高一数学(人教A版)必修4课件：两角差的余弦公式
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高中数学人教版A版必修4《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》优质PPT课件
明目标、知重点
(3)sin
1π2－
3cos
π 12.
解
方法一
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2sin
π 6sin
1π2－cos
π 6cos
π 12
＝－2cosπ6＋1π2＝－2cos π4＝－ 2.
方法二
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2cos
π 3sin
3.函数f(x)＝sin x－ 3cos x(x∈R)的值域是 [－2,2] .
解析
∵f(x)＝212sin
x－
3 2 cos
x＝2sinx－π3.
∴f(x)∈[－2,2].
明目标、知重点
1234
4.已知锐角
α、β
满足
sin
α
＝2
5 5
，cos
β＝
1100，则
α＋β
＝
.
解析 ∵α，β 为锐角，sin α＝255，cos β＝ 1100，
1π2－sin
π 3cos
π 12
＝2sin1π2－π3＝－2sin
π4＝－
2.
明目标、知重点
例 2 已知 α∈0，π2，β∈－π2，0，且 cos(α－β)＝35，sin β＝
－102，求 α 的值. 解 ∵α∈0，π2，β∈－π2，0，∴α－β∈(0，π). ∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45. ∵β∈－π2，0，sin β＝－102，∴cos β＝7102.
明目标、知重点
跟踪训练 2 已知 sin α＝35，cos β＝－153，α 为第二象限角，β
(3)sin
1π2－
3cos
π 12.
解
方法一
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2sin
π 6sin
1π2－cos
π 6cos
π 12
＝－2cosπ6＋1π2＝－2cos π4＝－ 2.
方法二
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2cos
π 3sin
3.函数f(x)＝sin x－ 3cos x(x∈R)的值域是 [－2,2] .
解析
∵f(x)＝212sin
x－
3 2 cos
x＝2sinx－π3.
∴f(x)∈[－2,2].
明目标、知重点
1234
4.已知锐角
α、β
满足
sin
α
＝2
5 5
，cos
β＝
1100，则
α＋β
＝
.
解析 ∵α，β 为锐角，sin α＝255，cos β＝ 1100，
1π2－sin
π 3cos
π 12
＝2sin1π2－π3＝－2sin
π4＝－
2.
明目标、知重点
例 2 已知 α∈0，π2，β∈－π2，0，且 cos(α－β)＝35，sin β＝
－102，求 α 的值. 解 ∵α∈0，π2，β∈－π2，0，∴α－β∈(0，π). ∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45. ∵β∈－π2，0，sin β＝－102，∴cos β＝7102.
明目标、知重点
跟踪训练 2 已知 sin α＝35，cos β＝－153，α 为第二象限角，β
人教A版数学必修4课件：3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式
=sin2acosa+cos2asina =2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina
=3sina-4sin3a
2.cos3a=cos(2a+a)
=cos2acosa-sin2asina =(2cos2a-1)cosa-2(1-cos2a)cosa
=4cos3a-3cosa
公式识记 口答下列各式的值：
1、升幂公式： 1 sin 2 sin2 cos2 2sin cos
=（sin cos）2
1 cos 2 2cos2 升幂缩角
1 cos 2 2sin2
2、降幂公式：
cos2 1 cos 2
2
sin2 1 cos 2
2
降幂扩角
例4.化简
变式：如何化简 2 sin2 2 cos4呢？
(1)求 f(x)的最小正周期；
(2)求对称轴，对称中心 (3)求该函数的单调区间
[解] (1)f(x)＝ 22cos2x＋π4＋sin2 x ＝ 22cos 2x cos π4－sin 2x sin π4＋1－c2os 2x ＝12－12sin 2x， 故 f(x)的最小正周期为 π.
asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)的应用
∴tan x＝13， ∴cos2x1－＋ssiinn2xxcos x＝co2ss2ixn－2xs＋incxocso2xs x＝21t－ant2axn＋x1＝161.
(2)由题知 F(x)＝cos2x－sin2x＋1＋2sin xcos x， ∴F(x)＝cos 2x＋sin 2x＋1， 即 F(x)＝ 2sin2x＋π4＋1. 当 sin2x＋π4＝1 时，[F(x)]max＝ 2＋1. 由－π2＋2kπ≤2x＋π4≤π2＋2kπ(k∈Z)得－38π ＋kπ≤x≤π8＋kπ(k∈Z)，故所求函数 F(x) 的单调递增区间为－38π＋kπ，π8＋kπ(k∈Z)．
=3sina-4sin3a
2.cos3a=cos(2a+a)
=cos2acosa-sin2asina =(2cos2a-1)cosa-2(1-cos2a)cosa
=4cos3a-3cosa
公式识记 口答下列各式的值：
1、升幂公式： 1 sin 2 sin2 cos2 2sin cos
=（sin cos）2
1 cos 2 2cos2 升幂缩角
1 cos 2 2sin2
2、降幂公式：
cos2 1 cos 2
2
sin2 1 cos 2
2
降幂扩角
例4.化简
变式：如何化简 2 sin2 2 cos4呢？
(1)求 f(x)的最小正周期；
(2)求对称轴，对称中心 (3)求该函数的单调区间
[解] (1)f(x)＝ 22cos2x＋π4＋sin2 x ＝ 22cos 2x cos π4－sin 2x sin π4＋1－c2os 2x ＝12－12sin 2x， 故 f(x)的最小正周期为 π.
asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)的应用
∴tan x＝13， ∴cos2x1－＋ssiinn2xxcos x＝co2ss2ixn－2xs＋incxocso2xs x＝21t－ant2axn＋x1＝161.
