2020版高考数学(文科)大一轮精准复习精练：§9.3椭圆及其性质含解析
2020版高考数学(理科)大一轮精准复习精练：9.3椭圆及其性质含解析
9.3 椭圆及其性质挖命题【考情探究】分析解读从近5年高考情况来看,椭圆的定义、标准方程、几何性质一直是高考命题的热点,其中离心率问题考查较频繁,对直线与椭圆的位置关系的考查,常与向量、圆、三角形等知识相结合,多以解答题的形式出现,解题时,要充分利用数形结合、转化与化归思想,注重数学思想在解题中的指导作用.破考点【考点集训】考点一椭圆的定义及标准方程1.(2018湖北十堰十三中质检,6)一个椭圆的中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,P(2,)是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆的方程为( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1答案A2.(2018山东烟台二模,15)已知F(2,0)为椭圆+=1(a>b>0)的右焦点,过F且垂直于x轴的弦长为6,若A(-2,),点M为椭圆上任一点,则|MF|+|MA|的最大值为.答案8+考点二椭圆的几何性质1.(2018山东青岛城阳期末,7)若椭圆+=1的焦距为4,则实数a的值为( )A.1B.21C.4D.1或9答案D2.(2018河北衡水金卷二模,7)我国自主研制的第一个月球探测器——“嫦娥一号”卫星在西昌卫星发射中心成功发射后,在地球轨道上经历3次调相轨道变轨,奔向月球,进入月球轨道,“嫦娥一号”轨道是以地心为一个焦点的椭圆,设地球半径为R,卫星近地点,远地点离地面的距离分别是,(如图所示),则“嫦娥一号”卫星轨道的离心率为( )A. B. C. D.答案A3.(2018河南南阳、信阳等六市联考,16)椭圆C:+=1的上、下顶点分别为A1,A2,点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线PA1斜率的取值范围是.答案考点三直线与椭圆的位置关系1.(2018安徽合肥模拟,8)已知椭圆C:+y2=1,若一组斜率为的平行直线被椭圆C所截线段的中点均在直线l上,则l的斜率为( )A.-2B.2C.-D.答案A2.(2018广东广州模拟,10)已知点M(-1,0)和N(1,0),若某直线上存在点P,使得|PM|+|PN|=4,则称该直线为“椭型直线”.现有下列直线:①x-2y+6=0;②x-y=0;③2x-y+1=0;④x+y-3=0.其中是“椭型直线”的是( )A.①③B.①②C.②③D.③④答案C炼技法【方法集训】方法求椭圆离心率或取值范围的方法1.(2018江西赣南五校联考,15)椭圆Γ:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y=(x+c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于.答案-12.(2017福建四地六校模拟,15)已知椭圆C:+=1(a>b>0)和圆O:x2+y2=b2,若C上存在点P,使得过点P引圆O的两条切线,切点分别为A,B,满足∠APB=60°,则椭圆C的离心率的取值范围是. 答案3.(2018河北衡水中学八模,15)已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0)、F2(c,0),若椭圆上存在点P使=,则该椭圆离心率的取值范围为.答案(-1,1)过专题【五年高考】A组统一命题·课标卷题组考点一椭圆的定义及标准方程(2014课标Ⅰ,20,12分)已知点A(0,-2),椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.(1)求E的方程;(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点.当△OPQ的面积最大时,求l的方程.解析(1)设F(c,0),由条件知,=,得c=.又=,所以a=2,b2=a2-c2=1.故E的方程为+y2=1.(2)当l⊥x轴时不合题意,故设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).将y=kx-2代入+y2=1得(1+4k2)x2-16kx+12=0.当Δ=16(4k2-3)>0,即k2>时,x1,2=-.从而|PQ|=|x1-x2|=-.又点O到直线PQ的距离d=,所以△OPQ的面积S△OPQ=d·|PQ|=-.设-=t,则t>0,S△OPQ==.因为t+≥4,当且仅当t=2,即k=±时等号成立,且满足Δ>0,所以,当△OPQ的面积最大时,l的方程为y=x-2或y=-x-2.思路分析(1)通过直线AF的斜率求得c的值,通过离心率求得a,进而求出b2,从而得到E的方程;(2)设出直线l的方程和点P、Q的坐标,联立直线l与椭圆方程,利用弦长公式求得|PQ|的长,根据点到直线的距离公式求得△OPQ边PQ上的高,从而表示出△OPQ的面积,利用换元法和基本不等式即可得到当面积取得最大值时k的值,从而得直线l的方程.解题关键对于第(2)问,正确选择参数,表示出△OPQ的面积,进而巧妙利用换元法分析最值是解题的关键.考点二椭圆的几何性质1.(2018课标Ⅱ,12,5分)已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为( )A. B. C. D.答案D2.(2017课标Ⅲ,10,5分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为( )A. B. C. D.答案A3.(2016课标Ⅲ,11,5分)已知O为坐标原点,F是椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为( )A. B. C. D.答案A考点三直线与椭圆的位置关系(2018课标Ⅰ,19,12分)设椭圆C:+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.解析(1)由已知得F(1,0),l的方程为x=1,由已知可得,点A的坐标为或.所以AM的方程为y=-x+或y=x-.(2)当l与x轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°,当l与x轴垂直时,直线OM为AB的垂直平分线,所以∠OMA=∠OMB.当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),则x1<,x2<,直线MA,MB的斜率之和为k MA+k MB=-+-,由y1=kx1-k,y2=kx2-k得k MA+k MB=---.将y=k(x-1)代入+y2=1得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,所以,x1+x2=,x1x2=-.则2kx1x2-3k(x1+x2)+4k=--=0,从而k MA+k MB=0,故MA,MB的倾斜角互补,所以∠OMA=∠OMB.综上,∠OMA=∠OMB.B组自主命题·省(区、市)卷题组考点一椭圆的定义及标准方程1.(2014安徽,14,5分)设F1,F2分别是椭圆E:x2+=1(0<b<1)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点.若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x轴,则椭圆E的方程为.答案x2+y2=12.(2015陕西,20,12分)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为c.(1)求椭圆E的离心率;(2)如图,AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2=的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.解析(1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0,则原点O到该直线的距离d==,由d=c,得a=2b=2-,可得离心率=.(2)解法一:由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.①依题意,圆心M(-2,1)是线段AB的中点,且|AB|=.易知,AB与x轴不垂直,设其方程为y=k(x+2)+1,代入①得(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=-.由x1+x2=-4,得-=-4,解得k=.从而x1x2=8-2b2.于是|AB|=|x1-x2|=-=-.由|AB|=,得-=,解得b2=3.故椭圆E的方程为+=1.解法二:由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.②依题意,点A,B关于圆心M(-2,1)对称,且|AB|=.设A(x1,y1),B(x2,y2),则+4=4b2,+4=4b2,两式相减并结合x1+x2=-4,y1+y2=2,得-4(x1-x2)+8(y1-y2)=0,易知AB与x轴不垂直,则x1≠x2,=.所以AB的斜率k AB=--因此直线AB的方程为y=(x+2)+1,代入②得x2+4x+8-2b2=0.所以x1+x2=-4,x1x2=8-2b2.于是|AB|=|x1-x2|=-=-.由|AB|=,得-=,解得b2=3.故椭圆E的方程为+=1.解题关键对于第(2)问,利用弦长及韦达定理或点差法构造关于参数的方程是解题的关键.考点二椭圆的几何性质1.(2018北京,14,5分)已知椭圆M:+=1(a>b>0),双曲线N:-=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为;双曲线N 的离心率为.答案-1;22.(2015重庆,21,12分)如图,椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆于P,Q 两点,且PQ⊥PF1.(1)若|PF1|=2+,|PF2|=2-,求椭圆的标准方程;(2)若|PF1|=|PQ|,求椭圆的离心率e.解析(1)由椭圆的定义,有2a=|PF1|+|PF2|=(2+)+(2-)=4,故a=2.设椭圆的半焦距为c,由已知PF1⊥PF2,得2c=|F1F2|===2,即c=,从而b=-=1.故所求椭圆的标准方程为+y2=1.(2)解法一:连接F1Q,如图,设点P(x0,y0)在椭圆上,且PF1⊥PF2,则+=1,+=c2,求得x0=±-,y0=±.由|PF1|=|PQ|>|PF2|得x0>0,从而|PF1|2=-+=2(a2-b2)+2a-=(a+-)2.由椭圆的定义,有|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a.从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|,有|QF1|=4a-2|PF1|.又由PF1⊥PF2,|PF1|=|PQ|,知|QF1|=|PF1|.因此(2+)|PF1|=4a,即(2+)(a+-)=4a,于是(2+)(1+-)=4,解得e==-.解法二:连接F1Q,由椭圆的定义,有|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a.从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|,有|QF1|=4a-2|PF1|.又由PF1⊥PQ,|PF1|=|PQ|,知|QF1|=|PF1|,因此,4a-2|PF1|=|PF1|,得|PF1|=2(2-)a,从而|PF2|=2a-|PF1|=2a-2(2-)a=2(-1)a.由PF1⊥PF2,知|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2,因此e===--==-.考点三直线与椭圆的位置关系(2018天津,19,14分)设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,点A 的坐标为(b,0),且|FB|·|AB|=6.(1)求椭圆的方程;(2)设直线l:y=kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q.若=sin∠AOQ(O 为原点),求k的值.解析(1)设椭圆的焦距为2c,由已知有=,又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由已知可得,|FB|=a,|AB|=b,由|FB|·|AB|=6,可得ab=6,从而a=3,b=2.所以,椭圆的方程为+=1.(2)设点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2).由已知有y1>y2>0,故|PQ|sin∠AOQ=y1-y2.又因为|AQ|=,而∠OAB=,故|AQ|=y2.由=sin∠AOQ,可得5y1=9y2.由方程组消去x,可得y1=.易知直线AB的方程为x+y-2=0,消去x,可得y2=.由方程组-由5y1=9y2,可得5(k+1)=3,两边平方,整理得56k2-50k+11=0,解得k=或k=.所以,k的值为或.解题关键利用平面几何知识将=sin∠AOQ转化为点P、Q坐标间的关系是解决第(2)问的关键.方法归纳求椭圆标准方程的基本方法(1)定义法:根据椭圆的定义,确定a2,b2的值,结合焦点位置写出椭圆方程;(2)待定系数法:这是求椭圆方程的常用方法,基本步骤为①根据已知条件判断焦点的位置;②根据焦点的位置设出所求椭圆的方程;③根据已知条件,建立关于a、b、c的方程组,注意c2=a2-b2的应用;④解方程组,求得a、b的值,从而得出椭圆的方程.C组教师专用题组考点一椭圆的定义及标准方程1.(2014辽宁,15,5分)已知椭圆C:+=1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|= .答案122.(2014课标Ⅱ,20,12分,0.185)设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直.直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率;(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.解析(1)根据c=-及题设知M,2b2=3ac.将b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得=或=-2(舍去).故C的离心率为.(2)由题意,得原点O为F1F2的中点,MF2∥y轴,所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点,故=4,即b2=4a.①由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.设N(x1,y1),由题意知y1<0,则--即代入C的方程,得+=1.②将①及c=-代入②得-+=1.解得a=7,故b2=4a=28,故a=7,b=2.考点二椭圆的几何性质1.(2017浙江,2,5分)椭圆+=1的离心率是( )A. B. C. D.答案B2.(2014江西,15,5分)过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C:+=1(a>b>0)相交于A,B两点,若M 是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于.答案3.(2013辽宁,15,5分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF=,则C的离心率e= .答案4.(2015安徽,20,13分)设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B 的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为.(1)求E的离心率e;(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为,求E的方程.解析(1)由题设条件知,点M的坐标为,又k OM=,从而=.进而得a=b,c=-=2b.故e==.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得,直线AB的方程为+=1,点N的坐标为-.设点N关于直线AB的对称点S的坐标为,则线段NS的中点T的坐标为-.又点-T在直线AB上,且k NS·k AB=-1,从而有-解得b=3.所以a=3,故椭圆E的方程为+=1.评析本题考查椭圆的方程、几何性质以及对称问题,利用方程思想解决点关于直线的对称问题,考查利用待定系数法求椭圆的方程,考查学生的运算求解能力和化归思想的应用.5.(2014天津,18,13分)设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B.已知|AB|=|F1F2|.(1)求椭圆的离心率;(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过原点O的直线l与该圆相切.求直线l的斜率.解析(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0).由|AB|=·|F1F2|,可得a2+b2=3c2,又b2=a2-c2,则=.所以椭圆的离心率e=.(2)由(1)知a 2=2c 2,b 2=c 2.故椭圆方程为+=1.设P(x 0,y 0).由F 1(-c,0),B(0,c),有 =(x 0+c,y 0), =(c,c). 由已知,有 · =0, 即(x 0+c)c+y 0c=0. 又c ≠0,故有 x 0+y 0+c=0.① 又因为点P 在椭圆上, 故+=1.②由①和②可得3+4cx 0=0.而点P 不是椭圆的顶点,故x 0=- c,代入①得y 0=, 即点P 的坐标为 -. 设圆的圆心为T(x 1,y 1),则x 1=-=-c,y 1== c,进而圆的半径r= - - =c.设直线l 的斜率为k,依题意,直线l 的方程为y=kx.由l 与圆相切,可得 =r,即- -=c,整理得k 2-8k+1=0,解得k=4± . 所以直线l 的斜率为4+ 或4- .评析 本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆的方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.6.(2014江苏,17,14分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,F 1、F 2分别是椭圆 +=1(a>b>0)的左、右焦点,顶点B 的坐标为(0,b),连接BF 2并延长交椭圆于点A,过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C,连接F 1C.(1)若点C 的坐标为,且BF 2= ,求椭圆的方程;(2)若F 1C ⊥AB,求椭圆离心率e 的值.解析 设椭圆的焦距为2c,则F 1(-c,0),F 2(c,0). (1)因为B(0,b),所以BF 2= =a. 又BF 2= ,故a= .因为点C在椭圆上,所以+=1,解得b 2=1.故所求椭圆的方程为+y2=1.(2)因为B(0,b),F2(c,0)在直线AB上,所以直线AB的方程为+=1.解方程组得-所以点A的坐标为-.又AC垂直于x轴,由椭圆的对称性,可得点C的坐标为-.因为直线F1C的斜率为----=-,直线AB的斜率为-,且F1C⊥AB,所以-·-=-1.又b2=a2-c2,整理得a2=5c2.故e2=.因此e=.评析本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知识,考查运算求解能力.考点三直线与椭圆的位置关系1.(2018江苏,18,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C过点,焦点F1(-,0),F2(,0),圆O的直径为F1F2.(1)求椭圆C及圆O的方程;(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标;②直线l与椭圆C交于A,B两点.若△OAB的面积为,求直线l的方程.解析解法一:(1)因为椭圆C的焦点为F1(-,0),F2(,0),所以可设椭圆C的方程为+=1(a>b>0).又点在椭圆C上,所以-解得因此,椭圆C的方程为+y2=1.因为圆O的直径为F1F2,所以其方程为x2+y2=3.(2)①设直线l与圆O相切于P(x0,y0)(x0>0,y0>0),则+=3.所以直线l的方程为y=-(x-x0)+y0,即y=-x+.由消去y,得(4+)x2-24x0x+36-4=0.(*)因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点,所以Δ=(-24x0)2-4(4+)(36-4)=48(-2)=0.因为x0,y0>0,所以x0=,y0=1.因此,点P的坐标为(,1).②因为三角形OAB的面积为,所以AB·OP=,从而AB=.设A(x1,y1),B(x2,y2),由(*)得x1,2=-,所以AB2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=·-.因为+=3,所以AB2=-=,即2-45+100=0.解得=(=20舍去),则=,因此P的坐标为.则直线l的方程为y=-x+3.解法二:(1)由题意知c=,所以圆O的方程为x2+y2=3,因为点在椭圆上,所以2a=--+-=4,所以a=2.因为a2=b2+c2,所以b=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)①由题意知直线l与圆O和椭圆C均相切,且切点在第一象限,所以直线l的斜率k存在且k<0,设直线l的方程为y=kx+m(k<0,m>0),将直线l的方程代入圆O的方程,得x2+(kx+m)2=3,整理得(k2+1)x2+2kmx+m2-3=0,因为直线l与圆O相切,所以Δ=(2km)2-4(k2+1)(m2-3)=0,整理得m2=3k2+3,将直线l的方程代入椭圆C的方程,得+(kx+m)2=1,整理得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,因为直线l与椭圆C相切,所以Δ=(8km)2-4(4k2+1)(4m2-4)=0,整理得m2=4k2+1,所以3k2+3=4k2+1,因为k<0,所以k=-,则m=3,将k=-,m=3代入(k2+1)x2+2kmx+m2-3=0,整理得x2-2x+2=0,解得x1=x2=,将x=代入x2+y2=3,解得y=1(y=-1舍去),所以点P的坐标为(,1).②设A(x1,kx1+m),B(x2,kx2+m),由①知m2=3k2+3,且k<0,m>0,因为直线l和椭圆C相交,所以结合②的过程知m2<4k2+1,解得k<-,将直线l的方程和椭圆C的方程联立可得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,解得x1,2=-,所以|x1-x2|=,因为AB=--=|x1-x2|=·,O到l的距离d==,所以S△OAB=···=·-··=,解得k2=5,因为k<0,所以k=-,则m=3,即直线l的方程为y=-x+3.解后反思(1)常用待定系数法求圆锥曲线方程.(2)①直线与圆相切,常见解题方法是设切点求切线方程,由于涉及直线与椭圆相切,因此也可设出直线方程求解.②因为△AOB的面积为,而△AOB的高为,所以解题关键是求AB的长,可利用弦长公式AB=--=·-=·|x1-x2|(x1、x2分别为A、B的横坐标)求解.2.(2017天津,19,14分)设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率为.已知A是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,F到抛物线的准线l的距离为.(1)求椭圆的方程和抛物线的方程;(2)设l上两点P,Q关于x轴对称,直线AP与椭圆相交于点B(B异于点A),直线BQ与x轴相交于点D.若△APD的面积为,求直线AP的方程.解析(1)设F的坐标为(-c,0).依题意,=,=a,a-c=,解得a=1,c=,p=2,于是b2=a2-c2=.所以,椭圆的方程为x2+=1,抛物线的方程为y2=4x.(2)设直线AP的方程为x=my+1(m≠0),与直线l的方程x=-1联立,可得点P--,故Q-.将x=my+1与x2+=1联立,消去x,整理得(3m2+4)y2+6my=0,解得y=0或y=-.由点B异于点A,可得点B--.由Q-,可得直线BQ的方程为--(x+1)---=0,令y=0,解得x=,故D.所以|AD|=1-=.又因为△APD的面积为,故××=,整理得3m2-2|m|+2=0,解得|m|=,所以m=±.所以,直线AP的方程为3x+y-3=0或3x-y-3=0.方法总结 1.利用待定系数法求圆锥曲线标准方程的三个步骤:(1)作判断:根据焦点位置设方程;(2)找等量关系;(3)解方程得结果.2.解决直线与圆锥曲线位置关系问题的基本策略:(1)巧设直线方程:当已知直线与x轴交点固定时,常设为x=my+b的形式,这样可避免对斜率是否存在的讨论;(2)注意整体代入思想的应用,利用根与系数的关系可以简化运算,提高运算的效率和正确率.3.(2016浙江,19,15分)如图,设椭圆+y2=1(a>1).(1)求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a,k表示);(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围.解析(1)设直线y=kx+1被椭圆截得的线段为AP,故x1=0,x2=-.因此|AP|=|x1-x2|=·.(2)假设圆与椭圆的公共点有4个,由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P,Q,满足|AP|=|AQ|.记直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,且k1,k2>0,k1≠k2.由(1)知,|AP|=,|AQ|=,故=,所以(-)[1+++a2(2-a2)]=0.由于k1≠k2,k1,k2>0得1+++a2(2-a2)=0,因此=1+a2(a2-2),①因为①式关于k1,k2的方程有解的充要条件是1+a2(a2-2)>1,所以a>.因此,任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1<a≤,由e==-得,所求离心率的取值范围为0<e≤.4.(2015福建,18,13分)已知椭圆E:+=1(a>b>0)过点(0,),且离心率e=.(1)求椭圆E的方程;(2)设直线l:x=my-1(m∈R)交椭圆E于A,B两点,判断点G-与以线段AB为直径的圆的位置关系,并说明理由.解析(1)由已知得解得所以椭圆E的方程为+=1.(2)解法一:设点A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为H(x0,y0).所以y1+y2=,y1y2=-,从而y0=.所以|GH|2=+=+=(m2+1)+my0+.=--=-=-=(1+m2)(-y1y2),故|GH|2-=my0+(1+m2)y1y2+=-+=>0,所以|GH|>.故点G-在以AB为直径的圆外.解法二:设点A(x1,y1),B(x2,y2),则=,=.由-得(m2+2)y2-2my-3=0,所以y1+y2=,y1y2=-,从而·=+y1y2=54+y1y2=(m2+1)y1y2+54m(y1+y2)+2516=-3(2+1)2+2+5222+2+2516=172+216(2+2)>0,所以cos<,>>0.又,不共线,所以∠AGB为锐角.故点G-在以AB为直径的圆外.评析本题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2019届四川第一次诊断,6)设椭圆+=1(m>0,n>0)的一个焦点与抛物线x2=8y的焦点相同,离心率为,则m-n=( )A.2-4B.4-3C.4-8D.8-4答案A2.(2019届云南师范大学附属中学12月月考,12)已知椭圆C:+=1的右焦点为F,过点F有两条互相垂直的直线l1,l2,l1与椭圆C相交于点A,B,l2与椭圆C相交于点C,D,则下列叙述不正确的是( )A.存在直线l1,l2使得|AB|+|CD|值为7B.存在直线l1,l2使得|AB|+|CD|值为C.四边形ABCD的面积存在最大值,且最大值为6D.四边形ABCD的面积存在最小值,且最小值为答案D3.(2018四川达州模拟,7)以圆x2+y2=4与x轴的交点为焦点,以抛物线y2=10x的焦点为一个顶点且中心在原点的椭圆的离心率是( )A. B. C. D.答案C4.(2018湖北重点中学4月联考,7)已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2,过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A,B两点,则△ABF1内切圆的半径为( )A. B.1 C. D.答案D5.(2018广东清远模拟,11)已知m、n、s、t∈R+,m+n=3,+=1,其中m、n是常数且m<n,若s+t的最小值是3+2,满足条件的点(m,n)是椭圆+=1的一条弦的中点,则此弦所在直线的方程为( )A.x-2y+3=0B.4x-2y-3=0C.x+y-3=0D.2x+y-4=0答案D6.(2018广西桂林、百色等三市联考,12)已知椭圆+=1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为点B,F 为其右焦点,若AF⊥BF,设∠ABF=α,且α∈,则该椭圆离心率e的取值范围为( )A.-B.C. D.答案A二、填空题(共5分)7.(2017湖南东部六校4月联考,15)设P,Q分别是圆x2+(y-1)2=3和椭圆+y2=1上的点,则P、Q两点间的最大距离是.答案三、解答题(共50分)8.(2019届安徽黄山八校联考,20)已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率e=,点P 是椭圆的上顶点的一个动点,△PF1F2面积的最大值是4.(1)求椭圆的方程;(2)若A,B,C,D是椭圆上不重合的四点,AC与BD相交于点F1,·=0,且||+||=,求此时直线AC的方程.解析(1)由题意知,当点P是椭圆的上顶点或下顶点时,△PF1F2面积取得最大值,此时,=·2c·b=4,又e==,结合a2=b2+c2,所以a=4,b=2,c=2.所以所求椭圆的方程为+=1.(2)由(1)知F1(-2,0),由·=0得AC⊥BD.