上海辅导班奥数课程第三讲等差数列及其应用_新王牌教育
等差数列的性质与应用
等差数列的性质与应用等差数列（Arithmetic Progression，简称AP）是数学中的重要概念之一，它是一种具有特定规律的数列。
本文将介绍等差数列的性质及其在实际问题中的应用。
一、等差数列的定义等差数列是指具有相同公差的数列。
公差（common difference）是指相邻两项之差的固定值，用d表示。
一般情况下，等差数列的首项用a1表示。
例如，数列1，4，7，10，13是一个等差数列，其公差为3，首项为1。
二、等差数列的性质1. 公差确定等差数列的性质之一是公差确定了数列的规律。
通过公差的取值，可以唯一确定一个等差数列。
2. 通项公式等差数列可以由通项公式来表示。
通项公式（general term formula）用an表示等差数列的第n项，首项为a1，公差为d，则通项公式可以表示为：an = a1 + (n-1)d。
通过通项公式，我们可以直接计算等差数列中的第n项的数值，而不需要一个一个进行递推。
3. 前n项和公式等差数列的前n项和公式（sum of the first n terms）是指等差数列的前n项和的计算公式。
设Sn表示等差数列的前n项和，则有Sn =(a1+an) * n / 2。
前n项和公式的应用非常广泛，可以用于计算各种等差数列的和，简化计算过程。
三、等差数列的应用等差数列是数学在实际问题中的重要应用之一，广泛用于各种领域。
1. 财务规划在财务规划中，我们经常需要计算一系列年度投资或者收益的总和。
如果投资或者收益之间存在固定的增长或者减少幅度，那么可以使用等差数列的前n项和公式来计算总和。
通过这种方式，可以快速计算出未来的财务状况。
2. 人口统计人口统计学中，经常需要计算一段时间内的人口总数或者增长率。
如果人口每年按照相同的比例增长或者减少，那么可以使用等差数列的前n项和公式来计算总数。
这在城市规划、人口迁移研究等领域中具有重要意义。
3. 流程控制在控制工程中，常常需要设计各种流程控制方案。
等差数列的应用
等差数列的应用等差数列是数学中常见且重要的数列形式，有着广泛的应用。
它可以在各个领域中帮助我们解决问题，从数学中的求和公式到实际中的应用，都离不开等差数列。
一、等差数列的定义和性质等差数列是指数列中相邻两项之间差值保持恒定的数列。
假设等差数列的首项为a，公差为d，则第n项可以表示为an = a + (n-1)d。
其中，a为首项的值，d为相邻两项的差值。
等差数列的性质主要有以下几点：1. 公差d是等差数列中相邻两项的差值，可以用来计算数列的通项公式。
2. 等差数列的前n项和可以通过求和公式Sn = (a + an)n/2来计算，其中Sn表示前n项的和。
3. 等差数列的前n项和与项数n的关系可以表示为Sn = n/2(2a + (n-1)d)，其中a为首项的值，d为公差。
二、等差数列在数学中的应用1. 求和公式等差数列的求和公式是一种常见的数学公式，在数学中具有重要的意义。
通过该公式，我们可以快速计算出等差数列的前n项和，从而简化计算过程。
2. 推导数列的通项公式通过等差数列的通项公式，我们可以推导出数列中任意项的数值。
这对于在解题过程中快速计算数列项非常有帮助。
三、等差数列在实际生活中的应用1. 财务规划在财务规划中，等差数列可以帮助我们更好地安排投资和理财计划。
通过等差数列的概念，我们可以计算出未来每一期的投资金额，从而实现资金的稳定增长。
2. 等差数列在计算机编程中的应用等差数列在计算机编程中也有广泛的应用。
例如，在循环结构中，等差数列的概念可以帮助我们控制循环次数和每次循环的数值变化。
3. 城市规划在城市规划中，等差数列的概念可以帮助我们合理规划道路网和公共设施的布局。
通过等差数列的性质，我们可以计算出每个节点之间的距离和关联性，从而实现城市规划的合理布局。
四、总结等差数列作为数学中的重要概念，不仅在数学领域中有着广泛的应用，还可以在生活和实际问题中帮助我们解决各种难题。
通过掌握等差数列的性质和应用，我们可以更好地理解和应用数学知识，提高解决实际问题的能力。
等差数列的应用
等差数列的应用等差数列是数学中常见且重要的一种数列。
它在日常生活和科学研究中有着广泛的应用。
本文将介绍等差数列的定义、性质以及其在各个领域中的应用。
首先，我们来了解一下什么是等差数列。
等差数列是由一系列的数按照等差递增或递减排列而成的数列。
其中，等差公差表示相邻两项之间的差值，通常用字母d表示。
等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中n表示数列中的第n项，a1为首项。
