厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元，每生产100台，需要增加成本(即另增加投入)0.25万元，市场对此产品的年需求量为500台，销售收入函数为R (x )＝5x －0.5x 2(0≤x ≤5，单位：万元)，其中x 是产品出售的数量(单位：百台)．求年产量是多少时，工厂所得利润最大？【解】 ∵市场对此产品的年需求量为5百台，∴当x ≤5时，产品能售出x 台，x ＞5时只能售出5百台，故利润函数为：L (x )＝R (x )－C (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －0.5x 2－＋0.25x ，0≤x ≤5，⎝⎛⎭⎪⎫5×5－522－＋0.25x ，x ＞5＝⎩⎪⎨⎪⎧4.75x －0.5x 2－0.5，0≤x ≤5，12－0.25x ，x ＞5，当0≤x ≤5时，L (x )＝4.75x －0.5x 2－0.5， 当x ＝4.75时，得L (x )max ＝L (4.75)＝10.8万元；当x ＞5时，L (x )＝12－0.25x ，利润在12－0.25×5＝10.75万元以下， 故生产475台时利润最大．。
【配套K12】江苏省启东市2017-2018学年高中数学 第3章 指数函数、对数函数和幂函数 3.1.3 指数函数(2)学
§3.1.3指数函数指数函数图象与性质的应用一、学习目标1、复习巩固指数函数的图象和性质；2、理解(0)x m y a m ±=>的图象与x y a =的图象的关系；会求指数型函数的值域.二．温故习新1.(),P x y 关于x 轴对称的点为 ；关于y 轴对称的点为 。
2. 已知0,1,x a a y a >≠=与x y a -=的图象关于 对称；x y a =与xy a =-呢？3. 已知0,1,x a a y a >≠=，0h >。
分别作怎样的平移变换得到下列函数图象 x h y a += x h y a -= x y a =+h x y a =－h三、释疑拓展题型一：图象的平移变化【例1】说明下列函数的图象与指数函数2x y =的图象的关系，并在同一坐标系中画出它们的示意图：（1）22x y -= （2）22x y +=（3）23x y =+ （4）x y -=2()y f x =的图象 ()y f x a =+ 的图象。
()y f x =的图象 ()y f x a =- 的图象。
()y f x =的图象 ()y f x h =+ 的图象。
()y f x =的图象 ()y f x a h =++的图象。
()y f x =的图象 )(x f y -=的图象。
以上0,0>>h a 。
变式跟踪1做出函数1122x y -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，并说明它由12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象如何变换而来.题型二：图象的对称变换【例2】画出函数的图象并求出单调区间：（1）22x y =- （２）2x y -=变式跟踪2做出函数122x y -=-的图象，并说明它可以由2x y =的图象如何变换而来.题型三：掌握复合函数的图象及性质【例3】 已知)(x f y =是定义在R 上的奇函数，且当0<x 时，x x f 21)(+=.（１） 求函数)(x f y =的解析式样（２） 画出此函数的图象；（３） 写出)(x f y =的单调区间与值域；（４） 求使()f x ＞a 恒成立的实数a 的取值范围。
高中数学 第三章 指数函数、对数函数和幂函数 3.2 对数函数 3.2.1 对数名师导航学案 苏教版必修1
3.2.1 对数名师导航知识梳理一、对数与对数运算 1.对数的定义一般地，如果a x=N(a>0,a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作__________，其中a 叫做对数的__________，N 叫做对数的__________.对数恒等式为________________________________________. 2.对数的运算法则指数的运算法则： 对数的运算法则：（1）a m ·a n =a m+n;→ （1）______________;（2）n m aa =a m ·a -n =a m-n;→ （2）______________;（3）(a m )n=a mn;→ （3）_______________. 二、对数运算法则的证明 (学会证明方法)1.正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的_______________； log a (MN)=log a M+log a N. 设log a M=p,log a N=q,则a p =M,a q=N,∴MN=a p ·a q =a p+q.∴log a (MN)=p+q=log a M+log a N.2.两个正数的商的对数等于被除数的对数___________除数的对数；log a N M =log a M-log a N.∵N M =q p aa =a p-q,∴log aNM=p-q=log a M-log a N. 3.正数的幂的对数等于幂的底数的对数____________幂指数；log a (N n)=n ·log a N. 根据对数恒等式:Na a log =N,∴N n=(aalog N)n=Nn a alog ∙.∴log a (N n)=n ·log a N.4.正数的正的方根的对数等于被开方数的对数______________根指数. log a nN n1=·log a N.∵n N =n N 1,∴由法则3得log a n N =log a nN 1=n1·log a N. 三、对数的性质1.__________和__________没有对数.因为a ＞0，所以不论b 是什么数，都有a b ＞0，即不论b 是什么数，N=a b永远是正数，这说明在相应的对数式 b=log a N 中真数N 永远是正数，换句话说负数和零没有对数. 2.1的对数是__________.因为a 0=1(a ＞0，且a ≠1)，所以根据对数的定义可得log a 1=0. 3.底数的对数等于__________.因为a 1=a ，根据对数的定义知log a a=1. 四、一组重要的对数公式——换底公式 1.log a b=abc c log log ,即有log c a ·log a b=log c b;2.log b a=ba log 1，即有log a b ·log b a=1；3.nmb a log =mnlog a b. 疑难突破如何将给出的对数式换成指定底数的对数？《考试大纲》要求知道用换底公式将一般对数转化成指定底数的对数. 对数换底公式：log b N=bNa a log log (a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1，N ＞0)，推论：log a b=ab log 1，m n b a nm =log log a b.更特别地有log a a n=n.问题探究问题1 对数式与指数式有何关系？在对数符号log a N 中，为什么规定a ＞0，a ≠1，N ＞0呢？探究思路：对数的概念是这么说的：一般地，如果a(a ＞0且a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b=N ，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作log a N=b ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.从定义不难发现无论是指数式a b=N ，还是对数式log a N=b 都反映的是a 、b 、N 三数之间的关系. 在对数符号log a N 中，若a ＜0，则N 为某些值时，log a N 不存在，如log (-2)8不存在. 若a=0，则N 不为0时，log a N 不存在；N 为0时，log a N 可以为任何正数，不唯一.若a=1，则N 不为1时，log a N 不存在；N 为1时，log a N 可以为任何实数，不唯一.因此规定a ＞0且a ≠1.因为log a N=b ⇔a b=N ，在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因此N ＞0. 