数学：辽宁省丹东七中第一章《角平分线(一)》教案(北师大版九年级上)
北师大九年级数学教案-角平分线
角平分線
教學目標：
1、進一步發展學生的推理證明意識和能力；
2、能夠證明角平分線的性質定理、判定定理及相關結論
3、能夠利用尺規作已知角的平分線。
教學過程：
定理：角平分線上的點到這個角兩邊
的距離相等。
證明：如圖OC是∠AOB的平分線，
點P在OC上
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D、E，
∵∠1=∠2，OP=OP，
∠PDO=∠PEO=90°
∴△PDO≌△PEO（AAS）
∴PD=PE（全等三角形的對應邊相等）
其逆命題也是真命題。
引導學生自己證明。
定理：在一個角的內部，且到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上。
做一做：用尺規作角的平分線。
已知：∠AOB
求作：射線OC ，使∠AOC=∠BOC
作法：1、在OA 和OB 上分別截取OD 、OE ，使OD=OE
2、分別以D 、E 為圓心，以大於12
DE 的長為半徑作弧，兩弧在∠AOB 內交於點C 。
3、作射線OC
OC 就是∠AOB 的平分線。
讀一讀：尺規作圖不能問題：
三等分一個任意角，倍立
方——求作一個立方體，使該
立方體的體積等於給定立方體
的兩倍。
化圓為方——求作一個正方形，使其與給定圓的面積相等。
課堂練習：P32，1、2題
作業：P34，1、2、3題。
教學後記：。
北师大版九年级数学上册《1.4 角平分线(一)》学案
角平分线（一）学习目标:1、理解角平分线的性质定理和的判定定理的证明。
思考题：以前学习过角平分线有什么性质，你知道怎样去证明它吗？2、会用尺规作已知角的角平分线。
问题与题例:问题1：已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB ，垂足分别为D、E．求证：PD=PE．定理：______________________________________问题2：我们经常用逆向思维得到一个原命题的逆命题，你能写出上述定理的逆命题吗?怎样去证明？逆定理：______________________________________________证明：已知：在么AOB 内部有一点P，且PD 上OA，PE⊥OB，D、E 为垂足且PD=PE，求证：点P 在么AOB 的角平分线上问题3：你能用什么办法平分一个已知角呢?能利用角平分线的性质定理和判定定理平分一个角吗？目标检测：随堂练习1、2题配餐练习：A 组：1、如图（1），AD 平分∠BAC ，点P 在AD 上，若PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，则PE __________PF .2、如图（2），PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，且PD =PE ，连接AP ，则∠BAP __________∠CAP .3、如图（3），∠BAC =60°，AP 平分∠BAC ，PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，若AD=3，则PE =__________.B 组：1、如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，BD 是∠ABC 的平分线，交AC 于点D，若CD=n ，AB=m ，则△ABD 的面积是（）A.mnB.21mn C.2mn D.31mn 2、如图，在ΔABC 中，BC =5cm，BP 、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且PD ∥AB ，PE ∥AC ，则ΔPDE 的周长是___________cm.21EDCPOBA3、△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC，交BC 于点D。
北师大版数学九年级上册1.4《角平分线》教学设计1
北师大版数学九年级上册1.4《角平分线》教学设计1一. 教材分析《角平分线》是北师大版数学九年级上册第1章“几何图形变换”中的一个知识点。
本节课主要介绍了角平分线的概念、性质及运用。
教材通过引入角平分线来让学生进一步理解角的性质，培养学生的几何思维能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了直线、射线、线段等基本几何概念，并了解了垂线的性质。
在此基础上，学生需要进一步理解角平分线的概念，并能够运用角平分线解决实际问题。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握角平分线的概念、性质和运用。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的几何思维能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
四. 教学重难点1.重点：角平分线的概念、性质和运用。
2.难点：角平分线的证明和运用。
五. 教学方法1.引导发现法：教师引导学生观察、操作、思考，发现角平分线的性质。
2.合作学习法：学生分组讨论，共同解决问题。
3.实践操作法：学生动手操作，加深对角平分线性质的理解。
六. 教学准备1.教具：三角板、直尺、圆规等。
2.学具：学生每人一份三角板、直尺、圆规等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾直线、射线、线段的性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过展示三角板，引导学生观察角平分线的定义，并用几何画板软件动态展示角平分线的性质。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，利用三角板、直尺、圆规等工具，自行探索角平分线的性质。
教师巡回指导，解答学生疑问。
4.巩固（10分钟）教师选取几组学生得出的结论，让学生进行分析、判断、验证。
