2016中考数学第一轮复习

2016中考数学复习(十一)[以圆为背景的综合计算与证明题]类型之一圆与切线有关的问题1．[2014·黄冈]如图G11－1，在Rt△ABC中，∠C＝90°.以AC为直径的⊙O与AB 边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E.(1)求证：EB＝EC；(2)若以点O，D，E，C为顶点的四边形是正方形，试判断△ABC的形状，并说明理由．图G11－12．[2015·绥化]如图G11－2，以线段AB为直径作⊙O，CD与⊙O相切于点E，交AB 的延长线于点D，连接BE，过点O作OC∥BE交切线DE于点C，连接AC.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若BD＝OB＝4，求弦AE的长．图G11－2类型之二圆与平行四边形结合的问题3．[2015·衡阳]如图G11－3，AB是⊙O的直径，点C，D为半圆O的三等分点，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E.(1)求证：CE为⊙O的切线；(2)判断四边形AOCD是否为菱形，并说明理由．图G11－34．[2014·吉林]如图G11－4，四边形OABC是平行四边形，以点O为圆心，OA为半径的圆交AB于点D，延长AO交⊙O于点E，连接CD，CE，若CE是⊙O的切线，解答下列问题：(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若BC＝3，CD＝4，求平行四边形OABC的面积．图G11－4类型之三圆与三角函数结合的问题5．[2015·安顺]如图G11－5，在等腰三角形ABC中，AC＝BC＝10，AB＝12，以BC 为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E.(1)求证：直线EF是⊙O的切线；(2)求cos E的值．图G11－5类型之四圆与相似三角形结合的问题6．[2015·潍坊]如图G11－6，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，与AB交于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE.(1)求证：直线DF与⊙O相切；(2)若AE＝7，BC＝6，求AC的长．图G11－67．[2013·广东]如图G11－7，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，弦BD＝BA，AB＝12，BC＝5，BE⊥DC交DC的延长线于点E.(1)求证：∠BCA＝∠BAD；(2)求DE的长；(3)求证：BE是⊙O的切线．图G11－78．[2014·贺州]如图G11－8，AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，且AB∥CD，BO＝6 cm，CO＝8 cm.(1)求证：BO⊥CO；(2)求BE和CG的长．图G11－8【参考答案】1．解：(1)证明：证法一：如图，连接CD.∵AC为⊙O的直径，∠AC B＝90°，∴CB为⊙O的切线．又∵DE切⊙O于点D，∴ED＝EC，∴∠CD E＝∠DCE.∵AC为⊙O的直径，∴∠AD C＝90°，∴∠CD E＋∠EDB＝90°，∠DCE＋∠B＝90°，∴∠EDB＝∠B，∴ED＝EB，∴EB＝EC.证法二：如图，连接OD.∵AC 为⊙O 的直径，∠C ＝90°， ∴CB 为⊙O 的切线．又∵DE 切⊙O 于点D ，∴ED ＝EC ，∠OD E ＝90°， ∴∠OD A ＋∠EDB ＝90°.∵OA ＝OD ，∴∠OD A ＝∠OAD . 又∵∠OAD ＋∠B ＝90°， ∴∠EDB ＝∠B ，∴ED ＝EB ， ∴EB ＝EC.(2)△ABC 为等腰直角三角形． 理由：∵四边形OD EC 为正方形， ∴OC ＝CE.∵OC ＝12AC ，CE ＝EB ＝12BC ，∴AC ＝BC .∵∠C ＝90°，∴△ABC 为等腰直角三角形． 2．解：(1)证明：连接OE ，∵CD 与⊙O 相切，∴OE ⊥CD ，∴∠CEO ＝90°. ∵BE ∥OC ，∴∠A OC ＝∠OBE ，∠C OE ＝∠OE B. ∵OB ＝OE ，∴∠OBE ＝∠OE B ，∴∠A OC ＝∠C OE . 在△A OC 和△E OC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OE ，∠AOC ＝∠COE ，OC ＝OC ，∴△A OC ≌△E OC (S A S )，∴∠CAO ＝∠CEO ＝90°， ∴AC 是⊙O 的切线．(2)在Rt △DEO 中，BD ＝OB ， ∴BE ＝12OD ＝OB ＝4.∵OB ＝OE ，∴△B OE 为等边三角形， ∴∠ABE ＝60°.∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠AEB ＝90°， ∴AE ＝BE ·tan 60°＝4 3. 