江苏省南京市苏教版高一数学下期末复习系列(五)必修四汇编

高一下期末复习系列（五）必修四部分一．填空题1..函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，单调递减区间是 ．2．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＋cos α＝－15，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________. 3．已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π6，若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－5π6＝513，则sin(α－β)的值为________．4.将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图像，若对满足12()()2f x g x -=的1x ，2x ，有12min 3x x π-=，则ϕ=5．已知cos 4α－sin 4α＝23，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝________.6．有下列命题：①已知a ，b 是平面内两个非零向量，则平面内任一向量c 都可表示为λa ＋μb ，其中λ，μ∈R ；②对平面内任意四边形ABCD ，点E ，F 分别为AB ，CD 的中点，则2EF →＝AD →＋BC→； ③a ＝(1，－1)，A ，B 为直线x －y －2＝0上的任意两点，则AB →∥a ；④已知a 与b 夹角为π6，且a·b ＝3，则|a －b|的最小值为3－1； ⑤a ∥c 是(a·b)·c ＝a·(b·c)的充分条件 .其中正确的是________(写出所有正确命题的编号)．7.已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则|2a －b|的最大值与最小值的和为________．8.设O 是△ABC 的外心(三角形外接圆的圆心)．若AO→＝13AB →＋13AC →，则∠BAC的度数等于________．9.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF→的值是________．10．已知|OA→|＝1，|OB →|＝2，∠AOB ＝2π3，OC →＝12OA →＋14OB →，则OA →与OC →的夹角大小为________．11.如图，在△ABC 中，BO 为边AC 上的中线，BG →＝2GO →，若CD →∥AG →，且AD →＝15AB →＋λAC →(λ∈R)，则λ的值为________．12.在Rt △ABC 中，CA ＝CB ＝2，M ，N 是斜边AB 上的两个动点，且MN ＝2，则CM →·CN →的取值范围为________．13.在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠= ,动点E 和F分别在线段BC 和DC 上,且,1,,9BE BC DF DC λλ== 则AE AF ⋅的最小值为 .14.若tan 2tan5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=-_________15.已知1,,AB AC AB AC t t⊥== ，若P 点是ABC ∆ 所在平面内一点，且4AB AC AP ABAC=+ ，则PB PC ⋅ 的最大值等于_____________二．解答题16.已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，R x ∈(I)求()f x 最小正周期； (II)求()f x 在区间[,]34p p-上的最大值和最小值.17.某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+π2π3π22πxπ35π6 sin()A x ωϕ+55-（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数()f x 的解析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象. 若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值.18.在平面直角坐标系xoy 中，已知向量22,22m ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()sin ,cos n x x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． （1）若m n ⊥，求tan x 的值； （2）若m 与n 的夹角为3π，求x 的值．19.已知向量OA →＝(λcos α，λsin α)(λ≠0)，OB →＝(－sin β，cos β)，其中O 为坐标原点．(1)若β＝α－π6，求向量OA→与OB →的夹角；(2)若|AB →|≥2|OB →|对任意实数α，β恒成立，求实数λ的取值范围．20..已知函数f()x 的图像是由函数()cos g x x =的图像经如下变换得到：先将()g x 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移2p个单位长度. (Ⅰ)求函数f()x 的解析式，并求其图像的对称轴方程；(Ⅱ)已知关于x 的方程f()g()x x m +=在[0,2)p 内有两个不同的解,a b ． （1)求实数m 的取值范围；（2)证明：22cos ) 1.5m a b -=-(答案一、填空题1.【答案】π，]87,83[ππππk k ++，Z k ∈. 【解析】1cos 2sin 223()1sin(2)22242x x f x x π-=++=-+，故最小正周期为π，单调递减区间为]87,83[ππππk k ++，Z k ∈.2.解析 由sin α＋cos α＝－15两边平方得1＋2sin αcos α＝125，∴2sin αcos α＝－2425，∵π2＜α＜π，此时sin α＞0，cos α＜0，sin α－cos α＝－2＝1－2sin αcos α ＝1＋2425＝75，联立得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝－15，sin α－cos α＝75，解得sin α＝35，cos α＝－45，∴tan α＝sin αcos α＝－34，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝1－341＋34＝17.3.