第三章行波法与积分变换法教学提纲

第三章行波法与积分变换法

」 分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。 J 行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。 」 积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。

作如下代换;

X at, X at

利用复合函数求导法则可得

同理可得

2

a 2(￡

代入(1)可得

=0o

u(x,t) F( ) G( ) F(X at) G(X at)

这里F,G 为二阶连续可微的函数。再由初始条件可知

F(X ) G(X ) (X ), aF (X ) aG (X )

(X ).

X

2 u

-2

)(」 2 2」

2

u

~2

先对求积分，再对

求积分，可得u(X,t)d 的一般形式

§ 3.1 一维波动方程的达朗贝尔 (D 'alembert )公式

一、达朗贝尔公式 考察如下Cauchy 问题:

2

u

下

u

2

2

u

a 2

，

X

(X), u

0,

(1)

(X ),-

(2)

2

■4),

(3)

由(3)第二式积分可得

1 X

F(x) G(x) - 0 (t)dt C ,

a 0

利用(3)第一式可得

所以，我们有

1

1 x at u(x,t) [ (x at) (x at)]

(t)dt

2

2a x at

此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。

二、 特征方程、特征线及其应用 考虑一般的二阶偏微分方程

AU xx 2BU xy CU yy DU x EU y Fu 0

称下常微分方程为其特征方程

A(dy)2 2Bdxdy C(dx)2 0。

由前面讨论知道，直线x at 常数为波动方程对应特征方程的积分曲线， 称为特征线。已知，左行波F(x at)在特征线x at G 上取值为常数值F(CJ ，

右行波G(x at)在特征线x at C 2上取值为常数值G(C 2)，且这两个值随着特 征线的移动而变化，实际上，波是沿着特征线方向传播的。称变换( 2)为特征

变换，因此行波法又称特征线法。 注：此方法可以推广的其他类型的问题。 三、 公式的物理意义 由

U(x,t) F (x at) G(x at)

其中F(x at)表示一个沿x 轴负方向传播的行波，G(x at)表示一个沿x 轴正方 向传播的行波。达朗贝尔公式表明：弦上的任意扰动总是以行波形式分别向两个 方向传播出去，其传播速度为a 。因此此法称为行波法。 四、 依赖区间、决定区域、影响区域

F(x) 1 2(X ) 2a (t)dt

G(x)

(x)

1 x 2a o

(t)dt

(4)

由方程的解(4)可以看出，解在(x,t)点的数值由x轴上区间[x-at,x+at]

内的初始条件的值唯一确定，而与其他点上的初始条件的值无关。区间［x-at,x+at］称为点（x,t）的依赖区间

对初始直线t=0上的一个区间［x1,x2］，过x1作直线x=x1+at,过x2作直线x=x2-at,它们与［x1,x2］合成一个三角形区域，如图

则此三角形中任一点（x,t）的依赖区间都落在［x1,x2］中，因此解在此三角形区域中的数值完全由区间［x1,x2］上的初始条件决定，与［x1,x2］之外的初始条件值无关。故称此三角形区域为［x1,x2］的决定区域。因此，在区间［x1,x2］上给定初始条件，就能在其决定区域中决定初值问题的解。

另一方面，过点x1，x2分别作直线x=x1-at,x=x2+at,如图（）

则经过时间t后，受到区间［x1,x2］上初始扰动影响的区域为

X! at x x2at,t 0

而此区域之外的波动不受［x1,x2］上初始扰动的影响，称上不等式确定的区域为［x1,x2］的影响区域。

注:通过例子说明影响区域，比如初始条件在区间［x1,x2］内有扰动时，讨论一下解在那些区域有影响，哪些没影响。

例求解柯西问题：

U xx 2U xy 3U yy 0, y 0, x

2

u y 0 3x ,u y y 0 0, x

解：其特征方程为

（dy）2 2dxdy 3（dx）20

由此可得特征线方程为

3x y c

x y d

因此作变换

3x y,

从而可得

2u

从而有

u(x,y) F(3x y) G(x y)

由初始条件可得

F(3x) G(x) 3x2

F' (3x) G'(x) 0

所以有

F(3x) 3G(x) C , 从而可得

9x2

F(3x) C

4

3x2

G(x) C

4

故而可知

2 2

u(x, y) F (3x y) G(x y) 3x y。

补充：Fourier 变换

二、性质

1 ?线性性质

若已知 Flfjx)]

F !(s), F[ f 2(x)]

F 2(s),则有 F[af,x) bf 2(x)] aF's) bF 2(s).