问题2 对于对数，除了对数的定义，还有对数的性质，你能说说这些相关的内容吗？ 探究思路：对数部分，我们首先应当掌握对数的意义，即对数式与指数式之间的对应关系.另外对于对数我们应该掌握一些常用的性质：如(1)log a 1=0(1的对数是0)； (2)log a a=1(底数的对数是1)； (3)aalog N=N(对数恒等式)；(4)log a N=aNb b log log (b ＞0且b ≠1)(换底公式)；(5)log a M+log a N=log a MN ； (6)log a M-log a N=log a NM ； (7)nlog a N=log a N n； (8)mn log a N=log a m N n. 以上各式均有条件a ＞0且a ≠1.问题3 初学对数运算性质，容易犯下面的错误：log a (M ±N)=log a M ±log a N ，log a (M ×N)=log a M ×log a N ，log aN M =NM a a log log ，log a N n =(log a N)n.应该如何解决呢？探究思路：首先应把握对数运算的本质特征，运算性质是把真数的乘、除、乘方降级为对数的加、减、乘运算，是降级运算；其次，对数记号log a N 整体上才有意义，不能误把对数符号当作表示数的字母进行运算. 典题精讲例1 (1)将下列指数式写成对数式： ①210=1 024；②10-3=10001； ③0.33=0.027；④e 0=1.(2)将下列对数式写成指数式： ①log 0.46.25=-2；②lg2=0.301 0； ③log 310=2.095 9；④ln23.14=x.思路解析 应用指数式与对数式的等价关系求解. 答案:(1)①log 21 024=10；②lg 10001=-3；③log 0.30.027=3；④ln1=0. (2)①0.4-2=6.25；②100.301 0=2；③32.095 9=10；④e x=23.14.例2 计算：log 2487+log 212-21log 242.思路解析 这是几个对数式的加减运算，注意到每个对数式是同底的，则可以利用同底数的对数的运算公式化为一个对数式.当然也可以反其道而行之，即把每个对数的真数写成积或商的形式，再利用积或商的对数的运算性质化为同底对数的和与差，然后进行约简.解法一：原式=21(log 27-log 248)+log 23+2log 22-21(log 27+log 22+log 23) =21log 27-21log 23-21log 216+21log 23+2-21log 27-21=-21. 解法二：原式=log 2(347×12×671⨯)=-21. 例3 求下列各式的值： (1)3log 3128-；(2)7lg20×(21)lg0.7； (3)log 2(1+32+)+log 2(1+32-)； (4)lg(5353-++).思路解析 (1)由幂的运算法则把其化成同底，用对数恒等式aalog N=N 化简计算.(2)通过取对数，先算出对数值，再求值.(3)运用对数运算法则化成一个对数，然后利用底数与真数的特殊关系求解. (4)运用对数运算法则巧去根号. 解答:(1)2722222)2(827log 27log 13log 31)3log 31(33log 3122222=====----. (2)设x=7lg20×(21)lg0.7，则lgx=lg20×lg7+lg0.7×lg(21)=(lg2+1)×lg7+(lg7-1)×(-lg2)=lg7+lg2=lg14， ∴x=14，即7lg20×(21)lg0.7=14. (3)log 2(1+32+)+log 2(1+32-)=log 2［(1+2)2-(3)2］=log 222=log 2232=23. (4)lg(5353-++)=21lg(5353-++)2=21lg(3+5+3-5+259-)=21lg10=21. 例4 已知11.2a=1 000，0.011 2b=1 000，那么a 1-b1等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 思路解析 本题有两种解题方法.解法一：用指数解.由题意11.2=a 11000，0.011 2=b11000， ∴两式相除得ba 111000-=0112.02.11=1 000.∴a 1-b1=1. 解法二：用对数解.由题意，得a ×lg11.2=3，b ×lg0.011 2=3， ∴a 1-b 1=31(lg11.2-lg0.011 2)=1. 答案:A例5 方程lg(4x +2)=lg2x+lg3的解是_____________.思路解析 把方程两边化为同底的对数式，然后比较真数得含有求知数的方程，解之即可.解:把两边化成同底的对数式为lg(4x +2)=lg(2x×3)，比较真数，得方程4x +2=2x×3，利用换元法，解得2x =1或2x=2. 所以x=0或x=1. 答案:x 1=0，x 2=1 知识导学 1.对数的概念在实际应用中，一定要注意指数式与对数式的等价性，即log a N=b a b=N. 2.换底公式一般地，我们称log a N=aNb b log log 为对数的换底公式.换底公式是对数中一个非常重要的公式，这是因为它是对一个对数进行变形运算的主要依据之一，是对数的运算性质.对数运算性质应用的前提是式子中对数的底相同.若底不同则需要利用换底公式化为底相同的.我们在应用换底公式时，一方面要证明它和它的几个推论；另一方面要结合构成式子的各对数的特点选择一个恰当的数作为对数的底，不要盲目地换底，以简化我们的解题过程. 3.常用对数与自然对数的概念有了对数的概念后，要求log 0.840.5的值，我们需要引入两个常用的对数：常用对数和自然对数.常用对数是指以10为底的对数；自然对数是指以e(e=2.718 28…，是一个无理数)为底的对数.有了常用对数和自然对数再利用对数的运算性质，我们就可以求log 0.840.5的值了. 4.对数恒等式 对数恒等式：Na alog =N.它的证明也很简单，只要紧扣对数式的定义即可证明. ∵a b=N ， ∴b=log a N. ∴a b=Na alog =N ，即Na a log =N.如5log 33=5、6log 44=6等.要熟记对数恒等式的形式，会使用这一公式化简对数式.疑难导析对数换底公式口诀：换底公式真神奇，换成新底可任意， 原底加底变分母，真数加底变分子. 问题导思指数式与对数式之间可以相互转化，它们之间可以理解为就像加法与减法一样的关系.后面我们会学习反函数，指数式与对数式之间的转化可以通过反函数进行. 这些常用的性质在指数运算中非常有用，需要记牢.有的性质可以用口诀来帮助记忆，比如，性质(5)(6)(7)可以这样来记： 积的对数变为加， 商的对数变为减，幂的乘方取对数， 要把指数提到前. 典题导考绿色通道 指数式与对数式之间的换算，就是利用log a N=b ⇔a b=N. 典题变式已知log a 2=m ，log a 3=n ，则a 2m-n=____________. 解答：∵log a 2=m ，log a 3=n ， ∴a m =2，a n=3.∴a 2m-n=3432)(222===nm n m a a a a . 绿色通道 解决求值问题一般有两种解法：一是将式中的真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则化为对数的和、差、积、商，即“化整为零”，然后合并、消项、化简求值；二是将式中的对数的和、差、积、商运用对数运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，即“化零为整”，然后“相约”，化简求值. 典题变式计算2log 525+3log 264-8log 71的值为( )A.14B.8C.22D.27 答案:C绿色通道 有关对数式的运算，除了要用到对数运算性质外，还要注意代数运算的其他性质的运用.如遇到不能直接运用对数运算法则进行运算的问题，有两种解决办法：一是取对数，先求出对数值，再求出真数的值，即为原式的值；二是运用对数恒等式aalog N=N 把任何正数N 化成含所需要的正数为底数的对数的一个幂，即可转化为用幂的运算法则和对数运算法则解决问题. 典题变式1.lg5lg8 000+(lg 32)2+lg0.06-lg6=______________.解答:原式=lg5(3+3lg2)+3lg 22+lg 606.0=3(1-lg2)(1+lg2)+3lg 22-2=3-2=1. 2.计算2lg5+32lg8+lg5·lg20+lg 22的值. 解答:原式=2lg5+2lg2+lg5(2lg2+lg5)+lg 22 =lg 25+2lg2·lg5+lg 22+2(lg5+lg2)=(lg5+lg2)2+2(lg5+lg2) =lg 210+2lg10 =1+2=3.绿色通道 因为指数与对数存在着互逆的运算关系，因而反映在具体问题中就一定从指数式、对数式两条思路分别运用幂的运算法则和对数运算法则解决问题.这就是对立统一的原则在具体思路上的指导和体现. 典题变式 已知a=lg(1+71)，b=lg(1+491)，试用a 、b 的式子表示lg1.4.答案:lg1.4=71(a-4b+1). 黑色陷阱 如果误以为原方程lg(4x+2)=lg2x+lg3可化为lg4x+lg2=lg2x+lg3，将导致解题错误.这也说明数学思维的严密性，如果百密一疏，则后悔莫及! 典题变式已知函数f(x)=⎩⎨⎧≤>,0,3,0,log 3x x x x 则f ［f(91)］的值是( )A.9B.91C.-9D.-91答案:B。
