2019-2020学年吉林省延边二中高三(上)第一次调研数学试卷1(9月份) (含答案解析)
吉林省延边二中2019-2020学年高二上学期期中数学试卷1 (有解析)
吉林省延边二中2019-2020学年高二上学期期中数学试卷1一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1. 命题“∀x ∈R ，x 2−4≥0”的否定是 ( )A. ∀x ∈R ，x 2−4≤0B. ∀x ∈R ，x 2−4<0C. ∃x ∈R ，x 2−4≥0D. ∃x ∈R ，x 2−4<02. 下列说法中正确的是( )A. 一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B. “|a|>|b|”与“a 2>b 2”不等价．C. “a 2+b 2=0，则a ，b 全为0”的逆否命题是“若a ，b 全不为0，则a 2+b 2≠0”．D. 一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．3. 在等差数列{a n }中，若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=450，则a 2+a 8的值等于( )A. 45B. 90C. 180D. 3004. 已知实数x ，y 满足{y ⩽2x +y ⩾2x −y +1⩽0则3x +2y 的最大值为( )A. 7B. 5C. 4D. 925. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4=8，S 8=20，则a 11+a 12+a 13+a 14=( )A. 18B. 17C. 16D. 156. 已知函数f(x)=x 2+ax +4，若对任意的x ∈(0,2]，f(x)≤6恒成立，则实数a 的最大值为()A. −1B. 1C. −2D. 27. 已知点(a,b)在直线x +2y +3=0上运动，则2a +4b 有( )A. 最大值16B. 最大值√22C. 最小值16D. 最小值√228. 关于x 的不等式x 2−ax +4≥0在区间[1,2]上有解，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,4)B. (−∞,5)C. (−∞,5]D. (−∞,4]9. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n =3n +a ，则数列{a n 2}的前n 项和为( )A. 9n −12B. 9n −14C. 9n −18D. 9n −110. 在等差数列中，a 9=3，则此数列前17项和等于( )A. 51B. 34C. 102D. 不能确定11. 在等差数列{a n }中，a 3+a 7=2，数列{b n }是等比数列，且a 5=b 5，则b 4⋅b 6=( )A. 1B. 2C. 4D. 812. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m−1=−2，S m =0，S m+1=3，则m =( )A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）13.已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足：a1+b1=3，a2+b2=7，a3+b3=15，a4+b4=35，则a5+b5=______ ．14.已知a>3，则4a−3+a−316的最小值为______．15.已知数列{a n}中，a n∈N+，对于任意n∈N+，a n≤a n+1，若对于任意正整数K，在数列中恰有K个K出现，求a50=______ ．16.设S n为数列{a n}的前n项和，S n=kn2+n，n∈N∗，其中k是常数，若对于任意的m∈N∗，a m，a2m，a4m成等比数列，则k=________．三、解答题（本大题共6小题，共76.0分）17.已知a>0，且a≠1，设p：函数f(x)=log a x在(0,+∞)上单调递增；q：函数g(x)=x+ax在(0,+∞)上的最小值大于4．(1)试问p是q的什么条件？为什么？(2)若命题p∧q为假，命题p∨q为真，求a的取值范围．18.已知函数f(x)=|2x+m−1|+|2x−3|．(1)当m=2时，求不等式f(x)≤6的解集；(2)若f(x)≤|2x−6|的解集包含区间[−12,32]，求m的取值范围．19.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bcosC+(2a+c)cosB=0．(Ⅰ)求B；(Ⅱ)求a+cb的取值范围．20.(1)已知正实数a,b满足a+b+ab=8，求ab的最大值;(2)已知x,y>0，3x+2+3y+2=1，求x+2y的最小值．21.已知数列{a n}是等差数列，若a3+a11=30，a4=9．(1)求a n；(2)若数列{a n}的前n项和为S n，且b n=1S n ，证明：b1+b2+⋯+b n<34．22.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，S6=9S3．(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n=1+log2a n，求数列{b n}的前n项和．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】本题主要考查全称量词的命题的否定，比较基础．根据全称命题的否定是特称命题进行求解．【解答】解：全称命题的否定是特称命题，则命题的否定是：∃x∈R，x2−4<0．故选：D.2.答案：D解析：解：对于A：一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真，但是逆否命题不能判断真假；所以A不正确；对于B：“|a|>|b|”与“a2>b2”是等价不等式，所以B不正确；对于C：“a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b不全为0，则a2+b2≠0”，不是“若a，b全不为0，则a2+b2≠0”，所以C不正确；对于D：一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真，满足四种命题的真假关系，正确；故选：D．利用四种命题的真假关系判断A的正误；不等式的等价性判断B的正误；逆否命题的形式判断C的正误；利用四种命题的真假关系判断D的正误．本题考查命题的真假的判断与应用，是基本知识的考查．3.答案：C解析：【分析】本题考查等差数列的性质，属于基础题根据等差中项及已知条件可知a5=90，再由a2+a8=2a5即解．【解答】解：由a3+a4+a5+a6+a7=450得5a5=450，a5=90，所以a 2+a 8=2a 5=180．故选C ．4.答案：A解析：【分析】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于基础题．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图看出使目标函数取得最大值的点，求出点的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：实数x ，y 满足{y ⩽2x +y ⩾2x −y +1⩽0对应的可行域如下图所示：由{y =2x −y +1=0，解得A(1,2)，z =3x +2y 经过可行域的A 时，目标函数取得最大值．当x =1，y =2时，z =3x +2y =7，故z =3x +2y 的最大值为7．故选A ．5.答案：A解析：解：∵S 4=a 1+a 2+a 3+a 4=8，S 8=a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7+a 8=(a 1+a 2+a 3+a 4)+(a 1+4d +a 2+4d +a 3+4d +a 4+4d)=2(a 1+a 2+a 3+a 4)+16d =20，∴16+16d =20，即16d =4，可得出d =14，则a 11+a 12+a 13+a 14=a 1+10d +a 2+10d +a 3+10d +a 4+10d=(a1+a2+a3+a4)+40d=8+40×14=18．故选：A．由数列和的定义及S4的值，得出a1+a2+a3+a4的值，然后再由数列和的定义及等差数列的性质化简S8，将a1+a2+a3+a4的值及S8的值代入，得到关于d的方程，求出方程的解得到d的值，然后再利用等差数列的性质化简所求的式子后，将a1+a2+a3+a4的值及d的值代入，即可求出值．此题考查了等差数列的性质，以及等差数列求和公式，熟练掌握等差数列的性质是解本题的关键．6.答案：A解析：解：若不等式x2+ax+4≤6对一切x∈(0,2]恒成立，即a≤−x2+2x，x∈(0,2]恒成立．令f(x)=−x2+2x =−x+2x，x∈(0,2]．该函数在(0,2]上递减，所以f(x)min=f(2)=−1．则要使原式恒成立，只需a≤−1即可．故a的最大值为−1．故选：A．根据题意，可以将a分离出来，然后转化为求函数的最值问题来解．本题考查了不等式恒成立问题的基本思路，一般是转化为函数的最值问题来解，求参数范围时，能分离参数的尽量分离参数7.答案：D解析：【分析】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础试题．由已知可得a+2b=−3，然后利用基本不等式2a+4b≥2√2a⋅4b=2√2a+2b即可求解．【解答】解：∵点(a,b)在直线x+2y+3=0上运动，∴a+2b=−3则2a+4b≥2√2a⋅4b=2√2a+2b=√22，当且仅当2a=4b且a+2b=−3，即a=32，b=34时取最小值√22．故选：D．8.答案：C解析：【分析】本题考查了不等式有解的应用问题，也考查了函数的图象与性质的应用问题，是中档题．在x∈[1,2]上成立，用分离常数法得出不等式a≤x+4x在x∈[1,2]上的单调性求出a的取值范围．根据函数f(x)=x+4x【解答】解：关于x的不等式x2−ax+4≥0在区间[1,2]上有解，所以ax≤4+x2在x∈[1,2]上有解，在x∈[1,2]上成立；即a≤x+4x设函数f(x)=x+4，x∈[1,2]，x+1≤0恒成立，所以f′(x)=−4 x2所以f(x)在x∈[1,2]上是单调减函数，且f(x)的值域为[4,5]，在x∈[1,2]上有解，则有a≤5，要使a≤x+4x即实数a的取值范围是(−∞,5]．故选C．9.答案：A解析：【分析】本题考查了等比数列的通项公式，等比数列的性质，等比数列的前n项和，属于基础题．设等比数列{a n}的公比为q，由{a n}的前n项和为S n=3n+a，可得a1=3+a，a2=6，a3=18，由a22=a1·a3得a的值，则a n=2·3n−1，a n2=4·9n−1，由此可解．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，{a n}的前n项和为S n=3n+a，所以a1=3+a，a2=(9+a)−(3+a)=6，a3=(27+a)−(9+a)=18，a22=a1·a3，36=(3+a)·18，得a=−1，所以a1=2，q=3，则a n=2·3n−1，a n2=4·9n−1，所以数列{a n2}是首项为4，公比为9的等比数列，所以数列{a n2}的前n项和为4(1−9n)1−9=9n−12．故选：A．10.答案：A解析：【分析】由等差数列{a n}的性质可得：a1+a17=2a9=6，再利用前n项和公式即可得出．本题考查了等差数列的性质及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a9=3，∴a1+a17=2a9=6，∴此数列前17项的和S17=17(a1+a17)2=17×3=51．故选A．11.答案：A解析：【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式及其性质即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【解答】解：∵{a n}为等差数列，∴a5=a3+a72=1=b5，又{b n}为等比数列，则b4⋅b6=b52=1，故选：A．12.答案：C解析：【分析】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式及通项a n与S n的关系，考查学生的计算能力．由a n与S n 的关系可求得a m+1与a m，进而得到公差d，由前n项和公式及S m=0可求得a1，再由通项公式及a m= 2可得m值．【解答】解：a m=S m−S m−1=2，a m+1=S m+1−S m=3，所以公差d=a m+1−a m=1，S m=m(a1+a m)2=0，m−1>0，m>1，因此m不能为0，得a1=−2，所以a m=−2+(m−1)⋅1=2，解得m=5，故选：C．13.答案：91解析：解：∵a1+b1=3，①a2+b2=a1+d+b1q=7，②a3+b3=a1+2d+b1q2=15，③a4+b4=a1+3d+b1q3=35，④②−①可得，4−d=b1(q−1)，③−②可得，8−d=b1q(q−1)，④−③可得，20−d=b1q2(q−1)，当q=1时，不满足题意，当q≠1时，4−d 8−d =1q，8−d20−d=1q，4−d 8−d =8−d20−d，解方程可求d=2，q=3，b1=1，a1=2，∴a5+b5=10+81=91．故答案为：91分别利用等差数列的首项a1，公差d，等比数列的首项b1及公比q表示已知条件，然后解方程可求a1，b1，d，q，然后结合等差与等比的通项即可求解本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式的应用，解决本题的关键是求解方程的技巧14.答案：1解析：【分析】根据基本不等式即可求出最小值．本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．【解答】解：∵a>3，∴a−3>0，∴4a−3+a−316≥2√4a−3⋅a−316=1，当且仅当4a−3=a−316，即a=11时取等号，故答案为：1．15.答案：10解析：解：∵数列{a n}中，a n∈N+，对于任意n∈N+，a n≤a n+1，对任意的正整数k，该数列中恰有k个k，∴数列是1；2，2，；3，3，3；4，4，4，4；…则当n=9，1+2+3+⋯+n=n(n+1)2=9×102=45<50．当n=10，1+2+3+⋯+n=n(n+1)2=10×112=55>50，∴a50在第10组中，故a50=10．故答案为：10．利用已知条件，判断出数列中的各项特点，判断出第50项所在的组，由此能求出a50．本题考查数列的函数特性．解答关键是利用已知条件，判断出数列具有的函数性质，利用函数性质求出特定项．16.答案：0或1解析：【分析】本题考查数列等比关系的确定和求数列通项公式，先通过求a1=S1求得a1，进而根据当n≥2时a n= S n−S n−1求出a n，验证可得a n，根据a m，a2m，a4m成等比数列，可知a2m2=a m a4m，根据数列{a n}的通项公式，代入化简即可．【解答】解：由题意当n=1，a1=S1=k+1，当n≥2，a n=S n−S n−1=kn2+n−[k(n−1)2+(n−1)]=2kn−k+1(∗)．经检验，n=1时(∗)式成立，∴a n=2kn−k+1．∵a m，a2m，a4m成等比数列，∴a2m2=a m a4m，即(4km−k+1)2=(2km−k+1)(8km−k+1)，整理得：mk(k −1)=0，对任意的m ∈N ∗成立，∴k =0或k =1．故答案为0或1．17.答案：解：(1)由函数f(x)=log a x 在(0,+∞)上单调递增，得：a >1，当x >0时，x +a x ≥2√a(当且仅当x =√a 时取等号)即2√a >4，即a >4，故p 是q 的必要不充分条件，(2)命题p ∧q 为假，命题p ∨q 为真，则命题p ，q 一真一假，当p 真q 假时：{a >1a ≤4a >0，得1<a ≤4，当p 假q 真时有{a >0a ≤1a >4，无解，综上得：a 的取值范围(1,4]，故答案为：(1,4]．解析：(1)由由对数函数的单调性可得a >1，由均值不等式可得，x +a x ≥2√a(当且仅当x =√a 时取等号)，即a >4，故得解，(2)由命题p ∧q 为假，命题p ∨q 为真，则命题p ，q 一真一假，分p 真q 假，p 假q 真时两种情况讨论，列不等式组得解本题考查了对数函数的单调性、复合命题的真假及运算能力，属简单题 18.答案：解：(1)当m =2时，只需解不等式|2x +1|+|2x −3|≤6．当x <−12时，不等式化为−(2x +1)−(2x −3)≤6，解得−1≤x <−12；当−12≤x ≤32时，不等式化为(2x +1)−(2x −3)≤6，解得−12≤x ≤32；当x >32时，不等式等价于(2x +1)+(2x −3)≤6，解得32<x ≤2综上，不等式的解集为{x|−1≤x ≤2}．(2)因为|2x +m −1|+|2x −3|≤|2x −6|的解集包含区间[−12,32]，所以当x ∈[−12,32]时，|2x +m −1|+|2x −3|≤|2x −6|成立，也就是|2x +m −1|−(2x −3)≤−(2x −6)，即|2x +m −1|≤3成立．解上述不等式得−3≤2x +m −1≤3，即−1−m 2≤x ≤2−m 2． 由已知条件[−12,32]⊆[−1−m 2,2−m 2]，所以{−12≥−1−m 232≤2−m 2， 解得−1≤m ≤1．所以m 的取值范围是{m|−1≤m ≤1}．解析：(1)m =2时，利用分段讨论法求不等式|2x +1|+|2x −3|≤6的解集；(2)问题化为x ∈[−12,32]时|2x +m −1|+|2x −3|≤|2x −6|成立，化简为|2x +m −1|≤3成立，即−1−m 2≤x ≤2−m 2，由题意列出不等式组求出m 的取值范围． 本题考查了不等式恒成立的应用问题，也考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，是中档题． 19.答案：解：(Ⅰ)∵bcosC +(2a +c)cosB =0，由正弦定理得：sinBcosC +(2sinA +sinC)cosB =0，sin(B +C)+2sinAcosB =0，化简得：sinA +2sinAcosB =0，又∵sinA >0，∴1+2cosB =0，cosB =−12，∵B ∈(0,π)，∴B =2π3． (Ⅱ)a+c b =sinA+sinC sinB=2√3[sinA +sin(π−A)] =2√33(12sinA +√32cosA) =2√33sin(A +π3)， 又∵A ∈(0,π3)，A +π3∈(π3,2π3)，sin(A +π3)∈(√32,1]， ∴a+c b 的取值范围是(1,2√33].解析：本题主要考查了正弦定理及三角函数恒等变换的应用，属于基础题．(Ⅰ)由正弦定理化简已知可得sinA +2sinAcosB =0，结合sinA >0，可得cosB =−12，结合B ∈(0,π)，即可得解B 的值．(Ⅱ)利用正弦定理及三角函数恒等变换可得a+c b =2√33sin(A +π3)，又由A ∈(0,π3)，可得A +π3∈(π3,2π3)，从而可得sin(A +π3)∈(√32,1]，即可求得a+c b 的取值范围．20.答案：(1)解：由题意得8=a +b +ab ≥2√ab +ab所以ab +2√ab −8≤0，即(√ab +4)(√ab −2)≤0，又a,b 均为正实数，解得0<√ab ≤2，所以0<ab ≤4，当且仅当a =b =2时等号成立，所以ab 的最大值为4．(2)解：根据题意，x +2y =(x +2)+2(y +2)−6=[(x +2)+2(y +2)](3+3)−6 =3+6+6(y +2)+3(x +2)−6 ≥3+2√6(y +2)x +2×3(x +2)y +2=3+6√2，当且仅当6(y+2)x+2=3(x+2)y+2即x =3√2+1，y =3√22+1时，等号成立．即x +2y 的最小值为3+6√2．解析：本题考查基本不等式求最值，属于中档题．(1)利用基本不等式转化为一元二次不等式即可求解．(2)利用基本不等式即可求解．21.答案：解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1+2d +a 1+10d =30，a 1+3d =9，解得a 1=3，d =2，则a n =3+2(n −1)=2n +1；(2)S n =12(3+2n +1)n =n 2+2n ， 即有b n =1S n =1n(n+2)=12(1n −1n+2)， 则b 1+b 2+⋯+b n =11×3+12×4+⋯+1n(n+2)=12(1−13+12−14+⋯+1n −1n +2) =12(1+12−1n+1−1n+2)<34．解析：本题考查等差数列的通项和求和公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．(1)设等差数列{a n }的公差为d ，运用等差数列的通项公式，可得首项和公差，可得a n ；(2)求得S n，运用裂项相消求和求得{b n}的前n项和，即可得证．22.答案：解：(1)设等比数列{a n}的公比为q，∵a1=1，S6=9S3．∴q≠1，a1(1−q6)1−q =9a1(1−q3)1−q，化简得：1+q3=9，解得q=2．所以数列{a n}的通项公式为：a n=2n−1．(2)由(1)得：b n=1+log2a n=1+n−1=n．∴数列{b n}的前n项和=1+2+⋯+n=n(n+1)2．解析：(1)利用等比数列的求和公式与通项公式即可得出．(2)由b n=1+log2a n=n.利用等差数列的求和公式即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
2019-2020学年吉林省吉林市高三(上)第一次调研数学试卷1 (含答案解析)
2019-2020学年吉林省吉林市高三（上）第一次调研数学试卷1一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1. 已知集合A ={x ∈N|2x −7<0}，B ={x|x 2−3x −4≤0}，则A ∩B =( )A. {1,2，3}B. {0,1，2，3}C. {x|x ≤72}D. {x|0<x ≤72}2. 函数f (x )=sin (2x −π6)的最小正周期是( )A. π2B. πC. 2πD. 4π3. 如图所示，M 是边AB 的中点，若CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，CA⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 2b ⃗ −2a ⃗B. a ⃗ +2b ⃗C. 2a ⃗ −2b ⃗D. 2a ⃗ +b ⃗ 4. 已知函数f(x)为奇函数，且当x <0时，f(x)=2x 2−1，则f(1)的值为( )A. 1B. −1C. 2D. −25. 已知正项等比数列{a n }中，a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 100+a 101a 98+a 99的值为( )A. 1+√2B. 1−√2C. 3+2√2D. 3−2√26. 已知sin(π+α)=13，则cos2α=( )A. 79 B. 89 C. −79 D. 4√297. 在矩形ABCD 中|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3，|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则向量|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ |= ( ) A. 2B. 2√3C. 4D. 4√38. 函数f (x )=sin (x +π6)的图象向左平移π3个单位，再将图象上各点的横坐标压缩为原来的12，那么所得图象的一条对称轴方程为( )A. x =−π2B. x =−π4 C. x =π8 D. x =π49. 函数y =2log 4(1−x)的图象大致是( )A.B.C.D.10. 在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，点E 满足BC⃗⃗⃗⃗⃗ =2BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A. 1 B. 3 C. √10D. 92 11. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3=4，S 3=7，则S 6的值为( )A. 31B. 32C. 63或13327D. 6412. 已知函数f(x)=x 2e x，下列关于f(x)的四个命题：①函数f(x)在[0,1]上是增函数； ②函数f(x)的最小值为0；③如果x ∈[0,t]时，f(x)max =4e 2，则t 的最小值为2； ④函数f(x)有2个零点； 其中真命题的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，共12.0分） 13. 已知函数f(x)={e x ,x <0,lnx,x >0,则f[f(1e )]=_____________.14. 设平面向量m⃗⃗⃗ =(−1,2)，n ⃗ =(2,b)，若m ⃗⃗⃗ //n ⃗ ，则|n ⃗ |等于______． 15. 已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，对任意大于2的正整数n ，记集合{x|x =a i +a j ,i ∈N,j ∈N,1≤i <j ≤n}的元素个数为c n ，把{c n }的各项摆成如图所示的三角形数阵，则数阵中c 5= ; 第17行由左向右数第10个数为 ．16. 函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则f(π)的值为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.如图，有一壁画，最高点A距离地面AE为4米，最低点B距离地面BE为2米．如果在距离地面高CF为1.5米、与墙壁距离EF为4米的C处观赏壁画，但效果不佳．为了提高欣赏效果(视角∠ACB=θ越大，效果越好)，现在有两种方案可供选择：①与壁画距离EF不变，调节高度CF；②与地面距离CF不变，调节与壁画的距离EF．(1)按照方案①，设CF为h米(2<ℎ<4)，当h为何值时，视角θ最大？(2)按照方案②，设EF为x米(x<4)，当x为何值时，视角θ最大？18.在等差数列{an}中，公差d=4,a2+a5=22，记数列{an}的前n项和为S n．(1)求S n；}的前n项和为T n，求T14．(2)设数列{n(2n+1)S n19.在锐角△ABC中，a，b，c为内角A，B，C的对边，且满足．(1)求角B的大小．(2)已知c=2，边AC边上的高BD=3√21，求△ABC的面积S的值．720.已知等比数列{a n}的公比q>0，a1a5=8a2，且3a4，28，a6成等差数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记b n=2n，求数列{b n}的前n项和T n．a n21.设函数f(x)=2x3−12x+c的图象经过原点．(1)求c的值及函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在[−1,3]上的最大值和最小值．22.已知函数f(x)=lnx−a(x2−x)(a∈R)．(Ⅰ)当a=1时，求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(Ⅱ)求f(x)在[1,2]的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：A ={0,1，2，3}，B ={x|−1≤x ≤4}； ∴A ∩B ={0,1，2，3}． 故选：B ．可求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可． 本题考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．2.答案：B解析： 【分析】本题考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象与性质，属于基础题． 由正弦函数的周期公式即可求解． 【解答】解： 因为函数f (x )=sin (2x −π6)， 所以最小正周期是T =2π2=π．故选B ．3.答案：C解析： 【分析】本题考查平面向量的基本定理及向量的三角形法则，属于基础题． 根据向量的三角形法则得AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ −b ⃗ ，由此即可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 【解答】解：AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ −b ⃗ ， 因为M 为AB 的中点，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ −2b ⃗ ， 故选C ．4.答案：B解析：解：函数f(x)为奇函数，且当x <0时，f(x)=2x 2−1， 则f(1)=−f(−1)=−(2×12−1)=−1． 故选：B ．直接利用函数的奇偶性以及函数的解析式求解即可．本题考查函数的奇偶性的应用，函数值的求法，考查计算能力．5.答案：C解析： 【分析】设等比数列的公比为q ，q >0，运用等比数列通项公式和等差数列中项性质，解方程可得q ，进而得到所求值．本题考查等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 【解答】解：正项等比数列{a n }的公比设为q ，(q >0)， a 1，12a 3，2a 2成等差数列， 可得a 3=a 1+2a 2， 即a 1q 2=a 1+2a 1q ， 解得q =1+√2(负的舍去)， 则a 100+a 101a 98+a 99=q 2(a 98+a 99)a 98+a 99=q 2=3+2√2，故选C ．6.答案：A解析：解：∵sin(π+α)=13，∴可得sinα=−13， ∴cos2α=1−2sin 2α=1−2×19=79． 故选：A ．由已知及诱导公式可求sinα，由二倍角的余弦函数公式即可得解． 本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式的应用，属于基础题．解析：【分析】本题考查向量加法的几何意义，属于基础题．由向量加法的几何意义，将AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 转化为2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再求向量的模． 【解答】解：在矩形ABCD 中|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3，|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2， ∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，故选C 项． 8.答案：A解析： 【分析】本题主要考查了三角函数图象的平移和伸缩变换，y =Acos(ωx +φ)型函数的性质， 准确写出变换后函数的解析式是解决本题的关键．先利用三角函数图象的平移和伸缩变换理论求出变换后函数的解析式，再利用余弦函数图象和性质，求所得函数的对称轴方程，即可得正确选项.属于基础题． 【解答】解：将函数f(x)=sin(x +π6)的图象向左平移π3个单位， 得到函数y =sin(x +π3+π6)=cosx 的图象， 再将图象上各点的横坐标压缩为原来的12， 得到函数y =cos2x 的图象， 由2x =kπ， 得x =12kπ，k ∈Z ，∴所得图象的对称轴方程为x =12kπ，k ∈Z ， k =−1时，x =−π2． 故选A ．9.答案：C解析：本题考查函数的图象的判断，考查函数图象与性质的应用，是基础题． 利用函数的定义域以及函数的单调性判断函数的图象即可． 【解答】解：由题意可知函数的定义域为：x <1，函数是减函数． 故选C ．10.答案：A解析： 【分析】本题主要考查平面向量数量积的计算，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解决本题的关键． 根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法进行求解即可． 【解答】解：∵E 满足BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴E 是BC 的中点， 建立平面直角坐标系如图：则A(0,0)，E(1,1)，B(0,1)， 则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1)⋅(0,1)=1， 故选：A ．11.答案：C解析：解：设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 3=4，S 3=7， ∴a 1q 2=4，a 1(1+q +q 2)=7，解得a1=1，q=2，或q=−23，a1=9．当a1=1，q=2时，则S6=26−12−1=63．当q=−23，a1=9时，S6=9[1−(−23)6]1−(−23)=13327．∴S6=63或13327，故选：C．设等比数列{a n}的公比为q，由a3=4，S3=7，可得a1q2=4，a1(1+q+q2)=7，解得a1，q.再利用等比数列的求和公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.答案：C解析：【分析】本题考查导数的运用：求单调性和极值、最值，考查数形结合思想方法，以及运算能力和判断能力，属于中档题．求得f(x)的导数和单调区间、极值和最值，作出f(x)的图象，结合图象可得单调性、最值和t的范围，以及零点个数．【解答】解：函数f(x)=x2e x，导数为f′(x)=x(2−x)e x，可得0<x<2时，f′(x)>0，f(x)递增；x>2或x<0，f′(x)<0，f(x)递减，即有f(x)的极小值为f(0)=0，极大值为f(2)=4e2，作出函数f(x)的图象，如下：①函数f(x)在[0,1]上是增函数，正确；②函数f(x)的最小值为0，正确；③如果x∈[0,t]时，f(x)max=4e2，则t的最小值为2，正确；④函数f(x)有1个零点，即为0，故④不正确． 其中真命题的个数为3， 故选C ．13.答案：1e解析： 【分析】本题考查分段函数的求值问题，属于基础题.理解分段函数的概念是关键． 【解答】解：f[f(1e )]=f(−1)=e −1=1e ． 故答案为1e ．14.答案：2√5解析：解：∵平面向量m⃗⃗⃗ =(−1,2)，n ⃗ =(2,b)， ∴由m ⃗⃗⃗ //n ⃗ 可得−1×b −2×2=0，解得b =−4，∴|n ⃗ |=√22+(−4)2=2√5故答案为：2√5由向量平行可得b 的值，再由向量的模长公式可得． 本题考查平面向量的平行关系和模长公式，属基础题．15.答案：7；293解析： 【分析】本题考查对等差数列通项公式与求和公式，属于中档题． 对于题意的理解是关键，利用特殊条件，可以进行简便求解． 【解答】解：设a n =a 1+(n −1)d ， 则a i +a j =2a 1+(i +j −2)d ， 由题意1≤i <j ≤n ，当i =1，j =2时，i +j −2 取最小值1， 当i =n −1，j =n 时，i +j −2取最大值2n −3， 易知i +j −2可取遍1,2,3,…,2n −3， 即c n =2n −3(n ≥3)，∴c 5=2×5−3=7，数阵中前16行共有1+2+3+⋯+16=(1+16)×162=136个数，所以第17行左数第10个数为c 148=2×148−3=293． 故答案为7；293．16.答案：−√3解析： 【分析】本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，属于基础题． 由周期求出ω，由特殊点的坐标结合φ的范围求出φ的值，可得函数的解析式． 【解答】解：由图可知T =4(π6+π12)=π，∴ω=2， ∴f(x)=2sin(2x +φ)．∵f(−π12)=2sin(φ−π6)=−2，∴sin(φ−π6)=−1.再根据|φ|<π2， ∴φ=−π3，∴f(x)=2sin(2x −π3)，∴f(π)=−√3， 故答案为：−√3．17.答案：解：(1)如图(1)所示，由题意知，tanα=4−ℎ4，tanβ=ℎ−24，∴tanθ=tan(α+β)=4−ℎ4+ℎ−241−4−ℎ4×ℎ−24=8(ℎ−3)2+15，2<ℎ<4；当ℎ=3时tanθ取得最大值为815；因为函数y =tanθ在(0,π2)上是增函数，所以当ℎ=3时θ取得最大值；(2)如图(2)所示，由题意知，tanα=2−1.5x，tanβ=4−1.5x，∴tanθ=tan(β−α)=2.5x −0.5x 1+2.5x ⋅0.5x=2x+54x≤2√5，x >0，当且仅当x =√52时取“=”，所以x =√52时，视角θ取得最大值．