安徽省蚌埠市2016-2017学年高二第一学期期末考试数学(理)试题(解析版).doc
2017-2018学年安徽省蚌埠市高二上学期期末考试数学(理)试题
安徽省蚌埠市2017-2018学年高二上学期期末考试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．空间直角坐标系中，点)3,2,1(P 关于平面xOz 对称的点的坐标为（ ） A ．)3,2,1(- B ．)3,2,1(- C ．)3,2,1(- D ．)3,2,1(---2．若直线1l ：062=++y ax 与直线2l ：0)1()1(2=-+-+a y a x 平行，则a 的值为（ ）A ．1=aB ．2=aC ．2-=aD ．1-=a3．将半径相同，圆心角之比为1：2的两个扇形作为两个圆锥的侧面，这两个圆锥底面面积依次为21,S S ，那么=21:S S （ ）A ．2:1B ．1:2C ．4:1D ．1:44．准线为43-=y 的抛物线标准方程是（ ） A ．y x 32= B ．223x y -= C ．23y x = D ．223y x -=5．下列命题中正确的是（ ）A ．如果平面⊥α平面β，则α内任意一条直线必垂直于βB ．若直线l 不平行于平面α，则α内不存在直线平行于直线lC ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD ．若直线l 不垂直于平面α，则α内不存在直线垂直于直线l6．已知双曲线12222=-by a x 的一个焦点为)0,2(F ，且离心率2=e ，则双曲线的方程为（ ）A ．13722=-y xB ．17322=-y xC ．1322=-y xD ．1322=-y x 7．“直线b a ,不相交”是“直线b a ,为异面直线”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件8．易知点M 是直线0243=-+y x 上的动点，点N 为圆1)1()1(22=+++y x 上的动点，则||MN 的最小值为（ ） A.54 B. 1 C.59 D.513 9．一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为（ ）A ．348m B ．330m C ．328m D ．324m10．双曲线12222=-by a x 右焦点为F ，点A 在双曲线的右支上，以AF 为直径的圆M 与圆222a y x =+的位置关系是（ ）A ．相交B ．外切C ．相离D ．内切11．《九章算术》提到了一种名为“刍甍”的五面体如图：面ABCD 为矩形，棱AB EF //.若此几何体中，ADE EF AB ∆==,2,4和BCF ∆都是边长为2的等边三角形，则此几何体的表面积为（ ）A ．38B ．388+C ．3226+D ．32268++ 12．设抛物线x y 22=的焦点为F ，两垂直直线过F ，与抛物线相交所得的弦分别为CD AB ,，则||||CD AB ⋅的最小值为（ ）A ．16B ．8C ．4D ．2二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．命题“任意四面体均有内切球”的否定形式是 .14．直线l 垂直于0143=-+y x ，且平分圆C ：044222=+-++y x y x ，则直线l 的方程为 .15．将边长为1的正方形O O AA 11（及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图，0120=∠AOC ，011160=∠B O A ，其中1B 与C 在平面O O AA 11的同侧，则异面直线C B 1与1AA 所成角的大小是 .16．已知点),1(e A 和点)23,(e B 都在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上，其中e 为椭圆的离心率，则=e .三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知p ：01452≤--x x ，q ：)0(0)]1()][1([>≤--+-a a x a x .若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.18．已知圆C 的圆心在直线012=--y x 上，且圆C 经过点)2,0(),2,4(B A . （1）求圆的标准方程；（2）直线l 过点)1,1(P 且与圆C 相交，所得弦长为4，求直线l 的方程.19．在三棱锥ABC V -中，平面⊥VAB 平面ABC ，BC AC =，M O ,分别为VA AB ,的中点.（1）求证：//VB 平面MOC ；（2）求证：平面⊥MOC 平面VAB .20．已知抛物线C ：)0(22>=p px y 的焦点为F ，直线4=y 与y 轴交于点P ，抛物线C 交于点Q ，且||45||PQ QF =. （1）求抛物线C 的方程；（2）过原点O 作斜率为1k 和2k 的直线分别交抛物线C 于B A ,两点，直线AB 过定点)0,2(T ，21k k 是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是，则说明理由.21．如图，ABC ∆中，090,4,2=∠==ACB BC AC ，E D ,分别是AB AC ,的中点，将ADE ∆沿DE 折起成PDE ∆，使面⊥PDE 面BCDE ，F H ,分别是PD 和BE 的中点，平面BCH 与PE ，PF 分别交于点G I ,. （1）求证：BC IH //；（2）求二面角C GI P --的正弦值.22．经过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 中心的弦称为椭圆的直径，平行于该直径的所有弦的中点的轨迹所在直线交椭圆所得的弦，称为该直径的共轭直径，已知椭圆的方程为1422=+y x . （1）若一条直径的斜率为31，求该直径的共轭直径所在的直线方程；（2）如图，若椭圆的两条共轭直径为AB 和CD ，它们的斜率分别为21,k k ，证明：四边形ACBD 的面积为定值.试卷答案一、选择题1-5：BDCAC 6-10：DBABB 11-12：BA二、填空题13．存在四面体没有内切球 14．01034=+-y x 15．4π 16．22 三、解答题17．解：p ：720)2)(7(01452≤≤-⇔≤+-⇔≤--x x x x xq ：a x a a x a x +≤≤-⇔≤--+-110)]1()][1([∵p 是q 的充分不必要条件，∴q p ⇒，p p即}72|{≤≤-x x }11|{a x a x +≤≤-∴⎪⎩⎪⎨⎧>≥+-≤-07121a a a 且两个等号不同时成立，解得6≥a 故实数a 的取值范围是),6[+∞.18．（1）解 ：（Ⅰ）设圆心为M ，则M 应在AB 的中垂线上，其方程为2=x ， 由⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=--=320122y x y x x ，即圆心M 坐标为)3,2(又半径5||==MA r ，故圆的方程为5)3()2(22=-+-y x .（Ⅱ）点)1,1(P 在圆内，且弦长为524<，故应有两条直线. 圆心到直线距离145=-=d .①当直线的斜率不存在时，直线的方程为1=x ， 此时圆心到直线距离为1，符合题意.②当直线的斜率存在时，设为k ，直线方程为)1(1-=-x k y 整理为01=+--k y kx ，则圆心到直线距离为11|132|2=++--=k k k d解得43=k ，直线方程为0143=+-y x 综上①②，所求直线方程为1=x 或0143=+-y x . 19．（1）因为M O ,分别为VA AB ,的中点，所以VB OM //， 又因为⊄VB 平面MOC ，⊂OM 平面MOC ，所以//VB 平面MOC . （2）证明：因为BC AC =，O 为AB 的中点，所以AB OC ⊥.又因为平面⊥VAB 平面ABC ，平面 VAB 平面AB ABC =，且⊂OC 平面ABC ， 所以⊥OC 平面VAB ，又⊂OC 平面MOC ，所以平面⊥MOC 平面VAB . 20. 解：（1）)4,8(),4,0(p Q P ，由||45||PQ QF =以及抛物线定义可知，4528=+p p∵0>p ，∴2=p ，抛物线C 的方程为x y 42=.（2）不妨设),(),,(2211y x B y x A ，直线AB ：2+=my x ，由⎩⎨⎧=+=xy m y x 422，得0842=--my y ，821-=y y ， 故21621212121-===y y x x y y k k . 21.(1)证明：∵E D ,分别是AB AC ,的中点，∴BC DE //，而⊂DE 平面PDE ，⊄BC 平面BC A 1， ∴//BC 平面PDE又平面 BCH 平面IH PDH =，故BC IH //. （2）如图，建立空间直角坐标系，由题意得：)0,0,0(D ，)0,0,2(E ，)1,0,0(P ，)0,21,3(F ，)21,0,0(H ，∴)1,0,2(-=EP ，)0,21,1(=EF ，)21,1,0(-=CH ，)0,0,1(21==DE HI ，设平面PGI 的一个法向量为),,(z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+-=⋅0212y x z x n EP ，令1=x ，解得2,2=-=z y ， ∴)2,2,1(-=设平面CGI 的一个法向量为),,(c b a =，则⎪⎩⎪⎨⎧==⋅=+-=⋅0021a c b m CH ，取1=b ，得)2,1,0(=，设二面角C GI P --的平面角为θ， 则155253|42||||||cos |=⨯+-==n m n m θ，∴15205sin =θ. ∴二面角C GI P --的正弦值为15205. 22. 解：（1）设与斜率为31的直径平行的弦的端点坐标为),(),,(2211y x y x ， 该弦中点为),(y x ，则有14,1422222121=+=+y x y x ， 相减得0))((4))((21212121=+-++-y y y y x x x x由于221x x x +=，221y y y +=，且312121=--x x y y ，所以得043=+y x 故该直径的共轭直径所在的直线方程为043=+y x . （2）证明：椭圆的两条共轭直径为AB 和CD ，它们的斜率分别为21,k k ，四边形ACBD 显然为平行四边形.设与AB 平行的弦的端点坐标分别为),(),,(2211y x y x ，则2121221211,x x y y k x x y y k ++=--=，而14,1422222121=+=+y x y x ，0))((4))((21212121=+-++-y y y y x x x x故4122221222121-=--=x x y y k k 由⎪⎩⎪⎨⎧=+=14221y x xk y 得B A ,的坐标分别为)412,412(21121k k k ++，)412,412(21121k k k +-+-， 故21211414||k k AB +⋅+=同理D C ,的坐标分别为)412,412(22222k k k ++，)412,412(22222k k k +-+-设点C 到直线AB 的距离为d ，四边形ACBD 的面积为S ，则22212121222221411||21|412412|k k k k k k k k k d +⋅+-=++-+=，21212221211414411||2||k k k k k k AB d S +⋅+⋅+⋅+-=⋅=416)(41284141||822212221212221222121=+++-+⨯=+⋅+-=k k k k k k k k k k k k 为定值.。
安徽省蚌埠市高二数学上学期期末试卷理(含解析) (1)
安徽省蚌埠市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题（本题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的．的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号涂到答题卡上，（不用答题卡的，填在后面相应的答题栏内，用答题卡的不必填））1．（5分）直线x﹣y﹣3=0的倾斜角是（）A．30°B．45°C．60°D．120°2．（5分）不论实数k取何值时，直线（k+1）x+（1﹣3k）y+2k﹣2=0恒过一定点，则该点的坐标是D（）A．（1，4）B．（2，1）C．（3，1）D．（1，1）3．（5分）已知两个平面垂直，下列命题中正确的是B（）A．一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线B．一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线C．一个平面内已知直线必垂直于另一个平面D．两直线分别在这两平面内，它们所成的角等于90°4．（5分）在平面直角坐标系中，直线（﹣）x+y=3和直线x+（﹣）y=2的位置关系是（）A．相互但不垂直B．平行C．垂直D．重合5．（5分）在空间直角坐标系中，某几何体各定点的坐标分别为（0，0，0）、（2，0，0）、（2，2，0）、（0，2，0）、（0，0，1）、（2，2，1）、（0，2，2），则该几何体在xOz和yOz上的投影的面积分别为m、n，则m+n的值为（）A．7 B．6 C．5 D．46．（5分）若a＞0，集合A={（x，y）|x≤3，x+y﹣4≤0，x﹣y+2a≥0}，B={（x，y）||x ﹣1|+|y﹣1|≤a}．若“点M（x，y）∈A”是“点M（x，y）∈B”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A．（0，2）B．（1，3）C．（0，2] D．[1，3]7．（5分）在两个袋内，分别写着装有1，2，3，4，5，6六个数字的6张卡片，今从每个袋中各取一张卡片，则两数之间和能被3整除的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）如果执行右面的程序框图，输入n=6，m=4，那么输出的p等于（）A．720 B．360 C．240 D．1209．（5分）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于C（）A．1 B．C．D．210．（5分）若不论k为何值，直线y=k（x﹣2）+b与曲线x2+y2=9总有公共点，则b的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．[﹣2，2] C．（﹣，）D．[﹣，]二、填空题（填空题（本题共5小题，每小题5分，满分25分，请将答案直接填在题中横线上）11．（5分）已知命题为p“若m＞0，则lnm＞0”，则其否定形式、逆命题、否命题、逆命题中正确的个数是．12．（5分）已知某几何体的三视图（如图），则该几何体的体积为13．（5分）在正三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B﹣AD﹣C后，BC=AB，这时二面角B﹣AD﹣C的大小为．14．（5分）已知过点（2，5）的直线l被圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为4，则直线l 的方程为．15．（5分）在四棱柱ABCD﹣A′B′C′D′中，AA′⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC 且AD=AA′=2BC．过A′，C，D三点的平面与BB′交于点E，F，G分别为CC′，A′D′的中点（如图所示）给出以下判断：①E为BB′的中点；②直线A′E和直线FG是异面直线；③直线FG∥平面A′CD；④若AD⊥CD，则平面ABF⊥平面A′CD；⑤几何体EBC﹣A′AD是棱台．其中正确的结论是．（将正确的结论的序号全填上）三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出说明文字、演算式或证明步骤）16．（12分）设条件 p：2x2﹣3x+1≤0，条件q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若￢p是￢q 的必要不充分条件，求实数a的取值范围．17．（12分）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A，B 两点．（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，求直线l的方程．18．（12分）知动点P（a，b）在区域上运动．（Ⅰ）若w=，求w的范围（Ⅱ）求覆盖此区域的面积最小的圆的方程．19．（14分）已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29=0相切．求：（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）设直线ax﹣y+5=0与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．20．（13分）如图，正四棱锥P﹣ABCD的顶点都在同一球面上，已知ABCD中心为E，球心O 在线段PE上，QA⊥底面ABCD，且与球面交于点Q，若球的半径为2．（Ⅰ）若OE=1，求二面角B﹣PQ﹣D的平面角的余弦值；（Ⅱ）若△QBD是等边三角形，求四棱锥P﹣ABCD和Q﹣ABCD公共部分的体积．安徽省蚌埠市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的．的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号涂到答题卡上，（不用答题卡的，填在后面相应的答题栏内，用答题卡的不必填））1．（5分）直线x﹣y﹣3=0的倾斜角是（）A．30°B．45°C．60°D．120°考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：利用直线斜率与倾斜角的关系即可得出，解答：解：设直线的倾斜角为θ，θ∈[0°，180°），由直线x﹣y﹣3=0可得斜率k=，∴tanθ=，∴θ=30°．故选：A．点评：本题考查了直线斜率与倾斜角的关系，属于基础题．2．（5分）不论实数k取何值时，直线（k+1）x+（1﹣3k）y+2k﹣2=0恒过一定点，则该点的坐标是D（）A．（1，4）B．（2，1）C．（3，1）D．（1，1）考点：恒过定点的直线．专题：直线与圆．分析：由于直线（k+1）x+（1﹣3k）y+2k﹣2=0恒过一定点，化为k（x﹣3y+2）+（x+y ﹣2）=0，令，解得即可．解答：解：直线（k+1）x+（1﹣3k）y+2k﹣2=0恒过一定点，化为k（x﹣3y+2）+（x+y﹣2）=0，令，解得．∴直线恒过定点（1，1）．故选：D．点评：本题考查了直线系的应用，属于基础题．3．（5分）已知两个平面垂直，下列命题中正确的是B（）A．一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线B．一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线C．一个平面内已知直线必垂直于另一个平面D．两直线分别在这两平面内，它们所成的角等于90°考点：平面与平面之间的位置关系．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：利用面面垂直的性质及空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，对①、②、③、④四个选项逐一判断即可．解答：解：对于①，当两个平面垂直时， 一个平面内的不垂直于交线的直线不垂直于另一个平面内的任意一条直线，故①错误；对于②，设平面α∩平面β=m，n⊂α，l⊂β，∵平面α⊥平面β，∴当l⊥m时，必有m⊥α，而n⊂α，∴m⊥n，而在平面β内与l平行的直线有无数条，这些直线均与n垂直，故一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线，即②正确；对于③，当两个平面垂直时， 一个平面内的任一条直线不垂直于另一个平面，故③错误；对于④，两直线分别在这两平面内，它们所成的角的范围是0°到90°，故④不正确．故选：B．点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查面面垂直的性质及空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力，属于中档题．4．（5分）在平面直角坐标系中，直线（﹣）x+y=3和直线x+（﹣）y=2的位置关系是（）A．相互但不垂直B．平行C．垂直D．重合考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：由两直线方程直接求出两直线的斜率，由斜率之积等于﹣1得答案．解答：解：直线（﹣）x+y=3的斜率为﹣（﹣），直线x+（﹣）y=2的斜率为，∵，∴直线（﹣）x+y=3和直线x+（﹣）y=2垂直．故选：C．点评：本题考查了直线的一般式方程与直线的位置关系，有斜率的两条直线，若斜率之积等于﹣1，则两直线垂直，是基础题．5．（5分）在空间直角坐标系中，某几何体各定点的坐标分别为（0，0，0）、（2，0，0）、（2，2，0）、（0，2，0）、（0，0，1）、（2，2，1）、（0，2，2），则该几何体在xOz和yOz上的投影的面积分别为m、n，则m+n的值为（）A．7 B．6 C．5 D．4考点：空间中的点的坐标．专题：空间位置关系与距离．分析：该几何体如图所示，该几何体在xOz和yOz上的投影的面积分别为：直角梯形CDGF 的面积，直角梯形ADGE的面积，计算即可得出．解答：解：该几何体如图所示，该几何体在xOz和yOz上的投影的面积分别为：直角梯形CDGF的面积，直角梯形ADGE的面积，∴m=n==6，则m+n=6．故选：B．点评：本题考查了几何体的三视图及其面积计算、空间中的点的坐标，属于基础题，6．（5分）若a＞0，集合A={（x，y）|x≤3，x+y﹣4≤0，x﹣y+2a≥0}，B={（x，y）||x ﹣1|+|y﹣1|≤a}．若“点M（x，y）∈A”是“点M（x，y）∈B”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A．（0，2）B．（1，3）C．（0，2] D．[1，3]考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：推理和证明．分析：通过作图，利用数形结合即得结论．解答：解：∵“点M（x，y）∈A”是“点M（x，y）∈B”的必要不充分条件，∴B⊊A，集合A、B的图象如图，其中B的区域是以（1，1）为中心，a为边长的正方形，显然要使B⊊A，只需a≤2即可，又∵a＞0，∴0＜a≤2，故选：C．点评：本题考查集合之间的关系等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．7．（5分）在两个袋内，分别写着装有1，2，3，4，5，6六个数字的6张卡片，今从每个袋中各取一张卡片，则两数之间和能被3整除的概率为（）A．B．C．D．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：首先计算从两个袋中各取一张卡片的取法数目，再列举其中两数之间和能被3整除的情况，由等可能事件的概率公式，计算可得答案．解答：解：从两个袋中各取一张卡片，每个袋中有6张卡片，即有6种取法，则2张卡片的取法有6×6=36种，其中两数之间和能被3整除情况有（1，2），（2，1），（1，5），（5，1），（2，4），（4，2），（3，3），（3，6），（6，3），（4，5），（5，4），（6，6），共12种情况，故两数之间和能被3整除的概率P==故选：A．点评：本题考查等可能事件的概率的计算，解题时注意取出的卡片有顺序，即（3，6）与（6，3）是不同的取法．8．（5分）如果执行右面的程序框图，输入n=6，m=4，那么输出的p等于（）A．720 B．360 C．240 D．120考点：循环结构．专题：阅读型．分析：讨论k从1开始取，分别求出p的值，直到不满足k＜4，退出循环，从而求出p 的值，解题的关键是弄清循环次数．解答：解：第一次：k=1，p=1×3=3；第二次：k=2，p=3×4=12；第三次：k=3，p=12×5=60；第四次：k=4，p=60×6=360此时不满足k＜4．所以p=360．故选B点评：本题主要考查了直到形循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．9．（5分）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于C（）A．1 B．C．D．2考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：求解本题，可以从三个圆心上找关系，构建矩形利用对角线相等即可求解出答案．解答：解：设两圆的圆心分别为O1、O2，球心为O，公共弦为AB，其中点为E，则OO1EO2为矩形，于是对角线O1O2=OE，而OE==，∴O1O2=故选B．点评：本题考查球的有关概念，两平面垂直的性质，是基础题．10．（5分）若不论k为何值，直线y=k（x﹣2）+b与曲线x2+y2=9总有公共点，则b的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．[﹣2，2] C．（﹣，）D．[﹣，]考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：直线y=kx+2恒过点（2，b），不论k为何值，直线y=k（x﹣2）+b与曲线x2+y2=9总有公共点，（2，b）在圆x2+y2=9内或圆x2+y2=9上，即可求出b的取值范围解答：解：直线y=k（x﹣2）+b恒过点（2，b），则∵不论k为何值，直线y=k（x﹣2）+b与曲线x2+y2=9总有公共点，∴（2，b）在圆x2+y2=9内或圆x2+y2=9上，∴4+b2≤9．∴﹣≤b≤故选：D．点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．二、填空题（填空题（本题共5小题，每小题5分，满分25分，请将答案直接填在题中横线上）11．（5分）已知命题为p“若m＞0，则lnm＞0”，则其否定形式、逆命题、否命题、逆命题中正确的个数是3．考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：根据题意，写出该命题的否定命题、逆命题、否命题与逆否命题，并判断正误．解答：解：∵命题p：“若m＞0，则lnm＞0”，∴它的否定形式是“若m＞0，则lnm≤0”，它是真命题；逆命题是“若lnm＞0，则m＞0”，它是真命题；否命题是“若m≤0，则lnm＞0不成立”，它是真命题；逆否命题是“若lnm≤0，则m≤0”，它是假命题．综上，以上正确的个数是3．故答案为：3．点评：本题考查了四种命题以及命题的否定问题，是基础题目．12．（5分）已知某几何体的三视图（如图），则该几何体的体积为考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：如图所示，该几何体为：其中长方体的三条棱长分别为2，2，1，其圆柱部分为一个底面半径为1，高为3，去掉．解答：解：如图所示，该几何体为：其中长方体的三条棱长分别为2，2，1，其体积=2×2×1=4．其圆柱部分为一个底面半径为1，高为3，去掉，因此体积=×π×12×3=．因此该几何体的体积V=4+π．故答案为：4+π．点评：本题考查了三视图的原几何体的体积计算、长方体的条件计算公式、圆柱的体积计算公式，考查了推理能力，属于中档题13．（5分）在正三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B﹣AD﹣C后，BC=AB，这时二面角B﹣AD﹣C的大小为60°．考点：二面角的平面角及求法．专题：空间角．分析：根据已知条件能够说明∠BDC为二面角B﹣AD﹣C的平面角，连接BC，从而容易说明△BCD为正三角形，从而得出二面角B﹣AD﹣C的大小为60°．解答：解：根据已知条件知D为正三角形ABC边BC中点，且BD⊥AD，CD⊥AD；∴∠BDC为二面角B﹣AD﹣C的平面角，连接BC；由BC==BD=CD得△BCD为正三角形；∴∠BDC=60°；∴二面角B﹣AD﹣C的大小为60°．故答案为：60°．点评：考查二面角平面角的概念及求法，弄清图形折叠前后的变化，等边三角形的高线也是中线．14．（5分）已知过点（2，5）的直线l被圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为4，则直线l 的方程为x﹣2=0或4x﹣3y+7=0．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：求出圆的圆心与半径，利用弦心距、半径、半弦长满足勾股定理，求出所求直线的斜率，然后求出直线方程．解答：解：圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心坐标（1，2），半径为，过点（2，5）的直线l被圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为4，∴圆心到所求直线的距离为：1，设所求的直线的向量为k，所求直线为：y﹣5=k（x﹣2）．即kx﹣y﹣2k+5=0，∴=1，解得k=，所求直线方程为：4x﹣3y+7=0，当直线的斜率不存在时，直线方程为x﹣2=0，满足圆心到直线的距离为1．所求直线方程为：x﹣2=0或4x﹣3y+7=0．故答案为：x﹣2=0或4x﹣3y+7=0．