例如，1，3，5，7，9就是一个以2为公差的等差数列，通项公式为an = 1 + 2(n-1)。
等差数列具有以下几个性质：首先，数列的前n项和Sn可以通过求和公式Sn = (n/2)(a1+an)来计算。
其次，如果等差数列的公差为d，那么数列中任意三项的公差都是d。
再次，如果等差数列的公差为d，那么数列中任意两项的和等于数列中其他两项的和。
最后，如果等差数列的公差为d，那么数列中任意两项的平均值等于数列中的中项。
等差数列在各个领域中都有着广泛的应用。
首先，在金融领域中，等差数列被广泛应用于利率计算、投资回报率计算以及贷款计算等方面。
通过等差数列的概念和计算方法，可以帮助人们更好地理解和计算金融产品的利益和风险。
其次，在物理学领域中，等差数列可以被用来描述物体在匀速直线运动中的位置和速度变化规律。
通过等差数列的公式和性质，可以更加准确地计算物体的位移和速度。
再次，在计算机科学领域中，等差数列可以被用来优化算法和数据结构。
通过利用等差数列的规律和特性，可以使算法和数据结构的时间和空间复杂度得到优化，提高计算机程序的执行效率。
最后，在生活中，等差数列可以被用来解决一些实际问题，如车辆的速度变化、人口增长、物品价格的涨跌以及行程时间的计算等等。
总之，等差数列是数学中一个重要的概念，具有丰富的应用价值。
通过对等差数列的定义、性质以及在各个领域中的应用的介绍，我们可以更好地理解和应用等差数列。
在实际问题中，我们可以通过应用等差数列的知识，解决一些复杂的计算和分析问题，提高我们的数学思维和解决问题的能力。
黄浦新王牌 暑假辅导班 奥数提高班讲义 卜F老师
第1讲 整数计算整数计算是一切求值计算的基础，是小学数学学习的主要内容。
整数计算要求准确、灵活，这就需要正确，熟练的掌握计算法则，灵活、综合运用运算定律、性质和巧算、速算的规律。
准确快捷的进行整数计算，还需要对智力的开发和培养。
从观察数据的特征到计算方法的选择，无不需要认真思考。
总而言之，计算总是并非是只侧重于技能而轻思维的智力问题，从某种意义上说，计算问题是智力和非智力的综合问题，而整数计算更是这一问题的基础。
【例1】计算:1357911199719992001-+-+-++-+〖Lx1〗200920082007200620054321+--+++--+【例2】计算:11192199319994199995++++〖Lx2〗899998+89998+8998+898【例3】计算: 知识点拨典型例题99999222223333333334⨯+⨯〖Lx3〗99999777783333366666⨯+⨯【例4】下面是两个1989位整数相乘198911989911119999⨯个个问乘积中有几位奇数〖Lx4〗9939833333334⨯个个【例5】计算:13171719181759193717÷+÷+÷+÷+÷〖Lx5〗673268+5494555÷÷【例6】计算:20019919919819819719719621⨯-⨯+⨯-⨯++⨯〖Lx6〗计算:123234345456567678+++++【例8】计算:106106106105106105⨯-⨯〖Lx8〗2357111317⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 它的积中所有数位上的数字和是多少？1. 计算（1）由2、5、8所组成的所有三位数的和是多少？（2）由2、5、0所组成的所有三位数的和是多少？2. 计算:253214362125⨯÷+÷⨯3. 计算：234106107106543++++++++++4. 计算：()()24620001351999++++-++++思维训练5.计算：111111999999999999777777⨯+⨯6.计算：()()1234910272524⨯⨯⨯⨯⨯⨯÷⨯⨯++++++++++7.2341061071065438.计算：1200722007320072006200720072007÷+÷+÷+÷+÷9.计算：19961997199719961996199619971997⨯-⨯10.计算：1×2×3×……×1001×1002末尾有几个“0”？。
等差数列的应用课件
在等差数列{an}中，若 S4＝1，S8＝4，则 a17＋a18＋a19＋a20 的值为( )
A．9
B．12
C．16
D．17
【解析】 由等差数列的性质知 S4，S8－S4，S12－S8，…也 构成等差数列，不妨设为{bn}，且 b1＝S4＝1，b2＝S8－S4＝3， 于是可求得 b3＝5，b4＝7，b5＝9，即 a17＋a18＋a19＋a20＝b5＝9.