①当直线AC与BD有一条直线的斜率不存在时,||+||=14,不符合题意;②设直线AC的斜率为k(k存在且不为0),则直线BD的斜率为-.直线AC的方程为y=k(x+2),联立消去y得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-48=0,设A(x1,y1),C(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=-,所以||=|x1-x2|=.同理可得||=,由||+||==,解得k2=1,故直线AC的方程为y=±(x+2).思路分析(1)根据离心率e=,△PF1F2面积的最大值是4,结合a2=b2+c2,即可求出a、b,从而得结果;(2)直线与曲线方程联立,根据根与系数关系,弦长公式将||+||用k表示,解方程即可得k的值.方法点拨求椭圆标准方程时一般利用待定系数法,根据条件确定关于a,b,c的方程组,解出a,b,即可得到椭圆的标准方程.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后利用根与系数的关系解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决.9.(2019届重庆期中,20)已知椭圆C1:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,并且F2为抛物线C2:y2=2px(p>0)的焦点,C2的准线被椭圆C1和圆x2+y2=a2截得的弦长分别为2和4.(1)求C1和C2的方程;(2)已知动直线l与抛物线C2相切(切点异于原点),且直线l与椭圆C1相交于M,N两点,若椭圆C1上存在点Q,使得+=λ(λ≠0),求实数λ的取值范围.解析(1)由题得⇒a=2,b=2,p=2c=4,故C1:+=1,C2:y2=8x.(2)由题意知直线l的斜率存在且不为0,设l:x=my+n(m≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x0,y0).联立⇒y2-8my-8n=0,因为l与C2相切,故Δ1=(-8m)2+4×8m=0⇒2m2+n=0.联立⇒(m2+2)y2+2mny+n2-8=0,所以y1+y2=-,y1y2=-,Δ2>0⇒n2<4m2+8,由Δ1=0知2m2=-n,所以n2<-2n+8⇒n∈(-4,2),又2m2=-n>0,因此n∈(-4,0),由+=λ⇒由根与系数的关系,得而点Q(x0,y0)在椭圆上,即+2=8,代入得+=8⇒λ2==,n∈(-4,0),令t=4-n,t∈(4,8),则λ2=2-.令f(t)=t+-8,易知f(t)在(4,8)上单调递增,所以λ2∈(0,4)⇒λ∈(-2,0)∪(0,2).10.(2018四川南充模拟,20)已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,左顶点为A,若|F1F2|=2,椭圆的离心率e=.(1)求椭圆的标准方程;(2)若P是椭圆上的任意一点,求·的取值范围.解析(1)∵|F1F2|=2,椭圆的离心率e=,∴c=1,a=2,∴b=,∴椭圆的标准方程为+=1.(2)设P(x,y),∵A(-2,0),F1(-1,0),∴·=(-1-x)(-2-x)+y2=x2+3x+5,由椭圆方程得-2≤x≤2,二次函数图象开口向上,对称轴为直线x=-6<-2,当x=-2时,·取到最小值0,当x=2时,·取到最大值12.∴·的取值范围是[0,12].11.(2018广东茂名模拟,20)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为2,设右焦点为F,过原点O的直线l与椭圆C交于A,B两点,线段AF的中点为M,线段BF的中点为N,且·=.(1)求弦AB的长;(2)当直线l的斜率k=,且直线l'∥l时,l'交椭圆于P,Q,若点A在第一象限,求证:直线AP,AQ与x 轴围成一个等腰三角形.解析(1)由题意可知2c=2,c=,F(,0),设A(x0,y0),B(-x0,-y0),则M,N--,由·=-=,则+=5,则|AB|=2=2.(2)证明:直线l的斜率k=,则l:y=x,y0=x0,由+=5,得A(2,1),将c=代入椭圆方程解得a=2,b=,∴椭圆的方程为+=1.由题意设l':y=x+m(m≠0),联立整理得x2+2mx+2m2-4=0,Δ=4m2-4(2m2-4)>0,即m∈(-2,0)∪(0,2).设直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,P(x1,y1),Q(x2,y2),则k1=--,k2=--.由x2+2mx+2m2-4=0,可得x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4,所以k1+k2=--+--=------=------=-----=------=0,即k1+k2=0.∴直线AP,AQ与x轴围成一个等腰三角形.。
【精品】2019-2020年度最新人教版最新高中数学高考总复习椭圆习题及详解及参考答案
教学资料参考范本【精品】2019-2020年度最新人教版最新高中数学高考总复习椭圆习题及详解及参考答案撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________一、选择题1．设0≤α<2π，若方程x2sin α－y2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是( )A.∪B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，3π4 C.D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，3π2[答案] C[解析] 化为＋＝1， ∴－>>0，故选C.2．(文)(2010·瑞安中学)已知双曲线C 的焦点、顶点分别恰好是椭圆＋＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．4x±3y＝0B ．3x±4y＝0C ．4x±5y＝0D ．5x±4y＝0[答案] A[解析] 由题意知双曲线C 的焦点(±5,0)，顶点(±3，0)，∴a ＝3，c ＝5，∴b＝＝4，∴渐近线方程为y ＝±x ，即4x ±3y ＝0.(理)(2010·广东中山)若椭圆＋＝1过抛物线y2＝8x 的焦点，且与双曲线x2－y2＝1，有相同的焦点，则该椭圆的方程是( )A.＋＝1B.＋y2＝1C.＋＝1D ．x2＋＝1[答案] A[解析] 抛物线y2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，∴a＝2，c ＝，∵c2＝a2－b2，∴b2＝2，∴椭圆的方程为＋＝1.3．分别过椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点F1、F2作两条互相垂直的直线l1、l2，它们的交点在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( )A ．(0,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22C.D.⎝⎛⎦⎥⎤0，22 [答案] B[解析] 依题意，结合图形可知以F1F2为直径的圆在椭圆的内部，∴c<b，从而c2<b2＝a2－c2，a2>2c2，即e2＝<，又∵e>0，∴0<e<，故选B.4．椭圆＋＝1的焦点为F1、F2，椭圆上的点P 满足∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是( )A. B. C.D.643[答案] A[解析] 由余弦定理：|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°＝|F1F2|2.又|PF1|＋|PF2|＝20，代入化简得|PF1|·|PF2|＝，。
2020高考山西数学_文_大一轮复习__第九章 平面解析几何第五节 椭圆
A. 6 B. 2 C. 3 D. 2 2
3
3
3
3
答案 D 不妨设椭圆C的方程为 ax22 + by22 =1(a>b>0),则2a=2b×3,即a=3b.
∴a2=9b2=9(a2-c2).
即 ac22 = 89 ,∴e= ac = 2 32 .故选D.
6.若方程 x2 + y2 =1表示椭圆,则k的取值范围是
一点,线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q,当点P在圆上运动时,
点Q的轨迹是 ( A ) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线
D.圆
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(2)已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆C1内部且和圆C1相
内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为 ( D )
取最大值,最大值为bc; (4)焦点三角形的周长为2(a+c).
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1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”) (1)平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆. (✕) (2)椭圆上一点P与两焦点F1,F2构成的△PF1F2的周长为2a+2c(其中a为 椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距). ( √ ) (3)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆. ( ✕ )
49 24
D. x2 + y2 =1
45 20
答案 C
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解析 由题意可得半焦距c=5,设右焦点为F',由|OP|=|OF|=|OF'|知,∠ PFF'=∠FPO,∠OF'P=∠OPF',∴∠PFF'+∠OF'P=∠FPO+∠OPF',∴∠ FPO+∠OPF'=90°,即PF⊥PF',在Rt△PFF'中,由勾股定理,得|PF'|= | FF ' |2 | PF |2 = 102 62 =8, 由椭圆的定义,得|PF|+|PF'|=2a=6+8=14,从而a=7,a2=49,
2020版高考数学一轮复习(四十四)椭圆文(含解析)
课时跟踪检测(四十四） 椭圆一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知椭圆的中心在原点，焦点F 1,F 2在x 轴上,P （2,3)是椭圆上一点，且PF 1，F 1F 2，PF 2成等差数列，则椭圆的方程为______________．解析：∵椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，∴设椭圆方程为错误!＋错误!＝1(a ＞b ＞0),∵P （2，3）是椭圆上一点,且PF 1，F 1F 2,PF 2成等差数列， ∴错误!且a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2错误!，b ＝错误!，∴椭圆的方程为错误!＋错误!＝1。
答案：x 28＋错误!＝1 2．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12,离心率为错误!,则该椭圆方程为________________．解析:设椭圆的方程为错误!＋错误!＝1(a ＞b ＞0)，因为2a ＝12，错误!＝12， 所以a ＝6，c ＝3,b 2＝27。
所以椭圆的方程为x236＋错误!＝1。
答案：错误!＋错误!＝13．椭圆错误!＋y2＝1的左、右两焦点分别为F1,F2，椭圆上一点P 满足∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________．解析：由题意，椭圆错误!＋y2＝1的左、右两焦点分别为F1，F2,则PF1＋PF2＝22，F1F2＝2。
由余弦定理，得F1F错误!＝PF错误!＋PF错误!－2PF1·PF2·cos 60°＝(PF1＋PF2）2－3PF1·PF2，解得PF1·PF2＝错误!.故△F1PF2的面积S＝错误!PF1·PF2·sin 60°＝错误!。
答案：错误!4．(2019·南京名校联考）若n是2和8的等比中项,则圆锥曲线x2＋错误!＝1的离心率是________．解析：由n2＝2×8，得n＝±4,当n＝4时，曲线为椭圆,其离心率为e＝错误!＝错误!；当n＝－4时,曲线为双曲线，其离心率为e＝错误!＝ 5.答案：错误!或错误!5．(2018·北京东城模拟）已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点F （－2，0)，且长轴长与短轴长的比是2∶错误!，则椭圆C 的方程是____________________．解析：设椭圆C 的方程为x 2a2＋错误!＝1（a ＞b ＞0）． 由题意知错误!解得a 2＝16，b 2＝12.所以椭圆C 的方程为错误!＋错误!＝1。
专题50 椭圆及其性质-2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)(解析版)
专题50椭圆及其性质最新考纲1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.基础知识融会贯通1．椭圆的概念平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若a>c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a<c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质【知识拓展】点P(x0，y0)和椭圆的位置关系(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔x20a2＋y20b2<1.(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1.(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔x20a2＋y20b2>1.重点难点突破【题型一】椭圆的定义及应用【典型例题】如图，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆【解答】解：由题意知，CD是线段MF的垂直平分线．∴|MP|＝|PF|，∴|PF|+|PO|＝|PM|+|PO|＝|MO|（定值），又显然|MO|＞|FO|，∴根据椭圆的定义可推断出点P轨迹是以F、O两点为焦点的椭圆．故选：A．【再练一题】已知F1（﹣3，0），F2（3，0），动点M满足|MF1|+|MF2|＝5，则点M的轨迹是（）A．双曲线B．椭圆C．线段D．不存在【解答】解：∵F1（﹣3，0），F2（3，0），∴|F1F2|＝6，又|MF1|+|MF2|＝5＜6，∴点M的轨迹不存在．故选：D．思维升华椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．【题型二】椭圆的标准方程命题点1利用定义法求椭圆的标准方程【典型例题】已知椭圆的焦点F1（﹣1，0），F2（1，0），P是椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|，|PF2|等差中项，则椭圆的方程是（）A． 1 B． 1C． 1 D． 1【解答】解：∵F1（﹣1，0）、F2（1，0），∴|F1F2|＝2，∵|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，∴2|F1F2|＝|PF1|+|PF2|，即|PF1|+|PF2|＝4，∴点P在以F1，F2为焦点的椭圆上，∵2a＝4，a＝2c＝1∴b2＝3，∴椭圆的方程是故选：C．【再练一题】已知某椭圆的焦点是F1（﹣4，0）、F2（4，0），过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|＝10，椭圆上不同的两点A（x1，y1）、C（x2，y2）满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列．（Ⅰ）求该椭圆的方程；（Ⅱ）求弦AC中点的横坐标．【解答】解：（1）由椭圆定义及条件，可得2a＝|F1B|+|F2B|＝10，得a＝5．又∵c＝4，∴b3．因此可得该椭圆方程为．（2）∵点B（4，y B）在椭圆上，∴将x＝4，代入椭圆方程求得y B，可得|F2B|＝|y B|．∵椭圆右准线方程为x，即x，离心率e．根据圆锥曲线统一定义，得|F2A|（x1），|F2C|（x2）．由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列，得2|F2B|＝|F2A|+|F2C| 即（x1）（x2）＝2，由此解得x1+x2＝8．设弦AC的中点为P（x0，y0），可得中点横坐标为则x0（x1+x2）＝4．命题点2利用待定系数法求椭圆方程【典型例题】椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程为（）A． 1B． 1C．1或 1D．1或 1【解答】解：∵椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，∴，解得a＝5，b2＝25﹣16＝9，∴当椭圆焦点在x轴时，椭圆方程为，当椭圆焦点在y轴时，椭圆方程为．故选：D．【再练一题】已知抛物线y2＝4x的焦点F与椭圆C：1（a＞b＞0）的一个焦点重合，且点F关于直线y＝x的对称点在椭圆上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点Q（0，）且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M点的坐标，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）由抛物线的焦点可得：抛物线y2＝4x的焦点F（1，0），点F关于直线y＝x的对称点为（0，1），故b＝1，c＝1，因此，∴椭圆方程为：．（2）假设存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点．当AB⊥x轴时，以AB为直径的圆的方程为：x2+y2＝1 ①当AB⊥y轴时，以AB为直径的圆的方程为：②联立①②得，，∴定点M（0，1）．证明：设直线l：，代入，有．设A（x1，y1），B（x2，y2），，．则，（x2，y2﹣1）；（1+k2）x1x2k0，在y轴上存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个定点．思维升华(1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法．(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a>|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．【题型三】椭圆的几何性质【典型例题】已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆上异于长轴端点的一点，△MF1F2的内心为I，直线MI交x轴于点E，若，则椭圆C的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：△MF1F2的内心为I，连接IF1和IF2，可得IF1为∠MF1F2的平分线，即有，，可得2，即有2，即有e，故选：B．【再练一题】已知AB是椭圆的长轴，若把线段AB五等份，过每个分点作AB的垂线，分别与椭圆的上半部分相交于C，D，E，G四点，设F是椭圆的左焦点，则|FC|+|FD|+|FE|+|FG|的值是（）A．15 B．16 C．18 D．20【解答】解：椭圆的a＝5，b，c＝2，e，左准线方程为x，由题意可得x C＝﹣3，x D＝﹣1，x E＝1，x G＝3，由椭圆的第二定义可得，可得|FC|＝5x C，同理可得|FD|＝5x D，|FE|＝5x E，|FG|＝5x G，可得|FC|+|FD|+|FE|+|FG|＝20（﹣3﹣1+1+3）＝20．故选：D．思维升华 (1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧 ①注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些范围问题时，经常用到x ，y 的范围，离心率的范围等不等关系． ②利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时，理清顶点、焦点、长轴、短轴等基本量的内在联系． (2)求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a ，b ，c 的等式或不等式，即可得离心率或离心率的范围．基础知识训练1．【山东省聊城市2019届高三三模】若方程2244x ky k +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为（ ） A ．4k > B ．4k =C ．4k <D ．04k <<【答案】D 【解析】由题得2214x y k +=，因为方程2244x ky k +=表示焦点在y 轴上的椭圆，所以04k <<. 故选：D2．【河南省郑州市2019届高三第三次质量检测】“02m <<”是“方程2212x y m m+=−表示椭圆”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】方程2212x ym m +=−表示椭圆，即020022m m m m m>⎧⎪−>⇒<<⎨⎪≠−⎩且1m ≠所以“02m <<”是“方程2212x y m m+=−表示椭圆”的必要不充分条件故选C3．【安徽省定远中学2019届高三全国高考猜题预测卷一】已知椭圆C ：2221(0)4x y a a +=>，1F ，2F 分别为椭圆C 的左、右焦点，P 为椭圆C上任一点，若12PF PF +=12F F =（ ） A ．4 B ．23C ．2D【答案】A 【解析】据题意，得a =24b =，所以有2c ==，所以124F F =，故选A.4．【广东省东莞市2019届高三第二学期高考冲刺试题（最后一卷)】已知椭圆C ：()222124x y a a +=>，直线:2l y x =−过C 的一个焦点，则C 的离心率为（ ）A ．12B ．13C．2D．3【答案】C 【解析】椭圆C ：()222124x y a a +=>，直线:2l y x =−过椭圆C 的一个焦点，可得2c =，则a ==，所以椭圆的离心率为：2c e a ===．故选：C ．5．【广东省深圳市深圳外国语学校2019届高三第二学期第一次热身考试】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为3，椭圆上一点P 到两焦点距离之和为12，则椭圆短轴长为（ ）. A ．8 B ．6C ．5D ．4【答案】A 【解析】椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率：3c e a ==椭圆上一点P 到两焦点距离之和为12，即：212a = 可得：6a =，c =4b ∴===则椭圆短轴长：28b = 本题正确选项：A6．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模)】已知圆锥曲线1C ：221(0)mx ny n m +=>>与2C ：221(0,0)px qy p q −=>>的公共焦点为1F ，2F ．点M 为1C ，2C 的一个公共点，且满足1290F MF ∠=︒，若圆锥曲线1C 的离心率为34，则2C 的离心率为（ ） A ．92B．2C ．32D ．54【答案】B 【解析】1C ：22111x y m n+=，2C ：22111x y p q −=．设1a =2a =1MF s =，2MF t =，由椭圆的定义可得12s t a +=，由双曲线的定义可得22s t a −=， 解得12s a a =+，12t a a =−，由1290F MF ∠=︒，运用勾股定理，可得2224s t c +=，即为222122a a c +=，由离心率的公式可得，2212112e e +=， ∵134e =，∴2292e =，则22e =． 故选：B ．7．【北京市昌平区2019届高三5月综合练习（二模)】嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里.已知月球的直径为3476公里，则该椭圆形轨道的离心率约为A ．125B ．340C ．18D ．35【答案】B 【解析】如下图，F 为月球的球心，月球半径为：12×3476＝1738，依题意，｜AF ｜＝100＋1738＝1838， ｜BF ｜＝400＋1738＝2138. 2a ＝1838＋2138， a ＝1988， a ＋c ＝2138， c ＝2138－1988＝150， 椭圆的离心率为：1503198840c e a ==≈， 选B .8．【2019年甘肃省兰州市高考数学一诊】已知点F 1，F 2是椭圆2222x y a b+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，P 为椭圆上的动点，动点Q 在射线F 1P 的延长线上，且|PQ |=|2PF |，若|PQ |的最小值为1，最大值为9，则椭圆的离心率为（ ） A ．35B ．13C ．45D ．19【答案】C 【解析】因为2||,||PQ PF PQ =的最小值为1，最大值为9，∴|PF 2|的最大值为a+c=9，最小值为a-c=1，∴a=5，c=4．∴椭圆的离心率为e=45c a =， 故选：C ．9．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评】已知椭圆C ：()222210,0x y a b a b+=>>的右焦点为F ，过点F 作圆222x y b +=的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12B ．2C ．3D ．3【答案】D 【解析】 如图，c =，则2b 2＝c 2， 即2（a 2﹣c 2）＝c 2，则2a 2＝3c 2，∴2223c a =，即e 3c a ==． 故选：D ．10．【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月)】在平面直角坐标系xOy 中，已知点, A F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点和右焦点，过坐标原点O 的直线交椭圆C 于,P Q 两点，线段AP的中点为M ，若, , Q F M 三点共线，则椭圆C 的离心率为( ) A ．13B ．23C ．83D ．32或83【答案】A 【解析】 如图设()()0000,,,P x y Q x y −−,又(,0),(,0)A a F c ，00,22x a y M +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭,,,Q F M 三点共线,MF QF k k =000022y y x a c x c −∴=++−,即00002y y c x x a c=++−, 002c x x a c ∴+=+−,3a c ∴=,13c e a ∴==,故选A. 11．【广东省揭阳市2019届高三高考二模】设F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点，A 是椭圆E 的左顶点，P 为直线32ax =上一点，APF ∆是底角为030的等腰三角形，则椭圆E 的离心率为 A ．34B ．23C ．12D ．13【答案】B 【解析】 如图，设直线32ax =与x 轴的交点为C ， 因为由椭圆性质可知，3,2aPF AF a c FC OC OF c ==+=−=−， 由题意可知031260,cos ,2acFC PFx PFx PF a c −∠=∴∠===+解得23c e a ==，故选B.12．【安徽省蚌埠市2019届高三年级第一次教学质量检查考试】已知1F ，2F 是椭圆22x y143+=的左右焦点，点M 的坐标为31,2⎛⎫− ⎪⎝⎭，则12F MF ∠的角平分线所在直线的斜率为( ) A ．2− B ．1−C．D．【答案】A 【解析】31,2A ⎛⎫− ⎪⎝⎭，1F ，2F 是椭圆22143x y+=的左右焦点，()11,0F −， 1AF x ∴⊥轴， 132AF ∴=，252AF =，∴点()21,0F 关于12F AF ∠的角平分线l 对称的点F 在线段1AF 的延长线上，又252AF AF ==，11FF ∴=， ()1,1F ∴−−，线段2F F 的中点10,2⎛⎫− ⎪⎝⎭，12F AF ∠的角平分线l 的斜率13122210k ⎛⎫−− ⎪⎝⎭==−−−．故选A ． 13．【江苏省高三泰州中学、宜兴中学、梁丰2019届高三第二学期联合调研测试】椭圆T ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个顶点(,0)A a ，(0,)B b ，过A ，B 分别作AB 的垂线交椭圆T 于D ，C （不同于顶点），若3BC AD =，则椭圆T 的离心率为_____．【答案】3【解析】依题意可得1BC AD AB a k k k b==−=， 因为过A ，B 分别作AB 的垂线交椭圆T 于D ，C （不同于顶点）， 所以直线BC ：a y x b b =+，直线AD ：()ay x a b=−． 由()4423222222220ay x bba x ab x bb x a y a bì=+ï+=íï+=î，所以3232444422C B C a b a b x x x b a b a−−+=⇒=++. 由()4425624222222()20ay x a b a x a x a a b bb x a y a bì=-ï-+-=íï+=î，所以62444A D a a b x x a b −⋅=+，5444D a ab x b a−=+.因为()0C CB x =，()D AD a x ，由3BC AD =可得33D C x x a −=，所以223a b =，椭圆T的离心率3e ===，故答案为：3。
【2020年新高考数学一轮复习之考点题型深度剖析】椭圆——椭圆的概念及其性质(课后层级训练)
∴A→P ·B→P ＝(A→B＋B→P)·B→P＝|B→P|2＝9.]
