射影几何的诞生与发展
几何学中的射影几何研究
几何学中的射影几何研究几何学是研究空间图形和它们的性质的学科，而射影几何是其中的一个重要分支。
射影几何通过引入射影平面和射影点的概念，对平行线和无穷远点进行了研究，从而为几何学提供了一种新的视角和工具。
本文将针对射影几何的基本概念、应用以及研究现状进行探讨。
一、射影几何的基本概念射影几何的基本思想是将实数域上的几何问题拓展到射影平面上，从而解决传统几何学中无法解释的问题。
射影几何中最基本的概念是射影平面和射影点。
射影平面可以看作是在传统的欧几里得平面上加入了一条无穷远线形成的平面，而射影点则是传统几何中的点在射影平面上的映射。
二、射影几何的应用射影几何在现实生活中有着广泛的应用。
在计算机图形学中，射影几何可以用来处理透视投影问题，使得计算机生成的图像更加真实。
在地图制作中，射影几何可以用来解决投影问题，实现地球表面的平面展开。
此外，在相机成像和光学仪器设计等领域，射影几何也起着重要的作用。
三、射影几何的研究现状射影几何作为几何学的重要分支，在现代数学中得到了广泛的研究。
从理论的角度来看，射影几何涉及到代数、拓扑和几何学等多个领域的交叉研究。
研究者们通过引入射影空间、投影变换和射影群等概念，对射影几何进行了深入的探讨。
在应用方面，射影几何已经得到了广泛的应用和拓展。
例如，在计算机视觉和模式识别领域，射影几何可以用来进行图像处理和目标跟踪。
此外，在计算机辅助设计和虚拟现实等领域，射影几何也发挥着重要的作用。
射影几何的研究还面临着一些挑战。
其中之一是如何将射影几何与其他数学分支更加紧密地结合起来，从而推动射影几何的发展。
另外，射影几何在应用方面仍有一些问题需要解决，如何将射影几何应用到更多的领域，并且发挥出更大的价值。
总结射影几何作为几何学的重要分支，通过引入射影平面和射影点的概念，为解决传统几何学中的一些难题提供了新的思路和方法。
射影几何在实际生活和学科研究中有着广泛的应用，并且在理论和应用方面都存在着一定的挑战和发展空间。
射影几何公理
射影几何公理【实用版】目录1.射影几何的定义与基本概念2.射影几何公理的基本内容3.射影几何公理的应用4.射影几何的发展历程与意义正文射影几何是一种数学几何学，主要研究空间中直线、平面以及它们的射影。
射影几何公理是射影几何的基本理论，它为射影几何的研究和发展奠定了基础。
本文将从射影几何的定义与基本概念、射影几何公理的基本内容、射影几何公理的应用以及射影几何的发展历程与意义四个方面进行介绍。
首先，射影几何的定义与基本概念。
射影几何起源于光学和摄影测量学，它的基本概念包括射影、射影空间、射影直线、射影平面等。
射影是指从一个点向一个平面投射的过程，射影空间是指由射影和平面构成的空间。
射影几何的研究对象是射影空间中的直线、平面以及它们的射影。
其次，射影几何公理的基本内容。
射影几何公理包括以下三个基本原理：1）直线确定一个平面；2）两个不共线的点确定一条直线；3）三个不共线的点确定一个平面。
这些基本原理为射影几何的研究提供了理论基础。
接着，射影几何公理的应用。
射影几何公理在实际应用中具有广泛的应用价值，例如在计算机图形学、摄影测量学、空间探测等领域都有重要的应用。
射影几何公理在解决实际问题中起到了关键作用。
最后，射影几何的发展历程与意义。
射影几何公理的发展历程可以追溯到古希腊时期，欧几里得和阿里士多德等数学家都对射影几何做出了重要贡献。
随着科学技术的发展，射影几何在现代数学、物理学、工程学等领域发挥着越来越重要的作用，它为许多实际问题的解决提供了理论支持。
总之，射影几何公理是射影几何的基本理论，它为射影几何的研究和发展奠定了基础。
射影几何公理在实际应用中具有广泛的应用价值，它为许多实际问题的解决提供了理论支持。
立体几何中的射影定理
立体几何中的射影定理
射影定理：立体几何中的射影定理是指，如果两个相交的平面构成一个空间图形，那么它们之间的射线交点和其他空间点的必然关系。
射影定理是数学家们在研究立体几何时证明的重要定理。
它可以在许多立体几何的地方有用，特别是在几何学、机械工程、制图等方面，经常使用它。
立体几何中的射影定理是由孟加拉诞生的法国数学家卢瓦尔在17th世纪发现的，他发现了如果两个无限远的相交的平面有一个共同的点，他们之间的任何射线必定过这个点。
这就是射影定理，可以用来分解和分析复杂的立体几何图形。
射影定理有两个基本条件：一是在几何图形中，两个相交的平面构成一个空间图形，就是说，它们不能是重叠的；二是它们之间必须有一个共同的点。
这两个条件是射影定理的基本条件，如果一个空间内有多个平面和物体，那么射影定理就可以确定它们的交点，以及它们之间相对应的关系。
射影定理的主要用途是帮助研究人员和技术人员在建立体几何图形时寻找最佳图形，同时为科学研究和工程设计提供参考。
射影定理可以帮助分析各种复杂的空间设计，并为它们提供最佳的解决方案。
此外，射影定理还可以用来在几何中作出正确的计算，比如可以用它来计算空间图形的定位和大小。
射影定理可以指导技术人员如何将空间设计放置在位置的最佳地点，以及当传输速度发生变化时，如何计算传输材料的重量和尺寸。
从以上内容可以看出，立体几何中的射影定理是一个极其重要的定理，它可以在多个不同领域有很多应用，对于科学家和技术人员来说，这是一个重要的分析和计算工具。
立体几何中的射影定理可以帮助人们正确地处理复杂空间图形，可以有效地应用于机械制图、几何图形和空间设计。
空间几何中的射影问题
空间几何中的射影问题几何学是研究空间和形状的学科，而空间几何则是其中的一个分支。
在空间几何中，射影问题是一个重要的概念和研究方向。
射影问题旨在研究和描述点、线、平面在空间中的投影关系，它对于我们理解和分析复杂的几何结构具有重要意义。
一、射影的基本概念在空间几何中，射影是指一个点或者一个几何体在某个平面上的投影。
投影是几何体与平面之间的映射关系，通过这种映射，我们可以将三维的几何体投影到二维平面上，从而更好地研究和分析。