(2)由题知 F(x)＝cos2x－sin2x＋1＋2sin xcos x， ∴F(x)＝cos 2x＋sin 2x＋1， 即 F(x)＝ 2sin2x＋π4＋1. 当 sin2x＋π4＝1 时，[F(x)]max＝ 2＋1. 由－π2＋2kπ≤2x＋π4≤π2＋2kπ(k∈Z)得－38π ＋kπ≤x≤π8＋kπ(k∈Z)，故所求函数 F(x) 的单调递增区间为－38π＋kπ，π8＋kπ(k∈Z)．
新人教A版必修4 3.1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
π π π [自主解答] (1)原式＝sin xcos ＋cos xsin ＋2sin xcos － 3 3 3 π 2π 2π 2cos xsin － 3cos cos x－ 3sin sin x 3 3 3 1 3 3 3 ＝ sin x＋ cos x＋sin x－ 3cos x＋ cos x－ sin x 2 2 2 2
[悟一法]
1．解决此类问题的关键是熟练掌握和差公式的结构特征， 并灵活地正用、逆用、变形用． 2．对于正切公式，要熟悉以下常用的变形： tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)， tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)， tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)， tan(α＋β)－tan α－tan β＝tan αtan βtan(α＋β)， tan α＋tan β 1－tan αtan β＝ ， tanα＋β tan α－tan β 1＋tan αtan β＝ . tanα－β
α，β，α－β≠
两角差 的正切
T(α－β)
tan α－tan β 1＋tan αtan β
π kπ＋ (k∈Z) 2
[小问题·大思维 ] 1．是否存在α、β使得sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立？
π 提示：存在．如 α＝0，β＝ . 2 π 2．若化简 tan( －β)，能否利用两角差的正切公式？ 2 π 提示：不能．因为 tan 不存在．可切化弦： 2
1 3 ＝2＋1－2sin x＋
3 3 － 3＋ cos x 2 2
＝0.
tan 12° ＋tan 33° (2)∵ 1－tan 12° · tan 33° ＝tan(12° ＋33° ) ＝tan 45° ＝1， ∴tan 12° ＋tan 33° ＝1－tan 12° · tan 33° . ∴tan 12° ＋tan 33° ＋tan 12° · tan 33° ＝1－tan 12° tan 33° ＋tan 12° tan 33° ＝1.
高中数学 人教A版必修4 第3章 3.1.1两角差的余弦公式
cos(α－β)≠cos α－cos β；
π π π 3 再如：当 α＝3，β＝6时，cos(α－β)＝cos 6＝ 2 ， 本
课 时 栏 目 开 关
π π 1－ 3 而 cos α－cos β＝cos 3－cos 6＝ 2 ， cos(α－β)≠cos α－cos β.
研一研·问题探究、课堂更高效
本 课 时 栏 目 开 关
3.1.1
3．1.1
【学习要求】
两角差的余弦公式
1．了解两角差的余弦公式的推导过程．
本 2．理解用向量法导出公式的主要步骤． 课 时 3．熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进 栏 目 行求值、计算． 开 关 【学法指导】
1．学习两角差的余弦公式时，应从特例入手，归纳、提炼、拓展 到一般的两角差的余弦公式，从单位圆上的三角函数和向量两 种不同的途径探索、推导公式．
3.1.1
问题 2
请你计算下列式子的值， 并根据这些式子的共同特征，
写出一个猜想． ①cos 45° cos 45° ＋sin 45° sin 45° ＝1 ； 3 ②cos 60° cos 30° ＋sin 60° sin 30° ＝ 2 ； ③cos 30° cos 120° ＋sin 30° sin 120° ＝0 ； 1 ④cos 150° cos 210° ＋sin 150° sin 210° ＝2 . 猜想： cos αcos β＋sin αsin β＝ cos(α－β) ； 即： cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β .
3.1.1
2．要利用两角差的余弦公式来求具体的三角函数值，就要善于把 所求值的三角函数先转化为余弦函数，再把其角转化为两个特
本 课 殊角(30° ，45° ，60° ，„)的差，利用公式求其值． 时 栏 3．当给出 α、β 的某个三角函数值，在求 cos(α－β)值时，要善于 目 开 利用同角间的三角函数关系式求出 α、β 的正弦和余弦值，再 关
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件-高一下学期数学人教A版必修4
OA ⋅ OB=|OA||OB| cos<a,b>=cosα⋅cosβ+sinα⋅sinβ
即：cos(α−β)=cosα⋅cosβ+sinα⋅sinβ
LOGO
（2）cos(α+β)= cos(α-(-β))
=cosα⋅cos(-β)+sinα⋅sin(-β)
又因为cos(-β)=cosβ，sin(-β)=-sinβ
A B
3
3
1
,则
3
1
，则tanacot
3
-
3
4
β=
3. 1
4. 5
5.A
，则tana=
C
tan( a+β )=
D
3
4
LOGO
6.已知cosa=
3
- ，且0＜a＜π，则sina=
5
1
3
7.已知tan( a+β )= ,，tan β=-2，则tana的值为（）
1
7
A
B
1
7
C 7
A
B
1
4
C
3
4
7. C
D -7
求证：tan(A+B)=
1−tanA+tanB
证明：tan(A+B)
将B换成-B会得到什么？
tan（-a）=-tana
sin A+B
=
cos A+B
sin A cos B+cos A sin B
=
cos A cos B−sin AB
分子分母分别除以cosAcosB(cosA不等于0,cosB不等于0)得：
11.在三角形ABC中，已知cosA=
人教版高中数学必修4(A版) 两角差的余弦公式 PPT课件
33 3 5 4 12 65 5 13 5 13
练习：
课本P140 1, 2，3，4 题。
应用
3:公式的逆用
cosααcos cos( -β β )=cos +sinα sin cosβ=cos( +sinααsin -β β ) cos12° +sin27° sin12° 的值 例3： 求 cos27°
–cos30 ° cos( 0° -30° ) ≠ cos 0 ° –cos45° cos(270° -45° ) = cos270° 问题2:你认为cos(α -β)=cosα -cosβ成立吗? cos(60° -30° ) = cos60° cos30° +sin60° sin30° cos(90° -45° ) = cos90° cos45° +sin90° sin45°
人教社高中数学必修四
D
问题1：
①如何把实际问题转 化为数学问题？
C
A
B
引例 某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上，小 山高BC约为30米，在地平面上有一点A，测得A，C两点 间距离约为67米，从A观测电视发射塔的视角（∠CAD） 约为45°，求这座电视发射塔的高度？
D
X 67
45°
A C
在Rt△ABD中， x 30 tan(45°+α)≈ 60 思考：
求cosxcos(x+15° ) +sinx sin(x+15° )的值
6 4
2
这节课，我学到了什么？
知识：掌握了公式Cα-β并会正确应用
能力：通过对公式Cα-β获得过程的探究， 提高了数学的探究能力及分析问题 解决问题的能力 求简 数学 数形结合 思想 分类讨论 方程的思想
两角和与差的正弦、余弦、正切公式ppt
ห้องสมุดไป่ตู้
例题讲解
例7
sin(2a + b ) sin b （1）求证： - 2 cos(a + b ) = sin a sin a
(2)在△ABC中，求证： tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
小结作业
1.明确各公式的内在联系，掌握公式的
形成过程. C 2.公式 S ( a + b ) 与 S ( a - b ) ， ( a + b ) C 与 T ( a + b ) 与 T ( a - b ) 的结构相同，但运算 符号不同，必须准确记忆，防止混淆.
