吉林大学概率统计课件1

B
包含有
nB
=6个基本事件
B = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}，
所以
P( A) = P( B) =
nA 5 = ， n 36
nB 6 1 = =． n 36 6
例4 袋中装有5个白球3个黑球，从中任取两球，求两球都是白球的概率．
A 所包含的基本事件数为
8 n 解 设 A 表示事件“取出的两球都是白球”，基本事件总数为 = 2 5
nA = ， 2
，
则由古典概率得
nA 5 P( A) = = n 14
．
例5 设某一箱子装有同种类型的电子元件100个，其中有95个合格品，5个不 合格品．从箱子中任取4个电子元件，问其中恰有1个不合格品的概率是多少？ 解 设 A 表示事件“取基本事件总数为．所包含的基本事件数为，出的4个 元件中恰有1个不合格品”．
AB 就是把事件 A 与事件 B 所公有的基本事件放在一起作成的事件．
AB 在 E 2中， ={2}， ={1，3}， = φ ． AC BC 对于任一事件 A ，有
AA = A
AΩ = A
Aφ = φ
事件的和与事件的积可以推广到多个事件的情形： n 事件 A1 , A2 ,⋯, An 的和事件记作 A1 ∪ A2 ∪ ⋯ ∪ An 或 ∪ Ai， i= A 表示事件“ 1 , A2 ,⋯ , An 中至少有一个事件发生”．1 n Ai 事件 A1 , A2 ,⋯, An 的积事件记作 A1 ∩ A2 ∩ ⋯ ∩ An 或 ∩， i =1 A1 表示事件“ , A2 , ⋯ , An 同时发生”． ∞ ∞ ∞ 可数无穷多个事件 A1 , A2 ,⋯ , Ai ,⋯ 的和与积分别记作 ∪ Ai 与 ∩ Ai ，∪ Ai 表 i =1 i =1 i =1 ∞ A1 A 示“事件 1 , A2 ,⋯, Ai ,⋯ 中至少有一个发生”； Ai 表示“事件, A2 ,⋯ , Ai ,⋯ 同 ∩ i =1 时 发生”． “事件 A发生而事件 B 不发生”，这样的事件称为事件 与事 A 5．事件的差： 件 B 的差，记为 A − B ．
随机事件：试验的每一个可能结果．用大写字母 A , B , C 等表示． 随机事件也就是基本空间的子集，即若干基本事件做成的集合． A 如在 E 2 中，“出现偶数点”的事件可表示为 = {2，4，6}， “出现奇数点”的事件可表示为 ={1,3,5}， B 而 C = {1，2，3}表示事件“出现的点数不超过3”． 事件发生： 当事件A 所包含的基本事件有一个出现，就说事件 A 发生了，否 则就说事件 A 未发生． 必然事件： 一定生的事件，也就是基本空间 Ω ． 不可能事件： 一定不发生的事件,记为 φ ． 二、事件的关系与运算 试验 E 的基本空间为 Ω ， 、 、 k ( k =1，2，…)为 E 中的事件． A B A 1．包含： 如果事件 A发生必然导致事件 B 发生．则称事件 B包含事件 A ， 记作 A ⊂ B 或 B ⊃ A．
A = {HTT , THT , TTH，于是有 }
nA 3 P( A) = = ． n 8
例3 将一颗匀称的骰子抛掷两次，(1)求两次出现的点数之和等于8的概率；
(2)求两次出现的点数相同的概率． 解 点”．
(用j ) i,
表 示 事 件i“ 第 一 次 出 现 则
j
(i, j = 第 ,⋯, 6 点 ， 1, 2二 次) 出 现
( C = A1 A2 A3 )；
或
. D = A1 A2 ∪ A1 A3 ∪ A2 A3
第二节 概率的古典定义
在一个试验中，有许多随机事件．一个事件在一次试验中可能发生，也 可能不发生．有的事件发生的可能性大，有的事件发生的可能性小．概率就 是用来刻划事件发生的可能性大小的数量指标． 一、概率的统计定义 1．频率 定义1 设 A 为试验 E 中的一个事件，把试验 E 在相同条件下重复进行 n 次，如 n A 发生的次数为n A，则称 A 为事件 A 在 n 次试验中发生的频率，记为 果事件 n f n ( A) ， 即
表示事件“ 恰有一次出 现正
这是一个等可能概型，基本空间为 Ω = {HHH , HHT , HTH , HTT , THH , THT , TTH , TTT } ． 3 2 1 H T T H H T T T H T H T H H
基本事件总数为 n = 8．事件 A 所包含的基 本 事件有3个：
该试验的基本空间为
Ω = {(i, j ) | i, j = 1, 2,⋯, 6} ，
共有 n = 36 个基本事件．
B 设 A 表示事件“两次出现的点数之和等于8”， 表示事 A 件“两次出现的点数相同”．则 事
件 包含有 = 5 nA 个基本
A ={(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)}，
定义2 在相同的条件下重复进行 n 次试验，如果当 n 增大时， 事 件 的 频 率 f n ( A) = n A / n稳 定 地 在 某 一 常 数 p 附近摆动，
