0621 数论综合三
数论复习专题(教师版含答案)
数论复习专题(教师版含答案)
导言
本文档是数论复专题的教师版，包含答案。
数论是数学的一个分支，研究整数及其性质。
该文档旨在帮助教师进行数论复，并提供了题目的答案，以便教师进行评估和指导。
目录
1. 数的性质
2. 计数和排列组合
3. 素数与因子分解
4. 同余关系
5. 质数定理
1. 数的性质
1.1 奇数与偶数
题目：判断以下数是奇数还是偶数：17, 24, 31, 42
答案：17是奇数，24和42是偶数，31是奇数。
1.2 整除性质
题目：判断以下数是否能被3整除：18, 25, 36, 42
答案：18和36能被3整除，25和42不能被3整除。
...
5. 质数定理
题目：根据质数定理计算以下数的近似质数个数：
5, 10, 20, 50
答案：根据质数定理，小于等于n的质数个数约为n/ln(n)。
因此，近似质数个数分别为：
5: 2
10: 4
20: 8
50: 15
结论
本文档提供了数论复习专题的教师版，包含题目和答案，可用于教师进行复习和评估学生的掌握程度。
教师可以根据需要逐个章节进行讲解和练习，以提高学生对数论的理解和应用能力。
解决考研数学数论难题的思路
解决考研数学数论难题的思路数学数论作为考研数学科目中的一部分，一直以来都是考生面临的难点之一。
数论问题往往涉及到数的性质、模运算、同余等概念，对于不少考生而言，这是一门相对陌生而复杂的学科。
然而，通过合理的思路和方法，我们可以在解决考研数学数论难题上找到一些突破口。
首先，在解决考研数学数论难题时，我们需要全面理解题目要求和限制条件。
数论问题往往以某个条件为前提，因此我们应该仔细阅读题目，理解条件的含义和作用。
如果条件较为复杂，可以将其逐个分解，找出每个条件的具体含义和关系，从而为解题提供指导。
其次，在解决考研数学数论难题时，我们应该灵活运用数论的基本概念和原理。
数论问题常常涉及到素数、同余、除法等基本概念，在解题过程中，我们应该善于抓住这些关键点，灵活运用相关的定理和性质。
比如，对于判断一个数是否为素数，我们可以利用素数的定义和判定定理进行判断；对于同余问题，我们可以利用同余的性质和定理进行推导。
通过灵活运用基本原理和概念，可以大大简化解题过程，提高解题效率。
此外，在解决考研数学数论难题时，我们应该注重思维的转换和创新。
数论问题往往有多种解法和思路，我们应该善于将问题转化为其他形式，同时尝试不同的解题思路。
比如，对于较为复杂的数论问题，我们可以将其转化为一系列简单的数论问题来解决；对于条件较为繁琐的问题，我们可以尝试使用反证法或者构造法来解答。
通过灵活的思维转换和创新，我们可以找到更加简便和巧妙的解题方法，从而更好地解决数论难题。
最后，在解决考研数学数论难题时，我们应该注重实践和练习。
数论问题往往需要一定的数学基础和技巧，因此我们应该通过大量的练习来提升自己的解题能力。
可以选择一些经典的数论题目和例题进行反复练习，从而熟悉各种数论的解题方法和技巧，提高解题的准确性和速度。
此外，可以结合参考书籍和学习资料，了解更多的数论知识和技巧，拓宽解题思路。
综上所述，解决考研数学数论难题的思路包括全面理解题目要求和限制条件、灵活运用基本概念和原理、注重思维的转换和创新，以及通过实践和练习来提升解题能力。
数论练习题解析
数论练习题解析数论是一门研究整数性质和整数运算规律的数学分支，具有广泛的应用领域。
在数学竞赛中，数论常常是一道重要的题型。
本文将为大家解析几道常见的数论练习题，以帮助读者更好地理解和掌握数论知识。
1. 题目一已知整数a、b满足等式a^2+b^2=2019，求a和b的值。
解析：由于a和b都是整数，所以a^2与b^2的取值范围在[0, 2019]之间。
穷举其中的所有可能情况，可以得到以下解：a=27，b=42a=42，b=27a=-27，b=-42a=-42，b=-272. 题目二已知p是一个质数，若p≡1(mod 4)，证明方程x^2≡-1(mod p)有解。
解析：根据题意，p≡1(mod 4)，说明p可以写成p=4k+1的形式，其中k为一个整数。
我们可以进行如下推导：假设p=4k+1，且x^2≡-1(mod p)没有解，即x^2+1≡0(mod p)没有解。
根据费马小定理，如果x^p ≡ x(mod p)，则对于任意的整数x，有x^(p-1) ≡ 1(mod p)。
将x^2+1拆开，可以得到(x^2+1)(x^2+1)≡0(mod p)。
进一步化简得到(x^2+1)^2 ≡ 0(mod p)。
根据费马小定理，有(x^2+1)^(p-1) ≡ 1(mod p)。
由于p-1可被4整除，因此(p-1)/2为一个偶数，那么(x^2+1)^(p-1) ≡ ((x^2+1)^2)^(k'//2) ≡ 0(mod p)，其中k'=(p-1)/2。
这与(x^2+1)^(p-1) ≡ 1(mod p)相矛盾。
所以方程x^2≡-1(mod p)一定有解。
通过以上证明，我们可以得出结论：若p≡1(mod 4)，则方程x^2≡-1(mod p)必有解。
3. 题目三有一堆石头，堆成三角形。
现在小明和小红进行以下游戏：每次他们可以从堆中任意拿走不超过m个石头，谁拿到最后一颗石头，谁就赢。
假设小明先手，求在满足一定条件下，小明能否必胜。
数论综合(三)
余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛、小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲知识对于同学们来说非常重要。
