(赵先举整理)陕西师大附中2012届高三第四次模拟试题--数学(文)

陕西师大附中2012届高三第四次模拟试题数学试题（文科）一、选择题（本题共10小题，满分共50分） 1．若复数3,1i z z i+=-则复数在复平面上的对应点在（ ）A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限2．已知幂函数()y f x =的图象过（4，2）点，则1()2f = （ ）A ．B ．12C ．2D ．143．下列推理是归纳推理的是（ ）A ．,AB 为定点，动点P 满足2PA PB a AB -=<(0)a >，则动点P 的轨迹是以,A B 为焦点的双曲线；B ．由12,31n a a n ==-，求出123,,,S S S 猜想出数列{}n a 的前n 项和n S 的表达式；C ．由圆222x y r +=的面积2S r π=，猜想出椭圆22221x y ab+=的面积S ab π=；D ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇。

4．同时具有性质：①最小正周期是π；②图象关于直线3π=x 对称；③在]3,6[ππ-上是增函数的一个函数是（ ） A ．sin()26x y π=+B ．sin(2)6y x π=-C ．cos(2)3y x π=+D ．sin(2)6y x π=+5．已知直线x y a +=与圆224x y +=交于,A B 两点O A O B O A O B +=-，则实数a 的值为（ ）A ．2B ．-2C ．2或-2D 或6．若输入数据1236,2, 2.4,n a a a ==-=-=4565.2, 3.4, 4.6a a a ==-=所示的算法程序，则输出结果为 （ A ．0．6 B ．0．7C ．0．8D ．0．97．设函数()f x 的定义域为R ，(1)2f -=对于任意的x R ∈，()2f x '>，则不等式()24f x x >+的解集为（ ） A ．(1,1)- B ．()1,-+∞C ．(,1)-∞-D ．(,)-∞+∞8．如果对于任意实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数． 例如[]3.273=，[]0.60=．那么“[][]x y =”是“1x y -<”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．设直线x t =与函数2()f xx =，()ln g x x =的图像分别交于点,M N ，则当M N达到最小值时t 的值为（）A ． 1B ．12C ．2D ． 210．设33,,2xyx yM N P ++===0x y <<）， 则,,M N P 大小关系为 （ ）A ．M N P <<B ．N P M <<C ．P M N <<D ．P N M <<二、填空题（本题共5小题，满分共25分）11．已知20350x y x y -≤⎧⎨-+≥⎩，且22x y +-的最大值为log 3a ，则a = ．12． 已知双曲线2213yx -=的左顶点为1A ，右焦点为2F ，P 为双曲线右支上一点，则12PA PF ⋅最小值为 ．13． 函数()ln f x x =的图象在点()e ,(e)f 处的切线方程是 ．14． 设函数()f x 的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意()x M M D ∈⊆，有x l D +∈，且()()f x l f x +≥，则称()f x 为M 上的l 高调函数．现给出下列命题：①函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的1高调函数；②函数()sin 2f x x =为R 上的π高调函数；③如果定义域为[1,)-+∞的函数2()f x x =为[1,)-+∞上m 高调函数，那么实数m 的取值范围是[2,)+∞；其中正确的命题是 ．（写出所有正确命题的序号） 15．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）A ．（极坐标与参数方程选讲选做题）设曲线C 的参数方程为23cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），直线l 的方程为320x y -+=，则曲线C 上的动点(,)P x y 到直线l 距离的最大值为 ．B ．（不等式选讲选做题）若存在实数x 满足不等式2|3||5|x x m m -+-<-,则实数m 的取值范围为 ．C ．（几何证明选讲选做题）如图，PC 切O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD AB ⊥于点E ．已知O 的半径为3，2PA =，则P C = ．O E = ．B三、解答题（本题共6小题，满分共75分）16．（本小题满分12分）已知,,A B C 分别为ABC ∆的三边,,a b c 所对的角，向量)sin ,(sin B A m =，)cos ,(cos A B n =，且.2sin C n m =⋅（1）求角C 的大小；（2）若B C A sin ,sin ,sin 成等差数列，且18CA CB ∙=，求边c 的长．17．（本小题满分12分） 在数列{}n a 中，13a =，122n n a a n -=+- (2n ≥且*)n ∈N ．（1）求2a ，3a 的值；（2）证明：数列{}n a n +是等比数列，并求{}n a 的通项公式； （3）求数列{}n a 的前n 项和n S ．18．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，D 为侧棱PC上一点，它的正（主）视图和侧（左）视图如图所示． （1）证明：AD ⊥平面PBC ； （2）求三棱锥D A B C -的体积；（3）在AC B ∠的平分线上确定一点Q ，使得PQ ∥平面ABD ，并求此时PQ 的长．侧（左）视图正（主）视图PDCBA19．（本小题满分12分）一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1、2、3、4．现从盒子中随机抽取卡片．（1）若一次抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于7的概率；（2）若第一次抽1张卡片，放回后再抽取1张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字3的概率．20．（本小题满分13分）已知抛物线24y x =，点(1,0)M 关于y 轴的对称点为N ，直线l 过点M 交抛物线于,A B 两点．