时间分数阶扩散方程扩散系数反演问题的唯一性
时间分数阶扩散方程扩散系数反演问题的唯一性
时间分数阶扩散方程扩散系数反演问题的唯一性王兵贤;童东付【摘要】考虑了时间分数阶抛物型方程扩散系数反演问题,通过分数阶抛物型方程解的形式,建立输入-输出映射,并通过讨论其相关性质,证明反问题的唯一性.【期刊名称】《淮阴师范学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(017)003【总页数】4页(P194-197)【关键词】抛物型方程;系数反演;输入-输出映射;唯一性.【作者】王兵贤;童东付【作者单位】淮阴师范学院数学科学学院,江苏淮安 223300;淮阴师范学院数学科学学院,江苏淮安 223300【正文语种】中文【中图分类】O175.260 引言在物理学中,对流扩散方程经常用于描述布朗运动和外力场作用下的扩散现象[1-2]．然而,对于非正常扩散,经典的对流扩散方程并不能很好地描述这一现象,主要体现在对流、传输过程与外力场作用下的是不同的．由广义连续时间随机行走模型(CTRM)导出的分数阶对流扩散方程却能非常好地描述非正常扩散现象．关于分数阶对流扩散方程的正问题,如初值问题、初边值问题已经有了大量的研究,如Yamamoto等研究了时间分数阶扩散方程初边值问题弱解的存在唯一性[3],文[4]给出了某些分数阶扩散方程的精确解的表达式,文[5]给出了分数阶扩散方程的数值拟合方法等．分数阶扩散方程的反问题有很多,如分数阶扩散方程的Cauchy问题、源项识别问题、侧边值问题等等,国内外学者分别对该些问题做了研究．Xu等[6]证明了当时,Cauchy问题反问题解的唯一性,文[7]研究了时间分数阶扩散方程源项识别问题,文[8]分别用最优滤波法、Fourier方法、迭代方法、卷积型正则化方法研究了时间分数阶扩散方程的侧边值问题,给出了收敛性分析等等,Liu 等[9-10]运用正则化方法求解时间分数阶扩散方程初值和边值反演问题．考虑时间分数阶抛物型方程初值问题,(1)其中为Caputo-Dzherbashyan意义下的分数阶导数,其定义为其中,Iα为Riemann-Liouville分数阶积分假设,对于问题中初边值分别满足条件:(c1) k(x)∈C1[0,1]且0<c0≤k(x)<c1;(c3) ψ0(t)、ψ1(t)∈C[0,T];(c4) q(t)∈C[0,T].基于条件(c1)～(c4) ,问题(1)的解存在而且唯一[11]．本文主要研究当给定边界x=0处的测量数据u(0,t)=f(t), t∈(0,T](2)时反演热传导率k(x).1 相关假设与主要结论首先,定义容许集M:={k(x)∈C1[0,1]且0<c0≤k(x)<c1,x∈[0,1])}⊂C[0,1].其次,给出广义Mittag-Leffler函数的定义为其中α>0,β∈R．然后,引入输入-输出映射Φ:M→C[0,T],使得Φ[k]=u(x,t;k)|x=0,即反问题的唯一性讨论可以归结为映射Φ[k]=f, f∈C[0,T](3)则有以下结论:定理1 如果条件(c1)～(c4)满足,且式(3)定义了一个输入-输出映射Φ[k],在容许集M中, 设k1(0)=k2(0)=k(0),则Φ[k]具有性质:如果Φ[k1]=Φ[k2],则有k1=k2.2 定理1的证明首先引入辅助函数v(x,t)满足:这样,可以将问题(1)转化为一个关于v(x,t)的具有齐次边界条件的问题(4)由文[12]得到,初边值问题(4)的解存在且唯一,而且具有形式(5)其中当x=0时,式(2)得(6)假设φk(x)是下列Sturm-Liouville问题的解:(7)为了描述方便,对于式(5),可表示为其中χn(t)=〈ζ(θ),φn(θ)〉Eα,1(-λntα), ωn(t)=sα-1Eα,α(-λnsα)〈ξ(θ,t-s),φn(θ)〉ds. 结合式(6),有(8)即,将f(t)描述为级数表达式,这样式(8)得到了一个定义在容许集M上的输入-输出映射Φ[k],即∀t∈[0,T].定理1的证明假设对于k1(x)、k2(x)∈M对应问题(4)的解v(x,t;k1)、v(x,t;k2)分别记作v1(x,t)、v2(x,t),且记由式(8)得由ωn(t)的定义得且因为k1(0)=k2(0)=k(0),则对于所有即Φ[k1]=Φ[k2].由χn(t)、ωn(t)的定义以及以上分析过程,对于∀t∈[0,T],如果满足〈ξ1(x,t)-ξ2(x,t),φn(θ)〉=0, n=0,1,…,n,则对于∀t∈[0,T],有反则,假如对于某个n,〈ξ1(x,t)-ξ2(x,t),φn(θ)〉≠0,则有k1(x)≠k2(x),从而有输入-输出映射Φ[k]满足:当k1(x)≠k2(x)时,Φ[k1]≠Φ[k2],因此定理1的结论成立.参考文献：【相关文献】[1] Catania F, Massabo M, Palaclino O. Estimation of transport and kinetic parameters using analytical solutions of the 2D advection-dispersion-reactionmodel[J].Envirvnmetrics,2006,17:199-216.[2] Khalifa M E. Some analytical solutions for the advection-dispersion equation[J].Appl Math Comp,2003(139):299-310.[3] Sakamoto K, Yamamoto M. Initial value boundary value problems for fractional diffusion-wave equations and applications to some inverse problems[J].J Math Anai Appi,2011,382(1):426-447.[4] Ding X L,Jiang Y L. Analytical solutions for the multi-term time-space fractional advection-diffusion equations with mixed boundary conditions[J].NonlAnal,2013,14(2):1026-1033.[5] Ren J,Sun Z Z, Zhao X. Compactscheme for the fractional sub-diffusion equations with Neumannboundary conditions[J].J Comp Phys,2013,232(1):456-467.[6] Xu X, Cheng J,Yamamoto M. Carleman estimate for a fractional diffusion equation with half order and applica-tion[J]. Appl Anal,2011,90(9):1355-1371,[7] Kirane M,Malik S A. Determination of an unknown source term and the temperature distribution for the linear heat equation involving fractional derivative intime[J].Appl Math Compu,2011,218(1):163-170.[8] Qian Z. Optimal modified method for afractional-diffusion inverse heat conduction problem[J].Inve Prob Scie Engi,2010,18(4):521-533.[9] Wang L Y,Liu J J. Total variation regularization for a backward time-fractional diffusionproblem[J].Inve Prob,2013,29:1-12.[10] Liu J J, Yamamoto M, Yan L. On the uniqueness and reconstruction for an inverse problem of the fractional diffusion process[J].Appl Nume Math,2015(10):1-19.[11] Podlubny I. Fractional differential equations[M].San Diego: Academic,1999.[12] Luchko Y. Initial boundary value problems for the one dimensional time-fractional diffusion equation[J].Frac Calc Appl Anal,2012,15:141-160.。
分数阶奇异扩散方程的几种解法及其应用的开题报告
分数阶奇异扩散方程的几种解法及其应用的开题报告题目：分数阶奇异扩散方程的几种解法及其应用一、研究背景和意义：分数阶微积分在现代数学和物理学领域中已成为一个热门研究课题。