射影的基本思想是模拟人眼在看到物体时的投影效果，从而在平面上得到几何体的投影图形。
二、射影的应用领域射影在各个领域中有着广泛的应用。
在建筑设计中，通过射影可以得到建筑物在不同角度下的平面图和立体图，以便设计者更好地理解和规划。
在计算机图形学中，射影是生成逼真图像的基础，通过计算机算法可以将三维场景转化为二维图像。
在艺术绘画中，艺术家常常使用射影原理来创作逼真的画作。
射影还在无人驾驶、航天航空等领域有着重要的应用。
三、射影的数学模型射影问题是一个复杂的数学模型，需要运用线性代数、微分几何等多种数学工具进行研究和分析。
射影矩阵是射影问题中常用的工具，它可以将点、线或者几何体的坐标表示为齐次坐标表示形式，从而更方便地进行计算和推导。
同时，射影变换和透视投影也是射影问题中常见的数学概念，它们描述了点、线或者几何体在不同平面上的投影关系。
四、射影问题的应用举例为了更好地理解射影问题的应用，我们来看一个具体的例子。
假设我们要求解一个物体在平面上的阴影大小和位置问题。
通过射影的方法，我们可以根据物体的大小、位置和光照条件，计算出物体在平面上的投影，并确定阴影的大小和位置。
这就为设计师设计建筑物的阳光照明效果提供了重要的信息。
五、射影问题的发展前景射影问题作为空间几何中的一个重要研究方向，具有广阔的发展前景。
随着计算机技术和数学建模方法的不断进步，我们可以更加准确地描述和分析射影问题，从而在建筑、工程、艺术、科学等领域中得到更广泛的应用。
射影几何简介
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笛沙格把他的射影几何思想用于圆锥曲线，得到许多新颖的结果： – 直线可以看作具有无限长半径的圆的一部分； – 焦点相合的椭圆退化为圆； – 焦点之一在无穷远的椭圆是一抛物线，等等．
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他不再把圆锥曲线看作圆锥与平面的交线，而是理解为圆的截景． 圆不仅可以变换为椭圆，而且可以变换为开口的抛物线或双曲线，这时的曲线仍看作封闭的， 只不过是一个点在无穷远而已． 笛沙格力图用投射、截景等射影几何概念统一处理各种圆锥曲线，从而为圆锥曲线的研究开 辟了广阔的前景．
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为什么笛沙格的书在当时被忽略呢？主要有两个原因． 一是它被差不多同时出现的解析几何掩盖了．从思想的深刻来讲，笛沙格的射影几何是可以 和笛卡儿的解析几何相媲美的．但笛卡儿的解析几何是用代数方法研究几何问题，可以迅速 得到数量结果，而射影几何主要是对几何的定性研究．当时的技术发展更需要解析几何这样 的有力工具． 第二个原因是，笛沙格的写作形式比较古怪，他引进了 70 个新术语，其中多是从植物学借 用的．例如，他用棕 (Palm)、干、树来表示三种不同性质的直线．这类语句以及不易理解的 思想，使他的书难于阅读． 除了笛卡儿、帕斯卡、费马等几位大数学家外，很少有人欣赏他的著作．
1
B′ O . A′
C′
B
C
D′ A
D
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那么，截景与原形究竟有什么共性呢？这正是阿尔贝蒂苦苦思索而未找到答案的问题． 阿尔贝蒂还考虑到：如果在眼睛和景物之间插进两张玻璃板，它们上面的截景将是不同的； 如果从两个不同位置来观察景物，截景也将是不同的．但所有截景都反映同一景物，它们之 间必存在某种关系． 于是他进一步提出问题：同一景物的任意两个截景间有什么数学关系，或者说有什么共同的 数学性质？他留给后人的这些问题成为射影几何的出发点．
没有度量的几何学——射影几何的产生
没有度量的几何学——射影几何的产生
自然界中的物体都是立体的，而画家作画、建筑师绘图都是使用画布、墙壁、纸张这样的平面，如果要让画在平面上的物体具有凹凸不平的立体感，就得探讨人的视觉规律。
为此，数学家和艺术家们从不同角度研究投影的性质。
达·芬奇首先提出了聚焦透视法，确切、形象地阐述了透视原理的基本思想。
他强调，画画要画一只眼睛看到的景物，从景物的每一个能看到的点发出的光线进入人的眼睛，经过瞳孔的折射，最后在视网膜上形成物体的影象。
假如在人们眼睛与景物之间放一片透明薄膜，从景物的各点进入眼睛的每一条光线，穿过这张薄膜时形成点，所有这些点的集合就形成了景物在薄膜上的像。
整个这一过程就叫透视，几何学上称为中心射影。
射影几何就是研究图形在中心射影下位置关系的学科。
这门新学科广泛应用于航空摄影、绘画测量等方面。
它的发现是许多数学家相继努力的结果。
冷知识：射影几何的发现
射影几何是数学中的一个分支，它是关于几何图形经过投影变换后，仍然不会变化的几何性质的研究。
与基本几何相比，射影几何有投影后不变的独特性质，也正是这样的性质，射影几何能够更容易地与其他几何系统互相联系。
通过这样的密切联系，可以使用射影几何处理一些度量问题。
基于建筑学的发展和绘画雕塑的需要，射影几何的发展历史可谓十分悠久，早在古希腊时期，欧几里得就有一些关于透视的发现。
在透视中，两条平行轨道在视线远处将会相交于一点，这种两条平行直线在无穷远处相交的点在射影几何中被称为无穷远点。
为什么两条平行直线会在无穷远处相交呢？我们平常所接触到的几何是在欧几里得几何（也被称为欧氏几何）的范畴下阐述的。
几何中的所有图形经过位移或旋转变换后，性质不会发生变化，平行线会一直平行永不相交，这样的说法也是在欧氏几何的范畴中成立的。
可以说，射影几何的范畴比欧式几何小得多，它仅仅是关于投影变换后不变的几何研究。
射影几何可以通过仿射平面加上无穷远处的一条线进行建模，并将这条线看作是“一般”。
如果以解析几何做出射影几何的代数模型，将会用到齐次坐标。
由于射影几何所包含的公理最少，可以将其视为仿射几何与欧式几何的基础，从范围而言，射影几何＜仿射几何＜欧式几何。