[配套K12]2018版高中数学 第三章 指数函数、对数函数和幂函数 3.1.2 第1课时 指数函数的概念、图象与性质学
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3.1.2 第1课时 指数函数的概念、图象与性质(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x的图象是________．(填序号)【解析】 ∵a ＝34∈(0,1)，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x是单调递减的，过(0,1)点，选③.【答案】 ③2．方程4x ＋2x－2＝0的解是________．【解析】 设2x＝t ，则原方程可化为t 2＋t －2＝0， 解得t ＝－2或t ＝1， 由t >0，得t ＝1. 故2x＝1，即x ＝0. 【答案】 x ＝03．已知集合M ＝{－1,1}，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<2x ＋1<4，x ∈Z.则M ∩N ＝________. 【解析】 ∵12<2x ＋1<4，∴2－1<2x ＋1<22，∴－1<x ＋1<2，∴－2<x <1. 又∵x ∈Z ，∴x ＝0或x ＝－1， 即N ＝{0，－1}， ∴M ∩N ＝{－1}． 【答案】 {－1} 4．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1.5，则y 1，y 2，y 3的大小关系为________．【解析】 y 1＝40.9＝21.8，y 2＝80.48＝21.44，y 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1.5＝21.5.∵y ＝2x在定义域内为增函数，且1.8>1.5>1.44， ∴y 1>y 3>y 2.【答案】 y 1>y 3>y 25．为了得到函数y ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的图象，可以把函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图象向________平移________个单位长度．【解析】 y ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1，将y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的图象右移1个单位即得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1的图象．【答案】 右 16．如图311是指数函数(1)y ＝a x，(2)y ＝b x，(3)y ＝c x，(4)y ＝d x的图象，则a ，b ，c ，d 与1的大小关系是________.图311【解析】 令x ＝1，如图所示， 由图知c 1>d 1>a 1>b 1，∴b <a <1<d <c . 【答案】 b <a <1<d <c7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x >0，x ＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a ＝________.【解析】 依题意，f (a )＝－f (1)＝－21＝－2，∵2x>0，∴a ≤0，∴f (a )＝a ＋1＝－2，故a ＝－3.【答案】 －38．下列图中，二次函数y ＝ax 2＋bx 与指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a x 的图象只可能为________．(填序号)【解析】 由指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a x 的图象知0<b a<1，∴a ，b 同号，二次函数y ＝ax 2＋bx 的对称轴是直线x ＝－b 2a ，而0>－b 2a >－12，∴②③④都不正确． 【答案】 ① 二、解答题 9．如果a2x ＋1≤ax －5(a ＞0，a ≠1)，求x 的取值范围.【解】 ①当0＜a ＜1时，由a 2x ＋1≤ax －5知2x ＋1≥x －5，解得x ≥－6.②当a ＞1时，由a2x ＋1≤ax －5，知2x ＋1≤x －5，解得x ≤－6. 综上所述，当0＜a ＜1时，x 的取值范围为{x |x ≥－6}； 当a ＞1时，x 的取值范围为{x |x ≤－6}． 10．作出下列函数的简图． (1)y ＝2x －1；(2)y ＝2－|x －1|；(3)y ＝|2x －1－1|.【解】 (1)y ＝2x －1的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，(1,1)和(2,2)且是增函数，它是由y ＝2x的图象向右平移1个单位得到的，如图(1)．(2)y ＝2－|x －1|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|的图象关于直线x ＝1对称，当x ≥1时是减函数，且与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1的图象相同，如图(2)．(3)y ＝|2x －1－1|的图象是由y ＝2x的图象向右平移1个单位，再向下平移1个单位后，将x 轴下方的图象沿x 轴对折得到的．图象经过(1,0)及(2,1)点，如图(3)．[能力提升]1．函数y ＝|2x－2|的图象是________．(填序号)【解析】 y ＝2x－2的图象是由y ＝2x的图象向下平移2个单位长度得到的，故y ＝|2x－2|的图象是由y ＝2x －2的图象在x 轴上方的部分不变，下方的部分对折到x 轴的上方得到的．【答案】 ②2．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x >1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2，x ≤1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为________．【解析】 因为f (x )在R 上是增函数，所以结合图象(略)知⎩⎪⎨⎪⎧a >1，4－a 2>0，4－a 2＋2≤a ，解得4≤a <8. 【答案】 4≤a <8 3．已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x，若实数m ，n 满足f (m )＞f (n )，则m ，n 的大小关系为________．【解析】 ∵0＜5－12＜1，∴f (x )＝a x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12x ， 且f (x )在R 上单调递减． 又∵f (m )＞f (n )，∴m ＜n . 【答案】 m ＜n4．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x－1|＋1(a >0且a ≠1)的图象有两个公共点，求a 的取值范围.【解】 当a >1时，函数y ＝|a x－1|＋1通过平移变换和翻折变换可得如图所示的图象(实线)，由图可知1<2a <2， 即12<a <1，与a >1矛盾． 当0<a <1时，同样函数y ＝|a x－1|＋1通过平移变换和翻折变换得到如图所示的图象(虚线)，由图可知1<2a <2，即12<a <1.∴当直线y ＝2a 与函数y ＝|a x－1|＋1的图象有两个交点时a 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪12<a <1.。