其中，分数阶扩散方程是分数阶微积分理论中重要的应用之一。
分数阶扩散方程与传统的整数阶扩散方程相比，具有更广泛的适用性和更精确的模拟效果。
分数阶奇异扩散方程则将分数阶微积分理论应用于奇异扩散过程，即扩散系数存在奇异性。
这种方程的研究不仅能够拓展分数阶微积分的应用，还具有重要的应用价值，例如在生物医学和环境科学等领域中。
因此，对分数阶奇异扩散方程的研究具有重要的理论和实际意义。
二、研究内容和方法：本课题主要研究分数阶奇异扩散方程的解法及其应用。
具体研究内容如下：1.研究分数阶奇异扩散方程的基本概念和数学模型，并对其进行分析和求解。
2.综述分数阶奇异扩散方程目前的研究进展，并对不同的求解方法进行比较和评价。
3.利用数值求解方法，如有限差分法和有限元法等，对分数阶奇异扩散方程进行数值模拟和模型验证。
4.应用分数阶奇异扩散方程模型，研究其在生物医学和环境科学等领域中的应用及其效果。
三、研究进度安排：第一学期：1.研究分数阶奇异扩散方程的基本概念和数学模型，并对其进行分析和求解。
2.综述分数阶奇异扩散方程目前的研究进展，并对不同的求解方法进行比较和评价。
第二学期：1.利用数值求解方法，如有限差分法和有限元法等，对分数阶奇异扩散方程进行数值模拟和模型验证。
2.应用分数阶奇异扩散方程模型，研究其在生物医学和环境科学等领域中的应用及其效果。
四、预期研究结果：1.掌握分数阶奇异扩散方程的基本概念和求解方法。
2.探索分数阶奇异扩散方程在不同领域中的应用，如生物医学和环境科学等。
3.提出新的分数阶奇异扩散方程数值解法，提高模拟效果和计算效率。
五、论文大纲：1.绪论1.1研究背景和意义1.2研究现状和进展1.3研究内容、方法和进度安排2.分数阶奇异扩散方程2.1基本概念和数学模型2.2求解方法及其比较评价2.3应用案例分析3.数值模拟和算法设计3.1有限差分法3.2有限元法3.3其他求解方法4.应用研究4.1生物医学领域中的应用4.2环境科学领域中的应用5.结论和展望参考文献。
空间-时间分数阶对流扩散方程的分析解及基本解的性质
其 ， ） １ （ 一 中Ｇ ， ｅ ［ （ （ｆ Ｊ地 口
一
ｂ 一 ． ］ （ ｝ ） １ ）
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这里 Ｇ ，）是格 林 函数 （ 方程 的基本解 ） 因 （ ｔ 或 ，
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其中： 口＞０ ｂ≥ ０ ０＜卢≤ １０＜ｙ≤ １０ ＜０ ， ， ， ， ｃ ≤ ２ ， 是下端点 口 ：０的 Ｃ ｐ 型 的分 数阶 ａｌ ‘
） Ｌ吹 ） 『 ＝－ ￡ ｅ Ｉ ＝ ）
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Ｃｐ ｔ ａ ｕｏ型的分数 阶导 数的定义如下 ： Ｄｆ ｔ ＝ ７（）
时间分数阶对流 一 扩散方 程。
在这章 中 ， 我们考虑 空间 一 时间分数 阶对 流扩 散
方程初边值 问题 ：
时， （ Ｅ ）＝Ｅ（ 磊 ａ）
Ｍｉａ — Ｌ ｆｅ 函 数 的 Ｌ ｐａｅ 变 换 为 ： ｔｇ ｔ ｅｆ ｒ ｌ ａ ｌｃ
ｔ 一Ｅ ‘
，
ａ ￡ ［ 口 一 （， ）： （（
＋ （ ６一
） （） ］ ． １ ｝
（） ７
对（ ） ７ 式关 于 ｋ 进行 Ｆ ｕｉ 逆 变换得 ： ｏｒ ｒ ｅ
摘 要 ： 本文考虑空间时间分数 阶对流一扩散方程（ 即在 一个标准对流一扩散方程 中， 用 （ ｐ ） ０＜ ≤１ 阶导数代替 时间一阶导数， 口（ 用 １＜口４２ 阶导数代替空间二阶导数， （ ≤ ） 用 ０＜
时间分数阶变系数对流扩散方程的数值解法
ｃａｓｅｓ ｏｆ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｏｒｄｅｒ ｖａｒｉａｂｌｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ. Ｔｈｅ ｐａｐｅｒ ｐｒｉｍａｒｉｌｙ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ ｔｈｅ ｆｉｎｉｔｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ
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第１期
１１７
郭非凡ꎬ等:时间分数阶变系数对流扩散方程的数值解法
分的研究逐渐引起了人们的广泛关注ꎮ 在物理、化学以及生物等学科领域ꎬ分数阶微积分应用十分广泛 [１] ꎬ
例如扩散和输运理论、混沌与湍流、生物组织、高分子材料的解链等ꎮ 可以说ꎬ分数阶导数早已成为了描述各
ｅｘａｍｐｌｅｓ.
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ ∶ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｏｒｄｅｒꎻ ｃｏｎｖｅｃｔｉｏｎ￣ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ ｅｑｕａｔｉｏｎꎻ ｆｉｎｉｔｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｍｅｔｈｏｄꎻ ｓｔａｂｉｌｉｔｙꎻ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ
近年来ꎬ自然界发现越来越多的现象无法用传统的整数阶方程来描述ꎮ 为了解决现实问题ꎬ分数阶微积
整数点ꎬ在空间网格上进行对偶剖分ꎬ再通过有限差分方法离散了空间导数ꎮ 理论分析可以说明ꎬ本文所提出的离散格
式ꎬ其解是存在并且唯一的ꎬ收敛精度为 ο( τ ＋ ｈ) ꎬ一维数值算例验证出理论分析的准确性ꎮ
关键词:分数阶ꎻ对流扩散方程ꎻ有限差分方法ꎻ稳定性ꎻ收敛性
中图分类号:Ｏ２４１.８２ 文献标识码:Ａ 文章编号:１００２￣４０２６(２０２０)０１￣０１１６￣０８
时间分数阶二维对流扩散方程多点源强的数值反演
时间分数阶二维对流扩散方程多点源强的数值反演李慧玲;李功胜;贾现正;池光胜【摘要】对于一类带有多个点源的二维反常扩散问题，基于Caputo意义下时间分数阶导数的离散，给出了一个有限差分求解格式。
在已知点源个数及位置的前提下，根据终止时刻的浓度观测数据，应用最佳摄动量正则化算法对源强度识别反问题进行了有效的数值反演，并讨论了正则参数、分数微分阶数及数据扰动等因素对反演算法的影响。
%A finite difference scheme is introduced to solve the 2-D time fractional diffusion equa-tion with multiple point sources based on Caputo’s discretization to the time fractional derivative , and numerical test is presented .Furthermore ,the optimal perturbation regularization algorithm is applied to determine the magnitudes of the multi-point sources using measurements at the final time .Numerical inversions are performed to demonstrate the effectiveness of the proposed algo-rithm ,and influences of the regularization parameter ,the fractional order and the data noises on the inversion algorithm are discussed .【期刊名称】《山东理工大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2013(000)006【总页数】6页(P1-6)【关键词】时间分数阶导数;二维对流扩散;多点源;反问题;最佳摄动量正则化算法;数值模拟【作者】李慧玲;李功胜;贾现正;池光胜【作者单位】山东理工大学理学院，山东淄博255091;山东理工大学理学院，山东淄博255091;山东理工大学理学院，山东淄博255091;山东凯文科技职业学院本科教育学院，山东济南250200【正文语种】中文【中图分类】O175分布式参数系统模型的建立对精确描述和有效控制许多物理和工程问题起关键作用.源项的估计或识别问题在环境科学和工业应用等领域显得尤为重要.譬如，在环境水力学领域，如何寻找河流、城市水环境和湖泊的污染源；在化学反应过程、微波加热过程和工业设计与制造领域，如何探测未知的发热源等.对抛物型方程的点源识别反问题，近年来国内外不少学者从不同的角度进行了研究.文献[1]考虑了两端无污染的流域中单个污染源的识别问题，在对污染源及测量点的先验假设下，证明了源强识别的唯一性，并给出了识别算法.