1.3.1充分条件与必要条件
课件3：1.3.1 推出与充分条件、必要条件
[思路探索] 解答本题首先判断是否有p⇒q和q⇒p，再根据定 义下结论，也可用等价命题判断． 解 (1)在△ABC中，显然有∠A>∠B⇔BC>AC，所以p是q的充 要条件． (2)因为：x＝2且y＝6⇒x＋y＝8，即綈q⇒綈p，但綈p 綈q，
所以p是q的充分不必要条件．
(3)取A＝120°，B＝30°，p q，又取A＝30°，B＝120°， q p，所以p是q的既不充分也不必要条件． (4)因为p：A＝{(1，2)}， q：B＝{(x，y)|x＝1或y＝2}， A B，所以p是q的充分不必要条件．
(1)判断p是q的什么条件，主要判断p⇒q及q⇒p两命题 的正确性，若p⇒q真，则p是q成立的充分条件，若q⇒p真，则 p是q成立的必要条件． (2)关于充要条件的判断问题，当不易判断p⇒q真假时，也可 从集合角度入手判断真假，所以结合集合关系理解，对解决与 逻辑有关的问题是大有益处的．
【变式 1】 指出下列各组命题中，p 是 q 的什么条件(在“充分 不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要 条件”中选一种作答)? (1)p：△ABC 中，b2>a2＋c2，q：△ABC 为钝角三角形； (2)p：△ABC 有两个角相等，q：△ABC 是正三角形； (3)若 a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0.
(3)传递性法 由于逻辑联结符号“⇒”“⇐”“⇔”具有传递性，因此可根 据几个条件的关系，经过若干次的传递，判断所给的两个条件 之间的相互关系．
题型一 充分条件、必要条件、充要条件的判断 【例1】 指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条 件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必 要条件”中选出一种作答)． (1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC； (2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6； (3)在△ABC中，p：sin A>sin B，q：tan A>tan B； (4)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.
高中数学人教B版选修1-1课件：1.3.1 推出与充分条件、必要条件 (2)
解：(1)四边形对角线互相平分 四边形是矩形；四边形是矩形 ⇒四边形对角线互相平分,故 p 是 q 的必要不充分条件. (2)x＝1 或 x＝2⇒x－1＝ x－1；x－1＝ x－1⇒x＝1 或 x＝2 , 故 p 是 q 的充要条件.
(3)在△ABC 中,∠A≠60° sinA≠ 23(如∠A＝120°时,sinA＝ 23)；在△ABC 中,sinA≠ 23⇒∠A≠60°,故 p 是 q 的必要不充分 条件. (4)m>0⇒方程 x2＋x－m＝0 的Δ ＝1＋4m>0,即方程有实根；方程 x2＋x－m＝0 有实根,即Δ ＝1＋4m≥0 m>0,故 p 是 q 的充分不 必要条件.
第一章 常用逻辑用语 1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式
1.3.1 推出与充分条件、必要条件
1.充分条件和必要条件 当命题“如果p,则q”经过推理证明判定是真命题时,我们就 说由p可以推出q,记作_p_⇒__q_,读作“p推出q”,又称p是q的 _充__分__条__件___,q是p的_必__要__条__件___.
m2>0.若p是q的充分不必要条件,求正实数m的取值范围.
