4向量数乘运算及其几何意义作业
向量的数乘运算及其几何意义
3. 证明两直线平行的问题
课后思考
ED A
B
F
C
课后思考
D
EC
M
A
B
课后思考
小结:
一、①λa 的定义及运算律
②向量共线定理 (a≠0)
b=λa
向量a与b共线
二、定理的应用：
1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC 3. 证明 两直线平行:
A,B,C三点共线
r
r
r
思 与向考量题2ar:
向量 3a 与向量 有什么关系?
a 有什么关系? 向量
3a
r
r
(的1)3向倍量,即3a3的ar 方3向ar .与 a 的方向相同,
向量
r 3a
的长度是
r a
r
r
r
r
(2)向量3a的r方向r与 a 的方向相反, 向量3a的长度是 a
的3倍,即 3a 3 a .
定义:
一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，
结 论：
练习P90第4题
1. 有关向量共线问题
例 1.
例 2.
E
C
A
B
D
定理的应用 1. 有关向量共线问题 2. 证明三点共线问题
uuur uuur uuur r
AB BC(BC 0)
A、B、C三点共线 .
2. 证明三点共线的问题 例 3.
ar
r b
定理的应用 1. 有关向量共线问题 2. 证明三点共线问题
数乘向量的运算律：
结合律
a a
第一分配律 a a a
第二分配律 a b a b
例1：计算：
向量的点乘与叉乘的几何意义与计算方法
向量的点乘与叉乘的几何意义与计算方法向量是数学中的重要概念，它在几何学、物理学和工程学等领域中都有广泛的应用。
在向量运算中，点乘和叉乘是两个常见且重要的运算。
本文将探讨向量的点乘和叉乘的几何意义和计算方法。
一、向量的点乘向量的点乘，也称为内积或数量积，是两个向量之间的一种运算。
点乘的结果是一个标量，用于衡量两个向量之间的相似程度。
点乘的计算方法如下：设有两个向量A和B，A的坐标表示为(Ax, Ay, Az)，B的坐标表示为(Bx, By, Bz)。
则A和B的点乘结果为：A·B = Ax * Bx + Ay * By + Az * Bz点乘的几何意义是通过计算两个向量之间的夹角来衡量它们的相似程度。
具体来说，点乘的结果等于两个向量的模长乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
如果两个向量夹角为锐角，则点乘结果为正值；如果夹角为钝角，则点乘结果为负值；如果夹角为直角，则点乘结果为零。
点乘还有其他重要的应用，例如计算向量的投影。
通过点乘可以得到一个向量在另一个向量上的投影长度。
这在物理学中常用于计算力的分解和合成。
二、向量的叉乘向量的叉乘，也称为外积或向量积，是两个向量之间的一种运算。
叉乘的结果是一个新的向量，它与原来的两个向量都垂直，并且符合右手定则。
叉乘的计算方法如下：设有两个向量A和B，A的坐标表示为(Ax, Ay, Az)，B的坐标表示为(Bx, By, Bz)。
则A和B的叉乘结果为：A×B = (Ay * Bz - Az * By, Az * Bx - Ax * Bz, Ax * By - Ay * Bx)叉乘的几何意义是通过计算两个向量所构成的平行四边形的面积来衡量它们的相似程度。
具体来说，叉乘的结果的模长等于两个向量所构成平行四边形的面积，方向则由右手定则确定。
叉乘在几何学和物理学中有广泛的应用。
例如，在计算力矩时，可以利用叉乘来求解力和力臂之间的关系。
此外，叉乘还可以用于计算平面的法向量，用于求解直线和平面的交点等。
向量数乘运算及几何意义
总结向量数乘的应用
向量数乘在物理学、工程学、计算机图形学等领 域有着广泛的应用，例如在物理中描述速度和加 速度的变化，在工程中实现机器人的运动控制等 。
向量数乘运算及几何 意义
目录
CONTENTS
• 引言 • 向量数乘运算的定义和性质 • 向量数乘运算的几何意义 • 向量数乘运算的应用 • 结论
目录
CONTENTS
• 引言 • 向量数乘运算的定义和性质 • 向量数乘运算的几何意义 • 向量数乘运算的应用 • 结论
01
引言
01
引言
主题简介
向量数乘运算
机器人学
在机器人学中，向量数乘运算用于描述机器人的运动轨迹 和姿态。例如，通过标量积运算可以计算机器人的关节角 度和速度。
图形处理
在计算机图形学中，向量数乘运算用于描述图像的变换和 旋转。例如，通过将像素坐标向量进行数乘运算，可以实 现图像的缩放、旋转和平移等操作。
在工程中的应用
控制系统分析
在工程控制系统中，向量数乘运算用于分析系统的动态特 性。例如，通过标量积运算可以计算系统的传递函数和稳 定性。
其中u、v是向量。
零向量与任意向量数乘结果 仍为零向量，即0 * v = 0。
标量乘法的单位元是1，即1 * v = v。
03
向量数乘运算的几 何意义
03
向量数乘运算的几 何意义
向量数乘的几何表示
标量与向量的点乘
标量与向量点乘的结果是一个标量，表示向量在标量作用下的伸缩倍数。
标量与向量的叉乘
向量数乘运算及几何意义学案1
必修4 2．2．3 向量数乘运算及其几何意义【学习目标】1.能举例说明实数与向量积的定义及几何意义，能准确确定数乘后的向量的模及方向；2.掌握向量数乘的运算律，并会用它进行计算；3.理解两个向量共线的等价条件，能够运用共线条件判定两向量是否平行.【学习重点】实数与向量的积的定义、运算律.【难点提示】向量的数乘的定义、运算律的理解与运用.【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材8792P -结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组组织讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.【学习过程】 一、学习准备前面我们学习了向量有关知识，请对照上面知识网络，回顾其中知识内容，请对不熟悉的知识点进行复习，并填写在空白或横线处，同时思考下列问题：1.