第6课时 综合法、分析法与反证法
中学常用证明方法及格式总结
论文中学常用证明方法及格式总结沈丘县第二高级中学豆孝涛中学常用证明方法及格式总结摘要：五种常用证明方法及格式，综合法，分析法，反证法，穷举法讨论，数学归纳法关键词：证明方法，综合法，分析法，反证法，穷举法讨论，数学归纳法在高中学习数学时，我们经常见到等式，不等式等代数和几何问题的证明，常用的证明方法及格式有哪些？根据十几年的教学经验特总结如下：1.综合法格式从已知条件出发，顺着推证，由“已知”得“推知”，由“推知”得“未知”，逐步推出求证的结论，这就是顺推法的格式。
它的常见书面表达是“∵，∴”或“═>”。
2.分析法格式与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知靛渐地靠已知（已知条件，已经学过的定义，定理，公理，公式，法则等等）。
这种证明方法的关键在于要保证分析过程的每一步都是可以逆推的，它常见书写表达是“要证……只需……”或“<═”3。
反证法格式反证法是“间接证明法”一类，是从反面的角度的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而得出矛盾。
数学家阿达玛对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。
具体地讲，反证法就是从反论题入手，把命题结论的否定当作条件，使之得到与条件相矛盾，肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。
在应用反证法证题时，一定要用到“反设”，否则就不是反证法。
用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。
有时直接证明命题比较困难，则可以改证与原命题等价的逆否命题，就是反证法。
反证法的格式是：①假设结论不成立，②从假设出发，通过推理论证得出矛盾，③由矛盾判断假设不正确，从而肯定原命题正确。
4。
穷举法讨论格式对于已知条件或求证结论的情形比较复杂的证明题，往往可将原题分解成几个特殊问题来分别讨论。
数学证明题的八种方法
常见的证明方法有综合法、分析法、反证法、归纳法、类比法等。
分析法分析法是一种从结论到题设的逻辑推理方法，也就是执果索因法的证明方法。
分析法的证明路径与综合法恰恰相反。
反证法由于原命题与逆否命题等效，所以当证明原命题有困难或者无法证明时，可以考虑证明它的逆否命题，通过正确推理如果逆否命题正确或者推出与原命题题设、公理、定理等不相容的结论，从而判定结论的反面不成立，也就证明了原命题的结论是正确的。
反证法视逆否命题的题设也就是原命题的结论的反面的情况又分为两种：1）归谬法：若结论的反面只有一种情况，那么把这种情况推翻就达到证明的目的了。
2）穷举法：若结论的反面不只一种情况，则必须将所有情况都驳倒，这样才能达到证明的目的。
前三种方法也叫演绎法。
都是按照“从一般到特殊”的思维过程进行推理的。
归纳法归纳法或归纳推理，有时叫做归纳逻辑，是从个别性知识,引出一般性知识的推理,是由已知真的前提,引出可能真的结论。
它把特性或关系归结到基于对特殊的代表的有限观察的类型；或公式表达基于对反复再现的现象的模式的有限观察的规律。
归纳法有如下几类：1）不完全归纳法所谓不完全归纳法就是通过对某类事物的真子集逐个进行考察，发现它们具有某种性质，就大胆预见某类事物具有某种性质。
2）完全归纳法完全归纳法也叫枚举归纳法。
某类事物可分为有限种情况，如果通过逐个考察，各种情况都具有某种性质，则可以归纳地得出结论，某类事物均具有某种性质。
3）数学归纳法如果某类事物有可数无限多种情况，就无法逐个考察各种情况都具有某种性质。
数学归纳法是一种用递推的办法，通过“有限”解决“无限”的一种方法，它是用归纳法证明命题的巨大飞跃。
类比法它也叫“比较类推法”，类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理。
简称类推、类比。
或者由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也应具有这种属性的推理方法。
其结论必须由实验来检验，类比对象间共有的属性越多，则类比结论的可靠性越大。
2012年金版新学案新编高三总复习第六章 第6课时
栏目导引
4．“ 任何三角形的外角都至少有两个钝角 ” ． 任何三角形的外角都至少有两个钝角” 的否定应是________． ． 的否定应是 解析： 由命题的否定可得． 解析： 由命题的否定可得． 答案： 存在一个三角形， 答案： 存在一个三角形， 其外角最多有一 个钝角
第六章
x＜y ＜
第六章
不等式、推理与证明
栏目导引
综合法 综合法是“由因导果” 综合法是“ 发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最 后导出所证结论的真实性． 后导出所证结论的真实性．用综合法证明题 的逻辑关系是： ⇒ 的逻辑关系是： A⇒ B1⇒ B2⇒ …⇒ Bn⇒ B(A 为已知条件或数学定义、定理、公理等， 为已知条件或数学定义、定理、公理等，B 为要证结论)， 它的常见书面表达是“ 为要证结论 ， 它的常见书面表达是“ ∵， ∴”或“⇒”．
第六章
不等式、推理与证明
栏目导引
1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求 ．分析法是从要证明的结论出发， 使结论成立的( ) 使结论成立的 A．充分条件 B．必要条件 ． ． C．充要条件 D．等价条件 ． ． 答案： 答案： A
第六章
不等式、推理与证明
栏目导引
2．否定“自然数 a，b，c 中恰有一个偶数” ．否定“ ， ， 中恰有一个偶数” 时，正确的反设为( 正确的反设为 ) A．a，b，c 都是奇数 ． ， ， B．a，b，c 都是偶数 ． ， ， C．a，b，c 中至少有两个偶数 ． ， ， D．a，b，c 中至少有两个偶数或都是奇数 ． ， ，
解析： 解析：
∵a，b， c 恰有一个是偶数，即 a， ， ， 恰有一个是偶数， ，
b，c 中只有一个偶数，其反面是两个或两个 ， 中只有一个偶数， 以上偶数或没有一个偶数即全都是奇数， 以上偶数或没有一个偶数即全都是奇数，故 正确． 只有 D 正确． 答案： 答案： D
推理与证明(综合法、分析报告法与反证法)
2若 ,则 ;
3若 ,则 ;
4 的最小值是2.
