2020版高考数学人教A(文)必刷单元检测(含2019最新模拟题,有解析)单元检测七

单元检测七 不等式、推理与证明(提升卷)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间100分钟，满分130分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a <b <0，则下列不等式一定不成立的是( ) A.1a <1b B.－a >－b C ．|a |>－b D.1a －b >1b答案 A解析 因为a <b <0，所以1a －1b ＝b －a ab >0，即1a >1b ，A 不成立；－a >－b >0，－a >－b ，B成立；－a ＝|a |>|b |＝－b ，C 成立；当a ＝－3，b ＝－1时，1a －b ＝－12，1b ＝－1，故1a －b >1b ，D 成立．2．不等式2x ＋13－x ≤0的解集为( )A.⎣⎡⎦⎤－12，3 B.⎣⎡⎭⎫－12，3 C.⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪(3，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[3，＋∞) 答案 C解析 不等式2x ＋13－x ≤0可化为⎩⎪⎨⎪⎧(2x ＋1)(3－x )≤0，3－x ≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧(2x ＋1)(x －3)≥0，3－x ≠0，解得x ≤－12或x >3，∴不等式2x ＋13－x ≤0的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪(3，＋∞)． 3．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人B ．由三角形的性质，推测空间四面体的性质C ．平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝⎛⎭⎫a n －1＋1a n －1，由此归纳出{a n }的通项公式 答案 C解析 因为演绎推理是由一般到特殊，所以选项C 符合要求，平行四边形对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分． 4．“1＋3x －1≥0”是“(x ＋2)(x －1)≥0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由1＋3x －1≥0，得x ＋2x －1≥0，等价于(x －1)(x ＋2)≥0，且x ≠1，解得x ≤－2或x >1.由(x ＋2)(x －1)≥0，得x ≤－2或x ≥1，所以“1＋3x －1≥0”能推出“(x ＋2)·(x －1)≥0”，“(x ＋2)(x －1)≥0”推不出“1＋3x －1≥0”，故“1＋3x －1≥0”是“(x ＋2)(x －1)≥0”的充分不必要条件，故选A.5．若3x ＋2y ＝2，则8x ＋4y 的最小值为( ) A ．4 B ．4 2 C ．2 D ．2 2 答案 A解析 因为3x ＋2y ＝2，所以8x ＋4y ＝23x ＋22y ≥223x ·22y ＝223x ＋2y＝4，当且仅当3x ＝2y ，即x ＝13，y ＝12时等号成立，故选A.6．(2018·山西省实验中学质检)已知a ，b 为正实数，且a ＋b ＋1a ＋1b ＝5，则a ＋b 的取值范围是( ) A ．[1,4] B ．[2，＋∞) C ．(2,4) D ．(4，＋∞)答案 A解析 ∵a ，b 为正实数，∴⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≥ab ，∴1ab ≥4(a ＋b )2. ∵a ＋b ＋1a ＋1b ＝5，∴(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1＋1ab ＝5≥(a ＋b )·⎣⎡⎦⎤1＋4(a ＋b )2，化为(a ＋b )2－5(a ＋b )＋4≤0，解得1≤a ＋b ≤4，当且仅当a ＝b 时等号成立，∴a ＋b 的取值范围是[1,4]，故选A. 7．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0(a >0，b >0)把圆C ：(x ＋4)2＋(y ＋1)2＝16分成面积相等的两部分，则12a ＋2b 的最小值为( ) A ．10 B ．8 C ．5 D ．4 答案 B解析 由题意知，已知圆的圆心C (－4，－1)在直线l 上，所以－4a －b ＋1＝0，所以4a ＋b ＝1.