解析 由题意可得α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β－5π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－5π6＝－1213，所以sin(α－β)＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－5π6 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤45×513－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＝1665. 答案 16654.【解析】向右平移ϕ个单位后，得到)22sin()(ϕ-=x x g ，又∵2|)()(|21=-x g x f ，∴不妨ππk x 2221+=，ππϕm x 22222+-=-，∴πϕπ)(221m k x x -+-=-，又∵12min 3x x π-=，∴632πϕπϕπ=⇒=-5.解析 ∵cos 4α－sin 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝23，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2α∈(0，π)，∴sin 2α＝1－cos 22α＝53，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝12cos 2α－32sin 2α＝12×23－32×53＝2－156. 答案2－1566.解析 对于①，注意到当a ，b 共线时，结论不正确；对于②，注意到EF→＝EA →＋AD→＋DF →，EF →＝EB →＋BC →＋CF →，EA →＋EB →＝CF →＋DF →＝0，因此2EF →＝AD →＋BC →，②正确；对于③，取点A(0，－2)，B(2,0)，则AB→＝(2,2)，此时AB →＝(2,2)与a 不共线，因此③不正确；对于④，依题意得|a|·|b|cos π6＝3，|a|·|b|＝2，|a －b|2＝|a|2＋|b|2－23≥2|a|·|b|－23＝4－23，因此|a －b|的最小值是4－23＝3－1，④正确；对于⑤，注意到，当a ∥c 时，若a ，c 中有一个为0，等式显然成立，若a ，c 均不为0，可设c ＝ka ，则有(a·b)·c ＝(a·b)·ka ＝a·(b·ka)＝a·(b·c)，即由a ∥c 可得(a·b)·c ＝a·(b·c)；反过来，由(a·b)·c ＝a·(b·c)不能得知a ∥c ，因此“a ∥c”是“(a·b)·c ＝a·(b·c)”的充分不必要条件，⑤正确．综上所述，其中正确的是②④⑤.答案 ②④⑤7.解析 由题意可得a·b ＝3cos θ－sin θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6，则|2a －b|＝－2＝4|a|2＋|b|2－4a·b ＝8－8cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6∈[0,4]，所以|2a －b|的最大值与最小值的和为4.答案 48.解析 取BC 的中点D ，连接AD ，则AB→＋AC →＝2 AD →.由题意得3AO →＝2AD →，∴AD 为BC 的中线且O 为重心．又O 为外心，∴△ABC 为正三角形，∴∠BAC ＝60°.答案 60°9.解析 依题意得AE →·BF →＝(AB →＋BE →)·(AF →－AB →)＝AB →·AF →－AB →2＋BE →·AF →－BE →·AB →＝2－2＋1×2－0＝ 2. 答案 210.解析 以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，与OA 垂直的直线为y 轴建立平面直角坐标系．则A(1,0)，B(－1，3)，OC →＝12OA →＋14OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34.设OA →，OC →的夹角为θ，θ∈[0，π]，则cos θ＝OA →·OC →|OA →||OC →|＝1412＝12，所以θ＝π3.答案 π311.解析 因为CD→∥AG →，由向量共线定理可得存在实数k ，使得CD →＝kAG →.又CD →＝AD →－AC →＝15AB →＋(λ－1)AC →，又由BO 是边AC 上的中线，BG →＝2GO →得点G 为△ABC 的重心，所以AG→＝13(AB →＋AC →)，所以15AB →＋(λ－1)AC →＝k 3(AB →＋AC →)，由平面向量的基本定理可得⎩⎪⎨⎪⎧15＝k 3，λ－1＝k3，解得λ＝65.答案 6512.解析 以点C 为坐标原点，CA ，CB 所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则A(2,0)，B(0,2)，斜边AB 所在直线的方程为x ＋y ＝2，x ∈[0,2]．因为MN ＝2，则可设M(x,2－x)，N(x ＋1,1－x)，且x ∈[0,2]，x ＋1∈[0,2]，所以x ∈[0,1]，此时CM →·CN →＝x(x ＋1)＋(2－x)(1－x)＝2x 2－2x ＋2，x ∈[0,1]，由二次函数图象可得x ＝12时，CM →·CN →取得最小值32；当x ＝0或1时，CM →·CN→取得最大值2，所以CM →·CN →的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2.13.【答案】2918【解析】因为1,9DF DC λ=12DC AB =，119199918CF DF DC DC DC DC AB λλλλλ--=-=-==，AE AB BE AB BC λ=+=+，19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ-+=++=++=+，()221919191181818AE AF AB BC AB BC AB BC AB BCλλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+++⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 19199421c o s 1201818λλλλ++=⨯++⨯⨯⨯︒211721172929218921818λλλλ=++≥⋅+= 当且仅当2192λλ=即23λ=时AE AF ⋅的最小值为2918.BAD C EF14.由已知，3cos()10sin()5παπα-=-33cos cos sin sin 1010sin cos cos sin 55ππααππαα+-33cos tan sin 1010tan cos sin55ππαππα+=- 33cos cos 2sin sin 510510sin cos 55ππππππ+==155(cos cos )(cos cos )21010101012sin 25πππππ++-3cos 103cos 10ππ==15.