1987-1993年数学二真题及其详解
1987数学二真题答案解析(试卷三)
故所围面积 s 1 (a2 1) a2 1 1(x2 1)dx a3 a 1 2 . 令 s 0 得驻点 a 3 .
2
2a 0
4 2 4a 3
3
由于 s
a
3/3
0 ，故所求点的坐标为 (
3 , 2) ，其最小值为 s 33
a
3/3
4 9
32. 3
(D)
（A）当 x 时为无穷大
（B）当 x 时有极限
（C）在 (,) 内有界
（D）在 (,) 内无界
(3) 设 f (x) 在 x a 处可导，则 lim f (a x) f (a x) 等于
(B)
x0
x
（A） f (a)
（B） 2 f (a)
（C）0
（D） f (2a)
(4) 设.A 为 n 阶方阵, 且 A a 0, 而 A* 是 A 的伴随矩阵，则 A* =
解：①
当
a
0
时，原式=
1 b2
sec2
xdx
1 b2
tan
x
c
；
②
当 b 0 时，
1 原式= a2
cs
c2
xdx
1 a2
cot
x
c
；
③ 当 ab 0 时，原式=
sec2 xdx 1 a2 tan2 x b2 ab
d(a tan x) b
(a tan x)2 1
1 ab
a arctan(
b
tan
x)
c
.
b
八、（本题满分 15 分）
(1)（7 分）求微分方程 x dy dx
x y ，满足条件 y |x
2 0 的解．
1987数二真题解析
y
ln 1 ax 可得
y
a 1 ax
，
y
a2 (1 ax)2
.
(2) 曲线 y arctan x 在横坐标为1 的点处的切线方程是＿＿＿＿＿＿，法线方程是＿＿＿
＿＿＿.
【答案】 y 1 (x 1) ， y 2(x 1) .
42
4
【解析】
y
可 导 ， 故 由 拉 格 朗 日 中 值 定 理 ， 存 在 (x1, x2 ) (a, b) ， 使 得
f (x2 ) f (x1) f ()(x2 x1) ，由于 f x 在 a,b 内 恒大于零，所以 f ( ) 0 ，又
x2 x1 0 ，因此 f (x2 ) f (x1) 0 ，即 f (x2 ) f (x1) ，则则 f x 在 a,b 内单调增加.
f
(x)
在 ,
内
2
2
无界，但当 x 时， f (x) 不是无穷大，也没有有限极限，应选 C.
(3)设
f
x 在 x a 处可导，则 lim
f
a x
f
a x
等于(
)
x0
x
(A) f a
(B) 2 f a
(C) 0
(D) f 2a
【答案】B 【解析】由题意可得
Ox 轴旋转一周所生成的旋转体的体积.
【解析】由题意可得
V (sin x 1)2dx (1 cos 2x 2sin x 1)dx (8 3 ).
0
0
2
2
六、证明题(本题满分 10 分)
（1）若 f x 在 a,b 内可导，且导数 f x 恒大于零，则 f x 在 a,b 内单调增加。
1987年全国硕士研究生入学统一考试数学一、二、三、四、五试题完整版附答案及评分标准
1987 年全国硕士研究生入学统一考试数学一、二、三、四、五试题 完整版附答案及评分标准数 学（试卷一）一、填空题（每小题3分，满分15分. 只写答案不写解题过程）(1)与两直线 112x y t z t =⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩及 121121x y z ++-== 都平行，且过原点的平面方程是 50x y -+=(2)当x =1/ln 2-；时，函数2xy x =取得极小值.(3)由ln y x =与两直线(1)y e x =+-及0y =围成图形的面积= 3 / 2 (4)设L 为取正向的圆周922=+y x ，则曲线积分dy x xdx y xy L)4()22(2-+-⎰的值是π18-.(5)已知三维线性空间的一组基底)1,1,0(,)1,0,1(,)0,1,1(321===ααα，则向量α＝(2, 0, 0)在上述基底下的坐标是 ( 1 , 1 , -1 )二、（本题满分8分）求正的常数a 与b ，使式1sin 1lim220=+-⎰→dt ta t x bx x x 成立. 解：假若1b ≠，则根据洛必达法则有2200011lim lim(01sin cos x x x bx x b x →→==≠--⎰，与题设矛盾，于是1b =.此时2222100002111lim lim(lim(sin 1cos x x x x bx x x x →→→===--⎰，即1=，因此4a =.三、（本题满分7分）(1)设函数,f g 连续可微，(,),()u f x xy v g x xy ==+，求,.u vx x∂∂∂∂解：1212()u x xy f f f y f x x x ∂∂∂''''=⋅+⋅=+⋅∂∂∂；()(1)v x xy g y g x x∂∂+''=⋅=+⋅∂∂.(2)设矩阵A 和B 满足2AB A B =+，其中A =301110014⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求矩阵B .解：因2AB A B =+，故2AB B A -=，即(2)A E B A -=，故1(2)B A E A -=-=522432223--⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭.四、（本题满分8分）求微分方程26(9)1y y a y ''''''+++=的通解.其中常数0a >.解：由特征方程3222(9)0r r a r +++=，知其特征根根为12,30,3r r ai ==-±. 故对应齐次方程的通解为33123cos sin x x y C C e x C e x --=++ ，其中123,,C C C 为任意常数.设原方程的特解为*()y x Ax =，代入原方程可得A =219a+. 因此，原方程的通解为*33123()cos sin x x y x y y C C e x C e x --=+=+++219a+x . 五、选择题（每小题3分，满分12分） (1)设常数0k >，则级数21)1(n nk n n+-∑∞= （C ）(A)发散(B)绝对收敛(C)条件收敛(D)收敛与发散与k 的值有关.(2)设)(x f 为已知连续函数，⎰=t s dx tx f t I 0)(，0,0s t >>，则I 的值（D ）(A)依赖于s 和t (B)依赖于s 、t 、x(C)依赖于t 和x , 不依赖于s (D)依赖于s , 不依赖于t (3)设1)()()(lim 2-=--→a x a f x f a x ，则在点x a =处(B)(A)()f x 导数存在,0)(≠'a f (B)()f x 取得极大值(C)()f x 取得极小值(D)()f x 的导数不存在.(4)设A 为n 阶方阵, 且0≠=a A , 而*A 是A 的伴随矩阵，则*A =(C)(A)a(B)a/1(C) 1-n a (D) n a六、（本题满分10分） 求幂级数1121+∞=∑n n n x n 的收敛域，并求其和函数. 解：记112n n n u x n +=，有1112lim lim (1)22n nn n n n n n x u x n u n x +++→∞→∞=⋅=+，令12x <，知原级数在开区间(2,2)-内每一点都收敛.又当2x =-时，原级数=111111(2)2(1)2n n n n n n n ∞∞++==-=-∑∑，故由莱布尼兹判别法知其收敛；而当2x =时，原级数=11111122(1)2n n n n n n n ∞∞++===-∑∑，显然发散，故幂级数的收敛域为)2,2[-. 又记111111()()()22n n n n n x S x x x xS x n n ∞∞+=====∑∑，其中111()()2n n xS x n ∞==∑，有1111()()21/2n n x S x x ∞-='==-∑，于是102()2ln()1/22x dx S x x x ==--⎰，因此幂级数的和函数为2()2ln 2S x x x=-，[2,2)x ∈-.七、（本题满分10分） 计算曲面积分2(81)2(1)4SI x y dydz y dzdx yzdxdy =++--⎰⎰，其中s 是曲线 )31(01≤≤⎩⎨⎧=-=y x y z 绕Y 轴旋转一周所形成的曲面，它的法向量与Y 轴正向的夹角恒大于/2π．解：S 的方程为221y x z =++，记1S ：223,()y x z =+，知1S S +为封闭曲面，设其 方向取外侧，所围区域为Ω，则由高斯公式，有12(81)2(1)4S S I x y dydz y dzdx yzdxdy +=++--⎰⎰12(81)2(1)4S x y dydz y dzdx yzdxdy-++--⎰⎰12102(1)0S dv y dydz Ω=⋅---+⎰⎰⎰⎰⎰=3212(13)yz xD D dy dzdx dzdx--⎰⎰⎰⎰⎰31(1)16234y dy ππ=-+⋅⋅=⎰.八、（本题满分10分）设函数)(x f 在闭区间[0,1]上可微，对于[0,1]上的每个x ，函数的值都在开区间(0,1)内，且1)(≠'x f .证明 在(0,1)内有且仅有一个x ，使()f x x =．证：令()()h t f t t =-，知()h t 在闭区间[0,1]上连续，又由题设知0()1f x <<，于是 有(0)(0)00,(1)(1)10h f h f =->=-<. 故由零点定理，在(0,1)内有x ，使()f x x =.假若)(x f 在开区间(0,1)内有两个不同的点1x 和2x ，使得11()f x x =，22()f x x =， 不妨设12x x <，则易见)(x f 在闭区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，故由拉格朗日定理知，(0,1)ξ∃∈，使得2121()()()f x f x f x x ξ-'=-，即()1f ξ'=.此与1)(≠'x f 矛盾！故在(0,1)内使()f x x =的x 只能有一个.九、（本题满分8分）问,a b 为何值时，线性方程组123423423412340221(3)2321x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=⎧⎪++=⎪⎨-+--=⎪⎪+++=-⎩有唯一解？无解？有无穷多解？ 并求出无穷多解时的通解.