工程数学线性代数课后答案(习题测验一至四)同济第五版
工程数学线性代数课后答案(习题一至四)__同济第五版
习题解答1+利帛对角线法则计算卞列三阶行列式:1 -1 1 (2) 3 bb(1) 原式= 2x( - 4)X3 + 0x(-l)x( 一 1) -FlxixS-lx(-4)x(-l)-2X (^])X8^0xix3=-4；(2) 原式=acb + bac + cba - J 一 J 一 沪~3abc _ a* — ft* — c* |(3) 原式=1•&+ +=be 1 + ca 1 + ab 1 ~ ba 2 — cb 2 — ac z=c 2(b - a) a^/(b - a} - c(b 2-= (a - b)(b - c)(c - a)^⑷=y)y+ y) + (J : + y)yx - (x + y)3 - - y 3=-2(x 3 + ^).2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： (1) 1 2 S 4； (2) 4 1 3 2i (3) 3 4 2 I ；(4) 24 1 3；(5) 1 3 ・八(2n — [) 2 4… (2JI );(6) 13 *•* (2n - 1) (2n) (2n - 2)…2.解(1)此排列为自然排列•其逆序数为S(2) 此排列的首位元素的逆序数为0;第2位元素1的逆序数为1 ;第3位元累3的逆序数为1 :末位元素2的逆序数为2,故它的逆序数为0+ 1 +1 + 2 = 4； (3) 此排列的前两位元素的逆序数均为如第3位元素2的逆序数为2.末 位元素1的逆序数为3,故它的逆序数为0 + 0 + 2 + 3 = 5;(4) 类似于上面*此排列的从首位元素到末位元素的逆序数依次为0T O t 2t 1*故它的逆序数为0 + 0 + 2+1 = 3; (5)注意到这2齐个数的排列中，前“位元素之间没有逆序对■第对+ 1位元素2与它前面的玮-I 个数构成逆序对，故它的逆序数为W R 同理，第« +2 倍一 4 I81 1-1 1 (4)(3)元素4的逆序数为«-2：-;末位元索2丼的逆序数为(L故此排列的逆序数为(« " 1) + (n * 2) + *" + 0 = y w (- 1);(6) 与(5)相仿*此排列的前n + 1位元素没有逆序对：第幵+ 2位元素 (2n - 2)的逆序数为2;第牯十3位元素2牯-4与它前面的2n - 3T 2H ~ l r 2n t 2n-2构成逆序对,故它的逆序为4；-»；末位元素2的逆序数为2(«-1),故此 排列的逆序数为2 + 4 + -+2(M -1) = H («-O ，3・写出四阶行列式中含有因子gm 的项.解 由行列式定义知这项必还含有分别位于第3行和第4行的某两元累. 而它们又分别位于第2列和第4列，即a 绘和“别或。
工程数学线性代数课后答案 同济第五版
解 已知相似矩阵有相同的特征值显然54y是的特征值故它们也是A的特征值因为4是A的特征值所以
解 因为|A|12(3)60所以A可逆故
A*|A|A16A1
A*3A2E6A13A2E
令()61322则(1)1(2)5(3)5是(A)的特征值故
|A*3A2E||6A13A2E||(A)|
(1)×(2)×(3)15(5)25
13设A、B都是n阶矩阵且A可逆证明AB与BA相
似
证明 取PA则
P1ABPA1ABABA
因为x0所以2320即是方程2320的根也就是说1或2
9设A为正交阵且|A|1证明1是A的特征值
证明 因为A为正交矩阵所以A的特征值为1或1
因为|A|等于所有特征值之积又|A|1所以必有奇数个特征值为1即1是A的特征值
10设0是m阶矩阵AmnBnm的特征值证明也是n阶矩阵BA的特征值
证明 设x是AB的对应于0的特征向量则有
(1)求参数a,b及特征向量p所对应的特征值;
解设l是特征向量p所对应的特征值,则
(A-lE)p=0,即 ,
解之得l=-1,a=-3,b=0.
(2)问A能不能相似对角化？并说明理由.
解由
得A的特征值为1231
由
知R(AE)2所以齐次线性方程组(AE)x0的基础解系只有一个解向量因此A不能相似对角化
16.试求一个正交的相似变换矩阵,将下列对称阵化为对角阵:
则k1k2knr不全为0否则l1l2lnt不全为0而
l1b1l2b2lnrbnr0
与b1b2bnt线性无关相矛盾
因此0是A的也是B的关于0的特征向量所以A与B有公共的特征值有公共的特征向量
工程数学线性代数课后答案解析详细答案解析(真正同济第五版)
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第
一
章
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第
二
章
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