【 思 路 点 拨 】 求命题p → 求命题q → 由题意列不等式组 → 求m的范围
解：解不等式 x2－8x－20>0, 得 p:A＝{x|x>10 或 x<－2}.(2 分) 解不等式 x2－2x＋1－m2>0, 得 q:B＝{x|x>1＋m 或 x<1－m,m>0}.(4 分) 依题意 p⇒q,但是 q 不能推出 p,说明 A B.…(6 分)
失误防范 证明p是q的充要条件应注意的地方: (1)首先应分清条件和结论,并不是在前面的就是条件.如若要证“p 是q的充要条件”,则p是条件,q是结论；若要证“p的充要条件是q”, 则q是条件,p是结论.这是易错点；
选修1.3.1充分条件与必要条件(文科)
选修1.3.1充分条件与必要条件（文科）教学目标：（1）正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念； （2）能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件； 教学重点与难点：理解充分条件和必要条件的概念. 教学过程：一、复习：1．前面讨论了“若p 则q ”形式的命题的真假判断，请同学们判断下列命题的真假，并说明条件和结论有什么关系？（1）若x ＝y ，则x 2＝y 2（2）若ab = 0，则a = 0（3）若x 2>1，则x >1（4）若x ＝1或x ＝2，则x 2－3x ＋2＝0（5）若两个三角形相似，则这两个三角形对应角相等 2．一般地，命题“若p 则q ”为真，记作“p ⇒q ”； “若p 则q ”为假，记作“p q ”，在下列空中填上“p ⇒q ”“ ”． 命题（1）中y x = 22y x =；22y x = y x =； 命题（2）中0=ab 0=a ；0=a 0=ab ； 命题（3）中12>x 1>x ；1>x 12>x ；命题（4）中1=x 或2=x 0232=+-x x ；0232=+-x x 1=x 或2=x ；命题（5）中两个三角形相似 这两个三角形对应角相等；两个三角形对应角相等 两个三角形相似．二、新概念：1．一般地，如果p ⇒q ，那么称p 是q 的 ；同时称q 是p 的 ；如果p ⇒q ，且q ⇒p ，那么称p 是q 的 ，记作q p ⇔； 如果p ⇒q ，且q p ，那么称p 是q 的 条件；如果p q ，且q ⇒p ，那么称p 是q 的 条件；如果p q ，且q p ，那么称p 是q 的 条件。
2、理解词语：充分条件、必要条件特征：充分条件：有它就行，没它未必不行（条件是充分的，也就是说条件是充足的，足够的，足以保证的）。
必要条件：没它不行，有它未必就行（必要就是必须，必不可少） 充要条件：有它就行，没它不行三、典型例题分析例1. 指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件， q 是p 的什么条件：（1）01:=-x p ，0)2)(1(:=--x x q（2）p ：三角形ABC 的三条边相等，q ：三角形ABC 的三个角相等 （3）p ：直线平行，q ：内错角相等 （4）p ：b a >， q ：22b a >例2 用“必要不充分”，“充分不必要”，“充要”，“既不充分也不必要”填写下表例3 请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空： （1）、p:{x|x>3} q:{x|x>5}p 是q 的是“05x <<”的 条件; （2）p: {x|x>0} q:{x|x ≥0}p 是q 的是“0x ≥”的 条件; （3）x A ∈且x B ∈ x A B ∈ 的________条件 （4）若3≠x 且2≠y ，则5≠+y x 的______条件 （5）若3≠x 或 2≠y ，则5≠+y x 的________条件例3、 已知 是 的充要条件， 是 的必要条件同时又是 的充分条件，试 与的关系变式练习1. 已知p ，q 都是r 的必要条件，S 是r 的充分条件，q 是S 的充分条件，那么，（1）S 是q 的 条件；（2）r 是q 的 条件；（3）p 是q 的 条件。
高一数学充分条件与必要条件笔记
高一数学充分条件与必要条件笔记充分条件与必要条件是数学中重要的概念，它们描述了命题成立的条件和结论之间的关系。
1. 充分条件：如果由条件A可以推出结论B，那么就说A是B的充分条件。
简单来说，就是有了A，就可以得到B。
2. 必要条件：如果由结论B可以推出条件A，那么就说A是B的必要条件。
简单来说，就是没有A，就没有B。
充分必要条件：如果由A可以推出B，由B也可以推出A，那么就说A是B的充分必要条件，简称充要条件。
既不充分也不必要条件：如果由A不能推出B，由B也不能推出A，那么就说A 是B的既不充分也不必要条件。
可以根据这些定义来判断某一条件是否为另一条件的充分条件、必要条件、既不充分也不必要条件。
同时，这些判断也可以基于逻辑推理关系来进行。
1. 充分条件：如果由条件A可以推出结论B，那么就说A是B的充分条件。
简单来说，就是有了A，就可以得到B。
比如，如果一个数能被2整除，那么这个数一定是偶数。
在这里，“能被2整除”就是“偶数”的充分条件。
2. 必要条件：如果由结论B可以推出条件A，那么就说A是B的必要条件。
简单来说，就是没有A，就没有B。
比如，如果一个数能被2整除，那么这个数一定是偶数。
在这里，“能被2整除”就是“偶数”的必要条件。
3. 充分必要条件：如果由A可以推出B，由B也可以推出A，那么就说A是B 的充分必要条件，简称充要条件。
比如，在三角形中，如果一个角是直角，那么这个三角形是直角三角形。
在这里，“是直角”就是“直角三角形”的充分必要条件。
4. 既不充分也不必要条件：如果由A不能推出B，由B也不能推出A，那么就说A是B的既不充分也不必要条件。
比如，在三角形中，“是等腰三角形”不能推出“有一个角是直角”，也不能推出“是直角三角形”，因此，“是等腰三角形”就是“是直角三角形”的既不充分也不必要条件。
这些判断可以根据逻辑推理关系来进行。
在判断某一条件是否为另一条件的充分条件、必要条件、既不充分也不必要条件时，可以通过逻辑推理的方法来验证。
学案2：1.3.1 推出与充分条件、必要条件
