第三章行波法与积分变换法教学提纲
ch3 行波法与积分变换法
9 2 f1 (3 x ) x C 4 3 2 f2 ( x) x C 4
1 2 f ( x ) x C 1 4 f ( x) 3 x2 C 2 4
代入 u( x , y ) f1 (3 x y ) f 2 ( x y ) 得到所求的解为:
行波法与积分变换法
行波法只适用波动方程的初值问题.
积分变换法可用于任何方程类型，但主要用于
自变量为无限的情形，其主要思想：降维 使用积分变换法的两个困难： 1、选取哪一种积分变换 2、逆变换难求
(1)掌握一维波动方程初值问题的达朗贝尔公式；
(2)了解三维波动方程的泊松公式； (3)理解积分变换法在解微分方程中的应用。 重点：一维波动方程初值问题的达郎贝尔公式；
常数值f1(C1)，且这两个数值随特征线的移动(即常数
Ci(i=1，2) 的改变)而改变，所以波动实际上是沿特征 线传播的。
x at 变换 常称为特征变换，行波法也称为特征 x at 线法。
注：
容易看出, 一维波动方程的两族特征线xat=常数, 正好是常微分方程 (dx 1 ( x at ) 2 ( x at ) | | 1 ( x at ) 2 2 1 x at 2 ( x at ) | | 1 ( ) 2 ( ) | d 2a x at 1 1 x at d 2 2 2a x at 即: | u1 u2 | (1 t )
1 3 2 u( x , y ) (3 x y ) ( x y )2 3 x 2 y 2 4 4
2 u 2sin x u cos x u yy cos x u y 0 例2 求方程 xx xy
数学物理方程第三章_行波法和积分变换法
[x − at , x + at ] 上的值,而与其他点上的初始条件无关,这个区间称为点 (x, t ) 的依赖区间,
它是过 ( x, t ) 点分别作斜率为 ±
1 的直线与 x 轴相交所截得的区间,如图 3-2 所示. a
(x,t0)
y
x O x-at0 x+at0
图 3-1
初 始 时 刻 t = 0 时 , 取 x 轴 上 的 一 个 区 间 [x1 , x 2 ] , 过 点 x1 作 斜 率 为
同理可得
2 ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ⎤ 2⎡∂ u = + a + 2 ⎢ 2 ∂ξ∂η ∂η 2 ⎥ ∂t 2 ⎣ ∂ξ ⎦
将其代入式(3.1.1),得
∂ 2u =0 ∂ξ∂η
对 ξ 积分,得
∂u = f (η ) ∂η
对此式再关于η 积分,得
u = ∫ f (η )dη + f1 (ξ ) = f1 (ξ ) + f 2 (η )
第三章 行波法与积分变换法 本章我们介绍两个常用的解题方法：行波法和积分变换法。行波法只用于求解无界区 域上的波动方程定解问题， 积分变换法不受方程类型的限制， 一般应用于无界区域的定界问 题，有时也应用于有界域的定解问题.