向量与实数（标量）的区别 ，向量与实数能进行加减运算吗？2.向量加法的运算法则 、 ，运算律 、 ；3.请同学们作出a a +；若2a =，则____a a +=；那么向量a a +能写成2a 吗？4.向量的减法 ，它是借用 来定义的？5.向量a 的相反向量是 ，其相反向量与原向量的本质关系是 ，向量b 的相反向量-b 实质就是向量b 乘以-1吗？3b 有怎样的意义吗？这就是本节课我们要探究的！二、学习探究 1.向量的数乘的定义：由上面“学习准备”中，我们知道向量b 的相反向量-b 实质就是向量b 乘以-1，3b 就是三个b 向量的和，0a a -=实质就是0a a a -=，a a +就是2a ，即2a a a +=，还有a a a a ----就是4a -等.若已知任意向量a ，请作出向量2a 、4a -，并观察它们与向量a 的长度、方向有何关系？并将你观察的结果发散思维，推广到一般情况！归纳概括 向量的数乘定义：一般地，实数λ与向量a 的积是 ，这种运算叫做向量的数乘，记作_____ _，它的长度和方向规定如下： （1）|λa |= |a |； （2）当0>λ时，_________________ ；当0<λ时，__________________；当0=λ时，_________________ ． 2.向量的数乘满足的运算律已知任意向量a 、b ，请作出向量2(3)a 、(23)a ⋅、2()22a b a b ++、，2()22a b a b --、并观察它们有怎样的关系？并将你观察的结果发散思维推广到一般情况！归纳概括 设λ，μ为任意实数，a 、b 为任意向量，则： （1）结合律：________________________（链接1）（2）分配律：①________________________;②______________________ __ 快乐体验 教材P90页练习1、2、3请作在书上.挖掘拓展 1.向量的数乘与实数的乘法的异同点在哪里？（链接1）2.向量的数乘运算的结果是 ，运算法则与 类似，其几何意义是？（链接2）3.向量本身具有“形” 和“数”的双重特点，在实数与向量的积的运算中，既要考虑模的大小，又要考虑方向，这就是向量线性运算数的 、也是数学的 思想的体现．（链接3）三、典例赏析例1.教材P88页的例5，请同学们先独立完成后在看教材的解答. 解:解后反思 该题的题型怎样？你的求解与教材一致吗？有易错点吗？ 变式练习 1.计算下列各式：（1）5(a+b)-4(a-b)-3a ；（2）2(2a+6b-3c)-3(-3a+4b-2c)2.若3ｍ＋2ｎ＝ａ，ｍ－3ｎ＝ｂ，其中ａ，ｂ是已知向量，求ｍ，ｎ.解：例2. 如图2.2.3-1， 凸四边形ABCD 的边AD 、BC的中点分别为E 、F ，求证EF ＝21(AB +DC ).解：解后反思 该题的题型怎样？求解时运用了哪些知识与思想方法？你对该题还有什么感悟没有？若把“凸四边形”的条件改为“梯形”或“三角形”呢？变式练习 已知O 是ABC △所在平面内一点,D 为BC 边中点,且2OA OB OC ++=0，那么（ ）Ａ.AO OD = ；Ｂ.2AO OD =；Ｃ.3AO OD =；Ｄ.2AO OD =. 例3. 教材P89页例7，请同学们先独立完成后在看教材的解答. 解:解后反思 该题的题型怎样？你的求解与教材一致吗？求解时运用了哪些知识 与思想方法？求解的关键在哪里？有易错点吗？变式练习 如图2.2.3-3，在△ABC 中，=a , =bAD 为边BC 的中线，G 为ABC ∆的重心，试用a ，b 向量表 示出向量． 解：四、学习反思1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，你的任务完成了吗？你讲的怎样？ 你提问了吗？我们的学习目标达到了吗？如：实数与向量的积的定义，实数与向量的积的运算律都掌握了吗？2.通过本节课的学习与课前的预习比较有哪些收获？有哪些要改进和加强的呢？3.本节课见到那些题型，都能求解了吗？你对本节课你还有独特的见解吗？本节课的数学知识与生活有怎样的联系？感受到本节课数学知识与课堂美在哪里吗？五、学习评价1.下列各式中不表示向量的是 （ ）CAFA ． 0·aB ．a+3bC ．|3a |D ．yx -1e ()y x R y x ≠∈且,, 2.在ABC ∆中，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，若=a ，=b ，则= （ ） A ．21(a+b) B ． 21(a-b) C ． 21(b-a) D ． 21-(a+b)3.以下等式中正确的是 ( )A ． a-a =0B ． 0·a=0C ． m-n=-(n-m)D ． |λm |=λ|m | 4.若|a |3=，b 与a 的方向相反，且|b|=5，则a = b 5.在ABC ∆中，E 为AC 上一点，=BC a ，=BA b ，EC AE 21=，若有向量a 、b 表示，则=6.如图2.2.3-4，已知向量a ，b ，c ， 求作向量c b a 2123+-． 解：7.计算：(1)3(5a-3b)-2(6a+b)；(2)4(a-3b+5c )-2(-3a-6b+8c ) （3）已知向量a ，b ，且3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)=0求x 解：8.教材P91页A 组6、10、11、12、13.选做题：如图2.2.3-5平面内有三个向量OA OB OC 、 、，其中OA 与O Ｂ 的夹角为120， OA 与OC 的夹角为30，且23OC ==1OA OB =若OC OA OB λμλμ=+∈ (,R)，则___λμ+=【学习链接】链接1.实数与向量的积的运算律：（1）()()a a λμλμ=（结合律）；（2）()a a a λμλμ+=+（第一分配律）；（3）a b λλλ+（a+b ）=（第二分配律）．链接2. 向量的数乘与实数的乘法的相同点：这两种运算都满足结合律和分配律； 不同点：实数的乘法的结果（积）是一个实数，而向量的数乘的结果是一个向量. 链接3. 运算结果是一个向量、与多项式的运算类似、几何意义在于向量的“形”. 链接4.几何意义、数形结合.图。