解析：本题考查了三角函数模型的应用问题，是中档题．(1)根据题意画出图形，结合图形求出tanθ的解析式，计算tanθ取得最大值时h的值；(2)根据题意画出图形，结合题意求出tanθ的解析式，计算tanθ取最大值时对应θ的值．18.答案：解：(1)等差数列{a n}中，由a2+a5=22可得2a1+5d=22，又因为d=4，所以a1=1，于是a n=4n−3，则S n=(1+4n−3)n2=2n2−n．(2)因为n(2n+1)S n =1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)．所以T14=12(1−13+13−15+...+127−129)=12(1−129)=1429．解析：此题考查等差数列的通项公式、求和公式的应用，及裂项相消求和的应用．(1)利用等差数列的通项公式求出首项，得出通项公式，利用等差数列的求和公式S n=(1+4n−3)n2= 2n2−n；(2)由裂项相消法得出T14．19.答案：解：(1)∵(2c−a)cosB−bcosA=0，由正弦定理得(2sinC−sinA)cosB−sinBcosA=0，∴(2sinC−sinA)cosB=sinBcosA，2sinCcosB=sin(A+B)，∵A+B=π−C，且sinC≠0，∴2sinCcosB=sinC，∴cosB=12，∵B∈(0,π)，∴B=π3．(2)∵S=12acsinB=12BD⋅b，代入c =2，BD =3√217且sinB =√32，得b =√7a3， 由余弦定理得：b 2=a 2+c 2−2accosB =a 2−2a +4， 代入b =√7a3，得a 2−9a +18=0，解得{a =3b =√7，或{a =6b =2√7，又∵锐角三角形， ∴a 2<c 2+b 2， ∴a =3，∴S △ABC =12acsinB =12×2×3×√32=3√32．解析：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式，正余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题．(1)由已知及正弦定理，三角函数恒等变换的应用，结合sinC ≠0，可得cosB =12，根据范围B ∈(0,π)可求B 的值．(2)由已知利用三角形面积公式可得b =√7a3，由余弦定理可得a 2−9a +18=0，结合a ，b 的关系，进而根据三角形面积公式即可计算得解．20.答案：解：(1)由a 1a 5=8a 2得：a 1q 3=8，即a 4=8，又∵3a 4，28，a 6成等差数列，∴3a 4+a 6=56， 将a 4=8代入得：a 6=32． 从而：a 1=1，q =2． ∴a n =2n−1；(2)b n =2n a n=2n ⋅(12)n−1，T n =2×(12)0+4×(12)1+6×(12)2+⋯+2(n −1)⋅(12)n−2+2n ⋅(12)n−1……………………①12T n =2×(12)1+4×(12)2+6×(12)3+⋯+2(n −1)⋅(12)n−1+2n ⋅(12)n ……………………② ①−②得：12T n =2×[(12)0+2(12)1+(12)2+⋯+(12)n−1]−2n ⋅(12)n =2+2×12[1−(12)n−1]1−12−2n ⋅(12)n =4−(n +2)⋅(12)n−1．∴T n =8−(n +2)⋅(12)n−2．解析：(1)利用等差数列以及等比数列的通项公式列出方程组，求出数列的首项与公比，然后求解数列的通项公式；(2)化简通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和的方法，考查转化首项以及计算能力，是中档题．21.答案：解：(1)∵f(0)=0∴c=0…(2)，∴f(x)=2x3−12x…(4分)∴f′(x)=6x2−12=6(x+√2)(x−√2)，…(5分)列表如下：递减区间是(−√2,√2)…(8分)(2)∵f(−1)=10，f(√2)=−8√2，f(3)=18∴f(x)在[−1,3]上的最大值是f(3)=18，最小值是f(√2)=−8√2…(12分)解析：(1)由f(0)=0，求出c的值，求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间即可；(2)根据函数的单调性求出函数的最值即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．22.答案：解：(I)当a=1时f(x)=lnx−x2+xf′(x)=1x−2x+1，∴f(1)=0，f′(1)=0即：所求切线方程为：y=0，(II)∵f′(x)=1x−2ax+a=−2ax2+ax+1x,x>0∴当a=0时，f′(x)>0，f(x)在[1,2]上递增∴f(x)max=f(2)=ln2，当a≠0时可令g(x)=−2ax2+ax+1，x∈[1,2]．∵g(x)的对称轴x=14且过点(0,1)∴当a<0时，f′(x)>0在[1,2]恒成立，f(x)在[1,2]上递增∴f(x)max=f(2)=ln2−2a，当a>0时，若g(1)≤0，即：a≥1时，f′(x)<0在[1,2]恒成立，f(x)在[1,2]上递减，∴f(x)max=f(1)=0，若g(1)>0，g(2)<0，即：16<a<1时，f′(x)在[1,a+√a2+8a4a)上大于零，在(a+√a 2+8a4a,2]上小于零f(x)在[1,a+√a 2+8a4a)上递增，在(a+√a2+8a4a,2]上递减，∴f(x)max =f(a+√a 2+8a4a)=lna+√a 2+8a4a+√a 2+8a+a−48，若g(1)>0，g(2)≥0，即：0<a ≤16时，f′(x)>0在[1,2]恒成立， f(x)在[1,2]上递增，∴f(x)max =f(2)=ln2−2a ，综上：f(x)max ={ ln2−2a,a ≤16ln a+√a 2+8a 4a +√a 2+8a+a−48,16<a <10,a ≥1解析：(Ⅰ)通过a =1，求出函数的导数，得到切线的斜率，然后求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； (Ⅱ)求出函数的导数，通过a 与0的大小，讨论，分别判断函数的单调性求解求f(x)在[1,2]的最大值．本题考查函数的导数的应用，闭区间上的函数的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力．。
吉林省延边朝鲜族自治州2019-2020学年中考一诊数学试题含解析
吉林省延边朝鲜族自治州2019-2020学年中考一诊数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，平面直角坐标系xOy中，四边形OABC的边OA在x轴正半轴上，BC∥x轴，∠OAB＝90°，点C（3，2），连接OC．以OC为对称轴将OA翻折到OA′，反比例函数y＝kx的图象恰好经过点A′、B，则k的值是（）A．9 B．133C．16915D．332．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果sinA=12，那么sinB的值是（）A．32B．12C．2D．223．化简的结果是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣4．若关于x的一元二次方程x2－2x－k＝0没有实数根，则k的取值范围是（）A．k＞－1 B．k≥－1 C．k＜－1 D．k≤－1 5．下列计算正确的是（）A．a3•a2＝a6B．（a3）2＝a5C．（ab2）3＝ab6D．a+2a＝3a 6．已知一元二次方程ax2+ax﹣4＝0有一个根是﹣2，则a值是（）A．﹣2 B．23C．2 D．47．已知直线y=ax+b(a≠0)经过第一，二，四象限，那么直线y=bx-a一定不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限8．如图，将矩形沿对角线折叠，使落在处，交于，则下列结论不一定成立的是（）A．B．C．D．9．如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α(0°＜α＜90°)．若∠1＝112°，则∠α的大小是( )A．68°B．20°C．28°D．22°10．如图，已知⊙O的半径为5，AB是⊙O的弦，AB=8，Q为AB中点，P是圆上的一点（不与A、B 重合），连接PQ，则PQ的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．811．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=5，分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度的一半为半径作弧，相交于点E，F，过点E，F作直线EF，交AB于点D，连接CD，则△ACD的周长为（）A．13 B．17 C．18 D．2512．如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，则△ADE的周长等于（）A．8 B．4 C．12 D．16二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b＞0；④其顶点坐标为（12，﹣2）；⑤当x＜12时，y随x的增大而减小；⑥a+b+c＞0中，正确的有______．（只填序号）14．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为12，点B在y轴上，点C在反比例函数y=kx的图象上，则k的值为________.15．如图，在正六边形ABCDEF的上方作正方形AFGH，联结GC，那么GCD的正切值为___．16．已知扇形AOB的半径OA=4，圆心角为90°，则扇形AOB的面积为_________.17．请你算一算：如果每人每天节约1粒大米，全国13亿人口一天就能节约_____千克大米！（结果用科学记数法表示，已知1克大米约52粒）18．用48米长的竹篱笆在空地上,围成一个绿化场地,现有两种设计方案,一种是围成正方形的场地;另一种是围成圆形场地.现请你选择,围成________(圆形、正方形两者选一)场在面积较大.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）为上标保障我国海外维和部队官兵的生活，现需通过A港口、B港口分别运送100吨和50吨生活物资．已知该物资在甲仓库存有80吨，乙仓库存有70吨，若从甲、乙两仓库运送物资到港口的费用（元/吨）如表所示：设从甲仓库运送到A 港口的物资为x 吨，求总运费y （元）与x （吨）之间的函数关系式，并写出x 的取值范围；求出最低费用，并说明费用最低时的调配方案．20．（6分）如图1，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，BA=BC ，直线MN 是过点A 的直线CD ⊥MN 于点D ，连接BD ．（1）观察猜想张老师在课堂上提出问题：线段DC ，AD ，BD 之间有什么数量关系．经过观察思考，小明出一种思路：如图1，过点B 作BE ⊥BD ，交MN 于点E ，进而得出：DC+AD= BD ．（2）探究证明将直线MN 绕点A 顺时针旋转到图2的位置写出此时线段DC ，AD ，BD 之间的数量关系，并证明 （3）拓展延伸在直线MN 绕点A 旋转的过程中，当△ABD 面积取得最大值时，若CD 长为1，请直接写BD 的长．21．（6分）某网店销售甲、乙两种羽毛球，已知甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球每筒的售价多15元，健民体育活动中心从该网店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球，共花费255元．该网店甲、乙两种羽毛球每筒的售价各是多少元？根据健民体育活动中心消费者的需求量，活动中心决定用不超过2550元钱购进甲、乙两种羽毛球共50筒，那么最多可以购进多少筒甲种羽毛球？22．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，每个小正方形的边长都为1，DEF V 和ABC V 的顶点都在格点上，回答下列问题：()1DEF V 可以看作是ABC V 经过若干次图形的变化(平移、轴对称、旋转)得到的，写出一种由ABC V 得到DEF V 的过程：______；()2画出ABC V 绕点B 逆时针旋转90o 的图形A'BC'V ；()3在()2中，点C 所形成的路径的长度为______．23．（8分）如图，抛物线212y x bx c =-++经过点A （﹣2，0），点B （0，4）. （1）求这条抛物线的表达式； （2）P 是抛物线对称轴上的点，联结AB 、PB ，如果∠PBO=∠BAO ，求点P 的坐标；（3）将抛物线沿y 轴向下平移m 个单位，所得新抛物线与y 轴交于点D ，过点D 作DE ∥x 轴交新抛物线于点E ，射线EO 交新抛物线于点F ，如果EO=2OF ，求m 的值.24．（10分） (1)如图，四边形ABCD 为正方形，BF AE ⊥，那么BF 与AE 相等吗？为什么？(2)如图，在Rt ACB ∆中，BA BC =，90ABC ∠=︒，D 为BC 边的中点，BE AD ⊥于点E ，交AC 于F ，求:AF FC 的值(3)如图，Rt ACB ∆中，90ABC ∠=︒，D 为BC 边的中点，BE AD ⊥于点E ，交AC 于F ，若=3AB ，4BC =，求CF .25．（10分）如图，将平行四边形ABCD 纸片沿EF 折叠，使点C 与点A 重合，点D 落在点G 处．(2)若E为BC中点，BC＝26，tan∠B＝125，求EF的长．26．（12分）我市某外资企业生产的一批产品上市后30天内全部售完，该企业对这批产品上市后每天的销售情况进行了跟踪调查．其中，国内市场的日销售量y1（万件）与时间t（t为整数，单位：天）的部分对应值如下表所示．而国外市场的日销售量y2（万件）与时间t（t为整数，单位：天）的关系如图所示．（1）请你从所学过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示y1与t的变化规律，写出y1与t的函数关系式及自变量t的取值范围；（2）分别探求该产品在国外市场上市20天前（不含第20天）与20天后（含第20天）的日销售量y2与时间t所符合的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；（3）设国内、外市场的日销售总量为y万件，写出y与时间t的函数关系式，并判断上市第几天国内、外市场的日销售总量y最大，并求出此时的最大值．27．（12分）如图，将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个矩形，拿掉边长为n的小正方形纸板后，将剩下的三块拼成新的矩形．用含m或n的代数式表示拼成矩形的周长；m=7，n=4，求拼成矩形的面积．一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．C【解析】【分析】设B （2k ，2），由翻折知OC 垂直平分AA′，A′G ＝2EF ，AG ＝2AF ，由勾股定理得OC ＝13，根据相似三角形或锐角三角函数可求得A′（526，613），根据反比例函数性质k ＝xy 建立方程求k ． 【详解】如图，过点C 作CD ⊥x 轴于D ，过点A′作A′G ⊥x 轴于G ，连接AA′交射线OC 于E ，过E 作EF ⊥x 轴于F ，设B （2k ，2）， 在Rt △OCD 中，OD ＝3，CD ＝2，∠ODC ＝90°，∴OC 222232OD CD ++13 由翻折得，AA′⊥OC ，A′E ＝AE ，∴sin ∠COD ＝AE CD OA OC=， ∴AE ＝213213k CD OA OC ⨯⋅，∵∠OAE+∠AOE ＝90°，∠OCD+∠AOE ＝90°，∴∠OAE ＝∠OCD ，∴sin ∠OAE ＝EF OD AE OC=＝sin ∠OCD ， ∴EF ＝1331313OD AE k OC ⋅==， ∵cos ∠OAE ＝AF CD AE OC=＝cos ∠OCD ， ∴1321313CD AF AE k OC =⋅==， ∵EF ⊥x 轴，A′G ⊥x 轴，∴12EF AF AE A G AG AA ===''， ∴6213A G EF k '==，4213AG AF k ==， ∴14521326OG OA AG k k k =-=-=， ∴A′（526k ，613k ）， ∴562613k k k ⋅=， ∵k≠0，∴169=15k ， 故选C ．【点睛】本题是反比例函数综合题，常作为考试题中选择题压轴题，考查了反比例函数点的坐标特征、相似三角形、翻折等，解题关键是通过设点B 的坐标，表示出点A′的坐标．2．A【解析】【分析】【详解】∵Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=12， ∴cosA=22131=1()22sin A --=， ∴∠A+∠B=90°，∴sinB=cosA=32． 故选A ．3．C【解析】试题解析：原式=． 故选C.考点：二次根式的乘除法．4．C【解析】由题意得，解得故选C.考点：一元二次方程的根的判别式点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．5．D【解析】【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方与幂的乘方及合并同类项的运算法则进行计算即可得出正确答案．【详解】解：A．x4•x4=x4+4=x8≠x16,故该选项错误；B．（a3）2=a3×2=a6≠a5，故该选项错误；C．（ab2）3=a3b6≠ab6，故该选项错误；D．a+2a=（1+2）a=3a，故该选项正确；故选D．考点：1．同底数幂的乘法；2．积的乘方与幂的乘方；3．合并同类项．6．C【解析】分析：将x=－2代入方程即可求出a的值．详解：将x=－2代入可得：4a－2a－4=0，解得：a=2，故选C．点睛：本题主要考查的是解一元一次方程，属于基础题型．解方程的一般方法的掌握是解题的关键．7．D【解析】【分析】根据直线y=ax+b（a≠0）经过第一，二，四象限，可以判断a、b的正负，从而可以判断直线y=bx-a经过哪几个象限，不经过哪个象限，本题得以解决．【详解】∵直线y=ax+b（a≠0）经过第一，二，四象限，∴a＜0，b＞0，∴直线y=bx-a经过第一、二、三象限，不经过第四象限，【点睛】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．8．C【解析】分析：主要根据折叠前后角和边相等对各选项进行判断，即可选出正确答案．详解：A、BC=BC′，AD=BC，∴AD=BC′，所以A正确．B、∠CBD=∠EDB，∠CBD=∠EBD，∴∠EBD=∠EDB，所以B正确．D、∵sin∠ABE=，∵∠EBD=∠EDB∴BE=DE∴sin∠ABE=．由已知不能得到△ABE∽△CBD．故选C．点睛：本题可以采用排除法，证明A，B，D都正确，所以不正确的就是C，排除法也是数学中一种常用的解题方法．9．D【解析】试题解析：∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α，∴∠BAB′=α，∠B′AD′=∠BAD=90°，∠D′=∠D=90°，∵∠2=∠1=112°，而∠ABD=∠D′=90°，∴∠3=180°-∠2=68°，∴∠BAB′=90°-68°=22°，即∠α=22°．故选D．【分析】连接OP 、OA ，根据垂径定理求出AQ ，根据勾股定理求出OQ ，计算即可．【详解】 解：由题意得，当点P 为劣弧AB 的中点时，PQ 最小，连接OP 、OA ，由垂径定理得，点Q 在OP 上，AQ=12AB=4， 在Rt △AOB 中，22OA AQ ，∴PQ=OP-OQ=2，故选：B ．【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理的推论是解题的关键．11．C【解析】在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BC=12，AC=5，根据勾股定理求得AB=13.根据题意可知，EF 为线段AB 的垂直平分线，在Rt △ABC 中，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得CD=AD=12AB ，所以△ACD 的周长为AC+CD+AD=AC+AB=5+13=18.故选C.12．A【解析】【详解】∵AB 的中垂线交BC 于D ，AC 的中垂线交BC 于E ，∴DA=DB ，EA=EC ，则△ADE 的周长=AD+DE+AE=BD+DE+EC=BC=8，故选A ．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．①②③⑤【解析】【分析】根据图象可判断①②③④⑤，由x=1时，y ＜0，可判断⑥由图象可得，a ＞0，c ＜0，b ＜0，△=b 2﹣4ac ＞0，对称轴为x=1,2 ∴abc ＞0，4ac ＜b 2，当12x <时，y 随x 的增大而减小．故①②⑤正确, ∵11,22b x a =-=< ∴2a+b ＞0,故③正确,由图象可得顶点纵坐标小于﹣2，则④错误,当x=1时，y=a+b+c ＜0,故⑥错误故答案为:①②③⑤【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x 轴交点的个数确定．14．-6【解析】因为四边形OABC 是菱形,所以对角线互相垂直平分,则点A 和点C 关于y 轴对称,点C 在反比例函数上,设点C 的坐标为(x,k x ),则点A 的坐标为(－x,k x ),点B 的坐标为(0,2k x ),因此AC=－2x,OB=2K X,根据菱形的面积等于对角线乘积的一半得:()OABC 122122k S x x=⨯-⨯=菱形,解得 6.k =- 15．31+【解析】【分析】延长GF 与CD 交于点D ，过点E 作EM DF ⊥交DF 于点M,设正方形的边长为a ，则,CD GF DE a ===解直角三角形可得DF ,根据正切的定义即可求得GCD ∠的正切值【详解】延长GF 与CD 交于点D ，过点E 作EM DF ⊥交DF 于点M,设正方形的边长为a ，则,CD GF DE a ===90, CDG AFG∴∠=∠=o1209030, EDM∠=-=o o ocos30, DM DE=⋅=o2,DF DM∴==)1,DG GF FD a a∴=+==)11tan.aGDGCDCD a∠===1.【点睛】考查正多边形的性质，锐角三角函数，构造直角三角形是解题的关键.16．4π【解析】根据扇形的面积公式可得：扇形AOB的面积为29044360ππ⨯=，故答案为4π.17．2.5×1【解析】【分析】先根据有理数的除法求出节约大米的千克数，再用科学计数法表示，对于一个绝对值较大的数，用科学记数法写成10na⨯的形式，其中110a≤<，n是比原整数位数少1的数.【详解】1 300 000 000÷52÷1 000（千克）=25 000（千克）=2.5×1（千克）．故答案为2.5×1．【点睛】本题考查了有理数的除法和正整数指数科学计数法,根据科学计算法的要求，正确确定出a和n的值是解答本题的关键.18．圆形【解析】【分析】根据竹篱笆的长度可知所围成的正方形的边长，进而可计算出所围成的正方形的面积；根据圆的周长公式，可知所围成的圆的半径，进而将圆的面积计算出来，两者进行比较．【详解】围成的圆形场地的面积较大．理由如下：设正方形的边长为a，圆的半径为R，∵竹篱笆的长度为48米，∴4a=48，则a=1．即所围成的正方形的边长为1；2π×R=48，∴R=24π，即所围成的圆的半径为24π，∴正方形的面积S1=a2=144，圆的面积S2=π×（24π）2=576π，∵144＜576π，∴围成的圆形场地的面积较大．故答案为：圆形．【点睛】此题主要考查实数的大小的比较在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，不能死学．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）y=﹣8x+2560（30≤x≤1）；（2）把甲仓库的全部运往A港口，再从乙仓库运20吨往A港口，乙仓库的余下的全部运往B港口．【解析】试题分析：（1）设从甲仓库运x吨往A港口，根据题意得从甲仓库运往B港口的有（1﹣x）吨，从乙仓库运往A港口的有吨，运往B港口的有50﹣（1﹣x）=（x﹣30）吨，再由等量关系：总运费=甲仓库运往A港口的费用+甲仓库运往B港口的费用+乙仓库运往A港口的费用+乙仓库运往B港口的费用列式并化简，即可得总运费y（元）与x（吨）之间的函数关系式；由题意可得x≥0，8-x≥0，x-30≥0,100-x≥0，即可得出x的取值；（2）因为所得的函数为一次函数，由增减性可知：y随x增大而减少，则当x=1时，y 最小，并求出最小值，写出运输方案．试题解析：（1）设从甲仓库运x吨往A港口，则从甲仓库运往B港口的有（1﹣x）吨，从乙仓库运往A港口的有吨，运往B港口的有50﹣（1﹣x）=（x﹣30）吨，所以y=14x+20+10（1﹣x）+8（x﹣30）=﹣8x+2560，x的取值范围是30≤x≤1．（2）由（1）得y=﹣8x+2560y随x增大而减少，所以当x=1时总运费最小，当x=1时，y=﹣8×1+2560=1920，此时方案为：把甲仓库的全部运往A港口，再从乙仓库运20吨往A港口，乙仓库的余下的全部运往B港口．考点：一次函数的应用．20．（1）2；（2）AD ﹣DC=2BD ；（3）BD=AD=2+1．【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质求出DC ，AD ，BD 之间的数量关系（2）过点B 作BE ⊥BD ，交MN 于点E ．AD 交BC 于O ，证明CDB AEB ∆∆≌，得到CD AE =，EB BD =，根据BED ∆为等腰直角三角形，得到2DE BD =，再根据DE AD AE AD CD =-=-，即可解出答案.（3）根据A 、B 、C 、D 四点共圆，得到当点D 在线段AB 的垂直平分线上且在AB 的右侧时，△ABD 的面积最大．在DA 上截取一点H ，使得CD=DH=1，则易证2CH AH ==，由BD AD =即可得出答案.【详解】解：（1）如图1中，由题意：BAE BCD ∆∆≌，∴AE=CD ，BE=BD ，∴CD+AD=AD+AE=DE ，∵BDE ∆是等腰直角三角形，∴2，∴2BD ，2．（2）2AD DC BD -=．证明：如图，过点B 作BE ⊥BD ，交MN 于点E ．AD 交BC 于O ．∵90ABC DBE ∠=∠=︒，∴ABE EBC CBD EBC ∠+∠=∠+∠，∴ABE CBD ∠=∠．∵90BAE AOB ∠+∠=︒，90BCD COD ∠+∠=︒，AOB COD ∠=∠，∴BAE BCD ∠=∠，∴ABE DBC ∠=∠．又∵AB CB =，∴CDB AEB ∆∆≌，∴CD AE =，EB BD =，∴BD ∆为等腰直角三角形，2DE BD =． ∵DE AD AE AD CD =-=-， ∴2AD DC BD -=．（3）如图3中，易知A 、B 、C 、D 四点共圆，当点D 在线段AB 的垂直平分线上且在AB 的右侧时，△ABD 的面积最大．此时DG ⊥AB ，DB=DA ，在DA 上截取一点H ，使得CD=DH=1，则易证2CH AH ==∴21BD AD ==．【点睛】 本题主要考查全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质以及图形的应用，正确作辅助线和熟悉图形特性是解题的关键.21．（1）该网店甲种羽毛球每筒的售价为60元，乙种羽毛球每筒的售价为45元；（2）最多可以购进1筒甲种羽毛球．【解析】【分析】（1）设该网店甲种羽毛球每筒的售价为x元，乙种羽毛球每筒的售价为y元，根据“甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球每筒的售价多15元，购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球共花费255元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进甲种羽毛球m筒，则购进乙种羽毛球（50﹣m）筒，根据总价＝单价×数量结合总费用不超过2550元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论．【详解】（1）设该网店甲种羽毛球每筒的售价为x元，乙种羽毛球每筒的售价为y元，依题意，得：x-y=152x+3y=255⎧⎨⎩，解得：x=60 y=45⎧⎨⎩．答：该网店甲种羽毛球每筒的售价为60元，乙种羽毛球每筒的售价为45元．（2）设购进甲种羽毛球m筒，则购进乙种羽毛球（50﹣m）筒，依题意，得：60m+45（50﹣m）≤2550，解得：m≤1．答：最多可以购进1筒甲种羽毛球．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．22．（1）先沿y轴翻折，再向右平移1个单位，向下平移3个单位；先向左平移1个单位，向下平移3个单位，再沿y轴翻折；（2）见解析；（3）π．【解析】【分析】（1）△ABC先沿y轴翻折，再向右平移1个单位，向下平移3个单位；或先向左平移1个单位，向下平移3个单位，再沿y轴翻折，即可得到△DEF；()2按照旋转中心、旋转角度以及旋转方向，即可得到△ABC绕点B逆时针旋转90︒的图形△A BC''；()3依据点C所形成的路径为扇形的弧，利用弧长计算公式进行计算即可．【详解】解：（1）答案不唯一.例如：先沿y轴翻折，再向右平移1个单位，向下平移3个单位；先向左平移1个单位，向下平移3个单位，再沿y轴翻折．（2）分别将点C 、A 绕点B 逆时针旋转90︒得到点C ' 、A ' ，如图所示，△A BC ''即为所求； （3）点C 所形成的路径的长为：902=180ππ⨯⨯． 故答案为（1）先沿y 轴翻折，再向右平移1个单位，向下平移3个单位；先向左平移1个单位，向下平移3个单位，再沿y 轴翻折；（2）见解析；（3）π．．【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，平移，对称，解题时需要注意：平移的距离等于对应点连线的长度，对称轴为对应点连线的垂直平分线，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角的大小．23．（1）2142y x x =-++;（2）P （1，72）; （3）3或5. 【解析】【分析】（1）将点A 、B 代入抛物线212y x bx c =-++，用待定系数法求出解析式. （2）对称轴为直线x=1，过点P 作PG ⊥y 轴，垂足为G , 由∠PBO=∠BAO ，得tan ∠PBO=tan ∠BAO ，即PG BO BG AO=，可求出P 的坐标. （3）新抛物线的表达式为2142y x x m =-++-，由题意可得DE=2，过点F 作FH ⊥y 轴，垂足为H ，∵DE ∥FH ，EO=2OF ，∴2=1DE EO DO FH OF OH ==，∴FH=1.然后分情况讨论点D 在y 轴的正半轴上和在y 轴的负半轴上，可求得m 的值为3或5.【详解】解：（1）∵抛物线经过点A （﹣2，0），点B （0，4）∴2204b c c --+=⎧⎨=⎩，解得14b c =⎧⎨=⎩, ∴抛物线解析式为2142y x x =-++,（2）()2211941222y x x x =-++=--+, ∴对称轴为直线x=1，过点P 作PG ⊥y 轴，垂足为G , ∵∠PBO=∠BAO ，∴tan ∠PBO=tan ∠BAO ，∴PG BO BG AO=, ∴121BG =， ∴12BG =, 72OG =， ∴P （1，72）, （3）设新抛物线的表达式为2142y x x m =-++- 则()0,4D m -,()2,4E m -，DE=2过点F 作FH ⊥y 轴，垂足为H ，∵DE ∥FH ，EO=2OF∴2=1DE EO DO FH OF OH ==， ∴FH=1.点D 在y 轴的正半轴上，则51,2F m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∴52OH m =-, ∴42512DO m OH m -==-， ∴m=3,点D 在y 轴的负半轴上，则91,2F m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴92 OH m=-,∴42912DO mOH m-==-，∴m=5,∴综上所述m的值为3或5.【点睛】本题是二次函数和相似三角形的综合题目，整体难度不大，但是非常巧妙，学会灵活运用是关键.24．(1)相等，理由见解析；(2)2；(3)40 17.【解析】【分析】（1）先判断出AB=AD，再利用同角的余角相等，判断出∠ABF=∠DAE，进而得出△ABF≌△DAE，即可得出结论；（2）构造出正方形，同（1）的方法得出△ABD≌△CBG，进而得出CG=12AB，再判断出△AFB∽△CFG，即可得出结论；（3）先构造出矩形，同（1）的方法得，∠BAD=∠CBP，进而判断出△ABD∽△BCP，即可求出CP，再同（2）的方法判断出△CFP∽△AFB，建立方程即可得出结论．【详解】解：（1）BF=AE，理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=∠D=90°，∴∠BAE+∠DAE=90°，∵AE⊥BF，∴∠BAE+∠ABF=90°，∴∠ABF=∠DAE，在△ABF和△DAE中，90 BAD ADCAB ADABF DAE∠∠︒⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝＝∴△ABF≌△DAE，∴BF=AE，(2) 如图2，过点A作AM∥BC，过点C作CM∥AB，两线相交于M，延长BF交CM于G，∴四边形ABCM 是平行四边形，∵∠ABC=90°，∴▱ABCM 是矩形，∵AB=BC ，∴矩形ABCM 是正方形，∴AB=BC=CM ，同（1）的方法得，△ABD ≌△BCG ，∴CG=BD ，∵点D 是BC 中点，∴BD=12BC=12CM ， ∴CG=12CM=12AB ， ∵AB ∥CM ，∴△AFB ∽△CFG ，∴2AF AB CF CG== (3) 如图3，在Rt △ABC 中，AB=3，BC=4，∴AC=5，∵点D 是BC 中点，∴BD=12BC=2， 过点A 作AN ∥BC ，过点C 作CN ∥AB ，两线相交于N ，延长BF 交CN 于P ，∴四边形ABCN 是平行四边形，∵∠ABC=90°，∴▱ABCN是矩形，同（1）的方法得，∠BAD=∠CBP，∵∠ABD=∠BCP=90°，∴△ABD∽△BCP，∴AB BD BC CP=∴32 4CP =∴CP=8 3同（2）的方法，△CFP∽△AFB，∴CF CP AF AB=∴83 5-C3 CFF=∴CF=40 17.【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质和判定，平行四边形的判定，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，构造出（1）题的图形，是解本题的关键．25．(1)证明见解析；(2)EF＝1．【解析】【分析】(1)如图1，利用折叠性质得EA＝EC，∠1＝∠2，再证明∠1＝∠3得到AE＝AF，则可判断四边形AECF 为平行四边形，从而得到四边形AECF为菱形；(2)作EH⊥AB于H，如图，利用四边形AECF为菱形得到AE＝AF＝CE＝13，则判断四边形ABEF为平行四边形得到EF＝AB，根据等腰三角形的性质得AH＝BH，再在Rt△BEH中利用tanB＝EHBH＝125可计算出BH＝5，从而得到EF＝AB＝2BH＝1．【详解】(1)证明：如图1，∵平行四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处，∴EA＝EC，∠1＝∠2，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴AE＝AF，∴AF＝CE，而AF∥CE，∴四边形AECF为平行四边形，∵EA＝EC，∴四边形AECF为菱形；(2)解：作EH⊥AB于H，如图，∵E为BC中点，BC＝26，∴BE＝EC＝13，∵四边形AECF为菱形，∴AE＝AF＝CE＝13，∴AF＝BE，∴四边形ABEF为平行四边形，∴EF＝AB，∵EA＝EB，EH⊥AB，∴AH＝BH，在Rt△BEH中，tanB＝EHBH＝125，设EH＝12x，BH＝5x，则BE＝13x，∴13x＝13，解得x＝1，∴BH＝5，∴AB＝2BH＝1，∴EF＝1．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质．26．（1）y1=﹣15t（t﹣30）（0≤t≤30）；（2）∴y2=2(020)4120(2030)t tt t≤<⎧⎨-+≤≤⎩；（3）上市第20天，国内、外市场的日销售总量y最大，最大值为80万件．【分析】(1)根据题意得出y 1与t 之间是二次函数关系，然后利用待定系数法求出函数解析式；(2)利用待定系数法分别求出两个函数解析式，从而得出答案；(3)分0≤t ＜20、t=20和20≤t≤30三种情况根据y=y 1+y 2求出函数解析式，然后根据二次函数的性质得出最值，从而得出整体的最值．【详解】解：(1)由图表数据观察可知y 1与t 之间是二次函数关系，设y 1=a （t ﹣0）（t ﹣30）再代入t=5，y 1=25可得a=﹣15 ∴y 1=﹣15t （t ﹣30）（0≤t≤30） (2)由函数图象可知y 2与t 之间是分段的一次函数由图象可知：0≤t ＜20时，y 2=2t ，当20≤t≤30时，y 2=﹣4t+120，∴y 2=()2(020)41202030t t t t ≤<⎧⎨-+≤≤⎩， (3)当0≤t ＜20时，y=y 1+y 2=﹣15t （t ﹣30）+2t=80﹣15（t ﹣20）2 ， 可知抛物线开口向下，t 的取值范围在对称轴左侧，y 随t 的增大而增大，所以最大值小于当t=20时的值80，当20≤t≤30时，y=y 1+y 2=﹣15t （t ﹣30）﹣4t+120=125﹣15（t ﹣5）2 ， 可知抛物线开口向下，t 的取值范围在对称轴右侧，y 随t 的增大而减小，所以最大值为当t=20时的值80，故上市第20天，国内、外市场的日销售总量y 最大，最大值为80万件．27．（1）矩形的周长为4m ；（2）矩形的面积为1．【解析】【分析】（1）根据题意和矩形的周长公式列出代数式解答即可．（2）根据题意列出矩形的面积，然后把m=7，n=4代入进行计算即可求得.【详解】（1）矩形的长为：m ﹣n ，矩形的宽为：m+n ，矩形的周长为：2[(m-n)+(m+n)]=4m ；（2）矩形的面积为S=（m+n ）（m ﹣n ）=m 2-n 2，当m=7，n=4时，S=72-42=1．本题考查了矩形的周长与面积、列代数式问题、平方差公式等，解题的关键是根据题意和矩形的性质列出代数式解答．。