学生通过互相交流，巩固对角平分线性质的理解。
5.拓展（10分钟）教师提出一些实际问题，让学生运用角平分线的性质进行解决。
例如：在平面直角坐标系中，如何找到一点，使得该点到两点的距离相等？6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学内容，巩固角平分线的性质及运用。
北师大版数学九年级上册1.4《角平分线》说课稿1
北师大版数学九年级上册1.4《角平分线》说课稿1一. 教材分析《角平分线》这一节的内容是北师大版数学九年级上册第一章“几何变换”的第四节。
在学习这一节之前，学生已经学习了角的概念、角的计算等基础知识，对几何图形有了初步的认识。
本节内容主要介绍角平分线的定义、性质和作法，以及角平分线在实际问题中的应用。
教材从生活实例引入角平分线的概念，让学生感受数学与生活的紧密联系。
通过探究角平分线的性质，培养学生的观察能力、操作能力和推理能力。
最后，通过实际问题，让学生运用角平分线解决生活中的问题，提高学生的应用能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础知识，对角的概念和性质有一定的了解。
但角平分线作为新的几何概念，对学生来说还是较为抽象的。
学生在学习过程中，可能对角平分线的作法和性质的理解存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的认知基础，引导学生从实际问题中发现角平分线，探究其性质，提高学生的几何素养。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握角平分线的定义、性质和作法，能运用角平分线解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、推理等过程，培养学生的几何思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，感受数学与生活的紧密联系，培养学生的团队协作和交流表达能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：角平分线的定义、性质和作法。
2.教学难点：角平分线的性质的理解和运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动、合作探究的教学方法，让学生在实际问题中发现角平分线，通过观察、操作、推理等过程，掌握角平分线的性质。
2.教学手段：利用多媒体课件、几何画板等教学辅助工具，直观展示角平分线的作法和性质，提高学生的直观感知能力。
六. 说教学过程1.导入：通过生活实例引入角平分线的概念，让学生感受数学与生活的紧密联系。
2.探究角平分线的性质：引导学生观察、操作，发现角平分线的性质，并通过推理加以证明。
北师大九(上)教案--第一章[上学期] 1.4、角平分线1
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5．肯定学生的回答，说明类比的方法。让学生类比线段垂直平分线性质定理的逆定理的构造方法，写出角平分线性质定理的逆定理，写完之后，让同桌俩人互相检查。
6．给出规范的表述并进一部阐释它的内涵和与角平分线性质定理的关系。因学生已经接触过线段垂直平分线判定定理的证明，所以不妨把这个证明的任务留给学生课后完成。知道对于角平分线，也有类似的结论。
二、角平分线判定定理
1．从学生收集的生活中角平分线应用的例子提出问题：大家都知道了这几个例子中应用了角平分线的性质，那你如何说服别人，你说的那条线就是角平分线呢?引导学生从判断的角度思考问题。
2．启发学生思考：要说服别人你说的那条线就是角平分线，是不是就是要证明它是角平分线?那现在的问题是不是就转化成了：你如何证明或者说判定它是角平分线?都需要什么条件?
5．得到老师的肯定，知道猜测是正确的。回忆线段垂直平分线性质定理的逆定理的构造方法，写出角平分线性质定理的逆定理。与同桌互相检查。
6．认真听讲，体会定理的内涵，联想线段垂直平分线性质定理和判定定理的关系，有助于理解角平分线性质定理和判定定理的关系。对照自己的表述，，进行修正使其更加严谨、规范。记下课后作业。
课题
1.4、角平分线(一)
课型
新授课
教学目标
1．要求学生掌握角平分线的性质定理及其逆定理——判定定理，会用这两个定理解决一些简单问题。
2．理解角平分线的性质定理和判定定理的证明。
3．能够作已知角的角平分线，并会熟练地写出已知、求作和作法，可以说明为什么所作的直线是角平分线。
教学重点
角平分线性质定理及其逆定理。
3．在黑板上演示图和作角平分线，一边作图，一边口述作法。
4．让学生根据老师的口述、演示和自己的实际操作，自己写出已知和求作，并写出作法。锻炼学生的数学表达能力。
北师大九年级数学教案-角平分线
第一章第四節角平分線教案（1）教學目標：1、知識目標：（1）掌握角平分線的性質定理和逆定理；（2）能夠運用性質定理和逆定理證明兩個角相等或兩條線段相等；（3）能夠判定兩個命題是否為互逆命題，並能寫出一個命題的逆命題.2、能力目標：（1）通過“判斷題”的練習，提高學生的辨析能力；（2）通過公理的初步應用，培養學生的邏輯推理能力及創新的能力.3、情感目標：（1）通過自主學習的發展體驗獲取數學知識的感受；（2）通過知識的縱橫遷移感受數學的辯證特徵。
教學重點：角平分線的性質定理，逆定理及它們的應用。
教學難點：a、角平分線定理和逆定理的應用；b、這兩個定理的區別；c、寫命題的逆命題。
教學用具：直尺，圓規教學方法：談話法教學過程：1、新課引入投影顯示問題：（1）畫一個角的平分線；（2）在這條平分線上任取一點P，標出P點到角兩邊的距離。
（3）說出這兩段距離的關係並證明。
2、定理的獲得: 讓學生用文字語言敘述出定理的內容角平分線的性質定理：在角平分線上的點到這個角兩邊距離相等。
強調說明：（1）、定理的條件及結論的符號表示；（2）、定理的作用：直接證明兩線段相等。
使用的前提是有角的平分線，關鍵是圖中是否有“垂直”。
3、運用逆向思維，匯出定理的逆定理問題：將定理的條件與結論“換位”得到一個新命題，說出這個新命題的內容，並判斷命題是真命題還是假命題？學生分析、討論用文字敘述內容，老師作必要的提示。