所以12a ＋2b ＝(4a ＋b )⎝⎛⎭⎫12a ＋2b ＝4＋b 2a ＋8ab ≥4＋2 b 2a ·8a b ＝8，当且仅当b 2a ＝8a b ，即a ＝18，b ＝12时，等号成立．所以12a ＋2b 的最小值为8.故选B. 8．在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0所表示的平面区域内随机地取一点M ，则点M 恰好落在第二象限的概率为( ) A.23 B.35 C.29 D.47 答案 C解析 如图，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0所表示的平面区域为一直角三角形，其面积为12×3×32＝94，其中在第二象限的区域为一直角三角形，其面积为12×1×1＝12.所以点M 恰好落在第二象限的概率为1294＝29，故选C.9．(2018·河南名校联盟联考)已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －y ≥－2，2y －x ≥1，则z ＝3y －x 的取值范围为( )A ．[1,2]B ．[2,5]C ．[2,6]D ．[1,6] 答案 D解析 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －y ≥－2，2y －x ≥1表示的平面区域，如图中阴影部分所示(△ABC 边界及其内部)．因为z ＝3y －x ，所以y ＝13x ＋13z .当直线y ＝13x ＋z3在y 轴上的截距有最小值时，z 有最小值；当在y 轴上的截距有最大值时，z 有最大值．由图可知，当直线y ＝13x ＋z3经过点A (－1,0)，在y 轴上的截距最小，z min ＝0－(－1)＝1；经过点C (0,2)时，在y 轴上的截距最大，z max ＝3×2－0＝6.所以z ＝3y －x 的取值范围为[1,6]，故选D.10．小王计划租用A ，B 两种型号的小车安排30名队友(大多有驾驶证，会开车)出去游玩，A 与B 两种型号的车辆每辆的载客量都是5人，租金分别为1 000元/辆和600元/辆，要求租车总数不超过12辆，不少于6辆，且A 型车至少有1辆，则租车所需的最少租金为( ) A ．1 000元 B ．2 000元 C ．3 000元 D ．4 000元答案 D解析 设分别租用A ，B 两种型号的小车x 辆、y 辆，所用的总租金为z 元，则z ＝1 000x ＋600y ，其中x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋5y ≥30，6≤x ＋y ≤12，x ≥1，(x ，y ∈N )，作出可行域，如图阴影部分(包括边界)所示．易知当直线y ＝－53x ＋z600过点D (1,5)时，z 取最小值，所以租车所需的最少租金为1×1 000＋5×600＝4 000(元)，故选D.11．(2018·云南曲靖一中月考)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，x ≥0，则x 2＋y 2的最小值为( )A ．4 B.165 C.689 D ．0答案 B解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，x ≥0所对应的平面区域为图中阴影部分所示(包括边界)．x 2＋y 2的几何意义为可行域内的点与原点距离的平方．由图可得x 2＋y 2的最小值为原点到直线x ＋2y －4＝0距离的平方，即(x 2＋y 2)min ＝⎝⎛⎭⎫452＝165. 12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x <0，若关于x 的不等式[f (x )]2＋af (x )<0恰有1个整数解，则实数a 的最大值是( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．8 答案 D解析 作出函数f (x )的图象，如图所示．关于x 的不等式[f (x )]2＋af (x )<0，当a >0时，－a <f (x )<0，由于关于x 的不等式[f (x )]2＋af (x )<0恰有1个整数解，因此其整数解为3.又f (3)＝－9＋6＝－3，所以－a <－3<0，－a ≥f (4)＝－8，则3<a ≤8，所以实数a 的最大值为8.第Ⅱ卷(非选择题 共70分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中至多包含2个整数，则实数a 的取值范围是____________． 答案 [－2,4]解析 关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0可化为(x －1)(x －a )<0.当a ＝1时，(x －1)2<0，无解，满足题意；当a >1时，不等式的解集为{x |1<x <a }；当a <1时，不等式的解集为{x |a <x <1}．