【解】 ∵数列{an}是首项为 1，公差为 1 的等差数列． ∴Sn＝n＋nn2－1×1＝12n2＋12n， ∴S1n＝nn2＋1＝21n－n＋1 1， ∴S11＋S12＋S13＋…＋S1n
＝21－12＋12－13＋…＋1n－n＋1 1 ＝21－n＋1 1＝n2＋n1.
裂项相消法求和
n∈N*)．
依题中条件知Smm、S22mm、S33mm成等差数列， 所以 2·S22mm＝S33mm＋Smm. 所以 S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210. (2)设等差数列{an}共 2n＋1 项，公差为 d，则奇数项有 n＋1 项，偶数项有 n 项，中间项是第 n＋1 项，即 an＋1， 则SS偶 奇＝ ＝aa21＋ ＋aa43＋ ＋aa65＋ ＋… …＋ ＋aa22nn＝ ＋1＝3344 ∴S 奇－S 偶＝a1＋nd＝an＋1＝11， 即中间项 an＋1＝11.
∵an－11·an＝1dan1－1－a1n， ∴Tn＝1da11－a12＋a12－a13＋…＋an1－1－a1n ＝1da11－a1n＝na－1a1n .
2．常用到的裂项公式有如下形式：
(1)nn1＋k＝1k1n－n＋1 k；
(2)
1 n＋k＋
n＝1k(
n＋k－
n)．
本例中若把条件改为“a1＝1，d＝1”，其他都不变，试求 解之．
上海辅导班奥数课程第二讲等差数列_新王牌教育
第2讲等差数列按一定次序排列起来的一列数叫数列。
数列中的每个数叫项，第一项叫首项，最后一项叫末项。
如果一个数列的相邻两个数的差都相等，那么这个数列称为等差数列，这个相等的差叫公差。
（1）4，7，10，（），16，19……（2）2，6，10，14，（），20……〖Lx1〗（1）1，4，7，10，（），……（2）2，7，12，17，（）……【例2】计算1＋2＋3＋4＋………＋34〖Lx2〗计算1+2+3+……+99+100【例3】计算10＋12＋14＋……＋98＋100〖Lx3〗计算1+3+5+……+83+85【例4】计算1＋4＋7＋……＋100〖Lx4〗计算2+5+8+……+26+29【例5】计算（3＋4＋5＋6＋……＋15）÷13〖Lx5〗计算（1+2+3+……+99+100）÷100【例6】计算（2+4+……+100）－（1+3+5+……+97+99）〖Lx6〗计算2000-3-6-9-…-51-54；【例7】求等差数列2，5，8，11，···的第10项和第100项〖Lx7〗求等差数列3，7，11，···的第7项和第26项。
【例8】在等差数列2，9，16，···中，问：149是第几项？〖Lx8〗在等差数列2，6，10···中，402是第几项？（1）3，5，7，9，（），……（2）15，30，45，60，（）……2. 计算2＋3＋4＋……＋1013. 计算15＋17＋19＋……＋954. 计算33+36+39+……+995. 计算（2+4+6+……+98）÷1006.（100-2-4-6-……18）÷107.求等差数列2，8，14，20，……的第16项和第21项8有一列数：1，5，9，13，17，21……问：（1）第1000个数是几？（2）4921是第几项？9. 一个等差数列的第一项是5.6，第六项是20.6，求它的第四项是（）10.在644,895中间插入一个数，使三个数形成等差数列。
浦东新王牌教育 晋s老师 等比数列求和 数学暑假补习班
等比数列求和【知识精要】1、等比数列：1(2)nn a q n a -=≥ 2、等比中项：如果三个数成等比数列，那么等比中项的平方等于另两项的积（2G =ab ）错误！未找到引用源。
注:等比数列任意项都不为04、前n 项和公式：1(1)1n n a q S q-=-或1(1)1n na a q S q q -=≠-1n S n a =（q=1）说明：（1）等比数列求前n 项和，应关注公比是否为1。