Ω = {ω1 , ω 2 ,⋯ , ω n }；
(ii) 每个基本事件发生的可能性是相等的．
2．古典概率 定义3 设 A 为等可能概型 E 中的一个事件， 的基本事件总 E 数为 n 事件 A所包含的基本事件数为 n A ，称 ，
A 如在 E 2 中， − C = {4，6}．
对于任一事件 A ，有
A− A =φ
，
A −φ = A
，
A−Ω =φ
．
件．
A − B 就是 A 的基本事件中去掉含在 B 中的，余下的基本事件作成的事
6．互不相容(互斥): 若事件 与事件B 不能同时发生(即 AB = φ )，则称事 件A 与事件B 互不 相容或互斥．
我们把频率 f n ( A) 围绕摆动的稳定值 p ，就叫做事件 A 的概率，即有概率的统计定义如下： 2．概率的统计定义
A
则称常数 p 为事件A 的概率，为 P ( A) = p ． 根据这一定义，可以把由大量重复试验所得到的事件的频率作为事 件概率的近似值． 二、古典概型 1．等可能概型(也叫做古典概型)：具有以下特点的试验称为 等可能概型： (i) 只有有限个基本事件，即基本空间为有限空间，
．
例6 从1, 2,…, 10这十个数字中任取三个，问大小在中间的数字恰好为5的概 率是多少？ 解 设 A 表示事件“取出的三个数字大小在中间的数字恰好为5”． 基本事件总
10 4 1 5 n = ， 所包含的基本事件数为 n A = ， 数为 A 3 1 11 因此所求概率为 4 1 5 1 1 1 1 P ( A) = = 6 10 3 ．
第一章 随机事件与概率
自然界中各种现象可以区分为两种：确定性现象与随机现象． 确定性现象：在一定条件下必然会出现的现象． 随机现象：在一定的条件下，可能出现多种结果，而在试验之前无法预知其 确切的结果，也无法控制． 概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科． 第一节 随机事件及其运算 一、随机试验与随机事件 随机试验： 具有以下特点的试验称为随机试验： 1°试验可以在相同条件下重复进行； 2°试验可能出现的结果不只一个，在试验之前知道所有可能的结果； 3°试验结束后会出现哪一个结果是随机的(无法事先知道，也无法控制)． 通常用字母E表示随机试验(以后简称试验)．
nA 为事件 n
A 的概率，记 为 P ( A) ，即
P( A) = 事件A包含的基本事件数 n A = 基本事件总数 n
．
概率的这个定义，称为概率的古典定义，此定义中的概率称为古典概 率．
例2 将一枚硬币抛掷三次，求事件“恰有一次出现正面”的概 率．
T 解 设H 表示事件“出现正面”， 表示事件 A “出现反面”， 面”．
100 5 95 n = ． A 所包含的基本事件数为 nA = ， 基本事件总数为 4 1 3
则由古典概率得
5 95 n A 1 3 = 0.176 P ( A) = = n 100 4
B C D 解 四个事件分别设为 A ， ， ， ，则有
(1) A = A1 A2 A3 ； (2) B = A1 A2 A3 ∪ A1 A2 A3 ∪ A1 A2 A3 ； (3) C = A1 ∪ A2 ∪ A3 (4) D = A1 A2 A3 ∪ B
= A1 A2 A3 ∪ A1 A2 A3 ∪ A1 A2 A3 ∪ A1 A2 A3
A 如在 E2 中， 与 B 互逆． 8．运算规律：
(1)
A ∪ B = B ∪ A ，A ∩ B = B ∩ A ．
∞ ∞
(2) ( A ∪ B )C = AC ∪ BC ， ( AB ) ∪ C = ( A ∪ C )( B ∪ C ) ． (3) A ∪ B = A ∩ B ，∪ Ak = ∩ Ak ． (4) A ∩ B = A ∪ B ， Ak = ∪ Ak ． ∩
f n ( A) =
A 设试验 E 的基本空间为Ω ，A 为 E 中的随机事件，1 , A2 ,⋯, Am为 E 中两两 互不相容的事件，则由定义1易知频率具有下述性质：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
nA n
．
性质1 0≤
f n ( A) ≤1．
性质2 f n (Ω ) = 1 ． 性质3 f n ( A1 ∪ A2 ∪ ⋯ ∪ Am ) = f n ( A1 ) + f n ( A2 ) + ⋯ + f n ( Am ) ．
A 与 B 互不相容，就是 A 与 B 不含有公共基本事件．
当事件 A 与 B 互不相容时，A ∪ B 记作 A + B ． 7．对立(互逆)： A 事件与事件 B 有且仅有一个发生， 若 即 A ∪ B = Ω 且 AB = φ ，则 称事件 A 与事件 B 为对立事件或互逆事件，其 中事件 B 叫做事件 A 的逆事件，记作 B = A ，事件 A 叫做事件 B 的逆事 件，记作 A = B ．