问题探究
怎样用任意角、的正弦、余弦值表示? cos( ) ? sin( ) ? sin( ) ? tan( ) ? tan( ) ?
公式变式
公式 S ( a + b ) ,C ( a + b ) ,T ( a + b ) 称为和角公式， 公式 S ( a - b ) , C a - b , T ( a - b ) 称为差角公式.
例题讲解
例5、 3 4 (1)sin sin , cos cos , 5 5 求 cos( ). (2)sin cos a, cos sin b 求 sin( )
例题讲解
3 12 例6、已知 ,cos( ) 2 4 13 3 sin( ) , 求 sin 2的值. 5
3.公式都是有灵性的，应用时不能生搬 硬套，要注意整体代换和适当变形.
小结作业
P137： （1）6、7、8、10、13、（1）-—（5）； （2）《学海导航》第二课时
高一数学必修4课件：3-1-1两角差的余弦公式
第三章
3.1 3.1.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
[解析]
(1)原式＝cos[(x＋27° )－(x－18° )]
2 ＝cos45° ＝ . 2 (2)原式＝sin(α－β)sin(β－γ)＋cos(α－β)cos(β－γ)＝cos(α－ β)· cos(β－γ)＋sin(α－β)· sin(β－γ) ＝cos[(α－β)－(β－γ)] ＝cos(α＋γ－2β).
π π 6＋ 2 π π π π π － ＝cos cos ＋sin · ＝ cos ＝cos 4 6 sin . 12 4 6 4 6 4
[正解]
第三章
3.1 3.1.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
随堂应用练习
第三章
3.1 3.1.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
思路方法技巧
第三章
3.1 3.1.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
命题方向
公式的直接应用
[例1]
计算(1)cos15° cos105° ＋sin15° sin105° ；
(2)cos(35° －α)cos(25° ＋α)＋sin(α－35° )sin(25° ＋α)． [分析] 逆用公式时，要查名称、查角、查运算符号是
成才之路· 数学
人教A版 ·必修4
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
第三章
三角恒等变换
第三章
三角恒等变换
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
第三章
3．1 两角和与差的正弦、 余弦和正切公式
高中数学必修4三角函数优质课件：两角和与差的正弦、余弦公式
s_i_n_α_c_o_s_β_－__co_s_α_s_in__β_____ S(α－β) __
第二页，编辑于星期日：二十三点 三十八分。
给角求值问题
[例 1]
cos (1)sin
2200°°【·c常os考1题0°＋型】3sin
10°tan
70°－2cos
40°＝________.
(2)求值：(tan 10°－
＝－2.
第六页，编辑于星期日：二十三点 三十八分。
[类题通法] 解决给角求值问题的策略
对非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整 体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则 整体变形，否则进行各局部的变形．一般途径有将非特殊 角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项 求值，化分子、分母形式进行约分式值；要善于逆用或变 用公式．
(2)原式 ＝cos(70°＋α)sin(10°＋α)－sin(70°＋α)cos(10°＋α)
＝sin[(10°＋α)－(70°＋α)] ＝sin(－60°)
＝－ 23.
第二十六页，编辑于星期日：二十三点 三十八 分。
(3)原式＝cos 21°cos 24°＋sin(180°－21°)sin(180°＋24°) ＝cos 21°cos 24°－sin 21°sin 24° ＝cos(21°＋24°)
20°cos 10°＋ sin 20°
3sin
10°－2cos
40°
＝2cos
20°cos
10°sin 30°＋sin sin 20°
10°cos
30°－2cos
40°
＝2cos 20°ssinin2300°°＋10°－2cos 40°
＝2cos
20°sin
第二页，编辑于星期日：二十三点 三十八分。
给角求值问题
[例 1]
cos (1)sin
2200°°【·c常os考1题0°＋型】3sin
10°tan
70°－2cos
40°＝________.
(2)求值：(tan 10°－
＝－2.
第六页，编辑于星期日：二十三点 三十八分。
[类题通法] 解决给角求值问题的策略
对非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整 体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则 整体变形，否则进行各局部的变形．一般途径有将非特殊 角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项 求值，化分子、分母形式进行约分式值；要善于逆用或变 用公式．
(2)原式 ＝cos(70°＋α)sin(10°＋α)－sin(70°＋α)cos(10°＋α)
＝sin[(10°＋α)－(70°＋α)] ＝sin(－60°)
＝－ 23.
第二十六页，编辑于星期日：二十三点 三十八 分。
(3)原式＝cos 21°cos 24°＋sin(180°－21°)sin(180°＋24°) ＝cos 21°cos 24°－sin 21°sin 24° ＝cos(21°＋24°)
20°cos 10°＋ sin 20°
3sin
10°－2cos
40°
＝2cos
20°cos
10°sin 30°＋sin sin 20°
10°cos
30°－2cos
40°
＝2cos 20°ssinin2300°°＋10°－2cos 40°
＝2cos
20°sin
数学：3.1.2《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》课件(新人教A版必修4)
两角和与差的正弦、 3.1.2 两角和与差的正弦、 余弦、正切公式 余弦、
ks5u精品课件
问题提出
cos(α − β ) = cosαcosβ + sinαsinβ
1.两角差的余弦公式是什么？ 1.两角差的余弦公式是什么？它有哪些 两角差的余弦公式是什么 基本变式？ 基本变式？
cosα = cos[(α + β ) − β ] = cos(α + β )cosβ + sin( α + β )sinβ
ks5u精品课件
思考5 正切函数与正弦、 思考5：正切函数与正弦、余弦函数之间 C 存在商数关系， 出发， 存在商数关系，从 S(a ± b ) 、 (a ± b ) 出发， tan(α＋β)、tan(α－β)分别与tanα、 分别与tanα tan(α＋β)、tan(α－β)分别与tanα、 tanβ有什么关系 tanβ有什么关系
ks5u精品课件
理论迁移
3 是第四象限角， 例1 已知 sinα = − ，α是第四象限角， 5 π p π 的值. 求 cos( +α) ， sin( −α) ， tan(a - ) 的值.