[配套K12]2018版高中数学 第三章 指数函数、对数函数和幂函数章末综合测评 苏教版必修1
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(三) 指数函数、对数函数和幂函数(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2xx ，log 2 xx ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值是________．【解析】 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2 12＝f (－1)＝2－1＝12.【答案】 122．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是________．(填序号) ①y ＝1x；②y ＝e －x ；③y ＝－x 2＋1；④y ＝lg|x |.【解析】 ①项，y ＝1x是奇函数，故不正确；②项，y ＝e －x为非奇非偶函数，故不正确；③④两项中的两个函数都是偶函数，且y ＝－x 2＋1在(0，＋∞)上是减函数，y ＝lg |x |在(0，＋∞)上是增函数，故选③.【答案】 ③3．f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝2 016x＋log 2 016 x ，则函数f (x )的零点的个数是________．【解析】 作出函数y 1＝2 016x ，y 2＝－log 2 016x 的图象，可知函数f (x )＝2 016x＋log 2016x 在x ∈(0，＋∞)内存在一个零点，又因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (x )在x ∈(－∞，0)上也有一个零点，又f (0)＝0，所以函数f (x )的零点的个数是3个．【答案】 34．把函数y ＝a x向________平移________个单位得到函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －x ＋2的图象，函数y ＝a 3x －2(a >0且a ≠1)的图象过定点________．【解析】 y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －x ＋2＝a x －2可由y ＝a x 向右平移2个单位得到．令3x －2＝0，即x ＝23，则y ＝1，∴y ＝a3x －2的图象过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1.【答案】 右 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 5．设12 015<⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015b <⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015a <1，那么a b ，a a ，b a 的大小关系为________．【解析】 根据指数函数的性质，可知0<a <b <1，根据指数函数的单调性，可知a b<a a，根据幂函数的单调性，可知a a<b a，从而有a b<a a<b a.【答案】 a b<a a<b a6．已知集合A ＝{y |y ＝log 2 x ，x >1}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x >1，则A ∩B ＝________.【解析】 ∵x >1，∴y ＝log 2 x >log 2 1＝0， ∴A ＝(0，＋∞)，又∵x >1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <12，∴B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. ∴A ∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 7．已知y ＝f (2x)的定义域为[－3,3]，则f (x 3)的定义域为________.【解析】 由题知，x ∈[－3,3]时，2x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，8，∴x 3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，8，∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.即f (x 3)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，28．用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间(2,4)上的实数根时，下一个有根区间是________．【解析】 设f (x )＝x 3－2x －5，则f (2)<0，f (3)>0，f (4)>0，有f (2)f (3)<0，则下一个有根区间是(2,3)．【答案】 (2,3)9．若f (x )为奇函数，且x 0是y ＝f (x )－e x的一个零点，则－x 0一定是下列哪个函数的零点________．(填序号)(1)y ＝f (－x )e x ＋1；(2)y ＝f (x )e x＋1； (3)y ＝f (－x )e －x－1；(4)y ＝f (x )e x－1.【解析】 f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，x 0是y ＝f (x )－e x的一个零点，∴f (x 0)＝e x 0，将－x 0代入各函数式，代入(2)时，可得y ＝f (－x 0)e －x 0＋1＝－f (x 0)e －x 0＋1＝－e x 0e －x 0＋1＝0，因此－x 0是函数y ＝f (x )e x＋1的零点．【答案】 (2)10．有浓度为90%的溶液100 g ，从中倒出10 g 后再倒入10 g 水称为一次操作，要使浓度低于10%，这种操作至少应进行的次数为________．(参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)【解析】 操作次数为n 时的浓度为⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ＋1，由⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ＋1＜10%，得 n ＋1＞－1lg 910＝－12lg 3－1≈21.8， 所以n ≥21. 【答案】 2111．下列说法中，正确的是________．(填序号) ①任取x >0，均有3x >2x； ②当a >0，且a ≠1时，有a 3>a 2； ③y ＝(3)－x是增函数； ④y ＝2|x |的最小值为1；⑤在同一坐标系中，y ＝2x 与y ＝2－x的图象关于y 轴对称； ⑥图象与y ＝3x的图象关于y ＝x 对称的函数为y ＝log 3 x . 【解析】 对于①，可知任取x >0,3x >2x一定成立． 对于②，当0<a <1时，a 3<a 2，故②不一定正确． 对于③，y ＝(3)－x＝⎝⎛⎭⎪⎫33x ，因为0<33<1，故y ＝(3)－x是减函数，故③不正确． 对于④，因为|x |≥0，∴y ＝2|x |的最小值为1，故正确． 对于⑤，y ＝2x与y ＝2－x的图象关于y 轴对称是正确的． 对于⑥，根据反函数的定义和性质知，⑥正确． 【答案】 ①④⑤⑥12．若函数f (x )＝a x－x －a (a ＞0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围为________．【解析】 f (x )＝a x－x －a (a ＞0)有两个零点，即a x－x －a ＝0有两个根， ∴a x＝x ＋a 有两个根．∴y ＝a x 与y ＝x ＋a 有两个交点． 由图形知，a ＞1.