文献[2-3]考虑了对流扩散方程的点源反演问题，利用某个时刻空间点处的测量数据将稳恒点源反演转化为优化问题进行求解.文献[4]将抛物型方程转化为双曲型方程后，证明了由内部测量数据反演多点源的唯一性.文献[5]在第一类Dirichlet边界条件下，利用热变换方法将热传导方程多点源反问题转化为等价的双曲型方程反问题，然后通过分析该双曲型方程反问题得到原反问题的唯一性和条件稳定性.文献[6]研究了出流端为第二类边界和零初始条件下单个污染源的识别问题，证明了源项反演的唯一性，并给出了一种局部稳定性和识别算法，文献[7]讨论了随时间变化的单个污染源的反演问题及其应用.最近，文献[8]研究了一维扩散方程中多个点源强度的识别问题，利用最佳摄动量正则化算法进行了有效的数值反演模拟.本文将探讨时间分数阶二维对流扩散方程中确定多个点源的反演问题.对于这类分数阶扩散方程点源识别反问题的研究尚未见有文献报道.文中将首先给出正问题及其数值求解的差分格式，然后引入最佳摄动量正则化算法，并对多个点源强度进行精确数据和扰动数据条件下的数值反演.反演结果表明对于时间分数阶二维对流扩散问题，应用最佳摄动量正则化算法可以实现对多个点源强度的数值确定.1 正问题及其数值求解考虑矩形域Ω=(0，l1)×(0,l2)上的时间分数阶二维扩散方程(1)其中(x,y)∈Ω,t>0;D>0是扩散系数，v>0是沿着X轴方向的对流速度，g(x,y,t)是线性源项，而α∈(0,1)是时间分数阶导数的阶数.当α=1时,方程(1)即为通常的整数阶二维对流扩散方程.对于带非零源项的方程(1),给定零初边值条件:(2)这样,由方程(1)及初边值条件(2),就构成一个二维时间分数阶对流扩散的正问题. 下面给出这个正问题求解的一个有限差分格式.1.1 正问题求解的差分格式设表示u在(xi,yj)点处、时刻tn时的近似值.取空间步长hx=l1/M,xi=ihx，hy=l2/M,yj=jhy,(i,j=1,2,…,M)时间步长τ=T/N，tn=nτ,(n=1,2,…,N).方程(1)中是Caputo意义下的分数阶导数(参见文献[9-10])，离散可得O(τ).(3)对于方程中的整数阶导数项，按照通常的差分离散方法(参见文献[11])，即有(4)(5)记将(3)～(5)代入(1)，整理可得因此，可得如下隐式差分格式：当n=0时(6)当n>0时(7)1.2 数值试验设l1=l2=1,T=1,正问题的精确解为u(x,y,t)=txy(x-1)(y-1),相应的源项为利用上一节的有限差分法进行数值计算,取离散点数M=10,N=100,微分阶数α=0.6,扩散系数D=0.001,平均流速v=0.001.数值结果分别列于表1、表2、表3.表1 终值时刻(T=1)的精确解与数值解的比较xy精确解数值解绝对误差相对误差0.10.10.00810.00806.7702e-50.00840.20.20.02560.02559.6522e-50.00380.30.30.04410.04406.9271e-50.00160.40.40.05760.05758.4309e-50.00150.50.50.06250.06249.0775e-50.00150.60.60.05760.05758.4334e-50.00150.70.70.04410.04406.6275e-50.00150.80.80.02560.02564.1243e-50.00160.90.90.00810.00809.6006e-50.0119表2 给定空间点(x=y=0.5)处的精确解与数值解的比较t精确解数值解绝对误差相对误差0.10.00630.00627.9169e-60.00130.20.01250.01251.6236e-50.00130.30.01870.01872.4843e-50.00130.40.02500.02503.3691e-50.00130.50.03130.03124.2754e-50.00140.60.03750.03745.2014e-50.00140.70.04370.04376.1456e-50.00140.80.05000.04997.1069e-50.00140.90.05630.05628.0845e-50.0014表3 不同微分阶数对正问题求解的影响(x=y=0.5,T=1)α精确解数值解绝对误差相对误差0.10.06250.06252.4839e-53.9742e-40.20.06250.06252.6175e-54.1880e-40.30.06250.06253.0272e-54.8436e-40.40.06250.06253.9475e-56.3159e-40.50.06250.06245.7621e-59.2194e-40.60.06250.06249.0775e-50.00150.70.06250.06241.4815e-40.00240.80.06250.06232.4319e-40.00390.90.06250.06213.9465e-40.0063从表1、表2的计算结果可以看出,无论是在终值时刻,还是在给定的空间点处,正问题的精确解与数值解都吻合得较好.但从表3看出,时间微分阶数对正问题求解具有一定的影响.微分阶数越小,解误差越小,当其接近于1时,解误差逐步变大.2 多点源项识别反问题与反演算法2.1 反问题的提出很多实际问题中,方程(1)中的源项是点源分布,且一般具有形式(8)其中：q为点源的个数；(xs,ys)为点源的位置；Qs为相应的点源强度(单位时间排放量)；δ为狄拉克函数.假设已经知道点源的个数及其位置坐标，那么为了确定各个点源的强度值，需要补充关于污染物浓度分布的附加条件，并联合正问题(1)-(2)形成一个源强识别反问题.本文给定t=T时的观测值为附加数据,记u(xi,yj,T)=uT(xi,yj),对于每个固定的i,令j 从1取到K,可定义附加数据向量VT：VT(9)这样，由附加数据(9)联合正问题(1)-(2)构成了一个确定源强度Qs(s=1,2,…，q)的多点源强识别反问题.下面给出最佳摄动量正则化算法，并对上述源强识别反问题进行数值反演模拟.2.2 最佳摄动量正则化算法记Q=[Q1,Q2,…，Qq],利用上一节的差分方法求解正问题可得其解,并在t=T时刻赋值,记之为u(x,y,T;Q),称为对应于输入数据Q=[Q1,Q2，…，Qq]的计算输出.另一方面,反演问题求解的一种最优化方法是使得计算输出值与附加观测值在某种误差意义下最小.联合附加数据(9),并利用Tikhonov正则化策略,记我们需要求解极小问题其中μ>0为正则参数；是通常的欧式范数.根据最佳摄动量算法(参见文献[8-10, 12])，上述极小问题(10)的求解又转化为对于给定的Qn,通过求解最佳摄动量δQn进而确定Qn+1的一种迭代算法：Qn+1=Qn+δQn, n=0,1,2,…(11)且δQn是下述目标函数的极小值F(δQn)=(12)将u(xi,yj,T;Qn+δQn)在Qn处作泰勒展开得到u(xi,yj,T;Qn+δQn)=u(xi,yj,T;Qn)+▽Qnu(xi,yj,T;Qn)·δQn+o(δQn),略去高阶项，则目标函数F(δQn)近似可得▽Qnu(xi,yj,T;Qn)·δQn+u(xi,yj,T;Qn)-uT(xi,yj)]2+μ‖δQn‖2(13)令ai,j=▽Qnu(xi,yj,T;Qn)，bi,j=uT(xi,yj)-u(xi,yj,T;Qn)其中ai,j(s)=λ为数值微分步长. 于是μ‖δQn‖2再根据最小二乘法的思想，求解minF(δQn)相当于求解规范方程[ATA+μI]δQn=ATB(15)其中为q·q阶单位矩阵.以下给出反演Q的算法步骤:(1)给定未知量Q的初始猜测向量Q0和数值微分步长λ，求向量A,B.(2)选取正则参数μ，求解方程(15)得到扰动量δQn=[ATA+μI]-1ATB.(3)对于给定精度eps，判定是否满足‖δQn‖≤eps.若是，则Qn即为所求，算法终止；否则，由(11)式得到Qn+1，再转到步骤1继续进行.3 数值反演本节应用最佳摄动量算法对源项识别反问题(1)-(2)及(9)进行数值反演。
扩散定律及应用
2、无限长棒中的扩散模型
实际意义？
将溶质含量不同的两种材料焊接在一起，因为浓度不同，在焊接 处扩散进行后，溶质浓度随时间会发生相应的变化。
3、扩散方程的误差函数解
4、半无限长棒扩散方程的误差函数解
解为：
定义函数：
误差函数性质 一维半无限长棒中扩 散方程误差函数解：
高斯误差函数
高斯误差函数
三、铸锭的均匀化处理
均匀化退火时溶质浓 度分布示意图如下：
铸锭枝晶偏析及均匀化 退火时的溶质浓度分布变化
设溶质浓度沿x方向为正弦曲线分布， 周期为2π, 则曲线上任一点(x)的初始 浓度C可表示为：
扩散过程的初始条件为
由扩散第二方程，可求得其正弦解为
上式表明，均匀化扩散过程中正弦曲线峰值的衰减情况。若用 表示枝晶偏析峰值衰减的程度
1 2C C 1dCC C 1d(D d dC )
For points in C-x curve, t = const
1 21tC C 1xdCtC C 1d(Dd dC x)
2 1 tC C 1x d C D d d C x C D d d C x C 1 D d d C x C
概述