若公比是含有字母的常数，需注意分类讨论。
（2）当公比开偶次方根时要注意正负号问题5、若{}n a 是等比数列，公比为q ，则k k k k k S S S S S 232,,--也成等比数列，公比为kq6、（类）等比数列求和方法： （1）公式法（2）待定系数法（形如错误！未找到引用源。
）:两边同时加上相同的数，构造出一个新的等比数列（3）裂项法求和(形如:求错误！未找到引用源。
)（4）分组求和法（通常由一个等差数列和一个等比数列组成） 热身预习:1.在等比数列{错误！未找到引用源。
}中,若错误！未找到引用源。
则公比q= 2或-32.在等比数列{错误！未找到引用源。
}中,错误！未找到引用源。
则错误！未找到引用源。
的值为 错误！未找到引用源。
3.在6和16之间插入两个数，使前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，求这两个数。
1,-4或9，12 例题精讲:1、等差数列{}n a 中，1a =2，且1311,,a a a 恰好是某等比数列的前三项，求该等比数列的公比2、设数列{}n a 为等比数列，公比q ≠1,首项为1a计算A=12111na a a +++；B=12n a a a ∙，C=12n a a a +++（用1a ，q 表示）错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
3、已知数列{}n a 有1a =1,它的前n 项和为n S ，并且对任意正整数n 满足11n n a S n +=++（1）用n a 表示1n a +（2）证明：数列｛n a +1｝是等比数列（3）求n a 及n S (1)错误！未找到引用源。
等差数列及其应用-精选.ppt
2021/1/6
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解：①是，公差d=4. ②不是，因为数列的第3项减去第2项
不等于数列的第2项减去第1项. ③不是，因为4-2≠2-1. ④是，公差d=l. ⑤是，公差d=0. ⑥不是，因为第1项减去第2项不等于
第2项减去第3项.
2021/1/6
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为了叙述和书写的方便，通常，我们 把数列的第1项记为a1，第2项记为 a2，…，第n项记为an。an又称为数列 的通项；a1又称为数列的首项，最后 一项又称为数列的末项.
2×Sn=（a1+an）+【a2+a（n-1)】
+…+(an+a1) 即：2×Sn=n×（a1+an）,所以， Sn=n×（a1+an）÷2 （4）
2021/1/6
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例4 计算 1+5+9+13+17+…+1993.
因为1，5，9，13，17，…，1993是一 个等差数列，且a1=1，d=4，an=1993.
2021/1/6
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对于公差为d的等差数列a1，a2，…an…来说，如果a1小 于a2，则显然a2-a1=a3-a2=...=an-a(n-1)=d,因此
a2=a1+d a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d ...
由此可知：an=a1+(n-1)×d (1) 若a1大于a2，则同理可推得:an=a1-(n-1)×d (2) 公式(1)(2)叫做等差数列的通项公式，利用通项公式， 在已知首项和公差的情况下可以求出等差数列中的任何一 项.