041向量数乘运算及其几何意义(1)
高一数学041 高一 年级 8 班 教师 方雄飞 学生 课题 2.2.3向量数乘运算及其几何意义（1）学习目标：理解向量的数乘运算及其意义，掌握向量数乘运算的运算律 学习过程 一．复习二．新课学习1、向量数乘运算：与数的乘法类似a+a+a=3a 一样a a a 3a =++实数λ与向量a →的积是一个 ，这种运算叫做向量的 。
记作 ，其长度与方向规定如下：2、向量数乘的运算律：()1a λμ→⎛⎫ ⎪⎝⎭= ()()2a λμ→+= ()3a b λ→→⎛⎫+= ⎪⎝⎭特别的有：()a λ→-= = ， a b λ→→⎛⎫-= ⎪⎝⎭。
三．新知应用练习1、下面给四个命题：①对于实数m 和向量a ，b 恒有：m （a －b ）= m a －m b②对于实数m 、n 和向量，恒有：（m －n ）a = m a －n a③若m a =m b （m ∈R ），则有：a =b④若m a =n a（m 、n ∈R ），则m = n其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4练习2、 已知a ，b 方向相同，且｜a ｜=3, ｜b ｜=7,｜2a －b｜= ．练习3、下列各式计算正确的有（ ）(1) (－7)6a →= —42a →(2) 7(a →+b →)－8b →=7a →+15b →(3) a →－2b →+a →+2b →=2a →(4) 若a →=m →+n →, b →=4m →+4n →,则a →∥b →A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例1、化简（1）826222a b c a b c a c →→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+--+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）)]24()82(21[31--+（3）()()m n a b m n a b →→→→⎛⎫⎛⎫+--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭练习4、如图，在平行四边形ABCD 中，两条对角线相交于O ，AB =a ，AD =b ，用a ，b表示向量OA ，OBB CABCACFB EDGAB 图1例3、在∆ABC 中，G 是∆ABC 的重心，证明：()=+13AG AB AC练习5、已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且20OA OB OC ++=，那么（ ）Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD = Ｃ．3AO OD = Ｄ．2AO OD =三、课堂小结四、课外作业一、选择题1、 设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是：（ ）A ．a 与a λ- 的方向相反B ．||||a a λ-≥C ．a 与2a λ 的方向相同 D ．||=||a a λλ-2、如图1所示，D 是ABC ∆的边AB 上的中点，则向量CD =（ ）A ．12BC BA -+B ． 12BC BA --C ． 12BC BA -D ． 12BC BA +3、如图△ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 边上的中线， G 是它们的交点，则下列等式中∙∙∙不正确的是（ ）A ．23BG BE =B ．12DG AG =C ．2CG FG =-D ．121332DA FC BC +=4、 点G 是ABC ∆内一点，且有0GA GB GC ++=，则G 是ABC ∆的（ ） A ．内心 B ．外心 C ．重心D ．垂心5、已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括A 、C ），则AP=（ ）A ．().(0,1)AB AD λλ+∈B．().AB BC λλ+∈C ．().(0,1)AB AD λλ-∈D ．().AB BC λλ-∈二、填空题6、已知向量a →，b →，且3()2(2)4()b →→→→→→→→++---+=0x a x a x a ，则→x =__________．7、四边形ABCD 中，若3AB e = ，5CD e =- ，且||||AD BC =，则四边形ABCD 是 .三、解答题8、△ABC 中，1,//4AD AB DE BC = ，且与边AC 相交于点E ，AM 为△ABC 的中线．设,,AB a AC b == 用,a b 分别表示向量,AM AE9、 已知的两条对角线AC 与BD 交于E ，O 是任意一点， 求证：+++=4。
人教A版数学高二向量的数乘运算及其几何意义精选试卷练习(含答案)4
)．
A． a0
B．|a |
2e8．设
e
1
，e是两个不共线的向量，若向量
2
C． 1 a
m
e
1
k
e
2
（
k
R
）与向量
n
2
2e1
共线，则
A． k 0
B． k 1
C． k 2
D． k 1 2
29．如果向量 a 与向量b 不平行，则与 a, b 都不平行的向量是 (
)．
A．3a 2b
48. 已知 x 是未知向量，解下列方程：
（1） 2x 3a (x 3b)
（2)） 20(x
a
) 3( 2 ax
49．如图所示，四边形OADB 是平行四边形，且 BM 3 BC ，1CN 13 CD ，设 OA a ，
OB b ，试用 a, b 表示OM ,ON, MN .
43．证明：若向量OA，OB，OC 的终点 A ，B，C共线，则存在实数，，且 1 ，
试卷第 5页，总 6页
使得OC OA OB ，反之也成立.
44．如图，在 ABC 中， BAC 60 ， BAC 的平分线交 BC 于点 D．若 AB 4
，
且 AD
AC A1BR，求 AD .