解：对方程组的增广矩阵进行初等变换，得11110111100122101221()013200101321100010A A b a b a b a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪==→ ⎪ ⎪----+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭○1 当1≠a 时，系数行列式2(1)0A a =-≠，故由克拉姆法则，原方程组有唯一解；○2 当1a =，且1b ≠-时， ()3,()2r A r A ==， ()()r A r A ≠，故原方程组无解；○3 当1a =，且1b =-时， ()()24r A r A ==<，故原方程组有无穷的解. 此时显然有 11110101110122101221()00000000000000000000A A b ---⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪=→→⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭可见其通解为：12(1,1,0,0)(1,2,1,0)(1,2,0,1)T T T x c c =-+-+-，其中12,c c 为任意常数.十、填空题（每小题2分，满分6分）(1)在一次试验中事件A 发生的概率为p ，现进行n 次独立试验，则A 至少发生一次的概率为np )1(1--；而事件A 至多发生一次的概率为1)1]()1(1[---+n p p n .(2)三个箱子，第一个箱子有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个白球3个黑球，第三个箱子中有3个黑球5五个白球，现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取一个球，这个球为白球的概率为53/120，已知取出的是白球，此球属于第二箱的概率是20/53.(3)已知连续随机变量X 的密度为1221)(-+-=x xe xf π，则X 的数学期望为 1 ；X 的方差为 1/2 .十一、（本题满分6分）设随机变量X ，Y 相互独立，其概率密度函数分别为⎩⎨⎧≤≤=它其0101)(x x f X ；⎩⎨⎧≤>=-00)(y y e y f y Y ，求随机变量Z =2X +Y 的概率密度函数()z f z .解：由题设，(,)X Y 的联合密度为01,0(,)()()0y X Y e x y f x y f x f y -⎧≤≤>==⎨⎩其 它， 故Z 的分布函数2()()(2)(,)z x y zF z P Z z P X Y z f x y dxdy +≤=≤=+≤=⎰⎰，○1 当0z <时，2()00z x y zF z dxdy +≤==⎰⎰，此时()00z f z '==；○2 当02z ≤≤时，200001()22z yzz z y y yz z F z dy e dx e dy ye dy ----==-⎰⎰⎰⎰，此时 011()()(1)22z y z z z f z F z e dy e -'===-⎰；○3 当2z >时，121220001()(1)1(1)2z x y x z zz F z dx e dy e dx e e -----==-=--⎰⎰⎰，此时 21()()(1)2zz z f z F z e e -'==-综上所述，Z =2X +Y 的概率密度函数为()z f z =122120(1)02(1)2zz z e z e e z ---<⎧⎪-≤≤⎨⎪->⎩数 学（试卷二）一、（本题满分15分）【 同数学Ⅰ、第一题 】 二、（本题满分14分） (1)（6分）计算定积分2||2(||).x x x e dx --+⎰解：因||x xe-是奇函数，||||x x e -是偶函数，故原式=22||202||226.x x x e dx xe dx e --==-⎰⎰(2)（8分）【 同数学Ⅰ、第二题 】三、（本题满分7分）设函数(,,),yz f u x y u xe ==，其中f 有二阶连续偏导数，求 2.z x y∂∂∂解：121yz u f f f e f x x∂∂''''=⋅+=⋅+∂∂，2111312123()y y y y z f xe f e e f f xe f x y ∂'''''''''=⋅++⋅+⋅+∂∂. 四、（本题满分8分）【同数学Ⅰ、第四题 】 五、（本题满分12分）【 同数学Ⅰ、第五题 】 六、（本题满分10分）【 同数学Ⅰ、第六题 】 七、（本题满分10分）【 同数学Ⅰ、第七题 】 八、（本题满分10分）【 同数学Ⅰ、第八题 】 九、（本题满分8分）【 同数学Ⅰ、第九题 】 十、（本题满分6分）设12,λλ为n 阶方阵A 的特征值，12λλ≠，而21,x x 分别为对应的特征向量，试证明：21x x +不是A 的特征向量.证：假若21x x +是A 的特征向量，设其对应的特征值为3λ，则有12312()()A x x x x λ+=+， 即123132Ax Ax x x λλ+=+. 又由题设条件知111Ax x λ=，222Ax x λ=，故有131232()()0x x λλλλ-+-=.因21,x x 是属于不同特征值的特征向量，所以21,x x 线性无关， 从而13λλ=，且13λλ=，此与12λλ≠矛盾！因此21x x +不是A 的特征向量.数 学（试卷三）一、填空题（每小题2分，满分10分. 把答案填在题中横线上） (1)设)1ln(ax y +=, 其中a 为非零常数，则22)1(,1ax a y ax ay +-=''+='.(2)曲线y arctgx =在横坐标为1点处的切线方程是4221-+=πx y ； 法线方程是4/)8(2++-=πx y .(3)积分中值定理的条件是()[,]f x a b 在闭区间上连续，结论是[,],()()()baa b f x dx f b a ξξ∃∈=-⎰使得(4) 32()1nn n lin e n -→∞-=+.(5)⎰='dx x f )(c x f +)(；⎰'badx x f )2(＝)2(21)2(21a f b f -. 二、（本题满分6分） 求极限 011lim()1x x xe →--解：200000111111lim()lim lim lim lim 1(1)222x x x x x x x x x x e x e x e x x e x e x x x →→→→→------=====--. 三、（本题满分7分）设⎩⎨⎧-=-=)cos 1(5)sin (5t y t t x ，求 22,.dy d y dx dx 解：因5sin ,55cos dy dx t t dt dt ==-，5sin )sin 5(1cos 1cos dy t t dx t t ==--（0+），故t tdx dy cos 1sin -=，且222sin 1()1cos 5(1cos )d y d t dtdx dt t dx t =⋅=---四、（本题满分8分） 计算定积分⎰1arcsin xdx x .解：2211121000111arcsin arcsin 2242x xdx x x π=-=-⎰⎰⎰，令sin x t =，有22120sin cos cos 4t tdt t ππ==⎰⎰，因此101arcsin 4248x xdx πππ=-⋅=⎰. 五、（本题满分8分）设D 是曲线sin 1y x =+与三条直线0x =,π=x ,0y =围成的曲边梯形.求D 绕x 轴旋 转一周所生成的旋转体的体积.解：223(sin 1)42V x dx ππππ=+=+⎰. 六、证明题（本题满分10分）(1)（5分）若()f x 在(,)a b 内可导，且导数)(x f '恒大于零，则()f x 在(,)a b 内单调增加. 证：12,(,)x x a b ∀∈，不妨设12x x <，则()f x 在12[,]x x 上连续，在12(,)x x 内可导，故由拉格朗日中值定理，12(,)(,)x x a b ξ∃∈⊂，使得2121()()()()f x f x f x x ξ'-=-. 由于)(x f '在(,)a b 内恒大于零，所以()0f ξ'>，又210x x ->，因此21()()0f x f x ->， 即21()()f x f x >，表明()f x 在(,)a b 内单调增加.(2)（5分）若()g x 在x c =处二阶导数存在，且0)(='c g ,0)(<''c g ，则()g c 为()g x 的一个极大值.证：因()()()lim 0x c g x g c g c x c →''-''=<-，而0)(='c g ，故()lim 0x c g x x c→'<-.由极限的保号性，0δ∃>，当(,)x c c δ∈-时，有()0g x x c '<-，即()0g x '>，从而()g x 在(,)c c δ-单增；当(,)x c c δ∈+时，有()0g x x c'<-，即()0g x '<，从而()g x 在(,)c c δ-单减.又由0)(='c g 知，x c =是()g x 的驻点，因此()g c 为()g x 的一个极大值.七、（本题满分10分）计算不定积分⎰+x b x a dx2222cos sin ( 其中,a b 为不全为零的非负数 )解：① 当0a =时，原式=22211sec tan xdx x c b b =+⎰；②当0b =时， 原式=22211c cot cs xdx x c a a=-+⎰；③当0ab ≠时，原式=22222(tan )sec 11arctan(tan )tan (tan )1ad x xdx a b x c a a x b ab ab bx b==+++⎰⎰.八、（本题满分15分） (1)（7分）求微分方程y x dxdyx-=，满足条件0|2==x y 的解． 解：原方程即11dy y dx x+=，故其通解为11211()()2dx dx xx y e e dx c x c x -⎰⎰=+=+⎰.因0|2==x y ，所以1c =-.于是所求初值问题的解为xx y 12-=.(2)（8分）求微分方程 x e x y y y =+'+''2的通解.解：由特征方程2210r r ++=，知其特征根根为1,21r =-.故对应齐次方程的通解为12()x y C C x e -=+ ，其中12,C C 为任意常数.设原方程的特解为*()()x y x e ax b =+，代入原方程可得a =14，b =-14. 因此，原方程的通解为*212()()x y x y y C C x e -=+=++ 14(1)x x e -. 九、选择题（每小题4分，满分16分） (1).+∞<<∞=x ex x x f x-,sin )(cos 是（D ）（A ）有界函数 （B ）单调函数 （C ）周期函数 （D ）偶函数(2). 