金桥新王牌暑假补习资料等差数列及其前n项和 (1)
等差数列及其前n 项和 一． 知识点讲解1. 等差数列的通项公式_______________n a ==2. 等差数列的前n 项和__________________n S ==3. 等差数列的通项公式是关于n 的_______函数，等差数列的求和公式是关于n 的_______函数且不带常数项。
4. 等差数列{}n a 中，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+。
5. 数列{}n a {}n b 是等差数列，则{}n n a b ±也是等差数列，{}n ka 也是等差数列。
6. 等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，公差是d ，那么232,,k k k k k S S S S S --也是等差数列，公差是_____7. 奇数项和与偶数项和的关系：⑴前n 项和+n S S S =奇偶⑵当n 是偶数时，-=______S S 奇偶；=_____S S 奇偶⑶当n 时奇数时，-=______S S 奇偶；=_____S S 奇偶8. 等差数列{}n a {}n b 的前n 项和分别是,n n S T ，则=_____n a b n 二． 课堂练习1． 已知数列{}n a 的通项公式是2=n +kn+1a n ，若数列{}n a 是递增数列，求k 的取值范围。
2． 根据前几项写出下列等差数列的通项公式①1,3,5,7… ②5,2,-1… ③0,4,8…3． 若数列{}n a 满足12a =,110n n a a +-+=，求此数列的通项公式。
4． 若等差数列的前三项分别是1,1,23a a a -++，求此数列的通项公式。
5． 若数列{}n a 满足1323n n a a ++=，且10a =，求14a 。
6． 给出下列通项公式，n 取何值时，a n 最小？ ⑴ 29=n-+12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭n ⑵ 210=n-+13a ⎛⎫ ⎪⎝⎭n ⑶ ()2=n-11+1a n7.在等差数列中，求下列情况等差数列的前n 项和：① 15,95,10n a a n === ② 1100,2,50a d n ==-=8.已知等差数列-10，-6，-2,2…,则该数列前多少项的和是54？9. 若等差数列{}n a 中，271221a a a ++=，求前13项和。
宝山高中补习班-新王牌教育全科目补习
第五次 不等式基本类型及解法一、新课教学判断两个实数a 与b 之间的大小关系，可以通过将它们的差与零相比较来确定，即 a >b 的充分必要条件是a-b >0；a =b 的充分必要条件是a-b =0；a <b 的充分必要条件是a-b <0。
引出等式的性质：a=b ，b=c ⇒a=c ；a=b ⇒ac=bc ；a=b ，c=d ⇒a+c=b+d 。
1．通过类比等式的性质，得到关于不等式的三个结论：结论1 如果a >b ，b >c ，那么a >c 。
结论2 如果a >b ，c >d ，那么a+c >b+d 。
结论3 如果a >b ，那么ac >bc 。
[说明]引导学生判断三个结论的正确性并加以证明，体现数学的严谨性。
利用举反例是证明命题错误的主要方法。
继续让学生探究让结论3成为正确命题的条件。
得出不等式的三个性质：性质1 如果a >b ，b >c ，那么a >c 。
性质2 如果a >b ，那么a+c >b+c 。
性质3 如果a >b ，c >0，那么ac >bc ；如果a >b ，c <0，那么ac <bc 。
性质4 如果a >b ，c >d ，那么a+c >b+d 。
2．提问：判断以下两个命题的真假：如果是真命题，请说明理由；如果是假命题，请举出反例。
（1）如果a >b ，c >d ，那么ac >bd 。
（2）如果a >b >0，那么0<ba 11<。
[说明]利用已经学过的不等式的性质证明命题的正确性，特别要注意性质（3）的使用前提；对于不正确的命题进行修正，得到不等式的另外两个性质性质（5）如果a >b >0，c >d >0，那么ac >bd 。
性质（6）如果a >b >0，那么0ba 11<<。
等差数列的性质及应用 课件
①
又a3a5a7＝－21，∴a3a7＝－7.
②
由①②解得a3＝－1，a7＝7或a3＝7，a7＝－1.
∴a3＝－1，d＝2，或a3＝7，d＝－2.
由通项公式的变形公式an＝a3＋(n－3)d，
得an＝2n－7或an＝－2n＋13.