余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理、乘法余数定理、同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b＝q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b，我们就称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商（1）当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商（2）当0二、同余的概念和性质同余定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b（mod m）。
（*）上式可读作：a同余于b，模m。
同余式（*）意味着（我们假设a≥b）：a－b＝mk，k 是整数，即m｜（a－b）例如：①15≡365（mod 7），因为365－15＝350＝7×50。
②56≡20（mod 9），因为56－20＝36＝9×4。
③90≡0（mod 10），因为90－0＝90＝10×9。
由例③我们得到启发，a可被m整除，可用同余式表示为：a≡0（mod m）。
例如，表示a是一个偶数，可以写a≡0（mod 2）；表示b是一个奇数，可以写b≡1（mod 2）。
同余的性质：性质1：a≡a（mod m）（反身性），这个性质很显然，因为a－a＝0＝m·0。
性质2：若a≡b（mod m），那么b≡a（mod m）（对称性）。
性质3：若a≡b（mod m），b≡c（mod m），那么a≡c（mod m）（传递性）。
性质4：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么a±c≡b±d（mod m）（可加减性）。
性质5：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么ac≡bd（mod m）（可乘性）。
2023年全国硕士研究生考试考研数学三试卷真题(含答案详解)
2023年全国硕士研究生招生考试《数学三》真题及答案解析【完整版】一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
1．已知函数f （x ，y ）＝ln （y ＋|xsiny|），则（ ）。
A ．()0,1fx ∂∂不存在，()0,1f y ∂∂存在B ．()0,1fx ∂∂存在，()0,1f y ∂∂不存在C ．()0,1fx ∂∂，()0,1f y ∂∂均存在D ．()0,1fx ∂∂，()0,1f y∂∂均不存在【参考答案】A【参考解析】f （0，1）＝0，由偏导数的定义()()()()0000,1ln 1sin1,10,1lim lim sin1lim x x x x x f x f fx x xx →→→+-∂===∂，因为0lim 1x x x+→=，0lim 1x x x-→=-，所以()0,1fx ∂∂不存在， ()()()1110,10,0,1ln 1lim lim lim 1111y y y f y f f y y y y y y →→→-∂-====∂---，所以()0,1f y∂∂存在.2．函数()()01cos ,0x f x x x x ≤=+>⎩的原函数为（ ）。
A ．())()ln ,01cos sin ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪+->⎩B ．())()ln 1,01cos sin ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪+->⎩C ．())()ln ,01sin cos ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪++>⎩D ．())()ln 1,01sin cos ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪++>⎩【参考答案】D【参考解析】当x ≤0时，()(1d ln f x x x C ==+⎰当x ＞0时，()()()()()2d 1cos d 1dsin 1sin sin d 1sin cos f x x x x xx x x x x x x x x C =+=+=+-=+++⎰⎰⎰⎰原函数在（－∞，＋∞）内连续，则在x ＝0处(110lim ln x x C C -→++=，()220lim 1sin cos 1x x x x C C +→+++=+ 所以C 1＝1＋C 2，令C 2＝C ，则C 1＝1＋C ，故())()ln 1,0d 1sin cos ,0x C x f x x x x x C x ⎧++≤⎪=⎨⎪+++>⎩⎰，综合选项，令C ＝0，则f （x ）的一个原函数为())()ln 1,01sin cos ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪++>⎩.3．已知微分方程式y ′′＋ay ′＋by ＝0的解在（－∞，＋∞）上有界，则（ ）。
经典解析数论
经典解析数论
经典解析数论是指运用复分析等高深数学工具来研究数论问题的一种
方法。
它主要研究数论中的整数分拆、素数分布、互质整数的分布等
问题。
经典解析数论中的典型问题包括黎曼猜想、费马大定理等。
经典解析数论的核心思想是将数论问题转化为复变函数问题，然后利
用复分析中的技巧和方法来进行研究。
其中，拟周期函数和模函数是
经典解析数论中非常重要的概念，它们可用于描述数论问题中的周期
性和对称性，是研究周期性问题和零点问题的重要工具。
在经典解析数论中，黎曼猜想是最为著名的问题之一。
黎曼猜想是指
所有非平凡零点都位于直线Re(s) = 1/2上，其中s是黎曼Zeta函数
的复变量。
黎曼Zeta函数可以用来描述素数的分布情况，因此黎曼猜想被认为是数论中最重要的猜想之一。
虽然黎曼猜想已经被数学家广
泛研究了数百年，但至今仍未被完全证明。
另一个重要的经典解析数论问题是费马大定理。
费马大定理指的是对
于任何大于2的整数n，都不存在整数x、y、z，满足xn + yn = zn。