逆定理：到一個角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上。
強調：a逆定理的作用：證明角相等b、二定理的區別與聯繫：性質定理說明了角平分線上點的純粹性，即：只要是角平分線上的點，它到此角兩邊一定等距離，而無一例外；判定定理反映了角平分線的完備性，即只要是到角兩邊距離相等的點，都一定在角平分線上，而絕不會漏掉一個。
實際應用中，前者用來證明線段相等，後者用來證明角相等（角平分線）4、原命題與逆命題a、概念b、寫出互逆命題的關鍵。
c、原使命與逆使命的真假性並無一定的依存關係。
北师大版初中数学九年级上册《角平分线》教案6页word
课题：第一章第四节角平分线（第二课时）课型：新授课教学目标：1.掌握三角形三个内角的平分线的性质，进一步发展学生的推理证明意识和能力．（重点）2.综合运用角平分线的判定和性质定理，解决几何中的问题．（重难点）3.在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．教法与学法指导：本节课教学模式主要采用“小组合作竞学”的教学模式.提出问题让学生想，设计问题让学生做，错误原因让学生说，方法与规律让学生归纳，并且营造小组竞学的氛围. 教师的作用在于组织、点拨、引导，促进学生主动探索，积极思考，大胆想象，总结规律，充分发挥学生的主体作用，让学生真正成为学习的主人.课前准备：制作课件，学生课前进行相关预习.教学过程：一、感悟导入问题1 习题1．8的第1题作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么？(教师可用多媒体演示尺规作图过程)．[生]三角形的三个内角的角平分线交于一点．[生]根据角平分线的性质定理还可知这点到三角形三边的距离相等．[师]你还可以用什么方法说明上述结论呢？[生]利用折纸．在纸板上画一个三角形并剪下来，折叠，作出三角形三个内角的角平分线交于一点．[师]如何利用我们学过的公理和已证的定理来证明它呢？可以类比我们学过的知识解决吗？[生]可以类比三角形三条边的垂直平分线交于一点的方法来证明．我们在证此结论时，先是设有其中两边的垂直平分线交于一点，然后利用线段垂直平分线的判定定理，说明这一点在第三边的垂直平分线上．[师]很好！下面我们就来证明：三角形三条角平分线相交于一点．二、探究新知1.三角形角平分线性质定理的证明[师生共析]已知：如图，设△ABC的角平分线BM、CN相交于点P，证明：P点在∠BAC的角平分线上．证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足．∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD＝PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)．同理：PE＝PF．∴PD＝PF．∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上)．∴△ABC的三条角平分线相交于点P．[师]在证明过程中，我们除证明了三角形的三条角平分线相交于一点外，还证明了什么呢？[生]还证明了PD＝PE＝PF，即这个交点到三角形三边的距离相等．[师]于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论，即定理三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．下面我们通过列表来比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理[师]下面我们来看问题2(多媒体演示)如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？[生]有一处．在三条公路的交点A、B、C组成的△ABC三条角平分线的交点处．[师]你如何发现的？[生]因为三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三边的距离相等．而现在要建的货物中转站要求它到三条公路的距离相等．这一点刚好符合．[生]我找到四处．(同学们很吃惊)[师]你是如何找到的？[生]除了刚才同学找到的三角形ABC内部的一点外，我认为在三角形外部还有三点．作∠ACB、∠ABC外角的平分线交于点P1(如下图所示)，我们利用角平分线的性质定理和判定定理，可知点P1在∠CAB的角平分线上，且到l1、l2、l3的距离相等．同理还有∠BAC、∠BCA 的外角的角平分线的交点P2；∠BAC、∠CBA的外角的角平分线的交点P3．因此满足条件的点共4个，分别是P、P1、P2、P3．三、合作竞学多媒体演示[例1]如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．(1)已知CD＝4cm，求AC的长；(2)求证：AB＝AC＋CD．分析：本例需要运用前面所学的多个定理，而且将计算和证明融合在一起，目的是使学生进一步理解、掌握这些知识和方法，并能综合运用它们解决问题．第(1)问中，求AC的长，需求出BC的长，而BC＝CD＋DB，CD＝4cm，而BD在等腰直角三角形DBE中，根据角平分线的性质，DE＝CD＝4cm，再根据勾股定理便可求出DB的长．第(2)问中，求证AB＝AC＋CD．这是我们第一次遇到这种形式的证明，利用转化的思想AB＝AE＋BE，所以需证AC＝AE，CD＝BE．(1)解：∵AD 是△ABC 的角平分线，∠C ＝90°，DE ⊥AB ．∴DE ＝CD ＝4cm(角平分线上的点到这个角两边的距离相等)．∵AC ＝BC ．∴∠B ＝∠BAC (等边对等角)．∵∠C ＝90°，∴∠B ＝21×90°＝45°． ∴∠BDE ＝90°－45°＝45°．∴BE ＝DE (等角对等边)．在等腰直角三角形BDE 中BD ＝22DE ＝24cm(勾股定理)，∴AC ＝BC ＝CD ＋BD ＝(4＋24)cm ．(2)证明：由(1)的求解过程可知，Rt △ACD ≌Rt △AED (HL 定理)∴AC ＝AE ．