2.函数 ( )
A.是偶函数,但不是奇函数
B.是奇函数,但不是偶函数
C.既是奇函数,又是偶函数
D.既不是奇函数,又不是偶函数
3.若 ,且 ,则 的最大值是( )
A 14 B 15 C16 D17
4. 定义在 上的函数 在 上是增函数,且函数 为偶函数,则f(-1), f(4), f( )的大小关系是__________________________________.
例1: 已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc
证明: 因为b2+c2≥2bc,a>0 所以a(b2+c2)≥2abc.
又因为c2+b2≥2bc,b>0
所以b(c2+a2)≥2abc.
因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.
例2: 已知:a,b,c三数成等比数列,且x,y分别为a,b和b,c的等差中项.
推理与证明
综合法与分析法
学习目标：
1．理解综合法和分析法的概念及区别
2．熟练的运用综合法分析法证题
学习重难点:
综合法和分析法的概念及区别
自主学习：
一：知识回顾
1．合情推理：前提为真，结论可能为真的推理。它包括归纳推理与类比推理。
2．演绎推理：根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊命题为 真的推理叫演绎推理
只需证a2-2ab+b2＞0成立，
也就是要证(a-b)2＞0成立。
而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，
所以(a-b)2＞0显然成立，由此命题得证.
【高中数学】综合法与分析法 、反证法
题型 用反证法证明“至多”，“至少”等存在性问题
π
π
若 a，b，c 均为实数，且 a＝x2－2y＋ 2 ，b＝y2－2z＋ 3 ，c＝z2
π －2x＋ 6 ，求证：a，b，c 中至少有一个大于 0.
证明：假设 a，b，c 都不大于 0，即 a≤0，b≤0，c≤0，则 a＋b＋c
≤0.
而 a＋b＋c＝x2－2y＋π2 ＋y2－2z＋π3 ＋z2－2x＋π6 ＝(x－1)2＋(y －1)2＋(z－1)2＋π－3.
a（a－1） ，
所以 a＋1－ a＜ a－1－ aC 成等差数列，且角 A，B，C 的对 边分别为 a，b，c，求证：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.
证明：方法一 (分析综合法) 要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1 成立， 即证a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c成立，
反证法证明时反设不全面致误.
【典例】 已知a，b，c是互不相等的非零实 数．求证：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋ 2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有 两个相异实根．
解析：假设三个方程都没有两个相异实根， 则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0. 相加有 a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0， 即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，(*) 由题意 a，b，c 互不相等，所以(*)式不能成立． 所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实 根．
即a＋a＋b＋b c＋a＋b＋b＋c c＝3，化简得a＋c b＋b＋a c＝1， 又需证 c(b＋c)＋(a＋b)a＝(a＋b)(b＋c)， 即 c2＋a2＝b2＋ac. 又△ABC 的三个内角 A，B，C 成等数列，所以 B＝60°. 由余弦定理，得 cos B＝a2＋2ca2c－b2＝21. 所以 a2＋c2－b2＝ac，所以原命题成立．
(复习指导)7.4 综合法、分析法、反证法含解析
7.4综合法、分析法、反证法必备知识预案自诊知识梳理1.综合法与分析法2.反证法(1)反证法的定义:在假定命题结论的前提下,经过推理,若推出的结果与定义、公理、定理矛盾,或与命题中的已知条件相矛盾,或与假定相矛盾,从而说明命题结论的反面不可能成立,由此断定命题结论成立的方法叫反证法.(2)用反证法证明的一般步骤:①反设——假设命题的结论不成立;②归谬——根据假设进行推理,直到推出矛盾为止;③结论——断言假设不成立,从而肯定原命题的结论成立.考点自诊1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)综合法是直接证明,分析法是间接证明.()(2)分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的充要条件.()(3)反证法是指将结论和条件同时否定,推出矛盾.()(4)在解决问题时,常常用分析法寻找解题的思路与方法,再用综合法展现解决问题的过程.()(5)证明不等式√2+√7<√3+√6最合适的方法是分析法.()2.命题:“对于任意角θ,cos4θ-sin4θ=cos 2θ”的证明过程“cos4θ-sin4θ=(cos2θ-sin2θ)·(cos2θ+sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos 2θ”应用了()A.分析法B.综合法C.综合法与分析法结合使用D.反证法3.用反证法证明“凸四边形的四个内角中至少有一个不小于90°”时,首先要作出的假设是( )A.四个内角都大于90°B.四个内角中有一个大于90°C.四个内角都小于90°D.四个内角中有一个小于90°4.(2020四川树德中学期中)欲证√2−√3<√5−√6成立,只需证( ) A.(√2-√3)2<(√5-√6)2B.(√2-√5)2<(√3-√6)2C.(√2+√6)2<(√3+√5)2D.(√2-√3-√5)2<(-√6)25.(2020吉林油田十一中月考)比较大小:3-2√2 √10−√7(填“>”“<”或“=”).