人教 A 版数学高二向量的数乘运算及其几何意义精选试卷练
学校:
姓名：
习（含答案)
班级：
考号：
评卷人 得分
一、单选题
1．已知轴上的单位向量 e ， a 3e ，则 a 在轴上的坐标为（ ）
A．3
B．-3
2．设点 P 为 ABC 内一点，且 2PA 2PB PC 0 ，则 SABP : SABC （
平面向量数乘运算及其意义试题(含答案)4
…………………………装…………………………订…………………………线…………………………向量数乘运算及其几何意义班级 姓名 学号 年级 学科 一、概念回顾（认真阅读课本第63,64,65页，回答下面问题）1．设实数 与量a 的积记为 ，它仍表示向量，它的长度是 ；它的方向是 ． 2．根据向量数乘的定义，可以证明向量数乘有如下运算律： （1） ；（2） ；（3） ．3．向量数乘与实数乘法有哪些相同点和不同点： 相同点 ； 不同点 ． 二、理解与应用 1．已知Rλ∈，则下列命题正确的是（ ） A ．a a λλ= B ．a a λλ=C ．a a λλ=D ．0a λ>2．已知E 、F 分别为四边形ABCD 的边CD 、BC 边上的中点，设AD a =u u u r ，BA b=u u u r ，则EFu u u r =（ ） A ．1()2a b + B ．1()2a b -+ C ．1()2a b -- D ．1()2b a -3．若a b c=+化简3(2)2(3)2()a b b c a b +-+-+（ ） A ．aB ．bC ．cD ． 以上都不对4．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、C ），则AP u u u r=（ ）A ．().(0,1)AB AD λλ+∈u u u r u u u rB ．().AB BC λλ+∈u u u r u u u rC ．().(0,1)AB AD λλ-∈u u u r u u u rD ．().(0,2AB BC λλ-∈u u u r u u u r5．已知m 、n 是实数，a 、b 是向量，对于命题： ①()m a b ma mb -=- ②()m n a ma na -=- ③若ma mb =，则a b =④若ma na =，则m n =其中正确命题为_____________________． 6．计算：（1）3(53)2(6)--+a b a b =__________； （2）4(35)2(368)-+---+a b c a b c =__________．7．已知向量a ，b ，且3()2(2)4()++---+=0x a x a x a b ，则x =__________．8．若向量x 、y 满足+=-=23,32x y a x y b ，a 、b 为已知向量，则x =__________； y =___________．…………………………装…………………………订…………………………线…………………………9．已知1e ，2e 是两个不共线的向量，122=-a e e ，12k =+b e e ．若a 与b 是共线向量，求实数k 的值．10．证明：如果存在不全为0的实数,s t ，使s t +=0a b ，那么a 与b 是共线向量；如果a 与b 不共线，且s t +=0a b ，那么0s t ==．11． 如图，已知：在四边形ABCD 中，M 、N 、E 、F 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．求证：四边形MNEF 是平行四边形．AD BC EF N12．如图，在∆ABC 中，G 是∆ABC 的重心，证明：()=+13u u u r u u u r u u u rAG AB AC。
向量数乘运算及其几何意义新
解释力和力矩的方向
在分析力学中，向量数乘可以用来解释力和力矩的 方向，以及它们对物体运动状态的影响。
描述磁场和电场的变化
在电磁学中，向量数乘可以用来描述磁场和 电场的变化，以及它们对电荷和电流的作用 。
在数学中的应用
描述向量的缩放
向量数乘可以用来描述向量的缩 放，即改变向量的长度而不改变 其方向。
实例分析
标量与向量的数乘实例
在二维平面中，假设有一个向量$overset{longrightarrow}{a} = (1,2)$，当标量为 $k = 2$时，数乘后的向量为$overset{longrightarrow}{b} = (2,4)$；当标量为$k = -3$时，数乘后的向量为$overset{longrightarrow}{c} = (-3,-6)$。
详细描述
向量数乘在数学中可以丰富数学理论体系，例如在解析几 何中，通过向量数乘运算可以描述平面几何图形的旋转和 缩放，从而丰富了平面几何的理论基础。
总结词
促进数学与其他学科的交叉融合
总结词
解决数学难题
详细描述
向量数乘在数学与其他学科的交叉融合中也有着重要的应 用，例如在生物力学中，通过向量数乘运算可以描述肌肉 收缩和骨骼运动的关系，从而促进了生物学和力学的交叉 融合。
在物理建模过程中，向量数乘运算可以简化复杂的物理模 型，例如在力学中，通过向量数乘运算可以描述力的合成 与分解，从而简化了对物体运动轨迹的分析。
详细描述
向量数乘在物理中有着广泛的应用，例如在电磁学中，通 过向量数乘运算可以描述电荷的运动轨迹和电场线的分布 ，从而揭示电磁现象的本质。
总结词
提高物理实验的精度
案例三：向量数乘在工程中的运用
人教A版数学高二向量的数乘运算及其几何意义精选试卷练习(含答案)1
，
3
则 ABC 面积的最大值是（ ）
A．1
B． 3
C．2
D． 2 3
9．在 ABC 中，D 为线段 AC 的中点，点 E 在边 BC 上，且 BE 1 EC ，AE 与 BD 2
交于点 O，则 AO （ ）
1
A．
1 AC
B． 1
1
AB
AB AC
C． 2
4
44
1
1 AC
10．已A知BO，N，P
29. 已知点 P 为 ABC 内一点， PA 2PB 3PC 0 ，则△APB，△APC，△BPC 的面
积之比为（ ）
A． 9 : 4 :1
B．1: 4 : 9
C．1: 2 : 3
D．3 : 2 :1
30.设 A ， B ， C 是平面内共线的三个不同的点，点 O 是 A ， B ，C 所在直线外任意
AC
2．已知 A，B，C是平面上不共线的三个点，若 AB AC ABAB
AC ，0, ，
AC
则△ABC 一定是( )
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等边三角形
D．锐角三角形
3.设 O 点在 ABC 内部，且有OA 2OB 3OC 0 ，则 ABC 的面积与△AOC
C． P 是 AB 边上的一个三等分点
D． P 是 AC 边上的一个三等分点
28．在 ABC 中，若 M 是线段 BC 的中点，点 P 在线段 AM 上，满足：
AM 1,PA 2PM ，则 PA PB PC 等于（ ）.