∵BE ＝DE ＝CD ，∴AB ＝AE ＋BE ＝AC ＋CD ．[例2]已知：如图，P 是∠AOB 平分线上的一点，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别为C 、D ．求证：(1)OC ＝OD ；(2)OP 是CD 的垂直平分线．证明：(1)∵P 是∠AOB 角平分线上的一点，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，∴PC ＝PD (角平分线上的点到角两边的距离相等)．在Rt △OPC 和Rt △OPD 中，OP ＝OP ，PC ＝PD ，∴Rt △OPC ≌Rt △OPD (HL 定理)．∴OC ＝OD (全等三角形对应边相等)．(2)又OP 是∠AOB 的角平分线，∴OP 是CD 的垂直平分线(等腰三角形“三线合一”定理)．思考：图中还有哪些相等的线段和角呢？四、课堂小结1.师：通过本节课的学习，你有哪些感悟与收获？生1：本节课我学会了证明三角形角平分线的性质定理．生2：我们可以用三角形角平分线的性质定理解决一些数学问题和实际问题.生3：我进一步熟练了尺规作角的平分线．生4：我学会了类比的思想方法.生5：通过课本p39,第2题和助学p24第7题我学会了归纳总结思想.五、达标检测1.如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，下面给出四个结论：①DA 平分∠EDF ；②AE =AF ；③AD 上的点到B 、C两点的距离相等；④到AE 、AF 距离相等的点，到DE 、DF 的距离也相等，其中正确的结论有：( )A.1个B.2个C.3个D.4个〖答案〗D2. 已知：如下图，在△ABC 的外角∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点F ，求证：点F 在∠DAE 的平分线上.〖点拨方法〗要证明点在角平分线上，那就是要证明点到角两边的距离相等，那应该用用什么方法呢?〖答案〗证明：过点F 作FG ⊥BC ,FM ⊥AE ,FN ⊥AD 垂足分别为G 、M 、N .∵FB 、FC 分别为∠CBD 、∠BCE 的角平分线∴FG = FN , FG =FM∴FN =FM∴点F 在∠DAE 的平分线上.六、布置作业1．习题1．9第1，2，3题．2．完成助学p26第1，2题．选作第5题七、 板书设计§1．4．2 角平分线(二)1．定理：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等． F E D AC B M N G FA D EB C2．[例]在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．(1)已知CD＝4cm，求AC的长；(2)求证：AB＝AC＋CD．分析：(略)解：(略)八、教学反思教材中的引入是一种用被动的方式将学生的知识回想起来.而笔者的引入以交流方式让学生主动回想起角平分线的概念以及画法，这样对学生思维的启发度深；也让学生明白前后知识的联系，以填空的形式给出让学生的思维对角平分线是射线、三角形的角平分线是线段有了充分的理解与掌握.这样学生对知识的学习达到知其然、知其所以然的效果.1、这节课主要是用类比的教学方法——将书本的知识隐含的内容表达出来、给学生一种美的感受；将旧知与新知以有效的语言表达出来、合适的方式写在一起，为师生的交流创造良好的氛围；这样学生的学习就容易达到事半功倍的效果。
北师大版九年级数学上册《角的平分线(1)》导学案
角的平分线（1）课 题教学目标1、 能够证明角平分线的性质定理、判定定理2、 能够运用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题 教学重点和难点重点：角平分线的性质定理、判定定理难点：利用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题 教学过程一、预习反馈 明确目标 判断题1.角平分线上的点到角的两边的距离相等2.到角的两边距离相等的点在角的平分线上3.角的平分线是到角两边距离相等的点的集合4.角平分线是角的对称轴 填空题1.如图（1），AD 平分∠BAC ，点P 在AD 上，若PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，则PE__________PF.2.如图（2），PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，且PD=PE ，连接AP ，则∠BAP__________∠CAP.3.如图（3），∠BAC=60°，AP 平分∠BAC ，PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，若AD=3，则PE=__________.（1）（2） （3）二、创设情境 自主探究 角平分线的性质点到直线的距离：这点向直线引垂线，这点到垂足间线段的长叫做这点到直线的距离。
角平分线性质定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 符号语言∵ 点P 在∠AOB 的角平分线上，PE ⊥OA ，PD ⊥OB ∴ PD = PE 角平分线的判定定理在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上 符号语言∵ PE ⊥OA ，PD ⊥OB ，且PD = PEOEDAB P∴ 点P 在∠AOB 的角平分线上 三、展示交流 点拨提高 例1如图，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，BE 、CD 相交于O ，且∠1 =∠2。
求证：OB = OC 。
例2如图，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，BE 、CD 相交于O，且OB = OC 。
求证：∠1 =∠2。
四、师生互动 拓展延伸 例3如图，AB = AC ，DE 为△ABC 的AB 边的垂直平分线，D 为垂足，DE 交BC 于E 。
