【精品】2016-2017年四川省成都市温江区高一(上)期末数学试卷带解析

2016-2017学年四川省成都市温江区高一（上）期末数学试卷一、选择题1．（5.00分）设集合A={1，2，3}，B={2，3}，则A∪B=（）A．{2}B．{3}C．{2}D．{1，2，3}2．（5.00分）若sinθ•cosθ＞0，则θ为（）A．第一或第三象限角B．第二或第三象限角C．第一或第四象限角D．第三或第四象限角3．（5.00分）已知f（x）=，则f（5）的值为（）A．2 B．8 C．9 D．114．（5.00分）已知向量=（1，﹣2），=（m，4），且∥，那么2﹣等于（）A．（4，0） B．（0，4） C．（4，﹣8）D．（﹣4，8）5．（5.00分）用二分法求函数f（x）=2x﹣3的零点时，初始区间可选为（）A．（﹣1，0）B．（0，1） C．（2，3） D．（1，2）6．（5.00分）已知函数f（x）的定义域是[﹣1，2]，则y=f（x）+f（﹣x）的定义域是（）A．[﹣1，1]B．[﹣2，2]C．[﹣1，2]D．[﹣2，1]7．（5.00分）在四个函数y=sin|2x|，y=|sinx|，y=sin（2x+），y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数个数为（）A．1 B．2 C．3 D．48．（5.00分）设a=log6，b=（）0.8，c=lnπ，下列结论正确的是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜a＜c9．（5.00分）函数y=lg（|x|+1）的图象大致是（）A．B．C．D．10．（5.00分）若函数f（x）=5cos（ωx+φ）对任意x都有f（+x）=f（﹣x），则f （）的值为（ ） A ．0B ．5C ．﹣5D ．±511．（5.00分）已知f （x ）=x 4，g （x ）=（）x ﹣λ，若对任意的x 1∈[﹣1，2]，存在x 2∈[﹣1，2]，使f （x 1）≥g （x 2）成立，则实数λ的取值范围是（ ）A ．λ≥B ．λ≥2C ．λ≥﹣D ．λ≥﹣1312．（5.00分）下列有关向量的说法： ①若||=||，则=；②若∥，则在上的投影为||；③若向量=（λ，2λ）与=（3λ，2）的夹角为锐角，则λ＜﹣或λ＞0；④若O 为△ABC 内一点，且+2+3=，则S △AOB ：S △AOC ：S △BOC =3：2：1．其中，错误命题的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4二、填空题13．（5.00分）（﹣8）+π0+lg4+lg25= ．14．（5.00分）设向量=（λ，﹣2），=（λ﹣1，1），若⊥，则λ= ． 15．（5.00分）将函数y=3sin （2x +）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数的单调递减区间是 ．16．（5.00分）已知函数f （x ）对任意x ∈R 都有f （x +4）+f （x ）+f （4）=0，函数f （x +3）的图象关于点（﹣3，0）对称，则f （2016）= ．三、解答题17．（10.00分）已知=﹣1，求下列各式的值．（Ⅰ）l ；（Ⅱ）．18．（12.00分）已知全集为实数集R，集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x＞2}，C={x|1＜x＜a}．（Ⅰ）分别求A∪B，（∁R B）∩A；（Ⅱ）如果C⊆A，求a的取值范围．19．（12.00分）已知，是两个单位向量．（Ⅰ）若|﹣2|=2，试求|﹣|的值；（Ⅱ）若，的夹角为60°，试求向量=+与=﹣3的夹角的余弦值．20．（12.00分）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在某一周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣，0]上的最大值和最小值．21．（12.00分）为了保护环境发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为f（x）=且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为300元，若该项目不获利，国家将给予补偿．（Ⅰ）当x∈[150，300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？