2. 对称性

若 F[f(x)] F(s)，则 F[F(x)]

2 f( s)。

3. 相似性

1 s

若 F[f(x)] F(s)，则 F[f(ax)] - F(-)

a a

4. 延迟性

若 F[f(x)] F(s)，则若 F[f(x x 。)]

F(s)e isx 0

5. 频移性

若 F[f(x)] F(s)，则 F[f(x)e is 0x ] F(s s 。), F[f(x)e is 0x ] F(s s 。)。

6. 微分性

若 F[f(x)] F(s)，则 F[f '(x)] isF(s)，特别 F[f ?(x)] (is)n F(s)。

7. 积分性

1

若 F[f(x)] F(s)，则 F[ f (x)dx] -F(s)。

is

8. 卷积性

若 F[f !(x)] Fg F[f 2(x)] F 2(S ),则

一、定义 设f (x)为定义在(

F(s) f (x)e isx

dx

存在，称F(s)为f (x)

的 Fourier 变换。

f(x)

1 2

变换。

F[f(x)]

F(s)

f (x) isx

e dx

记

1

f(x) F 1

[F(s)]

F(s)e isx .

ds

F (s)e isx ds 称为 F (s)的逆 Fourier

)，若积分

2

F[f i(x)* f2(x)] F,S)F2(S)。

§ 3.3积分变换法举例 例1、无界杆上的热传导问题

设有一根无限长的杆，杆上具有强度为 F(x,t)的热源，杆的初温为(x)，求t>0 时杆上温度分别情况。

解：由题意可知上问题可归结为求下定解问题：

2

U 2 u a 2

f (x,t), - x , t 0,

t x

U t 0

(x), - x .

很容易看出，上定解问题为无界域上的求解问题，直接用分离变量法比较复杂。 下面我们用Fourier 变换法求解。

用U (s,t),G(s,t)表示u(x,t), f(x,t)的Fourier 变换，关于x 对上方程作Fourier 变 换可得

dU(s,t)

a 2s 2U G

a s U G dt

此为一阶 条件

ODE ，在由原问题的初始条件作Fourier 变换可得上常微分方程的定解

U t 0

(s)

从而可得

2 2丄

2 2“、

U (s)e a st G(s, )e a s (t )d

再利用Fourier 逆变换可得原问题的解 由Fourier 变换表知

x 2

总结：积分变换法解定解问题的一般过程

1 ?根据自变量的变化范围及定解条件，选取适当的积分变换公式，通过对

方程进行积分变换把问题简化；

2 ?对所得简化问题求解； 3?运用逆变换，求得原问题的解。

例2. 一条无限长的杆，端点温度情况已知，初温为OC 0，求杆上温度分布规律。 解：由题意可知，等价于求下定解问题

1

[e

a 2s 2t

]

2a. t e

4a 2t

再由Fourier 变换的卷积性质知

1 空

I

/ 2.

u(x,t) ------------ ( )e 4at d 2aJ t

1 2a

f(,) t

(x )2

2

U

2 U 小 小

a 2

,0 x , t 0, t x

U t o 0,0 x . u x o f (t).

此问题不能用Fourier 变换法(?)。要用Lap lace 变换法求解。若关于x 作Laplace 变换，则需要有u 关于x 的一阶偏导的边界值，但方程没有给出，所以只能作关

于 t 的 Laplace 变换。记 U (x, p) L{u(x,t)}, F(p) L{f(t)}，则作 Lap lace 变换可

U 2

d 2U pU a 2 dx

xo F

(p)

从而可得

_2x _2x

U Ae a Be a

由定解条件知，当x

时，U 有界，从而可得E = 0.又U

F(p)，故

为求原问题的解，下用 Laplace 逆变换, Ex

U F(p)e a

查表可知

2

erfc(y) e t dt

0)

erfc(y) "dt

L 1{-e p

x

e

4a 2t

"dy

再由Laplace 变换的微分性质知

x __

1

- p 1

1

L -{e a } L -{p —e p

最后，由Lap lace 变换卷积性知

x 2

e 2a.严

U(xt)

2a.

o

f()

j

X 2

372

e 5)d 。

L{erfc

-

e k p (k

p

g dt

2

亠 e y

dy

4a 2t

时单位点热源的影响函数。

例3.用

Laplace 变换法求解定解问题:

2

u

—,0 X 2, t 0, x

U x2 0,

t 0,

u t 0 sin x, 0 x 2.

拉氏变换可得

d 2U

厂 sU sin x, dx

0,

用系数待定法很容易解求上常微分方程的一特解

sin x

0 2

s

又上常微分方程相应的齐次问题的通解为

U , Ae 'x Be 忌

所以，上常微分方程的通解为

U Ae 忌 Be 云

再由定解条件可得A = B = 0，从而

k(x,t)

x

2a 、严 0

x

e 荷 t 0

t 0

则例1的解可写为

u(x,t) ()k(x

t

，t )d 0

f(, )k(x ,t )d d

此公式为Possion 公式，称函数

(x,t;,)

k(x

,t )为热传导方程的基本解。

—x e 话对热传导问题起重要 2a.一 t

作用。令

2

它表示在杆上 处时刻的一个瞬时单位热源所引起的杆上温度分布。 故有时称基本解为瞬

注：从例1和例2解的表达公式不难看出：函数

解：由题意知，需关于时间 t 作拉普拉斯变换，记U(x, s)

L{u(x,t)}，对方程做

sin x s

sin x

1 1 sin x

2

t

L {U} L {

2} e sin x.。

s

故而， u(x,t)

原定解问题的解