【新教材】辽宁省丹东七中九年级数学上册《角平分线(一)》教案 北师大版
总课时： 11 课时 1.4角平分线（一） 教学目标： 1、知识与技能①角平分线的性质定理的证明角平分线的判定定理的证明． ②用尺规作已知角的角平分线． 2、过程与方法经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力 3、情感态度与价值观在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心． 教学重点：①角平分线的性质和判定定理的证明．②用尺规作已知角的角平分线并说明理由．教学难点：①正确地表述角平分线性质定理的逆命题．②正确地将文字语言转化成符号语言和图形语言，对几何命题加以证明．教 学 过 程一、课前复习：（学生口答2分钟）角平分线的定义、定理和逆定理的内容？ 二、导入新课：（学生思考3分钟）我们曾用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质，步骤如下： 从折纸过程中，我们可以得出CD=CE ， 即角平分线上的点到角两边的距离相等． 你能证明它吗?三、新课教学（学生共同探究证明过程并总结出结论22分钟）请同学们自己尝试着证明它，然后在全班进行交流．已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB ，垂足分别为D 、E ． 求证：PD=PE ．证明：∵∠1=∠2，OP=OP ， ∠PDO=∠PEO=90°， ∴△PDO≌△PEO(AAS)．∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)．定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．你能写出这个定理的逆命题吗?它是真命题吗? 你能证明它吗? (由大家自己独立思考完成，在全班讨论交流，对困难学生可个别辅导)21EDCPOB A已知：在么AOB 内部有一点P ，且PD 上OA ，PE ⊥OB，D 、E 为垂足且PD=PE ， 求证：点P 在么AOB 的角平分线上． 证明：PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO=∠ PEO=90°． 在Rt△ODP 和Rt△OEP 中OP=OP ，PD=PE ，∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL 定理)． ∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)．定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
【新教材】辽宁省丹东七中九年级数学上册《线段的垂直平分线(一)》教案 北师大版
总课时： 11 课时 1.3线段的垂直平分线（一） 教学目标： 1、知识与技能①经历探索、猜测过程，能够运用公理和所学过的定理证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理．②能够利用尺规作已知线段的垂直平分线．2、过程与方法经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力 3、情感态度与价值观体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神 教学重点：写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题。
教学难点：两者的应用上的区别及各自的作用。
教 学 过 程一、课前复习：（学生口答2分钟）判定两个 三角形全等的定理有哪些？ 二、导入新课：（学生思考证明过程3分钟）我们曾利用折纸的方法得到：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．你能证明这一结论吗？三、新课教学（学生共同探究证明过程并总结出结论22分钟） 定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C ，且AC=BC ，P 是MN 上的点． 求证：PA=PB ．分析：要想证明PA=PB ，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等．证明：∵MN⊥AB， ∴∠PCA=∠PCB=90° ∵AC=BC，PC=PC,∴△PCA≌△PCB(SAS)． ∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)． 想一想你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗? 这个命题不是“如果……那么……”的形式，要写出它的逆命题，需分析原命题的条件和结论，将原命题写成“如果……那么……”的形式，逆命题就容易写出．鼓励学生找出原命题的条件和结论。
NAP BC M原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”．结论是“这个点到线段两个端点的距离相等”．此时，逆命题就很容易写出来．“如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点到线段两个端点的距离相等．”写出逆命题后时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．请同学们自行在练习册上完成．定理：如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点到线段两个端点的距离相等．” 做一做：用尺规作线段的垂直平分线．下面我们一同来写出已知、求作、作法，体会作法中每一步的依据． [师生共析]已知：线段AB(如图)． 求作：线段AB 的垂直平分线．作法：1．分别以点A 和B 为圆心，以大于12 AB的长为半径作弧，两弧相交于点C 和D ．2．作直线CD ．直线CD 就是线段AB 的垂直平分线．[师]根据上面作法中的步骤，请你说明CD 为什么是AB 的垂直平分线吗?请与同伴进行交流．[生]从作法的第一步可知 AC=BC ，AD=BD ．∴C、D 都在AB 的垂直平分线上(线段垂直平分线的判定定理)． ∴CD 就是线段AB 的垂直平分线(两点确定一条直线)．[师]我们曾用刻度尺找线段的中点，当我们学习了线段垂直平分线的作法时．一旦垂直平分线作出，线段与线段垂直平分线的交点就是线段AB 的中点，所以我们也用这种方法作线段的中点．四、知识巩固（学生独立完成10分钟） 教科书第28页第1题。