A． 4 9
B． 4 3
C． 4 3
D． 4 9
向量数乘运算及其几何意义
2023向量数乘运算及其几何意义contents •向量数乘运算的基本概念•向量数乘运算的几何意义•向量数乘运算在物理中的应用•向量数乘运算在数学中的拓展应用•向量数乘运算的实践应用案例目录01向量数乘运算的基本概念向量的定义零向量零向量记作0，是一个长度为0的向量，其所有分量都是0。
向量的模向量v的模记作|v|，定义为v的分量值的平方和的平方根。
向量的分量一个n维向量v可以表示为一个有序数组v = [v1, v2, ..., vn]，其中每个vi称为向量v的分量。
010203•向量数乘的定义：对于一个标量a和一个向量v，a数乘v的结果是一个向量，其每个分量是v的分量乘以a。
即，如果v = [v1, v2, ..., vn]，则av = [av1, av2, ..., avn]。
向量数乘的定义1向量数乘的运算性质23a(v + w) = av + aw，其中a是标量，v和w是向量。
标量与向量的数乘满足分配律a(bw) = (ab)vw，其中a和b是标量，v和w是向量。
向量数乘满足结合律av = (ab)v，其中a和b是标量，v是向量。
向量数乘满足交换律02向量数乘运算的几何意义向量的方向向量的方向与数乘的顺序有关向量数乘运算的结果与数乘的顺序有关，不同的顺序可能得到不同的结果。
例如，对于两个向量a和b，如果先对a进行数乘，再对结果进行加法运算，得到的结果与先进行加法运算，再对结果进行数乘是不同的。
数乘可以改变向量的方向如果一个向量与一个正数相乘，那么它的方向将与原向量相同；如果与一个负数相乘，那么它的方向将与原向量相反。
例如，对于两个向量a和b，如果a与正数k相乘，那么a的方向将与k的方向相同；如果a与负数k相乘，那么a的方向将与k的方向相反。
如果一个向量与一个正数相乘，那么它的长度将变为原向量的k倍；如果与一个负数相乘，那么它的长度将变为原向量的k分之一。
例如，对于两个向量a和b，如果a与正数k相乘，那么a的长度将变为原向量的k倍；如果a与负数k相乘，那么a的长度将变为原向量的k分之一。
向量的点乘和叉乘以及几何意义
向量的点乘和叉乘以及几何意义一、向量的点乘1.定义：向量的点乘，又称为数量积或内积，是两个向量之间的一种乘法运算。
对于两个n维向量a和b，它们的点乘定义为a·b = ，a，b，cosθ，其中，a，和，b，分别表示向量a和b的模的大小，θ表示a和b之间的夹角。
2.计算方法：（1）向量坐标表示计算方法：如果a=(a₁,a₂,...,aₙ)和b=(b₁,b₂,...,bₙ)是两个n维向量，它们的点乘可以用下面的公式来计算：a·b=a₁b₁+a₂b₂+...+aₙbₙ。
（2）向量模和夹角计算方法：如果，a，和，b，分别是向量a和b的模的大小，θ是向量a和b之间的夹角，则向量的点乘可以用下面的公式来计算：a·b = ，a，b，cosθ。
3.几何意义：（1）判断两个向量是否相互垂直：如果两个向量的点乘结果为0，即a·b=0，那么这两个向量相互垂直。
（2）计算向量在一些方向上的投影：如果向量a的模为，a，θ是a与b之间的夹角，那么向量a在向量b的方向上的投影长度为，a，cosθ。
（3）计算两个向量之间的夹角：如果向量a和b的点乘为a·b = ，a，b，cosθ，那么两个向量之间的夹角θ可以通过反余弦函数计算：θ = arccos(a·b / ，a，b，)。
二、向量的叉乘1.定义：向量的叉乘，又称为向量积或外积，是两个三维向量之间的一种乘法运算。
对于两个三维向量a和b，它们的叉乘定义为a×b = ，a，b，sinθn，其中，a，和，b，分别表示向量a和b的模的大小，θ表示a和b之间的夹角，n表示与a和b所在平面垂直的单位向量。
2.计算方法：向量的叉乘的计算可以利用行列式的方法进行计算：a×b=，ijk，，a₁a₂a₃，，b₁b₂b₃，其中，ijk，表示三个单位向量i、j、k所组成的行列式，a₁、a₂、a₃和b₁、b₂、b₃分别表示向量a和b的坐标。
向量的数乘及几何意义
向量的数乘及几何意义数乘是指将一个向量与一个标量相乘。
数乘运算可以用来改变向量的大小和方向，并且在几何上具有重要的意义。
首先，考虑一个向量v，并将其数乘一个正数k。
当k>1时，数乘会使得向量v的大小增大，但方向不变。
当k=1时，数乘不会改变向量v的大小和方向。
当0<k<1时，数乘会使向量v的大小减小，同时方向保持不变。
当k=0时，结果是一个零向量，其大小为零。
当k<0时，向量v被反向，并且大小也被取绝对值后增大。
因此，数乘可以使向量扩大、缩小、翻转。
在几何中，数乘具有以下几何意义：1.缩放：数乘可以用来缩放一个向量。
当数乘的绝对值大于1时，向量的大小会增大，而当绝对值小于1时，向量的大小会减小，但方向保持不变。
这意味着数乘可以用来缩放一个对象。
2.平行：当数乘为正数时，数乘后的向量与原向量的方向是相同的，它们是平行的。
当数乘为负数时，数乘后的向量与原向量的方向是相反的，它们也是平行的。
这意味着数乘可以用来判断两个向量是否平行。
3.方向：当数乘为负数时，数乘会将向量反转，即改变向量的方向。
这意味着数乘可以用来改变向量的方向。
4.零向量：当数乘为零时，结果是一个零向量，其大小为零。
这意味着数乘可以用来判断向量是否为零向量。
5.反向：当数乘为负数时，数乘会将向量反转，并且大小也会取绝对值后增大。
这意味着数乘可以用来使向量翻转。
6.平面的法向量：考虑一个向量v，它在x轴和y轴上的分量分别为vₓ和vᵧ。
如果将一个向量与一个数乘后的向量相加，结果为零向量，则这个数乘后的向量是由vₓ和vᵧ的相反数构成的。
这表明数乘后的向量是平面上法向量的一种表示方法。
总而言之，数乘在几何中具有重要的意义，它可以用来缩放、改变方向、判断平行性和零向量，以及使向量翻转。
这些几何意义使数乘成为向量运算中的一个重要操作。
高一数学必修4向量数乘运算及其几何意义学案
平行，任取两点确定两个向量，看能否找到唯一的实数
λ使两向量相等 .把向量平行的问题
转化为寻求实数 λ使向量相等的问题及数乘
例 1 设 a、b 为向量，计算下列各式 .