x2 y2 12．(2019·山东临沂月考)过椭圆 ＋ ＝1 的中心任意作一条直线交椭圆于 P，Q 两点，F 是椭圆的一个
25 16
焦点，则△PQF 周长的最小值是( )
A．14
B．16
C．18
D．20
【答案】C [如图，设 F1 为椭圆的左焦点，右焦点为 F2，
根据椭圆的对称性可知|F1Q|＝|PF2|，|OP|＝|OQ|，所以△PQF1 的周长为|PF1|＋|F1Q|＋|PQ|＝|PF1|＋|PF2|
＋2|PO|＝2a＋2|PO|＝10＋2|PO|，易知 2|OP|的最小值为椭圆的短轴长，即点 P，Q 为椭圆的上下顶点时，
△PQF1 即△PQF 的周长取得最小值为 10＋2×4＝18.] x2 y2
a2 b2
11 射影恰好为右焦点 F2，若 <k< ，则椭圆的离心率的取值范围是______________.
32
12 ，
【答案】 2 3
a2－c2
[如图所示，|AF2|＝a＋c，|BF2|＝
，
a
a2－c2
∴k＝tan∠BAF2＝||BAFF22||＝
a a＋c
a－c ＝ ＝1－e．
a
11 1
1
12
(2)若 P 为短轴的一个端点，求△F1PF2 的面积． x2 y2
【答案】解 (1)设椭圆的标准方程为 ＋ ＝1(a>b>0)， a2 b2
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2a＝10，
依题意得
因此 a＝5，b＝4，
c＝3，
x2 y2 所以椭圆的标准方程为 ＋ ＝1．
2020年高考天津版高考理科数学 9.3 椭圆及其性质
例1 已知椭圆C: ax22 + by22 =1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为 33 ,
过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4 3 ,则C的方程为
()
A. x2 + y2 =1 32
C. x2 + y2 =1 12 8
解题导引
B. x2 +y2=1 3
D. x2 + y2 =1 12 4
mx2+ny2=1(m>0,n>0);
(3)找关系:根据已知条件建立关于a,b,c或m,n的方程组; (4)得方程:解方程组,将解代入所设方程,即为所求. 注意:用待定系数法求椭圆的方程时,要“先定型,再定量”,不能确定焦 点的位置时,可进行分类讨论或把椭圆的方程设为mx2+ny2=1(m>0,n>0). 2.利用定义及性质求椭圆的标准方程 (1)根据动点满足的几何意义写出标准方程; (2)建立关于a,b,c,e的方程或方程组,进而求出标准方程.
线AD的斜率k2= ( )
A. 1 B.- 1 C.- 1 D.-2
2
2
4
解析 设AB的中点为G,则由椭圆的对称性知,O为平行四边形ABCD的
对角线的交点,则GO∥AD.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有
x12 4 x22
4
y12 2 y22 2
1,
两式相减
例2 已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为 3 ,且椭圆 2
G上一点到两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为 ( )
A. x2 + y2 =1 36 9
C. x2 + y2 =1 49
2020版高考数学(北京)一轮总复习 9.3 椭圆及其性质
|AB|= (x1 x2 )2 4x1x2 · 1 k 2
= (
y1
y2
)2
4
y1
y2
·1
1 k2
,
2019/10/8
22
即|AB|= 1 k2 |x1-x2|=
1
1 k2
|y1-y2|.
3.设A(x1,y1),B(x2,y2)为椭圆 ax22 + by22 =1(a>b>0)上两点,弦AB的中点为P(x0,y
2
圆的离心率是
.
解题导引
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20
解析
由已知条件易得B
3 2
a,
b 2
,C
3 2
a,
b 2
,
F(c,0),所以 BF
=
c
3 2
a,
b 2
, CF
=
c
3 2
a,
b 2
,
由∠BFC=90°,可得 BF
1,
两式相减
1,
得 (x1 x2 )(x1 x2 ) =- ( y1 y2 )( y1 y2 ) ,整理得 x1 x2 =- y1 y2 =-k1=-1,即
4
2
2( y1 y2 ) x1 x2
y1
x1
y2 x2
=- 12 .又G x1
即bc=a· b ,
2
所以e= c = 1 .
a2
故选B.
2020版高考数学北京版大一轮精准复习精练：9.3椭圆及其性质含解析
9.3椭圆及其性质挖命题【考情探究】分析解读从高考试题来看,椭圆的定义、标准方程、几何性质以及直线与椭圆的位置关系一直是高考命题的重点和热点,离心率问题是每年高考考查的重点,多在选择题和填空题中出现,主要考查学生结合定义、几何性质等分析问题、解决问题的能力以及运算能力,分值为5 分,属于中档题目;在解答题中主要以直线与椭圆的位置关系为考查对象,考查面较广,往往会和平面向量、函数、导数、不等式等知识相结合,在考查对椭圆基本概念和性质理解及应用的同时,又考查直线与圆锥曲线的位置关系,考查数形结合思想和转化与化归思想的应用.破考点【考点集训】考点一椭圆的定义和标准方程1.“m>n>0”是“曲线mx2+ny2=1为焦点在x轴上的椭圆”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 D考点二椭圆的几何性质2.(2017浙江,2,4分)椭圆+=1的离心率是()A. B. C. D.答案 B3.(2018课标Ⅱ文,11,5分)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点.若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为()A.1-B.2-C.-D.-1答案 D考点三直线与椭圆的位置关系4.(2014辽宁,20,12分)圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图).(1)求点P的坐标;(2)焦点在x轴上的椭圆C过点P,且与直线l:y=x+交于A,B两点.若△PAB的面积为2,求C的标准方程.解析(1)设切点坐标为(x0,y0)(x0>0,y0>0),则切线斜率为-,切线方程为y-y0=-(x-x0),即x0x+y0y=4.此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S=··=,由+=4≥2x0y0知当且仅当x0=y0=时x0y0有最大值,即S有最小值,因此点P的坐标为(,).(2)设C的标准方程为+=1(a>b>0),点A(x1,y1),B(x2,y2).由点P在C上知+=1,并由得b2x2+4x+6-2b2=0,又x1,x2是方程的根,因此--由y1=x1+,y2=x2+,得|AB|=|x1-x2|=·-.由点P到直线l的距离为及S△PAB=×|AB|=2得b4-9b2+18=0,解得b2=6或3, 因此b2=6,a2=3(舍)或b2=3,a2=6,从而所求C的方程为+=1.炼技法【方法集训】方法1求椭圆标准方程的方法1.如图,已知椭圆C的中心为原点O,F(-2,0)为C的左焦点,P为C上一点,满足|OP|=|OF|且|PF|=4,则椭圆C的方程为()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1答案 C方法2椭圆的离心率(取值范围)的求法2.已知椭圆C1:+=1(a>b>0)和圆C2:x2+y2=b2,若在椭圆C1上存在点P,使得过点P的圆C2的两条切线互相垂直,则椭圆C1的离心率的取值范围是()A. B. C. D.答案 C3.(2013福建文,15,4分)椭圆Γ:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y=(x+c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于.答案-1方法3解决直线与椭圆位置关系问题的方法4.(2014安徽文,14,5分)设F1,F2分别是椭圆E:x2+=1(0<b<1)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点.若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x轴,则椭圆E的方程为.答案x2+y2=15.(2014江西,15,5分)过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C:+=1(a>b>0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于.答案过专题【五年高考】A组自主命题·北京卷题组1.(2018北京,14,5分)已知椭圆M:+=1(a>b>0),双曲线N:-=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为;双曲线N的离心率为. 答案-1;22.(2017北京,19,14分)已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E.求证:△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.解析本题考查椭圆的方程和性质,直线的方程等知识,考查运算求解能力.(1)设椭圆C的方程为+=1(a>b>0).由题意得解得c=.所以b2=a2-c2=1.所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)设M(m,n),则D(m,0),N(m,-n).由题设知m≠±2,且n≠0.直线AM的斜率k AM=,故直线DE的斜率k DE=-.所以直线DE的方程为y=-(x-m).直线BN的方程为y=(x-2).---联立--解得点E的纵坐标y E=--.-由点M在椭圆C上,得4-m2=4n2.所以y E=-n.又S△BDE=|BD|·|y E|=|BD|·|n|,S△BDN=|BD|·|n|,所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.易错警示在设直线方程时,若设方程为y=kx+m,则要考虑斜率不存在的情况;若设方程为x=ty+n,则要考虑斜率为0的情况.3.(2014北京文,19,14分)已知椭圆C:x2+2y2=4.(1)求椭圆C的离心率;(2)设O为原点.若点A在直线y=2上,点B在椭圆C上,且OA⊥OB,求线段AB长度的最小值. 解析(1)由题意,知椭圆C的标准方程为+=1.所以a2=4,b2=2,从而c2=a2-b2=2.因此a=2,c=.故椭圆C的离心率e==.(2)设点A,B的坐标分别为(t,2),(x0,y0),其中x0≠0.因为OA⊥OB,所以·=0,即tx0+2y0=0,解得t=-.又+2=4,所以|AB|2=(x0-t)2+(y0-2)2=+(y0-2)2=+++4=+-+-+4=++4(0<≤4).因为+≥4(0<≤4),且当=4时等号成立,所以|AB|2≥8.故线段AB长度的最小值为2.评析本题考查椭圆的标准方程、几何性质、点与椭圆的关系以及弦长问题的求解.考查方程思想、函数思想以及整体代换思想的应用,同时考查考生的运算求解能力.正确选择参数是解决本题的关键,再利用基本不等式求最值时应注意参数的取值范围.B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一椭圆的定义和标准方程1.(2015广东文,8,5分)已知椭圆+=1(m>0)的左焦点为F1(-4,0),则m=()A.2B.3C.4D.9答案 B2.(2015天津文,19,14分)已知椭圆+=1(a>b>0)的上顶点为B,左焦点为F,离心率为.(1)求直线BF的斜率;(2)设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B),过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q(Q异于点B),直线PQ与y轴交于点M,|PM|=λ|MQ|.(i)求λ的值;(ii)若|PM|sin∠BQP=,求椭圆的方程.解析(1)设F(-c,0).由已知离心率=及a2=b2+c2,可得a=c,b=2c.又因为B(0,b),F(-c,0),故直线BF的斜率k=-==2.--(2)设点P(x P,y P),Q(x Q,y Q),M(x M,y M).(i)由(1)可得椭圆的方程为+=1,直线BF的方程为y=2x+2c.将直线方程与椭圆方程联立,消去y,整理得3x2+5cx=0,解得x P=-.因为BQ⊥BP,所以直线BQ的方程为y=-x+2c,与椭圆方程联立,消去y,整理得21x2-40cx=0,解得x Q=.又因为λ=,及x M=0,可得λ=-==.-(ii)由(i)有=,所以==,即|PQ|=|PM|.又因为|PM|sin∠BQP=,所以|BP|=|PQ|sin∠BQP=|PM|sin∠BQP=.又因为y P=2x P+2c=-c,所以|BP|==c,因此c=,得c=1.所以,椭圆方程为+=1.评析本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两条直线垂直等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想和化归思想解决问题的能力.3.(2014四川文,20,13分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F(-2,0),离心率为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设O为坐标原点,T为直线x=-3上一点,过F作TF的垂线交椭圆于P,Q.当四边形OPTQ是平行四边形时,求四边形OPTQ的面积.解析(1)由已知可得,=,c=2,所以a=.又由a2=b2+c2,解得b=,所以椭圆C的标准方程是+=1.(2)设T点的坐标为(-3,m),则直线TF的斜率k TF=-=-m.---当m≠0时,直线PQ的斜率k PQ=,直线PQ的方程是x=my-2.当m=0时,直线PQ的方程是x=-2,也符合x=my-2的形式.设P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立,得-消去x,得(m2+3)y2-4my-2=0,其判别式Δ=16m2+8(m2+3)>0,所以y1+y2=,y1y2=-,x1+x2=m(y1+y2)-4=-.因为四边形OPTQ是平行四边形,所以=,即(x1,y1)=(-3-x2,m-y2).所以--解得m=±1.此时,S四边形OPTQ=2S△OPQ=2×·|OF|·|y1-y2|=2-·-=2.评析本题主要考查椭圆的标准方程、直线与方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力.考查数形结合、转化与化归、分类与整合等数学思想.考点二椭圆的几何性质1.(2018课标Ⅰ文,4,5分)已知椭圆C:+=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为()A. B. C. D.答案 C2.(2018课标Ⅱ,12,5分)已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为()A. B. C. D.答案 D3.(2017课标Ⅲ,10,5分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为()A. B. C. D.答案 A4.(2016课标Ⅲ,11,5分)已知O为坐标原点,F是椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为()A. B. C. D.答案 A考点三直线与椭圆的位置关系1.(2018天津,19,14分)设椭圆+=1(a>b>0)的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,|AB|=.(1)求椭圆的方程;(2)设直线l:y=kx(k<0)与椭圆交于P,Q两点,l与直线AB交于点M,且点P,M均在第四象限.若△BPM的面积是△BPQ 面积的2倍,求k的值.解析本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.(1)设椭圆的焦距为2c,由已知有=,又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由|AB|==,从而a=3,b=2.所以,椭圆的方程为+=1.(2)设点P的坐标为(x1,y1),点M的坐标为(x2,y2),由题意,x2>x1>0,点Q的坐标为(-x1,-y1).由△BPM的面积是△BPQ 面积的2倍,可得|PM|=2|PQ|,从而x2-x1=2[x1-(-x1)],即x2=5x1.易知直线AB的方程为2x+3y=6,由方程组消去y,可得x2=.由方程组消去y,可得x1=.由x2=5x1,可得=5(3k+2),两边平方,整理得18k2+25k+8=0,解得k=-或k=-.当k=-时,x2=-9<0,不合题意,舍去;当k=-时,x2=12,x1=,符合题意.所以,k的值为-.解题关键第(2)问中把两个三角形的面积的关系转化为点P、M的横坐标间的关系,进而得到关于k的方程是求解的难点和关键.2.(2015安徽,20,13分)设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为.(1)求E的离心率e;(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点.证明:MN⊥AB.解析(1)由题设条件知,点M的坐标为,又k OM=,从而=.进而a=b,c=-=2b.故e==.(2)证明:由N是AC的中点知,点N的坐标为-,可得=.又=(-a,b),从而有·=-a2+b2=(5b2-a2).由(1)的计算结果可知a2=5b2,所以·=0,故MN⊥AB.评析本题考查椭圆的简单几何性质及利用向量法证明线线垂直,较难.3.(2014课标Ⅱ,20,12分)设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直.直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率;(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.解析(1)根据c=-及题设知M,2b2=3ac.将b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得=或=-2(舍去).故C的离心率为.(2)由题意,知原点O为F1F2的中点,MF2∥y轴,所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点,故=4,即b2=4a,①由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.设N(x1,y1),由题意知y1<0,则---即--代入C的方程,得+=1.②将①及c=-代入②得-+=1.解得a=7,b2=4a=28.故a=7,b=2.评析本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质,考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.C组教师专用题组考点一椭圆的定义和标准方程1.(2014辽宁,15,5分)已知椭圆C:+=1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=.答案122.(2014江西,14,5分)设椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右焦点为F1,F2,过F2作x轴的垂线与C相交于A,B两点,F1B 与y轴相交于点D,若AD⊥F1B,则椭圆C的离心率等于.答案3.(2016天津,19,14分)设椭圆+=1(a>)的右焦点为F,右顶点为A.已知+=,其中O为原点,e为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BF⊥HF,且∠MOA=∠MAO,求直线l的斜率.解析(1)设F(c,0),由+=,即+=-,可得a2-c2=3c2,又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4.所以,椭圆的方程为+=1.(2)设直线l的斜率为k(k≠0),则直线l的方程为y=k(x-2).设B(x B,y B),由方程组-消去y,整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.解得x=2,或x=-,由题意得x B=-,从而y B=-.由(1)知,F(1,0),设H(0,y H),有=(-1,y H),=-.由BF⊥HF,得·=0,所以-+=0,解得y H=-.因此直线MH的方程为y=-x+-.设M(x M,y M),由方程组---消去y,解得x M=.在△MAO中,∠MOA=∠MAO⇔|MA|=|MO|,即(x M-2)2+=+,化简得x M=1,即=1,解得k=-,或k=.所以,直线l的斜率为-或.4.(2013课标Ⅰ,21,12分)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程;(2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.解析由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1;圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3.设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4.由椭圆的定义可知,曲线C是以M、N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左顶点除外),其方程为+=1(x≠-2).(2)对于曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2,所以R≤2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.所以当圆P的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4.若l的倾斜角为90°,则l与y轴重合,可得|AB|=2.若l的倾斜角不为90°,由r1≠R知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q,则=,可求得Q(-4,0),所以可设l:y=k(x+4).由l与圆M相切得=1,解得k=±.当k=时,将y=x+代入+=1,并整理得7x2+8x-8=0,解得x1,2=-.所以|AB|=|x2-x1|=.当k=-时,由图形的对称性可知|AB|=.综上,|AB|=2或|AB|=.评析本题考查了求轨迹方程的方法、椭圆的定义和标准方程,考查了直线与圆、椭圆的位置关系及弦长计算等基础知识,考查了运算求解能力和推理论证能力,考查了数形结合思想和分类讨论思想.5.(2013陕西,20,13分)已知动点M(x,y)到直线l:x=4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.(1)求动点M的轨迹C的方程;(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A,B两点,若A是PB的中点,求直线m的斜率.解析(1)设M到直线l的距离为d,根据题意,d=2|MN|.由此得|4-x|=2-,化简得+=1,所以动点M的轨迹方程为+=1.(2)解法一:由题意,设直线m的方程为y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2).将y=kx+3代入+=1中,有(3+4k2)x2+24kx+24=0,其中,Δ=(24k)2-4×24(3+4k2)=96(2k2-3)>0,由根与系数的关系得x1+x2=-,①x1x2=.②又因A是PB的中点,故x2=2x1,③将③代入①,②得x1=-,=,可得-=,且k2>,解得k=-或k=,所以直线m的斜率为-或.解法二:由题意,设直线m的方程为y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2).∵A是PB的中点,∴x1=,①y1=.②又+=1,③+=1,④联立①,②,③,④解得或-即点B的坐标为(2,0)或(-2,0),所以直线m的斜率为-或.评析本题考查轨迹方程的求法,直线与椭圆的位置关系等基础知识,对运算能力要求较高,考查函数与方程思想、数形结合思想.考点二椭圆的几何性质1.(2017课标Ⅰ,12,5分)设A,B是椭圆C:+=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是()A.(0,1]∪[9,+∞)B.(0,]∪[9,+∞)C.(0,1]∪[4,+∞)D.(0,]∪[4,+∞)答案 A2.(2015课标Ⅰ,5,5分)已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=()A.3B.6C.9D.12答案 B3.(2015浙江,15,4分)椭圆+=1(a>b>0)的右焦点F(c,0)关于直线y=x的对称点Q在椭圆上,则椭圆的离心率是.答案4.(2017天津,20,14分)已知椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),右顶点为A,点E的坐标为(0,c),△EFA的面积为.(1)求椭圆的离心率;(2)设点Q在线段AE上,|FQ|=c,延长线段FQ与椭圆交于点P,点M,N在x轴上,PM∥QN,且直线PM与直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c.(i)求直线FP的斜率;(ii)求椭圆的方程.解析(1)设椭圆的离心率为e.由已知,可得(c+a)c=.又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0.又因为0<e<1,解得e=.所以,椭圆的离心率为.(2)(i)依题意,设直线FP的方程为x=my-c(m>0),则直线FP的斜率为.