函数()sin f x x x - (D)（A ）当∞→x 时为无穷大 （B ）当∞→x 时有极限 （C ）在),(+∞-∞内有界（D ）在),(+∞-∞内无界(3)设()f x 在x a =处可导，则xx a f x a f x )()(lim 0--+→等于(B)（A ）)(a f '（B ）)(2a f '（C ）0（D ）)2(a f '(4)【 同数学Ⅰ、第五（2）题 】十、（本题满分10分）在第一象限内，求曲线12+-=x y 上的一点，使该点处切线与所给曲线及两坐标围成的面积为最小，并求此最小面积.解：设切点的横坐标为a ，则切线方程为2(1)2()y a a x a --=--，即221y ax a =-++故所围面积2312201112(1)(1)224243a a a s a x dx a a +=+--+=++-⎰. 令0s '=得驻点a =.由于0a s ''>，故所求点的坐标为2)3，其最小值为a s =23.数 学（试卷四）一、判断题（每小题答对得2分，答错得-1分，不答得0分，全题最低0分） (1) 10lim xx e →=∞（ ⨯ ） (2)4sin 0x xdx ππ-=⎰（ √）(3)若级数1nn a∞=∑与1nn b∞=∑均发散，则级数1()nn n ab ∞=+∑必发散（ ⨯ ）(4)假设D 是矩阵A 的r 阶子式，且含D 的一切1r +阶子式都等于0，那么矩阵A 的一切1r +阶子式都等于0（ √） (5)连续型随机变量取任何给定实数值的概率都等于0（ √）二、选择题（每小题2分，满分10分.）(1)下列函数在其定义域内连续的是(A)（A ）()ln sin f x x x =+（B ）⎩⎨⎧>≤=0cos 0sin )(x xx xx f （C ）⎪⎩⎪⎨⎧>-=<+=010001)(x x x x x x f （D ）⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001)(x x xx f (2)若函数f(x)在区间(,)a b 内可导，21,x x 是区间内任意两点，且21x x <，则至少存一点ξ，使得（C ）(A)()()()(),f b f a f b a a b ξξ'-=-<<. (B) 111()()()(),f b f x f b x x b ξξ'-=-<<.(C) 212112()()()(),f x f x f x x x x ξξ'-=-<<. (D) 222()()()(),f x f a f x a a x ξξ'-=-<<. (3)下列广义积分收敛的是（C ）（A ）dx xxe⎰∞+ln （B ）⎰∞+exx dx ln （C ）⎰+∞ex x dx 2)(ln （D ）⎰∞+exx dx ln (4)设A 是n 阶方阵，其秩r < n ， 那么在A 的n 个行向量中(A)(A)必有r 个行向量线性无关(B)任意r 个行向量线性无关(C)任意r 个行向量都构成极大线性无关向量组(D)任意一个行向量都可以由其它r 个行向量线性表示(5)若二事件A 和B 同时出现的概率P( A B ) = 0 , 则(C)(A)A 和B 互不相容（互斥）(B)AB 是不可能事件(C)AB 未必是不可能事件(D)P (A )=0或P (B )=0三、计算下列各题（每小题4分，满分16分） (1)求极限xxx xe 10)1(lim +→.解：因 1ln(1)(1)x xe x xxxe e ++=， 而ln(1)x x xe xe x+ （当0x →）， 故 000ln(1)lim lim lim 1x x x x x x xe xe e xx →→→+===， 从而 10lim(1)x xx xe e →+=.(2)已知1111ln 22++-+=x x y ， 求y '.解：1)1)y =-，y '=-=212xx +. (3)已知y x yx arctg z -+=，求dz .解：222()()()()()()1()1()x y x y dx dy x y dx dy d x y x y dz x y x y x y x y+-+-+---==++++--22ydx xdy x y -+=+(4)求不定积分dx ex ⎰-12.解：t =，有1)t t t t t e tdt te e dt te e c c==-=-+=+⎰⎰⎰四、（本题满分10分）考虑函数sin y x = )2/0(π≤≤x ，问：(1)t 取何值时，图中阴影部分的面积1s 与2s 之和21s s s +=最小？(2 ) t 取何值时，21s s s +=最大？解：因10sin sin sin cos 1ts t t xdx t t t =-=+-⎰，22sin ()sin cos sin sin 22t s xdx t t t t t t πππ=--=+-⎰，故122sin 2cos sin 12s s s t t t t π=+=+--,(0)2t π≤≤.令0s '=，得s 在(0,)2π内的驻点4t π=.而()14s π=，()122s ππ=-，(0)1s =，因此 4t π=时，s 最小；0t =时，s 最大.五、（本题满分6分）将函数231)(2+-=x x x f 展成x 的级数，并指出收敛区间. 解：因111111()(2)(1)121212f x xx x x x x ==-=-⋅------，而011nn x x ∞==-∑，(1,1)x ∈-， 且0011()2212n n n n n x x x ∞∞====-∑∑，(2,2)x ∈-，故1100111()(1)222nn n n n n n n f x x x x ∞∞∞+====+=+∑∑∑，其收敛区间为(1,1)-.六、（本题满分5分） 计算二重积分2x De dxdy ⎰⎰，其中D 是第一象限中由直线y x =和3x y =围成的封闭区域.解：联立y x =和3x y =，可解得两曲线交点的横坐标0x =和1x =，于是22231130()12xx x x Dxe e dxdy dx e dy x x e dx ==-=-⎰⎰⎰⎰⎰七、（本题满分6分）已知某商品的需求量x 对价格P 的弹性为 33p -=η，而市场对商品的最大需求量为1 （万件），求需求函数.解：由弹性的定义，有33p dx p x dp =-，即23dxp dp x=-， 于是有 3px ce -=，c 为待定常数.由题意 0p =时，1x =，故1c =，因此3p x e -=.八、（本题满分8分）解线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=++-=-+-=-+-337713343424313214314321x x x x x x x x x x x x x 【123431820160x x k x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，k 为任意常数】 解：对方程组的增广矩阵进行初等行变换，有2143410103101130120831101000167073300000---⎛⎫⎛⎫⎪⎪---- ⎪ ⎪→→⎪⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭故原方程组与下方程组同解：132343826x x x x x =-⎧⎪=-+⎨⎪=⎩，令30x =，可得原方程组的特解(3,8,0,6)T β=-.又显然原方程组的导出组与下方程组同解：1323420x x x x x =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，令31x =，可得导出组的基础解系(1,2,1,0)T η=-. 因此原方程组的通解为：1234(,,,)(3,8,0,6)(1,2,1,0)T T x x x x k =-+-，其中k 为任意常数.九、（本题满分7分）设矩阵A 和B 满足2AB A B =+，求矩阵B ，其中A =423110123⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.解：因2AB A B =+，故2AB B A -=，即(2)A E B A -=，故1(2)B A E A -=-=3862962129--⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭十、（本题满分6分） 求矩阵A =312014101--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的实特征值及对应的特征向量.解：令0E A λ-=，即2(1)(45)0λλλ-++=,可见矩阵A 只有一个实特征值1λ=.易见，线性方程组()0E A X λ-=的基础解系为(0,2,1)T ，故A 对应于实特征值1λ=的特征向量为(0,2,1)T k ，（其中k 为非零任意常数）.十一、（每小题4分，满分8分）(1)已知随机变量X 的概率分布为(1)0.2,(2)0.3,(3)0.5P X P X P X ======，试写出X 的分布函数()F x .解：X 的分布函数为()F x =0,0.2,0.5,1,⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩332211≥<≤<≤<x x x x . (2)已知随机变量Y 的概率密度为000)(2222<≥⎪⎩⎪⎨⎧=-y y e y f a y a y , 求随机变量YZ 1=的数学期望EZ .解：222222200111()()y y a a y EZ E f y dy edy dy Yy y a --+∞+∞+∞-∞===⋅==⎰⎰⎰. 十二、（本题满分8分）设有两箱同种零件.第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱内装有30件，其中18件一等品.现从两箱中随机挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回），试求:(1)先取出的零件是一等品的概率p ；(2)在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的条件概率q .解：设i B ={取出的零件为第i 箱中的}，j A ={第j 次取出的是一等品}，,1,2i j =， 显然12,B B 为正概完备事件组，故全概公式得(1) 11112121101182()()()()()2502305p P A P B P A B P B P A B ==+=⋅+⋅=；(2) 1211212122110911817276()()()()()25049230291421P A A P B P A A B P B P A A B ⨯⨯=+=⋅+⋅=⨯⨯， 于是，由贝叶斯公式得q =12211()690()0.48557()1421P A A q P A A P A ===≈.