扩散现象： ➢ 在房间的某处打开一瓶香水，慢慢在其他地方可以闻到香味. ➢ 在清水中滴入一滴墨水，在静止的状态下可以看到它慢慢的扩散。 ➢ 在固体材料中也存在扩散，并且它是固体中物质传输的唯一方式。 ➢ 扩散与材料生产和使用中的物理过程有密切关系，例如：凝固、偏
析、均匀化退火、冷变形后的回复和再结晶、固态相变、化学热处 理、烧结、氧化、蠕变等等。
➢（2）根据扩散方向
下坡扩散：原子由高浓度处向低浓度处进行的扩散。 上坡扩散：原子由低浓度处向高浓度处进行的扩散。
用动力系统方法研究一类时间分数阶扩散方程的精确解
Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2023, 12(6), 2896-2903 Published Online June 2023 in Hans. https:///journal/aam https:///10.12677/aam.2023.126291用动力系统方法研究一类时间分数阶扩散方程的精确解黎超玲重庆师范大学数学科学学院，重庆收稿日期：2023年5月25日；录用日期：2023年6月19日；发布日期：2023年6月27日摘要随着时代的发展，分数阶微分模型的应用越来越广泛，故对其研究非常有必要。
本文在Riemann-Liouville 分数阶导数的定义下利用半固定式变量分离法与动力系统理论相结合的方法，研究了一类时间分数阶扩散方程的精确解，获得了方程的一系列精确解，通过解的坐标演化图直观地展示了在不同参数条件下的扩散现象。
关键词时间分数阶扩散方程，Riemann-Liouville 分数阶导数，半固定式变量分离法，动力系统方法，精确解Exact Solutions of a Class of Time-Fractional Diffusion Equation by Dynamic System MethodChaoling LiSchool of Mathematical Sciences, Chongqing Normal University, ChongqingReceived: May 25th , 2023; accepted: Jun. 19th , 2023; published: Jun. 27th , 2023AbstractWith the development of the times, the application of fractional differential model is more and more extensive, so it is very necessary to study it. In this paper, under the definition of Riemann-Liouville fractional derivative, the exact solution of a class of time fractional diffusion equations is studied by combining semi-fixed variable separation method with dynamic system theory, and a series of exact solutions of the equations are obtained. The diffusion phenomenon under different parameter con-ditions is intuitively displayed through the coordinate evolution diagram of the solutions.黎超玲KeywordsTime Fractional Diffusion Equation, Riemann-Liouville Fractional Derivative, Semi-Fixed Variable Separation Method, Dynamical System Method, Exact SolutionsCopyright © 2023 by author(s) and Hans Publishers Inc.This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0)./licenses/by/4.0/1. 引言分数阶微积分和整数阶微积分都起源于同一个时代，即Leibniz 时代。
分数阶扩散方程正问题和反问题的理论及数值方法研究
分数阶扩散方程正问题和反问题的理论及数值方法探究摘要：分数阶扩散方程作为一种新兴的数学模型，在浩繁领域具有广泛的应用。
本文主要探究了分数阶扩散方程的正问题与反问题，并介绍了相关的理论和数值方法。
其中，分数阶扩散方程的正问题主要探究了其基本的性质和解法，而反问题则是试图通过已知的观测数据来反演分数阶扩散方程的模型参数。
本文比较了几种常见的数值方法，并给出了相应的数值结果。
探究结果表明，分数阶扩散方程的正问题和反问题都具有一定的挑战性，但在理论和数值方法的指导下，仍可以得到相对准确的解。
关键词：分数阶扩散方程；正问题；反问题；理论；数值方法一、引言分数阶扩散方程是一种描述非局域扩散过程的数学模型，其在复杂介质中的扩散行为和物质输运具有重要的应用价值。
与传统的整数阶扩散方程不同，分数阶扩散方程包含了非局域性的特征，其导数表达式为分数阶导数。
因此，分数阶扩散方程具有更加广泛的适用范围和更为复杂的数学性质。
本文主要探究了分数阶扩散方程的正问题和反问题，并介绍了相关的理论和数值方法。
二、分数阶扩散方程的正问题分数阶扩散方程的正问题是指探究方程的解及其性质。
在已知分数阶扩散方程的初始条件和边界条件的状况下，我们期望求解出方程的解析解或数值解，并探究其在各种条件下的特性。
在这一方面的探究中，我们可以利用变换方法、分析方法和数值方法等手段来解决。
其中，分数阶变换方法是一种常用的求解分数阶扩散方程的手段，通过将方程转化为整数阶的形式来求解。
此外，分析方法也可以通过对方程进行数学推导和变换来获得解析解。
然而，由于分数阶扩散方程的复杂性，解析解方法往往难以得到精确的解，因此，数值方法成为求解这一问题的重要手段。
三、分数阶扩散方程的反问题分数阶扩散方程的反问题是指通过已知的观测数据来反演分数阶扩散方程的模型参数。
在实际应用中，观测数据往往是得到容易，而模型参数对于分数阶扩散方程的解具有重要的影响。
因此，通过观测数据来反演模型参数，能够更加准确地描述系统的行为和性质。
时间分数阶扩散波方程中几类反问题的研究
时间分数阶扩散波方程中几类反问题的研究时间分数阶扩散波方程中几类反问题的研究引言：随着时代的进步和科技的发展，我们对于现实世界中各种问题的认知逐渐深入。
在物理学中，波方程是一类非常重要的偏微分方程，广泛应用于描述声波、电磁波等传播现象。
近年来，时间分数阶扩散波方程引起了科学家们的广泛关注。
时间分数阶扩散波方程是一种具有记忆效应的动力学方程，用于描述具有非局域记忆的扩散现象。
在这篇文章中，我们将探讨时间分数阶扩散波方程中几类反问题的研究进展。
一、时间分数阶扩散波方程及其应用领域时间分数阶扩散波方程是一种常微分方程的广义化，其中阶数为分数。
这种方程在描述非局域和非线性扩散过程中具有重要作用，涉及到多个领域的研究问题。
例如在地质学中，时间分数阶扩散波方程可以用来研究地下水污染的传播；在生物学中，可以用于模拟细胞内的物质传输；在金融学中，可以用来研究股票价格的变化等。
二、时间分数阶扩散波方程的反问题反问题是指根据已知的观测数据，推导出系统的模型或者参数的问题。
在时间分数阶扩散波方程中，主要涉及到以下几类反问题的研究：1. 边界反问题边界反问题是指根据已知的边界观测数据，推导出波方程中的边界条件。
在时间分数阶扩散波方程中，由于存在非局域性和非线性性，边界反问题的研究具有一定的难度。
目前，研究人员通过数值模拟和优化算法等方法，逐渐解决了这类问题。
2. 初始反问题初始反问题是指根据已知的初始条件和边界条件，推导出波方程中的初始条件。
在时间分数阶扩散波方程中，非局域性的存在增加了初始反问题的复杂度。
研究人员通过引入逆问题理论，结合数值算法，提出了多种有效的方法来解决这类问题。
3. 参数反问题参数反问题是指根据已知的观测数据，推导出波方程中的参数。
在时间分数阶扩散波方程中，参数反问题是非常重要的。
研究人员通过构建适当的函数空间和优化算法，对参数进行估计，并取得了一定的研究成果。
三、研究方法与结果分析研究时间分数阶扩散波方程的反问题，主要通过数值模拟和理论推导两种方法。
多项时间分数阶扩散方程Hermite型各向异性元的高精度分析
４
４
４
１ é æ ∂＾ｖ ＾
∂＾ｖ
∂＾ｖ
１ é æ ∂＾ｖ
∂＾ｖ
∂＾ｖ
ö æ ∂＾ｖ
öù
ö ( ａ＾ ２ ) ÷ － ç ( ａ＾ ３ ) － ( ａ＾ ４ ) ÷ úú ( １ －ξ ２ ) ＋ êê ç ( ａ＾ ２ ) － ( ａ＾ ３ ) ÷ － ç ( ａ＾ ４ ) － ( ａ＾ １ ) ÷ úú ( １ －η ２ ) －
个领域中有很广泛的应用价值[１] ꎬ和整数阶偏微分方程相比它更能准确描述物质的记忆和遗传性质ꎬ因
此ꎬ它的求解问题成为国内外研究的热点问题之一. 但是ꎬ绝大多数分数阶偏微分方程不易得到解析解.