点评：本题考查直线与圆的位置关系，弦心距与半径以及半弦长的关系，考查计算能力．15．（5分）在四棱柱ABCD﹣A′B′C′D′中，AA′⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC 且AD=AA′=2BC．过A′，C，D三点的平面与BB′交于点E，F，G分别为CC′，A′D′的中点（如图所示）给出以下判断：①E为BB′的中点；②直线A′E和直线FG是异面直线；③直线FG∥平面A′CD；④若AD⊥CD，则平面ABF⊥平面A′CD；⑤几何体EBC﹣A′AD是棱台．其中正确的结论是①③④⑤．（将正确的结论的序号全填上）考点：空间中直线与直线之间的位置关系；棱柱的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：利用四棱柱的性质，结合线面关系、面面关系定理对选项分别分析解答．解答：解：对于①，∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD为梯形，AD∥B C，∴平面EBC∥平面A1D1DA，∴平面A1CD与面EBC、平面A1D1DA的交线平行，∴EC∥A1D∴△EBC∽△A1AD，∴，∴E为BB1的中点；故①正确；对于②，因为E，F都是棱的中点，所以EF∥B'C'，又B'C'∥A'D'，所以EF∥A'D'，所以A'E，FG都在平面EFD'A'中；故②错误；对于③，由②可得EF∥A'G，EF=A'G，所以四边形A'EFG是平行四边形，所以FG∥A'E，又A'E⊂平面A'CD中，FG⊄平面A'CD，所以直线FG∥平面A′CD正确；对于④，连接AD'，容易得到BF∥AD'，所以ABFD'四点共面，因为AD⊥CD，AD'在底面的射影为AD，所以C D⊥AD'，又AD'⊥BF，所以BF⊥CD，又BF⊥CE，所以BF⊥平面A'CD，BF⊂平面ABFD'，所以平面ABF⊥平面A′CD；故④正确；对于⑤，由④得到，AB与D'F，DC交于一点，所以几何体EBC﹣A′AD是棱台．故⑤正确；故答案为：①③④⑤．点评：本题考查了三棱柱的性质的运用以及其中的线面关系和面面关系的判断，比较综合．三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出说明文字、演算式或证明步骤）16．（12分）设条件 p：2x2﹣3x+1≤0，条件q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若￢p是￢q 的必要不充分条件，求实数a的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：利用不等式的解法求解出命题p，q中的不等式范围问题，结合二者的关系得出关于字母a的不等式，从而求解出a的取值范围．解答：解：由题意得，命题，命题q：B={x|a≤x≤a+1}，∵¬p是¬q的必要不充分条件，∴p是q的充分不必要条件，即A⊆B，∴，∴．故实数a的取值范围为[0，]．点评：本题考查一元二次不等式的解法，考查二次不等式与二次函数的关系，注意等价转化思想的运用．17．（12分）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A，B 两点．（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，求直线l的方程．考点：直线和圆的方程的应用．专题：计算题．分析：（1）求出圆的圆心，代入直线方程，求出直线的斜率，即可求直线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，求出直线的斜率，即可写出直线l的方程；解答：解：（1）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9的圆心为C（1，0），因为直线l过点P，C，所以直线l的斜率为2，所以直线l的方程为y=2（x﹣1），即2x﹣y﹣2=0．（2）当弦AB被点P平分时，l⊥PC，直线l的方程为，即x+2y﹣6=0．点评：本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，计算直线的斜率；直线与圆的特殊位置关系的应用是本题的关键．18．（12分）知动点P（a，b）在区域上运动．（Ⅰ）若w=，求w的范围（Ⅱ）求覆盖此区域的面积最小的圆的方程．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）利用分式的性质将分式w=进行化简，利用斜率的几何意义，即可求w的范围（Ⅱ）利用待定系数法即可求出圆的方程．解答：解：（Ⅰ）w===1+，设k=，则k的几何意义为点P到定点N（1，2）的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：则ON的斜率k=2，由，解得，即A（4，4），则NA的斜率k==．由k的取值范围是k≥2或≤．则1+k≥3或1+k≤．即w≥3或w≤．（Ⅱ）若覆盖此区域的面积最小的圆，则此时过点O，B（2，0），A（4，4）三点的圆即可．设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，解得，圆的一般方程为x2+y2﹣2x﹣6y=0．点评：本题主要考查线性规划的应用以及圆的方程的求解．利用数形结合以及直线斜率的几何意义是解决本题的关键．19．（14分）已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29=0相切．求：（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）设直线ax﹣y+5=0与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．考点：直线和圆的方程的应用．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）利用点到直线的距离求出半径，从而求圆的方程；（Ⅱ）利用圆心到直线的距离小于半径可求出实数a的取值范围；（Ⅲ）假设存在利用直线与圆的位置关系性质解决．解答：解：（Ⅰ）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．由于圆与直线4x+3y﹣29=0相切，且半径为5，所以，，即|4m﹣29|=25．因为m为整数，故m=1．故所求的圆的方程是（x﹣1）2+y2=25．（Ⅱ）直线ax﹣y+5=0即y=ax+5．代入圆的方程，消去y整理，得（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1=0．由于直线ax﹣y+5=0交圆于A，B两点，故△=4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0，即12a2﹣5a＞0，解得 a＜0，或．所以实数a的取值范围是．（Ⅲ）设符合条件的实数a存在，由（2）得a≠0，则直线l的斜率为，l的方程为，即x+ay+2﹣4a=0．由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上．所以1+0+2﹣4a=0，解得．由于，故存在实数a=，使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB．点评：本题主要考查了圆的标准方程，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系等知识的综合应用，以及存在性问题的解决技巧，属于难题．20．（13分）如图，正四棱锥P﹣ABCD的顶点都在同一球面上，已知ABCD中心为E，球心O 在线段PE上，QA⊥底面ABCD，且与球面交于点Q，若球的半径为2．（Ⅰ）若OE=1，求二面角B﹣PQ﹣D的平面角的余弦值；（Ⅱ）若△QBD是等边三角形，求四棱锥P﹣ABCD和Q﹣ABCD公共部分的体积．考点：用空间向量求平面间的夹角；棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）如图所示，AE=，OQ=OA=2，点P，Q，A，C在球O的大圆上，COQ为球O的直径．AQ=2．建立如图所示的空间直角坐标系．取平面PQE的法向量为=（0，1，0）．设平面PQB的法向量为=（x，y，z），利用，可得，=．由对称性可知：二面角B﹣PQ﹣D的平面角的余弦值=﹣1．（II）若△QBD是等边三角形，则QA═AB=AD．不妨设OE=x，则AB=AQ=2x，可得AE=x．在△OEA中，利用勾股定理可得x，可得AB=AQ=，PE=2+．V P﹣ABCD=，设QC与PA相交于点S．则四棱锥P﹣ABCD和Q﹣ABCD公共部分就是四棱锥S﹣ABCD．由，可得，因此所求公共部分体积=V P﹣ABCD×．解答：解：（I）如图所示，AE=，OQ=OA=2，点P，Q，A，C在球O的大圆上，COQ为球O的直径．AQ=2．建立如图所示的空间直角坐标系．E（0，0，0），P（0，0，3），Q，B．=，=，取平面PQE的法向量为=（0，1，0）．设平面PQB的法向量为=（x，y，z），则，∴，取=．∴===．由对称性可知：二面角B﹣PQ﹣D的平面角的余弦值=﹣1=．（II）若△QBD是等边三角形，则QA═AB=AD．不妨设OE=x，则AB=AQ=2x，∴AE=x．在△OEA中，由OE2+AE2=OA2，∴x2+2x2=4，解得x=，即AB=AQ=，PE=2+．∴V P﹣ABCD===．设QC与PA相交于点S．则四棱锥P﹣ABCD和Q﹣ABCD公共部分就是四棱锥S﹣ABCD．由，可得，∴因此所求公共部分体积=×=点评：本题考查了正四棱锥的性质、球与圆的性质、线面垂直的性质与判定定理、二面角、向量垂直与数量积的关系、直角三角形的边角关系、倍角公式，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．。
2015-2016学年度第一学期高二理科试卷及答案
蚌埠市2015—2016学年度第一学期期末学业水平监测高二数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的A 、B 、C 、D 的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号涂到答题卡上.（不用答题卡的，填在下面相应的答题栏内，用答题卡的不必填．．．） 1.直线320x y ++=的倾斜角为 【 】A. 6p -B.56pC. 3p- D. 23p 2.命题“2,20∃∈++≤x R x x a ”的否定是 【 】A.2,20x R x x a "?+? B.2,20x R x x a $?+> C.2,20x R xx a "?+> D.2,20x R x x a $?+?3.以下命题正确的是 【 】 A.经过空间中的三点，有且只有一个平面。
B.空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等。
C.空间中，两条异面直线所成角的范围是(0,]2p。
D.如果直线l 平行于平面a 内的无数条直线，则直线l 平行于平面a 。
4. 已知圆M 的方程为22224510x y x y ++-+=，则下列说法中不正确的是 【 】A. 圆M 的圆心为5(1,)4-B.圆M 的半径为334C.圆M 被x 轴截得的弦长为3D. 圆M 被y 轴截得的弦长为1725. 已知,,a b c 是三条不重合的直线，,a b 是两个不重合的平面，直线l a Ì，则【 】A. //,////a c b c a b ÞB. //,////a b a b b b ÞC. //,////a c c a a a ÞD. ////a l a a Þ。
6．设a R Î，则“1a =-”是“直线21:()210l a a x y ++-=与直线2:(1)40l x a y +++=垂直”的 【 】A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件 7.某几何体的三视图（单位：cm ）如图，则这个几何体 的表面积为（单位：cm 2） 【 】 A. 2443+ B. 4883+ C.2483+ D.4843+8．已知(3cos ,3sin ,1)P a a 和(2cos ,2sin ,1)Q b b ，则PQ的取值范围是 【 】A. [0,5]B. [1,25]C. [1,5]D. (1,5) 9.若直线l 的方向向量为(1,1,2)=-u ，平面a 的法向量为(3,3,6)=--n ，则 【 】A. //l aB. α⊥lC. l a ÌD. l 与a 斜交 10.已知矩形A BCD 的顶点都在半径为5的球P 的球面上，且4,3AB BC ==,则棱锥P ABCD -的体积为 【 】A. 53B. 303C.1033D.103 11.已知不等式组36032020x y x y x y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩表示的平面区域为D ，则区域D 的面积为 【 】A. 2B.3C.4D. 5 12. 在平面直角坐标系xOy 中，圆M 的方程为2282160x y x y +--+=，若直线30kx y -+=上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆M 有公共点，则k 的取值范围为 【 】 A ．4(,]3-∞- B ．[0,)+?C ．4[,0]3- D ．4(,][0,)3-???蚌埠市2015—2016学年度第一学期期末学业水平监测高二数学（理科）题号 一 二 三总分 17 18 19 20 21 22 得分一、选择题答题栏：（不用答题卡的请将正确答案的字母代号填入下表；用答题卡的不必填．．．.）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 小计 答案第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案直接填在题中横线上.13.平面直角坐标系中，直线320x y -+=关于点(1,1)对称的直线方程是____________. 14.若命题“存在实数0[1,2]x Î，使得230xe x m ++-<”是假命题，则实数m 的取值范围为____________.15.已知正四棱锥侧面是正三角形，则侧棱与底面所成的角为_______.16.如图，已知平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AC 与平面111,A BD CB D 交于,E F 两点，设K 为11△B CD 的外心，则1:K BED A BFD V V --=_______________。
安徽省蚌埠市2017-2018学年高二上学期期末考试数学(理)试题
安徽省蚌埠市2017-2018学年高二上学期期末考试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】点关于平面对称的点的坐标为,选B2. 若直线：与直线：平行，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D3. 将半径相同，圆心角之比为1：2的两个扇形作为两个圆锥的侧面，这两个圆锥底面面积依次为，那么（）A. B. C. D.【答案】C...............4. 准线为的抛物线标准方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】准线为的抛物线标准方程是，选A.5. 下列命题中正确的是（）A. 如果平面平面，则内任意一条直线必垂直于B. 若直线不平行于平面，则内不存在直线平行于直线C. 如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面D. 若直线不垂直于平面，则内不存在直线垂直于直线【答案】C【解析】如果平面平面，则内一条直线不一定垂直于；若直线不平行于平面，且直线在平面内，则内有无数条直线平行于直线；若直线不垂直于平面，且直线在平面内，则内有无数条直线垂直于直线；所以A,B,D都错；因为平面内存在直线垂直于平面则有平面垂直于平面，所以其逆否命题也成立，即C正确，选C.6. 已知双曲线的一个焦点为，且离心率，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，即双曲线的方程为，选D.7. “直线不相交”是“直线为异面直线”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 即不充分也不必要条件【答案】B【解析】异面直线一定不相交，不相交可以平行，所以“直线不相交”是“直线为异面直线”的必要不充分条件，选B.8. 易知点是直线上的动点，点为圆上的动点，则的最小值为（）A. B. 1 C. D.【答案】A【解析】的最小值为 ,选A.点睛：与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．9. 一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】几何体为两个柱体的组合，高皆为4，一个底面为梯形（上底为1，下底为2，高为1），另一个为矩形，长为3，宽为2，所以体积为，选B.点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．10. 双曲线右焦点为，点在双曲线的右支上，以为直径的圆与圆的位置关系是（）A. 相交B. 外切C. 相离D. 内切【答案】B【解析】设为左焦点，则，从而圆心O到AF中点M距离为，所以以为直径的圆与圆的位置关系是外切，选B.点睛：判断圆与圆位置关系，实质就是探求圆心距与两半径之间关系，利用圆锥曲线定义揭示两圆圆心距与半径关系.11. 《九章算术》提到了一种名为“刍甍”的五面体如图：面为矩形，棱.若此几何体中，和都是边长为2的等边三角形，则此几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】过F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，取BC的中点P，连结PF，过F作FQ⊥AB，垂足为Q，连结OQ．∵△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形，∴OP=（AB﹣EF）=1，PF=，OQ=BC=1，∴OF==，FQ==，∴S梯形EFBA=S梯形EFCB==3，又S△BCF=S△ADE==，S矩形ABCD=4×2=8，∴几何体的表面积S==8+8．故选：B．12. 设抛物线的焦点为，两垂直直线过，与抛物线相交所得的弦分别为，则的最小值为（）A. 16B. 8C. 4D. 2【答案】A【解析】设倾斜角为，则，因为垂直，所以因此，选A.点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦AB的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 命题“任意四面体均有内切球”的否定形式是______.【答案】存在四面体没有内切球【解析】命题“任意四面体均有内切球”的否定形式是：存在四面体没有内切球14. 直线垂直于，且平分圆：，则直线的方程为_______. 【答案】【解析】设直线：，因为过圆心（-1，2），所以，即15. 将边长为1的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，，，其中与在平面的同侧，则异面直线与所成角的大小是_______.【答案】【解析】试题分析：设点在下底面圆周的射影为,连结,则,为直线与所成角(或补角),,连结,，为正三角形,,直线与所成角大小为.考点：异面直线所成角.【方法点睛】求两条异面直线所成角的关键是作为这两条异面直线所成角，作两条异面直线所成角的方法是：将其中一条一条直线平移与另一条相交相交或是将两条异面直线同时平移到某个位置使他们相交，然后再同一平面内求相交直线所成角，值得注意的是：平移后相交所得的角必须容易算出，因此平移时要求选择恰当位置.16. 已知点和点都在椭圆上，其中为椭圆的离心率，则_______.【答案】【解析】点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 已知：，：.若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】【解析】试题分析：先解不等式得p,q,再根据是的充分不必要条件得p,q包含关系，最后根据数轴求实数的取值范围.试题解析：：：∵是的充分不必要条件，∴，即∴且两个等号不同时成立，解得故实数的取值范围是.18. 已知圆的圆心在直线上，且圆经过点.（1）求圆的标准方程；（2）直线过点且与圆相交，所得弦长为4，求直线的方程.【答案】(1)；(2)或.【解析】试题分析：（1）先求的中垂线方程，再求交点得圆心，最后求半径（2）根据垂径定理得圆心到直线距离，设直线点斜式，根据点到直线距离公式求斜率，最后验证斜率不存在的情况是否满足条件试题解析：（1）解：（Ⅰ）设圆心为，则应在的中垂线上，其方程为，由，即圆心坐标为又半径，故圆的方程为.（Ⅱ）点在圆内，且弦长为，故应有两条直线.圆心到直线距离.①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线距离为1，符合题意.②当直线的斜率存在时，设为，直线方程为整理为，则圆心到直线距离为解得，直线方程为综上①②，所求直线方程为或.19. 在三棱锥中，平面平面，，分别为的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）根据中位线性质得，再根据线面平行判定定理得结果（2）先根据等腰三角形性质得.再根据面面垂直性质定理得平面，最后根据面面垂直判定定理得结果试题解析：（1）因为分别为的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面.（2）证明：因为，为的中点，所以.又因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，又平面，所以平面平面.20. 已知抛物线：的焦点为，直线与轴交于点，抛物线交于点，且.（1）求抛物线的方程；（2）过原点作斜率为和的直线分别交抛物线于两点，直线过定点，是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是，则说明理由.【答案】(1)；(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1）先求点P,Q坐标，再根据求得（2）先设，则，再根据点在抛物线上化简得，最后根据直线方程与抛物线方程联立方程组，结合韦达定理解得，即得试题解析：（1），由以及抛物线定义可知，∵，∴，抛物线的方程为.（2）不妨设，直线：，由，得，，故.21. 如图，中，，分别是的中点，将沿折起成，使面面，分别是和的中点，平面与，分别交于点.（1）求证：；（2）求二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：（1）先根据三角形中位线性质得，再根据线面平行判定定理得平面，最后根据线面平行性质定理得结论（2）根据以及建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量，由向量数量积得法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系求结果试题解析：(1)证明：∵分别是的中点，∴，而平面，平面，∴平面又平面平面，故.（2）如图，建立空间直角坐标系，由题意得：，，，，，∴，，，，设平面的一个法向量为，则，令，解得，∴设平面的一个法向量为，则，取，得，设二面角的平面角为，则，∴.∴二面角的正弦值为.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.22. 经过椭圆中心的弦称为椭圆的直径，平行于该直径的所有弦的中点的轨迹所在直线交椭圆所得的弦，称为该直径的共轭直径，已知椭圆的方程为.（1）若一条直径的斜率为，求该直径的共轭直径所在的直线方程；（2）如图，若椭圆的两条共轭直径为和，它们的斜率分别为，证明：四边形的面积为定值.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）利用点差法计算. 设斜率为的与直径平行的弦的端点坐标分别为，，该弦中点为，将坐标代入椭圆方程，作差，然后化简得，即直径的共轭直径所在的直线方程为；（2）四边形显然为平行四边形，联立直线的方程和椭圆的方程，分别求得四点的坐标分别为，，，，然后利用两点间距离公式和点到直线距离公式，求得面积为.试题解析：（1）设斜率为的与直径平行的弦的端点坐标分别为，，该弦中点为，则有，，相减得：，由于，，且，所以得：，故该直径的共轭直径所在的直线方程为.（2）椭圆的两条共轭直径为和，它们的斜率分别为，四边形显然为平行四边形，设与平行的弦的端点坐标分别为，，则，，而，，，故，由得的坐标分别为，故，同理的坐标分别为，设点到直线的距离为，四边形的面积为,所以，，则，为定值.考点：直线与圆锥曲线位置关系.【方法点晴】涉及直线与椭圆的基本题型有：（1）位置关系的判断；（2）弦长、弦中点问题；（3）轨迹问题；（4）定值、最值及参数范围问题；（5）存在性问题．常用思想方法和技巧有：（1）数形结合思想；（2）设而不求；（3）坐标法；（4）根与系数关系. 研究直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系问题，往往易忽视直线的斜率不存在的情况而导致失解．点差法，设而不求是一个很经典的方法.。
安徽省蚌埠市高二数学上学期期末试卷 理(含解析)