要使得解集中至多包含2个整数，则a ≤4，且a ≥－2， 所以实数a 的取值范围是[－2,4]．14．已知x ≥32，则2x 2－2x ＋1x －1的最小值为__________．答案 22＋2解析 设t ＝x －1，则x ＝t ＋1⎝⎛⎭⎫t ≥12，所以2x 2－2x ＋1x －1＝2(t ＋1)2－2(t ＋1)＋1t ＝2t 2＋2t ＋1t ＝2t ＋1t ＋2≥22＋2，当且仅当t ＝22时等号成立，所以所求最小值为22＋2.15．某传媒大学的甲、乙、丙、丁四位同学分别从影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持四门课程中选修一门，且这四位同学选修的课程互不相同．下面是关于他们选课的一些信息：①甲同学和丙同学均不选播音主持，也不选广播电视；②乙同学不选广播电视，也不选公共演讲；③如果甲同学不选公共演讲，那么丁同学就不选广播电视．若这些信息都是正确的，依据以上信息可推断丙同学选修的课程是________．(填影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持) 答案 影视配音解析 由①知甲和丙均不选播音主持，也不选广播电视；由②知乙不选广播电视，也不选公共演讲；由③知如果甲不选公共演讲，那么丁就不选广播电视，综上得甲、乙、丙均不选广播电视，故丁选广播电视，从而甲选公共演讲，丙选影视配音，故答案为影视配音． 16．对于下列命题：①已知－1≤x ＋y ≤3,1≤x －y ≤5，则2x －y 的取值范围是[1,9]； ②已知a ，b 为非零实数，且a <b ，则a 2<b 2；③a ＝log 153，b ＝log 135，c ＝⎝⎛⎭⎫150.5的大小关系是a >b >c ；④若不等式2x －1>m (x 2－1)对满足|m |≤2的所有m 都成立，则x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫7－12，3＋12. 其中正确的命题为______________．(把你认为正确的都填上) 答案 ①④解析 对于①，∵－12≤12(x ＋y )≤32，32≤32(x －y )≤152，∴2x －y ∈[1,9]，所以①正确；对于②，当a ＝－5，b ＝3时，a 2>b 2，所以②错误；对于③，c ＝⎝⎛⎭⎫150.5>0，a ＝log 153＝－log 53<0，b ＝log 135＝－log 35<0，且log 53<log 35，所以c >a >b ，所以③错误；对于④，令f (m )＝m (x 2－1)－(2x －1)，则原问题等价于f (m )＝m (x 2－1)－(2x －1)<0对满足|m |≤2的所有m 恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧2(x 2－1)－(2x －1)<0，－2(x 2－1)－(2x －1)<0，解得7－12<x <3＋12，所以④正确． 三、解答题(本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)已知关于x 的不等式ax 2－3x ＋2>0的解集为{x |x <1或x >b }． (1)求a ，b 的值；(2)当c ∈R 时，解关于x 的不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0(用c 表示)． 解 (1)由已知得1，b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1，a >0，所以⎩⎨⎧1＋b ＝3a ，1×b ＝2a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.(2)由(1)得原不等式可化为x 2－(2＋c )x ＋2c <0， 即(x －2)(x －c )<0，所以当c >2时，所求不等式的解集为{x |2<x <c }， 当c <2时，所求不等式的解集为{x |c <x <2}， 当c ＝2时，所求不等式的解集为∅. 18．(12分)已知函数f (x )＝(3x －1)a －2x ＋b . (1)若f ⎝⎛⎭⎫23＝203，且a >0，b >0，求ab 的最大值；(2)当x ∈[0,1]时，f (x )≤1恒成立，且2a ＋3b ≥3，求z ＝a ＋b ＋2a ＋1的取值范围．解 (1)因为f (x )＝(3a －2)x ＋b －a ，f ⎝⎛⎭⎫23＝203， 所以a ＋b －43＝203，即a ＋b ＝8.因为a >0，b >0，所以a ＋b ≥2ab ，即4≥ab ，所以ab ≤16， 当且仅当a ＝b ＝4时等号成立， 所以ab 的最大值为16.