吉林省延边第二中学2019 2020高二数学上学期第一次月考试题
吉林省延边第二中学2019-2020学年高二数学上学期第一次月考试题（时间90分，满分120分）一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分，每题只有一个选项正确）a,b,c为实数，则下列命题正确的是（）1．若2222b?a0?a?b baba?bc?ac?，则A．若．若，则 B ba11a?b?0a?b?0??，则，则．若 D．若 C baba19a?a?a?a( ){,}中,已知，则在等比数列2.5n319?1 D、、±3A、1B、3 C n2S}{a S=0?15?a?a?a（，已知）的前项和为，则3．正项等差数列n11n639A．35 B．36 C．45 D．55??n15a?}{aa?1)(9?a，）中，的前4．等差数列，则数列20项和等于（47nn A．-10 B．-20 C．10 D．20a，计划今后5年内每年比上年产值增加10%．某工厂去年产值为，则从今年起到第5年，这个厂5的总产值为( )4556aaaa1)D C．11×(1.1－1)． A．1.110(1.1 B．1.1－a n?aaa?1?}a{（．已知数列6 ，，则满足）1?n1001n2a?1n1111 C B．． D．A．1992992001002{a}{a}???)?N,R?a?2n??n(n*的取值的通项公式为，若．已知数列7是递减数列，则nnn范围为（）(??,4)(??,4](??,6)(??,6] C．A．D．． BSa?a?a12n?n19113??n}b{S}{a T，则项和分别为和．等差数列8，若、）（的前nnn n b?b2?3nT n15769129123135 C ．D．A． B．136********SS??n a102012SSa??20122002??的值等于，若9．在等差数列中，，则，其前项和为2014n1n201210（）1A.2011B.-2012C.2014D.-2013n-1nnn101的规则分组如下:(1),(2,4),(8,16,32),…,则第}按第是正整数组有)个数(10.设数列{2) 组中的第一个数为(4 9505 0514 9515 050....22A 2 CD B2a?n??a3a?n(n?N）a?a?2n的最小值为（，则）11．已知数列，满足1?nn?1n n74232D ．B．． A．C 2n*S?S0a{a}?)NS(n?0?d，项和为12．在等差数列①若．首项中，有下列命题：，前，公差1153nn S S?Sa?a?0?S0S?SS?SS，是；②若，则则中的最大项；③若；④若，则918n109159331510S?S．其中正确命题的个数是（则）11103421 DC．A．． B．二、填空题（包括4小题，每小题4分，共16分，请将答案写在答题纸上）??a aa?aa?18，则的各项均为正数，且．等比数列的值为13alogalog??loga?7645n1031233__________．的解集为的不等式的解集为14．已知关于，则不等式．__________x4122001?????????fxS?f?f? f??????=15.设，求和x20022002200224???????aaaanNanS=__________．项和，则数列{}满足，=1 =3（+1}∈的前*）{16. 已知数列nnnnn+11三、解答题（包括5个题，17、18题各10分，19、20、21题12分，请写必要的解答过程）17（本小题满分10分）设{a}是公比为正数的等比数列a=2，a=a+4．231n（Ⅰ）求{a}的通项公式；n（Ⅱ）设{b}是首项为1，公差为2等差数列，求数列{a+b}的前n项和S．nnnn（本小题满分．18分）102n252??2S?a}aS{. ，已知的前为等差数列项和，n214n a（1）求；n?a?a?T?a T.）设2，求（n2n1n分）19. （本小题满分12osC．﹣c分别为内角A，B，C所对的边，且满足（2ac）cosB=bcABC在△中，a，b， B；（1）求角，）若（2b=a﹣c=3的面积．，求△ABC. 12分）20 （本小题满分已知等差数列的公差，其前项和为，若成等比数列．，且的通项公式；（Ⅰ）求数列（Ⅱ）若，证明：.分）21. （本小题满分12a }(1)求数列{的n abbbbnaSS，8－2＝2－1.数列{}满足＝＝{设数列的前}2项和为，且nnnnnnn11＋通项公式n T－6nn nλnbTλ∈1)＜1＋N)(恒成立？－使得不等式，}设数列(2){的前项和为是否存在常数，(nn＋T－6n1＋λ的取值范围；若不存在，请说明理由．若存在，求出3高二数学月考参考答案BADDC DCBCD DD13.10 14. (-2,3) 15. 2001/2 16.17.解：（Ⅰ）∵设{a}是公比为正数等比数列n∴设其公比为q，q＞0的=2，aa=a+4∵13221 q=﹣=×q+4 解得q=2∴2×q或0 q＞∵q=2∴。
吉林省延吉市延边第二中学2020高三数学上学期第一次调研试题 文(含解析)
吉林省延吉市延边第二中学2020届高三数学上学期第一次调研试题文（含解析）本试卷共23题，共150分，共6页。
考试结束后，将答题卡交回。
注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。
将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超过答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合{}2A x x x =≤，11B x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，则A B =I （ ） A. (]0,1B. []0,1C. (],1-∞D.()(],00,1-∞U【答案】A 【解析】 【分析】求解不等式确定集合A ,B ，然后进行交集运算即可. 【详解】求解不等式2x x ≤可得：{}|01A x x =≤≤， 求解不等式11x≥可得{|01}B x x =<≤， 结合交集的定义可知A B =I (]0,1. 故选：A .【点睛】本题主要考查集合的表示方法，不等式的解法，交集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.i 为虚数单位，设复数z 满足34ii z+=，则复数z 的模是（ ） A. 10 B. 25C. 3D. 5【答案】D 【解析】 【分析】由复数及复数的模的运算，即可得解. 【详解】解：因为34ii z+=， 所以34iz 43i i+==-则z 5=， 故选D.【点睛】本题考查了复数的运算，属基础题.3.在ABC ∆中，“A B >”是“cos cos A B <”的 ( ) A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】余弦函数cos y x =在0π（，）上单调递减 【详解】因为A,B 是ABC ∆的内角，所以,A B π∈（0，）,在0π（，）上余弦函数cos y x =单调递减, 在ABC ∆中，“A B >”⇔ “cos cos A B <”【点睛】充要条件的判断，是高考常考知识点，充要条件的判断一般有三种思路：定义法、等价关系转化法、集合关系法。
2019-2020学年吉林省吉林市高三(上)第一次调研数学试卷(理科)试题及答案(解析版)
2019-2020学年吉林省吉林市高三（上）第一次调研数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．1．设{|23}A x x =-<<，{|0}B x x =>，则(A B = )A ．(2,3)-B ．(3,)+∞C ．(2,0)-D ．(0,3)2．函数3sin(4)3y x π=+的最小正周期是( )A ．2πB ．2πC ．3πD ．π3．已知向量(1,2),(2,3)a b =-=-，则(a b = ) A ．8-B ．4C ．7D ．1-4．已知函数()f x 是奇函数，当0x >时，()(1)f x x x =-；当0x <时，()f x 等于( ) A ．(1)x x -+B ．(1)x x +C ．(1)x x -D ．(1)x x --5．若数列{}n a 满足：111n na a +=-且12a =，则2019(a = ) A ．12B ．1-C ．2D ．12-6．若cos()2πα+=，则cos 2(α= )A ．23-B ．13-C ．13D ．237．将函数()2sin(2)3f x x π=+图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移12π个单位得到函数()g x 的图象，在()g x 图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为( ) A ．24x π=-B ．4x π=C ．524x π=D ．12x π=8．已知,a b 是不共线的向量，2,2,,AB a b AC a b R λμλμ=-=+∈，若A 、B 、C 三点共线，则λ，μ满足( ) A ．2λμ+=B ．1λμ=-C ．4λμ+=D ．4λμ=-9．若函数()(0x f x a a =>且1)a ≠在R 上为减函数，则函数log (||1)a y x =-的图象可以是()A ．B ．C ．D ．10．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2135213()(*)n n S a a a a n N -=+++⋯⋯+∈，1238a a a =，则8(S = ) A ．510B ．255C ．127D ．654011．已知向量OA 、OB 满足0OA OB =，点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒，设(,)OC mOA nOB m n R =+∈，若||12||OA OB =，则(mn = )A B ．4 C ． D ．1412．设函数()f x 的定义域为D ，若满足条件：存在[m ，]n D ⊆，使()f x 在[m ，]n 上的值域为[km ，](kn k R ∈且0)k >，则称()f x 为“k 倍函数”，若函数()(1)x f x a a =>为“3倍函数”，则实数a 的取值范围是( ) A ．3(1,)eeB ．3(1,)eC ．2(,)ee eD ．3(,)e e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡中相应位置． 13．已知函数1,0()2,0x lnx x f x x +>⎧=⎨⎩…，则1[()]f f e = ．14．已知向量,a b 的夹角为60︒，||1,||2a b ==，则|2|a b -= ．15．我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷(gu ǐ)长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），夏至、小署、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列，经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为 尺．16．已知函数()sin()2cos()f x x x πϕπϕ=+-+，若(1)(1)f x f x +=-，则sin 2ϕ= ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．AB 是底部B 不可到达的建筑物，A 是建筑物的最高点，为测量建筑物AB 的高度，先把高度为1米的测角仪放置在CD 位置，测得仰角为45︒，再把测角仪放置在EF 位置，测得仰角为75︒，已知2DF =米，D ，F ，B 在同一水平线上，求建筑物AB 的高度．18．已知数列{}n a 为等差数列，公差0d ≠，前n 项和为n S ，36a =，且2a ，4a ，8a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1n n b S n=+，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：34n T <．19．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知sin()sin 03b Cc B π--=．（Ⅰ）求角C 的值；（Ⅱ）若4,a c ==，求ABC ∆的面积．20．设函数()sin 1f x x =-的正零点从小到大依次为1x ，2x ，⋯⋯，n x ，⋯⋯，构成数列{}n x ．（1）写出数列{}n x 的通项公式n x ，并求出数列{}n x 的前n 项和n S ； （2）设4n n S a n π=-，求sin n a 的值． 21．已知函数32()391f x x x x =+-+． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当[4x ∈-，4]时，求函数()f x 的最大值与最小值． 22．设函数()()()x f x m x e m Z =-∈．（1）当0m =时，求函数()f x 在点(1，f （1）)处的切线方程；（2）当0x >时，()3f x x <+恒成立，求整数m 的最大值．2019-2020学年吉林省吉林市高三（上）第一次调研数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．1．设{|23}A x x =-<<，{|0}B x x =>，则(A B = )A ．(2,3)-B ．(3,)+∞C ．(2,0)-D ．(0,3)【解答】解：{|23}A x x =-<<，{|0}B x x =>，{|03}(0,3)AB x x ∴=<<=．故选：D ． 2．函数3sin(4)3y x π=+的最小正周期是( )A ．2πB ．2πC ．3πD ．π【解答】解：函数3sin(4)3y x π=+的最小正周期是：242T ππ==． 故选：B ．3．已知向量(1,2),(2,3)a b =-=-，则(a b = ) A ．8-B ．4C ．7D ．1-【解答】解：向量(1,2),(2,3)a b =-=-， 则268a b =--=-． 故选：A ．4．已知函数()f x 是奇函数，当0x >时，()(1)f x x x =-；当0x <时，()f x 等于( ) A ．(1)x x -+B ．(1)x x +C ．(1)x x -D ．(1)x x --【解答】解：设0x <，则0x ->， 当0x >时，()(1)f x x x =-+， ()(1)f x x x ∴-=-+又()f x 是定义在R 上的奇函数，()()(1)f x f x x x ∴=--=+故选：B ．5．若数列{}n a 满足：111n na a +=-且12a =，则2019(a = ) A ．12B ．1-C ．2D ．12-【解答】解：数列{}n a 满足：111n na a +=-且12a =， 可得212a =，31a =-，42a =，⋯ 所以数列的周期为：3， 20196723331a a a ⨯+===-．故选：B ．6．若cos()2πα+=，则cos 2(α= )A ．23-B ．13-C ．13D ．23【解答】解：cos()sin 2παα+=-=，sin α∴=， 则211cos 212sin 1233αα=-=-⨯=，故选：C ．7．将函数()2sin(2)3f x x π=+图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移12π个单位得到函数()g x 的图象，在()g x 图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为( ) A ．24x π=-B ．4x π=C ．524x π=D ．12x π=【解答】解：将函数()2sin(2)3f x x π=+图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变， 得到2sin(4)3y x π=+，再将所得图象向左平移12π个单位得到函数()g x 的图象，得到2()2sin[4()]2sin(4)1233g x x x πππ=++=+， 由2432x k πππ+=+，k Z ∈， 得1424x k ππ=-，k Z ∈， 当0k =时，离原点最近的对称轴方程为24x π=-，故选：A ．8．已知,a b 是不共线的向量，2,2,,AB a b AC a b R λμλμ=-=+∈，若A 、B 、C 三点共线，则λ，μ满足( ) A ．2λμ+=B ．1λμ=-C ．4λμ+=D ．4λμ=-【解答】解：，2,2,,AB a b AC a b R λμλμ=-=+∈， 若A 、B 、C 三点共线，设AB mAC =，则22a b ma m b λμ-=+，,a b 是不共线， 所以2m λ=，2m μ-=，224m mλμ-==-， 故选：D ．9．若函数()(0x f x a a =>且1)a ≠在R 上为减函数，则函数log (||1)a y x =-的图象可以是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：由函数()(0x x f x a a a -=->且1)a ≠在R 上为减函数， 故01a <<．函数log (||1)a y x =-是偶函数，定义域为1x >或1x <-，函数log (||1)a y x =-的图象，1x >时是把函数log a y x =的图象向右平移1个单位得到的， 故选：D ．10．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2135213()(*)n n S a a a a n N -=+++⋯⋯+∈，1238a a a =，则8(S = ) A ．510B ．255C ．127D ．6540【解答】解：设等比数列{}n a 的公比为q ， 2135213()(*)n n S a a a a n N -=+++⋯⋯+∈，22112(1)3(1)11n n a a q q q q-=---， 2q ∴=，312328a a a a ==，22a ∴=，11a =，则881225512S -==-． 故选：B ．11．已知向量OA 、OB 满足0OA OB =，点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒，设(,)OC mOA nOB m n R =+∈，若||12||OA OB =，则(mn = )A B ．4C ．D ．14【解答】解：||12||OA OB =， ∴1||||2OA OB =， 0OA OB =，即OA OB ⊥，故可以OA ，OB 为x 轴，y 轴建立直角坐标系，设(1,0)OA =，(0,2)OB =， (,2)OC mOA nOB m n =+=， 30AOC ∠=︒，∴2tan 30n m =︒=，则mn =． 故选：C ．12．设函数()f x 的定义域为D ，若满足条件：存在[m ，]n D ⊆，使()f x 在[m ，]n 上的值域为[km ，](kn k R ∈且0)k >，则称()f x 为“k 倍函数”，若函数()(1)x f x a a =>为“3倍函数”，则实数a 的取值范围是( ) A ．3(1,)eeB ．3(1,)eC ．2(,)ee eD ．3(,)e e【解答】解：因为函数()(1)x f x a a =>为增函数，由函数()(1)x f x a a =>为“3倍函数”，即函数()y f x =的图象与直线3y x =有两个不同的交点， 设()3x g x a x =-， 则()3x g x a lna '=-， 又1a >，所以0lna >， 则当3log ax lna <时，()0g x '<，当3log a x lna>时，()0g x '>， 所以函数()g x 在3(,log )alna -∞为减函数，在3(log alna，)+∞为增函数， 要函数()y f x =的图象与直线3y x =有两个不同的交点， 则需3(log )0a g lna<， 所以33log alna lna<， 所以3log ()1lnaa lna>， 所以3()lnaa lna >， 所以31ln lna>， 所以3e lna>， 即3ea e <， 又1a >， 所以31ea e <<， 故选：A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡中相应位置． 13．已知函数1,0()2,0x lnx x f x x +>⎧=⎨⎩…，则1[()]f f e = 1 ．【解答】解：根据题意，函数1,0()2,0x lnx x f x x +>⎧=⎨⎩…，则11()1f ln lne e e==-=-，01[()](1)21f f f e=-==，故答案为：1．14．已知向量,a b 的夹角为60︒，||1,||2a b ==，则|2|a b -= 2 ．【解答】解：向量,a b 的夹角为60︒，||1,||2a b ==，∴12cos601a b =⨯⨯︒=． 则222|2|(2)444412a b a b a a b b -=-=-+=-⨯+=， 故答案为：2．15．我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷(gu ǐ)长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），夏至、小署、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列，经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为 1.5 尺． 【解答】解：由题意知为单调递增的等差数列， 设为1a ，2a ，⋯，12a ，公差为d ， 1591216.584a a a S ++=⎧⎨=⎩， 代入得1111(4)(8)16.5121112842a a d a d da ++++=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩， 联立方程解得1 1.5a =， 故答案为：1.5．16．已知函数()sin()2cos()f x x x πϕπϕ=+-+，若(1)(1)f x f x +=-，则sin 2ϕ= 5．【解答】解：由(1)(1)f x f x +=-，得()f x 的对称轴方程为1x =， 由()sin()2cos())(tan 2)f x x x x πϕπϕπϕθθ=+-+=+-=， 得2k ππϕθπ+-=+，k Z ∈．2k πϕπθ∴=-+，则2222sin cos 2tan 4sin 2sin(22)sin 215k sin cos tan θθθϕππθθθθθ=-+=-=-=-=-++．故答案为：45-．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．AB 是底部B 不可到达的建筑物，A 是建筑物的最高点，为测量建筑物AB 的高度，先把高度为1米的测角仪放置在CD 位置，测得仰角为45︒，再把测角仪放置在EF 位置，测得仰角为75︒，已知2DF =米，D ，F ，B 在同一水平线上，求建筑物AB 的高度．【解答】解：ACE ∆中，sin 45sin(7545)AE CE=︒︒-︒，2sin 45sin 302AE ︒===︒)，1sin 751751AB AH AE =+=︒+=︒+，因为sin 75sin(3045)sin 30cos 45cos30sin 45︒=︒+︒=︒︒+︒︒12==，所以12AB =+=+) 所以建筑物AB的高度为(2+米．（注:sin 75︒=． 18．已知数列{}n a 为等差数列，公差0d ≠，前n 项和为n S ，36a =，且2a ，4a ，8a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1n n b S n=+，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：34n T <．【解答】解：（1）由题意得：324286a a a a =⎧⎨=⎩，1211126(1)(3)()(7)(2)a d a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩，由（2）式得：222211116987a a d d a a d d ++=++，21d a d =， 因为0d ≠，所以1d a =，代入（1）式求得12d a ==， 所以22(1)2n a n n =+-=． （2）2n S n n =+，211111()222n n b S n n n n n ===-+++， 111111*********()()()()()21322423521122n T n n n n =-+-+-+⋯+-+--++ 1111(1)2212n n =+--++ 3111()4212n n =-+++． 34<． 19．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知sin()sin 03b Cc B π--=．（Ⅰ）求角C 的值；（Ⅱ）若4,a c ==，求ABC ∆的面积． 【解答】（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）sin()sin 03b Cc B π--=，∴1sin (sin )sin sin 02B C C C B -=，∴1sin 02C C +=， ∴sin()03C π+=．(0,)C π∈， ∴23C π=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （Ⅱ）2222cos c a b ab C =+-， 24120b b ∴+-=， 0b >， 2b ∴=，∴11sin 2422S ab C ==⨯⨯=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 20．设函数()sin 1f x x =-的正零点从小到大依次为1x ，2x ，⋯⋯，n x ，⋯⋯，构成数列{}n x ．（1）写出数列{}n x 的通项公式n x ，并求出数列{}n x 的前n 项和n S ； （2）设4n n S a n π=-，求sin n a 的值． 【解答】解：（1）函数()sin 1f x x =-的正零点从小到大依次为1x ，2x ，⋯⋯，n x ，⋯⋯， 2(1)2n x n n π=-+，n N ∈．(2)(4)[2(1)]2222n S n πππππππ=+++++⋯⋯+-+2[123(1)]2n n ππ=+++⋯⋯+-+ (1)2n n n ππ=-+． （2）(1)44n n S a n n πππ=-=-+，当21n k =-，*k N ∈时，sin sin[(22)]sin[2(1)]sin444n a k k πππππ=-+=-+==，当2n k =，*k N ∈时，3sin sin[(21)]sin(2)sin()444n a k k ππππππ=-+=-+=-=． 21．已知函数32()391f x x x x =+-+． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当[4x ∈-，4]时，求函数()f x 的最大值与最小值．【解答】解：（1）22()3693(23)3(3)(1)f x x x x x x x '=+-=+-=+-， 当(,3)x ∈-∞-时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当(3,1)x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；所以()f x 的递增区间是(,3)-∞-、(1,)+∞；递减区间是(3,1)-．（2）由（1）知，()f x 在区间[4-，3]-，[1，4]上单调递增，在区间[3-，1]上单调递减， 所以()()328f x f =-=极大，()f x f =极小（1）4=-， 又因为(4)21f -=，f （4）77=， 所以()f x 的最大值是77，最小值是4-． 22．设函数()()()x f x m x e m Z =-∈．（1）当0m =时，求函数()f x 在点(1，f （1）)处的切线方程； （2）当0x >时，()3f x x <+恒成立，求整数m 的最大值．【解答】解：（1）当0m =时，()x f x xe =-，()(1)x x x f x e xe x e '=--=-+， 所以k f '=（1）2e =-，因为f （1）e =-，所以切线方程为2(1)y e e x +=--，整理得：20ex y e +-=． （2）()3x m x e x -<+，因为0x e >，所以3(0)xx m x x e +<+>恒成立， 设3()x x h x x e +=+，则2(3)2(2)()11x x x x x x e x e x e x h x e e e -+---+'=+=+=，设()(2)x s x e x =-+，则()10x s x e '=->，所以()s x 在(0,)+∞上单调递增，又3237(1)30,()022s e s e =-<=-=>，所以存在03(1,)2x ∈使得0()0s x =，0(1,)x x ∈时，()0s x <；0(x x ∈，)+∞时，()0s x >，所以()h x 在0(1,)x 上单调递减，0(x ，)+∞上单调递增， 所以00003()()min x x h x h x x e +==+， 又00000()0,20,2x x s x e x e x =--==+， 所以000000000331()()122min x x x h x h x x x x x x e ++==+=+=++++， 当03(1,)2x ∈时，0201()10(2)h x x '=->+，所以0()h x 在3(1,)2上单调递增， 所以03(1)()()2h h x h <<，即0739()314h x <<，因为m Z ∈，所以2m …，所以m 的最大值为2．。
2019届上学期吉林省延边市第二中学高三第一次月考文科数学试卷(附答案)
2019届上学期吉林省延边市第二中学高三第一次月考文科数学试卷（附答案）第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，只有一个选项正确，请把答案写在答．．．．．．．题卷上．．．） 1．设集合{}1,1M =-，{}26N x x x =-<，则下列结论正确的是（ ）A ．M N ⊆B.φ=⋃M NC.N M ⊆D.R N M =⋃2.已知R y x ∈,，i 为虚数单位，若i y xi 3)2(1--=+，则=+yi x （ ） A ．2B ．5C ．3D ．103．命题p ：若1y x <<，01a <<，则11x y a a<，命题q ：若1y x <<，0a <，则a a x y <．在命题①p 且q ②p 或q ③非p ④非q 中，真命题是（ ） A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④4．已知()1,2=a ，()3,2=-b ，k +a b 与3-a b 垂直时k 值为（ ） A ．17B ．18C ．19D ．205．已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（ ）A ．求首项为1，公差为2的等差数列前2017项和B ．求首项为1，公差为2的等差数列前2018项和C ．求首项为1，公差为4的等差数列前1009项和D ．求首项为1，公差为4的等差数列前1010项和6.等差数列{}n a 中，已知6110a a +=，且公差0d >，则其前n 项和取最小值时n 的值（ ） A ．6B ．7C ．8D ．97．若将函数x x f 2cos 21)(=的图像向左平移6π个单位长度，则平移后图像的一个对称中心可以为（ ） A ．)0,12(πB ．)0,6(πC ．)0,3(πD ．)0,2(π8．已知矩形ABCD 的顶点都在球心为O ，半径为R 的球面上，6,AB BC ==，且四棱锥O ABCD -的体积为R 等于（ ）A ．4B ．C ．9D 9．已知O 为坐标原点，设12,F F 分别是双曲线221x y -=的左、右焦点，点P 为双曲线左支上任一点，自点1F 作12F PF ∠的平分线的垂线，垂足为H ，则||OH =（ ） A ．1B ．2C ．4D ．1210．若函数()2ln 2f x x ax =+-在区间122⎛⎫⎪⎝⎭，内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是（ ） A ，(],2-∞-B ，1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ，（-2，-18） D ，()2,-+∞11，已知函数()sin f x x x =+，若正实数b a ,满()()490f a f b +-=，则11a b +的最小值是（ ）A ，1B ，29C ，9D ，1812．函数()x x x x f sin 3+--=，当⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ时，2(cos 2sin )(22)0f m f m θθ++-->恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21, B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-21, C ．⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,21D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,21 第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卷上．．．．．．．．．．）13．已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域21x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，上的一个动点，则OA →·OM→的取值范围是 ．14．在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,且满()C b B c a cos cos 2=-,则A 的取值范围为 ．15．已知各项不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若m ∈N *，且a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0， S 2m －1＝38，则m ＝________，16．在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠= 点E 和点F 分别在线段BC和CD 上,且21,,36BE BC DF DC ==uuv uu u v uuu v uuu v 则AE AF ⋅uu u v uu u v的值为 ．三、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．在答题卷上．．．．．） 17．（12分）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =， （1）求b 和sin A 的值；（2）求πsin(2)4A +的值，18，（12分）已知{}n a 为等差数列，前n 项和为*()n S n ∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2334111412,2,11b b b a a S b +==-=，（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列2{}n n a b 的前n 项和*()n ∈N ．