3.1 达朗贝尔公式及波的传播 在求解常微分方程的特解时,一般先求出方程的通解,然后利用所给的定解条件去解出 通解中含有的任意常数,最后得到了满足所给条件的特解.这个想法能否推广到求解偏微分方 程的过程中呢?一般情况下,随着自变量个数的增加,偏微分方程的通解非常难求,并且偏微分 方程的通解一般都含有任意函数,这种任意函数很难由定解条件确定为具体的函数.所以在求 解数学物理方程时,主要采用通过分析各类具体的定解问题,直接求出符合定解条件的特解的 方法.但事情没有绝对的,在有些情况下,我们可以先求出含任意函数的通解,然后根据定解条 件确定出符合要求的特解.本节我们研究一维波动方程的求解,就采用这种方式. 3.1.1 达朗贝尔公式 如果我们所考察的弦无限长,或者我们只研究弦振动刚一开始的阶段,且距弦的边界较远 的一段,此时可以认为弦的边界,对此端振动的弦不产生影响.这样,定解问题就归结为如下形 式
数学物理方法第3章行波法及积分变换法
e jat e jat ( ) e jat e jat ( ) 2 a 2j
1 1 ( ) jat ( ) jat jat jat ( )e ( )e e e 2 2a j j
x at 1 1 x at u ( x, t ) ( x at ) ( x at ) ( ) d ( ) d 0 0 2 2a
f ( n 1) (0)
f '(x) pF ( p) f (0)
f ''(x) p2 F ( p) pf (0) f '(0)
偏微分方程变 常微分方程
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
例3 解定解问题 2 u 2 u , x 0, t 0 a 2 x t x0 u ( x,0) 0, u (0, t ) N , t0 解：对t求拉氏变换 2 d U ( x, p ) 2 pU ( x , p ) a , x0 2 dx N U (0, p ) p
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
第三章 行波法与积分变换法
一 行波法
1 基本思想： 先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定 特解。这一思想与常微分方程的解法是一样的。 2 关键步骤： 通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐 次二阶偏微分方程。 3 适用范围： 无界域内波动方程，等…
u( x, t )的大小完全取决于
初始条件 ( x), ( x)在区间[ x at , x at ]的值
而与区间外面的 ( x), ( x)的值无关
决定区域
Chapter3.1 行波法
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u 例2 − 3 2 = 0, y > 0,−∞ < x < +∞ 2 +2 ∂x ∂x∂y ∂y − x 2 ∂u ( x,0) u ( x,0) = e , = 0, − ∞ < x < +∞ ∂y 解 dy 2 − 2dxdy − 3dx 2 = (dy − 3dx)(dy + dx) = 0 ∂ 2u =0 η 令 ξ = y − 3 x， = y + x ∂ξ∂η
结论：从D`Alembert公式可以看出，前半部分表示由初始 位移激发的行波，t=0时的波形为 ϕ ( x), 以后分成两部 分，独立地以速率a向左右传播；后半部分表示由位移 速度激发的行波， t=0时的速度为ψ ( x), t时刻它将左右 扩散到 [x-at, x+at]的范围，速率为a.
u ( x, t ) = f1 ( x + at ) + f 2 ( x − at ) f1 ( x + at )表示一个以速度a沿x轴负方向传播的行波，称为左行波 f 2 ( x − at )表示一个以速度a沿x轴正方向传播的行波，称为右行波
f1 (3 x) 由第二式积分可得 − + f 2 ( x) = C 3 9x2 3x2 从 而 可 得 f1 (3 x ) = − C ', f2 ( x) = + C '. 4 4
3x2 x2 即 f1 ( x ) = − C ' , f2 ( x) = + C '. 4 4
1 3 2 从而 u ( x, y ) = (3x − y ) + ( x + y ) 2 =3x 2 + y 2 4 4
行波法
+ c2 e
px +α y − iβ y
(12)
3．1 达朗贝尔公式
本节以行波解法为依据，介绍求解定解问题的达朗贝尔公式.
例子. 一维波动方程的达朗贝尔公式
设有一维无界弦自由振动（即无强迫力）定解问题为
泛定方程 u tt − a 2 u xx = 0 初始条件
(1) (2) (3)
u t =0 = ϕ ( x ), ut
第三章 行波法与积分变换法 3.0 二阶线性偏微分方程的行波解
通解法中有一种特殊的解法―行波法, 即以 自变量的线性组合作变量代换，进行求解 的一种方法，它对波动方程类型的求解十 分有效.