【答案】 (1，＋∞)13．若存在x ∈[2,3]，使不等式1＋axx ·2x ≥1成立，则实数a 的最小值为________．【解析】 因为x ∈[2,3]，所以不等式可化为a ≥2x －1x ，设y ＝2x －1x，因为y ＝2x和y＝－1x 在区间[2,3]上为增函数，所以函数y ＝2x－1x在区间[2,3]上为增函数，则其值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤72，233，由题意得a ≥72，所以实数a 的最小值为72. 【答案】 7214．已知函数f (x )＝log 3 x ＋2，x ∈[1,9]，则函数y ＝f 2(x )＋2f (x 2)的最大值为________.【解析】 由题知⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤9，1≤x 2≤9⇒1≤x ≤3，故y ＝f 2(x )＋2f (x 2)的定义域为[1,3]，y ＝(log 3 x ＋2)2＋2(log 3 x 2＋2)＝(log 3 x )2＋8log 3 x ＋8＝(log 3 x ＋4)2－8，当x ∈[1,3] 时，log 3 x ∈[0,1]，∴y ∈[8,17]． 【答案】 17二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)计算下列各式的值： (1)3－π3＋4－π4；(2)2log 5 10＋log 5 0.25；【解】 (1)原式＝(3－π)＋(π－2)＝1.(2)原式＝2log 5 (2×5)＋log 5 0.52＝2(log 5 2＋log 5 5)＋2log 5 12＝2(log 5 2＋1－log 52)＝2.＝49＋105－105－20＋1 ＝－1679.16．(本小题满分14分)已知幂函数y ＝f (x )＝x －2m 2－m ＋3，其中m ∈{x |－2<x <2，x ∈Z }，满足：(1)是区间(0，＋∞)上的增函数；(2)对任意的x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0.求同时满足(1)，(2)的幂函数f (x )的解析式，并求x ∈[0,3]时f (x )的值域． 【解】 因为m ∈{x |－2<x <2，x ∈Z }， 所以m ＝－1,0,1.因为对任意x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0， 即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．当m ＝－1时，f (x )＝x 2只满足条件(1)而不满足条件(2)；当m ＝1时，f (x )＝x 0条件(1)、(2)都不满足；当m ＝0时，f (x )＝x 3条件(1)、(2)都满足，且在区间[0,3]上是增函数． 所以幂函数f (x )的解析式为f (x )＝x 3所以x ∈[0,3]时，函数f (x )的值域为[0,27]．17．(本小题满分14分)(1)已知－1≤x ≤2，求函数f (x )＝3＋2·3x ＋1－9x的值域；(2)已知－3≤log 12x ≤－32，求函数f (x )＝log 2 x 2·log 2 x4的值域．【解】 (1)f (x )＝3＋2·3x ＋1－9x ＝－(3x )2＋6·3x ＋3，令3x ＝t ，则y ＝－t 2＋6t ＋3＝－(t －3)2＋12，∵－1≤x ≤2，∴13≤t ≤9，∴当t ＝3，即x ＝1时，y 取得最大值12；当t ＝9，即x ＝2时，y 取得最小值－24，即f (x )的最大值为12，最小值为－24，所以函数f(x )的值域为[－24,12]．(2)∵－3≤log 12x ≤－32，∴－3≤log 2x log 212≤－32，即－3≤log 2x －1≤－32，∴32≤log 2x ≤3. ∵f (x )＝log 2x 2·log 2x4＝(log 2x －log 2 2)·(log 2x －log 24) ＝(log 2x －1)·(log 2x －2)． 令t ＝log 2x ，则32≤t ≤3，f (x )＝g (t )＝(t －1)(t －2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322－14. ∵32≤t ≤3， ∴f (x )max ＝g (3)＝2，f (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－14. ∴函数f (x )＝log 2x 2·log 2x 4的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2.18．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝log 131＋x1＋ax(a ≠1)是奇函数， (1)求a 的值；(2)若g (x )＝f (x )＋21＋2x，x ∈(－1,1)，求g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12的值；(3)若g (m )>g (n )(m ，n ∈(－1,1))，比较m ，n 的大小.【解】 (1)∵f (x )为奇函数，∴对定义域内任意x ，都有f (－x )＋f (x )＝0， 即log 131－x 1－ax ＋log 131＋x 1＋ax ＝log 131－x21－a 2x2＝0，∴a ＝±1，由条件知a ≠1，∴a ＝－1.(2)∵f (x )为奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，令 h (x )＝21＋2x ，则h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝21＋2＋21＋12＝2，∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2. (3)f (x )＝log 131＋x 1－x＝log 13⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋21－x 随x 增大，1－x 减小，∴21－x 增大，∴1＋x1－x 增大，∴f (x )单调递减，又h (x )＝21＋2x 也随x 增大而减小，∴g (x )单调递减．∵g (m )>g (n )，∴m <n .19．(本小题满分16分)经市场调查，某种商品在过去50天的销售价格(单位：元)均为销售时间t (天)的函数，且销售量(单位：件)近似地满足f (t )＝－2t ＋200(1≤t ≤50，t ∈N )，前30天价格(单位：元)为g (t )＝12t ＋30(1≤t ≤30，t ∈N )，后20天价格(单位：元)为g (t )＝45(31≤t ≤50，t ∈N )．(1)写出该种商品的日销售额S (元)与时间t (天)的函数关系式； (2)求日销售额S 的最大值． 【解】 (1)根据题意，得S ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2t ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ＋30，1≤t ≤30，t ∈N ，－2t ＋，31≤t ≤50，t ∈N ，＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋40t ＋6 000，1≤t ≤30，t ∈N ，－90t ＋9 000，31≤t ≤50，t ∈N .(2)当1≤t ≤30，t ∈N 时，S ＝－(t －20)2＋6 400，当t ＝20时，S 的最大值为6 400； 当31≤t ≤50，t ∈N 时，S ＝－90t ＋9 000为减函数，当t ＝31时，S 的最大值是6 210.∵6 210<6 400，∴当销售时间为20天时，日销售额S 取最大值6 400元．20．(本小题满分16分)在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息)．在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q (百件)与销售价格P (元)的关系如图所示；③每月需各种开支2 000元．图1(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？ 【解】 设该店月利润余额为L ，则由题设得L ＝Q (P －14)×100－3 600－2 000，① 由销量图易得 Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2P ＋P ，－32P ＋P，代入①式得L ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧－2P ＋P －－P ，⎝⎛⎭⎪⎫－32P ＋40P －－P ≤2，(1)当14≤P ≤20时，L max ＝450元，此时P ＝19.5元； 当20<P ≤26时，L max ＝1 2503元，此时P ＝613元．故当P ＝19.5元时，月利润余额最大，为450元． (2)设可在n 年后脱贫，依题意有12n ×450－50 000－58 000≥0，解得n ≥20. 即最早可望在20年后脱贫．。