（Ⅱ）该项目每月处理量为多少吨时？才能使每吨的平均处理成本最低？22．（12.00分）已知函数f（x）=log a（a x+1）+bx（a＞0且a≠1，b∈R）的图象关于y轴对称，且满足f（0）=1．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）﹣x+c在[0，1]上存在零点，求实数c的取值范围；（Ⅲ）若函数φ（x）=2f（2x）+x+λ×2x﹣1（x∈﹣1，2]），是否存在实数λ使得φ（x）的最小值为﹣1，若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．2016-2017学年四川省成都市温江区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．（5.00分）设集合A={1，2，3}，B={2，3}，则A∪B=（）A．{2}B．{3}C．{2}D．{1，2，3}【解答】解：∵A={1，2，3}，B={2，3}，∴A∪B={1，2，3}，故选：D．2．（5.00分）若sinθ•cosθ＞0，则θ为（）A．第一或第三象限角B．第二或第三象限角C．第一或第四象限角D．第三或第四象限角【解答】解：∵sinθ•cosθ＞0⇔＞0⇔tanθ＞0∴θ为第一或第三象限角故选：A．3．（5.00分）已知f（x）=，则f（5）的值为（）A．2 B．8 C．9 D．11【解答】解：f（x）=，则f（5）=f（5+6）=f（11）=11﹣3=8．故选：B．4．（5.00分）已知向量=（1，﹣2），=（m，4），且∥，那么2﹣等于（）A．（4，0） B．（0，4） C．（4，﹣8）D．（﹣4，8）【解答】解：由向量=（1，﹣2），=（m，4），且∥，所以，1×4﹣m×（﹣2）=0，所以m=﹣2．则，所以．故选：C．5．（5.00分）用二分法求函数f（x）=2x﹣3的零点时，初始区间可选为（）A．（﹣1，0）B．（0，1） C．（2，3） D．（1，2）【解答】解：函数f（x）=2x﹣3在区间（1，2）上连续且单调递增，f（1）=﹣1＜0，f（2）=1＞0，f（1）f（2）＜0，故用二分法求函数f（x）=2x﹣3的零点时，初始的区间大致可选在（1，2）上．故选：D．6．（5.00分）已知函数f（x）的定义域是[﹣1，2]，则y=f（x）+f（﹣x）的定义域是（）A．[﹣1，1]B．[﹣2，2]C．[﹣1，2]D．[﹣2，1]【解答】解：∵函数f（x）的定义域是[﹣1，2]，∴由﹣1≤﹣x≤2，解得﹣2≤x≤1．取交集得，﹣1≤x≤1．∴y=f（x）+f（﹣x）的定义域是[﹣1，1]．故选：A．7．（5.00分）在四个函数y=sin|2x|，y=|sinx|，y=sin（2x+），y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：函数y=sin|2x|不是周期函数，不满足条件；令y=f（x）=|sinx|，则f（x+π）=|sin（x+π）|=|﹣sinx|=|sinx|=f（x），∴函数y=|sinx|是最小正周期为π的函数，满足条件；又函数y=sin（2x+）的最小正周期为T==π，满足条件；函数y=tan（2x﹣）的最小正周期为T=，不满足条件．综上，以上4个函数中，最小正周期为π有2个．故选：B．8．（5.00分）设a=log6，b=（）0.8，c=lnπ，下列结论正确的是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜a＜c【解答】解：∵a=log6＜0，b=（）0.8∈（0，1），c=lnπ＞1，∴c＞b＞a，故选：A．9．（5.00分）函数y=lg（|x|+1）的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：函数y=lg（|x|+1）是偶函数，当x≥0时，函数y=lg（x+1），看作是y=lgx向左平移1单位得到的，所以函数的图象为：B．故选：B．10．（5.00分）若函数f（x）=5cos（ωx+φ）对任意x都有f（+x）=f（﹣x），则f（）的值为（）A．0 B．5 C．﹣5 D．±5【解答】解：由f（+x）=f（﹣x）可知函数f（x）关于x=对称，而由三角函数的对称性的性质可知，在对称轴处取得函数的最值，可得：f（）=±5．故选：D．11．（5.00分）已知f（x）=x4，g（x）=（）x﹣λ，若对任意的x1∈[﹣1，2]，存在x2∈[﹣1，2]，使f（x1）≥g（x2）成立，则实数λ的取值范围是（）A．