15世纪时，意大利文艺复兴早期著名工程师布鲁内莱斯基开始对透视的几何结构进行研究；16世纪末17世纪处，无穷远点的概念被独立提出。
同一时期，法国数学家笛沙格概括了消失点的用途并纳入无穷远处的情形，发展出了构建透视图的另一种方法，开始了对圆锥曲线的研究，使得欧式几何中平行线在任何情况下都平行的特性，成为其他几何系统包括射影几何中的特例。
这一研究被法国数学家帕斯卡发现并进一步将其公式化，发展成为了帕斯卡定理。
射影几何的基础论述直到1822年才被法国数学家吉恩-维克托·彭赛列具体描述，彭赛列也因此被称为射影几何的创始人之一。
彭赛列发现了物体的不同类型的射影性质，并建立了射影性质与度量性质之间的关系。
射影几何的起源
射影几何的起源在欧洲文艺复兴时期，许多著名的画家，包括多才多艺的达·芬奇，以他们非凡的技巧和才能，为透视学的研究，作出了卓越的贡献。
他们的成果，很快地影响到几何学，并孕育出一门新的几何学分支——射影几何。
所谓射影是指：从中心O发出的光线投射锥，使平面Q上的图形Ω，在平面P上获得截景Ω1。
则Ω1称为Ω关于中心O在平面P上的射影。
射影几何就是研究在上述射影变换下不变性质的几何学。
为射影几何的诞生奠基的，是两位法国数学家：笛沙格（Desargues，1591～1661）和帕斯卡（Pascal，1623～1662）。
公元1636年，笛沙格发表了题为《用透视表示对象的一般方法》一书。
在这本书里，笛沙格首次给出了高度、宽度和深度“测尺”的概念，从而把绘画理论与严格的科学联系起来。
公元1639年，笛沙格在平面与圆锥相截的研究中，取得了新的突破。
他论述了三种二次曲线都能由平截面圆锥而得，从而可以把这三种曲线都看盾成是圆的透视图形。
这使有关圆锥曲线的研究，有了一种特别简捷的形式。
不过，笛沙格的上述著作后来竟不幸失传，直到200年后，公元1845年的一天，法国数学家查理斯，由于一个偶然的机会，在巴黎的一个旧书摊上，惊异地发现了笛沙格原稿的抄本，从而使笛沙格这一被埋没了的成果，得以重新发放光辉！笛沙格之所以能青史留名，还由于以下的定理：如果两个空间三角形对应顶点的三条联线共点，那么它们对应边直线的交点共线。
这个定理后来便以笛沙格的名字命名。
有趣的是：把笛沙格定理中的“点”改为“直线”，而把“直线”改为“点”，所得的命题依然成立。
即如果两个空间三角形的对应边直线的三个交点共线，那么它们对应顶点的联线共点。
在射影几何中，上述现象具有普遍性。
一般地，把一个已知命题或构图中的词语，按以下“词典”进行翻译：将得到一个“对偶”的命题。
两个互为对偶的命题，要么同时成立，要么同时不成立。
这便是射影几何中独有的“对偶原理”。
几何空间选论(第三讲 射影几何与射影空间)
第三讲射影几何与射影空间一、射影几何的起源与确立射影几何是研究图形的射影性质，即经过射影变换后，依然保持图形性质不变的几何学分支。
射影几何也叫投影几何学，通过它可以把欧氏几何、仿射几何等联系起来。
射影几何的某些内容在公元前就已经出现了，基于绘图学和建筑学的需要，古希腊几何学家就开始研究透视法，也就是投影和截影。
早在公元前200年左右，阿波罗尼奥斯就曾把二次曲线作为正圆锥面的截线来研究。
在4世纪帕普斯的著作中，出现了帕普斯定理。
但射影几何直到十九世纪才形成独立体系，趋于完备。
1.达·芬奇（1452—1519）射影几何的最早起源是绘画。
达·芬奇是一位思想深邃，学识渊博，多才多艺的画家、发明家、哲学家、音乐家、医学家、建筑和军事工程师。
他广泛地研究与绘画有关的光学、数学、地质学、生物学等多种学科。
在《绘画专论》一书中，他对透视法作了详尽的论述。
他的代表作《最后的晚餐》是基督教传说中最重要的故事。
这幅画就是严格采用透视法的。
在数学方面，他巧妙地用圆柱滚动一周的方法解决了化圆为方的难题，另外他还研究过等腰梯形、圆内接多边形的作图，四面体的重心等。
此外，达·芬奇还发现了液体压力的概念，提出了连通器原理。
达·芬奇在生理解剖学上也取得了巨大的成就，被认为是近代生理解剖学的始祖。
他绘制了比较详细的人体解剖图。
在建筑方面，达·芬奇也表现出了卓越的才华。
他设计过桥梁、教堂、城市街道和城市建筑。
达·芬奇的研究和发明还涉及到了军事领域。
他发明了簧轮枪、子母弹、三管大炮、坦克车、浮动雪鞋、潜水服及潜水艇、双层船壳战舰、滑翔机、直升飞机和旋转浮桥等。
看过《达·芬奇密码》的人大概都知道达·芬奇密码筒。
达·芬奇设计的这种密码筒造型古典，内涵着文艺复兴特质，设计优雅。
要打开密码筒，必须解开一个5位数的密码，密码筒上有5个转盘，每个转盘上都有26个字母，可能作为密码的排列组合多达11881376种。
射影定理立体几何
射影定理立体几何射影定理是立体几何中非常重要的定理之一，它在许多问题的解决中起着关键的作用。
本文将介绍射影定理的概念、应用和证明过程。
射影定理是指：在平行于某一平面的平面上，被这个平面所截的直线的射影线段互相相等。
也就是说，如果一条直线与平面相交，它在这个平面上的两个截点到射影平面上的两个射影点的距离相等。
射影定理是由古希腊数学家欧几里得最早提出的。
射影定理在几何学中的应用非常广泛。
例如，在计算空间中两条直线之间的夹角时，可以利用射影定理将直线投影到一个平行于另一条直线的平面，然后计算投影线段的夹角。
此外，在解决立体几何问题中，常常需要利用射影定理来分析和推导各种关系。
下面，我们来证明射影定理。
假设有一条直线AB与平面CD相交，BC平行于平面CD。
取点E、F分别在直线AB上，使得AE=BF。
现要证明CE=DF。
首先，连接CF和DE，并设它们的交点为G。
由于BC平行于平面CD，所以CE平行于平面BCD。
而根据射影定理，射影线段CG与DE相等。
所以CG=DE。
同样的，根据射影定理，射影线段CG与CF相等。
所以CG=CF。
另一方面，由于AE=BF，所以射影线段AG与BF相等。
根据射影定理，射影线段AG与EF相等。
所以AG=EF。