该问题被认为是数学中最困难的问题之一，直到20世纪90年代才被
英国数学家安德鲁·怀尔斯证明。
怀尔斯的证明十分复杂，运用了大量
的高深数学知识。
总之，经典解析数论通过把数论问题转化成复分析问题来解决数论中的一些难题，为数学研究提供了新的方法和思路。
保证了数论问题的深入发展与提高。
数论基础(六讲)
数论基础（六讲）第一讲：数论的基本概念数论是数学的一个分支，主要研究整数的性质。
它包括整数分解、同余、素数分布、二次剩余等内容。
数论在密码学、计算机科学、编码理论等领域有着广泛的应用。
一、整数分解整数分解是将一个整数表示为若干个整数的乘积的过程。
其中，素数分解是最基本的整数分解方式。
素数是只能被1和它本身整除的大于1的自然数。
例如，6可以分解为2×3。
二、同余1. 反身性：a ≡ a (mod m)；2. 对称性：如果a ≡ b (mod m)，则b ≡ a (mod m)；3. 传递性：如果a ≡ b (mod m)且b ≡ c (mod m)，则a ≡ c (mod m)；4. 加法同余：如果a ≡ b (mod m)且c ≡ d (mod m)，则a + c ≡ b + d (mod m)；5. 乘法同余：如果a ≡ b (mod m)且c ≡ d (mod m)，则ac ≡ bd (mod m)。
三、素数分布素数分布研究素数在整数序列中的分布规律。
其中，欧拉筛法和埃拉托斯特尼筛法是常见的素数方法。
素数定理是描述素数分布的一个重要定理，它指出素数密度大约为1/ln(n)，其中n为自然数。
四、二次剩余二次剩余是指一个整数a关于模m的二次同余方程x² ≡ a (mod m)有解的情况。
二次剩余问题在数论中有着重要的地位，如二次互反律、高斯和等。
五、同余方程同余方程是数论中的一个重要问题，它研究形如ax ≡ b (mod m)的方程的解。
同余方程的解法包括逆元法和扩展欧几里得算法等。
六、数论在现代数学中的应用数论在现代数学中有着广泛的应用，如密码学中的RSA算法、计算机科学中的哈希函数、编码理论中的纠错码等。
这些应用使得数论在解决实际问题时具有很高的价值。
数论基础（六讲）第二讲：数论中的经典定理一、费马小定理费马小定理是数论中的一个重要定理，它指出如果p是一个素数，a是一个整数，且a与p互质，那么a^(p1) ≡ 1 (mod p)。
学而思小升初培优六：数论综合 学生版
小升初培优（六）：数论综合专题回顾练习：1加工某种机器零件,要经过三道工序,第一道工序每名工人每小时可完成6个零件,第二道工序每名工人每小时可完成10个零件,第三道工序每名工人每小时可完成15个零件.要使加工生产均衡,三道工序最少共需要多少名工人?2甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少?例题解析枚举法（也称为穷举法）是把讨论的对象分成若干种情况（分类），然后对各种情况逐一讨论，最终解决整个问题。
运用枚举法有时要进行恰当的分类，分类的原则是不重不漏。
正确的分类有助于暴露问题的本质，降低问题的难度。
数论中最常用的分类方法有按模的余数分类，按奇偶性分类及按数值的大小分类等。
【例1】 求这样的三位数，它除以11所得的余数等于它的三个数字的平方和。
【分析】三位数只有900个，可用枚举法解决，枚举时可先估计有关量的范围，以缩小讨论范围，减少计算量。
设这个三位数的百位、十位、个位的数字分别为x ，y ，z 。
由于任何数除以11所得余数都不大于10，所以222x y z ++10≤。
从而13x ≤≤，03y ≤≤，03z ≤≤。
所求三位数必在以下数中：100101102103110111112120121122130200201202211212220221300301310 不难验证只有100，101两个数符合要求。
【例2】 写出12个都是合数的连续自然数。
【分析】（法一）在寻找质数的过程中，我们可以看出100以内最多可以写出7个连续的合数：90，91，92，93，94，95，96。
我们把筛选法继续运用下去，把考查的范围扩大一些就行了。
用筛选法可以求得在113与127之间共有13个都是合数的连续自然数：114，115，116，117，118，119，120，121，122，123，124，125，126。
（法二）如果设这12个数分别是a ，1a +，2a +， ，11a +，如果2a -能被2到13中任意一个数整除，那么a ，1a +，2a +， ，11a +，能分别被2、3、4, ,13整除，所以，只要取13!a =即可得到符合条件的12个数。
2021年研究生考试数学全科综合真题答案解析
2021年研究生考试数学全科综合真题答案解析同学们好，今天做2021考研数学真题情况的总结，给大家一个参考。
首先根据咱们发现的命题小规律，2021是偶数年，通过大家的反馈也知道，今年的数学卷子难度确实比2021年大。
2021年数一数二的平均分达到八十，估计今年会降10分甚至更多，大概65分到70分之间，注意这里是平均分，不是录取线。
数三应该与去年持平。
我给你们传递一个重要的信息：水降船低，同学们个人的成绩离开群体没有意义。
所以大家不用担心自己的成绩是降或者升。
认真准备的同学，只要把会写的写完，不会有不好的结果，大家静待结果，不要悲观。
对于2021年考试的同学，根据咱们的大小年规律，可能数学会相对轻松。
但如果明年考研数学的平均成绩大幅上升，同学们自己准备不好，水涨船高的驱使下，所占位置反而会落后。
考研后最想跟大家说，我们首先要静一静思考一下，沉淀心情。
第二，给大家整体说明下试卷情况。
第一条，这三份试卷第一大特点是突出基础和重点。
这个特点占大部分分数，同学们知道考研数学与其他学科相比有一个明显的特点， 150分里有将近100分是大题，所以大题的成败会决定这张卷子的总成绩。
大题中不管是数学一考到的二型面积分、数列的敛散性、条件最值，数学二考到的二重积分，数列极限的证明;数学三也涉及二重积分、级数的展开，这些知识都是常规性的基础和重点，所以未来考研的学生依然应该在数学上加强重点知识复习，这是整个复习的主体。
