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2019中考数学第一轮复习 二次函数及其应用专题训练

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苏科版数学中考复习专题练习— 二次函数及其应用(含答案)

苏科版数学中考复习专题练习— 二次函数及其应用(含答案)

二次函数及其应用一、学习目标1．掌握二次函数的定义；2．理解并掌握二次函数的图像以及性质；3．会利用二次函数的性质解决实际问题．二、典型例题题型一、二次函数的概念例题1．下列函数中，y关于x的二次函数是（）A．y＝ax2＋bx＋c B．y＝1x2＋1C．y＝x(x＋1) D．y＝(x＋2)2－x2【题小结】用二次函数的概念进行判断借题发挥：若y＝(k－1)x k2+1是二次函数，则k＝．题型二、二次函数的图像与性质例题2．关于抛物线y＝3(x－1)2＋2，下列说法错误的是（）A．开口方向向上B．对称轴是直线x＝1C．顶点坐标为（1，2）D．当x＞1时，y随x的增大而减小例题3．已知二次函数y＝2x2－8x＋c的图象过点A（－2，y1），B（－1，y2），C（8，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＞y1＞y2B．y1＞y2＞y3C．y2＞y3＞y1D．y3＞y2＞y1【题小结】用二次函数的图像与性质解决借题发挥：1．当x≥2时，二次函数y＝x2－2x－3有（）A．最大值－3 B．最小值－3 C．最大值－4 D．最小值－42．二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图，图象过点A（3，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：①a －b＋c＝0；②2a＋b＝0；③4ac－b2＞0；④a＋b≥am2＋bm（m为实数）．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个题型三、用待定系数法求二次函数例题5．如图，已知点A的坐标是（1，3），将线段OA绕点O逆时针旋转90°得到OB．（1）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（2）若M是线段AB上的一个动点，过点M作MN⊥x轴交抛物线于点N，当线段MN的长度取最大值时，求点M的坐标．借题发挥：已知二次函数的图象如图所示：（1）求这个二次函数的表达式；（2）观察图象，当－3＜x＜0时，y的取值范围为；（3）将该二次函数图象沿x轴翻折后得到新图象，新图象的函数表达式为．题型四、二次函数与方程、不等式例题6．已知二次函数y＝x2－6x－9k的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为．例题7．如表是二次函数y＝ax2＋bx＋c的几组对应值：（）A．6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18 C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20例题8．如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A（－2，－3），B（3，q）两点，则不等式ax2－mx＋c＜n的解集是．【题小结】二次函数的图像与x轴交点坐标，一元二次方程、不等式等问题的联系．。

2019年中考数学二次函数的应用专题(解析版)

2019年中考数学二次函数的应用专题(解析版)

2019年中考数学二次函数的应用专题(名师点拨中考必考知识点,建议下载打印练习)时间：45分钟 满分：100分一、单选题（共7题，每题4分；共28分）1．（2017•包头）已知一次函数y 1＝4x ，二次函数y 2＝2x 2＋2，在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值为y 1与y 2，则下列关系正确的是（ ） A ．y 1＞y 2B ．y 1≥y 2C ．y 1＜y 2D ．y 1≤y 2【分析】首先判断直线y ＝4x 与抛物线y ＝2x2＋2只有一个交点，如图所示，利用图象法即可解决问题．【解答】解：由2422y x y x =⎧⎨=+⎩消去y 得到：x 2－2x ＋1＝0， ∵△＝0，∴直线y ＝4x 与抛物线y ＝2x 2＋2只有一个交点，如图所示 观察图象可知：．y 1≤y 2， 故答案：D ．2．（2018威海）如图，将一个小球从斜坡的点O 处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y ＝4x －21x 2刻画，斜坡可以用一次函数y ＝21x 刻画，下列结论错误的是( ) A ．当小球抛出高度达到7.5时，小球距O 点水平距离为3m B ．小球距O 点水平距离超过4米呈下降趋势 C ．小球落地点距O 点水平距离为7米D ．斜坡的坡度为1∶2【分析】根据二次函数图象和性质可解答【解答】解：：根据函数图象可知，当抛出的高度为7．5时，小球距离O 点的水平距离有两值（为3m 或5m ），A 结论错误；由y ＝4x －21x 2得y ＝－21（x －4）2＋8，则对称轴为直线x ＝4，当x ＞4时，y 随x 值的增大而减小，B 结论正确；联立方程y ＝4x －12x 2与y ＝21x 解得⎩⎨⎧==00y x ，或⎪⎩⎪⎨⎧==277y x ；则抛物线与直线的交点坐标为（0，0）或（7，27），C 结论正确；由点（7，27）知坡度为27∶7＝1∶2（也可以根据y ＝21x 中系数21的意义判断坡度为1∶2），D 结论正确； 故选A ．3．（2017•泰安）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB=10cm ，BC=8cm ，点P 从点A 沿AC 向点C 以1cm/s 的速度运动，同时点Q 从点C 沿CB 向点B 以2cm/s 的速度运动（点Q 运动到点B 停止），在运动过程中，四边形PABQ 的面积最小值为（ ）A ．19cm 2B ．16 cm 2C ．15 cm 2D ．12 cm 2【分析】在Rt △ABC 中，利用勾股定理可得出AC=6cm ，设运动时间为t （0≤t≤4），则PC=（6﹣t ）cm ，CQ=2tcm ，利用分割图形求面积法可得出S 四边形PABQ=t 2﹣6t+24，利用二次函数性质即可求出四边形PABQ 的面积最小值．【解答】解：在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10cm ，BC=8cm ，∴AC=22BC AB =6cm ． 设运动时间为t （0≤t≤4），则PC=（6﹣t ）cm ，CQ=2tcm ， ∴S 四边形PABQ=S △ABC ﹣S △CPQ=21AC•BC ﹣21PC•CQ=21×6×8﹣21（6﹣t ）×2t=t2﹣6t+24=（t ﹣3）2+15，∴当t=3时，四边形PABQ 的面积取最小值，最小值为15． 故答案：C ．4．（2017•宿迁）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝2cm ，点P 在边AC 上，从点A 向点C 移动，点Q 在边CB 上，从点C 向点B 移动．若点P ，Q 均以1cm/s 的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ ，则线段PQ 的最小值是( )A ．20cmB ．18cmC ．cmD ．cm【分析】根据已知条件得到CP ＝6－t ，得到PQ ＝＝＝，可得到结论．【解答】解：∵AP ＝CQ ＝t ，∴CP ＝6－t ，∴PQ ＝＝＝，∵0≤t ≤2，∴当t ＝2时，PQ 的值最小，∴线段PQ 的最小值是， 故答案：C ．5．（2017•临沂）足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h （单位：m ）与足球被踢出后经过的时间t （单位：s ）之间的关系如下表：下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m ；②足球飞行路线的对称轴是直线t=92；③足球被踢出9s 时落地；④足球被踢出1.5s 时，距离地面的高度是11m ，其中正确结论的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】由题意，抛物线的解析式为y=at（t﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1，可得y=﹣t2+9t=﹣（t﹣4.5）2+20.25，由此即可一一判断．【解答】解：由题意，抛物线的解析式为y=at（t﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1，∴y=﹣t2+9t=﹣（t﹣4.5）2+20.25，∴足球距离地面的最大高度为20.25m，故①错误，∴抛物线的对称轴t=4.5，故②正确，∵t=9时，y=0，∴足球被踢出9s时落地，故③正确，∵t=1.5时，y=11.25，故④错误．∴正确的有②③，故答案：B．6．（2018·哈尔滨）将抛物线y＝－5x2＋1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为( )A．y＝－5(x＋1)2－1 B．y＝－5(x－1)2－1C．y＝－5(x＋1)2＋3 D．y＝－5(x－1)2＋3【分析】先写成顶点式,根据抛物线解析式平称规律(对x:在括号内左加右减;对y在左边直接上减下加)或转化为点的坐标平移规律(左减右加上加下减)直接求解【解答】解：给的抛物线解析式可以看做顶点式，顶点为（0，1）平移可以看做是顶点在移动到（－1，－1），所以选A故答案：A．7．（2016•衢州）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：则该函数图象的对称轴是（）A．直线x=﹣3 B．直线x=﹣2 C．直线x=﹣1 D．直线x=0【分析】根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴，然后解答即可．【解答】解：∵x=﹣3和﹣1时的函数值都是﹣3相等，∴二次函数的对称轴为直线x=﹣2．故答案：B．二、填空题（共3题，每题4分；共12分）8．(2018·沈阳)如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB ＝______m 时，矩形ABCD 的面积最大． EACDBF【分析】利用二次函数增减性及最值解决实际问题．【解答】解：设AB ＝x m ，因此AB ＋EF ＋CD ＝3x ，所以AD ＝BC ＝90032x-，矩形ABCD 的面积设为y (平方米)，所以y ＝x·90032x -＝234502x x -+，由于二次项系数小于0，所以y 有最大值，当x ＝2b a -＝34502()2⎡⎤-÷⨯-⎢⎥⎣⎦＝150时，函数y 取得最大值．．故答案：1509．（2017•阿坝州）如图，抛物线的顶点为P(－2，2)，与y 轴交于点A(0，3)．若平移该抛物线使其顶点P 沿直线移动到点P′(2，－2)，点A 的对应点为A′，则抛物线上PA 段扫过的区域(阴影部分)的面积为______．【分析】根据平移的性质得出四边形APP′A′是平行四边形，进而得出AD ，PP′的长，求出面积即可．【解答】解：连接AP ，A′P′，过点A 作AD ⊥PP′于点D ，由题意可得出：AP ∥A′P′，AP=A′P′， ∴四边形APP′A′是平行四边形，∵抛物线的顶点为P(－2，2)，与y 轴交于点A(0，3)，平移该抛物线使其顶点P 沿直线移动到点P′(2，－2)，∴PO=222222=+，∠AOP=45°，又∵AD ⊥OP ，∴△ADO是等腰直角三角形，∴PP′=24222=⨯，∴AD=DO=sin45°•OA=223332=⨯，∴抛物线上PA 段扫过的区域(阴影部分)的面积为：22324⨯=12．故答案：12．10．(2018·武汉)飞机着陆后滑行的距离y (单位：m )关于滑行时间t (单位：s )的函数解析式是y ＝60t －32t 2，在飞机着陆滑行中，最后4 s 滑行的距离是___________m . 【分析】会利用配方法把二次函数一般式表示成顶点式,利用二次函数最值解决实际问题 【解答】解： y ＝60t －32t 2＝－32(t －20)2＋600，即当t ＝20时，飞机停止滑行，此时滑行距离为600m ，当t ＝16时，y ＝576m ，故最后4s 滑行的距离是600－576＝24m . 故答案：24．三、解答题（共6题，每题10分；共60分）11．（2018·襄阳）襄阳精准扶贫工作已进入攻坚阶段．贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．第x 天的售价为y 元/千克，y 关于x 的函数解析式为y ＝()()761202030mx m x x n x x ⎧-⎪⎨⎪⎩≤＜，为正整数，≤≤，为正整数，且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售蓝莓的成本是18元/千克，每天的利润是W 元（利润＝销售收入－成本）．（1）m ＝______，n ＝______；（2）求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？（3）在销售蓝莓的30天中，当天利润不低于870元的共有多少天？【分析】（1）根据“第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克”可知，x ＝12时，y＝32；x＝26时，y＝25，将它们代入y关于x的函数解析式中即可求出m，n的值．（2）根据“在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克”可知，第x天的销售量为20＋4(x－1)＝4x＋16，于是由“当天利润＝当天销售量×每千克的销售利润”求得W关于x的函数关系式，注意是分段函数，然后利用二次函数的最值问题和一次函数的增减性讨论求解．（3）就是要求出使W ≥870的整数x值有多少个，即为多少天．这需要根据（2）中的计算结果，结合二次函数与一元二次方程的关系及一元一次不等式知识求解．【解答】解：（1）m＝－12，n＝25．（2）第x天的销售量为20＋4(x－1)＝4x＋16．当1≤x＜20时，W＝(4x＋16)(－12x＋38－18)＝－2x2＋72x＋320＝－2(x－18)2＋968．∴当x＝18时，W最大值＝968．当20≤x≤30时，W＝(4x＋16)(25－18)＝28x＋112．∵28＞0，∴W随x的增大而增大．∴当x＝30时，W最大值＝952．∵968＞952，∴当x＝18时，W最大值＝968．即第18天当天的利润最大，最大利润为968元．（3）当1≤x＜20时，令－2x2＋72x＋320＝870，解得x1＝25，x2＝11．∵抛物线W＝－2x2＋72x＋320的开口向下，∴11≤x≤25时，W≥870．∴11≤x＜20．∵x为正整数，∴有9天利润不低于870元．当20≤x≤30时，令28x＋112≥870，解得x≥27114．∴27114≤x≤30．∵x为正整数，∴有3天利润不低于870元．综上所述，当天利润不低于870元的共有12天．12．（2018威海）为了支持大学生创业，某市政府出台了一项优惠政策：提供10万元的无息创业贷款，小王利用这笔贷款，注册了一家淘宝网店，招收5名员工，销售一种火爆的电子产品，并约定用该网店经营的利润，逐月偿还这笔无息贷款，已知该产品的成本为每件4元，员工每人每月的工资为4千元，该网店还需每月支付其它费用1万元，该产品每月销售量y (万件)与销售单价x (元)之间的函数关系如图所示．(1)求该网店每月利润w(万元)与销售单价x(元)之间的函数表达式； (2)小王自网店开业起，最快在第几个月可还清10万元的无息贷款？【分析】：（1）先用待定系数法求出直线AB 与BC 的函数表达式，然后在4≤x ≤6与6≤x ≤8时，根据“每月利润＝销售单价×每月销售量－工资及其他费用”列出W 与x 之间的函数表达式；（2）先求出每月的最大利润，然后求出最快还款的时间．【解答】解：(1)设直线AB 的函数表达式为y AB ＝kx ＋b ，代入A （4，4），B （6，2），得 4426k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得18k b =-⎧⎨=⎩．∴直线AB 的函数表达式为y AB ＝－x ＋8． 设直线BC 的函数表达式为y BC ＝k 1x ＋b 1，代入B （6，2），C （8，1），得 11112618k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得11125k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的函数表达式为y BC ＝－21x ＋5． 工资及其他费用为0.4×5＋1＝3（万元）．当4≤x ≤6时，∴()()1483W x x =--+-，即211235W x x =-+-． 当6≤x ≤8时，∴()214532W x x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭，即2217232W x x =-+-．(2)当4≤x ≤6时，()221123561W x x x =-+-=--+，∴当6x =时，1W 取得最大值1．当6≤x ≤8时，()2221137237222W x x x =-+-=--+，∴当x ＝7时，2W 取得最大值1.5．∴1020261.533==，即第7个月可以还清全部贷款．13(2018·吉林)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋2ax －3a(a ＜0)与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，顶点为D ，直线DC 与x 轴相交于点E ．（1）当a＝－1时，抛物线顶点D的坐标为________，OE＝________；（2）OE的长是否与a值无关，说明你的理由；（3）设∠DEO＝β，45°≤β≤60°，求a的取值范围；（4）以DE为斜边，在直线DE的下方作等腰直角三角形PDE．设P(m，n)，直接写出n关于m的函数解析式及自变量m的取值范围．【分析】（1）当a＝－1时，得到抛物线的解析式，求出相应顶点D和与y轴的交点坐标；进而求出OE的长；（2）与（1）类似，将字母a当作已知数即可；（3）分别求出β＝45°和β＝60°时a的值，进而确定a的取值范围；（4）利用等腰直角三角形构造三角形全等(或一线三直角)，得出m与n的关系式．【解答】解：（1）(－1，4)，3；（2）OE长与a值无关．理由：如图①，∵y＝ax2＋2ax－3a，∴C(0，－3a)，D(－1，－4a)．∴直线CD的解析式为y＝ax－3a．当y＝0时，x＝3．∴OE＝3．∴OE的长与a值无关．（3）当β＝45°时，在Rt△OCE中，OC＝OE．∵OE＝3，OC＝－3a，∴－3a＝3．∴a ＝－1．当β＝60°时，在Rt△OCE中，OC＝3OE．∵OE＝3，OC＝－3a，∴－3a＝33．∴a＝－3．∴当45°≤β≤60°时，－3≤x≤－1．（4）n＝－m－1(m＜1)．(如图②)过点P向抛物线的对称轴作垂线，过点P向x轴作垂线，垂足分别为M、N．则∠MPN＝90°．∴∠NPE＋∠MPE＝90°．∵△PDE是等腰直角三角形，∴PD＝PE，∠DPE＝90°；∴∠DPM＋∠MPE＝90°，∴∠DPM＝∠NPE，∴Rt△DPM ≌Rt△EPN，∴PM＝PN．∵P(m，n)，D(－1，－4a)，E(3，0)，∴－1－m＝n．即n＝－m －1(m＜1)．14（2018河南)如图，抛物线y ＝ax 2＋6x ＋c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，直线y ＝x －5经过点B ，C ． （1）求抛物线的解析式；（2）过点A 的直线交直线BC 于点M ．①当AM ⊥BC 时，过抛物线上一动点P(不与点B ，C 重合)，作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ，若以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的横坐标； ②连接AC ，当直线AM 与直线BC 的夹角等于∠ACB 的2倍时，请直接写出点M 的坐标．【分析】（1）先利用一次函数解析式计算出B ，C 两点的坐标，再代入y ＝ax 2＋6x ＋c 中即可求得抛物线的解析式；（2） ①当A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形时，注意要分“点P 在直线BC 上方”和“点P 在直线BC 下方”两种情况进行讨论求解；②提示：作AC 的垂直平分线，交BC 于点1M ，连接1AM ，过点A 作AN ⊥BC 于点N ，将1ANM ∆沿AN 翻折，得到2ANM ∆，点1M 、2M 的坐标即为所求．【解答】解：（1）∵直线5y x =-交x 轴于点B ，交y 轴于点C ，∴ B(5，0)，C(0，－5)．图②Q图①∵抛物线26y ax x c =++过点B ，C ，∴025305a c c =++⎧⎨-=⎩，∴15a c =-⎧⎨=-⎩， ∴抛物线的解析式为：265y x x =-+-．（2）∵OB ＝OC ＝5，∠BOC ＝90°，∴∠ABC ＝45°，∵抛物线265y x x =-+-交x 轴于A ，B 两点，∴A(1，0)，∴AB ＝4，∵AM ⊥BC ，∴AM ＝，∵PQ ∥AM ，∴PQ ⊥BC ，若以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，则PQ ＝AM ＝，过点P 作PD ⊥x 轴交直线BC 于点D ，则∠PDQ ＝45°，∴PD PQ ＝4．设P(m ，265m m -+-)，则D(m ，5m -)．分两种情况讨论如下：(ⅰ)当点P 在直线BC 上方时，PD ＝()2265554m m m m m -+---=-+=，∴11m =(舍去)，24m = (ⅱ)当点P 在直线BC 下方时，PD ＝()2256554m m m m m ---+-=-=，∴1m =，2m =．综上，点P 的横坐标为4． ②M(136，176-)或(236，76-)． 15（2018•日照）如图，已知点A （－1，0），B （3，0），C （0，1）在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上．（1）求抛物线解析式；（2）在直线BC 上方的抛物线上求一点P ，使△PBC 面积为1；（3）在x 轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q ，使∠BQC ＝∠BAC ？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）由待定系数法求抛物线解析式；（2）作PD⊥x轴交直线BC于D，将△PBC转化为S△PDC＋S△PDB列方程求解；（3）由∠BQC＝∠BAC推出点Q在△ABC外接圆上，外接圆圆心是弦AC与对称轴的交点，从而确定外接圆圆心坐标及半径长，进而求得点Q坐标．【解答】解：（1）把点A（－1，0），B（3，0），C（0，1）代入y＝ax2＋bx＋c，得0 9301a b ca b cc-+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得13231aac⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，所以抛物线的解析式为y＝－13x2＋23x＋1．（2）∵B（3，0），C（0，1），∴直线BC的解析式为y＝－13x＋1．过点P作PE⊥x轴于点E，交BC于D．设P(x，－13x2＋23x＋1)，则D(x，－13x＋1)．∴PD＝－13x2＋23x＋1－(－13x＋1)＝－13x2＋x．∴S△PBC＝S△PDC＋S△PDB＝12PD(x B－x C)＝12(－13x2＋x)(3－0)＝－12x2＋32x．又∵S△PBC＝1，∴－12x2＋32x＝1，∴x2－3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝2．∴P1（1，43），P2（2，1）．（3）答：存在．理由：如图，∵A（－1，0），C（0，1），∴OC＝OA＝1，∴∠BAC＝45°．∵∠BAC ＝∠BQC，∴∠BQC＝45°．∴点Q为△ABC外接圆与抛物线对称轴在x轴下方的交点．设△ABC外接圆圆心为M，∵线段AC的垂直平分线为直线：y＝－x，线段AB的垂直平分线为：x＝1．∴点M为直线y＝－x与直线x＝1的交点，即M（1，－1），∴∠BMC＝2∠BQC＝90°，又∵MQ＝MB＝Ry Q＝－（11Q在直线x＝1上，∴x Q ＝1，∴Q （1，－1．16．. (2018福建)已知抛物线2y ax bx c =++过点A （0,2），且抛物线上任意不同两点11(,)M x y ,22(,)N x y 都满足：当120x x <<时，1212()()0x x y y -->；当120x x <<时，1212()()0x x y y --<，以原点O 为圆心，OA 为半径的圆与抛物线的另两个交点为B ，C ，且B 在C 的左侧，△ABC 有一个内角为60°．（1）求抛物线的解析式；（2）若MN 与直线y ＝-平行，且M ，N 位于直线BC 的两侧，12y y >，解决以上问题：①求证：BC 平分∠MBN ；②求△MBC 外心的纵坐标的取值范围．【分析】（1）依据题中已知条件可知抛物线的增减性变化特征为当x ＜0时，y 随x 的增大而增大；当x ＞0时，y 随x 的增大而减小．此时b ＝0，c ＝2，即可得到抛物线的解析式；（2）①先根据点M 坐标为211(,2)x x -+，点N 坐标为222(,2)x x -+，求出直线MN 的解析式，然后分别构造Rt △BEM 与Rt △BFN ，求出tan ∠MBE 与tan ∠NBF 的值，从而得到∠MBE ＝∠MBE 即可．②先确定△MBC 外心位置，然后利用垂直平分线的性质和勾股定理求解．【解答】解：（1）∵抛物线过点A （0,2），∴c ＝2，当120x x <<时，120x x -<，由1212()()0x x y y -->得120y y -<，∴当x ＜0时，y 随x 的增大而增大；同理可得，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小．∴抛物线的对称轴为y 轴且开口向下，则b ＝0．∵O 为圆心，OA 为半径的圆与抛物线交于另两点B ，C ，∴△ABC 是等腰三角形，又∵△ABC 有一个内角为60°，故△ABC 为等边三角形，且OC ＝OA ＝2．设线段BC 与y 轴的交点为D ，则BD ＝CD ，且∠OBD ＝30°，所以BD ＝OB·cos30°，OD ＝OB·sin30°＝1，∵点B 在点C 的左侧，所以点B坐标为(1)-．∵点B 在抛物线2y ax bx c =++上，且c ＝2,b ＝0,所以3a+2＝－1,解得a ＝－1，所以所求抛物线的解析式为22y x =-+．（2）①由（1）知，点M 坐标为211(,2)x x -+，点N 坐标为222(,2)x x -+，∵MN 与直线y＝-平行，设直线MN 的解析式为y＝m -+，则212x -+＝1m -+，即m＝2112x -++，∴直线MN 的解析式为2112y x =-++，将2112y x =-++代入22y x =-+得，2211x x -=-+化为221((x x +=，解得1x x =-，或1x x =-，∴21x x =-，则2y＝21(2x --+＝21110x -+-，作ME ⊥BC ，NF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，∵点M ，N 位于直线BC 的两侧，且12y y >，则2112y y <-<≤，且12x x <<，∴ME ＝1y －（－1）＝213x -+，BE＝1(x -＝1x +， NF ＝（－1）－2y＝2119x -+，BF＝21(x x -=-， 在Rt △BEM 中，tan ∠MBE ＝ME EB＝211133x x x -+=-+, 在Rt △BFN 中，tan ∠NBF ＝NF BF1x ===, ∵tan ∠MBE ＝ tan ∠NBF ，∴∠MBE ＝ ∠NBF ，即BC 平分∠MBN ．②∵y 轴为BC 的垂直平分线，∴可设△MBC 的外心为P （0，0y ），则PB ＝PM ，即22PB PM =．由勾股定理可得22220101(1)()y x y y ++=+-因为2112x y =-，∴220010124(2)()y y y y y ++=-+-，即1012y y =-．由①知，112y -<≤，∴0302y -<≤，即△MBC 的外心的纵坐标的取值范围为0302y -<≤．。