19，（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，点O 是对角线AC 与BD 的交点，M 是PD 的中点，且2AB =，60BAD ∠=︒． （1）求证：平面PBD ⊥平面PAC ；（2）当三棱锥M BCD -PB 的长．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点3(1,)2,离心率为12,左右焦点分别为12,F F ,过1F 的直线交椭圆于,A B 两点，（1）求椭圆C 的方程；（2）当2F AB ∆的面积为7时,求直线的方程，21，（ 12分）已知函数)R ()()(∈-=a e a x x f x ， （1）当2=a 时，求函数)(x f 在0=x 处的切线方程； （2）求)(x f 在区间]2,1[上的最小值，注意：请考生在22、23题两题中任选一道．．．．题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1:C cos ()sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数，以平面直角坐标系xOy 的原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线:(2s i n )6l c o s ρθθ-=．（1）将曲线1C 2倍后得到曲线2C 试写出直线l 的直角坐标方程和曲线2C 的参数方程；（2）在曲线2C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，并求出此最大值．23．（10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|1|2|1|f x x x =--+的最大值为k ．（1）求k 的值；（2）若,,a b c R ∈，2222a cb k ++=，求()b ac +的最大值．文 科 数 学 答 案第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，只有一个选项正确，请把答案写在答．．．．．．．题卷上．．．） 1-6：CDCCCC7-12：AAADAD第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卷上．．．．．．．．．．）13．[0, 2]14．20,3π⎛⎫⎪⎝⎭15．10 16 三、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卷上）17，解：（1）在ABC △中，因为a b >，故由3sin 5B =，可得4cos 5B =，由已知及余弦定理，有2222cos 13b a c ac B =+-=，所以b =由正弦定理sin sin a b A B =，得sin sin a B A b ==所以，b sin A ，（2）由（1）及a c <，得cos 13A =， 所以12sin 22sin cos 13A A A ==，25cos 212sin 13A A =-=-，故πππsin(2)sin 2cos cos 2sin 44426A A A +=+=，18，解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ， 由已知2312b b +=，得21()12b q q +=，而12b =，所以260q q +-=，又因为0q >，解得2q =，所以，2n n b =，由3412b a a =-，可得138d a -=①， 由11411S b =，可得1516a d +=②，联立①②，解得11,3a d ==，由此可得32n a n =-，所以{}n a 的通项公式为32n a n =-，{}n b 的通项公式为2n n b =， （2）解：设数列2{}n n a b 的前n 项和为n T ，由262n a n =-， 有2342102162(62)2n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯L ，2341242102162(68)2(62)2n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯L ， 上述两式相减，得23142626262(62)2n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯L1212(12)4(62)2(34)21612n n n n n ++⨯-=---⨯=----，得2(34)216n n T n +=-+，所以数列2{}n n a b 的前n 项和为2(34)216n n +-+，19，证明：（1）∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴PA BD ⊥， ∵底面ABCD 是菱形，∴BD AC ⊥，∵AC ⊂面PAC ，PA ⊂面PAC ，AC PA A =，∴BD ⊥平面PAC ，∵BD ⊂平面PBD ，∴平面PBD ⊥平面PAC ，（2）因为底面ABCD 是菱形，M 是PD 的中点，所以1124M BCD M ABCD P ABCD V V V ---==，从而P ABCD V -=2AB =，60BAD ∠=︒，所以ABCD S = ∵四棱锥P ABCD -的高为PA ，∴13PA ⨯=32PA =， ∵PA ⊥面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴PA AB ⊥，在Rt PAB ∆中，52PB ===，20．解：（1）22222914112a bc a a b c ⎧⎪+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎪⎩解得⎪⎩⎪⎨⎧===341222b a c 所以13422=+y x （2）斜率不存在时1-=x 3,32==∆AB F S AB 不满足 （3）斜率存在 0),1(=+-+=k y kx x k y⎪⎩⎪⎨⎧=++=134)1(22y x x k y 消元得01248)43(2222=-+++k x k x k ， 0>∆恒成立2221222143124,438k k x x k k x x +-=⋅+-=+，2222212212)43()1(91614)(1k k k x x x x k AB ++⨯+=⋅-++=， 12122+=++=k k k k k h721212)43()1(916121222222=+++⨯+=∆k k k k k S ABF 解得1±=k 所以)1(+±=x y21、解：（1）设切线的斜率为k ， 因为a ＝2， 所以f (x )＝(x －2)e x ，f ′(x )＝e x (x －1)， 所以f (0)＝－2，k ＝f ′(0)＝e 0(0－1)＝－1，所以所求的切线方程为y ＝－x －2，即x ＋y ＋2＝0，（2）由题意得f ′(x )＝e x (x －a ＋1)，令f ′(x )＝0，可得x ＝a －1，①若a －1≤1，则a ≤2，当x ∈[1，2]时，f ′(x )≥0，则f (x )在[1，2]上单调递增， 所以f (x )min ＝f (1)＝(1－a )e ，②若a －1≥2，则a ≥3，当x ∈[1，2]时，f ′(x )≤0，则f (x )在[1，2]上单调递减， 所以f (x )min ＝f (2)＝(2－a )e 2， ③若1<a －1<2，则2<a <3，所以f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：所以f (x )所以f (x )在[1，2]上的最小值为f (a －1)＝－e a －1， 综上所述：当a ≤2时，f (x )min ＝f (1)＝(1－a )e ； 当a ≥3时，f (x )min ＝f (2)＝(2－a )e 2； 当2<a <3时，f (x)min ＝f (a－1)＝－e a －1，22．解：（1）由题意知，直线l 的直角坐标方程为：260x y --=， ∵曲线2C 的直角坐标方程为：22()12y+=，∴曲线2C的参数方程为：()2sin x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数． （2）设点P 的坐标,2sin )θθ，则点P 到直线l 的距离为：0d ==， ∴当sin （600－θ）=-1时，点P （1,23-）， 此时max d == 23．解：（1）由于3,(1)()31,(11)3,(1)x x f x x x x x --≥⎧⎪=---<<⎨⎪+≤-⎩，所以max ()(1)2k f x f ==-=．（2）由已知22222=++b c a ，有4)()(2222=+++c b b a ， 因为ab b a 222≥+（当b a =取等号），bc c b 222≥+（当c b =取等号）， 所以)(24)()(2222bc ab c b b a +≥=+++，即2≤+bc ab ， 故[]2)(max =+c a b ．。
2019-2020学年吉林省延边二中高三(上)入学数学试卷(理科)(9月份)
2019-2020学年吉林省延边二中高三（上）入学数学试卷（理科）（9月份）一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分，每题只有一个选项正确）1. 设i是虚数单位，则复数i3−2i=()A.−iB.−3iC.iD.3i【答案】C【考点】复数的运算【解析】通分得出i 4−2i，利用i的性质运算即可．【解答】∵i是虚数单位，则复数i3−2i，∴i4−2i =1−2i=−1i=i，2. 命题p:∃x0∈R，tan x0>x0的否定是（）A.∀x∈R，tan x≤xB.∀x∈R，tan x<xC.∃x0∈R，tan x0≤x0D.∃x0∈R，tan x0<x0【答案】A【考点】命题的否定【解析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．【解答】命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，则命题的否定是∀x∈R，tan x≤x，3. 函数y=√log12(3x−2)的定义域是()A.[1, +∞)B.(23，+∞) C.[23，1] D.(23，1]【答案】D【考点】函数的定义域及其求法【解析】无理式被开方数大于等于0，对数的真数大于0，解答即可．【解答】解：要使函数有意义：log12(3x−2)≥0，即：log12(3x−2)≥log121，可得0<3x−2≤1，解得x∈(23，1].故选D．4. 用数学归纳法证明“1+2+3+⋯+n3=n6+n32，n∈N⋅”，则当n＝k+1时，应当在n＝k时对应的等式的两边加上（）A.(k3+1)+(k3+2)+...+(k+1)3B.k3+1C.(k+1)3D.(k|1)6+(k+1)32【答案】A【考点】数学归纳法【解析】分别使得n＝k，和n＝k+1代入等式，然后把n＝k+1时等式的左端减去n＝k时等式的左端，即可得到答案．【解答】当n＝k时，等式左端＝1+2+...+k3，当n＝k+1时，等式左端＝1+2+...+k3+(k3+1)+(k3+2)+(k3+3)+...+(k+ 1)3，增加了2k+1项．5. 曲线C:x24+9y2=1经过伸缩变换{x′=12xy′=3y后，对应曲线的方程为（）A.x′216+81y′2=1 B.x′2+y′2＝1 C.16x′2+y′281=1 D.x′2+81y′2＝1【答案】B【考点】平面直角坐标系中的伸缩变换【解析】直接利用函数的关系式的伸缩变换的应用求出结果．【解答】曲线C:x 24+9y2=1经过伸缩变换{x′=12xy′=3y后，得到(2x′)24+9⋅(y′3)2=1，整理得x′2+y′2＝1．6. 已知(x−1)5＝a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+...+a5(x+1)5，则a2＝（）A.20B.−20C.80D.−80【答案】D【考点】二项式定理及相关概念【解析】由二项式展开式通项得：[(x+1)−2]5＝a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+...+a5(x+1)5，[(x+1)−2]5展开式的通项为T r+1＝(−2)rC5r(x+1)5−r，令5−r＝2，得r＝3，则a2＝(−2)3C53=−80，得解【解答】因为(x−1)5＝a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+...+a5(x+1)5，则[(x+1)−2]5＝a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+...+a5(x+1)5，由二项式定理得：[(x+1)−2]5展开式的通项为T r+1＝(−2)rC5r(x+1)5−r，令5−r＝2，得r＝3，则a2＝(−2)3C53=−80，7. 某班有50名学生，一次数学考试的成绩ξ服从正态分布N(105, 102)，已知P(95≤ξ≤105)＝0.32，估计该班学生数学成绩在115分以上的人数为（）A.10B.9C.8D.7【答案】B【考点】正态分布的密度曲线【解析】根据考试的成绩ξ服从正态分布N(105, 102)．得到考试的成绩ξ关于ξ＝105对称，根据(1−0.64)＝0.18，根据频率乘以样本容P(95≤ξ≤105)＝0.32，得到P(ξ≥115)=12量得到这个分数段上的人数．【解答】∵考试的成绩ξ服从正态分布N(105, 102)．∴考试的成绩ξ关于ξ＝105对称，∵P(95≤ξ≤105)＝0.32，∴P(ξ≥115)=1(1−0.64)＝0.18，2∴该班数学成绩在115分以上的人数为0.18×50＝98. 某次演出共有6位演员参加，规定甲只能排在第一个或最后一个出场，乙和丙必须排在相邻的顺序出场，请问不同的演出顺序共有（）A.24种B.144种C.48种D.96种【答案】D【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】根据元素优先法以及相邻问题，捆绑法结合排列公式进行计算即可．【解答】把乙丙看作一个元素，此时有5个元素，若甲排第一个，有A44A22=48，若甲排最后一个，有A44A22=48，共有48+48＝96种，9. 已知函数f(x)＝e x−e−x，若f(log2m)+f(1−21og2m)>0，则实数m的取值范围是（）A.(−∞, 2)B.(1,32) C.(0, 1) D.(0, 2)【答案】D【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】根据条件判断函数的奇偶性和单调性，结合奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可．【解答】∵f(x)＝e x−e−x，∴f(−x)＝e−x−e x＝−f(x)，则函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)为增函数，则由f(log2m)+f(1−21og2m)>0，得f(log2m)>−f(1−21og2m)＝f(21og2m−1)，则log2m>21og2m−1，得log2m<1，得0<m<2，即实数m的取值范围是(0, 2)，10. 甲、乙两人从1，2，…，15这15个数中，依次任取一个数（不放回）．则在已知甲取到的数是5的倍数的情况下，甲所取的数大于乙所取的数的概率是（）A.1 2B.715C.815D.914【答案】D【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】利用列举法求出甲取到的数是5的倍数，甲、乙取到的数(a, b)共有42个，其中甲所取的数大于乙所取的数的个数有27个，由此能求出已知甲取到的数是5的倍数的情况下，甲所取的数大于乙所取的数的概率．【解答】甲、乙两人从1，2，…，15这15个数中，依次任取一个数（不放回）．甲取到的数是5的倍数，则甲、乙取到的数(a, b)共有42个，分别是：(5, 1)，(5, 2)，(5, 3)，(5, 4)，(5, 6)，(5, 7)，(5, 8)，(5, 9)，(5, 10)，(5, 11)，(5, 12)，(5, 13)，(5, 14)，(5, 15)，(10, 1)，(10, 2)，(10, 3)，(10, 4)，(10, 5)，(10, 6)，(10, 7)，(10, 8)，(10, 9)，(10, 11)，(10, 12)，(10, 13)，(10, 14)，(10, 15)，(15, 1)，(15, 2)，(15, 3)，(15, 4)，(15, 5)，(15, 6)，(15, 7)，(15, 8)，(15, 9)，(15, 10)，(15, 11)，(15, 12)，(15, 13)，(15, 14)，其中甲所取的数大于乙所取的数的个数有27个，分别是：(5, 1)，(5, 2)，(5, 3)，(5, 4)，(10, 1)，(10, 2)，(10, 3)，(10, 4)，(10, 5)，(10, 6)，(10, 7)，(10, 8)，(10, 9)，(15, 1)，(15, 2)，(15, 3)，(15, 4)，(15, 5)，(15, 6)，(15, 7)，(15, 8)，(15, 9)，(15, 10)，(15, 11)，(15, 12)，(15, 13)，(15, 14)，∴ 在已知甲取到的数是5的倍数的情况下，甲所取的数大于乙所取的数的概率是p =2742=914．11. 大衍数列，来源于中国古代著作《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．其前10项为：0、2、4、8、12、18、24、32、40、50．通项公式：a n ={n 2−12,n 为奇函数，n 22,n 为偶函数，如果把这个数列{a n }排成如图形状，并记A(m, n)表示第m 行中从左向右第n 个数，则A(10, 2)的值为( )A.1280B.3444C.3528D.3612【答案】 B【考点】 归纳推理 【解析】由题意可知前9行共有81项，则A(10, 2)为此数列的第83项，带入求值即可． 【解答】解：由题意可知前9行共有1+3+5+...+17=18×92=81项，A(10, 2)为数列的第83项， ∴ A(10, 2)的值为832−12=3444．故选B .12. 函数f(x)=2x −b 2x+1+a是R 的奇函数，a ，b 是常数．不等式f(k ⋅3x )+f(3x −9x −2)<0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围为（ ） A.k <2√2−1． B.−2√2−1<k <2√2−1 C.k ≤−1 D.−1≤k <2√2−1【答案】 A【考点】函数恒成立问题 【解析】根据函数的奇函数可求出a ，b 的值；根据函数的单调性解不等式，通过转化可得(3x )2−(k +1)⋅3x +2>0对任意x ∈R 恒成立，令t ＝3x (t >0)，分析进而可得t 2−(k +1)t +2>0对t >0恒成立，令g(t)＝t 2−(k +1)t +2，由二次函数的性质分析可得答案． 【解答】∵ f(x)是R 上的奇函数，∴ {f(0)=0f(−1)=−f(1) ，∴ {a =2b =1 ；∴ f(x)=2x −12x+1+2=12−12x +1且函数f(x)为R 上的增函数；根据题意可得，f(k ⋅3x )<−f(3x −9x −2)<−f(3x −9x −2)＝f(9x −3x +2)对任意x ∈R 恒成立，又f(x)是R 上的增函数，∴ k ⋅3x <9x −3x +2即(3x )2−(k +1)3x +2>0对任意x ∈R 恒成立， 令t ＝3x (t >0)，即t 2−(k +1)t +2>0对t >0恒成立， 令g(t)＝t 2−(k +1)t +2，对称轴为x =k+12；当k+12≤0k ≤−1，g(t)在(0, +∞)上为增函数，∴ g(t)>g(0)＝2>0成立； 当k+12>0k >−1，g(t)在(0,k+12)递减，在(k+12,+∞)递增，∴ 函数g(t)的最小值为g(k+12)=(k+1)24−(k+1)22+2>0，解得−2√2−1<k <2√2−1；综上，k <2√2−1．二、填空题（包括4小题，每小题4分，共16分，请将答案写在答题纸上）已知m ∈R ，设复数Z ＝(m 2−2m −3)+(m 2−1)i ．若复数Z 为纯虚数，实数m ＝________ 【答案】 3【考点】虚数单位i 及其性质 复数的基本概念 复数的运算 【解析】复数Z 为纯虚数，所以{m 2−2m −3=0m 2−1≠0，解得m ＝3．【解答】依题意，复数Z 为纯虚数，所以{m 2−2m −3=0m 2−1≠0，解得m ＝3，将5本不同的书分给4名学生，每人至少分1本，则不同的分法有________种． 【答案】 240【考点】排列、组合及简单计数问题 【解析】由题意知5本不同的书分给4个人，每人至少一本，需要从5个元素中选出2个元素，和另外三个元素一起在四个位置排列． 【解答】由题意知5本不同的书分给4个人，每人至少一本，∴ 需要从5个元素中选出2个元素，和另外三个元素一起在四个位置排列，共有C 52A 44＝240，已知f(x)=log a (ax 2−x)(a >0且a ≠1)在[2, 4]上是增函数，则实数a 取值范围是________ 【答案】 (1, +∞) 【考点】复合函数的单调性 【解析】令z ＝ax 2−x(z >0)，则y ＝log a z ，讨论a >1，0<a <1，运用对数函数和二次函数的单调性，结合复合函数的单调性：同增异减，解不等式即可得到所求范围． 【解答】f(x)＝log a (ax 2−x)(a >0且a ≠1)且a ≠1在[2, 4]上是增函数， 若0<a <1，则y ＝log a z 在(0, +∞)递减， 可得z ＝ax 2−x(z >0)在[2, 4]递减， 即有16a −4>0，且12a ≥4， 解得a >14且a ≤18，可得a ∈⌀；若a >1，则y ＝log a z 在(0, +∞)递增， 可得z ＝ax 2−x(z >0)在[2, 4]递增， 即有4a −2>0，且12a ≤2， 解得a >12且a ≥14，可得a >1．综上可得，a >1．下列四个结论中，错误的序号是________①以直角坐标系中x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的方程为ρ2−2√2aρsin (θ+π4)+2a 2−8＝0，若曲线C 上总存在两个点到原点的距离为√2，则实数a 的取值范围是(−3, −1)∪(1, 3)②在残差图中，残差点比较均匀地落在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域宽度越宽，说明模型拟合精度越高③设随机变量ξ∼B(2, P)，η∼B(3, P)，若p(ξ≥1)=59，则p(η≥2)=627④已知n 为满足S ＝a +C 271+C 272+C 273+...+C 2727(a ≥3)能被9整除的正数a 的最小值，则(x −1x )n 的展开式中，系数最大的项为第6项【答案】 ②③④ 【考点】命题的真假判断与应用 【解析】由极坐标和直角坐标的关系：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，x 2+y 2＝ρ2，可得曲线C 的轨迹，根据两圆相交的条件，解不等式可得a 的范围，即可判断①；由残差图的带状区域宽度越窄，说明模型拟合精度越高，可判断②；由随机变量的二项分布的概率公式，计算可判断③；由二项式系数的性质和整除的定义可得a ＝11，再由二项式展开式的系数特点可得最小值的项，可判断④． 【解答】①，曲线C 的方程为ρ2−2√2aρsin (θ+π4)+2a 2−8＝0，由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，x 2+y 2＝ρ2，曲线C 化为x 2+y 2−2ax −2ay +2a 2−6＝0，即为(x −a)2+(y −a)2＝8，可得曲线C 为以(a, a)为圆心，半径为2√2的圆，若曲线C 上总存在两个点到原点的距离为√2，可得圆x 2+y 2＝2与圆C 总相交，可得√2<√2|a|<3√2，解得−3<a <−1或1<a <3，故①正确；②，在残差图中，残差点比较均匀地落在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适， 这样的带状区域宽度越窄，说明模型拟合精度越高，故②错误； ③，设随机变量ξ∼B(2, P)，η∼B(3, P)，若p(ξ≥1)=59，则1−(1−p)2=59，解得p =13，则p(η≥2)=C 32(13)2(23+(13)3=727，故③错误；④，已知n 为满足S ＝a +C 271+C 272+C 273+...+C 2727＝a +227−1＝a −1+89＝a −1+(9−1)9，可得S 被9除的余数为a +7，由于a ≥3，可得a 的最小值为11，即n ＝11，则(x −1x )11的展开式中，虽然C 115=C 116，但第6项的系数为负值，故系数最大的项为第7项，故④错误．三、解答题（包括6个题，17、18题各10分，19、20、21题12分，22题为附加题20分，共76分，请写必要的解答过程）（1）计算：log 3√8133+2lg 25+lg 16+7log √72（2）若函数f(x)=ax+1x+2在区间(−2, +∞)上是减函数，求实数a 的取值范围【答案】原式=log 3313+41g5+41g2+7log 74=13+4+4=253；f(x)=ax+1x+2=a +1−2a x+2，且f(x)在(−2, +∞)上是减函数，∴ 1−2a >0， ∴ a <12，∴ 实数a 的取值范围为(−∞,12)． 【考点】对数的运算性质 【解析】（1）进行对数的运算即可； （2）可分离常数得出f(x)=a +1−2a x+2，根据f(x)在(−2, +∞)上是减函数即可得出1−2a >0，解出a 的范围即可． 【解答】原式=log 3313+41g5+41g2+7log 74=13+4+4=253；f(x)=ax+1x+2=a +1−2a x+2，且f(x)在(−2, +∞)上是减函数，∴ 1−2a >0， ∴ a <12，∴ 实数a 的取值范围为(−∞,12)．乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性均为12．（1）求甲以4比0或4比1获胜的概率；（2）求比赛局数X 的分布列及均值． 【答案】由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是12．甲以4比0或4比1获胜的概率P(A)=C 43(12)3⋅(12)4−3⋅12+(12)4=18+116=316（设比赛的局数为X ，则X 的可能取值为4，5，6，7.P(X =4)=2C 44(12)4=18，P(X =5)=2C 43(12)3⋅(12)4−3⋅12=14，P(X =6)=2C 53(12)3⋅(12)5−3⋅12=516，P(X =7)=2C 63(12)3⋅(12)6−3⋅12=516，比赛局数的分布列为E(X)=4×18+5×14+6×516+7×516=9316．【考点】离散型随机变量及其分布列 离散型随机变量的期望与方差 【解析】（1）利用已知条件，结合独立重复实验，转化求解即可． （2）求出X 的值，求出概率，得到分布列，然后求解期望． 【解答】由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是12．甲以4比0或4比1获胜的概率P(A)=C 43(12)3⋅(12)4−3⋅12+(12)4=18+116=316（设比赛的局数为X ，则X 的可能取值为4，5，6，7.P(X =4)=2C 44(12)4=18，P(X =5)=2C 43(12)3⋅(12)4−3⋅12=14，P(X =6)=2C 53(12)3⋅(12)5−3⋅12=516，P(X =7)=2C 63(12)3⋅(12)6−3⋅12=516，比赛局数的分布列为E(X)=4×18+5×14+6×516+7×516=9316．在平面直角坐标系中，圆M 的方程x 2+y 2−4y ＝0，以直角坐标系中x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcos θ−ρsin θ+√2=0 （1）写出直线l 的直角坐标方程；（2）若直线l 1过点P(2, 0)且垂直于直线l ，设l 1与圆M 两个交点为A ，B ，求1|PA|+1|PB|的值． 【答案】直线的极坐标方程ρcos θ−ρsin θ+√2=0，其中y ＝ρsin θ，x ＝ρcos θ，所以直线l 的直角坐标方程为x −y +√2=0；直线x −y +√2=0的斜率为1，所以过点P(2, 0)且垂直于x −y +√2=0的直线的参数方程为{x =2+t cos 3π4y =t sin 3π4 即{x =2−√22ty =√22t，（t 为参数） 代入x 2+y 2−4y ＝0整理得t 2−4√2t +4=0设方程的两根为t 1，t 2，则有t 1+t 2=4√2,t 1t 2=4，由参数t 的几何意义知|PA|+|PB|＝t 1+t 2，|PA|⋅|PB|＝t 1t 2所以1|PA|+1|PB|=|PA|+|PB||PA|⋅|PB|=√2．【考点】圆的极坐标方程 【解析】（1）直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果． 【解答】直线的极坐标方程ρcos θ−ρsin θ+√2=0，其中y ＝ρsin θ，x ＝ρcos θ，所以直线l 的直角坐标方程为x −y +√2=0；直线x −y +√2=0的斜率为1，所以过点P(2, 0)且垂直于x −y +√2=0的直线的参数方程为{x =2+t cos 3π4y =t sin 3π4 即{x =2−√22t y =√22t ，（t 为参数） 代入x 2+y 2−4y ＝0整理得t 2−4√2t +4=0设方程的两根为t 1，t 2，则有t 1+t 2=4√2,t 1t 2=4，由参数t 的几何意义知|PA|+|PB|＝t 1+t 2，|PA|⋅|PB|＝t 1t 2所以1|PA|+1|PB|=|PA|+|PB||PA|⋅|PB|=√2．某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况，从该市使用其平台且每周平均消费额超过100元的人员中随机抽取了100名，并绘制右图所示频率分布直方图，已知中间三组的人数可构成等差数列．（1）求m ，n 的值；（2）分析人员对100名调查对象的性别进行统计发现，消费金额不低于300元的男性有20人，低于300元的男性有25人，根据统计数据完成下列2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为消费金额与性别有关？（3）分析人员对抽取对象每周的消费金额y 与年龄x 进一步分析，发现他们线性相关，得到回归方程y =−5x +b ．已知100名使用者的平均年龄为38岁，试判断一名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为多少．（同一组数据用该区间的中点值代替） 2×2列联表临界值表：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d【答案】由频率分布直方图可知，m +n ＝0.01−0.0015×2−0.001＝0.006，由中间三组的人数成等差数列可知m +0.0015＝2n ，可解得m＝0.0035，n＝0.0025周平均消费不低于300元的频率为(0.0035+0.0015+0.001)×100＝0.6，因此100人中，周平均消费不低于300元的人数为100×0.6＝60人．所以2×2列联表为K2=100(20×15−40×25)245×55×60×40≈8.249>6.635所以有99%的把握认为消费金额与性别有关．调查对象的周平均消费为0.15×150+0.25×250+0.35×350+0.15×450+0.10×550＝330，由题意330＝−5×38+b，∴b＝520，y＝−5×25+520＝395．【考点】独立性检验【解析】（1）由频率分布直方图的面积和为1，得到m，n（2）根据题目所给的数据填写2×2列联表即可；计算K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论．（3）由频率分布直方图计算中位数，平均数即可．【解答】由频率分布直方图可知，m+n＝0.01−0.0015×2−0.001＝0.006，由中间三组的人数成等差数列可知m+0.0015＝2n，可解得m＝0.0035，n＝0.0025周平均消费不低于300元的频率为(0.0035+0.0015+0.001)×100＝0.6，因此100人中，周平均消费不低于300元的人数为100×0.6＝60人．所以2×2列联表为K2=100(20×15−40×25)245×55×60×40≈8.249>6.635所以有99%的把握认为消费金额与性别有关．调查对象的周平均消费为0.15×150+0.25×250+0.35×350+0.15×450+ 0.10×550＝330，由题意330＝−5×38+b，∴b＝520，y＝−5×25+520＝395．已知e是自然对数的底数，函数f(x)=x2e x 与F(x)＝f(x)−x+1x的定义域都是(0, +∞)．（1）求函数f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程；（2）判断函数F(x)零点个数（3）用min {m, n}表示m ，n 的最小值，设x >0，g(x)＝min {f(x), x −1x }，若函数ℎ(x)＝g(x)−cx 2在(0, +∞)上为增函数，求实数c 的取值范围．【答案】由f(x)=x 2e x ，得f ′(x)=x(2−x)e x， ∴ 切线的斜率k =f ′(1)=1e ，f(1)=1e ．∴ 函数f(x)在点(1,1e )处的切线方程为y =1e x ； ∵ F(x)=f(x)−x +1x ，f(x)=x 2e x ，∴ F(1)=1e >0，F(2)=4e 2−32<0，F(1)F(2)<0， ∴ F(x)存在零点x 0，且x 0∈(1, 2)．∵ F ′(x)=x(2−x)e x −1−1x 2，∴ 当x ≥2时，F ′(x)<0；当0<x <2时，由x(2−x)≤[x+(2−x)2]2=1， 得F ′(x)≤1e x −1−1x 2<1−1−1x 2=−1x 2<0，∴ F(x)在(0, +∞)上是减函数．∴ 若x 1>0，x 2>0，x 1≠x 2，则F(x 1)≠F(x 2)，∴ 函数F(x)只有一个零点x 0，且x 0∈(1, 2)；g(x)={x −1x ,0<x ≤x 0x 2e x ,x >x 0 ，故ℎ(x)={x −1x −cx 2,0<x ≤x 0x 2e x−cx 2,x >x 0 ， ∵ 函数F(x)只有一个零点x 0，∴ F(x 0)＝0，∴ x 0−1x 0=x 02e x 0，∴ x 0−1x 0−cx 02=x 02e x 0−cx 02， ∴ ℎ(x)在(0, +∞)为增函数⇔ℎ′(x)≥0在(0, x 0)，(x 0, +∞)恒成立． ∵ 当x >x 0时ℎ(x)=x(2−x)e x −2cx ≥0，∴ c ≤2−x 2e x 在区间(x 0, +∞)上恒成立． 设u(x)=2−x2e x (x >x 0)，则只需c ≤u(x)min ，∵ u ′(x)=x−32e x ，∴ u(x)在(x 0, 3)单调减，在(3, +∞)单调增，∴ u(x)min =u(3)=−12e 3，c ≤−12e 3．当0<x <x 0时，ℎ(x)=1+1x 2−2cx ，∴ 由上述得c <0，则ℎ′(x)>0在(0, x 0)恒成立．综上，实数c 的取值范围是(−∞,−12e 3]．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】（1）对f(x)求导，求出斜率k ＝f ′(1)和f(1)，可得函数f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程；（2）利用零点存在定理，可得F(x)存在零点x 0，且x 0∈(1, 2)，然后根据F(x)的单调性可以进一步确定函数F(x)只有一个零点x 0；（3）根据条件可得ℎ(x)={x −1x −cx 2,0<x ≤x 0x 2e x −cx 2,x >x 0 ，再判断函数ℎ(x)的单调性，根据ℎ(x)在(0, +∞)上为增函数，可得c 的范围．【解答】由f(x)=x 2e x ，得f ′(x)=x(2−x)e x， ∴ 切线的斜率k =f ′(1)=1e ，f(1)=1e ．∴ 函数f(x)在点(1,1e )处的切线方程为y =1e x ；∵ F(x)=f(x)−x +1x ，f(x)=x 2e x ，∴ F(1)=1e >0，F(2)=4e 2−32<0，F(1)F(2)<0， ∴ F(x)存在零点x 0，且x 0∈(1, 2)．∵ F ′(x)=x(2−x)e x −1−1x 2，∴ 当x ≥2时，F ′(x)<0；当0<x <2时，由x(2−x)≤[x+(2−x)2]2=1， 得F ′(x)≤1e x −1−1x 2<1−1−1x 2=−1x 2<0，∴ F(x)在(0, +∞)上是减函数．∴ 若x 1>0，x 2>0，x 1≠x 2，则F(x 1)≠F(x 2)，∴ 函数F(x)只有一个零点x 0，且x 0∈(1, 2)；g(x)={x −1x ,0<x ≤x 0x 2e x ,x >x 0 ，故ℎ(x)={x −1x −cx 2,0<x ≤x 0x 2e x −cx 2,x >x 0 ， ∵ 函数F(x)只有一个零点x 0，∴ F(x 0)＝0，∴ x 0−1x 0=x 02e x 0，∴ x 0−1x 0−cx 02=x 02e x 0−cx 02， ∴ ℎ(x)在(0, +∞)为增函数⇔ℎ′(x)≥0在(0, x 0)，(x 0, +∞)恒成立． ∵ 当x >x 0时ℎ(x)=x(2−x)e x −2cx ≥0，∴ c ≤2−x 2e x 在区间(x 0, +∞)上恒成立． 设u(x)=2−x2e x (x >x 0)，则只需c ≤u(x)min ，∵ u ′(x)=x−32e ，∴ u(x)在(x 0, 3)单调减，在(3, +∞)单调增，∴ u(x)min =u(3)=−12e 3，c ≤−12e 3．当0<x <x 0时，ℎ(x)=1+1x 2−2cx ，∴由上述得c<0，则ℎ′(x)>0在(0, x0)恒成立．]．综上，实数c的取值范围是(−∞,−12e3。