4
4
4
ks5u精品课件
求下列各式的值： 例2 求下列各式的值： cos75° （1）cos75°； )sin20°cos50° sin70°cos40° （2 )sin20°cos50°-sin70°cos40°；
1.两角差的余弦公式 1.两角差的余弦公式 Cα −β 是两角和与 差的三角系列公式的基础， 在联系，就自然掌握了公式的形 成过程. 成过程.
C 2.公式 S(a + b ) 与 S(a- b ) ， (a + b ) Cα −β 2.公式 与 T(a + b ) 与 T(a - b )的结构相同，但运算 的结构相同， 符号不同，必须准确记忆，防止混淆. 符号不同，必须准确记忆，防止混淆.
ks5u精品课件
问题提出
cos(α − β ) = cosαcosβ + sinαsinβ
1.两角差的余弦公式是什么？ 1.两角差的余弦公式是什么？它有哪些 两角差的余弦公式是什么 基本变式？ 基本变式？
cosα = cos[(α + β ) − β ] = cos(α + β )cosβ + sin( α + β )sinβ
ks5u精品课件
思考5 正切函数与正弦、 思考5：正切函数与正弦、余弦函数之间 C 存在商数关系， 出发， 存在商数关系，从 S(a ± b ) 、 (a ± b ) 出发， tan(α＋β)、tan(α－β)分别与tanα、 分别与tanα tan(α＋β)、tan(α－β)分别与tanα、 tanβ有什么关系 tanβ有什么关系
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理论迁移
3 是第四象限角， 例1 已知 sinα = − ，α是第四象限角， 5 π p π 的值. 求 cos( +α) ， sin( −α) ， tan(a - ) 的值.
4
4
4
ks5u精品课件
求下列各式的值： 例2 求下列各式的值： cos75° （1）cos75°； )sin20°cos50° sin70°cos40° （2 )sin20°cos50°-sin70°cos40°；
1.两角差的余弦公式 1.两角差的余弦公式 Cα −β 是两角和与 差的三角系列公式的基础， 在联系，就自然掌握了公式的形 成过程. 成过程.
C 2.公式 S(a + b ) 与 S(a- b ) ， (a + b ) Cα −β 2.公式 与 T(a + b ) 与 T(a - b )的结构相同，但运算 的结构相同， 符号不同，必须准确记忆，防止混淆. 符号不同，必须准确记忆，防止混淆.
高中数学人教A版必修4课件-3.1.1两角差的余弦公式1
15
6 2 4
OA cosα,sinα OB cosβ,sinβ
OA OB OA OB cos( )
cos( )
A
∵ OA OB
-1
cos cos sin sin
y 1
α -β
B
α
β
o
1x
-1
∴ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
对于任意角 α,β
结 论 cos(α-β) cosαcosβ+ sinαsinβ
3.1.1 两角差的余弦公式
两个向量的数量积
温 a b a b cosθ 其中θ∈[0，π ]
故
知 新
a x1, y1 b x2, y2
a b x1x2 y1y2
复习回顾：
向量的数量积以及两个向量夹角的余弦值公式. 练习：已知向量 a (cos45o ,sin 45o )，b (cos30o ,sin 30o )， 求 a,b夹角 的余弦 解： | a | cos2 45o sin2 45o 1
思考题：已知α，β都是锐角, cosα=
4 5
，
cosα+β 5 求cosβ的值 13
变角: β= α+β α
分析：cos三角函c数os中一定要 注意视
c察o5s角α=4度β之α 12c间o+的3sβ α关系si，n例α如βsinα
13=5 ( 13 -5 )+
16 65
课堂练习： P127 练习 3、4题
22
22
6 2 4
思考：你会求sin75 的值吗?
学 以 致 用
例1已知
cosα=
-
3 5
人教A版高中数学必修四课件3.1.1两角差的余弦公式1
2.公式的作用： 求任意角α,β差的余弦值.
自主学习：
1、两角差的余弦公式是什么？ 2、两角差的余弦公式有哪些结构特征？
(1)同名积 (2)符号反 简记作
CCSS，符号相反 公式记忆“”
温故知新： 已知OP为角的终边，在单位圆中用角的 三角函数来表示点P的坐标
Y P (x,y)
O X
P（cos ,） sin
请同学们思考、讨论以下问题： 合作交流： 1、点A，点B的坐标及向量OA、OB的坐标是什么？ y OA=（，） OB=（，） 2、向量OA、OB的数量积由坐标怎么表示？ 1
OA· OB A B (1)
=
=
3、向量OA、OB的夹角是什么？
-1
o
1
4、向量OA、OB的数量积由定义怎么表示？ -1
OA· OB= ︱︱︱︱ OA OB
=
(2)
例1.利用差角余弦公式求的值.
解法1:
解法2:
题后小结:1、把非特殊角拆分成特殊角的差. 2、公式的直接应用.
例题讲解
例 2、
想一想：去掉这个 条件如何做？
解：因为 由此得 又因为 是第三象限角，所以
所以
题后小结:1、注意角的范围，也就是符号问题.
2、公式的直接应用.
巩固练习：
练习.已知
解: ∵
求的值.
∴
小结
两角差的余弦公式
对于任意角α ,βαcosβ+sinαsinβ
注意：1.公式的结构特点：
(1)同名积 (2)符号反
2014年人教A版必修四课件 3.1 两角和与差的正弦,余弦和正切公式
问题1. 在三角函数中, 对于特殊角, 如30、45、 60等, 我们可以记得它们的正弦、余弦等函数值, 那 么对于如15、75等的角, 是否可用特殊角来计算其 三角函数值呢? 即 sin15=? sin75=? cos15=? cos75=?