由于CG=CF，而CG=DE，所以DE=CF。
又由于AG=EF，所以CE=DF。
因此，我们证明了射影定理。
通过射影定理，我们可以更方便地解决一些立体几何问题。
例如，在平行四边形中，如果一对对角线互相平行，则这个平行四边形是一个梯形。
利用射影定理，我们可以证明对角线的交点到平行边的距离相等，从而推导出对角线平行的结论。
总而言之，射影定理在立体几何中有着广泛的应用。
它的概念简单易懂，应用广泛且实用。
通过射影定理，我们可以更加方便地解决各种立体几何问题，推导和证明各种几何关系，为我们的几何学习和研究提供了一个重要的工具。
射影定理是立体几何中不可或缺的一环，我们应该充分理解其概念，掌握其应用，以提升我们的数学水平。
几何学的发展简述
几何学的发展历程几何学是一门历史悠久、源远流长的学科。
因为它与人类的生活密切相关，所以在人类的早期文明里，它凭借丰富的直观形象和深奥的内在本质，成为当之无愧的老大哥。
在人类历史的长河中，无论在思想领域的突破上，还是在科学方法论的创建上，几何学总扮演着“开路先锋”的角色。
下面就来了解一下几何学的发展史。
一、欧几里得与《几何原本》欧几里得是古希腊数学的集大成者, 是古希腊亚历山大学派的创始人。
从公元前7 世纪到公元前4 世纪, 伴随着哲学的发展, 古希腊数学, 特别是几何学获得了充分的发展, 积累了丰富的材料。
要进一步促进数学的发展, 同时满足教学的需要, 如何把这些材料整理成/ 逻辑严密的系统知识就成了当时希腊数学家的非常重要且非常艰巨的一项任务。
欧几里得总结了前人的经验和教训, 巧妙地把亚里士多得的/ 逻辑学和数学结合起来, 精细地选择命题和公理, 合理地安排知识的顺序, 使之能从很少的几个原始命题( 或说公理) 开始逻辑地展开。
于是, 人类历史上的第一部( 我们可以这样认为) 数学理论著作---《几何原本》诞生了, 第一个公理化的逻辑体现出现了。
它共有十三卷, 包含了465 个命题, 所涉及到的知识包含平面几何、立体几何、比例论、初等数论、无理数等知识。
欧几里得几何从此成为经典几何的代名词。
二、非欧几何的诞生直到18世纪末，几何领域仍然是欧几里得一统天下.虽然解析几何实现了几何学研究方法的革命，但没有从本质上改变欧氏几何本身的内容。
然而，这个近乎科学“圣经”的欧几里得几何并非无懈可击。
到1800年时，平行线公理已经成了几何学瑕站的标志。
因此，从古希腊时代开始，数学家们就一直没有放弃消除对第五公设疑问的努力。
来自不同国家的三位数学家相继独立地发现了非欧几何学.他们是德国的高斯句牙利的J.波尔约和俄国的罗巴切夫斯基。
.从18世纪90年代起，高斯就一直对平行线理论和几何学的基础感兴趣.在1805年的一个笔记本里，高斯考虑到了已知直线距离一定的点的轨迹未必是一条直线.他还曾经证明:非欧假设隐含着绝对长度单位的存在性.但他在生前从未发表过他关于这个问题的观点。
射影几何的产生与发展
射影⼏何的产⽣与发展射影⼏何产⽣的历史背景1566年，科曼迪诺（F，Commandino，1509年-1575年）把阿波罗尼奥斯fApollonius）的《圆锥曲线论》的前四卷译成拉丁⽂，引起了数学家们对⼏何的关注，在短短⼏⼗年的时间⾥，⼈们便突破了传统⼏何的局限，创⽴了⼀门崭新的学科——射影⼏何。
射影⼏何起源于透视法，⽽当时透视法主要应⽤于绘画，为了能在画布上画出⼤⾃然的真实样⼦，⼈们就需要解决⼀个数学问题：如何把三维的现实世界反映到⼆维的画布上，意⼤利的建筑师、数学家阿尔贝蒂（L，B，Alberti，1404年-1472年）认真考虑了这⼀问题，他在1435年写成的《论绘画》（1511年出版）⼀书中作了具体的阐述：在眼睛和景物之间插进⼀张直⽴的玻璃板，设光线从眼睛出发射到景物的每⼀个点上，这些线叫投影线，设想每根线与玻璃板交于⼀点，这些点的集合叫做截景，显然，截景给眼睛的印象和景物本⾝⼀样，所以要画出⼀个逼真的画作，就要在玻璃板（实际是画布）上获得⼀个真正的截景。
例如，⼈眼在O处观察⽔平⾯上的矩形ABCD（图1）时，从O到矩形各点的连线形成⼀个投影棱锥，其中OA、OB、OC、OD是四根典型的投影线，若在⼈眼和矩形间插⼊⼀个平⾯，并连结四条线与平⾯的交点A’、B’、C’、D’，则四边形A’B’C’D’为矩形ABCD的截景，由于截景对⼈眼产⽣的视觉印象和原矩形⼀样，它们必然有相同之处，但从直观上看，截景和原形既不全等⼜不相似，也不会有相同的⾯积，截景甚⾄并⾮是矩形，那么，截景与原形究竟有什么共性呢？这正是阿尔贝蒂苦苦思索，却未找到答案的问题。
阿尔贝蒂还考虑到：如果在眼睛和景物之间插进两张玻璃板，它们上⾯的截景将是不同的;如果从两个不同位置来观察景物，截景也将是不同的，但所有截景都反映同⼀景物，它们之间必然存在某种关系，于是他进⼀步提出问题：同⼀景物的任意两个截景间有什么数学关系？或者说有什么共同的特点？他留给后⼈的这些问题成为射影⼏何研究的出发点。
简述几何学的发展史
简述几何学的发展史摘要：本文简要的阐述了几何学思想的发展简史，包括欧氏几何的确立，射影几何的发展，解析几何、非欧几何的诞生与发展，直至几何学的统一。
关键词：几何学；发展史几何学是一门古老而实用的科学，是自然科学的重要组成部分。
在史学中，几何学的确立和统一经历了二千多年，数百位数学家做出了不懈的努力。
一、欧氏几何的创始公认的几何学的确立源自公元300 多年前，希腊数学家欧几里得著作《原本》。
欧几里得在《原本》中创造性地用公理法对当时所了解的数学知识作了总结。
全书共有13 卷，包括5 条公理，5 条公设，119 个定义和465 条命题。
这些公设和公理及基本定义成为《原本》的推理的基础。
欧几里得的《原本》是数学史上的一座里程碑，在数学中确立了推理的范式。
他的思想被称作“公理化思想”。
二、解析几何的诞生解析几何是变量数学最重要的体现。
解析几何的基本思想是在平面上引入“坐标”的概念，并借助这种坐标在平面上的点和有序实数对（x,y）建立一一对应的关系，于是几何问题就转化为代数问题。