1.简单的含实系数的二阶线性偏微分方程 为了方便起见，我们首先讨论如下的含实常系数的 简单二阶线性偏微分方程
au xx + bu xy + cu yy = 0
，则
u( x, y) = c1e
2
px+q1 ( p ) y
+ c2e
px+q2 ( p ) y (10)
(ii) b − 4ac = 0, 抛物型，上述方程有相等的实根
q1 ( p ) = q2 ( p )
，则
u(x, y) = c1e
px+q1 ( p) y
+ c2 xe
px+q1 ( p) y
（11）
⎧ 根据(10)得 ⎪0,( x ≤ x1 ) ⎪ x 1 ⎪1 Φ( x) = ∫−∞ψ (ξ )dξ = ⎨ 2a ( x − x1 )ψ 0 ,( x1 ≤ x ≤ x2 ) 2a ⎪ ⎪1 ⎪ 2a ( x2 − x1 )ψ 0 ,,( x ≥ x2 ) ⎩
这里
数学物理方程行波法与积分变换
常见数学物理方程
波动方程
描述波动现象的数学模型，如声波、光波和水波 等。
热传导方程
描述热量传递过程的数学模型，如温度场的变化 和热传导等。
弹性力学方程
描述弹性物体变形的数学模型，如物体的应力和 应变等。
数学物理方程的解法
行波法
通过将方程转化为行波方程，利用行波的特性求解原 方程。
分离变量法
将多变量问题转化为单变量问题，通过求解单变量方 程得到原问题的解。
拉普拉斯变换
01
拉普拉斯变换的定 义
将一个时域函数转换为复平面上 的函数。
02
拉普拉斯变换的性 质
线性、时移、复频移、微分、积 分等。
03
拉普拉斯变换的应 用
控制系统分析、电路分析等领域。
积分变换的性质和应用
积分变换的性质
线性性质、时移性质、频移性质、微 分性质等。
积分变换的应用
求解偏微分方程、求解常微分方程、 求解积分方程等。
应用
一维波动方程的行波法广泛应用于求解一维波动问题，如弦振动、 波动传播等。
高维波动方程的行波法
方法
转化
应用
对于高维波动方程，行波法同样适用。 设解为多个行波的叠加形式，利用波 的传播性质和叠加原理，将高维波动 方程转化为多个一维或低维的常微分 方程或代数方程。
通过行波变换，将高维波动方程分解 为多个一维或低维的方程，简化求解 过程。
。
03
对于某些问题，可能需要复杂的积分变换和逆变换计
算。
行波法与积分变换的联系
行波法和积分变换都是求解数学物理方程的方法，它们之间存在一定的联 系。
在某些情况下，行波法可以通过适当的变量替换转化为积分变换的形式。
数学物理方程第三章 行波法
(1.7)
f 1 ( ), f 2 ( )是待定的任意二次连续 可微函数 .
u( x,0) f 1 ( x) f 2 ( x) ( x)
u ( x) - x (1.2) t t 0
x
1 f ( x ) f ( x ) ( )d 1 2 u( x ,0) a0 af 1( x ) af 2( x ) ( x ) t x 1 1 x f 1 ( x ) ( x ) ( )d 1 2 2a 0 f 1 ( x ) f 2 ( x ) ( )d
第三章 行波法
• • • • • 主要内容 掌握一维弦振动的解 掌握类比方法求三维、二维问题的解 了解偏微分方程的分类 会求偏微分方程的特征线
§1 弦振动的初值问题
无限长均匀细杆的振动问题，就可以表达成如下形式
2 2u 2 u x , t 0 (1.1) 2 a 2 x t u ( x ) - x (1.2) u(0, x ) ( x ), t t 0
(1.8)
（1.8）称作达朗贝尔公式。这种求解方法也称达朗贝尔解法或行波法（特征线法）。 这种方法对一般的偏微分方程来说是十分困难的。因此只适合波动方程定解问题的求解。
1.2 达朗贝尔公式的物理意义
达朗贝尔公式的物理意义
u( x, t ) f 1 ( x at) f 2 ( x at) (1.7) 先考察 u2 ( x, t ) f 2 ( x at) 的意义
2 2u u 2 a 波 动 方 程 ， 双 曲 型 方 .程 2 2 t x 2 u u 2 a 热 传 导 方 程 ， 抛 物 型程 方. 2 t x
数理方程与特殊函数教学大纲
《数理方程与特殊函数》教学大纲课程名称：数理方程与特殊函数(Equations of Mathematical Physics and Special Functions)课程编号：FX042120B学分：2.5总学时：40适用专业：光电信息类专业，也可供其它专业选用先修课程：《高等数学》、《线性代数》、《积分变换》一、课程性质、目的与任务:通过本课程学习，使学生初步掌握数学物理方程的基本理论与方法，为学习有关专业课程与扩大知识面提供必要的数学基础。