第二条，我们要加强计算。
比如今年卷子上一道二重积分的题目。
它包含两个新意：数学一中多元积分学考的二型面积分，这比较简单。
但是数学二和数学三，积分区域不好划，不好计算。
我们在模考时一直给大家强调，二重积分没有思路问题，全是计算能力。
另外一张卷子考的是参数方程，是用一个参数方程的形式给出大家积分区域。
这个题的二重积分实际是命题八套卷上的原题，其实我们现在很少跟大家说我有原题。
包括各类统计，我们讲过如果期望算出来是零，要改成二阶原点。
大学数论知识点总结
大学数论知识点总结1.基本概念在开始讨论数论的具体内容之前，我们先来了解一些基本概念。
首先是整数和自然数的概念。
自然数是从1开始的正整数，记作N={1, 2, 3, …}，而整数包括自然数以及0和负整数，记作Z={…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}。
1.1 质数和合数在数论中，我们经常会涉及到质数和合数的概念。
质数是指只能被1和自身整除的自然数，即除了1和它本身之外没有其他正因数的自然数。
比如2、3、5、7等都是质数。
而能够被除了1和自身之外的其他自然数整除的数称为合数，比如4、6、9等。
1.2 整除和倍数在数论中，整除和倍数也是基本概念。
如果一个整数n能够整除另一个整数m，即m能够被n整除，我们记作n|m。
而如果n能够被m整除，则m称为n的倍数，n称为m的约数。
特别地，任何整数都是1的倍数，而0除以任何不为0的整数时余数都是0。
2.基本定理在数论中有一些非常重要的基本定理，它们是数论研究的基础，也是其他定理的主要依据。
下面我们将介绍一些重要的基本定理。
2.1 质数分解定理质数分解定理是数论中的一个基本定理，表明每一个大于1的自然数都可以唯一地被分解为若干个质数的乘积。
这个定理是数论研究的基础之一，也是很多数论问题的重要依据。
2.2 唯一因子分解定理唯一因子分解定理是质数分解定理的推广，对于任何整数n都可以表示成质因数的唯一乘积。
这个定理不仅仅适用于自然数，也适用于整数。
2.3 模运算模运算是数论中的一个重要概念，它描述的是两个整数的除法所得到的余数。
在模运算中，我们通常使用模运算符号“%”来表示，比如a%b表示a除以b所得到的余数。
模运算在密码学和计算机科学中有很重要的应用。
3.同余定理同余定理是数论中一个重要的定理，它描述了整数之间的一种特殊的等价关系。
如果两个整数a和b满足a-b能被某个整数n整除，我们就称a与b关于模n同余，记作a≡b(mod n)。
同余定理在数论中有很多应用，比如在计算模运算的结果时就会用到同余定理。
高三复习：数论-知识点、题型方法归纳
高三复习：数论-知识点、题型方法归纳
1. 知识点概述
- 数论是研究整数的性质和规律的数学分支。
- 常用的数论知识点包括质数与因数分解、最大公约数与最小公倍数、同余与模运算、欧几里得算法等。
2. 题型分类与方法
2.1 质数与因数分解
- 计算质数的方法：试除法、筛法等。
- 因数分解方法：提取公因数、分解定理、试除法等。
2.2 最大公约数与最小公倍数
- 求最大公约数的方法：辗转相除法、质因数分解法等。
- 求最小公倍数的方法：利用最大公约数求解。
2.3 同余与模运算
- 同余的性质与定理：同余的基本性质、同余定理等。
- 模运算的规律与应用：加法、减法、乘法的模运算规律等。
2.4 欧几里得算法
- 欧几里得算法求最大公约数：利用辗转相除法逐步缩小待求数与除数的差值。
3. 复方法建议
- 温故知新：回顾数论的基本概念和常用公式。
- 多做练题：通过大量的练题加深对知识点的理解和掌握。
- 制定复计划：合理安排每天的复时间，有针对性地复重点知识点。
- 解析错题：针对每道错题进行仔细分析和解析，找出错误的原因以及解题方法。
以上是高三复习数论知识点及题型方法的归纳，请根据个人实际情况进行复习规划和练习安排。
数论初步例题和知识点总结
数论初步例题和知识点总结数论是数学的一个重要分支，主要研究整数的性质和关系。
它不仅在纯数学领域有着深厚的理论价值，还在密码学、计算机科学等应用领域发挥着关键作用。
下面我们通过一些例题来深入理解数论的一些重要知识点。
一、整除性整除性是数论中最基本的概念之一。
如果整数 a 除以整数 b（b≠0），所得的商是整数且没有余数，我们就说 a 能被 b 整除，记作 b|a。
例如：24 能被 6 整除，因为 24÷6 ＝ 4，没有余数，记作 6|24。
例题：证明如果 a|b 且 a|c，那么对于任意整数 m 和 n，a|（mb ＋nc)。
证明：因为 a|b，所以存在整数 k1 使得 b ＝ k1a；因为 a|c，所以存在整数 k2 使得 c ＝ k2a。
则 mb ＋ nc ＝ m(k1a) ＋ n(k2a) ＝（mk1 ＋ nk2)a因为 mk1 ＋ nk2 是整数，所以 a|（mb ＋ nc)。
二、质数与合数质数是指一个大于 1 的自然数，除了 1 和它自身外，不能被其他自然数整除的数。
合数则是指除了能被 1 和本身整除外，还能被其他数（0 除外）整除的自然数。
例如：2、3、5、7 是质数，4、6、8、9 是合数。
例题：判断 101 是不是质数。
解：因为小于 101 的平方根的质数有 2、3、5、7。
分别用 101 除以这些数，发现都不能整除，所以 101 是质数。
三、最大公因数和最小公倍数两个或多个整数公有的因数中最大的一个称为最大公因数，记作（a, b)。
两个或多个整数公有的倍数中最小的一个称为最小公倍数，记作 a, b。
例如：（12, 18) ＝ 6，12, 18 ＝ 36例题：求 24 和 36 的最大公因数和最小公倍数。
解：用辗转相除法求最大公因数。
36 ＝ 24×1 ＋ 1224 ＝ 12×2 ＋ 0所以（24, 36) ＝ 12最小公倍数为 24×36÷12 ＝ 72四、同余如果两个整数 a 和 b 除以正整数 m 所得的余数相同，我们就说 a 和b 对模 m 同余，记作a ≡ b （mod m)。
