《圆锥曲线的共同特征》
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所以点P的轨迹是焦点为(-c,0),(c,0),实轴长、 虚轴长分别为2a,2b的双曲线.
圆锥曲线统一定义:
平面内到一定点F 与到一条定直线l 的距离之比为 常数 e 的点的轨迹.( 点F 不在直线l 上）
(1)当 0< e <1 时, 点的轨迹是椭圆. (2)当 e >1 时, 点的轨迹是双曲线. (3)当 e = 1 时, 点的轨迹是抛物线.
c a 线 l:x 的距离的比是常数 (c>a>0),求P的 a c 轨迹.
解:由题意可得:
变题:已知点 P(x,y) 到定点 F(c,0) 的距离与它到定直 2
( x c )2 y 2 a2 x c
c a
(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2) 即:(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2) 2 2 x y 2 2 2 令c -a =b ,则上式化为: 2 1(a 0, b 0) 2 a b
解:由题意可得:
例1.已知点 P(x,y) 到定点 F(c,0) 的距离与它到定直 2
( x c) 2 y 2 a2 x c
c a
(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2) 2 2 令a2-c2=b2,则上式化为: x y 1(a b 0) a 2 b2
化简得 所以点P的轨迹是焦点为(-c,0),(c,0),长轴长、 短轴长分别为2a,2b的椭圆.
y 来自百度文库 x2 2 1 2 a b (a b 0)
x2 y 2 2 1 2 a b (a 0, b 0)
y 2 x2 2 1 2 a b (a 0, b 0)
(0, c)
a2 y c
图形
标准方程 焦点坐标 准线方程
l l
l l
p x ( p 0) 2 2 p p y 2 px ( ,0) x ( p 0) 2 2 x 2 2 py p p y ( 0, ) ( p 0) 2 2
.
M1
O
.
F2 P′
x
d1
a 准线: x c
2
PF1 PF2 e 定义式: d1 d2
标准方程
x2 y2 2 1 2 a b ( a b 0)
图形
焦点坐标
准线方程
a2 x c a2 y c a2 x c
( c, 0) (0, c) ( c, 0)
选一选
1. 已知椭圆短轴长是2,长轴长是短轴长的2倍,则其中 心到准线距离是(
D)
B.
8 5 A. 5
4 5 5
2. 设双曲线的两条准线把两焦点间的线段三等分,则此 双曲线的离心率为(
8 3 C. 3
D.
4 3 3
B)
C.2 3
6 D. 2
A. 2
B. 3
知识回顾:
1.圆锥曲线的共同性质;
2.圆锥曲线的准线定义与方程的求解(标准形式); 3.轨迹方程的思考.(定义法与直接法)
y 2 2 px
p ( ,0 ) 2
x 2 2 py ( p 0)
p (0， ) 2
p y 2
练习:求下列曲线的焦点坐标和准线方程
(1) x2 2 y 2 4
(2)2 x2 4 y 2 1
( 2,0)
x 2 2
x 1
6 x 3 6 y 3
1 y 4
上一点P到左焦点的距离为14，求P点到右准线
的距离.
法一:由已知可得a=8，b=6，c=10.
因为|PF1|=14<2a , 所以P为双曲线左支上一点，
设双曲线左右焦点分别为F1、F2,P到右准线的距离
为d，则由双曲线的定义可得|PF2|-|PF1|=16，
所以|PF2|=30，又由双曲线第二定义可得
1 ( , 0) 2
6 ( , 0) 2
(3) x 2 y 1
2 2
(4)2 y 2 x2 4
(5) x2 y 0
(0, 6)
1 (0, ) 4 1 ( , 0) 2
(6) y 2 2 x 0
1 x 2
x2 y2 1 例2.已知双曲线 64 36
1、 椭圆的定义：
复习回顾
平面内到两定点 F1、F2 距离之和等于常数 2a (2a>|F1F2|）的点的轨迹
表达式 |PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|） 2 、双曲线的定义：
平面内到两定点F1、F2 距离之差的绝对值等于常数2a (2a< |F1F2| )的点的轨迹
表达式||PF1|-|PF2||=2a (2a<|F1F2|) 3、抛物线的定义：
| PF2 | e d
1 所以d= |PF2|=24 e
x2 y2 1 例2.已知双曲线 上一点P到左焦点 64 36
的距离为14，求P点到右准线的距离.
2a 2 分析 : 两准线间距离为 c
法二 : 设点P到左准线的距离为d 14 c 5 a 8, b 6, c 10, e d a 4 4 56 2a 2 2 64 64 d 14 又 5 5 c 10 5 2a 2 56 64 P到右准线的距离为 d 24 c 5 5
其中常数e叫做圆锥曲线的离心率, 定点F叫做圆锥曲线的焦点,
定直线l就是该圆锥曲线的准线.
x y 2 1(a b 0) 2 a b
l1 d1 y l2
2
2
x2 y2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
l1
y
l2 M2 P
M1
P
O
d2
M2 x F1
d2
F1
.
.
F2
平面内到定点F的距离和到定直线的距离相等的点的 轨迹 表达式|PF|=d (d为动点到定直线距离）
探究与思考:
若PF/d≠1呢?
在推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样 一个式子：
a cx a ( x c) y
2 2
2
将其变形为:
你能解释这个式子的几何意义吗？
c a 线 l:x 的距离的比是常数 (a>c>0),求P的 a c 轨迹.