【解析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)B t，(0,)C t ，1AP =（，0)+4(0,1)=(1,4)，即1P （，4)，所以11PB t-=（，-4)，1PC -=（，t-4)，因此PB PC ⋅11416t t =--+117(4)t t =-+，因为114244t t t t +≥⋅=，所以PB PC ⋅的最大值等于13，当14t t=，即12t =时取等号．二、解答题16.【解析】(I) 由已知，有1cos 21cos211313()cos2sin 2cos2222222x x f x x x x π⎛⎫-- ⎪⎛⎫-⎝⎭=-=+- ⎪⎝⎭311sin 2cos2sin 24426x x x π⎛⎫--=- ⎪⎝⎭. 所以()f x 的最小正周期22T ππ==. (II)因为()f x 在区间[,]36p p --上是减函数，在区间[,]64p p-上是增函数，113(),(),()346244f f f πππ-=--=-=，所以()f x 在区间[,]34p p -上的最大值为34，最小值为12-. 17.【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,6A ωϕ===-. 数据补全如下表：x ωϕ+π2 π 3π2 2πxπ12π37π125π613π12sin()A x ωϕ+55-且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-.（Ⅱ）由（Ⅰ）知 π()5sin(2)6f x x =-，得π()5sin(22)6g x x θ=+-.因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z .令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k ∈Z .由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π21212k θ+-=， 解得ππ23k θ=-，k ∈Z . 由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6.18.【解析】（1）∵ 22,22m ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()sin ,cos n x x =且m n ⊥， ∴ ()2222,sin ,cos sin cos sin 022224m n x x x x x π⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ ,444x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴ 04x π-=即4x π=，∴ tan tan 14x π==；（2）由（1）依题知 2222sin 4cos sin 3422sin cos 22x m n x m n x x πππ⎛⎫- ⎪⋅⎛⎫⎝⎭===- ⎪⎝⎭⋅⎛⎫⎛⎫+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴ 1sin 42x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭又,444x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴ 46x ππ-=即512x π=．19.解 (1)设向量OA→与OB →的夹角为θ， 则cos θ＝OA →·OB →|OA →|·|OB →|＝－|λ|＝λ2|λ|，当λ＞0时，cos θ＝12，θ＝π3；当λ＜0时，cos θ＝－12，θ＝2π3.故当λ＞0时，向量OA →与OB →的夹角为π3； 当λ＜0时，向量OA →与OB →的夹角为2π3. (2)|AB→|≥2|OB →|对任意的α，β恒成立， 即(λcos α＋sin β)2＋(λsin α－cos β)2≥4对任意的α，β恒成立，即λ2＋1＋2λsin(β－α)≥4对任意的α，β恒成立，所以⎩⎨⎧ λ＞0，λ2－2λ＋1≥4或⎩⎨⎧λ＜0，λ2＋2λ＋1≥4，解得 λ≥3或λ≤－3.故所求实数λ的取值范围是(－∞，－3]∪[3，＋∞)．另法一 由λ2＋1＋2λsin(β－α)≥4对任意的α，β恒成立，可得λ2＋1－2|λ|≥4，解得|λ|≥3或|λ|≤－1(舍去)，由此求得实数λ的取值范围；另法二 由|AB →|＝|OB →－OA →|≥||OB →|－|OA →||＝||λ|－1|，可得|AB →|的最小值为||λ|－1|，然后将已知条件转化为||λ|－1|≥2，由此解得实数λ的取值范围.20.【解析】(1)将()cos g x x =的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到y 2cos x =的图像，再将y 2cos x =的图像向右平移2p 个单位长度后得到y 2cos()2x p =-的图像，故f()2sin x x =，从而函数f()2sin x x =图像的对称轴方程为(k Z).2x k p p =+? (2)1) 21f()g()2sin cos 5(sin cos )55x x x x x x +=+=+5s i n ()x j =+（其中12sin ,cos 55j j ==） 依题意，sin()=5m x j +在区间[0,2)p 内有两个不同的解,a b 当且仅当||15m <，故m 的取值范围是(5,5)-.2)解法一：因为,a b 是方程5sin()=m x j +在区间[0,2)p 内有两个不同的解， 所以sin()=5m a j +，sin()=5m b j +. 当1m<5£时，+=2(),2();2p a b j a b p b j --=-+ 当5<m<1-时, 3+=2(),32();2p a b j a b p b j --=-+ 所以2222cos )cos 2()2sin ()12()1 1.55m m a b b j b j -=-+=+-=-=-( 解法二：2) 因为,a b 是方程5sin()=m x j +在区间[0,2)p 内有两个不同的解， 所以sin()=5m a j +，sin()=5m b j +. 当1m<5£时，+=2(),+();2p a b j a j p b j -=-+即 当5<m<1-时, 3+=2(),+3();2p a b j a j p b j -=-+即 所以cos +)cos()a j b j =-+(于是cos )cos[()()]cos()cos()sin()sin()a b a j b j a j b j a j b j -=+-+=+++++(22222cos ()sin()sin()[1()]() 1.555m m m b j a j b j =-++++=--+=-。