人教版A版高中数人教版A版高中数学选修4-4全套PPT课件

2．解析法解题步骤 第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题 中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论． 3．体会用坐标伸缩变换研究图形伸缩变换的思想方法 (1)平面几何图形的伸缩变换可以归结为坐标伸缩变 换，学习中可结合坐标间的对应关系进行理解． (2)对于图形的伸缩变换问题，需要搞清新旧坐标，区 别x，y和x′，y′，点(x，y)在原曲线上，点(x′，y′)在变 换后的曲线上，因此点(x，y)的坐标满足原曲线的方 程，点(x′，y′)的坐标适合变换后的曲线方程．
自学导引
1．平面直角坐标系 (1)平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标(有序实数 对)，曲线与方程建立联系，从而实现数与形的结合． (2)坐标法：根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建 立它的方程，通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关 系． (3)坐标法解决几何问题的“三步曲”：第一步，建立适当坐 标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问 题转化成代数问题；第二步，通过代数运算，解决代数问 题；第三步，把代数运算结果“翻译”成几何结论．
【思维导图】
题型一 运用坐标法解决解析几何问题
【例1】 如图所示，圆 O1 与圆 O2 的半径都是
1，|O1O2|＝4，过动点 P 分别作圆 O1、圆 O2 的切线 PM、PN(M、N 分别为切点)，
使得|PM|＝ 2|PN|，试建立适当的坐标系， 并求动点 P 的轨迹方程．
[思维启迪] 本题是解析几何中求轨迹方程问题，由题意建立
解 法一 坐标法：以A为坐标原点O，AB所在的直线为
x轴，建立平面直角坐标系xOy，
则 A(0，0)，设 B(a，0)，C(b，c)，
则 AC 的中点 Eb2，2c，由对称性知 D(b－a，c)， 所以|AB|2＝a2，|AD|2＝(b－a)2＋c2， |AC|2＝b2＋c2，|BD|2＝(b－2a)2＋c2， |AC|2＋|BD|2＝4a2＋2b2＋2c2－4ab ＝2(2a2＋b2＋c2－2ab)， |AB|2＋|AD|2＝2a2＋b2＋c2－2ab， ∴|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)．
用下，点 P(x，y)对应到点 P′(x′，y′)，称 φ 为平面直角坐标
系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
想一想 如何理解点的坐标的伸缩变换？ 提示 在平面直角坐标系中，变换φ将点P(x，y)变换到 P′(x′，y′)．当λ>1时，是横向拉伸变换，当0<λ<1时，是横 向压缩变换；当μ>1时，是纵向拉伸变换，当0<μ<1时， 是纵向压缩变换．
标系，则O1(－2，0)，O2(2，0)．
由已知|PM|＝ 2|PN|，得|PM|2＝2|PN|2. 因为两圆的半径均为 1，所以|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1)． 设 P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]， 即(x－6)2＋y2＝33， 所以所求轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33(或 x2＋y2－12x＋3＝0)．
2．平面直角坐标系中的伸缩变换 (1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸 缩变换就可归结为坐标伸缩变换，这就是用代数方法研 究几何变换．
(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点 P(x，y)是平面
直角坐标系中任意一点，在变换__φ_：___xy_′′＝__＝_μ_yλ_，x_，_μ_>_λ0_>_0_的作
坐标系，写出相关点的坐标，由几何关系式：|PM|＝ 2|PN|， 即|PM|2＝2|PN|2，结合图形由勾股定理转化为 |PO1|2－12＝ 2(|PO2|2－12)．设 P(x，y)，由距离公式写出代数关系式，化简 整理可得．
解 以O1O2的中点O为原点，O1O2所在的 直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐
名师点睛
1．坐标系是现代数学中的重要内容，它在数学发展的历史上 起着划时代的作用．坐标系的创建，在代数和几何之间架 起了一座桥梁．利用坐标系，我们可以方便地用代数的方 法确定平面内一个点的位置，也可以方便地确定空间内一 个点的位置．它使几何概念得以用代数的方法来描述，几 何图形可以通过代数形式来表达，这样便可将抽象的代数 方程用形象的几何图形表示出来，又可将先进的代数方法 应用于几何学的研究． 建立直角坐标系，数形结合，我们可以解决许多数学问 题，如函数问题就常常需要借助直角坐标系来解决．
【反思感悟】 建立坐标系的几个基本原则：
①尽量把点和线段放在坐标轴上．
②对称中心一般放在原点．
③对称轴一般作为坐标轴．
【变式1】 已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与
圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
解 如图所示，设动圆 M 与圆 C1 及圆 C2 分别外切于
点 A 和 B，根据两圆外切的条件，得 |MC1|－|AC1|＝|MA|， |MC2|－|BC2|＝|MB|. ∵|MA|＝|MB|， ∴|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝2. 这表明动点 M 与两定点 C2、C1 的距离的差是常数 2. 根据双曲线的定义，动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 与 C2 的距离大，与 C1 的距离小)，这里 a＝1，c＝3， 则 b2＝8，设点 M 的坐标为(x，y)，其轨迹方程为 x2 －y82＝1 (x<0)．
题型二 用坐标法解决平面几何问题Байду номын сангаас
【例2】
在▱ABCD中，求证：|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)．
[思维启迪] 解答本题可以运用坐标方法，先在▱ABCD所在的平面内建立
平面直角坐标系，设出点A、B、C、D的坐标，再由距离公式完成证
明．也可以运用向量的线性运算以及数量积运算加以证明．
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平面直角坐标系
【课标要求】 1．了解平面直角坐标系的组成，领会坐标法的应用． 2．理解平面直角坐标系中的伸缩变换． 3．能够建立适当的直角坐标系，运用解析法解决数学问题．
【核心扫描】 1．对平面直角坐标系的应用以及坐标法的考查是本节热点． 2．本节内容常与方程、平面几何图形结合命题． 3．理解图形伸缩变换与坐标变换之间的关系．(难点)