3．解：(1)证明：连接OD .∵点C ，D 为半圆O 的三等分点， ∴∠A OD ＝∠C OD ＝∠C OB ＝60°. ∵OA ＝OD ，∴△A OD 为等边三角形，∴∠A ＝60°，∴∠A ＝∠C OB ，∴AE ∥OC . ∵CE ⊥AD ，∴CE ⊥OC ， ∴CE 为⊙O 的切线． (2)四边形A OCD 为菱形．理由：∵OD ＝OC ，∠C OD ＝60°， ∴△OCD 为等边三角形，∴CD ＝CO. 同理：AD ＝AO.∵AO ＝CO ，∴AD ＝AO ＝CO ＝DC ， ∴四边形A OCD 为菱形． 4．解：(1)证明：连接OD ，∵OD ＝OA ，∴∠OD A ＝∠A. ∵四边形OABC 是平行四边形，∴OC ∥AB ，∴∠E OC ＝∠A ，∠C OD ＝∠OD A ， ∴∠E OC ＝∠D OC .在△E OC 和△D OC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧OE ＝OD ，∠EOC ＝∠DOC ，OC ＝OC ，∴△E OC ≌△D OC (S A S )，∴∠OD C ＝∠OE C.∵CE 是⊙O 的切线，∴∠OE C ＝90°， ∴∠OD C ＝90°，即OD ⊥DC ， ∴CD 是⊙O 的切线．(2)∵△E OC ≌△D OC ，∴CE ＝CD ＝4.∵四边形OABC 是平行四边形，∴OA ＝BC ＝3， ∴平行四边形OABC 的面积S ＝OA ×CE ＝3×4＝12. 5．解：(1)证明：连接OD ，CD . ∵BC 是⊙O 的直径，∴CD ⊥AB . ∵AC ＝BC ，∴D 是AB 的中点． 又O 为CB 的中点，∴OD ∥AC . ∵DF ⊥AC ，∴OD ⊥EF ， ∴EF 是⊙O 的切线．(2)连接BG.∵BC 是直径，∴∠BGC ＝90°. 在Rt △ACD 中，DC ＝AC 2－AD 2＝102－62＝8. ∵AB ·CD ＝2S △ABC ＝AC ·BG ， ∴BG ＝AB ·CD AC ＝12×810＝485.∵BG ⊥AC ，EF ⊥AC ，∴BG ∥EF ，∴∠E ＝∠CBG ， ∴cos E ＝cos ∠CBG ＝BG BC ＝2425.6．解：(1)证明：如图，连接OD . ∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C.∵OD ＝OC ，∴∠OD C ＝∠C ， ∴∠OD C ＝∠B ，∴OD ∥AB . ∵DF ⊥AB ，∴OD ⊥DF.∵点D 在⊙O 上，∴直线DF 与⊙O 相切．(2)∵四边形ACD E 是⊙O 的内接四边形， ∴∠AED ＋∠C ＝180°.∵∠AED ＋∠BE D ＝180°，∴∠BE D ＝∠C. 又∵∠B ＝∠B ， ∴△BE D ∽△BC A ， ∴BD AB ＝BE BC. ∵OD ∥AB ，AO ＝CO ，∴BD ＝CD ＝12BC ＝3.又∵AE ＝7，∴37＋BE ＝BE6，解得BE ＝2.∴AC ＝AB ＝AE ＋BE ＝7＋2＝9.7．解：(1)证明：在⊙O 中，∵弦BD ＝BA ，且∠BC A 和∠B AD 分别为弦BA 和BD 所对的圆周角，∴∠BC A ＝∠B AD .(2)∵BE ⊥DC ，∴∠E ＝90°， ∴∠ABC ＝∠E.又∵∠B AC ＝∠EDB ， ∴△ABC ∽△DEB ，∴AB DE ＝AC BD. 在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝12，BC ＝5，由勾股定理，得AC ＝13， ∴12DE ＝1312，∴DE ＝14413.(3)证明：连接OB ，∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OB A. 由BA ＝BD 可推出∠OBD ＝∠OB A. 又∠BD C ＝∠OAB ，∴∠OBD ＝∠BD C ，∴OB ∥DE ， ∴∠OBE ＝∠E ＝90°， 即BE ⊥OB ，∴BE 是⊙O 的切线．8．解：(1)证明：∵AB ∥CD ， ∴∠ABC ＋∠BCD ＝180°.∵AB ，BC ，CD 分别与⊙O 相切于点E ，F ，G ， ∴BO 平分∠ABC ，CO 平分∠DCB ， ∴∠OBC ＝12∠ABC ，∠OC B ＝12∠DCB ，∴∠OBC ＋∠OC B ＝12(∠ABC ＋∠DCB)＝12×180°＝90°，∴∠B OC ＝90°，∴BO ⊥CO.(2)连接OF ，则OF ⊥BC .∴Rt △BOF ∽Rt △BC O ， ∴BF BO ＝BO BC. ∵在Rt △BOF 中，BO ＝6 cm ，CO ＝8 cm ， ∴BC ＝62＋82＝10 (cm)， ∴BF 6＝610， ∴BF ＝3.6 cm.∵AB ，BC ，CD 分别与⊙O 相切， ∴BE ＝BF ＝3.6 cm ，CG ＝CF.∵CF ＝BC －BF ＝10－3.6＝6.4 (cm)， ∴CG ＝CF ＝6.4 cm.。