安徽省蚌埠市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题（本题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的．的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号涂到答题卡上，（不用答题卡的，填在后面相应的答题栏内，用答题卡的不必填））1．（5分）直线x﹣y﹣3=0的倾斜角是（）A．30°B．45°C．60°D．120°2．（5分）不论实数k取何值时，直线（k+1）x+（1﹣3k）y+2k﹣2=0恒过一定点，则该点的坐标是D（）A．（1，4）B．（2，1）C．（3，1）D．（1，1）3．（5分）已知两个平面垂直，下列命题中正确的是B（）A．一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线B．一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线C．一个平面内已知直线必垂直于另一个平面D．两直线分别在这两平面内，它们所成的角等于90°4．（5分）在平面直角坐标系中，直线（﹣）x+y=3和直线x+（﹣）y=2的位置关系是（）A．相互但不垂直B．平行C．垂直D．重合5．（5分）在空间直角坐标系中，某几何体各定点的坐标分别为（0，0，0）、（2，0，0）、（2，2，0）、（0，2，0）、（0，0，1）、（2，2，1）、（0，2，2），则该几何体在xOz和yOz上的投影的面积分别为m、n，则m+n的值为（）A．7 B．6 C．5 D．46．（5分）若a＞0，集合A={（x，y）|x≤3，x+y﹣4≤0，x﹣y+2a≥0}，B={（x，y）||x ﹣1|+|y﹣1|≤a}．若“点M（x，y）∈A”是“点M（x，y）∈B”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A．（0，2）B．（1，3）C．（0，2] D．[1，3]7．（5分）在两个袋内，分别写着装有1， 2，3，4，5，6六个数字的6张卡片，今从每个袋中各取一张卡片，则两数之间和能被3整除的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）如果执行右面的程序框图，输入n=6，m=4，那么输出的p等于（）A．720 B．360 C．240 D．1209．（5分）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于C（）A．1 B．C．D．210．（5分）若不论k为何值，直线y=k（x﹣2）+b与曲线x2+y2=9总有公共点，则b的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．[﹣2，2] C．（﹣，）D．[﹣，]二、填空题（填空题（本题共5小题，每小题5分，满分25分，请将答案直接填在题中横线上）11．（5分）已知命题为p“若m＞0，则lnm＞0”，则其否定形式、逆命题、否命题、逆命题中正确的个数是．12．（5分）已知某几何体的三视图（如图），则该几何体的体积为13．（5分）在正三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B﹣AD﹣C后，BC=AB，这时二面角B﹣AD﹣C的大小为．14．（5分）已知过点（2，5）的直线l被圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为4，则直线l 的方程为．15．（5分）在四棱柱ABCD﹣A′B′C′D′中，AA′⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC 且AD=AA′=2BC．过A′，C，D三点的平面与BB′交于点E，F，G分别为CC′，A′D′的中点（如图所示）给出以下判断：①E为BB′的中点；②直线A′E和直线FG是异面直线；③直线FG∥平面A′CD；④若AD⊥CD，则平面ABF⊥平面A′CD；⑤几何体EBC﹣A′AD是棱台．其中正确的结论是．（将正确的结论的序号全填上）三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出说明文字、演算式或证明步骤）16．（12分）设条件 p：2x2﹣3x+1≤0，条件q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若￢p是￢q 的必要不充分条件，求实数a的取值范围．17．（12分）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A，B 两点．（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，求直线l的方程．18．（12分）知动点P（a，b）在区域上运动．（Ⅰ）若w=，求w的范围（Ⅱ）求覆盖此区域的面积最小的圆的方程．19．（14分）已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29=0相切．求：（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）设直线ax﹣y+5=0与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．20．（13分）如图，正四棱锥P﹣ABCD的顶点都在同一球面上，已知ABCD中心为E，球心O 在线段PE上，QA⊥底面ABCD，且与球面交于点Q，若球的半径为2．（Ⅰ）若OE=1，求二面角B﹣PQ﹣D的平面角的余弦值；（Ⅱ）若△QBD是等边三角形，求四棱锥P﹣ABCD和Q﹣ABCD公共部分的体积．安徽省蚌埠市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的．的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号涂到答题卡上，（不用答题卡的，填在后面相应的答题栏内，用答题卡的不必填））1．（5分）直线x﹣y﹣3=0的倾斜角是（）A．30°B．45°C．60°D．120°考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：利用直线斜率与倾斜角的关系即可得出，解答：解：设直线的倾斜角为θ，θ∈[0°，180°），由直线x﹣y﹣3=0可得斜率k=，∴tanθ=，∴θ=30°．故选：A．点评：本题考查了直线斜率与倾斜角的关系，属于基础题．2．（5分）不论实数k取何值时，直线（k+1）x+（1﹣3k）y+2k﹣2=0恒过一定点，则该点的坐标是D（）A．（1，4）B．（2，1）C．（3，1）D．（1，1）考点：恒过定点的直线．专题：直线与圆．分析：由于直线（k+1）x+（1﹣3k）y+2k﹣2=0恒过一定点，化为k（x﹣3y+2）+（x+y ﹣2）=0，令，解得即可．解答：解：直线（k+1）x+（1﹣3k）y+2k﹣2=0恒过一定点，化为k（x﹣3y+2）+（x+y﹣2）=0，令，解得．∴直线恒过定点（1，1）．故选：D．点评：本题考查了直线系的应用，属于基础题．3．（5分）已知两个平面垂直，下列命题中正确的是B（）A．一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线B．一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线C．一个平面内已知直线必垂直于另一个平面D．两直线分别在这两平面内，它们所成的角等于90°考点：平面与平面之间的位置关系．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：利用面面垂直的性质及空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，对①、②、③、④四个选项逐一判断即可．解答：解：对于①，当两个平面垂直时， 一个平面内的不垂直于交线的直线不垂直于另一个平面内的任意一条直线，故①错误；对于②，设平面α∩平面β=m，n⊂α，l⊂β，∵平面α⊥平面β，∴当l⊥m时，必有m⊥α，而n⊂α，∴m⊥n，而在平面β内与l平行的直线有无数条，这些直线均与n垂直，故一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线，即②正确；对于③，当两个平面垂直时， 一个平面内的任一条直线不垂直于另一个平面，故③错误；对于④，两直线分别在这两平面内，它们所成的角的范围是0°到90°，故④不正确．故选：B．点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查面面垂直的性质及空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力，属于中档题．4．（5分）在平面直角坐标系中，直线（﹣）x+y=3和直线x+（﹣）y=2的位置关系是（）A．相互但不垂直B．平行C．垂直D．重合考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：由两直线方程直接求出两直线的斜率，由斜率之积等于﹣1得答案．解答：解：直线（﹣）x+y=3的斜率为﹣（﹣），直线x+（﹣）y=2的斜率为，∵，∴直线（﹣）x+y=3和直线x+（﹣）y=2垂直．故选：C．点评：本题考查了直线的一般式方程与直线的位置关系，有斜率的两条直线，若斜率之积等于﹣1，则两直线垂直，是基础题．5．（5分）在空间直角坐标系中，某几何体各定点的坐标分别为（0，0，0）、（2，0，0）、（2，2，0）、（0，2，0）、（0，0，1）、（2，2，1）、（0，2，2），则该几何体在xOz和yOz上的投影的面积分别为m、n，则m+n的值为（）A．7 B．6 C．5 D．4考点：空间中的点的坐标．专题：空间位置关系与距离．分析：该几何体如图所示，该几何体在xOz和yOz上的投影的面积分别为：直角梯形CDGF 的面积，直角梯形ADGE的面积，计算即可得出．解答：解：该几何体如图所示，该几何体在xOz和yOz上的投影的面积分别为：直角梯形CDGF的面积，直角梯形ADGE的面积，∴m=n==6，则m+n=6．故选：B．点评：本题考查了几何体的三视图及其面积计算、空间中的点的坐标，属于基础题，6．（5分）若a＞0，集合A={（x，y）|x≤3，x+y﹣4≤0，x﹣y+2a≥0}，B={（x，y）||x ﹣1|+|y﹣1|≤a}．若“点M（x，y）∈A”是“点M（x，y）∈B”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A．（0，2）B．（1，3）C．（0，2] D．[1，3]考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：推理和证明．分析：通过作图，利用数形结合即得结论．解答：解：∵“点M（x，y）∈A”是“点M（x，y）∈B”的必要不充分条件，∴B⊊A，集合A、B的图象如图，其中B的区域是以（1，1）为中心，a为边长的正方形，显然要使B⊊A，只需a≤2即可，又∵a＞0，∴0＜a≤2，故选：C．点评：本题考查集合之间的关系等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．7．（5分）在两个袋内，分别写着装有1，2，3，4，5，6六个数字的6张卡片，今从每个袋中各取一张卡片，则两数之间和能被3整除的概率为（）A．B．C．D．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：首先计算从两个袋中各取一张卡片的取法数目，再列举其中两数之间和能被3整除的情况，由等可能事件的概率公式，计算可得答案．解答：解：从两个袋中各取一张卡片，每个袋中有6张卡片，即有6种取法，则2张卡片的取法有6×6=36种，其中两数之间和能被3整除情况有（1，2），（2，1），（1，5），（5，1），（2，4），（4，2），（3，3），（3，6），（6，3），（4，5），（5，4），（6，6），共12种情况，故两数之间和能被3整除的概率P==故选：A．点评：本题考查等可能事件的概率的计算，解题时注意取出的卡片有顺序，即（3，6）与（6，3）是不同的取法．8．（5分）如果执行右面的程序框图，输入n=6，m=4，那么输出的p等于（）A．720 B．360 C．240 D．120考点：循环结构．专题：阅读型．分析：讨论k从1开始取，分别求出p的值，直到不满足k＜4，退出循环，从而求出p 的值，解题的关键是弄清循环次数．解答：解：第一次：k=1，p=1×3=3；第二次：k=2，p=3×4=12；第三次：k=3，p=12×5=60；第四次：k=4，p=60×6=360此时不满足k＜4．所以p=360．故选B点评：本题主要考查了直到形循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．9．（5分）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于C（）A．1 B．C．D．2考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：求解本题，可以从三个圆心上找关系，构建矩形利用对角线相等即可求解出答案．解答：解：设两圆的圆心分别为O1、O2，球心为O，公共弦为AB，其中点为E，则OO1EO2为矩形，于是对角线O1O2=OE，而OE==，∴O1O2=故选B．点评：本题考查球的有关概念，两平面垂直的性质，是基础题．10．（5分）若不论k为何值，直线y=k（x﹣2）+b与曲线x2+y2=9总有公共点，则b的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．[﹣2，2] C．（﹣，）D．[﹣，]考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：直线y=kx+2恒过点（2，b），不论k为何值，直线y=k（x﹣2）+b与曲线x2+y2=9总有公共点，（2，b）在圆x2+y2=9内或圆x2+y2=9上，即可求出b的取值范围解答：解：直线y=k（x﹣2）+b恒过点（2，b），则∵不论k为何值，直线y=k（x﹣2）+b与曲线x2+y2=9总有公共点，∴（2，b）在圆x2+y2=9内或圆x2+y2=9上，∴4+b2≤9．∴﹣≤b≤故选：D．点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．二、填空题（填空题（本题共5小题，每小题5分，满分25分，请将答案直接填在题中横线上）11．（5分）已知命题为p“若m＞0，则lnm＞0”，则其否定形式、逆命题、否命题、逆命题中正确的个数是3．考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：根据题意，写出该命题的否定命题、逆命题、否命题与逆否命题，并判断正误．解答：解：∵命题p：“若m＞0，则lnm＞0”，∴它的否定形式是“若m＞0，则lnm≤0”，它是真命题；逆命题是“若lnm＞0，则m＞0”，它是真命题；否命题是“若m≤0，则lnm＞0不成立”，它是真命题；逆否命题是“若lnm≤0，则m≤0”，它是假命题．综上，以上正确的个数是3．故答案为：3．点评：本题考查了四种命题以及命题的否定问题，是基础题目．12．（5分）已知某几何体的三视图（如图），则该几何体的体积为考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：如图所示，该几何体为：其中长方体的三条棱长分别为2，2，1，其圆柱部分为一个底面半径为1，高为3，去掉．解答：解：如图所示，该几何体为：其中长方体的三条棱长分别为2，2，1，其体积=2×2×1=4．其圆柱部分为一个底面半径为1，高为3，去掉，因此体积=×π×12×3=．因此该几何体的体积V=4+π．故答案为：4+π．点评：本题考查了三视图的原几何体的体积计算、长方体的条件计算公式、圆柱的体积计算公式，考查了推理能力，属于中档题13．（5分）在正三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B﹣AD﹣C后，BC=AB，这时二面角B﹣AD﹣C的大小为60°．考点：二面角的平面角及求法．专题：空间角．分析：根据已知条件能够说明∠BDC为二面角B﹣AD﹣C的平面角，连接BC，从而容易说明△BCD为正三角形，从而得出二面角B﹣AD﹣C的大小为60°．解答：解：根据已知条件知D为正三角形ABC边BC中点，且BD⊥AD，CD⊥AD；∴∠BDC为二面角B﹣AD﹣C的平面角，连接BC；由BC==BD=CD得△BCD为正三角形；∴∠BDC=60°；∴二面角B﹣AD﹣C的大小为60°．故答案为：60°．点评：考查二面角平面角的概念及求法，弄清图形折叠前后的变化，等边三角形的高线也是中线．14．（5分）已知过点（2，5）的直线l被圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为4，则直线l 的方程为x﹣2=0或4x﹣3y+7=0．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：求出圆的圆心与半径，利用弦心距、半径、半弦长满足勾股定理，求出所求直线的斜率，然后求出直线方程．解答：解：圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心坐标（1，2），半径为，过点（2，5）的直线l被圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为4，∴圆心到所求直线的距离为：1，设所求的直线的向量为k，所求直线为：y﹣5=k（x﹣2）．即kx﹣y﹣2k+5=0，∴=1，解得k=，所求直线方程为：4x﹣3y+7=0，当直线的斜率不存在时，直线方程为x﹣2=0，满足圆心到直线的距离为1．所求直线方程为：x﹣2=0或4x﹣3y+7=0．故答案为：x﹣2=0或4x﹣3y+7=0．点评：本题考查直线与圆的位置关系，弦心距与半径以及半弦长的关系，考查计算能力．15．（5分）在四棱柱ABCD﹣A′B′C′D′中，AA′⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC 且AD=AA′=2BC．过A′，C，D三点的平面与BB′交于点E，F，G分别为CC′，A′D′的中点（如图所示）给出以下判断：①E为BB′的中点；②直线A′E和直线FG是异面直线；③直线FG∥平面A′CD；④若AD⊥CD，则平面ABF⊥平面A′CD；⑤几何体EBC﹣A′AD是棱台．其中正确的结论是①③④⑤．（将正确的结论的序号全填上）考点：空间中直线与直线之间的位置关系；棱柱的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：利用四棱柱的性质，结合线面关系、面面关系定理对选项分别分析解答．解答：解：对于①，∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，∴平面EBC∥平面A1D1DA，∴平面A1CD与面EBC、平面A1D1DA的交线平行，∴EC∥A1D∴△EBC∽△A1AD，∴，∴E为BB1的中点；故①正确；对于②，因为E，F都是棱的中点，所以EF∥B'C'，又B'C'∥A'D'，所以EF∥A'D'，所以A'E，FG都在平面EFD'A'中；故②错误；对于③，由②可得EF∥A'G，EF=A'G，所以四边形A'EFG是平行四边形，所以FG∥A'E，又A'E⊂平面A'CD中，FG⊄平面A'CD，所以直线FG∥平面A′CD正确；对于④，连接AD'，容易得到BF∥AD'，所以ABFD'四点共面，因为AD⊥CD，AD'在底面的射影为AD，所以CD⊥AD'，又AD'⊥BF，所以BF⊥CD，又BF⊥CE，所以BF⊥平面A'CD，BF⊂平面ABFD'，所以平面ABF⊥平面A′CD；故④正确；对于⑤，由④得到，AB与D'F，DC交于一点，所以几何体EBC﹣A′AD是棱台．故⑤正确；故答案为：①③④⑤．点评：本题考查了三棱柱的性质的运用以及其中的线面关系和面面关系的判断，比较综合．三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出说明文字、演算式或证明步骤）16．（12分）设条件 p：2x2﹣3x+1≤0，条件q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若￢p是￢q 的必要不充分条件，求实数a的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：利用不等式的解法求解出命题p，q中的不等式范围问题，结合二者的关系得出关于字母a的不等式，从而求解出a的取值范围．解答：解：由题意得，命题，命题q：B={x|a≤x≤a+1}，∵¬p是¬q的必要不充分条件，∴p是q的充分不必要条件，即A⊆B，∴，∴．故实数a的取值范围为[0，]．点评：本题考查一元二次不等式的解法，考查二次不等式与二次函数的关系，注意等价转化思想的运用．17．（12分）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A，B 两点．（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，求直线l的方程．考点：直线和圆的方程的应用．专题：计算题．分析：（1）求出圆的圆心，代入直线方程，求出直线的斜率，即可求直线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，求出直线的斜率，即可写出直线l的方程；解答：解：（1）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9的圆心为C（1，0），因为直线l过点P，C，所以直线l的斜率为2，所以直线l的方程为y=2（x﹣1），即2x﹣y﹣2=0．（2）当弦AB被点P平分时，l⊥PC，直线l的方程为，即x+2y﹣6=0．点评：本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，计算直线的斜率；直线与圆的特殊位置关系的应用是本题的关键．18．（12分）知动点P（a，b）在区域上运动．（Ⅰ）若w=，求w的范围（Ⅱ）求覆盖此区域的面积最小的圆的方程．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）利用分式的性质将分式w=进行化简，利用斜率的几何意义，即可求w的范围（Ⅱ）利用待定系数法即可求出圆的方程．解答：解：（Ⅰ）w===1+，设k=，则k的几何意义为点P到定点N（1，2）的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：则ON的斜率k=2，由，解得，即A（4，4），则NA的斜率k==．由k的取值范围是k≥2或≤．则1+k≥3或1+k≤．即w≥3或w≤．（Ⅱ）若覆盖此区域的面积最小的圆，则此时过点O，B（2，0），A（4，4）三点的圆即可．设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，解得，圆的一般方程为x2+y2﹣2x﹣6y=0．点评：本题主要考查线性规划的应用以及圆的方程的求解．利用数形结合以及直线斜率的几何意义是解决本题的关键．19．（14分）已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29=0相切．求：（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）设直线ax﹣y+5=0与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．考点：直线和圆的方程的应用．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）利用点到直线的距离求出半径，从而求圆的方程；（Ⅱ）利用圆心到直线的距离小于半径可求出实数a的取值范围；（Ⅲ）假设存在利用直线与圆的位置关系性质解决．解答：解：（Ⅰ）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．由于圆与直线4x+3y﹣29=0相切，且半径为5，所以，，即|4m﹣29|=25．因为m为整数，故m=1．故所求的圆的方程是（x﹣1）2+y2=25．（Ⅱ）直线ax﹣y+5=0即y=ax+5．代入圆的方程，消去y整理，得（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1=0．由于直线ax﹣y+5=0交圆于A，B两点，故△=4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0，即12a2﹣5a＞0，解得 a＜0，或．所以实数a的取值范围是．（Ⅲ）设符合条件的实数a存在，由（2）得a≠0，则直线l的斜率为，l的方程为，即x+ay+2﹣4a=0．由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上．所以1+0+2﹣4a=0，解得．由于，故存在实数a=，使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB．点评：本题主要考查了圆的标准方程，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系等知识的综合应用，以及存在性问题的解决技巧，属于难题．20．（13分）如图，正四棱锥P﹣ABCD的顶点都在同一球面上，已知ABCD中心为E，球心O 在线段PE上，QA⊥底面ABCD，且与球面交于点Q，若球的半径为2．（Ⅰ）若OE=1，求二面角B﹣PQ﹣D的平面角的余弦值；（Ⅱ）若△QBD是等边三角形，求四棱锥P﹣ABCD和Q﹣ABCD公共部分的体积．考点：用空间向量求平面间的夹角；棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）如图所示，AE=，OQ=OA=2，点P，Q，A，C在球O的大圆上，COQ为球O的直径．AQ=2．建立如图所示的空间直角坐标系．取平面PQE的法向量为=（0，1，0）．设平面PQB的法向量为=（x，y，z），利用，可得，=．由对称性可知：二面角B﹣PQ﹣D的平面角的余弦值=﹣1．（II）若△QBD是等边三角形，则QA═AB=AD．不妨设OE=x，则AB=AQ=2x，可得AE=x．在△OEA中，利用勾股定理可得x，可得AB=AQ=，PE=2+．V P﹣ABCD=，设QC与PA相交于点S．则四棱锥P﹣ABCD和Q﹣ABCD公共部分就是四棱锥S﹣ABCD．由，可得，因此所求公共部分体积=V P﹣ABCD×．解答：解：（I）如图所示，AE=，OQ=OA=2，点P，Q，A，C在球O的大圆上，COQ为球O的直径．AQ=2．建立如图所示的空间直角坐标系．E（0，0，0），P（0，0，3），Q，B．=，=，取平面PQE的法向量为=（0，1，0）．设平面PQB的法向量为=（x，y，z），则，∴，取=．∴===．由对称性可知：二面角B﹣PQ﹣D的平面角的余弦值=﹣1=．（II）若△QBD是等边三角形，则QA═AB=AD．不妨设OE=x，则AB=AQ=2x，∴AE=x．在△OEA中，由OE2+AE2=OA2，∴x2+2x2=4，解得x=，即AB=AQ=，PE=2+．∴V P﹣ABCD===．设QC与PA相交于点S．则四棱锥P﹣ABCD和Q﹣ABCD公共部分就是四棱锥S﹣ABCD．由，可得，∴因此所求公共部分体积=×=点评：本题考查了正四棱锥的性质、球与圆的性质、线面垂直的性质与判定定理、二面角、向量垂直与数量积的关系、直角三角形的边角关系、倍角公式，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．。
安徽省蚌埠二中2016-2017学年高二(上)期中数学试卷(解析版)(理科)
2016-2017学年安徽省蚌埠二中高二（上）期中数学试卷（理科）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如果直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0互相垂直，那么实数a=（）A．B．C．D．62．圆（x+2）2+y2=5关于直线x﹣y+1=0对称的圆的方程为（）A．（x﹣2）2+y2=5 B．x2+（y﹣2）2=5 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=5 D．（x+1）2+（y+1）2=53．两平行直线kx+6y+2=0与4x﹣3y+4=0之间的距离为（）A．B．C．1 D．4．过平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有（）A．4条 B．6条 C．8条 D．12条5．过点（﹣2，4）且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条6．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面7．已知p，q满足p+2q﹣1=0，则直线px+3y+q=0必过定点（）A．B．C．D．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．12+4B．12 C．D．89．若点P（m﹣2，n+1），Q（n，m﹣1）关于直线l对称，则l的方程是（）A．x﹣y+1=0 B．x﹣y=0 C．x+y+1=0 D．x+y=010．直线的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．11．如图，M是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列命题①过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交；②过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交；④过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行．其中真命题是（）A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③12．已知圆，定直线l经过点A（1，0），若对任意的实数a，定直线l被圆C截得的弦长始终为定值d，求得此定值d等于（）A．B． C． D．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．点M（3，﹣1）是圆x2+y2﹣4x+y﹣2=0内一点，过点M最长的弦所在的直线方程为．14．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，点E为AD1的中点，点F在AB上．若EF⊥平面AB1C，则线段EF的长度等于．15．直线l1与直线l2交于一点P，且l1的斜率为，l2的斜率为2k，直线l1、l2与x轴围成一个等腰三角形，则正实数k的所有可能的取值为．16．已知底面边长为a的正三棱柱ABC﹣A1B1C1的六个顶点在球O1上，又知球O2与此正三棱柱的5个面都相切，求球O1与球O2的表面积之比为．三．解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）直线l0：y=x+1绕点P（3，1）逆时针旋转90°得到直线l，求直线l的方程．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，AA1=2，点M，N分别为A1B和B1C1的中点．（1）求异面直线MN与A1C所成角的余弦值；（2）求三棱锥A1﹣MNC的体积．19．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4．设圆C的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．20．（12分）如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，．（1）证明：面PQC⊥面DQC；（2）求面PAB与面DQC所成锐二面角的余弦值．21．（12分）如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，PD⊥面ABCD，QC⊥面ABCD，且AB=AD=PD=QC=CD，（1）设直线QB与平面PDB所成角为θ，求sinθ的值；（2）设M为AD的中点，在PD边上求一点N，使得MN∥面PBC，求的值．22．（12分）已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+3=0，直线l：y=kx，直线l与圆C交于A，B两点，点M的坐标为（0，m），且满足．（1）当m=1时，求k的值；（2）当时，求k的取值范围．2016-2017学年安徽省蚌埠二中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如果直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0互相垂直，那么实数a=（）A．B．C．D．6【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】通过两条直线的垂直，利用斜率乘积为﹣1，即可求解a的值．【解答】解：因为直线ax+2y+2=0与3x﹣y﹣2=0互相垂直，所以﹣×3=﹣1，所以a=．故选A．【点评】本题考查直线的垂直条件的应用，斜率乘积为﹣1时必须直线的斜率存在．2．圆（x+2）2+y2=5关于直线x﹣y+1=0对称的圆的方程为（）A．（x﹣2）2+y2=5 B．x2+（y﹣2）2=5 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=5 D．