单项式及多项式课堂实录

单项式及多项式课堂实录
老师：窗户边上的那个同学请你把窗帘拉一下，好！那这位同学你能大声而自豪的告诉你们家的窗帘漂亮吗？
学生：漂亮。

T：他的回答让我们很想到他家去参观一下，但时间有限，那么今天就让我们来参观一下小明的家，好不好？
S:好！
T:（打开PPT装饰物的图展示）这是小明的家，大家可能都看到了。

这是窗户，窗户上有装饰物，如果教室来了一位科学家，用他的眼光看到这个窗户呢，他可能会这样分析，先给窗户装饰物贴上黑色的边际（ＰＰＴ上出现黑色边际）在将及其余物体隐去，这样就呈现出几何图形。

这是我们常见的处理问题的方法。

请大家看一下问题：
老师读题：（ＰＰＴ出现）：小明家窗户如图所示，其上方的装饰物有两个四分之一圆及一个半圆组成（他们的半径相等）１。

装饰物和窗户的面积各是多少？
Ｔ：下面我们考虑装饰物的面积。

（稍有停顿）
Ｔ：窗帘长用b表示（老师走下台）有哪位同学愿意和老师一起来分析和老师来当个搭档，这个问题并不难只要你愿意和我去思考，刚不是说以数学的问题去分析问题吗？我想大家都愿意当个数学家吗。

（老师看了一下同学）好！这位同学，还有哪位同学。

你们两个来抢答，（老师走上讲台）第一个问题要借用什么几何图形的公式？
S1:圆
T：这位同学反应很快你，那么圆的公式等于
S1S2：
T；那么回答的很好（他同时PPT上展示：圆的面积公式为：S= ）。

我们要知道圆的面积首先要知道什么？
S1S2：半径。

T：那么a和b其中谁与圆的面积有关？
S1：b
T:他回答很快，是什么关系，半径是多少？
S1：1/2，改1/4
S2:1/8.
T:我们看一看B是几个半径？
S1S2:4个。

T：4个半径，所以半径等于：1/4b。

（PPT展示：（2）圆的半径：r=1/4 b）。

那么就计算一下装饰物的面积究竟是多少？
（PPT展示：(3)装饰物的面积为：）
S1：b＾2π/16.
T:那你能说一下你计算出这个结果的理由吗？
S1：因为r=1/4b, 把r带入上面圆的计算公式，
T：啊，你是吧r=1/4b 带入圆的面积公式得到，那装饰物和起来就是。