二、教学基本要求:了解典型方程的建立，定解问题及线性偏微分方程的迭加原理；熟练掌握分离变量法，会应用变量代换法、积分变换法与格林函数法，会用贝塞尔函数与勒让德函数有关的定解问题。
本课程的内容按教学要求的不同，概念、理论从高到低用“理解”、“了解”一词表述，方法、运算用“掌握“一词表述。
第一章一些典型方程和定解条件的推导1、了解三类典型方程的物理背景和导出步骤；2、了解定解条件所反映的物理意义；3、了解三种定解问题（初值问题、边值问题、混合问题）的区别。
知道不同方程有不同的定解问题的提法；4、知道并掌握线性偏微分方程解的叠加性质。
第二章分离变量法1、掌握分离变量法，能应用于振动方程、传导方程的混合问题和特殊区域上拉普拉斯方程的狄里克莱问题；2、掌握求解非齐次方程的固有函数法和齐次化原理；3、了解对于非齐次边界条件的处理方法。
第三章行波法与积分变换法1、会用行波法导出一维波动方程的达朗贝尔公式（限于齐次方程）；2、了解弦振动问题的“依赖区间”、“决定区域”和“影响区域”的概念；3、了解三维波动方程的泊松公式的导出方法；4、会用降维法从三维波动方程的泊松公式导出二维波动方程的泊松公式以及一维波动方程的达朗贝尔公式；5、会用付里叶变换和拉普拉斯变换求解一些定解问题。
第四章 拉普拉斯方程的格林函数法1、了解拉普拉斯方程两种定解问题（狄里克莱问题和诺依曼问题）的提法，（每种问题又分内问题和外问题）；2、会从高斯公式导出格林第一、第二公式；3、知道三维（二维）拉普拉斯方程的基本解)1ln (100M M M M r r ，会借助基本解从格林第二公式导出调和函数的积分表达式；4、了解引进格林函数的目的，及格林函数的物理意义；5、掌握上半空间和球域的格林函数及相应的泊松公式，会用公式求解定解问题。
行波法与积分变换法-3-0
（一）达朗贝尔公式（一维波动方程的解） 达朗贝尔公式（一维波动方程的解） 但事情往往并不是绝对的， 但事情往往并不是绝对的，在少数情况下不仅可以求出偏微分方程的 通解(指包含有任意函数的解），而且可以由通解求出特解。 通解 指包含有任意函数的解），而且可以由通解求出特解。 指包含有任意函数的解），而且可以由通解求出特解 本节我们就一维波动方程，来建立它的通解公式， 本节我们就一维波动方程，来建立它的通解公式，然后由它得到初值 问题解得表达式。 问题解得表达式。
下面， 条件： 下面，我们将利用初始 条件：
( 3.7 )
u( x ,0) = ϕ ( x ) , ut ( x ,0) = ψ ( x )
来确定（ 从而得到它的解。 来确定（3.6）式中的任意函数 f 1 、f 2 , 从而得到它的解。
由 u( x , t )
t =0
= ϕ ( x ) ，得
f1 ( x) + f2 ( x) = ϕ ( x)
方程
2 ∂ 2u 2 ∂ u =a 2 ∂t ∂ x2
，在条件 u( x ,0) = ϕ
和 ut ( x ,0) = ψ
下的解
u( x , t ) = [ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at )] +
1 2
1 2a
∫
x + at
x − at
ψ (ξ )dξ
( 3.11)
为什么这里的积分限会是如此？ 为什么这里的积分限会是如此？
然后，利用初始条件，确定通解中的任意常数， 然后，利用初始条件，确定通解中的任意常数，
从而得到特解。 从而得到特解。
对于偏微分方程， 一般说来是不行的， 对于偏微分方程，能否采用类似的方法呢 ？一般说来是不行的， 原因之一：在偏微分方程中，相对而言较难定义通解的概念。 原因之一：在偏微分方程中，相对而言较难定义通解的概念。 原因之二：即使对某些方程能够定义并求出通解， 原因之二：即使对某些方程能够定义并求出通解，但此通解中包含有任意 函数，要由定解条件确定出这些任意函数， 函数，要由定解条件确定出这些任意函数，往往会遇到很大的 困难。 困难。
数理方程第三章(1)
为正、为零或者为负而确定的。 或者为负而确定的。 如果方程在一个区域内的每点都是双曲型、抛物 如果方程在一个区域内的每点都是双曲型、 型或椭圆型的， 型或椭圆型的，那么就称方程在这个区域内是双 曲型、抛物型或椭圆型。 曲型、抛物型或椭圆型。
双曲型方程 注2：行波法适用于双曲型方程。 ：行波法适用于双曲型方程。
x = x1 + at
B
x1
x = x2 − at x2 x
B = {( x, t ) | x1 + at ≤ x ≤ x2 − at , t ≥ 0}
决定区域。 称三角区域 B 为区间 [ x1 , x2 ] 的决定区域
进一步的分析其物理意义表明, 进一步的分析其物理意义表明, 在 xot 平面上
x1 − at ≤ x ≤ x2 + at
称区域
(t > 0).