解析几何的真正创立者应该是法国数学家迪卡儿和费马。
1637 年迪卡儿在《更好的指导推理和寻求科学真理的方法论》的附录《几何学》[1]中清晰的体现了解析几何的思想。
而费马则是在论平面和立体的轨迹引论中阐述了解析几何的原理，他在书中提出并使用了坐标的概念，同时建立了斜坐标系和直角坐标系。
三、非欧几何的诞生与发展非欧几何的诞生源于人们长久以来对欧几里得《原本》中第五公设即平行公设的探讨，但一直未得到公设的结论。
直到数学家高斯、波约和俄国数学家罗巴切夫斯基在自己的论著中都描述了这样一种几何，以“从直线外一点可以引不止一条直线平行于已知直线”作为替代公式，进行推理而得出的新的一套几何学定理，并将它命名为非欧几何，一般称为“罗氏几何”。
1854 年德国数学家黎曼发展了罗巴切夫斯基的几何思想，从而建立了一种更为一般化的几何，称为“黎曼几何”。
他认为欧氏几何和罗氏几何都是黎曼几何的一种特例。
射影知识点总结高中
射影知识点总结高中引言射影是一门应用数学中的重要分支，它包括平面几何、立体几何、解析几何和向量几何等内容，是数学学科中不可或缺的部分。
在高中阶段，学生需要学习射影的基本概念、定理和方法，掌握相关的基本技能和解题能力。
本文将对射影知识点进行总结，帮助学生更好地理解和掌握这一重要知识点。
一、射影的基本概念1.1 射影的起源射影起源于古代希腊，最早被提出并应用于建筑和绘画中。
随着数学的发展，射影得到了深入研究和发展，成为了一门独立的数学分支。
1.2 射影的定义射影是指一种特殊的空间变换，它将三维空间中的几何图形投影到一个二维平面上，从而得到一个新的平面图形。
在射影过程中，原空间中的物体被投影到新平面上的位置和形状都会发生变化。
1.3 射影的分类根据射影的性质和特点，射影可以分为平行射影、透视射影和中心射影等多种类型。
不同类型的射影在实际应用中有着不同的特点和作用。
1.4 射影的应用射影在数学、物理、工程、艺术等领域都有着广泛的应用。
在建筑设计、计算机图形学、摄影等领域都离不开射影的应用。
掌握射影知识对于理解和应用这些领域都是至关重要的。
二、射影的基本定理2.1 射影定理射影定理是射影理论中的重要基本定理，它描述了在射影变换中图形的性质和变化规律。
射影定理的研究对于理解和分析射影过程具有重要意义。
2.2 射影原理射影原理是射影理论中的另一个基本定理，它描述了在不同射影类型中图形的性质和变化规律。
掌握射影原理对于分析和比较不同类型射影过程有着重要意义。
2.3 射影定理的应用射影定理在建筑设计、摄影以及其他领域都有着广泛的应用。
理解和应用射影定理能够帮助人们更好地处理和分析射影过程，提高工作效率和质量。
三、射影的基本方法3.1 射影的基本步骤射影过程中的基本步骤包括确定射影原点、确定射影平面、确定射影方向、确定射影参数等。
了解和掌握这些基本步骤对于进行射影变换具有重要意义。
3.2 射影的基本技巧在进行射影过程中需要掌握一些基本技巧，如射影平面的选择、射影参数的确定、射影方向的调整等。
射影几何(正式版)
射影几何首先，射影几何学是几何学的一个重要分支学科。
概括的说，它是专门研究图形的位置关系的，也是专门用来讨论在把点投影到直线或者平面上的时候，图形的不变性质的学科。
那射影几何的某些内容在公元前就已经发现了，但直到十九世纪才形成独立体系，趋于完备。
接下来，我将从以下4个方面介绍射影几何。
（1，2，3，4）首先是第一点，从透视学到射影几何在文艺复兴时期，描绘现实世界成为绘画的重要目标，这就使画家们在将三维现实世界绘制到二维的画布上时，面临了如何呈现的问题。
例如如何将平行的9个长方体从一个角度观察并呈现在了二维纸面上。
正是这种冲突，刺激并导致了富有文艺复兴特色的学科---透视学。
这里不得不提起一个数学透视法的天才，阿尔贝蒂。
他是当时意大利著名建筑师、建筑理论家。
意大利文艺复兴时期最有影响的建筑理论家。
一生致力于理论研究，著有《论绘画》、《论建筑》、《论雕塑》，其中《论建筑》为当时最富影响、最具代表性的建筑理论著作，书内列有研究建筑材料、施工、结构、构造、经济、规划、水文、设计等章节，完整地介绍了他的建筑思想。
另外《论绘画》一书（1511）则更是早期数学透视法的代表作，成为射影几何学发展的起点。
接下来就是第2点了——射影几何的早期发展在19世纪以前，射影几何一直是在欧氏几何的框架下被研究的，其早期开拓者德沙格、帕斯卡等主要是以欧式几何的方法处理问题(这点很重要)。
但是由于18世纪解析几何、微积分的发展洪流而被人遗忘。
德沙格：生在法国，也死在法国，和当时的笛卡尔、费尔马等领头数学家都是好朋友，这批人的活动和所取得的成就，使法国成为当时世界上最辉煌的国度。
身处这一旋涡的德扎格以其新颖的思想和独特的数学方法，对于透视法产生的问题给予数学上解答，开辟了数学的一个新领域，成为射影几何学的先驱的第一人。
帕斯卡：著名的、、和。
主要贡献是在上，发现了，并以其名字命名单位。
帕斯卡没有受过正规的。
他4岁时母亲病故，他父亲是一位受人尊敬的，在其精心地教育下，帕斯卡很小时就精通。
射影几何公理
射影几何公理
【原创版】
目录
1.射影几何公理的定义与概述
2.射影几何公理的基本原理
3.射影几何公理的推导与证明
4.射影几何公理的应用与影响
正文
射影几何公理是一种数学理论，主要研究空间中点、线、面的关系以及它们如何投影到某个子空间。
射影几何公理起源于 19 世纪，是由法国数学家卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）和意大利数学家吉罗拉莫·卡尔达诺（Girolamo Cardano）等人提出的。
射影几何公理的基本原理包括以下几点：
1.射影空间：射影几何公理研究的空间称为射影空间，它可以是实数域上的，也可以是复数域上的。
射影空间中的点、线、面都是射影几何的基本元素。
2.直线：射影空间中的一条直线是由两个不共线的点确定的。