S1：一个圆。

T:他回答很好，很有观察力很不错。

最后一个问题：窗户的面积是多少？
S:ab—πb＾2/16.
T:这里窗户的面积是指长方形。

Ｓ：ab.
T:好！再来看一下这个结果。

下列代数式有什么特点
PPt展示：1/4b,ab,πr＾2.
T：这位同学说说看。

某同学：都有字母。

T：好坐下来。

好那位同学说说看。

S：他们都有字母，有的有数字。

T：好，坐。

他们的答案有所不同呀。

四个人一组讨论一下。

00：05：02——00：06:30（讨论时间）
(老师在下面巡视 )
T：好！把你们讨论的结果告诉老师。

下面同学举手
S：有数字和字母组成。

T：数字与字母（黑板上板书）。

好！那位同学。

S: 数字与字母的成绩组成。

T：乘积（在数字与字母后写到）。

那个男同学你说说看。

Ｓ：字母与字母的积组成。

Ｔ：好，坐．好！另外一个同学。

S:都是乘法运算没有加减运算
T：好，都是乘法运算没有加减运算。

坐下来。

后面一个同学。

Ｓ：都有乘方。

Ｔ：后面的两个有乘方，前面的两个没有乘方。

Ｔ：那他们的共同特点我们考虑到平方，平方是字母与字母的积。

乘方运算是乘法的特殊运算形式。

我们来看一看ab,大家说有数字与字母的积，数字在那里。

S:系数是1
T:好，我们以前讲过是吧，数字因数是一，我们就说他的系数是1，好坐下来。

π^2的系数是多少？好，那位男同学。

S:π
T:好，π是他的数字。

好最后一个πb^2/16,他的系数是多少？好，那位那同学。

S:π/16.
T:π/16,b^2的是b*b。

好坐下来，那么像这一类数字与字母乘积的代数式，我们叫做单项式（并在黑板上板书）。

我们在他前面加上一个负号，他还是不是单项式？如果是单项式那他的系数又是多少？好，那个第三排女生告诉我。

S:- π/16。

T:那他是不是单项式。

S:是。

T:坐下来。

来看一看下列哪些是单项式，他们的系数是多少？
PPT
想好了请举手，好！第三排那位男同学。

S:第一个是3^2
T:3^2是多少？
S:9
T:是他的系数，还有那个是单项式？
S:第二个。

T:系数是多少。

S:1/2.
T:(3)(4)是不是单项式？
S:不是。

T：满足不满足……
S: 不满足单项式概念单项式。

T:好。

下列单项式也是单项式。

(1)-5/3x^2y1（2）a,(3)-7
这几个那个最符合单项式定义？好，这位女同学。

S:第一个。

T:第二个，第三个之所以不符合是因为？
S:第二个是单独的字母。

T:而第三个是单独的数字。

好坐下来。

我们就可以总结出：单独的字母或数字也是单项式。

请大家看大屏幕，提出第二个问题（2.窗户中能射进阳光的部分面积是多少？）大屏幕展示一下能射进阳光的部分。

S: ab- b^2/16
T:那也就是用谁的面积减去谁的面积？
S:用窗户的面积减去装饰物的面积。

T:用窗户的面积减去装饰物的面积（在黑板上用字母板书）。

用一个图形的面积减去另一个图形的面积是我们常见的一种解决闻听的方法，那你们能不能告诉我，现在所得到的结果和我们开始所得到的单项式（ab，-πb^2/16）之间有什么关系。

S:前面两个单项式的相减。

T:也就是前面两个单项式之差是吧。

还有谁要回答。

那位女同学，你说说看。

S:我觉得是两个单项式的和。

T: 两个单项式的和,那到底是和还是差呢？
其它同学:和
Ｔ：是前面两个单项式的和，那像这种形式的代数式他是有几个单项式的和组成（开始板书概念）那我们还能叫单项式吗？他有几个单项式的和组成还能叫单项式吗？
Ｓ：不能
Ｔ：哪我们改叫它什么比较好呢？叫他什么比较好？
Ｓ：多项式。

Ｔ：多项式，我们就称之为多项式。

这个多项式中的每一个单项式就叫做一项，那么这个多项式有几项呢？
S:两项。

T:我们也称它为多项式中的二项式，我们把单项式和多项式统称为整式。

（黑板上板书）
那么这就是我们这节课要讲的整式。

请大家看大屏幕：下列哪些是单项式哪些是多项式，（1）—1/2Xy^2,（2）2a-3（3）x^2-2xy+y^2
第一排的那个学生。

S:第一个是单项式，后面两个是多项式。

T:多项式的各项分别是什么。

S: 第二个多项式的第一项是2a, 第二项是-3，第三个多项式的第一项是x^2, 第二项是-2xy,第三项是y^2。

Ｔ：这位同学打的很好。

思路也很清晰。

他特别注意到符号问题，例如第三个多项式的第二
项是－2xy, 请坐，我们来看大屏幕，著名的旅游地诸葛亮馆。

1.诸葛亮馆现有x人，其中男游客占2/3，男游客为多少人？
T:那位同学。

S:2/3X，
T:单项式还是多项式？
S:单项式。

T:好，坐下来。

我们通过大屏幕带大家参观一下诸葛亮馆。

这里是圆形喷水池，我们抽象出几何图形，圆环形观光平台大圆和小园的半径分别为a和b，那么圆环形观光平台的面积是多少？好，那位同学。

S:πa^2-πb^2
T:那你是怎样计算的呢？
S:大圆的面积减去小圆的面积。

T:那这是单项式还是多项式？
Ｓ：多项式
T:多项式的几项式？
S:二项式。

T:好，坐下。

能够活学活用啊？观光平台计算圆面积的方法，还是刚才窗户透过阳光部分的方法相似，都是一个图形的面积减去另外一个图形的面积。

音乐喷泉我们看到一个音响放大了看，长方体的音响底面为a的正方形，高为 h，体积为——，这里我们再次采取常用的方法，抽象出几何图形，想好的同学请举手，（走下讲台）好这位同学
S:体积为a^2h，
T:你计算这个几何体用到的什么公式。