∵sin15=sin(45-30),
= 2 3 + 21 2 2 2 2 6 + 2 = . 4
法二: cos15º = cos(60º -45º ) = cos60º cos45º +sin60º sin45º
= 1 2 + 3 2 2 2 2 2 2 + 6 = . 4
例2. 已知sina = 4 , a( p , p), cosb = - 5 , b 是 13 5 2 第三象限角, 求cos(a -b )的值. 解: 已知 sina = 4 , a (p , p ), 5 2 则cosa = - 1 - sin 2 a = - 3 , 5 5 cos b = , b是第三象限角, 又 13 则sinb = - 1 - cos2 b = - 12 , 13 ∴cos(a -b ) = cosa cosb +sina sinb = - 3 (- 5 ) + 4 (- 12 ) 5 13 5 13 = - 33 . 65
3. 已知sinq = 15 , q是第二象限角, 求cos(q - p )的值. 3 17 解: sinq = 15 , q是第二象限角, 17 cosq = - 8 , 17 则 cos(q - p ) = cosq cos p + sinq sin p 3 3 3 = (- 8 ) 1 + 15 3 17 2 17 2 = 15 3 - 8 . 34
两角和与差的正弦、余弦和正切公式(4)课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
sin 2 2sin cos
cos 2 cos2 sin2
tan 2 2 tan 1 tan2
化 简 得可
探究新知 1.二倍角的正弦、余弦、正切公式：
sin 2 2sin cos
cos 2 cos2 sin2
tan 2 2 tan 1 tan2
cos 2 1 2sin2
④
sin(
)
cos(
).
4
4
① 1 sin
22
② tan 3 ③ cos
④ 1 cos
2
探究新知 LOGO
例2.求证：
1 sin 4 cos 4 1 sin 4 cos 4
2 tan
1 tan2 .
证 明: 原 式 等 价 于
1 sin4θ cos4θ
①右边 tan2θ(1 sin4θ cos4θ)
探究新知 LOGO
2.题型：②综合应用
例4 在三角形ABC中，cos A 4，tan B 2，求tan(2A 2B)的值. 5
【解析】在ABC中，由cosA 4，0 A π，得 5
sinA 1 cos2 A 3，所以tanA sinA 3，
5
cosA 4
又tan B 2，所以tan( A B) tanA tan B 11.
(2)1－tatnan2222.52°.5°；
(3)cos41π2－sin41π2.
解（1）原式＝12×2sin
π 12cos
1π2＝12×sin
π6＝14.
（2）原式＝12×1－2tatnan2222.25.°5°＝12×tan 45°＝12.
（3）原式＝cos21π2－sin21π2cos21π2＋sin21π2
2019-2020学年高中数学人教A版必修4课件：3.1.2.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
第十八页，编辑于星期日：点 十四分。
类型三 给值求角 例 3 已知 tan α＝17，sin β＝ 1100，且 α，β 为锐角，求 α＋2β 的值．
第十九页，编辑于星期日：点 十四分。
【解析】 ∵tan α＝17<1 且 α 为锐角，∴0<α<π4.
又∵sin
β＝
10 10 <
1500＝
22且
第一页，编辑于星期日：点 十四分。
两角和与差的正切公式
名称
公式
两角和 的正切
tan(α＋β)＝ tan α＋tan β 1－__ta_n__α_ta_n_ β
两角差 的正切
tan(α－β)＝ tan α－tan β
1＋__ta_n__α_ta_n_ β
简记符号 T(α＋β) T(α－β)
使用条件 α，β，α＋β≠ kπ＋π2(k∈Z) α，β，α－β≠ kπ＋π2(k∈Z)
第十三页，编辑于星期日：点 十四分。
类型二 给值求值
例 2 (1)已知 tan(α＋β)＝25，tanβ－π4＝14，那么 tanα＋π4等于 ()
A.1138 B.1232
33 C.22 D.18
(2)
已
知
sin sin
α＋cos α－cos
α α
＝
3
，
ta
tan(β － 2α) ＝
方法归纳 给值求值问题的两种变换
(1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的 三角函数公式，通过变形，建立与待求式间的联系实现求值．
(2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角和待求 角间的关系，如用 α＝β－(β－α)、2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待 求的三角函数与已知角的三角函数巧妙地建立等量关系，从而求 值．
类型三 给值求角 例 3 已知 tan α＝17，sin β＝ 1100，且 α，β 为锐角，求 α＋2β 的值．
第十九页，编辑于星期日：点 十四分。
【解析】 ∵tan α＝17<1 且 α 为锐角，∴0<α<π4.
又∵sin
β＝
10 10 <
1500＝
22且
第一页，编辑于星期日：点 十四分。
两角和与差的正切公式
名称
公式
两角和 的正切
tan(α＋β)＝ tan α＋tan β 1－__ta_n__α_ta_n_ β
两角差 的正切
tan(α－β)＝ tan α－tan β
1＋__ta_n__α_ta_n_ β
简记符号 T(α＋β) T(α－β)
使用条件 α，β，α＋β≠ kπ＋π2(k∈Z) α，β，α－β≠ kπ＋π2(k∈Z)
第十三页，编辑于星期日：点 十四分。
类型二 给值求值
例 2 (1)已知 tan(α＋β)＝25，tanβ－π4＝14，那么 tanα＋π4等于 ()
A.1138 B.1232
33 C.22 D.18
(2)
已
知
sin sin
α＋cos α－cos
α α
＝
3
，
ta
tan(β － 2α) ＝
方法归纳 给值求值问题的两种变换
(1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的 三角函数公式，通过变形，建立与待求式间的联系实现求值．
(2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角和待求 角间的关系，如用 α＝β－(β－α)、2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待 求的三角函数与已知角的三角函数巧妙地建立等量关系，从而求 值．
人教A版高一数学两角差的余弦公式 教学课件
3.两点间距离公式
P1 P2
x2 x1
2
y2 y1
2
y
. ( , )
2
0
.
P1(1, 1)
x2 x1
2
2
y2 y1
. Q ( , )
2
1
预备知识
探索新知
典例分析
【 探 究 】如果已知任意角， 的正弦、余弦，
能由此推出-的余弦吗？
P (cos (α-β),sin (α-β)).
α-β
A(1,0)
1
【问题3】已知角α-β的终边
.
x
与单位圆的交点为P，请写出点
P的坐标
连接AP，A1P1，容易发现AP＝A1P1.
