人教A版数学必修一第三章 函数的应用.docx

第三章函数的应用
§3.1函数与方程
3．1.1方程的根与函数的零点
课时目标 1.能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数，理解二次函数的图象与x轴的交点和相应的一元二次方程根的关系.2.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的联系.3.掌握函数零点的存在性定理．
1．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点和相应的ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系
函数图象
判别式Δ>0Δ＝0 Δ<0
与x轴交点个数____个____个____个
方程的根____个____个无解
2.函数的零点
对于函数y＝f(x)，我们把________________叫做函数y＝f(x)的零点．
3．方程、函数、图象之间的关系
方程f(x)＝0__________⇔函数y＝f(x)的图象______________⇔函数y＝f(x)__________．
4．函数零点的存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是________的一条曲线，并且有____________，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内________，即存在c∈(a，b)，使得__________，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
一、选择题
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数的零点个数是()
A．0个B．1个
C ．2个
D ．无法确定
2．若函数y ＝f(x)在区间[a ，b]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是
( )
A ．若f(a)f(b)>0，不存在实数c ∈(a ，b)使得f(c)＝0
B ．若f(a)f(b)<0，存在且只存在一个实数c ∈(a ，b)使得f(c)＝0
C ．若f(a)f(b)>0，有可能存在实数c ∈(a ，b)使得f(c)＝0
D ．若f(a)f(b)<0，有可能不存在实数c ∈(a ，b)使得f(c)＝0
3．若函数f(x)＝ax ＋b(a ≠0)有一个零点为2，那么函数g(x)＝bx 2－ax 的零点是( )
A ．0，－12
B ．0，12
C ．0,2
D ．2，－12
4．函数f(x)＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( )
A ．(－2，－1)
B ．(－1,0)
C ．(0,1)
D ．(1,2)
5．函数f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋2x －3， x ≤0，－2＋ln x ， x>0零点的个数为( ) A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
6．已知函数y ＝ax 3＋bx 2
＋cx ＋d 的图象如图所示，则实数b 的取值范围是( )
A ．(－∞，0)
B ．(0,1)
C ．(1,2)
D ．(2，＋∞) 题 号 1 2 3 4 5 6
答 案
二、填空题
7．已知函数f(x)是定义域为R 的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有______个零点，这几个零点的和等于______．
8．函数f (x )＝ln x －x ＋2的零点个数为________．
9．根据表格中的数据，可以判定方程e x －x －2＝0的一个实根所在的区间为(k ，k ＋1)(k ∈N )，则k 的值为________．
x －1 0 1 2 3 e x 0.37 1 2.72 7.39 20.09
x ＋2
1 2 3 4 5 三、解答题
10．证明：方程x 4－4x －2＝0在区间[－1,2]内至少有两个实数解．
11．关于x 的方程mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围．
能力提升
12．设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2， x >0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则方程f (x )＝x 的 解的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
13．若方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k 的取值范围．
1．方程的根与方程所对应函数的零点的关系
(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．
(2)根据函数零点定义可知，函数f (x )的零点就是方程f (x )＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f (x )＝0是否有实根，有几个实根．
(3)函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的实数根，也就是函数y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象交点的横坐标．
2．并不是所有的函数都有零点，如函数y ＝1x
. 3．对于任意的一个函数，即使它的图象是连续不断的，当它通过零点时，函数值也不一定变号．如函数y ＝x 2有零点x 0＝0，但显然当它通过零点时函数值没有变号．
第三章 函数的应用
§3.1 函数与方程
3．1.1 方程的根与函数的零点
知识梳理
1．2 1 0 2 1 2.使f(x)＝0的实数x 3.有实数根 与x 轴有交点 有零点 4.连续不断 f(a)·f(b)<0 有零点 f(c)＝0
作业设计
1．C [方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，∵ac<0，∴a ≠0，
∴Δ＝b 2－4ac>0，
即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有2个不同实数根，
则对应函数的零点个数为2个．]
2．C [对于选项A ，可能存在根；
对于选项B ，必存在但不一定唯一；
选项D 显然不成立．]
3．A [∵a ≠0,2a ＋b ＝0，
∴b ≠0，a b ＝－12
. 令bx 2－ax ＝0，得x ＝0或x ＝a b ＝－12
.] 4．C [∵f(x)＝e x ＋x －2，
f(0)＝e 0－2＝－1<0，
f(1)＝e 1＋1－2＝e －1>0，
∴f(0)·f(1)<0，
∴f(x)在区间(0,1)上存在零点．]
5．C [x ≤0时，令x 2＋2x －3＝0，解得x ＝－3.
x>0时，f(x)＝ln x －2在(0，＋∞)上递增，
f(1)＝－2<0，f(e 3)＝1>0，∵f(1)f(e 3)<0
∴f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点．
总之，f(x)在R 上有2个零点．]
6．A [设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，则由f (0)＝0可得d ＝0，f (x )＝x (ax 2＋bx ＋c )＝ax (x －
1)(x －2)⇒b ＝－3a ，又由x ∈(0,1)时f (x )>0，可得a >0，∴b <0.]
7．3 0
解析 ∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0，又∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，由奇函数的对称性可知，f (x )在(－∞，0)上也单调递增，由f (2)＝－f (－2)＝0.因此在(0，＋∞)上
只有一个零点，综上f (x )在R 上共有3个零点，其和为－2＋0＋2＝0.
8．2
解析 该函数零点的个数就是函数y ＝ln x 与y ＝x －2图象的交点个数．在同一坐标系中作出y ＝ln x 与y ＝x －2的图象如下图：
由图象可知，两个函数图象有2个交点，即函数f (x )＝ln x －x ＋2有2个零点．
9．1
解析 设f (x )＝e 2－(x ＋2)，由题意知f (－1)<0，f (0)<0，f (1)<0，f (2)>0，所以方程的一个实根在区间(1,2)内，即k ＝1.
10．证明 设f (x )＝x 4－4x －2，其图象是连续曲线．
因为f (－1)＝3>0，f (0)＝－2<0，f (2)＝6>0.
所以在(－1,0)，(0,2)内都有实数解．
从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解．
11．解 令f (x )＝mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14.
依题意得⎩⎨⎧ m >0f (4)<0或⎩⎨⎧ m <0f (4)>0
， 即⎩⎪⎨⎪⎧ m >026m ＋38<0或⎩⎪⎨⎪⎧
m <026m ＋38>0，解得－1913<m <0. 12．C [由已知⎩⎪⎨⎪⎧ 16－4b ＋c ＝c ，4－2b ＋c ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧
b ＝4，
c ＝2.
∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4x ＋2，x ≤0，2， x >0. 当x ≤0时，方程为x 2＋4x ＋2＝x ，
即x 2＋3x ＋2＝0，
∴x ＝－1或x ＝－2；
当x >0时，方程为x ＝2，
∴方程f (x )＝x 有3个解．]
13．解 设f (x )＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1.
∵方程f (x )＝0的两根中，一根在(0,1)内，一根在(1,2)内，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)>0f (1)<0f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2k －1>01＋k －2＋2k －1<0
4＋2k －4＋2k －1>0
∴12<k <23.。