数 学（试卷五）一、判断题（每小题答对得2分，答错得-1分，不答得0分，全题最低0分） (1)【 同数学Ⅳ 第一（1）题 】(2)【 同数学Ⅳ 第一（2）题 】(3)若函数()f x 在区间(,)a b 严格单增，则对区间(,)a b 内任何一点x 有()0f x '>. （ ⨯ ） (4)若A 为n 阶方阵，k 为常数，而A 和kA 为A 和kA 的行列式，则kA k A =. （ ⨯ ） (5)【 同数学Ⅳ 第一（5）题 】二、选择题（每小题2分，满分10分）(1)【 同数学Ⅳ 第二（1）题 】(2)【 同数学Ⅳ 第二（2）题 】(3)【 同数学Ⅳ 第二（3）题 】(4)【 同数学Ⅳ 第二（4）题 】(5)对于任二事件A 和B ，有()P A B -=(C)(A)()()P A P B -(B)()()()P A P B P AB -+(C)()()P A P AB -(D))()()(B A P B P A P --三、计算下列各题（每小题4分，满分20分）(1)求极限1ln(1)limx x arctgx→+∞+. 解：11ln(1)lim ln(1)0lim0lim /2x x x x x arctgx arctgx π→+∞→+∞→+∞++===(2)【 同数学Ⅳ 第三（2）题 】(3)【 同数学Ⅳ 第三（3）题 】(4)计算定积分dxex ⎰-12112解：t =，有111111021tt t te tdt tee dt e e ==-=-=⎰⎰⎰(5)求不定积分⎰++5224x x xdx.解：22422221(1)11arctan 252(1)242xdx d x x c x x x ++==+++++⎰⎰. 四、（本题满分10分）考虑函数2y x =，10≤≤x ，问：(1)t 取何值时，图中阴影部分的面积(与数学Ⅳ第四题类似)1s 与2s 之和21s s s +=最小？ (2 ) t 取何值时，21s s s +=最大？解：132223212041(1)33tts s s t x dx x dx t t t t =+=-+--=-+⎰⎰，(01)t ≤≤令0s '=，得(0,1)内的驻点12t =. 而11()24s =，1(0)3s =，2(1)3s =，因此 12t =时，s 最小；1t =时，s 最大.五、（本题满分5分）【 同数学Ⅳ 第六题 】 六、（本题满分8分）设某产品的总成本函数为21()40032C x x x =++，而需求函数为xp 100=，其中x 为产量（假定等于需求量）,p 为价格. 试求：（1）边际成本； （2）边际收益； （3）边际利润； （4）收益的价格弹性.解：（1）边际成本：()3MC C x x '==+；（2）收益函数：()R x p x =⋅=()MR R x'==；（3）利润函数：21()()()40032L x R x C x x x =-=--， 边际利润：()3ML L x x'==--；（4）收益的价格函数：2(100)()R x p==，收益的价格弹性：2222(100)1(100)p dR p R dp p =-⋅=-. 七、（本题满分8分）【 同数学Ⅳ 第八题 】 八、（本题满分7分）【 同数学Ⅳ 第九题 】 九、（本题满分6分）【 同数学Ⅳ 第十题】十、（本题满分8分）已知随机变量X 的概率分布为(1)0.2,(2)0.3,(3)0.5P X P X P X ======， 试写出X 的分布函数()F x ，并求X 的数学期望与方差.解：X 的分布函数为()F x =0,0.2,0.5,1,⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩332211≥<≤<≤<x x x x ， 10.220.330.5 2.3EX =⨯+⨯+⨯=；222210.220.330.5 5.9EX =⨯+⨯+⨯=222() 5.9 2.30.61DX EX EX =-=-=十一、（本题满分8分）【 同数学Ⅳ 第十二题】。
考研数学历年真题(1987-1997)年数学二
1997 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)（1）已知()()==⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-a x x a x xosx x f x 处连续，则，在，，0002_____________.（2）设则,11ln2xxy +-==''=0x y _____________.（3）()=-⎰x x dx4_____________.（4）设=++⎰+∞284x x dx_____________.（5）已知向量组)2,5,4,0(,0,0,21,12,132,1--==-=ααα），（），（t 的秩为2，则t =_____________. 二、选择题 1.设n x xx e e x 与时，-→tan ,0是同阶无穷小，则n 为（ ）（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4(2)设在区间[,]a b 上()0,()0,()0.f x f x f x '''><>记1231(),()(),[()()](),2b a S f x dx S f b b a S f a f b b a ==-=+-⎰则（ ） (A)123S S S << (B) 231S S S << (C)312S S S <<(D)213S S S <<(3)已知函数()x f y =对一切x 满足()()()()则若,00,1][3002≠='-='+''-x x f e x f x x f x x（ ）(A)()()的极大值是x f x f 0 (B)()()的极小值是x f x f 0(C)()）的拐点（是，x f y x f x =)(00(D)()()()()的拐点也不是曲线的极值，不是x f y x f x x f x f =)(,000 (4)设2sin ()e sin ,x t xF x tdt π+=⎰则()F x （ ）(A)为正常数(B)为负常数(C)恒为零(D)不为常数（5）.设()()()为则][,0,0,,0,20,22x f g x x x x x f x x x x x g ⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧≥-<=>+≤-=（ ） （A ）⎧<+0,22x x（B ）⎧<-0,22x x1996 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)（1）设='+==-0x 322y ,)(则x e x y _____________.（2）=-+⎰-dx x x 21121）（_____________.（3）微分方程的052=+'+''y y y 通解为_____________.（4）=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+∞→)11ln(sin )31ln(sin lim x x x x _____________.（5）由曲线22,1==+=y x x y 及所围图形的面积=S _____________.(2)设函数()x f 在区间），（δδ-内有定义，若当),(δδ-∈x 时，恒有()0,2=≤x x x f 则必是()x f 的（ ） (A)间断点(B)连续而不可导的点 (C)可导的点，且0)0(='f(D)可导的点，且()00≠'f(3)设)(x f 处处可导，则（ ）(A)()()-∞='-∞=-∞→-∞→x f x f x x lim ,lim 必有当(B)()()-∞=-∞='-∞→-∞→x f x f x x lim ,lim 必有当(C)()()+∞='+∞=-∞→-∞→x f x f x x lim ,lim 必有当(D)()()+∞=+∞='-∞→-∞→x f x f x x lim ,lim 必有当(4)在区间0cos 2141=-+∞+∞-x x x ）内，方程，（（ ） (A)无实根 (B)有且仅有一个实根 (C)有且仅有两个实根(D)有无穷多个实根（5）.设),()()()(],[)(),(x g y m m x f x g b a x g x f =<<，由曲线为常数上连续，且在区间b x a x x f y ===及),(所围平面图形绕直线m y =旋转体体积为（ ） （A ）⎰-+-badx x g x f x g x f m )]()()][()(2[π（B ）⎰---badx x g x f x g x f m )]()()][()(2[π（C ）⎰-+-bdx x g x f x g x f m )]()()][()([π（D ）⎰---bdx x g x f x g x f m )]()()][()([π（1）计算.12102dx e n x ⎰--（2）求.sin 1⎰+x dx（3）设⎪⎩⎪⎨⎧==⎰,)]([,)(2202t f y du u f x t其中)(u f 具有二阶导数，且.,0)(22dx y d u f 求≠（4）求函数011)(=+-=x xxx f 在点处带拉格朗日型余项n 阶泰勒展开式。
考研数学二1987-2004试题高清版
ｘ， （ ［ （ ］ （ ， 求φ （ 及其定义域． 三、 （本题满分５分） 已知ｆ ｘ） ｘ） ｘ） ｘ） ＝ ｅ ＝ １ －ｘ 且φ ≥ ０ ｆ φ ｘ ｙ， 四、 （本题满分５分） 已知ｙ＝ 求ｙ １ ＋ｘ ｅ ｜ ｜ ′ ″ ｘ＝ ０及 ｙ ｘ＝ ０．
五、 （本题满分８分） 将长为 ａ 的铁丝切成两段． 一段围成正方形， 另一段围成圆形， 问这 两段铁丝各长为多少时， 正方形与圆形的面积之和为最小 ． ， 求 六、 （本题满分７分） 设 ｘ≥－ １ ） ｔ｜ ｔ． １－ ｄ ｜ ∫（
２ ２ ２ ２
１
１ －２
历年考研数学试题详解 ・ 数学 （二）
１ ０
七、 （本题满分８分） 计算 ｘ ａ ｒ ｃ ｓ ｉ ｎ ｘ ｄ ｘ．
∫
２ 使该点处的切线与所 八、 （本题满分１ 在第一象限内求曲线ｙ＝－ｘ ＋ １ 上的一点， ０分）
给曲线及两坐标轴所围成的图形面积为最小， 并求此最小面积 ． 九、 （本题满分８分） 设 Ｄ 是由曲线ｙ＝ ， ， ｓ ｉ ｎ ｘ＋ １ 与 ３ 条直线 ｘ＝ ０ ｘ＝π ０ 所围成的 ｙ＝ 曲边梯形， 求 Ｄ 绕Ｏ ｘ 轴旋转一周所生成的旋转体的体积 ．
∫
０
（
）
｛
（
）
（ ）证明若ｇ （ 在ｘ＝ 且ｇ （ ） ， （ ） ， 则ｇ （ ） 为ｇ （ 的一 ′ ″ ２ ｘ） ｃ 处二阶导数存在， ｃ ＝ ０ ｃ ＜ ０ ｃ ｘ） ｇ 个极大值． 六、 （本题满分１ 计算 ０分） 其中 ａ， ｄ ｘ， ｂ 不全为０的非负常数． ∫ ａｓ ｉ ｎｘ ＋ｂｃ ｏ ｓｘ
π