（x+1）2+（y+1）2=5【考点】圆的标准方程．【分析】根据已知圆的圆心求出关于直线x﹣3y﹣5=0对称的圆的圆心，求出半径，即可得到所求结果．【解答】解；由圆（x+2）2+y2=5可知，圆心（﹣2，0），半径r=．设点（﹣2，0）关于直线x﹣y+1=0对称的点为（x，y），则，解得．∴所求圆的圆心为（﹣1，﹣1）．又∵半径r=．∴圆（x+2）2+y2=5关于直线x﹣y+1=0对称的圆的方程为（x+1）2+（y+1）2=5．故选：D．【点评】本题考查点关于直线对称问题，圆的标准方程等知识，属于中档题．3．两平行直线kx+6y+2=0与4x﹣3y+4=0之间的距离为（）A．B．C．1 D．【考点】两条平行直线间的距离．【分析】先根据直线平行的性质求出k的值，后利用平行线的距离公式求解即可．【解答】解：∵直线kx+6y+2=0与4x﹣3y+4=0平行∴k=﹣8．∴直线kx+6y+2=0可化为4x﹣3y﹣1=0∴两平行直线kx+6y+2=0与4x﹣3y+4=0之间的距离为d==1．故选C．【点评】本题主要考查直线平行的性质和平行线间的距离公式．属于基础题．4．过平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有（）A．4条 B．6条 C．8条 D．12条【考点】直线与平面平行的判定．【分析】由题意求平面DBB1D1平行的直线，画出图形然后进行判断．【解答】解：如图，过平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有12条，故选D．【点评】此题是一道作图题，解题的关键是画出图形，然后数出来，是高考常考的选择题．5．过点（﹣2，4）且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．【分析】根据直线截距的意义即可得到结论．【解答】解：若直线过原点，则满足条件，此时设直线方程为y=kx，则4=﹣2k，解得k=﹣2，此时直线为y=﹣2x，若直线不经过原点，则设直线的截距式方程为，∵直线过点（﹣2，4，），∴，∵|a|=|b|，∴a=b或a=﹣b，若a=b，则方程等价为，解得a=b=2，此时直线方程为x+y=2，若a=﹣b，则方程等价为，解得b=6，a=﹣6，此时直线方程为x﹣y=﹣6，故满足条件的直线有3条，故选：C【点评】本题主要考查直线截距式方程的应用，注意要进行分类讨论．6．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面【考点】平面的基本性质及推论；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】通过两条直线垂直的充要条件两条线所成的角为90°；判断出B对；通过举常见的图形中的边、面的关系说明命题错误．【解答】解：对于A，通过常见的图形正方体，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，A错；对于B，∵l1⊥l2，∴l1，l2所成的角是90°，又∵l2∥l3∴l1，l3所成的角是90°∴l1⊥l3，B对；对于C，例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故C错；对于D，例如三棱锥的三侧棱共点，但不共面，故D错．故选B．【点评】本题考查两直线垂直的定义、考查判断线面的位置关系时常借助常见图形中的边面的位置关系得到启示．7．已知p，q满足p+2q﹣1=0，则直线px+3y+q=0必过定点（）A．B．C．D．【考点】过两条直线交点的直线系方程．【分析】消元整理可得x+3y+q（1﹣2x）=0，由直线系的知识解方程组可得．【解答】解：∵p，q满足p+2q﹣1=0，∴p=1﹣2q，代入直线方程px+3y+q=0可得（1﹣2q）x+3y+q=0，整理可得x+3y+q（1﹣2x）=0，解方程组可得，∴直线px+3y+q=0必过定点（，﹣）故选：C．【点评】本题考查直线系方程，涉及消元思想和方程组的解法，属基础题．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．12+4B．12 C．D．8【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图还原原图形如图，然后利用三角形面积公式求解．【解答】解：由三视图可得原几何体如图，AB=BC=BE=DF=2，则△AEC与△AFC边AC上的高为，∴该几何体的表面积为S==．故选：A．【点评】本题考查空间几何体的三视图，由三视图还原原图形是关键，是中档题．9．若点P（m﹣2，n+1），Q（n，m﹣1）关于直线l对称，则l的方程是（）A．x﹣y+1=0 B．x﹣y=0 C．x+y+1=0 D．x+y=0【考点】点到直线的距离公式．【分析】由对称的特点，直线l经过PQ的中点，且l垂直于PQ，运用中点坐标公式和直线垂直的条件，再由点斜式方程，即可得到．【解答】解：由对称的特点，直线l经过PQ的中点（，），且PQ的斜率为=﹣1，则l的斜率为1，则直线l方程为：y﹣=x﹣，化简即得，x﹣y+1=0，故选A．【点评】本题考查点关于直线对称的求法，考查直线方程的求法，考查运算能力，属于中档题．10．直线的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】直线的倾斜角．【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系，即可得出结论．【解答】解：设直线的倾斜角为α，则|tanα|=||≥，∴α∈，故选D．【点评】本题考查直线的倾斜角与斜率的关系，考查学生的计算能力，比较基础．11．如图，M是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列命题①过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交；②过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交；④过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行．其中真命题是（）A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③【考点】直线与平面平行的性质；平面与平面垂直的性质．【分析】点M不在这两异面直线中的任何一条上，所以，过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交，①正确．②过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直，正确．过M点有无数个平面与直线AB、B1C1都相交，③不正确．④过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行，正确．【解答】解：直线AB与B1C1是两条互相垂直的异面直线，点M不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：取C1C的中点N，则MN∥AB，且MN=AB，设BN 与B1C1交于H，则点A、B、M、N、H 共面，直线HM必与AB直线相交于某点O．所以，过M点有且只有一条直线HO与直线AB、B1C1都相交；故①正确．过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直，此垂线就是棱DD1，故②正确．过M点有无数个平面与直线AB、B1C1都相交，故③不正确．过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行，此平面就是过M点与正方体的上下底都平行的平面，故④正确．综上，①②④正确，③不正确，故选C．【点评】本题考查立体几何图形中直线和平面的相交、平行、垂直的性质，体现了数形结合的数学思想．12．已知圆，定直线l经过点A（1，0），若对任意的实数a，定直线l被圆C截得的弦长始终为定值d，求得此定值d等于（）A．B． C． D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据圆的方程求出圆心和半径，由题意可得圆心C到直线l的距离为定值．当直线l的斜率不存在时，经过检验不符合条件．当直线l的斜率存在时，直线l的方程为y﹣0=k（x﹣1），圆心C到直线l的距离为定值，即可得出结论．【解答】解：圆C：即[x﹣（a﹣2）]2+（y﹣）2=16，表示以C（a﹣2，）为圆心，半径等于4的圆．∵直线l经过点（1，0），对任意的实数m，定直线l被圆C截得的弦长为定值，则圆心C到直线l的距离为定值．当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，圆心C到直线l的距离为|a﹣2﹣1|=|a﹣3|，不是定值．当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y﹣0=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0．此时，圆心C到直线l的距离h=为定值，与a无关，故k=，h=，∴d=2=，故选：D【点评】本题主要考查圆的标准方程，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．点M（3，﹣1）是圆x2+y2﹣4x+y﹣2=0内一点，过点M最长的弦所在的直线方程为x+2y﹣1=0．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由M为已知圆内一点，可知过M最长的弦为过M点的直径，故过点M 最长的弦所在的直线方程为点M和圆心确定的直线方程，所以把圆的方程化为标准，找出圆心坐标，设出所求直线的方程，把M和求出的圆心坐标代入即可确定出直线的方程．【解答】解：把圆的方程x2+y2﹣4x+y﹣2=0化为标准方程得：（x﹣2）2+（y+）2=6.25，所以圆心坐标为（2，﹣），又M（3，0），根据题意可知：过点M最长的弦为圆的直径，则所求直线为过圆心和M的直线，设为y=kx+b，把两点坐标代入得：解得：k=﹣，b=1，则过点M最长的弦所在的直线方程是y=﹣x+1，即x+2y﹣1=0．故答案为x+2y﹣1=0．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，要求学生会将圆的方程化为标准方程，会利用待定系数法求一次函数的解析式，根据题意得出所求直线为过圆心和M 的直线是本题的突破点．14．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，点E为AD1的中点，点F在AB上．若EF⊥平面AB1C，则线段EF的长度等于．【考点】直线与平面所成的角．【分析】如图所示，由正方体的性质可得：AO⊥平面BDD1．可得AC⊥BD1，可得BD1⊥平面ACB1．由EF⊥平面AB1C，可得EF∥BD1，可得EF为△ABD1的中位线，即可得出．【解答】解：如图所示．由正方体的性质可得：AO⊥平面BDD1．∴AC⊥BD1，同理可得BD1⊥AB1，又AC∩AB1=A，∴BD1⊥平面ACB1．又EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1，又点E为AD1的中点，∴点F为AB的中点，而AB，∴EF==×=．故答案为：．【点评】本题考查了正方体的性质、线面垂直的判定与性质定理、三角形中位线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中点题．15．直线l1与直线l2交于一点P，且l1的斜率为，l2的斜率为2k，直线l1、l2与x轴围成一个等腰三角形，则正实数k的所有可能的取值为，．【考点】直线的斜率．【分析】设出直线的倾斜角，利用直线l1、l2与x轴围成一个等腰三角形，判断斜率的符号，倾斜角是锐角，利用α=2β时，或β=2α时，分别求出直线的斜率的值．【解答】解：设直线l1与直线l2的倾斜角为α，β，因为k＞0，所以α，β均为锐角，由于直线l1、l2与x轴围成一个等腰三角形，则有以下两种情况：（1）α=2β时，tanα=tan2β，有，因为k＞0，解得；（2）β=2α时，tanβ=tan2α，有，因为k＞0，解得．故答案为：，．【点评】本题考查直线的斜率的求法以及直线的倾斜角的关系的应用，基本知识的考查．16．已知底面边长为a的正三棱柱ABC﹣A1B1C1的六个顶点在球O1上，又知球O2与此正三棱柱的5个面都相切，求球O1与球O2的表面积之比为5：1．【考点】球的体积和表面积．【分析】由题意得两球心是重合的，设球O1的半径为R，球O2的半径为r，则正三棱柱的高为2r，且a=r，又（a）2+r2=R2，即可得出结论．【解答】解：由题意得两球心是重合的，设球O1的半径为R，球O2的半径为r，则正三棱柱的高为2r，且a=r，又（a）2+r2=R2，∴5r2=R2，∴球O1与球O2的表面积之比为5：1．故答案为5：1．【点评】本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，确定半径的关系是关键．三．解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）（2016秋•蚌山区校级期中）直线l0：y=x+1绕点P（3，1）逆时针旋转90°得到直线l，求直线l的方程．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】求出所求直线的斜率，利用点斜式写出直线方程即可．【解答】解：直线l0：y=x+1的斜率是1，则直线l的斜率是﹣1．则y﹣1=﹣（x ﹣3），整理，得y+x﹣4=0．【点评】本题考查了直线方程问题，考查直线的垂直关系，是一道基础题．18．（12分）（2016秋•蚌山区校级期中）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，AA1=2，点M，N分别为A1B和B1C1的中点．（1）求异面直线MN与A1C所成角的余弦值；（2）求三棱锥A1﹣MNC的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【分析】（1）以A为原点，在平面ABC中过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角系，利用向量法能求出异面直线MN与A1C所成角的余弦值．（2）求出平面MNC的法向量，进而求出点A1到平面MNC的距离，利用向量法求出△MNC的面积，由此能求出三棱锥A1﹣MNC的体积．【解答】解：（1）以A为原点，在平面ABC中过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角系，则B（），A1（0，0，2），C（0，2，0），B1（），C1（0，2，2），M（，，1），N（，，2），=（0，1，1），=（0，2，﹣2），=0+2﹣2=0，∴异面直线MN与A1C所成角的余弦值为0．（2）=（0，1，1），=（﹣，，﹣1），=（﹣，﹣，1），设平面MNC的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（，1，﹣1），点A1到平面MNC的距离d===．||=，||=2，cos＜＞===，∴sin＜＞==，∴=，∴三棱锥A1﹣MNC的体积V===．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19．（12分）（2013•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4．设圆C的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．【考点】圆的切线方程；点到直线的距离公式；圆与圆的位置关系及其判定．【分析】（1）联立直线l与直线y=x﹣1解析式，求出方程组的解得到圆心C坐标，根据A坐标设出切线的方程，由圆心到切线的距离等于圆的半径，列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出切线方程即可；（2）设M（x，y），由MA=2MO，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，由M在圆C上，得到圆C与圆D相交或相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a 的范围．【解答】解：（1）联立得：，解得：，∴圆心C（3，2）．若k不存在，不合题意；若k存在，设切线为：y=kx+3，可得圆心到切线的距离d=r，即=1，解得：k=0或k=﹣，则所求切线为y=3或y=﹣x+3；（2）设点M（x，y），由MA=2MO，知：=2，化简得：x2+（y+1）2=4，∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，又∵点M在圆C上，C（a，2a﹣4），∴圆C与圆D的关系为相交或相切，∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=，∴1≤≤3，解得：0≤a≤．【点评】此题考查了圆的切线方程，点到直线的距离公式，以及圆与圆的位置关系的判定，涉及的知识有：两直线的交点坐标，直线的点斜式方程，两点间的距离公式，圆的标准方程，是一道综合性较强的试题．20．（12分）（2016秋•蚌山区校级期中）如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，．（1）证明：面PQC⊥面DQC；（2）求面PAB与面DQC所成锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明面PQC⊥面DQC．（2）求出面PAB的法向量和平面DQC的法向量，利用向量法能求出面PAB与面DQC所成锐二面角的余弦值．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，．∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，设=1，则P（0，0，2），Q（1，0，1），C（0，1，0），D（0，0，0），=（﹣1，0，1），=（﹣1，1，﹣1），=（﹣1，0，﹣1），设平面PQC的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，2，1），设平面DQC的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，0，﹣1），∵=1+0﹣1=0，∴面PQC⊥面DQC．（2）A（1，0，0），B（1，1，0），=（1，0，﹣2），=（1，1，﹣2），设面PAB的法向量=（x1，y1，z1），则，取z1=1，得=（2，0，1），平面DQC的法向量=（1，0，﹣1），设面PAB与面DQC所成锐二面角的平面角为θ，则cosθ===．∴面PAB与面DQC所成锐二面角的余弦值为．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．21．（12分）（2016秋•蚌山区校级期中）如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，PD⊥面ABCD，QC⊥面ABCD，且AB=AD=PD=QC=CD，（1）设直线QB与平面PDB所成角为θ，求sinθ的值；（2）设M为AD的中点，在PD边上求一点N，使得MN∥面PBC，求的值．【考点】直线与平面平行的判定．【分析】（1）由题意，分别以DA、DC、DP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图，设CD=2，求得D，P，B，Q的坐标，求出及平面PDB的一个法向量由与平面法向量所成角的余弦值的绝对值可得sinθ的值；（2）求出M的坐标，设N（0，0，y），且=λ（λ≥0），则由，得y=．可得N的坐标，再求出平面PBC的一个法向量，由与平面PBC的法向量的数量积为0求得λ值．【解答】解：（1）∵PD⊥面ABCD，∴PD⊥AD，PD⊥DC，又ABCD为直角梯形，且AB⊥AD，AB∥CD，∴AD⊥DC，分别以DA、DC、DP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图，∵AB=AD=PD=QC=CD，设CD=2，则D（0，0，0），P（0，0，1），B（1，1，0），Q（0，2，1），，，．设平面PDB的一个法向量为，由，取y=1，得．∴sinθ=|cos＜＞|=||=；（2）∵M为AD的中点，∴M（，0，0），设N（0，0，y），且=λ（λ≥0），则由，得（0，0，y）=（0，0，λ﹣λy），∴y=．∴N（0，0，），则，设平面PBC的一个法向量为=（x，y，z），由，取x=1，得，由MN∥面PBC，得，解得，∴=．【点评】本题考查线面角，考查了直线与平面平行的判定，训练了利用空间向量求线面角，是中档题．22．（12分）（2016秋•蚌山区校级期中）已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+3=0，直线l：y=kx，直线l与圆C交于A，B两点，点M的坐标为（0，m），且满足．（1）当m=1时，求k的值；（2）当时，求k的取值范围．【考点】平面向量数量积的运算；直线与圆的位置关系．【分析】（1）当m=1时，点M（0，m）在圆C上，当且仅当直线l经过圆心C时，满足，把圆心坐标（1，2）代入直线l：y=kx，可得k的值；（2）把直线l的方程代入圆的方程转化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系以及，求得=+m∈（，4），解此不等式求得k 的取值范围．【解答】解：（1）将圆C转化成标准方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2，当m=1时，点M（0，1）在圆C上，当且仅当直线l经过圆心C时，满足，即MA⊥MB．∵圆心C的坐标为（1，2），∴k=2．（2）由，消去y得：（k2+1）x2﹣（4k+2）x+3=0，①设P（x1，y1）Q（x2，y2），∴x1+x2=，x1•x2=，∵，即（x1，y1﹣m）（x2，y2﹣m）=0，即x1•x2+（y1﹣m）（y2﹣m）=0，∵y1=kx1，y2=kx2，∴（1+k2）x1•x2﹣km（x1+x2）+m2=0，∴（1+k2）•﹣km•+m2=0，即=+m，∵。
安徽省蚌埠市2016-2017学年高二数学上学期期末考试试题文(PDF)
而 ＢＣ＝ＢＥ，∴Ｆ是 ＥＣ的中点，……………………………………………………… ６分
在△ＡＥＣ中，ＦＧ∥ＡＥ，∴ＡＥ∥平面 ＢＦＤ …………………………………………… ８分
（３）ＡＥ∥平面 ＢＦＤ，∴ＦＧ∥ＡＥ，
又∵ＡＥ⊥平面 ＢＣＦ，∴ＦＧ⊥平面 ＢＣＦ
∵Ｇ是 ＡＣ的中点，Ｆ是 ＣＥ的中点，
∴ＦＧ∥ＡＥ且 ＦＧ＝１ ２ＡＥ＝１ ………………………………………………………… ９分
Ｆ１、Ｆ２，且
｜Ｆ１Ｆ２｜＝８，弦
ＡＢ过点
Ｆ１，则△ＡＢＦ２ 的
周长为
Ａ１０
Ｂ２０
Ｃ２
６圆 ｘ２＋ｙ２＝１与圆（ｘ－２）２＋（ｙ－２）２＝５的位置关系为
Ｄ４
Ａ内切
Ｂ相交
Ｃ外切
Ｄ相离
蚌埠市高二数学（文科）试卷第１页（共４页）
７某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的 表 面 积是
Ａ３２
Ｂ１６＋１６槡２
高二数学（文）参考答案及评分标准
一、选择题：
题 号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ 答 案 Ｂ Ａ Ａ Ｄ Ｂ Ｂ Ｂ Ｂ Ｄ Ｃ Ｄ Ｃ
二、填空题： １３ｘ∈Ｒ，ｘ２ ＋１≤３ｘ １４ｙ＝－１ｅ １５１６槡２ １６３２
三、解答题： １７（本题满分 １０分） （１）解：由题意可知，（槡３ｔ＋１）２＋ｔ２－４（ｔ２－２）＞０ …………………………………… ３分 即 ２槡３ｔ＋９＞０，∴ｔ＞－３２槡３ 所以 ｔ∈（－３２槡３，＋∞）． …………………………………………………………… ５分
第Ⅱ卷（非选择题，共 ９０分）
二、填空题：本大题共 ４小题，每小题 ５分，共 ２０分．请将答案直接填在题中横线上．
１３命题“ｘ∈Ｒ，ｘ２ ＋１＞３ｘ”的否定是
2016-2017学年安徽省蚌埠市高二下学期期末考试数学(理)试题(扫描版)
高二数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：（每小题５分，共６０分）题号１２３４５６７８９１０１１１２答案ＡＣＣＤＡＡＢＤＣＣＢＡ二、填空题：（每小题５分，共２０分）１３ １０１４ ８４１５ １１２０１６ （０，１２）三、解答题：１７ （本题满分１２分）解：（Ⅰ）ｆ′（ｘ）＝３ｘ２－６ｘ－９＝３（ｘ－３）（ｘ＋１）１分…… … … … … … … … … … … … … … …令ｆ′（ｘ）＞０，得ｘ＜－１或ｘ＞３令ｆ′（ｘ）＜０，得－１＜ｘ＜３３分∴ｆ（ｘ）的增区间为（－∞，－１）和（３，＋∞），ｆ（ｘ）的减区间为（－１，３）６分（Ⅱ）由（１）知，当－１＜ｍ≤３时，ｆ（ｘ）ｍｉｎ＝ｆ（ｍ）＝ｍ３－３ｍ２－９ｍ＋２８分…… … … … … … … … … … … … … … … …当ｍ＞３时，ｆ（ｘ）ｍｉｎ＝ｆ（３）＝－２５１０分∴ｆ（ｘ）ｍｉｎ＝ｍ３－３ｍ２－９ｍ＋２，－１＜ｍ≤３－２５，{ｍ＞３１２分………………………………１８ （本题满分１２分）解：（Ⅰ）由题意得２Ｃ１ｎ·１２＝Ｃ０ｎ＋Ｃ２ｎ·（１２）２，解得ｎ＝１（舍）或ｎ＝８，∴ｎ＝８３分在（槡ｘ＋１２３槡ｘ）ｎ中，令ｘ＝１，则展开式中各项系数和为（１＋１２）８＝（３２）８＝６５６１２５６，６分（Ⅱ）设展开式中第ｒ＋１项系数最大，）页４共（页１第准标分评及案答考参）科理（学数二高市埠蚌则Ｔｒ＋１＝Ｃｒ８（槡ｘ）８－ｒ（１）ｒ＝Ｃｒ８１２ｒｘ４－５６ｒ，７分…… … … … … … … … … … … … …于是Ｃｒ８·１２ｒ≥Ｃｒ－１８·１２ｒ－１Ｃｒ８·１２ｒ≥Ｃｒ＋１８·１２ｒ＋１解得２≤ｒ≤３１０分…… … … … … … … … … … … … …因此ｒ＝２或３，即展开式中第３项和第４项系数最大，且Ｔ３＝Ｃ２８·１２２ｘ４－５３＝７ｘ７Ｔ４＝Ｃ３８·１２３ｘ４－５２＝７ｘ３２１２分…… … … … … … … … … … … … … … … … … … … …１９ （本题满分１２分）解：（Ⅰ）由题意可知，Ｘ＝０，１，２，３，且每个男性以运动为休闲方式的概率为Ｐ＝１０３０＝１３，１分…… … … … … … … … …根据题意可得Ｘ～Ｂ（３，１３），∴Ｐ（Ｘ＝ｋ）＝Ｃｋ３（２３）３－ｋ（１３）ｋ，ｋ＝０，１，２，３，故Ｘ的分布列为Ｘ０１２３Ｐ８２７４９２９１５分…… … … … … … … … … … … … … … … … … … … …… … … … … … … … … … …∴Ｅ（Ｘ）＝３×１３＝１６分…… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …（Ⅱ）由Ｋ２＝ｎ（ａｄ－ｂｃ）２（ａ＋ｂ）（ｃ＋ｄ）（ａ＋ｃ）（ｂ＋ｄ），得Ｋ２＝８０×（４５×１０－２０×５）２６５×１５×５０×３０＝７８４１１７≈６ ７０，１０分…… … … … … … … … … … …因为６ ７００＞６ ６３５，所以我们有９９％的把握认为休闲方式与性别有关１２分…… ……… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …２０ （本题满分１２分）解：（Ⅰ）依题设可得ａ１＝１２＝１１×２，ａ２＝１６＝１２×３，ａ３＝１１２＝１＝１２０＝１４×５；４分…（Ⅱ）猜想：ａｎ＝１ｎ（ｎ＋１）５分…… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …证明：①当ｎ＝１时，猜想显然成立６分…… … … … … … … … … … … … … … …）页４共（页２第准标分评及案答考参）科理（学数二高市埠蚌②假设ｎ＝ｋ（ｋ∈Ｎ ）时，猜想成立，即ａｋ＝１ｋ（ｋ＋１）那么，当ｎ＝ｋ＋１时，Ｓｋ＋１＝１－（ｋ＋１）ａｋ＋１，即Ｓｋ＋ａｋ＋１＝１－（ｋ＋１）ａｋ＋１又Ｓｋ＝１－ｋａｋ＝ｋｋ＋１，所以ｋｋ＋１＋ａｋ＋１＝１－（ｋ＋１）ａｋ＋１，从而ａｋ＋１＝１（ｋ＋１）（ｋ＋２）＝１（ｋ＋１）［（ｋ＋１）＋１］即ｎ＝ｋ＋１时，猜想也成立１１分…… … … … … … … … … … … … … … … … … …故由①和②，可知猜想成立１２分…… … … … … … … … … … … … … … … … … …解：（Ⅰ）直线ｙ＝ｘ＋３的斜率为１，函数ｆ（ｘ）的定义域为（０，＋∞），ｆ′（ｘ）＝－２ｘ２＋ａｘ，∴ｆ′（１）＝－２１２＋ａ１＝－１，解得ａ＝１２分…… … … … … … … … … … … … … … …（Ⅱ）ｇ（ｘ）＝２ｘ＋ｌｎｘ＋ｘ－２－ｂ（ｘ＞０），ｇ′（ｘ）＝ｘ２＋ｘ－２ｘ２，由ｇ′（ｘ）＞０得ｘ＞１，由ｇ′（ｘ）＜０得０＜ｘ＜１∴ｇ（ｘ）的单调递增区间是（１，＋∞），单调递减区间为（０，１），４分…… … … … …当ｘ＝１时，ｇ（ｘ）取得极小值ｇ（１）５分…… … … … … … … … … … … … … … … …∵函数ｇ（ｘ）在区间［ｅ－１，ｅ］上有两个零点，∴ｇ（ｅ－１）≥０ｇ（ｅ）≥０ｇ（１）{＜０７分…… … … … … …解得１＜ｂ≤２ｅ∴ｂ的取值范围是（１，２ｅ＋ｅ－１］８分…… … … … … … … … … … … … … … … …（Ⅲ）∵πｆ（ｘ）＞（１π）ｔ＋ｘ－ｌｎｘ在｜ｔ｜≤２时恒成立，∴ｆ（ｘ）＞－ｔ－ｘ＋ｌｎｘ，即ｘｔ＋ｘ２－２ｘ＋２＞０在｜ｔ｜≤２时恒成立，令ｇ（ｔ）＝ｘｔ＋ｘ２－２ｘ＋２，∵ｘ＞０，）页４共（页３第准标分评及案答考参）科理（学数二高市埠蚌∴只需ｇ（－２）＞０，即ｘ２－４ｘ＋２＞０解得ｘ∈（０，槡２－２）∪（槡２＋２，＋∞）１２分………………………………………………２２ （本题满分１０分）解析：（Ⅰ）由ρｓｉｎ２θ＝４ｃｏｓθ，得ρ２ｓｉｎ２θ＝４ρｃｏｓθ，所以曲线Ｃ１的直角坐标方程为：ｙ２＝４ｘ３分…… … … … … … … … … … … …由ｘ＝２＋１２ｔｙ＝槡３２ｔ（ｔ为参数）得曲线Ｃ２的直角坐标方程为：槡槡３ｘ－ｙ－２３＝０５分……… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …（Ⅱ）将ｘ＝２＋１２ｔｙ＝槡３２ｔ代入ｙ２＝４ｘ，得３ｔ２４＝４（２＋１２ｔ）即３ｔ２－８ｔ－３２＝０，Δ＝（－８）２－４×３×（－３２）＝４４８＞０，ｔ１·ｔ２＝－３２３，８分…… … … … … … … …∴｜ＰＡ｜·｜ＰＢ｜＝｜ｔ１｜·｜ｔ２｜＝｜ｔ１ｔ２｜＝３２３１０分…………………………………２３ （本题满分１０分）解：（Ⅰ）当ａ＝ｃ＝３，ｂ＝１时，ｆ（ｘ）＝｜３ｘ－１｜＋｜ｘ＋３｜，∴不等式ｆ（ｘ）≥４可化为｜３ｘ－１｜＋｜ｘ＋３｜≥４，即ｘ＜－３－４ｘ－２{４，或－３ ｘ＜１３４－２ｘ≥{４，或ｘ≥１３４ｘ＋２≥{４，解得ｘ≤０或ｘ≥１２，所求不等式的解集为｛ｘ｜ｘ≤０或ｘ≥１２｝ ５分（Ⅱ）当ａ＝１，ｃ＞０，ｂ＞０时，ｆ（ｘ）＝｜ｘ－ｂ｜＋｜ｘ＋ｃ｜≥｜ｘ－ｂ－（ｘ＋ｃ）｜＝｜ｂ＋ｃ｜＝ｂ＋ｃ，又ｆ（ｘ）ｍｉｎ＝１，∴ｂ＋ｃ＝１∴１ｂ＋１ｃ＝（１ｂ＋１ｃ）（ｂ＋ｃ）＝１＋１＋ｃｂ＋ｂｃ≥４，当且仅当ｂ＝ｃ＝１２时取等号，∴１ｂ＋１ｃ的最小值为４１０分…… … … … … … …（以上各题其它解法请参考以上评分标准酌情赋分）。