关键能力学案突破考点综合法的应用【例1】若x ,y ,z 是互不相等的实数,且x+1y=y+1z=z+1x,求证:x 2y 2z 2=1.?综合法证明问题是怎样实现的?解题心得1.综合法的适用范围:(1)定义明确的问题,如证明函数的单调性、奇偶性等,求证没有限制条件的等式或不等式.(2)已知条件明确,并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型.2.综合法是一种由因索果的证明方法,其逻辑依据也是三段论式的演绎推理方法,因此要保证前提条件正确,推理合乎规律,这样才能保证结论的正确性.其过程一般是从命题的条件出发,利用定义、公理、定理及运算法则,通过演绎推理,一步一步地接近要证明的结论,直到完成命题的证明.对点训练1已知a,b,c>0,a+b+c=1.求证:(1)√a+√b+√c≤√3;(2)13a+1+13b+1+13c+1≥32.考点分析法的应用【例2】已知非零向量a,b,且a⊥b,用分析法证明:|a|+|b||a+b|≤√2.,适用于何种题型?解题心得1.逆向思考是用分析法证题的主要思想,通过反推,逐步寻找使结论成立的充分条件.正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键.2.证明较复杂的问题时,可以采用两头凑的办法,即通过分析法找出某个结论等价(或充分)的中间结论,然后通过综合法由条件证明这个中间结论,从而使原命题得证.3.当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接,或证明过程中所需知识不太明确、具体时,往往采用分析法,特别是含有根号、绝对值的等式或不等式,从正面不易推导时,常考虑用分析法.对点训练2(2020陕西临潼期末)证明:(1)√6+√10>√2+√14;(2)如果a,b>0,则lg a+b2≥lga+lgb2.考点反证法的应用【例3】设{a n}是公比为q的等比数列.(1)推导{a n}的前n项和公式;q≠1,证明:数列{a n+1}不是等比数列.?解题心得对于含有否定概念的命题,直接证明不好证,但问题的反面比较具体易证,一般利用补集法或反证法解答证明.先假设肯定结论成立,然后根据有关的概念、定理、定义、推出与已知、公理、定理等有矛盾,从而说明原命题成立.对点训练3(2020河南新安一高月考)(1)已知x>0,y>0,且x+y>2,求证:1+2yx 与1+2xy中至少有一个小于3.(2)当a+b>0时,求证:√a2+b2≥√22(a+b).1.分析法是从结论出发,逆向思维,寻找使结论成立的充分条件.应用分析法要严格按分析法的语言表达,下一步是上一步的充分条件.2.证明问题的常用思路:在解题时,常常把分析法和综合法结合起来运用,先以分析法寻求解题思路,再用综合法表述解答或证明过程.3.用反证法证明问题要把握三点:(1)必须先否定结论,即肯定结论的反面;(2)必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面作为条件,且必须依据这一条件进行推理;(3)推导出的矛盾可能多种多样,有的与已知矛盾,有的与假设矛盾,有的与已知事实矛盾等,但推导出的矛盾必须是明显的.7.4综合法、分析法、反证法必备知识·预案自诊知识梳理1.条件定义、公理、定理及运算法则结论求证的结论充分条件2.(1)反面成立考点自诊1.(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√2.B在证明的过程中使用了平方差公式,以及同角的三角函数的关系式,符合综合法的定义,故证明过程使用了综合法.故选B.3.C首先要作出的假设是“凸四边形的四个内角中没有一个不小于90°”,即为“凸四边形的四个内角都小于90°”.故选C.4.C 根据题意,欲证√2−√3<√5−√6,则需证√2+√6<√3+√5,即只需证(√2+√6)2<(√3+√5)2.故选C.5.< 平方后再比较.然后用综合法写出过程即可.∵72>70,∴2√72>2√70,即12√2>2√70,∴17-12√2<17-2√70,即(3-2√2)2<(√10-√7)2,∴3-2√2<√10−√7.关键能力·学案突破例1证明∵x+1y =y+1z ,∴x-y=1z −1y ,∴x-y=y -zyz ,即yz=y -zx -y .∵x+1y =z+1x ,∴x-z=1x −1y , ∴x-z=y -x xy ,即xy=y -xx -z.同理可得xz=z -x y -z .∴x 2y 2z 2=(xy )(xz )(yz )=y -x x -z ×z -x y -z ×y -z x -y=1. 对点训练1证明(1)∵√13a≤13+a 2,√13b ≤13+b 2,√13c ≤13+c2,∴√3√a +√b +√c )≤3×13+a+b+c2=1,∴√a +√b +√c ≤√3,当且仅当a=b=c=13时取等号.(2)∵3b+13a+1+3a+13b+1≥2,3c+13a+1+3a+13c+1≥2,3c+13b+1+3b+13c+1≥2, ∴3b+3c+23a+1+3a+3c+23b+1+3a+3b+23c+1≥6, ∴3(a+b+c )+33a+1+3(a+b+c )+33b+1+3(a+b+c )+33c+1≥9, 即63a+1+63b+1+63c+1≥9, ∴13a+1+13b+1+13c+1≥96=32. 当且仅当a=b=c=13时等号成立. 例2证明若证原不等式|a |+|b ||a+b |≤√2.只需证|a |+|b |≤√2|a +b |, 只需证(|a|+|b|)2≤(√2|a+b|)2,即证a 2+b 2+2|a ||b |≤2a 2+2b 2+4a ·b . 因为非零向量a ,b ,且a ⊥b ,所以a ·b =0,即证2|a ||b |≤a 2+b 2, 即证(|a |-|b |)2≥0,显然成立. 所以原不等式成立.对点训练2证明(1)要证√6+√10>√2+√14,只要证(√6+√10)2>(√2+√14)2,即2√60>2√28,显然成立的,所以,原不等式成立. (2)当a>0,b>0时,要证lg a+b 2≥lga+lgb2,只要证lga+b2≥lg √ab ,因为函数y=lg x 在(0,+∞)上递增,即证a+b 2≥√ab >0,此不等式显然成立,当且仅当a=b 时等号成立.所以lg a+b2≥lga+lgb2. 