2019-2020学年吉林省延边市第二中学高三上学期第一次月考 数学(理)
2019-2020学年吉林省延边市第二中学高三上学期第一次月考数学（理）（试卷满分：150分答题时间：120分钟）一．选择题1.已知集合A={x|y=}，B={x|x2﹣x＞0}，则A∩B=（）A．{x|x≥0} B．{x|0＜x＜1} C．{x|x＞1} D．{x|x＜0或x＞1}2.若函数y=f（x）的定义域是[0，2]，则函数g（x）=的定义域是（）A．[0，1] B．[0，1） C．[0，1）∪（1，4] D．（0，1）3.有下列命题：①设集合M={x|0＜x≤3}，N={x|0＜x≤2}，则“a∈M”是“a∈N”的充分而不必要条件；②命题“若a∈M，则b∉M”的逆否命题是：若b∈M，则a∉M；③若p∧q是假命题，则p，q都是假命题；④命题P：“”的否定￢P：“∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0”则上述命题中为真命题的是（）A．①②③④B．①③④C．②④D．②③④4.已知角α终边上一点P（﹣4，3），则sin（+α）的值为（）A． B．C． D．5.下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（）A．y=lnx B．y=x2 C．y=cosx D．y=2﹣|x|6.函数f（x）=（）cosx的图象大致为（）C．D．7.已知，且，则sin2α的值为（）A．B． C． D．8.由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．69.将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值为（）A. B. C. D.10.函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图示，则将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为（）A．y=sin2x B．y=cos2x C．y=sin（2x+）D．y=sin（2x﹣）11.已知函数（a∈R），若函数y=|f（x）|﹣a有三个零点，则实数a的取值范围是（）A．a≥﹣2 B．a＞2 C．0＜a＜1 D．1≤a＜212.设定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），若f（3）=1，且3f（x）+xf′（x）＞ln（x+1），则不等式（x﹣2017）3f（x﹣2017）﹣27＞0的解集为（）A．（2020，+∞） B．（0，2014） C．（0，2020） D．（2014，+∞）二．填空题13.已知函数为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程为__________．14.若锐角满足_______________.15.已知函数有两个极值点，则k的取值范围是_________。
2019届吉林省延边市高三全真模拟试卷(一) 数学(理)
第1页（共8页） 第2页（共8页）2019届吉林省延边市高三全真模拟试卷（一）理科数学（考试时间：120分钟，满分150分）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，只有一个选项正确，请把答案写．．．．．在答题卷上．．．．．） 1．已知{}{}{}6,2,4,1,3,4,6U x N x P Q =∈<==，则U P Q =ð（ ） A ．{}3,4B ．{}3,6C ．{}1,3D ．{}1,42．函数2()f x =的定义域为（ ）A ．(,2)(1,)-∞-+∞B ．(2,1)-C ．(,1)(2,)-∞-+∞D ．(1,2)3．已知 1.22a =，0.812b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，52log 2c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．b c a <<4．下列四个说法：①“2>x ”是“211<x ”的充分不必要条件；②命题“33,6,,≠≠≠+∈b a b a R b a 或则若设”是一个假命题；③命题p ：存在R x p x x R x ∈⌝<++∈：任意则使得,01,0200都有012≥++x x④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真 其中正确的是（ ） A ．①④B ．②④C ．①③④D ．①③5．已知命题:p “已知()f x 为定义在R 上的偶函数，则(1)f x +的图像关于直线1x =-对称”，命题:q “若11a -≤≤，则方程220ax x a ++=有实数解”，则（ ） A ．“p 且q ”为真 B ．“p 或q ”为假 C ．p 假q 真D ．p 真q 假6．若337,sin()cos(21225ππαπαπα<<-+-=，则sin cos αα-=（ ） A ．15 B ．15± C ．75 D ．75±7．若函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()x f x g x e -=，则有（ ）A ．(2)(3)(0)f f g <<B ．(0)(3)(2)g f f <<C ．(2)(0)(3)f g f <<D ．(0)(2)(3)g f f <<8．已知函数()2e x f x x =+，（e 为自然对数的底数），且()()321f a f a ->-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．),43()21,(+∞⋃-∞ B ．),21(+∞ C ．)21,(-∞D ．),43()21,0(+∞⋃9．已知()x f x a =过(1,3)，则以下函数图像正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．若1a >，设函数()4x f x a x =+-的零点为m ，函数()log 4a g x x x =+-的零点为n ，则11m n+的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8第3页（共8页） 第4页（共8页）11．已知函数()21,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a =有四个不同的解1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则()3122341x x x x x ++的取值范围是（ ） A ．()1,-+∞B ．[)1,1-C ．(),1-∞D ．(]1,1-12．已知函数()()x x x x x f ++++=1ln sin 22，若不等式()()3393-⋅+-x x x m f f < 0对任意R ∈x 均成立，则m 的取值范围为（ ）A ．()132,-∞-B ．()132,+-∞-C ．()132,132-+-D ．()∞++-，132第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卷上．．．．．．．．．．） 13．已知()f x 为偶函数，当0x <错误！未指定书签。
吉林省延边二中高三第一次阶段性考试
吉林省延边二中高三第一次阶段性考试（数学）试题一、选择题（本大题共12小题，，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，选出一个符合题目要求的选项） 1．已知全集=⋃≤=≤==)(},12|{},0lg |{,B A C x B x x A R U U x 则集合 （ ）A ．)1,(-∞B ．),1(+∞C ．]1,(-∞D ．),1[+∞2．已知α为第二象限的角，且3sin 5α=，则cos()4πα+=（ ）A ．7210B 7210C ．210-D ．2103.在等比数列{na }中，若232a a +=，12133a a +=，则2223a a +的值是（ ）A ．94B ．49C ．92D ． 294．已知抛物线x y 82=的焦点与双曲线1222=-y a x 的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为（ ）A ．5154 B ．332C ．3D ．35．（理科）已知关于x 的二项式nxa x )(3+展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a 的值为（ ）A ．1B ．1±C ．2D ．2±（文科）在ABC ∆中，已知cos cos a A b B =，则ABC ∆为（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等腰直角三角形6．在ABC ∆中，D 是BC 边的中点，E 是AD 的中点，若BE m AB nAC =+，则m n +的值是（ ）A ．1B ．1-C ．12D ．12-7．已知数列na a a a n n n +==+11,1,}{中，若利用如图所示的种序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是（ ）俯视图侧视图正视图3cm 1cm2cm A ．?8≤n B ．?9≤nC ．?10≤nD ．?11≤n8．若直线032:1:22=--++=x y x C kx y l 被圆 截得的弦最短，则直线l 的方程是（ ） A ．0=xB ．1=yC ．01=-+y xD ．01=+-y x9．某校共有学生2000名，各年级男、女学生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19，现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为 ( ).A 24 .B 18 .C 16 .D 1210. 如图是一个几何体的三视图，该几何体的体积是（ ）A ．3B ．433 C ．32 D ．23311.函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,||2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到()cos 2g x x =的图像，则只要将()f x 的图像 （ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度12．已知ABC ∆的三边长分别为3AC =，4BC =，5AB =， 在AB 边上任选一点P ，则90APC ∠<的概率是( )A ．916B ．925C ．1625D ．34二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（理科）从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有_____种（文科）设函数⎩⎨⎧<--≥+=1,22,1,12)(2x x x x x x f 若1)(0>x f ，则0x 的取值范围为 ． 14．已知0,0x y >>，且211x y +=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是______15．已知yx z c y x y x x y x +=⎪⎩⎪⎨⎧≥++-≤+≥302,42,且目标函数满足的最小值是5，则z 的最大值是16．下列说法正确的是 ．（写出所有正确说法的序号） ①若q p q p ⌝⌝是则的充分不必要条件是,的必要不充分条件；②命题"31,""31,"22x x R x x x R x <+∈∀>+∈∃的否定是；③设"0,0",,22=+=∈y x xy R y x 上若命题的否命题是真命题；④若z z i i iz =+++=则,)31(142三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知函数()sin(2)sin(2)cos 2()66f x x x x a a R ππ=++--+∈18(本小题满分12分)如图，已知四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是直角梯形，//AB DC ，45ABC ∠=︒，1DC =，2=AB ，⊥PA 平面ABCD ，1=PA ．（1）求证：//AB 平面PCD （2）求证：⊥BC 平面PAC（3）求二面角D PC A --的平面角α的正弦值．19．(本小题满分12分)已知数列{}n a 的各项均是正数，其前n 项和为n S ，满足2(1)n n p S p a -=-，其中p 为正常数，且 1.p ≠ （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1()2log n p nb n a =∈-N *，数列{}2n n b b +的前n 项和为n T ，求证：3.4n T <ABCDP20．(本小题满分12分)若椭圆1C ：)20( 14222<<=+b b y x 的离心率等于23，抛物线2C ：)0( 22>=p py x 的焦点在椭圆的顶点上。
2019-2020学年吉林省延边二中高三(上)第一次调研数学试卷(文科)(解析版)
2019-2020学年吉林省延边二中高三（上）第一次调研数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A＝{x|x2≤x}，B＝{x|≥1}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，1]B．[0，1]C．（0，1]D．（﹣∞，0）∪（0，1]2．i为虚数单位，设复数z满足＝i，则复数z的模是（）A．10B．25C．3D．53．在△ABC中，“A＞B”是“cos A＜cos B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知3a＝e，b＝log35﹣log32，，则a、b、c的大小关系为（）A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a5．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S2＝a1+2a3，a4＝1，则S4＝（）A．B．C．14D．156．函数y＝log a（x+4）+2（a＞0且a≠1）的图象恒过点A，且点A在角θ的终边上，则sin2θ＝（）A．B．C．﹣D．7．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．（8+π）B．（9+2π）C．（8+2π）D．（6+π）8．若向量，的夹角为，且，，则向量与向量的夹角为（）A．B．C．D．9．关于函数y＝2sin（3x+）+1，下列叙述有误的是（）A．其图象关于直线x＝﹣对称B．其图象关于点（）对称C．其值域是[﹣1，3]D．其图象可由y＝2sin（x+）+1图象上所有点的横坐标变为原来的得到10．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x﹣1）＝f（x+1），且当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝x2，函数g（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，g（x）＝lgx，则函数h（x）＝f（x）﹣g（x）的零点的个数是（）A．9B．10C．11D．1211．历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…．即F（1）＝F（2）＝1，F（n）＝F（n ﹣1）+F（n﹣2）（n≥3，n∈N*），此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列{b n}，又记数列{c n}满足c1＝b1，c2＝b2，c n＝b n﹣b n﹣1（n≥3，n∈N*），则c1+c2+c3+…+c2019的值为（）A．4B．﹣728C．﹣729D．312．已知f（x）为定义在（0，+∞）上的可导函数，且f（x）＞xf′（x）恒成立，则不等式x2f（）﹣f（x）＞0的解集为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（1，+∞）D．（2，+∞）二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案写在答题纸上）13．体积为4π的球的内接正方体的棱长为．14．已知α∈（0，π）且．则cosα＝．15．在等差数列中，已知a3+a5+a7＝15，则3a4+a8＝．16．如图，向量⊥，||＝2，||＝1，P是以O为圆心、||为半径的圆弧上的动点，若＝m+n，则mn的最大值是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题.每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题.考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b sin B+c sin C＝a（+sin A）（1）求A的大小；（2）若a＝，B＝，求△ABC的面积18．己知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝4a n+3n﹣1，b n＝a n+n．（1）证明：数列{b n}为等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和．19．（重点中学做）2019年，河北等8省公布了高考改革综合方案将采取“3+1+2”模式，即语文、数学、英语必考，然后考生先在物理、历史中选择1门，再在思想政治、地理、化学、生物中选择2门．为了更好进行生涯规划，甲同学对高一一年来的七次考试成绩进行统计分析，其中物理、历史成绩的茎叶图如图所示．（Ⅰ）若甲同学随机选择3门功课，求他选到物理、地理两门功课的概率；（Ⅱ）试根据茎叶图分析甲同学应在物理和历史中选择哪一门学科？并说明理由；（Ⅲ）甲同学发现，其物理考试成绩y（分）与班级平均分x（分）具有线性相关关系，统计数据如表所示，试求当班级平均分为50分时，其物理考试成绩．参考数据：，，，．参考公式：，，（计算时精确到0.01）．20．如图，在多面体ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1是正方形，△A1CB是等边三角形，AC＝AB＝1，B1C1∥BC，BC＝2B1C1（Ⅰ）求证：AB1∥平面A1C1C（Ⅱ）求多面体ABC﹣A1B1C1的体积．21．已知函数f（x）＝+ax﹣2b﹣1（a，b为常数）．（1）若函数f（x）在x＝1处的切线方程为2x﹣y﹣4＝0，求a，b；（2）当a＝b，x∈（0，e]时，f（x）≤，求实数a的取值范围．选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|+|x﹣a|．（1）当a＝2时，求不等式f（x）＜5的解集；（2）若f（x）≥2的解集为R，求a的取值范围．2019-2020学年吉林省延边二中高三（上）第一次调研数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A＝{x|x2≤x}，B＝{x|≥1}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，1]B．[0，1]C．（0，1]D．（﹣∞，0）∪（0，1]【解答】解：A＝[0，1]，B＝（0，1]；∴A∩B＝（0，1]．故选：C．2．i为虚数单位，设复数z满足＝i，则复数z的模是（）A．10B．25C．3D．5【解答】解：由＝i，得z＝，∴|z|＝．故选：D．3．在△ABC中，“A＞B”是“cos A＜cos B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：因为在△ABC中，角A与角B都大于0小于180度，而余弦函数在区间0度到180度上是减函数，则A＞B可直接推出cos A＜cos B．所以，“A＞B”是“cos A＜cos B”的充分条件．同理由余弦函数在0度到180度上是减函数，则cos A＜cos B可直接推出A＞B．所以，“A＞B”也是“cos A＜cos B”的必要条件．故选：C．4．已知3a＝e，b＝log35﹣log32，，则a、b、c的大小关系为（）A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：，∵，∴c＞a＞b．故选：C．5．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S2＝a1+2a3，a4＝1，则S4＝（）A．B．C．14D．15【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，S2＝a1+2a3，a4＝1，∴，解得，∴S4＝＝＝15．故选：D．6．函数y＝log a（x+4）+2（a＞0且a≠1）的图象恒过点A，且点A在角θ的终边上，则sin2θ＝（）A．B．C．﹣D．【解答】解：对于函数y＝log a（x+4）+2（a＞0且a≠1），令x+4＝1，求得x＝﹣3，y ＝2，可得函数的图象恒过点A（﹣3，2），且点A在角θ的终边上，∴tanθ＝＝﹣，则sin2θ＝＝＝﹣，故选：C．7．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．（8+π）B．（9+2π）C．（8+2π）D．（6+π）【解答】解：由已知三视图得到几何体是半个圆锥与一个四棱锥的组合体，其中圆锥底面半径为1，高为；四棱锥的底面为边长是2的正方形，高为，所以几何体的体积为＝；故选：A．8．若向量，的夹角为，且，，则向量与向量的夹角为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，设，则，∴＝（1，）﹣（2，0）＝（﹣1，），设与的夹角为θ（0≤θ≤π），∴cosθ＝＝．∴．故选：B．9．关于函数y＝2sin（3x+）+1，下列叙述有误的是（）A．其图象关于直线x＝﹣对称B．其图象关于点（）对称C．其值域是[﹣1，3]D．其图象可由y＝2sin（x+）+1图象上所有点的横坐标变为原来的得到【解答】解：函数y＝f（x）＝2sin（3x+）+1，由f（﹣）＝2sin（﹣+）+1＝﹣1，为最小值，可得其图象关于直线x＝﹣对称；由f（）＝2sin（+）+1＝3，可得其图象不关于（）对称；由sin（3x+）＝﹣1，可得函数的最小值为﹣1；sin（3x+）＝1，可得函数的最大值为3，可得函数的值域为[﹣1，3]；由y＝2sin（x+）+1图象上所有点的横坐标变为原来的得到y＝2sin（3x+）+1的图象，故A，C，D正确；B错误．故选：B．10．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x﹣1）＝f（x+1），且当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝x2，函数g（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，g（x）＝lgx，则函数h（x）＝f（x）﹣g（x）的零点的个数是（）A．9B．10C．11D．12【解答】解：f（x﹣1）＝f（x+1），即为f（x+2）＝f（x），可得f（x）为周期为2的偶函数，且当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝x2，画出函数y＝f（x）的图象；函数g（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，g（x）＝lgx，可得x＝0时，g（0）＝0，x＜0时，g（x）＝﹣lg（﹣x），作出y＝g（x）的图象，由lg10＝1，f（x）的最大值1，可得x＞0时，y＝f（x）和y＝g（x）的图象有9个交点；x＝0时，f（0）＝g（0）＝0；x＜0时，y＝f（x）和y＝g（x）的图象有1个交点；综上可得y＝f（x）和y＝g（x）的图象共有11个交点，即有h（x）＝f（x）﹣g（x）的零点的个数是11．故选：C．11．历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…．即F（1）＝F（2）＝1，F（n）＝F（n ﹣1）+F（n﹣2）（n≥3，n∈N*），此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列{b n}，又记数列{c n}满足c1＝b1，c2＝b2，c n＝b n﹣b n﹣1（n≥3，n∈N*），则c1+c2+c3+…+c2019的值为（）A．4B．﹣728C．﹣729D．3【解答】解：由题意可得：b1＝1，b2＝1，b3＝2，b4＝3，b5＝1，b6＝0；b7＝1，b8＝1，b9＝2，b10＝3，b11＝1，b12＝0，……．∴数列{b n}是周期为6的数列，由c1＝b1，c2＝b2，c n＝b n﹣b n﹣1（n≥3，n∈N*），则c1＝b1＝1，c2＝b2＝1，c3＝1，c4＝1，c5＝﹣2，c6＝﹣1，c7＝1，c8＝0，c9＝1，c10＝1，c11＝﹣2，c12＝﹣1，c13＝1，c14＝0，……．∴数列{c n}从第三项开始为周期是6的周期数列．∴c1+c2+c3+…+c2019＝1＝1+1+（1+1﹣2﹣1+1+0）×336+1＝3．故选：D．12．已知f（x）为定义在（0，+∞）上的可导函数，且f（x）＞xf′（x）恒成立，则不等式x2f（）﹣f（x）＞0的解集为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（1，+∞）D．（2，+∞）【解答】解：令F（x）＝，（x＞0），则F′（x）＝，∵f（x）＞xf′（x），∴F′（x）＜0，∴F（x）为定义域上的减函数，由不等式x2f（）﹣f（x）＞0，得：＞，∴＜x，∴x＞1，故选：C．二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案写在答题纸上）13．体积为4π的球的内接正方体的棱长为2．【解答】解：设球的半径为R，正方体的棱长a，则＝4，∴R3＝，∴R＝，则由正方体的性质可知，正方体的体对角线＝2R＝2，∴a＝2，故答案为：2．14．已知α∈（0，π）且．则cosα＝．【解答】解：已知α∈（0，π）且，∴α﹣为锐角，故sin（α﹣）＝＝，则cosα＝cos[（α﹣）+]＝cos（α﹣）cos﹣sin（α﹣）sin＝﹣＝，故答案为：．15．在等差数列中，已知a3+a5+a7＝15，则3a4+a8＝20．【解答】解：在等差数列中，由a3+a5+a7＝15，得3a5＝15，则a5＝5．∴3a4+a8＝2a4+a4+a8＝2a4+2a6＝2（a4+a6）＝4a5＝4×5＝20．故答案为：2016．如图，向量⊥，||＝2，||＝1，P是以O为圆心、||为半径的圆弧上的动点，若＝m+n，则mn的最大值是1．【解答】解：∵＝m+n，∴2＝（m+n）2，∴4＝4m2+n2，∵4m2+n2≥4mn，∴4mn≤4，∴mn≤1，故答案为：1．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题.每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题.考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b sin B+c sin C＝a（+sin A）（1）求A的大小；（2）若a＝，B＝，求△ABC的面积【解答】解：（1）∵b sin B+c sin C＝a（+sin A），∴由正弦定理可得：b2+c2＝a（+a），∴b2+c2﹣a2＝，∴2bc cos A＝bc，解得：cos A＝，可得：A＝．（2）∵sin C＝sin（A+B）＝，由正弦定理，可得：b＝，∴S△ABC＝ab sin C＝．18．己知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝4a n+3n﹣1，b n＝a n+n．（1）证明：数列{b n}为等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和．【解答】证明：（1）数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝4a n+3n﹣1，b n＝a n+n．所以b n+1＝a n+1+n+1＝4a n+3n﹣1+n﹣1＝4（a n+n），故数列（常数），所以数列{b n}是以b1＝a1+1＝2为首项，4为公比的等比数列．解：（2）由于数列{b n}是以b1＝a1+1＝2为首项，4为公比的等比数列，所以．所以，故T n＝a1+a2+…+a n＝（21+23+…+22n﹣1）﹣（1+2+…+n）＝＝．19．（重点中学做）2019年，河北等8省公布了高考改革综合方案将采取“3+1+2”模式，即语文、数学、英语必考，然后考生先在物理、历史中选择1门，再在思想政治、地理、化学、生物中选择2门．为了更好进行生涯规划，甲同学对高一一年来的七次考试成绩进行统计分析，其中物理、历史成绩的茎叶图如图所示．（Ⅰ）若甲同学随机选择3门功课，求他选到物理、地理两门功课的概率；（Ⅱ）试根据茎叶图分析甲同学应在物理和历史中选择哪一门学科？并说明理由；（Ⅲ）甲同学发现，其物理考试成绩y（分）与班级平均分x（分）具有线性相关关系，统计数据如表所示，试求当班级平均分为50分时，其物理考试成绩．参考数据：，，，．参考公式：，，（计算时精确到0.01）．【解答】解：（Ⅰ）记物理、历史分别为A1，A2，思想政治、地理、化学、生物分别为B1，B2，B3，B4，由题意可知考生选择的情形有{A1，B1，B2}，{A1，B1，B3}，{A1，B1，B4}，{A1，B2，B3}，{A1，B2，B4}，{A1，B3，B4}，{A2，B1，B2}，{A2，B1，B3}，{A2，B1，B4}，{A2，B2，B3}，{A2，B2，B4}，{A2，B3，B4}，共12种．他选到物理、地理两门功课的情形有{A1，B1，B2}，{A1，B2，B3}，{A1，B2，B4}共3种．∴甲同学选到物理、地理两门功课的概率为；（Ⅱ）物理成绩的平均分为，历史成绩的平均分为，由茎叶图可知物理成绩的方差s2物理＜历史成绩的方差s2物理．故从平均分来看，选择物理历史学科均可以；从方差的稳定性来看，应选择物理学科；从最高分的情况来看，应选择历史学可（答对一点即可）．（Ⅲ）∵，，∴，，∴y关于x的回归方程为y＝0.58x+44.40．当x＝50时，y＝0.58×50+44.40≈73，故当班级平均分为50分时，其物理考试成绩为73分．20．如图，在多面体ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1是正方形，△A1CB是等边三角形，AC＝AB＝1，B1C1∥BC，BC＝2B1C1（Ⅰ）求证：AB1∥平面A1C1C（Ⅱ）求多面体ABC﹣A1B1C1的体积．【解答】（Ⅰ）证明：取BC的中点E，连接AE，C1E，B1E∵B1C1∥BC，B1C1＝BC，∴B1C1∥EC，B1C1＝EC∴四边形CEB1C1为平行四边形，∴B1E∥C1C∵C1C⊂面A1C1C，B1E⊄面A1C1C，∴B1E∥面A1C1C…∵B1C1∥BC，B1C1＝BC，∴B1C1∥BE，B1C1＝BE∴四边形BB1C1E为平行四边形，∴B1B∥C1E，且B1B＝C1E又∵ABB1A1是正方形，∴A1A∥C1E，且A1A＝C1E∴AEC1A1为平行四边形，∴AE∥A1C1，∵A1C1⊂面A1C1C，AE⊄面A1C1C，∴AE∥面A1C1C…∵AE∩B1E＝E，∴面B1AE∥面A1C1C∵AB1⊂面B1AE，∴AB1∥面A1C1C；（Ⅱ）在正方形ABB1A1中，AB1＝，又△A1BC是等边三角形，∴A1C＝BC＝，∴AC2+AA12＝A1C2，AB2+AC2＝BC2，于是AA1⊥AC，AC⊥AB，又AA1⊥AB，∴AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥CD，又CD⊥AD，AD∩AA1＝A，∴CD⊥平面ADC1A1，于是多面体ABC﹣A1B1C1是由直三棱柱ABD﹣A1B1C1和四棱锥C﹣ADC1A1组成的．又直三棱柱ABD﹣A1B1C1的体积为，四棱锥C﹣ADC1A1的体积为＝，故多面体ABC﹣A1B1C1的体积为．…21．已知函数f（x）＝+ax﹣2b﹣1（a，b为常数）．（1）若函数f（x）在x＝1处的切线方程为2x﹣y﹣4＝0，求a，b；（2）当a＝b，x∈（0，e]时，f（x）≤，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f'（x）＝，f'（1）＝1+a＝2，得a＝1，由已知得切点为（1，﹣2），所以f（1）＝a﹣2b﹣1＝﹣2，得b＝1，所以a＝1，b＝1．（2）当a＝b，x∈（0，e]时，f（x）≤，所以xf（x）﹣1≤0，令g（x）＝xf（x）﹣1＝lnx+ax2﹣（2a+1）x﹣1，g'（x）＝，当a＝0时，g'（x）＝，所以g（x）在（0，1）上为增函数，在（1，e]上为减函数，所以函数g（x）最大值为g（1）＝﹣2＜0，成立；当a≠0时，令g'（x）＝，当a＜0时，x∈（0，1），g'（x）＞0，g（x）递增，x∈（1，e]，g'（x）＜0，g（x）递减，g（x）max＝g（1）＝a﹣（2a+1）﹣1≤0，得a∈[﹣2，0）；当a＞0时，①若，即a＞，函数g（x）在（0，），（1，e]上为增函数，在（，1）上为减函数，所以函数g（x）在（0，e]上的最大值为max{g（），g（e）}，因为g（）＝ln+a﹣（）2﹣（2a+1）﹣1＝ln﹣﹣2＜0成立，由g（e）＝1+ae2﹣（2a+1）e﹣1≤0，得a，所以＜a；②若＝1，即a＝，函数g（x）在（0，e]上为增函数，所以函数g（x）在（0，e]上的最大值为g（e）＝＜0成立；③当1＜＜e，即时，g（x）在（0，1），（，e）上为增函数，在（1，）上为减函数，所以函数g（x）在（0，e]上的最大值为max{g（1），g（e）}，因为g（1）＝a﹣（2a+1）﹣1＝﹣a﹣2＜0成立，由g（e）＝1+ae2﹣（2a+1）e﹣1≤0，得a，所以；⑤当≥e，即0＜a≤时，函数g（x）在（0，1）上为增函数，在（1，e]上为减函数，所以g（x）在（0，e]上的最大值为g（1）＝﹣a﹣2＜0成立，所以0＜a；综上所述，实数a的取值范围为﹣2．选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．【解答】解：（Ⅰ）直线l：（t为参数），消去t得，即4x+3y ﹣2＝0．曲线C：，即ρ＝2cosθ+2sinθ，又，ρ2＝2ρcosθ+2ρsinθ．故曲线C：x2+y2﹣2x﹣2y＝0．（Ⅱ）直线l的参数方程为（t为参数）⇒直线l的参数方程为（t′为参数），代入曲线C：x2+y2﹣2x﹣2y＝0，消去x，y得t/2+4t′+3＝0，由参数t′的几何意义知，．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|+|x﹣a|．（1）当a＝2时，求不等式f（x）＜5的解集；（2）若f（x）≥2的解集为R，求a的取值范围．【解答】解：（1）原不等式可化为或或…………解得x∈（﹣2，3）…………（2）由已知可得f（x）min≥2…………∵|x+1|+|x﹣a|≥|（x+1）﹣（x﹣a）|＝|a+1|，∴f（x）min＝|a+1|…………a+1≥2或a+1≤﹣2，即a≥1或a≤﹣3为所求。
吉林省延边第二中学2020届高三上学期第一次调研数学(文)试题 Word版含答案
23.（选修 4-5：不等式选讲）（本小题满分 10 分）
已知函数 f (x) | x 1| | x a| ． （1）当 a 2 时，求不等式 f (x) 5 的解集； （2）若 f (x) 2 的解集为 R，求 a 的取值范围．
2020 届高三模拟考试试卷
15
A．
B． 8
C．14
D．15
6．函数 y loga x 4 2 （ a 0 ，且 a 1）的图象恒过定点 A ，且点 A 在角 的终边
上，则 sin 2 （ ）
5 A． 13
5 B． 13
12 C． 13
如图所示，则这个几何体的体积为（ ）
又∵ an1 4an 3n 1，∴ bn
an n
an n
an n
.