1
(1)- ×3a；
3
1
(2)2( a-b)-(a+ b)；
2
(3)(2m-n) a-m b-(m-n)( a-b)(m 、n 为实数 ).
图 2-2-36
∴(3) 式成立 .
误区警示 分类讨论的思想在数学中既是一个重要的策略思想，也是一个重要的思想方法
.
很多数学问题不仅在涉及的知识范围上带有综合性，
而且就问题本身来说， 也受到多种条件
的交叉制约， 形成错综复杂的局面， 很难从整体上着手解决， 这时， 就从 “分割 ”入手， 把 “整
体”划分为若干个 “局部 ”，转而去解决局部问题，最后达到整体上的解决
即( λ-2m) a+(1- mλ)b =0.
2m 0,
∴
1 m 0.
解得 λ=± 2 .
例 3 如图 2-2-37 所示，在平行四边形 ABCD 中， AD =a， AB =b，M 是 AB 的中点，点 N
是
BD
上一点，
|BN|=
1
|BD|. 求证：
M 、 N、 C 三点共线
时， λa=0.实数与向量的积的定义可以看作是数与数的积的概念的推广，
λa 是一个向量，其
长度 | λa|=| λa|，| 其方向与 λ的符号有关，应注意 0a=0 而不是实数 0.
2.向量的数乘的几何意义 由实数与向量积的定义可以看出，
缩.
它的几何意义就是将表示向量
a 的有向线段伸长或压
高中数学——必修四-向量数乘运算及其几何意义
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思 想 方 法 技 巧
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业新课标 ·数学 必修4教 Nhomakorabea学
思
教
想
法
方
分
法
析
技
巧
教
学
方
案
1.掌握向量的数乘运算及其几何意义．(重点)
设 计
课标
2.掌握向量共线定理的应用．(难点)
当 堂 双
课
解读
基
教 学 教 法 分 析
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向量的数乘及几何意义
向量的数乘及几何意义首先，数乘可以用于描述向量的数量特征。
对于一个向量A = (a1,a2, ...,an)，它的数乘kA = (ka1, ka2, ..., kan)，其中k是一个数。
数乘可以改变向量的大小，当k > 1时，向量的大小会增大；当k < 1时，向量的大小会缩小；当k = 0时，向量会变为零向量。
这个特性使得数乘可以用于描述向量的缩放效果。
其次，数乘还可以用于推导向量的几何性质。
假设有两个向量A和B，在数学中可以证明以下几何性质：1.数乘的交换律：k(A+B)=kA+kB。
这个性质说明了数乘对向量的线性运算。
即两个向量之和的数乘等于分别对每个向量进行数乘后再相加。
2.数乘的结合律：(k1k2)A=k1(k2A)。
这个性质说明了数乘的运算是可结合的。
即连续进行两次数乘的结果与将两个数乘因子相乘再对向量进行数乘的结果相同。
3. 数乘的单位向量：kį = (ka1, ka2, ..., kan)。
这个性质说明了单位向量与数乘之间的关系。
即单位向量的每个分量等于将数与向量的各个分量相乘后得到的向量。
利用数乘的几何性质，可以帮助我们推导出一些向量的几何意义。
以下是数乘的一些几何意义：1.向量的平移：当数乘k>0时，等式kA可以表示向量A的平移。
向量A的平移kA代表了将向量A移动到离原点O的距离为，k，倍的位置。
2.向量的伸缩：当数乘k>1时，等式kA可以表示向量A的伸缩。
向量A的伸缩kA代表了将向量A的大小按比例增大k倍。
3.向量的反向：当数乘k<0时，等式kA可以表示向量A的反向。
向量A的反向kA代表了将向量A方向反转180°，同时改变其大小。
4.零向量：当数乘k=0时，等式kA可以表示零向量。
零向量是一个特殊的向量，它的大小为0，方向为任意。
虽然向量的数乘在数学中有很多定义和性质，但它们的几何意义可以被统一地描述为向量的平移、伸缩、反向和零向量。
向量的数乘不仅在理论数学中有重要的地位，也在实际应用中起到了至关重要的作用。
人教A版必修四 向量数乘运算及其几何意义 课时作业
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义A 级 基础巩固一、选择题1．下列各式计算正确的个数是( )①(－7)×6a ＝－42a ；②a －2b ＋2(a ＋b )＝3a ；③a ＋b －(a ＋b )＝0. A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：根据向量数乘的运算律可验证①②正确；③错误，因为向量的和、差及数乘运算的结果仍为一个向量，而不是实数．答案：C2．如图，在△ABC 中，点D 是边AB 的中点，则向量DC →＝( )A.12BA →＋BC → B.12BA →－BC → C ．－12BA →－BC →D ．－12BA →＋BC →解析：因为D 是AB 的中点，所以BD →＝12BA →，所以DC →＝BC →－BD →＝BC →－12BA →.答案：D3．已知非零向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，DD ．A ，C ，D解析：因为AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，所以AC →＝AB →＋BC →＝－4a ＋8b ，BC →＋CD →＝2a ＋4b ＝BD →＝2AB →，所以A ，B ，D 三点共线．答案：A4．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( )A.PA →＋PB →＝0B.PC →＋PA →＝0 C.PB →＋PC →＝0D.PA →＋PB →＋PC →＝0解析：如图，因为BC →＋BA →＝2BP →，所以P 是线段AC 的中点，所以PA →＝－PC →，即PC →＋PA →＝0.答案：B5．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线交DC 于点F ，若AB →＝a ，AD →＝b ，则AF →＝( )A.13a ＋b B.12a ＋b C ．a ＋13bD ．a ＋12b解析：由已知条件可知BE ＝3DE ， 所以DF ＝13AB ，所以AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋13AB →＝13a ＋b .答案：A 二、填空题6．若|a |＝5，b 与a 的方向相反，且|b |＝7，则a ＝______b . 解析：因为|a |＝5，|b |＝7，所以|a ||b |＝57，又方向相反，所以a ＝－57b .答案：－577．