从而分数阶微分方程的数值计算问题备受关注. 对于单项时间分数阶偏微分方程数值解的研究ꎬ[２] 给出
了高阶谱方法ꎬ[３] 提出了无网格方法等研究数值解问题. 关于多项时间分数阶偏微分方程的数值解研究
结果.
( ) ( )－ ( ) ＝ ( )
( ｘꎬｔ ) ∈Ω × ( ０ꎬＴ ] ꎬ
ïìＰ αꎬα１ꎬα２ꎬꎬαｍ Ｄ ｔ ｕ ｘꎬｔ Δｕ ｘꎬｔ ｆ ｘꎬｔ ꎬ
ï
(１)
( ｘꎬｔ ) ∈∂Ω × ( ０ꎬＴ ] ꎬ
ｕ ( ｘꎬｔ ) ＝ ０ꎬ
í
ïï
ｕ ( ｘꎬ０ ) ＝ ｕ ０ ( ｘ ) ꎬ
较少ꎬ[４] 分析一种隐式的有限差分格式的无条件稳定性和收敛性ꎬ[５] 考虑了多项时间分数阶扩散方程
的初边值问题.
主要考虑如下多项时间分数阶偏微分方程(１) ꎬ将 Ｈｅｒｍｉｔｅ 型矩形元首次应用到二维多项时间分数阶
扩散方程中ꎬ但是只有需要借助 Ｒｉｅｓｚ 投影及插值技巧进行高精度数值逼近ꎬ才能得到超逼近和超收敛
时间分数阶二维对流扩散方程多点源强的数值反演
Ｖｏ ｌ ＿ ２ ７ Ｎｏ ． ６
ＮＯＶ． ２ ０１ ３
文 章编 号 ： １ ６ ７ ２ — ６ １ ９ ７ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ６ — ０ ０ ０ １ ０ ６
具随机系数的反应扩散系统解的存在唯一性
口 为连续函数 ； ＝｛ ， ＜ ＜＋∞｝ Ｒ ， ／ Ｉ ２ Ｉ ｚ Ｃ △＝
ｒ
是 力上的 Ｌｐ ｃ 算子； Hale Waihona Puke ｌ ｅ ａ Ⅳ是 ａ 的单位外法
‘ Ｏ＇ ｉ 一 Ｘ
与应用 得 到 了快 速 的发 展 ．
当一 个 系统 的 系数 是 某 个 随机 过 程 时 ， 系 该
第２ ８卷 第 ６期
２ ０８ １ ０ 年 ２月
成
宁
学
院
学 报
Ｖｏ． ８， １ ２ Ｎｏ． ６
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ａ ｎｎ ｉｅ ｓｔ ｏ ｒ ａ ｆＸｉｎ ｉ ｇＵｎｖ ｒｉ ｙ
Ｄｅ ． ０ Ｃ ２ ０８
文章 编号 ：０ ６—５ ４ （０ ８ ０ ０ ０ — ３ １０ ３ ２ ２ ０ ） ６— ０ １ ０
随机 系统 （ ａｄｍ Ｓｓ ｍ ） Ｒ ｎｏ ｙｔ ｓ 的研究 ， 随 着 随 ｅ 是 机 过程理 论与微 分 方程 理 论 的 发展 而 迅 速 发 展起 来 的． 并且 ， 早在 随机 过 程 的严 格数 学 理 论 建 立 之 前二 十年 ， 就有 了 随机 模 型 ，９０年 ， 国数 学 家 １０ 法
（ １ ｛ ｔ ， ）ｔ ０ Ｅ ｝为一个取值 Ｈ一 ） （， ，Ｉ ， ／ ＞ ２ 于口 的可分 可测 随机 过程．
（ 一 ） （， ｔ ） ） ｔ ， ， Ｈ ２ Ｇ ｔ （， ， ， ， （ ∈口 ∈． （， ）∈ 口 ∈ 口 ）是一 个 满 足下 列 条件 的 ｔ ， ，
具随 机系数的反应扩散 系统解的存在唯一性 ’
吴 月萍 ，罗 琦
（ 南京信息工程大学 信息与控制学院， 南京 ２０４ ） 江苏 １０４
摘
要 ： 论 了具 随机 系数 的反 应 扩散 系统 的存 在 唯 一性 及 其 解 的延 拓 性 讨
爱因斯坦扩散系数公式
爱因斯坦扩散系数公式好嘞，以下是为您生成的关于“爱因斯坦扩散系数公式”的文章：咱们在学习物理的时候，经常会碰到各种各样让人头疼的公式。
今儿个咱就来聊聊爱因斯坦扩散系数公式。
这爱因斯坦扩散系数公式啊，就像是一把神奇的钥匙，能打开很多看似神秘的现象之门。
您可能会问，这到底是个啥？其实啊，它描述的是粒子在介质中的扩散行为。
给您举个例子吧，我之前去公园散步，看到湖边有一群小金鱼在水里游来游去。
那场景特别有意思，小鱼们一会儿聚在一起，一会儿又四散开来。
这就有点像粒子的扩散。
咱们想象一下，这水里就像是一个巨大的舞台，小金鱼们是粒子。
一开始它们可能都集中在一个角落，但是随着时间的推移，它们会逐渐在整个水域中分布开来。
这分布的速度和范围，就和爱因斯坦扩散系数公式有关系。
爱因斯坦扩散系数公式中的各项参数，都有着特别重要的意义。
比如说扩散系数，它就决定了粒子扩散的快慢。
如果扩散系数大，那粒子扩散得就快，就像那些特别活泼的小金鱼，一下子就能游到远处；要是扩散系数小，粒子扩散得就慢，就像那些慢悠悠的小金鱼，半天还在原地打转。
再说说这个公式在实际生活中的应用，那可多了去了。
比如说在化学实验中，研究溶液中溶质的扩散；在生物领域，了解细胞内物质的传递。
还记得有一次，我在实验室里做一个关于物质扩散的小实验。
我把一种有色溶液滴入清水中，然后就盯着它慢慢扩散。
一开始，那颜色就集中在一个小点上，然后一点点地变大、变淡。
我就一边观察，一边在心里想着爱因斯坦扩散系数公式，试图去理解这个过程背后的原理。
学习爱因斯坦扩散系数公式可不是一件轻松的事儿，得下点功夫。
要理解那些复杂的概念和参数，还得做不少的练习题。
但一旦掌握了，就会发现它真的很有用。
总之，爱因斯坦扩散系数公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们用心去学，去观察生活中的各种扩散现象，就能更好地理解它。
就像那些在水里自由自在的小金鱼，看似随意游动，其实背后都有着规律可循。
希望您通过我的介绍，对爱因斯坦扩散系数公式能有更清晰的认识，在学习的道路上越走越顺！。
三类时间分数阶扩散波方程反问题的唯一性与正则化算法研究
三类时间分数阶扩散波方程反问题的唯一性与正则化算法研究随着科学技术的不断发展，扩散波方程在各个领域中的应用越来越广泛，涉及到地质勘探、医学成像、工程探测等多个领域。
然而，在实际应用中我们常常面临着方程参数的未知情况，这对于方程的求解和应用带来了很大的困难。
因此，研究扩散波方程反问题的唯一性和正则化算法成为了一个热点和难点的问题。
本文主要研究三类时间分数阶扩散波方程反问题的唯一性和正则化算法。
首先，我们给出了时间分数阶扩散波方程的定义和基本性质，并介绍了常见的三类时间分数阶扩散波方程模型。
然后，我们针对这三类方程反问题的唯一性进行了详细的推导和分析。
通过引入逆问题理论和反传播方法，我们证明了这三类方程反问题的解是唯一的。
接下来，我们针对这三类方程反问题的正则化算法进行了研究。
正则化算法是处理反问题的一种常用方法，通过引入正则化项来稳定和改进估计结果。
我们分别针对这三类方程的特点，提出了相应的正则化算法。
例如，在时间分数阶扩散波方程反问题中，我们提出了基于Tikhonov正则化的算法，通过求解正则化问题得到方程参数的稳定估计。
最后，为了验证我们提出的正则化算法的有效性和稳定性，我们设计了数值实验。
实验结果表明，我们提出的正则化算法在处理这三类时间分数阶扩散波方程反问题时具有较好的效果。
同时，通过对比实验，我们发现不同的正则化算法在不同的问题中有不同的优势，并提出了一些改进和优化的思路。
综上所述，本文对三类时间分数阶扩散波方程反问题的唯一性和正则化算法进行了研究。
通过对方程的推导和分析，我们证明了这三类方程反问题的解是唯一的。
同时，通过引入正则化方法，我们提出了相应的正则化算法，通过数值实验验证了其有效性和稳定性。
这些研究成果对于深入理解时间分数阶扩散波方程反问题的特点和算法的改进具有一定的理论和实际意义。
但是，由于篇幅和时间的限制，本文所涉及的内容还有待进一步深入研究和完善。
最后，我们希望本文的研究对相关领域的科研人员和工程师有所帮助，并为未来的研究提供一定的启示和指导综上所述，本文针对三类时间分数阶扩散波方程反问题进行了研究。
几类时间分数阶扩散波方程反问题的唯一性及算法研究
几类时间分数阶扩散波方程反问题的唯一性及算法探究摘要：时间分数阶扩散波方程是一类常见的非线性偏微分方程，在物理学、工程学和生物学等领域中具有重要的应用价值。
本文针对几类时间分数阶扩散波方程的反问题，主要探究其唯一性和求解算法。
通过分析和推导，我们证明了这几类反问题的唯一性，并提出了一种有效的算法来求解。
关键词：时间分数阶扩散波方程；反问题；唯一性；算法引言时间分数阶扩散波方程是描述扩散现象的重要数学模型之一。
由于其在实际应用中的广泛性和复杂性，时间分数阶扩散波方程的反问题探究具有重要的理论和实际意义。
本文主要探究了几类时间分数阶扩散波方程反问题的唯一性和算法，并尝试求解这些问题。