预备知识
探索新知
典例分析
课堂小结
y
P1(cos α,sin α).
1
利用AP＝A1P1可得到什么？
A1(cos β,sin β).
预备知识
探索新知
典例分析
课堂小结
[cos( − ) − 1]2 + sin( − )2 =(cos − cos )2 +(sin − sin )2
左边= cos( − )2 −2cos( − ) + 1 + sin( − )2
= 2 − 2 cos( − )
右边= cos 2 − 2 cos cos + cos 2 + sin 2 − 2 sin sin + sin 2
公式
典例分析
课堂小结
cos − = coscos + sinsin
简记符号
使用条件
新课程人教A版必修四高中数学两角差的余弦公式课件
课堂小结
通过本节课的学习你有哪些收获？ 1、探索并证明了两角差的余弦公, 经历了， 猜想— 探究—证明 ,利用向量法得出了：
在证明公式的过程中，我们利用了向量这一简洁 有效的工具，在后面的学习中我们会继续感受它的便 利.
2、所涉及的数学思想与方法:猜想、化归与转化、 数形结合、分类讨论.
作业布置
•
7.阅历之所以会对读书所得产生深浅 有别的 影响， 原因在 于阅读 并非是 对作品 的简单 再现， 而是一 个积极 主动的 再创造 过程， 人生的 经历与 生活的 经验都 会参与 进来。
•
8.少年时阅历不够丰富，洞察力、理 解力有 所欠缺 ，所以 在读书 时往往 容易只 看其中 一点或 几点， 对书中 蕴含的 丰富意 义难以 全面把 握。
O
1x
-1
二、合作探究
在平面直角坐标系xoy内作单位圆o，以ox为始边作 、
角
，它们终边与单位圆o的交点分别为A、B，则
OA (cos ,sin ),OB (cos ,sin ) y 1
cos( ) OA OB
A
B
OA OB
(cos ,sin ) (cos ,sin ) -1
新人教A版 数学必修4 第三章 三角恒等变换
复习引入
三角函数 sin 30 sin 45 sin 60
1
三角函数值
2
2
3
2
2
三角函数 cos30 cos 45 cos 60
三角函数值 3 2
2
1
2
2
成果应用
如何计算 co s 1 5 0
分析：150450300
探究：C O S 1 5 0 是 否 等 于 C O S 4 5 0 C O S 3 0 0 进而引出课题
人教版高中数学必修四两角差的余弦公式PPT课件
人教版高中数学必修四3.1.1-两角差 的余弦 公式（ 共23张P PT）
3.在差角的余弦公式中，， 既可以是单角，也 可以是复角，运用时要注意角的变换，
如 （ ） ， （ ） 等.
33
同时，公式的应用具有灵活性，解题时要注意 正向、逆向和变式形式的选择.
人教版高中数学必修四3.1.1-两角差 的余弦 公式（ 共23张P PT）
解：cos110 cos 50 sin110 cos 40 cos110 cos 50 sin110 sin 50 cos(110 0 ) cos 60= 1 2
人教版高中数学必修四3.1.1-两角差 的余弦 公式（ 共23张P PT）
例2 已知sin 4 , ( , ), cos 5 ,
5
2
13
是第三象限角，求 cos( )的值.
解：由sin 4 , ( , ),
5
2
得cos=- 1 sin2 3 ; 5
人教版高中数学必修四3.1.1-两角差 的余弦 公式（ 共23张P PT）
人教版高中数学必修四3.1.1-两角差 的余弦 公式（ 共23张P PT）
你学会了吗?
※对自己说，你有什么收获？ ※对同学说，你有什么提示？ ※对老师说，你有什么疑惑？
人教版高中数学必修四3.1.1-两角差 的余弦 公式（ 共23张P PT）
人教版高中数学必修四3.1.1-两角差 的余弦 公式（ 共23张P PT）
A
sin
C
csoisn ==OAAP OAAPOOPPcsoisn
OOPP
P csoisn OCBP
OAAP
cos
OCBPOAAP cn csoins csoins
O
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2
32 7 1－－4 ＝ 4 ，
cos(A＋B)＝－ 1－sin2A＋B ＝ 22 5 1－3 ＝－ 3 .
∴cosA＝cos[(A＋B)－B]＝cos(A＋B)cosB＋sin(A＋B)sinB 5 3 2 7 2 7＋3 5 ＝(－ )×(－ )＋ × ＝ . 3 4 3 4 12
计算(1)cos15° cos105° ＋sin15° sin105° ； (2)cos(35° －α)cos(25° ＋α)＋sin(α－35° )sin(25° ＋α)． [分析] 逆用公式时，要查名称、查角、查运算符号是否
符合公式的要求，不符合的要先变形调整．
[解析]
(1)原式＝cos(15° －105° )
cos(30° －45° )等于( 2 A. 2 2＋ 3 C. 4
) 3 B. 2 2＋ 6 D. 4
[答案] D
[解析]
3 cos(30° －45° )＝cos30° cos45° ＋sin30° sin45° ＝ 2
2＋ 6 2 1 2 × ＋ × ＝ . 2 2 2 4
思路方法技巧
命题方向1 公式的直接应用
1 [答案] 2 3 2 2 2 2 2 3 2 1
3．A＝cos60° cos30° －sin60° sin30° ，B＝cos90° ，A与B的 关系如何？
[答案] A＝B
新课引入 大千世界的事物都是发展变化的，有的变化是发生了本 质的改变，也有更多的变化是形式改变了，但本质却没 变．数学中也存在着若干的等价变化，本节我们从cos(α－β) 的计算来研究三角的恒等变换． 两角和差的正余弦公式是三角恒等变换的基础，其中角 的和、差、倍、分之间的三角函数的变换蕴含着重要的转化 与化归的思想方法，学习时应认真品味，悉心领悟． 两角和差的三角公式与三角函数中的诱导公式有怎样的 联系呢？
3 2 4 2 9 2 sinβ) ＝( 5 ) ，(cosα＋cosβ) ＝( 5 ) ，即1＋2sinαsinβ＝ 25 ，1＋ 16 2cosαcosβ＝ 25 .两式两边分别相加，得2＋2(sinαsinβ＋cosαcosβ) 1 ＝1，即2＋2cos(α－β)＝1，∴cos(α－β)＝－ . 2
数学人教A版 ·必修4
第三章
3.1.1 两角差的余弦公式
温故知新 1．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a· b＝________.