二次函数专题训练(解析版)

二次函数专题训练(解析版)

2019中考数学---二次函数专题训练一、选择题1.(2018，北京房山区模拟)小明以二次函数y＝2x2－4x＋8的图象为灵感设计了一款杯子，如图所示的为杯子的设计稿．若AB＝4，DE＝3，则杯子的高CE 为(B)第1题图A. 14B. 11C. 6D. 32. (2018，芜湖繁昌县一模)某大学生利用课余时间在网上销售一种成本为50元/件的商品，每月的销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间的函数关系式为y＝－4x＋440，要使销售该商品获得的月利润最大，该商品的售价应定为(C)A. 60元/件B. 70元/件C. 80元/件D. 90元/件3. (2018，石家庄裕华区二模)二次函数y＝x2＋bx＋c的图象上有两点(3，4)和(－5，4)，则此拋物线的对称轴是(A)A. x＝－1B. x＝1C. x＝2D. x＝34. (2018，哈尔滨)将抛物线y＝－5x2＋1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为(A)A. y＝－5(x＋1)2－1B. y＝－5(x－1)2－1C. y＝－5(x＋1)2＋3D. y＝－5(x－1)2＋35.(2018，荆门京山模拟)一条抛物线和抛物线y＝－2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是(－1，3)，则该抛物线的解析式为(B)A. y＝－2(x－1)2＋3B. y＝－2(x＋1)2＋3C. y＝－(2x＋1)2＋3D. y＝－(2x－1)2＋36. (2018，广西二模，导学号5892921)如图所示的是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时水面宽4 m．若水面下降1 m，则水面宽度为(A)A. 2 6 mB. 2 3 mC. 6 mD. 3 m7. 如图，已知边长为4的正方形ABCD，P是BC边上一动点(与点B，C不重合)，连接AP，作PE⊥AP交外角∠DCF的平分线于点E.设BP＝x，△PCE的面积为y，则y与x之间的函数关系式是(C)A. y＝2x＋1B. y＝12x－2x2C. y＝2x－12x2 D. y＝2x8. 若二次函数y＝(a－1)x2＋3x＋a2－1的图象经过原点，则a的值为(C)A. 1或－1B. 1C. －1D. 09. 将抛物线y＝12x2－6x＋21向左平移2个单位长度后，得到新抛物线的解析式为(D)A. y＝12(x－8)2＋5 B. y＝12(x－4)2＋5C. y＝12(x－8)2＋3 D. y＝12(x－4)2＋310. (2018，北京顺义区模拟)二次函数的部分图象如图所示，对称轴是x＝－1，则这个二次函数的解析式为(D)A. y＝－x2＋2x＋3B. y＝x2＋2x＋3C. y＝－x2＋2x－3 D . y＝－x2－2x＋311. (2018，哈尔滨道外区二模)某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，点O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系(如图)，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y＝－x2＋2x＋3，则下列结论：①柱子OA的高度为3 m；②喷出的水流在距柱子 1 m 处达到最大高度；③喷出的水流距水平面的最大高度是 4 m；④水池的半径至少要3 m才能使喷出的水流不至于落在池外．其中正确的有(D)第3题图A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个12. (2018，广州南沙区模拟)如图，△ABC是直角三角形，∠A＝90°，AB ＝8 cm，AC＝6 cm.点P从点A出发，沿AB方向以2 cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点A出发，沿AC方向以1 cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达终点则另一个动点也停止运动，则△APQ的面积最大是(C)第6题图A. 10 cm2B. 8 cm2C. 16 cm2D. 24 cm213. (2018，成都)关于二次函数y＝2x2＋4x－1，下列说法正确的是(D)A. 图象与y轴的交点坐标为(0，1)B. 图象的对称轴在y轴的右侧C. 当x＜0时，y随x的增大而减小D. y的最小值为－314. (2018，广安)抛物线y＝(x－2)2－1可以由抛物线y＝x2平移而得到，下列平移正确的是(D)A. 先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度B. 先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度C. 先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度D. 先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度15. (2018，合肥包河区二模)已知二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(－1，1)，则ab有(D)A. 最大值1B. 最大值2C. 最小值0D. 最小值－1 416.汽车刹车后行驶的距离s(m)关于行驶时间t(s)的函数解析式是s＝20t －5t2，汽车刹车后到停下来前进的距离是(B)A. 10 mB. 20 mC. 30 mD. 40 m17. 如图，正方形ABCD的边长为1，E，F分别是边BC和CD上的动点(不与正方形的顶点重合)，不管点E，F怎样运动，始终保持AE⊥EF.设BE＝x，DF＝y，则y关于x的函数解析式是(C)A. y＝x＋1B. y＝x－1C. y＝x2－x＋1D. y＝x2－x－118. (2018，哈尔滨道里区二模)将抛物线y＝2x2平移可得到抛物线y＝2(x ＋3)2＋4，下列平移正确的是(A)A. 先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度B. 先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度C. 先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度D. 先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度19. (2018，邵阳模拟)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 先向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为y ＝－3(x －1)2＋4，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标是(C )A. (6，3)B. (6，5)C. (－4，3)D. (－4，5)20. (2018，南京玄武区一模)已知二次函数y ＝x 2－5x ＋m 的图象与x 轴有两个交点．若其中一个交点的坐标为(1，0)，则另一个交点的坐标为(B )A. (－1，0)B. (4，0)C. (5，0)D. (－6，0)二、 填空题21. (2018，武汉)飞机着陆后滑行的距离y (m)关于滑行时间t (s)的函数解析式是y ＝60t －32t 2.在飞机着陆滑行中，最后4 s 滑行的距离是 24 m. 22.如图，在矩形ABCD 中，AD ＝16，AB ＝12，E ，F 分别是边BC ，DC 上的点，且EC ＋CF ＝8.设BE 的长为x ，△AEF 的面积为y ，则y 关于x 的函数解析式是( y ＝12x 2－10x ＋96 ).23. (2018，上海长宁区一模)抛物线y ＝x 2－4x ＋3的顶点坐标为 (2，－1) ．24. (2018，莆田秀屿区模拟)如果将抛物线y ＝x 2－2x －1向上平移，使它经过点A (0，3)，那么所得新抛物线的解析式是y ＝x 2－2x ＋3 .25. (2018，洛阳洛宁县三模，导学号5892921)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (－2，4)，B (6，4)两点，且顶点在x 轴上，则该抛物线的解析式为（ y ＝14x 2－x ＋1 ）.26. (2018，滨州)如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y (m)与飞行时间x (s)之间具有函数关系y ＝－5x 2＋20x ，请根据要求解答下列问题：(1)在飞行过程中，当小球的飞行高度为15 m 时，飞行时间是多少？(2)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？(3)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？【思路分析】 (1)根据题目中的函数解析式，令y ＝15即可解答本题．(2)令y ＝0，代入题目中的函数解析式即可解答本题．(3)将题目中的函数解析式化为顶点式即可解答本题．解：(1)当y ＝15时，15＝－5x 2＋20x .解得x＝1或x＝3.答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为15 m时，飞行时间是1 s或3 s.(2)当y＝0时，0＝－5x2＋20x.解得x＝0或x＝4.4－0＝4(s)．答：在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4 s.(3)y＝－5x2＋20x＝－5(x－2)2＋20，∴当x＝2时，y取得最大值，为20.答：在飞行过程中第2 s时，小球飞行高度最大，最大高度是20 m.27. (2018，盘锦节选)鹏鹏童装店销售某款童装，每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反应：每降价1元，每星期可多卖10件．已知该款童装每件成本为30元．设该款童装每件售价为x 元，每星期的销售量为y件．(1)求y与x之间的函数关系式；(不求自变量的取值范围)(2)当每件童装售价定为多少元时，每星期的销售利润最大？最大利润是多少？(3)当每件童装售价定为多少元时，该店销售该款童装一星期可获得 3 910元的利润？【思路分析】 (1)每星期的销售量等于100件加上因降价而多销售的销售量，由此得到函数关系式．(2)设每星期的销售利润为W元，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题．(3)根据题意列方程即可解决问题．解：(1)y＝100＋10(60－x)＝－10x＋700.(2)设每星期的销售利润为W元．根据题意，得W＝(x－30)(－10x＋700)＝－10x2＋1 000x－21 000＝－10(x－50)2＋4 000.∴当x＝50时，W最大，W最大＝4 000.所以当每件童装售价定为50元时，每星期的销售利润最大，最大利润是4 000元．(3)由题意，得－10(x－50)2＋4 000＝3 910.解得x＝53或x＝47.所以当每件童装售价定为53元或47元时，该店销售该款童装一星期可获得3 910元的利润．28. (2018，菏泽郓城县模拟)如图，已知二次函数y＝ax2－4x＋c的图象经过点A和点B.(1)求该二次函数的解析式；(2)写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；(3)若点P(m，m)在该函数的图象上，求m的值．第17题图【思路分析】 (1)由图象可知点A 和点B 的坐标，代入解析式可得到关于a 和c 的二元一次方程组，解得a 和c ，可得出二次函数的解析式．(2)利用配方法化成顶点式即可得解．(3)把点的坐标代入可求得m 的值．解：(1)将A (－1，－1)，B (3，－9)的坐标分别代入，得⎩⎨⎧a ＋4＋c ＝－1，9a －12＋c ＝－9.解得⎩⎨⎧a ＝1，c ＝－6. ∴该二次函数的解析式为y ＝x 2－4x －6.(2)y ＝x 2－4x －6＝(x －2)2－10，所以该抛物线的对称轴为x ＝2，顶点坐标为(2，－10)．(3)∵点P (m ，m )在函数的图象上，∴m 2－4m －6＝m .解得m ＝6或m ＝－1.29. (2018，淮北相山区二模)已知二次函数的顶点坐标为(1，4)，且其图象经过点(－2，－5)，求此二次函数的解析式．【思路分析】 设二次函数的解析式为y ＝a (x －1)2＋4，然后把(－2，－5)代入求出a 的值即可．解：设该二次函数的解析式为y ＝a (x －1)2＋4.把(－2，－5)代入，得a ·(－2－1)2＋4＝－5.解得a ＝－1.所以该二次函数的解析式为y ＝－(x －1)2＋4.30.某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y 1与投资成本x 成正比例关系，种植花卉的利润y 2与投资成本x 的平(1)分别求出利润y 12(2)如果这位专业户计划以8万元资金投入种植花卉和树木，设他投入种植花卉金额m 万元，种植花卉和树木共获利润W 万元，求出W 关于m 的函数解析式，并求他至少获得多少利润，他能获取的最大利润是多少．【思路分析】 (1)根据题意设y1＝kx，y2＝px2，将表格中的数据分别代入求解可得．(2)由投入种植花卉金额m万元，则投入种植树木金额(8－m)万元，根据“总利润＝花卉利润＋树木利润”列出函数解析式，利用二次函数的性质求得最值即可．解：(1)设y1＝kx.由表格数据可知，函数y1＝kx的图象过(2，4)，∴4＝k·2.解得k＝2.故种植树木的利润y1关于投资成本x的函数解析式是y1＝2x(x≥0)．设y2＝px2.由表格数据可知，函数y2＝px2的图象过(2，2)．∴2＝p·22.解得p＝1 2 .故种植花卉的利润y2关于投资成本x的函数解析式是y2＝12x2(x≥0)．(2)因为投入种植花卉金额m万元，则投入种植树木金额(8－m)万元．根据题意，得W＝2(8－m)＋1 2 m2＝12m2－2m＋16＝12(m－2)2＋14.∵a＝12＞0，0≤m≤8，∴当m＝2时，W取得最小值，为14.∵a＝12＞0，∴当0≤m<2时，W随m的增大而减小；当2<m≤8时，W随m的增大而增大．在对称轴左侧，当m＝0时，W取得最大值，为16.在对称轴右侧，当m＝8时，W取得最大值，为32.∵16<32，∴当m＝8时，W取得最大值，为32.故他至少获得14万元的利润，他能获取的最大利润是32万元．。

备战2019年中考数学一轮专题复习导学案 二次函数的应用(有答案)

备战2019年中考数学一轮专题复习导学案 二次函数的应用(有答案)

备战2019年中考数学一轮专题复习二次函数的应用考点解读：考点1：二次函数与几何的综合运用。

基础知识归纳： 求点的坐标，求抛物线解析式，求线段长或图形面积的最值，点的存在性。

基本方法归纳：待定系数法、数形结合思想、分类讨论思想。

注意问题归纳：合理使用割补法表达面积，分类讨论要全面。

【例1】（2018·湖北十堰·12分）已知抛物线y=x 2+bx+c 经过点A （﹣2，0），B （0、﹣4）与x 轴交于另一点C ，连接BC ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，P 是第一象限内抛物线上一点，且S △PBO =S △PBC ，求证：AP∥BC；（3）在抛物线上是否存在点D ，直线BD 交x 轴于点E ，使△ABE 与以A ，B ，C ，E 中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）令y=0求抛物线与x 轴的交点C 的坐标，作△POB 和△PBC 的高线，根据面积相等可得OE=CF ，证明△OEG≌△CFG，则OG=CG=2，根据三角函数列式可得P 的坐标，利用待定系数法求一次函数AP 和BC 的解析式，k 相等则两直线平行；（3）先利用概率的知识分析A，B，C，E中的三点为顶点的三角形，有两个三角形与△ABE有可能相似，即△ABC和△BCE，①当△ABE与以A，B，C中的三点为顶点的三角形相似，如图2，根据存在公共角∠BAE=∠BAC，可得△ABE∽△ACB，列比例式可得E的坐标，利用待定系数法求直线BE的解析式，与抛物线列方程组可得交点D的坐标；②当△ABE与以B，C.E中的三点为顶点的三角形相似，如图3，同理可得结论．【解答】解：（1）把点A（﹣2，0），B（0、﹣4）代入抛物线y=x2+bx+c中得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣4；（2）当y=0时， x2﹣x﹣4=0，解得：x=﹣2或4，∴C（4，0），如图1，过O作OE⊥BP于E，过C作CF⊥BP于F，设PB交x轴于G，∵S△PBO=S△PBC，∴，∴OE=CF，易得△OEG≌△CFG，∴OG=CG=2，设P（x， x2﹣x﹣4），过P作PM⊥y轴于M，tan∠PBM===，∴BM=2PM，∴4+x2﹣x﹣4=2x，x2﹣6x=0，x1=0（舍），x2=6，∴P（6，8），易得AP的解析式为：y=x+2，BC的解析式为：y=x﹣4，∴AP∥BC；（3）以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形有△ABC.△ABE.△ACE.△BCE，四种，其中△ABE重合，不符合条件，△ACE不能构成三角形，∴当△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似，存在两个三角形：△ABC和△BCE，①当△ABE与以A，B，C中的三点为顶点的三角形相似，如图2，∵∠BAE=∠BAC，∠ABE≠∠ABC，∴∠ABE=∠ACB=45°，∴△ABE∽△ACB，∴，∴，∴AE=，∴E（，0），∵B（0，﹣4），易得BE：y=，则x2﹣x﹣4=x﹣4，x1=0（舍），x2=，∴D（，）；②当△ABE与以B，C.E中的三点为顶点的三角形相似，如图3，∵∠BEA=∠BEC，∴当∠ABE=∠BCE时，△ABE∽△BCE，∴==，设BE=2m，CE=4m，Rt△BOE中，由勾股定理得：BE2=OE2+OB2，∴，3m2﹣8m+8=0，（m﹣2）（3m﹣2）=0，m1=2，m2=，∴OE=4m﹣4=12或，∵OE=＜2，∠AEB是钝角，此时△ABE与以B，C.E中的三点为顶点的三角形不相似，如图4，∴E（﹣12，0）；同理得BE的解析式为：y=﹣x﹣4，﹣x﹣4=x2﹣x﹣4，x=或0（舍）∴D（，﹣）；综上，点D的坐标为（，）或（，﹣）．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、一元二次方程、三角形面积以及勾股定理，第3问有难度，确定三角形与△ABE相似并画出图形是关键．【变式1】（2018·四川省攀枝花）如图，对称轴为直线x=1的抛物线y=x2﹣bx+c与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于C点，且+=﹣．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线顶点为D，直线BD交y轴于E点；①设点P为线段BD上一点（点P不与B.D两点重合），过点P作x轴的垂线与抛物线交于点F，求△BDF面积的最大值；②在线段BD上是否存在点Q，使得∠BDC=∠QCE？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线对称轴为直线x=1∴﹣∴b=2由一元二次方程根与系数关系：x 1+x 2=﹣，x 1x 2=∴+==﹣∴﹣则c=﹣3∴抛物线解析式为：y=x 2﹣2x ﹣3（2）由（1）点D 坐标为（1，﹣4）当y=0时，x 2﹣2x ﹣3=0解得x 1=﹣1，x 2=3∴点B 坐标为（3，0）①设点F 坐标为（a ，b ）∴△BDF 的面积S=×（4﹣b ）（a ﹣1）+（﹣b ）（3﹣a ）﹣×2×4 整理的S=2a ﹣b ﹣6∵b=a 2﹣2a ﹣3∴S=2a﹣（a 2﹣2a ﹣3）﹣6=﹣a 2+4a ﹣3∵a=﹣1＜0∴当a=2时，S 最大=﹣4+8﹣3=1②存在由已知点D 坐标为（1，﹣4），点B 坐标为（3，0）∴直线BD 解析式为：y=2x ﹣6则点E 坐标为（0，﹣6）连BC.CD ，则由勾股定理CB2=（3﹣0）2+（﹣3﹣0）2=18CD2=12+（﹣4+3）2=2BD2=（﹣4）2+（3﹣1）2=20∴CB2+CD2=BD2∴∠BDC=90°∵∠BDC=∠QCE∴∠QCE=90°∴点Q纵坐标为﹣3代入﹣3=2x﹣6∴x=∴存在点Q坐标为（，﹣3）【例2】（2018·云南省曲靖）如图：在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣与x轴交于点A，经过点A的抛物线y=ax2﹣3x+c的对称轴是x=．（1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PE=3PF．求证：PE⊥PF；（3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE⊥PF时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）当y=0时， x﹣=0，解得x=4，即A（4，0），抛物线过点A，对称轴是x=，得，解得，抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；（2）∵平移直线l经过原点O，得到直线m，∴直线m的解析式为y=x．∵点P是直线1上任意一点，∴设P（3a，a），则PC=3a，PB=a．又∵PE=3PF，∴=．∴∠FPC=∠EPB．∵∠CPE+∠EPB=90°，∴∠FPC+∠CPE=90°，∴FP⊥PE．（3）如图所示，点E在点B的左侧时，设E（a，0），则BE=6﹣a．∵CF=3BE=18﹣3a，∴OF=20﹣3a．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF为矩形，∴=， =，∴Q x+6=0+a，Q y+2=20﹣3a+0，∴Q x=a﹣6，Q y=18﹣3a．将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．∴Q（﹣2，6）．如下图所示：当点E在点B的右侧时，设E（a，0），则BE=a﹣6．∵CF=3BE=3a﹣18，∴OF=3a﹣20．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF为矩形，∴=， =，∴Q x+6=0+a，Q y+2=20﹣3a+0，∴Q x=a﹣6，Q y=18﹣3a．将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．∴Q（2，﹣6）．综上所述，点Q的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【变式2】【例3】（2018·湖北江汉·12分）抛物线y=﹣x2+x﹣1与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为D．将抛物线位于直线l：y=t（t＜）上方的部分沿直线l向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象．（1）点A，B，D的坐标分别为，，；（2）如图①，抛物线翻折后，点D落在点E处．当点E在△ABC内（含边界）时，求t的取值范围；（3）如图②，当t=0时，若Q是“M”形新图象上一动点，是否存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A.B的坐标，再利用配方法即可找出抛物线的顶点D的坐标；（2）由点D的坐标结合对称找出点E的坐标，根据点B.C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可得出关于t的一元一次不等式组，解之即可得出t的取值范围；（3）假设存在，设点P的坐标为（m，0），则点Q的横坐标为m，分m＜或m＞3及≤m≤3两种情况，利用勾股定理找出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，进而可找出点P的坐标，此题得解．【解答】解：（1）当y=0时，有﹣x2+x﹣1=0，解得：x1=，x2=3，∴点A的坐标为（，0），点B的坐标为（3，0）．∵y=﹣x2+x﹣1=﹣（x2﹣x）﹣1=﹣（x﹣）2+，∴点D的坐标为（，）．故答案为：（，0）；（3，0）；（，）．（2）∵点E.点D关于直线y=t对称，∴点E的坐标为（，2t﹣）．当x=0时，y=﹣x2+x﹣1=﹣1，∴点C的坐标为（0，﹣1）．设线段BC所在直线的解析式为y=kx+b，将B（3，0）、C（0，﹣1）代入y=kx+b，，解得：，∴线段BC所在直线的解析式为y=x﹣1．∵点E在△ABC内（含边界），∴，解得：≤t≤．（3）当x＜或x＞3时，y=﹣x2+x﹣1；当≤x≤3时，y=x2﹣x+1．假设存在，设点P的坐标为（m，0），则点Q的横坐标为m．①当m＜或m＞3时，点Q的坐标为（m，﹣x2+x﹣1）（如图1），∵以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，∴CP⊥PQ，∴CQ2=CP2+PQ2，即m2+（﹣m2+m）2=m2+1+m2+（﹣m2+m﹣1）2，整理，得：m1=，m2=，∴点P的坐标为（，0）或（，0）；②当≤m≤3时，点Q的坐标为（m， x2﹣x+1）（如图2），∵以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，∴CP⊥PQ，∴CQ2=CP2+PQ2，即m2+（m2﹣m+2）2=m2+1+m2+（m2﹣m+1）2，整理，得：11m2﹣28m+12=0，解得：m3=，m4=2，∴点P的坐标为（，0）或（1，0）．综上所述：存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，点P的坐标为（，0）、（，0）、（1，0）或（，0）．【变式3】（2018·辽宁省沈阳市）（12.00分）如图，在平面角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1），抛物线C2：y=2x2+x+1，动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M．（1）求抛物线C1的表达式；（2）直接用含t的代数式表示线段MN的长；（3）当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；（4）在（3）的条件下，设抛物线C1与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C2上，连接AM交y 轴于点k，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ=1且∠KNQ=∠BNP时，请直接写出点Q 的坐标．【分析】（1）应用待定系数法；（2）把x=t带入函数关系式相减；（3）根据图形分别讨论∠ANM=90°、∠AMN=90°时的情况．（4）根据题意画出满足条件图形，可以找到AN为△KNP对称轴，由对称性找到第一个满足条件Q，再通过延长和圆的对称性找到剩余三个点．利用勾股定理进行计算．【解答】解：（1）∵抛物线C1：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1）∴解得：∴抛物线C1：解析式为y=x2+x﹣1（2）∵动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M∴点N的纵坐标为t2+t﹣1，点M的纵坐标为2t2+t+1∴MN=（2t2+t+1）﹣（t2+t﹣1）=t2+2（3）共分两种情况①当∠ANM=90°，AN=MN时，由已知N（t，t2+t﹣1），A（﹣2，1）∴AN=t﹣（﹣2）=t+2∵MN=t2+2∴t2+2=t+2∴t1=0（舍去），t2=1∴t=1②当∠AMN=90°，AN=MN时，由已知M（t，2t2+t+1），A（﹣2，1）∴AM=t﹣（﹣2）=t+2，∵MN=t2+2∴t2+2=t+2∴t1=0，t2=1（舍去）∴t=0故t的值为1或0（4）由（3）可知t=1时M位于y轴右侧，根据题意画出示意图如图：易得K（0，3），B.O、N三点共线∵A（﹣2，1）N（1，1）P（0，﹣1）∴点K、P关于直线AN对称设⊙K与y轴下方交点为Q2，则其坐标为（0，2）∴Q2与点P关于直线AN对称∴Q2是满足条件∠KNQ=∠BNP．则NQ2延长线与⊙K交点Q1，Q1.Q2关于KN的对称点Q3.Q4也满足∠KNQ=∠BNP．由图形易得Q1（﹣3，3）设点Q3坐标为（a，b），由对称性可知Q3N=NQ1=BN=2由∵⊙K半径为1∴解得，1同理，设点Q4坐标为（a，b），由对称性可知Q4N=NQ2=NO=∴解得，∴满足条件的Q点坐标为：（0，2）、（﹣3，3）、（，）、（，）【点评】本题为代数几何综合题，考查了二次函数基本性质．解答过程中应用了分类讨论、数形结合以及构造数学模型等数学思想．考点2：二次函数与实际应用题的综合运用基础知识归纳：待定系数法求抛物线解析式，配方法求二次函数最值。