(2015·课标全国Ⅱ卷)设向量a ，b 不平行，向量λ a ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________．解析：因为λ a ＋b 与a ＋2b 平行，所以λ a ＋b ＝t (a ＋2b )，即λ a ＋b ＝t a ＋2t b ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，t ＝12. 答案：128．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m的值为________．解析：因为MA →＋MB →＋MC →＝0，所以点M 是△ABC 的重心，所以AB →＋AC →＝3AM →，所以m ＝3.答案：3 三、解答题9．已知A ，B ，P 三点共线，O 为直线外任意一点，若OP →＝xOA →＋yOB →，求x ＋y 的值． 解：设AB →＝BP →，则OB →＝OA →＋AB →，则OP →＝OB →＋BP →＝OA →＋AB →＋BP →＝ OA →＋OB →－OA →＋a (OB →－OA →)＝OB →(1＋a )－aOA → 所以x ＋y ＝1＋a －a ＝1.10．已知e ，f 为两个不共线的向量，且四边形ABCD 满足AB →＝e ＋2f ，BC →＝－4e －f ，CD →＝－5e －3f .(1)将AD →用e ，f 表示； (2)求证：四边形ABCD 为梯形．(1)解：根据向量的线性运算法则，有AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(e ＋2f )＋(－4e －f )＋(－5e －3f )＝(1－4－5)e ＋(2－1－3)f ＝－8e －2f .(2)证明：因为AD →＝－8e －2f ＝2(－4e －f )＝2BC →， 所以AD →与BC →同向，且AD →的长度为BC →长度的2倍， 所以在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ≠BC ， 所以四边形ABCD 是梯形．B 级 能力提升1．如图，△ABC 中，AD ，BE ，CF 分别是BC ，CA ，AB 上的中线，它们交于点G ，则下列各等式中不正确的是( )A.BG →＝23BE →B.CG →＝2GF →C.DG →＝12AG →D.13DA →＋23FC →＝12BC → 解析：因为G 是△ABC 的重心，所以BG ＝23BE ，CG ＝2GF ，DG ＝12AG ，所以BG →＝23BE →，CG →＝2GF →，DG →＝－12AG →，所以13DA →＋23FC →＝DG →＋GC →＝DC →＝12BC →.所以C 不正确．答案：C2．若AP →＝tAB →(t ∈R)，O 为平面上任意一点，则OP →＝________(用OA →，OB →表示)． 解析：AP →＝tAB →，OP →－OA →＝t (OB →－OA →)，OP →＝OA →＋tOB →－tOA →＝(1－t )OA →＋tOB →. 答案：(1－t )OA →＋tOB →3．设a ，b 是不共线的两个非零向量．(1)若OA →＝2a －b ，OB →＝3a ＋b ，OC →＝a －3b ，求证：A ，B ，C 三点共线； (2)若8a ＋kb 与ka ＋2b 共线，求实数k 的值；(3)若OM →＝ma ，ON →＝nb ，OP →＝α a ＋β b ，其中m ，n ，α，β均为实数，m ≠0，n ≠0，若M ，P ，N 三点共线，求证：αm ＋βn＝1. (1)证明：因为AB →＝OB →－OA →＝(3a ＋b )－(2a －b )＝a ＋2b ， 而BC →＝OC →－OB →＝(a －3b )－(3a ＋b )＝－(2a ＋4b )＝－2AB →， 所以AB →与BC →共线，且有公共点B ，所以A ，B ，C 三点共线． (2)解：因为8a ＋kb 与ka ＋2b 共线， 所以存在实数λ，使得8a ＋kb ＝λ(ka ＋2b )，即(8－λk )a ＋(k －2λ)b ＝0.因为a 与b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧8－λk ＝0，k －2λ＝0，解得λ＝±2，所以k ＝2λ＝±4.(3)证明：因为M ，P ，N 三点共线，O 为直线外一点，所以存在实数x ，y ，使得OP →＝xOM →＋yON →，且x ＋y ＝1.又因为OP →＝α a ＋β b ，且a ，b 不共线，所以OP →＝xma ＋ynb ＝α a ＋β b ，所以xm ＝α，yn ＝β， 所以αm ＋βn＝x ＋y ＝1.。
数学4223向量数乘运算及其几何意义作业
数学4223向量数乘运算及其几何意义作业一、向量的数乘运算向量的数乘运算是指一个向量与一个实数相乘的运算。
具体而言，设a是一个向量，k是一个实数，则向量ka是一个新的向量，它的每个分量都是原向量a对应分量的k倍。
即ka = (ka1, ka2, ka3, ..., kan)其中ai表示原向量a的第i个分量，n为向量a的维数。
这种数乘运算具有以下性质：1.结合律：(k1k2)a=k1(k2a)，其中k1、k2为实数，a为向量。
2.分配律：(k1+k2)a=k1a+k2a，其中k1、k2为实数，a为向量。
3. 分配律：k(a+b) = ka + kb，其中k为实数，a、b为向量。
4.数乘的零元：0a=0，其中0表示全为0的零向量。
5.数乘的幺元：1a=a，其中1为实数。
二、向量数乘的几何意义向量的数乘运算在几何中具有重要的意义，主要有以下几个方面：1. 伸缩变换：向量的数乘运算可以看作对向量的伸缩变换。
当k>1时，ka的长度变为原向量a的长度的k倍；当0 < k < 1时，ka的长度变为原向量a的长度的k倍，并朝原向量的相反方向。
当k < 0时，ka 的长度与a相等，但方向正好相反。
因此，向量的数乘运算可以实现对向量的拉长、缩短、方向调整等操作。
2. 平行关系：对于两个非零向量a和b，如果存在实数k，使得a = kb，那么它们就是平行向量。
其中的实数k称为两个向量的比，它代表了向量的长度比例。
当k > 0时，表示两个向量同方向；当k < 0时，表示两个向量反方向。
因此，向量的数乘运算可以用来判断向量的平行关系，以及计算向量之间的长度比例。
3. 特殊点：当k = 0时，ka = 0，即零向量。
这说明任何向量与0的数乘结果都是零向量。
而当k = 1时，ka = a，即向量与1的数乘结果等于该向量本身。
因此，向量的数乘运算可以使向量零化，也可以使向量保持不变。
4.数乘运算与线性组合：物理学上有许多量是向量，如力、速度等，在物理问题中，常常需要进行线性组合操作。
必修四向量数乘运算及其几何意义
成立
向量共线定理：
向量a(a 0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数, 使b a.