1.3.1推出与充分条件、必要条件学习目标1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．知识梳理知识点一充分条件与必要条件1．当命题“如果p，则q”经过推理证明判定为真命题时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的条件，q是p的条件．这几种形式的表达，讲的是同一个逻辑关系，只是说法不同而已．2．若p⇒q，但q⇏p，称p是q的条件，若q⇒p，但p⇏q，称p是q的条件．知识点二充要条件1．一般地，如果p⇒q，且q⇒p，就记作p⇔q，此时，我们说，p是q的条件，简称充要条件．p是q的充要条件，又常说成q当且仅当p，或p与q等价．2．从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件.若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不充分条件若A＝B，则p，q互为充要条件若A⊈B且B⊈A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件学习案例题型一充分、必要、充要条件的判断例1下列各题中，p是q的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件)(1)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝x－1；(2)p：m>0，q：x2＋x－m＝0有实根；(3)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．反思感悟充分条件、必要条件的两种常用的判断方法(1)定义法：①确定谁是条件，谁是结论；②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件；③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．(2)命题判断法：①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．跟踪训练1下列各题中，试分别指出p是q的什么条件．(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；(2)p：f(x)＝x，q：f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数；(3)p：A⊆B，q：A∩B＝A；(4)p：a>b，q：ac>bc.题型二充分条件、必要条件、充要条件的应用命题角度1由充分条件、必要条件求参数范围例2已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．反思感悟由条件关系求参数的取值(范围)的步骤(1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系．(2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式(组)求解．跟踪训练2(1)“不等式(a＋x)(1＋x)<0成立”的一个充分不必要条件是“－2<x<－1”，则实数a的取值范围是________．(2)已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|1<x<3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，则实数a的取值范围是________．命题角度2探求充要条件例3求关于x的一元二次不等式ax2＋1>ax对于一切实数x都成立的充要条件．反思感悟求一个问题的充要条件，就是利用等价转化的思想，使得转化前后的两个命题所对应的解集是两个相同的集合，这就要求我们转化的时候思维要缜密．跟踪训练3 直线x ＋y ＋m ＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝2相切的充要条件是m ＝________.充要条件的证明典例 求证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0. 证明 充分性(由ac <0推证方程有一正根和一负根)，∵ac <0，∴一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式Δ＝b 2－4ac >0，∴原方程一定有两不等实根，不妨设为x 1，x 2，则x 1x 2＝c a<0， ∴原方程的两根异号，即一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．必要性(由方程有一正根和一负根推证ac <0)，∵一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根，不妨设为x 1，x 2，∴由根与系数的关系得x 1x 2＝c a<0，即ac <0， 此时Δ＝b 2－4ac >0，满足原方程有两个不等实根．综上可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.[素养评析] (1)一般地，证明“p 成立的充要条件为q ”时，在证充分性时应以q 为“已知条件”，p 是该步中要证明的“结论”，即q ⇒p ；证明必要性时则是以p 为“已知条件”，q 为该步中要证明的“结论”，即p ⇒q .(2)通过论证数学命题，学会有逻辑地思考问题，探索和表述论证过程，能很好的提升学生的逻辑思维品质．达标检测1．“－2<x <1”是“x >1或x <－1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件2．设命题p ：x 2－3x ＋2<0，q ：x －1x －2≤0，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．