又∵ b1 a1 1 11 2 ，
∴数列bn 是首项为 2，公比为 4 的等比数列.
（2）由（1）求解知， bn 2 4n1 ，
∴ an bn n 2 4n1 n ，
点的的个数是（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
11.历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，
比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即 1，1，2，
3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….即 F (1) F (2) 1，
x
（1）若函数 f x 在 x 1 处的切线方程为 2x y 4 0 ，求 a,b ； （2）当 a b, x 0, e 时， f x 1 ，求实数 a 的取值范围．
2019-2020学年吉林省延边第二中学高一上学期第一次月考数学试题
延边第二中学2019-2020学年度第一学期第一次检测高一数学试卷（时间90分钟，满分120分）一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分，每题只有一个选项正确） 1．已知集合{|14}A x x =<≤，{|0}B x x =<，则下列结论正确的是（ ） A ．{|0}AB x x =< B ．{|14}A B x x =<<C ．(){|1}R C A B x x =≤D ．(){|0}R C B A x x =≥2．已知集合2{|560},{|10}A x x x B x mx =-+==-=，若,A B B ⋂=，则m 的值是（ ）A ．12B ．13或12C ．0或13D ．0或12或 133．下列函数在区间（0，+∞）上是增函数的是 （ ）．A ．1y x=B ．f(x)＝x eC ．1()3xy =D ．2215y x x =--4．设集合{}3,xA y y x R ==∈，{}B y y x R ==∈，则A B =( )A ．[]0,2B ．()0,∞+C ．(]0,2D ．[)0,25．某种细胞在生长过程中，每10分钟分裂一次（由一个分裂为两个），经过2小时后，此细胞可由一个繁殖成（ ）A ．511个B ．512个C ．112个 D ．122个6．函数()221xx y x R =∈+的值域为（ ）A ．()0,∞+B ．()0,1C ．()1,+∞D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭7．设f (x )为定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当x <0时，f (x )=（ ） A ．e 1x -- B ．e 1x -+ C ．e 1x --- D ．e 1x --+ 8．设0.6 1.50.60.6,0.6, 1.5a b c === ，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．a c b << D ．b c a <<9．函数221()2x xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递减区间为（ ）A ．(0,)+∞B ．(1,)+∞C ．(,1)-∞D ．(,1)-∞-10．设lg 6a =，lg 20b =，则2log 3=（ ） A ．11a b b +-+B ．11a b b +--C ．11a b b -++D ．11a b b -+-11．已知2+2,(1)()(21)36,(1)x ax x f x a x a x ⎧-≤=⎨--+>⎩，若()f x 在(,)-∞+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,12⎛⎤⎥⎝⎦ B ．[]1,2C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．[)1,+∞12．已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，当2(]0,x ∈时，()21x f x =-，函数2()2g x x x m =-+，如果对于任意1[2,2]x ∈-，存在2[2,2]x ∈-，使得21()()g x f x =，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(,2)-∞-B ．(5,2)--C ．[5,2]--D ．(,2]-∞-二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分，请将答案写在答题纸上．．．．．．．．．．） 13．计算21351()27log 254-+-=______．14．函数()22x f x a-=+(a>0且a的图象恒过定点___．15．已知函数()xx axf x xe e=-为偶函数，则实数a 的值为____．16．已知34[,]89x ∈，函数()f x x =+_____．三、解答题（共5小题，17、18题各10分，19、20、21题各12分，请写出必要的解答过．．．．．．．．程．） 17．计算：（1）（2）18．(1)已知函数()f x 为二次函数，且2(1)()24f x f x x -+=+，求()f x 的解析式； (2)已知()f x 满足12()()3f x f x x+=，求()f x 的解析式．19．已知全集U =R ，集合{}{}32,16A x x B x x =-<<=≤≤，{}121C x a x a =-≤≤+.（1）求()U A C B ⋂； （2）若()C A B ⊆，求实数a 的取值范围.20. 已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明；（3）解关于的不等式.21．设函数()(0,1)x x f x a a a a -=->≠，满足3(1)2f =. （1）求函数()f x 的解析式；（2）设函数22()2()x xg x a a mf x -=+-，且()g x 在[1,)+∞上的最小值为1-，求实数m .高一数学试卷参考答案一、选择题1-6 DD BC DB 7-12 DB BD BC二、填空题 13．11 14．（2,3） 15.1 16．77[,]98. 三、解答题17.解：（1）（2）18．（1）设()2f x ax bx c =++（a）∴()()2211a x b x c ax bx c -+-++++()22222224ax b a x a b c x =+-+-+=+∴2222024a b a a b c =⎧⎪-=⎨⎪-+=⎩，解得112a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩. ∴()22f x x x =++ （2）12()3f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 132()f f x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得33()6f x x x=-, 故1()2(0)f x x x x=-≠ 19：（1）∵{1U C B x x =<或}6x >，{}32A x x =-<<， ∴{}31U A C B x x ⋂=-<<. （2）{}36A B x x ⋃=-<≤，①当211a a +<-即2a <-时，C A B =∅⊆⋃；②当211a a +≥-即2a ≥-时，要使C A B ⊆⋃，有13,216,a a ->-⎧⎨+≤⎩ ∴2,5.2a a >-⎧⎪⎨≤⎪⎩又2a ≥-，∴522a -<≤，∴a 的取值范围是()5,22,2⎛⎤-∞-⋃- ⎥⎝⎦.20. （1），；（2）任取，所以函数在上是增函数；（3）.21． （1）由函数()x x f x a a -=-，且3(1)2f =， 可得132a a -=，整理得22320a a --=，解得2a =或12a =-（舍去）， 所以函数()f x 的解析式为()22x xf x -=-.（2）由22()2()x xg x a a mf x -=+-，可得()22()22222x x x xg x m --=+--()()2222222x x x x m --=---+，令()22x x t f x -==-，可得函数()22x xf x -=-为增函数，∵1x ≥，∴3(1)2t f ≥=， 令2223()22()22h t t mt t m m t ⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭….若32m ≥，当t m =时，2min ()21h t m =-=-，∴m =m 若32m <，当32t =时，min 17()314h t m =-=-，解得7342m =>，舍去.综上可知m =.。
吉林省延边第二中学2019-2020年高一上学期第一次月考数学试题及答案
延边第二中学2019-2020学年度第一学期第一次检测高一数学试卷（时间90分钟，满分120分）一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分，每题只有一个选项正确） 1．已知集合{|14}A x x =<≤，{|0}B x x =<，则下列结论正确的是（ ） A ．{|0}AB x x =< B ．{|14}A B x x =<<C ．(){|1}R C A B x x =≤D ．(){|0}R C B A x x =≥2．已知集合2{|560},{|10}A x x x B x mx =-+==-=，若,A B B ⋂=，则m 的值是（ ）A ．12B ．13或12C ．0或13D ．0或12或 133．下列函数在区间（0，+∞）上是增函数的是 （ ）．A ．1y x=B ．f(x)＝x eC ．1()3xy =D ．2215y x x =--4．设集合{}3,xA y y x R ==∈，{}B y y x R ==∈，则A B =( )A ．[]0,2B ．()0,∞+C ．(]0,2D ．[)0,25．某种细胞在生长过程中，每10分钟分裂一次（由一个分裂为两个），经过2小时后，此细 胞可由一个繁殖成（ ）A ．511个B ．512个C ．112个 D ．122个6．函数()221x x y x R =∈+的值域为（ ）A ．()0,∞+B ．()0,1C ．()1,+∞D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭7．设f (x )为定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当x <0时，f (x )=（ ） A ．e 1x -- B ．e 1x -+ C ．e 1x --- D ．e 1x --+ 8．设0.6 1.50.60.6,0.6, 1.5a b c === ，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．a c b << D ．b c a <<9．函数221()2x xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递减区间为（ ）A ．(0,)+∞B ．(1,)+∞C ．(,1)-∞D ．(,1)-∞-10．设lg 6a =，lg 20b =，则2log 3=（ ） A ．11a b b +-+B ．11a b b +--C ．11a b b -++D ．11a b b -+-11．已知2+2,(1)()(21)36,(1)x ax x f x a x a x ⎧-≤=⎨--+>⎩，若()f x 在(,)-∞+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,12⎛⎤⎥⎝⎦ B ．[]1,2C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．[)1,+∞12．已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，当2(]0,x ∈时，()21x f x =-，函数2()2g x x x m =-+，如果对于任意1[2,2]x ∈-，存在2[2,2]x ∈-，使得21()()g x f x =，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(,2)-∞-B ．(5,2)--C ．[5,2]--D ．(,2]-∞-二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分，请将答案写在答题纸上．．．．．．．．．．） 13．计算21351()27log 254-+-=______．14．函数()22x f x a-=+(a>0且a的图象恒过定点___．15．已知函数()xx axf x xe e=-为偶函数，则实数a 的值为____．16．已知34[,]89x ∈，函数()f x x =+_____．三、解答题（共5小题，17、18题各10分，19、20、21题各12分，请写出必要的解答过程．．．．．．．．．） 17．计算：（1）（2）18．(1)已知函数()f x 为二次函数，且2(1)()24f x f x x -+=+，求()f x 的解析式； (2)已知()f x 满足12()()3f x f x x+=，求()f x 的解析式．19．已知全集U =R ，集合{}{}32,16A x x B x x =-<<=≤≤，{}121C x a x a =-≤≤+. （1）求()U A C B ⋂； （2）若()C A B ⊆，求实数a 的取值范围.20. 已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明；（3）解关于的不等式.21．设函数()(0,1)x x f x a a a a -=->≠，满足3(1)2f =. （1）求函数()f x 的解析式； （2）设函数22()2()xx g x a a mf x -=+-，且()g x 在[1,)+∞上的最小值为1-，求实数m .高一数学试卷参考答案一、选择题1-6 DD BC DB 7-12 DB BD BC二、填空题 13．11 14．（2,3） 15.1 16．77[,]98. 三、解答题17.解：（1）（2）18．（1）设()2f x ax bx c =++（a）∴()()2211a x b x c ax bx c -+-++++()22222224ax b a x a b c x =+-+-+=+∴2222024a b a a b c =⎧⎪-=⎨⎪-+=⎩，解得112a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩. ∴()22f x x x =++ （2）12()3f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 132()f f x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得33()6f x x x=-, 故1()2(0)f x x x x=-≠ 19：（1）∵{1U C B x x =<或}6x >，{}32A x x =-<<， ∴{}31U A C B x x ⋂=-<<. （2）{}36A B x x ⋃=-<≤，①当211a a +<-即2a <-时，C A B =∅⊆⋃；②当211a a +≥-即2a ≥-时，要使C A B ⊆⋃，有13,216,a a ->-⎧⎨+≤⎩ ∴2,5.2a a >-⎧⎪⎨≤⎪⎩又2a ≥-，∴522a -<≤，∴a 的取值范围是()5,22,2⎛⎤-∞-⋃- ⎥⎝⎦.20. （1），；（2）任取，所以函数在上是增函数；（3）.21． （1）由函数()x x f x a a -=-，且3(1)2f =， 可得132a a -=，整理得22320a a --=，解得2a =或12a =-（舍去）， 所以函数()f x 的解析式为()22x xf x -=-.（2）由22()2()xx g x a a mf x -=+-，可得()22()22222xx x x g x m --=+--()()2222222x x x x m --=---+，令()22x x t f x -==-，可得函数()22x xf x -=-为增函数，∵1x ≥，∴3(1)2t f ≥=， 令2223()22()22h t t mt t m m t ⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭….若32m ≥，当t m =时，2min ()21h t m =-=-，∴m =m = 若32m <，当32t =时，min 17()314h t m =-=-，解得7342m =>，舍去.综上可知m .。
吉林省延边市第二中学2020届高三入学考试数学(理)试题(word版,含答案)
延边第二中学2019—2020学年度第一学期高三年级开学考试数学试卷（理）一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分，每题只有一个选项正确） 1．设i 是虚数单位，复数Z= ,则Z = ( )A ． i - B. 3i - C. i D. 3i 2．命题的否定是（ ） A ．B ．C ．D ．3.函数的定义域是（ ）A ．B ．C ．D ．4. 用数学归纳法证明“633123,*2n n n n N ++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=∈ ”，则当 1+=k n 时，左端应在k n =的基础上加上（ ）A ．333)1()2()1(+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++k k k B ．)1()2()1(333++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++k k k kC ． 3)1(+k D ． 2)1()1(36+++k k5．曲线C ：22914x y +=经过伸缩变换123x x y y⎧'=⎪⎨⎪'=⎩后，对应曲线的方程为( ) A ． 2281116x y ''+= B ． 221x y ''+= C ．2216181y x ''+= D ．22811x y ''+= 6. 已知，则（ ）A ．B ．C ．D ．7. 某班有50名学生，一次数学考试的成绩ξ服从正态分布N （105，102），已知P （95≤ξ≤105）=0.32，估计该班学生数学成绩在115分以上的人数为（ ）A ．10B ．9C ．8D ．78．某次演出共有6位演员参加，规定甲只能排在第一个或最后一个出场， 乙和丙必须排在相邻的顺序出场，请问不同的演出顺序共有（ ）A ．24种B ．144种C ．48种D ． 96种9．已知函数()xxf x e e -=-，若()()22log 12log 0f m f m +->，则实数m 的取值范围是（ ）A ． (),2∞－B ． 31,2⎛⎫⎪⎝⎭C ． ()0,1D ． ()0,2 10. 甲乙两人从1,2,3, ⋅⋅⋅⋅⋅⋅15这15个数中，依次任取一个数（不放回），则在已知甲取到的数是5的倍数的情况下，甲所取的数大于乙所取的数的概率是（ ） A ． B ． C ． D ．11. 大衍数列，来源于中国古代著作《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论。
吉林省延边朝鲜族自治州2019-2020学年中考数学调研试题
2019-2020学年中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．函数2y ax b y ax bx c=+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是（）A．B．C．D．2．已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是（）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形3．如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为点E,DE=1,则BC=()A．3B．2 C．3 D．3+24．已知圆内接正三角形的面积为33，则边心距是（）A．2 B．1 C．3D．325．如图1，在矩形ABCD中，动点E从A出发，沿A→B→C方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E作EF⊥AE交CD于点F，设点E运动路程为x，CF＝y，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，给出下列结论：①a＝3；②当CF＝14时，点E的运动路程为114或72或92，则下列判断正确的是( )A．①②都对B．①②都错C．①对②错D．①错②对6．如图，两个一次函数图象的交点坐标为(2,4)，则关于x，y的方程组111222,y k x by k x b=+⎧⎨=+⎩的解为（）A．2,4xy=⎧⎨=⎩B．4,2xy=⎧⎨=⎩C．4,xy=-⎧⎨=⎩D．3,xy=⎧⎨=⎩7．如图，扇形AOB中，OA=2，C为弧AB上的一点，连接AC，BC，如果四边形AOBC为菱形，则图中阴影部分的面积为（）A．233π-B．2233π-C．433π-D．4233π-8．如图，直线m⊥n，在某平面直角坐标系中，x轴∥m，y轴∥n，点A的坐标为（－4，2），点B的坐标为（2，－4），则坐标原点为（）A．O1B．O2C．O3D．O49．在数轴上标注了四段范围，如图，则表示8的点落在（）A．段①B．段②C．段③D．段④10．反比例函数y=的图象与直线y=﹣x+2有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，则t的取值范围是（）A．t＜B．t＞C．t≤D．t≥二、填空题（本题包括8个小题）11．如图，转盘中6个扇形的面积相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向的数小于5的概率为_____．12．如图，AB、CD相交于点O，AD＝CB，请你补充一个条件，使得△AOD≌△COB，你补充的条件是_____．13．如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠D=30°，CD=4，以AB为直径的⊙O交BC于点E，则阴影部分的面积为_____．14．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CA=4，点P是半圆弧AC的中点，连接BP，线段即把图形APCB（指半圆和三角形ABC组成的图形）分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是_____．15．已知一组数据－3，x，－2，3，1，6的众数为3，则这组数据的中位数为______．16．如果方程x2-4x+3=0的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC最小的角为A，那么tanA的值为＿＿＿＿＿＿＿．17．桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，这个几何体最多可以由___________个这样的正方体组成.18．若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2016的值为_____．三、解答题（本题包括8个小题）19．（6分）如图，点A 在∠MON 的边ON 上，AB ⊥OM 于B ，AE=OB ，DE ⊥ON 于E ，AD=AO ，DC ⊥OM 于C ．求证：四边形ABCD 是矩形；若DE=3，OE=9，求AB 、AD 的长.20．（6分）某校有3000名学生．为了解全校学生的上学方式，该校数学兴趣小组以问卷调查的形式，随机调查了该校部分学生的主要上学方式(参与问卷调查的学生只能从以下六个种类中选择一类)，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图． 种类 A B C D E F 上学方式电动车私家车公共交通自行车步行其他某校部分学生主要上学方式扇形统计图某校部分学生主要上学方式条形统计图根据以上信息，回答下列问题：参与本次问卷调查的学生共有____人，其中选择B 类的人数有____人．在扇形统计图中，求E 类对应的扇形圆心角α的度数，并补全条形统计图．若将A 、C 、D 、E 这四类上学方式视为“绿色出行”，请估计该校每天“绿色出行”的学生人数．21．（6分）已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°，DE ⊥AC 于点F ，交BC 于点G ，交AB 的延长线于点E ，且AE=AC ．求证：BG=FG ；若AD=DC=2，求AB 的长．22．（8分）如图所示，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，D 为AB 边上一点．求证：△ACE ≌△BCD ；若AD ＝5，BD ＝12，求DE 的长．23．（8分）图1是一商场的推拉门，已知门的宽度2AD =米，且两扇门的大小相同（即AB CD =），将左边的门11ABB A 绕门轴1AA 向里面旋转37︒，将右边的门11CDD C 绕门轴1DD 向外面旋转45︒，其示意图如图2，求此时B 与C 之间的距离（结果保留一位小数）.（参考数据：sin370.6︒≈，cos370.8︒≈，2 1.4≈）24．（10分）某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售出时，每月能卖出500个.商场想了两个方案来增加利润：方案一：提高价格，但这种商品每个售价涨价1元，销售量就减少10个；方案二：售价不变，但发资料做广告．已知当这种商品每月的广告费用为m(千元)时，每月销售量将是原销售量的p 倍，且p =．试通过计算，请你判断商场为赚得更大的利润应选择哪种方案？请说明你判断的理由！25．（10分）目前“微信”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”给我们的生活带来了很多便利，初二数学小组在校内对“你最认可的四大新生事物”进行调查，随机调查了m 人（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种）并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．根据图中信息求出m= ，n= ；请你帮助他们将这两个统计图补全；根据抽样调查的结果，请估算全校2000名学生中，大约有多少人最认可“微信”这一新生事物？已知A 、B 两位同学都最认可“微信”，C 同学最认可“支付宝”D 同学最认可“网购”从这四名同学中抽取两名同学，请你通过树状图或表格，求出这两位同学最认可的新生事物不一样的概率．26．（12分）如图，直线y 1=﹣x+4，y 2=34x+b 都与双曲线y=kx 交于点A （1，m ），这两条直线分别与x 轴交于B ，C 两点．求y 与x 之间的函数关系式；直接写出当x ＞0时，不等式34x+b ＞kx 的解集；若点P 在x 轴上，连接AP 把△ABC 的面积分成1：3两部分，求此时点P 的坐标．参考答案一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意） 1．C 【解析】 【分析】根据a 、b 的符号，针对二次函数、一次函数的图象位置，开口方向，分类讨论，逐一排除． 【详解】当a ＞0时，二次函数的图象开口向上，一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限， 故A 、D 不正确；由B 、C 中二次函数的图象可知，对称轴x=-2ba＞0，且a ＞0，则b ＜0， 但B 中，一次函数a ＞0，b ＞0，排除B ． 故选C ． 2．D 【解析】 【分析】根据多边形的内角和=（n ﹣2）•180°，列方程可求解. 【详解】设所求多边形边数为n ， ∴（n ﹣2）•180°＝1080°， 解得n ＝8. 故选D. 【点睛】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理. 3．C 【解析】试题分析：根据角平分线的性质可得CD=DE=1，根据Rt △ADE 可得AD=2DE=2，根据题意可得△ADB 为等腰三角形，则DE 为AB 的中垂线，则BD=AD=2，则BC=CD+BD=1+2=1． 考点：角平分线的性质和中垂线的性质． 4．B 【解析】 【分析】根据题意画出图形，连接AO 并延长交BC 于点D ，则AD ⊥BC ，设OD=x ，由三角形重心的性质得AD=3x ， 利用锐角三角函数表示出BD 的长，由垂径定理表示出BC 的长，然后根据面积法解答即可． 【详解】 如图，连接AO 并延长交BC 于点D ，则AD ⊥BC ， 设OD=x ，则AD=3x ， ∵tan ∠BAD=BDAD， ∴BD= tan30°·3， ∴3， ∵1332BC AD ⋅=, ∴1233， ∴x ＝1所以该圆的内接正三边形的边心距为1， 故选B ． 【点睛】本题考查正多边形和圆，三角形重心的性质，垂径定理，锐角三角函数，面积法求线段的长，解答本题的关键是明确题意，求出相应的图形的边心距． 5．A 【解析】 【分析】由已知，AB=a ，AB+BC=5，当E 在BC 上时，如图，可得△ABE ∽△ECF ，继而根据相似三角形的性质可得y=﹣2155a x x a a ++-，根据二次函数的性质可得﹣215551·5223a a a a a +++⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，由此可得a=3，继而可得y=﹣218533x x +-，把y=14代入解方程可求得x 1=72，x 2=92，由此可求得当E 在AB 上时，y=14时，x=114，据此即可作出判断． 【详解】解：由已知，AB=a ，AB+BC=5， 当E 在BC 上时，如图，∵E 作EF ⊥AE ， ∴△ABE ∽△ECF ， ∴AB CEBE FC=， ∴5a xx a y-=-， ∴y=﹣2155a x x a a++-， ∴当x=522b a a +-=时，﹣215551·5223a a a a a +++⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， 解得a 1=3，a 2=253（舍去）， ∴y=﹣218533x x +-， 当y=14时，14=﹣218533x x +-，解得x 1=72，x 2=92， 当E 在AB 上时，y=14时，x=3﹣14=114，故①②正确，故选A．【点睛】本题考查了二次函数的应用，相似三角形的判定与性质，综合性较强，弄清题意，正确画出符合条件的图形，熟练运用二次函数的性质以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．6．A【解析】【分析】根据任何一个一次函数都可以化为一个二元一次方程，再根据两个函数交点坐标就是二元一次方程组的解可直接得到答案．【详解】解：∵直线y1=k1x+b1与y2=k2x+b2的交点坐标为（2，4），∴二元一次方程组111222,y k x by k x b=+⎧⎨=+⎩的解为2,4.xy=⎧⎨=⎩故选A.【点睛】本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．7．D【解析】连接OC，过点A作AD⊥CD于点D，四边形AOBC是菱形可知OA=AC=2，再由OA=OC可知△AOC是等边三角形，可得∠AOC=∠BOC=60°，故△ACO与△BOC为边长相等的两个等边三角形，再根据锐角三角函数的定义得出AD=OA•si n60°=2×3=3，因此可求得S阴影=S扇形AOB﹣2S△AOC=21202360π⨯﹣2×12×2×3=43π﹣23．故选D．点睛：本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式及菱形的性质是解答此题的关键．8．A【解析】试题分析：因为A点坐标为（－4，2），所以，原点在点A的右边，也在点A的下边2个单位处，从点B 来看，B（2，－4），所以，原点在点B的左边，且在点B的上边4个单位处．如下图，O1符合．考点：平面直角坐标系．9．C【解析】试题分析：1．21=2．32；1．31=3．19；1．5=3．44；1．91=4．5．∵ 3．44＜4＜4．5，∴1．5＜4＜1．91，∴1．4＜8＜1．9，所以8应在③段上．故选C考点：实数与数轴的关系10．B【解析】【分析】将一次函数解析式代入到反比例函数解析式中，整理得出x2﹣2x+1﹣6t=0，又因两函数图象有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，根据根的判别式以及根与系数的关系可求解．【详解】由题意可得：﹣x+2=，所以x2﹣2x+1﹣6t=0，∵两函数图象有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，∴解不等式组，得t＞．故选：B ．点睛：此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是利用两个函数的解析式构成方程，再利用一元二次方程的根与系数的关系求解.二、填空题（本题包括8个小题）11．23【解析】 试题解析：∵共6个数，小于5的有4个，∴P （小于5）=46=23．故答案为23． 12．∠A ＝∠C 或∠ADC ＝∠ABC【解析】【分析】本题证明两三角形全等的三个条件中已经具备一边和一角，所以只要再添加一组对应角或边相等即可．【详解】添加条件可以是：∠A ＝∠C 或∠ADC ＝∠ABC ．∵添加∠A ＝∠C 根据AAS 判定△AOD ≌△COB ，添加∠ADC ＝∠ABC 根据AAS 判定△AOD ≌△COB ，故填空答案：∠A ＝∠C 或∠ADC ＝∠ABC ．【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．添加时注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解题的关键．13．43π-【解析】【分析】连接半径和弦AE ，根据直径所对的圆周角是直角得：∠AEB=90°，继而可得AE 和BE 的长，所以图中弓形的面积为扇形OBE 的面积与△OBE 面积的差，因为OA=OB ，所以△OBE 的面积是△ABE 面积的一半，可得结论．【详解】如图，连接OE 、AE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB=90°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD=4，∠B=∠D=30°，∴AE=12AB=2，∴∠B=∠OEB=30°， ∴∠BOE=120°，∴S 阴影=S 扇形OBE ﹣S △BOE=2120211·36022AE BE π⨯-⨯ =4142233343ππ-⨯⨯=-， 故答案为433π-．【点睛】本题考查了扇形的面积计算、平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质等，求出扇形OBE 的面积和△ABE 的面积是解本题的关键．14．4【解析】【分析】 连接OP OB 、，把两部分的面积均可转化为规则图形的面积，不难发现两部分面积之差的绝对值即为BOP △的面积的2倍．【详解】解：连接OP 、OB ，∵图形BAP 的面积=△AOB 的面积+△BOP 的面积+扇形OAP 的面积，图形BCP 的面积=△BOC 的面积+扇形OCP 的面积−△BOP 的面积，又∵点P 是半圆弧AC 的中点，OA=OC ，∴扇形OAP 的面积=扇形OCP 的面积，△AOB 的面积=△BOC 的面积，∴两部分面积之差的绝对值是2 4.BOP S OP OC =⋅=点睛：考查扇形面积和三角形的面积，把不规则图形的面积转化为规则图形的面积是解题的关键.【解析】分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个．详解：∵－3，x ，－1， 3，1，6的众数是3，∴x=3，先对这组数据按从小到大的顺序重新排序-3、-1、1、3、3、6位于最中间的数是1,3，∴这组数的中位数是132+=1． 