探究点二
等差数列的有关计算
利用等差数列的定义巧设未知量，从而简化计 算．一般有如下规律： (1)当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为
仍为等差数列；
(7){an}和{bn}均为等差数列，则{an±bn}也是等差数列； (8){an}的公差为d，则d＞0⇔{an}为递增数列；d＜0⇔{an}
为递减数列；d＝0⇔{an}为常数列．
等差数列中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝420，则a2＋ a10＝________. 提示：由等差数列的性质可知： a3＋a9＝a4＋a8＝a5＋a7＝2a6＝a2＋a10 ∴3(a2＋a10)＋12(a2＋a10)＝420.∴a2＋a10＝120.
等差数列的常用性质
(1)对称性：a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…； (2)m＋n＝p＋q⇒am＋an＝ap＋aq； (3)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an也成等差数列； (4)an＝am＋(n－m)d；
(5)若数列{an}成等差数列，则an＝pn＋q(p，q∈R)； (6)若数列{an}成等差数列，则数列{λan＋b}(λ、b为常数)
(2)法一：设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差 为2d)，依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8， 即a＝1，a2－9d2＝－8， ∴d2＝1.∴d＝1或d＝－1. 又四个数成递增等差数列，∴d＞0. ∴d＝1.故所求的四个数为－2,0,2,4.
上海高二等差数列知识点
上海高二等差数列知识点等差数列是数学中非常基础且重要的一章知识点，它在高中数学课程中得到了广泛的应用。
在上海高二数学课程中，学生需要全面掌握等差数列的定义、性质以及相关的公式和解题方法。
本文将详细介绍上海高二等差数列的知识点，帮助学生更好地理解和应用这一概念。
一、等差数列的定义和性质等差数列是指一个数列中的每一项与它的前一项之差都相等的数列。
可以用以下公式表示：an = a1 + (n-1)d其中，an表示等差数列的第n项，a1表示等差数列的首项，d 表示等差数列的公差。
等差数列的性质有：1. 公差等于任意两项的差。
2. 第n项等于首项加上公差乘以n减1。
3. 等差数列的前n项和可以用以下公式计算：Sn = (n/2)(a1 + an)二、等差数列的求和公式在上海高二数学中，等差数列的求和是一个重要的考点。
对于前n项等差数列的求和，可以利用求和公式来简化计算。
以下是等差数列前n项和的求和公式：Sn = (n/2)(a1 + an)三、等差数列的常见解题方法在解题过程中，学生需要注意以下几种常见的等差数列解题方法：1. 利用等差数列的性质：根据等差数列的定义和性质，逐步推导出所需的解题步骤。
2. 求和公式法：当需要计算等差数列的前n项和时，可以利用等差数列的求和公式来进行计算。
3. 通项公式法：当需要计算等差数列的第n项时，可以利用等差数列的通项公式来进行计算。
四、等差数列的应用领域等差数列在生活中有广泛的应用，尤其在数学建模和实际问题的解决中发挥着重要的作用。
以下是一些常见的等差数列应用领域：1. 财务管理：等差数列可以用来计算财务投资的回报率或者负债的递增规律。
2. 人口统计学：等差数列可以用来分析人口增长或者减少的趋势。
3. 渐进序列：等差数列可以用来研究渐进序列的性质和特点。
4. 数学建模：等差数列可以用来建立数学模型，解决实际问题。
五、总结在上海高二数学课程中，等差数列是一个重要的知识点，涉及到定义、性质、公式和解题方法等方面。
《等差数列及其应》课件
等差数列的求和公式为：S_n = n/2 * (a_1 + a_n)，其中S_n表示前n项和，a_1 表示第一项，a_n表示第n项。这个公式适用于任何等差数列，只要知道首项和 公差，就可以计算出任意项的和。
倒序相加法求和
总结词
倒序相加法是一种特殊的求和方法，通过将等差数列倒序相加，可以得出一个常 数，进而求得等差数列的和。
《等差数列及其应用 》PPT课件
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
目录CONTENTS
• 等差数列的定义与性质 • 等差数列的求和 • 等差数列的应用 • 等差数列与其他数学知识的联系 • 练习题与答案
01
等差数列的定义与 性质
等差数列的定义
总结词
明确等差数列的概念
答案解析
答案2
根据等差数列的通项公式，第n 项a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_1是首项，d是公差。代入题目 给定的首项a_1=3和公差d=5， 第10项a_{10} = 3 + (10-1) * 5
= 48。
答案3