(2)因为当x ∈[0,1]时，f (x )≤1恒成立，且2a ＋3b ≥3，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (0)≤1，f (1)≤1，且2a ＋3b ≥3，即⎩⎪⎨⎪⎧b －a ≤1，b ＋2a ≤3，2a ＋3b ≥3，作出此不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示(含边界)．由图可得经过可行域内的点(a ，b )与点(－1，－1)的直线的斜率的取值范围是⎣⎡⎦⎤25，2， 所以z ＝a ＋b ＋2a ＋1＝b ＋1a ＋1＋1的取值范围是⎣⎡⎦⎤75，3. 19．(13分)2019年某企业计划引进新能源汽车生产设备，已知该设备全年需投入固定成本2 500万元，每生产x 百辆新能源汽车，需另投入成本C (x )万元，且C (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x 2＋100x ，0<x <40，501x ＋10 000x －4 500，x ≥40.由市场调研知，若每辆新能源汽车售价5万元，则全年内生产的新能源汽车当年能全部售完．(1)求该企业2019年的利润L (x )万元关于年产量x (单位：百辆)的函数解析式(利润＝销售额－成本)；(2)2019年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．解 (1)当0<x <40时，L (x )＝5×100x －10x 2－100x －2 500＝－10x 2＋400x －2 500； 当x ≥40时，L (x )＝5×100x －501x －10 000x ＋4 500－2 500＝2 000－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x . 所以L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－10x 2＋400x －2 500，0<x <40，2 000－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ，x ≥40. (2)当0<x <40时，L (x )＝－10(x －20)2＋1 500， 所以当0<x <40时，L (x )max ＝L (20)＝1 500； 当x ≥40时，L (x )＝2 000－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ≤2 000－2 x ·10 000x＝2 000－200＝1 800，当且仅当x ＝10 000x ，即x ＝100时取等号，所以L (x )max ＝L (100)＝1 800.因为1 800>1 500，所以当x ＝100，即2019年年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，且最大利润为1 800万元．20．(13分)已知函数f (x )＝ax ＋bx 2＋1的图象在点(－1，f (－1))处的切线方程为x ＋y ＋3＝0.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设g (x )＝ln x ，求证：g (x )≥f (x )在x ∈[1，＋∞)上恒成立； (3)已知0<m <n ，求证：ln n －ln m n －m >2mm 2＋n 2.(1)解 将x ＝－1代入切线方程x ＋y ＋3＝0， 得y ＝－2，所以f (－1)＝b －a1＋1＝－2，化简得b －a ＝－4.又f ′(x )＝a (x 2＋1)－(ax ＋b )·2x(1＋x 2)2， f ′(－1)＝2a ＋2(b －a )4＝2b 4＝b2＝－1，故b ＝－2，a ＝2，所以f (x )＝2x －2x 2＋1. (2)证明 由已知及(1)得所证即ln x ≥2x －2x 2＋1在x ∈[1，＋∞)上恒成立，化简得(x 2＋1)ln x ≥2x－2，即证x 2ln x ＋ln x －2x ＋2≥0在x ∈[1，＋∞)上恒成立． 设h (x )＝x 2ln x ＋ln x －2x ＋2， 则h ′(x )＝2x ln x ＋x ＋1x－2，因为x ≥1，所以2x ln x ≥0，x ＋1x ≥2，即h ′(x )≥0，所以h (x )在[1，＋∞)上单调递增，则h (x )≥h (1)＝0， 所以g (x )≥f (x )在x ∈[1，＋∞)上恒成立． (3)证明 因为0<m <n ，所以nm>1，由(2)知ln nm >2n m －2⎝⎛⎭⎫n m 2＋1，整理得ln n －ln m n －m >2m m 2＋n2，所以当0<m <n 时，ln n －ln m n －m >2mm 2＋n 2.。