例3(1)解设{a n }的前n 项和为S n ,则当q=1时,S n =a 1+a 1+…+a 1=na 1;当q ≠1时,S n =a 1+a 1q+a 1q 2+…+a 1q n-1, ① qS n =a 1q+a 1q 2+…+a 1q n , ②①-②得,(1-q )S n =a 1-a 1q n ,∴S n =a 1(1-q n )1-q,∴S n ={na 1,q =1,a 1(1-q n )1-q,q ≠1.(2)证明假设{a n +1}是等比数列,则对任意的k ∈N *,(a k+1+1)2=(a k +1)(a k+2+1), a k+12+2a k+1+1=a k a k+2+a k +a k+2+1, a 12q 2k +2a 1q k =a 1q k-1·a 1q k+1+a 1q k-1+a 1q k+1, ∵a 1≠0,∴2q k =q k-1+q k+1.∵q ≠0,∴q 2-2q+1=0,∴q=1,这与已知矛盾.∴假设不成立,故{a n +1}不是等比数列. 对点训练3证明(1)(反证法)假设结论不成立,即有1+2y x ≥3,且1+2xy≥3,由已知x>0,y>0,所以有1+2y ≥3x ,且1+2x ≥3y ,故2+2x+2y ≥3x+3y ,化简得2≥x+y ,与已知x+y>2矛盾,假设不成立.所以1+2y x 与1+2xy中至少有一个小于3成立.(2)(分析法)要证√a 2+b 2≥√22(a+b ),只需证(√a 2+b 2)2≥[√22(a +b )]2,即证a 2+b 2≥12(a 2+b 2+2ab ),即证a 2+b 2≥2ab.因为a 2+b 2≥2ab 对一切实数恒成立,所以√a 2+b 2≥√22(a+b )成立.。
综合法和分析法
综合法和分析法综合法和分析法在研究学科领域中是两种常见的研究方法。
综合法是指通过对各种不同的材料、数据和观点进行整合和综合，以便从中得出全面的结论和理解。
分析法则是通过对研究对象的各个方面进行分解，研究其组成部分以及它们之间的关系，以便深入分析和理解问题。
综合法在研究领域中被广泛运用，具有很高的可靠性和适用性。
通过综合不同的材料和观点，我们可以从多个角度对问题进行分析和解释，以提供更全面的研究结果。
综合法注重整体性思维，能够考虑到问题的各个方面，并找到它们之间的联系和共同点。
这种方法还可以帮助我们发现问题的不足之处，并提出改进和优化的建议。
然而，综合法也存在一些限制和挑战。
首先，由于需要处理大量的材料和观点，综合法可能会非常耗时和繁琐。
其次，由于材料和观点的多样性，可能存在信息的冲突和矛盾，这需要我们在整合的过程中面对和解决。
最后，综合法需要研究人员具备较高的分析和综合能力，以便处理和整合各种不同的信息和观点。
相比之下，分析法注重研究对象的细节和内部结构。
通过对研究对象进行分解和分析，我们可以更深入地了解其组成和特征，并揭示其内在的规律和原理。
分析法强调的是逐步推导和推理，通过分析对象的各个方面来得出结论和解释。
这种方法通常用于对复杂问题的解析和深入研究，能够帮助我们更好地理解问题的本质和内在机制。
然而，分析法也有一些局限性。
首先，由于分析法强调细节和局部，可能会忽视整体的视角和综合的信息。
其次，分析法可能会产生过于复杂和抽象的结论，这可能会使得解释和应用变得困难。
最后，分析法需要研究人员具备扎实的专业知识和技术背景，以便进行准确和有效的分析。
在实际研究中，综合法和分析法通常会结合使用，以取长补短。
综合法可以帮助我们从多个角度全面地了解问题，而分析法则可以帮助我们深入研究问题的细节和内部结构。
这种综合运用可以提高研究的可靠性和有效性，以得出更准确和全面的结论。
综合法和分析法作为两种研究方法，具有各自的优势和限制。
常用的逻辑思维方法有哪些
常用的逻辑思维方法有哪些
1.归纳法：通过观察和实验来总结经验规律，从具体到一般的推断。
2.演绎法：从已知的前提出发，通过逻辑推理得出结论，从一般到特殊的推断。
3.比较法：通过比较不同事物之间的相似性和差异性，来发现问题所在或者改进方法。
4.分析法：将问题分解成更小的部分，逐个进行分析，最后整合得出全面的结论。
5.综合法：将不同的观点、理论或方法相互结合，形成新的思路或解决问题的方法。
6.反证法：假设一些命题为真，通过逻辑推理得出矛盾，从而证明该命题为假。
7.归约法：将复杂的问题简化成更容易理解和解决的形式。
8.假设法：通过设问和假设，推导出不同情况下的结论，进而得出最终的结论。
9.排除法：通过排除其他可能性，得出唯一的结论或解决方案。
10.理论验证法：通过实验证实一些理论的正确性或有效性。
11.对比法：通过对比不同事物或观点之间的差异和相似之处，来得出结论或选择最佳方案。
12.具体化法：将抽象的问题具体化，从而更好地理解和解决问题。
13.建模法：将复杂的问题抽象成数学模型或图形，通过分析模型来解决问题。
14.概率统计法：通过概率和统计的方法，对随机事件或数据进行分析和推断。
15.图表分析法：通过图表或数据展示的方式，对问题进行可视化分析和解决。
这些逻辑思维方法在不同的领域和问题都有应用，可以帮助我们理性思考、分析问题、解决难题。
证明方法
2
＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π ＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3. ∴a＋b＋c>0，这与 a＋b＋c≤0 矛盾， 故 a，b，c 中至少有一个大于 0.
例2、用数学归纳法证明: 当n为正偶数时,xn-yn能被x+y整除. 证:(1)当n=2时,x2-y2=(x+y)(x-y),即能被x+y整除,故命 题成立. (2)假设当n=2k时,命题成立,即x2k-y2k能被x+y整除. 则当n=2k+2时,有 x
2k 2
y
2k 2
x x y y
例3、平面内有n (n2)条直线，任何两条都不平行，任何 三条不过同一点，问交点的个数 f ( n) 为多少?并证明.
n( n 1) f ( n) 2 证明：1）n=2时：两条直线交点个数为 1, 1 而f(2)= 2 ×2×(2-1)=1, ∴命题成立。
2）假设n=k(k∈N+,k≥2)时，k条直线交点个数为f(k)=
2 2k 2
2k
x2 ( x2k y 2k ) y 2k ( x2 y 2 ) x2 ( x2k y 2k ) y 2k ( x y)(x y)
x2 ( x2k y 2k )、y 2k ( x y)(x y) 都能被x+y整除.