（ ）曲线ｙ ＝ （ ） （ ） （ ， ）处的切线方程是 ｔ－１ ｔ－２ ｔ 在点 ３ ｄ ０ ０ ） （ ） … （ （ （ ， 则ｆ （ ） （ ）设ｆ ′ ｘ） ｘ＋ １ ｘ＋ ２ ｘ＋ｎ） ＝ ＝ｘ ０ ４
1993考研数二真题及解析
1993年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) 0lim ln x x x +→=＿＿＿＿＿＿. (2) 函数()y y x =由方程222sin()0x x y e xy ++-=所确定,则dydx=＿＿＿＿＿＿. (3)设1()(2(0)xF x dt x =->⎰,则函数()F x 的单调减少区间是＿＿＿＿＿＿.(4) dx =⎰＿＿＿＿＿＿. (5) 已知曲线()y f x =过点1(0,)2-,且其上任一点(,)x y 处的切线斜率为2ln(1)x x +,则()f x =＿＿＿＿＿＿.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 当0x →时,变量211sin x x是 ( ) (A) 无穷小 (B) 无穷大(C) 有界的,但不是无穷小 (D) 有界的,但不是无穷大(2) 设2|1|,1,()1 2, 1,x x f x x x ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩则在点1x =处函数()f x ( )(A) 不连续 (B) 连续,但不可导 (C) 可导,但导数不连续 (D) 可导,且导数连续(3) 已知2,01,()1, 12,x x f x x ⎧≤<= ⎨≤≤⎩ 设1()()x F x f t dt =⎰(02)x ≤≤,则()F x 为 ( )(A)31,013,12x x x x ⎧≤<⎪ ⎨⎪≤≤⎩ (B) 311,0133,12x x x x ⎧-≤<⎪⎨⎪≤≤⎩(C) 31,0131,12x x x x ⎧≤<⎪⎨⎪-≤≤⎩ (D) 311,01331,12x x x x ⎧-≤<⎪⎨⎪-≤≤⎩ (4) 设常数0k >,函数()ln xf x x k e=-+在(0,)+∞内零点个数为 ( )(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0 (5) 若()()f x f x =--,在(0,)+∞内()0,()0f x f x '''>>,则()f x 在(,0)-∞内 ( )(A) ()0,()0f x f x '''<< (B) ()0,()0f x f x '''<> (C) ()0,()0f x f x '''>< (D) ()0,()0f x f x '''>>三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.)(1) 设2sin[()]y f x =,其中f 具有二阶导数,求22d ydx.(2)求lim )x x x →-∞.(3) 求41cos 2xdx x π+⎰.(4) 求3(1)xdx x +∞+⎰. (5) 求微分方程2(1)(2cos )0x dy xy x dx -+-=满足初始条件01x y ==的特解.四、(本题满分9分)设二阶常系数线性微分方程x y y y e αβγ'''++=的一个特解为2(1)x x y e x e =++,试确定常数,,αβγ,并求该方程的通解.五、(本题满分9分)设平面图形A 由222x y x +≤与y x ≥所确定,求图形A 绕直线2x =旋转一周所得旋转体的体积.六、(本题满分9分)作半径为r 的球的外切正圆锥,问此圆锥的高h 为何值时,其体积V 最小,并求出该最小值.七、(本题满分6分)设0x >,常数a e >,证明()a a x a x a ++<.八、(本题满分6分)设()f x '在[0,]a 上连续,且(0)0f =,证明：2()2aMa f x dx ≤⎰,其中0max |()|x a M f x ≤≤'=.1993年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】0【解析】这是个0⋅∞型未定式,可将其等价变换成∞∞型,从而利用洛必达法则进行求解. 000021ln lim ln lim lim lim 011x x x x x x x x x x x++++→→→→==-=-洛. (2)【答案】222222cos()2cos()2x y e x x y y x y xy--++-【解析】这是一个由复合函数和隐函数所确定的函数,将方程222sin()0x x y e xy ++-=两边对x 求导,得222cos()(22)20x x y x yy e y xyy ''+⋅++--=,化简得 222222cos()2cos()2x y e x x y y y x y xy--+'=+-. 【相关知识点】复合函数求导法则：如果()u g x =在点x 可导,而()y f x =在点()u g x =可导,则复合函数[]()y f g x =在点x 可导,且其导数为()()dy f u g x dx ''=⋅ 或 dy dy du dx du dx=⋅. (3)【答案】104x <≤【解析】由连续可导函数的导数与0的关系判别函数的单调性. 将函数1()(2,xF x dt =⎰两边对x 求导,得 ()2F x '=.若函数()F x 严格单调减少,则()20F x'=-<,12<.所以函数()F x 单调减少区间为104x <≤. 【相关知识点】函数的单调性：设函数()y f x =在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导.(1) 如果在(,)a b 内()0f x '>,那么函数()y f x =在[,]a b 上单调增加； (2) 如果在(,)a b 内()0f x '<,那么函数()y f x =在[,]a b 上单调减少.(4)【答案】1/22cos x C -+【解析】 32sin cosdx dx x xdx -==⎰⎰ 3122coscos 2cosxd x x C --=-=+⎰.(5)【答案】222111(1)ln(1)222x x x ++--【解析】这是微分方程的简单应用. 由题知2ln(1)dyx x dx=+,分离变量得 2ln(1)dy x x dx =+,两边对x 积分有 2221ln(1)ln(1)(1)2y x x dx x d x =+=++⎰⎰.由分部积分法得2222221112ln(1)(1)(1)ln(1)(1)2221x x d x x x x dx x++=++-+⋅+⎰⎰ 222221(1)ln(1)211(1)ln(1).22x x xdx x x x C =++-=++-+⎰因为曲线()y f x =过点1(0,)2-,故12C =-,所以所求曲线为222111(1)ln(1)222y x x x =++--.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(D)【解析】因为当0x →时,1sin x是振荡函数,所以可用反证法. 若取 11k x k π=,则221111sin()sin 0k k k k x x ππ==, 211(2)2k x k π=+,则22222111sin (2),(1,2,,)2k k k k x x π=+=L . 因此,当k →∞时,有10k x →及20k x →,但变量211sinx x或等于0或趋于+∞,这表明当0x →时它是无界的,但不是无穷大量,即(D)选项正确. (2)【答案】(A)【解析】利用函数连续定义判定,即如果函数在0x 处连续,则有000lim ()lim ()()x x x x f x f x f x →+→-==.由题可知221111|1|1lim ()lim lim lim(1)211x x x x x x f x x x x ++++→→→→--===+=--, 221111|1|1lim ()lim lim lim(1)211x x x x x x f x x x x ----→→→→--===-+=---. 因()f x 在1x =处左右极限不相等,故在1x =处不连续,因此选(A). (3)【答案】(D)【解析】这是分段函数求定积分.当01x ≤<时,01x t ≤≤≤,故2()f t t =,所以23311111()()(1)33xx xF x f t dt t dt t x ⎡⎤====-⎢⎥⎣⎦⎰⎰.当12x ≤≤时,12,t x ≤≤≤故()1f t =,所以[]111()()11xxxF x f t dt dt t x ====-⎰⎰.应选(D). (4)【答案】(B)【解析】判定函数()f x 零点的个数等价于判定函数()y f x =与x 的交点个数.对函数()ln x f x x k e =-+两边对x 求导,得 11()f x x e'=-.令()0f x '=,解得唯一驻点x e =,即 ()0,0;(),()0,;(),f x x e f x f x e x f x '><< ⎧⎨'<<<+∞⎩严格单调增加严格单调减少所以x e =是极大值点,也是最大值点,最大值为()ln 0ef e e k k e=-+=>.又因为 00lim ()lim(ln )lim ()lim (ln )x x x x x f x x k e x f x x k e ++→→→+∞→+∞⎧=-+=-∞⎪⎪⎨⎪=-+=-∞⎪⎩, 由连续函数的介值定理知在(0,)e 与(,)e +∞各有且仅有一个零点(不相同).故函数()ln xf x x k e=-+在(0,)+∞内零点个数为2,选项(B)正确.(5)【答案】(C)【解析】方法一：由几何图形判断.由()(),f x f x =--知()f x 为奇函数,图形关于原点对称； 在(0,)+∞内()0,()0,()f x f x f x '''>>图形单调增加且向上凹,根据图可以看出()f x 在(,0)-∞内增加而凸,()0,()0f x f x '''><,选(C). 方法二：用代数法证明.对恒等式()()f x f x =--两边求导,得()(),()()f x f x f x f x ''''''=-=--.当(,0)x ∈-∞时,有(0,)x -∈+∞,所以()()0,()()0f x f x f x f x ''''''=->=--<,故应选(C).三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.) (1)【解析】{}222sin[()]cos[()]()2y f x f x f x x '''==⋅⋅,{}22cos[()]()2y f x f x x ''''=⋅⋅{}2222cos[()]()2cos[()]()2f x f x x f x f x x ''''⎡⎤=⋅⋅+⋅⋅⎣⎦22cos[()]()(2)f x f x x ''+⋅⋅2222222sin[()][()](2)cos[()]()(2)f x f x x f x f x x '''=-⋅⋅+⋅⋅22cos[()]()2f x f x '+⋅⋅. 