[配套K12]2018版高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3 第1课时 指数函数的图像与性质学案 北师大版必修1
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第1课时 指数函数的图像与性质学习目标 1.理解指数函数的概念和意义(重点)；2.能借助计算器或计算机画出指数函数的图像；3.初步掌握指数函数的有关性质(重、难点)．预习教材P70－76完成下列问题： 知识点一 指数函数的概念一般地，函数y ＝a x(a >0，a ≠1)叫作指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R ． 【预习评价】1．指数函数定义中为什么规定a 大于0且不等于1? 提示 规定a 大于0且不等于1的理由：(1)如果a ＝0，当x >0时，a x恒等于0；当x ≤0时，a x无意义．(2)如果a <0，如y ＝(－2)x，对于x ＝12，14，…时在实数范围内函数值不存在．(3)如果a ＝1，y ＝1x是一个常量，对它无研究价值．为了避免上述各种情况，所以规定a >0且a ≠1．2．结合教材P70－71，你认为怎样求指数函数的解析式？ 提示 第一步：设出一般形式(已给出的省略此步)． 第二步：代入题中条件求底数． 第三步：写出结果．知识点二 指数函数的图像和性质(1)指数函数y ＝a x过定点(0,0)．( ) (2)y ＝2－x在R 上单调递减．( )(3)函数y ＝5x －1是指数函数．( )提示 (1)错误．指数函数y ＝a x经过点(0,1)，故错误． (2)正确．y ＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，底数为12∈(0,1)，故该函数单调递减．(3)错误．指数函数的指数必须是x ，前面的系数为1． 答案 (1)× (2)√ (3)×题型一 指数函数的概念 【例1】 给出下列函数： ①y ＝2·3x；②y ＝3x ＋1；③y ＝3x ；④y ＝x 3；⑤y ＝(－2)x.其中，指数函数的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析 ①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y ＝3x ＋1的指数是x ＋1，不是自变量x ，故②不是指数函数；③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x ，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，y ＝x 3的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．⑤中，底数－2<0，不是指数函数．答案 B规律方法 1.指数函数的解析式必须具有三个特征：(1)底数a 为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x ；(3)a x的系数是1． 2．求指数函数的关键是求底数a ，并注意a 的限制条件． 【训练1】 函数y ＝(2a 2－3a ＋2)·a x是指数函数，求a 的值． 解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－3a ＋2＝1，a >0，a ≠1，解得a ＝12．∴a 的值为12．题型二 指数函数的图像【例2】 如图是指数函数①y ＝a x，②y ＝b x，③y ＝c x，④y ＝d x的图像，则a ，b ，，c ，d 与1的大小关系是( )A ．a <b <1<c <dB ．b <a <1<d <cC ．1<a <b <c <dD ．a <b <1<d <c解析方法一在y轴的右侧，指数函数的图像由下到上，底数依次增大．由指数函数图像的升降，知c>d>1，b<a<1．∴b<a<1<d<c．方法二如图，作直线x＝1，与四个图像分别交于A、B、C、D四点，由于x＝1代入各个函数可得函数值等于底数的大小，所以四个交点的纵坐标越大，则底数越大，由图可知b<a<1<d<c.故选B．答案 B规律方法无论指数函数的底数a如何变化，指数函数y＝a x(a>0，a≠1)的图像与直线x＝1相交于点(1，a)，由图像可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大．【训练2】如图，若0<a<1，则函数y＝a x与y＝(a－1)x2的图像可能是( )解析0<a<1时，a－1<0，因此y＝(a－1)x2图像开口向下．答案 D题型三指数函数的图像变换【例3】已知f(x)＝2x的图像，指出下列函数的图像是由y＝f(x)的图像通过怎样的变化得到：(1)y＝2x＋1；(2)y＝2x－1；(3)y＝2x＋1；(4)y＝2－x；(5)y＝2|x|．解(1)y＝2x＋1的图像是由y＝2x的图像向左平移一个单位得到．(2)y＝2x－1的图像是由y＝2x的图像向右平移1个单位得到．(3)y＝2x＋1的图像是由y＝2x的图像向上平移1个单位得到．(4)∵y＝2－x与y＝2x的图像关于y轴对称，∴作y＝2x的图像关于y轴的对称图形便可得到y＝2－x的图像．(5)∵y＝2|x|为偶函数，故其图像关于y轴对称，故先作出当x≥0时，y＝2x的图像，再作关于y轴的对称图形，即可得到y＝2|x|的图像．规律方法指数函数y＝a x(a>0，a≠1)的图像变换：(1)平移变换：把函数y＝a x的图像向左平移φ(φ>0)个单位，则得到函数y＝a x＋φ的图像；若向右平移φ(φ>0)个单位，则得到函数y ＝ax －φ的图像；若向上平移φ(φ>0)个单位，则得到y ＝a x＋φ的图像；若向下平移φ(φ>0)个单位，则得到y ＝a x－φ的图像．即“左加右减，上加下减”．(2)对称变换：函数y ＝a －x的图像与函数y ＝a x 的图像关于y 轴对称；函数y ＝－a x的图像与函数y ＝a x 的图像关于x 轴对称；函数y ＝－a －x 的图像与函数y ＝a x的图像关于原点对称；函数y ＝a |x |的图像关于y 轴对称；函数y ＝|a x －b |的图像就是y ＝a x－b 在x 轴上方的图像不动，把x 轴下方的图像翻折到x 轴上方．(3)一般的情形：①函数y ＝|f (x )|的图像由y ＝f (x )在x 轴上方图像与x 轴下方的部分沿x 轴翻折到上方合并而成，简记为“下翻上，擦去下”；②函数y ＝f (|x |)的图像由函数y ＝f (x )在y 轴右方图像与其关于y 轴对称的图像合并而成，简记为“右翻左，擦去左”．【训练3】 (1)函数y ＝|2x－2|的图像是( )(2)直线y ＝2a 与函数y ＝|a x－1|(a >0且a ≠1)的图像有两个公共点，则a 的取值范围是________．解析 (1)y ＝2x－2的图像是由y ＝2x的图像向下平移2个单位长度得到的，故y ＝|2x－2|的图像是由y ＝2x －2的图像在x 轴上方的部分不变，下方部分对折到x 轴的上方得到的．(2)当a >1时，在同一坐标系中作出函数y ＝2a 和y ＝|a x－1|的图像(如图(1))．由图像可知两函数图像只能有一个公共点，此时无解．当0<a <1时，作出函数y ＝2a 和y ＝|a x－1|的图像(如图(2))．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x－1|(a >0且a ≠1)的图像有两个交点，由图像可知0<2a <1，所以0<a <12．