由(1)知a=2c,可得直线AE的方程为+=1,即x+2y-2c=0,与直线FP的方程联立,可解得x=-,y=,即点Q的坐标为-.由已知|FQ|=c,有-+=,整理得3m2-4m=0,所以m=,即直线FP的斜率为.(ii)由a=2c,可得b=c,故椭圆方程可以表示为+=1.由(i)得直线FP的方程为3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立得-消去y,整理得7x2+6cx-13c2=0,解得x=-(舍去),或x=c.因此可得点P,进而可得|FP|==,所以|PQ|=|FP|-|FQ|=-=c. 由已知,线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离,故直线PM和QN都垂直于直线FP.因为QN⊥FP,所以|QN|=|FQ|·tan∠QFN=×=,所以△FQN的面积为|FQ||QN|=,同理△FPM的面积等于,由四边形PQNM的面积为3c,得-=3c,整理得c2=2c,又由c>0,得c=2.所以,椭圆的方程为+=1.方法点拨 1.求离心率常用的方法:(1)直接求a,c,利用定义求解;(2)构造a,c的齐次式,利用方程思想求出离心率e的值.2.求直线斜率的常用方法:(1)公式法:k=--(x1≠x2),其中两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2);(2)利用导数的几何意义求解;(3)直线的方向向量a=(m,n),则k=(m≠0);(4)点差法.3.解决四边形或三角形的面积问题时,注意弦长公式与整体代换思想的应用.5.(2016四川,20,13分)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点P在椭圆E上.(1)求椭圆E的方程;(2)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B,线段AB的中点为M,直线OM与椭圆E交于C,D,证明:|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.解析(1)由已知得,a=2b.又椭圆+=1(a>b>0)过点P,故+=1,解得b2=1.所以椭圆E的方程是+y2=1.(2)证明:设直线l的方程为y=x+m(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),由方程组得x2+2mx+2m2-2=0,①方程①的判别式为Δ=4(2-m2),由Δ>0,即2-m2>0,解得-<m<.由①得x1+x2=-2m,x1x2=2m2-2.所以M点坐标为-,直线OM的方程为y=-x,由方程组得C-,D-.-所以|MC|·|MD|=(-m+)·(+m)=(2-m2).又|MA|·|MB|=|AB|2=[(x1-x2)2+(y1-y2)2]=[(x1+x2)2-4x1x2]=[4m2-4(2m2-2)]=(2-m2),所以|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.6.(2013重庆,21,12分)如图,椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,离心率e=,过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A,A'两点,|AA'|=4.(1)求该椭圆的标准方程;(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P,P',过P,P'作圆心为Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q外.求△PP'Q的面积S的最大值,并写出对应的圆Q的标准方程.解析(1)由题意知点A(-c,2)在椭圆上,则-+=1.从而e2+=1.由e=得b2=-=8,从而a2=-=16.故该椭圆的标准方程为+=1.(2)由椭圆的对称性,可设Q(x0,0).又设M(x,y)是椭圆上任意一点,则|QM|2=(x-x0)2+y2=x2-2x0x++8-=(x-2x0)2-+8(x∈[-4,4]).设P(x1,y1),由题意,知P是椭圆上到Q的距离最小的点,因此,上式当x=x1时取最小值,又因x1∈(-4,4),所以上式当x=2x0时取最小值,从而x1=2x0,且|QP|2=8-.由对称性知P'(x1,-y1),故|PP'|=|2y1|,所以S=|2y1||x1-x0|=×2-|x0|=-=--.当x0=±时,△PP'Q的面积S取到最大值2.此时对应的圆Q的圆心坐标为Q(±,0),半径|QP|=-=,因此,这样的圆有两个,其标准方程分别为(x+)2+y2=6,(x-)2+y2=6.评析本题考查了椭圆的标准方程及几何性质.在解与椭圆有关的最值问题时,建立目标函数,用方程消参转化为二次函数的最值问题,并注意x,y的范围是解题关键.考查了数形结合及运算求解能力.7.(2013天津,18,13分)设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,离心率为,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(1)求椭圆的方程;(2)设A、B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点.若·+·=8,求k 的值.解析(1)设F(-c,0),由=,知a= c.过点F且与x轴垂直的直线为x=-c,代入椭圆方程有-+=1,解得y=±,于是=,解得b=,又a2-c2=b2,从而a=,c=1,所以椭圆的方程为+=1.(2)设点C(x1,y1),D(x2,y2),由F(-1,0)得直线CD的方程为y=k(x+1),由方程组消去y,整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0.根据根与系数的关系知x1+x2=-,x1x2=-.因为A(-,0),B(,0),所以·+·=(x1+,y1)·(-x2,-y2)+(x2+,y2)·(-x1,-y1)=6-2x1x2-2y1y2=6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1)=6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2=6+.由已知得6+=8,解得k=±.评析本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、向量的运算等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.考点三直线与椭圆的位置关系1.(2015陕西,20,12分)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为c.(1)求椭圆E的离心率;(2)如图,AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2=的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.解析(1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0,则原点O到该直线的距离d==,由d=c,得a=2b=2-,解得离心率=.(2)解法一:由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.①依题意得,圆心M(-2,1)是线段AB的中点,且|AB|=.易知,AB与x轴不垂直,设其方程为y=k(x+2)+1,代入①得(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=-.由x1+x2=-4,得-=-4,解得k=.从而x1x2=8-2b2.于是|AB|=|x1-x2|=-=-.由|AB|=,得-=,解得b2=3.故椭圆E的方程为+=1.解法二:由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.②依题意得,点A,B关于圆心M(-2,1)对称,且|AB|=.设A(x1,y1),B(x2,y2),则+4=4b2,+4=4b2,两式相减并结合x1+x2=-4,y1+y2=2,得-4(x1-x2)+8(y1-y2)=0,易知AB与x轴不垂直,则x1≠x2,所以AB的斜率k AB=-=.-因此直线AB的方程为y=(x+2)+1,代入②得x2+4x+8-2b2=0.所以x1+x2=-4,x1x2=8-2b2.于是|AB|=|x1-x2|=-=-.由|AB|=,得-=,解得b2=3.故椭圆E的方程为+=1.评析本题主要考查椭圆的标准方程、几何性质,直线与椭圆的位置关系,圆的标准方程等基础知识,巧妙利用根与系数的关系或点差法构造关于参数的方程是求解的关键.考查学生的运算求解能力及方程思想的应用能力.2.(2014天津,18,13分)设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B.已知|AB|=|F1F2|.(1)求椭圆的离心率;(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过点F2的直线l与该圆相切于点M,|MF2|=2.求椭圆的方程.解析(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0).由|AB|=|F1F2|,可得a2+b2=3c2,又b2=a2-c2,所以=.所以,椭圆的离心率e=.(2)由(1)知a2=2c2,b2=c2.故椭圆方程为+=1.设P(x0,y0).由F1(-c,0),B(0,c),有=(x0+c,y0),=(c,c).由已知,有·=0,即(x0+c)c+y0c=0.又c≠0,故有x0+y0+c=0.①因为点P在椭圆上,故+=1.②由①和②可得3+4cx0=0.而点P不是椭圆的顶点,故x0=-c,代入①得y0=,即点P的坐标为-.设圆的圆心为T(x1,y1),则x1=-=-c,y1==c,进而圆的半径r=--= c.由已知,有|TF2|2=|MF2|2+r2,又|MF2|=2,故有+-=8+c2,解得c2=3.所以,所求椭圆的方程为+=1.评析本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.3.(2014广东,20,14分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点为(,0),离心率为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.解析(1)由题意得c=,∵e==,∴a=3,∴b=-=2,∴椭圆C的标准方程为+=1.(2)当过P点的两条切线的斜率均存在时,不妨设为k1、k2,则过P点的切线方程可设为y-y0=k(x-x0)⇒y=kx+y0-kx0,由-消去y,有(4+9k2)x2+18k(y0-kx0)x+9[(y0-kx0)2-4]=0,Δ=[18k(y0-kx0)]2-4(4+9k2)×9[(y0-kx0)2-4]=0, 整理得(9-)k2+2x0y0k-+4=0,∴k1k2=--(x0≠±3),由已知得k1k2=-1,∴--=-1,∴+=13,即此时点P的轨迹方程为+=13.当两条切线中有一条垂直于x轴时,此时两条切线方程应分别为x=3,y=2或x=-3,y=2或x=3,y=-2或x=-3,y=-2,P 点坐标为(3,2)或(-3,2)或(3,-2)或(-3,-2),均满足方程+=13.综上所述,所求P点的轨迹方程为+=13.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共15分)1.(2018北京石景山一模,8)如图,已知线段AB上有一动点D(D异于A、B),线段CD⊥AB,且满足CD2=λAD·BD(λ是大于0且不等于1的常数),则点C的运动轨迹为()A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分答案 B2.(2018北京西城二模,6)已知点A(0,0),B(2,0).若椭圆W:+=1上存在一点C,使得△ABC为等边三角形,则椭圆W的离心率是()A. B. C. D.答案 C3.(2019届北京八中10月月考,7)椭圆+y2=1(m>1)与双曲线-y2=1(n>0)有公共焦点F1(-c,0)、F2(c,0),P是它们的一个交点,则下列说法中:①m2+n2=2c2;②m2-n2=2;③∠F1PF2=90°;④△F1PF2的面积为1,正确的个数是()A.1B.2C.3D.4答案 D二、填空题(每小题5分,共10分)4.(2017北京丰台期末,10)设椭圆C:+=1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆C上,如果|PF1|+|PF2|=10,那么椭圆C的离心率为.答案5.(2018北京门头沟一模,13)椭圆C:+=1(a>b>0)上的点P若满足PF1⊥PF2,F1,F2为椭圆的两个焦点,称这样的点P为椭圆的“焦垂点”.椭圆+=1有个“焦垂点”;请你写出椭圆C:+=1(a>b>0)上有4个“焦垂点”时所满足的条件:.答案2;c>b或<e<1(答案不唯一)三、解答题(共35分)6.(2018北京西城期末,19)已知椭圆C:+=1(a>b>0)过A(2,0),B(0,1)两点.(1)求椭圆C的方程及离心率;(2)设点Q在椭圆C上.试问直线x+y-4=0上是否存在点P,使得四边形PAQB是平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.解析(1)由题意得,a=2,b=1,所以椭圆C的方程为+y2=1,c=-=,所以椭圆C的离心率e==.(2)由已知,设P(t,4-t),Q(x0,y0).若四边形PAQB是平行四边形,则+=,所以(2-t,t-4)+(-t,t-3)=(x0-t,y0-4+t),整理得x0=2-t,y0=t-3.将其代入+4=4,得(2-t)2+4(t-3)2=4,整理得5t2-28t+36=0,解得t=或t=2.此时P或P(2,2).经检验,均使得四边形PAQB是平行四边形,所以存在P或P(2,2)满足题意.试题分析(1)由椭圆C:+=1(a>b>0)过A(2,0),B(0,1)两点可得a=2,b=1,进而可得椭圆C的方程及离心率;(2)设P(t,4-t),Q(x0,y0),若四边形PAQB是平行四边形,则+=,可得x0=2-t,y0=t-3.将其代入+4=4,可解得t=或t=2,从而可得出P的坐标.7.(2018北京东城期末,20)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点F(1,0)与短轴两个端点的连线互相垂直.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设点Q为椭圆C的上一点,过原点O且垂直于QF的直线与直线y=2交于点P,求△OPQ的面积S的最小值.解析(1)由题意,得解得a=,所以椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)设Q(x0,y0)(x0≠1),P(m,2),则+=1.①当m=0时,点P(0,2),点Q的坐标为(-,0)或(,0),S=××2=.②当m≠0时,直线OP的方程为y=x,即2x-my=0,直线QF的方程为y=-(x-1).点Q(x0,y0)到直线OP的距离d=-,|OP|=,所以S=·|OP|·d=·|2x0-my0|=-.又y0=-(x0-1),所以S=x0+-=--=·--=·x0-1+-=--≥1(-<x0<且x0≠1),当且仅当|x0-1|=-,即x0=0时,等号成立.综上,当x0=0时,S取得最小值1.试题分析(1)由右焦点F(1,0)与短轴两个端点的连线互相垂直得焦点与短轴两个端点构成等腰直角三角形,根据等腰直角三角形可得c=b=1,从而可得a=,进而可得椭圆C的标准方程;(2)设Q(x0,y0),P(m,2),则+=1,①当m=0时,求出△OPQ的面积,②当m≠0时,直线OP的方程为y=x,即2x-my=0,直线QF的方程为y=-(x-1),根据点到直线的距离公式以及两点间的距离公式可得S=-=-=--,利用基本不等式可得△OPQ面积S的最小值.8.(2017北京西城一模,19)如图,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,F为椭圆C的右焦点.A(-a,0),|AF|=3.(1)求椭圆C的方程;(2)设O为原点,P为椭圆上一点,AP的中点为M.直线OM与直线x=4交于点D,过O作OE⊥DF,交直线x=4于点E.求证:OE∥AP.解析(1)依题意,得解得a=2,c=1.所以b2=a2-c2=3,所以椭圆C的方程是+=1.(2)证明:由(1)得A(-2,0).设M(x0,y0),P(x1,y1).设直线AP的方程为y=k(x+2)(k≠0),将其代入椭圆方程,整理得(4k2+3)x2+16k2x+16k2-12=0,所以-2+x1=-.所以x0=-,y0=k(x0+2)=,即M-.所以直线OM的斜率为-=-,所以直线OM的方程是y=-x.令x=4,得y=-,故D-.又F(1,0),所以直线DF的斜率是--=-,因为OE⊥DF,所以直线OE的斜率为k,所以直线OE∥AP.思路分析(1)由离心率为,|AF|=3可列方程组从而可求椭圆方程;(2)设直线AP的方程为y=k(x+2)(k≠0),与椭圆方程联立,表示出点M,进而得到直线OM的方程,求得D点坐标(含k),求得直线DF的斜率为-,由OE⊥DF得到直线OE的斜率,进一步可证.一题多解第(2)问:由(1)得A(-2,0).设P(x1,y1)(x1≠±2),其中3+4-12=0.因为AP的中点为M,所以M-.所以直线OM的斜率k OM=,-所以直线OM的方程是y=x.-令x=4,得D.-由F(1,0),得直线DF的斜率k DF=.-因为直线AP的斜率是k AP=,所以k DF·k AP==-1,-所以AP⊥DF.因为OE⊥DF,所以OE∥AP.。
2020版高考数学新增分大一轮新高考专用讲义：第九章 9.5 椭圆 第1课时含解析
§9.5 椭 圆最新考纲 1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质．1．椭圆的概念平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a >0，c >0，且a ，c 为常数：(1)若a >c ，则集合P 为椭圆；(2)若a ＝c ，则集合P 为线段；(3)若a <c ，则集合P 为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程＋＝1 x 2a 2y 2b 2(a >b >0)＋＝1y 2a 2x 2b 2(a >b >0)图形性质范围－a ≤x ≤a－b ≤y ≤b－b ≤x ≤b －a ≤y ≤a对称性对称轴：坐标轴 对称中心：原点顶点坐标A 1(－a,0)，A 2(a,0)B 1(0，－b )，B 2(0，b )A 1(0，－a )，A 2(0，a )B 1(－b,0)，B 2(b,0)轴长轴A 1A 2的长为2a ；短轴B 1B 2的长为2b焦距|F 1F 2|＝2c 离心率e ＝∈(0,1)ca a ，b ，c 的关系a 2＝b 2＋c 2概念方法微思考1．在椭圆的定义中，若2a ＝|F 1F 2|或2a <|F 1F 2|，动点P 的轨迹如何？提示 当2a ＝|F 1F 2|时动点P 的轨迹是线段F 1F 2；当2a <|F 1F 2|时动点P 的轨迹是不存在的．2．椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？提示 由e ＝＝ 知，当a 不变时，e 越大，b 越小，椭圆越扁；e 越小，b 越大，椭ca1－(b a )2圆越圆．3．点和椭圆的位置关系有几种？如何判断．提示 点P (x 0，y 0)和椭圆的位置关系有3种(1)点P (x 0，y 0)在椭圆内⇔＋<1.x 20a 2y 2b 2(2)点P (x 0，y 0)在椭圆上⇔＋＝1.x 20a 2y 20b 2(3)点P (x 0，y 0)在椭圆外⇔＋>1.x 20a 2y 20b24．直线与椭圆的位置关系有几种？如何判断？提示 直线与椭圆的位置关系有三种：相离、相切、相交．判断方法为联立直线与椭圆方程，求联立后所得方程的判别式Δ.(1)直线与椭圆相离⇔Δ<0.(2)直线与椭圆相切⇔Δ＝0.(3)直线与椭圆相交⇔Δ>0.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( √ )(2)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( √ )(3)＋＝1(a ≠b )表示焦点在y 轴上的椭圆．( × )y 2a 2x 2b 2(4)＋＝1(a >b >0)与＋＝1(a >b >0)的焦距相等．( √ )x 2a 2y 2b 2y 2a 2x 2b 2题组二 教材改编2．椭圆＋＝1的焦距为4，则m 等于( )x 210－m y 2m －2A ．4 B ．8 C ．4或8 D ．12答案 C解析 当焦点在x 轴上时，10－m >m －2>0，10－m －(m －2)＝4，∴m ＝4.当焦点在y 轴上时，m －2>10－m >0，m －2－(10－m )＝4，∴m ＝8.∴m ＝4或8.3．过点A (3，－2)且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的方程为( )x 29y 24A.＋＝1B.＋＝1x 215y 210x 225y 220C.＋＝1 D.＋＝1x 210y 215x 220y 215答案 A解析 由题意知c 2＝5，可设椭圆方程为＋＝1(λ>0)，则＋＝1，解得λ＝10或λ＝x 2λ＋5y 2λ9λ＋54λ－2(舍去)，∴所求椭圆的方程为＋＝1.x 215y 2104．已知点P 是椭圆＋＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的x 25y 24面积等于1，则点P 的坐标为__________________．答案 或(152，1)(152，－1)解析 设P (x ，y )，由题意知c 2＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以c ＝1，则F 1(－1,0)，F 2(1,0)．由题意可得点P 到x 轴的距离为1，所以y ＝±1，把y ＝±1代入＋＝1，得x ＝±，又x >0，所以x ＝，x 25y 24152152所以P 点坐标为或.(152，1)(152，－1)题组三 易错自纠5．若方程＋＝1表示椭圆，则m 的取值范围是( )x 25－m y 2m ＋3A ．(－3,5) B ．(－5,3)C ．(－3,1)∪(1,5) D ．(－5,1)∪(1,3)答案 C解析 由方程表示椭圆知Error!解得－3<m <5且m ≠1.6．椭圆＋＝1的离心率为，则k 的值为( )x 29y 24＋k 45A ．－21 B ．21C ．－或21D.或2119251925答案 C解析 若a 2＝9，b 2＝4＋k ，则c ＝，由＝，即＝，得k ＝－；若a 2＝4＋k ，b 2＝9，5－k c a 455－k 3451925则c ＝，由＝，即＝，解得k ＝21.k －5c a 45k －54＋k 457．已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为，过F 2的直线lx 2a 2y 2b 233交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为4，则C 的方程为( )3A.＋＝1 B.＋y 2＝1x 23y 22x 23C.＋＝1 D.＋＝1x 212y 28x 212y 24答案 A解析 ∵△AF 1B 的周长为4，∴4a ＝4，33∴a ＝，∵离心率为，∴c ＝1，333∴b ＝＝，∴椭圆C 的方程为＋＝1.a 2－c 22x 23y 22故选A.第1课时 椭圆及其性质题型一 椭圆的定义及应用1.如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆答案 A解析 由条件知|PM |＝|PF |，∴|PO |＋|PF |＝|PO |＋|PM |＝|OM |＝R >|OF |.∴P 点的轨迹是以O ，F 为焦点的椭圆．2．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外x 23一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．2 B ．6 C ．4 D ．1233答案 C解析 由椭圆的方程得a ＝.设椭圆的另一个焦点为F ，则由椭圆的定义得|BA |＋|BF |＝|CA |＋3|CF |＝2a ，所以△ABC 的周长为|BA |＋|BC |＋|CA |＝|BA |＋|BF |＋|CF |＋|CA |＝(|BA |＋|BF |)＋(|CF |＋|CA |)＝2a ＋2a ＝4a ＝4.33．椭圆＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个x 24交点为P ，则|PF 2|等于( )A. B.7232C. D ．43答案 A解析 F 1(－，0)，∵PF 1⊥x 轴，3∴P ，∴|PF 1|＝，(－3，±12)12∴|PF 2|＝4－＝.12724．(2018·河北衡水中学调研)设F 1，F 2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任意x 225y 216一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |－|PF 1|的最小值为________．答案 －5解析 由椭圆的方程可知F 2(3,0)，由椭圆的定义可得|PF 1|＝2a －|PF 2|.∴|PM |－|PF 1|＝|PM |－(2a －|PF 2|)＝|PM |＋|PF 2|－2a ≥|MF 2|－2a ，当且仅当M ，P ，F 2三点共线时取得等号，又|MF 2|＝＝5,2a ＝10，(6－3)2＋(4－0)2∴|PM |－|PF 1|≥5－10＝－5，即|PM |－|PF 1|的最小值为－5.思维升华 椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．题型二 椭圆的标准方程命题点1 定义法例1 (1)已知A (－1,0)，B 是圆F ：x 2－2x ＋y 2－11＝0(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为( )A.＋＝1 B.－＝1x 212y 211x 236y 235C.－＝1D.