5.1和5.2

若从该大学一年级学生中任 意抽查一个学生的年龄，所 得结果为一随机变量，记作 X.
考察某大学一年级 学生的年龄
X的概率分布是：
18 19 20 21 22 0.5 0.3 0.1 0.07 0.03
某大学一年级全体 学生的年龄构成问 题的总体
可见，X的概率分布 反映了总体中各个值的分 布情况. 很自然地，我们 就用随机变量X来表示所 考察的总体.
86
81
86
91
89
83
96
86
75
92
第一．整理原始数据，加工为分组资料，作出频率分布
表，画直方图，提取样本分布特征的信息.步骤如下： 1.找出数据中最小值m=69，最大值M=111，极差为 M－m=42 2.数据分组，根据样本容量n的大小，决定分组数k。 一般规律 30≤n≤40 5≤k≤6
40≤n≤60
也就是说，总体可以用一个随机变 量及其分布来描述.
类似地，在研究某地区中学生的营养状 况时，若关心的数量指标是身高和体重，我 们用X和Y分别表示身高和体重，那么此总体 就可用二维随机变量(X,Y)或其联合分布函数 F(x,y)来表示.
统计中，总体这个概念 的要旨是：总体就是一个 概率分布.
欲研究或推断总体 X 的性质，似乎应对每一个个
它反映了总体方差 的信息
1 n 2 2 S ( Xi X ) n 1 i 1
它反映了总体k阶矩 的信息
样本k阶原点矩 样本k阶中心矩
它反映了总体k 阶 中心矩的信息
1 k Ak X i n i 1 n 1 k Bk ( X i X ) n i 1
k=1,2,…
Sj
Wj X j 1 X j
X j 1 X j W j
频率直方图中的小矩形的面积近似地反映了样本数
据落在某个区间内的可能性大小，故它可近似描述X的 分布状况。
35 30 25 20 15 10 5 0 67.5 77.5 87.5 97.5 107.5
株高cm
小矩形的面积近似反映样本值落在某分组区间内的可能性大小。
且a和b都比数据多一位小数），分组如下： [67.5,72.5) [82.5,87.5) [72.5,77.5) [87.5,92.5) [77.5,82.5) [92.5,97.5)
一般根据算式：
当取a=67.5，b=112.49（a略小于m，b略大于M，
[97.5,102.5)
[102.5,107.5)
n
§2 数据的简单处理
例1
为对某小麦杂交组合F2代的株高X进行研究，抽
取容量为100的样本，测试的原始数据记录如下(单位： 厘米)，试根据以上数据，画出它的频率直方图，求随
机变量X的分布状况。
87 99 86 87 84 85 96 90 103 88 91 94 94 91 88 109 83 89 111 98 102 92 82 80 91 84 88 91 110 99 86 94 83 80 91 85 73 98 89 102 99 81 80 87 95 70 97 104 88 102 69 94 95 92 92 90 94 75 91 95 102 76 104 98 83 94 90 96 80 80 90 92 105 92 92 90 94 97 86 91 95 94 88 96 80 94 92 91 77 83
体逐一测定，但这样的做法很多时候是不必要或是不可 行的。比如考察广州人的身高、体重，某种导弹的爆炸 威力，某电子元件的寿命等。我们只能在总体中随机抽 取部分个体出来测定。这就是——抽样。
2.样本(Sample)
样本（子样）——
从总体中随机抽取出来的部分个体作成的集合。记为：
X1, X 2 ,......X n x1, x2 ,......xn 是 n 维随机变量 X1, X 2 ,......X n 的一个观
X1 , X 2 ,...... X n 是相互独立的。满足以上条件
的样本（子样）称作简单随机样本（子样）。
要获得简单随机样本（子样），对有限总体，
应作有放回的随机抽样，对无限总体或总体相当大 时，也可作无放回的随机抽样。
3. 总体、样本、样本值的关系
事实上我们抽样后得到的资料都是具 体的、确定的值. 如我们从某班大学生中 抽取10人测量身高，得到10个数，它们是 样本取到的值而不是样本. 我们只能观察 到随机变量取的值而见不到随机变量.
统计量—— 样本 X1 , X 2 ,...... X n 对应的不含未知参数的实值函数， 记作： X1 , X 2 ,...... X n . 它本身也是一随机变量。它的分布 f
称作抽样分布。
例如： 设 ( X1 , X 2 , X 3 ) 是从正态总体 N (, 2 ) 中抽取 的一个样本，其中 为已知参数, 为未知参数， 则
2.常用的描述分散程度的特征数——
1 n 样本方差—— S 2 Xi X n 1 i 1
样本标准差——