λ≥B．λ≥2 C．λ≥﹣D．λ≥﹣13【解答】解：∵x 1∈[﹣1，2]，∴0≤f （x 1）≤16， ∵x 2∈[﹣1，2]，∴﹣λ≤g （x 2）≤3﹣λ，若对任意x 1∈[﹣1，2]，总存在x 2∈[﹣1，2]，使f （x 1）≥g （x 2）成立， 则f （x ）min ≥g （x ）min 即可， 即0≥﹣λ， 解得λ≥， 故选：A ．12．（5.00分）下列有关向量的说法： ①若||=||，则=；②若∥，则在上的投影为||；③若向量=（λ，2λ）与=（3λ，2）的夹角为锐角，则λ＜﹣或λ＞0；④若O 为△ABC 内一点，且+2+3=，则S △AOB ：S △AOC ：S △BOC =3：2：1．其中，错误命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：①，若||=||，但与的方向不同，则≠，故①错误； ②，若∥，则在上的投影为±||，故②错误； ③，若向量=（λ，2λ）与=（3λ，2）的夹角为锐角，则，且与不共线，∴，解得λ∈（﹣∞，﹣）∪（0，）∪（，+∞），故③错误；④，若O 为△ABC 内一点，且+2+3=，则S △AOB ：S △AOC ：S △BOC =3：2：1，正确．事实上，如图所示，延长OB 到点E ，使得，分别以为邻边作平行四边形OAFE ．则=，∵+2+3=，∴﹣=3．又=2，可得．于是，=2S△AOB．∴S△ABC=3S△AOC，S△ABC=6S△BOC．同理可得：S△ABC∴AOB，△AOC，△BOC的面积比=3：2：1．∴错误的命题是3个．故选：C．二、填空题13．（5.00分）（﹣8）+π0+lg4+lg25=1．【解答】解：原式=+1+lg（4×25）=﹣2+1+lg102=1．故答案为：1．14．（5.00分）设向量=（λ，﹣2），=（λ﹣1，1），若⊥，则λ=﹣1或2．【解答】解：∵向量=（λ，﹣2），=（λ﹣1，1），⊥，∴=λ（λ﹣1）﹣2=0，解得λ=﹣1或λ=2．故答案为：﹣1或2．15．（5.00分）将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数的单调递减区间是[kπ+，kπ+]，k∈Z．【解答】解：将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，得到y=3sin （2x﹣+）=3sin2x的图象，令2kπ+≤2x≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，可得所得图象对应的函数的单调递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z，故答案为：[kπ+，kπ+]，k∈Z．16．（5.00分）已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+4）+f（x）+f（4）=0，函数f（x+3）的图象关于点（﹣3，0）对称，则f（2016）=0．【解答】解：因为函数f（x+3）的图象关于点（﹣3，0）对称，所以函数f（x）的图象关于点（0，0）对称，即为奇函数；令x=﹣2得，f（﹣2+4）+f（﹣2）=﹣f（4），即f（2）﹣f（2）=﹣f（4），解得f（4）=0．所以f（x+4）+f（x）=0，即f（x+4）=﹣f（x）=f（﹣x），所以f（x+8）=f（x），即函数的周期是8．所以f（2016）=f（8×252）=f（0）=0；故答案为：0．三、解答题17．（10.00分）已知=﹣1，求下列各式的值．（Ⅰ）l；（Ⅱ）．【解答】解：由=﹣1，可得：tanα=，（Ⅰ）===﹣1；（Ⅱ）==﹣tanα=﹣．18．（12.00分）已知全集为实数集R，集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x＞2}，C={x|1＜x＜a}．（Ⅰ）分别求A∪B，（∁R B）∩A；（Ⅱ）如果C⊆A，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x＞2}，∴A∪B={x|2＜x≤3}，∁R B={x|x≤2}，（∁R B）∩A={x|1≤x≤2}；（Ⅱ）集合C={x|1＜x＜a}，且C⊆A，∴a≤3，∴a的取值范围是a≤3．19．（12.00分）已知，是两个单位向量．