北师大版九上 1.4角平分线(一) 教案
11．在老师讲解的同时自己修正自己的练习，听讲，加深对角平分线性质定理的理解。朗读：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。在读的同时加强记忆和理解。
1．继续回到自己收集的成果上，思考老师的问题，对这个问题的正面有较好的理解，但是不知道该怎么证明它就是角平分线。有感性认识，但还不能提炼出一般的结论
2．在老师的启发下想到：其实就是要证明自己所说的线是角平分线，思考证明这个命题都需要什么条件，如何证明。
3．回忆有关线段垂直平分线的知识，知道线段垂直平分线的性质定理和判定定理互为逆定理，通过类比联想，知道对于角平分线，也有类似的结论。
4．回答：角平分线和要证明的命题是互逆命题。
5．得到老师的肯定，知道猜测是正确的。回忆线段垂直平分线性质定理的逆定理的构造方法，写出角平分线性质定理的逆定理。与同桌互相检查。
2．听老师讲学会画图的必要性，联想到上节课图形对于发现数学结论的帮助，对老师的话有很好的认识，做好了学习新知识的积极的心理准备。
3．与老师同步，在练习本上作一个角的平分线。
4．依据作图的过程，参照老师的讲解，写出已知和求作以及作法。有的学生可能写得不够规范。
5．对照老师的讲解，完善自己的写法。看书，体会书上写的作法。
作业：P34，1、2、3题
板书设计：
1．积极踊跃地到黑板上画出自己收集到的例子，并说出它们分别的作用在哪里。
2．受到老师的表扬和鼓励，很有成就感，增加了学习数学、探索数学、研究数学的兴趣，同时体会数学和现实生活的联系。
3．对于自己的发现进行深入探索，很有兴趣。但是对于从实际问题中提炼观点，感到有难度。
1.4、角平分线1--第一章[上学期]北师大数学九(上)完整教案
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1.4、角平分线1--第一章[上学期]北师大数学九(上)完整教案课题1.4、角平分线(一) 课型新授课教学目标1．要求学生掌握角平分线的性质定理及其逆定理——判定定理，会用这两个定理解决一些简单问题。
2．理解角平分线的性质定理和判定定理的证明。
3．能够作已知角的角平分线，并会熟练地写出已知、求作和作法，可以说明为什么所作的直线是角平分线。
教学重点角平分线性质定理及其逆定理。
教学难点掌握角平分线性质定理及其逆定理并进行证明。
教学方法教学后记教学内容及过程教师活动学生活动一、角平分线性质定理1．让学生到黑板上画出他们收集到的日常生活中应用角平分线的例子，并分别说出它们的作用。
2．高度评价学生的参与热情和学习成果，激励学生继续努力。
尤其是对于其中很有创意的发现，可以以该学生名字命名，以此鼓励、保护学生的积极性。
3．综合学生的发现，对于其中应用角平分线性质的几个例子，让学生猜想：它们应用的性质有没有什么相同的地方?4．让学生拿出纸折的角，把角对折至两条边完全重合，注意角的顶1．积极踊跃地到黑板上画出自己收集到的例子，并说出它们分别的作用在哪里。
2．受到老师的表扬和鼓励，很有成就感，增加了学习数学、探索数学、研究数学的兴趣，同时体会数学和现实生活的联系。
3．对于自己的发现进行深入探索，很有兴趣。
但是对于从实际问题中提炼观点，感到有难度。
4．拿出准备好的纸折的角，在老师示范的同时按要求把角和角的边对折几次，观察折痕的性质。
由折纸的过程，可以观察到折痕和角的边垂直，并且对应的折痕点处要折好；然后把角的两条边对折几次，让学生观察折痕的特点。
可以带学生完成上述操作，以便学生顺利地把注意力集中到观察折痕上。
5．让学生说出他们的猜想，并说明他们怎么想到的，暴露学生的思维过程，一是为了让学生理顺自己的思路，二是可以找到学生思维的进程。
6．肯定学生的发现，鼓励学生以后也要通过积极动脑思考，自己探索发现结论。
引导学生再来看他们找的生活中的实例，是不是也有利用这个性质的? 7．让学生口述他们的长度相等。
北师大九(上)教案--第一章[上学期] 1.4、角平分线2
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二、综合应用定理，学习例题
1．把例题抄写到黑板上，一边抄写一边让学生注意体会教材上数学语言的表述。让学生把例题抄到笔记本上，使学生进一步感受和熟悉数学的用语及表述方式。
2．让学生把准备好的三角形拿出来，分别折出三个角的角平分线，然后观察三条角平分线有什么性质。
3．让学生动手用直尺和圆规画一个三角形，然后画出三条角平分线，观察这三条角平分线有什么性质，和折出来的三条角平分线是不是有类似的性质?要注意提醒学生和三角形三条线段垂直平分线的性质类比思考。要求学生动手画图，训练学生的作图技能。
2．动手折出三角形的三条角平分线，观察它们有什么性质。联想到三角形三条线段垂直平分线的性质，观察到三线共点。
3．动手画出三角形，回忆上节课学过的作法，比较熟练地作出三条角平分线，观察它们的性质。类比三角形三条垂直平分线的性质，猜测三角形三条角平分线也是三线共点。作图的同时又锻炼了作图技能，对作法的合理性加深了理解。
8．认真听讲，对黑板上同学证明错误或表述不规范的地方认识得更清楚，根据老师的讲解批改同桌的证明，在当“小老师”的同时加深对定理的理解。
1．在老师抄写例题的同时，把例题抄写到自己的笔记本上，熟悉数学用语和表述方式。清楚例题的条件和结论。
2．对这道综合性比较强的题目，一时感到难以入手。对于第一问，有的可能想用勾股定理来计算，但AD的长度未知，因此行不通。
4．说出猜想：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。