【相关知识点】复合函数求导法则：如果()u g x =在点x 可导,而()y f x =在点()u g x =可导,则复合函数[]()y f g x =在点x 可导,且其导数为()()dy f u g x dx ''=⋅ 或 dy dy dudx du dx=⋅. (2)【解析】应先化简再求函数的极限,lim )limx x x x →-∞=100limlim11x x x→-∞==.因为0x <,所以100100limlim501111x x x→-∞===---.(3)【解析】先进行恒等变形,再利用基本积分公式和分部积分法求解.2444000sec 1tan 1cos 222x x x dx dx xd x x πππ==+⎰⎰⎰ []4440001111sin tan tan (0)22242cos x x x xdx dx xππππ=-=--⎰⎰ []4400111cos ln(cos )82cos 82d x x x ππππ-=-=+⎰111[ln(cos )ln(cos 0)]ln ln 28248284ππππ=+-=+=-. (4)【解析】用极限法求广义积分.2333000(1)1[(1)(1)](1)(1)(1)xx dx dx x x d x x x +∞+∞+∞--+-==+-++++⎰⎰⎰ 12200121(1)(1)lim 22(1)bb x x x x +∞--→+∞⎡⎤+⎡⎤=-+++=-⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦ 221111lim02(1)222b b b →+∞+=-+=+=+.(5)【解析】所给方程是一阶线性非齐次微分方程,其标准形式是2222cos , 1011x x y y x x x '+=-≠--, 通解为 2222112cos []1x xdxdx x x x y ee dx C x ---⎰⎰=+-⎰ 2222(1)(1)112cos 1d x d x x x x e edx C x -----⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎰ 221sin cos 11x C xdx Cx x +⎡⎤=+=⎣⎦--⎰. 代入初始条件 01x y ==,得 2sin 0101C +=-,所以 1C =-.所求特解为 2sin 11x y x -=-. 【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的通解公式为:()()(())p x dx p x dx y e q x e dx C -⎰⎰=+⎰,其中C 为常数.四、(本题满分9分)【解析】要确定常数,,αβγ,只需将特解代入原微分方程后,用比较系数法即得.对于特解2(1)x x y e x e =++,有222(1)2(2)x x x x x y e e x e e x e '=+++=++,2222(2)4(2)4(3)x x x x x x xy e x e e e x e e x e '''⎡⎤=++=+++=++⎣⎦, 代入方程x y y y e αβγ'''++=,得恒等式2224(3)2(2)(1)x x x x x x xe x e e x e e x e e αβγ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++++=⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 化简得2(42)(32)(1)x x x x e e xe e αβαβαβγ++++++++≡,比较同类项系数,得4203210αβαβγαβ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩, 解之得3,2,1αβγ=-==-.于是原方程为32x y y y e '''-+=-,所对应的齐次微分方程320y y y '''-+=的特征方 程为2320r r -+=,解之得 121,2r r ==.所以微分方程32x y y y e '''-+=-的通解为2*222121212(1)x x x x x x x x x y c e c e y c e c e e x e c e c e xe =++=++++=++.五、(本题满分9分)【解析】利用定积分求旋转体的体积,用微元法.222x y x +≤等价于22(1)1x y -+≤.解法一：考虑对y 的积分,则边界线为2111x y =--与2(01)x y y =≤≤, 如右图所示.当y y dy →+时,2212(2)(2)dV x dy x dy ππ=---222(211)(2)y y dy π⎡⎤=-+---⎣⎦2221(1)y y dy π⎡⎤=---⎣⎦. 所以 122021(1)V y y dy π⎡⎤=---⎣⎦⎰.对于1201y dy -⎰,令sin y t =,则cos dy tdt =,所以2122220001111cos (1cos 2)sin 22224y dy tdt t dt t t ππππ⎡⎤-==+=+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰；对于 131122000(1)1(1)(1)(1)33y y dy y d y ⎡⎤--=---=-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰, 所以 12201121(1)243V y y dy πππ⎛⎫⎡⎤=---=- ⎪⎣⎦⎝⎭⎰.解法二：取x 为积分变量,则边界线为212y x x =-与2(01)y x x =≤≤, 如右图所示. 当x x dx →+时,1222(2)()2(2)(2),dV x y y dx x x x x dx ππ=--=---所以1202(2)(2)V x x x x dx π=---⎰. 令1x t -=,则1,x t dx dt =+=,所以120(2)(2)x x x x dx ---⎰021(1)2(1)(1)(1)t t t t dt -⎡⎤=-+-+-+⎣⎦⎰02221111t t t t dt -⎡⎤=---+-⎣⎦⎰.再令sin t θ=,则cos dt d θθ=,所以 00222212111(cos sin cos sin 1)cos t t t t dt d πθθθθθθ--⎡⎤---+-=-+-⎣⎦⎰⎰2222222cossin cos sin cos cos d d d d ππππθθθθθθθθθθ----=-+-⎰⎰⎰⎰00002222221(1cos 2)cos cos sin sin cos 2d d d d ππππθθθθθθθθ----=+++-⎰⎰⎰⎰ []00330222211cos sin sin 2sin 2233ππππθθθθθ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 111143343ππ=++-=-. 所以10112(2)2()43V x x dx πππ=-=-⎰.六、(本题满分9分)【解析】这是一个将立体几何问题转化为函数求最值的问题. 设圆锥底半径为R ,如图,,,BC R AC h OD r ===.由,BC ODAD AC AD==有R R h =⇒=于是圆锥体积22211(2)332h V R h r r h h rππ==<<+∞-.对上式两端对h 求导,并令0V '=,得2222212(2)1(4)03(2)3(2)h h h r h h h r V r r h r h r ππ---'===--, 得唯一驻点4h r =,且24,04,0r h r V r h V '<<<⎧⎨'<<+∞>⎩, 所以4h r =为极小值点也是最小值点,最小体积38(4)3V r r π=.七、(本题满分9分)【解析】首先应简化不等式,从中发现规律.当0x >,常数a e >时,原不等式两边取自然对数可化为ADOCBln()()ln a a x a x a +<+ 或ln()ln a x aa x a +<+. 证法一：令()()ln ln()f x a x a a a x =+-+,则()ln af x a a x'=-+.由,0,a e x >>知ln 1,1,aa a x><+故 ()0(0)f x x '>>.从而()f x 为严格单调递增函数,且()()ln ln()(0)ln ln 0,(0)f x a x a a a x f a a a a x =+-+>=-=>即 ()ln ln()0a x a a a x +-+>, 所以 ()a a x a x a ++<.证法二：令ln ()x f x x =,则21ln ()xf x x-'=. 当x a e >>时,有21ln ()0xf x x-'=<, 所以函数在x a e >>为严格单调递减函数,即()()f x a f a +<, 所以有ln()ln a x aa x a+<+, 即 ()a a x a x a ++<.八、(本题满分9分)【解析】证法一：用微分中值定理.对任意给定的[0,]x a ∈,由拉格朗日中值定理,得()(0)(),(0)f x f f x x ξξ'=+<<由(0)0f =,知()()f x f x ξ'=.因为0max |()|x aM f x ≤≤'=,所以|()||()|f x f x Mx ξ'=≤,将两边从0a →做x 的定积分,有2|()|2aaMa f x dx M xdx ≤=⎰⎰.由定积分的基本性质可知 20|()||()|2a aMa f x dx f x dx ≤≤⎰⎰.证法二：用牛顿-莱布尼茨公式.对任意给定的[0,]x a ∈,以及(0)0f =,可知()()(0)()xf t dt f x f f x '=-=⎰,从而 0|()||()|x f x f t dt Mx '≤≤⎰, 以下同证法一. 证法三：分部积分法.00()()()[()()]()()aaaaf x dx f x d x a f x x a a x f x dx '=-=-+-⎰⎰⎰[()()(0)(0)]()()()()aaf a a a f a a x f x dx a x f x dx ''=---+-=-⎰⎰.所以()()()()()()aaa af x dx a x f x dx a x f x dx M a x dx ''=-≤-≤-⎰⎰⎰⎰2201122aM ax x Ma ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦.。