2
S
1 n Xi X n 1 i 1


2
极差（全距）——
R M m
数据的简单处理
计算样本的特征数（统计量）——
常用的描述分散程度的特征数—— 四分位差Qd——满足 其中：
X1 X 2 3 X 3
X 3 X 2 X 3
2 1
是统计量 不是统计量
X1 X 2 X
2 3
X1 X 2 X 3
2、几个常见统计量
它反映了总体均值 的信息
样本均值(Sample Mean)
1 n X Xi n i 1
样本方差(sample Variance)
60≤n≤100
6≤k≤8
8≤k≤10
100≤n≤500
10≤k≤20
本例取k=9. 一般采取等距分组（也可以不等距分组），组距
等于比极差除以组数略大的测量单位的整数倍。
本例测量单位为1厘米，组距为
M m 111 69 4.7 5 k 9
3．确定组限和组中点值。
1 各组中点值 组距=组的上限或下限 2 注意：组的上限与下限应比数据多一位小数。
[107.5,112.5)
组中值分别为：70 75 80 85 90 95 100 105 110
4．将数据分组，计算出各组频数，作频数、频率分布表
组序 区间范围 频数fj 频率 累计频率 Wj=fj/n Fj 0.02 0.02 0.05 0.07 0.10 0.17 0.18 0.35 0.3 0.65 0.18 0.83 0.1 0.93 0.04 0.97 0.03 1.00
数理统计是应用广泛的一个数学分支， 它以概率论为理论基础，研究如何合理地获 得数据资料，建立有效的数学方法，根据所 获得的数据资料，来研究随机现象的规律性， 对研究对象的性质作出合理的估计和判断。 在这个课程里，我们学习数理统计学的 初步，主要讲述估计与检验等原理，线性回 归与方差分析等统计方法。
察值。称为样本值或子样观察值。 注意到这里每个 Xi 因随机抽取而随机取值，所以也是 随机变量。抽样完成后得到的确切结果：
样本（子样）容量——
样本中所含的个体的数目。
Size of a sample
总体与样本
为保证抽取出来的样本能够反映出总体的性质，要求 样本具有代表性，即每个 Xi 与 X 同分布；还要求具有独 立性，即
1 2 3 4 5 6 7 8 9
[67.5,72.5) [72.5，77.5） [77.5，82.5） [82.5，87.5） [87.5，92.5） [92.5，97.5） [97.5，102.5） [102.5，107.5） [107.5，112.5）
2 5 10 18 30 18 10 4 3
数 理 统 计
Statistics
华南农业大学理学院应用数学系
Applied Mathematic Department, College of Sciences, SCAU
数理统计学研究什么？
（1）怎样以有效的方式收集、 整理和分析 带有随机性的数据； （2）在收集的数据的基础上，依据一定理 论对所考察的问题作出推断和预测； （3）为采取决策和行动提供依据和建议.
总体（理论分布） ？ 样本 样本值
统计是从手中已有的资料--样本值，去 推断总体的情况---总体分布F(x)的性质.
样本是联系二者的桥梁 总体分布决定了样本取值的概率规律， 也就是样本取到样本值的规律，因而可以由 样本值去推断总体.
统计量
当我们不能完全掌握某一总体的分布函数时，只要掌握 了总体的某些数字特征（总体参数），就可基本上确定该总 体的分布，当总体参数也未知时，就只能依据样本对未知数 进行推断。通常我们利用样本构造出某种函数作为推断的基 础。这就是所谓的统计量。
数据的简单处理
计算样本的特征数（统计量）——
常用的描述集中趋势的特征数——
1 n 样本均值—— X X i n i 1
中位数——数据按大小顺序排列后位于中间位置的那个数。 众数——样本中出现次数最多的那个数。 样本几何均值——XΒιβλιοθήκη g n X1 X 2 ... X n
数据的简单处理
计算样本的特征数（统计量）——
灯泡的寿命 国产轿车每公里 的耗油量
该批灯泡寿命的 全体就是总体
所有国产轿车每公里耗 油量的全体就是总体
总体可以用一个随机变量来表示
考察某大学一年级 学生的年龄
设该大学一年级学生 的年龄分布如下表
年龄 18 19 20 21 22
比例 0.5 0.3 0.1 0.07 0.03
某大学一年级全体 学生的年龄构成问 题的总体