练一练
1. 动点P到直线x=6的距离与它到点(2,1) 的距离之比为0.5,则点P的轨迹是 双曲线
2. 中心在原点,准线方程为 x 4 ,离心率为
x 4
1 2
1 2
的椭圆方程是
x2 y2 1 4 3
3. 动点P( x, y)到定点A(3,0)的距离比它到定直线 x=-5的距离小2,则动点P的轨迹方程是 y 2 12 x
圆锥曲线统一定义:
平面内到一定点F 与到一条定直线l 的距离之比为 常数 e 的点的轨迹.( 点F 不在直线l 上）
(1)当 0< e <1 时, 点的轨迹是椭圆. (2)当 e >1 时, 点的轨迹是双曲线. (3)当 e = 1 时, 点的轨迹是抛物线.
c a 线 l:x 的距离的比是常数 (c>a>0),求P的 a c 轨迹.
解:由题意可得:
变题:已知点 P(x,y) 到定点 F(c,0) 的距离与它到定直 2
( x c )2 y 2 a2 x c
c a
(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2) 即:(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2) 2 2 x y 2 2 2 令c -a =b ,则上式化为: 2 1(a 0, b 0) 2 a b
解:由题意可得:
例1.已知点 P(x,y) 到定点 F(c,0) 的距离与它到定直 2
( x c) 2 y 2 a2 x c
c a
(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2) 2 2 令a2-c2=b2,则上式化为: x y 1(a b 0) a 2 b2
化简得 所以点P的轨迹是焦点为(-c,0),(c,0),长轴长、 短轴长分别为2a,2b的椭圆.
y 来自百度文库 x2 2 1 2 a b (a b 0)
x2 y 2 2 1 2 a b (a 0, b 0)
y 2 x2 2 1 2 a b (a 0, b 0)
(0, c)
a2 y c
图形
标准方程 焦点坐标 准线方程
l l
l l
p x ( p 0) 2 2 p p y 2 px ( ,0) x ( p 0) 2 2 x 2 2 py p p y ( 0, ) ( p 0) 2 2
.
M1
O
.
F2 P′
x
d1
a 准线: x c
2
PF1 PF2 e 定义式: d1 d2
标准方程
x2 y2 2 1 2 a b ( a b 0)
图形
焦点坐标
准线方程
a2 x c a2 y c a2 x c
( c, 0) (0, c) ( c, 0)
选一选
1. 已知椭圆短轴长是2,长轴长是短轴长的2倍,则其中 心到准线距离是(
D)
B.
8 5 A. 5
4 5 5
2. 设双曲线的两条准线把两焦点间的线段三等分,则此 双曲线的离心率为(
8 3 C. 3
D.
4 3 3
B)
C.2 3
6 D. 2
A. 2
B. 3
知识回顾:
1.圆锥曲线的共同性质;
2.圆锥曲线的准线定义与方程的求解(标准形式); 3.轨迹方程的思考.(定义法与直接法)
y 2 2 px
p ( ,0 ) 2
x 2 2 py ( p 0)
p (0， ) 2
p y 2
练习:求下列曲线的焦点坐标和准线方程
(1) x2 2 y 2 4
(2)2 x2 4 y 2 1
( 2,0)
x 2 2
x 1
6 x 3 6 y 3
1 y 4
上一点P到左焦点的距离为14，求P点到右准线
的距离.
法一:由已知可得a=8，b=6，c=10.
因为|PF1|=14<2a , 所以P为双曲线左支上一点，
设双曲线左右焦点分别为F1、F2,P到右准线的距离
为d，则由双曲线的定义可得|PF2|-|PF1|=16，
所以|PF2|=30，又由双曲线第二定义可得
1 ( , 0) 2
6 ( , 0) 2
(3) x 2 y 1
2 2
(4)2 y 2 x2 4
(5) x2 y 0
(0, 6)
1 (0, ) 4 1 ( , 0) 2
(6) y 2 2 x 0
1 x 2
x2 y2 1 例2.已知双曲线 64 36
1、 椭圆的定义：
复习回顾
平面内到两定点 F1、F2 距离之和等于常数 2a (2a>|F1F2|）的点的轨迹
表达式 |PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|） 2 、双曲线的定义：
平面内到两定点F1、F2 距离之差的绝对值等于常数2a (2a< |F1F2| )的点的轨迹
表达式||PF1|-|PF2||=2a (2a<|F1F2|) 3、抛物线的定义：
| PF2 | e d
1 所以d= |PF2|=24 e
x2 y2 1 例2.已知双曲线 上一点P到左焦点 64 36
的距离为14，求P点到右准线的距离.
2a 2 分析 : 两准线间距离为 c
法二 : 设点P到左准线的距离为d 14 c 5 a 8, b 6, c 10, e d a 4 4 56 2a 2 2 64 64 d 14 又 5 5 c 10 5 2a 2 56 64 P到右准线的距离为 d 24 c 5 5
其中常数e叫做圆锥曲线的离心率, 定点F叫做圆锥曲线的焦点,
定直线l就是该圆锥曲线的准线.
x y 2 1(a b 0) 2 a b
l1 d1 y l2
2
2
x2 y2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
l1
y
l2 M2 P
M1
P
O
d2
M2 x F1
d2
F1
.
.
F2
平面内到定点F的距离和到定直线的距离相等的点的 轨迹 表达式|PF|=d (d为动点到定直线距离）
探究与思考:
若PF/d≠1呢?
在推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样 一个式子：
a cx a ( x c) y
2 2
2
将其变形为:
你能解释这个式子的几何意义吗？
c a 线 l:x 的距离的比是常数 (a>c>0),求P的 a c 轨迹.
练一练
1. 动点P到直线x=6的距离与它到点(2,1) 的距离之比为0.5,则点P的轨迹是 双曲线
2. 中心在原点,准线方程为 x 4 ,离心率为
x 4
1 2
1 2
的椭圆方程是
x2 y2 1 4 3
3. 动点P( x, y)到定点A(3,0)的距离比它到定直线 x=-5的距离小2,则动点P的轨迹方程是 y 2 12 x