2019版河北省中考数学一轮复习《课题17：二次函数的综合应用》同步练习含答案

2019版河北省中考数学一轮复习《课题17：二次函数的综合应用》同步练习含答案

课题17 二次函数的综合应用A组基础题组一、选择题1.(2017衡水安平模拟)某旅游景点的收入受季节的影响较大,有时候出现赔本的经营状况.因此,公司规定:在无利润时,该景点关闭.经跟踪测算,该景点一年中的利润W(万元)与月份x之间满足二次函数W=-x2+16x-48,则该景点一年中处于关闭状态的月份个数是( )A.5B.6C.7D.82.(2018河北模拟)抛物线y=-23x2+2bx与x轴的两个不同交点是点O和点A,顶点B在直线y=33x上,则关于△OAB的判断正确的是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形3.(2018邢台宁晋模拟)点A,B的坐标分别为(-2,3)和(1,3),抛物线y=ax2+bx+c(a<0)的顶点在线段AB上运动时,形状保持不变,且与x轴交于C,D两点(C在D的左侧),给出下列结论:①c<3;②当x<-3时,y随x的增大而增大;③若点D的横坐标最大值为5,则点C的横坐标最小值为-5;④当四边形ACDB为平行四边形时,a=-43.其中正确的是( )A.②④B.②③C.①③④D.①②④二、填空题4.(2017承德模拟)某学生在体育测试时推铅球,铅球所经过的路线是二次函数图象的一部分,如果这名学生出手处为A(0,2),铅球路线最高处为B(6,5),则该学生将铅球推出的距离是.5.(2018石家庄模拟)如图,小亮从斜坡的点O处抛出一个沙包,沙包轨迹抛物线的解析式为y=12x-x2,斜坡OA 的坡度i=1∶2,则沙包在斜坡的落点A的垂直高度是.6.(2017石家庄模拟)在平面直角坐标系中,横坐标与纵坐标都是整数的点(x,y)称为整点,如果将二次函数y=-x2+8x-394的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色,那么此红色区域内部及其边界上的整点个数有个.三、解答题7.(2017唐山模拟)如图所示,一位运动员在距篮下4米处跳起投篮,球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5 m时,达到最大高度3.5 m,然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05 m.(1)建立如图所示的直角坐标系,求抛物线的解析式;(2)该运动员身高1.8 m,在这次跳投中,球在头顶上方0.25 m处出手,问:球出手时,他跳离地面的高度是多少?8.(2017石家庄正定模拟)某片果园有果树80棵,现准备多种一些果树提高果园产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少,单棵树的产量随之降低.若该果园每棵果树产果y千克,增种果树x 棵,它们之间的函数关系如图所示.(1)求y与x之间的函数关系式;(2)在投入成本最低的情况下,增种果树多少棵时,果园可以收获果实6 750千克?(3)当增种果树多少棵时,果园的总产量w(千克)最大?最大产量是多少?B组提升题组一、选择题x2, 1.河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形,建立如图所示的平面直角坐标系,其函数关系式为y=-125当水面离桥拱顶的高度DO是4 m时,水面宽度AB为( )A.-20 mB.10 mC.20 mD.-10 m2.(2018保定模拟)如图,直线y=kx+b(k≠0)与抛物线y=ax2(a≠0)交于A,B两点,且点A的横坐标是-2,点B 的横坐标是3,则以下结论:①抛物线y=ax2(a≠0)的图象的顶点一定是原点;②x>0时,直线y=kx+b(k≠0)与抛物线y=ax2(a≠0)的函数值都随着x的增大而增大;③AB的长度可以等于5;④△OAB有可能成为等边三角形;⑤当-3<x<2时,ax2+kx<b.其中,正确的结论是( )A.①②④B.①②⑤C.②③④D.③④⑤二、填空题3.(2017沧州模拟)如图,矩形ABCD的长AB=6 cm,宽AD=3 cm.O是AB的中点,O P⊥AB,两半圆的直径分别为AO 与OB.抛物线y=ax2经过C,D两点,则图中阴影部分的面积是cm2.4.(2018邯郸模拟)如图,在10×10的网格中,每个小方格都是边长为1的小正方形,每个小正方形的顶点称为格点.若抛物线经过图中的三个格点,则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”.以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,若抛物线与网格对角线OB的两个交点之间的距离为32,且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点,则满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是.三、解答题5.(2017廊坊模拟)如图,小河上有一拱桥,拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE,ED,DB组成,已知河底DE是水平的,DE=16米,AE=8米,抛物线的顶点C到ED的距离是11米.以DE所在的直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系.(1)求抛物线的表达式;(2)已知从某时刻开始的40小时内,水面与河底DE的距离h(单位:米)随时间t(单位:时)的变化满足函数关系(t-19)2+8(0≤t≤40),且当水面到顶点C的距离不大于5米时,需禁止船只通行,在这一时段内,需禁止h=-1128船只通行多少小时?答案精解精析A组基础题组一、选择题1.A 对于W=-x2+16x-48,令W=0,得x2-16x+48=0,解得x=12或4,由W=-x2+16x-48=-(x-8)2+16可知,该景点一年中处于关闭状态的月份有1月,2月,3月,4月,12月,共5个月.故选A.2.A 抛物线y=-23x2+2bx的顶点B的坐标为32b,32b2,代入直线y=33x中,得32b2=33×32b,解得b=33或b=0(舍去).∴点O(0,0),A(,0),B32,12,根据勾股定理,得OB=1.根据抛物线的对称性,可知AB=OB=1,∴△OAB是等腰三角形.∵点B的横坐标与纵坐标不相等,∴△OAB不是等腰直角三角形,排除选项B,D;∵OA=不是等边三角形.综上所述,故选A.3.A ∵点A,B的坐标分别为(-2,3)和(1,3),∴线段AB与y轴的交点坐标为(0,3).又∵抛物线的顶点在线段AB上运动,抛物线与y轴的交点坐标为(0,c),∴c≤3,(顶点在y轴上时取“=”),故①错误;∵抛物线的顶点在线段AB上运动,当x<-2时,y随x的增大而增大,可知当x<-3时,y随x的增大而增大,故②正确;若点D的横坐标最大值为5,则此时对称轴为直线x=1,根据二次函数的对称性,点C的横坐标最小值为-2-4=-6,故③错误;∵抛物线的顶点在线段AB上运动,∴顶点的纵坐标为3,即4ac-b 24a=3.∴CD2=(x D-x C)2=(x D+x C)2-4x D·x C=-ba 2-4·ca=b2-4aca=-4a·4ac-b24a=-12a.∵四边形ACDB为平行四边形,∴CD=AB=1-(-2)=3.∴-12a =32=9,解得a=-43,故④正确.综上所述,正确的结论有②④.故选A.二、填空题4.答案6+215解析设二次函数的解析式为y=a(x-h)2+k(a≠0),把顶点B(6,5),A(0,2)代入,求得抛物线的解析式为y=-112(x-6)2+5=-112x2+x+2.令y=0,则-112x2+x+2=0,解得x=6+215或x=6-215(不合题意,舍去).5.答案234解析设点A(m,n),根据题意,得n=12m-m2,nm=12,解得:n=0(舍去),或n=234.6.答案25解析∵y=-x2+8x-394=-(x-4)2-254,令y=0,解得x=132或32.则在红色区域内部及其边界上的整点为(2,0),(3,0),(4,0),(5,0),(6,0),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4 ),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(6,1),(6,2)共25个,故答案为25.三、解答题7.解析(1)∵当球运行的水平距离为2.5米时,达到最大高度3.5米,∴抛物线的顶点坐标为(0,3.5).∴设抛物线的表达式为y=ax2+3.5,把点(1.5,3.05)代入,得2.25a+3.5=3.05,解得a=-0.2.∴抛物线的表达式为y=-0.2x2+3.5.(2)设球出手时,他跳离地面的高度为h m,∵y=-0.2x2+3.5,而球出手时,球的高度为h+1.8+0.25=(h+2.05),∴h+2.05=-0.2×(-2.5)2+3.5,解得h=0.2.答:球出手时,他跳离地面的高度为0.2 m.8.解析(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0),把点(12,74),(28,66)代入,得12k+b=74, 28k+b=66,解得k=-0.5, b=80,∴y与x之间的函数关系式为y=-0.5x+80.(2)根据题意,得(-0.5x+80)(80+x)=6 750,解这个方程,得x1=10,x2=70.∵投入成本最低,∴x2=70不满足题意,舍去.∴增种果树10棵时,果园可以收获果实6 750千克.(3)根据题意,得w=(-0.5x+80)(80+x)=-0.5x2+40x+6 400=-0.5(x-40)2+7 200,∵a=-0.5<0,∴抛物线开口向下,函数有最大值.∴当x=40时,w有最大值,最大值为7 200.∴当增种果树40棵时,果园的最大产量是7 200千克.B组提升题组一、选择题1.C 根据题意,得点B的纵坐标为-4,把y=-4代入y=-125x2,解得x=±10,∴A(-10,-4),B(10,-4),∴AB=10-(-10)=20,即水面宽度AB为20 m.2.B ①抛物线y=ax2的顶点坐标为(0,0),正确;②根据图象得:直线y=kx+b(k≠0)为增函数;抛物线y=ax2(a≠0)当x>0时为增函数,则x>0时,直线与抛物线函数值都随着x的增大而增大,正确;③由A,B横坐标分别为-2,3,若AB=5,可得出直线AB与x轴平行,即k=0,与已知k≠0矛盾,故AB不可能为5,错误;④若OA=OB,得到直线AB与x轴平行,即k=0,与已知k≠0矛盾,∴OA≠OB,即△AOB不可能为等边三角形,错误;⑤直线y=-kx+b与y=kx+b关于y轴对称,如图所示:可得直线y=-kx+b与抛物线交点C,D横坐标分别为-3,2,由图象可得:当-3<x<2时,ax2<-kx+b,即ax2+kx<b,正确.综上所述,正确的结论有①②⑤.二、填空题3.答案9π8解析∵该抛物线是以y轴为对称轴的图形,∴S阴影=S半圆=12π·AB42=12π·642=9π8(cm2).4.答案14解析如图,可求得经过点(0,0),(1,3),(3,3)的抛物线的解析式为y=-x2+4x,把这条开口向下抛物线向右平移1个单位、向上平移1个单位得到一条抛物线,可平移6次,∴一共有7条抛物线;同理可得开口向上的抛物线也有7条.∴满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是7+7=14.三、解答题5.解析 (1)根据题意,得C(0,11),设抛物线的表达式为y=ax 2+11(a≠0).∵抛物线经过点A(-8,8),∴64a+11=8,解得a=-364.∴抛物线的表达式为y=-364x 2+11. (2)画出抛物线h=-1128(t-19)2+8(0≤t≤40),如图所示.当水面到顶点C 的距离不大于5米时,h≥6米. 解方程-1128(t-19)2+8=6,得t 1=3,t 2=35.由图象的变化趋势可得,禁止船只通行的时间为|t 1-t 2|=32(小时).。

中考数学复习专题训练 二次函数的综合应用(含解析)

中考数学复习专题训练 二次函数的综合应用(含解析)

中考数学复习专题训练二次函数的综合应用一、选择题1.下列函数是二次函数的是（ ）A. y=2x+1B. y=﹣2x+1C. y=x2+2D. y=x﹣22.函数y=（m﹣3）x|m|﹣1+3x﹣1是二次函数，则m的值是（ ）A. ﹣3B. 3C. ±2D. ±33.已知抛物线y=ax2+bx+c经过原点和第一、二、三象限，那么（）A. a＞0，b＞0，c＞0B. a＞0，b＞0，c=0C. a＞0，b＞0，c＜0D. a＞0，b＜0，c=04.如图，在同一坐标系下，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+4的图象大致可能是（）A. B. C. D.5.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-1与y轴的交点坐标是( )A. （1，0）B. （0，1）C. （0，-1）D. （-1，0）6.二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（）A. y （x﹣2）2+3B. y= （x﹣2）2﹣3C. y=﹣（x﹣2）2+3D. y=﹣（x﹣2）2﹣37.如图，已知二次函数y1= x2﹣x的图象与正比例函数y2= x的图象交于点A（3，2），与x轴交于点B（2，0），若y1＜y2，则x的取值范围是（）A. 0＜x＜2B. 0＜x＜3C. 2＜x＜3D. x＜0或x＞38. 设二次函数y1=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0，x1≠x2）的图象与一次函数y2=dx+e（d≠0）的图象交于点（x1，0），若函数y=y1+y2的图象与x轴仅有一个交点，则（）A. a（x1﹣x2）=dB. a（x2﹣x1）=dC. a（x1﹣x2）2=dD. a（x1+x2）2=d9.二次函数y=x2﹣8x+15的图象与x轴相交于M，N两点，点P在该函数的图象上运动，能使△PMN的面积等于的点P共有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10.已知二次函数y=3x2+c与正比例函数y=4x的图象只有一个交点，则c的值为（）A. B. C. 3 D. 411.当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（ ）A. -B. 或-C. 2或-D. 2或或-12.现有A、B两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．用小莉掷A 立方体朝上的数字为x小明掷B立方体朝上的数字为y来确定点P（x，y），那么它们各掷一次所确定的点P落在已知抛物线y=﹣x2+4x上的概率为（）A. B. C. D.二、填空题13.若函数y=（m+2）是二次函数，则m=________14.抛物线y= （x﹣4）2+3与y轴交点的坐标为________．15.已知抛物线的顶点坐标为（1，﹣1），且经过原点（0，0），则该抛物线的解析式为________．16.二次函数y=x2+4x+5中，当x=________时，y有最小值．17.二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表x﹣1013y﹣1353下列结论：①ac＜0；②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．③当x=2时，y=5；④3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；其中正确的有________．（填正确结论的序号）18.已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线，且经过点（-3，y1），（4，y2），试比较y1和y2的大小：y1________y2（填“＞”，“＜”或“＝”）．19.如图是二次函数和一次函数y2=kx+t的图象，当y1≥y2时，x的取值范围是________．20.如图，二次函数的图象经过点，对称轴为直线，下列5个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论为________ ．（注：只填写正确结论的序号）三、解答题21.已知抛物线y= x2﹣2x的顶点是A，与x轴相交于点B、C两点（点B在点C的左侧）．（1）求A、B、C的坐标；（2）直接写出当y＜0时x的取值范围．22.在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.（1）求点A的坐标；（2）当S△ABC=15时，求该抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，经过点C的直线与抛物线的另一个交点为D.该抛物线在直线上方的部分与线段CD组成一个新函数的图象。

2019年人教版中考数学一轮复习《二次函数》同步练习(含答案)

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2019年中考数学一轮复习二次函数一、选择题1.若将抛物线y=5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为( )A.y =5(x-2)2+1B.y =5(x+2)2+1C.y =5(x-2)2-1D.y =5(x+2)2-12.函数y=﹣2x2﹣8x+m的图象上有两点A(x，y1)，B(x2，y2)，若x1＜x2＜﹣2，则( )1A.y1＜y2B.y1＞y2C.y1=y2D.y1、y2的大小不确定3.二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是( )A.a＞0B.不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5C.a﹣b+c＞0D.当x＞2时，y随x的增大而增大4.一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象可能是( )5.一次函数y=ax＋b(a≠0)与二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )6.二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴是直线x=－1，有以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a＋b=0；④a－b＋c＞2.其中正确的结论的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个7.某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比，设边长为xcm.当x=3时，y=18，那么当成本为72元时，边长为( )A.6cmB.12cmC.24cmD.36cm8.在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+2x﹣3的图象如图所示,点A（x，y1），B（x2，y2）是该二次函数图1象上的两点,其中﹣3≤x1＜x2≤0,则下列结论正确的是（）A.y1＜y2B.y1＞y2C.y的最小值是﹣3D.y的最小值是﹣49.河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形,建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（）A.﹣20mB.10mC.20mD.﹣10m10.如图,在正方形ABCD中,AB=3cm,动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度向B点运动,同时动点N自A点出发沿折线AD﹣DC﹣CB以每秒3cm的速度运动,到达B点时运动同时停止.设△AMN的面积为y（cm2），运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是（）11.如图所示，向一个半径为R、容积为V的球形容器内注水，则能够反映容器内水的体积y与容器内水深x间的函数关系的图象可能是（）A． B． C． D．12.如图，正方形ABCD中，AB＝8 cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1 cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t(s)，△OEF的面积S(cm2)，则S(cm2)与t(s)的函数关系可用图象表示为( B )二、填空题13.在直角坐标平面中，将抛物线y=2x2先向上平移1个单位，再向右平移1个单位，那么平移后的抛物线解析式是14.二次函数y=(a﹣1)x2﹣x+a2﹣1 的图象经过原点，则a的值为．15.若将二次函数y=x2﹣2x+3配方为y=(x﹣h)2+k的形式，则y= ．16.已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中：①abc>0；②b=2a；③a+b+c<0；④a-b+c>0．正确的是．17.如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，对称轴为直线x=﹣2，点C在抛物线上，且位于点A、B之间（C不与A、B重合）．若△ABC的周长为a，则四边形AOBC的周长为（用含a的式子表示）．18.如图，光源P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB//CD,AB=2,CD=6m，点P到CD的距离是2.7m，则AB与CD间的距离是________m。