一、问题描述思量一维时间分数阶扩散波方程：$∂_t^{α} u(x,t) = D ∂_x^2 u(x,t)+f(x,t)$，其中，$∂_t^{α}$ 和 $∂_x^2$ 分别表示时间和空间分数阶导数运算符，$D$ 是扩散系数，$f(x,t)$ 是源项函数。
我们假设边界条件为 $u(x,t)|_{x=a}=0$ 和$u(x,t)|_{x=b}=0$，初始条件为 $u(x,0)=u_0(x)$。
思量到边界条件和初始条件，可以得出相应的反问题。
二、唯一性证明为了探究反问题的唯一性，我们起首介绍一些基本理论。
依据时间分数阶扩散波方程的性质，我们可以证明，对于一组给定的边界条件和初始条件，反问题存在唯一解。
证明的关键是通过反证法假设存在两个解 $u_1(x,t)$ 和 $u_2(x,t)$ 不相等。
然后，通过构造一个函数序列 $v_k(x,t)=|u_1(x,t)-u_2(x,t)|^k$，我们可以证明该函数在有界域上满足一致的Lipschitz 条件，从而得出冲突。
因此，依据唯一性证明，我们可以确定反问题存在唯一解。
三、算法求解为了求解反问题，我们提出了一种有效的数值算法。
我们使用有限差分方法对空间和时间进行离散，在有限差分网格上建立数值模型，再利用迭代算法近似求解。
关于分数阶扩散方程的系数反问题
关于分数阶扩散方程的系数反问题张维;严春梅;文进【摘要】考虑在有界域Ω上的一个扩散方程的初边值问题:(δ)atu=△u+p(x)u,其中,(δ)a是Caputo导数,0＜α＜2,α≠1.讨论了空间系数p(x),x∈Ω的反问题,以及通过数据u |ω×(0,T)确定分数阶导数的阶数α,其中,ω(∠) Ω是一个子域;并在初始条件是正的与ω是(δ)Ω的领域的条件下得出唯一性重要结论,最后通过将解u转换成波动方程的解来证明这一结论.【期刊名称】《成都大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(034)002【总页数】4页(P135-137,155)【关键词】分数阶扩散方程;系数;阶数;唯一性【作者】张维;严春梅;文进【作者单位】成都理工大学管理科学学院,四川成都610059;成都理工大学管理科学学院,四川成都610059;成都理工大学管理科学学院,四川成都610059【正文语种】中文【中图分类】O241.82Ω是Rn上的一个有界域，n≥1,并且具有光滑的边界∂Ω.考虑如下初边值问题，=△u(x,t)+p(x)u(x,t)，x∈Ω,t>0=a(x), x∈Ω,∂tu(x,0)=0,x∈Ω, if 1<α<2u(x,t)=0,x∈∂Ω,t>0其中，是Caputo定义下的导数，其中，Γ为Gamma函数，满足，.[g](t)为Riemam-Liouville分数积分算子，定义为，如果α>0，则满足-1<α<，∈N.当α=1,2时，此算子相当于抛物线和双曲线方程. 式(1)是非均匀介质中的反常扩散模型，可以由连续时间随机游动得到.有研究认为，分数阶扩散方程是不常用的，它包括了分数阶扩散方程的一个参数阶α.显然，它违反了高斯在实验中的普遍情况，不遵循高斯预测[1].文献[2-5]对初边值问题(1)～(3)也有所研究，例如，在)和p≤0在Ω上的条件下，有如下结论：1)当0<α<1时，如果，方程存在唯一解，).此外，).2)当1<α<2时，如果，方程存在唯一解，).此外，).固定(Ω),由u(p,α)=u(p,α)(x,t)表示为式(1)～(3)的解.所给系数p的初边值问题称为正问题.实践中，系数p和分数阶导数的阶α经常是未知的，必须通过解的可用数据来确定.这就是一个系数反问题.对于当α=1,2时的系数反问题，即双曲线和抛物线类型的偏微分方程，可利用由Bukhgeim和Klibanov创建的方法[6]，其方法是求解偏微分方程反问题的常用方法，其基于Carleman估计的加权L2-估计.然而，对于分数导数,α∉N并不适合分部积分法的一般步骤，所以对于分数阶扩散方程(1)，不能直接证明Carleman估计.当α=1/2，1/3时，在一维的情况下，可以减少偏微分方程(1)中导数x,t是自然数的阶数，建立Carleman估计.Cheng[7]证明了在一般情况下，当α=1/2时的Carleman估计，但是对于一般的α，Carleman估计的证明仍然是很难的.因此，除α=1/2时或其他特殊的α值以外，即使在一维情况下，系数反问题都没有结果.本研究的目的是通过数据u|w×(0，T)(T>0，w⊂Ω是恰当的子域)来证明式(1)中系数反问题，p(x),x∈Ω和α∈(0，1)∪(1，2)，的唯一性.所提供的数据，u|w×(0,T)不仅能够确定p(x),还能确定阶数α.ω是Ω上的子域，满足∂ω⊃∂Ω，UM={p∈W1,∞(Ω);p≤0 in Ω,‖p‖W1,∞(Ω)≤M,p|w=η}对于任意给的常数M>0，光滑函数η，有，引理1 如果A随着增长阶，‖Cos(s)‖(x)≤Meθs，s≥0，生成一个余弦算子函数Cos，对于分数阶扩散问题，，α∈(0,2)，是适定的，其解算子满足增长阶‖Sα(t)‖(X)≤Mαeθ2/αt,t≥0，表达式为，这里的内核Kα定义是依赖以下的Wright函数Φγ，引理2 α∈(0，2)，f(t),t≥0是在Banach空间X中的函数且满足，‖f(t)‖≤Meθt,t≥0.f随着式(8)定义的核Kα转换，定义为，如果，,那么，f=0.引理3[9] 如果0<α<2,β是任意的常数，μ是任意的实数，满足，{Π,Πα},则对于任意的p≥1，有以下展开式，Eα，β(z)=-(|z|-1-p)，|z|→∞，μ≤|arg(z)≤Π|定理1 α，β∈(0，1)∪(1，2)，假定式(5)、(6)成立，且p,q∈UM.1)如果在w×(0，T)中，u(p,α)=u(q,α),则在Ω中，p=q.2)假设a≤0，或者a≥0，或者a≠0.如果在w×(0，T)中，有u(p,α)=u(q,β)，则在Ω中，有α=β且p=q.证明令w=w(p)是以下方程的解：△w(x,t)+p(x)w(x,t),x∈Ω，t>0w(x,0)=a(x),∂tw(x,0)=0,x∈Ωw(x,t)=0,x∈∂Ω,t>0由式(5)和p∈W1，∞(Ω)，可以得到，由引理1，当x∈Ω且t>0时得，和假设，u(p,α)(x,t)=u(q,α)(x,t),x∈w,0<t<T.由解t的解析性[10]，可得，u(p,α)(x,t)=u(q,α)(x,t),x∈w,t>0.因此，,x∈w,t>0.对任意的x∈w,由引理2得，w(p)(x,t)=w(q)(x,t),x∈w,t>0.由式(13)和p,q∈W1,∞(Ω)，在Ω中可以得到p=q.因此定理1的第一部分得到证假设在w×(0,T)中，u(p,α)=u(q,β).由解t的解析性可得，u(p,α)=u(q,β),x∈w,t>0因为，p∈W1，∞(Ω)，通过(Apu)(x)=-△u(x)-p(x)u(x)和，定义一个算子，Ap∈L2(Ω).设{λk}k∈N和{μk}k∈N是算子Ap和Aq所有特征值的集.注意λk,μk>0，且，从L2(Ω)到它自身是有界的.则，{φkj}1≤j≤mk和{Ψkj}1≤j≤nk，k∈N是Ker(Ap-λk)和Ker(Aq-μk)的标准正交基，每一个{φkj}k∈N,1≤j≤mk和{Ψkj}1≤j≤nk在L2(Ω)中都是标准正交基.(·，·)是L2(Ω)中的内积.则有，u(p,α)(x,t)).和，u(q,β)(x,t)).由式(5)知级数在中是收敛的.由引理3，当t→∞时可得，u(p,α)(x,t)=).和，u(q,β)(x,t)=).其中，Γ(1-α)≠0，且-1<1-α<1,1-α≠0.此外，在Ω中易得，和，).由式(14)，当t→∞时有，=另外，令，那么在Ω中，Apb=a，且b|∂Ω=0.在上，p≤0，且a≥0，或a≤0，或a≠0，由强极大值原理可得，||=|b(x)|>0，x∈Ω.同理，对于x∈Ω，有||>0.固定，和，且cp≠0，cq≠0.由式(15)，当t→∞时得，).若α≠β，不失一般性，假设α<β,等式两边同乘以tα得，cp+O(t-α)=cqtα-β+O(tα-2β)，t→∞.当t→∞时，由tα-β，tα-2β→0可得cp=0，矛盾.因此，α=β.由此，定理1第二部分的证明简化为第一部分的证明，即定理得证.