即a与b共线
b a (a 0)
思考:1) a 为什么要是非零向量?
2) b 可以是零向量吗?
例2.如图：已知 AD 3 AB，DE 3BC，试判断 AC与 AE
O
C
3b
B
2b
A
且有公共点Ａ b a
O
方法小结:
证明三点共线的方法:
AB=λBC
且有公共点Ｂ
A,B,C三点共线
例4.如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且
AB a, AD b ，你能用 a 、b 来表示 MA、MB、MC 和 MD 。
D
C
M
b
A
a
B
小结:
一、①λa 的定义及运算律
设e1, e2是两个不共线的向量，AB 2e1 ke2,CB e1 3e2, CD 2e1 e2 ，若A、B、D三点共线，求k的值.
书本P92，A组，12、13 （提示：连结AC）
（2）当 0时， a 的方向与 a 的方向相同；
当 0时， a 的方向与 a 的方向相反。
特别的，当 0 时， a 0.
(1) 根据定义，求作向量3(2a)和(6a) (a为 非零向量)，并进行比较。
a
3(2a)
3(2a)
=
6a
(a) ()a
(2) 根据定义，求作向量(2+3)a和2a +3a (a 为非零向量)，并进行比较。
你能说明它们的几何意义吗？
a
3a a a a
O
数乘
＝ke1＋8e2＋3(e1－e2)＝(k＋3)e1＋5e2.
∵A，B，D三点共线，∴存在唯一实数λ，使 ＝λ ，
即e1＋e2＝λ[(k＋3)e1＋5e2]，e1＋e2＝λ(k＋3)e1＋5λe2，即[λ(k＋3)－1]e1＝(1－5λ)e2.
又e1、e2不共线，∴ 则
∴k＝2.
（2）、新课导学
学习探究
问题：
实数 与向量 的积是一个向量，记作 .
（3）典型例题
例1、计算：(1)3(6a＋b)－9(a＋ b)；
(2) [(3a＋2b)－(a＋ b)]－2( a＋ b)；
(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.
小结：化简向量代数式就像计算多项式一样去合并同类项。
例2.如图：已知 ， ，试判断 与 是否平行．
A．A，B，DB．A，B，C
C．B，C，DD．A，C，D
解析：选A. ＝ － ＝ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝(7a－2b)＋(a＋2b)＋(－5a＋6b)＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3 .因为 与 有公共点A，所以A，B，D三点共线．
5.下面几个命题：
①对于实数m和向量a、b，恒有m(a－b)＝ma－mb；
②对于实数m、n和向量a，恒有(m－n)a＝ma－na；
③对于实数m和向量a、b，若ma＝mb，则a＝b；
④对于实数m、n和向量a，若ma＝na，则m＝n.
其中正确命题的个数是()
A．4B．3
C．2D．1
解析：选C.由向量的数乘运算律，知①②均正确．
对于③，若m＝0，由ma＝mb，未必一定有a＝b，错误．
三、总结提升
学习小结
1. 与 的积还是向量， 与 是共线的；
2．判断向量a与b是否共线的方法是：判断是否有且只有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)．
向量数乘运算及几何意义
思 考 ： a与 a有 何 关 系 ？ (a 0)
如 果 b a , 那 么 a , b是 共 线 向 量
思 考 2 ：反 过 来 ， 如 果 a 与 b 是 共 线 向 量 ， 那 么 b a？
共线向量基本定理：
向量 b 与非零向量 a 共线当且仅当
例 1： 判 断 下 列 说 法 是 否 正 确
(1 ) 实 数 与 向 量 a的 和 + a 与 - a 是 向 量 ( 2 ) 对 于 非 零 向 量 a， 向 量 - 3 a 与 向 量 3 a 方 向 相 反 ( 3 ) 对 于 非 零 向 量 a， 向 量 - 6 a的 模 是 向 量 3 a的 模 的 2倍
有唯一一个实数 ，使得 b a 思考:1) a 为什么要是非零向量? 2) b 可以是零向量吗?
例 2 、 判 断 下 列 各 小 题 中 向 量 a 与 b是 否 共 线 ：
(1)a 2e, b 2e;
(2)a e1 e2 , b 2e1 2e2 ;
例 3 ： 如 图 : 已 知 A D 3 A B， D E 3 B C .试 判 断 A C 与 AE是 否 共 线 .
( 第二分配律
)
向量的加、减、数乘运算统称为向量 的线性运算。
例 1： 计 算
(1 ) ( 3 ) 4 a ( 2 )3(a b c ) 2(a b 2 c ) a
例 2： 把 下 列 各 题 中 的 向 量 b 表 示 为 实 数 与 向 量 a的 积
(1 ) a 3 e , b 6 e ;
AB CD AB // CD AB 与 CD 不在同一直线上 直线 AB // 直线 CD