[答案] x1x2＋y1y2
2．sin30° ＝________，cos30° ＝________，sin45° ＝ ________，cos45° ＝________，sin60° ＝________，cos60° ＝ ________.
③公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时 候，逆用更能简洁地处理问题．如由cos50° cos20° ＋ sin50° sin20° 能迅速地想到cos50° cos20° ＋sin50° sin20° ＝cos(50° －20° )＝cos30° ＝ 3 ；又如cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝ 2
探索延拓创新
命题方向2 角的变换
π 3π 12 已知 2 <β<α< 4 ，cos(α－β)＝ 13 ，sin(α＋β)＝－ 3 5，求cos2β. [分析] 从条件和待求的问题中发现角与角之间的关系：
2β＝(α＋β)－(α－β)．
[解析]
π 3π ∵2<β<α< 4 ，
π 3π ∴0<α－β<4，π<α＋β< 2 . ∴sin(α－β)＝ 1－cos2α－β ＝
[解析]
π ∵α、β∈(0，2)，∴α＋β∈(0，π)．
1 11 又∵cosα＝7，cos(α＋β)＝－14， 4 3 ∴sinα＝ 1－cos α＝ 7 ，
2
5 3 sin(α＋β)＝ 1－cos α＋β＝ 14 .
2
又∵β＝(α＋β)－α， ∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα 11 1 5 3 4 3 1 ＝(－ )× ＋ × ＝ . 14 7 14 7 2
规律总结：(1)利用差角的余弦公式求值时，不能机械 地从表面去套公式，而要变通地从本质上使用公式，即把所 求的角分解成某两个角的差，并且这两个角的正、余弦函数 值是已知的或可求的，再代入公式即可求解． (2)在将所求角分解成某两角的差时，应注意如下变换：α 1 ＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝ 2 [(α＋ 1 β)＋(α－β)]，α＝2[(β＋α)－(β－α)]等．
＝cos(－90° )＝0； (2)原式＝cos[(α－35° )－(25° ＋α)] 1 ＝cos(－60° )＝cos60° 2. ＝
3 4 已知sinα＋sinβ＝ ，cosα＋cosβ＝ ，求coa(α－β)的值． 5 5
[解析]
2
3 4 ∵sinα＋sinβ＝ ，cosα＋cosβ＝ ，∴(sinα＋ 5 5
[错因分析] 该解法忽略了隐含条件，没有注意角的范 π 围，导致求值错误．在解题中应挖掘出 <A＋B<π这个隐含条 2 件． [思路分析] 在应用公式时，要注意角的范围，特别在三 角形中，A＋B＋C＝π，A、B、C∈(0，π)．
[正解]
在△ABC中，
3 2 ∵cosB＝－ <0，sin(A＋B)＝ ， 4 3 π π ∴2<B<π，2<A＋B<π， ∴sinB＝ 1－cos B＝
12 5 2 ＝ ， 1－ 13 13
cos(α＋β)＝－ 1－sin2α＋β ＝－
3 4 － 2＝－ ， 1－ 5 5
cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)] ＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) 4 12 3 5 63 ＝－5×13＋－5×13＝－65.
名师辨误作答
忽略隐含条件导致错误 2 3 在△ABC中，sin(A＋B)＝3，cosB＝－4，求cosA的 值．
[错解]
由题意，得
2
sinB＝ 1－cos B＝
2
32 7 1－－4 ＝ 4 ， 22 5 1－－ ＝ ， 3 3
cos(A＋B)＝ 1－sin A＋B＝
∴cosA＝cos[(A＋B)－B]＝cos(A＋B)cosB＋sin(A＋B)sinB 5 3 2 7 2 7－3 5 ＝ 3 ×(－4)＋3× 4 ＝ . 12
自主预习 阅读教材P124－127回答下列问题． 两角差的余弦公式 (1)cos(α－β)＝ cosαcosβ＋sinαsinβ (2)此公式简记作C(α－β)． .
[总结]对两角差的余弦公式的理解： ①公式中的α，β都是任意角． ②差角的余弦公式不能按分配律展开，即一般情况下， cos(α－β)≠cosα－cosβ.
π π (3)本例易出现不求α＋ 4 的范围，直接求cos α＋4 而出现
两个值的错误．
1 11 π 已知cosα＝ 7 ，cos(α＋β)＝－ 14 ，且α、β∈(0， 2 )，求 cosβ的值． [分析] 观察题意，不难得到β＝(α＋β)－α的关系式，然
后利用公式C(α－β)来变形求值．
பைடு நூலகம்
cos[(α＋β)－β]＝cosα. ④记忆：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接 符号与左边角的连接符号相反．
cos105° ＝________.
2－ 6 4
将105° 表示成150° －45° ，再用公式C(α－β)计算，
[答案]
[解析]
cos105° ＝cos(150° －45° )＝cos150° cos45° ＋sin150° sin45° ＝－ 2－ 6 3 2 1 2 2 × 2 ＋2× 2 ＝ 4 .
32 7 1－－4 ＝ 4 ，
cos(A＋B)＝－ 1－sin2A＋B ＝ 22 5 1－3 ＝－ 3 .