＋＝1x 23y 22x 23y 22答案 D解析 由题意得|PA |＝|PB |，∴|PA |＋|PF |＝|PB |＋|PF |＝r ＝2>|AF |＝2，∴点P 的轨迹是以A ，3F 为焦点的椭圆，且a ＝，c ＝1，∴b ＝，∴动点P 的轨迹方程为＋＝1，故选D.32x 23y 22(2)在△ABC 中，A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长是18，则顶点C 的轨迹方程是( )A.＋＝1(y ≠0) B.＋＝1(y ≠0)x 225y 29y 225x 29C.＋＝1(y ≠0)D.＋＝1(y ≠0)x 216y 29y 216x 29答案 A解析 由|AC |＋|BC |＝18－8＝10>8知，顶点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆(A ，B ，C 不共线)．设其方程为＋＝1(a >b >0)，则a ＝5，c ＝4，从而b ＝3.由A ，B ，C 不共线知y ≠0.x 2a 2y 2b 2故顶点C 的轨迹方程是＋＝1(y ≠0)．x 225y 29命题点2 待定系数法例2 (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(，)，则椭圆(－32，52)35方程为__________．答案 ＋＝1y 210x 26解析 设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ，n >0，m ≠n )．由Error!解得m ＝，n ＝.16110∴椭圆方程为＋＝1.y 210x 26(2)一个椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，)是椭圆上一点，3且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为________________．答案 ＋＝1x 28y 26解析 ∵椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，∴可设椭圆方程为＋＝1(a >b >0)，∵P (2，x 2a 2y 2b 2)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，3∴Error!又a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝2，b ＝，c ＝，262∴椭圆方程为＋＝1.x 28y 26思维升华 (1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法．(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a >|F 1F 2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )的形式．跟踪训练1 (1)已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为，且椭圆G 上一32点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为( )A.＋＝1 B.＋＝1x 236y 29x 29y 236C.＋＝1 D.＋＝1x 24y 29x 29y 24答案 A解析 依题意设椭圆G 的方程为＋＝1(a >b >0)，∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为12，x 2a 2y 2b 2∴2a ＝12，∴a ＝6，∵椭圆的离心率为，∴e ＝＝＝，即 ＝，解得b 2＝9，∴32c a 1－b 2a 2321－b 23632椭圆G 的方程为＋＝1，故选A.x 236y 29(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________________．35y 225x 29答案 ＋＝1y 220x 24解析 ∵所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，y 225x 29∴其焦点在y 轴上，且c 2＝25－9＝16.设它的标准方程为＋＝1(a >b >0)．y 2a 2x 2b2∵c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2，故a 2－b 2＝16. ①又点(，－)在所求椭圆上，35∴＋＝1，(－5)2a 2(3)2b2即＋＝1. ②5a 23b 2由①②得b 2＝4，a 2＝20，∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.y 220x 24题型三 椭圆的几何性质命题点1 求离心率的值(或范围)例3 (1)(2018·深圳模拟)设椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上x 2a 2y 2b 2的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )A.B. C. D.36131233答案 D解析 方法一 如图，在Rt △PF 2F 1中，∠PF 1F 2＝30°，|F 1F 2|＝2c ，∴|PF 1|＝＝，2c cos 30°43c3|PF 2|＝2c ·tan 30°＝.23c3∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，即＋＝2a ，可得c ＝a .43c 323c33∴e ＝＝.ca 33方法二 (特殊值法)：在Rt △PF 2F 1中，令|PF 2|＝1，∵∠PF 1F 2＝30°，∴|PF 1|＝2，|F 1F 2|＝.3∴e ＝＝＝.2c 2a |F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|33(2)椭圆＋＝1(a >b >0)，F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 为椭圆上一点，|OP |＝x 2a 2y 2b 2a ，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等比数列，则椭圆的离心率为( )24A. B.C. D.24236364答案 D解析 设P (x ，y )，则|OP |2＝x 2＋y 2＝，a 28由椭圆定义得，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|2＋2|PF 1||PF 2|＋|PF 2|2＝4a 2，又∵|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等比数列，∴|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|2＝4c 2，则|PF 1|2＋|PF 2|2＋8c 2＝4a 2，∴(x ＋c )2＋y 2＋(x －c )2＋y 2＋8c 2＝4a 2，整理得x 2＋y 2＋5c 2＝2a 2，即＋5c 2＝2a 2，整理得＝，a 28c 2a 238∴椭圆的离心率e ＝＝.ca 64(3)已知椭圆＋＝1(a >b >c >0，a 2＝b 2＋c 2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若以F 2为圆心，b －cx 2a 2y 2b 2为半径作圆F 2，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且|PT |的最小值不小于(a －c )，则椭32圆的离心率e 的取值范围是__________．答案 [35，22)解析 因为|PT |＝(b >c )，|PF 2|2－(b －c )2而|PF 2|的最小值为a －c ，所以|PT |的最小值为.(a －c )2－(b －c )2依题意，有≥(a －c )，(a －c )2－(b －c )232所以(a －c )2≥4(b －c )2，所以a －c ≥2(b －c )，所以a ＋c ≥2b ，所以(a ＋c )2≥4(a 2－c 2)，所以5c 2＋2ac －3a 2≥0，所以5e 2＋2e －3≥0. ①又b >c ，所以b 2>c 2，所以a 2－c 2>c 2，所以2e 2<1. ②联立①②，得≤e <.3522命题点2 求参数的值(或范围)例4 (2017·全国Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：＋＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB ＝x 23y 2m120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[9，＋∞) B ．(0，]∪[9，＋∞)3C ．(0,1]∪[4，＋∞) D ．(0，]∪[4，＋∞)3答案 A解析 方法一 设椭圆焦点在x 轴上，则0<m <3，点M (x ，y )．过点M 作x 轴的垂线，交x 轴于点N ，则N (x,0)．故tan ∠AMB ＝tan(∠AMN ＋∠BMN )＝＝.3＋x |y |＋3－x|y |1－3＋x |y |·3－x |y |23|y |x 2＋y 2－3又tan ∠AMB ＝tan 120°＝－，3且由＋＝1，可得x 2＝3－，x 23y 2m 3y 2m 则＝＝－.23|y |3－3y 2m ＋y 2－323|y |(1－3m)y23解得|y |＝.2m3－m又0<|y |≤，即0<≤，m 2m3－mm 结合0<m <3解得0<m ≤1.对于焦点在y 轴上的情况，同理亦可得m ≥9.则m 的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)．故选A.方法二 当0<m <3时，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则≥tan 60°＝，即≥，解得0<m ≤1.ab 33m 3当m >3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则≥tan 60°＝，即≥，解得m ≥9.ab 3m 33故m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．故选A.思维升华 求椭圆离心率或其范围的方法解题的关键是借助图形建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，转化为e 的关系式，常用方法如下：(1)直接求出a ，c ，利用离心率公式e ＝求解．ca(2)由a 与b 的关系求离心率，利用变形公式e ＝ 求解．1－b 2a2(3)构造a ，c 的齐次式．离心率e 的求解中可以不求出a ，c 的具体值，而是得出a 与c 的关系，从而求得e .跟踪训练2 (1)已知椭圆＋＝1(0<b <2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆x 24y 2b 2于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是________．答案 3解析 由椭圆的方程可知a ＝2，由椭圆的定义可知，|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3，由椭圆的性质可知＝3.2b 2a 所以b 2＝3，即b ＝.3(2)在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆＋＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝与椭圆交于B ，Cx 2a 2y 2b 2b2两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．答案 63解析 由已知条件易得B ，C ，F (c ，0)，(－32a ，b2)(32a ，b 2)所以＝，＝，BF →(c ＋32a ，－b 2)CF → (c －32a ，－b 2)由∠BFC ＝90°，可得·＝0，BF → CF →所以·＋2＝0，(c －32a )(c ＋32a )(－b 2)c 2－a 2＋b 2＝0，3414即4c 2－3a 2＋(a 2－c 2)＝0，亦即3c 2＝2a 2，所以＝，则e ＝＝.c 2a 223ca 63(3)(2018·阜阳模拟)已知F 1，F 2是椭圆＋＝1(a >b >0)的左、右两个焦点，若椭圆上存在点Px 2a 2y 2b 2使得PF 1⊥PF 2，则该椭圆的离心率的取值范围是( )A.B.C. D.[55，1)[22，1)(0，55](0，22]答案 B解析 ∵F 1，F 2是椭圆＋＝1(a >b >0)的左、右两个焦点，∴离心率0<e <1，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，x 2a 2y 2b 2c 2＝a 2－b 2.设点P (x ，y )，由PF 1⊥PF 2，得(x ＋c ，y )·(x －c ，y )＝0，化简得x 2＋y 2＝c 2.联立方程组Error!整理得，x 2＝(2c 2－a 2)·≥0，解得e ≥.a 2c 222又0<e <1，∴≤e <1.221．(2018·开封模拟)曲线C 1：＋＝1与曲线C 2：＋＝1(k <9)的( )x 225y 29x 225－k y 29－k A ．长轴长相等 B ．短轴长相等C ．离心率相等 D ．焦距相等答案 D解析 因为c ＝25－9＝16，c ＝(25－k )－(9－k )＝16，212所以c 1＝c 2，所以两个曲线的焦距相等．2．设F 1，F 2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，x 225y 216则P 点到椭圆左焦点的距离为( )A ．4 B ．3 C ．2 D ．5答案 A解析 由题意知|OM |＝|PF 2|＝3，∴|PF 2|＝6，12∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝10－6＝4.3．(2016·全国Ⅰ)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为( )14A. B. C. D.13122334答案 B解析 如图，由题意得，|BF |＝a ，|OF |＝c ，|OB |＝b ，|OD |＝×2b ＝b .1412在Rt △FOB 中，|OF |×|OB |＝|BF |×|OD |，即cb ＝a ·b ，解得a ＝2c ，12故椭圆离心率e ＝＝，故选B.c a 124．设F 1，F 2分别为椭圆＋y 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上，且|＋|＝2，则∠F 1PF 2x 24PF 1→ PF 2→3等于( )A. B.π6π4C. D.π3π2答案 D解析 因为＋＝2，O 为坐标原点，|＋|＝2，所以|PO |＝，又|OF 1|＝|OF 2|＝，PF 1→ PF 2→ PO → PF 1→ PF 2→333所以P ，F 1，F 2在以点O 为圆心的圆上，且F 1F 2为直径，所以∠F 1PF 2＝.π25．设F 1，F 2为椭圆＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P ，Q 两点，x 24当四边形PF 1QF 2的面积最大时，·的值等于( )PF 1→ PF 2→A ．0B ．2C ．4D ．－2答案 D解析 根据题意可知，当P ，Q 分别在椭圆短轴端点时，四边形PF 1QF 2的面积最大．此时，F 1(－，0)，F 2(，0)，P (0,1)，∴＝(－，－1)，＝(，－1)，33PF 1→ 3PF 2→3∴·＝－2.PF 1→ PF 2→6．(2018·昆明调研)2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施．如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①a 1＋c 1＝a 2＋c 2；②a 1－c 1＝a 2－c 2；③<；④c 1a 2>a 1c 2.c 1a 1c 2a2其中正确式子的序号是( )A ．①③ B ．①④C ．②③ D ．②④答案 D解析 观察图形可知a 1＋c 1>a 2＋c 2，即①式不正确；a 1－c 1＝a 2－c 2＝|PF |，即②式正确；由a 1－c 1＝a 2－c 2>0，c 1>c 2>0知，<，即<，从而c 1a 2>a 1c 2，>，即④式正确，③式a 1－c 1c 1a 2－c 2c 2a 1c 1a 2c 2c 1a 1c 2a 2不正确．故选D.7．焦距是8，离心率等于0.8的椭圆的标准方程为________________．答案 ＋＝1或＋＝1x 225y 29y 225x 29解析 由题意知Error!解得Error!又b 2＝a 2－c 2，∴b 2＝9，当焦点在x 轴上时，椭圆方程为＋＝1，x 225y 29当焦点在y 轴上时，椭圆方程为＋＝1.y 225x 298．设F 1，F 2为椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的左、右焦点，经过F 1的直线交椭圆C 于A ，B 两x 2a 2y 2b 2点，若△F 2AB 是面积为4的等边三角形，则椭圆C 的方程为__________．3答案 ＋＝1x 29y 26解析 ∵△F 2AB 是面积为4的等边三角形，∴AB ⊥x 轴，∴A ，B 两点的横坐标为－c ，代3入椭圆方程，可求得|F 1A |＝|F 1B |＝.b 2a 又|F 1F 2|＝2c ，∠F 1F 2A ＝30°，∴＝×2c . ①b 2a 33又＝×2c ×＝4，②2F AB S 122b 2a 3a 2＝b 2＋c 2， ③由①②③解得a 2＝9，b 2＝6，c 2＝3，∴椭圆C 的方程为＋＝1.x 29y 269．已知椭圆C 1：＋＝1(a >b >0)与椭圆C 2：＋＝1(a >b >0)相交于A ，B ，C ，D 四点，x 2a 2y 2b 2y 2a 2x 2b 2若椭圆C 1的一个焦点F (－，0)，且四边形ABCD 的面积为，则椭圆C 1的离心率e 为2163________．答案 22解析 联立Error!两式相减得＝，又a ≠b ，x 2－y 2a 2x 2－y 2b2所以x 2＝y 2＝，a 2b 2a 2＋b 2故四边形ABCD 为正方形，＝，(*)4a 2b 2a 2＋b 2163又由题意知a 2＝b 2＋2，将其代入(*)式整理得3b 4－2b 2－8＝0，所以b 2＝2，则a 2＝4，所以椭圆C 的离心率e ＝.2210．已知A ，B ，F 分别是椭圆x 2＋＝1(0<b <1)的右顶点、上顶点、左焦点，设△ABF 的外y 2b 2接圆的圆心坐标为(p ，q )．若p ＋q >0，则椭圆的离心率的取值范围为______________．答案 (0，22)解析 如图所示，线段FA 的垂直平分线为x ＝，线段AB 的中点为.1－1－b 22(12，b 2)因为k AB ＝－b ，所以线段AB 的垂直平分线的斜率k ＝，1b 所以线段AB 的垂直平分线方程为y －＝.b 21b (x －12)把x ＝＝p 代入上述方程可得1－1－b 22y ＝＝q .b 2－1－b 22b因为p ＋q >0，所以＋>0，1－1－b 22b 2－1－b 22b 化为b >.1－b 2又0<b <1，解得<b 2<1，12即－1<－b 2<－，12所以0<1－b 2<，12所以e ＝＝c ＝∈.c a 1－b 2(0，22)11．已知点P 是圆F 1：(x ＋1)2＋y 2＝16上任意一点(F 1是圆心)，点F 2与点F 1关于原点对称．线段PF 2的垂直平分线m 分别与PF 1，PF 2交于M ，N 两点．求点M 的轨迹C 的方程．解 由题意得F 1(－1,0)，F 2(1,0)，圆F 1的半径为4，且|MF 2|＝|MP |，从而|MF 1|＋|MF 2|＝|MF 1|＋|MP |＝|PF 1|＝4>|F 1F 2|，所以点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆，其中长轴长为4，焦距为2，则短半轴长为，3所以点M 的轨迹方程为＋＝1.x 24y 2312．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、32焦点坐标、顶点坐标．解 椭圆方程可化为＋＝1，m >0.x 2m y 2mm ＋3∵m －＝>0，∴m >，m m ＋3m (m ＋2)m ＋3m m ＋3∴a 2＝m ，b 2＝，c ＝＝ .m m ＋3a 2－b 2m (m ＋2)m ＋3由e ＝，得 ＝，∴m ＝1.32m ＋2m ＋332∴椭圆的标准方程为x 2＋＝1，∴a ＝1，b ＝，c ＝.y 2141232∴椭圆的长轴长和短轴长分别为2a ＝2和2b ＝1，焦点坐标为F 1，F 2，四个(－32，0)(32，0)顶点的坐标分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1，B 2.(0，－12)(0，12)13．已知F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，现以F 2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M ，N ，若过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线，则椭圆的离心率为( )A.－1 B ．2－33C. D.2232答案 A解析 ∵过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线，∴∠F 1MF 2＝90°，|MF 2|＝c ，∵|F 1F 2|＝2c ，∴|MF 1|＝c ，由椭圆定义可得|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋c ＝2a ，∴椭圆离心率e ＝＝－1.3321＋3314．(2018·济南模拟)设椭圆C ：＋＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点E (0，x 2a 2y 2b2t )(0<t <b )．已知动点P 在椭圆上，且点P ，E ，F 2不共线，若△PEF 2的周长的最小值为4b ，则椭圆C 的离心率为( )A. B.C. D.32221233答案 A解析 △PEF 2的周长为|PE |＋|PF 2|＋|EF 2|＝|PE |＋2a －|PF 1|＋|EF 2|＝2a ＋|EF 2|＋|PE |－|PF 1|≥2a ＋|EF 2|－|EF 1|＝2a ＝4b ，∴e ＝＝＝＝.故选A.c a 1－(b a )21－143215．椭圆C 1：＋＝1的离心率为e 1，双曲线C 2：－＝1的离心率为e 2，其中，a >b >0，x 2a 2y 2b 2x 2a 2y 2b 2＝，直线l ：x －y ＋3＝0与椭圆C 1相切，则椭圆C 1的方程为( )e 1e 233A.＋y 2＝1B.＋＝1x 22x 24y 22C.＋＝1 D.＋＝1x 26y 23x 216y 28答案 C解析 椭圆C 1：＋＝1的离心率e 1＝＝，双曲线C 2：－＝1的离心率e 2＝＝x 2a 2y 2b 2c 1a 1－b 2a2x 2a 2y 2b 2c 2a ，1＋b 2a2由＝，得＝，e 1e 2331－b 2a21＋b 2a 233则a ＝b ，由Error!2得3x 2＋12x ＋18－2b 2＝0，由Δ＝122－4×3×(18－2b 2)＝0，解得b 2＝3，则a 2＝6，∴椭圆C 1的方程为＋＝1，故选C.x 26y 2316．已知椭圆＋＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若椭圆上存在点P 使x 2a 2y 2b2＝，求该椭圆的离心率的取值范围．1－cos 2∠PF 1F 21－cos 2∠PF 2F 1a 2c 2解 由＝得＝.1－cos 2∠PF 1F 21－cos 2∠PF 2F 1a 2c 2c a sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2又由正弦定理得＝，所以＝，即|PF 1|＝|PF 2|.sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2|PF 1||PF 2||PF 1||PF 2|c a c a又由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝，|PF 1|＝，2a 2a ＋c 2ac a ＋c因为PF 2是△PF 1F 2的一边，所以有2c －<<2c ＋，2ac a ＋c 2a 2a ＋c 2ac a ＋c即c 2＋2ac －a 2>0，所以e 2＋2e －1>0(0<e <1)，解得椭圆离心率的取值范围为(－1,1)．2。
(天津专用)2020版高考数学大一轮复习9.3椭圆及其性质精练
9.3 椭圆及其性质
挖命题
【考情探究】
分析解读从高考试题来看,椭圆的定义、标准方程、几何性质以及直线与椭圆的位置关系一直是高考命题的重点和热点,离心率问题是每年高考考查的重点,多在选择题和填空题中出现,主要考查学生结合椭圆定义、几何性质等分析问题、解决问题的能力以及运算能力,分值为5分,属于中档题目;在解答题中主要以直线与椭圆的位置关系为考查对象,考查面较
广,往往会和平面向量、函数、导数、不等式等知识相结合,在考查对椭圆基本概念和性质理解及应用的同时,又考查直线与圆锥曲线的位置关系,考查数形结合思想和转化与化归思想.
破考点
【考点集训】
考点一椭圆的定义和标准方程
1.“m>n>0”是“曲线mx2+ny2=1为焦点在x轴上的椭圆”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 D
考点二椭圆的几何性质
2.(2017浙江,2,4分)椭圆+=1的离心率是( )
A. 1
B.
C.
D.
答案 B
3.(2018课标Ⅱ文,11,5分)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点.若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为( )
A.1-
B.2-
C.-1
D.-1
答案 D
考点三直线与椭圆的位置关系
4.(2014辽宁,20,12分)圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图).