2019年中考数学专题《二次函数》复习试卷含答案解析

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2019年中考数学专题复习卷: 二次函数一、选择题1.若二次函数y＝(a－1)x2＋3x＋a2－1的图象经过原点，则a的值必为（）A. 1或－1 B. 1C. －1 D. 02.对于抛物线y＝ax2＋(2a－1)x＋a－3，当x＝1时，y＞0，则这条抛物线的顶点一定在（）A. 第一象限B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3.把抛物线y＝- 向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A. y＝-(x-1)2-3B. y＝-(x＋1)2-3 C. y＝-(x-1)2＋3 D. y＝-(x＋1)2＋34.已知抛物线（，，为常数，）经过点. ，，其对称轴在轴右侧，有下列结论：①抛物线经过点；②方程有两个不相等的实数根；③.，正确结论的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 35.当a≤x≤a+1时，函数y=x2-2x+1的最小值为1，则a的值为（）A. -1B. 2C. 0或2 D. -1或26.二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系内的大致图象是（）A. B. C. D.7.已知二次函数( 为常数),当自变量的值满足时,与其对应的函数值的最大值为-1,则的值为( )A. 3或6B. 1或6 C. 1或3 D. 4或68.已知抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）经过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段BC有交点，其中点B（1，0），点C（3，0），则c的值不可能是（）A．4 B．6 C．8 D．109.有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行（）A. 2.76米B. 6.76米C. 6米 D. 7米10.已知抛物线y=-x2+mx的对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0（t为实数）在1<x<5的范围内有解，则t的取值范围是（）A. t＞-5B. -5＜t＜3 C. 3＜t≤4 D. -5＜t≤411.如图，已知二次函数图象与x轴交于A，B两点，对称轴为直线x=2，下列结论：①abc>0；②4a+b=0；③若点A坐标为(−1，0)，则线段AB=5；④若点M(x1， y1)、N(x2， y2)在该函数图象上，且满足0<x1<1，2<x2<3，则y1<y2其中正确结论的序号为（）A. ①，②B. ②，③ C. ③，④ D. ②，④12.如图，在中，，，，动点从点开始沿向点以以的速度移动，动点从点开始沿向点以的速度移动.若，两点分别从，两点同时出发，点到达点运动停止，则的面积随出发时间的函数关系图象大致是（）A. B. C.D.二、填空题13.抛物线y=2(x+2) +4的顶点坐标为________.14.将二次函数的图像向上平移3个单位长度，得到的图像所对应的函数表达式是________．15.已知二次函数，当时，函数值的最小值为，则的值是________．16.“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点,那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解,解决下面问题:若p、q(P是关于x的方程2-(x-a)(x-b)=0的两根且a则请用“<”来表示a、b、P、q的大小是________17.如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则方程的解是________．18.已知抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移m（m＞0）个单位，平移后的抛物线于x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段AD的三等分点，则m的值为________．19.小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A，出水口B和落水点C恰好在同一直线上，点A至出水管BD的距离为12cm，洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高10.2cm的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D和杯子上底面中心E，则点E 到洗手盆内侧的距离EH为________cm．20.如图，在中，，，，点是边上的动点（不与点重合），过作，垂足为，点是的中点，连接，设，的面积为，则与之间的函数关系式为________．三、解答题21.已知：二次函数y=ax 2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．请你根据图象提供的信息，求出这条抛物线的表达式．22.某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于50%．经试销发现，销售量P（件）与销售单价x（元）符合一次函数关系，当销售单价为65元时销售量为55件，当销售单价为75元时销售量为45件．（Ⅰ）求P与x的函数关系式；（Ⅱ）若该商场获得利润为y元，试写出利润y与销售单价x之间的关系式；（Ⅲ）销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？23.如图，平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a（x+1）（x-9）经过A，B两点，四边形OABC矩形，已知点A坐标为（0，6）。

中考数学一轮复习《二次函数》专项练习题-带含参考答案

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中考数学一轮复习《二次函数》专项练习题-带含参考答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（）A．s=2t2−2t+1B．y=ax2+bx+c C．y=3x−1D．y=x2+1x2．将抛物线y=(x−3)2−4先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，所得抛物线的解析式为（）A．y=(x−4)2−6B．y=(x−1)2−3C．y=(x−2)2−2D．y=(x−4)2−23．已知抛物线y=ax2−bx(a>0)经过这两点(−3−n，−1)与(n+1，−1)，若点P(1，h)在抛物线上，则h可能的值是（）A．2B．2.4C．2.8D．3.24．对于抛物线y=−5(x+1)2−2的说法正确的是（）A．开口向上B．顶点坐标是（1，-2）C．对称轴是直线x=1 D．当x<-1时，y随x的增大而增大5．抛物线y=−2x2+4x+5上有三个点A(−1，y1)、B(2，y2)、C(4，y3)，则y1、y2、y3的大小关系正确的是（）A．y1<y2<y3B．y2<y1<y3C．y3<y1<y2D．y3<y2<y16．已知抛物线y＝-x2+bx+3的顶点坐标为（1，4），若关于x的一元二次方程-x2+bx+3-t＝0（为实数）在-1≤x≤5范围内有两个不同的实数根，则实数t的取值范围是（）A．-12≤t＜4 B．t＜4 C．-12＜t≤0 D．0≤t＜47．如图，抛物线y=x2−2x−3与y轴交于点C，点D的坐标为(0，−1)，在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，则点P的横坐标为（）A．1+√2B．1−√2C．√2−1D．1−√2或1+√28．如图所示是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，以下结论：①abc<0②3a+c=0③ax2+bx+ c=0的两个根是x1=−1，x2=3④4a+2b+c>0，其中正确的是（）A．③④B．①②C．②③D．②③④二、填空题9．已知二次函数y=x2+2x−5，当x=3时，y=．10．若抛物线y=−x2+6x+a的顶点在x轴上，则a的值是．11．当x≥m时，两个函数y1=−（x﹣4）2＋2和y2=−（x﹣3）2＋1的函数值都随着x的增大而减小，则m的最小值为.12．如图，抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(－2，－3)，B(3，q)两点，则不等式ax2-mx+c＜n的解集是.13．如图，甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，以点O为原点建立平面直角坐标系，羽毛球的飞行高度y（m）（m）之间满足解析式y＝﹣15(x−4)2+205，球网BC离点O的水平距离为5米，乙运动员在球场上N（n，0）处接球，若乙因接球高度不够而失球，则n的取值范围是．三、解答题14．已知抛物线y=﹣x2﹣3x+t经过A（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）设点P（m，n）在该抛物线上，求m+n的最大值．15．某品牌服装公司新设计了一款服装，其成本价为60（元/件）.在大规模上市前，为了摸清款式受欢迎状况以及日销售量y（件）与销售价格x（元/件）之间的关系，进行了市场调查，部分信息如表：销售价格x（元/件）80 90 100 110日销售量y（件）240 220 200 180（1）若y与x之间满足一次函数关系，请直接写出函数的解析式（不用写自变量x的取值范围）；（2）若该公司想每天获利8000元，并尽可能让利给顾客，则应如何定价？（3）为了帮助贫困山区的小朋友，公司决定每卖出一件服装向希望小学捐款10元，该公司应该如何定价，才能使每天获利最大？（利润用w表示）16．如图，抛物线的顶点坐标D（1，4），且图像与x轴交于A、B两点，A（－1，0）请回答下列问题（1）求出抛物线的解析式；（2）求抛物线与y轴的交点C的坐标；（3）求△ABD的面积？17．城市绿化部门定期安排洒水车为公路两侧绿化带浇水，如图1，洒水车沿着平行于公路路牙方向行驶，喷水口H离地竖直高度OH为1.5m．如图2，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系DE=，竖直高度中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度3mEF=．内边缘抛物线2y是由外边缘抛物线1y向左平移得到，外边抛物线1y最高点A离喷水口的水0.5m平距离为2m，高出喷水口0.5m（1）求外边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；（2）求内边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；BD=时，判断洒水车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带，并说明理由．（3）当1m18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−4与x轴交于A(4，0)、B(−3，0)两点，与y轴交于点C．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式．（2）如图①，点D是x轴下方抛物线上的动点，且不与点C重合．设点D的横坐标为m，以O、A、C、D 为顶点的四边形面积为S，求S与m之间的函数关系式．（3）如图②，连结BC，点M为线段AB上一点，点N为线段BC上一点，且BM=CN=n，直接写出当n为何值时△BMN为等腰三角形．参考答案1．A2．D3．D4．D5．C6．D7．A8．C9．1010．-911．412．-2＜x＜313．5＜n＜714．（1）解：将A（0，3）代入解析式，得t=3∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣3x+3；（2）解：∵点P（m，n）在抛物线y=﹣x2﹣3x+3上∴n=﹣m2﹣3m+3∴m+n=﹣m2﹣2m+3=﹣（m+1）2+4∴当m=﹣1时，m+n有最大值是4．15．（1）y=-2x+400（2）解：由题意，得：(x−60)(−2x+400)=8000解得x1=100∵公司尽可能多让利给顾客∴应定价100元（3）解：由题意，得w=(x−60−10)(−2x+400)=−2x2+540x−28000=−2(x−135)2+8450∵−2<0∴当x=135时，w有最大值，最大值为8450.答：当一件衣服定为135元时，才能使每天获利最大.16．（1）解：∵抛物线的顶点坐标为（1，4） ∴可设抛物线解析式为y =a(x −1)2+4 ∵抛物线与x 轴交于A （-1，0） ∴0=a(−1−1)2+4 ∴a =−1∴抛物线解析式为y =−(x −1)2+4=−x 2+2x +3 （2）解：令x =0，则y =3∴抛物线与y 轴的交点C 的坐标为（0，3） （3）解：∵抛物线顶点坐标为（1，4） ∴抛物线对称轴为直线x =1∴抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为（3，0） ∴AB=4∴S △ABD =12AB ⋅y D =8．17．（1）解：如图1，由题意得()22A ，是外边缘抛物线的顶点 设()2122y a x =-+又∵抛物线过点()01.5， ∴1.542a =+ ∴18a =-∴外边缘抛物线的函数解析式为()211228y x =--+ 当0y =时()210228x =--+，解得16x =，22x =-（舍去） ∴喷出水的最大射程OC 为6m ； （2）解：∵2y 对称轴为直线2x =∴点()01.5，的对称点为()41.5， ∴2y 是由1y 向左平移4m 得到的由（1）可得()60C ， ∴点B 的坐标为()20，（3）解：∵当1m BD =时3m OD =，则6m OE =∴点F 的横坐标为6 把6F x =代入100.5y =< ∴所以不能浇灌到整个绿化带．18．（1）解：把A(4，0)、B(−3，0)代入y =ax 2+bx −4中 得{16a +4b −4=09a −3b −4=0解得{a =13b =−13∴这条抛物线所对应的函数表达式为y =13x 2−13x −4． （2）解：当x =0时∴C(0，−4)当−3<m <0时当0<m <4时S =S △ODC +S △OAD =12×4×m +12×4×(−13m 2+13m +4)=−23m 2+83m +8． （3）解：n =52，n =2511，n =3011．。

中考数学一轮复习《二次函数》专项练习题-附带答案

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中考数学一轮复习《二次函数》专项练习题-附带答案一、选择题1．下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（）A．y=2x2−x B．y=2x+1C．y=1x D．y=34x2．二次函数y=(x−1)2−2的顶点坐标是（）A．(−1，2)B．(1，−2)C．(−1，−2)D．(1，2)3．二次函数y=x2的图象向右平移3个单位，向下平移2个单位，得到新的图象的函数表达式是（）A．y=(x+3)2+2B．y=(x−3)2+2C．y=(x+3)2−2D．y=(x−3)2−24．在同一平面直角坐标系中，一次函数y=−kx+1与二次函数y=x2+k的大致图象可以是（）A．B．C．D．5．关于抛物线y＝-3（x+1）2+1的图象，下列说法错误的是（）A．开口向下B．对称轴是直线x＝-1C．顶点坐标为（1，1）D．与x轴有两个交点6．如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是（）A．−1<x<5B．0<x<5C．x>5D．x<−1或x>57．如图为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，则下列说法：①abc>0；②2a+b=0；③b2−4ac<0；④a−b+c=0；⑤8a+c<0；其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮筐内，已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（）A．篮球出手时离地面的高度是2m B．篮圈中心的坐标是（4，3.05）x2+3.5C．此抛物线的顶点坐标是（3.5，0）D．此抛物线的解析式是y=−15二、填空题9．二次函数y=−x2+3x+3的图象与y轴的交点坐标是．10．已知点A(3，n)在二次函数y=2x2−5x−3的图像上，那么n的值为．11．已知，二次函数y=4x2−4ax+a2+2a+2在0≤x≤2上有最小值4，则a=．12．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则当0≤x<3时，函数值y的取值范围是．x2，当水面13．赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图的平面直角坐标系，其函数关系式为y=−125离桥拱顶的高度DO是4米时，这时水面宽度AB为米．三、解答题14．已知二次函数y=−2x2+bx+c的图象经过点(0，6)和(1，8).（1）当x在什么范围内时，y随x的增大而增大？（2）当x在什么范围内时，y>0？15．如图，抛物线的顶点坐标为(1，−4)，且图象经过点(3，0).（1）求抛物线的表达式；（2）若在y轴正半轴上取一点P(0，m)，过点P作x轴的平行线，分别交抛物线于A，B两点（A在B点左侧），若PA：PB=1：2，求m的值.16．某商场销售一种商品，进价为每个20元，经调查发现，每天的销售量y（个）与每个商品的售价x（元）满足一次函数关系，其部分数据如下所示：每个商品的售价x（元）…30 40 50 …每天的销售量y（个）…100 80 60 …（1）求y与x之间的函数表达式；（2）设商场每天获得的总利润为w（元），求w与x之间的函数表达式；（3）不考虑其他因素，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是多少？17．已知抛物线y=ax2+bx+6（a为常数，a≠0）交x轴于点A（6，0），点B(−1，0)，交y轴于点C．（1）求点C的坐标和抛物线的解析式；（2）P是抛物线上位于直线AC上方的动点，过点P作y轴平行线，交直线AC于点D，当PD取得最大值时，求点P的坐标；（3）M是抛物线的对称轴l上一点，N为抛物线上一点；当直线AC垂直平分△AMN的边MN时，求点N的坐标．18．如图，抛物线经过A（-2，0），C（0，-3）两点，且对称轴为直线x=1.2（1）求抛物线的函数解析式；（2）若直线y＝kx-5与抛物线交于点M，N，交x轴于点B，交y轴于点P，连接CN，且tan∠OPM=1.2①求△CMN的面积；②在平面内是否存在点一是E，使E，C，N，M四点能构成平行四边形，如果存在，请直接写出点E的坐标.参考答案 1．A 2．B 3．D 4．A 5．C 6．A 7．C 8．D 9．（0，3） 10．011．1或−1−√3 12．-1≤y<3 13．2014．（1）解：∵二次函数y =−2x 2+bx +c 的图象经过点(0，6)和(1，8) ∴{c =6−2×12+b +c =8 解得{b =4c =6即该二次函数的解析式为y =−2x 2+4x +6； ∴y =−2x 2+4x +6=−2(x −1)2+8 ∴该函数的对称轴是x =1，函数图象开口向下 ∴当x <1时，y 随x 的增大而增大；（2）解：当y =0时0=−2x 2+4x +6=−2(x −3)(x +1) 解得，x 1=3，x 2=−1 ∴当−1<x <3时15．（1）解：∵抛物线的顶点坐标为(1，−4)∴设抛物线表达式为y =a(x −1)2−4，把(3，0)代入得0=a ×(3−1)2−4∴a =1∴y =(x −1)2−4（2）解：解法一：设AP =a∵AP ：BP =1：2 ∴BP =2a 则A(−a ，m)分别代入y =(x −1)2−4，可得(−a −1)2−4=m∴(−a −1)2=(2a −1)2 解得a =0（舍去）或a =2 ∴A(−2，m)把(−2，m)代入得y =(x −1)2−4，得 m =(−2−1)2−4 ∴m =5. 解法二：设AP =a ∵AP ：BP =1：2 ∴BP =2a ∴2a −1=a +1 ∴a =2 ∴A(−2，m)把(−2，m)代入得y =(x −1)2−4，得 m =(−2−1)2−4 ∴m =5.16．（1）解：设y 与x 之间的函数表达式为y =kx +b 由题意得{30k +b =10040k +b =80 ∴{k =−2b =160∴y 与x 之间的函数表达式为y =−2x +160 （2）解：由题意得w =(x −20)(−2x +160) =−2x 2+40x +160x −3200 =−2x 2+200x −3200（3）解：∵w =−2x 2+200x −3200=−2(x −50)2+1800，−2<0 ∴当x =50时，w 最大，最大为1800∴当商品的售价为50元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是1800元．17．（1）解：∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋6经过点A （6，0），B （−1，0） ∴{a −b ＋6＝036a ＋6b ＋6＝0 ∴{a ＝−1b ＝5∴抛物线的解析式为y ＝−x 2＋5x ＋6 当x ＝0时，y ＝6 ∴点C （0，6）； （2）解：如图（1）∵A （6，0），C （0，6） ∴直线AC 的解析式为y ＝−x ＋6设D （t ，−t ＋6）（0＜t ＜6），则P （t ，−t 2＋5t ＋6） ∴PD ＝−t 2＋5t ＋6−（−t ＋6）＝−t 2＋6t ＝−（t −3）2＋9 当t ＝3时，PD 最大，此时−t 2＋5t ＋6＝12 ∴P （3，12）；（3）解：如图（2），设直线AC 与抛物线的对称轴l 的交点为F ，连接NF∵点F 在线段MN 的垂直平分线AC 上 ∴FM ＝FN ，∠NFC ＝∠MFC ∵l ∥y 轴∴∠MFC ＝∠OCA ＝45° ∴∠MFN ＝∠NFC ＋∠MFC ＝90° ∴NF ∥x 轴由（2）知，直线AC 的解析式为y ＝−x ＋6 当x ＝52时，y ＝72 ∴F （52，72） ∴点N 的纵坐标为72设N 的坐标为（m ，−m 2＋5m ＋6）∴−m 2＋5m ＋6＝72∴m ＝5+√352或m ＝5−√352∴点N 的坐标为（5+√352，72）或（5−√352，72）．18．（1）解：设抛物线的解析式为y ＝ax 2+bx+c ∵对称轴为直线x =12 ∴-b 2a ＝12 ∴b ＝-a ∴y ＝ax 2-ax+c将点A （-2，0），C （0，-3）代入 ∴{c =−34a +2a +c =0 解得{c =−3a =12∴y ＝12x 2-12x-3；（2）解：①y ＝kx-5与y 轴的交点P （0，-5） ∴OP ＝5 ∵tan∠OPM =12 ∴12=OBOP ∴OB ＝52 ∴B （52，0） 将B 点代入y ＝kx-5 ∴52k-5＝0 ∴k ＝2 ∴y ＝2x-5 联立方程组 {y =2x −5y =12x 2−12x −3解得 {x =1y =−3 或 {x =4y =3 ∴M （4，3），N （1，-3） ∵C （0，-3），P （0，-5） ∴CP ＝2∴S △CMN ＝S △CPM -S △CNP ＝12×2×4-12×2×1＝3；②存在，E 点坐标为（5，3）或（-3，-9）或（3，3）.。