A = {( x, t ) | x1 − at ≤ x ≤ x2 + at , t > 0}
t
为区间 [ x1 , x2 ] 的影响区域。 影响区域
x = x1 − at
x = x2 + at
A
x1
x2
x
(3) 决定区域
t
考虑区间 [ x1 , x2 ],
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u = 2 +2 + 2, ∂ξ ∂ξ∂η ∂η
(3.1.4)
同理可得
∂u2 ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u 2 = a ( 2 −2 + 2) 2 ∂t ∂ξ ∂ξ∂η ∂η
(3.1.5)
将 (3.1.4), (3.1.5) 代入到 (3.1.1), 可以得到
∂ 2u = 0. ∂ ξ∂ η
《数学物理方程》第3章 行波法与积分变换法
2 2 dS 1 dd
M Cat : ( x ) 2 ( y) 2 ( at ) 2 at dd
(at ) 2 ( x ) 2 ( y ) 2
sin( x at ) sin( x at ) 1 x at cos d sin( x at ) 解 u( x , t ) 2 2 x at
u( x ,0) f ( x ) g ( x ) 3 x 2 u ( x ,0) 1 f ( x ) g ( x ) 0 1 f ( x ) g ( x ) C y 3 3 9 2 3 2 解 出f ( x ) x C , g( x ) x C 4 4
2 2
2a t
wtt a 2 w xx ( t , x ) 设w( x , t , )是 的解 w( x , , ) 0, wt ( x , , ) f ( x , ) t x a( t ) 1 t f (,)d 则 u( x, t ) w( x, t , )d d 0 x a ( t ) 2a 0 2
x at uxx u 2u u 变换 u 0 2 x at utt a (u 2u u ) u h( )d g() f ( ) g() 方程通解 u( x , t ) f ( x at ) g( x at )
M Sat
0
0
积分中x y z是常数
2 ( x at sin cos ) ( y at sin sin ) ( z at cos ) 2 d ( at ) sin d 0 t 0 4a at
第三章 行波法
,那么在 之间呢？我们不能回答这个问题，事实上，当 时， ，取极限就是把不等的部分补上了。不过，要严格证 明这个问题， 需要用到 函数， ， 它相当于(3.1.14)的极限形式。 直接的推导见[23]p206-210，那里也称之为冲量法。
6ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5
，
另一推导见[24] P58-60，[1]p54-57
在唯一解 证明 注意到 Dalembert 公式知道 Cauchy 问题(3.1.13)的解。 初始条件：显然 是
1. 一维波动方程的 Cauchy 问题
1.1 一维齐次波动方程的 Cauchy 问题
1.1.1 DAlembert 公式 考察齐次弦振动方程的 Cauchy 问题 (3.1.1) 为求此问题的解，注意到弦振动方程有两簇特征线 为新的坐标轴，则可将弦振动方程化为第一标准型，为此引进坐标变换 由链式法则可将(3.1.1)的泛定方程化为 (3.1.3) 两边对 积分再对 积分得 (3.1.4) 代回到原变量 可得原方程的一般解 (3.1.5) 其中 与 是两个任意连续可微函数。 为了求 Cauchy 问题(3.1.1)的解，还须适当地选取 使得初始条件成立，但我们实际 做的却是用初值去定出这两个任意可微函数。将初值代入通解(3.1.5)得 (3.1.6) (3.1.7) 对(3.1.7)积分得 ，若以特征线 (3.1.2)
，则
必是半无界问题(3.2.3)的解。
我们将
表为更明确的形式。
(3.2.5) 这样我们求得了半无界问题(3.2.3)的形式解。为了保证形式解(3.2.5)的确是问题(3.2.3) 的解，还须对右端函数加上一定的条件，例如，我们可以证明： 定理 3.5 如果 ， 且适 合如下的相容性条件， ，则半无界问题(3.2.3)的解 ，该解由公式(3.2.5)表出且在有限时间内按最大模一致稳定。 证明 我们只证相容性条件，其余留着习题。 注意到初始条件 ，边界条件 ， 。而 。由 的 ，由 所以 。/// 2.2 再看 的情形 ，则原问题(3.2.1)化为在 ，从而 ，从而 得