故答案为： 1．点睛：本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数.16．13或4【解析】解方程x 2-4x+3=0得，x 1=1，x 2=3，①当3是直角边时，∵△ABC 最小的角为A ，∴tanA=13；②当3是斜边时，根据勾股定理，∠A 的邻边=∴=；所以tanA 的值为13 17．1【解析】【分析】 主视图、左视图是分别从物体正面、左面看，所得到的图形．【详解】易得第一层最多有9个正方体，第二层最多有4个正方体，所以此几何体共有1个正方体．故答案为1．18．2．【解析】【分析】把x ＝m 代入方程，求出2m 2﹣3m ＝2，再变形后代入，即可求出答案．解：∵m 是方程2x 2﹣3x ﹣2＝0的一个根，∴代入得：2m 2﹣3m ﹣2＝0，∴2m 2﹣3m ＝2，∴6m 2﹣9m+2026＝3（2m 2﹣3m ）+2026＝3×2+2026＝2，故答案为：2．【点睛】本题考查了求代数式的值和一元二次方程的解，解此题的关键是能求出2m 2﹣3m ＝2．三、解答题（本题包括8个小题）19．（1）证明见解析；（2）AB 、AD 的长分别为2和1．【解析】【分析】（1）证Rt △ABO ≌Rt △DEA （HL ）得∠AOB=∠DAE ，AD ∥BC ．证四边形ABCD 是平行四边形，又90ABC ∠=︒，故四边形ABCD 是矩形；（2）由（1）知Rt △ABO ≌Rt △DEA ，AB=DE=2．设AD=x ，则OA=x ，AE=OE －OA=9－x ．在Rt △DEA 中，由222AE DE AD +=得：()22293x x -+=.【详解】（1）证明：∵AB ⊥OM 于B ，DE ⊥ON 于E ，∴90ABO DEA ∠=∠=︒.在Rt △ABO 与Rt △DEA 中，∵AO AD OB AE=⎧⎨=⎩∴Rt △ABO ≌Rt △DEA （HL ）． ∴∠AOB=∠DAE ．∴AD ∥BC ．又∵AB ⊥OM ，DC ⊥OM ，∴AB ∥DC ．∴四边形ABCD 是平行四边形．∵90ABC ∠=︒，∴四边形ABCD 是矩形；（2）由（1）知Rt △ABO ≌Rt △DEA ，∴AB=DE=2．设AD=x ，则OA=x ，AE=OE －OA=9－x ．在Rt △DEA 中，由222AE DE AD +=得：()22293x x -+=，解得5x =．∴AD=1．即AB 、AD 的长分别为2和1．【点睛】矩形的判定和性质;掌握判断定证三角形全等是关键.20． (1)450、63； ⑵36°，图见解析； (3)2460 人．【分析】（1）根据“骑电动车”上下的人数除以所占的百分比，即可得到调查学生数；用调查学生数乘以选择B 类的人数所占的百分比，即可求出选择B 类的人数.（2）求出E 类的百分比，乘以360即可求出E 类对应的扇形圆心角α的度数；由总学生数求出选择公共交通的人数，补全统计图即可；（3）由总人数乘以“绿色出行”的百分比，即可得到结果．【详解】(1) 参与本次问卷调查的学生共有：16236%450÷=（人）； 选择B 类的人数有：4500.1463.⨯=故答案为450、63；(2) E 类所占的百分比为：136%14%20%16%4%10%.-----=E 类对应的扇形圆心角α的度数为：36010%36.⨯=选择C 类的人数为：45020%90⨯=（人）.补全条形统计图为：(3) 估计该校每天“绿色出行”的学生人数为3000×（1-14%-4%）=2460 人．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．21．（1）证明见解析；（2）3【解析】【详解】（1）证明：∵90ABC ∠=，DE ⊥AC 于点F ，∴∠ABC=∠AFE ．∵AC=AE,∠EAF=∠CAB ，∴△ABC ≌△AFE∴AB=AF ．连接AG ，∵AG=AG,AB=AF∴Rt △ABG ≌Rt △AFG∴BG=FG（2）解：∵AD=DC ，DF ⊥AC ∴1122AF AC AE == ∴∠E=30°∴∠FAD=∠E=30°∴322．（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】（1）先根据同角的余角相等得到∠ACE=∠BCD ，再结合等腰直角三角形的性质即可证得结论；（2）根据全等三角形的性质可得AE=BD ，∠EAC=∠B=45°，即可证得△AED 是直角三角形，再利用勾股定理即可求出DE 的长．【详解】（1）∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形∴AC=BC ，EC=DC ，∠ACB=∠ECD=90°∵∠ACE=∠DCE-∠DCA ，∠BCD=∠ACB-∠DCA∴∠ACE=∠BCD∴△ACE ≌△BCD （SAS ）；（2）∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形∴∠BAC=∠B=45°∴AE=BD=12，∠EAC=∠B=45°∴∠EAD=∠EAC+∠BAC=90°，∴△EAD是直角三角形2222∴=+=+=DE AE AD12513【点睛】解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等.23．1.4米.【解析】【分析】过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE=CM，则EM=BC，在Rt△ABE、Rt△CDF中可求出AE、BE、DF、FC的长度，进而可得出EF的长度，再在Rt△MEF中利用勾股定理即可求出EM的长，此题得解．【详解】过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE=CM，如图所示，∵AB=CD，AB+CD=AD=2，∴AB=CD=1，在Rt△ABE中，AB=1，∠A=37°，∴BE=AB•sin∠A≈0.6，AE=AB•cos∠A≈0.8，在Rt△CDF中，CD=1，∠D=45°，∴CF=CD•sin∠D≈0.7，DF=CD•cos∠D≈0.7，∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴BE∥CM，又∵BE=CM，∴四边形BEMC为平行四边形，∴BC=EM，CM=BE．在Rt△MEF中，EF=AD﹣AE﹣DF=0.5，FM=CF+CM=1.3，∴EM=22EF FM+≈1.4，∴B与C之间的距离约为1.4米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理以及平行四边形的判定与性质，正确添加辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求出BC的长度是解题的关键．24．方案二能获得更大的利润；理由见解析【解析】【分析】方案一：由利润=（实际售价-进价）×销售量，列出函数关系式，再用配方法求最大利润；方案二：由利润=（售价-进价）×500p-广告费用，列出函数关系式，再用配方法求最大利润．【详解】解：设涨价x元，利润为y元，则方案一：涨价x元时，该商品每一件利润为：50+x−40，销售量为：500−10x，∴22(5040)(50010)10400500010(20)9000y x x x x x=+--=-++=--+，∵当x=20时，y最大=9000，∴方案一的最大利润为9000元；方案二：该商品售价利润为=(50−40)×500p，广告费用为：1000m元，∴()2250405001000200090002000( 2.25)10125 y p m m m m=-⨯-=-+=--+，∴方案二的最大利润为10125元；∴选择方案二能获得更大的利润.【点睛】本题考查二次函数的实际应用，根据题意，列出函数关系式，配方求出最大值.25．（1）100、35；（2）补图见解析；（3）800人；（4）5 6【解析】分析：（1）由共享单车人数及其百分比求得总人数m，用支付宝人数除以总人数可得其百分比n的值；（2）总人数乘以网购人数的百分比可得其人数，用微信人数除以总人数求得其百分比即可补全两个图形；（3）总人数乘以样本中微信人数所占百分比可得答案；（4）列表得出所有等可能结果，从中找到这两位同学最认可的新生事物不一样的结果数，根据概率公式计算可得．详解：（1）∵被调查的总人数m=10÷10%=100人，∴支付宝的人数所占百分比n%=35100×100%=35%，即n=35，（2）网购人数为100×15%=15人，微信对应的百分比为40100×100%=40%，补全图形如下：（3）估算全校2000名学生中，最认可“微信”这一新生事物的人数为2000×40%=800人；（4）列表如下：共有12种情况，这两位同学最认可的新生事物不一样的有10种，所以这两位同学最认可的新生事物不一样的概率为105 126=．点睛：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及扇形统计图与条形统计图的知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．26．（1）3yx=；（2）x＞1；（3）P（﹣54，0）或（94，0）【解析】分析：（1）求得A（1，3），把A（1，3）代入双曲线y=kx，可得y与x之间的函数关系式；（2）依据A（1，3），可得当x＞0时，不等式34x+b＞kx的解集为x＞1；（3）分两种情况进行讨论，AP把△ABC的面积分成1：3两部分，则CP=14BC=74，或BP=14BC=74，即可得到OP=3﹣74=54，或OP=4﹣74=94，进而得出点P的坐标．详解：（1）把A（1，m）代入y1=﹣x+4，可得m=﹣1+4=3，∴A（1，3），把A（1，3）代入双曲线y=kx，可得k=1×3=3，∴y与x之间的函数关系式为：y=3x；（2）∵A（1，3），∴当x＞0时，不等式34x+b＞kx的解集为：x＞1；（3）y1=﹣x+4，令y=0，则x=4，∴点B的坐标为（4，0），把A（1，3）代入y2=34x+b，可得3=34+b，∴b=94，∴y2=34x+94，令y2=0，则x=﹣3，即C（﹣3，0），∴BC=7，∵AP把△ABC的面积分成1：3两部分，∴CP=14BC=74，或BP=14BC=74∴OP=3﹣74=54，或OP=4﹣74=94，∴P（﹣54，0）或（94，0）．点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．2019-2020学年中考数学模拟试卷 一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征．甲同学：它有4个面是三角形；乙同学：它有8条棱．该模型的形状对应的立体图形可能是( )A ．三棱柱B ．四棱柱C ．三棱锥D ．四棱锥2．如图，将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△EDC ．若点A ，D ，E 在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC 的度数是( )A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°3．将分别标有“孔”“孟”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀.随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球.两次摸出的球上的汉字能组成“孔孟”的概率是（ ）A ．18B ．16C ．14D ．124．如图，点P 是∠AOB 内任意一点，OP=5cm ，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，△PMN 周长的最小值是5cm ，则∠AOB 的度数是（ ）．A ．25︒B ．30︒C ．35︒D ．40︒5．已知y 关于x 的函数图象如图所示，则当y ＜0时，自变量x 的取值范围是（ ）A ．x ＜0B ．﹣1＜x ＜1或x ＞2C ．x ＞﹣1D ．x ＜﹣1或1＜x ＜26．如果将抛物线2y x 2=+向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是A ．()2y x 12=-+B ．()2y x 12=++C ．2y x 1=+D ．2y x 3=+ 7．下列四个多项式，能因式分解的是( )A ．a －1B ．a 2＋1C ．x 2－4yD ．x 2－6x ＋98．在半径等于5 cm 的圆内有长为53cm 的弦，则此弦所对的圆周角为A ．60°B ．120°C ．60°或120°D ．30°或120°9．如图，将图1中阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（ ）A ．（a+b ）（a ﹣b ）＝a 2﹣b 2B ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab+b 2C ．（a+b ）2＝a 2+2ab+b 2D ．（a+b ）2＝（a ﹣b ）2+4ab10．如图，下列各数中，数轴上点A 表示的可能是（ ）A ．4的算术平方根B ．4的立方根C ．8的算术平方根D ．8的立方根二、填空题（本题包括8个小题）11．当x 为_____时，分式3621x x -+的值为1． 12．分解因：22424x xy y x y --++=______________________．13．在四张背面完全相同的卡片上分别印有等腰三角形、平行四边形、菱形和圆的图案，现将印有图案的一面朝下，混合后从中随机抽取两张，则抽到卡片上印有图案都是轴对称图形的概率为_____．14．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O 出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A 1（0，1），A 2（1，1），A 3（1，0），A 4（2，0），…那么点A 4n+1（n 为自然数）的坐标为 （用n 表示）15．化简))201720182121的结果为_____．16．如果抛物线y=（m ﹣1）x 2的开口向上，那么m 的取值范围是__．17．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上的一点，若BC=6，AB=10，OD ⊥BC 于点D ，则OD 的长为______．18．已知方程组2425x yx y+=⎧⎨+=⎩，则x+y的值为_______．三、解答题（本题包括8个小题）19．（6分）已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，且这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长为_____．20．（6分）一只不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有3，4，5，x，甲，乙两人每次同时从袋中各随机取出1个小球，并计算2个小球上的数字之和．记录后将小球放回袋中搅匀，进行重复试验，试验数据如下表：摸球总次数10 20 30 60 90 120 180 240 330 450“和为8”出现的频数2 10 13 24 30 37 58 82 110 150“和为8”出现的频率0.20 0.50 0.43 0.40 0.33 0.31 0.32 0.34 0.33 0.33解答下列问题：如果试验继续进行下去，根据上表提供的数据，出现和为8的频率将稳定在它的概率附近，估计出现和为8的概率是________；如果摸出的2个小球上数字之和为9的概率是13，那么x的值可以为7吗？为什么？21．（6分）在等边三角形ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ．求证：△ABP≌△CAQ；请判断△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．22．（8分）一不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中有红球2个，蓝球1个，黄球若干个，现从中任意摸出一个球是红球的概率为12．求口袋中黄球的个数；甲同学先随机摸出一个小球（不放回），再随机摸出一个小球，请用“树状图法”或“列表法”，求两次摸出都是红球的概率；23．（8分）如图所示，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于点D，CD交AE 于点F ，过C 作CG ∥AE 交BA 的延长线于点G ．求证：CG 是⊙O 的切线．求证：AF ＝CF ．若sinG ＝0.6，CF ＝4，求GA 的长．24．（10分）已知关于x 的方程()22210x k x k --+=有两个实数根12,x x .求k 的取值范围；若12121x x x x +=-，求k 的值；25．（10分）现种植A 、B 、C 三种树苗一共480棵，安排80名工人一天正好完成，已知每名工人只植一种树苗，且每名工人每天可植A 种树苗8棵；或植B 种树苗6棵，或植C 种树苗5棵．经过统计，在整个过程中，每棵树苗的种植成本如图所示．设种植A 种树苗的工人为x 名，种植B 种树苗的工人为y 名．求y 与x 之间的函数关系式；设种植的总成本为w 元，①求w 与x 之间的函数关系式；②若种植的总成本为5600元，从植树工人中随机采访一名工人，求采访到种植C 种树苗工人的概率．26．（12分）清朝数学家梅文鼎的《方程论》中有这样一题：山田三亩，场地六亩，共折实田四亩七分；又山田五亩，场地三亩，共折实田五亩五分，问每亩山田折实田多少，每亩场地折实田多少？译文为：若有山田3亩，场地6亩，其产粮相当于实田4.7亩；若有山田5亩，场地3亩，其产粮相当于实田5.5亩，问每亩山田和每亩场地产粮各相当于实田多少亩？参考答案一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．D【解析】试题分析：根据有四个三角形的面，且有8条棱，可知是四棱锥.而三棱柱有两个三角形的面，四棱柱没有三角形的面，三棱锥有四个三角形的面，但是只有6条棱.故选D考点：几何体的形状2．C【解析】【分析】根据旋转的性质和三角形内角和解答即可．【详解】∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．∴∠DCE=∠ACB=20°，∠BCD=∠ACE=90°，AC=CE，∴∠ACD=90°-20°=70°，∵点A，D，E在同一条直线上，∴∠ADC+∠EDC=180°，∵∠EDC+∠E+∠DCE=180°，∴∠ADC=∠E+20°，∵∠ACE=90°，AC=CE∴∠DAC+∠E=90°，∠E=∠DAC=45°在△ADC中，∠ADC+∠DAC+∠DCA=180°，即45°+70°+∠ADC=180°，解得：∠ADC=65°，故选C．【点睛】此题考查旋转的性质，关键是根据旋转的性质和三角形内角和解答．3．B【解析】【分析】根据简单概率的计算公式即可得解.【详解】一共四个小球，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球一共有12中可能，其中能组成孔孟的有2种，所以两次摸出的球上的汉字能组成“孔孟”的概率是1 6 .故选B.考点：简单概率计算. 4．B。
吉林省延边朝鲜族自治州2019-2020学年中考数学教学质量调研试卷含解析
吉林省延边朝鲜族自治州2019-2020学年中考数学教学质量调研试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列计算正确的是（ ）A ．3a ﹣2a ＝1B ．a 2+a 5＝a 7C ．（ab ）3＝ab 3D ．a 2•a 4＝a 62．方程x 2﹣3x+2＝0的解是（ ）A ．x 1＝1，x 2＝2B ．x 1＝﹣1，x 2＝﹣2C ．x 1＝1，x 2＝﹣2D ．x 1＝﹣1，x 2＝23．若2(3)3b b -=-，则（ ）A ．3b >B ．3b <C ．3b ≥D ．3b ≤ 4．在平面直角坐标系中，将点P （4，﹣3）绕原点旋转90°得到P 1，则P 1的坐标为（ ） A ．（﹣3，﹣4）或（3，4）B ．（﹣4，﹣3）C ．（﹣4，﹣3）或（4，3）D ．（﹣3，﹣4）5．如图所示，有一条线段是ABC ∆（AB AC >）的中线，该线段是（ ）.A ．线段GHB ．线段ADC ．线段AED ．线段AF6．下列事件中为必然事件的是（ ）A ．打开电视机，正在播放茂名新闻B ．早晨的太阳从东方升起C ．随机掷一枚硬币，落地后正面朝上D ．下雨后，天空出现彩虹7．y=（m ﹣1）x |m|+3m 表示一次函数，则m 等于（ ）A ．1B ．﹣1C ．0或﹣1D ．1或﹣18．若关于x 的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根，则实数a 的值为（ ）A ．1-B ．1C ．22-或D ．31-或9．用尺现作图的方法在一个平行四边形内作菱形ABCD ，下列作法错误的是 （ ）A ．B ．C ．D ．10．分别写有数字0，﹣1，﹣2，1，3的五张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张，那么抽到负数的概率是（ ）A ．15B ．25C ．35D ．4511．如图，AB 与⊙O 相切于点B ，OA=2，∠OAB=30°，弦BC ∥OA ，则劣弧»BC的长是（ ）A．2π B ．3π C ．4πD ．6π 12．关于二次函数2241y x x =+-，下列说法正确的是（ ）A ．图像与y 轴的交点坐标为()0,1B ．图像的对称轴在y 轴的右侧C ．当0x <时，y 的值随x 值的增大而减小D ．y 的最小值为-3二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．计算tan 260°﹣2sin30°﹣2cos45°的结果为_____．14．规定一种新运算“*”：a*b ＝13a －14b ，则方程x*2＝1*x 的解为________． 15．当x=_____时，分式22x x -- 值为零． 16．关于x 的一元二次方程24410x ax a +++=有两个相等的实数根，则581a a a --的值等于_____． 17．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=45°，CD ⊥AB 于点D ，点P 在线段DB 上，若AP 2-PB 2=48，则△PCD 的面积为____.18．如图，在正方形ABCD 中，△BPC 是等边三角形，BP 、CP 的延长线分别交AD 于点E 、F ，连结BD 、DP ，BD 与CF 相交于点H ，给出下列结论：①△DFP ～△BPH ；②33FP DF PH CD ==；③PD 2=PH•CD ；④ABCD 31=BPDS S ∆-正方形，其中正确的是______（写出所有正确结论的序号）．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）随着移动计算技术和无线网络的快速发展，移动学习方式越来越引起人们的关注，某校计划将这种学习方式应用到教育学中，从全校1500名学生中随机抽取了部分学生，对其家庭中拥有的移动设备的情况进行调查，并绘制出如下的统计图①和图②，根据相关信息，解答下列问题：本次接受随机抽样调查的学生人数为，图①中m的值为；求本次调查获取的样本数据的众数、中位数和平均数；根据样本数据，估计该校1500名学生家庭中拥有3台移动设备的学生人数．20．（6分）在△ABC中，∠ACB＝45°．点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC．如图①，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论．（2）如果AB≠AC，如图②，且点D在线段BC上运动．（1）中结论是否成立，为什么？（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC＝42，BC＝3，CD＝x，求线段CP的长．（用含x的式子表示）21．（6分）已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如果∠BDC=30°，DE=2，EC=3，求CD的长．22．（8分）如图，若要在宽AD为20米的城南大道两边安装路灯，路灯的灯臂BC长2米，且与灯柱AB 成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线CO与灯臂BC垂直，当灯罩的轴线CO通过公路路面的中心线时照明效果最好．此时，路灯的灯柱AB的高应该设计为多少米．(结果保留根号)23．（8分）小林在没有量角器和圆规的情况下，利用刻度尺和一副三角板画出了一个角的平分线，他的作法是这样的：如图:（1）利用刻度尺在∠AOB 的两边OA ，OB 上分别取OM ＝ON ；（2）利用两个三角板，分别过点M ，N 画OM ，ON 的垂线，交点为P ；（3）画射线OP ．则射线OP 为∠AOB 的平分线．请写出小林的画法的依据______．24．（10分）在ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径的圆交BC 于D ，交AC 于E .过点E 的切线交OD 的延长线于F ．求证：BF 是O e 的切线．25．（10分）如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，AD ⊥CD 于点D ，且AC 平分∠DAB ，求证： （1）直线DC 是⊙O 的切线；（2）AC 2=2AD•AO ．26．（12分）2017年5月14日至15日，“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，本届论坛期间，中国同30多个国家签署经贸合作协议，某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区．已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元．（1）甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元？（2）若甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，则至少销售甲种商品多少万件？27．（12分）已知：△ABC 在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A （0，3）、B （3，4）、C （2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．画出△ABC 向下平移4个单位长度得到的△A 1B 1C 1，点C 1的坐标是 ；以点B 为位似中心，在网格内画出△A 2B 2C 2，使△A 2B 2C 2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是；△A2B2C2的面积是平方单位．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．D【解析】【分析】根据合并同类项法则、积的乘方及同底数幂的乘法的运算法则依次计算后即可解答.【详解】∵3a﹣2a＝a，∴选项A不正确；∵a2+a5≠a7，∴选项B不正确；∵（ab）3＝a3b3，∴选项C不正确；∵a2•a4＝a6，∴选项D正确．故选D．【点睛】本题考查了合并同类项法则、积的乘方及同底数幂的乘法的运算法则，熟练运用法则是解决问题的关键. 2．A【解析】【分析】将方程左边的多项式利用十字相乘法分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．【详解】解：原方程可化为：（x﹣1）（x﹣1）＝0,∴x 1＝1，x 1＝1．故选：A ．【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，利用此方法解方程时首先将方程右边化为0，左边的多项式分解因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．3．D【解析】【分析】等式左边为非负数，说明右边3b 0-≥，由此可得b 的取值范围．【详解】 解：2(3b)3b -=-Q ，3b 0∴-≥，解得b 3.≤故选D ．【点睛】本题考查了二次根式的性质：()a 0a 0≥≥，()2a a a 0=≥．4．A【解析】【分析】分顺时针旋转，逆时针旋转两种情形求解即可.【详解】解：如图,分两种情形旋转可得P′(3,4),P″(−3,−4)，故选A.【点睛】本题考查坐标与图形变换——旋转，解题的关键是利用空间想象能力.5．B【解析】【分析】根据三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线逐一判断即可得．根据三角形中线的定义知：线段AD是△ABC的中线．故选B．【点睛】本题考查了三角形的中线，解题的关键是掌握三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．6．B【解析】分析：根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件：A、打开电视机，正在播放茂名新闻，可能发生，也可能不发生，是随机事件，故本选项错误；B、早晨的太阳从东方升起，是必然事件，故本选项正确；C、随机掷一枚硬币，落地后可能正面朝上，也可能背面朝上，故本选项错误；D、下雨后，天空出现彩虹，可能发生，也可能不发生，故本选项错误．故选B．7．B【解析】由一次函数的定义知，|m|=1且m-1≠0，所以m=-1，故选B.8．A【解析】【分析】整理成一般式后，根据方程有两个相等的实数根，可得△=0，得到关于a的方程，解方程即可得. 【详解】x(x+1)+ax=0，x2+(a+1)x=0，由方程有两个相等的实数根，可得△=（a+1）2-4×1×0=0，解得：a1=a2=-1，故选A.【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．9．A【解析】【分析】根据菱形的判定方法一一判定即可作的是角平分线，只能说明四边形ABCD是平行四边形，故A符合题意B、作的是连接AC，分别做两个角与已知角∠CAD、∠ACB相等的角，即∠BAC=∠DAC，∠ACB=∠ACD，能得到AB=BC,AD=CD,又AB∥CD，所以四边形ABCD为菱形，B不符合题意C、由辅助线可知AD=AB=BC，又AD∥BC，所以四边形ABCD为菱形，C不符合题意D、作的是BD垂直平分线，由平行四边形中心对称性质可知AC与BD互相平分且垂直，得到四边形ABCD 是菱形，D不符合题意故选A【点睛】本题考查平行四边形的判定，能理解每个图的作法是本题解题关键10．B【解析】试题分析：根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率. 因此，从0，﹣1，﹣2，1，3中任抽一张，那么抽到负数的概率是2 5 .故选B.考点：概率.11．B【解析】解：连接OB，OC．∵AB为圆O的切线，∴∠ABO=90°．在Rt△ABO中，OA=2，∠OAB=30°，∴OB=1，∠AOB=60°．∵BC∥OA，∴∠OBC=∠AOB=60°．又∵OB=OC，∴△BOC为等边三角形，∴∠BOC=60°，则劣弧BC的弧长为601180π⨯=13π．故选B．点睛：此题考查了切线的性质，含30度直角三角形的性质，以及弧长公式，熟练掌握切线的性质是解答本题的关键．12．D【解析】分析：根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．详解：∵y=2x2+4x-1=2（x+1）2-3，∴当x=0时，y=-1，故选项A错误，该函数的对称轴是直线x=-1，故选项B错误，当x ＜-1时，y 随x 的增大而减小，故选项C 错误，当x=-1时，y 取得最小值，此时y=-3，故选项D 正确，故选D ．点睛：本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．1【解析】【分析】分别算三角函数，再化简即可.【详解】解：原式=2-2×12 =1.【点睛】本题考查掌握简单三角函数值，较基础.14．107【解析】【分析】根据题中的新定义化简所求方程，求出方程的解即可．【详解】 根据题意得：13x －14×2=13×1－1x 4， 712x=56， 解得：x ＝107, 故答案为x ＝107. 【点睛】此题的关键是掌握新运算规则，转化成一元一元一次方程，再解这个一元一次方程即可．15．﹣1．【解析】 试题解析：分式22x x --的值为0,则：2020.x x ⎧-=⎨-≠⎩解得： 2.x =-故答案为 2.-16．3-【解析】分析：先根据根的判别式得到a-1=1a，把原式变形为23357a a a a +++--，然后代入即可得出结果. 详解：由题意得：△=2(4)44(1)0a a -⨯+= ，∴210a a --= ，∴221,1a a a a =+-=，即a(a-1)=1,∴a-1=1a , 5562232888()811a a a a a a a a a a--∴==-=-- 33232(1)8(1)33188357a a a a a a a a a =+-+=+++--=+--(1)3(1)57a a a a =+++--24a a =--143=-=-故答案为-3.点睛：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b²-4ac ：当△>0, 方程有两个不相等的实数根；当△<0, 方程没有实数根；当△=0，方程有两个,相等的实数根，也考查了一元二次方程的定义. 17．6【解析】【分析】根据等角对等边，可得AC=BC ，由等腰三角形的“三线合一”可得AD=BD=12AB ，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得CD=12AB ，由AP 2-PB 2=48 ，利用平方差公式及线段的和差公式将其变形可得CD·PD=12,利用△PCD 的面积 =12CD·PD 可得. 【详解】解：∵ 在△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=45°，∴∠B=45°，∴AC=BC ，∵CD ⊥AB ，∴AD=BD=CD=12AB ， ∵AP 2-PB 2=48 ，∴(AP+PB)(AP-PB)=48，∴AB(AD+PD-BD+DP)=48,∴AB·2PD=48，∴2CD·2PD=48，∴CD·PD=12，∴ △PCD 的面积=12CD·PD=6. 故答案为6.【点睛】此题考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题关键在于利用等腰三角形的“三线合一18．①②③【解析】【分析】依据∠FDP=∠PBD ，∠DFP=∠BPC=60°，即可得到△DFP ∽△BPH ；依据△DFP ∽△BPH，可得3FP DF PH BP ==，再根据BP=CP=CD，即可得到3FP DF PH CD ==；判定△DPH ∽△CPD ，可得PH PD PD PC=，即PD 2=PH•CP ，再根据CP=CD ，即可得出PD 2=PH•CD ；根据三角形面积计算公式，结合图形得到△BPD 的面积=△BCP 的面积+△CDP 面积﹣△BCD的面积，即可得出BPD ABCD S S =V 正方形． 【详解】∵PC=CD ，∠PCD=30°，∴∠PDC=75°，∴∠FDP=15°，∵∠DBA=45°，∴∠PBD=15°，∴∠FDP=∠PBD ，∵∠DFP=∠BPC=60°，∴△DFP ∽△BPH ，故①正确；∵∠DCF=90°﹣60°=30°，∴tan ∠DCF=DF CD =∵△DFP∽△BPH，∴3 FP DFPH BP==，∵BP=CP=CD，∴3FP DFPH CD==，故②正确；∵PC=DC，∠DCP=30°，∴∠CDP=75°，又∵∠DHP=∠DCH+∠CDH=75°，∴∠DHP=∠CDP，而∠DPH=∠CPD，∴△DPH∽△CPD，∴PH PDPD PC=，即PD2=PH•CP，又∵CP=CD，∴PD2=PH•CD，故③正确；如图，过P作PM⊥CD，PN⊥BC，设正方形ABCD的边长是4，△BPC为正三角形，则正方形ABCD的面积为16，∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4，∴∠PCD=30°∴PN=PB•sin60°=4×3=23，PM=PC•sin30°=2，∵S△BPD=S四边形PBCD﹣S△BCD=S△PBC+S△PDC﹣S△BCD=12×4×23+12×2×4﹣12×4×4=43+4﹣8=43﹣4，∴31BPDABCDSS-=V正方形，故④错误，故答案为：①②③．