中考数学一轮专题复习 二次函数综合复习

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2019-2020年中考数学一轮专题复习二次函数综合复习一选择题：1.已知是y关于x的二次函数，那么m的值为( )A．-2 B.2 C. D. 02.二次函数y=x2﹣2x+4化为y=a(x﹣h)2+k的形式，下列正确的是( )A.y=(x﹣1)2+2B.y=(x﹣1)2+3C.y=(x﹣2)2+2 D.y=(x﹣2)2+43.已知抛物线y=x2﹣x﹣1，与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+xx 的值为（）A．xx B．xx C．xx D．xx4.二次函数y=（x﹣1）2+2的最小值为（）A．1 B．-1 C．2D．-25.将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是( )A．B．C．D．6.已知二次函数y=(x﹣h)2+1(h为常数)，在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为( )A.1或﹣5B.﹣1或5C.1或﹣3 D.1或37.抛物线y=2x2﹣2x+1与坐标轴的交点个数是( )A.0B.1C.2 D .38.设A(﹣2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是抛物线y=-(x+1)2+3上的三点，则y1，y2，y3大小关系为（）A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y29.二次函数y=ace+bx+c图像上部分点的坐标如下表所示则该函数的顶点坐标为( )A.(-3，-3)B.(-2.-2)C.(-1，-3) D.(0,-6〕10.如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4m时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，当水面下降1m时，水面的宽度为（）A．3 B．2 C．3 D．211.向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y=ax2+bx+c（a ≠0）．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（）A．第8秒B．第10秒C．第12秒D．第15秒12.已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（）A．当a=1时，函数图象过点（﹣1，1）B．当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大13.若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，则关于x的方程x2+mx=7的解为（）A．x1=0，x2=6 B．x1=1，x2=7 C．x1=1，x2=﹣7 D．x1=﹣1，x2=714.已知二次函数y=x2﹣x+a（a＞0），当自变量x取m时，其相应的函数值y＜0，那么下列结论中正确的是（）A．m﹣1的函数值小于0 B．m﹣1的函数值大于0C．m﹣1的函数值等于0 D．m﹣1的函数值与0的大小关系不确定15.已知函数的图像与x轴的交点坐标为且，则该函数的最小值是（）A．2 B．-2 C．10D．-1016.设二次函数y1＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0，x1≠x2)的图象与一次函数y2＝dx＋e(d≠0)的图象交于点(x1，0)，若函数y＝y2＋y1的图象与x轴仅有一个交点，则( )A. a(x1－x2)＝dB. a(x2－x1)＝dC. a(x1－x2)2＝dD. a(x1＋x2)2＝d17.如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣1．且过点（，0），有下列结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c=0；③25a﹣10b+4c=0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m（am﹣b）；其中所有正确的结论是（）A．①②③ B．①③④ C．①②③⑤ D．①③⑤18.矩形ABCD的边BC在直线l上，AB=2，BC=4，P是AD边上一动点且不与点D重合，连结CP，过点P作∠APE=∠CPD，交直线l于点E，若PD的长为x，△PEC与矩形ABCD重合部分的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是( )19.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③4ac﹣b2＜8a；④＜a＜；⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（）A．①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤20.如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC、BD相交于点O,点E、F分别从B、C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC、CD运动，到点C、D时停止运动，设运动时间为t(s)，△OEF的面积为S(cm2),则S(cm2)与t(s)的函数关系可用图象表示为( )二填空题：21.抛物线y=x2+3x+2不经过第象限.22.将y=2x2﹣12x﹣12变为y=a（x﹣m）2+n的形式，则m•n= ．23.若函数y=mx2﹣2x+1的图象与x轴只有一个交点，则m= ．24.如图是某地一座抛物线形拱桥,桥拱在竖起平面内,与水平桥面相交于A,B两点,桥拱最高点C到AB的距离为9m,AB=36m,D,E为桥拱底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7 m，则DE的长为 m.25.如图，抛物线的顶点为P(－2，2)，与y轴交于点A(0，3)．若平移该抛物线使其顶点P 沿直线移动到点P′(2，－2)，点A的对应点为A′，则抛物线上PA段扫过的区域(阴影部分)的面积为__26.二次函数y=x2的图象如图，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在二次函数y=x2的图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA=120°，则菱形OBAC的面积为．27.初三数学课本上，用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列了如下表格：x …﹣2 ﹣1 0 1 2 …y …﹣15.5 ﹣5 ﹣3.5 ﹣2 ﹣3.5 …根据表格上的信息回答问题：该二次函数y=ax2+bx+c在x=3时，y=_______．28.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c（a≠0）的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是_______．29.如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0）和（0，﹣1）两点，则化简代数式+=__________．30.如图，我们把抛物线y=－x(x－3)（0≤x≤3）记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x 轴于另一点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x 轴于另一点A3；……；如此进行下去，直至得C xx．①C1的对称轴方程是；②若点P（6047，m）在抛物线C xx上，则m = .三计算题：31.已知函数是关于的二次函数，求：(1)满足条件m的值。

2019年中考数学二次函数的综合运用专题卷(含答案)

2019年中考数学二次函数的综合运用专题卷(含答案)

2019年中考数学二次函数的综合运用专题卷（含答案）一、解答题（共2题；共15分）1.如图，抛物线与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，连结AB．点C 在抛物线上，直线AC与y轴交于点D．（1）求c的值及直线AC的函数表达式；（2）点P在x轴的正半轴上，点Q在y轴正半轴上，连结PQ与直线AC交于点M，连结MO并延长交AB 于点N，若M为PQ的中点．①求证：△APM∽△AON；②设点M的横坐标为m，求AN的长（用含m的代数式表示）．2.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+m (m为常数)的图像与x轴交于点A(－3,0)，与y轴交于点C．以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，且a≠0)经过A、C两点，并与x轴的正半轴交于点B．(1)求m的值及抛物线的函数表达式；(2)若P是抛物线对称轴上一动点，△ACP周长最小时，求出P的坐标；(3)是否存在抛物在线一动点Q，使得△ACQ是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由；(4)在(2)的条件下过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M1(x1,y1)，M2(x2,y2)两点，试问是否为定值，如果是，请直接写出结果，如果不是请说明理由．二、综合题（共20题；共310分）3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= x2﹣x﹣与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上．（1）求直线AE的解析式；（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值；（3）点G是线段CE的中点，将抛物线y= x2﹣x﹣沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在一点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点B（﹣2，0），点C（8，0），与y轴交于点A．（1）求二次函数y=ax2+bx+4的表达式；（2）连接AC，AB，若点N在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求N点的坐标；（3）连接OM，在（2）的结论下，求OM与AC的数量关系．5.如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，其顶点为D．（1）写出C，D两点的坐标（用含a的式子表示）；（2）设S△BCD：S△ABD=k，求k的值；（3）当△BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式．6.如图甲，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）．7.已知点A（﹣1，1）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx上（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点F的坐标为（0，m）（m＞2），直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H．设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH、AE，求证：FH∥AE；（3）如图2，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点．点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒个单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM=2PM，直接写出t的值．8.如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y 轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；（3）如图2，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；（4）若点K为抛物线的顶点，点M（4，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标．9.如图，抛物线y=﹣x2+ x+2与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．（1）试求A，B，C的坐标；（2）将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD．①求点D的坐标；②判断四边形ADBC的形状，并说明理由；（3）在该抛物线对称轴上是否存在点P，使△BMP与△BAD相似？若存在，请直接写出所有满足条件的P 点的坐标；若不存在，请说明理由．10.如图，直线y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B．（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．11.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点．（1）求该二次函数的解析式；（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；（3）点P是该二次函数图象上位于一象限上的一动点，连接PA分别交BC，y轴与点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2，求S1﹣S2的最大值．12.已知抛物线y=a（x+3）（x﹣1）（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线y=﹣x+b与抛物线的另一个交点为D．（1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；（2）若在第三象限内的抛物线上有点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标；（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？13.抛物线y=ax2+c与x轴交于A，B两点，顶点为C，点P为抛物线上，且位于x轴下方．（1）如图1，若P（1，﹣3），B（4，0）．①求该抛物线的解析式；②若D是抛物线上一点，满足∠DPO=∠POB，求点D的坐标；（2）如图2，已知直线PA，PB与y轴分别交于E、F两点．当点P运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．14.如图，抛物线y=ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．（1）求抛物线的表达式；（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标；（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．15.（2016•泸州）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l与抛物线y=mx2+nx相交于A（1，3 ），B（4，0）两点．（1）求出抛物线的解析式；（2）在坐标轴上是否存在点D，使得△ABD是以线段AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；（3）点P是线段AB上一动点，（点P不与点A、B重合），过点P作PM∥OA，交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，若△BCN、△PMN的面积S△BCN、S△PMN满足S△BCN=2S△PMN，求出的值，并求出此时点M的坐标．16.如图，抛物线与x轴交于点A（﹣5，0）和点B（3，0）．与y轴交于点C（0，5）．有一宽度为1，长度足够的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和Q，交直线AC于点M和N．交x轴于点E和F．（1）求抛物线的解析式；（2）当点M和N都在线段AC上时，连接MF，如果sin∠AMF= ，求点Q的坐标；（3）在矩形的平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．17.如图，直线y=﹣x+2 与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒，设运动时间为t秒，以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，与AB相交于点F．（1）求点A，点B的坐标；（2）用含t的代数式分别表示EF和AF的长；（3）当四边形ADEF为菱形时，试判断△AFG与△AGB是否相似，并说明理由．（4）是否存在t的值，使△AGF为直角三角形？若存在，求出这时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．18.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为（0，﹣1），该抛物线与BE交于另一点F，连接BC．（1）求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为y=a（x﹣h）2+k的形式；（2）若点H（1，y）在BC上，连接FH，求△FHB的面积；（3）一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒（t＞0），在点M的运动过程中，当t为何值时，∠OMB=90°？（4）在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PBF被BA平分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．19.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是以AB为直径的⊙M的内接四边形，点A，B在x轴上，△MBC是边长为2的等边三角形，过点M作直线l与x轴垂直，交⊙M于点E，垂足为点M，且点D平分．（1）求过A，B，E三点的抛物线的解析式；（2）求证：四边形AMCD是菱形；（3）请问在抛物线上是否存在一点P，使得△ABP的面积等于定值5？若存在，请求出所有的点P的坐标；若不存在，请说明理由．20.已知如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上上的三个点，且OA=1，OB=3，OC=4，（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点M为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PM﹣AM|的最大值时点M的坐标，并直接写出|PM﹣AM|的最大值．21.如图1，已知开口向下的抛物线y1=ax2﹣2ax+1过点A（m，1），与y轴交于点C，顶点为B，将抛物线y1绕点C旋转180°后得到抛物线y2，点A，B的对应点分别为点D，E．（1）直接写出点A，C，D的坐标；（2）当四边形ABCD是矩形时，求a的值及抛物线y2的解析式；（3）在（2）的条件下，连接DC，线段DC上的动点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度运动到点C停止，在点P运动的过程中，过点P作直线l⊥x轴，将矩形ABDE沿直线l折叠，设矩形折叠后相互重合部分面积为S平方单位，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系．22.如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，- ）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．答案解析部分一、解答题1.（1）解：把点C（6，）代入抛物线得:=9++c.解得c=-3.当y=0时，x2+x-3=0.解得：x1=-4,x2=3.∴A(-4,0).设直线AC的函数表达式为：y=kx+b(k≠0）.把A(-4,0)，C（6，）代入得：解得：∴直线AC的函数表达式为：y=x+3.（2）①证明：∵在Rt△AOB中，tan∠OAB==.在Rt△AOB中，tan∠OAD==.∴∠OAB=∠OAD.∵在Rt△POQ中,M为PQ中点.∴OM=MP.∴∠MOP=∠MPO.又∵∠MOP=∠AON.∴∠APM=∠AON.∴△APM∽△AON.②解：如下图，过点M作ME⊥x轴于点E.∵OM=MP.∴OE=EP.又∵点M的横坐标为m.∴AE=m+4,AP=2m+4.∵tan∠OAD=.∴cos∠EAM=cos∠OAD=.∴AM=AE=.∵△APM∽△AON.∴=.∴AN==.2.解：（1）∵y=x+m经过点（-3，0），∴0=+m，解得m=，∴直线解析式为y=x+，C（0，）．∵抛物线y=ax2+bx+c对称轴为x=1，且与x轴交于A（-3，0），∴另一交点为B（5，0），设抛物线解析式为y=a（x+3）（x-5），∵抛物线经过C（0，），∴=a•3（-5），解得a=，∴抛物线解析式为y=x2+x+；（2）要使△ACP的周长最小，只需AP+CP最小即可．如图2，连接BC交x=1于P点，因为点A、B关于x=1对称，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时AP+CP最小（AP+CP最小值为线段BC的长度）．∵B（5，0），C（0，），∴直线BC解析式为y=x+，∵x P=1，∴y P=3，即P（1，3）．(3) （3）存在设Q(x, x2+x+)①若C为直角顶点, 则由△ACO相似于△CQE，得x=5.2②若A为直角顶点，则由△ACO相似于△AQE，得x=8.2∴Q的横坐标为5.2 ，7.2(4)令经过点P（1，3）的直线为y=kx+b，则k+b=3，即b=3-k，则直线的解析式是：y=kx+3-k，∵y=kx+3-k，y=x2+x+，联立化简得：x2+（4k-2）x-4k-3=0，∴x1+x2=2-4k，x1x2=-4k-3．∵y1=kx1+3-k，y2=kx2+3-k，∴y1-y2=k（x1-x2）．根据两点间距离公式得到：==∴==4（1+k2）．又==；同理∴===4（1+k2）．∴M1P•M2P=M1M2，∴=1为定值．二、综合题3.（1）解：∵y= x2﹣x﹣，∴y= （x+1）（x﹣3）．∴A（﹣1，0），B（3，0）．当x=4时，y= ．∴E（4，）．设直线AE的解析式为y=kx+b，将点A和点E的坐标代入得：，解得：k= ，b= ．∴直线AE的解析式为y= x+ ．（2）解：设直线CE的解析式为y=mx﹣，将点E的坐标代入得：4m﹣= ，解得：m= ．∴直线CE的解析式为y= x﹣．过点P作PF∥y轴，交CE与点F．设点P的坐标为（x，x2﹣x﹣），则点F（x，x﹣），则FP=（x﹣）﹣（x2﹣x﹣）= x2+ x．∴△EPC的面积= ×（x2+ x）×4=﹣x2+ x．∴当x=2时，△EPC的面积最大．∴P（2，﹣）．如图2所示：作点K关于CD和CP的对称点G、H，连接G、H交CD和CP与N、M．∵K是CB的中点，∴k（，﹣）．∵点H与点K关于CP对称，∴点H的坐标为（，﹣）．∵点G与点K关于CD对称，∴点G（0，0）．∴KM+MN+NK=MH+MN+GN．当点O、N、M、H在条直线上时，KM+MN+NK有最小值，最小值=GH．∴GH= =3．∴KM+MN+NK的最小值为3．（3）解：如图3所示：∵y′经过点D，y′的顶点为点F，∴点F（3，﹣）．∵点G为CE的中点，∴G（2，）．∴FG= = ．∴当FG=FQ时，点Q（3，），Q′（3，）．当GF=GQ时，点F与点Q″关于y= 对称，∴点Q″（3，2 ）．当QG=QF时，设点Q1的坐标为（3，a）．由两点间的距离公式可知：a+ = ，解得：a=﹣．∴点Q1的坐标为（3，﹣）．综上所述，点Q的坐标为（3，）或′（3，）或（3，2 ）或（3，﹣）．4.（1）解：将点B，点C的坐标分别代入y=ax2+bx+4可得，解得，∴二次函数的表达式为y=﹣x2+ x+4（2）解：设点N的坐标为（n，0）（﹣2＜n＜8），则BN=n+2，CN=8﹣n．∵B（﹣2，0），C（8，0），∴BC=10，在y=﹣x2+ x+4中令x=0，可解得y=4，∴点A（0，4），OA=4，∴S△ABN= BN•OA= （n+2）×4=2（n+2），∵MN∥AC，∴，∴= = ，∴，∵﹣＜0，∴当n=3时，即N（3，0）时，△AMN的面积最大（3）解：当N（3，0）时，N为BC边中点，∵MN∥AC，∴M为AB边中点，∴OM= AB，∵AB= = =2 ，AC= = =4 ，∴AB= AC，∴OM= AC5.