上海市考研数学教育备考数论重点知识整理
上海市考研数学教育备考数论重点知识整理本文将对上海市考研数学教育备考数论重点知识进行整理。
数论是数学的一个重要分支，涉及数的性质、性质的证明以及与其他数学分支的联系等内容。
备考数学考研，掌握数论的重点知识对于提高数学成绩至关重要。
一、整数与整除性质整数是数论的基本对象，掌握整数的性质对于数论的学习至关重要。
在整数的基础上，整除性质是数论的一个重要概念，即一个整数能被另一个整数整除。
在备考数论时，需要掌握以下重点知识：1. 整数的性质：如奇偶性、质数与合数的判断等。
2. 整除与倍数的关系：了解整除性质以及它与倍数的关联。
3. 素数与合数：认识素数与合数的定义及其性质。
二、同余关系同余关系是数论中的一个重要概念，用于描述整数之间的一种等价关系。
备考数论时，重点知识包括：1. 同余关系的定义与性质：了解同余关系的基本定义及其相关性质。
2. 同余定理：熟悉常见的同余定理，如费马小定理、中国剩余定理等。
3. 同余方程与同余类：理解同余方程及其解的性质，掌握同余类的概念。
三、素数与质因数分解素数与质因数分解是数论的重要内容，也是备考数论的重点知识。
1. 素数的性质：了解素数的定义及其性质，掌握素数判定方法。
2. 质因数分解：理解质因数分解的概念，熟练使用质因数分解算法。
3. 最大公因数与最小公倍数：掌握最大公因数与最小公倍数的性质与计算方法。
四、模运算模运算是数论中的一个重要概念，用于研究整数的性质。
备考数论时，需要重点掌握以下知识：1. 模运算的定义与性质：了解模运算的基本定义及其相关性质。
2. 模运算的运算法则：熟悉模运算的加法、减法、乘法以及幂运算法则。
3. 同余方程与模线性方程组：理解同余方程与模线性方程组的概念，掌握解题方法。
五、数论函数数论函数是数论中的一个重要概念，描述了整数间的某种关系。
备考数论时，需要掌握以下知识：1. 欧拉函数与莫比乌斯函数：了解欧拉函数与莫比乌斯函数的定义与性质，熟练计算欧拉函数与莫比乌斯函数的值。
小学奥数616讲 数论综合三
学科培优数学“数论综合三”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。
数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。
因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。
任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。
”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。
知识梳理涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题，以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题．例题精讲【试题来源】【题目】己知五个数依次是13，12， 15， 25，20它们每相邻的两个数相乘得四个数，这四个数每相邻的两个数相乘得三个数，这三个数每相邻的两个数相乘得两个数，这两个数相乘得一个数。
请问最后这个数从个位起向左数、可以连续地数到几个0？【答案】10【解析】对一般的几个整数的乘积，如果要确定它后面有几个0. 可以用这样的办法：把每个乘数分解质因数，把分解中2的重数加起来，5的重数也加起来，看哪一个小，哪一个就是乘积尾部0的个数。
这是因为10＝2×5，所以乘积尾部有个0，质因数2和5的重数就至少是几。
我们可以分别计算质因数2和5的重数。
为此我们画两个图图中的数字是这样填的：以2的重数为例，第一行第一个数13不含因数2，在这个位置填0，第二个数12含2重因数2（12=2×2×3），在这个位置填2，等等。
下面各行各数都是肩上两数的和（因为乘积的因数2的重数等于各乘数的因数2的重数的和）。
这样我们就把原图中每个圈中数的质因数分解中的2的重数和5的重数分别标在左图和右图中了。
特别地，最下面一个数的质因数分解中2的重数是10，5的重数是15，所以它尾部应该有10个0。
【知识点】数论综合三【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】有4个不同的自然数，它们当中任意2个数的和是2的倍数，任意3个数的和是3的倍数．为了使得这4个数的和尽可能地小，这4个数分别是多少?【答案】1、7、13、19【解析】由“4个不同的自然数当中任意2个数的和是2的倍数”知这4个数同奇同偶．又由“4个不同的自然数当中任意3个数的和是3的倍数’’知这4个数同余于3，即除以3都余l或2或0．当第一个数为1时，剩下的数只能是奇数，并且除以3的余数都是l，所以依次为1，7，13，19．当第一个数为2时，剩下的数应均是偶数，并且除以3的余数都是2，显然这种情况的四个数对应的都比第一种情况下的4个数大．所以满足条件且和最小的4个数依次为l，7，13．19．【知识点】数论综合三【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】将数字4,5,6,7,8,9各使用一次，组成一个被667整除的6位数，那么，这个6位数除以667的结果是．【答案】956478+++++=是3的倍数【解析】因为45678939所以此六位数是3和667的公倍数，且3×667=2001，所以此六位数是2001的倍数我们发现六位数中2001倍数的特征为：前三位是后三位的2倍。
三帆中学小升初数论综合一汇总
2010年数论综合一能力诊断目标：三帆满分：120分1.认真填写左侧考生信息；2•请学员在答题纸上做答，在试卷上作答不得分；3.除画图可以用铅笔外，答题必须用黑色或蓝色的钢笔，签字笔和圆珠笔。