射影几何公理定义了直线的性质，包括直线上的点、直线与直线的交点等。
3.平面：射影空间中的一个平面是由三个不共线的点确定的。
射影几何公理定义了平面的性质，包括平面上的点、平面与平面的交线等。
4.点、线、面的关系：射影几何公理详细描述了点、线、面之间的关系，包括点在直线上、点在平面上、直线在平面上等。
射影几何公理的推导与证明主要依赖于射影空间中的基本元素和定义。
例如，射影几何公理可以通过直线和平面的性质推导出点在线上、点在平面上等结论。
这些结论可以进一步推广到更复杂的几何问题中。
射影几何公理的应用与影响非常广泛。
在现代数学领域，射影几何公理被广泛应用于空间解析几何、微积分、线性代数等学科。
此外，射影几何公理在物理学、工程学等领域也有广泛的应用。
射影几何的诞生与发展
射影几何的诞生与发展一从透视学到射影几何1．在文艺复兴时期，描绘现实世界成为绘画的重要目标，这就使画家们在将三维现实世界绘制到二维的画布上时，面临这样的问题：（1）一个物体的同一投影的两个截影有什么共同的性质？（2）从两个光源分别对两个物体投影到同一个物影上，那么两个物体间具有什么关系？2．由于绘画、制图的刺激而导致了富有文艺复兴特色的学科---透视学的兴起(文艺复兴时期：普遍认为发端于14世纪的意大利，以后扩展到西欧，16世纪大道鼎盛)，从而诞生了射影几何学。
意大利人布努雷契（1377-1446）是第一个认真研究透视法并试图运用几何方法进行绘画的艺术家。
3．数学透视法的天才阿尔贝蒂（1401-1472）的《论绘画》一书（1511）则是早期数学透视法的代表作，成为射影几何学发展的起点。
4．对于透视法产生的问题给予数学上解答的第一人是德沙格（1591-1661）法国陆军军官，后来成为工程师和建筑师，都是靠自学的。
1639年发表《试论锥面截一平面所得结果的初稿》，这部著作充满了创造性的思想，引入了无穷远点、无穷远直线、德沙格定理、交比不变性定理、对合调和点组关系的不变性、极点极带理论等。
5．数学家帕斯卡（1623-1662）16岁就开始研究投射与取景法，1640年完成著作《圆锥曲线论》，不久失传，1779年被重新发现，他最突出的成就是所谓的帕斯卡定理，即圆锥曲线的内接六边形的对边交点共线6．画家拉伊尔（1640-1718）在《圆锥曲线》（1685）这本射影几何专著中最突出的地方在于极点理论方面的创新。
7．德沙格等人把这种投影分析法和所获得的结果视为欧几里得几何的一部分，从而在17世纪人们对二者不加区别，但这一方法诱发了一些新的思想和观点：1）一个数学对象从一个形状连续变化到另一形状2）变换与变换不变性3）几何新方法------仅关心几何图形的相交与结构关系，不涉及度量二射影几何的繁荣1．在19世纪以前，射影几何一直是在欧氏几何的框架下被研究的，并且由于18世纪解析几何、微积分的发展洪流而被人遗忘，到18世纪末19世纪初，蒙日的《画法几何学》及其学生们的工作，重新激发了人们对综合射影几何的兴趣，然而将射影几何变革为具有自己独立的目标与方法的学科的数学家是曾受教于蒙日的庞斯列（1788-1867）2．庞斯列曾任拿破仑的远征军的工兵中尉，1812年莫斯科战役被俘，度过了两年铁窗生活，在这两年里，庞斯列不借助于任何书本，以炭为笔，在监狱的墙壁上谱写了射影几何的新篇章。
几何学中的射影几何
几何学中的射影几何几何学是数学的一个分支，致力于研究空间形状、结构和性质。
而射影几何则是几何学中的一个重要领域，它研究的是射影空间及其相关的几何概念和性质。
在本文中，我们将深入探讨射影几何的基本原理和应用。
一、射影几何的定义和基本原理射影几何是建立在射影空间上的几何学分支。
射影空间是传统的欧几里德空间的一个扩充，它引入了无穷远点和直线上的点，使得几何概念得到无穷远的自然推广。
在射影几何中，有三个基本原理需要我们了解：1. 射影空间公理：射影空间满足射影空间公理，包括点线对偶原理、直线交定理、射影变换等。
通过这些公理，我们可以在射影空间中进行几何推理和定理证明。
2. 无穷远点：射影空间引入了无穷远点的概念，它代表着直线上的点在无穷远处的位置。
在射影几何中，我们可以将两个无穷远点连接起来形成一条直线，这条直线称为“无穷远直线”。
3. 射影变换：射影变换是射影几何中常用的一种变换方法。
它可以将射影空间中的点和直线映射到另一个射影空间中，保持射影几何的内部结构和性质不变。
二、射影几何的应用领域射影几何不仅在纯粹的数学领域中有重要意义，而且在许多应用领域也具有广泛的应用。
以下是射影几何的一些典型应用：1. 计算机视觉：射影几何在计算机视觉领域发挥着重要作用。
通过射影变换，我们可以将二维图像映射到三维空间中，从而实现图像的三维重建和深度识别。
2. 无人驾驶：射影几何在无人驾驶技术中有广泛应用。
通过射影变换和几何推理，无人驾驶汽车可以实时感知周围环境、规划路径和避免障碍物。
3. 空间布局设计：射影几何可以帮助我们进行空间布局设计，比如建筑物的设计和室内装饰。
通过射影变换和空间投影，我们可以在平面上模拟和优化各种建筑设计方案。
4. 图像处理：射影几何在图像处理中有广泛的应用。
通过射影变换和几何校正，我们可以对图像进行矫正、旋转和变形，从而提高图像的质量和准确度。
5. 三维动画：射影几何在三维动画制作中扮演着重要角色。
射影几何的诞生与发展
射影几何的诞生与发展射影几何是现代几何学的一个重要分支。
它的诞生和发展是以欧几里得几何为基础的。
欧几里得几何的基本假设是平面上的任意两点可以用一条直线连接，而且直线可以无限延长，两个平面可以相互平行。
但当人们将欧几里得几何应用到更高维几何中时，一些基本假设却不再成立，比如说直线可以无限延长。
因此，在19世纪初期，一批几何学家著名的代表性人物开始改变欧几里得的几何基础。
轻轻推动射影几何新的科学思想的发展。