（1）证明：直线,NA NB 的斜率互为相反数； （2）求AN B ∆面积的最小值；（3）当点M 的坐标为(,0)m ，(0m >且1)m ≠．根据（1）（2）推测并回答下列问题（不必说明理由）：①直线,NA NB 的斜率是否互为相反数？ ②AN B ∆面积的最小值是多少？21．（本小题满分14分）设()323()1312f x x a x ax =-+++．（1）若函数()f x 在区间()1,4内单调递减，求a 的取值范围；（2）若函数()f x x a =在处取得极小值是1，求a 的值，并说明在区间()1,4内函数()f x 的单调性．参考答案一、选择题（每小题5分,共50分）11． 12． 2-； 13．e 0x y -=；14．②③；15，A ．310+ B ． (,1)(2,-∞-+∞ C ．94,5；三．解答题16．解：（1）)sin(cos sin cos sin B A A B B A n m +=⋅+⋅=⋅,0,,ππ<<-=+∆C C B A ABC 中 ,s i n )s i n (C B A =+∴ C n m s i n =⋅∴…………3分又.3,21cos ,sin 2sin ,2sin π===∴=⋅C C C C C n m…………6分（2）由B C A sin ,sin ,sin 成等差数列，得,sin sin sin 2B A C +=由正弦定理得.2b a c +=,18=⋅CB CA.36,18cos ==∴ab C ab 即…………10分由余弦定理,3)(cos 22222ab b a C ab b a c -+=-+=.6,363422=∴⨯-=∴c c c…………12分17．（1）解：∵13a =，122n n a a n -=+- (2n ≥且*)n ∈N ，∴212226a a =+-=，3223213a a =+-=． (2)分（2）证明： ∵11111(22)2222(1)11n n n n n n a n a n na n a n a n a n -----++-++-===+-+-+-，∴数列{}n a n +是首项为114a +=，公比为2的等比数列．∴11422n n n a n -++=⋅=，即12n n a n +=-，∴{}n a 的通项公式为12n n a n +=-*()n ∈N ．…………8分 （3）∵{}n a 的通项公式为12n n a n +=-*()n ∈N ， ∴2341(2222)(123)n n S n +=+++-++++2222(12)(1)821222nn n n n n +⨯-⨯+++=-=--*()n ∈N ．…………12分18．侧（左）视图正（主）视图PDCBA解：（1）因为PA ⊥平面ABC ，所以P A B C ⊥，又AC BC ⊥，所以BC ⊥平面PAC ，所以BC AD ⊥．由三视图可得，在P A C ∆中，4PA AC ==，D 为PC 中点，所以AD PC ⊥， 所以AD ⊥平面PBC ，…………4分（2）由三视图可得4BC =，由⑴知90AD C ∠=︒，BC ⊥平面PAC ，又三棱锥D A B C -的体积即为三棱锥B A D C -的体积， 所以，所求三棱锥的体积111164443223V =⨯⨯⨯⨯⨯=．…………8分（3）取AB 的中点O ，连接C O 并延长至Q ，使得2CQ CO =，点Q 即为所求．OQABC DP因为O 为CQ 中点，所以PQ OD ∥，因为PQ ⊄平面ABD ，O D ⊂平面ABD ，所以PQ ∥平面ABD ， 连接AQ ，BQ ，四边形ACBQ 的对角线互相平分，所以ACBQ 为平行四边形，所以4AQ =，又PA ⊥平面ABC ， 所以在直角PAD∆中，PQ =12分19．（1）设A 表示事件“抽取3张卡片上的数字之和大于7”，任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)． 其中数字之和大于7的是(1,3,4)，(2,3,4)， 所以1()2P A =．…………6分（2）设B 表示事件“至少一次抽到3”，第一次抽1张，放回后再抽取一张卡片的基本结果有：(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)，共16个基本结果．事件B 包含的基本结果有(1,3)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,3)，共7个基本结果． 所以所求事件的概率为7()16P B =．…………12分20．（1）设直线l 的方程为()1(0)y k x k =-≠．由()21,4,y k x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩ 可得 ()2222240k x k x k -++=．设()()1122,,,A x y B x y ，则21212224,1k x x x x k++==．∴124y y =- ∴()1,0N -1212221212441144N A N B y y y y k k x x y y +=+=+++++()()()()()()2212212112222212124444(4444)04444y y y y y y y y yy yy ⎡⎤+++-+-+⎣⎦===++++．又当l 垂直于x 轴时，点,A B 关于x 轴，显然0,NA NB NA NB k k k k +==-． 综上，0,NA NB NA NB k k k k +==-． ---------------- 5分 （2）12NAB S y y ∆=-==4．当l 垂直于x 轴时，4NAB S ∆=．∴AN B ∆面积的最小值等于4． ------10分 （3）推测：①NA NB k k =-；②ANB ∆面积的最小值为4 ------- 13分 21．解：()()()()2331331f x x a x a x x a '=--+=--（1）∵函数()f x 在区间()1,4内单调递减， ∵(4)0f '≤，∴[)4,a ∈+∞．…………5分（2）∵函数()f x 在x a =处有极值是1，∴()1f a =． 即()3223231313111222a a a a a a -+++=++=．∴2(3)0a a -=，所以0a =或3．…………9分当0a =时，()f x 在(),0-∞上单调递增，在()0,1上单调递减，所以()0f 为极大值，这与函数()f x 在x a =处取得极小值是1矛盾，所以0a ≠．当3a =时，()f x 在()1,3上单调递减，在()3,+∞上单调递增，即()3f 为极小值， 所以3a =时，此时，在区间()1,4内函数()f x 的单调性是：()f x 在()1,3内减，在[)3,4内增．…………14分。