行波法积分变换法
1 u ( x, t ) ( ( x at ) ( x at )) 2 1 x at ( )d . 2a x at
这个公式称为达朗贝尔公式。
9
举例，求解弦振动方程的柯西问题
2u 2u 2 0 (t 0, x ) 2 t x t 0 : u x, u sin x ( x ) t
F ( )
1 f ( x) 2
. Fourier变换
1 设 f ( x) 是定义在R上的函数，且 f ( x) C [L, L]
则
f ( x) 可以展开为Fourier 级数 a0 n
f ( x)
n an cos x bn sin x 2 L L n 1
L
其中
1 an L 1 bn L
由达朗贝尔公式可得其解为：
1 1 x t u ( x, t ) (( x t ) ( x t )) sin d 2 2 x t 1 x t 1 x ( cos x t ) x sin x sin t 2 2
10
•第二节 一维定解问题的积分变换法
给我们以启发，通过适当的变量代换，令
x at x at
方程化为只含二阶混合偏导数的下述标准形式：
u 0
2
3
2u 0,
u 0
将方程先对积分一次，再对 积分一次， 容易看出其解的一般形式为
将（1）式两端关于 x 求导一次，得
（1） （2）
F ' ( x) G' ( x) ' ( x).
由（2）、（3）两式，解得
达朗贝尔
u tt = a 2 u xx + f ( x, t ) (−∞ < x < +∞, t > 0), (5)
为了求解问题(5)(6)，我们利用齐次化原理， 为了求解问题(5)(6)，我们利用齐次化原理， (5)(6) 齐次化原理 把非齐次方程的求解问题化为相应的齐次方程 非齐次方程的求解问题化为相应的齐次方程 的求解问题化为相应的 的情况来处理， 的情况来处理， 从而可以直接利用前面有关齐 次方程的结果。 次方程的结果。
5
u tt = a 2 u xx (−∞ < x < +∞, t > 0),
u ( x,0) = ϕ ( x), u t ( x,0) = ψ ( x)
(3) (4)
首先我们考察问题(3)(4). 通过自变量变换求解。 自变量变换求解 首先我们考察问题(3)(4). 通过自变量变换求解。 (3)(4) 为此， 为此，令 其逆变换为
u tt = a 2 u xx + f ( x, t ) (−∞ < x < +∞, t > 0), (1)
u ( x,0) = ϕ ( x), u t ( x,0) = ψ ( x)
(2) (3) (4) (6)
u tt = a 2 u xx (−∞ < x < +∞, t > 0),
u ( x,0) = ϕ ( x), u t ( x,0) = ψ ( x) u ( x,0) = 0, u t ( x,0) = 0
u ( x,0) = ϕ ( x), u t ( x,0) = ψ ( x)
(2)
3
u tt = a 2 u xx + f ( x, t ) (−∞ < x < +∞, t > 0), (1)
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第三章行波法与积分变换法」 分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。
J 行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。
」 积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。
作如下代换;X at, X at利用复合函数求导法则可得同理可得2a 2(£代入(1)可得=0ou(x,t) F( ) G( ) F(X at) G(X at)这里F,G 为二阶连续可微的函数。
再由初始条件可知F(X ) G(X ) (X ), aF (X ) aG (X )(X ).X2 u-2)(」 2 2」2u~2先对求积分，再对求积分，可得u(X,t)d 的一般形式§ 3.1 一维波动方程的达朗贝尔 (D 'alembert )公式一、达朗贝尔公式 考察如下Cauchy 问题:2u下u22ua 2，X(X), u0,(1)(X ),-(2)2■4),(3)由(3)第二式积分可得1 XF(x) G(x) - 0 (t)dt C ,a 0利用(3)第一式可得所以，我们有11 x at u(x,t) [ (x at) (x at)](t)dt22a x at此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。