6．类比三角形三条线段垂直平分线的性质定理，试着用三线共点的思路给出证明。证明的过程中用到角平分线的性质定理和判定定理。
北师大九年级数学教案-角平分线
角平分線教學反思
本節課我設計的教學思路是按操作、猜想、驗證、運用的學習過程，遵循學生的認知規律，來進一步提高學生的思維水準意識和應用數學知識解決實際問題的能力。
教學始終圍繞著角平分線及其性質、判定的問題而展開，先從出示問題開始，鼓勵學生思考，探索問題中所包含的數學知識，讓學生經歷了知識的形成與應用的過程，從而更好的理解掌握角平分線的性質，發展學生應用數學的意識與能力，增強學生學好數學的願望和信心。
但在具體的教學過程中，整個課堂顯得時間倉促，沒有給學生留下足夠的時間和空間進行定理應用。
沒有及時地檢驗學生運用角平分線性質定理進行簡單的推理及解決問題的能力。
假如對本節課進行第二次設計，我想只探討角平分線性質定理即可，而後補充一些例題給學生足夠的時間讓他們進行分析和運用，真正的培養學生動手、合作、概括能力，以達到提高學生的思維水準意識和應用數學知識解決實際問題的能力。
北师大版数学九年级上册1.4《角平分线》教学设计2
北师大版数学九年级上册1.4《角平分线》教学设计2一. 教材分析《角平分线》是北师大版数学九年级上册第1.4节的内容。
本节主要介绍了角平分线的性质，包括角平分线的定义、角平分线上的点到角的两边的距离相等、角平分线与角的对边成等角等。
教材通过丰富的图形和实例，引导学生探究角平分线的性质，从而培养学生的观察能力、推理能力和几何直观能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了角的概念、线的概念以及一些基本的几何图形，具备了一定的观察和推理能力。
但对于角平分线的性质，学生可能还比较陌生，需要通过实例和图形来引导他们理解和掌握。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生了解角平分线的定义，掌握角平分线的性质，能够运用角平分线的性质解决一些简单的问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、推理等方法，培养学生的几何直观能力和推理能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的合作意识和探究精神。
四. 教学重难点1.重点：角平分线的性质。
2.难点：理解并证明角平分线上的点到角的两边的距离相等。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法和几何直观法进行教学。
通过提出问题，引导学生观察、操作和推理，培养学生的几何直观能力和推理能力。
六. 教学准备1.准备一些角的模型和尺规作图工具。
2.准备多媒体教学设备，以便展示图形和实例。
七. 教学过程1. 导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾之前学习过的角的概念和线的概念，为新课的学习做好铺垫。
2. 呈现（10分钟）教师通过展示一些角的模型和实例，引导学生观察和思考：角平分线是什么？角平分线有哪些性质？3. 操练（10分钟）教师引导学生通过尺规作图，自己画出一个角的平分线，并观察和测量角平分线上的点到角的两边的距离。
学生相互交流自己的观察结果，教师总结角平分线的性质。
4. 巩固（10分钟）教师通过一些练习题，让学生运用角平分线的性质解决问题。
教师巡回指导，帮助学生解答疑问。
北师大版九年级(初三)数学上册教案教案 2、证明(二) 1.4.1 角平分线
第9课时§1.4.1 角平分线教学目标1、 能够证明角平分线的性质定理、判定定理2、 能够运用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题 教学重点和难点重点：角平分线的性质定理、判定定理难点：利用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题教学过程设计一、 从学生原有的认知结构提出问题以前我们曾研究过角平分线上的一些性质，这节课，我们通过证明，得出它的性质，应用这个两个定理解决一些几何问题。
二、 师生共同研究形成概念1、 书本引例☆ 想一想 书本P 31 上面 学生已经探索过角平分线的性质，此处可先让学生回顾这一性质及其探索过程，并尝试证明。
2、 角平分线的性质1） 点到直线的距离：这点向直线引垂线，这点到垂足间线段的长叫做这点到直线的距离。
2） 角平分线性质定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等3） 符号语言∵ 点P 在∠AOB 的角平分线上，PE ⊥OA ，PD ⊥OB ∴ PD = PE3、 角平分线的判定1） 猜想 想一想 书本P 31 中间2） 定理在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上3） 符号语言∵ PE ⊥OA ，PD ⊥OB ，且PD = PE∴ 点P 在∠AOB 的角平分线上4、 讲解例题例1如图，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，BE 、CD 相交于O ，且∠1 =∠2。
BA PO EDAB P OEDAB P求证：OB = OC 。
分析：要证OB = OC ，只需要证明R t △BOD ≌R t △COE ，为此,还需要证明OD = OE ，可直接用角平分线性质定理证得。
例2 如图，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，BE 、CD 相交于O ，且OB = OC 。
求证：∠1 =∠2。
分析：要证OB = OC ，只需要证明R t △BOD ≌R t △COE ，为此,还需要证明OD = OE ，可直接用角平分线性质定理证得。
北师大版初中数学：第一章第4节角平分线教案1
北师大版初中数学：第一章第4节角平分线教案1第一章第四节角平分线教案（1）教学目标：1。