数学---安徽省蚌埠市2016-2017学年高二(上)期末试卷(理)(解析版)
2016-2017学年安徽省蚌埠市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）命题“”的否定是（）A．不存在B．∀x∈R，2x＞0C．D．∀x∈R，2x≤02．（5分）点P（1，4）关于直线y=﹣x的对称点的坐标是（）A．（1，﹣4）B．（﹣4，1）C．（4，﹣1）D．（﹣4，﹣1）3．（5分）若直线与圆（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相切，则r=（）A．B．5 C．D．254．（5分）抛物线y=﹣3x2的准线方程是（）A．B．C．D．5．（5分）下列命题中不正确的是（）A．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥γB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果平面α⊥平面β，过α内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于β6．（5分）如图，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图（斜二测），若AD∥Oy，AB ∥CD，A1B1==1，则原平面图形ABCD的面积是（）A．14 B．7 C．D．7．（5分）下列命题正确的是（）A．命题“”的否定是“”B．“函数f（x）=cos ax﹣sin ax的最小正周期为π”是“a=2”的必要不充分条件C．x2+2x≥ax在x∈[1，2]时有解⇔（x2+2x）min≥（ax）min在x∈[1，2]时成立D．“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“•＜0”8．（5分）圆与圆的公切线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条9．（5分）一个高为2的三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积（）A．12πB．9πC．D．10．（5分）已知，若⊥，则实数λ等于（）A．﹣2 B．C．2 D．11．（5分）已知双曲线以△ABC的顶点B，C为焦点，且经过点A，若△ABC内角的对边分别为a，b，c．且a=4，b=5，，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）棱台的两底面面积为S1、S2，中截面（过各棱中点的面积）面积为S0，那么（）A．B．C．2S0=S1+S2D．S02=2S1S2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案直接填在题中横线上．13．（5分）经过两条直线2x﹣y+3=0和4x+3y+1=0的交点，且垂直于直线2x﹣3y+4=0直线方程为．14．（5分）已知f（x）=x2+2x﹣m，如果f（1）＞0是假命题，f（2）＞0是真命题，则实数m的取值范围是．15．（5分）椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过焦点F1的直线交该椭圆于A，B两点，若△ABF2的内切圆面积为π，A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则|y1﹣y2|的值为．16．（5分）如图，已知平面α⊥β，α∩β=l，A，B是直线l上的两点，C，D是平面β内的两点，且DA⊥l，CB⊥l，DA=2，AB=4，CB=4，P是平面α上的一动点，且直线PD，PC 与平面α所成角相等，则二面角P﹣BC﹣D的余弦值的最小值是．三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出说明文字、演算式、证明步骤17．（10分）已知直线l1：ax+2y+6=0，直线l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0．（1）若l1⊥l2，求a的值；（2）若l1∥l2，求a的值．18．（12分）已知圆心为C的圆过点A（﹣2，2），B（﹣5，5），且圆心在直线l：x+y+3=0上（Ⅰ）求圆心为C的圆的标准方程；（Ⅱ）过点M（﹣2，9）作圆的切线，求切线方程．19．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为平行四边形，PD⊥平面ABCD，M在边PC上（Ⅰ）当M在边PC上什么位置时，AP∥平面MBD？并给出证明．（Ⅱ）在（Ⅰ）条件之下，若AD⊥PB，求证：BD⊥平面P AD．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，E，F两点的坐标分别为（1，0）、（﹣1，0），动点G满足：直线GE与直线FG的斜率之积为﹣4．动点G的轨迹与过点C（0，﹣1）且斜率为k的直线交于A，B两点．（Ⅰ）求动点G的轨迹方程；（Ⅱ）若线段AB中点的横坐标为4 求k的值．21．（12分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA1=4，D是棱AA1的中点．如图所示．（1）求证：DC1⊥平面BCD；（2）求二面角A﹣BD﹣C的大小．22．（12分）已知点C的坐标为（4，0），A，B，是抛物线y2=4x上不同于原点O的相异的两个动点，且OA⊥OB．（Ⅰ）求证：点A，B，C共线；（Ⅱ）若，当时，求动点Q的轨迹方程．参考答案一、选择题1．B【解析】∵命题“”是一个特称命题,∴命题“”的否定是“对任意的x∈R，2x＞0”,故选：B2．D【解析】点P（1，4）关于直线y=﹣x的对称点的坐标是（﹣4，﹣1），故选：D3．C【解析】由（x﹣4）2+y2=r2（r＞0），可知圆心坐标为（1，0），半径为r，∵直线与圆（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相切，由圆心到直线的距离d==，可得圆的半径为．故选：C．4．C【解析】由抛物线y=﹣3x2得x2=﹣，∴=．可得准线方程是y=．故选C．5．D【解析】对于A，如图，设α∩γ=a，β∩γ=b，在γ内直线a、b外任取一点O，作OA⊥a，交点为A，因为平面α⊥平面γ，所以OA⊥α，所以OA⊥l，作OB⊥b，交点为B，因为平面β⊥平面γ，所以OB⊥β，所以OB⊥l，又OA∩OB=O，所以l⊥γ．所以正确．对于B，结合正方体，侧面垂直底面，侧棱所在直线就与底面平行，故正确；对于C，假若平面α内存在直线垂直于平面β，根据面面垂直的判定定理可知两平面垂直．故正确；对于D，命如果点取在交线上，垂直于交线的直线不在α内，此垂线不垂直于β，故错．故选：D．6．B【解析】如图，根据直观图画法的规则，直观图中A1D1∥O′y′，A1D1=1，⇒原图中AD∥Oy，从而得出AD⊥DC，且AD=2A1D1=2，直观图中A1B1∥C1D1，A1B1=C1D1=3，⇒原图中AB∥CD，AB=CD=3，即四边形ABCD上底和下底边长分别为3，4，高为2，如图．故其面积S=（3+4）×2=7．故选：B．7．B【解析】对于A，命题“”的否定是“∀x0∈R，x02+1≤3x0”，故错；对于B，由函数f（x）=cos ax﹣sin ax的最小正周期为π”⇒“a=±2，故正确；对于C，例a=2时，x2+2x≥2x在x∈[1，2]上有解，而（x2+2x）min=3＜2x max=4，∴故错；对于D，当“•＜0”时，平面向量与的夹角是钝角或平角，∴“平面向量与的夹角是钝角”的必要不充分条件是“•＜0”，故错．故选：B8．D【解析】两圆的圆心分别是（﹣1，﹣1），（2，1），半径分别是2，1；两圆圆心距离：=＞2+1，说明两圆相离，因而公切线有四条．故选：D．9．C【解析】一个高为2的三棱锥P﹣ABC，如图所示，PC的中点为O，连接OA，OB，由P A⊥底面ABC，可得P A⊥BC，AB⊥BC，可得BC⊥平面P AB，即有BC⊥PB，可得OA=OB=OC=OP，即O为球心，半径为，则球的体积为V=π•（）3=4π．故选：C．10．B【解析】∵，⊥，∴=8+2﹣3λ=0，解得．故选：B．11．C【解析】由题意，2c′=4，2a′=5﹣，∴e==5+，故选C．12．A【解析】不妨设这个棱台为三棱台，设棱台的高为2h，上部三棱锥的高为a，则根据相似比的性质，得：，解得=+．故选：A．二、填空题13．3x+2y+1=0【解析】联立，得，∴两条直线2x﹣y+3=0和4x+3y+1=0的交点为（﹣1，1），设垂直于直线2x﹣3y+4=0的直线方程为3x+2y+c=0，把（﹣1，1）代入，得﹣3+2+c=0，解得c=1，∴所求直线方程为3x+2y+1=0．故答案为：3x+2y+1=0．14．[3，8）【解析】依题意，即，解得3≤m＜8．故答案为：[3，8）15．【解析】∵椭圆的左右焦点分别为F1，F2，a=2，b=2，c=2，过焦点F1的直线交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，△ABF2的内切圆的面积为π，∴△ABF2内切圆半径r=1．△ABF2面积S=×1×（AB+AF2+BF2）=2a=4，∴ABF2面积S=|y1﹣y2|×2c=|y1﹣y2|×2×2=4，∴|y1﹣y2|=．故答案为：．16．【解析】∵AD⊥l，α∩β=l，α⊥β，AD⊂β，∴AD⊥α，同理：BC⊥α．∴∠DP A为直线PD与平面α所成的角，∠CPB为直线PC与平面α所成的角，∴∠DP A=∠CPB，又∠DAP=∠CBP=90°∴△DAP∽△CPB，∴=．在平面α内，以AB为x轴，以AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则A（﹣2，0），B（2，0）．设P（x，y），（y＞0）∴2=，整理得（x+）2+y2=，∴P点在平面α内的轨迹为以M（﹣，0）为圆心，以为半径的上半圆．∵平面PBC∩平面β=BC，PB⊥BC，AB⊥BC，∴∠PBA为二面角P﹣BC﹣D的平面角．∴当PB与圆相切时，∠PBA最大，cos∠PBA取得最小值．此时PM=，MB=，MP⊥PB，∴PB=．cos∠PBA==．故答案为．三、解答题17．解：（1）l1⊥l2 时，a×1+2×（a﹣1）=0，解得a=．∴a=．（2）∵a=1时，l1不平行l2，∴l1∥l2⇔，解得a=﹣1．18．解：（Ⅰ）设圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，根据已知条件可得（﹣2﹣a）2+（2﹣b）2=r2，①（﹣5﹣a）2+（5﹣b）2=r2，②a+b+3=0，③联立①，②，③，解得a=﹣5，b=2，r=3．所以所求圆的标准方程为（x+5）2+（y﹣2）2=9．（Ⅱ）直线的斜率存在时，设方程为y﹣9=k（x+2），即kx﹣y+2k+9=0，圆心C（﹣5，2）到切线的距离d==3，∴k=，∴直线方程为20x﹣21y+229=0，直线的斜率不存在时，即x=﹣2也满足题意，综上所述，所求切线方程为x=﹣2或20x﹣21y+229=0．19．解：（Ⅰ）M是PC中点时，AP∥平面MBD．证明：∵底面ABCD是平行四边形，∴AC与BD的交点O是AC的中点，又M是PC的中点，∴OM∥P A，∵OM⊂平面MBD，AP⊄平面MBD，∴AP∥平面MBD．证明：（Ⅱ）∵PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PD⊥AD，又AD⊥PB，PD∩PB=P，∴AD⊥平面PBD，∴AD⊥BD，∵PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PD⊥BD，∵PD∩AD=D，∴BD⊥平面P AD．20．解：（Ⅰ）已知E（1，0），F（﹣1，0），设动点G的坐标（x，y），∴直线EG的斜率k1=，直线FG的斜率k2=，（y≠0），∵k1•k1=﹣4，∴•=﹣4，即x2+=1，（y≠0），（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx﹣1代入到x2+=1，消y整理可得（k2+4）x2﹣2kx﹣3=0，则△=4k2+12（4+k2）＞0，则x1+x2=，由=（x1+x2）=，解得k=2．21．（理）（1）证明：按如图所示建立空间直角坐标系．由题意知C（0，0，0）、A（2，0，0）、B（0，2，0）、D（2，0，2）、A1（2，0，4）、C1（0，0，4）．∴=（﹣2，0，2），，．∵=0，．∴DC1⊥DC，DC1⊥DB．又∵DC∩DB=D，∴DC1⊥平面BDC．（2）解：设是平面ABD的法向量．则，又，，∴，取y=1，得=（1，1，0）．由（1）知，=（﹣2，0，2）是平面DBC的一个法向量，记与的夹角为θ，则cosθ==﹣，结合三棱柱可知，二面角A﹣BD﹣C是锐角，∴所求二面角A﹣BD﹣C的大小是．22．（Ⅰ）证明：设直线AB方程为x=my+b，A（x1，y1），B（x2，y2），将直线AB方程代入抛物线方程y2=4x，得y2﹣4my﹣4b=0，则y1+y2=4m，y1y2=﹣4b，∵OA⊥OB，∴k OA•k OB===﹣=﹣1，b=4．于是直线AB方程为x=my+4，该直线过定点（4，0），即点A，B，C共线；（Ⅱ）解：由题意，Q是直角三角形AOB斜边上的垂足，∠CQO=90°．设Q（x，y），则=（x，y），=（x﹣4，y），∴x（x﹣4）+y2=0，即（x﹣2）2+y2=4（x≠0）．。
【数学】安徽省蚌埠市2016-2017学年高二下学期期末考试(理)(word附答案解析版)
安徽省蚌埠市2016-2017学年高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知复数z=201721i i-+，则z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．演绎推理是（ ）A ．特殊到一般的推理B ．特殊到特殊的推理C ．一般到特殊的推理D ．一般到一般的推理3．函数y=sin3x 在（3π，0）处的切线斜率为（ ） A ．﹣1 B ．1 C ．﹣3D ．3 4．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为（ ）A ．a ，b ，c 都是奇数B ．a ，b ，c 都是偶数C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数5．已知ξ～N （1，62），且P （﹣2≤ξ≤1）=0.4，则P （ξ＞4）等于（ ）A ．0.1B ．0.2C ．0.6D ．0.86．函数y=2x 3﹣3x 2+a 的极小值是5，那么实数a 等于（ ）A ．6B ．0C ．5D ．17．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集数据如下：经检验，这组样本数据具有线性相关关系，那么对于加工零件的个数x 与加工时间y 这两个变量，下列判断正确的是（ ）A ．成正相关，其回归直线经过点（30，75）B ．成正相关，其回归直线经过点（30，76）C ．成负相关，其回归直线经过点（30，76）D．成负相关，其回归直线经过点（30，75）8．已知f（x）=，则的值是（）A．B．﹣ C．D．﹣9．若对于任意实数x，有x4=a0+a1（x﹣2）+a2（x﹣2）2+a3（x﹣2）3+a4（x﹣2）4，则a2的值为（）A．4 B．12 C．24 D．4810．5名学生进行知识竞赛，笔试结束后，甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“你们5人的成绩互不相同，很遗憾，你的成绩不是最好的”；对乙说：“你不是最后一名”．根据以上信息，这5个人的笔试名次的所有可能的种数是（）A．54 B．72 C．78 D．9611．把数列{2n+1}（n∈N*）依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，…循环，分别：（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27），（29，31，33），（35，37，39，41），…，则第120个括号内各数之和为（）A．2312 B．2392 C．2472 D．254412．设函数则使f（2x）＞f（x﹣1）成立的x范围为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．40(|1||3|) x x dx-+-⎰=．14．将10个志愿者名额分配给4个学校，要求每校至少有一个名额，则不同的名额分配方法共有种．（用数字作答）15．若二项式（x﹣）n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数为．16．设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点，则实数a的取值范围是．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x+2．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在区间[﹣1，m]（m＞﹣1）的最小值．18．（12分）在二项式（+）n展开式中，前三项的系数成等差数列．求：（1）展开式中各项系数和；（2）展开式中系数最大的项．19．（12分）随机调查某社区80个人，以研究这一社区居民的休闲方式是否与性别有关，得到下面的数据表：（1）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查3名在该社区的男性，设调查的3人是以运动为休闲方式的人数为随机变量X，求X的分布列和期望；（2）根据以上数据，能否有99%的把握认为休闲方式与性别有关系？（参考公式：K2=），其中n=a+b+c+d）20．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=1﹣na n（n∈N*）（1）计算a1，a2，a3，a4；（2）猜想a n 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．21．（12分）已知函数f （x ）=+alnx ﹣2，曲线y=f （x ）在点P （1，f （1））处的切线与直线y=x+3垂直．（1）求实数a 的值；（2）记g （x ）=f （x ）+x ﹣b （b ∈R ），若函数g （x ）在区间[e ﹣1，e]上有两个零点，求实数b 的取值范围；（3）若不等式()1ln 1()f x x x ππ+->在|t|≤2时恒成立，求实数x 的取值范围．四、选做题：[选修4－4：坐标系与参数方程]（请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分）（共1小题，满分10分）22．（10分）在极坐标系中，曲线C 1：ρsin 2θ=4cosθ，以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系xOy ，曲线C 2的参数方程为（t 为参数）．（1）求C 1、C 2的直角坐标方程；（2）若曲线C 1与曲线C 2交于A 、B 两点，且定点P 的坐标为（2，0），求|PA|•|PB|的值．[选修4－5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）=|ax ﹣b|+|x+c|．（1）当a=c=3，b=1时，求不等式f （x ）≥4的解集；（2）若a=1，c＞0，b＞0，f（x）min=1，求+的最小值．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【专题】11 ：计算题；38 ：对应思想；5N ：数系的扩充和复数．【分析】利用虚数单位i得性质及复数代数形式的乘除运算化简求得z，进一步求出得答案．【解答】解：∵z====，∴，∴z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（），位于第一象限．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．【考点】F5：演绎推理的意义．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；5L ：简易逻辑．【分析】演绎推理是由一般到特殊的推理，是一种必然性的推理，演绎推理得到的结论不一定是正确的，【解答】解：演绎推理是由一般到特殊的推理，是一种必然性的推理，演绎推理得到的结论不一定是正确的，这要取决与前提是否真实．故选：C．【点评】本题考查演绎推理的意义，演绎推理是由一般性的结论推出特殊性命题的一种推理模式，演绎推理的前提与结论之间有一种蕴含关系．3．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】38 ：对应思想；48 ：分析法；52 ：导数的概念及应用．【分析】求出函数的导数，由导数的几何意义，结合特殊角的三角函数值，可得切线的斜率．【解答】解：函数y=sin3x的导数为y′=3cos3x，可得在（，0）处的切线斜率为3cosπ=﹣3，故选：C．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，求出导数是解题关键，属于基础题．4．【考点】FC：反证法．【专题】4D ：反证法．【分析】“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的反面是：a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数．即可得出．【解答】解：用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设是：a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数．故选：D．【点评】本题考查了反证法，属于基础题．5．【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】38 ：对应思想；49 ：综合法；5I ：概率与统计．【分析】利用对称性得出P（1≤ξ≤4），从而得出P（ξ＞4）．【解答】解：∵ξ～N（1，62），∴P（1≤ξ≤4）=P（﹣2≤ξ≤1）=0.4，∴P（ξ＞4）=P（ξ＞1）﹣P（1≤ξ≤4）=0.5﹣0.4=0.1．故选A．【点评】本题考查了正态分布的对称性特点，属于基础题．6．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【专题】33 ：函数思想；4R：转化法；52 ：导数的概念及应用．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极小值，得到关于a的方程，解出即可．【解答】解：y′=6x2﹣6x=6x（x﹣1），令y′＞0，解得：x＞1或x＜0，令y′＜0，解得：0＜x＜1，故函数在（﹣∞，0）递增，在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，故x=1时，y取极小值2﹣3+a=5，解得：a=6，故选：A．【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道基础题．7．【考点】BK：线性回归方程．【专题】5I ：概率与统计．【分析】根据表中所给的数据，得到两变量为正相关，求出横标和纵标的平均数，得到样本中心点，进而得到结论．【解答】解：由表格数据知，加工时间随加工零件的个数的增加而增加，故两变量为正相关，又由=30，=（64+69+75+82+90）=76，故回归直线过样本中心点（30，76），故选：B．【点评】本题考查线性相关及回归方程的应用，解题的关键是得到样本中心点，为基础题．8．【考点】6F：极限及其运算．【专题】38 ：对应思想；4O：定义法；53 ：导数的综合应用．【分析】根据函数的解析式和极限的定义，计算即可．【解答】解：∵f（x）=，∴==[﹣]=﹣．故选：D．【点评】本题考查了极限的定义与运算问题，是基础题．9．【考点】DC：二项式定理的应用．【专题】35 ：转化思想；49 ：综合法；5P ：二项式定理．【分析】由题意根据x4=[2+（x﹣2）]4，利用二项式定理求得a2的值．【解答】解：∵x4=[2+（x﹣2）]4=•24+•23•（x﹣2）+•22•（x﹣2）2+•2•（x﹣2）3+•（x﹣2）4=a0+a1（x﹣2）+a2（x﹣2）2+a3（x﹣2）3+a4（x﹣2）4，则a2 =4=24，故选：C．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．10．【考点】F4：进行简单的合情推理．【专题】15 ：综合题；35 ：转化思想；4G ：演绎法；5M ：推理和证明．【分析】甲、乙不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有3种情况；再排甲，也有3种情况；余下的问题是三个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：由题意，甲、乙都不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有3种情况；再排甲，也有3种情况；余下3人有A33种排法．故共有3•3•A33=54种不同的情况．故选：A．【点评】本题主要考查排列、组合与简单的计数问题，解决此类问题的关键是弄清完成一件事，是分类完成还是分步完成，是有顺序还是没有顺序，像这种特殊元素与特殊位置的要优先考虑．11．【考点】F1：归纳推理．【专题】29 ：规律型；38 ：对应思想；4F ：归纳法；5M ：推理和证明．【分析】括号中的数字个数，依次为1、2、3、4，每四个循环一次，具有周期性，第120个括号是一个周期的最后一个，括号中有四个数，这是第30次循环，最后一个数是2×300+1，得出结论．【解答】解：由题意知120÷4=30，∴第120个括号中最后一个数字是2×300+1，∴2×297+1+2×298+1+2×299+1+2×300+1=2392，故选：B．【点评】本题关键是确定第120个括号是一个周期的最后一个，确定第120个括号中最后一个数字12．【考点】3L：函数奇偶性的性质．【专题】15 ：综合题；35 ：转化思想；4G ：演绎法；51 ：函数的性质及应用．【分析】根据函数的表达式可知函数f（x）为偶函数，判断函数在x大于零的单调性为递增，根据偶函数关于原点对称可知，距离原点越远的点，函数值越大，可得|2x|＞|x﹣1|，解绝对值不等式即可．【解答】解：函数，定义域为R，∵f（﹣x）=f（x），∴函数f（x）为偶函数，当x＞0时，函数单调递增，根据偶函数性质可知：得f（2x）＞f（x﹣1）成立，∴|2x|＞|x﹣1|，∴4x2＞（x﹣1）2，∴（3x﹣1）（x+1）＞0∴x的范围为，故选：A．【点评】考查了偶函数的性质和利用偶函数图象的特点解决实际问题，属于基础题型，应牢记．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．10．【考点】67：定积分．【专题】11 ：计算题；53 ：导数的综合应用．【分析】由和的积分等于积分的和展开，把被积函数去绝对值后进一步转化为四个定积分求解．【解答】解：（|x﹣1|+|x﹣3|）dx=|x﹣1|dx+|x﹣3|dx=（1﹣x）dx+（x﹣1）dx+（3﹣x）dx+（x﹣3）dx==10．故答案为：10．【点评】本题考查了定积分，关键是把被积函数去绝对值后注意积分区间的变化，是基础题．14．84种．（用数字作答）【考点】D8：排列、组合的实际应用．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；5O ：排列组合．【分析】根据题意，用隔板法分析：先将将10个名额排成一列，在空位中插入3个隔板，由组合数公式计算即可得答案．【解答】解：根据题意，将10个名额排成一列，排好后，除去2端，有9个空位，在9个空位中插入3个隔板，可将10个名额分成4组，依次对应4个学校，则有C93=84种分配方法，故答案为：84．【点评】本题考查组合数公式的应用，注意10个名额之间是相同的．15．1120．【考点】DB：二项式系数的性质．【专题】34 ：方程思想；4R：转化法；5P ：二项式定理．【分析】由题意可得：n=8．