答案 (1)B (2)0<a <12【探究1】 求下列函数的定义域和值域：(1)y ＝21x -4 ；(2)y ＝1－2x；(3)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3；(4)y ＝4x ＋2x ＋1＋1． 解 (1)由x －4≠0，得x ≠4，故y ＝21x -4 的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠4}． 又1x －4≠0，即21x -4 ≠1． 故y ＝21x -4 的值域为{y |y >0，且y ≠1}． (2)由1－2x ≥0，得2x≤1，∴x ≤0， ∴y ＝1－2x的定义域为(－∞，0]． 由0<2x ≤1，得－1≤－2x <0，∴0≤1－2x<1， ∴y ＝1－2x的值域为[0,1)． (3)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 x 2－2x －3的定义域为R ． ∵x 2－2x －3＝(x －1)2－4≥－4，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12 x 2－2x －3≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16． 又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3>0， 故函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 x 2－2x －3的值域为(0,16]．(4)定义域为R ． ∵y ＝4x＋2x ＋1＋1＝(2x )2＋2·2x ＋1＝(2x ＋1)2，又2x>0，∴y >1，故函数的值域为{y |y >1}． 【探究2】 求y ＝a |x |(a >0，a ≠1)的值域．解 当a >1时，函数y ＝a x在R 上是增函数，∵|x |≥0，∴y ≥1； 当0<a <1时，函数y ＝a x在R 上是减函数， ∵|x |≥0，∴0<y ≤1．综上所述，当a >1时，函数的值域是[1，＋∞)； 当0<a <1时，函数的值域是(0,1]．【探究3】 (1)已知函数y ＝a x－1(a >0，且a ≠1)的定义域是(－∞，0]，求实数a 的取值范围．(2)若函数f (x )＝a x－1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a 的值． 解 (1)由a x －1≥0，得a x≥1．因为函数的定义域是(－∞，0]，所以a x≥1的解集为(－∞，0]，所以0<a <1． (2)当a >1时，函数f (x )＝a x－1在[0,2]上是增函数，由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧ a 0－1＝0a 2－1＝2，解得a ＝3．当0<a <1时，函数f (x )＝a x－1在[0,2]上是减函数，由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧a 0－1＝2a 2－1＝0，此时a 无解．综上所述，a ＝3．【探究4】 已知函数y ＝a 2x＋2a x－1(a >0，且a ≠1)在区间[－1,1]上有最大值14，求a 的值．解 y ＝(a x )2＋2a x －1＝(a x＋1)2－2．令a x＝t ，则y ＝(t ＋1)2－2，对称轴方程为t ＝－1． ①当a >1时，因为－1≤x ≤1，所以1a≤a x≤a ，即1a≤t ≤a ，函数图像在对称轴右侧，是单调递增的，所以当t ＝a 时有最大值，所以(a ＋1)2－2＝14， 所以a ＝3．②当0<a <1时，因为－1≤x ≤1，所以a ≤a x≤1a，即a ≤t ≤1a，函数图像在对称轴右侧，是单调递增的，所以当t ＝1a时有最大值，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12－2＝14，所以a ＝13．综合①②知，a的值为3或1 3．规律方法函数y＝a f(x)定义域、值域的求法(1)定义域：形如y＝a f(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合．(2)值域：①换元，令t＝f(x)；②求t＝f(x)的定义域x∈D；③求t＝f(x)的值域t∈M；④利用y＝a t的单调性求y＝a t，t∈M的值域．提醒(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集．(2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论．(3)研究y＝f(a x)型的复合函数的单调性，一般用复合法，即设t＝a x，再由内层函数t ＝a x与外层函数y＝f(t)的单调性来确定函数y＝f(a x)的单调性．课堂达标1．下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是( )A．y＝(－4)x B．y＝λx(λ>1)C．y＝－4x D．y＝a x＋2(a>0且a≠1)解析由指数函数的定义知y＝λx(λ>1)是指数函数．答案 B2．指数函数y＝a x与y＝b x的图像如图所示，则( )A．a<0，b<0 B．a<0，b>0C．0<a<1，b>1 D．0<a<1,0<b<1解析因为y＝a x是减函数，y＝b x是增函数，所以0<a<1，b>1．答案 C3．指数函数y＝f(x)的图像过点(2,4)，则f(3)＝________．解析设f(x)＝a x(a>0且a≠1)，因为f(2)＝4，所以a2＝4，故a＝2或a＝－2(舍去)，所以f(3)＝23＝8．答案84．函数y＝1－3x的定义域是________．解析1－3x≥0,3x≤1，所以x≤0，故定义域为(－∞，0]．答案(－∞，0]5．已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图像经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，其中a >0且a ≠1． (1)求a 的值；(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域．解 (1)因为f (2)＝12，所以a 2－1＝12即a ＝12．(2)因为y ＝f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x ≥0．所以x －1≥－1，故⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2，即函数的值域为(0,2]．课堂小结1．指数函数的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)，且f (0)＝1．2．当a >1时，a 的值越大，图像越靠近y 轴，递增速度越快．当0<a <1时，a 的值越小，图像越靠近y 轴，递减的速度越快．。
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3.4.2 函数模型及其应用(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．一等腰三角形的周长为40，底边y 是关于腰x 的函数，它的解析式为________． 【解析】 由题意得2x ＋y ＝40， 所以y ＝40－2x .∵y >0，∴40－2x >0，∴x <20. 又∵三角形两边之和大于第三边，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x >y ，y ＝40－2x ，解得x >10，∴10<x <20.【答案】 y ＝40－2x (10<x <20)2．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________万元．【解析】 依题意可设甲地销售x 辆，则乙地销售(15－x )辆，所以总利润S ＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x )＝－0.15x 2＋3.06x ＋30(x ≥0)，所以当x ＝10时，S max ＝45.6(万元)．【答案】 45.63．