故x2k+2-y2k+2能被x+y整除,即当n=2k+2时命题成立. 由(1)、(2)知原命题对一切正偶数均成立.
数学：不等式证明四法比较法综合法分析法反证法与放缩法
不等式证明一（比较法）比较法是证明不等式的一种最重要最基本的方法。
比较法分为：作差法和作商法 一、 作差法若a ，b ∈R ，则： a —b ＞0⇔a ＞b ；a —b ＝0⇔a ＝b ；a —b ＜0⇔a ＜b 它的三个步骤：作差——变形——判断符号（与零的大小）——结论. 作差法是当要证的不等式两边为代数和形式时，通过作差把定量比较左右的大小转化为定性判定左—右的符号，从而降低了问题的难度。
作差是化归，变形是手段，变形的过程是因式分解（和差化积）或配方，把差式变形为若干因子的乘积或若干个完全平方的和，进而判定其符号，得出结论.例１、求证：x ２ + ３ > ３x 证：∵（x ２ + ３） ３x = 043)23(3)23()23(32222>+-=+-+-x x x ∴x ２ + ３ > ３x例2、 （课本P ２２例２）已知a, b, m 都是正数，并且a < b ，求证：bam b m a >++ 证：)()()()()(m b b a b m m b b m b a m a b b a m b m a +-=++-+=-++ ∵a,b,m 都是正数，并且a<b ，∴b + m > 0 , b a > 0 ∴0)()(>+-m b b a b m 即：bam b m a >++变式：若a > b ，结果会怎样？若没有“a < b ”这个条件，应如何判断？例3、 已知a, b 都是正数，并且a b ，求证：a ５ + b ５ > a ２b ３ + a ３b ２ 证：（a ５ + b ５ ）（a ２b ３ + a ３b ２） = （ a ５ a ３b ２） + （b ５ a２b ３）= a ３ （a ２b ２ ）b ３ （a ２b ２） = （a ２b ２ ）（a ３ b ３）= （a + b ）（a b ）２（a ２ + ab + b ２）∵a, b 都是正数，∴a + b, a ２ + ab + b ２ > 0又∵a b ，∴（a b ）２ > 0 ∴（a + b ）（a b ）２（a ２ + ab + b２） > 0即：a ５ + b ５ > a ２b ３ + a ３b ２例4、 甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m 行走，另一半时间以速度n 行走；有一半路程乙以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走，如果m n ，问：甲乙两人谁先到达指定地点？解：设从出发地到指定地点的路程为S ，甲乙两人走完全程所需时间分别是t １, t ２，则：21122,22t n S m S S n t m t=+=+可得：mnn m S t n m S t 2)(,221+=+= ∴)(2)()(2])(4[2)(22221n m mn n m S mn n m n m mn S mn n m S n m S t t +--=++-=+-+=- ∵S, m, n 都是正数，且m n ，∴t １ t ２ < 0 即：t １ < t ２从而：甲先到到达指定地点。
综合法、分析法、反证法
合情推理
演绎推理
归纳
类比
三段论
(特殊到一般） （特殊到特殊）（一般到特殊）
演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的 重要思维过程.
数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理.
直接证明
2.2.1 综合法
例1.已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc 证明:因为b2+c2 ≥2bc,a>0 所以a(b2+c2)≥2abc. 又因为c2+b2 ≥2bc,b>0 所以b(c2+a2)≥ 2abc. 因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.
b ac 由a,b,c成等比数列可得什么?
2
怎样把边,角联系起来?
点评：解决数学问题时，
文字语言
学会语言转换；还要细
致，找出隐含条件。
图形语言
符号语言
例3.在锐角三角形ＡＢＣ中， 求证sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC
课堂练习：
1.已知a,b,c > 0,且不全等，求证： a(b2 + c2)+ b(c2 + a2)+ c(a2 + b2)> 6abc
只需证:AE⊥BC 只需证:BC⊥平面SAB 只需证:BC⊥SA 只需证:SA⊥平面ABC
F E
A
C
B
因为:SA⊥平面ABC成立 所以. AF⊥SC成立
思考：请对综合法与分析法进行比
较，说出它们各自的特点。回顾以往 的数学学习，说说你对这两种证明方 法的新认识。
综合法、分析法、反证法
只需证 14<18,这显然成立 所以 2 + 7 3 + 6成立
例2:如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作 SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂 足为F,求证 AF⊥SC S
证明:要证AF⊥SC
只需证:SC⊥平面AEF
只需证:AE⊥SC 只需证:AE⊥平面SBC
只需证:AE⊥BC 只需证:BC⊥平面SAB 只需证:BC⊥SA 只需证:SA⊥平面ABC
F E
A
C
B
因为:SA⊥平面ABC成立 所以. AF⊥SC成立
思考：请对综合法与分析法进行比
较，说出它们各自的特点。回顾以往 的数学学习，说说你对这两种证明方 法的新认识。
综合法的特点:由因导果
分析法的特点：执果索因.
回顾基本不等式：a
+ 2
b
ab
分析法
(a>0,综b>合0)法的证明.
证法1Q a + b ab
2
a + b ab 2
( a b)2
2
因为 ( a b)2 0
所以
a+b 2
ab成立
证法2要证
a
+ 2
b
ab
只需证 a + b 2 ab
只需证 a + b 2 ab 0
• 为了做出决断，旅游者被送到国王那里。苦苦想了好久，国王 才说——
• 国王：不管我做出什么决定，都肯定要破坏这条法律。我们还 是宽大为怀算了，让这个人自由吧。
b ac 由a,b,c成等比数列可得什么?
2
怎样把边,角联系起来?