二、 特征方程、特征线及其应用 考虑一般的二阶偏微分方程AU xx 2BU xy CU yy DU x EU y Fu 0称下常微分方程为其特征方程A(dy)2 2Bdxdy C(dx)2 0。
由前面讨论知道，直线x at 常数为波动方程对应特征方程的积分曲线， 称为特征线。
已知，左行波F(x at)在特征线x at G 上取值为常数值F(CJ ，右行波G(x at)在特征线x at C 2上取值为常数值G(C 2)，且这两个值随着特 征线的移动而变化，实际上，波是沿着特征线方向传播的。
称变换( 2)为特征变换，因此行波法又称特征线法。
注：此方法可以推广的其他类型的问题。
三、 公式的物理意义 由U(x,t) F (x at) G(x at)其中F(x at)表示一个沿x 轴负方向传播的行波，G(x at)表示一个沿x 轴正方 向传播的行波。
达朗贝尔公式表明：弦上的任意扰动总是以行波形式分别向两个 方向传播出去，其传播速度为a 。
因此此法称为行波法。
四、 依赖区间、决定区域、影响区域F(x) 1 2(X ) 2a (t)dtG(x)(x)1 x 2a o(t)dt(4)由方程的解(4)可以看出，解在(x,t)点的数值由x轴上区间[x-at,x+at]内的初始条件的值唯一确定，而与其他点上的初始条件的值无关。
区间［x-at,x+at］称为点（x,t）的依赖区间对初始直线t=0上的一个区间［x1,x2］，过x1作直线x=x1+at,过x2作直线x=x2-at,它们与［x1,x2］合成一个三角形区域，如图则此三角形中任一点（x,t）的依赖区间都落在［x1,x2］中，因此解在此三角形区域中的数值完全由区间［x1,x2］上的初始条件决定，与［x1,x2］之外的初始条件值无关。
故称此三角形区域为［x1,x2］的决定区域。
因此，在区间［x1,x2］上给定初始条件，就能在其决定区域中决定初值问题的解。
另一方面，过点x1，x2分别作直线x=x1-at,x=x2+at,如图（）则经过时间t后，受到区间［x1,x2］上初始扰动影响的区域为X! at x x2at,t 0而此区域之外的波动不受［x1,x2］上初始扰动的影响，称上不等式确定的区域为［x1,x2］的影响区域。
注:通过例子说明影响区域，比如初始条件在区间［x1,x2］内有扰动时，讨论一下解在那些区域有影响，哪些没影响。
例求解柯西问题：U xx 2U xy 3U yy 0, y 0, x2u y 0 3x ,u y y 0 0, x解：其特征方程为（dy）2 2dxdy 3（dx）20由此可得特征线方程为3x y cx y d因此作变换3x y,从而可得2u从而有u(x,y) F(3x y) G(x y)由初始条件可得F(3x) G(x) 3x2F' (3x) G'(x) 0所以有F(3x) 3G(x) C , 从而可得9x2F(3x) C43x2G(x) C4故而可知2 2u(x, y) F (3x y) G(x y) 3x y。
补充：Fourier 变换二、性质1 •线性性质若已知 Flfjx)]F !(s), F[ f 2(x)]F 2(s),则有 F[af,x) bf 2(x)] aF's) bF 2(s).2. 对称性若 F[f(x)] F(s)，则 F[F(x)]2 f( s)。
3. 相似性1 s若 F[f(x)] F(s)，则 F[f(ax)] - F(-)a a4. 延迟性若 F[f(x)] F(s)，则若 F[f(x x 。
)]F(s)e isx 05. 频移性若 F[f(x)] F(s)，则 F[f(x)e is 0x ] F(s s 。
), F[f(x)e is 0x ] F(s s 。
)。
6. 微分性若 F[f(x)] F(s)，则 F[f '(x)] isF(s)，特别 F[f ®(x)] (is)n F(s)。
7. 积分性1若 F[f(x)] F(s)，则 F[ f (x)dx] -F(s)。
is8. 卷积性若 F[f !(x)] Fg F[f 2(x)] F 2(S ),则一、定义 设f (x)为定义在(F(s) f (x)e isxdx存在，称F(s)为f (x)的 Fourier 变换。