根据等差数列的通项公式，第n 项a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_1是首项，d是公差。代入题目 给定的首项a_1=3和公差d=2， 第8项a_{8} = 3 + (8-1) * 2 =
裂项法的基本思路是将等差数列中的每一项拆分成易于计算 的形式，然后利用等差数列的性质进行化简。这种方法适用 于一些特定形式的等差数列，可以简化计算过程，提高计算 效率。
01
等差数列的应用
等差数列在日常生活中的应用
01
02
03
银行储蓄
等差数列常用于计算复利 ，计算存款增长情况。
(上海)数学高二上册-7.2 等差数列 课件 _3
你能预测哈雷彗星 下一次的观测时间 吗？
1682 1758 1834 1910 1986……
观察：以下数列有什么共同特点？ 发现？
共性：从第二项开始，每一项与它 前一项的差都是同一个常数
等差数列定义
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项
的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这 个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。
an
a 3n 1的图像 n
-2 1 2 3 4 5 6 7 -4 -6 -8 -10 -12 -14 -16 O
n
数列图象 是一些点
例题
例2
在等差数列an 中，若a3 18, a6 27, 求a12
课堂小结
本节课主要学习：
两个概念： 等差数列，等差中项 两个公式：an=a1+（n-1）d
问题1
可以将等差数列定义变成符号语言吗？
符号语言：
如果数列{an}中，有an - an-1 d (d为常数，n N *，且n 2) 或an1 - an d，那么这个数列是等差数列.
如何应用等差数列解决问题
如何应用等差数列解决问题等差数列（Arithmetic Progression, AP）是一种常见且重要的数列，也是数学中广泛应用于解决各种问题的工具之一。
在现实生活中，我们可以利用等差数列的性质和公式，来解决各种与数量关系有关的问题。
本文将以实例的形式介绍如何应用等差数列解决问题。
一、等差数列的定义和性质等差数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与它的前一项之差都相等的数列。
这个差值被称为等差数列的公差，通常用字母d来表示。
等差数列可以用以下形式表示：an = a1 + (n-1)d其中，an表示等差数列的第n项，a1表示等差数列的首项，d表示等差数列的公差，n表示等差数列的项数。
等差数列的性质有：1. 等差数列的n项之和Sn可以通过以下公式求得：Sn = (n/2)(a1 + an)2. 如果等差数列的前m项之和为Sm，则其前n项之和Sn可以通过以下公式求得：Sn = Sm + (n-m)d3. 等差数列的首项与末项的间隔数为：n = (an - a1) / d + 14. 等差数列中任意三项的关系：2an = a(n-1) + a(n+1)二、利用等差数列解决问题的实例实例1：小明每天下午3点开始做作业，他发现每天前进的任务量是递增的。
第一天他完成了2页作业，第二天完成了4页，第三天完成了6页，以此类推。
假设他在第n天完成的作业量是an，求他在第20天完成的作业量。
解析：根据题目中的描述，我们可以发现这是一个等差数列，首项a1=2，公差d=2（每天增加的作业量为2页），我们需要求的是第20项，即an。
根据等差数列的公式：an = a1 + (n-1)d代入已知值：an = 2 + (20-1)×2 = 2 + 19×2 = 2 + 38 = 40所以小明在第20天完成的作业量是40页。
实例2：一条跑道上，小红以每秒5米的速度匀速前行，小明以每秒7米的速度匀速前行。
如果小红和小明同时从同一起点出发，且小红领先小明30米，那么小明何时能追上小红？解析：假设从起点出发到小明追上小红的时刻为t秒，此时小明行走的距离为d米。
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第
3讲等差数列及其应用
一个数列，如果从第二项起，每一项与它前面一项的差都是同一个常数，则这个数列叫做等差数列。
这个常数叫做公差，每个数都叫做这个数列的项，数列的第一项和最后一项分别叫做这个数列的首项和末项，数列中数的个数叫做这个数列的项数
【例1】求1，2，3，……，99，100这100个数的和是多少？
〖Lx1〗已知等差数列7，11，15，……问这个数列前30项的和是多少？
【例2】已知等差数列的第1项是12，第6项是27，求公差是。
〖Lx2〗已知等差数列的第1项是5，第21项是65，求公差是多少？
【例3】300到400之间能被7整除的各数之和是多少？
〖Lx3〗求所有被6除余数是1的三位数的和。
【例4】把一堆苹果分给8个小朋友，要使每个人都能拿到苹果，而且每个人拿到苹果个数都不同的话，这堆苹果至少应该有几个？
〖Lx4〗把一堆梨分给10个小朋友，要是每个人至少能拿到3个，而且每个小朋友拿到的梨的个数不同，这堆梨至少应该有几个？
【例5】小胖打算用2周时间读完490页的书，且以后每天比前一天多读2页，他第一天读多少页?