Ｓ：底面积乘以高。

Ｔ：你用的是长方体的体积公式。

好的再来。

哪大家一起说说是单项式还是多项式？
Ｓ：单项式。

Ｔ：下面大家来看一看这个问题：
这位同学你觉得是吗？
Ｓ：是T:为什么呢？
S：第一个中a是二次，第二个a是三次
T:唉，对。

第一个中a是二次，第二个a是三次，好，这就说明字母的次数影响单项式，下面我们就给出单项式次数概念.(PPT: 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和。

)那么第一个单项式所有字母的指数是？
S:五次。

T:2加3等于五次，那么第二个单项式呢？
S:四次
T:这里我写个单项式3Xˆ2y^3z^4,大家说说看几次。

S:九次，
Ｔ：他们的指数是2+3+4=9次，6单独的一个数字他是单项式，如果是单独的一个数字，单独的一个非零数的数字次数是0（并板书），那么多项式的次数怎嘛来判断。

（PPT：多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数）。

大家看这个多项式的次数3Xˆ2y^3z^4+6是多少呢？
Ｓ：九次。

T:请大家看大屏幕来判断：１单项式2^3 x^2y的次数是6，
2．单项式-5π a^2的次数是3
3．多项式-3x^2+4yz^2是三次三项式
T: 想好同学大胆举手。

这位同学你告诉我
S:第一题正确
T:2^3 x^2y的次数是6，持不同观点的，好你同桌告诉我
S:3次
T:为什么？单项式字母上的次数加起来是3。

Ｔ：好，坐下来。

那么第二位同学第二题呢？
S:2次
Ｔ：第三题？
Ｓ：是对的
Ｔ：那大家同不同意他的观点呀？
Ｓ：同意。

Ｔ：前面我们学过圆环面积的计算，一个孰料三角尺，阴影部分的面积是？
Ｓ：应该用大三角形的面积减去小三角形的面积。

Ｔ：嗯，很好，等于多少。

Ｓ：1/2ab-1/2mn
T: 那你能不能告诉我这是多项式还是单项式？
S:多项式。

T:好，坐下来。

（PPT）：小兰房间的窗户的装饰物如图示所示;有四个半圆组成，(半径相同,窗户宽为 a)
1.装饰物面积为——，现制作这种装饰物每平方米费用为n元，则所需非用为——
2.若窗户射进阳光的部分面积快是 b,则窗户的面积为：
大家来做一下（老师走到学生中指导）
00:24:15——00：26:33（讨论中）
T:你的结果是？
S:a^2π/32
T:你的结果吗是？
S:a^2π/32
T:那么你们能告诉我怎吗算的？
S:正方形的边长为a,所以这个圆的直径为1/4a
TT：那半径呢？
S:1/8a,
T: 1/8a
S:有四个圆，
T:是四个半圆还是四个圆，
S:四个半圆
T:合起来为两个半圆，带入远的面积公式2πr^2=2π*（1/8a）^2，算出来结果为a^2π/32 好，做下来。