点评：解决数学问题时，
高等数学中的论证方法
高等数学中的论证方法唐月红高等数学中的定理、性质的推导和证明题目对于大一新生来讲，由于缺少证明方法，掌握不住其证明的规律，无从下手，往往感到最头痛。
但推理论证是高等数学中一个很重要的组成部分，通过推理论证训练，可以帮助同学们弄清概念、定义、条件、结论、命题之间的的本质联系，可以加深对微积分学基本理论的理解；同时有助于培养学生的逻辑思维和抽象思维能力，从而提高分析问题和解决问题的能力。
针对这一点，这里介绍一些高等数学常用的论证方法，并列举例子进行分析、类比和归纳，希望通过这一讲座，能为同学们在寻求基本思路和探索规律方面，起到一定的引导作用.1． 综合法综合法就是从条件出发，应用定义，定理和性质逐步推导出所要结论的思考方法，其特征是“由因导果”。
高等数学中的定理证明以及一般的解题过程，大多用综合法表达，其层次清楚，叙述简明扼要。
为一般人所熟悉。
如收敛数列的有界性，保号性，四则运算性质等.2．分析法分析法就是由结论出发，应用定义，定理和性质逐步追溯到条件的思考方法，其特征是“由果索因”。
分析法也称为是倒退法。
用分析法去思考问题，许多人都不习惯，但在高等数学中能用分析法思考的问题大量存在，我们要学会倒过来想问题。
这是高等数学中常用的一种思路。
在验证极限时常采用。
例1，lim 02nn n →∞= .分析 : 根据定义就是要证明，对于任意给定的ε >0，要找到自然数 N ，使当n > N 时，有02n n ε−< ， 即 2nn ε< 要想直接从此式解出n 是不容易的。
利用“适当放大”(加强不等式)的办法，把式子化简.由于(1)(1)2(11)11.2!2!n n n n n n n −−=+=++++>L要使不等式2n n ε<成立，只须11n ε<−，由此解得不等式11n ε>+，这样找到了自然数1[1N ε=+，当n > N 时，即1[]1n ε>+时，逐步倒推回去得不等式02n nε−<成立。
分析法,综合法,反证法,构造法
分析法，综合法，反证法，都是欧氏分析方法。
欧氏分析方法起自于欧氏几何，早在公元前400年左右即为人类总结运用。
构造法是微积分学，代数学自身的方法。
分析法——尽可能由已知条件挖掘信息，并以此为起点作逻辑推理。
一元微积分讲究条件分析。
要用分析法，就需要对各个概念理解准确，强弱分明；推理有序，因果清晰。
为了弥补非数学专业学生的“短板”，我建议大家把考研题目中出现頻率较高的典型条件，预先推个滚瓜烂熟。
比如已知条件“f（x）连续，且x趋于0时，lim(f（x）/x) = 1”的推理。
（见讲座（9）基本推理先记熟。
）已知条件“f（x）在点x0可导，且f ′(x0) > 0 ”的推理。
（这是阐述“一点可导且导数大于0与一段可导且导数大0的差别；证明洛尔定理（费尔玛引理），达布定理，……，等的关键。
见讲座（11）洛尔定理做游戏；讲座（17）论证不能凭感觉。
）已知条件“非零矩阵AB = 0”的推理。
（见讲座（42）矩阵乘法很惬意。
）已知“含参的三阶方阵A能与对角阵相似，且A有二重特征值。
计算参数。
”的推理。
（见讲座（48）中心定理路简明。
）“已知连续型随机变量X的分布函数或随机向量（X，Y）的密度函数，求函数型随机变量U = φ (x) 或U =φ(x ，y) ”的推理计算（见讲座（78）分布函数是核心。
）一个娴熟的推导就是一条高速路啊。
你非常熟练了吗？！综合法——由题目要证明的结论出发，反向逻辑推理，观察我们究竟需要做什么。
最典型的范例是考研数学题目“证明有点ξ，满足某个含有函数及其导数的关系式”。
例设函数f (x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间（0，1）内可导，且f (0) = 0，则区间（0，1）内至少有一点ξ，使得f (ξ) f′(1―ξ) = f′(ξ) f (1―ξ) 分析（综合法）即要证明f (ξ) f′(1―ξ) ― f′(ξ) f (1―ξ) = 0点ξ是运用某个定理而得到的客观存在。
高三数学第六章第6课时优质课件
2
1 a2＋ 2－ a
∵a>0，故只要证
1 2≥a＋1＋ 2 2， a ＋ 2＋2 a a
2
目录
1 1 2 即 a ＋ 2＋4 a ＋ 2＋4 a a 1 2 a＋1 ＋2， ≥a ＋2＋ 2＋2 2 a a 1 2 a＋1 ， 从而只要证 2 a ＋ 2≥ 2 a a a2＋ 12 ≥2a2＋2＋ 12， 只要证 4 a a 1 即 a2＋ 2≥2. a
目录
2．分析法 要证明的结论 (1)定义：从____________出发，逐步寻求使它成立的 充分条件 __________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个 明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这 种证明的方法叫作分析法． (2)框图表示： Q⇐P1 → P1⇐P2 → P2⇐P3 →„ → 得到一个明显成立的条件 . 3．反证法 矛盾 不成立 假设原命题_______，经过正确的推理,最后得出_____，由 此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方 法叫反证法．
本节目录
教 材 回 顾 夯 实 双 基
考 点 探 究 讲 练 互 动
名 师 讲 坛 精 彩 呈 现
知 能 演 练 轻 松 闯 关
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教材回顾•夯实双基
基础梳理
1．综合法 (1)定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等， 推理证明 经过一系列的__________，最后推导出所要证明的结论 成立 ________，这种证明方法叫综合法． (2)框图表示： P⇒Q1 → Q1⇒Q2 → Q2⇒Q3 →„→ Qn⇒Q (其中 P 表示条件，Q 表示要证结论)．
高三数学 不等式的证明(比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法);不等式的应用知识精讲
高三数学不等式的证明（比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法）；不等式的应用知识精讲（一）不等式的证明1. 实数大小的性质（1）a b a b ->⇔>0；（2）a b a b -=⇔=0；（3）a b a b -<⇔<0。
2. 比较法证明的步骤（1）求差比较法步骤：作差——变形——判别差的符号，在运用求差比较法证明时其关键是变形，通常变形方法是分解因式、配方、利用判别式及把差化为若干个非负数的和。
（不能分解时证明有恒定符号可配方）（2）求商比较法步骤：作商——变形——判别商与1的大小，在运用求商比较法证明不等式时要根据已知条件灵活采用函数的单调性及基本不等式进行放缩。
3. 基本不等式定理1：如果a b R ，∈，那么a b ab 222+≥（当且仅当a b =时取等号）。
定理2：如果a b c R ，，∈+，那么a b c abc 3333++≥（当且仅当a b c ==时取等号）。
推论1：如果a b R ，∈+，那么a b ab +≥2（当且仅当a b =时取“＝”号）。
推论2：如果a b c R ，，∈+，那么a b c abc ++≥33（当且仅当a b c ==时取“＝”号）。
4. 综合法：利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式，这种证明方法叫做综合法。
综合法的证明思路是：由因导果，也就是从一个（组）已知的不等式出发，不断地用必要条件替代前面的不等式，直到推导出要证的不等式。