“θ＝0”是“sin θ＝0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．记不等式x2＋x－6<0的解集为集合A，函数y＝lg(x－a)的定义域为集合B.若“x∈A”是“x ∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为________．5．“a＝0”是“直线l1：x－2ay－1＝0与l2：2x－2ay－1＝0平行”的________条件．参考答案知识点一充分条件与必要条件1．充分必要2．充分不必要必要不充分知识点二 充要条件1．充分且必要 学习案例题型一 充分、必要、充要条件的判断例1 解 (1)因为x ＝1或x ＝2⇒x －1＝x －1，x －1＝x －1⇒x ＝1或x ＝2，所以p 是q 的充要条件．(2)因为m >0⇒方程x 2＋x －m ＝0的判别式Δ＝1＋4m >0，即方程有实根，方程x 2＋x －m ＝0有实根，即Δ＝1＋4m ≥0⇏m >0，所以p 是q 的充分不必要条件．(3)p 是q 的既不充分也不必要条件．跟踪训练1 解 (1)∵两个三角形相似⇏两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，∴p 是q 的必要不充分条件．(2)∵f (x )＝x ⇒f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数，但f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数⇏f (x )＝x ，∴p 是q 的充分不必要条件．(3)∵p ⇒q ，且q ⇒p ，∴p 是q 的充要条件．(4)∵p ⇏q ，且q ⇏p ，∴p 是q 的既不充分也不必要条件．题型二 充分条件、必要条件、充要条件的应用命题角度1 由充分条件、必要条件求参数范围例2 解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．因为p 是q 的必要不充分条件，所以q 是p 的充分不必要条件，即{x |1－m ≤x ≤1＋m }{x |－2≤x ≤10}，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≥－2，1＋m <10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m >－2，1＋m ≤10，解得m ≤3. 又m >0，所以实数m 的取值范围为{m |0<m ≤3}．跟踪训练2 (1)【答案】 (2，＋∞)【解析】 不等式变形为(x ＋1)(x ＋a )<0，因为当－2<x <－1时不等式成立，所以不等式的解集是－a <x <－1.由题意有(－2，－1)(－a ，－1)，所以－2>－a ，即a >2.(2)【答案】 [－1,5]【解析】 因为“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，所以Q ⊆P ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －4≤1，a ＋4≥3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5，a ≥－1， 所以－1≤a ≤5.命题角度2 探求充要条件例3 解 由题意可知，关于x 的一元二次不等式ax 2＋1>ax 对于一切实数x 都成立， 等价于对于方程ax 2－ax ＋1＝0中，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0⇔0<a <4. 跟踪训练3 【答案】 －4或0【解析】 由题意知，直线与圆相切等价于圆心(1,1)到直线x ＋y ＋m ＝0的距离等于半径2， 即|2＋m |2＝2，得m ＝－4或0. 达标检测1．【答案】 C【解析】 ∵－2<x <1⇏x >1或x <－1，且x >1或x <－1⇏－2<x <1，∴“－2<x <1”是“x >1或x <－1”的既不充分也不必要条件．2．【答案】 A【解析】 命题p ：1<x <2；命题q ：1≤x <2，故p 是q 的充分不必要条件．3．【答案】 A【解析】 由于当“θ＝0”时，一定有“sin θ＝0”成立，反之不成立，所以“θ＝0”是“sin θ＝0”的充分不必要条件．4．【答案】 (－∞，－3]【解析】 由于A ＝{x |x 2＋x －6<0}＝{x |－3<x <2}，B ＝{x |y ＝lg(x －a )}＝{x |x >a }，而“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则有A ⊆B ，则有a ≤－3.5．【答案】 充要【解析】 (1)∵a ＝0，∴l 1：x －1＝0，l 2：2x －1＝0，∴l 1∥l 2，即a ＝0⇒l 1∥l 2.(2)若l 1∥l 2，当a ≠0时， l 1：y ＝12a x －12a ，l 2：y ＝1a x －12a. 令12a ＝1a，方程无解． 当a ＝0时，l 1：x －1＝0，l 2：2x －1＝0，显然l 1∥l 2.∴a ＝0是直线l 1与l 2平行的充要条件．。
1.3.1推出与充分条件,必要条件
提问：鱼非常需要水，没了水，鱼就 无法生存，但只有水，够吗？
2012-10-7
二、新课讲授
p 1、一般地：若p则q为真，记作： q 或 q p p 若p则q为假，记作： q
例 如
（1）如果两个三形全等，那么两三角形面 积相等。
两个三形全等
（2）“若 2 1 x
两三角形面积相等
2、判别步骤：
（２）判断p （3）根据定义下结论。
（1）找3、判别技巧： （1）简化命题。 （2）否定命题时举反例。 （3）利用等价的逆否命题来判断。
第五组题
探讨下列生活中的常用语本身是否存 在充要关系，如果有请找出。
（1）有志者事竟成 （2）不入虎穴，焉得虎子 （3）A single spark can start a prairie fire. 星星之火，可以燎原。 （4）名师出高徒
(3)
ABC中，P: A > B . q: BC > AC .