（1）解：在y=a（x﹣1）（x﹣3），令x=0可得y=3a，∴C（0，3a），∵y=a（x﹣1）（x﹣3）=a（x2﹣4x+3）=a（x﹣2）2﹣a，∴D（2，﹣a）；（2）解：在y=a（x﹣1）（x﹣3）中，令y=0可解得x=1或x=3，∴A（1，0），B（3，0），∴AB=3﹣1=2，∴S△ABD= ×2×a=a，如图，设直线CD交x轴于点E，设直线CD解析式为y=kx+b，把C、D的坐标代入可得，解得，∴直线CD解析式为y=﹣2ax+3a，令y=0可解得x= ，∴E（，0），∴BE=3﹣=∴S△BCD=S△BEC+S△BED= × ×（3a+a）=3a，∴S△BCD：S△ABD=（3a）：a=3，∴k=3；（3）解：∵B（3，0），C（0，3a），D（2，﹣a），∴BC2=32+（3a）2=9+9a2，CD2=22+（﹣a﹣3a）2=4+16a2，BD2=（3﹣2）2+a2=1+a2，∵∠BCD＜∠BCO＜90°，∴△BCD为直角三角形时，只能有∠CBD=90°或∠CDB=90°两种情况，①当∠CBD=90°时，则有BC2+BD2=CD2，即9+9a2+1+a2=4+16a2，解得a=﹣1（舍去）或a=1，此时抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；②当∠CDB=90°时，则有CD2+BD2=BC2，即4+16a2+1+a2=9+9a2，解得a=﹣（舍去）或a= ，此时抛物线解析式为y= x2﹣2 x+ ；综上可知当△BCD是直角三角形时，抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3或y= x2﹣2 x+ ．6.（1）解：∵直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，∴B（3，0），C（0，3），把B、C坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3（2）解：∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线对称轴为x=2，P（2，﹣1），设M（2，t），且C（0，3），∴MC= = ，MP=|t+1|，PC= =2 ，∵△CPM为等腰三角形，∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，①当MC=MP时，则有=|t+1|，解得t= ，此时M（2，）；②当MC=PC时，则有=2 ，解得t=﹣1（与P点重合，舍去）或t=7，此时M（2，7）；③当MP=PC时，则有|t+1|=2 ，解得t=﹣1+2 或t=﹣1﹣2 ，此时M（2，﹣1+2 ）或（2，﹣1﹣2 ）；综上可知存在满足条件的点M，其坐标为（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2 ）或（2，﹣1﹣2 ）（3）解：如图，过E作EF⊥x轴，交BC于点F，交x轴于点D，设E（x，x2﹣4x+3），则F（x，﹣x+3），∵0＜x＜3，∴EF=﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x，∴S△CBE=S△EFC+S△EFB= EF•OD+ EF•BD= EF•OB= ×3（﹣x2+3x）=﹣（x﹣）2+ ，∴当x= 时，△CBE的面积最大，此时E点坐标为（，﹣），即当E点坐标为（，﹣）时，△CBE的面积最大7.（1）解：将点A（﹣1，1）、B（4，6）代入y=ax2+bx中，，解得：，∴抛物线的解析式为y= x2﹣x．（2）证明：设直线AF的解析式为y=kx+m，将点A（﹣1，1）代入y=kx+m中，即﹣k+m=1，∴k=m﹣1，∴直线AF的解析式为y=（m﹣1）x+m．联立直线AF和抛物线解析式成方程组，，解得：，，∴点G的坐标为（2m，2m2﹣m）．∵GH⊥x轴，∴点H的坐标为（2m，0）．∵抛物线的解析式为y= x2﹣x= x（x﹣1），∴点E的坐标为（1，0）．设直线AE的解析式为y=k1x+b1，将A（﹣1，1）、E（1，0）代入y=k1x+b1中，，解得：，∴直线AE的解析式为y=﹣x+ ．设直线FH的解析式为y=k2x+b2，将F（0，m）、H（2m，0）代入y=k2x+b2中，，解得：，∴直线FH的解析式为y=﹣x+m．∴FH∥AE．（3）设直线AB的解析式为y=k0x+b0，将A（﹣1，1）、B（4，6）代入y=k0x+b0中，，解得：，∴直线AB的解析式为y=x+2．当运动时间为t秒时，点P的坐标为（t﹣2，t），点Q的坐标为（t，0）．当点M在线段PQ上时，过点P作PP′⊥x轴于点P′，过点M作MM′⊥x轴于点M′，则△PQP′∽△MQM′，如图2所示．∵QM=2PM，∴= = ，∴QM′= ，MM′= t，∴点M的坐标为（t﹣，t）．又∵点M在抛物线y= x2﹣x上，∴t= ×（t﹣）2﹣（t﹣），解得：t= ；当点M在线段QP的延长线上时，同理可得出点M的坐标为（t﹣4，2t），∵点M在抛物线y= x2﹣x上，∴2t= ×（t﹣4）2﹣（t﹣4），解得：t= ．综上所述：当运动时间为秒、秒、秒或秒时，QM=2PM．8.（1）解：∵点A（﹣1，0），B（5，0）在抛物线y=ax2+bx﹣5上，∴，∴，∴抛物线的表达式为y=x2﹣4x﹣5（2）解：如图1，令x=0，则y=﹣5，∴C（0，﹣5），∴OC=OB，∴∠OBC=∠OCB=45°，∴AB=6，BC=5 ，要使以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，则有或，①当时，CD=AB=6，∴D（0，1），②当时，∴，∴CD= ，∴D（0，），即：D的坐标为（0，1）或（0，）（3）解：设H（t，t2﹣4t﹣5），∵CE∥x轴，∴点E的纵坐标为﹣5，∵E在抛物线上，∴x2﹣4x﹣5=﹣5，∴x=0（舍）或x=4，∴E（4，﹣5），∴CE=4，∵B（5，0），C（0，﹣5），∴直线BC的解析式为y=x﹣5，∴F（t，t﹣5），∴HF=t﹣5﹣（t2﹣4t﹣5）=﹣（t﹣）2+ ，∵CE∥x轴，HF∥y轴，∴CE⊥HF，= CE•HF=﹣2（t﹣）2+ ，∴S四边形CHEF当t= 时，四边形CHEF的面积最大为（4）解：如图2，∵K为抛物线的顶点，∴K（2，﹣9），∴K关于y轴的对称点K'（﹣2，﹣9），∵M（4，m）在抛物线上，∴M（4，﹣5），∴点M关于x轴的对称点M'（4，5），∴直线K'M'的解析式为y= x﹣，∴P（，0），Q（0，﹣）．9.（1）解：当y=0时，0=﹣x2+ x+2，解得：x1=﹣1，x2=4，则A（﹣1，0），B（4，0），当x=0时，y=2，故C（0，2）（2）解：①过点D作DE⊥x轴于点E，∵将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD，∴DE=2，AO=BE=1，OM=ME=1.5，∴D（3，﹣2）；②∵将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD，∴AC=BD，AD=BC，∴四边形ADBC是平行四边形，∵AC= = ，BC= =2 ，AB=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ACB是直角三角形，∴∠ACB=90°，∴四边形ADBC是矩形（3）解：由题意可得：BD= ，AD=2 ，则= ，当△BMP∽△ADB时，= = ，可得：BM=2.5，则PM=1.25，故P（1.5，1.25），当△BMP1∽△ABD时，P1（1.5，﹣1.25），当△BMP2∽△BDA时，可得：P2（1.5，5），当△BMP3∽△BDA时，可得：P3（1.5，﹣5），综上所述：点P的坐标为：（1.5，1.25），（1.5，﹣1.25），（1.5，5），（1.5，﹣5）10.（1）解：∵y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，∴0=﹣2+c，解得c=2，∴B（0，2），∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B，∴，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+ x+2（2）解：①由（1）可知直线解析式为y=﹣x+2，∵M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，∴P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+ m+2），∴PM=﹣m+2，PA=3﹣m，PN=﹣m2+ m+2﹣（﹣m+2）=﹣m2+4m，∵△BPN和△APM相似，且∠BPN=∠APM，∴∠BNP=∠AMP=90°或∠NBP=∠AMP=90°，当∠BNP=90°时，则有BN⊥MN，∴BN=OM=m，∴= ，即= ，解得m=0（舍去）或m=2，∴M（2，0）；当∠NBP=90°时，则有= ，∵A（3，0），B（0，2），P（m，﹣m+2），∴BP= = m，AP= = （3﹣m），∴= ，解得m=0（舍去）或m= ，∴M（，0）；综上可知当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为（2，0）或（，0）；②由①可知M（m，0），P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+ m+2），∵M，P，N三点为“共谐点”，∴有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，当P为线段MN的中点时，则有2（﹣m+2）=﹣m2+ m+2，解得m=3（三点重合，舍去）或m= ；当M为线段PN的中点时，则有﹣m+2+（﹣m2+ m+2）=0，解得m=3（舍去）或m=﹣1；当N为线段PM的中点时，则有﹣m+2=2（﹣m2+ m+2），解得m=3（舍去）或m=﹣；综上可知当M，P，N三点成为“共谐点”时m的值为或﹣1或﹣11.（1）解：由题意可得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+ x+2；（2）解：当点D在x轴上方时，过C作CD∥AB交抛物线于点D，如图1，∵A、B关于对称轴对称，C、D关于对称轴对称，∴四边形ABDC为等腰梯形，∴∠CAO=∠DBA，即点D满足条件，∴D（3，2）；当点D在x轴下方时，∵∠DBA=∠CAO，∴BD∥AC，∵C（0，2），∴可设直线AC解析式为y=kx+2，把A（﹣1，0）代入可求得k=2，∴直线AC解析式为y=2x+2，∴可设直线BD解析式为y=2x+m，把B（4，0）代入可求得m=﹣8，∴直线BD解析式为y=2x﹣8，联立直线BD和抛物线解析式可得，解得或，∴D（﹣5，﹣18）；综上可知满足条件的点D的坐标为（3，2）或（﹣5，﹣18）；（3）解：过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，如图2，设P（t，﹣t2+ t+2），由B、C两点的坐标可求得直线BC的解析式为y=﹣x+2，∴H（t，﹣t+2），∴PH=y P﹣y H=﹣t2+ t+2﹣（﹣t+2）=﹣t2+2t，设直线AP的解析式为y=px+q，∴，解得，∴直线AP的解析式为y=（﹣t+2）（x+1），令x=0可得y=2﹣t，∴F（0，2﹣t），∴CF=2﹣（2﹣t）= t，联立直线AP和直线BC解析式可得，解得x= ，即E点的横坐标为，∴S1= PH（x B﹣x E）= （﹣t2+2t）（5﹣），S2= • • ，∴S1﹣S2= （﹣t2+2t）（5﹣）﹣• • =﹣t2+5t=﹣（t﹣）2+ ，∴当t= 时，有S1﹣S2有最大值，最大值为．12.（1）解：∵y=a（x+3）（x﹣1），∴点A的坐标为（﹣3，0）、点B两的坐标为（1，0），∵直线y=﹣x+b经过点A，∴b=﹣3 ，∴y=﹣x﹣3 ，当x=2时，y=﹣5 ，则点D的坐标为（2，﹣5 ），∵点D在抛物线上，∴a（2+3）（2﹣1）=﹣5 ，解得，a=﹣，则抛物线的解析式为y=﹣（x+3）（x﹣1）=﹣x2﹣2 x+3 （2）解：作PH⊥x轴于H，设点P的坐标为（m，n），当△BPA∽△ABC时，∠BAC=∠PBA，∴tan∠BAC=tan∠PBA，即，∴，即n=﹣a（m﹣1），∴，解得，m1=﹣4，m2=1（不合题意，舍去），当m=﹣4时，n=5a，∵△BPA∽△ABC，∴，即AB2=AC•PB，∴42= • ，解得，a1= （不合题意，舍去），a2=﹣，则n=5a=﹣，∴点P的坐标为（﹣4，﹣）；当△PBA∽△ABC时，∠CBA=∠PBA，∴tan∠CBA=tan∠PBA，即，∴，即n=﹣3a（m﹣1），∴，解得，m1=﹣6，m2=1（不合题意，舍去），当m=﹣6时，n=21a，∵△PBA∽△ABC，∴，即AB2=BC•PB，∴42= • ，解得，a1= （不合题意，舍去），a2=﹣，则点P的坐标为（﹣6，﹣），综上所述，符合条件的点P的坐标为（﹣4，﹣）和（﹣6，﹣）（3）解：作DM∥x轴交抛物线于M，作DN⊥x轴于N，作EF⊥DM于F，则tan∠DAN= = ，∴∠DAN=60°，∴∠EDF=60°，∴DE= EF，∴Q的运动时间t= =BE+EF，∴当BE和EF共线时，t最小，则BE⊥DM，y=﹣4 ．13.（1）解：①将P（1，﹣3），B（4，0）代入y=ax2+c，得，解得，抛物线的解析式为y= x2﹣；②如图1，由∠DPO=∠POB，得DP∥OB，D与P关于y轴对称，P（1，﹣3），得D（﹣1，﹣3）；（2）解：点P运动时，是定值，设P点坐标为（m，m2﹣），A（﹣4，0），B（4，0），设AP的解析式为y=kx+b，将A、P点坐标代入，得，解得b= ，即E（0，），设BP的解析式为y=k1x+b1，将B、P点坐标代入，得，解得b2= ，即F（0，），OF+OE= + = = ，= =2．14.（1）解：把点A（4，0），B（1，3）代入抛物线y=ax2+bx中，得解得：，∴抛物线表达式为：y=﹣x2+4x；（2）解：点C的坐标为（3，3），又∵点B的坐标为（1，3），∴BC=2，∴S△ABC= ×2×3=3；（3）解：过P点作PD⊥BH交BH于点D，设点P（m，﹣m2+4m），根据题意，得：BH=AH=3，HD=m2﹣4m，PD=m﹣1，∴S△ABP=S△ABH+S四边形HAPD﹣S△BPD，6= ×3×3+ （3+m﹣1）（m2﹣4m）﹣（m﹣1）（3+m2﹣4m），∴3m2﹣15m=0，m1=0（舍去），m2=5，∴点P坐标为（5，﹣5）．（4）解：以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论：①以点M为直角顶点且M在x轴上方时，如图2，CM=MN，∠CMN=90°，则△CBM≌△MHN，∴BC=MH=2，BM=HN=3﹣2=1，∴M（1，2），N（2，0），由勾股定理得：MC= = ，∴S△CMN= × × = ；②以点M为直角顶点且M在x轴下方时，如图3，作辅助线，构建如图所示的两直角三角形：Rt△NEM 和Rt△MDC，得Rt△NEM≌Rt△MDC，∴EM=CD=5，MD=ME=2，由勾股定理得：CM= = ，∴S△CMN= × × = ；③以点N为直角顶点且N在y轴左侧时，如图4，CN=MN，∠MNC=90°，作辅助线，同理得：CN= = ，∴S△CMN= × × =17；④以点N为直角顶点且N在y轴右侧时，作辅助线，如图5，同理得：CN= = ，∴S△CMN= × × =5；⑤以C为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形；综上所述：△CMN的面积为：或或17或5．15.（1）解：∵A（1，3 ），B（4，0）在抛物线y=mx2+nx的图象上，∴，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+4 x（2）解：存在三个点满足题意，理由如下：当点D在x轴上时，如图1，过点A作AD⊥x轴于点D，∵A（1，3 ），∴D坐标为（1，0）；当点D在y轴上时，设D（0，d），则AD2=1+（3 ﹣d）2，BD2=42+d2，且AB2=（4﹣1）2+（3 ）2=36，∵△ABD是以AB为斜边的直角三角形，∴AD2+BD2=AB2，即1+（3 ﹣d）2+42+d2=36，解得d= ，∴D点坐标为（0，）或（0，）；综上可知存在满足条件的D点，其坐标为（1，0）或（0，）或（0，）；（3）解：如图2，过P作PF⊥CM于点F，∵PM∥OA，∴Rt△ADO∽Rt△MFP，∴=3 ，∴MF=3 PF，在Rt△ABD中，BD=3，AD=3 ，∴tan∠ABD= ，∴∠ABD=60°，设BC=a，则CN= a，在Rt△PFN中，∠PNF=∠BNC=30°，∴tan∠PNF= = ，∴FN= PF，∴MN=MF+FN=4 PF，∵S△BCN=2S△PMN，∴a2=2× ×4 PF2，∴a=2 PF，∴NC= a=2 PF，∴= ，∴MN= NC= × a= a，∴MC=MN+NC=（+ ）a，∴M点坐标为（4﹣a，（+ ）a），又M点在抛物线上，代入可得﹣（4﹣a）2+4 （4﹣a）=（+ ）a，解得a=3﹣或a=0（舍去），OC=4﹣a= +1，MC=2 + ，∴点M的坐标为（+1，2 + ）．16.（1）解：∵抛物线与x轴交于点A（﹣5，0），B（3，0），∴可以假设抛物线为y=a（x+5）（x﹣3），把点（0，5）代入得到a=﹣，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+5．（2）解：）作FG⊥AC于G，设点F坐标（m，0），则AF=m+5，AE=EM=m+6，FG= （m+5），FM= = ，∵sin∠AMF= ，∴= ，∴= ，整理得到2m2+19m+44=0，∴（m+4）（2m+11）=0，∴m=﹣4或﹣5.5（舍弃），∴点Q坐标（﹣4，）（3）解：①当MN是对角线时，设点F（m，0）．∵直线AC解析式为y=x+5，∴点N（m，m+5），点M（m+1，m+6），∵QN=PM，∴﹣m2﹣m+5﹣m﹣5=m+6﹣[﹣（m+1）2﹣（m+1）+5]，解得m=﹣3± ，∴点M坐标（﹣2+ ，3+ ）或（﹣2﹣，3﹣）．②当MN为边时，MN=PQ= ，设点Q（m，﹣m2﹣m+5）则点P（m+1，﹣m2﹣m+6），∴﹣m2﹣m+6=﹣（m+1）2﹣（m+1）+5，解得m=﹣3．∴点M坐标（﹣2，3），综上所述以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，点M的坐标为（﹣2，3）或（﹣2+ ，3+ ）或（﹣2﹣，3﹣）．17.（1）解：在直线y=﹣x+2 中，令y=0可得0=﹣x+2 ，解得x=2，令x=0可得y=2 ，∴A为（2，0），B为（0，2 ）；（2）解：由（1）可知OA=2，OB=2 ，∴tan∠ABO= = ，∴∠ABO=30°，∵运动时间为t秒，∴BE= t，∵EF∥x轴，∴在Rt△BEF中，EF=BE•tan∠ABO= BE=t，BF=2EF=2t，在Rt△ABO中，OA=2，OB=2 ，∴AB=4，∴AF=4﹣2t；（3）解：相似．理由如下：当四边形ADEF为菱形时，则有EF=AF，即t=4﹣2t，解得t= ，∴AF=4﹣2t=4﹣= ，OE=OB﹣BE=2 ﹣× = ，如图，过G作GH⊥x轴，交x轴于点H，则四边形OEGH为矩形，∴GH=OE= ，又EG∥x轴，抛物线的顶点为A，∴OA=AH=2，在Rt△AGH中，由勾股定理可得AG2=GH2+AH2=（）2+22= ，又AF•AB= ×4= ，∴AF•AB=AG2，即，且∠FAG=∠GAB，∴△AFG∽△AGB；（4）解：存在，∵EG∥x轴，∴∠GFA=∠BAO=60°，又G点不能在抛物线的对称轴上，∴∠FGA≠90°，∴当△AGF为直角三角形时，则有∠FAG=90°，又∠FGA=30°，∴FG=2AF，∵EF=t，EG=4，∴FG=4﹣t，且AF=4﹣2t，∴4﹣t=2（4﹣2t），解得t= ，即当t的值为秒时，△AGF为直角三角形，此时OE=OB﹣BE=2 ﹣t=2 ﹣× = ，∴E点坐标为（0，），∵抛物线的顶点为A，∴可设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2，把E点坐标代入可得=4a，解得a= ，∴抛物线解析式为y= （x﹣2）2，即y= x2﹣x+ ．18.（1）解：∵抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，∴∴，∴抛物线解析式为y=﹣x2+ x﹣2=﹣（x﹣2）2+ ；（2）解：如图1，过点A作AH∥y轴交BC于H，BE于G，由（1）有，C（0，﹣2），∵B（0，3），∴直线BC解析式为y= x﹣2，∵H（1，y）在直线BC上，∴y=﹣，∴H（1，﹣），∵B（3，0），E（0，﹣1），∴直线BE解析式为y=﹣x﹣1，∴G（1，﹣），∴GH= ，∵直线BE：y=﹣x﹣1与抛物线y=﹣x2+ x﹣2相较于F，B，∴F（，﹣），∴S△FHB= GH×|x G﹣x F|+ GH×|x B﹣x G|= GH×|x B﹣x F|= × ×（3﹣）= ．（3）解：如图2，由（1）有y=﹣x2+ x﹣2，∵D为抛物线的顶点，∴D（2，），∵一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，∴设M（2，m），（m＞），∴OM2=m2+4，BM2=m2+1，AB2=9，∵∠OMB=90°，∴OM2+BM2=AB2，∴m2+4+m2+1=9，∴m= 或m=﹣（舍），∴M（0，），∴MD= ﹣，∵一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，∴t= ﹣；（4）解：存在点P，使∠PBF被BA平分，如图3，∴∠PBO=∠EBO，∵E（0，﹣1），∴在y轴上取一点N（0，1），∵B（3，0），∴直线BN的解析式为y=﹣x+1①，∵点P在抛物线y=﹣x2+ x﹣2②上，联立①②得，或（舍），∴P（，），即：在x轴上方的抛物线上，存在点P，使得∠PBF被BA平分，P（，）．19.（1）解：由题意可知，△MBC为等边三角形，点A，B，C，E均在⊙M上，则MA=MB=MC=ME=2，又∵CO⊥MB，∴MO=BO=1，∴A（﹣3，0），B（1，0），E（﹣1，﹣2），抛物线顶点E的坐标为（﹣1，﹣2），设函数解析式为y=a（x+1）2﹣2（a≠0）把点B（1，0）代入y=a（x+1）2﹣2，解得：a= ，故二次函数解析式为：y= （x+1）2﹣2；（2）证明：连接DM，∵△MBC为等边三角形，∴∠CMB=60°，∴∠AMC=120°，∵点D平分弧AC，∴∠AMD=∠CMD= ∠AMC=60°，∵MD=MC=MA，∴△MCD，△MDA是等边三角形，∴DC=CM=MA=AD，∴四边形AMCD为菱形（四条边都相等的四边形是菱形）；（3）解：存在．理由如下：设点P的坐标为（m，n）∵S△ABP= AB|n|，AB=4∴×4×|n|=5，即2|n|=5，解得：n=± ，当时，（m+1）2﹣2= ，解此方程得：m1=2，m2=﹣4即点P的坐标为（2，），（﹣4，），当n=﹣时，（m+1）2﹣2=﹣，此方程无解，故所求点P坐标为（2，），（﹣4，）．20.（1）解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，∵A（1，0）、B（0，3）、C（﹣4，0），∴，解得：a=﹣，b=﹣，c=3，∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+3（2）解：在平面直角坐标系xOy中存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，理由为：∵OB=3，OC=4，OA=1，∴BC=AC=5，当BP平行且等于AC时，四边形ACBP为菱形，∴BP=AC=5，且点P到x轴的距离等于OB，∴点P的坐标为（5，3），当点P在第二、三象限时，以点A、B、C、P为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，则当点P的坐标为（5，3）时，以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形．（3）解：设直线PA的解析式为y=kx+b（k≠0），∵A（1，0），P（5，3），∴，解得：k= ，b=﹣，∴直线PA的解析式为y= x﹣，当点M与点P、A不在同一直线上时，根据三角形的三边关系|PM﹣AM|＜PA，当点M与点P、A在同一直线上时，|PM﹣AM|=PA，∴当点M与点P、A在同一直线上时，|PM﹣AM|的值最大，即点M为直线PA与抛物线的交点，解方程组，得或，∴点M的坐标为（1，0）或（﹣5，﹣）时，|PM﹣AM|的值最大，此时|PM﹣AM|的最大值为5．21.（1）解：由题意得：将A（m，1）代入y1=ax2﹣2ax+1得：am2﹣2am+1=1，解得：m1=2，m2=0（舍），∴A（2，1）、C（0，1）、D（﹣2，1）；（2）解：如图1，由（1）知：B（1，1﹣a），过点B作BM⊥y轴，若四边形ABDE为矩形，则BC=CD，∴BM2+CM2=BC2=CD2，∴12+（﹣a）2=22，∴a= ，∵y1抛物线开口向下，∴a=﹣，∵y2由y1绕点C旋转180°得到，则顶点E（﹣1，1﹣），∴设y2=a（x+1）2+1﹣，则a= ，∴y2= x2+2 x+1；（3）解：如图2，当0≤t≤1时，则DP=t，构建直角△BQD，得BQ= ，DQ=3，则BD=2 ，∴∠BDQ=30°，∴PH= t，PG= t，∴S= （PE+PF）×DP= t2，如图2，当1＜t≤2时，EG=E′G= （t﹣1），E′F=2（t﹣1），S不重合= （t﹣1）2，S=S1+S2﹣S不重合= + （t﹣1）﹣（t﹣1）2，=﹣综上所述：S= t2（0≤t≤1）或S=﹣（1＜t≤2）．22.（1）解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，- ）三点在抛物线上，∴，解得．∴抛物线的解析式为：y= x2﹣2x﹣；（2）解：∵抛物线的解析式为：y= x2﹣2x﹣，∴其对称轴为直线x=﹣=﹣=2，连接BC，如图1所示，∵B（5，0），C（0，﹣），∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），∴，解得，∴直线BC的解析式为y= x﹣，当x=2时，y=1﹣=﹣，∴P（2，﹣）；（3）解：存在．如图2所示，①当点N在x轴下方时，∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，﹣），∴N1（4，﹣）；②当点N在x轴上方时，如图，过点N2作N2D⊥x轴于点D，在△AN2D与△M2CO中，∴△AN2D≌△M2CO（ASA），∴N2D=OC= ，即N2点的纵坐标为．∴x2﹣2x﹣= ，解得x=2+ 或x=2﹣，∴N2（2+ ，），N3（2﹣，）．。