这些代表人物包括：Bolzano、Johann Carl Friedrich Gauss、Jean-Victor Poncelet、Charles-Julien Brianchon、Joseph Wilhelm Eduard von Schelling、Louis Poinsot、Karl von Staudt、 Christian Heinrich, Matthaei Buschmann 等人。
他们在几何学的研究中，面临的问题是：在平面上画图可以做出许多证明，但这些证明是否也适用于三维空间几何学乃至高维空间几何学呢？这就引出了射影几何的重要问题：什么是射影几何？最初，射影几何被认为仅是一种新式几何语言。
在这种语言下，欧氏几何学可被用来处理分数与无理数之间的关系，而中心投影几何学成为处理算法性质、光学问题、数学物理学问题等的工具。
到了19世纪后半叶，人们开始将射影几何作为独立的学科来发展。
此时，德国的Karl von Staudt认为，严格按照欧几里德的基本假设，几何学无法运用于现实世界的实际问题。
他提出了关于射影几何的一个基本定理，即：在等式形式下，二次曲线可以完全由5个点所刻画。
这个定理彻底改变了传统欧氏几何下的单纯欧氏空间的思考和方法，重新定义了“两个点间的直线”这个基本概念。
这个定理的应用把实时处理、列表搜索、编译器构建等许多计算机科学中的问题整合在一起，形成了一个新的不可替代的核心理论。
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射影几何的诞生与发展一从透视学到射影几何1．在文艺复兴时期，描绘现实世界成为绘画的重要目标，这就使画家们在将三维现实世界绘制到二维的画布上时，面临这样的问题：（1）一个物体的同一投影的两个截影有什么共同的性质？（2）从两个光源分别对两个物体投影到同一个物影上，那么两个物体间具有什么关系？2．由于绘画、制图的刺激而导致了富有文艺复兴特色的学科---透视学的兴起(文艺复兴时期：普遍认为发端于14世纪的意大利，以后扩展到西欧，16世纪大道鼎盛)，从而诞生了射影几何学。
意大利人布努雷契（1377-1446）是第一个认真研究透视法并试图运用几何方法进行绘画的艺术家。
3．数学透视法的天才阿尔贝蒂（1401-1472）的《论绘画》一书（1511）则是早期数学透视法的代表作，成为射影几何学发展的起点。
4．对于透视法产生的问题给予数学上解答的第一人是德沙格（1591-1661）法国陆军军官，后来成为工程师和建筑师，都是靠自学的。
1639年发表《试论锥面截一平面所得结果的初稿》，这部著作充满了创造性的思想，引入了无穷远点、无穷远直线、德沙格定理、交比不变性定理、对合调和点组关系的不变性、极点极带理论等。
5．数学家帕斯卡（1623-1662）16岁就开始研究投射与取景法，1640年完成著作《圆锥曲线论》，不久失传，1779年被重新发现，他最突出的成就是所谓的帕斯卡定理，即圆锥曲线的内接六边形的对边交点共线6．画家拉伊尔（1640-1718）在《圆锥曲线》（1685）这本射影几何专著中最突出的地方在于极点理论方面的创新。
7．德沙格等人把这种投影分析法和所获得的结果视为欧几里得几何的一部分，从而在17世纪人们对二者不加区别，但这一方法诱发了一些新的思想和观点：1）一个数学对象从一个形状连续变化到另一形状2）变换与变换不变性3）几何新方法------仅关心几何图形的相交与结构关系，不涉及度量二射影几何的繁荣1．在19世纪以前，射影几何一直是在欧氏几何的框架下被研究的，并且由于18世纪解析几何、微积分的发展洪流而被人遗忘，到１２18世纪末19世纪初，蒙日的《画法几何学》及其学生们的工作，重新激发了人们对综合射影几何的兴趣，然而将射影几何变革为具有自己独立的目标与方法的学科的数学家是曾受教于蒙日的庞斯列（1788-1867）2．庞斯列曾任拿破仑的远征军的工兵中尉，1812年莫斯科战役被俘，度过了两年铁窗生活，在这两年里，庞斯列不借助于任何书本，以炭为笔，在监狱的墙壁上谱写了射影几何的新篇章。
获释后他整理出版了《论图形的射影性质》，这部著作立即掀起了19世纪射影几何发展的巨大波澜，带来了这门学科历史的黄金时期3．庞斯列利用连续性原理引入虚元素，强调对偶原理，深入研究了极点与极线的概念，给出了极点到极线和从极线到极点的变换的一般表述4．在庞斯列用综合的方法为射影几何奠基的同时，德国数学家莫比乌斯在《重心计算》（1827）一书中第一次引进了齐次坐标，后被普吕克发展为更一般的形式。
这种代数方法遭到了以庞斯列为首的综合派学者的反对，因此19世纪的射影几何就是在综合派的与代数的两大派之间的激烈争论中前进的，支持庞斯列的还有斯坦纳 沙勒 和施陶特5．1850年前后，数学家们对于射影几何与欧氏几何在一般概念与方法上已经作出区别，但对这两种几何的逻辑关系不甚了了。
即使综合派的著作中也仍然用长度的概念，实际上长度不是射影概念。
施陶特在1847年的《位置几何学》中提出一套方案，给交比以重新定义：42324131/x x x x x x x x ----，这样施陶特不借助长度概念就得到了建立射影几何的基本工具，从而使射影几何摆脱了度量关系，成为与长度等度量概念无关的全新的学科，施陶特还指出：射影几何的概念在逻辑上要先于欧氏几何的概念，因而射影几何比欧氏几何更基本。
6．施陶特的工作鼓舞了英国数学家凯莱（1821-1895）和普吕克的学生克莱因进一步在射影几何概念基础上建立欧氏几何与非欧氏几何的特例，从而为以射影几何为基础来统一各种几何学铺平了道路。
三 几何学的统一1．统一几何学的第一大胆计划是由德国数学家克莱因（1849-1925）提出的，1872年，克莱因在爱尔朗根大学任数学教授就职演讲《爱尔朗根纲领》中阐述了几何学统一的思想。
（射影几何，仿射几何，欧氏几何）当然，并非所有的几何都能纳入克莱因的方案，如代数几何，微分几何。
2．克莱因1886年受聘于哥廷根大学担任教授，因为这位创造性天才和组织能力完美结合的他的到来，使得哥廷根大学更富科学魅力.希尔伯特就是被克莱因引向哥廷根的最重要的年轻数学家1862-1943，他提出了另一条统一几何学的途径---公理化方法。