A > B BC > AC . 即：p
a
b
因为：
q
所以：p与q互为充要条件
（4）P:
a < b . q: q 且q
<1
因为: p
p
所以：p是q的既不充分也不必要的条件
q是p的既不充分也不必要的条件
例题：
利用定义解决问题,并寻找判断方法.
4、充要条件
一般地，如果已知 p q 且 q p 即： p q 那么我们就说：
p是q的充要条件， q是p的充要条件
例 如 (1) p : a , b , c 成 等 差 数 列 q : 2 b a c
(2) A B C 中 ： p : a b q : A B
1.3.1推出与充分条件、必要条件
(4) p : ( x 2)(x 3) 0, q : 2x 5x 3 0
2
4、从集合的角度看 设命题p, q对应的集合分别为 A, B
(1)若A B，则p是q的充分不必要条件 小充分
(2)若A B，则p是q的必要不充分条件 大必要 (3)若A B, 则p是q的充要条件
则称p是q的充分条件 q是p的必要条件
这四种形式的表达，讲 的是同一 个逻辑关系，只是说法 不同而已
判断下列命题的真假
(1)在ABC中，如果B C, 则AB AC (2)在ABC中，如果AB AC, 则B C
2、概念
一般地，如果p q, 且q p，则称 p是q的充分且必要条件 简称p是q的充要条件，记作 pq
p是q的充要条件，又常说成 q当且仅当p，或p与q等价
练习：判断下列命题是不是真命题
(1)a b是 | a || b | 的必要条件
(2)a b是a b 的充分条件
3 3
（3）x 2 0是x 4 0的充要条件
2
例1 ：在下列各题中，试判 定p是q的什么条件 (1) p : 两三角形全等， q : 两三角形面积相等
2
A.充分不必要条件 B必要不充分条件
C充分必要条件 D既不充分也不必要条件
练习
使不等式2 x 5 x 3 0成立的一个
2
充分不必要条件是
A x 0
C. x 1,3,5
B x 0
1 D x 或x 3 2
5、推出关系的传递性
(1)若p q, q r, 则p r
(2)若p q, q r，则p r
例3：
课件2：1.3.1 推出与充分条件与必要条件
典型例题
例1 ．指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是 p的什么条件：
（1） p : x y; q : x2 y2 （2）p：三角形的三条边相等； q：三角形的三个角相等．
解: (1) x=y是x2=y2的充分不必要条件. x2=y2是x=y的 必要不充分条件.
4.从集合角度理解充分必要条件：
p q ，相当于 P Q ，即
或
q p，相当于 P Q ，即
或
p q，相当于 P Q ，即
引例：
（1）“若x>0，则x2>0”是真命题，可以写成：
x>0 x2>0.
（2）“若x2=y2，则x=y”是假命题，可以写成：
x2=y2 x=y.
一般的：p q表示“若p则q”是真命题，否则
(2) p是q的充分条件且是必要条件. q是p充分条件且是必要条件.