5. 分析法：从求证的不等式出发分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。
这种证明方法叫做分析法。
分析法的证明思路是：“执果索因”，即从求证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直至找到已知不等式为止。
用分析法证明不等式要把握以下三点：（1）寻找使不等式成立的充分条件时，往往是先寻找使不等式成立的必要条件，再考虑这个必要条件是否充分。
(6)反证法
[ 解析 ]
(1)f(1) ＋ f(3) － 2f(2) ＝ (1 ＋ p ＋ q) ＋ (9 ＋ 3p ＋ q) －
2(4＋2p＋q)＝2. 1 (2)假设原命题不成立， 则|f(1)|， |f(2)|， |f(3)|都小于2， 则|f(1)| ＋2|f(2)|＋|f(3)|<2， 而|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥f(1)＋f(3)－2f(2)＝2， 这与|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|<2 相矛盾， 从而假设不成立，原命题成立， 1 即|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于2.
反证法的一般步骤：
(1)假设命题的结论不成立； (2)从假设出发,经过推理论证， 得出矛盾； (3) 由矛盾判定假设不正确， 从而肯定命题的结论正确。
反设
归谬
结论
反证法： 反设——归谬——存真
归缪（难点）：
（1）与已知条件矛盾；
（2）与已有公理、定理、定义矛盾；
¬
（3）自相矛盾。
q
¬p
pq
应用反证法的情形： （1）直接证明比较困难; （2）直接证明需分成很多类, 而对立命题分类较少; （3）结论有“至少”,“至多”, “有无穷多个”之类字样 （4）结论为 “唯一”之类的命题；
练习3：已知0<a≤3,函数f(x)＝x3－ax在区间 [1,＋∞)上是增函数,设当x0≥1,f(x0)≥1 时, f(f(x0))＝x0,求证：f(x0)＝x0.
证明：假设f(x0)≠x0， 则必有f(x0)>x0或f(x0)<x0， 若f(x0)>x0≥1,由f(x)在[1,＋∞)上为增函数, 则f(f(x0))>f(x0),与f(f(x0))＝x0矛盾； 若x0>f(x0)≥1,则f(x0)>f(f(x0)),与f(f(x0))＝x0 矛盾； 综上所述假设不成立，原命题得证
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)
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第六章
不等式 推理与证明
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2．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为 ( ) A．a，b，c都是奇数 B．a，b，c都是偶数 C．a，b，c中至少有两个偶数 D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数 解析： ∵a，b，c恰有一个是偶数，即a，b，c中只有一个偶数，
其反面是两个或两个以上偶数或没有一个偶数即全都是奇数，故只有D 正确． 答案： D
b c c a a b ＋ －1＋ ＋ －1＋ ＋ －1＞3， ∴a a b b c c
b＋c－a a＋c－b a＋b－c 即 ＋ ＋ ＞3. a b c
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【变式训练】
a 2 b 2 c2 1.设 a、b、c＞0，证明： ＋ ＋ ≥a＋b＋c. b c a
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)证明：数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列．
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【规范解答】
2
(1)由题意可知，1－an＋1
2
2 ＝ (1－an2).1 分 3
2 令 cn＝1－an ，则 cn＋1＝ cn. 3 3 3 2 又 c1＝1－a1 ＝ ，则数列{cn}是首项为 c1＝ ，公比为 的等比数列， 4 4 3
第6课时 综合法、分析法与反证法 6
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1．综合法与分析法 内容 综合法 分析法
利用已知条件和某些数学定义、从要 证明的结论 出发，逐 定义 公理、定理等，经过一系列的 步寻求使它成立的 出所要证明的结论 推理论证 实质 由因导果 成立 ， ，最后推导 直至最后，把要证明的结论归 充分条件 . 结为判定一个明显成立的条件 执果索因
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不等式 推理与证明
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1 ( 本小 题满 分 12 分)(2010·湖北 卷) 已 知 数列{an} 满足： a1 ＝ ， 2 3(1＋an＋1) 2(1＋an) ＝ ，anan ＋ 1 ＜0(n≥1) ；数列{bn}满足： bn ＝an ＋ 12 － 1－an 1－an＋1 an2(n≥1)．
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不等式 推理与证明
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3．若 a＜b＜0，则下列不等式中成立的是( 1 1 A. ＜ a b 1 1 C．b＋ ＞a＋ a b 1 1 B．a＋ ＞b＋ b a b b＋1 D. ＜ a a＋1
)
解析：
∵a＜b＜0，
1 1 ∴ ＞ ， a b 又 b＞a， 1 1 ∴b＋ ＞a＋ . a b
a2 b2 证明： ∵a、b、c＞0，根据基本不等式，有 ＋b≥2a， ＋c≥2b， b c c2 ＋a≥2c. a a2 b 2 c 2 三式相加： ＋ ＋ ＋a＋b＋c≥2(a＋b＋c)， b c a a2 b2 c 2 即 ＋ ＋ ≥a＋b＋c.当且仅当 a＝b＝c 时取等号． b c a
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从近两年的高考试题来看，综合法、反证法证明问题是高考的热点， 题型大多为解答题，难度为中高档；主要是在知识交汇点处命题，像数 列，立体几何中的平行、垂直，不等式，解析几何等都有可能考查，在 考查数学基本概念的同时，注重考查等价转化、分类讨论思想以及学生 的逻辑推理能力．
答案： C
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4．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是 ________． 解析： 由命题的否定可得． 答案： 存在一个三角形，其外角最多有一个钝角
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a＋ b 5．已知 a，b 是不相等的正数，x＝ ，y＝ a＋b， 2 则 x，y 的大小关系是________．