3.公理化方法始于欧几里得，然而当19世纪数学家们重新审视《原本》中的公理体系时，却发现它有许多隐蔽的假设，模糊的定义及逻辑的缺陷，这就迫使他们着手重新建立欧氏几何以及其他包含同样弱点的几何的基础。
其中希尔伯特在《几何基础》（1899）中使用的公理化方法最为成功。
３４第一章 仿射坐标与仿射变换本章将主要介绍仿射变换的概念，并在仿射坐标系下研究图形的仿射不变量和仿射不变性。
§1 透视仿射对应定义1.1 共线三点的A ，B ，C 的单比表示为（ABC ），且（ABC ）=BCAC AC ，BC 是有向线段的数量，其中，点A ﹑B 称为基点，C 称为分点。
显然，当C 在A ，B 之间时，（ABC ）＜0；否则，（ABC ）＞0。
当C 为线段AB 中点时，（ABC ）=－1。
当A 与C 重合时，（ABC ）=0；B 与C 重合时，（ABC ）不存在。
定义1.2 在一平面上设有直线l 和l ′,m 为此平面上与l 和l ′均不平行的方向直线,通过直线l 上任意一点A,作与m 平行的直线,交l ′于A ′,这样得到的直线l 上点到l ′上点的一一对应,称为透视仿射对应.若直线l 与l ′相交，则交点是自对应点或二重点（不变点）。
显然，两直线间的透视仿射对应，与方向直线有关，不同的方向决定不同的对应关系。
仿上述定义，可定义两平面π和π′间的透视仿射对应。
若平面π和π′相交于直线l ，则直线l 上的每个点都是透视仿射对应下的自对应点，直线l 叫做透视轴，简称轴。
当平面π和π′平行时，则不存在透视轴。
透视仿射对的性质：（1）透视仿射对应保持结合性透视仿射对应使点对应点，直线对应直线，这种性质称为同素性。
（2）透视仿射对应保持结合性点A 在直线a 上，经过透视仿射对应后，对应点A ′在对应直线a′上，也就是说，点和直线的结合关系在透视仿射对应下保持不５变。
（3）透视仿射对应保持共线三点的单比不变若平面π内共线三点A ，B ，C 经过透视仿射对应后在平面π′上的象是A ′，B ′，C ′，则（ABC ）=（A ′B ′C ′）。
证明由于 AA ′∥BB ′∥CC ，所以有BC AC =C B C A '''' 即（ABC ）=（A ′B ′C ′）（4）透视仿射对应保持二直线的平行性证明 设平面π内两直线 a ∥b ，经过透视仿射对应后，在平面π′内的象分别为a ′﹑b ′假设，a ′与b ′不平行，且 a ′∩b ′=P ′，那么 P ′的原象P 在π上。
由点和直线的结合性，点P 一定同时在直线a 和b 上，即a ∩b=P ，这与a ∥b 矛盾。
透视仿射对应的性质：（1）保持同素性；（2）保持点和直线的结合性；（3）保持共线三点单比不变；（4）保持二直线的平行性。
§2 仿射对应与仿射变换定义2.1 设同一平面内有n 条直线a 1，a 2，…，a n ， ϕ1,ϕ2,…,ϕn ,顺次表示a 1到a 2 ，a 2到a 3，。
，a n-1到a n 的透视仿射对应，经过这一串透视仿射对应，使a1上的点与a n上的点建立了一一对应，这个对应称为a1到a n的仿射对应，用ϕ表示，于是有ϕ=ϕn-1·ϕn-2·…·ϕ2·ϕ1如果直线a1与a n重合，则a1到a n的仿射对应叫做a1到直线自身的仿射变换。
仿此，可定义两平面间的仿射对应。
所以两平面间的仿射对应也是有限次透视仿射对应的结果。
若两平面重合，仿射对应称为仿射变换。
仿射对应和仿射变换都是一串透视仿射对应的乘积。
因此有下列性质：（1）保持同素性和结合性；（2）保持共线三点单比不变；（3）保持直线的平行性。
定义2.2 若两个平面间（平面到自身）的一个点对应（变换）保持同素性，结合性和共线三点的单比不变，则这个点对应（变换）称为仿射对应（变换）。
注意：平行四边形经过仿射对应（变换）后，对应图形仍为平行四边形；两条平行线段经过仿射对应（变换）后，其长度之比不变。
根据定义2。
1，由透视仿射对应的性质，显然，透视仿射对应当∏π1与πn重合时，仿射对应称为平面π1到自身的仿射变换。
不难证明，仿射对应和仿射变换保持直线的平行性；而且，两条平行线段的长度之比经仿射对应（变换）后不改变。
平行四边形经仿射对应和仿射变换后仍为平行四边形。
§1.3 仿射坐标3.1 仿射坐标系设O - xy 为平面内笛卡儿坐标系，E（1，1）为单位点，P（x,y）６７是平面上一点。
E 1，E 2，P 1，P 2分别为过E ，P 所做 与y 轴和x 轴平行的直线与x 轴和y 轴的交点。
则O E 1EE 2 和 O P 1P P 2 均为平行四边形。
经过一个仿射对应后，坐标系O - xy 的对应图形为O ′ - x ′y ′，E ，E 1，E 2，P ，P 1，P 2的对应点依次为 E ′，E 1′，E 2′，P ′，P 1′，P 2′，则O ′E 1′E ′E 2′和 O ′P 1′P ′P 2′也都是平行四边形。
在新坐标系O ′ - x ′y ′中，选取E ′为单位点（1，1），设点P ′在此坐标系下的坐标为（x ′,y ′）。
因为x = 11OE OP =(P 1E 1O) , x ′= ''''11E O P O = (P 1′E 1′O ′) ,y=22OE OP =(P 2E 2O) , y ′ = ''''22E O P O =(P 2′E 2′O ′)又因为仿射对应保持单比不变，所以有x = x ′ , y = y ′定义 3.1 笛卡儿坐标系在仿射对应(变换)下的象叫做仿射坐标系。
(x ′,y ′) 叫点P ′在仿射坐标系下的坐标，记做：P ′（x ′,y ′）。
现在我们可以用坐标来表示共线三点单比。
若用e 1′，e 2′表示yx E O E O '''，则仿射坐标系表示为O ′ - e 1′e 2′，则有P O ''= x ′e 1′+y ′e 2′８仿射坐标系是笛卡儿坐标系的推广，两坐标轴上的测量单位不一定相等，笛卡儿坐标系是仿射坐标系当两轴上测量单位相等时的特殊情况。