2. 充分必要条件 如果p是q的充分条件， p又是q的必 要条件，则称 p是q的充分必要条件，
简称充要条件，记作 p q ．
3.判断充分、必要条件的基本步骤： （1）认清条件和结论；
（2）考察 p q 和 q p 的真假。
举例：说出下列各组命题中，p是q的什么条件？
(1)p: x=1 , q: x2 =1
解：因为： x=y x 2=y 2 , 且x 2=y 2 x=y
即： p q , 而q p
所以：p是q的充分不必要条件。
（2） p: (a-2)(a-3)=0, q: a=3
因为：p q , 而q p
所以：p是q的必要不充分条件。
（4）.若A是B的充要条件，B是C和D的必要条件，E是D的充分
1.3.1_推出与充分条件、必要条件
复习引入
1、命题：可以判断真假的语句，可写成：若p则q。 2、判断下列命题是真命题还是假命题： （1）若 x 1 ，则 x 2 1 ； 2 2 y1 （2）若 x x ，则 x2 x 1 y； （3）全等三角形的面积相等； （4）对角线互相垂直的四边形是菱形； 两三角形全等 两三角形面积相等 真 假 真 假
三角形的三条边相等 三角形的三个角相等 知p是q 的充分条件，q是p的必要条件． 知p是q 的充分条件，q是p的必要条件． 反过来，由 q p，即 三角形的三个角相等 三角形的三条边相等 知q是p 的充分条件，p是q的必要条件．
二、充分必要条件 如果
p是 q的充分条件，且 p是q 的必
（3）根据定义下结论。
p q ；若p则q为假，记作p q
1.3.1推出与充分条件 ﹑ 必要条件
新授课
一、充分条件与必要条件：一般地，如果 p q 那 么就说p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．
x 1 x2 1
x 1是x 2 1的充分条件 x 2 1是x 1的必要条件
两三角形全等 两三角形面积相等 两三角形全等是两三角形面积相等的充分条件．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既充分又必要条件 D．既不充分也不必要条件
课堂小结
1、定义：
(1)若p q，则p是q的充分条件。 (2)若q p,则p是q的必要条件。 (3)若p q,则p是q的充要条件。 2、判别步骤： （1）找出p、q； （２）判断p q与q p的真假。
两三角形面积相等是两三角形全等的必要条件．
典型例题
例1 ．指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是 p的什么条件：
推出充分条件、必要条件
q 且 q⇒p，则 p 是 q 的必要不充分条件； q 且 q¿
③若 p⇒q 且 q⇒p，则 p 是 q 的充要条件； ④若 p¿ 要条件． p，则 p 是 q 的既不充分也不必
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1．(2012· 山东高考)设a>0且a≠1，则“函数f(x)＝ax在R上 是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的 ( A．充分不必要条件 )
的取值范围时，可以先把p、q等价变形，并把充分条件、
必要条件、充要条件转化为集合间的包含关系，建立关于
参数的不等式(组)进行求解．
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3．已知p：x2－8x－20>0，q：x2－2x＋1－a2>0，若p是q
的充分不必要条件，求正实数a的取值范围．
解：不等式 x2－8x－20>0 的解集为 A＝{x|x>10 或 x<－2}； 不等式 x2－2x＋1－a2>0 的解集为 B＝{x|x>1＋a 或 x<1－a，a>0}． 依题意 p⇒q 但 q ¿ p，说明 A B.
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已知p：整数x是6的倍数； q：整数x是2和3的公倍数． 问题1：“若p，则q”是真命题吗？ 提示：是．
问题2：“若q，则p”是真命题吗？
提示：是． 问题3：p是q的什么条件？ 提示：是充分条件，也是必要条件． 返回
如果 p⇒q 且 q⇒p ，则称p是q的充分且必要条件，简称p
是q的充要条件，记作
(4)已知x，y∈R.p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)· (y
－2)＝0. 返回
[思路点拨] 下结论．
[精解详析]
首先判断是否有p⇒q和q⇒p，再根据定义
(1)在△ABC 中，
显然有∠A>∠B⇔BC>AC，所以 p 是 q 的充要条件． (2)因为：x＝2 且 y＝6⇒x＋y＝8， 但 x＋y＝8¿ x＝2 且 y＝6， 所以 p 是 q 的必要不充分条件． (3)取∠A＝120° ，∠B＝30° ¿ ，p 又取∠A＝30° ，∠B＝120° ¿ ，q q， p，
数学课件：1.3.1推出与充分条件、必要条件
题型一
题型二
题型三
题型四
反思判断p是q的充分条件、必要条件的方法与步骤: (1)分清条件p和结论q; (2)判断命题“若p,则q”和命题“若q,则p”的真假; (3)依据充分条件、必要条件的定义给出结论.