通项公式T r+1==（﹣2）r，令8﹣=2，解得r即可得出．【解答】解：由题意可得：n=8．∴通项公式T r+1==（﹣2）r，令8﹣=2，解得r=4．∴展开式中含x2项的系数==1120．故答案为：1120．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16．0＜a＜．【考点】6C：函数在某点取得极值的条件．【专题】11 ：计算题．【分析】题目中条件：“在R上有两个极值点”，即导函数有两个零点．从而转化为二次函数f′（x）=0的实根的分布问题，利用二次函数的图象令判别式大于0在﹣1处的函数值大于0即可．【解答】解：由题意，1+x＞0f′（x）==，∵f（x）=ax3+x恰有有两个极值点，∴方程f′（x）=0必有两个不等根，即2x2+2x+a=0在（﹣1，+∞）有两个不等根∴解得0＜a＜故答案为：0＜a＜．【点评】本题主要考查函数的导数、极值等基础知识，三次函数的单调性可借助于导函数（二次函数）来分析．三、解答题（共5小题，满分60分）17．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】33 ：函数思想；4G ：演绎法；52 ：导数的概念及应用．【分析】（1）f′（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x﹣3）（x+1），令f′（x）＞0，得x＜﹣1 或x ＞3，令f′（x）＜0，得﹣1＜x＜3即可得到单调区间；（2）由（1）知，可分当﹣1＜m≤3 时，当m＞3 时分别求最小值．【解答】解：（1）f′（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x﹣3）（x+1）令f′（x）＞0，得x＜﹣1 或x＞3令f′（x）＜0，得﹣1＜x＜3∴f（x）的增区间为（﹣∞，﹣1）和（3，+∞），f（x）的减区间为（﹣1，3）（2）由（1）知，当﹣1＜m≤3 时，f（x）min=f（m）=m3﹣3m2﹣9m+2当m＞3 时，f（x）min=f（3）=﹣25∴f（x）min=【点评】本题考查了利用导数求函数单调区间、最值，考查了分类讨论思想，属于中档题18．【考点】DB：二项式系数的性质．【专题】34 ：方程思想；59 ：不等式的解法及应用；5P ：二项式定理．【分析】（Ⅰ）由题意得n2﹣9n+8=0，解得n=8．在中，令x=1，可得展开式中各项系数和．（Ⅱ）设展开式中第r+1 项系数最大，T r+1==，则，解得r即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由题意得2×=1+×，化为：n2﹣9n+8=0，解得n=1（舍去）或8．∴n=8．在中，令x=1，可得展开式中各项系数和==．（Ⅱ）设展开式中第r+1 项系数最大，则T r+1==，则，解得2≤r≤3．因此r=2 或3，即展开式中第3 项和第 4 项系数最大，且T3==7．T4==7．∴展开式中系数最大的项分别为：7，7．【点评】本题考查了二项式定理的应用、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．【考点】BO：独立性检验的应用．【专题】12 ：应用题；38 ：对应思想；4A ：数学模型法；5I ：概率与统计．【分析】（1）由题意知随机变量X的可能取值，根据题意得X～B（3，），计算对应的概率值，写出X的分布列，计算数学期望值；（2）计算K2，对照临界值表得出结论．【解答】解：（1）由题意可知，随机变量X的可能取值为0，1，2，3，且每个男性以运动为休闲方式的概率为P==，根据题意可得X～B（3，），∴P（X=k）=••，k=0，1，2，3，故X 的分布列为数学期望为E（X）=3×=1；（2）计算K2===≈6.70，因为6.700＞6.635，所以我们有99%的把握认为休闲方式与性别有关．【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，也考查了独立性检验的应用问题，是中档题．20．【考点】RG：数学归纳法；8E：数列的求和．【专题】55 ：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（1）由S n与a n的关系，我们从n=1依次代入整数值，即可求出a1，a2，a3，a4；（2）由a1，a2，a3，a4的值与n的关系，我们归纳推理出数列的通项公式，观察到它们是与自然数集相关的性质，故可采用数学归纳法来证明．【解答】解：（1）计算得；；；．（2）猜测：．下面用数学归纳法证明①当n=1时，猜想显然成立．②假设n=k（k∈N*）时，猜想成立，即．那么，当n=k+1时，S k+1=1﹣（k+1）a k+1，即S k+a k+1=1﹣（k+1）a k+1．又，所以，从而．即n=k+1时，猜想也成立．故由①和②，可知猜想成立．【点评】本题（2）中的证明要用到数学归纳法，数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基）P（n）在n=1时成立；2）（归纳）在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．21．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】33 ：函数思想；4R：转化法；53 ：导数的综合应用．【分析】（1）根据导数的几何意义，得f′（1）=﹣1，解得a，（2）g（x）=+lnx+x﹣2﹣b（x＞0），g′（x）=，可得当x=1 时，g（x）取得极小值g（1）；可得函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，⇒，解得实数b的取值范围；（3）π f（x）＞（）t+x﹣lnx在|t|≤2 时恒成立，⇒f（x）＞﹣t﹣x+lnx，即t+x2﹣2x+2＞0 在|t|≤2 时恒成立，令g（t）=xt+x2﹣2x+2，x＞0，只需g（﹣2）＞0，即可【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=．∵曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+3垂直，∴f′（1）=﹣2+a=﹣1，解得a=1．（2）g（x）=+lnx+x﹣2﹣b（x＞0），g′（x）=，由g′（x）＞0，得x＞1，由g′（x）＜0，得0＜x＜1 ，∴g（x）的单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间为（0，1），当x=1 时，g（x）取得极小值g（1），∵函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，∴⇒，解得1，∴b 的取值范围是（1，+e﹣1]；（3）∵π f（x）＞（）t+x﹣lnx在|t|≤2 时恒成立，∴f（x）＞﹣t﹣x+lnx，即xt+x2﹣2x+2＞0 在|t|≤2 时恒成立，令g（t）=xt+x2﹣2x+2，（x＞0），∴只需g（﹣2）＞0，即x2﹣4x+2＞0解得x∈（0，2﹣）∪（2+，+∞）【点评】本题考查了导数的几何意义，利用导数求函数单调性、极值，考查了函数与方程思想、转化思想，属于中档题．四、选做题：[选修4－4：坐标系与参数方程]（请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分）（共1小题，满分10分）22．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4R：转化法；5S ：坐标系和参数方程．【分析】（1）曲线C1的极坐标方程转化为ρ2sin2θ=4ρcosθ，由此能求出曲线C1的直角坐标方程，曲线C2的参数方程消去参数t，能求出曲线C2的直角坐标方程．（2）曲线C2的参数方程代入y2=4x，得3t2﹣8t﹣32=0，由此能求出|PA|•|PB|的值．【解答】（本题满分10 分）解：（1）∵曲线C1：ρsin2θ=4cosθ，∴ρ2sin2θ=4ρcosθ，∴曲线C1的直角坐标方程为y2=4x．∵曲线C2的参数方程为（t为参数）．∴曲线C2消去参数t，得曲线C2的直角坐标方程为=0．（2）曲线C2的参数方程为（t为参数）代入y2=4x，得=8+2t，即3t2﹣8t﹣32=0，△=（﹣8）2﹣4×3×（﹣32）=448＞0，t1•t2=﹣，∴|PA|•|PB|=|t1|•|t2|=|t1t2|=．【点评】本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查两线段的乘积的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．[选修4－5：不等式选讲]23．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【专题】35 ：转化思想；49 ：综合法；59 ：不等式的解法及应用．【分析】（1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）利用绝对值三角不等式求得f（x）的解析式，再根据f（x）min=1，求得b+c=1，再利用基本不等式求得故+的最小值．【解答】解：（1）当a=c=3，b=1 时，f（x）=|3x﹣1|+|x+3|，∴不等式f（x）≥4，可化为|3x﹣1|+|x+3|≥4，即①，或②，或③；解①求得x≤﹣3；解②求得x∈∅；解③求得x≥．综上可得，不等式f（x）≥4的解集为{x|x≤﹣3，或x≥}．（2）当a=1，c＞0，b＞0 时，f（x）=|x﹣b|+|x+c|≥|x﹣b﹣（x+c）|=|b+c|=b+c，又f（x）min=1，∴b+c=1，∴+=+=2++≥2+2=4，当且仅当b=c时，取等号，故+的最小值为4．【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．。
2016-2017学年高二上学期数学(理)期末试题及答案
2016-2017学年高二上学期数学(理)期末试题及答案2016-2017学年度上学期期末考试高二理科数学试卷考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
1.答题前，请填写姓名和准考证号码。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字迹清楚。
3.请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸上答题无效。
4.保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1.某中学有3500名高中生和1500名初中生。
为了解学生的研究情况，从该校学生中采用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本。
已知从高中生中抽取了70人，则n的值为（）。
A。
100B。
150C。
200D。
2502.如图所示，将图（1）中的正方体截去两个三棱锥，得到图（2）中的几何体，则该几何体的侧视图为（）。
无法提供图像）3.设双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的右焦点为F，点F到渐近线的距离等于2a，则该双曲线的离心率等于（）。
A。
2B。
3C。
5D。
3/44.已知两条直线a,b，两个平面$\alpha,\beta$，下面四个命题中不正确的是（）。
A。
$a\perp\alpha,\alpha//\beta,b\parallel\beta\iff a\perp b$B。
$\alpha//\beta,a//b,a\perp\alpha\implies b\perp\beta$C。
$m//\alpha,m\perp\beta\implies\alpha\perp\beta$D。
$a//b,a//\alpha\implies b//\alpha$5.下列命题中，说法正确的是（）。
安徽省蚌埠市2016-2017学年高二下学期期末考试数学理
2016-2017学年安徽省蚌埠市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知复数z=201721i i-+，则z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．演绎推理是（ ）A ．特殊到一般的推理B ．特殊到特殊的推理C ．一般到特殊的推理D ．一般到一般的推理 3．函数y=sin3x 在（3π，0）处的切线斜率为（ ） A ．﹣1 B ．1 C ．﹣3D ．34．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为（ ） A ．a ，b ，c 都是奇数 B ．a ，b ，c 都是偶数 C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数5．已知ξ～N （1，62），且P （﹣2≤ξ≤1）=0.4，则P （ξ＞4）等于（ ） A ．0.1 B ．0.2 C ．0.6 D ．0.86．函数y=2x 3﹣3x 2+a 的极小值是5，那么实数a 等于（ ） A ．6B ．0C ．5D ．17．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集数据如下：经检验，这组样本数据具有线性相关关系，那么对于加工零件的个数x 与加工时间y 这两个变量，下列判断正确的是（ ）A ．成正相关，其回归直线经过点（30，75）B ．成正相关，其回归直线经过点（30，76）C ．成负相关，其回归直线经过点（30，76）D．成负相关，其回归直线经过点（30，75）8．已知f（x）=，则的值是（）A． B．﹣C． D．﹣9．若对于任意实数x，有x4=a0+a1（x﹣2）+a2（x﹣2）2+a3（x﹣2）3+a4（x﹣2）4，则a2的值为（）A．4 B．12 C．24 D．4810．5名学生进行知识竞赛，笔试结束后，甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“你们5人的成绩互不相同，很遗憾，你的成绩不是最好的”；对乙说：“你不是最后一名”．根据以上信息，这5个人的笔试名次的所有可能的种数是（）A．54 B．72 C．78 D．9611．把数列{2n+1}（n∈N*）依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，…循环，分别：（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27），（29，31，33），（35，37，39，41），…，则第120个括号内各数之和为（）A．2312 B．2392 C．2472 D．254412．设函数则使f（2x）＞f（x﹣1）成立的x范围为（）A．B．C． D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．4(|1||3|)x x dx-+-⎰= ．14．将10个志愿者名额分配给4个学校，要求每校至少有一个名额，则不同的名额分配方法共有种．（用数字作答）15．若二项式（x﹣）n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数为．16．设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点，则实数a的取值范围是．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x+2．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在区间（m＞﹣1）的最小值．18．（12分）在二项式（+）n展开式中，前三项的系数成等差数列．求：（1）展开式中各项系数和；（2）展开式中系数最大的项．19．（12分）随机调查某社区80个人，以研究这一社区居民的休闲方式是否与性别有关，得到下面的数据表：（1）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查3名在该社区的男性，设调查的3人是以运动为休闲方式的人数为随机变量X，求X的分布列和期望；（2）根据以上数据，能否有99%的把握认为休闲方式与性别有关系？（参考公式：K2=），其中n=a+b+c+d）20．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=1﹣na n（n∈N*）（1）计算a1，a2，a3，a4；（2）猜想a n的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．21．（12分）已知函数f（x）=+alnx﹣2，曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+3垂直．（1）求实数a 的值；（2）记g （x ）=f （x ）+x ﹣b （b ∈R ），若函数g （x ）在区间上有两个零点，求实数b 的取值范围； （3）若不等式()1ln 1()f x x x ππ+->在|t|≤2时恒成立，求实数x 的取值范围．四、选做题：（请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分）（共1小题，满分10分）22．（10分）在极坐标系中，曲线C 1：ρsin 2θ=4cos θ，以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系xOy ，曲线C 2的参数方程为（t 为参数）．（1）求C 1、C 2的直角坐标方程；（2）若曲线C 1与曲线C 2交于A 、B 两点，且定点P 的坐标为（2，0），求|PA|•|PB|的值．23．已知函数f （x ）=|ax ﹣b|+|x+c|．（1）当a=c=3，b=1时，求不等式f （x ）≥4的解集； （2）若a=1，c ＞0，b ＞0，f （x ）min =1，求+的最小值．2016-2017学年安徽省蚌埠市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（2017春•蚌埠期末）已知复数z=，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【专题】11 ：计算题；38 ：对应思想；5N ：数系的扩充和复数．【分析】利用虚数单位i得性质及复数代数形式的乘除运算化简求得z，进一步求出得答案．【解答】解：∵z====，∴，∴z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（），位于第一象限．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．（2017春•蚌埠期末）演绎推理是（）A．特殊到一般的推理 B．特殊到特殊的推理C．一般到特殊的推理 D．一般到一般的推理【考点】F5：演绎推理的意义．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；5L ：简易逻辑．【分析】演绎推理是由一般到特殊的推理，是一种必然性的推理，演绎推理得到的结论不一定是正确的，【解答】解：演绎推理是由一般到特殊的推理，是一种必然性的推理，演绎推理得到的结论不一定是正确的，这要取决与前提是否真实．故选：C．【点评】本题考查演绎推理的意义，演绎推理是由一般性的结论推出特殊性命题的一种推理模式，演绎推理的前提与结论之间有一种蕴含关系．3．（2017春•蚌埠期末）函数y=sin3x在（，0）处的切线斜率为（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】38 ：对应思想；48 ：分析法；52 ：导数的概念及应用．【分析】求出函数的导数，由导数的几何意义，结合特殊角的三角函数值，可得切线的斜率．【解答】解：函数y=sin3x的导数为y′=3cos3x，可得在（，0）处的切线斜率为3cosπ=﹣3，故选：C．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，求出导数是解题关键，属于基础题．4．（2017春•蚌埠期末）用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为（）A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数【考点】FC：反证法．【专题】4D ：反证法．【分析】“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的反面是：a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数．即可得出．【解答】解：用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设是：a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数．故选：D．【点评】本题考查了反证法，属于基础题．5．（2017春•蚌埠期末）已知ξ～N（1，62），且P（﹣2≤ξ≤1）=0.4，则P（ξ＞4）等于（）A．0.1 B．0.2 C．0.6 D．0.8【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】38 ：对应思想；49 ：综合法；5I ：概率与统计．【分析】利用对称性得出P（1≤ξ≤4），从而得出P（ξ＞4）．【解答】解：∵ξ～N（1，62），∴P（1≤ξ≤4）=P（﹣2≤ξ≤1）=0.4，∴P（ξ＞4）=P（ξ＞1）﹣P（1≤ξ≤4）=0.5﹣0.4=0.1．故选A．【点评】本题考查了正态分布的对称性特点，属于基础题．6．（2017春•蚌埠期末）函数y=2x3﹣3x2+a的极小值是5，那么实数a等于（）A．6 B．0 C．5 D．1【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【专题】33 ：函数思想；4R：转化法；52 ：导数的概念及应用．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极小值，得到关于a的方程，解出即可．【解答】解：y′=6x2﹣6x=6x（x﹣1），令y′＞0，解得：x＞1或x＜0，令y′＜0，解得：0＜x＜1，故函数在（﹣∞，0）递增，在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，故x=1时，y取极小值2﹣3+a=5，解得：a=6，故选：A．【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道基础题．7．（2015•湖南模拟）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集数据如下：经检验，这组样本数据具有线性相关关系，那么对于加工零件的个数x与加工时间y这两个变量，下列判断正确的是（）A．成正相关，其回归直线经过点（30，75）B．成正相关，其回归直线经过点（30，76）C．成负相关，其回归直线经过点（30，76）D．成负相关，其回归直线经过点（30，75）【考点】BK：线性回归方程．【专题】5I ：概率与统计．【分析】根据表中所给的数据，得到两变量为正相关，求出横标和纵标的平均数，得到样本中心点，进而得到结论．【解答】解：由表格数据知，加工时间随加工零件的个数的增加而增加，故两变量为正相关，又由=30，=（64+69+75+82+90）=76，故回归直线过样本中心点（30，76），故选：B．【点评】本题考查线性相关及回归方程的应用，解题的关键是得到样本中心点，为基础题．8．（2017春•蚌埠期末）已知f（x）=，则的值是（）A． B．﹣C． D．﹣【考点】6F：极限及其运算．【专题】38 ：对应思想；4O：定义法；53 ：导数的综合应用．【分析】根据函数的解析式和极限的定义，计算即可．【解答】解：∵f（x）=，∴===﹣．故选：D．【点评】本题考查了极限的定义与运算问题，是基础题．9．（2017春•蚌埠期末）若对于任意实数x，有x4=a0+a1（x﹣2）+a2（x﹣2）2+a3（x﹣2）3+a4（x﹣2）4，则a2的值为（）A．4 B．12 C．24 D．48【考点】DC：二项式定理的应用．【专题】35 ：转化思想；49 ：综合法；5P ：二项式定理．【分析】由题意根据 x4=4，利用二项式定理求得a2的值．【解答】解：∵x4=4=•24+•23•（x﹣2）+•22•（x﹣2）2+•2•（x﹣2）3+•（x﹣2）4=a0+a1（x﹣2）+a2（x﹣2）2+a3（x﹣2）3+a4（x﹣2）4，则a2 =4=24，故选：C．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．10．（2017春•蚌埠期末）5名学生进行知识竞赛，笔试结束后，甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“你们5人的成绩互不相同，很遗憾，你的成绩不是最好的”；对乙说：“你不是最后一名”．根据以上信息，这5个人的笔试名次的所有可能的种数是（）A．54 B．72 C．78 D．96【考点】F4：进行简单的合情推理．【专题】15 ：综合题；35 ：转化思想；4G ：演绎法；5M ：推理和证明．【分析】甲、乙不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有3种情况；再排甲，也有3种情况；余下的问题是三个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：由题意，甲、乙都不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有3种情况；再排甲，也有3种情况；余下3人有A33种排法．故共有3•3•A33=54种不同的情况．故选：A．【点评】本题主要考查排列、组合与简单的计数问题，解决此类问题的关键是弄清完成一件事，是分类完成还是分步完成，是有顺序还是没有顺序，像这种特殊元素与特殊位置的要优先考虑．11．（2017春•蚌埠期末）把数列{2n+1}（n∈N*）依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，…循环，分别：（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27），（29，31，33），（35，37，39，41），…，则第120个括号内各数之和为（）A．2312 B．2392 C．2472 D．2544【考点】F1：归纳推理．【专题】29 ：规律型；38 ：对应思想；4F ：归纳法；5M ：推理和证明．【分析】括号中的数字个数，依次为1、2、3、4，每四个循环一次，具有周期性，第120个括号是一个周期的最后一个，括号中有四个数，这是第30次循环，最后一个数是2×300+1，得出结论．【解答】解：由题意知120÷4=30，∴第120个括号中最后一个数字是2×300+1，∴2×297+1+2×298+1+2×299+1+2×300+1=2392，故选：B．【点评】本题关键是确定第120个括号是一个周期的最后一个，确定第120个括号中最后一个数字12．（2017春•蚌埠期末）设函数则使f （2x）＞f（x﹣1）成立的x范围为（）A．B．C． D．【考点】3L：函数奇偶性的性质．【专题】15 ：综合题；35 ：转化思想；4G ：演绎法；51 ：函数的性质及应用．【分析】根据函数的表达式可知函数f（x）为偶函数，判断函数在x大于零的单调性为递增，根据偶函数关于原点对称可知，距离原点越远的点，函数值越大，可得|2x|＞|x﹣1|，解绝对值不等式即可．【解答】解：函数，定义域为R，∵f（﹣x）=f（x），∴函数f（x）为偶函数，当x＞0时，函数单调递增，根据偶函数性质可知：得f（2x）＞f（x﹣1）成立，∴|2x|＞|x﹣1|，∴4x2＞（x﹣1）2，∴（3x﹣1）（x+1）＞0∴x的范围为，故选：A．【点评】考查了偶函数的性质和利用偶函数图象的特点解决实际问题，属于基础题型，应牢记．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（2017春•蚌埠期末）（|x﹣1|+|x﹣3|）dx= 10 ．【考点】67：定积分．【专题】11 ：计算题；53 ：导数的综合应用．【分析】由和的积分等于积分的和展开，把被积函数去绝对值后进一步转化为四个定积分求解．【解答】解：（|x﹣1|+|x﹣3|）dx=|x﹣1|dx+|x﹣3|dx=（1﹣x）dx+（x﹣1）dx+（3﹣x）dx+（x﹣3）dx==10．故答案为：10．【点评】本题考查了定积分，关键是把被积函数去绝对值后注意积分区间的变化，是基础题．14．（2017春•蚌埠期末）将10个志愿者名额分配给4个学校，要求每校至少有一个名额，则不同的名额分配方法共有84 种．（用数字作答）【考点】D8：排列、组合的实际应用．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；5O ：排列组合．【分析】根据题意，用隔板法分析：先将将10个名额排成一列，在空位中插入3个隔板，由组合数公式计算即可得答案．【解答】解：根据题意，将10个名额排成一列，排好后，除去2端，有9个空位，在9个空位中插入3个隔板，可将10个名额分成4组，依次对应4个学校，则有C93=84种分配方法，故答案为：84．【点评】本题考查组合数公式的应用，注意10个名额之间是相同的．15．（2017春•蚌埠期末）若二项式（x﹣）n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数为1120 ．【考点】DB：二项式系数的性质．