考生须知一、填空题I: 1-5题每题4分1、一本老帐本上记着：72只桶，共口67.9□，其中□处是被虫蛀掉的数字，请把这笔帐补上。
367.922、在1、2、3、4、5、6这六个数字中选出尽可能多的不同数字组成一个数（有些数字可以重复出现），使得能被组成它的每一个数字整除，并且组成的数要尽可能小，那么这个数是（）。
1223643、四位数7口4能被55整除，请写出所有这样的四位数（）。
7040 76454、一个七位数的各位数字互不相同，并且它能被11整除，这样的数中，最大的一个是（）。
98762515、某个七位数1993□□能被2、3、4、5、& 7、8、9都整除，那么它的最后三个数字组成的三位数是多少？二、填空题U: 6-10题每题6分& 37口5能被72整除，这个数除以72的商是（）。
7、两个质数的和是50,那么这两个质数乘积的最大值与最小值分别为（）（）。
58、已知P是质数，P2H也是质数，那么+2008是（）。
9、管理员为食堂买来尖椒、黄瓜、芹菜三种蔬菜。
已知三种蔬菜的重量是三个互不相同的质数，且满足等式：黄瓜数X（黄瓜数+尖椒数）=芹菜数+120 （单位：千克），那么尖椒买来（）千克，黄瓜买来（）千克，芹菜买来（）千克。
23 21110、把17拆成几个数数的和，那么这些数的乘积最大是（）。
三、填空题川：11-15每题8分11、甲乙丙三人打靶，每人打三枪，三人各自中靶的环数乘积都是60,按个人中靶的总环数由高到低排，依次是甲乙丙。
那么打中靶上4环的那一枪是（）打的。
（环数为不超过10的自然数）丙12、一个整数A与1080的乘积是一个完全平方数，A的最小值是（），这个平方数是（）。
13、张老师带领同学去植树，学生恰好分成四组，如果老师和学生每人植树一样多，一共种了667棵。
华数思维导引六年级第十五讲：数论综合3
第28讲数论综合3内容概述具有相当难度，需要灵活运用各种整数知识，或与其他方面内容相综合的数论同题．典型问题2.有3个自然数，其中每一个数都不能被另外两个数整除，而其中任意两个数的乘积却能被第三个数整除．那么这样的3个自然数的和的最小值是多少?【分析与解】设这三个自然数为A，B，C，且A=a×b，B=b×c,C=c×a，当a、b、c均是质数时显然满足题意，为了使A，B，C的和最小，则质数a、b、c应尽可能的取较小值，显然当a、b、c为2、3、5时最小，有A=2×3=6, B=3×5=15，C=5×2=10．于是，满足这样的3个自然数的和的最小值是6+15+10=31．4.对于两个不同的整数，如果它们的积能被和整除，就称为一对“好数”，例如70与30．那么在1，2，…，16这16个整数中，有“好数”多少对?【分析与解】设这两个数为a、b，且a<b，有a b=k×(a+b)，即111a b k +=.当k=2时，有1112a b+=，即(a-2)×(b-2)=22=4，有34,64a ab b==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，但是要求a≠b．所以只有36ab=⎧⎨=⎩满足；当k=3时，有1113a b+=，即(a-3)×(b-3)=32=9，有46,126a ab b==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，但是要求a≠b．所以只有412ab=⎧⎨=⎩满足；……逐个验证k的值，“好数”对有3与6，4与12，6与12，10与15．所以“好数”对有4个.6．甲、乙两人进行下面的游戏：两人先约定一个自然数N，然后由甲开始，轮流把0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中的一个填入图28-1的某个方格中，每一方格只能填一个数字，但各方格所填的数字可以重复．当6个方格都填有数字后，就形成一个六位数．如果这个六位数能被N整除，那么乙获胜；如果这个六位数不能被N整除，那么甲获胜．设N小于15，问当N取哪几个数时．乙能取胜?【分析与解】当N取2，4，6，8，10，12，14这7个偶数时，当甲将某个奇数放到最右边的方格中，则这个六位数一定是奇数，奇数显然不能被偶数整除，所以此时乙无法取胜；而当N取5时，当甲在最右边的方格内填人一个非0非5的数字时，则这个六位数一定不能被5整除，所以此时乙无法获胜：此时还剩下1，3，7，9，11，13这6个数，显然当N取l时，乙一定获胜；当N取3或9时，只要数字对应是3或9的倍数时，这个六位数就能被对应的3或9整除，显然乙可以做到；当N取7，1l或13时，只要前三位数字和与后三位数字和的差对应是7，11，13的倍数时，这个六位数就对应是7，11，13的倍数，乙可以做到．于是，当N取1，3，7，9，11，13时，乙适当的操作能保证自己一定获胜．8.已知a与b的最大公约数是12，a与c的最小公倍数是300，b与c的最小公倍数也是300．那么满足上述条件的自然数a，b，c共有多少组?【分析与解】300=12×25，是a、b的倍数，而12是a、b的最大公约数，所以a、b有5种可能，即a12 12×5 12×25 12 12b 12 12 12 12×5 12×25由于a、b中总有一个为12，则c=2x×3y×5z，其中x可以取0、1、2中的任意一个，y可以取0、1中的任意一个，这样满足条件的自然数a、b、c共有5×3×2=30组．10．圆周上放有N枚棋子，如图28-2所示，B点的那枚棋子紧邻A点的棋子．小洪首先拿走B点处的1枚棋子，然后沿顺时针方向每隔1枚拿走2枚棋子，这样连续转了10周，9次越过A．当将要第10次越过A处棋子取走其他棋子时，小洪发现圆周上余下20多枚棋子．若N是14的倍数，请精确算出圆周上现在还有多少枚棋子?【分析与解】设圆周上余a枚棋子，从第9次越过A处拿走2枚棋子到第10次将要越过A处棋子时，小洪拿了2a枚棋子，所以在第9次将要越过A处棋子时，圆周上有3a枚棋子．．