中考数学总复习《二次函数的实际应用》专题训练(附答案)

中考数学总复习《二次函数的实际应用》专题训练(附答案)
信息2：销售B种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在正比例函数关系y＝0.3x．根据以上信息，解答下列问题：
(1)求二次函数的表达式；
(2)该公司准备购进A、B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少万元？
9．张大爷要围成一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成，围成的花圃是如图所示的矩形 ．
(2)求出篮球在该运动员出手时的高度．
13．“活力海洋之都，精彩宜人之城”，青岛获评2023年中国十大旅游目的地必去城市．为宣传青岛城市文化，某景区研发出一款文创纪念品，投入景区内进行销售．已知该文创纪念品每件的成本为20元，销售一段时间发现，每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系如图所示，图象是直线的一部分．
(1)求该拋物线的表达式；
(2)如图 ，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个大小一样的正方形孔的排气装置 ， （ ，G，M，N在线段 上，L，R在抛物线上），若要保证两个正方形装置的间距 ，求正方形排气装置的边长 的长．（结果保留根号）
6．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，设该商场决定把售价上涨x（ ，且x为整数）元．
(1)商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率；
(2)市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？

2019-2020年中考数学一轮复习：二次函数

2019-2020年中考数学一轮复习：二次函数

2019-2020年中考数学一轮复习：二次函数一、选择题1.把抛物线2x y =向右平移2个单位得到的抛物线是( )A 、2x y 2+=B 、2x y 2-=C 、2)2x (y +=D 、2)2x (y -= 2．抛物线2(1)3y x =-+的对称轴是（ ） A ．直线1x = B ．直线3x =C ．直线1x =-D ．直线3x =-3、若A （1,413y -），B （2,45y -），C （3,41y ）为二次函数245y x x =+-的图象上的三点，则1,y 2,y 3y 的大小关系是（ ）A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．312y y y <<D ．132y y y <<4、已知：二次函数()220y ax bx a b a =+++≠的图像为下列图像之一，则a 的值为( )A.－1 B ． 1 C. －3 D. －45、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象过点A （1，2），B （3，2），C （5，7）．若点M （-2，y 1），N （-1，y 2），K （8，y 3）也在二次函数c bx ax y ++=2的图象上，则下列结论正确的是A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 1＜y 3＜y 26、若A （-4，y 1），B （-3，y 2），C （1，y 3）为二次函数y=x 2+4x-5的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A 、y 1＜y 2＜y 3B 、y 2＜y 1＜y 3C 、y 3＜y 1＜y 2D 、y 1＜y 3＜y 27.若一次函数(1)y m x m =++的图像过第一、三、四象限,则函数2y mx mx =-（ ）A.有最大值4m B..有最大值4m -C.有最小值4m D.有最小值8、如图，记抛物线21y x =-+的图象与x 正半轴的交点为A ，将线段OA 分成n 等份．设分点分别为1P ，2P ，…，1n P -，过每个分点作x 轴的垂线，分别与抛物线交于点1Q ，2Q ，…，1n Q -，再记直角三角形11OPQ ，122PP Q ，…的面积分别为1S ，2S ，…，这样就有21312n S n -=，22342n S n -=，…；记121n W S S S -=+++…，当n 越来越大时，你猜想W 最接近的常数是（ ）A ．23B ．12C ．13D ．149.二次函数22(1)3y x =-+的图象的顶点坐标是（ ）A ．(13)，B ．(13)-，C ．(13)-，D ．(13)--，10．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图4所示，则下列说法不正确的是（ ） A ． 240b ac -> B ．0a >C ．0c >D ．02ba-<11.二次函数的图像如图所示，则点c Q a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在（ ）（第8题）2y ax bx c =++A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．二次函数y = ax 2+ bx + c 的部分对应值如下表：利用二次函数的图象可知，当函数值y ＜0时，x 的取值范围是（ ）． A ．x ＜0或x ＞2 B ．0＜x ＜2 C ．x ＜－1或x ＞3 D ．－1＜x ＜3 13.已知二次函数2y ax bx c =++（其中000a b c >><，，），关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x 轴的交点至少有一个在y 轴的右侧．以上说法正确的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．314.二次函数362+-=x kx y 的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是【 】A ．3<kB ．03≠<k k 且C ．3≤kD ．03≠≤k k 且15.已知反比例函数xk y =的图象如下右图所示，则二次函数222k x kx y +-=的图象大致为【 】16．一个函数的图象如图，给出以下结论：x A ．B ．C ．D ．①当0x =时，函数值最大； ②当02x <<时，函数y 随x 的增大而减小； ③存在001x <<，当0x x =时，函数值为0． 其中正确的结论是（ ） A ．①② B ．①③C ．②③D ．①②③17.如图，正方形ABCD 的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD 的顶点上，且它们的各边与正方形ABCD 各边平行或垂直．若小正方形的边长为x ，且010x <≤，阴影部分的面积为y ，则能反映y 与x 之间函数关系的大致图象是（ ）18.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列关系式不正确的是（ ）A 、a ＜0B 、abc ＞0C 、c b a ++＞0D 、ac b 42-＞019. 在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和222y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠）A ．B ．C ．x D ．的图象可能．．是（ ）20. 在平面直角坐标系中，如果抛物线y ＝2x 2不动，而把x 轴、y 轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是 ( )A ．y ＝2(x －2)2+ 2 B ．y ＝2(x + 2)2－2 C ．y ＝2(x －2)2－2 D ．y ＝2(x + 2)2+ 221.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示， 当0y <时，x 的取值范围是（ ） A ．13x -<< B ．3x >C ．1x <-D ．3x >或1x <-22．二次函数342++=x x y 的图像可以由二次函数2x y =的图像 平移而得到，下列平移正确的是Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．A ．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位B ．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位C ．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位D ．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位23．抛物线5422---=x x y 经过平移得到22x y -=，平移方法是（ ）A ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位B ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位C ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位D ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位 24.下列命题：①若0a b c ++=，则240b ac -≥；②若b a c >+，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根； ③若23b a c =+，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根； ④若240b ac ->，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3. 其中正确的是（ ）．Ａ.只有①②③ Ｂ．只有①③④ Ｃ．只有①④ Ｄ． 只有②③④． 25．函数1y x x=+的图象如图所示，下列对该函数性质的论断不可能正确．．．．．的是（ ） A ．该函数的图象是中心对称图形B ．当0x >时，该函数在1x =时取得最小值2C ．在每个象限内，y 的值随x 值的增大而减小D ．y 的值不可能为1 二、填空题1.将抛物线2(0)y ax bx c a =++≠向下平移3个单位，再向左平移4个单位得到抛物线2245y x x =--+，则原抛物线的顶点坐标是 。

2019中考数学一轮系列复习二次函数基础训练B(含答案)

2019中考数学一轮系列复习二次函数基础训练B(含答案)

2019中考数学一轮系列复习二次函数基础训练B（含答案）1．在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致所示中的（）A．B．C．D．2．将抛物线y=2x2向左平移1个单位得到的抛物线是（）A．y=2(x+1)2B．C．y=2x2+1D．3．二次函数y=x2﹣x﹣2的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是（）A．x＜﹣1B．x＞2C．﹣1＜x＜2D．x＜﹣1或x＞24．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c为常数)的图象如图所示，则ax2＋bx＋c＝m有实数根的条件是( )A．m≤－2B．m≥－2C．m≥0D．m＞45．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝AD＝5，BC＝4，M、N、E分别是AB、AD、CB上的点，AM＝CE＝1，AN＝3，点P从点M出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线MB－BE向点E运动，同时点Q从点N，以相同的速度沿折线ND－DC－CE向点E运动，设△APQ的面积为S，运动的时间为t秒，则S与t函数关系的大致图象为（）6．将抛物线y=（x﹣1）2+4先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标为（）A．（5，4）B．（1，4）C．（1，1）D．（5，1）7．已知抛物线过点A(2，0)，B(－1，0)，与y轴正半轴交于点C，且OC＝2，则这条抛物线的表达式为()A．y＝x2－x－2B．y＝－x2＋x＋2C．y＝x2＋x＋2D．y＝－x2－x－2 8．在抛物线y=-x2+1 上的一个点是( )．A．(1，0) B．(0，0) C．（0，-1) D．（1，I)9．抛物线23y x =向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ） A ． ()2312y x =-- B ． ()2312y x =+- C ． ()2312y x =++ D ． ()2312y x =-+10．=若函数y=x 2﹣2x+b 的图象与坐标轴有三个交点，则b 的取值范围是（ ） A ． b ＜1且b≠0 B ． b ＞1 C ． 0＜b ＜1 D ． b ＜111．如图，在平面直角坐标系中，抛物线可通过平移__ _得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分（如图所示）的面积是_________．12．若y=(m+1) 265m m x --是二次函数，则m 的值为 。

2019中考数学一轮复习教材同步复习函数第14讲二次函数的综合与应用5年真题精选

2019中考数学一轮复习教材同步复习函数第14讲二次函数的综合与应用5年真题精选

第一部分 第三章 第14讲命题点1 二次函数的实际应用1．(2016·云南22题9分)草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量y (千克)与销售单价x (元)符合一次函数关系，如图是y 与x 的函数关系图象．(1)求y 与x 的函数解析式(也称关系式)；(2)设该水果销售店试销草莓获得的利润为w 元，求w 的最大值． 解：(1)设y 与x 的函数关系式为y ＝kx ＋b ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧20k ＋b ＝300，30k ＋b ＝280，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝340.∴y 与x 的函数解析式为y ＝－2x ＋340(20≤x ≤40)．(2)由已知得w ＝(x －20)(－2x ＋340)＝－2x 2＋380x －6 800＝－2(x －95)2＋11 250. ∵－2<0，∴当x ≤95时，w 随x 的增大而增大． ∵20≤x ≤40，∴当x ＝40时，w 最大， 最大值为－2×(40－95)2＋11 250＝5 200元． 命题点2 二次函数与几何问题的综合探究2．(2018·昆明22题9分)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx 过点B (1，－3)，对称轴是直线x ＝2，且抛物线与x 轴的正半轴交于点A ．(1)求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当y ≤0时，自变量x 的取值范图； (2)在第二象限内的抛物线上有一点P ，当PA ⊥BA 时，求△PAB 的面积．解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝－3，－b2a＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4，∴抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ，令y ＝0，得x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝4， ∴点A 的坐标为(4,0)，根据图象可知当y ≤0时，自变量x 的取值范图是0≤x ≤4. (2)设直线AB 的解析式为y ＝mx ＋n ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝－3，4m ＋n ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－4，∴y ＝x －4，设直线AP 的解析式为y ＝kx ＋c . ∵PA ⊥BA ，∴k ＝－1，则有－4＋c ＝0，解得c ＝4，∴y ＝－x ＋4.∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－4x ，y ＝－x ＋4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝5，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝0，∴点P 的坐标为(－1,5)，在Rt △BAP 中，AB ＝9＋9＝32，AP ＝25＋25＝5 2.∴S △PAB ＝12AB ·AP ＝12×32×52＝15.3．(2016·昆明23题12分)如图1，对称轴为直线x ＝12的抛物线经过B (2,0)，C (0,4)两点，抛物线与x 轴的另一交点为A ．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP 的面积为S ，求S 的最大值； (3)如图2，若M 是线段BC 上一动点，在x 轴上是否存在这样的点Q ，使△MQC 为等腰三角形且△MQB 为直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由对称性得点A 的坐标为(－1,0)， 设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋1)(x －2)， 把C (0,4)代入得4＝－2a ，解得a ＝－2， ∴y ＝－2(x ＋1)(x －2)，∴抛物线的解析式为y ＝－2x 2＋2x ＋4.(2)如答图1，设点P (m ，－2m 2＋2m ＋4)，过P 作PD ⊥x 轴，垂足为D ，∴S 四边形COBP ＝S 梯形CODP ＋S △PDB ＝12 m (－2m 2＋2m ＋4＋4)＋12(－2m 2＋2m ＋4)(2－m )＝－2m 2＋4m ＋4＝－2(m －1)2＋6.∵－2<0，∴S 有最大值，S 最大＝6.(3)存在这样的点Q ，使△MQC 为等腰三角形且△MQB 为直角三角形． 分以下两种情况：①当∠BQM ＝90°时，如答图2， ∵∠CMQ >90°，∴只能CM ＝MQ . 设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)， 把B (2,0)，C (0,4)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝0，b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝4，∴直线BC 的解析式为y ＝－2x ＋4，设M (m ，－2m ＋4)，则MQ ＝－2m ＋4，OQ ＝m ，BQ ＝2－m ， 在Rt △OBC 中，BC ＝OB 2＋OC 2＝22＋42＝25， ∵MQ ∥OC, ∴△BMQ ∽△BCO ， ∴BM BC ＝BQBO， 即BM25＝2－m 2，∴BM ＝5(2－m )＝25－5m ，∴CM ＝BC －BM ＝25－(25－5m )＝5m . ∵CM ＝MQ ，∴－2m ＋4＝5m, m ＝45＋2＝45－8，∴Q (45－8,0)；图1 图2 图3答图②当∠QMB ＝90°时，如答图3，∵∠CMQ ＝90°， ∴只能CM ＝MQ ，同理可设M (m ，－2m ＋4)， 在Rt △COB 和Rt △QMB 中，tan ∠CBO ＝tan ∠MBQ ＝OC OB ＝42＝2.又∵tan ∠MBQ ＝MQ BM，由①知BM ＝25－5m ，MQ ＝CM ＝5m ，∴tan ∠MBQ ＝MQ BM ＝5m25－5m＝2，∴5m ＝45－25m ，∴m ＝43，∴M (43，43)．此时BM ＝25－5m ＝235，MQ ＝435，∴BQ ＝BM 2＋MQ 2＝1009＝103， ∴OQ ＝BQ －OB ＝103－2＝43，∴Q (－43，0)．综上所述，Q 点坐标为(45－8,0)或(－43，0)．4．(2016·曲靖23题12分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋2ax ＋c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C (0,3)，tan ∠OAC ＝34.(1)求抛物线的解析式；(2)点H 是线段AC 上任意一点，过H 作直线HN ⊥x 轴于点N ，交抛物线于点P ，求线段PH 的最大值；(3)点M 是抛物线上任意一点，连接CM ，以CM 为边作正方形CMEF ，是否存在点M 使点E 恰好落在对称轴上？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵C (0,3)，∴OC ＝3.∵tan ∠OAC ＝OC OA ＝34，∴OA ＝4,∴点A 的坐标为(－4,0)．把A (－4,0)，C (0,3)代入y ＝ax 2＋2ax ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧16a －8a ＋c ＝0，c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－38，c ＝3，∴抛物线的解析式为y ＝－38x 2－34x ＋3.(2)设AC 的解析式为y ＝kx ＋b ，把A (－4,0)，C (0,3)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧－4k ＋b ＝0，b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝34，b ＝3，∴AC 的解析式为y ＝34x ＋3.设点N 的坐标为(x,0)，则点H 的坐标为(x ，34x ＋3)，点P 的坐标为(x ，－38x 2－34x ＋3)，∴PH ＝－38x 2－34x ＋3－(34x ＋3)＝－38x 2－32x ＝－38(x ＋2)2＋32.∵－38<0, ∴PH 有最大值，∴PH 最大＝32.即线段PH 的最大值是32.(3)如答图，过点M 作MK ⊥y 轴于点K ，交对称轴于点G ，则∠MGE ＝∠MKC ＝90°，答图∴∠MEG ＋∠EMG ＝90°. ∵四边形CMEF 是正方形， ∴EM ＝MC ，∠EMC ＝90°， ∴∠EMG ＋∠CMK ＝90°，∴∠MEG ＝∠CMK ，∴△MKC ≌△EGM ，∴MG ＝CK .由抛物线知对称轴为直线x ＝－1，设M 点坐标为(x ，－38x 2－34x ＋3)，则G 点坐标为(－1，－38x 2－34x ＋3)，K 点坐标为(0，－38x 2－34x ＋3)，∴MG ＝|x ＋1|，CK ＝|－38x 2－34x ＋3－3|＝|－38x 2－34x |＝|38x 2＋34x |，∴|x ＋1|＝|38x 2＋34x |，∴38x 2＋34x ＝±(x ＋1)，∴38x 2＋34x ＝－x －1或38x 2＋34x ＝x ＋1. 解得x 1＝－4，x 2＝－23， x 3＝－43，x 4＝2.代入抛物线解析式得y 1＝0，y 2＝103，y 3＝103，y 4＝0.∴点M 的坐标是M 1(－4,0)，M 2(－23，103)，M 3(－43，103)，M 4(2,0)．5．(2015·昆明23题9分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋32x ＋c (a ≠0)与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的右侧)，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为(4,0)，抛物线的对称轴是直线x ＝32.(1)求抛物线的解析式；(2)M 为第一象限内的抛物线上的一个点，过点M 作MG ⊥x 轴于点G ，交AC 于点H ，当线段CM ＝CH 时，求点M 的坐标；(3)在(2)的条件下，将线段MG 绕点G 顺时针旋转一个角α(0°< α< 90°)，在旋转过程中，设线段MG 与抛物线交于点N ，在线段GA 上是否存在点P ，使得以P ，N ，G 为顶点的三角形与△ABC 相似？如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．解：(1)∵x ＝－b 2a ＝32，b ＝32，∴a ＝－12，把A (4,0)，a ＝－12代入y ＝ax 2＋32x ＋c ，可得(－12)× 42＋32× 4＋c ＝0，解得c ＝2，则抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋32x ＋2.(2)如答图1，连接CM ，过C 点作CE ⊥MH 于点E .答图1∵y ＝－12x 2＋32x ＋2，∴当x ＝0时，y ＝2，∴C 点的坐标是(0,2)，设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，把A (4,0)，C (0,2)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝0，b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12，b ＝2，∴直线AC 的解析式为y ＝－12x ＋2.∵点M 在抛物线上，点H 在AC 上，MG ⊥x 轴， ∴设点M 的坐标为(m ，－12m 2＋32m ＋2)，点H 的坐标为(m ，－12m ＋2)，∴MH ＝－12m 2＋32m ＋2－(－12m ＋2)＝－12m 2＋2m .∵CM ＝CH ，OC ＝GE ＝2，∴MH ＝2EH ＝2×[2－(－12m ＋2)]＝m .又∵MH ＝－12m 2＋2m ，∴－12m 2＋2m ＝m ，即m (m －2)＝0，解得m ＝2或m ＝0(不符合题意，舍去)，∴m ＝2， 当m ＝2时，y ＝－12× 22＋32× 2＋2＝3，∴点M 的坐标为(2,3)．(3)存在点P ，使得以P ，N ，G 为顶点的三角形与△ABC 相似，理由如下：∵抛物线与x 轴交于A ，B 两点，A (4,0)，A ，B 两点关于直线x ＝32对称，∴B (－1,0)．∵AC ＝42＋22＝25，BC ＝12＋22＝5，AB ＝5， ∴AC 2＋BC 2＝(25)2＋(5)2＝25，AB 2＝52＝25. ∵AC 2＋BC 2＝AB 2，∴△ABC 为直角三角形，∴∠ACB ＝90°.线段MG 绕G 点旋转过程中，与抛物线交于点N ，当NP ⊥x 轴时，∠NPG ＝90°，设P 点坐标为(n,0)，则N 点坐标为(n ，－12n 2＋32n ＋2)，如答图2，①当N 1P 1AC ＝P 1GCB时，答图2∵∠N 1P 1G ＝∠ACB ＝90°， ∴△N 1P 1G ∽△ACB ， ∴－12n 2＋32n ＋225＝n －25，解得n 1＝3，n 2＝－4(不符合题意，舍去)， ∴点P 1的坐标为(3,0)； ②当N 2P 2BC ＝P 2GCA时，∵∠N 2P 2G ＝∠BCA ＝90°， ∴△N 2P 2G ∽△BCA ，∴－12n 2＋32n ＋25＝n －225，解得n 1＝1＋7，n 2＝1－7(不符合题意，舍去)， ∴点P 2的坐标为(1＋7，0)．综上所述：存在点P ，使得以P ，N ，G 为顶点的三角形与△ABC 相似，点P 的坐标为(3,0)或(1＋7，0)．。

2019中考数学一轮系列复习二次函数基础训练A(含答案)

2019中考数学一轮系列复习二次函数基础训练A(含答案)