(1)求点P的坐标;
(2)焦点在x轴上的椭圆C过点P,且与直线l:y=x+ 交于A,B两点.若△PAB的面积为2,求C的标准方程.。
2020版五三高中数学高考真题与考点分章精析9.3 椭圆及其性质
设点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2).
x2
由方程组
6
y2 3
1,
可得3x2+4mx+(4m2-12)=0.②
y
1 2
x
m,
方程②的判别式为Δ=16(9-2m2),
由Δ>0,解得- 3 2 <m< 3 2 .
2
2
由②得x1+x2=- 4m ,x1x2= 4m2 12 .
2
2m 3
2
2
2m 3
(
x1
x2
)
x1x2
= 54 2
2m 3
2
2
2m 3
4m 3
4m2 12 3
= 10 m2.
9
故存在常数λ= 4 ,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|.
5
方法技巧
方法 求椭圆离心率或取值范围的方法
3.焦点三角形 (1)P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点,F1,F2为椭圆的两焦点,则
S PF1F2=b2tan θ2,其中θ为∠F1PF2;
(2)P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点,F1,F2为椭圆的两焦点,则△ PF1F2的周长为2(a+c). (3)过焦点F1的弦AB与椭圆另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为4a.
解析 + by22 =1.
x2 y2
由方程组
2b
2
b2
1,得3x2-12x+(18-2b2)=0.①
2020版高考数学一轮总复习检测10.1 椭圆及其性质 Word版含解析
专题十圆锥曲线与方程
【真题典例】
椭圆及其性质
挖命题
【考情探究】
分析解读
.椭圆是圆锥曲线中最重要的内容,是高考命题的热点.
.考查椭圆及其标准方程,椭圆的简单几何性质. .考查把几何条件转化为代数形式的能力.
.
预计年高考中
,椭圆的考查必不可少,考查仍然集中在椭圆及其标准方程,椭圆的简单几何性质,以及与椭圆有关的综合问题上.
破考点 【考点集训】
考点一椭圆的定义和标准方程
.(浙江镇海中学阶段性测试)已知椭圆(>>)的离心率为
,右焦点为(
).斜率为的直线与椭圆交于两
点,以为底作等腰三角形,顶点为(). ()求椭圆的方程; ()求△的面积.
解析 ()由已知得,解得.又,所以椭圆的方程为.
()设直线的方程为.由得.①
设、的坐标分别为(),()(<)中点为(),则.。
2020年高考课标版高考文科数学 §9.3 椭圆及其性质
(2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且|MN|=5|F1N|,求 a,b.
( ) 解析 (1)根据 c=
������2 - ������2及题设知 M
������2
������, ������
,2b2=3ac.
备战 2020 高考
������ 1 ������
将 b2=a2-c2 代入 2b2=3ac,解得������=2或������=-2(舍去).
答案 D 2.(2019 届湖南岳阳调研,15)一个椭圆的中心在原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,P(2, 3)是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数 列,则椭圆的方程为 .
备战 2020 高考
������2 ������2
答案 8 + 6 =1
3.(2018 江西赣中南五校联考,15)已知点 P 是圆 F1:(x+1)2+y2=16 上任意一点(F1 是圆心),点 F2 与点 F1 关于原点对称,线段 PF2 的 垂直平分线 m 分别与 PF1,PF2 交于 M,N 两点,则点 M 的轨迹方程为 .
①掌握直线与椭圆位置关系的 判断方法;②理解“整体代换” 思想的含义,并能通过直线与椭 圆位置关系解答相应问题
考题示例 2018 天津,19,14 分 2014 辽宁,15,5 分
5 年考情 考向
椭圆的方程,直线与 椭圆的位置关系
椭圆的定义
关联考点
预测热度
椭圆的几何性质,直
线方程
★★☆
椭圆的标准方程
考点三 直线与椭圆的位置关系
������2 ������2
过椭圆 5 + 4 =1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为 .
2020高考数学一轮总复习第9章平面解析几何第三节椭圆及其性质AB卷文1
解析 由题意知25－m2＝16，解得m2＝9，又m>0，所以m ＝3. 答案 B2.(20xx ·福建，11)已知椭圆E ：＋＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点.若|AF|＋|BF|＝4，点M 到直线l 的距离不小于，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A. B.⎝⎛⎦⎥⎤0，34C.D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1 解析 左焦点F0，连接F0A ，F0B ，则四边形AFBF0为平行四边形. ∵|AF|＋|BF|＝4，∴|AF|＋|AF0|＝4，∴a ＝2. 设M(0，b)，则≥，∴1≤b＜2. 离心率e ＝＝＝a2－b2a2＝∈，故选A. 答案 A3.(20xx ·广东，9)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C 的方程是( ) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1D.＋＝1解析 由题意，得c ＝1，e ＝＝＝，所以a ＝2，b2＝3，所以椭圆的方程为＋＝1.13.(20xx ·陕西，20)如图，椭圆E ：＋＝1(a ＞b ＞0)，经过点A(0，－1)，且离心率为. (1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1，1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q(均异于点A)，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2. (1)解 由题设知＝，b ＝1， 结合a2＝b2＋c2，解得a ＝， 所以椭圆的方程为＋y2＝1.(2)证明 由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k(x －1)＋1(k≠2)，代入＋y2＝1，得(1＋2k2)x2－4k(k －1)x ＋2k(k －2)＝0， 由已知Δ＞0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0， 则x1＋x2＝，x1x2＝， 从而直线AP ，AQ 的斜率之和kAP ＋kAQ ＝＋y2＋1x2＝＋kx2＋2－kx2＝2k ＋(2－k)＝2k ＋(2－k)x1＋x2x1x2＝2k ＋(2－k)4k（k－1）2k（k－2）＝2k －2(k －1)＝2.14.(20xx·重庆，21)如图，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.(1)若|PF1|＝2＋，|PF2|＝2－，求椭圆的标准方程；(2)若|PQ|＝λ|PF1|，且≤λ＜，试确定椭圆离心率e的取值范围.解(1)由椭圆的定义，2a＝|PF1|＋|PF2|＝(2＋)＋(2－)＝4，故a＝2.设椭圆的半焦距为c，由已知PF1⊥PF2，因此2c＝|F1F2|＝|PF1|2＋|PF2|2＝＝2，即c＝，从而b＝＝1.故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.(2)如图，由PF1⊥PQ，|PQ|＝λ|PF1|，得|QF1|＝|PF1|2＋|PQ|2＝|PF1|.由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a，进而|PF1|＋|PQ|＋|QF1|＝4a，于是(1＋λ＋)|PF1|＝4a，解得|PF1|＝，故|PF2|＝2a－|PF1|＝2a（λ＋1＋λ2－1）.1＋λ＋1＋λ2。
2020届高三文科数学总复习习题：9.3 椭圆及其性质 Word版含答案
§9.3椭圆及其性质【考点集训】考点一椭圆的定义及其标准方程1.(2019届湖北重点中学第一次调研,11)点P是椭圆+=1上的点,F1、F2是椭圆的左、右焦点,则△PF1F2的周长是()A.12B.10C.8D.6答案B2.(2017湖南长沙一模,5)椭圆的焦点在x轴上,中心在原点,其上、下顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点,则椭圆的标准方程为()A.+=1B.+y2=1C.+=1D.+=1答案C3.(2014辽宁,15,5分)已知椭圆C:+=1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=.答案12考点二椭圆的几何性质1.(2019届四川顶级名校10月联考,6)已知椭圆C:+=1(a>b>0)和直线l:+=1,若过C的左焦点和下顶点的直线与l平行,则椭圆C的离心率为()A. B. C. D.答案A2.(2018河南百校联盟12月联考,5)已知椭圆C:+=1(a>b>0)与直线x=b在第一象限交于点P,若直线OP的倾斜角为30°,则椭圆C的离心率为()A. B. C. D.答案B3.(2018四川凉山州模拟,4)以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的长轴的两个三等分点,则该椭圆的离心率是()A. B. C. D.答案D4.(2018湖北武汉模拟,4)曲线+=1与曲线-+-=1(k<9)的()A.长轴长相等B.短轴长相等C.离心率相等D.焦距相等答案D5.(2015课标Ⅰ,5,5分)已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=()A.3B.6C.9D.12答案B考点三直线与椭圆的位置关系过椭圆+=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为.答案炼技法【方法集训】方法1求椭圆的标准方程的方法1.(2018河南郑州二模,4)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点,若△AF1B的周长为12,则C的方程为()A.+y2=1B.+=1C.+=1D.+=1答案D2.(2019届湖南岳阳调研,15)一个椭圆的中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,P(2,)是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆的方程为.答案+=13.(2018江西赣中南五校联考,15)已知点P是圆F1:(x+1)2+y2=16上任意一点(F1是圆心),点F2与点F1关于原点对称,线段PF2的垂直平分线m分别与PF1,PF2交于M,N两点,则点M的轨迹方程为.答案+=1方法2求椭圆的离心率(或取值范围)的方法1.(2017课标全国Ⅲ,11,5分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为()A. B. C. D.答案A2.(2019届山东济南第一中学11月月考,11)已知F1,F2分别为椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,点P是椭圆上位于第一象限内的点,延长PF2交椭圆于点Q,若PF1⊥PQ,且|PF1|=|PQ|,则椭圆的离心率为()A.2-B.-C.-1D.-答案D3.(2018河北衡水中学六调,10)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为M,N,若在椭圆C上存在点H,使k MH k NH∈-,则椭圆C的离心率的取值范围为()A. B. C. D.答案A4.(2019届河南洛阳期中检测,12)已知F1,F2分别为椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,P为椭圆上一点,O为坐标原点,且(+)·=0,||=2||,则该椭圆的离心率为()A. B. C. D.答案C方法3解决弦中点问题的方法1.(2017河北百校联盟联考,14)已知椭圆C1:+=1(a>b>0)与椭圆C2:+=1(a>b>0)相交于A、B、C、D四点,若椭圆C1的一个焦点为F(-,0),且四边形ABCD的面积为,则椭圆C1的离心率e为.答案2.已知中心在原点,一焦点为F(0,4)的椭圆被直线l:y=3x-2截得的弦的中点横坐标为,则此椭圆的方程为.答案+=1过专题【五年高考】A组统一命题·课标卷题组考点一椭圆的定义及其标准方程(2014大纲全国,9,5分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4,则C的方程为()A.+=1B.+y2=1C.+=1D.+=1答案A考点二椭圆的几何性质1.(2018课标全国Ⅰ,4,5分)已知椭圆C:+=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为()A. B. C. D.答案C2.(2017课标全国Ⅰ,12,5分)设A,B是椭圆C:+=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是()A.(0,1]∪[9,+∞)B.(0,]∪[9,+∞)C.(0,1]∪[4,+∞)D.(0,]∪[4,+∞)答案A3.(2016课标全国Ⅰ,5,5分)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为()A. B. C. D.答案B4.(2016课标全国Ⅲ,12,5分)已知O为坐标原点,F是椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为()A. B. C. D.答案A5.(2014课标Ⅱ,20,12分)设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直.直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率;(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.解析(1)根据c=-及题设知M,2b2=3ac.将b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得=或=-2(舍去).故C的离心率为.(2)由题意,知原点O为F1F2的中点,MF2∥y轴,所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点,故=4,即b2=4a,①由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.设N(x1,y1),由题意知y1<0,则---即--代入C的方程,得+=1.②将①及c=-代入②得-+=1.解得a=7,b2=4a=28.故a=7,b=2.考点三直线与椭圆的位置关系1.(2018课标全国Ⅲ,20,12分)已知斜率为k的直线l与椭圆C:+=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0).(1)证明:k<-;(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且++=0.证明:2||=||+||.解析本题考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系.(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1,+=1.两式相减,并由-=k得-+·k=0.由题设知=1,=m,于是k=-.由题设得0<m<,故k<-.(2)证明:由题意得F(1,0).设P(x3,y3),则(x-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).3由(1)及题设得x=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m<0.3又点P在C上,所以m=,从而P-,||=.于是||=-=--=2-.同理||=2-.所以||+||=4-(x+x2)=3.1故2||=||+||.2.(2016课标全国Ⅱ,21,12分)已知A是椭圆E:+=1的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.(1)当|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;(2)当2|AM|=|AN|时,证明:<k<2.解析(1)设M(x,y1),则由题意知y1>0.1由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为.又A(-2,0),因此直线AM的方程为y=x+2.(2分)将x=y-2代入+=1得7y2-12y=0.解得y=0或y=,所以y=.1因此△AMN的面积S△=2×××=.(4分)AMN(2)证明:将直线AM的方程y=k(x+2)(k>0)代入+=1得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.由x·(-2)=-得x1=-,1故|AM|=|x+2|=.1由题设,直线AN的方程为y=-(x+2),故同理可得|AN|=.(7分)由2|AM|=|AN|得=,即4k3-6k2+3k-8=0.(9分)设f(t)=4t 3-6t 2+3t-8,则k 是f(t)的零点, f '(t)=12t 2-12t+3=3(2t-1)2≥0,所以f(t)在(0,+∞)内单调递增. 又f( )=15 -26<0, f(2)=6>0,因此f(t)在(0,+∞)内有唯一的零点,且零点k 在( ,2)内,所以 <k<2.(12分)B 组 自主命题·省(区、市)卷题组考点一 椭圆的定义及其标准方程1.(2015广东,8,5分)已知椭圆 +=1(m>0)的左焦点为F 1(-4,0),则m=( )A.2B.3C.4D.9答案 B2.(2018天津,19,14分)设椭圆 +=1(a>b>0)的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,|AB|= .(1)求椭圆的方程;(2)设直线l:y=kx(k<0)与椭圆交于P,Q 两点,l 与直线AB 交于点M,且点P,M 均在第四象限.若△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍,求k 的值.解析 (1)设椭圆的焦距为2c,由已知有 =,又由a 2=b 2+c 2,可得2a=3b.由|AB|= = ,从而a=3,b=2. 所以,椭圆的方程为 +=1.(2)设点P 的坐标为(x 1,y 1),点M 的坐标为(x 2,y 2),由题意,x 2>x 1>0,点Q 的坐标为(-x 1,-y 1).由△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍,可得|PM|=2|PQ|,从而x 2-x 1=2[x 1-(-x 1)],即x 2=5x 1.易知直线AB 的方程为2x+3y=6,由方程组 消去y,可得x 2= .由方程组消去y,可得x 1=.由x 2=5x 1,可得 =5(3k+2),两边平方,整理得18k 2+25k+8=0,解得k=- 或k=-. 当k=-时,x 2=-9<0,不合题意,舍去; 当k=-时,x 2=12,x 1=,符合题意. 所以,k 的值为-.3.(2016天津,19,14分)设椭圆 +=1(a> )的右焦点为F,右顶点为A.已知+=,其中O 为原点,e 为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B(B 不在x 轴上),垂直于l 的直线与l 交于点M,与y 轴交于点H.若BF ⊥HF,且∠MOA=∠MAO,求直线l 的斜率. 解析 (1)设F(c,0),由+ = ,即 + = -,可得a 2-c 2=3c 2, 又a 2-c 2=b 2=3,所以c 2=1,因此a 2=4. 所以,椭圆的方程为 +=1. (2)设直线l 的斜率为k(k ≠0), 则直线l 的方程为y=k(x-2).设B(x B ,y B ),由方程组-消去y,整理得(4k 2+3)x 2-16k 2x+16k 2-12=0. 解得x=2,或x= -,由题意得x B =-,从而y B =-.由(1)知,F(1,0),设H(0,y H ),有 =(-1,y H ), = -.由BF ⊥HF,得 · =0,所以- +=0,解得y H = -.因此直线MH 的方程为y=- x+ -.设M(x M ,y M ),由方程组 ---消去y,解得x M =.在△MAO 中,∠MOA=∠MAO ⇔|MA|=|MO|,即(x M -2)2+ = +,化简得x M =1,即=1,解得k=-,或k=.所以,直线l 的斜率为-或.考点二 椭圆的几何性质1.(2017浙江,2,4分)椭圆 +=1的离心率是( ) A.B.C.D.答案 B2.(2016江苏,10,5分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,F 是椭圆 +=1(a>b>0)的右焦点,直线y=与椭圆交于B,C 两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是 .答案3.(2014江西,14,5分)设椭圆C: +=1(a>b>0)的左,右焦点为F 1,F 2,过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A,B 两点,F 1B 与y 轴相交于点D,若AD ⊥F 1B,则椭圆C 的离心率等于 . 答案考点三 直线与椭圆的位置关系1.(2018江苏,18,14分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 过点,焦点F 1(- ,0),F 2( ,0),圆O 的直径为F 1F 2. (1)求椭圆C 及圆O 的方程;(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P.①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,求点P 的坐标; ②直线l 与椭圆C 交于A,B 两点.若△OAB 的面积为,求直线l 的方程.解析解法一:(1)因为椭圆C的焦点为F1(-,0),F2(,0),所以可设椭圆C的方程为+=1(a>b>0).又点在椭圆C上,所以-解得因此,椭圆C的方程为+y2=1.因为圆O的直径为F1F2,所以其方程为x2+y2=3.(2)①设直线l与圆O相切于P(x0,y0)(x0>0,y0>0),则+=3.所以直线l的方程为y=-(x-x)+y0,即y=-x+.由-消去y,得(4+)x2-24x0x+36-4=0.(*)因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点,所以Δ=(-24x)2-4(4+)(36-4)=48(-2)=0.因为x,y0>0,所以x0=,y0=1.因此,点P的坐标为(,1).②因为三角形OAB的面积为,所以AB·OP=,从而AB=.设A(x1,y1),B(x2,y2),由(*)得x1,2=-,所以AB2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=·-.因为+=3,所以AB2=-=,即2-45+100=0.解得 =( =20舍去),则=,因此P 的坐标为.则直线l 的方程为y=- x+3 .解法二:(1)由题意知c= ,所以圆O 的方程为x 2+y 2=3,因为点在椭圆上,所以2a= --+-=4,所以a=2.因为a 2=b 2+c 2,所以b=1, 所以椭圆C 的方程为+y 2=1.(2)①由题意知直线l 与圆O 和椭圆C 均相切,且切点在第一象限,所以直线l 的斜率k 存在且k<0, 设直线l 的方程为y=kx+m(k<0,m>0),将直线l 的方程代入圆O 的方程,得x 2+(kx+m)2=3,整理得(k 2+1)x 2+2kmx+m 2-3=0,因为直线l 与圆O 相切,所以Δ=(2km)2-4(k 2+1)·(m 2-3)=0,整理得m 2=3k 2+3, 将直线l 的方程代入椭圆C 的方程,得+(kx+m)2=1, 整理得(4k 2+1)x 2+8kmx+4m 2-4=0, 因为直线l 与椭圆C 相切, 所以Δ=(8km)2-4(4k 2+1)(4m 2-4)=0, 整理得m 2=4k 2+1,所以3k 2+3=4k 2+1,因为k<0,所以k=- ,则m=3, 将k=- ,m=3代入(k 2+1)x 2+2kmx+m 2-3=0, 整理得x 2-2 x+2=0,解得x 1=x 2= ,将x= 代入x 2+y 2=3, 解得y=1(y=-1舍去),所以点P 的坐标为( ,1). ②设A(x 1,kx 1+m),B(x 2,kx 2+m), 由①知m 2=3k 2+3,且k<0,m>0,因为直线l 和椭圆C 相交,所以结合②的过程知m 2<4k 2+1,解得k<- , 将直线l 的方程和椭圆C 的方程联立可得(4k 2+1)x 2+8kmx+4m 2-4=0, 解得x 1,2=- -,所以|x 1-x 2|=-,因为AB= - - =|x 1-x 2| = -· ,O 到l 的距离d== ,所以S △OAB = · -· ·= ·-· · =, 解得k 2=5,因为k<0,所以k=- ,则m=3 , 即直线l 的方程为y=- x+3 .2.(2018北京,20,14分)已知椭圆M: +=1(a>b>0)的离心率为,焦距为2 .斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A,B.(1)求椭圆M 的方程; (2)若k=1,求|AB|的最大值;(3)设P(-2,0),直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C,直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D.若C,D 和点Q -共线,求k. 解析 (1)由题意得解得a= ,b=1.所以椭圆M 的方程为+y 2=1.(2)设直线l 的方程为y=x+m,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2). 由得4x 2+6mx+3m 2-3=0. 所以x 1+x 2=- ,x 1x 2= -. |AB|= - - = -= - = -.当m=0,即直线l 过原点时,|AB|最大,最大值为 . (3)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).由题意得 +3 =3, +3 =3.直线PA 的方程为y=(x+2).由得[(x 1+2)2+3 ]x 2+12 x+12-3(x 1+2)2=0.设C(x C ,y C ). 所以x C +x 1=-= -. 所以x C = - -x 1=- - . 所以y C =(x C +2)=.设D(x D ,y D ). 同理得x D =- -,y D =. 记直线CQ,DQ 的斜率分别为k CQ ,k DQ , 则k CQ -k DQ = -- ---- -=4(y 1-y 2-x 1+x 2).因为C,D,Q 三点共线, 所以k CQ -k DQ =0. 故y 1-y 2=x 1-x 2. 所以直线l 的斜率k=- -=1.C 组 教师专用题组考点一椭圆的定义及其标准方程1.(2016四川,20,13分)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点P在椭圆E上.(1)求椭圆E的方程;(2)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B,线段AB的中点为M,直线OM与椭圆E交于C,D,证明:|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.解析(1)由已知,a=2b.又椭圆+=1(a>b>0)过点P,故+=1,解得b2=1.所以椭圆E的方程是+y2=1.(2)证明:设直线l的方程为y=x+m(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),由方程组得x2+2mx+2m2-2=0,①方程①的判别式为Δ=4(2-m2),由Δ>0,即2-m2>0,解得-<m<.由①得x+x2=-2m,x1x2=2m2-2.1所以M点坐标为-,直线OM方程为y=-x,得C-,D-.由方程组-所以|MC|·|MD|=(-m+)·(+m)=(2-m2).又|MA|·|MB|=|AB|2=[(x-x2)2+(y1-y2)2]=[(x1+x2)2-4x1x2]=[4m2-4(2m2-2)]=(2-m2),1所以|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.2.(2015天津,19,14分)已知椭圆+=1(a>b>0)的上顶点为B,左焦点为F,离心率为.