图346中折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y (元)与通话时间t (min)之间的函数关系图象，根据图象填空：通话2 min ，需付电话费________元；通话5 min ，需付电话费________元；如果t ≥3 min，电话费y (元)与通话时间t (min)之间的函数关系式是________．图346【解析】 由图知，通话2 min ，需付电话费3.6元； 通话5 min 付电话费6元； 当t ≥3时，设y ＝kx ＋b ，则有⎩⎪⎨⎪⎧3.6＝3k ＋b ，6＝5k ＋b ，解得k ＝1.2，b ＝0， ∴y ＝1.2t (t ≥3)．【答案】 3.6 6 y ＝1.2t (t ≥3)4．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩留的物质约是原来的45.经过________年，剩留的物质是原来的64125.【解析】 先求剩留量y 随时间x (年)变化的函数关系式，设物质最初的质量为1，则经过1年，y ＝1×45＝45，经过2年，y ＝45×45＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452，…，那么经过x 年，则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45x.依题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫45x ＝64125，解得x ＝3. 【答案】 35．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件.【解析】 利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L (x )有最大值．【答案】 186．已测得(x ，y )的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y ＝x 2＋1，乙：y ＝3x －1.若又测得(x ，y )的一组对应值为(3,10.2)，则选用________作为拟合模型较好．【解析】 对于甲：x ＝3时，y ＝32＋1＝10，对于乙：x ＝3时，y ＝8，因此用甲作为拟合模型较好．【答案】 甲7．某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t (分钟)与打出电话费S (元)的函数关系如图347所示．当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差________元．图347【解析】 设A 种方式对应的函数解析式为S ＝k 1t ＋20，B 种方式对应的函数解析式为S ＝k 2t .当t ＝100时，100k 1＋20＝100k 2，所以k 2－k 1＝15，t ＝150时，150k 2－150k 1－20＝150×15－20＝10(元)．【答案】 108．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a ，经过t 天后体积V 与天数t 的关系式为：V ＝a ·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为49a .若一个新丸体积变为827a ，则需经过的天数为________．【解析】 由已知，得49a ＝a ·e －50k，【答案】 75 二、解答题9．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设物体的初始温度是T 0，经过一定时间t 后的温度是T ，则T －T a ＝，其中T a 表示环境温度，h 称为半衰期．现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min ，那么降温到32 ℃时，需要多长时间？因此，约需30 min ，可降温到32 ℃.10．一片森林原来的面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22， (1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年？【解】 (1)设每年砍伐面积的百分比为x (0<x <1)，则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12，解得m ＝5，故到今年为止，已砍伐了5年． (3)设从今年开始，再砍伐n 年， 则n 年后剩余面积为22a (1－x )n .n10≤32，解得n ≤15.故今后最多还能砍伐15年． [能力提升]1．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cx，x <A ，c A ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是________．【解析】因为组装第A件产品用时15分钟，所以cA＝15，①所以必有4<A，且c4＝c2＝30，②联立①②解得c＝60，A＝16.【答案】60,162．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是________cm2.【解析】设一段长为x cm，则另一段长为(12－x) cm.∴S＝34⎝⎛⎭⎪⎫x32＋34⎝⎛⎭⎪⎫4－x32＝318(x－6)2＋23≥2 3.【答案】2 33．如图348所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系：y＝a t，有以下叙述：图348①这个指数函数的底数为2；②第5个月时，浮萍面积会超过30 m2；③浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要再经过1.5个月；④浮萍每月增加的面积都相等；⑤若浮萍蔓延到2 m2,3 m2,6 m2，所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3.其中正确的是________．(填序号)【解析】①显然正确；当t＝5时，y＝25＝32>30，故②正确；当t＝2时，y＝4，当t＝3.5时，y＝11.31<12，故经过3.5个月并不能使浮萍的面积达到12 m2，故③不正确；由图象可知，经过第一个月时，面积增加2－1＝1 m2，再经过一个月时，面积增加4－2＝2 m2，故④不正确；当浮萍面积为2 m2时，t1＝1，当浮萍面积为3 m2时，t2＝log2 3，当面积为6 m2时，t3＝log2 6，而1＋log2 3＝log2 6，故⑤正确．【答案】①②⑤4．某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件．为了估计以后每个月的产量，以这3个月的产品数量为依据，用一个函数来模拟该产品的月产量y 与月份x 的关系．模拟函数可以选用二次函数或函数y ＝a ·b x＋c (a ，b ，c 为常数)．已知4月份该产品的产量为1.37万件，试问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由.【解】 设两个函数：y 1＝f (x )＝px 2＋qx ＋r (p ≠0)， y 2＝g (x )＝a ·b x ＋c .依题意，⎩⎪⎨⎪⎧f ＝p ＋q ＋r ＝1，f ＝4p ＋2q ＋r ＝1.2，f＝9p ＋3q ＋r ＝1.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－0.05，q ＝0.35，r ＝0.7.∴y 1＝f (x )＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7， ∴f (4)＝1.3(万件)．依题意，⎩⎪⎨⎪⎧g ＝ab ＋c ＝1，g＝ab 2＋c ＝1.2，g＝ab 3＋c ＝1.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.8，b ＝0.5，c ＝1.4.∴y 2＝g (x )＝－0.8×0.5x＋1.4.∴g (4)＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35(万件)．经比较，g (4)＝1.35万件比f (4)＝1.3万件更接近于4月份的产量1.37万件． ∴选y 2＝g (x )＝－0.8×0.5x＋1.4作为模拟函数较好．。