知识目标：（1）掌握角平分线的性质定理和逆定理；（2）能够运用性质定理和逆定理证明两个角相等或两条线段相等；（3）能够判定两个命题是否为互逆命题，并能写出一个命题的逆命题.2.能力目标：（1）通过“判断问题”的练习，提高学生的辨别能力；（2）通过公理的初步应用，培养学生的逻辑推理能力及创新的能力.3.情感目标：（1）通过自主学习的发展体验获得数学知识的感觉；（2）通过知识的纵横迁移感受数学的辩证特征。
教学重点：角平分线的性质定理、逆定理及其应用。
教学难点：A.角平分线定理和逆定理的应用；b、两个定理之间的差异；c、写出命题的倒数。
教学工具：尺子、指南针教学方法：对话法教学过程：1、新课引入投影显示问题：（1）绘制一个角度的平分线；（2）在这条平分线上取任意点P，并标出从点P到拐角两侧的距离。
（3）说出这两段距离的关系并证明。
2.定理的习得：让学生用书面语言描述定理的内容角平分线的性质定理：在角平分线上的点到这个角两边距离相等。
强调说明：（1）、定理的条件及结论的符号表示；（2）定理的作用：直接证明两条线段相等。
使用的前提是有角度的平分线，关键是图形中是否有“垂直”。
3、运用逆向思维，导出定理的逆定理问题：将定理的条件和结论转换成一个新命题，说出新命题的内容，并判断该命题是否正确？学生用文字分析和讨论内容，老师给出必要的提示。
逆定理：与角的两边距离相等的点位于角的平分线上。
强调：逆定理的作用：证明角度相等b、二定理的区别与联系：性质定理说明了角平分线上点的纯粹性，即：只要是角平分线上的点，它到此角两边一定等距离，而无一例外；判定定理反映了角平分线的完备性，即只要是到角两边距离相等的点，都一定在角平分线上，而绝不会漏掉一个。
实际应用中，前者用来证明线段相等，后者用来证明角相等（角平分线）4、原命题与逆命题a、概念b、写出互逆命题的关键。
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第一章 证明(二)
总课时： 11 课时 执笔人：牟杰 使用人： 备课时间：开学前第一周 上课时间：第一周 1.4角平分线（一） 教学目标： 1、知识与技能
①角平分线的性质定理的证明角平分线的判定定理的证明． ②用尺规作已知角的角平分线． 2、过程与方法
经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力 3、情感态度与价值观
在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心． 教学重点：①角平分线的性质和判定定理的证明．
②用尺规作已知角的角平分线并说明理由．
教学难点：①正确地表述角平分线性质定理的逆命题．
②正确地将文字语言转化成符号语言和图形语言，对几何命题加以证明．
教 学 过 程
一、课前复习：（学生口答2分钟） 角平分线的定义、定理和逆定理的内容？ 二、导入新课：（学生思考3分钟）
我们曾用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质，步骤如下： 从折纸过程中，我们可以得出CD=CE ， 即角平分线上的点到角两边的距离相等． 你能证明它吗?
三、新课教学（学生共同探究证明过程并总结出结论22分钟）
请同学们自己尝试着证明它，然后在全班进行交流．
已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D 、E ． 求证：PD=PE ．
证明：∵∠1=∠2，OP=OP ，
2
1
D
C
P
O
A
∠PDO=∠PEO=90°， ∴△PDO≌△PEO(AAS)．
∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)．
定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
你能写出这个定理的逆命题吗?它是真命题吗? 你能证明它吗? (由大家自己独立思考完成，在全班讨论交流，对困难学生可个别辅导) 已知：在么AOB 内部有一点P ，且PD 上OA ，PE⊥OB，D 、E 为垂足且PD=PE ， 求证：点P 在么AOB 的角平分线上． 证明：PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO=∠ PEO=90°． 在Rt△ODP 和Rt△OEP 中
OP=OP ，PD=PE ，∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL 定理)． ∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)．
定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
做一做：用尺规作角的平分线
已知：∠AOB(如图)
求作：射线OC ，使∠AOC=∠BOC．
作法：1、在OA 和OB 上分别分别截取OD 、OE ， 使OD=OE ．
2．分别以D 、E 为圆心，以大于1
2 DE 的长为半径作弧，两弧在么AoB 内交于点C ．
3．作射线OC
OC 就是∠AOB 的平分线．
(教学时，教师可以边介绍作法，边让学生动手完成整个操作过程) 完成做法后，请学生说明OC 为什么是∠AOB 的平分线，与同伴交流． 从作图的过程中，不难发现OD=OE ，CE=CD ，OC=OC ， △OCEC≌△OCD(SSS)．
∴∠1=∠2，即OC 是∠AOB 的角平分线． 四、知识巩固（学生独立完成10分钟）
教科书第34页第1- -2题。
六、课堂小结：（师生共同总结3分钟）
这节课我们在折纸的基础上，证明了角平分线的性质定理和判定定理，并学习了用尺规作一个已知角的角平分线，进一步发展学生的推理证明意识和能力．
七、课外作业：
A组：教科书第36页第1—4题
B组：教科书第31页第1--3题
C组：教科书第31页第1--2题
板书设计：
教学反思：在教学中应首先让学生通过画三角形纸片的折痕来充分认识这一点．学生往往不能正确区分出角平分线的性质定理和判定定理，因此要通过分析定理的题设和结论帮学生正确认识．学生习惯用于找全等三角形的方法去解决问题，而不注重利用刚学过的定理来解决，这实际上是对定理的重复证明，这一点在教学时要注意。