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1．运用综合法叙述推理过程，简明扼要，条理清楚，但是，前进 的道路往往不止一条，所以每逢歧路，选择甚难，有时从条件出发，想 不到从何处入手才有效，而分析法执果索因，寻根容易，便于思考．所 以，几何证明题在探索途径时，分析法优于综合法；在表述方面，分析 法不如综合法．在实际解题时，常常需要把分析法与综合法综合使 用．一方面执果索因，追溯待证结论成立所需要的条件，另一方面由因 导果，探索由已知条件必然产生的种种结果，当两种思路接通时，问题 便得到解决．
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不等式 推理与证明
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分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分条件．它是 从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已 知(已知条件，已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．用分析 法证明命题的逻辑关系是：B⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A.它的常见书面表达是 “要证…只需证…”或“⇐”． ⇐
解析： 取特殊值a＝2，b＝8，得x＜y. 答案： x＜y
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综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一 系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性．用综合法证明题的逻辑 关系是：A⇒B1⇒B2 ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ B为要证结论)，它的常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”． ⇒
q2－pr＝0， ∵p，q，r∈N＋，∴ 2q－p－r＝0， p＋r2 ＝pr，(p－r)2＝0，∴p＝r，与 p≠r 矛盾． ∴ 2
所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列．
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【变式训练】 求证：
3.已知 a＞0，b＞0 且 a＋b＞2，
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等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝1＋ 2，S3＝9＋3 2. (1)求数列{an}的通项 an 与前 n 项和 Sn； Sn (2)设 bn＝ (n∈N＋)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成 n 为等比数列．
a1＝ 2＋1， (1)由已知得 ，∴d＝2， 3a1＋3d＝9＋3 2
解析：
故 an＝2n－1＋ 2，Sn＝n(n＋ 2)．
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Sn (2)证明：由(1)得 bn＝ ＝n＋ 2. n 假设数列{bn}中存在三项 bp、bq、br(p、q、r 互不相等)成等比数列， 则 bq2＝bpbr，即(q＋ 2)2＝(p＋ 2)(r＋ 2)， ∴(q2－pr)＋(2q－p－r) 2＝0.
1＋b 1＋a ， 中至少有一个小于 2. a b
1＋b 1＋a 1＋b 1＋a 假设 ， 都不小于 2，则 ≥2， ≥2， a b a b
证明：
∵a＞0，b＞0， ∴1＋b≥2a,1＋a≥2b，两式相加得 1＋1＋a＋b≥2(a＋b)， 即 2≥a＋b，这与已知“a＋b＞2”矛盾， 1＋b 1＋a ， 中至少有一个小于 2. 故假设不成立，即 b a
2 n－1
3 2n－1 1－ ·3 ，5 分 4
3 2n 3 2n－1 －an ＝1－ ·3 －1－ ·3 4 4
2
1 2n－1 ＝ ·3 .6 分 4
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(2)证明：用反证法证明． 假设数列{bn}存在三项 br，bs，bt(r＜s＜t)按某种顺序成等差数列，由于 1 2 数列{bn}是首项为 ，公比为 的等比数列，于是有 br＞bs＞bt，则只可能有 4 3 2bs＝br＋bt 成立.8 分 12s－1 12r－1 12t－1 ∴2· 3 ＝ 3 ＋ 3 10 分 4 4 4 两边同乘 3r 121 r，化简得 3t r＋2t r＝2·2s r3t s. 由于 r＜s＜t，所以上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成， 导致矛盾． 故数列{bn}中任意三项不可能成等差数列.12 分
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第六章
不等式 推理与证明
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b＋c－a a＋c－b a＋b－c 已知 a， c 是全不相等的正实数， b， 求证： ＋ ＋ a b c ＞3.
证明： ∵a，b，c 全不相等，
b a c a c b ∴ 与 ， 与 ， 与 全不相等， a b a c b c b a c a c b ∴ ＋ ＞2， ＋ ＞2， ＋ ＞2， a b a c b c b c c a a b 三式相加得 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＞6， a a b b c c
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不等式 推理与证明
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【变式训练】 求证：
2.已知：a＞0，b＞0，a＋b＝1. 1 b＋ ≤2. 2
1 a＋ ＋ 2
证明：
要证
1 a＋ ＋ 2
1 b＋ ≤2， 2
1 1 a＋ b＋ ≤4， 2 2 1 1 a＋ b＋ ≤1， 2 2
1 1 只需证 a＋ ＋b＋ ＋2 2 2
∵由已知知 a＋b＝1，故只需证
1 1 1 a＋ b＋ ≤1，只需证 ab≤ ， 只需证 2 2 4
1 ∵a＞0，b＞0,1＝a＋b≥2 ab，∴ab≤ ，故原不等式成立． 4
工具
第六章
不等式 推理与证明
栏目导引
反证法是间接证明问题的一种常用方法，其证明问题的一般步骤为： (1)反设：假设所要证的结论不成立，而设结论的反面成立；(否定 结论) (2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出 矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相 矛盾；(推导矛盾) (3)结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬 误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立．(结论成立)