依次类推，在第8次将要越过A处棋子时，圆周上有32a枚棋子，…，在第1次将要越过A处棋子时，圆周上有39a枚棋子，在第1次将要越过A处棋子之间，小洪拿走了2(39a-1)+枚棋子，所以N=2(39a-1)+1+39a=310a-1．N=310a-1=59049a-l是14的倍数，N是2和7的公倍数，所以a必须是奇数；又N=(7×8435+4) a-1=7×8435a+4a-1，所以4a-1必须是7的倍数．当a=21，25，27，29时，4a-1不是7的倍数，当a=23时，4a-1=91=7×13,是7的倍数．所以．圆周上还有23枚棋子．12．是否存在一个六位数A，使得A，2A，3A，…，500000A中任意一个数的末尾6个数码不全相同?【分析与解】显然A的个位数字不能为偶数，不然500,000A的后6位为000,000；而A的个位数字也不能为5，不然200，000A的后6位为000，000．于是A的个位数字只能为1，3，7，9．=，使得t×A≡111,111(mod 对于任何一个六位数A(个位数字为1，3，7，9)，均存在六位数t abcdef1,000,000).=>500,000,使得t×A≡111,111 (mod 1,000,000),那么那个A即为题中所求的如果存在t abcdef值.(说明见评注)当t=999,999,有A=888,889时,t A=888,888,111,111,显然满足上面的条件.所以888,889即为所求的A.= >500，000，使得t×A≡111，111(mod 1，000，000)，那么那个A即评注：如果存在t abcdef为题中所求的值．这是因为如果对于上面的A，还存在一个六位数B，使得B×A=111，111(mod 1,000，000)，那么有(t×A-B ×A)=0(mod 1，000，000)，即(t-B)×A≡0(mod 1，000，000)．因为A不含有质因数2、5，所以(t-B)为1，000，000的倍数，t-B≥1，000，000，那么t>1，000，000，与t为六位数矛盾．也就是说不存在小于等于500，000的t，使得t A的后六位为111，111，那么也不可能使得t A的后6位相同．14.已知m，n，k为自然数，m ≥ n ≥k，n2m+2n-2k是100的倍数,求m + n - k后的最小值．【分析与解】方法一：首先注意到100=22×52．如果n=k，那么2m是100的倍数，因而是5的倍数，这是不可能的．所以n-k≥1.m n k k m-k n-k2+2-2=2(2+2+1)被22整除,所以k≥2.设a=m-k，b=n-k，则a≥b，且都是整数．2a+2b-1被52整除，要求a+b+k=m+n-k的最小值．不难看出210+21-1=1025，能被25整除，所以a+b+k的最小值小于10+l+2=13．而且在a=10，b=1，k=2时，上式等号成立．还需证明在a+b≤10时，2a+2b-l不可能被25整除．有下表a≤3时，2a+2b-1<8+8=16不能被52整除．其他表中情况，不难逐一检验，均不满足a b2+2-1被25整除的要求．因此a+b-k即m+n-k的最小值是13．(2+2-2)．方法二：注意到有100=2×2×5×5，4∣m n km n k k m-k n-k m-k n-k因为所以k最小为2．2+2-2=2(2+2-1)2+2-l,(2+2-1)，令m-k=x, n-k=y还有25∣m-k n-k2+2≡l(mod 25)则有x y因为5去除2，22，23，24，25余数分别为2，4，3，1，2；余数是4个一周期.于是，x=4p+2，y=4q+1；或者是x=4P+3，y=4Q+3．(1)x=4p+2，y=4q+1时2+2-2=24+23-22=20不是100的倍数；当x=2，y=1，于是m n k2+2-2=28+23-22=260不是100的倍数；当x=6，y=l，于是m n k2+2-2=212+23-22=4100是 l00的倍数；当x=10，y=l，于是m n k(2)x=4P+3，y=4Q+32+2-2=25+25-22=60不是l00的倍数；当x=3，y=3，于是m n k2+2-2=29+25-22=540不是l00的倍数：当x=7，y=3，于是m n k其余的将超过(1)种情况，所以，最小为m+n-k=12+3-2=13．。
数学六年级 第22讲 数论综合三(教师版+学生版,含详细解析)
第22讲 数论综合三典型问题◇ ◇ 兴趣篇 ◇ ◇1.（1）求所有满足下列条件的三位数：在它左边写上40后所得的五位数是完全平方数。
（2）求满足下列条件的最小自然数：在它左边写上80后所得的数是完全平方数。
【分析】 （1）设这个三位数为abc 根据题意有240abc n =，即240000abc n +=，22200(200)(200)abc n n n =-=+-当201n =时，401abc =，五位数是220140401=当202n =时，804abc =，五位数是220240804=当203n =时，abc 不是三位数（舍去）所以满足条件的三位数是401，804（2）当这个自然数是一位数时，有280a n =，229841=，228784=，因此一位数不存在，同理两位数不存在 当这个自然数是三位数时，有280abc n =，280000abc n =-，228480656=，所以最小自然数是6562. 已知!n 3是一个完全平方数，试确定自然数n 的值。
（n n !123） 【分析】 当6n ≥时，!()n m 3331，不可能是完全平方数，因此n 只能取1到5间的数，经试验1n =或33. 一个完全平方数是四位数，且它的各位数字均小于7。
如果把组成它的每个数字都加上3，便得到另外一个完全平方数。
求原来的四位数。
【分析】 根据题意有2abcd m =，2(3)(3)(3)(3)a b c d n ++++=，因此223333n m -=，即()()311101n m n m +-=⨯⨯，且,n m 都是两位数，因此()()33101n m n m +-=⨯，所以67,34n m ==，原来的四位数是2341156=4. 请写出所有各位数字互不相同的三位奇数，使得它能被它的每一个数位上的数字整除。