那这个结果是单项式还是多项式呢？
S:单项式。

T: 现制作这种装饰物每平方米费用为n元，则所需费用为——。

那位同学。

S: a^2π/32n
T:他是单项式还是多项式。

S:单项式。

T:坐下来，若窗户射进阳光的部分面积快是 b,则窗户的面积为：
好，这位男同学请说
S:应用阳光射入的面积加上装饰物的面积。

S:a^2π/32+b
T：好，讲的很好。

这是多项式还是单项式。

S:多项式。

T:好，那么从这里我们再次采用了什么样的方法来解决这个问题呢？
前面呢，我们用了两个面积之差，这里呢？
S:两个面积之和，
T:好，坐下来。

魔方的棱长为a ，讨论一下
00：29:25——00:32:30 （讨论时间）
这一组讨论不错，大家向他们学习。

那我们这么多小组能不能多种方法来解决问题呢
T: 我们的同学有没有两种方法呀？
S:有。

T:好那位同学。

S:第一种方法算出小正方形的体积。

Ｔ：算出小正方形的体积，那好我们这样。

我们设，我们看魔方他的棱长为a，每一个正方形小块棱长为?
S:1/3a
T:魔方的体积为?
S:a²,
T:那每一个正方形小块的体积是？
S:1/27* a3,
T:剩余部分体积？
S:26/27* a3.
T:你是怎么做的？
S:一个小块的体积乘以26。

T:那你说图中有26块，对不对，你怎么知道的？
S:因为魔方有27块。

T:你怎么知道他27块呀？你是怎么看出来的呀？
S:嗯……
T:是不是他有三层呀？每一层共有九块是吧，一共有三层，所以是27块是吧。

掉里一块还有26块。

所以一个小块的体积乘以26。

得到:26/27* a3。

好，坐。

我们再给其他人展示自己的机会。

好，这位同学。

S:先求出魔方总的体积a，再减去一个小块的体积1/27* a3。

T:最后为26/27* a3，正确，好，坐下来。

大家看他们回答的好不好？
S:好！
T:鼓掌。

S:（鼓掌）。

T:大家看大屏幕，还是那个魔方。

飞走了一步分又飞走了一部分。

看问题:4.用魔法中的中的小块组成如图所示的几何体其体积是多少？可以用刚才我们解决问题的方法。

先自己讨论一下。

西安和同桌商量一下或几个小组探究探究。

00:35：32——00:36:55(讨论时间)
T:那组讨论好了请举手？好基本上都讨论完了?
S:14/27*a3
T: 14/27*a3,好你说怎么做的呢？
S:首先，计算出一个小方块的体积.
T:是1/27*a3,
S:乘以14 以为你最底下有9块
T:那你是怎么算出来的呢?
S:剩余的小方块的个数。

T:你怎么知道小方块数是14。

S: 因为最底下有一层9块，
T:分成三层最底下有9块，
S:中间那一层有四块，最上面一层有一块。

T:最下面一层有9块，那你是怎么看出来的呢。

S:因为上面有四块，它覆盖住了四块。

T:大屏幕展示一下看看这位同学说的对不对？第二层真是四块，第三层真是9块。

好，这位同学很有洞察力很不错。

第一层是一块，第二层三块，第三层9块和起来是14块。

（边板书：1+3+9=14）体积为(14/27)a3,，有没其他方法的出。

我们再看一遍过程。

飞走了一步分又飞走了一部分。

剩下多少块。

你来说说看？
S:第一次走了8块
T总共27块第一次走了8块.d第二次走了？
S:五块。

T:最后剩14块，（边板书27-8-5=14），就是这两种方法，好坐下来。

大家说这种方法巧不巧秒呀？
S:巧妙。

T:今天这节科我们带大家到诸葛亮馆参观了一下，运用了我们所学的知识，而且呢教给大家一些概念，诸葛亮广场就站在我们学校旁边，大家有机会去参观一下，这节课对数学有什么感受有什么认识呢？来这位同学你说一说。

S:我感觉数学来源于数学运用于是数学。

T:回答的好，坐下。

这位同学你输说说.
S:生活中到处运用到数学知识，然后可以解决一些实际问题。

T:回答的不错坐下来。

这位同学你告诉我。

S:数学知识更加准确，更加科学，的分析生活中的问题，有利于培养我们生活态度，有利于我们的成长。

T:嗯，回答的很好。

啊吗，坐下来。

我们在知识上有什么收获
S:整式，单项式，多项式的概念。

T:以及单项式，多项式的次数。

给大家留一个问题下去思考。

好，下课。