【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，正确添加辅助线、灵活运用相关的性质定理与判定定理是解题的关键.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（Ⅰ）50、31；（Ⅱ）4；3；3.1;（Ⅲ）410人．【解析】【分析】（Ⅰ）利用家庭中拥有1台移动设备的人数除以其所占百分比即可得调查的学生人数，将拥有4台移动设备的人数除以总人数即可求得m的值；（Ⅱ）根据众数、中位数、加权平均数的定义计算即可；（Ⅲ）将样本中拥有3台移动设备的学生人数所占比例乘以总人数1500即可求解．【详解】解：（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为：48%＝50（人），∵1650×100＝31%，∴图①中m的值为31.故答案为50、31；（Ⅱ）∵这组样本数据中，4出现了16次，出现次数最多，∴这组数据的众数为4；∵将这组数据从小到大排列，其中处于中间的两个数均为3，有332+＝3，∴这组数据的中位数是3；由条形统计图可得142103144165650x⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=＝3.1，∴这组数据的平均数是3.1．（Ⅲ）1500×18%＝410（人）．答：估计该校学生家庭中；拥有3台移动设备的学生人数约为410人．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．20．（1）CF与BD位置关系是垂直,理由见解析；（2）AB≠AC时，CF⊥BD的结论成立，理由见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）由∠ACB=15°，AB=AC，得∠ABD=∠ACB=15°；可得∠BAC=90°，由正方形ADEF，可得∠DAF=90°，AD=AF，∠DAF=∠DAC+∠CAF；∠BAC=∠BAD+∠DAC；得∠CAF=∠BAD．可证△DAB≌△FAC （SAS），得∠ACF=∠ABD=15°，得∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD．（2）过点A作AG⊥AC交BC于点G，可得出AC=AG，易证：△GAD≌△CAF，所以∠ACF=∠AGD=15°，∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD．（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设，BC=3，CD=x，求线段CP的长．考虑点D的位置，分两种情况去解答．①点D在线段BC上运动，已知∠BCA=15°，可求出AQ=CQ=1．即DQ=1-x，易证△AQD∽△DCP，再根据相似三角形的性质求解问题．②点D在线段BC延长线上运动时，由∠BCA=15°，可求出AQ=CQ=1，则DQ=1+x．过A作AQ⊥BC交CB延长线于点Q，则△AGD∽△ACF，得CF⊥BD，由△AQD∽△DCP，得再根据相似三角形的性质求解问题．【详解】（1）CF与BD位置关系是垂直；证明如下：∵AB=AC，∠ACB=15°，∴∠ABC=15°．由正方形ADEF得AD=AF，∵∠DAF=∠BAC=90°，∴∠DAB=∠FAC，∴△DAB≌△FAC（SAS），∴∠ACF=∠ABD．∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD．（2）AB≠AC时，CF⊥BD的结论成立．理由是：过点A作GA⊥AC交BC于点G，∵∠ACB=15°，∴∠AGD=15°，∴AC=AG，同理可证：△GAD≌△CAF∴∠ACF=∠AGD=15°，∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD．（3）过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，①点D在线段BC上运动时，∵∠BCA=15°，可求出AQ=CQ=1．∴DQ=1﹣x，△AQD∽△DCP，∴，∴，∴．②点D在线段BC延长线上运动时，∵∠BCA=15°，∴AQ=CQ=1，∴DQ=1+x．过A作AQ⊥BC，∴∠Q=∠FAD=90°，∵∠C′AF=∠C′CD=90°，∠AC′F=∠CC′D，∴∠ADQ=∠AFC′，则△AQD∽△AC′F．∴CF⊥BD，∴△AQD∽△DCP，∴，∴，∴．【点睛】综合性题型，解题关键是灵活运用所学全等、相似、正方形等知识点. 21．（1）证明见解析；（2）CD的长为23【解析】【分析】（1）首先证得△ADE≌△CDE，由全等三角形的性质可得∠ADE=∠CDE，由AD∥BC可得∠ADE=∠CBD，易得∠CDB=∠CBD，可得BC=CD，易得AD=BC，利用平行线的判定定理可得四边形ABCD为平行四边形，由AD=CD可得四边形ABCD是菱形；（2）作EF⊥CD于F，在Rt△DEF中，根据30°的性质和勾股定理可求出EF和DF的长，在Rt△CEF 中，根据勾股定理可求出CF的长，从而可求CD的长.【详解】证明：（1）在△ADE与△CDE中，，∴△ADE≌△CDE（SSS），∴∠ADE=∠CDE，∵AD∥BC，∴∠ADE=∠CBD，∴∠CDE=∠CBD，∴BC=CD，∵AD=CD，∴BC=AD，∴四边形ABCD为平行四边形，∵AD=CD，∴四边形ABCD是菱形；（2）作EF⊥CD于F.∵∠BDC=30°，DE=2，∴EF=1，DF=，∵CE=3，∴CF=2，∴CD=2+．.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，菱形的判定，含30°的直角三角形的性质，勾股定理.证明AD=BC是解（1）的关键，作EF⊥CD于F，构造直角三角形是解（2）的关键.22．(103－4)米【解析】【分析】延长OC，AB交于点P，△PCB∽△PAO，根据相似三角形对应边比例相等的性质即可解题．【详解】解：如图，延长OC，AB交于点P．∵∠ABC=120°，∴∠PBC=60°，∵∠OCB=∠A=90°，∴∠P=30°，∵AD=20米，∴OA=12AD=10米，∵BC=2米，∴在Rt△CPB中，PC=BC•tan60°=23米，PB=2BC=4米，∵∠P=∠P，∠PCB=∠A=90°，∴△PCB∽△PAO，∴PC BC PA OA=，∴PA=PC OABC⋅=2310⨯=103米，∴AB=PA﹣PB=（1034-）米．答：路灯的灯柱AB高应该设计为（1034-）米．23．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等；全等三角形的对应角相等；两点确定一条直线【解析】【分析】利用“HL”判断Rt △OPM ≌Rt △OPN ，从而得到∠POM=∠PON ．【详解】有画法得OM ＝ON ，∠OMP ＝∠ONP ＝90°，则可判定Rt △OPM ≌Rt △OPN ，所以∠POM ＝∠PON ，即射线OP 为∠AOB 的平分线．故答案为斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等；全等三角形的对应角相等；两点确定一条直线．【点睛】本题考查了作图−基本作图，解题关键在于熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段.24．证明见解析．【解析】【分析】连接OE ，由OB=OD 和AB=AC 可得ODB C ∠=∠，则OF ∥AC ，可得BOD A ∠=∠，由圆周角定理和等量代换可得∠=∠EOF BOF ，由SAS 证得∆≅∆OBF OEF ，从而得到=90∠∠=︒OBF OEF ，即可证得结论．【详解】证明：如图，连接OE ，∵AB AC =，∴ABC C ∠=∠，∵OB OD =，∴ABC ODB ∠=∠，∴ODB C ∠=∠，∴//OF AC ，∴BOD A ∠=∠∵»»=BEBE ∴2BOE A ∠=∠，则2∠+∠=∠BOD EOD A ，∴2∠+∠=∠BOD EOD BOD ，∴∠=∠EOD BOD ，即∠=∠EOF BOF ，在OBF ∆和OEF ∆中，∵OB OE BOF EOF OF OF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()∆≅∆OBF OEF SAS ，∴OBF OEF ∠=∠∵FE 是O e 的切线，则OE FE ⊥，∴90OEF ∠=︒，∴90OBF ∠=︒，则OB BF ⊥，∴BF 是O e 的切线．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、切线的性质和判定、圆周角定理和全等三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理和全等三角形的判定与性质是解题的关键．25．（1）证明见解析.（2）证明见解析.【解析】分析：（1）连接OC ，由OA=OC 、AC 平分∠DAB 知∠OAC=∠OCA=∠DAC ，据此知OC ∥AD ，根据AD ⊥DC 即可得证；（2）连接BC ，证△DAC ∽△CAB 即可得．详解：（1）如图，连接OC ，∵OA=OC ，∴∠OAC=∠OCA ，∵AC 平分∠DAB ，∴∠OAC=∠DAC ，∴∠DAC=∠OCA ，∴OC ∥AD ，又∵AD ⊥CD ，∴OC ⊥DC ，∴DC 是⊙O 的切线；（2）连接BC ，∵AB 为⊙O 的直径，∴AB=2AO ，∠ACB=90°，∵AD ⊥DC ，∴∠ADC=∠ACB=90°，又∵∠DAC=∠CAB ，∴△DAC ∽△CAB ， ∴AC AD AB AC=，即AC 2=AB•AD ， ∵AB=2AO ，∴AC 2=2AD•AO ．点睛：本题主要考查圆的切线，解题的关键是掌握切线的判定、圆周角定理及相似三角形的判定与性质．26．（1）甲种商品的销售单价900元，乙种商品的销售单价600元；（1）至少销售甲种商品1万件．【解析】【分析】（1）可设甲种商品的销售单价x 元，乙种商品的销售单价y 元，根据等量关系：①1件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，②3件甲种商品比1件乙种商品的销售收入多1500元，列出方程组求解即可；（1）可设销售甲种商品a 万件，根据甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，列出不等式求解即可．【详解】（1）设甲种商品的销售单价x 元，乙种商品的销售单价y 元，依题意有：23321500x y x y =⎧⎨-=⎩，解得900600x y =⎧⎨=⎩：． 答：甲种商品的销售单价900元，乙种商品的销售单价600元；（1）设销售甲种商品a 万件，依题意有：900a+600（8﹣a ）≥5400，解得：a≥1．答：至少销售甲种商品1万件．【点睛】本题考查了一元一次不等式及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系．27．（1）（2，﹣2）；（2）（1，0）；（3）1．【解析】试题分析：（1）根据平移的性质得出平移后的图从而得到点的坐标；（2）根据位似图形的性质得出对应点位置，从而得到点的坐标；（3）利用等腰直角三角形的性质得出△A2B2C2的面积．试题解析：（1）如图所示：C1（2，﹣2）；故答案为（2，﹣2）；（2）如图所示：C2（1，0）；故答案为（1，0）；（3）∵=20，=20，=40，∴△A2B2C2是等腰直角三角形，∴△A2B2C2的面积是：××=1平方单位．故答案为1．考点：1、平移变换；2、位似变换；3、勾股定理的逆定理。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2019-2020学年吉林省延边二中高三（上）第一次调研数学试卷1（9月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|3x+2>0}，B={x|(x+1)(x−3)>0}，则A∩B=()A. (−∞,−1)B. (3,+∞)C. (−∞,−1)∪(−23,+∞) D. (−1,−23)2.已知复数z=|−2i|1−i，则复数z的模等于()A. √2B. 2C. 1D. 2√23.函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期大于π的充分不必要条件是()A. ω=1B. ω=2C. ω<1D. ω>24.设m=log0.30.6，n=log20.6，则()A. m−n>mn>m+nB. mn>m−n>m+nC. m−n>m+n=mnD. m+n>m−n=mn5.设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S2=2，S5−S3=16，则S8等于()A. 140B. 158C. 166D. 1706.点M(13,a)在函数y=log3x的图象上，且角θ的终边所在直线过点M，则tanθ=()A. −13B. ±13C. −3D. ±37.某几何体的三视图如图所示，则其体积为()．A. 4B. 8C. 43D. 838.平面向量a⃗与b⃗ 的夹角为60°，a⃗=(1,0)，|b⃗ |=1，则a⃗⋅(a⃗−3b⃗ )等于()A. 12B. −12C. 52D. 19.函数f(x)=2sin (2x+π6)的图像为M，则下列结论中正确的是()A. 图像M 关于直线x =−π12对称B. 由y =2sin2x 的图像向左平移π6得到MC. 图像M 关于点(−π12,0)对称D. f(x)在区间(−π12,5π12)上递增10. 已知定义在R 上的偶函数f(x)对任意x 都满足f(x +1)=f(1−x).当−1≤x ≤0时，f(x)=−x ，则函数g(x)=f(x)−|log 2(x −1)|的零点个数为( ) A. 1B. 2C. 3D. 4 11. 在数列{a n }中，a 1=3，a n+1a n +2=2a n+1+2a n (n ∈N +)，则该数列的前2015项的和是( )A. 7049B. 7052C. 14098D. 14101 12. 已知f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)>−xf′(x)，则不等式f(x +1)>(x −1)f(x 2−1)的解集是( )A. (1,2)B. (1,+∞)C. (0,2)D. (2,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若球的内接正方体的对角面面积为4√2，则该球的表面积为______ ．14. 已知cosα=35，α∈(0,π2)，则cos(π3+α)=______．15. 已知等差数列{a n }中，a 1+a 2+a 3=6，a 6=8，则a 4=______．16. 在△ABC 中，点G 满足GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ .若存在点O ，使得OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +n OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则m −n = ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a−c b =cosC cosB ． (Ⅰ)求B 的大小；(Ⅱ)若点M 为BC 的中点，且AM =AC ，求sinC sinA 的值．18. 已知数列{a n }满足：a 1=0，a n+1=2a n +n −1，n ∈N ∗．(1)求证：数列{a n +n}是等比数列，并求a n ；(2)求∑a i 10i=1．19. 对凯里一中高二(1)、高二(2)、高二(3)、高二(4)、高二(5)五个班级调查了解，统计出这五个班级课余参加书法兴趣小组并获校级奖的人数，得出如表： 班级 高二(1) 高二(2) 高二(3) 高二(4) 高二(5)班级代号x 1 23 4 5 获奖人数y 54 2 3 1 x y (1)求y 关于x 的线性回归方程y ^=b ^x +a^； (2)从以上班级随机选出两个班级，求至少有一个班级获奖人数超过3人的概率．(附：参考公式：b ^=n i=1i −x)(y i −y)∑(n x −x)2=i n i=1i −nxy ∑x 2n −nx2，a ̂=y −b ̂x).20. 如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，底面△ABC 是边长为2的等边三角形．D 为AB 中点．(Ⅰ)求证：BC 1//平面A 1CD ；(Ⅱ)若四边形CBB 1C 1是正方形，且A 1D =√5，求多面体CA 1C 1BD的体积．21. 已知函数f (x )=xlnx −a (x −1)(1)当a =1时，求曲线y =f (x )在(e,f (e ))处的切线方程；(2)若当x ∈(1,+∞)时，f (x )>0，求实数a 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，直线C 1：{x =4−ty =t −1(t 是参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 2：ρ=8sinθ．(1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)判断直线C 1与曲线的C 2位置关系，若相交，求出弦长．23. 已知函数f(x)=|x −2|．(1)求不等式f(x)<x +|x +1|的解集；(2)若函数f(x)=log 2[f(x +3)+f(x)−2a]的定义域为R ，求实数a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：A={x|x>−23},B={x|x<−1,或x>3}；∴A∩B={x|x>3}=(3,+∞)．故选：B．可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.答案：A解析：【分析】本题考查复数代数形式的混合运算，复数的模的定义，化简复数z是解题的关键．【解答】解：z=|−2i|1−i =2(1+i)2=1+i，∴|z|=√2．故答案为√2．3.答案：A解析：解：函数的周期T=2πω，若函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期大于π，则2πω>π，即0<ω<2，则0<ω<2的充分不必要条件ω=1，故选：A根据充分条件和必要条件的定义结合三角函数的周期公式进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据三角函数的周期公式求出ω的范围是解决本题的关键．4.答案：C解析：【分析】本题主要考查了对数函数及其性质，对数函数之间的大小关系，属于基础题．利用对数函数的性质进行判断即可，结合不等式的性质做出判断．【解答】解：0=log 0.31<log 0.30.6<log 0.30.3=1，即m ∈(0,1)，−1=log 20.5<log 20.6<log 21=0，即n ∈(−1,0)，可得mn <0，1m+1n =log 0.60.3+log 0.62=log 0.60.6=1， 1n −1m=log 0.62−log 0.60.3=log 0.6203<0， 可得1n −1m <1n +1m =1，即为m −n >m +n =mn ，故选C ．5.答案：D解析：【分析】本题考查等比数列的前n 项和及通项公式，属于基础题．利用等比数列前n 项和与通项公式求出即可基本量即可得解．【解答】解：由题意，S 2=a 1+a 2=2，S 5−S 3=a 4+a 5=16，设公比为q ，则{a 1+a 1q =2a 1q 3+a 1q 4=16, 可得，q 3=162=8，即q =2， 所以a 1=23，所以S 8=a 1(1−q 8)1−q =23×(1−28)1−2=170．故选D ．6.答案：C解析：【分析】本题考查了对数函数及其性质，任意角的三角函数的定义，属于基础题．由M(13,a)在函数y =log 3x 的图象上，求得a ，再利用任意角的三角函数的定义即得tanθ．【解答】解：因为M(13,a)在函数y=log3x的图象上，即a=log313=−1，∴M(13,−1)，故tanθ=−113=−3．故选C．7.答案：D解析：由题意三视图可知，几何体是四棱锥，底面是边长为2的正方形，一条侧棱垂直于正方形的一个顶点，长度为2，所以几何体的体积是：13×2×2×2=83．8.答案：B解析：解：∵a⃗=(1,0)，∴|a⃗|=1．∴a⃗⋅b⃗ =|a⃗| |b⃗ |cos60°=1×1×12=12．∴a⃗⋅(a⃗−3b⃗ )=a⃗2−3a⃗⋅b⃗ =1−3×12=−12．故选：B．利用数量积的定义和性质即可得出．本题考查了数量积的定义和性质，属于基础题．9.答案：C解析：【分析】本题考查了函数的图象与性质，属于基础题．利用正弦函数的图象和性质，函数的图象变换规律，逐一判断各个选项是否正确即可．【解答】解：因为函数的图象为M，令x=−π12，可得f(x)=0，可得图象M关于点(−π12,0)对称，故图象M不关于直线x=−π12对称，故C正确且A不正确；把y=2sin2x的图象向左平移π6，得到函数y=2sin[2(x+π6)]=2sin(2x+π3)的图象，故B不正确；在区间(−π12,5π12)上，2x+π6∈(0,π)，函数在区间(−π12,5π12)上先增后减，故D错误，故选：C．10.答案：B解析：【分析】本题考查函数的零点个数问题，将问题转化为函数图象的交点个数是解题的关键，属于中档题．根据题意，函数g(x)=f(x)−|log2(x−1)|的零点个数即函数y=f(x)的图象与函数y=|log2(x−1)|的图象交点的个数，根据题意，分析函数y=f(x)的周期性，在同一直角坐标系中做出y=f(x)的图象与y=|log2(x−1)|的图象，即可得其图象交点的个数，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数g(x)=f(x)−|log2(x−1)|的零点个数，即函数y=f(x)的图象与函数y=|log2(x−1)|的图象交点的个数；对于偶函数f(x)，有f(x+1)=f(1−x)=f(x−1)，所以，f(x+2)=f(x)，即函数f(x)的周期为2．当−1≤x≤0时，f(x)=−x，∴0≤x≤1时，f(x)=x，在同一直角坐标系中做出y=f(x)的图象与y=|log2(x−1)|的图象，由图象可得其有2个交点，即函数g(x)=f(x)−|log2(x−1)|有2个零点．故选B．11.答案：B解析：【分析】本题考查了数列的周期性，考查了计算能力，属于中档题．a n+1a n+2=2a n+1+2a n(n∈N+)，变形(a n+1−2)(a n−2)=2，当n≥2时，(a n−2)(a n−1−2)= 2，两式相除可得a n+1=a n−1，可得数列{a n}是周期为2的周期数列，即可得出．【解答】解：∵a n+1a n+2=2a n+1+2a n(n∈N+)，∴(a n+1−2)(a n−2)=2，当n≥2时，(a n−2)(a n−1−2)=2，=1，可得a n+1=a n−1，∴a n+1−2a n−1−2因此数列{a n}是周期为2的周期数列．a1=3，∴3a2+2=2a2+2×3，解得a2=4，∴S2015=1007(3+4)+3=7052．故选B．12.答案：A解析：解：∵f(x)>−xf′(x)，∴(x⋅f(x))′>0，故函数y=x⋅f(x)在(0,+∞)上是增函数，由不等式f(x+1)>(x−1)f(x2−1)得：(x+1)f(x+1)>(x+1)(x−1)f(x2−1)，即(x+1)f(x+1)>(x2−1)f(x2−1)，∴x+1>x2−1>0，解得：1<x<2，故选：A．根据函数的单调性得到x+1>x2−1>0，解不等式即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．13.答案：12π解析：解：∵球与内接正方体体对角线等于直径，设球半径为R，正方体的边长为a，则满足2R=√3a，则正方体的对角面面积为√2a⋅a=√2a2=4√2，即a 2=4，解得a =2， 则R =√3a 2=√3×22=√3，在球的表面积为4πR 2=12π， 故答案为：12π根据球与内接正方体的关系即可得到结论．本题主要考查球的表面积的计算，根据球球与内接正方体的关系，求出球半径是解决本题的关键．14.答案：3−4√310解析： 【分析】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式的应用，属于基础题．利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，再利用两角和的余弦公式求得cos(π3+α)的值． 【解答】解：∵cosα=35，α∈(0,π2)，∴sinα=√1−cos 2α=45， 则cos(π3+α)=cos π3cosα−sin π3sinα =12×35−√32×45=3−4√310， 故答案为：3−4√310． 15.答案：5解析： 【分析】本题主要考查了等差数列性质的简单应用，根据等差数列的性质即可求解，属于基础题． 【解答】解：等差数列{a n }中由a 1+a 2+a 3=3a 2=6得到a 2=2， 又a 6=8则a 2+a 6=2a 4=10，∴a 4=5故答案为5．16.答案：−1解析：【分析】本题考查向量的线性运算，属于中档题．OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +GA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −GB ⃗⃗⃗⃗⃗ −GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BG ⃗⃗⃗⃗⃗ +CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =3OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3×16BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )−OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −32OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 求得m ，n 即可．【解答】解：OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +GA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −GB ⃗⃗⃗⃗⃗ −GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BG ⃗⃗⃗⃗⃗ +CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =3OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3×16BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )−OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −32OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． ∴m =−32，n =−12，∴m −n =−32+12=−1．故答案为−1．17.答案：解：(Ⅰ)在△ABC 中，∵2a−c b=cosC cosB，∴2acosB =ccosB +bcosC ， 利用正弦定理可得，，∵sinA ≠0， ∴cosB =12， ∵0<B <π， ∴B =π3；(Ⅱ)在△ABC 中，由余弦定理得，，在△ABM 中，由余弦定理得，AM 2=14a 2+c 2−2·a2⋅c ⋅cosB=14a 2+c 2−12ac ．∵AM =AC ，∴14a 2+c 2−12ac =a 2+c 2−ac ，∴ca =32，∴由正弦定理得sinCsinA =ca =32．解析：本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．(Ⅰ)由已知化简，利用正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可得：2sinAcosB =sinA ，由于sinA ≠0，可求cos B ，结合B 的范围即可得解B 的值．(Ⅱ)由AM =AC ，利用余弦定理得，14a 2+c 2−12ac =a 2+c 2−ac ⇒ca =32，结合正弦定理即可得sinCsinA的值．18.答案：解：(1)∵a n+1+n+1a n +n=2a n +n−1+n+1a n +n=2a n +2n a n +n=2，∴数列{a n +n}是以a 1+1=1为首项，2为公比的等比数列，∴a n +n =1×2n−1=2n−1⇒a n =2n−1−n(n ∈N ∗).(2)由(1)知，∑a i 10i=1=(20−1)+(21−2)+(22−3)+⋯+(29−10)=(1+2+22+⋯+29)−(1+2+⋯+10) =1−2101−2−10(1+10)2=210−1−55=968．解析：本题考查了数列递推关系、等比数列通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)利用等比数列定义证明，并根据等比数列的通项公式求解； (2)利用分组求和法及等差等比数列的求和公式计算．19.答案：解：(1)由已知得n =5，x =y =1+2+3+4+55=3，∑x i 5i=1y i =36，nxy =45，∑x i 25i=1=55，nx 2=45． 则b ̂=i ni=1i −nxy ∑x 2n −nx2=36−4555−45=−910.…(4分)则a ̂=y −b ̂x =5710． 故y 关于x 的线性回归方程y ̂=−1110x +5710.…(6分) (2)从以上班级随机选出两个班级，基本事件共有 (1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)， (2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)共10个， 而获奖人数超过3人的有1班和2班，则至少有一个班级获奖人数超过3人的基本事件为 (1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)共7个，由古典概型知至少有一个班级获奖人数超过3人的概率p =710.…(12分)解析：(1)通过线性回归方程，直接利用已知条件求出a ^，b ^，推出线性回归方程．(2)记“从以上班级随机选出两个班级，求至少有一个班级获奖人数超过3人”为事件A ，列出基本事件，利用古典概型求出概率即可．本题考查线性回归方程的求法，古典概型的求解，考查分析问题解决问题的能力．20.答案：解：(I)连结AC 1，设AC 1∩A 1C =E ，连结DE ，则E 是AC 1的中点，∵D 是AB 的中点，∴DE//BC 1，又DE ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ， ∴BC 1//平面A 1CD ．(II)∵四边形CBB 1C 1是正方形，△ABC 是边长为2的等边三角形，D 为AB 中点 ∴AD =1，AA 1=B 1B =BC =2， ∴AD 2+A 1A 2=5=A 1D 2，∴A 1A ⊥AD ， 又∵B 1B ⊥BC ，B 1B//A 1A ， ∴A 1A ⊥BC ，又AD ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，AD ∩BC =B ， ∴A 1A ⊥平面ABC ， ∵S △ABC =S △A 1B 1C 1=√34×22=√3，∴S △ACD =12S △ABC =√32． ∴多面体CA 1C 1BD 的体积V =V ABC−A 1B 1C 1−V A 1−ACD −V B−A 1B 1C 1=S ABC ⋅AA 1−13S △ACD ⋅AA 1−13S △A 1B 1C 1⋅BB 1=√3×2−13×√32×2−13×√3×2=√3．∴多面体CA 1C 1BD 的体积为√3．解析：(1)取AC 1中点E ，连结DE ，由中位线定理得出DE//BC 1，故而BC 1//平面A 1CD ； (2)由勾股定理的逆定理可证明AA 1⊥平面ABC ，然后利用作差法求出多面体的体积． 本题考查了线面平行的判定，多面体的体积计算，属于中档题．21.答案：解：(1)当a =1时，，，，又f(e)=e −(e −1)=1，∴函数f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为y −1=x −e ，即y =x −e +1．(2)当x ∈(1,+∞)时，f (x )>0，等价于在x ∈(1,+∞)上恒成立，令，则g′(x )=1x −ax 2=x−a x 2，①当a ⩽1时，g′(x )>0，g (x )在x ∈(1,+∞)上单调递增，所以g (x )>g (1)=0，满足题意； ②当a >1时，在x ∈(1,a)上，g ′(x)<0，在x ∈(a,+∞)上，g ′(x)>0， ∴g(x)在x ∈(1,a)上单调递减，∴g(x)<0，不合题意， 综上可知：a ∈(−∞,1]．解析：本题考查了求切线方程问题，考查函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查参数范围的求解，对学生分析解决问题的能力有较高要求．(1)当a =1时，求曲线y =f (x )在(e,f (e ))处切线的斜率，即可求出切线方程；(2)求出函数的导数，通过分类讨论a 的范围，确定函数的单调性及最值大小，即可求出a 的范围．22.答案：解：(1)由C 1：{x =4−ty =t −1，消去t 得x +y −3=0，所以直线C 1的普通方程为x +y −3=0． 把ρ=8sinθ的两边同时乘以ρ得ρ2=8ρsinθ， 因为x 2+y 2=ρ2，y =ρsinθ，所以x 2+y 2=8y ，即x 2+(y −4)2=16， 所以曲线C 2的直角坐标方程为x 2+(y −4)2=16．(2)由(1)知，曲线C 2：x 2+(y −4)2=16是圆心为(0,4)，半径为4的圆， 所以圆心(0,4)到直线x +y −3=0的距离d =√2=√22<4，所以直线C 1与曲线C 2相交，其弦长为2(√22)=√62．解析：(1)由C 1的参数方程，消去t 得直线C 1的普通方程；把ρ=8sinθ的两边同时乘以ρ得ρ2=8ρsinθ，由此能求出曲线C 2的直角坐标方程．(2)曲线C 2：x 2+(y −4)2=16是圆心为(0,4)，半径为4的圆，圆心(0,4)到直线x +y −3=0的距离d =√2=√22<4，由此能求出结果．本题考查普通方程、直角坐标方程、弦长的求法，考查参数方程、普通方程、极坐标笔程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23.答案：解：(1)由已知不等式f(x)<x+|x+1|，得|x−2|<x+|x+1|，当x>2时，绝对值不等式可化为x−2<x+x+1，解得：x>−3，所以x>2；当−1≤x≤2时，绝对值不等式可化为2−x<x+x+1，解得：x>13，所以13<x≤2；当x<−1时，由2−x<x−x−1，得：x>3，此时无解．综上可得所求不等式的解集为(13,+∞)．(2)要使函数f(x)=log2[f(x+3)+f(x)−2a]的定义域为R，只要g(x)=f(x+3)+f(x)−2a的最小值大于0即可．又g(x)=|x+1|+|x−2|−2a≥3−2a，当且仅当x∈[−1,2]时取等号．所以只需3−2a>0，即a<32，所以实数a的取值范围是(−∞,32).解析：本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及转化思想，分类讨论思想，是一道常规题．(1)通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；(2)根据绝对值不等式的性质得到g(x)=|x+1|+|x−2|−2a≥3−2a>0，解出即可．。