【分析】 根据题意是三位奇数，因此各位数字不能取偶数，当有一个数字是9时，必然另外两个数字有一个是偶数，因此三个数字只能是1,3,5,7，所以满足条件的三位奇数为135，315，175，7355. 在一个两位数的十位与个位数字之间插入一个数字0，得到一个三位数（例如21变成了201），结果这个三位数恰好能被原来的两位数整除。
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六年级 第21讲 数论综合三
兴趣篇
1、（1）求所有满足条件的三位数，在它左边写上40后所得的五位数是完全平方数。
（2）求满足条件的最小自然数，在它左边写上80后所得的数是完全平方数。
2、已知n!3+是一个完全平方数，试确定自然数n 的值。
（n!= n ⨯⨯⨯⨯ 321）
3、一个完全平方数是四位数，且它的个位数字均小于7，如果把组成它的每个数字都加上3，便得到另外一个完全平方数。
求原来的四位数。
4、请写出所有各位数字互不相同的三位奇数，使得它能被它的每一个数位上的数字整除。
5、在一个两位数的十位与个位数字之间插入一个数字0，得到一个三位数（例如21变成了201），结果这个三位数恰好能被原来的两位数整除，请问：所有满足条件的两位数之和是多少？
6、用2、3、4、5、6、7六个数字组成的两个三位数，要使这两个三位数与540的最大公约数尽可能的大，这两个三位数应该分别是多少？
7、一个自然数，它与99的乘积的各位数字都是偶数，求满足要求的最小自然数。
8、有3个自然数，其中每一个数都不能被另外两个数整除，而且其中任意两个数的乘积都能被第三个数整除。
满足上述条件的3个自然数之和最小是多少？
9、小明与小华玩游戏，规则如下：开始每人都是1分，每局获胜的小朋友都可以把自己的分数乘以3，输的小朋友保持分数不变，最后小明获胜，他比小华多的分数是99的倍数，那么他们至少玩了多少局？
10、对于一个自然数N ，如果具有这样的性质就称为“破坏数”：把它添加到任何一个自然数的右端，形成的新数都不能被N+1整除，那么在1至9这9个自然数中有多少个“破坏数”？
拓展题
1、（1）求满足条件的最小自然数，使得它的平方的前两位是20；
（2）求满足条件的最小自然数，使得它的平方的后两位是04；
（3）求满足条件的最小自然数，使得它的平方的前两位是20，后两位是04。
2、已知n!4+等于两个相邻自然数的乘积，试确定自然数n 的值。
（n!= n ⨯⨯⨯⨯ 321）
3、找出三个小于20 的自然数，它们的最大公约数是1，但是两两均不互质，请写出所有可能的情况。
4、三个两位奇数，它们的最大公约数是1，但是两两均不互质，且三个数的最小公倍数 共有18个约数，求所有满足要求的情况。
5、200810741⨯⨯⨯⨯⨯ 的末尾有多少个连续的零？
6、一个四位数除以它后两位数字组成的两位数，余数恰好是它前两位数字组成的两位数，如果它后两位数字组成的两位数是质数，那么原来的四位数是多少？
7、由数字a 、b 、c 各一个可以组成六个不同的三位数，其中五个三位数的和是2075，那么a+b+c 是多少？
8、任意一些末两位数是25的数相乘，它们的乘积末两位仍是25，我们就称25是“变不掉的两位数尾巴”，显然000是“变不掉的三位数的尾巴”，请写出所有的“变不掉的三位数尾巴”。
9、在3和5之间插入6、30、20三个数，可以得到3、6、30、20、5这样一串数，其中每相邻的两个数的和都可以整除它们的乘积，请你在4和3之间插入三个非零自然数，使得其中每相邻两个数的和都可以整除它们的乘积。
10、M、N是互为反序的两个三位数，且M>N。
请问：
（1）如果M和N的最大公约数是7，求M;
(2 ) 如果M和N的最大公约数是21，求M.
11、用1、2、3、4、5、6这六个数字组成两个三位数A和B，那么A、B、540这三个数的最大公约数最大可能是多少？
12、请将1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11按合适的顺序写成一行，使得这一行数中的任何一个都是它前面所有数之和的约数。
13、请证明：（1）11、111、1111、11111、….不是完全平方数；
（2）69、669、6669、66669、….不是完全平方数。
14、一根红色的长线，将它对折，再对折，……经过m 次对折之后将所有得到的线束从中间剪断，得到一些红色的短线；一根白色的长线，经过n 次对折后将所有得到的线束从中间剪断，得到一些白色的短线，已知红色短线比白色短线多，而且它们的数量之和是100的倍数，请问：红色短线至少有多少条？
超越篇
1、求出所有正整数n ，使得n +25能整除n ⨯25。
2、一个自然数至少有4个约数，并且该数等于其最小的4个约束的平方之和，请找出这样的自然数。
3、一个四位数的各位数字互不相同，将其千位与个位数字调换后形成新的四位数，新四位数与原数的最大公约数是63，则原四位数可能是多少？
4、一个不超过200的自然数，如果用四进制表示，那么它的数字之和是5；如果用六进制表示，那么它的数字之和是8；如果用八进制表示，那么它的数字之和是9，如果用十进制表示，这个数是多少？
5、把一个两位质数写在另一个不同的两位质数右边，得到一个四位数，这个四位数能被这两个质数之和的一半整除，这样的两个质数乘积最大是多少？最小是多少？
6、用1、2、3、4、5各一个可以组成120个五位数，你能否从这120 个数里面找出11个数来，使得它们除以11的余数各不相同？如果五个数字是1、3、4、6、8呢？
7、用1、2、3、4、5、6这6个数字各一次组成两个三位数A和B，请问：A、B、630这三个数的最大公约数最大可能是多少？最小公倍数最小可能是多少？
8、我们将具有如下性质的自然数K称为“高思数”：如果一个整数M能被K整除，则把M 的各位数字按相反顺序重写时所得到的数也能被K整除，请求出所有的“高思数”。