∴cosA＝cos[(A＋B)－B]＝cos(A＋B)cosB＋sin(A＋B)sinB 5 3 2 7 2 7＋3 5 ＝(－ )×(－ )＋ × ＝ . 3 4 3 4 12
计算(1)cos15° cos105° ＋sin15° sin105° ； (2)cos(35° －α)cos(25° ＋α)＋sin(α－35° )sin(25° ＋α)． [分析] 逆用公式时，要查名称、查角、查运算符号是否
符合公式的要求，不符合的要先变形调整．
[解析]
(1)原式＝cos(15° －105° )
cos(30° －45° )等于( 2 A. 2 2＋ 3 C. 4
) 3 B. 2 2＋ 6 D. 4
[答案] D
[解析]
3 cos(30° －45° )＝cos30° cos45° ＋sin30° sin45° ＝ 2
2＋ 6 2 1 2 × ＋ × ＝ . 2 2 2 4
思路方法技巧
命题方向1 公式的直接应用
1 [答案] 2 3 2 2 2 2 2 3 2 1
3．A＝cos60° cos30° －sin60° sin30° ，B＝cos90° ，A与B的 关系如何？
[答案] A＝B
新课引入 大千世界的事物都是发展变化的，有的变化是发生了本 质的改变，也有更多的变化是形式改变了，但本质却没 变．数学中也存在着若干的等价变化，本节我们从cos(α－β) 的计算来研究三角的恒等变换． 两角和差的正余弦公式是三角恒等变换的基础，其中角 的和、差、倍、分之间的三角函数的变换蕴含着重要的转化 与化归的思想方法，学习时应认真品味，悉心领悟． 两角和差的三角公式与三角函数中的诱导公式有怎样的 联系呢？
3 2 4 2 9 2 sinβ) ＝( 5 ) ，(cosα＋cosβ) ＝( 5 ) ，即1＋2sinαsinβ＝ 25 ，1＋ 16 2cosαcosβ＝ 25 .两式两边分别相加，得2＋2(sinαsinβ＋cosαcosβ) 1 ＝1，即2＋2cos(α－β)＝1，∴cos(α－β)＝－ . 2
数学人教A版 ·必修4
第三章
3.1.1 两角差的余弦公式
温故知新 1．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a· b＝________.
[答案] x1x2＋y1y2
2．sin30° ＝________，cos30° ＝________，sin45° ＝ ________，cos45° ＝________，sin60° ＝________，cos60° ＝ ________.
③公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时 候，逆用更能简洁地处理问题．如由cos50° cos20° ＋ sin50° sin20° 能迅速地想到cos50° cos20° ＋sin50° sin20° ＝cos(50° －20° )＝cos30° ＝ 3 ；又如cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝ 2
探索延拓创新
命题方向2 角的变换
π 3π 12 已知 2 <β<α< 4 ，cos(α－β)＝ 13 ，sin(α＋β)＝－ 3 5，求cos2β. [分析] 从条件和待求的问题中发现角与角之间的关系：
2β＝(α＋β)－(α－β)．
[解析]
π 3π ∵2<β<α< 4 ，
π 3π ∴0<α－β<4，π<α＋β< 2 . ∴sin(α－β)＝ 1－cos2α－β ＝
[解析]
π ∵α、β∈(0，2)，∴α＋β∈(0，π)．
1 11 又∵cosα＝7，cos(α＋β)＝－14， 4 3 ∴sinα＝ 1－cos α＝ 7 ，
2
5 3 sin(α＋β)＝ 1－cos α＋β＝ 14 .
2
又∵β＝(α＋β)－α， ∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα 11 1 5 3 4 3 1 ＝(－ )× ＋ × ＝ . 14 7 14 7 2
规律总结：(1)利用差角的余弦公式求值时，不能机械 地从表面去套公式，而要变通地从本质上使用公式，即把所 求的角分解成某两个角的差，并且这两个角的正、余弦函数 值是已知的或可求的，再代入公式即可求解． (2)在将所求角分解成某两角的差时，应注意如下变换：α 1 ＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝ 2 [(α＋ 1 β)＋(α－β)]，α＝2[(β＋α)－(β－α)]等．
＝cos(－90° )＝0； (2)原式＝cos[(α－35° )－(25° ＋α)] 1 ＝cos(－60° )＝cos60° 2. ＝
3 4 已知sinα＋sinβ＝ ，cosα＋cosβ＝ ，求coa(α－β)的值． 5 5
[解析]
2
3 4 ∵sinα＋sinβ＝ ，cosα＋cosβ＝ ，∴(sinα＋ 5 5
[错因分析] 该解法忽略了隐含条件，没有注意角的范 π 围，导致求值错误．在解题中应挖掘出 <A＋B<π这个隐含条 2 件． [思路分析] 在应用公式时，要注意角的范围，特别在三 角形中，A＋B＋C＝π，A、B、C∈(0，π)．
[正解]
在△ABC中，
3 2 ∵cosB＝－ <0，sin(A＋B)＝ ， 4 3 π π ∴2<B<π，2<A＋B<π， ∴sinB＝ 1－cos B＝
12 5 2 ＝ ， 1－ 13 13
cos(α＋β)＝－ 1－sin2α＋β ＝－
3 4 － 2＝－ ， 1－ 5 5
cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)] ＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) 4 12 3 5 63 ＝－5×13＋－5×13＝－65.
名师辨误作答
忽略隐含条件导致错误 2 3 在△ABC中，sin(A＋B)＝3，cosB＝－4，求cosA的 值．
[错解]
由题意，得
2
sinB＝ 1－cos B＝
2
32 7 1－－4 ＝ 4 ， 22 5 1－－ ＝ ， 3 3
cos(A＋B)＝ 1－sin A＋B＝
∴cosA＝cos[(A＋B)－B]＝cos(A＋B)cosB＋sin(A＋B)sinB 5 3 2 7 2 7－3 5 ＝ 3 ×(－4)＋3× 4 ＝ . 12
自主预习 阅读教材P124－127回答下列问题． 两角差的余弦公式 (1)cos(α－β)＝ cosαcosβ＋sinαsinβ (2)此公式简记作C(α－β)． .
[总结]对两角差的余弦公式的理解： ①公式中的α，β都是任意角． ②差角的余弦公式不能按分配律展开，即一般情况下， cos(α－β)≠cosα－cosβ.
π π (3)本例易出现不求α＋ 4 的范围，直接求cos α＋4 而出现
两个值的错误．
1 11 π 已知cosα＝ 7 ，cos(α＋β)＝－ 14 ，且α、β∈(0， 2 )，求 cosβ的值． [分析] 观察题意，不难得到β＝(α＋β)－α的关系式，然
后利用公式C(α－β)来变形求值．
பைடு நூலகம்
cos[(α＋β)－β]＝cosα. ④记忆：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接 符号与左边角的连接符号相反．
cos105° ＝________.
2－ 6 4
将105° 表示成150° －45° ，再用公式C(α－β)计算，
[答案]
[解析]
cos105° ＝cos(150° －45° )＝cos150° cos45° ＋sin150° sin45° ＝－ 2－ 6 3 2 1 2 2 × 2 ＋2× 2 ＝ 4 .