〖Lx5〗小明有一盒50粒的巧克力，打算用5天吃完，而且每天比前一天多吃4粒，他第一天吃了多少粒，最后一天吃了多少粒？
【例6】一辆双层公共汽车有78个座位，空车出发，第一站上一位乘客，第二站上两位乘客第三站上三位乘客，依此类推，那么第几站以后车上坐满乘客？
〖Lx6〗一辆公共汽车有35个座位（不含驾驶员和售票员）。
空车出发，第1站上2人，以后每站上车的人都比下车的人多3人，则到第几站时，车上已无空座位？
【例7】一只小虫沿笔直的树干跳着往上行，每跳一次都比上一次升高4厘米。
它从离地面10厘米处开始跳，如果把这一处称为小虫第一次落脚点，那么它的第100个落脚点正好是树梢，这棵树高多少厘米？
〖Lx7〗一只蜗牛爬竹竿，它第一天白天爬了3米，晚上滑下来2米，以后每个白天都会比前
一天的白天多爬2米，晚上仍然滑下来2米，它爬到了竹竿顶部的时候恰好用了15个白天。
请问这根竹竿一共多少米？
【例8】某小组有10个同学，放假时，握手告别，每两人都握一次手，问共握了多少次手？〖Lx8〗有30个小朋友聚会，他们每人都和其余的每人握手一次，那么共握手多少次？
1．求2+7+12+17+…+192+197的值。
2．1，3，5，7…这样的数叫奇数；2，4，6，8…这样的数叫偶数。
问：若8个连续奇数的和是128，那么其中最小的一个是多少？
3．试求200~300之间所有6的倍数之和.
4．从1到100的100个数中，每次取出两个不同的自然数相加，使它们的和超过100。
有几种不同的取法
5．自然数按一定规律排成下表，问第60行第5个数是几？
1
3 5 7
9 11 13 15 17
19 21 23 25 27 29 31
…… ……
6．编号为1~9的九个盒子中共放有351粒米，已知每个盒子都比前一号盒子多同样粒米。
如果1号盒子内放了11粒米，那么后面的盒子比它前一号的盒子多放几粒米？如果3号盒子内放了23粒米，那么后面的盒子比它前一号的盒子多几粒米？
7．求一个自然数n，使得前n个自然数的和是一个三位数，并且该三位数的个位、十位、百位三个数码都相同。
8．时钟每个整点敲该钟点数，每半点敲一下。
一昼夜共敲多少下？
9．一个七层书架放了777本书，每一层比它的下一层少7本书。
问：最上面一层放了几本书？
10．跳棋棋盘（如下图）上一共有多少个棋孔？
11．下图是一个堆放铅笔的V形架，如果V形架上一共放有210枝铅笔，那么最上层有多少枝铅笔？
12．有一堆粗细均匀的圆木，堆成如图的形状，最上面一层有6根，每向下一层增加一根，
共堆了25层。
问这堆圆木共有多少根？。