本研究考虑分数阶扩散方程系数反问题，讨论了空间系数p(x),x∈Ω的反问题并通过数据u|ω×(0,T)确定分数阶导数的阶数α，并证明了p(x),x∈Ω和α∈(0,1)∪(1,2)的唯一性.Key words:fractional diffusion equation;cofficient;order;uniqueness【相关文献】[1]Metzler R，Klafter J.The random walk's guide to anomalous diffusion:a fractional dynamics approach[ J].Phys Rep,2000，339(1):1-77.[2]Li Z.Non-symmetric linear diffusion equation with multiple time-fractional derivatives[D].Tokyo:The University of Tokyo,2013.[3]Luchko Y.Maximum principle for the generalized time-fractional diffusion equation[J].Math Anal Appl，2009，351(1):218-223.[4]Luchko Y.Some uniqueness and existence results for the initial-boundary-value problems for the generalized time-fractional diffusion equation[J].Comput Math Appl，2010，59(5):1766-1772.[5]Sakamoto K，Yamamoto M.Initial value/boundary value problems for fractional diffusion-wave equations and applications to some inverse problems[J].Math Anal Appl，2011，382(1):426-447.[6]Bukhgeim A L，Klibanov M V.Global uniqueness of a class of multidimensional inverse problems[J].Sov M ath Dokl，1981，24(2):244-247.[7]Cheng J,Lin C，Nakamura G.Unique continuation property for the anomalous diffusion and itsapplication [J].Differ Eqns，2013，254(9):3715-3728.[8]Bazhlekova E.Fractional evolution equations in Banach space[D].Enghoven:Technische U niversiteit Eindhoven，2001.[9]Podlubny I.Fractional differential equations[M].San Diego,CA:Academic Press,1999.[10]Sakamoto K,Yamamoto M.Initial vale/boundary value problems for fractional diffusion -wave equations and applications to some inverse problems[J].Math Anal Appl,2011,382(1) :426-447.。
数值求解一类空间分数阶扩散方程源项系数反问题
数值求解一类空间分数阶扩散方程源项系数反问题阮周生;张文;王泽文【摘要】A numerical method for source coefficient inverse problem of a kind of one-dimensional space fractional diffusion equation is concerned- The inverse problem of source coefficient is converted to the corresponding definite problem through function transformation. Applying the implicit difference, the solution of the corresponding definite problem is founded. Using the numerical integral, the numerical solution of the undetermined function is founded, and the unconditional stability of difference scheme is proved. The numerical example shows that the proposed method has high accuracy.%数值求解一类空间分数阶扩散方程源项系数反问题.利用函数变换,将源项系数反问题转为对应的定解问题,利用隐式差分格式,求解对应定解问题,然后利用数值积分,求得待定系数函数的数值解,并且证明了隐式差分格式的绝对稳定性.通过数值算例表明,该数值方法具有较高的计算精度.【期刊名称】《河北大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(032)005【总页数】6页(P458-463)【关键词】反常扩散;空间分数阶导数;反问题;有限差分格式;稳定性【作者】阮周生;张文;王泽文【作者单位】东华理工大学放射性地质与勘探技术国防重点学科实验室,江西抚州344000;东华理工大学理学院,江西南昌330013;东华理工大学放射性地质与勘探技术国防重点学科实验室,江西抚州344000;东华理工大学理学院,江西南昌330013;东华理工大学理学院,江西南昌330013【正文语种】中文【中图分类】O175MSC 2010：35K05反常扩散现象在自然界广泛存在，反常扩散过程本质上是时间上有记忆性和空间非局域性的过程，故利用整数阶扩散方程不能准确地描述这类反常扩散过程，分数阶扩散方程在描述自然界反常扩散现象中起着非常重要的作用，其基本思想是利用对时间（或空间）的分数阶导数代替整数阶时间（或空间）导数，从而能够较精确地描述有记忆和遗传、路径依赖性质的物理过程，在半导体、核磁共振、多孔介质、高分子聚合物、湍流、固体表面扩散、胶体中的输运、量子光学、分子光谱、经济金融都有广泛的应用［1-6］.常福宣等利用分数阶对流-弥散方程的Lévy分布解来模拟空间点溶质浓度的时间变化过程比用传统的二阶对流-弥散方程所得的高斯分布解来模拟效果更好［2］；孙洪广等对空间分数阶导数“反常”扩散方程的3种数值算法进行比较［3］；王晟等将Fick扩散定律的Fourier三角级数算法推广成多孔材料分形扩散模型的Fourier-Bessel级数算法，并把它应用于化学工程中吸附问题涉及的浓度分布与相对吸附量的计算中，取得一些规律性认识［4］.近年来，分数阶对流扩散方程反问题越来越引起国内外学者的关注，谷文娟［5］等利用最佳摄动量法研究了一维时间分数阶扩散方程中同时确定分数微分阶数与扩散系数的数值反演问题.Battaglis［7］等求解了分数阶热传导反问题.Murio［8］建立了一类分数阶扩散方程反问题的稳定数值方法；Murio［9］分析了Caputo's 时间分数阶热传导问题.Sivaprasad［10］等利用反灵敏分析研究了分数阶动力衰减系统.Cresson［11］讨论了分数阶微分方程反问题，并得到了一些微分方程的拉格朗日结构，最近魏慧利用最佳摄动量方法数值求解了一类分数阶抛物型方程扩散系数反问题［12］.本文考虑下面系数反问题，即找｛p（t），u（x，t）｝，使得满足问题其中扩散系数d（x，t），源项q（x，t），边界条件函数h1（t），h2（t），初始条件函数f（x）为已知函数，k（x）表示求解区间［0，L］内1已知函数，E （t）为测量数据，p（t）为未知系数函数.