【专题】34 ：方程思想；4R：转化法；5P ：二项式定理．【分析】由题意可得：n=8．通项公式T r+1==（﹣2）r ，令8﹣=2，解得r即可得出．【解答】解：由题意可得：n=8．∴通项公式T r+1==（﹣2）r，令8﹣=2，解得r=4．∴展开式中含x2项的系数==1120．故答案为：1120．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16．（2017春•蚌埠期末）设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点，则实数a的取值范围是0＜a＜．【考点】6C：函数在某点取得极值的条件．【专题】11 ：计算题．【分析】题目中条件：“在R上有两个极值点”，即导函数有两个零点．从而转化为二次函数f′（x）=0的实根的分布问题，利用二次函数的图象令判别式大于0在﹣1处的函数值大于0即可．【解答】解：由题意，1+x＞0f′（x）==，∵f（x）=ax3+x恰有有两个极值点，∴方程f′（x）=0必有两个不等根，即2x2+2x+a=0在（﹣1，+∞）有两个不等根∴解得0＜a＜故答案为：0＜a＜．【点评】本题主要考查函数的导数、极值等基础知识，三次函数的单调性可借助于导函数（二次函数）来分析．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）（2017春•蚌埠期末）已知函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x+2．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在区间（m＞﹣1）的最小值．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】33 ：函数思想；4G ：演绎法；52 ：导数的概念及应用．【分析】（1）f′（ x）=3x2﹣6x﹣9=3（ x﹣3）（ x+1），令f′（ x）＞0，得 x＜﹣1 或 x ＞3，令f′（ x）＜0，得﹣1＜x＜3即可得到单调区间；（2）由（ 1）知，可分当﹣1＜m≤3 时，当 m＞3 时分别求最小值．【解答】解：（1）f′（ x）=3x2﹣6x﹣9=3（ x﹣3）（ x+1）令f′（ x）＞0，得 x＜﹣1 或 x＞3令f′（ x）＜0，得﹣1＜x＜3∴f（ x）的增区间为（﹣∞，﹣1）和（ 3，+∞），f（ x）的减区间为（﹣1，3）（2）由（ 1）知，当﹣1＜m≤3 时，f（ x）min=f（ m）=m3﹣3m2﹣9m+2当 m＞3 时，f（ x）min=f（3）=﹣25∴f（ x）min=【点评】本题考查了利用导数求函数单调区间、最值，考查了分类讨论思想，属于中档题．18．（12分）（2017春•蚌埠期末）在二项式（+）n展开式中，前三项的系数成等差数列．求：（1）展开式中各项系数和；（2）展开式中系数最大的项．【考点】DB：二项式系数的性质．【专题】34 ：方程思想；59 ：不等式的解法及应用；5P ：二项式定理．【分析】（Ⅰ）由题意得 2×=1+×，化为：n2﹣9n+8=0，解得n=8．在中，令x=1，可得展开式中各项系数和．（Ⅱ）设展开式中第 r+1 项系数最大，T r+1==，则，解得r即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由题意得 2×=1+×，化为：n2﹣9n+8=0，解得n=1（舍去）或8．∴n=8．在中，令x=1，可得展开式中各项系数和==．（Ⅱ）设展开式中第 r+1 项系数最大，则T r+1==，则，解得 2≤r≤3．因此 r=2 或 3，即展开式中第 3 项和第 4 项系数最大，且T3==7．T4==7．∴展开式中系数最大的项分别为：7，7．【点评】本题考查了二项式定理的应用、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）（2017春•蚌埠期末）随机调查某社区80个人，以研究这一社区居民的休闲方式是否与性别有关，得到下面的数据表：（1）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查3名在该社区的男性，设调查的3人是以运动为休闲方式的人数为随机变量X，求X的分布列和期望；（2）根据以上数据，能否有99%的把握认为休闲方式与性别有关系？（参考公式：K2=），其中n=a+b+c+d）【考点】BO：独立性检验的应用．【专题】12 ：应用题；38 ：对应思想；4A ：数学模型法；5I ：概率与统计．【分析】（1）由题意知随机变量X的可能取值，根据题意得X～B （3，），计算对应的概率值，写出X的分布列，计算数学期望值；（2）计算K2，对照临界值表得出结论．【解答】解：（1）由题意可知，随机变量X的可能取值为0，1，2，3，且每个男性以运动为休闲方式的概率为 P==，根据题意可得 X～B（ 3，），∴P（ X=k）=••，k=0，1，2，3，故 X 的分布列为数学期望为E（ X）=3×=1；（2）计算K2===≈6.70，因为 6.700＞6.635，所以我们有 99%的把握认为休闲方式与性别有关．【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，也考查了独立性检验的应用问题，是中档题．20．（12分）（2017春•蚌埠期末）已知数列{a n}的前n项和S n=1﹣na n（n∈N*）（1）计算a1，a2，a3，a4；（2）猜想a n的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．【考点】RG：数学归纳法；8E：数列的求和．【专题】55 ：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（1）由S n与a n的关系，我们从n=1依次代入整数值，即可求出a1，a2，a3，a4；（2）由a1，a2，a3，a4的值与n的关系，我们归纳推理出数列的通项公式，观察到它们是与自然数集相关的性质，故可采用数学归纳法来证明．【解答】解：（1）计算得；；；．（2）猜测：．下面用数学归纳法证明①当n=1时，猜想显然成立．②假设n=k（k∈N*）时，猜想成立，即．那么，当n=k+1时，S k+1=1﹣（k+1）a k+1，即S k+a k+1=1﹣（k+1）a k+1．又，所以，从而．即n=k+1时，猜想也成立．故由①和②，可知猜想成立．【点评】本题（2）中的证明要用到数学归纳法，数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N 相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳）在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P （n）对一切自然数n都成立．21．（12分）（2017春•蚌埠期末）已知函数f（x）=+alnx﹣2，曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+3垂直．（1）求实数a的值；（2）记g（x）=f（x）+x﹣b（b∈R），若函数g（x）在区间上有两个零点，求实数b的取值范围；（3）若不等式πf（x）＞（）1+x﹣lnx在|t|≤2时恒成立，求实数x的取值范围．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】33 ：函数思想；4R：转化法；53 ：导数的综合应用．【分析】（1）根据导数的几何意义，得f′（ 1）=﹣1，解得a，（2）g（ x）=+lnx+x﹣2﹣b（ x＞0），g′（ x）=，可得当 x=1 时，g（ x）取得极小值 g（ 1）；可得函数 g（ x）在区间上有两个零点，⇒，解得实数b的取值范围；（3）πf（x）＞（）t+x﹣lnx在|t|≤2 时恒成立，⇒f（ x）＞﹣t﹣x+lnx，即t+x2﹣2x+2＞0 在|t|≤2 时恒成立，令 g（ t）=xt+x2﹣2x+2，x＞0，只需 g（﹣2）＞0，即可【解答】解：（1）函数 f（ x）的定义域为（ 0，+∞），f′（ x）=．∵曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+3垂直，∴f′（ 1）=﹣2+a=﹣1，解得 a=1．（2）g（ x）=+lnx+x﹣2﹣b（ x＞0），g′（ x）=，由g′（ x）＞0，得 x＞1，由g′（ x）＜0，得 0＜x＜1 ，∴g（ x）的单调递增区间是（ 1，+∞），单调递减区间为（ 0，1），当 x=1 时，g（ x）取得极小值 g（ 1），∵函数 g（ x）在区间上有两个零点，∴⇒，解得1，∴b 的取值范围是（ 1，+e﹣1]；（3）∵πf（x）＞（）t+x﹣lnx在|t|≤2 时恒成立，∴f（ x）＞﹣t﹣x+lnx，即xt+x2﹣2x+2＞0 在|t|≤2 时恒成立，令 g（ t）=xt+x2﹣2x+2，（x＞0），∴只需 g（﹣2）＞0，即 x2﹣4x+2＞0解得x∈（ 0，2﹣）∪（2+，+∞）【点评】本题考查了导数的几何意义，利用导数求函数单调性、极值，考查了函数与方程思想、转化思想，属于中档题．四、选做题：（请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分）（共1小题，满分10分）22．（10分）（2017春•蚌埠期末）在极坐标系中，曲线C1：ρsin2θ=4cosθ，以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系xOy，曲线C2的参数方程为（t为参数）．（1）求C1、C2的直角坐标方程；（2）若曲线C1与曲线C2交于A、B两点，且定点P的坐标为（2，0），求|PA|•|PB|的值．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4R：转化法；5S ：坐标系和参数方程．【分析】（1）曲线C1的极坐标方程转化为ρ2sin2θ=4ρcosθ，由此能求出曲线C1的直角坐标方程，曲线C2的参数方程消去参数t，能求出曲线C2的直角坐标方程．（2）曲线C2的参数方程代入y2=4x，得3t2﹣8t﹣32=0，由此能求出|PA|•|PB|的值．【解答】（本题满分 10 分）解：（1）∵曲线C1：ρsin2θ=4cosθ，∴ρ2sin2θ=4ρcosθ，∴曲线C1的直角坐标方程为y2=4x．∵曲线C2的参数方程为（t为参数）．∴曲线C2消去参数t，得曲线C2的直角坐标方程为=0．（2）曲线C2的参数方程为（t为参数）代入y2=4x，得=8+2t，即3t2﹣8t﹣32=0，△=（﹣8）2﹣4×3×（﹣32）=448＞0，t1•t2=﹣，∴|PA|•|PB|=|t1|•|t2|=|t1t2|=．【点评】本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查两线段的乘积的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．23．（2017春•蚌埠期末）已知函数f（x）=|ax﹣b|+|x+c|．（1）当a=c=3，b=1时，求不等式f（x）≥4的解集；（2）若a=1，c＞0，b＞0，f（x）min=1，求+的最小值．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【专题】35 ：转化思想；49 ：综合法；59 ：不等式的解法及应用．【分析】（1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）利用绝对值三角不等式求得f（x）的解析式，再根据 f（x）min=1，求得b+c=1，再利用基本不等式求得故+的最小值．【解答】解：（1）当 a=c=3，b=1 时，f（ x）=|3x﹣1|+|x+3|，∴不等式 f（ x）≥4，可化为|3x﹣1|+|x+3|≥4，即①，或②，或③；解①求得x≤﹣3；解②求得x∈∅；解③求得x≥．综上可得，不等式f（x）≥4的解集为{x|x≤﹣3，或x≥}．（2）当 a=1，c＞0，b＞0 时，f（ x）=|x﹣b|+|x+c|≥|x﹣b﹣（ x+c）|=|b+c|=b+c，又 f（x）min=1，∴b+c=1，∴+=+=2++≥2+2=4，当且仅当b=c时，取等号，故+的最小值为 4．【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．。
安徽省蚌埠市高二数学上学期期末试卷 理(含解析)
2015-2016学年安徽省蚌埠市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的A、B、C、D四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号代号写在答题卡上．1．直线x+y+2=0的倾角为（）A．﹣B． C．﹣D．2．命题“∃x∈R，x2+2x+a≤0”的否定是（）A．∀x∈R，x2+2x+a≤0 B．∃x∈R，x2+2x+a＞0C．∀x∈R，x2+2x+a＞0 D．∃x∈R，x2+2x+a≤03．以下命题正确的是（）A．经过空间中的三点，有且只有一个平面B．空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等C．空间中，两条异面直线所成角的范围是（0，]D．如果直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l平等于平面α4．已知圆M的方程为2x2+2y2+4x﹣5y=0，则下列说法中正确的是（）A．圆M的圆心为（﹣1，）B．圆M的半径为C．圆M被x轴截得的弦长为D．圆M被y轴截得的弦长为5．已知a，b，c是三条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，直线l∥α，则（）A．a∥c，b∥c⇒a∥b B．a∥β，b∥β⇒a∥b C．a∥c，c∥α⇒a∥αD．a∥l⇒a ∥α6．“a=﹣1”是“直线l1：（a2+a）x+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．某几何体的三视图（单位：cm）如图，则这个几何体的表面积为（单位：cm2）（）A．24+4B．48+8C．24+8D．48+48．已知P（3cosα，3sinα，1）和Q（2cosβ，2sinβ，1），则||的取值范围是（）A．（1，25） B．[1，25] C．[1，5] D．（1，5）9．若直线l的方向向量为=（1，1，2），平面α的法向量为=（﹣3，3，﹣6），则（）A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α与斜交10．已知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球P的球面上，且AB=4，BC=3，则棱锥P﹣ABCD 的体积为（）A．5 B．30C．D．1011．已知不等式组表示的平面区域为D，则区域D的面积为（）A．2 B．3 C．4 D．512．在平面直角坐标系xOy中，圆M的方程为x2+y2﹣8x﹣2y+16=0，若直线kx﹣y+3=0上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆M有公共点，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，] B．[0，+∞）C．[﹣，0] D．（﹣∞，]∪[0，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案直接填在题中横线上．13．平面直角坐标系中，直线3x﹣y+2=0关于点（1，1）对称的直线方程是．14．若命题“存在实数x0∈[1，2]，使得e x+x2+3﹣m＜0”是假命题，则实数m的取值范围为．15．已知正四棱锥侧面是正三角形，则侧棱与底面所成角为．16．如图，已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC1与平面A1BD、CB1D1交于点E、F两点．设K为△B1CD1的外心，则V K﹣BED： = ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出说明文字、演算式、证明步骤．17．已知直线l1：（3﹣a）x+（2a﹣1）y+5=0，l2：（2a+1）x+（a+5）y﹣3=0．若l1∥l2，求a的值．18．设命题p：方程x2+2mx+1=0有两个不相等的负根，命题q：∀x∈R，x2+2（m﹣2）x﹣3m+10≥0恒成立．（1）若命题p、q均为真命题，求m的取值范围；（2）若命题p∧q为假，命题p∨q为真，求m的取值范围．19．如图，在底面为平行四边形的四棱锥O﹣ABCD中，BC⊥平面OAB，E为OB中点，OA=AD=2AB=2，OB=．（1）求证：平面OAD⊥平面ABCD；（2）求二面角B﹣AC﹣E的余弦值．20．已知圆C过坐标原点O，且与x轴、y轴分别交于点A、B，圆心坐标为（t，t）（t＞0）．（1）若△AOB的面积为2，求圆C的方程；（2）直线2x+y﹣6=0与圆C交于点D、E，是否存在t使得|OD|=|OE|？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．21．如图，在四棱锥O﹣ABCD中，∠BAD=120°，OA⊥平面ABCD，E为OD的中点，OA=AC=AD=2，AC平分∠BAD．（1）求证：CE∥平面OAB；（2）求四面体OACE的体积．22．已知实数x、y满足，目标函数z=x+ay．（1）当a=﹣2时，求目标函数z的取值范围；（2）若使目标函数取得最小值的最优解有无数个，求的最大值．2015-2016学年安徽省蚌埠市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的A、B、C、D四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号代号写在答题卡上．1．直线x+y+2=0的倾角为（）A．﹣B． C．﹣D．【考点】直线的倾斜角．【分析】由直线方程求出直线的斜率，再由倾斜角的正切值等于斜率求得答案．【解答】解：由x+y+2=0，得直线斜率为，设直线的倾斜角为α（0≤α＜π），则tan，∴．故选：B．2．命题“∃x∈R，x2+2x+a≤0”的否定是（）A．∀x∈R，x2+2x+a≤0 B．∃x∈R，x2+2x+a＞0C．∀x∈R，x2+2x+a＞0 D．∃x∈R，x2+2x+a≤0【考点】命题的否定．【分析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x∈R，x2+2x+a≤0”的否定是：∀x∈R，x2+2x+a＞0．故选：C．3．以下命题正确的是（）A．经过空间中的三点，有且只有一个平面B．空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等C．空间中，两条异面直线所成角的范围是（0，]D．如果直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l平等于平面α【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：∵当空间三点在同一条直线上时，不能确定一个平面∴经过空间内三点，不一定有且只有一个平面．故A项不正确；空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，∴命题B错误；根据两条异面直线所成角的定义，可得空间中，两条异面直线所成角的范围是（0，]，正确；当直线L在平面内时，结论不成立，∴错误．故选：C．4．已知圆M的方程为2x2+2y2+4x﹣5y=0，则下列说法中正确的是（）A．圆M的圆心为（﹣1，）B．圆M的半径为C．圆M被x轴截得的弦长为D．圆M被y轴截得的弦长为【考点】直线与圆的位置关系．【分析】利用配方法求出圆的圆心与半径，判断选项即可．【解答】解：圆M的一般方程为2x2+2y2+4x﹣5y=0，则（x+1）2+（y﹣）2=．圆的圆心坐标（﹣1，），半径为，A正确，B不正确．令x=0，可得y=0或2.5，圆M被x轴截得的弦长为2.5，C不正确．令y=0，可得x=0或﹣2，圆M被y轴截得的弦长为2，D不正确故选：A．5．已知a，b，c是三条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，直线l∥α，则（）A．a∥c，b∥c⇒a∥b B．a∥β，b∥β⇒a∥b C．a∥c，c∥α⇒a∥αD．a∥l⇒a ∥α【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A中，由平行公理得a∥b；在B中，a与b相交、平行或异面；在C中，a∥α或a⊂α；在D中，a∥α或a⊂α．【解答】解：由a，b，c是三条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，直线l∥α，知：在A中，a∥c，b∥c⇒a∥b，由平行公理得A正确；在B中，a∥β，b∥β⇒a与b相交、平行或异面，故B错误；在C中，a∥c，c∥α⇒a∥α或a⊂α，故C错误；在D中，a∥l⇒a∥α或a⊂α，故D错误．故选：D．6．“a=﹣1”是“直线l1：（a2+a）x+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】“a=﹣1”⇒“直线l1：（a2+a）x+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0垂直”；“直线l1：（a2+a）x+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0垂直”⇒“a=﹣1或a=﹣2”．【解答】解：当a=﹣1时，直线l1：（a2+a）x+2y﹣1=0的斜率k1=0，直线l2：x+（a+1）y+4=0的斜率k2不存在，l1⊥l2；当“直线l1：（a2+a）x+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0垂直”时，（a2+a）×1+2（a+1）=0，解得a=﹣1或a=﹣2．∴“a=﹣1”是“直线l1：（a2+a）x+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0垂直”的充分不必要条件．故选：A．7．某几何体的三视图（单位：cm）如图，则这个几何体的表面积为（单位：cm2）（）A．24+4B．48+8C．24+8D．48+4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为侧放的直三棱柱，棱柱的底面为侧视图三角形，棱柱的高为4．【解答】解：由三视图可知几何体为侧放的直三棱柱，棱柱的底面为侧视图中的等边三角形，棱柱的高为4．∴棱柱的表面积S=+3×4×4=48+8．故选B．8．已知P（3cosα，3sinα，1）和Q（2cosβ，2sinβ，1），则||的取值范围是（）A．（1，25） B．[1，25] C．[1，5] D．（1，5）【考点】空间两点间的距离公式；三角函数中的恒等变换应用．【分析】求出|PQ|，利用三角函数的这种，求出|PQ|的取值范围．【解答】解：∵P（3cosα，3sinα，1）和Q（2cosβ，2sinβ，1），∴|PQ|===，∴|PQ|的取值范围是[1，5]．故选：C．9．若直线l的方向向量为=（1，1，2），平面α的法向量为=（﹣3，3，﹣6），则（）A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α与斜交【考点】平面的法向量．【分析】由已知得，从而得到l⊥α．【解答】解：∵直线l的方向向量为=（1，1，2），平面α的法向量为=（﹣3，3，﹣6），∴=﹣，∴，∴l⊥α．故选：B．10．已知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球P的球面上，且AB=4，BC=3，则棱锥P﹣ABCD 的体积为（）A．5 B．30C．D．10【考点】球内接多面体．【分析】根据题意求出矩形ABCD的对角线的长AC，利用球的截面圆性质求出球心到矩形的距离，从而得出棱锥P﹣ABCD的高，进而可得棱锥的体积．【解答】解：∵矩形ABCD中，AB=4，BC=3∴矩形的对角线的长AC=5，根据球P的半径为5，可得球心到矩形的距离d==，∴棱锥P﹣ABCD的高h=，可得P﹣ABCD的体积为V==10．故选：D．11．已知不等式组表示的平面区域为D，则区域D的面积为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据平面区域的形状进行求面积即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由得，即A（0，2），由得，即C（1，﹣1），由，得，即B（3，1），则F（0，﹣1），E（3，﹣1），则区域D的面积S=﹣﹣==6﹣2=4，故选：C．12．在平面直角坐标系xOy中，圆M的方程为x2+y2﹣8x﹣2y+16=0，若直线kx﹣y+3=0上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆M有公共点，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，] B．[0，+∞）C．[﹣，0] D．（﹣∞，]∪[0，+∞）【考点】直线与圆的位置关系．【分析】将圆C的方程整理为标准形式，找出圆心M的坐标与半径r，根据直线kx﹣y+3=0上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆M有公共点，得到以M为圆心，2为半径的圆与直线kx﹣y+3=0有公共点，即圆心到直线kx﹣y+3=0的距离小于等于2，利用点到直线的距离公式列出关于k的不等式求出不等式的解集即可得到k的范围．【解答】解：将圆M的方程整理为标准方程得：（x﹣4）2+（y﹣1）2=1，∴圆心C（4，1），半径r=1，∵直线kx﹣y+3=0上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆M有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+（y﹣1）2=4与kx﹣y+3=0有公共点，∵圆心（4，1）到直线kx﹣y+3=0的距离d=≤2，解得：﹣≤k≤0．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案直接填在题中横线上．13．平面直角坐标系中，直线3x﹣y+2=0关于点（1，1）对称的直线方程是3x﹣y﹣6=0 ．【考点】直线的一般式方程．【分析】在所求直线上取点（x，y），关于点（1，1）对称的点的坐标为（2﹣x，2﹣y），代入直线3x﹣y+2=0，可得直线方程．【解答】解：在所求直线上取点（x，y），关于点（1，1）对称的点的坐标为（2﹣x，2﹣y），代入直线3x﹣y+2=0，可得3（2﹣x）﹣（2﹣y）+2=0即3x﹣y﹣6=0，故答案为：3x﹣y﹣6=0．14．若命题“存在实数x0∈[1，2]，使得e x+x2+3﹣m＜0”是假命题，则实数m的取值范围为（﹣∞，e+4] ．【考点】特称命题．【分析】根据特称命题是假命题，则特称命题的否定是全称命题为真命题，进行求解即可．【解答】解：∵命题“存在实数x0∈[1，2]，使得e x+x2+3﹣m＜0”是假命题，即命题“任意实数x∈[1，2]，使得e x+x2+3﹣m≥0”是真命题，即e x+x2+3≥m，设f（x）=e x+x2+3，则函数f（x）在[1，2]上为增函数，则f（x）的最小值为f（1）=e+1+3=e+4，故m≤e+4，故答案为：（﹣∞，e+4]．15．已知正四棱锥侧面是正三角形，则侧棱与底面所成角为45°．【考点】直线与平面所成的角．【分析】由已知正四菱锥P﹣ABCD中，所有棱长都相等，设棱长为2，AC∩BD=O，连结PO，PO⊥平面ABCD，∠PDO是侧棱与底面所成角，由此能求出侧棱与底面所成角的大小．【解答】解：由已知正四菱锥P﹣ABCD中，所有棱长都相等，设棱长为2，AC∩BD=O，连结PO，PO⊥平面ABCD，∴∠PDO是侧棱与底面所成角，则PE==，OE=1，PO==，OD===，∴∠PDO=45°．∴侧棱与底面所成角为45°．故答案为：45°．16．如图，已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC1与平面A1BD、CB1D1交于点E、F两点．设K为△B1CD1的外心，则V K﹣BED： = ．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】运用三棱锥的体积公式即得V K﹣BED：．【解答】解：A1D∥B1C，BD∥B1D1，由面面平行的判定定理可得：面A1BD∥面B1CD1，所以K，F到面A1BD的距离相等，设为h，V K﹣BED=hS△BED， ==，又=3S△BED，∴V K﹣BED： =．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出说明文字、演算式、证明步骤．17．已知直线l1：（3﹣a）x+（2a﹣1）y+5=0，l2：（2a+1）x+（a+5）y﹣3=0．若l1∥l2，求a的值．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】直接利用平行线的充要条件，列出方程求解即可．【解答】解：直线l1：（3﹣a）x+（2a﹣1）y+5=0，l2：（2a+1）x+（a+5）y﹣3=0．l1∥l2，可得：（3﹣a）（a+5）=（2a﹣1）（2a+1）．解得a=﹣2或a=，但是a=﹣2时，两条直线重合，a=时，满足题意．a的值：．18．设命题p：方程x2+2mx+1=0有两个不相等的负根，命题q：∀x∈R，x2+2（m﹣2）x﹣3m+10≥0恒成立．