（Ⅰ）若|﹣2|=2，试求|﹣|的值；（Ⅱ）若，的夹角为60°，试求向量=+与=﹣3的夹角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ），是两个单位向量，当|﹣2|=2时，=﹣4•+4=1﹣4•+4=4，∴•=，∴=﹣2•+=1﹣2×+1=，∴|﹣|==；（Ⅱ）若，的夹角为60°，则•=1×1×cos60°=，又向量=+，=﹣3，∴•=﹣2•﹣3=1﹣2×﹣3×1=﹣3，||===，||===，∴、的夹角θ的余弦值为cosθ===﹣．20．（12.00分）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在某一周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣，0]上的最大值和最小值．【解答】（本题满分为12分）解（Ⅰ）根据表中已知数据可得：A=，ω+φ=，ω+φ=，解得ω=2，φ=﹣．数据补全如下表：﹣且函数表达式为f（x）=sin（2x﹣）．（Ⅱ）∵x∈[﹣，0]时，∴2x﹣∈[﹣，﹣]，当2x﹣=﹣，即x=﹣时，sin（2x﹣）=﹣1，∴f（x）取得最小值﹣；当2x﹣=﹣，即x=﹣时，sin（2x﹣）=sin（﹣）=，∴f（x）取得最大值×=；∴函数f（x）在区间[﹣，0]上的最大值是，最小值是﹣．21．（12.00分）为了保护环境发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为f（x）=且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为300元，若该项目不获利，国家将给予补偿．（Ⅰ）当x∈[150，300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？（Ⅱ）该项目每月处理量为多少吨时？才能使每吨的平均处理成本最低？【解答】解：（I）当x∈[150，300]时，设该项目获利为S，则S=200x﹣（x2﹣200x+80000）=﹣x2+400x﹣80000=﹣（x﹣400）2；当x∈[150，300]时，S＜0，此时该项目不会获利；当x=300时，S取得最大值﹣5000，所以，国家每月至少补贴5000元才能使该项目不亏损．（II）由题意知，①当x∈[120，144]时，=x2﹣80x+5140=（x﹣120）2+340，∴当x=120时，取得最小值340；②当x∈[144，500]时，=x+﹣200≥2﹣200=200，当且仅当x=，即x=400时，取得最小值200；∵200＜240，∴当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．22．（12.00分）已知函数f（x）=log a（a x+1）+bx（a＞0且a≠1，b∈R）的图象关于y轴对称，且满足f（0）=1．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）﹣x+c在[0，1]上存在零点，求实数c的取值范围；（Ⅲ）若函数φ（x）=2f（2x）+x+λ×2x﹣1（x∈﹣1，2]），是否存在实数λ使得φ（x）的最小值为﹣1，若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=log a（a x+1）+bx（a＞0且a≠1，b∈R）满足f （0）=1，∴a=2函数f（x）=log2（2x+1）+bx的图象关于y轴对称⇒log2（2x+1）+bx=log2（2﹣x+1）﹣bx⇒2bx=bx=log2（2﹣x+1）﹣log2（2x+1）=log22﹣x=﹣x，∴b=﹣综上a=2，b=﹣．（Ⅱ）函数g（x）=f（x）﹣x+c在[0，1]上存在零点⇔方程log2（2x+1）﹣x+c=0在[0，1]上有解，即方程log2（2x+1）﹣x=﹣c在[0，1]上有解，令g（x）=log2（2x+1）﹣x=log2=log2（1+），∴﹣1≤c≤﹣log2⇒实数c的取值范围为[﹣1，﹣log2]（Ⅲ）函数φ（x）=2f（2x）+x+λ×2x﹣1=4x+1+λ•2x﹣1=4x+λ•2x令t=2x，h（t）=t2+λt，t∈[，4]故当﹣≤，即λ≥﹣1时，当t=，函数的最小值，⇒λ=﹣（舍去）；当，t=﹣时，函数最小值为；当，当t=4时，函数最小值为12+4λ=﹣1，解得（舍去）综上：存在实数λ=﹣2使得φ（x）的最小值为﹣1．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。