1993考研数二真题及解析
1993考研数二真题及解析1993年的考研数学二真题主要涵盖了以下几个部分：线性代数、概率论与数理统计和常微分方程。
本文将通过对于每个部分的真题解析来帮助学生更好地理解和掌握这个考试科目。
一、线性代数1. 若A是n阶实对称矩阵，且满足A²=A，证明A的特征值只可能是0或1。
解析：由于A是实对称矩阵，它可以进行正交对角化，即可以表示为PDP^T的形式，其中D是对角矩阵，P是正交矩阵。
由于A²=A，将A代入，可以得到ADP = APD。
设A的特征值为λ，对应的特征向量为v，则有Av = λv。
将ADP = APD代入可以得到λDv = Dλv，即Dv = λv。
因此，D的对角线元素只能是0或1，所以A的特征值只可能是0或1。
2. 设A是n阶实对称矩阵，如果A的特征值全为正实数，是否能断定A的全体元素均为正实数？若能，请给出证明；若不能，请给出反例。
解析：不能。
可以举出反例来说明。
例如，取一个2阶实对称矩阵A = [-1, 0; 0, 1]，它的特征值为-1和1，全为正实数，但是矩阵A中有一个元素为-1，不全为正实数。
二、概率论与数理统计1. 设X和Y是两个相互独立的随机变量，它们的概率密度分别为f(x)和g(y)，试求Z = X + Y的概率密度。
解析：对于连续随机变量X和Y的概率密度函数，利用卷积公式可以求得Z = X + Y的概率密度函数为h(z) = ∫f(x)g(z-x)dx。
2. 设已知随机变量X的分布函数F(x)，定义Y = F(X)，求随机变量Y的分布函数。
解析：对于随机变量Y的分布函数，可以使用变量替换法来进行求解。
设G(y) = P(Y ≤ y)，那么P(F(X) ≤ y) = P(X ≤ F^-1(y)) = F(F^-1(y))= y，所以Y的分布函数为G(y) = y。
三、常微分方程1. 求常微分方程y'' + 3y' + 2y = e^x的通解。
1993考研数二真题及解析
精心整理1993年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) 0lim ln x x x +→=＿＿＿＿＿＿. (2) 函数()y y x =由方程222sin()0x x y e xy ++-=所确定,则dydx=＿＿＿＿＿＿.x(A)3,013,12x x x x ⎧≤<⎪ ⎨⎪≤≤⎩ (B) 3,0133,12x x x x ⎧-≤<⎪⎨⎪≤≤⎩ (C) 31,0131,12x x x x ⎧≤<⎪⎨⎪-≤≤⎩ (D) 311,01331,12x x x x ⎧-≤<⎪⎨⎪-≤≤⎩ (4) 设常数0k >,函数()ln xf x x k e=-+在(0,)+∞内零点个数为 ( )(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0(5) 若()()f x f x =--,在(0,)+∞内()0,()0f x f x '''>>,则()f x 在(,0)-∞内 ( )(A) ()0,()0f x f x '''<< (B) ()0,()0f x f x '''<> (C) ()0,()0f x f x '''>< (D) ()0,()0f x f x '''>> 三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.)(1) 设2sin[()]y f x =,其中f 具有二阶导数,求22d y.八、(本题满分6分)设()f x '在[0,]a 上连续,且(0)0f =,证明：2()2aMa f x dx ≤⎰,其中0max |()|x a M f x ≤≤'=.1993年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】0【解析】这是个0⋅∞型未定式,可将其等价变换成∞∞型,从而利用洛必达法则进行求解. 000021ln lim ln lim limlim 011x x x x x x x x x x x++++→→→→==-=-洛. (2)【答案】222222cos()2cos()2x y e x x y y x y xy--++-222x(1) 如果在(,)a b 内()0f x '>,那么函数()y f x =在[,]a b 上单调增加； (2) 如果在(,)a b 内()0f x '<,那么函数()y f x =在[,]a b 上单调减少. (4)【答案】1/22cos x C -+【解析】32sin cos dx x xdx -==⎰⎰3122cos cos 2cos xd x x C --=-=+⎰.(5)【答案】222111(1)ln(1)222x x x ++-- 【解析】这是微分方程的简单应用. 由题知2ln(1)dyx x dx=+,分离变量得 2ln(1)dy x x dx =+,两边对x 积分有 2221ln(1)ln(1)(1)2y x x dx x d x =+=++⎰⎰.由分部积分法得111111x x x x x x ++++→→→→--221111|1|1lim ()lim lim lim(1)211x x x x x x f x x x x ----→→→→--===-+=---. 因()f x 在1x =处左右极限不相等,故在1x =处不连续,因此选(A). (3)【答案】(D)【解析】这是分段函数求定积分.当01x ≤<时,01x t ≤≤≤,故2()f t t =,所以23311111()()(1)33xx xF x f t dt t dt t x ⎡⎤====-⎢⎥⎣⎦⎰⎰.当12x ≤≤时,12,t x ≤≤≤故()1f t =,所以[]111()()11x xxF x f t dt dt t x ====-⎰⎰.应选(D).(4)【答案】(B)【解析】判定函数()f x 零点的个数等价于判定函数()y f x =与x 的交点个数.根据图可以看出()f x 在(,0)-∞内增加而凸,()0,()0f x f x '''><,选(C). 方法二：用代数法证明.对恒等式()()f x f x =--两边求导,得()(),()()f x f x f x f x ''''''=-=--.当(,0)x ∈-∞时,有(0,)x -∈+∞,所以()()0,()()0f x f x f x f x ''''''=->=--<,故应选(C).三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.)(1)【解析】{}222sin[()]cos[()]()2y f x f x f x x '''==⋅⋅,22cos[()]()2f x f x '+⋅⋅. 【相关知识点】复合函数求导法则：如果在点x 可导,而在点可导,则复合函数21x - 221sin cos 11x C xdx C x x +⎡⎤=+=⎣⎦--⎰. 代入初始条件 01x y ==,得 2sin 0101C +=-,所以 1C =-.所求特解为 2sin 11x y x -=-. 【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的通解公式为:()()(())p x dx p x dxy e q x e dx C -⎰⎰=+⎰,其中C 为常数.四、(本题满分9分)【解析】要确定常数,,αβγ,只需将特解代入原微分方程后,用比较系数法即得.对于特解2(1)xx y e x e =++,有222(1)2(2)xx x x x y ee x e e x e '=+++=++,2222(2)4(2)4(3)xx x x x x x y ex e e e x e e x e '''⎡⎤=++=+++=++⎣⎦,x解法一：考虑对y 的积分,则边界线为11x =2(01)x y y =≤≤,如右图所示.当y y dy →+时,22(1)y dy π⎤=-⎦.所以1202(1)V y dy π⎤=-⎦⎰.对于⎰,令sin y t =,则cos dy tdt =,所以2222000111cos (1cos 2)sin 22224tdt t dt t t ππππ⎡⎤==+=+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰； 对于 131122000(1)1(1)(1)(1)33y y dy y d y ⎡⎤--=---=-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰, 所以120112(1)2V y dy πππ⎛⎫⎤=-=- ⎪⎰.22211(2)332h V R h r r h h rππ==<<+∞-.对上式两端对h 求导,并令0V '=,得C2222212(2)1(4)03(2)3(2)h h h r h h h r V r r h r h r ππ---'===--,得唯一驻点4h r =,且24,04,0r h r V r h V '<<<⎧⎨'<<+∞>⎩, 所以4h r =为极小值点也是最小值点,最小体积38(4)3V r r π=. 七、(本题满分9分)【解析】证法一：用微分中值定理.对任意给定的[0,]x a ∈,由拉格朗日中值定理,得由(0)0f =,知()()f x f x ξ'=.因为0max |()|x aM f x ≤≤'=,所以|()||()|f x f x Mx ξ'=≤,将两边从0a →做x 的定积分,有2|()|2aaMa f x dx M xdx ≤=⎰⎰.由定积分的基本性质可知 20|()||()|2aaMa f x dx f x dx ≤≤⎰⎰.证法二：用牛顿-莱布尼茨公式.对任意给定的[0,]x a ∈,以及(0)0f =,可知x。
1987-2009考研数学二真题【共58页】(可直接打印)
）
(A)
lim
h---++oo
h
[J(a
+ — 1h )
-f(a)]存在．
(B) lim J(a 曰
+ 2h) -f(a
1
+ h)存在．
(C) 四 f(a + h)�勹 f(a - h)存在．
(D) 四f(a) -�(a - h)存在．
四、（本题满分6分） 求微分方程xy'+ (1 - X)y=产(O <x <+oo)满足y(l)=0的特解
+
2 l
=
，结论是
．
(5) ff'(x)dx =
, ff'(2x)dx =
.
二、（本题满分6分）
1). 求极限lim( x----t()
1 了-
ex
1
-
三、（本题满分7分）
设{ x =
y=
5 5
(t (1
-
sin t), cos t),
求d少x'心 dx2 ·
r。 四、（本题满分8分）
计算定积分 xarcsin xdx.