(1)求直线BF的斜率;(2)设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B),过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q(Q异于点B),直线PQ与y轴交于点M,|PM|=λ|MQ|.(i)求λ的值;(ii)若|PM|sin∠BQP=,求椭圆的方程.解析(1)设F(-c,0).由已知离心率=及a2=b2+c2,可得a=c,b=2c.又因为B(0,b),F(-c,0),故直线BF的斜率k=-==2.--(2)设点P(x P,y P),Q(x Q,y Q),M(x M,y M).(i)由(1)可得椭圆的方程为+=1,直线BF 的方程为y=2x+2c.将直线方程与椭圆方程联立,消去y,整理得3x 2+5cx=0,解得x P =-.因为BQ ⊥BP,所以直线BQ 的方程为y=-x+2c,与椭圆方程联立,消去y,整理得21x 2-40cx=0,解得x Q =. 又因为λ=,及x M =0,可得λ=- - = =. (ii)由(i)有= ,所以 = =, 即|PQ|=|PM|. 又因为|PM|sin ∠BQP=, 所以|BP|=|PQ|sin ∠BQP=|PM|sin ∠BQP=. 又因为y P =2x P +2c=-c, 所以|BP|==c, 因此c=,得c=1.所以,椭圆方程为 +=1.3.(2015重庆,21,12分)如图,椭圆 +=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 2的直线交椭圆于P,Q 两点,且PQ ⊥PF 1. (1)若|PF 1|=2+ ,|PF 2|=2- ,求椭圆的标准方程;(2)若|PQ|=λ|PF 1|,且≤λ<,试确定椭圆离心率e 的取值范围.解析 (1)由椭圆的定义得,2a=|PF 1|+|PF 2|=(2+ )+(2- )=4,故a=2. 设椭圆的半焦距为c,由已知PF 1⊥PF 2,因此2c=|F 1F 2|= = - =2 ,即c= ,从而b= - =1. 故所求椭圆的标准方程为+y 2=1. (2)如图,由PF 1⊥PQ,|PQ|=λ|PF 1|,得 |QF 1|= = |PF 1|.由椭圆的定义得,|PF 1|+|PF 2|=2a,|QF 1|+|QF 2|=2a,进而 |PF 1|+|PQ|+|QF 1|=4a.于是(1+λ+)|PF1|=4a,解得|PF1|=,故|PF2|=2a-|PF1|=.由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=4c2,从而+=4c2,两边除以4a2,得+-=e2.若记t=1+λ+,则上式变成e2=-=8-+.由≤λ<,并注意到t=1+λ+关于λ的单调性,得3≤t<4,即<≤.进而<e2≤,即<e≤.4.(2014广东,20,14分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点为(,0),离心率为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.解析(1)由题意得c=,∵e==,∴a=3,∴b=-=2,∴椭圆C的标准方程为+=1.(2)当过P点的两条切线的斜率均存在时,不妨设为k1、k2,则过P点的切线方程可设为y-y=k(x-x0)⇒y=kx+y0-kx0,由-消去y,有(4+9k2)x2+18k(y-kx0)x+9[(y0-kx0)2-4]=0,Δ=[18k(y0-kx0)]2-4(4+9k2)×9[(y0-kx0)2-4]=0,整理得(9-)k2+2xy0k-+4=0,∴k1k2=--(x0≠±3),由已知得k1k2=-1,∴--=-1,∴+=13,即此时点P的轨迹方程为+=13.当两条切线中有一条垂直于x轴时,此时两条切线方程应分别为x=3,y=2或x=-3,y=2或x=3,y=-2或x=-3,y=-2,P点坐标为(3,2)或(-3,2)或(3,-2)或(-3,-2),均满足方程+=13(x0≠±3).综上所述,所求P点的轨迹方程为+=13.5.(2013课标Ⅰ,21,12分)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程;(2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.解析由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1;圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3.设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4.由椭圆的定义可知,曲线C是以M、N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左顶点除外),其方程为+=1(x≠-2).(2)对于曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2,所以R≤2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.所以当圆P的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4.若l的倾斜角为90°,则l与y轴重合,可得|AB|=2.若l的倾斜角不为90°,由r1≠R知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q,则=,可求得Q(-4,0),所以可设l:y=k(x+4).由l与圆M相切得=1,解得k=±.当k=时,将y=x+代入+=1,并整理得7x2+8x-8=0,解得x1,2=-.所以|AB|=|x2-x1|=.当k=-时,由图形的对称性可知|AB|=.综上,|AB|=2或|AB|=.考点二椭圆的几何性质1.(2013课标Ⅱ,5,5分)设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为()A. B. C. D.答案D2.(2012课标全国,4,5分)设F1、F2是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为()A. B. C. D.答案C设直线x=a与x轴交于点Q,由题意得∠PF2Q=60°,|F2P|=|F1F2|=2c,|F2Q|=a-c,∴a-c=×2c,e==,故选C.3.(2011课标,4,5分)椭圆+=1的离心率为()A. B. C. D.答案D4.(2010全国Ⅰ,16,5分)已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交C于点D,且=2,则C的离心率为.答案5.(2017天津,20,14分)已知椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),右顶点为A,点E的坐标为(0,c),△EFA的面积为.(1)求椭圆的离心率;(2)设点Q在线段AE上,|FQ|=c,延长线段FQ与椭圆交于点P,点M,N在x轴上,PM∥QN,且直线PM与直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c.(i)求直线FP的斜率;(ii)求椭圆的方程.解析(1)设椭圆的离心率为e.由已知,可得(c+a)c=.又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0.又因为0<e<1,解得e=.所以,椭圆的离心率为.(2)(i)依题意,设直线FP的方程为x=my-c(m>0),则直线FP的斜率为.由(1)知a=2c,可得直线AE的方程为+=1,即x+2y-2c=0,与直线FP的方程联立,可解得x=-,y=,即点Q的坐标为-.由已知|FQ|=c,有-+=,整理得3m2-4m=0,所以m=,即直线FP的斜率为.(ii)由a=2c,可得b=c,故椭圆方程可以表示为+=1.由(i)得直线FP的方程为3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立得-消去y,整理得7x2+6cx-13c2=0,解得x=-(舍去),或x=c.因此可得点P,进而可得|FP|==,所以|PQ|=|FP|-|FQ|=-=c.由已知,线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离,故直线PM和QN都垂直于直线FP.因为QN⊥FP,所以|QN|=|FQ|·tan∠QFN=×=,所以△FQN的面积为|FQ||QN|=,同理△FPM的面积等于,由四边形PQNM的面积为3c,得-=3c,整理得c2=2c,又由c>0,得c=2.所以,椭圆的方程为+=1.6.(2015安徽,20,13分)设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB 上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为.(1)求E的离心率e;(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点.证明:MN⊥AB.解析(1)由题设条件知,点M的坐标为,又kOM=,从而=.进而a=b,c=-=2b.故e==.(2)证明:由N是AC的中点知,点N的坐标为-,可得=.又=(-a,b),从而有·=-a2+b2=(5b2-a2).由(1)的计算结果可知a2=5b2,所以·=0,故MN⊥AB.7.(2014安徽,21,13分)设F1、F2分别是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,|AF1|=3|F1B|.(1)若|AB|=4,△ABF2的周长为16,求|AF2|;(2)若cos∠AF2B=,求椭圆E的离心率.解析(1)由|AF1|=3|F1B|,|AB|=4,得|AF1|=3,|F1B|=1.因为△ABF2的周长为16,所以由椭圆定义可得4a=16,|AF1|+|AF2|=2a=8.故|AF2|=2a-|AF1|=8-3=5.(2)设|F1B|=k,则k>0且|AF1|=3k,|AB|=4k.由椭圆定义可得|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k.在△ABF2中,由余弦定理可得|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B,即(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2-(2a-3k)(2a-k).化简可得(a+k)(a-3k)=0,而a+k>0,故a=3k.于是有|AF2|=3k=|AF1|,|BF2|=5k.因此|BF2|2=|F2A|2+|AB|2,可得F1A⊥F2A,△AF1F2为等腰直角三角形.从而c=a,所以椭圆E的离心率e==.8.(2014天津,18,13分)设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B.已知|AB|=·|F1F2|.(1)求椭圆的离心率;(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过点F2的直线l与该圆相切于点M,|MF2|=2.求椭圆的方程.解析(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0).由|AB|=|F1F2|,可得a2+b2=3c2,又b2=a2-c2,所以=.所以,椭圆的离心率e=.(2)由(1)知a2=2c2,b2=c2.故椭圆方程为+=1.设P(x,y0).由F1(-c,0),B(0,c),有=(x0+c,y0),=(c,c).由已知,有·=0,即(x+c)c+y0c=0.又c≠0,故有x0+y0+c=0.①因为点P在椭圆上,故+=1.②由①和②可得3+4cx=0.而点P不是椭圆的顶点,故x0=-c,代入①得y0=,即点P的坐标为-.设圆的圆心为T(x1,y1),则x1=-=-c,y1==c,进而圆的半径r=--= c.由已知,有|TF2|2=|MF2|2+r2,又|MF2|=2,故有+-=8+c2,解得c2=3.所以,所求椭圆的方程为+=1.考点三直线与椭圆的位置关系1.(2017北京,19,14分)已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E.求证:△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.解析(1)设椭圆C的方程为+=1(a>b>0).由题意得解得c=.所以b2=a2-c2=1.所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明:设M(m,n),则D(m,0),N(m,-n).由题设知m≠±2,且n≠0.直线AM的斜率kAM=,故直线DE的斜率k DE=-.所以直线DE的方程为y=-(x-m).直线BN 的方程为y=-(x-2). 联立---- 解得点E 的纵坐标y E =---.由点M 在椭圆C 上,得4-m 2=4n 2. 所以y E =-n.又S △BDE = |BD|·|y E |=|BD|·|n|, S △BDN =|BD|·|n|,所以△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.2.(2014四川,20,13分)已知椭圆C: +=1(a>b>0)的左焦点为F(-2,0),离心率为.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)设O 为坐标原点,T 为直线x=-3上一点,过F 作TF 的垂线交椭圆于P,Q.当四边形OPTQ 是平行四边形时,求四边形OPTQ 的面积. 解析 (1)由已知可得, =,c=2,所以a= . 又由a 2=b 2+c 2,解得b= ,所以椭圆C 的标准方程是 +=1. (2)设T 点的坐标为(-3,m),则直线TF 的斜率k TF =-- - -=-m. 当m ≠0时,直线PQ 的斜率k PQ =,直线PQ 的方程是x=my-2.当m=0时,直线PQ 的方程是x=-2,也符合x=my-2的形式. 设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立,得 -消去x,得(m 2+3)y 2-4my-2=0, 其判别式Δ=16m 2+8(m 2+3)>0,所以y 1+y 2=,y 1y 2=-, x 1+x 2=m(y 1+y 2)-4=-. 因为四边形OPTQ 是平行四边形,所以 = ,即(x 1,y 1)=(-3-x 2,m-y 2). 所以--解得m=±1.此时,S 四边形OPTQ =2S △OPQ =2×·|OF|·|y 1-y 2| =2 - ·-=2 .3.(2014辽宁,20,12分)圆x 2+y 2=4的切线与x 轴正半轴,y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图). (1)求点P 的坐标;(2)焦点在x 轴上的椭圆C 过点P,且与直线l:y=x+ 交于A,B 两点.若△PAB 的面积为2,求C 的标准方程.解析(1)设切点坐标为(x,y0)(x0>0,y0>0),则切线斜率为-,切线方程为y-y0=-(x-x0),即x0x+y0y=4.此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S=··=,由+=4≥2xy0知当且仅当x0=y0=时x0y0有最大值,即S有最小值,因此点P的坐标为(,).(2)设C的标准方程为+=1(a>b>0),点A(x1,y1),B(x2,y2).由点P在C上知+=1,并由得b2x2+4x+6-2b2=0,又x1,x2是方程的根,因此--由y1=x1+,y2=x2+,得|AB|=|x1-x2|=·-.由点P到直线l的距离为及S△PAB=×|AB|=2得b4-9b2+18=0,解得b2=6或3,因此b2=6,a2=3(舍)或b2=3,a2=6,从而所求C的方程为+=1.4.(2014陕西,20,13分)已知椭圆+=1(a>b>0)经过点(0,),离心率为,左,右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0).(1)求椭圆的方程;(2)若直线l:y=-x+m与椭圆交于A,B两点,与以F1F2为直径的圆交于C,D两点,且满足=,求直线l的方程.解析(1)由题设知-解得a=2,b=,c=1,∴椭圆的方程为+=1.(2)由(1)知,以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1,∴圆心到直线l的距离d=,d<1得|m|<.(*)∴|CD|=2-=2-=-.设A(x1,y1),B(x2,y2),由-得x2-mx+m2-3=0,由根与系数的关系可得x1+x2=m,x1x2=m2-3.∴|AB|=---=-.由=得--=1,解得m=±,满足(*).∴直线l的方程为y=-x+或y=-x-.【三年模拟】时间:70分钟分值:80分一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2018山东济南一模,5)已知椭圆C:+=1(a>b>0),若长轴长为6,且两焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的标准方程为()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1答案B2.(2018安徽合肥一模,7)如图,椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交椭圆于M,N两点,交y轴于点H.若F1,H是线段MN的三等分点,则△F2MN的周长为()A.20B.10C.2D.4答案D3.(2019届河南郑州一中10月月考,10)在平面直角坐标系中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点A,B分别为椭圆C的左顶点和上顶点,点M为椭圆C上位于第一象限内的一点,AB∥OM,MF2⊥F1F2,则椭圆C的离心率为()A. B. C. D.答案B4.(2018湖南常德模拟,8)椭圆C1:+=1与双曲线C2:-=1(a>b>0)的离心率之积为,直线l:x-y+3=0与椭圆C1相切,则椭圆C1的方程为()A.+y2=1B.+=1C.+=1D.+=1答案C5.(2019届广东七校第二次联考,11)已知点P为椭圆+=1上的动点,EF为圆N:x2+(y-1)2=1的任一直径,则·的最大值和最小值分别是()A.16,12-4B.17,13-4C.19,12-4D.20,13-4答案C6.(2019届湖南衡阳第一中学第一次月考,12)已知椭圆+=1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程为x-y+5=0,弦的中点坐标是M(-4,1),则椭圆的离心率是()A. B. C. D.答案C7.(2017江西九江模拟,10)已知椭圆+=1(a>b>0),F1,F2为椭圆的左、右焦点,O为坐标原点,点P为椭圆上一点,|OP|=a,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列,则椭圆的离心率为()A. B. C. D.答案D8.(2019届河南顶级名校第三次联考,12)设椭圆+=1(a>b>0)长轴的端点分别为A,B,点C为椭圆上异于A,B的一点,若将△ABC 的三个内角分别记为A,B,C,且满足3tan A+3tan B+tan C=0,则椭圆的离心率为()A. B. C. D.答案A二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2019届辽宁重点中学第三次联考,15)已知点P是椭圆+=1(a>b>0)上的一点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,已知∠F1PF2=120°,且|PF|=2|PF2|,则椭圆的离心率为.1答案10.(2017江西赣州期末,15)已知圆E:x2+-=经过椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点F1,F2,与椭圆在第一象限的交点为A,且F1,E,A三点共线,则该椭圆的方程为.答案+=1三、解答题(共30分)11.(2019届甘肃西北师大附中11月月考,20)已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点P,离心率是.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线l与椭圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M.求直线l与坐标轴围成的三角形的面积.解析(1)设c为椭圆的半焦距,由已知可得=,+=1,c2=a2-b2,解得a=2,b=1,c=.∴椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程得+=1,+=1,两式相减得-+(y1-y2)(y1+y2)=0,由中点坐标公式得x1+x2=1,y1+y2=1,∴k AB=--=-,∴直线AB的方程为y-=--.令x=0,可得y=,令y=0,可得x=,则直线l与坐标轴围成的三角形面积S=××=.12.(2019届广东七校9月调研,20)已知椭圆E:+=1(a>b>0),若椭圆上一点P与其中心及长轴的一个端点构成等腰直角三角形.(1)求椭圆E的离心率;(2)如图,若直线l与椭圆相交于A,B,且线段AB是圆(x-1)2+(y+1)2=5的一条直径,求椭圆E的标准方程.解析(1)由题意得椭圆上点P的坐标为,代入椭圆方程得+=1,即a2=3b2,∴a2=3b2=3(a2-c2),∴2a2=3c2,∴e=.(2)根据(1)可设椭圆方程为+=1,直线AB的方程为y=k(x-1)-1,A(x1,y1),B(x2,y2),则--⇒(3k2+1)x2-6k(k+1)x+3(k+1)2-3b2=0(*),∴x1+x2=,x1x2=-.又x1+x2=2,∴k=,∴x1x2=-,则|AB|=-=×-·-=2.∴b2=,则a2=10,∴椭圆E的标准方程为+=1.13.(2019届四川成都顶级名校9月调研,20)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率e=,连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为4.(1)求该椭圆的方程;(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A,B,已知点A的坐标为(-a,0),点Q(0,y0)在线段AB的垂直平分线上,且·=4,求y0的值.解析(1)由e==得3a2=4c2,再由c2=a2-b2得a=2b.由题意可知,×2a×2b=4,即ab=2.联立结合a>b>0,解得a=2,b=1,所以椭圆的方程为+y2=1.(2)由(1)可知A(-2,0),设B点的坐标为(x1,y1),直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x+2),于是A,B两点的坐标满足方程组消去y,整理得(1+4k2)x2+16k2x+(16k2-4)=0,由-2x=-得x1=-,从而y1=.1设线段AB的中点为M,则M的坐标为-.分两种情况讨论:①当k=0时,点B的坐标为(2,0),线段AB的垂直平分线为y轴,于是=(-2,-y0),=(2,-y0),由·=4,得y0=±2.②当k≠0时,线段AB的垂直平分线方程为y-=-.将(0,y)代入,解得y0=-.又=(-2,-y),=(x1,y1-y0),所以·=-2x-y0(y1-y0)=--+=-=4,1整理得7k2=2,故k=±,所以y=±.综上,y=±2或y0=±.。
2023年高考数学(文科)一轮复习讲义——椭圆 第一课时 椭圆及其性质
第5节椭圆考试要求 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.1.椭圆的定义在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集.2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形性质范围－a ≤x ≤a－b ≤y ≤b－b ≤x ≤b －a ≤y ≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，B 1(0，－b )，B 2(0，b )A 1(0，－a )，A 2(0，a )，B 1(－b ，0)，B 2(b ，0)轴 长轴A 1A 2的长为2a ；短轴B 1B 2的长为2b焦距 |F 1F 2|＝2c 离心率e ＝ca ∈(0，1) a ，b ，c 的关系c 2＝a 2－b 21.点P (x 0，y 0)和椭圆的位置关系(1)点P (x 0，y 0)在椭圆内⇔x 20a 2＋y 20b 2<1； (2)点P (x 0，y 0)在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1； (3)点P (x 0，y 0)在椭圆外⇔x 20a 2＋y 20b 2>1.2.若点P 在椭圆上，F 为椭圆的一个焦点，则 (1)b ≤|OP |≤a ； (2)a －c ≤|PF |≤a ＋c .3.焦点三角形：椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫作焦点三角形，r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|，∠F 1PF 2＝θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中：(1)当r 1＝r 2时，即点P 的位置为短轴端点时，θ最大；(2)S ＝b 2tan θ2＝c |y 0|，当|y 0|＝b 时，即点P 的位置为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc .4.焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长l min ＝2b 2a .5.AB 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，则直线AB 的斜率k AB ＝－b 2x 0a 2y 0.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.( )(2)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆.( ) (3)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形.( ) (4)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦距相同.( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√解析 (1)由椭圆的定义知，当该常数大于|F 1F 2|时，其轨迹才是椭圆，而常数等于|F 1F 2|时，其轨迹为线段F 1F 2，常数小于|F 1F 2|时，不存在这样的图形. (2)因为e ＝ca ＝a 2－b 2a＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，所以e 越大，则ba 越小，椭圆就越扁.2.(易错题)(2022·济南联考)“2<m <6”是“方程x 2m －2＋y 26－m ＝1表示的曲线为椭圆”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 B解析 若方程x 2m －2＋y 26－m ＝1表示的曲线为椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧m －2>0，6－m >0，m －2≠6－m ，解得2<m <6，且m ≠4， 故“2<m <6”是“方程x 2m －2＋y 26－m ＝1表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件.3.(2021·新高考Ⅰ卷)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29＋y 24＝1的两个焦点，点M 在C 上，则|MF 1|·|MF 2|的最大值为( ) A.13 B.12C.9D.6答案 C解析 由椭圆C ：x 29＋y 24＝1，得|MF 1|＋|MF 2|＝2×3＝6，则|MF 1|·|MF 2|≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|MF 1|＋|MF 2|22＝32＝9，当且仅当|MF 1|＝|MF 2|＝3时等号成立.4.(2021·洛阳模拟)已知椭圆C ：16x 2＋4y 2＝1，则下列结论正确的是( ) A.长轴长为12 B.焦距为34 C.短轴长为14 D.离心率为32答案 D解析 把椭圆方程16x 2＋4y 2＝1化为标准方程可得x 2116＋y 214＝1，所以a＝12，b ＝14，c ＝34，则长轴长2a ＝1，焦距2c ＝32，短轴长2b ＝12，离心率e ＝c a ＝32.5.(易错题)已知椭圆x 25＋y 2m ＝1(m >0)的离心率e ＝105，则m 的值为________. 答案 3或253解析 若a 2＝5，b 2＝m ，则c ＝5－m . 由c a ＝105，即5－m 5＝105，解得m ＝3.若a 2＝m ，b 2＝5，则c ＝m －5. 