题型一
题型二
题型三
题型四
利用充分条件、必要条件求参数的范围
【例 2】 已知 p:{x|x2-5x+4<0},q:{x|1-m<x<1+m}, p 是 q 的
1.3.1 推 出与充分 条件、必
要条件
1.了解推出的意义. 2.理解充分条件和必要条件的意义. 3.掌握判断充分条件、必要条件的方法.
1.命题的条件和结论 “如果p,则(那么)q”形式的命题,其中p称为命题的条件,q称为命题 的结论. 【做一做1】 指出命题“若a=-b,则a2=b2”的条件和结论. 解:命题的条件是:a=-b,结论是:a2=b2. 2.推出符号“⇒”的含义 当命题“如果p,则q”经过推理证明断定是真命题时,就说由p可以 推出q,记作p⇒q,读作“p推出q”. 【做一做 2】 用符号“⇒”表示命题:若∠A=60°,则 sin A= 23. 分析:因为所给命题为真命题,所以可用推出符号表示.
知识拓展充分不必要条件、必要不充分条件和既不充分也不
必要条件. 若 p⇒q,且 q p,则称 p 是 q 的充分不必要条件; 若 p q,且 q⇒p,则称 p 是 q 的必要不充分条件; 若 p q,且 q p,则称 p 是 q 的既不充分也不必要条件.
1.对充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”的理解 剖析:(1)充分条件:说条件是充分的,也就是说条件是足以保证结 论成立的.例如,说“x>8”是“x>6”的一个充分条件,就是说“x>8”这个 条件,足以保证“x>6”成立. (2)必要条件:说条件是必要的,就是说该条件必须要有,必不可少. 从上例可以看出,如果x>6,那么x可能大于8,也可能不大于8;但如果 x不大于6,那么x不可能大于8.因此要使x>8必须要有x>6这个条件. 必要条件简单说就是:有它不一定,没它可不行.
推出与充分条件、必要条件
A
B
x
概念应用：
2.从集合的角度理解概念：
A x p x
B x q x
结论： 若A B, 则有p q;
A
B
若p q, 则有A B.
概念应用：
3.方法提炼：
判断p是q的什么条件的步骤：
S1
S2
找出p与q；
判断“如果p，则q”与“如果q，则p”命题的 真假；或用集合的方法来判断
q : x为整数； q : 四边形是菱形； q : a 0； q : 两个三角形对应边相等； q : x y.
概念形成：
充要条件的概念：
如果 p q ，且 q p 则称 p 是 q 的充分且必要条件 简称 p 是 q 的充要条件，记作 p q
概念深化：
1．概念： 推出、 充分条件、 必要条件、 充要条件
“m , n都是奇数”是“m +n是偶数”的充要条件； 3 “x 5”是“x 3”的充分条件. 4
概念应用：
2.从集合的角度理解概念：
A x p x
B x q x
A
B
x
概念应用：
2.从集合的角度理解概念：
A x p x
B x q x
人教B版高中数学选修2-1第一章1.3.1
推出与充分条件、必要条件
人教B版高中数学选修2-1第一章1.3.1
推出与充分条件、必要条件
新课引入：
充分
必要
知识回顾：
想一想：
判断下列命题的真假：
（1）如果小明是济南人，则小明是历城人；
（2）如果四边形的一组对边平行且相等，则这个四 边形是平行四边形； （3）如果 a , b, c 成等差数列，则 2b a c .