1987年全国硕士研究生招生考试试题
（试卷皿）
-、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）
(1)设y= In(1 + ax),其中a为非零常数，则y'=
,y"=
(2)曲线y= arctan x在横坐标为1的点处的切线方程是
；法线方程是
．
r (3)积分中值定理的条件是
(4)
lim
n--+oc
(nn
(2)求山方程 2y -x=(x -y)ln(x -y)所确定的 函数y=y(x)的微分 dy. 7
1987年全国硕士研究生招生考试数学(二)真题(含解析)
1987年全国硕士研究生招生考试试题（试卷皿）-、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）(1)设y= I n (1 + a x) ,其中a为非零常数，则y'=,y" =(2)曲线y= arctan x在横坐标为1的点处的切线方程是；法线方程是．(3)积分中值定理的条件是，结论是．(4)l i m (n -2 r =n--+oc n+l(5)f f'(x)d x=,f f'(2x)d x=.二、（本题满分6分）求极限l i m(1 11).x----t()了-e x -三、（本题满分7分）设{x =5 (t -si n t),求少心y =5 (1 -co s t),dx'dx2·四、（本题满分8分）计算定积分r xarc si n xd x. 。
五、（本题满分8分）设D是由曲线y=sin x + I与三条直线X= 0,X ='IT ,y =0围成的曲边梯形，求D绕O x轴旋转一周所生成的旋转体的体积六、证明题（本题满分10分）(1)若八x)在(a,b)内可导，且导数J'(x)恒大千零，则J(x)在(a,b)内单调增加(2)若g(x)在X= C处二阶导数存在，且g'(c)= O,g"(c) < 0, 则g(c)为g(x)的一个极大值七、（本题满分10分）计算不定积分f2-2d x2'其中a,b是不全为0的非负常数a sm x + b2 cos xl1987年数学（二）真题解析一、填空题（1）【答案】a1 ax (1 + ax)2（5）【答案】八工）+C ；【解】J/Z (x)dj ： = /(J7)+ C ;[八2” = *心)[=心)；心).【解】“=二£—1十ax a ・(—a ) _ a 2(1 ~h ax)2 (1 ~h ad ：)2(2)【答案】 y = —j : + ----------； y = — 2a: + — + 2.【解】y(l) = +，“ = 1 2' “ ⑴=4"，4 1 十 £ /切线方程为y —— = *(工一1),艮卩y = +------；法线方程为夕—= —2（工一1）,即，=—2工+于+ 2.（3）【答案】fS 在匕"］上连续；在［a,b ］上至少存在一点&使得/（^）dz = —J a【解】 积分中值定理的条件是：/'（工）在［a 』］上连续.结论是：在［a,6］上至少存在一点“使得『/（Rdz = f （OCb-a ）.（4）【答案】e"3.【解】lim ”f 8貯）—3n2二、【解】lim (—x->0 \ JC 土）=柬去芝1?1. eJ — 1 — x e x — 1= lim --------z ------ — lim -------x-*o X x-*o ~2=【解】乜== Sint—、 djr dr /dr 1 — cos tdx 2Ax / dt 5(1 — cos t )' (1 -—COS t )2 5( 1 — cos tY 四、【解】方法一[zarcsin xAx =-—J o 2arcsin jc A^jc 2 )J 02X =T I 1 1 f 1arcsin x ----—1 o 2 Jo 2—-——d 工 a / 1— x 27t —T _「2 L "^吐• 1•工=Sin t 7t 1 IT sin Z T~"2J 01X1t y 7t 1------• cos tat = — o cos t --------------------4 22 sinSck o 方法二jrarcsin jc A x o 五、【解】V = 7T 7T 1 1 7T T~T 9 T 9 ~2x = sin ~87Tiin Z fy1...~J Z sin t • cos tdt = —2 Zsin 2/dto (sin x + 1)2djr = 7t 0 •7C cos 2工12 2zsin 2£d ⑵)o n1sin = — Xo 8(sin 2x + 2sin 工 + l)dzo + 2sin 工 + 1 ) dr =兀[#7T — (ysin 2工 + 2cos 工今[sinzdr = £=迈-(3兀 + 8).六、【证明】（1）任取工1，工2 €（Q,b ）且工1 ＜工2,有于（工2）—于（工1）=/'（£）（工2—工1），其中21 V £ V 工2，因为十（工）恒大于零，所以/（^2）-/（^!）＞0,即了（口）＜/（工2）， 故/（J ；）在（a,b ）内单调增加.（2）g"（c ） = lim ' °? V 0,工-＞c t — cQ ' （ JC ） 由极限保号性，存在& ＞o,当0 ＜丨H —C |＜5时，§亠丄V0,X — C当工 G （c —5,c ）时，（工）＞0;当工€ （c,c+d ）时，g'（H ）V0,则工=c 为 g （）的极大值点，g （c ）为gQ ）的一个极大值.七、【解】当a = 0,6工0时,a 2 sin 2 jc b 2 cos 2 x djrcos 2 JC =tan 工 + Cb 2当 aH0,b = 0 时,djr a 2 sin 2 x b 2 cos 2 x 1a 1-----cot a x + C当 a # 0,6 # 0 时,dx a 2 sin 2 工 + b 2 cos 2 x sec 2j;O V V. JU .= J^ + (atanA 吐丄a d(atan z)b 2 + (atan xY 1a tan— arctan —— ab b + C.八、【解】（1）由jc = jc — y 得字=1 ——d«r dz x令u = 2 ,则％ +工半=1 — u ，分离变量得 =—x dz 1 — LU x 解得---In | 1 — 2w | = ln&| + C,将 h = \[2 ,》=0 代入得 C = — lnV^,jr 1故原方程满足初始条件的特解为＞ =V ——.Z jc (2)特征方程为A 2 +2A + 1 = 0,特征值为右=& = — 1,3/' + 2$+y = 0 的通解为 y = (C! +C 2x)e"x ；・2•设原方程的特解为》0（乂）=（az+ZOe",代入得a=-^―,b=----,44故原方程的通解为y=（G+C2^）ep+*Q—l）eH（其中C x,C2为任意常数）.九、选择题（1）【答案】（D）.【解】因为/（—z）=/（x）,所以于Q）为偶函数，应选（D）.（2）【答案】（C）.TV【解】取乂”=2n7r+—,lim f(jc n)=x；Z n-*oo取;y”=2兀兀，lim fCy n)=0,显然fO在(—00,+°°)内无界，应选(C)・”f8(3)【答案】(B).【解】lim他+’—')=lim「ZG十刃—一刃一血)]=鸟仏), x-*0X x-*0L工一Z 」应选(B).(4)【答案】(D).【解】I=t[(f(tx)dx=['/(tz)d(tz)=[/(u)du,J0J0J0显然J与s有关，与£无关，应选(D).十、【解】设切点为M(a9-a2+l)(0<a<1),则切线方程为y—(—a2+1)=—2aQ—a),即』=—2ajc+a2+1,2|-I令夕=0得工=—z；令工=0得;y=a2+1,La剛仟匚+丹工口斗口(a'+l)?p2|1\1(<22+I)224a Jo4a3入/(a2+l)(3a2—1)侣^34a3当0Va<晋时，s'<0；当a>普时，S'>0,则当a=y时，所围图形的面积最小,切点坐标为（吕^,彳），最小面积为S=—----扌.•3・。
考研数学二1987真题
考研数学二1987真题考研数学二1987真题1987年的考研数学二真题，是历年考研数学试题中的一道经典题目。
该题涉及到概率与统计的知识，难度适中，考察了考生对概率分布和随机变量的理解和运用能力。
下面将对该题进行详细的分析和解答。
问题描述如下：设随机变量X的概率密度函数为f(x)=kx(1-x)，0<x<1，否则为零。
求k的值，并求P(1/4<X<3/4)。
首先，我们来求k的值。
对于概率密度函数，其满足两个条件：非负性和归一性。
非负性要求概率密度函数在定义域内的取值都大于等于零；归一性要求概率密度函数在整个定义域内的积分等于1。
根据这两个条件，我们可以得到以下两个方程：∫[0,1] kx(1-x)dx = 1k∫[0,1] x(1-x)dx = 1对第一个方程进行积分，得到：k∫[0,1] x-x^2dx = 1k[1/2x^2-1/3x^3]∣[0,1] = 1k(1/2-1/3) = 1k/6 = 1k = 6所以k的值为6。
接下来，我们来求P(1/4<X<3/4)。
根据概率密度函数的定义，我们可以通过积分来计算概率。
对于连续型随机变量，其概率可以表示为对应概率密度函数在相应区间上的积分。
所以，我们可以计算如下积分：P(1/4<X<3/4) = ∫[1/4,3/4] kx(1-x)dx将k的值代入上式，得到：P(1/4<X<3/4) = 6∫[1/4,3/4] x(1-x)dx对上式进行积分，得到：6∫[1/4,3/4] x-x^2dx = 6[1/2x^2-1/3x^3]∣[1/4,3/4]= 6[(1/2(3/4)^2-1/3(3/4)^3)-(1/2(1/4)^2-1/3(1/4)^3)]= 6[(9/32-27/256)-(1/32-1/256)]= 6[(9/32-27/256)-(8/256-1/256)]= 6[(9/32-27/256)-7/256]= 6[9/32-34/256]= 6[9/32-17/128]= 6[9/32-17/128]= 6(36/128-17/128)= 6(19/128)= 114/128= 57/64所以P(1/4<X<3/4)的值为57/64。