（1）若命题p、q均为真命题，求m的取值范围；（2）若命题p∧q为假，命题p∨q为真，求m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】（1）根据一元二次方程与一元二次函数的关系进行转化求解即可．（2）根据复合命题p∧q为假，命题p∨q为真，得到p、q一真一假，进行求解即可．【解答】解：构造函数f（x）=x2+2mx+1∵方程x2+2mx+1=0有两个不相等的负根∴函数f（x）=x2+2mx+1图象与x轴负半轴有两个不同的交点∴满足的条件为，即∴实数m的取值范围m＞1故实数m的取值范围（1，+∞），若命题q为真，则有△=4（m﹣2）2﹣4（﹣3m+10）≤0解得﹣2≤m≤3．若p、q均为真命题，则，即1＜m≤3．（2）由p∨q为真，p∧q为假知，p、q一真一假．①当p真q假时，，即m＞3；②当p假q真时，，即﹣2≤m≤1．∴实数m的取值范围是m＞3或﹣2≤m≤1．综上可述，实数m的取值范围为（3，+∞）∪[﹣2，1]．19．如图，在底面为平行四边形的四棱锥O﹣ABCD中，BC⊥平面OAB，E为OB中点，OA=AD=2AB=2，OB=．（1）求证：平面OAD⊥平面ABCD；（2）求二面角B﹣AC﹣E的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）由已知得OA⊥BC，OA⊥AB，从而OA⊥平面ABCD，由此能证明平面OAD⊥平面ABCD；（2）以A为坐标原点，分别以AD，AB，AO所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出二面角B﹣AC﹣E的余弦值．【解答】证明：（1）∵BC⊥平面OAB，OA⊂平面OAB，∴OA⊥BC，又OA=2AB=2，OB=，在△OAB中，OA2+AB2=OB2，∴OA⊥AB，∴OA⊥平面ABCD，又OA⊂平面OAD，∴平面OAD⊥平面ABCD；解：（2）由（1）知OA，AB，AD两两垂直，以A为坐标原点，分别以AD，AB，AO所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A ﹣xyz，则A（0，0，0），C（2，1，0），O（0，0，2），B（0，1，0），E（0，，1），=（2，1，0），=（0，），设平面AEC的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣2，1），又平面ABC的法向量=（0，0，1），cos＜＞===，∴二面角B﹣AC﹣E的余弦值为．20．已知圆C过坐标原点O，且与x轴、y轴分别交于点A、B，圆心坐标为（t，t）（t＞0）．（1）若△AOB的面积为2，求圆C的方程；（2）直线2x+y﹣6=0与圆C交于点D、E，是否存在t使得|OD|=|OE|？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）根据圆的方程求出A，B的坐标，利用△AOB的面积为2，即可求圆C的方程；（2）求出DE，OC的斜率，即可得出结论．【解答】解：（1）由题设知，圆C的方程为（x﹣t）2+（y﹣t）2=2t2，当y=0时，x=0或2t，则A（2t，0）；当x=0时，y=0或2t，则B（0，2t），∴S△AOB=|OA|•|OB|=|2t|•|2t|=2，∵t＞0，∴t=1．∴圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2；（2）∵|OD|=|OE|，∴OC⊥DE，∵直线DE的斜率k=﹣2，OC的斜率为1∴t=2或t=﹣2．不满足斜率的积为﹣1，∴不存在t使得|OD|=|OE|．21．如图，在四棱锥O﹣ABCD中，∠BAD=120°，OA⊥平面ABCD，E为OD的中点，OA=AC=AD=2，AC平分∠BAD．（1）求证：CE∥平面OAB；（2）求四面体OACE的体积．【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）证明平面CEF∥平面OAB，即可证明CE∥平面OAB；（2）求出E到平面OAC的距离为h==，即可求四面体OACE的体积．【解答】（1）证明：取AD中点F，连接EF，CF，则EF∥OA，∵EF⊄平面OAB，OA⊂平面OAB，∴EF∥平面OAB，△ACF中，AC=AF，∠CAF=60°，∴∠ACF=60°，∵∠BAC=60°，∴AB∥CF，∵CF⊄平面OAB，AB⊂平面OAB，∴CF∥平面OAB，∵EF∩CF=F，∴平面CEF∥平面OAB，∵CE⊂平面CEF，∴CE∥平面OAB；（2）解：在△ACD中，CD==2，∴AC2+CD2=AD2，∴AC⊥CD，∵OA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴OA⊥CD，∵AC∩OA=A，∴CD⊥平面OAC，∵E是OD的中点，∴E到平面OAC的距离为h==，∵S△OAC==2，∴四面体OACE的体积V==．22．已知实数x、y满足，目标函数z=x+ay．（1）当a=﹣2时，求目标函数z的取值范围；（2）若使目标函数取得最小值的最优解有无数个，求的最大值．【考点】简单线性规划．【分析】（1）当a=﹣2时，z=x﹣2y，由z=x﹣2y得y=，平移直线进行求解即可．（2）根据目标函数取得最小值的最优解有无数个，求出a=﹣1，利用直线斜率的几何意义进行求解即可．【解答】解：（1）当a=﹣2时，z=x﹣2y，由z=x﹣2y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点C时，直线y=的截距最大，此时z最小，由，解得，即C（4，2）．此时z=4﹣2×2=4﹣4=0，当直线与x﹣2y﹣2=0重合时，直线y=的截距最小，此时z最大，此时z=2，即0≤z≤2．（2）若a＞0，由题意知最优解应该在线段BC上取得，但此时取到的最大值不满足条件．当a=0，不满足条件．若a＜0，最优解应该在线段AC上取得，故直线x+ay=0与AC平行，则k AC=1=﹣，得a=﹣1．=的几何意义是区域内的点到点D（﹣1，0）的斜率，由图象知当点与C（4，2）重合时，取得最大值．。
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2016-2017学年安徽省蚌埠市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的A、B、C、D的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号涂到答题卡上．（不用答题卡的，填在下面相应的答题栏内，用答题卡的不必填1．命题“”的否定是（）A．不存在B．∀x∈R，2x＞0C．．D．∀x∈R，2x≤02．点P（1，4）关于直线y=﹣x的对称点的坐标是（）A．（1，﹣4）B．（﹣4，1）C．（4，﹣1）D．（﹣4，﹣1）3．若直线与圆（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相切，则r=（）A．B．5 C．D．254．抛物线y=﹣3x2的准线方程是（）A．B．C．D．5．下列命题中不正确的是（）A．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥γB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果平面α⊥平面β，过α内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于β6．如图，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图（斜二测），若AD∥Oy，AB∥CD，A1B1==1，则原平面图形ABCD的面积是（）A．14．B．7 C．D．7．下列命题正确的是（）A．命题“”的否定是“”B．“函数f（x）=cosax﹣sinax的最小正周期为π”是“a=2”的必要不充分条件C．x2+2x≥ax在x∈[1，2]时有解⇔（x2+2x）min≥（ax）min在x∈[1，2]时成立D．“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“•＜0”8．圆与圆的公切线有（）A．.1条B．.2条C．.3条D．.4条9．一个高为2的三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积（）A．12πB．9πC．D．10．已知，若⊥，则实数λ等于（）A．﹣2 B．C．2 D．11．已知双曲线以△ABC的顶点B，C为焦点，且经过点A，若△ABC内角的对边分别为a，b，c．且a=4，b=5，，则此双曲线的离心率为（）A． B．C．D．12．棱台的两底面面积为S1、S2，中截面（过各棱中点的面积）面积为S0，那么（）A．B．C．2S0=S1+S2D．S02=2S1S2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案直接填在题中横线上．13．经过两条直线2x﹣y+3=0和4x+3y+1=0的交点，且垂直于直线2x﹣3y+4=0直线方程为．14．已知f（x）=x2+2x﹣m，如果f（1）＞0是假命题，f（2）＞0是真命题，则实数m的取值范围是．15．椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过焦点F1的直线交该椭圆于A，B两点，若△ABF2的内切圆面积为π，A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则|y1﹣y2|的值为．16．如图，已知平面α⊥β，α∩β=l，A，B是直线l上的两点，C，D是平面β内的两点，且DA ⊥l，CB⊥l，DA=2，AB=4，CB=4，P是平面α上的一动点，且直线PD，PC与平面α所成角相等，则二面角P﹣BC﹣D的余弦值的最小值是．三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出说明文字、演算式、证明步骤17．已知直线l1：ax+2y+6=0，直线l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0．（1）若l1⊥l2，求a的值；（2）若l1∥l2，求a的值．18．已知圆心为C的圆过点A（﹣2，2），B（﹣5，5），且圆心在直线l：x+y+3=0上（Ⅰ）求圆心为C的圆的标准方程；（Ⅱ）过点M（﹣2，9）作圆的切线，求切线方程．19．已知四棱锥P﹣ABCD的底面为平行四边形，PD⊥平面ABCD，M在边PC上（Ⅰ）当M在边PC上什么位置时，AP∥平面MBD？并给出证明．（Ⅱ）在（Ⅰ）条件之下，若AD⊥PB，求证：BD⊥平面PAD．20．在平面直角坐标系xOy中，E，F两点的坐标分别为（1，0）、（﹣1，0），动点G满足：直线GE与直线FG的斜率之积为﹣4．动点G的轨迹与过点C（0，﹣1）且斜率为k的直线交于A，B两点．（Ⅰ）求动点G的轨迹方程；（Ⅱ）若线段AB中点的横坐标为4 求k的值．21．（理）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA1=4，D是棱AA1的中点．如图所示．（1）求证：DC1⊥平面BCD；（2）求二面角A﹣BD﹣C的大小．22．已知点C的坐标为（4，0），A，B，是抛物线y2=4x上不同于原点O的相异的两个动点，且OA⊥OB．（Ⅰ）求证：点A，B，C共线；（Ⅱ）若，当时，求动点Q的轨迹方程．2016-2017学年安徽省蚌埠市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的A、B、C、D的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号涂到答题卡上．（不用答题卡的，填在下面相应的答题栏内，用答题卡的不必填1．命题“”的否定是（）A．不存在B．∀x∈R，2x＞0C．．D．∀x∈R，2x≤0【考点】命题的否定．【分析】本题中所给的命题是一个特称命题，其否定是一个全称命题，按规则写出其否定即可【解答】解：∵命题“”是一个特称命题∴命题“”的否定是“对任意的x∈R，2x＞0”故选：B2．点P（1，4）关于直线y=﹣x的对称点的坐标是（）A．（1，﹣4）B．（﹣4，1）C．（4，﹣1）D．（﹣4，﹣1）【考点】点到直线的距离公式．【分析】点（x，y）关于y=﹣x的对称点为（﹣y，﹣x）即可求出答案．【解答】解：点P（1，4）关于直线y=﹣x的对称点的坐标是（﹣4，﹣1），故选：D3．若直线与圆（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相切，则r=（）A．B．5 C．D．25【考点】圆的切线方程．【分析】由圆的方程求出圆心坐标，直接用圆心到直线的距离等于半径求得答案．【解答】解：由（x﹣4）2+y2=r2（r＞0），可知圆心坐标为（1，0），半径为r，∵直线与圆（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相切，由圆心到直线的距离d==，可得圆的半径为．故选：C．4．抛物线y=﹣3x2的准线方程是（）A．B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线的标准方程可得，进而得到准线方程．【解答】解：由抛物线y=﹣3x2得x2=﹣，∴=．可得准线方程是y=．故选C．5．下列命题中不正确的是（）A．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥γB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果平面α⊥平面β，过α内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】A，利用面面垂直的性质通过在一个面内作交线的垂线，然后用线面垂直的判定定理即可获得解答；B，注意线面平行的定义再结合实物即可获得解答；C，反证法即可获得解答；D，结合实物举反例即可．【解答】解：对于A，如图，设α∩γ=a，β∩γ=b，在γ内直线a、b外任取一点O，作OA⊥a，交点为A，因为平面α⊥平面γ，所以OA⊥α，所以OA⊥l，作OB⊥b，交点为B，因为平面β⊥平面γ，所以OB⊥β，所以OB ⊥l，又OA∩OB=O，所以l⊥γ．所以正确．对于B，结合正方体，侧面垂直底面，侧棱所在直线就与底面平行，故正确；对于C，假若平面α内存在直线垂直于平面β，根据面面垂直的判定定理可知两平面垂直．故正确；对于D，命如果点取在交线上，垂直于交线的直线不在α内，此垂线不垂直于β，故错．故选：D．6．如图，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图（斜二测），若AD∥Oy，AB∥CD，A1B1==1，则原平面图形ABCD的面积是（）A．14．B．7 C．D．【考点】平面图形的直观图．【分析】如图，根据直观图画法的规则，确定原平面图形四边形ABCD的形状，求出底边边长，上底边边长，以及高，然后求出面积．【解答】解：如图，根据直观图画法的规则，直观图中A1D1∥O′y′，A1D1=1，⇒原图中AD∥Oy，从而得出AD⊥DC，且AD=2A1D1=2，直观图中A1B1∥C1D1，A1B1=C1D1=3，⇒原图中AB∥CD，AB=CD=3，即四边形ABCD上底和下底边长分别为3，4，高为2，如图．故其面积S=（3+4）×2=7．故选：B．7．下列命题正确的是（）A．命题“”的否定是“”B．“函数f（x）=cosax﹣sinax的最小正周期为π”是“a=2”的必要不充分条件C．x2+2x≥ax在x∈[1，2]时有解⇔（x2+2x）min≥（ax）min在x∈[1，2]时成立D．“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“•＜0”【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A，命题“”的否定是“∀x0∈R，x02+1≤3x0“；B，由函数f（x）=cosax﹣sinax的最小正周期为π”⇒“a=±2；C，例a=2时，x2+2x≥2x在x∈[1，2]上有解，而（x2+2x）min=3＜2x max=4；D，当“•＜0”时，平面向量与的夹角是钝角或平角．【解答】解：对于A，命题“”的否定是“∀x0∈R，x02+1≤3x0“，故错；对于B，由函数f（x）=cosax﹣sinax的最小正周期为π”⇒“a=±2，故正确；对于C，例a=2时，x2+2x≥2x在x∈[1，2]上有解，而（x2+2x）min=3＜2x max=4，∴故错；对于D，当“•＜0”时，平面向量与的夹角是钝角或平角，∴“平面向量与的夹角是钝角”的必要不充分条件是“•＜0”，故错．故选：B8．圆与圆的公切线有（）A．.1条B．.2条C．.3条D．.4条【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】先求两圆的圆心和半径，判定两圆的位置关系，即可判定公切线的条数．【解答】解：两圆的圆心分别是（﹣1，﹣1），（2，1），半径分别是2，1；两圆圆心距离：=＞2+1，说明两圆相离，因而公切线有四条．故选：D．9．一个高为2的三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积（）A．12πB．9πC．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】PC的中点为O，连接OA，OB，运用线面垂直的判断和性质，证得BC⊥PB，可得O 为球心，求出半径，即可得到体积．【解答】解：一个高为2的三棱锥P﹣ABC，如图所示，PC的中点为O，连接OA，OB，由PA⊥底面ABC，可得PA⊥BC，AB⊥BC，可得BC⊥平面PAB，即有BC⊥PB，可得OA=OB=OC=OP，即O为球心，半径为，则球的体积为V=π•（）3=4π．故选：C．10．已知，若⊥，则实数λ等于（）A．﹣2 B．C．2 D．【考点】空间向量的数量积运算．【分析】利用向量垂直的性质直接求解．【解答】解：∵，⊥，∴=8+2﹣3λ=0，解得．故选：B．11．已知双曲线以△ABC的顶点B，C为焦点，且经过点A，若△ABC内角的对边分别为a，b，c．且a=4，b=5，，则此双曲线的离心率为（）A． B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意，2c′=4，2a′=5﹣，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：由题意，2c′=4，2a′=5﹣，∴e==5+，故选C．12．棱台的两底面面积为S1、S2，中截面（过各棱中点的面积）面积为S0，那么（）A．B．C．2S0=S1+S2D．S02=2S1S2【考点】棱台的结构特征．【分析】不妨设这个棱台为三棱台，设棱台的高为2h，上部三棱锥的高为a，根据相似比的性质，能求出结果．【解答】解：不妨设这个棱台为三棱台，设棱台的高为2h，上部三棱锥的高为a，则根据相似比的性质，得：，解得=+．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案直接填在题中横线上．13．经过两条直线2x﹣y+3=0和4x+3y+1=0的交点，且垂直于直线2x﹣3y+4=0直线方程为3x+2y+1=0．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】联立，求出两条直线2x﹣y+3=0和4x+3y+1=0的交点，设垂直于直线2x ﹣3y+4=0直线方程为3x+2y+c=0，把交点坐标代入，能求出结果．【解答】解：联立，得，∴两条直线2x﹣y+3=0和4x+3y+1=0的交点为（﹣1，1），设垂直于直线2x﹣3y+4=0的直线方程为3x+2y+c=0，把（﹣1，1）代入，得﹣3+2+c=0，解得c=1，∴所求直线方程为3x+2y+1=0．故答案为：3x+2y+1=0．14．已知f（x）=x2+2x﹣m，如果f（1）＞0是假命题，f（2）＞0是真命题，则实数m的取值范围是[3，8）．【考点】其他不等式的解法．【分析】由f（1）＞0是假命题得到f（1）≤0，结合f（2）＞0，解不等式组求m 的范围．【解答】解：依题意，即，解得3≤m＜8．故答案为：[3，8）15．椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过焦点F1的直线交该椭圆于A，B两点，若△ABF2的内切圆面积为π，A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则|y1﹣y2|的值为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由已知△ABF2内切圆半径r=1，从而求出△ABF2面积，再由ABF2面积=|y1﹣y2|×2c，能求出|y1﹣y2|．【解答】解：∵椭圆的左右焦点分别为F1，F2，a=2，b=2，c=2，过焦点F1的直线交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，△ABF2的内切圆的面积为π，∴△ABF2内切圆半径r=1．△ABF2面积S=×1×（AB+AF2+BF2）=2a=4，∴ABF2面积S=|y1﹣y2|×2c=|y1﹣y2|×2×2=4，∴|y1﹣y2|=．故答案为：．16．如图，已知平面α⊥β，α∩β=l，A，B是直线l上的两点，C，D是平面β内的两点，且DA ⊥l，CB⊥l，DA=2，AB=4，CB=4，P是平面α上的一动点，且直线PD，PC与平面α所成角相等，则二面角P﹣BC﹣D的余弦值的最小值是．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】∠PBA为所求的二面角的平面角，由△DAP∽△CPB得出=，求出P在α内的轨迹，根据轨迹的特点求出∠PBA的最大值对应的余弦值．【解答】解：∵AD⊥l，α∩β=l，α⊥β，AD⊂β，∴AD⊥α，同理：BC⊥α．∴∠DPA为直线PD与平面α所成的角，∠CPB为直线PC与平面α所成的角，∴∠DPA=∠CPB，又∠DAP=∠CBP=90°∴△DAP∽△CPB，∴=．在平面α内，以AB为x轴，以AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则A（﹣2，0），B（2，0）．设P（x，y），（y＞0）∴2=，整理得（x+）2+y2=，∴P点在平面α内的轨迹为以M（﹣，0）为圆心，以为半径的上半圆．∵平面PBC∩平面β=BC，PB⊥BC，AB⊥BC，∴∠PBA为二面角P﹣BC﹣D的平面角．∴当PB与圆相切时，∠PBA最大，cos∠PBA取得最小值．此时PM=，MB=，MP⊥PB，∴PB=．cos∠PBA==．故答案为．三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出说明文字、演算式、证明步骤17．已知直线l1：ax+2y+6=0，直线l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0．（1）若l1⊥l2，求a的值；（2）若l1∥l2，求a的值．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】（1）当两条直线垂直时，斜率之积等于﹣1，解方程求出a的值．（2）利用两直线平行时，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求出a的值．【解答】解：（1）l1⊥l2 时，a×1+2×（a﹣1）=0，解得a=．∴a=．（2）∵a=1时，l1不平行l2，∴l1∥l2⇔，解得a=﹣1．18．已知圆心为C的圆过点A（﹣2，2），B（﹣5，5），且圆心在直线l：x+y+3=0上（Ⅰ）求圆心为C的圆的标准方程；（Ⅱ）过点M（﹣2，9）作圆的切线，求切线方程．【考点】直线与圆的位置关系；圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）先设出圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，然后把A和B的坐标代入到圆方程中得到①和②，又因为圆心在直线x+y+3=0上，所以代入得到③，联立①②③，求出a，b，r的值即可得到圆的方程．（Ⅱ）分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求过点M（﹣2，9）作圆的切线的切线方程．【解答】解：（Ⅰ）设圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，根据已知条件可得（﹣2﹣a）2+（2﹣b）2=r2，①（﹣5﹣a）2+（5﹣b）2=r2，②a+b+3=0，③联立①，②，③，解得a=﹣5，b=2，r=3．所以所求圆的标准方程为（x+5）2+（y﹣2）2=9．（Ⅱ）直线的斜率存在时，设方程为y﹣9=k（x+2），即kx﹣y+2k+9=0，圆心C（﹣5，2）到切线的距离d==3，∴k=，∴直线方程为20x﹣21y+229=0，直线的斜率不存在时，即x=﹣2也满足题意，综上所述，所求切线方程为x=﹣2或20x﹣21y+229=0．19．已知四棱锥P﹣ABCD的底面为平行四边形，PD⊥平面ABCD，M在边PC上（Ⅰ）当M在边PC上什么位置时，AP∥平面MBD？并给出证明．（Ⅱ）在（Ⅰ）条件之下，若AD⊥PB，求证：BD⊥平面PAD．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）M是PC中点时，AC与BD的交点O是AC的中点，从而OM∥PA，由此能证明AP∥平面MBD．（Ⅱ）推导出PD⊥AD，AD⊥BD，PD⊥BD，由此能证明BD⊥平面PAD．【解答】解：（Ⅰ）M是PC中点时，AP∥平面MBD．证明：∵底面ABCD是平行四边形，∴AC与BD的交点O是AC的中点，又M是PC的中点，∴OM∥PA，∵OM⊂平面MBD，AP⊄平面MBD，∴AP∥平面MBD．证明：（Ⅱ）∵PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PD⊥AD，又AD⊥PB，PD∩PB=P，∴AD⊥平面PBD，∴AD⊥BD，∵PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PD⊥BD，∵PD∩AD=D，∴BD⊥平面PAD．20．在平面直角坐标系xOy中，E，F两点的坐标分别为（1，0）、（﹣1，0），动点G满足：直线GE与直线FG的斜率之积为﹣4．动点G的轨迹与过点C（0，﹣1）且斜率为k的直线交于A，B两点．（Ⅰ）求动点G的轨迹方程；（Ⅱ）若线段AB中点的横坐标为4 求k的值．【考点】椭圆的简单性质；轨迹方程．【分析】（Ⅰ）设动点G的坐标（x，y），求出直线EG的斜率，直线FG的斜率，利用已知条件求解即可．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx﹣1代入到x2+=1，消y整理可得（k2+4）x2﹣2kx﹣3=0，由此利用韦达定理和中点坐标公式即可求出．【解答】解：（Ⅰ）已知E（1，0），F（﹣1，0），设动点G的坐标（x，y），∴直线EG的斜率k1=，直线FG的斜率k2=，（y≠0），∵k1•k1=﹣4，∴•=﹣4，即x2+=1，（y≠0），（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx﹣1代入到x2+=1，消y整理可得（k2+4）x2﹣2kx﹣3=0，则△=4k2+12（4+k2）＞0，则x1+x2=，由=（x1+x2）=，解得k=2．21．（理）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA1=4，D是棱AA1的中点．如图所示．（1）求证：DC1⊥平面BCD；（2）求二面角A﹣BD﹣C的大小．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法能够证明DC1⊥平面BDC．（2）分别求出平面ABD的法向量和平面DBC的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣BD﹣C 的大小．【解答】（理）（1）证明：按如图所示建立空间直角坐标系．由题意知C（0，0，0）、A（2，0，0）、B（0，2，0）、D（2，0，2）、A1（2，0，4）、C1（0，0，4）．∴=（﹣2，0，2），，．∵=0，．∴DC1⊥DC，DC1⊥DB．又∵DC∩DB=D，∴DC1⊥平面BDC．（2）解：设是平面ABD的法向量．则，又，，∴，取y=1，得=（1，1，0）．由（1）知，=（﹣2，0，2）是平面DBC的一个法向量，记与的夹角为θ，则cosθ==﹣，结合三棱柱可知，二面角A﹣BD﹣C是锐角，∴所求二面角A﹣BD﹣C的大小是．22．已知点C的坐标为（4，0），A，B，是抛物线y2=4x上不同于原点O的相异的两个动点，且OA⊥OB．（Ⅰ）求证：点A，B，C共线；（Ⅱ）若，当时，求动点Q的轨迹方程．【考点】抛物线的简单性质；轨迹方程．【分析】（Ⅰ）设直线AB方程为x=my+b，将直线AB方程代入抛物线方程y2=4x，得y2﹣4my ﹣4b=0，利用韦达定理，结合直线垂直的条件，能够证明直线AB过定点（4，0）．（Ⅱ）当时，建立方程，即可求动点Q的轨迹方程．【解答】（Ⅰ）证明：设直线AB方程为x=my+b，A（x1，y1），B（x2，y2），将直线AB方程代入抛物线方程y2=4x，得y2﹣4my﹣4b=0，则y1+y2=4m，y1y2=﹣4b，∵OA⊥OB，∴k OA•k OB===﹣=﹣1，b=4．于是直线AB方程为x=my+4，该直线过定点（4，0），即点A，B，C共线；（Ⅱ）解：由题意，Q是直角三角形AOB斜边上的垂足，∠CQO=90°．设Q（x，y），则=（x，y），=（x﹣4，y），∴x（x﹣4）+y2=0，即（x﹣2）2+y2=4（x≠0）．2017年1月28日。