f(x)1 2变换。
F[f(x)]F(s)f (x) isxe dx记1f(x) F 1[F(s)]F(s)e isx .dsF (s)e isx ds 称为 F (s)的逆 Fourier)，若积分2F[f i(x)* f2(x)] F,S)F2(S)。
§ 3.3积分变换法举例 例1、无界杆上的热传导问题设有一根无限长的杆，杆上具有强度为 F(x,t)的热源，杆的初温为(x)，求t>0 时杆上温度分别情况。
解：由题意可知上问题可归结为求下定解问题：2U 2 u a 2f (x,t), - x , t 0,t xU t 0(x), - x .很容易看出，上定解问题为无界域上的求解问题，直接用分离变量法比较复杂。
下面我们用Fourier 变换法求解。
用U (s,t),G(s,t)表示u(x,t), f(x,t)的Fourier 变换，关于x 对上方程作Fourier 变 换可得dU(s,t)a 2s 2U Ga s U G dt此为一阶 条件ODE ，在由原问题的初始条件作Fourier 变换可得上常微分方程的定解U t 0(s)从而可得2 2丄2 2“、U (s)e a st G(s, )e a s (t )d再利用Fourier 逆变换可得原问题的解 由Fourier 变换表知x 2总结：积分变换法解定解问题的一般过程1 •根据自变量的变化范围及定解条件，选取适当的积分变换公式，通过对方程进行积分变换把问题简化；2 •对所得简化问题求解； 3•运用逆变换，求得原问题的解。
例2. 一条无限长的杆，端点温度情况已知，初温为OC 0，求杆上温度分布规律。
解：由题意可知，等价于求下定解问题1[ea 2s 2t]2a. t e4a 2t再由Fourier 变换的卷积性质知1 空I/ 2.u(x,t) ------------ ( )e 4at d 2aJ t1 2af(,) t(x )22U2 U 小 小a 2,0 x , t 0, t xU t o 0,0 x . u x o f (t).此问题不能用Fourier 变换法(?)。
要用Lap lace 变换法求解。
若关于x 作Laplace 变换，则需要有u 关于x 的一阶偏导的边界值，但方程没有给出，所以只能作关于 t 的 Laplace 变换。
记 U (x, p) L{u(x,t)}, F(p) L{f(t)}，则作 Lap lace 变换可U 2d 2U pU a 2 dxxo F(p)从而可得_2x _2xU Ae a Be a由定解条件知，当x时，U 有界，从而可得E = 0.又UF(p)，故为求原问题的解，下用 Laplace 逆变换, ExU F(p)e a查表可知2erfc(y) e t dt0)erfc(y) "dtL 1{-e pxe4a 2t"dy再由Laplace 变换的微分性质知x __1- p 11L -{e a } L -{p —e p最后，由Lap lace 变换卷积性知x 2e 2a.严U(xt)2a.of()jX 2372e 5)d 。
L{erfc-e k p (kpg dt2亠 e ydy4a 2t时单位点热源的影响函数。
例3.用Laplace 变换法求解定解问题:2u—,0 X 2, t 0, xU x2 0,t 0,u t 0 sin x, 0 x 2.拉氏变换可得d 2U厂 sU sin x, dx0,用系数待定法很容易解求上常微分方程的一特解sin x0 2s又上常微分方程相应的齐次问题的通解为U , Ae 'x Be 忌所以，上常微分方程的通解为U Ae 忌 Be 云再由定解条件可得A = B = 0，从而k(x,t)x2a 、严 0xe 荷 t 0t 0则例1的解可写为u(x,t) ()k(xt，t )d 0f(, )k(x ,t )d d此公式为Possion 公式，称函数(x,t;,)k(x,t )为热传导方程的基本解。
—x e 话对热传导问题起重要 2a.一 t作用。
令2它表示在杆上 处时刻的一个瞬时单位热源所引起的杆上温度分布。
故有时称基本解为瞬注：从例1和例2解的表达公式不难看出：函数解：由题意知，需关于时间 t 作拉普拉斯变换，记U(x, s)L{u(x,t)}，对方程做sin x ssin x1 1 sin x 2tL {U} L { 2} e sin x.。
s故而， u(x,t) 原定解问题的解。