2019中考数学一轮系列复习二次函数基础训练A （含答案）1．将抛物线y=x 2先向下平移3个单位，再向左平移1个单位，则新的函数解析式为（ ）A ． y=（x+1）2+3B ． y=（x ﹣1）2+3C ． y=（x ﹣1）2﹣3D ． y=（x+1）2﹣3 2．若，则可取得的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．3．若关于x 的一元二次方程()()23x x m --=有实数根12x x ，，且12x x ≠，有下列结论：①122=3x x =，；②14m >-；③二次函数()()12y x x x x m =--+的图象与x 轴的交点坐标分别为（2，0）和（3，0）.其中正确的个数有（ ）A ． 0B ． 1C ． 2D ． 34．小明以二次函数y=2x 2－4x +8的图象为灵感为“2017北京·房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若AB=4，DE=3，则杯子的高CE 为（ ） A ． 14 B ． 11 C ． 6 D ． 35．若一次函数y =ax +b 的图象经过一、二、四象限，则函数y =ax 2+bx 的图象只可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图为二次函数的图象，则的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．7．如图，抛物线与轴交于点，对称轴为，则下列结论中正确的是（ ）A ．B ． 当时，随的增大而增大C ．D ．是一元二次方程的一个根8．已知二次函数y=x 2﹣2mx+m 2+3（m 是常数），把该函数的图象沿y 轴平移后，得到的函数图象与x 轴只有一个公共点，则应把该函数的图象（ ） A ． 向上平移3个单位 B ． 向下平移3个单位 C ． 向上平移1个单位 D ． 向下平移1个单位9．若抛物线y=x2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得到的新抛物线的解析式时（）A．y=（x+2）2+3 B．y=（x+2）2﹣3 C．y=（x﹣2）2+3 D．y=（x﹣2）2﹣3 10．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②当x≥1时，y随x的增大而减小；③2a+b=0；④b2﹣4ac>0；⑤，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．411．已知的对称轴方程为，并且其图象与轴交于点，则该函数解析式为________．12．函数y=x，y=x2和y= 的图象如图所示，若x2＞x＞，则x的取值范围是________．13．已知二次函数的图象经过点，且与轴交于点，若，则该二次函数解析式中，一次项系数为________，常数为_______．14．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=﹣1，有以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b=0；④a﹣b+c＞2．其中正确的结论的序号是______15．若y=（m+2）x+3x﹣2是二次函数，则m的值是_____．16．抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（2，0）两点，则=_____．17．形如：的函数叫二次函数，它的图象是一条抛物线．类比一元一次方程的解可以看成两条直线的交点的横坐标；则一元二次方程的解可以看成抛物线与直线（轴）的交点的横坐标；也可以看成是抛物线与直线________的交点的横坐标；也可以看成是抛物线________与直线的交点的横坐标；18．如图所示是二次函数图象的一部分，图象过点，二次函数图象对称轴为，给出四个结论：①；②；③；④，其中正确结论是________．（填写序号）19．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与抛物线y ＝2x 2形状相同，开口方向相反，顶点坐标为(3，－2)，则该抛物线的函数关系式为__________． 20．二次函数的图象与轴正方向交于，两点，与轴正方向交于点．已知，，则________．21．某企业为打入国际市场，决定从、两种产品中只选择一种进行投资生产．已知投资生产这两种产品的有关数据如下表：（单位：万美元）产品产品其中年固定成本与年生产的件数无关，为待定常数，其值由生产产品的原材料价格决定，预计．另外，年销售件产品时需上交万美元的特别关税．假设生产出来的产品都能在当年销售出去．写出该厂分别投资生产、两种产品的年利润，与生产相应产品的件数之间的函数关系并指明其自变量取值范围；如何投资才可获得最大年利润？请你做出规划．22．某商店购进一批单价为30元的日用商品，如果以单价40元销售，那么每星期可售出400件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．设销售单价为x （元）（x ＞40）时，该商品每星期获得的利润y （元）．（1）求出y 与x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围；（2）求出销售单价为多少元时，每星期获得的利润最大？最大利润是多少？23．如图，已知抛物线y=+bx+c 经过△ABC 的三个顶点，其中点A （0，1），点B （﹣9，10），AC ∥x 轴，点P 是直线AC 下方抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB，AC分别交于点E，F，当四边形AECP 的面积最大时，求点P的坐标．24．如图，已知点，，，抛物线与直线交于点．当抛物线经过点时，求它的表达式；设点的纵坐标为，求的最小值，此时抛物线上有两点，，且，比较与的大小；当抛物线与线段有公共点时，直接写出的取值范围．25．二次函数图象的顶点在原点O，且经过点A(1，)；点F(0，1)在y轴上．直线y=－1与y轴交于点H．(1)求二次函数的解析式；(2)点P是(1)中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y＝－1交于点M，求证：点M 到∠OFP两边距离相等.26．如图，在平面直角坐标系xOy中，以直线x=对称轴的抛物线y=ax2+bx+c与直线l：y=kx+m（k＞0）交于A（1，1），B两点，与y轴交于C（0，5），直线l与y轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设直线l与抛物线的对称轴的交点为F，G是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若，且△BCG与△BCD面积相等，求点G的坐标；（3）若在x轴上有且仅有一点P，使∠APB=90°，求k的值．27．如图，在△AOB中，∠O=90°，AO=18cm，BO=30cm，动点M从点A开始沿边AO以1cm/s的速度向终点O移动，动点N从点O开始沿边OB以2cm\s的速度向终点B移动，一个点到达终点时，另一个点也停止运动．如果M、N两点分别从A、O两点同时出发，设运动时间为ts时四边形ABNM的面积为Scm2．（1）求S关于t的函数关系式，并直接写出t的取值范围；（2）判断S有最大值还是有最小值，用配方法求出这个值．28．如图，已知抛物线y=- x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0）和B，与y轴交于点C（0，3）．(1)求此抛物线的解析式及点B的坐标；(2)设抛物线的顶点为D，连接CD、DB、CB、AC．①求证：△AOC∽△DCB；②在坐标轴上是否存在与原点O不重合的点P，使以P、A、C 为顶点的三角形与△DCB相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；参考答案1．D解:抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），向下平移3个单位，再向左平移1个单位后的图象的顶点坐标为（-1，-3），所以，所得图象的解析式为y=（x+1）2﹣3，故选D．2．D解：设x-1=2(y+1)=3（z+2）=k，则x2+y2+z2=(k+1) 2+(-1)2+(-2)2=k2-k+6=(k-)2+6-，当k=时，x2+y2+z2可取最小值6-=，故最小值为：.故选D．3．C分析：将已知的一元二次方程整理为一般形式，根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式≥0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可对选项②进行判断；再利用根与系数的关系求出两根之积为6-m，这只有在m=0时才能成立，故选项①错误；将选项③中的二次函数解析式整理后，利用根与系数关系得出的两根之和与两根之积代入，整理得到确定出二次函数解析式，令y=0，得到关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出二次函数图象与x轴的交点坐标，即可对选项③进行判断．解：一元二次方程（x-2）（x-3）=m化为一般形式得：x2-5x+6-m=0，∵方程有两个不相等的实数根x1、x2，∴b2-4ac=（-5）2-4（6-m）=4m+1＞0，解得：m＞-14，故选项②正确；∵一元二次方程实数根分别为x1、x2，∴x1+x2=5，x1x2=6-m，而选项①中x1=2，x2=3，只有在m=0时才能成立，故选项①错误；二次函数y=（x-x 1）（x-x 2）+m=x 2-（x 1+x 2）x+x 1x 2+m=x 2-5x+（6-m ）+m=x 2-5x+6=（x-2）（x-3）， 令y=0，可得（x-2）（x-3）=0， 解得：x=2或3，∴抛物线与x 轴的交点为（2，0）或（3，0），故选项③正确． 综上所述，正确的结论有2个：②③． 故选C ． 4．B解:∵()22248216y x x x =-+=-+，∴在坐标系中，该二次函数图象的顶点D 的坐标为（1，6），设此时点A 、B 的坐标分别为()()12x m x m ，、，，则由题意可知，AB=12x x -，而12x x 、是关于x 的一元二次方程2248x x m -+=的解， ∴1212822mx x x x -+=⋅=，，∴12x x -==又∵AB=12x x -=4，4=，解得： 14m =， ∴点A 、B 的纵坐标为14， ∴DC=14-6=8， 又∵DE=3， ∴CE=DC+DE=11. 故选B. 5．D分析:根据一次函数y=ax+b 的图象位置确定a 、b 的符号，根据a 、b 的符号确定二次函数y=ax 2+bx 图象的位置即可得．解:∵一次函数y=ax+b 的图象经过一、二、四象限， ∴a ＜0，b ＞0，∴二次函数y=ax 2+bx 的图象开口向下，对称轴x=->0，在y轴右边，∴函数y=ax2+bx的图象只可能是D，故选D．6．B解:由题意二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于两点为：（-3，0）、（1，0），∴由图象可知：当-3＜x＜1时，y＞0，因此ax2+bx+c＞0的解集为：-3＜x＜1，故选B．7．D解:A、根据图象，二次函数开口方向向下，∴a＜0，故本选项错误；B、当x＞1时，y随x的增大而减小，故本选项错误；C、根据图象，抛物线与y轴的交点在正半轴，∴c＞0，故本选项错误；D、∵抛物线与x轴的一个交点坐标是（−1，0），对称轴是x＝1，设另一交点为（x，0），−1＋x＝2×1，x＝3，∴另一交点坐标是（3，0），∴x＝3是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，故本选项正确．故选：D．8．B解:y=x2-2mx+m2+3=（x-m）2+3，把函数y=（x-m）2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到函数y=（x-m）2的图象，它的顶点坐标是（m，0），因此，这个函数的图象与x轴只有一个公共点，所以，把函数y=x2-2mx+m2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点．故选B．9．B解：∵抛物线y=x2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，∴新抛物线顶点坐标为（﹣2，﹣3），∴所得到的新的抛物线的解析式为y=（x+2）2﹣3．故选B．10．C分析: ①由抛物线的开口方向及与y轴交点的位置，即可得出a＞0、b<0、c＜0，进而可得出abc>0，结论①错误；②由抛物线的开口方向及对称轴，可得出当x≥1时，y随x的增大而增大，结论②错误；③由抛物线对称轴为直线x=1，即可得出b=-2a，进而可得出2a+b=0，结论③正确；④由a＞0、c＜0、b=-2a，可得出b2-3ac=4a2-3ac=a（4a-3c）＞0，结论④错误；⑤由当x=-2时，y＞0可得出4a-2b+c＞0，结论⑤正确．综上即可得出结论解:：①∵抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴，∴a＞0，b<0,c＜0，∴abc>0，结论①正确；②∵抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线x=1，∴当x≥1时，y随x的增大而增大，结论②错误；③∵抛物线对称轴为直线x=1，∴-=1，∴b=-2a，∴2a+b=0，结论③正确；④∵该抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，结论④正确；⑤∵当x=-2时，y＞0，∴4a-2b+c＞0，∴4a+c＞2b，∵b<0,∴结论⑤错误．故选：C．11．解:∵y=x2+ax+b的对称轴方程为x=-2，∴-=-2，解得a=4，又图象与y轴交于点（0，-12），∴b=-12，故答案是：y=x2+4x-12．12．x＞1或﹣1＜x＜0解:联立，解得，所以，交点为（1，1），所以，若x2＞x＞，则x的取值范围是x＞1或-1＜x＜0．故答案为：x＞1或-1＜x＜0．13．或或解：当x=2时，0=-4+2b+c；当B点坐标为(0，1)时，c=1，则解得b=；当B点坐标为(0，-1)时，c=-1，则解得b=.故一次项系数为或，常数为或．14．①②④解:①∵抛物线开口方向向下，∴a＜0.∵对称轴为直线∴b=2a＜0.∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0.∴abc＞0，故①正确；②∵抛物线与x轴有两个交点，∴△=b2-4ac＞0.即故②正确；③∵b=2a，∴2a-b=0.故③错误；④当时，根据图象得到：y＞2，即a-b+c＞2.故④正确；综上所述，正确的结论是①②④.故答案为：①②④.15．2解:由题意，得m2﹣2=2，且m+2≠0，解得m=2，故答案为2．16．1．解:∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（-3，0），B（2，0）两点，∴抛物线的对称轴为x=-，∴，故答案为1．17．解:依题意，一元二次方程x2+x-3=0可以看成是抛物线y=x2与直线y=-x+3的交点的横坐标；也可以看成是抛物线y=x2-3与直线y=-x的交点的横坐标．故本题答案为：-x+3，x2-3．18．解:①图象与x轴有两个交点，则方程有两个不相等的实数根，b2−4ac＞0，b2＞4ac，正确；②因为开口向下，故a＜0，有＞0，则b＞0，又c＞0，故bc＞0，错误；③由对称轴x＝＝1，得2a＋b＝0，正确；④当x＝1时，a＋b＋c＞0，错误；故①③正确．故答案为：①③19．y＝－2(x－3)2－2解:∵抛物线y＝ax2＋bx＋c与抛物线y＝2x2形状相同，开口方向相反，∴a=﹣2，又∵顶点坐标为(3，－2)，则该抛物线的函数关系式为y＝－2(x－3)2－2.故答案为y＝－2(x－3)2－2.20．解:如图，由题意知，点C的坐标为（0，c），OC=c．设A，B两点的坐标分别为（x1，0），（x2，0），则x1，x2是方程x2+bx+c=0的两根，由根与系数的关系得：x1+x2=﹣b，x1x2=c．又∠CAO=30°，则；于是，．由x1x2=9c2=c，得：或c=0(舍去)．故答案为：．21．，，，；当时，投资生产产品件可获得最大年利润；当时，生产产品与生产产品均可获得最大年利润；当时，投资生产产品件可获得最大年利润．解:由年销售量为件，按利润的计算公式，有生产、两产品的年利润，分别为：，，，；（2）∵，∴，∴，为增函数，又∵，∴当时，生产产品有最大利润为（万美元），又∵，，∴当时，生产产品有最大利润为（万美元），现在我们研究生产哪种产品年利润最大，为此，我们作差比较：∵生产产品最大利润为（万美元），生产产品最大利润为（万美元），∴，且，当时，，当时，，当时，，所以：当时，投资生产产品件可获得最大年利润；当时，生产产品与生产产品均可获得最大年利润；当时，投资生产产品件可获得最大年利润．22．（1）y=﹣20x2+1800x﹣36000，40＜x≤60；（2）销售单价为45元时，每星期获得的利润最大，最大利润是4500元．解:（1）根据题意，当销售单价定为x元时，每周销售量为：400﹣20（x﹣40），则该商品每星期获得的利润：y=（x﹣30）[400﹣20（x﹣40）]，即y =﹣20x2+1800x﹣36000，∵其每周销售量400﹣20（x﹣40）≥0且x＞40，∴40＜x≤60，∴y =﹣20x2+1800x﹣36000（40＜x≤60）；（2）由（1）知y=﹣20x2+1800x﹣36000，配方得：y=﹣20（x﹣45）2+4500，∵﹣20＜0，且40＜45＜60，∴当x=45时，y最大值=4500.答：销售单价为45元时，每星期获得的利润最大，最大利润是4500元．23．(1) y=x2+2x+1，(2) P（﹣，﹣）．分析：（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可；（2）设点表示出再用S四边=S△AEC+S△APC建立函数关系式，求出最大值即可.AECP解析：(1)∵点A(0,1).B(−9,10)在抛物线上，∴抛物线的解析式为(2)∵AC∥x轴,A(0,1)∴∴点C的坐标(−6,1)，∵点A(0,1).B(−9,10)，∴直线AB的解析式为y=−x+1，设点∴E(m,−m+1)∴∵AC⊥EP，AC=6，∴S四边AECP=S△AEC+S△APC∵−6<m<0∴当时,四边形AECP的面积的最大值是此时点24．；；或．解:∵抛物线经过点，∴，解得，，∴抛物线的表达式是：；当时，，∴当时，的最小值，此时抛物线的表达式是：，∴当时，随的增大而减小，∵，∴；的取值范围是或，理由：∵抛物线与线段有公共点，点，，∴或，解得，或．25．(1)y＝x2；(2)见解析.解:（1）解：设二次函数的解析式为y=ax2．将点A（1，）代入，得a=，所以二次函数的解析式为y=x2；（2）证明：设点P的坐标为（x，x2），过点P作PB⊥y轴于点B，则BF=| x2-1|，PB=x，∴Rt△BPF中，PF==.∵PM⊥直线y=-1，∴PM=x2+1，∴PF=PM，∴∠PFM=∠PMF，又∵PM∥y轴，∴∠MFH=∠PMF，∴∠PFM=∠MFH，∴FM平分∠OFP，∴点M到∠OFP两边距离相等.26．（1）y=x2﹣5x+5，（2）G（3，﹣1），G（，）．（3）﹣1+．解：（1）由题意可得，解得a=1，b=﹣5，c=5；∴二次函数的解析式为：y=x2﹣5x+5，（2）作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足分别为M，N，则，∵MQ=，∴NQ=2，B（，）；∴，解得，∴，D（0，），同理可求，，∵S△BCD=S△BCG，∴①DG∥BC（G在BC下方），，∴=x2﹣5x+5，解得，，x2=3，∵x＞，∴x=3，∴G（3，﹣1）．②G在BC上方时，直线G2G3与DG1关于BC对称，∴=，∴=x2﹣5x+5，解得，，∵x＞，∴x=，∴G（，），综上所述点G的坐标为G（3，﹣1），G（，）．（3）由题意可知：k+m=1，∴m=1﹣k，∴y l=kx+1﹣k，∴kx+1﹣k=x2﹣5x+5，解得，x1=1，x2=k+4，∴B（k+4，k2+3k+1），设AB中点为O′，∵P点有且只有一个，∴以AB为直径的圆与x轴只有一个交点，且P为切点，∴O′P⊥x轴，∴P为MN的中点，∴P（，0），∵△AMP∽△PNB，∴，∴AM•BN=PN•PM，∴1×（k2+3k+1）=（k+4﹣）（），∵k＞0，∴k==﹣1+．27．（1）S=t2﹣18t+270（0＜t≤15）；（2）S有最小值，这个值是189解:（1）由题意得，AM=t，ON=2t，则OM=OA-AM=18-t，四边形ABNM的面积S=△AOB的面积-△MON的面积=×18×30-×（18-t）×2t=t2-18t+270（0＜t≤15）；（2）S=t2-18t+270=t2-18t+81-81+270=（t-9）2+189，∵a=1＞0，∴S有最小值，这个值是189．28．（1）（3，0）；（2）①见解析，② P1（9，0）或P2（0，13 -）分析：（1）由C（0，3）得出抛物线解析式为y=－x2+bx+3，将点A的横纵坐标代入解析式求出b，令y=0，解出x即可得点B的坐标；（2）作DE⊥y轴交于点E，不难求出∠ACB=∠DCE=45°，则∠DCB=∠AOC=90°，由勾股定理求出CD、BC=的长度，不难发现CD OABC OC=，即可证明△AOC∽△DCB；②分情况讨论：1.以C为顶点的角是90°时；2.以A 为顶点的角是90°时，分别求出点P的坐标即可.解：（1）∵C（0，3），∴抛物线解析式为y=－x2+bx+3，∵A（－1，0），∴－1－b+3=0，解得b=2.∴抛物线的解析式为：y=－x2+2x+3，令y=0，则－x2+2x+3=0，解得：x1=－1，x2=3，∴点B的坐标是（3，0）；（2）①证明：作DE⊥y轴交于点E，可求得顶点D（1，4），OA=1，OC=OB=3，∴∠OCB=45°，DE=1，EO=4，∴EC=1，∴∠DCE=45°，故∠DCB=90°=∠AOC，由勾股定理求得：CD BC∴13CD OA BC OC===，∴△AOC∽△DCB．②存在符合条件的点P有两个：P1（9，0）或P2（0，13 -）.1.以C为顶点的角是90°时，∵∠ACO+∠CAO=90°，∠CPO+∠OCP=90°，∴∠CPO=∠ACO，∴∠CPO=∠DBC，∵∠DCB=∠ACP=90°，∴△PCA∽△BCD，∴∠DBC=∠APC，∴tan∠DBC=tan∠APC，即13=OCOP,∴OP=9，∴P（9，0）；2.以A为顶点的角是90°时，同理可证△AOP∽△BCD，∴∠DBC=∠PAO，∴tan∠DBC=tan∠PAO，即13=OPOA，∴OP=13，∴P（0，13 -）.综上可得：存在符合条件的点P有两个：P1（9，0）或P2（0，13 -）.。

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2019中考数学第一轮复习 二次函数及其应用专题训练
一、填空题：（每题 3 分，共 36 分）
１、抛物线 y ＝－x 2＋1 的开口向＿＿＿＿。

２、抛物线 y ＝2x 2 的对称轴是＿＿＿＿。

３、函数 y ＝2 (x －1)2 图象的顶点坐标为＿＿＿＿。

４、将抛物线 y ＝2x 2 向下平移 2 个单位，所得的抛物线的解析式为＿＿＿＿＿＿＿＿。

５、函数 y ＝x 2＋bx ＋3 的图象经过点(－1, 0)，则 b ＝＿＿＿＿。

６、二次函数 y ＝(x －1)2＋2，当 x ＝＿＿＿＿时，y 有最小值。

７、函数 y ＝1
2
(x －1)2＋3，当 x ＿＿＿＿时，函数值 y 随 x 的增大而增大。

８、将 y ＝x 2－2x ＋3 化成 y ＝a (x －h)2＋k 的形式，则 y ＝＿＿＿＿。

９、若点 A ( 2, m) 在函数 y ＝x 2－1 的图像上，则 A 点的坐标是＿＿＿＿。

10、抛物线 y ＝2x 2＋3x －4 与 y 轴的交点坐标是＿＿＿＿。

11、请写出一个二次函数以（2, 3）为顶点，且开口向上。

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

12、已知二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图所示：则这个二次函
数的解析式是 y ＝＿＿＿。

二、选择题：（每题 4 分，共 24 分）
１、在圆的面积公式 S ＝πr 2 中，s 与 r 的关系是（ ）
A 、一次函数关系
B 、正比例函数关系
C 、反比例函数关系 、二次函数关系２、已知函数 y ＝(m ＋2) 22
m x 是二次函数，则 m 等于（ ） A 、±2 B 、2 C 、－2 D 、±2
３、已知 y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图所示，则 a 、b 、c 满足（ ）
A 、a ＜0，b ＜0，c ＜0
B 、a ＞0，b ＜0，c ＞0
C 、a ＜0，b ＞0，c ＞0
D 、a ＜0，b ＜0，c ＞0
４、苹果熟了，从树上落下所经过的路程 s 与下落时间 t 满足 S ＝1
2
gt 2（g ＝9.8），则 s 与 t 的函数图像大致是（ ）
A B C D
５、抛物线 y ＝－x 2 不具有的性质是（ ）
A 、开口向下
B 、对称轴是 y 轴
C 、与 y 轴不相交
D 、最高点是原点 ６、抛物线 y ＝x 2－4x ＋c 的顶点在 x 轴，则 c 的值是（ ）
A 、0
B 、4
C 、－4
D 、2 三、解答题：（每题 9 分，共 45 分）
１、如图，矩形的长是 4cm ，宽是 3cm ，如果将长
s t O
s
t
O
s
t
O
s t O y
O 1 1 2 -1
y O
和宽都增加 x cm ，那么面积增加 ycm 2， ① 求 y 与 x 之间的函数关系式。

② 求当边长增加多少时，面积增加 8cm 2。

２、已知抛物线的顶点坐标是（－2，1），且过点（1，－2），求抛物线的解析式。

３、已知二次函数的图像经过（0，1），（2，1）和（3，4），求该二次函数的解析式。

４、用 6m 长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？
５、某农场种植一种蔬菜，销售员张平根据往年的销售情况，对今年种蔬菜的销售
价格进行了预测，预测情况如图，图中的抛物线表示这种蔬菜销售价与月份之间的关系。

观察图像，你能得到关于这种蔬菜销售情况的哪些信息？（至少写出四条）
四、（10分）校运会上，小明参加铅球比赛，若某次试掷，铅球飞行的高度 y
3.5
0.5
0 2 7 月份
千克销售价(元)
(m) 与水平距离x (m) 之间的函数关系式为y＝－1
12
x2＋
2
3
x＋
5
3
，求小明这次试掷的成
绩及铅球的出手时的高度。

五、（10分）某企业投资100万元引进一条农产品生产线，预计投产后每年可创收33万元，设生产线投产后，从第一年到第x 年维修、保养费累计
．．为y（万元），且y＝ax2＋bx，若第一年的维修、保养费为2 万元，第二年的为4 万元。

求：y 的解析式。

六、（12分）有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中。

①求这条抛物线所对应的函数关系式。

②如图，在对称轴右边1m 处，桥洞离水面的高是多少？
七、（13分）商场销售一批衬衫，每天可售出20 件，每件盈利40 元，为了扩大销售，减少库存，决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果一件衬衫每降价1 元，每天可多售出2 件。

①设每件降价x 元，每天盈利y 元，列出y 与x 之间的函数关系式；
②若商场每天要盈利1200 元，每件应降价多少元？
③每件降价多少元时，商场每天的盈利达到最大？盈利最大是多少元？
答案：
（八）
一、1、下2、y 轴3、(1, 0)4、y＝2x2－25、46、17、＞18、(x－1)2＋2
9、(2, 3)10、(0, －4)11、y＝(x－2)2＋312、(x－1)2－1
二、1、D2、B3、D4、B5、C6、B
三、1、①y＝(4＋x) (3＋x)－12＝7x＋x2②8＝7x＋x2x1＝1，x2＝－8
2、解：y＝a (x＋2)2＋1－2＝a (1＋2)2＋1a＝－1
3
∴y＝－
1
3
(x＋2)2＋1
3、解：设y＝ax2＋bx＋c，则：1＝c
1＝4a＋2b＋c
4＝9a＋3b＋c
，解得
a＝1
b＝－2
c＝1
∴y＝x2－2x＋1
4、解：设宽为x、m，则长为(3－3
2
x) m S＝3x－3
2
x2＝－3
2
(x2－2x) ＝－3
2
(x
－1)2＋3
2
当x＝1时，透光面积最大为
3
2
m2。

5、①2月份每千克3.5元②7月份每千克0.5克③7月份的售价最低④2～7
月份售价下跌
四、解：成绩10米，出手高度5
3米
五、①解：2＝a＋b
6＝4a＋2b
解得
a＝1
b＝1
∴y＝x2＋x
六、解：①设y＝a (x－5)2＋40＝a (－5)2＋4a＝－4
25
∴y＝－
4
25
(x－5)2＋4
②当x＝6时，y＝－4
25
＋4＝3.4(m)
七、解：①y＝(40－x) (20＋2x)＝－2x2＋60x＋800②1200＝－2x2＋60x＋800
x1＝20，x2＝10∵要扩大销售∴x取20元
③y＝－2 (x2－30x)＋800＝－2 (x－15)2＋1250∴当每件降价15元时，盈利最大为1250元。

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