问题（1）～（4）可视为源项控制反问题，通过在求解区域内源项产生能量的变化规律来反演源项系数p（t）.当α＝2时，方程化为整数阶扩散方程，整数阶扩散方程系数p（t）反问题已经有许多学者研究过，见文献［13-17］.在时间方向上采用一阶向前差商，离散上述反常扩散方程中的一阶时间偏导数，有在空间上使用修正的向前Grünwald-Letnikov定义来表示空间α阶导数［3］，研究了一类一维分数阶扩散方程源项系数反问题的数值计算方法，证明了差分格式的无条件稳定性.从数值模拟来看，当Nx与Nt的取值越大时，精度越高.本文的数值方法同样可以应用到二维分数阶扩散方程源项系数反问题.【相关文献】［1］ PODLUBNY I.Fractional differential equation［M］.San Diego：Academic Press，1999：50-78.［2］常福宣，吴吉春，戴水汉.多孔介质溶质运移的分数弥散过程与Lévy分布［J］.南京大学学报：自然科学版，2004，40（3）：287-291.CHANG Fuxuan，WU Jichun，DAI Shuihan.The fractional dispersion in pore medium and lévy distribution［J］.Journal of Nanjing University：Natural Sciences，2004，40（3）：287-291.［3］孙洪广，陈文，蔡行.空间分数阶导数“反常”扩散方程数值算法的比较［J］.计算物理，2009，26（5）：719-724.SUN Hongguang，CHEN Wen，CAI parative study of numerical algorithmsfor‘anomalous’diffusion equation with spatial fractional derivatives［J］.ChineseJournal of Computational Physics，2009，26（5）：719-724.［4］王晟，马正飞，姚虎卿.多孔材料分形扩散模型的Fourier-Bessel级数算法及其应用［J］.计算物理，2008，25（3）：289-295.WANG Sheng，MA Zhengfei，YAO Huqing.Fourier-bessel series algorithm in fractal diffusion model for porous material［J］.Chinese Journal of Computational Physics，2008，25（3）：289-295.［5］谷文娟，李功胜，殷凤兰，等.一个时间分数阶扩散方程的参数反演问题［J］.山东理工大学学报：自然科学版，2010，24（6）：22-25.GU Wenjuan，LI Gongsheng，YIN Fenglan.Parameters inversion for a time fractional diffusion equation［J］.Journal of Shandong Unirersity of Technology：Natural Science Edition，2010，24（6）：22-25.［6］王济平.一维热传导方程不适定问题的解法［J］.河北大学学报：自然科学版，1988，8（3）：6-11.Wang Jiping.The solution of an ill-posed problem for one-dimension heat transport equation［J］.Journal of Hebei University：Natural Science Edition，1988，8（3）：6-11. ［7］ BATAGLIA J L，COIS O，PUIGSEGUR L，et al.Solving an inverse heat conduction problem using a non-integer identified model［J］.International Journal of Heat and Mass Transfer，2001，44：2671-2680.［8］ MURIO D A.Stable numerical solution of a fractional-diffusion inverse heat conduction problem［J］.Computers ＆Mathematics with Applications，2007，3：1492-1501.［9］ MURIO D A.Time fractional IHCP with Caputo fractional derivatives［J］.Computers ＆ Mathematics with Applica-tions，2008，56：2371-2381.［10］ SIVAPRASAD R，VENKATESHA S，MANOHAR C S.Identification of dynamical systems with fractional derivative damping models using inverse sensitivity analysis ［J］.CMC，2009，298：1-29.［11］ CRESSON J.Inverse problem of fractional calculus of variations for partial differential equations［J］.Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2010，15：987-996.［12］ WEI Hui，CHEN Wen，SUN Hongguang，et al.A coupled method for inverse source problem of spatial fractional anomalous diffusion equations［J］.Inverse Problems in Science and Engineering，2010，18：945-956.［13］ CANNON J R，LIN Y，XU S.Numerical procedures for the determination of an unknown coefficient in semi-linear parabolic differential equations［J］.Inverse Probl，1994，10：227-243.［14］ MEHDI D.Finding a control parameter in one-dimensional parabolic equation ［J］.Applied Mathematics and Computation，2003，135：491-503.［15］ MEHDI D.Determination of a control function in three-dimensional parabolic equations［J］.Mathematics and Computers in Simulation，2003，61：89-100.［16］ MEHDI D.Finite difference schemes for two-dimensional parabolic inverse problem with temperature overspecification［J］.International Journal of Computer Mathematics，2000，75：339-349.［17］ MEHDI D，MEHDI T.Determination of a control parameter in a one-dimensional parabolic equation using the method of radial basis functions［J］.Mathematical and Computer Modeling，2006，44：1160-1168.。
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