充分条件和必要条件的判断
充分条件和必要条件的判断一、必要和充分条件怎么判断充分条件：如果A能推出B，那么A就是B的充分条件。
其中A 为B的子集，即属于A的一定属于B，而属于B的不一定属于A，具体的说若存在元素属于B的不属于A，则A为B的真子集；若属于B 的也属于A，则A与B相等。
必要条件：必要条件是数学中的一种关系形式。
如果没有A，则必然没有B；如果有A而未必有B，则A就是B的必要条件，记作B→A，读作“B含于A”。
数学上简单来说就是如果由结果B能推导出条件A，我们就说A是B的必要条件。
二、充分条件和必要条件的关系1、充分条件：如果条件A是结论B的充分条件：A与其他条件是并连关系，即A、C、D….中任意一个存在都可以使得B成立（就像是个人英雄主义）。
2、必要条件：条件A是结论B的必要条件：A与其他条件是串联关系，即条件A必须存在，且条件C、D….也全部存在才可能导致B结论。
（团结的力量）。
3、充分必要条件，又称充要条件，是数学中的一种关系形式，即如果能从命题p推出命题q，而且也能从命题q推出命题p，则称p是q的充分必要条件，且q也是p的充分必要条件。
三、充分条件和必要条件哪个范围大一些充分条件大，充分条件：有A这个条件一定能推出B这个结果，但是有B这个结果不一定能推出A这个唯一条件。
必要条件：有B这个结果一定能推出A这个条件，但是A这个条件不能推出B 这个结果。
充要条件”包含了“充分条件”和“必要条件”，范围比两者都要更大，而“充分条件”和“必要条件”则包含了小部分条件不是完整的。
相互推理不同：“充分条件”不能推理出“必要条件”和“充要条件”；“必要条件”不能推理出“充分条件”和“充要条件”；“充要条件”可以推理出一定满足“充分条件”和“必要条件”。
高中数学人教版选修2-1配套课件：1.3.1推出与充分条件、必要条件
充分且必要条件，简称p是q的充要条件，记作p⇔q.
q p 显然，当 p 是 q 的充要条件时， ________ 也是 ________ 的 q 充要条件， p 是 q 的充要条件，又常说成 ________ 当且仅当 p 等价 ________ ，或p与q________.
第一章 1.3 1.3.1
第一章 1.3 1.3.1
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·选修2-1
1. 已知 p ： x ＝ 0 ， q ： x(x － 1) ＝ 0 ；则 p 是 q 的 ________ 条
件．
[答案] 充分不必要 2 ．已知在△ABC中， p： AB＝ AC， q：∠C ＝∠ B； p 是q 的________条件． [答案] 充要
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第一章
常用逻辑用语
第一章
常用逻辑用语
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第一章 1.3 充分条件、 必要条件与命题的四种形式
第一章
常用逻辑用语
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第一章 1.3 1.3.1
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3．充分条件、必要条件
p q 如果 p 可推出 q ，则称 ________ 是 ________ 的充分条件， q p ________ 是________ 的必要条件． 4．充要条件 q ⇒________ p ，则称p是q的 一般地，如果p⇒q，且________
第一章 1.3 1.3.1
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充分条件与必要条件
探究新知
判断下列命题是真命题还是假命题：
（1）若ab 0 ，则 a 0 ；
假 真
（2）相似三角形对应角相等；
p:两个角是相似三角形的对应角 q : 这两个角相等
一般地，“若p，则q”是真命题，我们就说由p可推出q，
记作 p q ， 并且说p是q的充分条件, q是p的必要条件。
若p q为真命题,p是q的充分条件
q的一个充分条件是p
q是p的必要条件
p的一个必要条件是q
补充新知
充要条件：A B 同时 B A 即：
A B
等同于“当且仅当”和“等价”的含 义。 既不充分也不必要： A≠>B ， A<≠B
运用新知
例2：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的 q是p的必要条件？
pq
（ ）若x y， 则x 2 y 2 ; 1 (3) 若a b 则ac bc. ,
（2）若两个三角形全等， 则这两个三角形的面积相等;
能力提升
1、判断下列哪个p是q的充分条件，哪个p是q的必 要条件?
运用新知
例1：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的 p是q 的充分条件？
（ ）若x 1， 则x 2 4 x 3 0 1 （2）若f ( x) x， 则 f ( x)为增函数
（3）若x为无理数,则x 2为无理数
如果“若p，则q”为假命题，那么由p推不出q，记作 p q。此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必 要条件。
（1）p:菱形 （2）p: x>4
q:正方形
q: x>1
由小推大
能力的一个 必要 条件是 充分 A、2 ( y 2) 0 x
2
（ A ） D
p:
B、 2) y 0 (x
2 2
C、 1) y 0 (x
2 2
D、x(y-2)(z+2)=0