由c a ＝105，即m －5m＝105，解得m ＝253. 综上，m ＝3或253.6.(2021·全国甲卷)已知F 1，F 2为椭圆C ：x 216＋y 24＝1的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且|PQ |＝|F 1F 2|，则四边形PF 1QF 2的面积为________. 答案 8解析 根据椭圆的对称性及|PQ |＝|F 1F 2|可以得到四边形PF 1QF 2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF 1QF 2为矩形.设|PF 1|＝m ，则|PF 2|＝2a －|PF 1|＝8－m ，则|PF 1|2＋|PF 2|2＝m 2＋(8－m )2＝2m 2＋64－16m ＝|F 1F 2|2＝4c 2＝4(a 2－b 2)＝48，得m (8－m )＝8，所以四边形PF 1QF 2的面积为|PF 1|·|PF 2|＝m (8－m )＝8.第一课时 椭圆及其性质考点一 椭圆的定义及其应用1.如图，圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 内一个定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和半径OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是( )A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆答案 A解析 连接QA (图略). 由已知得|QA |＝|QP |，所以|QO |＋|QA |＝|QO |＋|QP |＝|OP |＝r .又因为点A 在圆内，所以|OA |＜|OP |，根据椭圆的定义，点Q 的轨迹是以O ，A 为焦点，r 为长轴长的椭圆.2.(2022·合肥模拟)已知F 是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，椭圆E 上一点P (2，1)关于原点的对称点为Q ，若△PQF 的周长为42＋25，则a －b ＝( ) A. 2 B.22C. 3D.32答案 A解析 根据椭圆的对称性及椭圆的定义可知，△PQF 的周长为2a ＋2×22＋12＝2a ＋2 5. 又△PQF 的周长为42＋25， 所以2a ＝42，解得a ＝2 2. 又点P (2，1)在椭圆上，所以22（22）2＋12b 2＝1，解得b ＝2，所以a －b ＝ 2.3.设点P 为椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1(a >2)上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，且∠F 1PF 2＝60°，则△PF 1F 2的面积为________. 答案 433解析 由题意知，c ＝a 2－4.又∠F 1PF 2＝60°，|F 1P |＋|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2a 2－4，∴|F 1F 2|2＝(|F 1P |＋|PF 2|)2－2|F 1P |·|PF 2|－2|F 1P |·|PF 2|cos 60° ＝4a 2－3|F 1P |·|PF 2|＝4a 2－16， ∴|F 1P |·|PF 2|＝163，∴S △PF 1F 2＝12|F 1P |·|PF 2|sin 60° ＝12×163×32＝433.4.已知F 是椭圆5x 2＋9y 2＝45的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1，1)是一定点，则|P A |＋|PF |的最大值为________，最小值为________. 答案 6＋2 6－ 2解析 椭圆方程化为x 29＋y 25＝1， 设F 1是椭圆的右焦点，则F 1(2，0)， ∴|AF 1|＝2，∴|P A |＋|PF |＝|P A |－|PF 1|＋6.又－|AF 1|≤|P A |－|PF 1|≤|AF 1|(当P ，A ，F 1三点共线时等号成立)，∴6－2≤|P A |＋|PF |≤6＋ 2.感悟提升 1.椭圆定义的应用主要有：判断平面内动点的轨迹是否为椭圆，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等. 2.与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，得到a ，c 的关系. 考点二 椭圆的标准方程例1 (1)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( ) A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1D.x 25＋y 24＝1(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52，(3，5)，则椭圆方程为________.(3)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________.答案 (1)B (2)y 210＋x 26＝1 (3)y 220＋x 24＝1解析 (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0).连接F 1A ，令|F 2B |＝m ，则|AF 2|＝2m ，|BF 1|＝3m .由椭圆的定义知，4m ＝2a ，得m ＝a2，故|F 2A |＝a ＝|F 1A |，则点A 为椭圆C 的上顶点或下顶点.如图，不妨设A (0，－b )，由F 2(1，0)，AF 2→＝2F 2B →，得B ⎝⎛⎭⎪⎫32，b 2.由点B 在椭圆上，得94a 2＋b 24b 2＝1，得a 2＝3，b 2＝a 2－c 2＝2，椭圆C 的方程为x 23＋y22＝1.(2)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ，n >0，m ≠n ).由⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫－322m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522n ＝1，3m ＋5n ＝1，解得m ＝16，n ＝110， ∴椭圆方程为y 210＋x 26＝1.(3)法一(待定系数法) 设所求椭圆方程为y 225－k ＋x 29－k ＝1(k <9)，将点(3，－5)的坐标代入可得 （－5）225－k＋（3）29－k＝1，解得k ＝5(k ＝21舍去)，所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.法二(定义法) 椭圆y 225＋x 29＝1的焦点为(0，－4)，(0，4)，即c ＝4.由椭圆的定义知，2a ＝（3－0）2＋（－5＋4）2＋ （3－0）2＋（－5－4）2，解得a ＝2 5. 由c 2＝a 2－b 2可得b 2＝4.所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.感悟提升 根据条件求椭圆方程的主要方法有：(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义. (2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a ，b .当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m ，n 的值即可. (3)椭圆系方程①与x 2a 2＋y 2b 2＝1共焦点的椭圆系为x 2a 2－k ＋y 2b 2－k＝1(k <b 2).②与x 2a 2＋y 2b 2＝1有共同的离心率的椭圆系为x 2a 2＋y 2b 2＝λ或y 2a 2＋x 2b 2＝λ(λ>0). 训练1 (1)与椭圆x 23＋y 22＝1有相同离心率且经过点(3，2)的椭圆标准方程为______________.(2)(2021·赣中南五校联考)已知椭圆C 的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过点(0，3)，过其中一焦点且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若|AB |＝1，则椭圆C 的标准方程为( )A.x 2＋y23＝1B.x 23＋y 2＝1C.x 236＋y 23＝1 D.x 23＋y 236＝1答案 (1)x 26＋y 24＝1或y 2132＋x 2133＝1 (2)C解析 (1)若焦点在x 轴上，设所求椭圆方程为x 23＋y 22＝a (a >0)， 将点(3，2)代入，得a ＝2. 故所求椭圆的标准方程为x 26＋y 24＝1. 若焦点在y 轴上，设所求椭圆方程为y 23＋x 22＝λ(λ>0)， 将点(3，2)代入，得λ＝136. 故所求椭圆方程为y 2132＋x 2133＝1.(2)由题意知，椭圆C 的焦点在x 轴上， 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0). 由椭圆C 经过点(0，3)，得b ＝ 3. 不妨设A (c ，y 1)，代入椭圆方程得c 2a 2＋y 21b 2＝1，解得y 21＝b 4a 2， 所以|AB |＝2b 2a ＝1，由此解得a ＝6， 所以椭圆C 的标准方程为x 236＋y 23＝1.考点三 椭圆的几何性质 角度1 椭圆的离心率例2 (1)(2022·昆明诊断)已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是椭圆短轴的端点，点N 在椭圆上，若MF 1→＝3NF 2→，则椭圆E 的离心率为( ) A.13B.12C.22D.63(2)(2021·兰州调研)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，P 是椭圆C 上一点，且PF 1与x 轴垂直，直线PF 2与椭圆C 的另一个交点为Q .若直线PQ 的斜率为－34，则椭圆C 的离心率为( ) A.24B.12C.22D.32答案 (1)C (2)B解析 (1)设M (0，b )，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，N (x ，y )， 因为MF 1→＝3NF 2→，所以(－c ，－b )＝3(c －x ，－y )， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43c ，y ＝b 3，代入椭圆方程并化简，得169e 2＋19＝1，解得e ＝22.(2)由题意知F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)， 由PF 1与x 轴垂直，PQ 的斜率为－34， 可得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，由k PQ ＝kPF 2＝b 2a－2c＝－34，整理得a 2－c 22ac ＝34，即2c 2＋3ac －2a 2＝0， 得2e 2＋3e －2＝0，解得e ＝12或e ＝－2(舍去). 感悟提升 求椭圆离心率的方法(1)直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解.(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的方程求解. (3)利用公式e ＝1－b 2a 2求解. 角度2 与椭圆几何性质有关的最值范围问题例3 (1)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点.若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1(2)已知点A (0，2)及椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点P ，则|P A |的最大值是________.答案 (1)A (2)2213解析 (1)设左焦点F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形.∵|AF |＋|BF |＝4， ∴|AF |＋|AF 0|＝4， ∴a ＝2.设M (0，b )，则|－4b |32＋（－4）2＝4b 5≥45，∴1≤b ＜2. 离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝4－b 24∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32，故选A.(2)设P (x 0，y 0)，则－2≤x 0≤2，－1≤y 0≤1，∴|P A |2＝x 20＋(y 0－2)2. ∵x 24＋y 20＝1，∴|P A |2＝4(1－y 20)＋(y 0－2)2＝－3y 20－4y 0＋8＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0＋232＋283.∵－1≤y 0≤1，∴当y 0＝－23时，|P A |2max＝283， 即|P A |max ＝2213.感悟提升 利用椭圆几何性质求值域或范围的思路(1)将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系.(2)将所求范围用a ，b ，c 表示，利用a ，b ，c 自身的范围、关系求范围.训练2 (1)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点.若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( ) A.(0，1]∪[9，＋∞) B.(0，3]∪[9，＋∞) C.(0，1]∪[4，＋∞) D.(0，3]∪[4，＋∞)(2)(2022·成都质量检测)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，过F 的直线交椭圆于A ，B 两点，点C 是点A 关于原点O 的对称点，若CF ⊥AB 且CF ＝AB ，则椭圆的离心率为________.答案 (1)A (2)6－ 3解析 (1)①当焦点在x 轴上，依题意得 0<m <3，且3m ≥tan ∠AMB 2＝3，∴0<m <3且m ≤1，则0<m ≤1. ②当焦点在y 轴上，依题意m >3，且m3≥tan ∠AMB 2＝3，∴m ≥9， 综上，m 的取值范围是(0，1]∪[9，＋∞).(2)设椭圆的左焦点为F ′，连接AF ′，BF ′，CF ′，由题意和对称性，得四边形F AF ′C 为矩形，三角形ABF ′为等腰直角三角形，设AF ′＝AB ＝x (x >0)，则x ＋x ＋2x ＝4a ，解得x ＝(4－22)a ，则AF ＝(22－2)a ，在直角三角形AFF ′中，由勾股定理得AF ′2＋AF 2＝(2c )2，所以e 2＝9－62，e ＝6－ 3.1.椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距为2，则m 的值等于( ) A.5 B.3 C.5或3D.8答案 C解析 由题意知椭圆焦距为2，即c ＝1，又满足关系式a 2－b 2＝c 2＝1，故当a 2＝4时，m ＝b 2＝3；当b 2＝4时，m ＝a 2＝5.2.(2022·西安模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为23，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为12，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 29＋y 24＝1D.x 29＋y 25＝1答案 D解析 由题意可得c a ＝23，4a ＝12，解得a ＝3，c ＝2，则b ＝32－22＝5，所以椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1.3.已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( ) A.x 264－y 248＝1 B.x 248＋y 264＝1 C.x 248－y 264＝1D.x 264＋y 248＝1答案 D解析 设圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16>8＝|C 1C 2|， 所以M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆，且2a ＝16，2c ＝8， 所以a ＝8，c ＝4，b ＝a 2－c 2＝43，故所求动圆圆心M 的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.4.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，过点F 作圆x 2＋y 2＝b 2的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C 的离心率为( ) A.12 B.22C.23D.63答案 D解析 如图，由题意可得，2b ＝c ，则2b 2＝c 2，即2(a 2－c 2)＝c 2， 则2a 2＝3c 2， ∴c 2a 2＝23，即e ＝c a ＝63.5.(2021·盐城调研)已知F 1，F 2为椭圆x 28＋y 24＝1的左、右焦点，P 是椭圆上一点，若S △F 1PF 2＝4，则∠F 1PF 2等于( ) A.30° B.45° C.60° D.90°答案 D解析 由x 28＋y 24＝1，可得a ＝22，b ＝2，c ＝a 2－b 2＝2. 设P (x 1，y 1)且y 1>0，所以S △F 1PF 2＝12|F 1F 2|·y 1＝12×4×y 1＝4，解得y 1＝2， 此时点P 的坐标为(0，2)， 所以|PF 1|＝|PF 2|＝2 2. 又因为|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， 所以∠F 1PF 2＝90°.6.设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c 上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，33C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1 答案 D解析 设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，m ，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)， 由线段PF 1的中垂线过点F 2 得|PF 2|＝|F 1F 2|，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c －c 2＋m 2＝2c ， 得m 2＝4c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c －c 2＝－a4c 2＋2a 2＋3c 2≥0，即3c 4＋2a 2c 2－a 4≥0，得3e 4＋2e 2－1≥0，解得e 2≥13.又0<e <1，故33≤e <1.7.与椭圆x 24＋y 23＝1有相同离心率且经过点(2，－3)的椭圆标准方程为_________________.答案 y 2253＋x 2254＝1或x 28＋y 26＝1解析 若焦点在x 轴上，设所求椭圆方程为 x 24＋y 23＝t (t >0)，将点(2，－3)代入，得t ＝224＋（－3）23＝2， 故所求椭圆的标准方程为x 28＋y 26＝1.若焦点在y 轴上，设方程为y 24＋x 23＝λ(λ>0)代入点(2，－3)，得λ＝2512，∴所求椭圆的标准方程为y 2253＋x 2254＝1.8.(2021·皖北协作体联考)“天问一号”推开了我国行星探测的大门，通过一次发射，将实现火星环绕、着陆、巡视，是世界首创，也是我国真正意义上的首次深空探测.2021年2月10日，“天问一号”探测器顺利进入火星的椭圆环火轨道(将火星近似看成一个球体，球心为椭圆的一个焦点).2月15日17时，“天问一号”探测器成功实施捕获轨道“远火点(椭圆轨迹上距离火星表面最远的一点)平面机动”，同时将近火点高度调整至约265公里.若此时远火点距离约为11 945公里，火星半径约为3 400公里，则调整后“天问一号”的运行轨迹(环火轨道曲线)的离心率约为________(精确到0.1).答案 0.6解析 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由椭圆的性质可得椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a －c ，最大值为a ＋c ，根据题意可得近火点满足a －c ＝3 400＋265＝3 665，远火点满足a ＋c ＝3 400＋11 945＝15 345，解得a ＝9 505，c ＝5 840，所以椭圆的离心率为e ＝c a ＝5 8409 505≈0.6.9.已知点P (0，1)，椭圆x 24＋y 2＝m (m >1)上两点A ，B 满足AP →＝2PB →，则当m ＝________时，点B 横坐标的绝对值最大.答案 5解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AP →＝2PB →，得⎩⎨⎧－x 1＝2x 2，1－y 1＝2（y 2－1），即x 1＝－2x 2，y 1＝3－2y 2.因为点A ，B 在椭圆上，所以⎩⎪⎨⎪⎧4x 224＋（3－2y 2）2＝m ，x 224＋y 22＝m ，得y 2＝14m ＋34，所以x 22＝m －(3－2y 2)2＝－14m 2＋52m －94＝－14(m －5)2＋4≤4，所以当m＝5时，点B 横坐标的绝对值最大，最大值为2.10.已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4，3).若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程.解 设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0).设焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(c >0)，∵F 1A ⊥F 2A ，∴F 1A →·F 2A →＝0.而F 1A →＝(－4＋c ，3)，F 2A →＝(－4－c ，3)，∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0，∴c 2＝25，即c ＝5，∴F 1(－5，0)，F 2(5，0)，∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝（－4＋5）2＋32＋（－4－5）2＋32 ＝10＋90＝410，∴a ＝210，∴b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15.∴所求椭圆的标准方程为x 240＋y 215＝ 1. 11.已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°.(1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关.(1)解 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝2a .在△PF 1F 2中，由余弦定理可知，4c 2＝m 2＋n 2－2mn cos 60°＝(m ＋n )2－3mn ＝4a 2－3mn ≥4a 2－3·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫m ＋n 22＝4a 2－3a 2＝a 2(当且仅当m ＝n 时取等号)，∴c 2a 2≥14，即e ≥12.又0<e <1，∴e 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1. (2)证明 由(1)知mn ＝43b 2，∴S △PF 1F 2＝12mn sin 60°＝33b 2，即△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关.12.在平面直角坐标系xOy 中，P 是椭圆y 24＋x 23＝1上的一个动点，点A (1，1)，B (0，－1)，则|P A |＋|PB |的最大值为( )A.5B.4C.3D.2答案 A解析 ∵椭圆的方程为y 24＋x 23＝1，∴a 2＝4，b 2＝3，c 2＝1，∴B (0，－1)是椭圆的一个焦点，设另一个焦点为C (0，1)，如图所示.根据椭圆的定义知，|PB |＋|PC |＝4，∴|PB |＝4－|PC |，∴|P A |＋|PB |＝4＋|P A |－|PC |≤4＋|AC |＝5.13.(2022·绵阳诊断)已知F (0，1)为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，过E 的下顶点B 和F 的直线与E 的另一个交点为A ，若4BF →＝5F A →，则a ＝________.答案 3解析 如图，设椭圆的左焦点为F ′，则F ′(－1，0).连接AF ′，BF ′，则|BF |＝|BF ′|＝a .由4BF →＝5F A →，得|AF |＝4a 5.由椭圆的定义可知，|AF ′|＝2a －|AF |＝65a ，设∠AFF ′＝θ，则∠BFF ′＝π－θ，则cos θ＝|AF |2＋|FF ′|2－|AF ′|22×|AF |×|FF ′|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45a 2＋4－⎝ ⎛⎭⎪⎫65a 22×45a ×2＝4－2025a 2165a＝5－a 24a ①，而cos(π－θ)＝|BF |2＋|FF ′|2－|BF ′|22×|BF |×|FF ′|＝a 2＋4－a 22×a ×2＝1a②， 由①＋②得1a ＋5－a 24a ＝0，解得a ＝3.14.已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为C 上的点，O 为坐标原点.(1)若△POF 2为等边三角形，求C 的离心率；(2)如果存在点P ，使得PF 1⊥PF 2，且△F 1PF 2的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围.解 (1)连接PF 1.由△POF 2为等边三角形可知在△F 1PF 2中，∠F 1PF 2＝90°，|PF 2|＝c ，|PF 1|＝3c ，于是2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(3＋1)c ，故C 的离心率为e ＝c a ＝3－1.(2)由题意可知，满足条件的点P (x ，y )存在当且仅当12|y |·2c ＝16，y x ＋c ·y x －c＝－1，x 2a 2＋y 2b 2＝1， 即c |y |＝16，①x 2＋y 2＝c 2，②x 2a 2＋y 2b 2＝1.③由②③及a 2＝b 2＋c 2得y 2＝b 4c 2.又由①知y 2＝162c 2，故b ＝4. 由②③及a 2＝b 2＋c 2得x 2＝a 2c 2 (c 2－b 2)，所以c 2≥b 2，从而a 2＝b 2＋c 2≥2b 2＝32， 故a ≥4 2.当b ＝4，a ≥42时，存在满足条件的点P ， 所以b ＝4，a 的取值范围为[42，＋∞).。
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§9.3椭圆及其性质挖命题【考情探究】分析解读从近几年的高考试题来看,椭圆的定义、标准方程、几何性质以及直线与椭圆的位置关系一直是高考命题的重点和热点,因此要求学生在备考复习时做到以下内容:①能够熟练使用直接法、待定系数法、定义法求椭圆的方程;②能熟练运用椭圆的几何性质(如范围、对称性、顶点、离心率等)解决相关问题;③能够把直线与椭圆的位置关系问题转化为方程组解的问题,从而判断其位置关系,解决相关问题.在解答题中常以椭圆的方程、几何性质以及直线与椭圆的位置关系为主,同时与向量、函数、不等式等知识综合起来进行考查的命题趋势逐渐加强,备考时应加以重视.破考点【考点集训】考点一椭圆的定义及其标准方程1.(2019届湖北重点中学第一次调研,11)点P是椭圆+=1上的点,F1、F2是椭圆的左、右焦点,则△PF1F2的周长是()A.12B.10C.8D.6答案B2.(2017湖南长沙一模,5)椭圆的焦点在x轴上,中心在原点,其上、下顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点,则椭圆的标准方程为()A.+=1B.+y2=1C.+=1D.+=1答案C3.(2014辽宁,15,5分)已知椭圆C:+=1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=.答案12考点二椭圆的几何性质1.(2019届四川顶级名校10月联考,6)已知椭圆C:+=1(a>b>0)和直线l:+=1,若过C的左焦点和下顶点的直线与l平行,则椭圆C的离心率为()A. B. C. D.答案A2.(2018河南百校联盟12月联考,5)已知椭圆C:+=1(a>b>0)与直线x=b在第一象限交于点P,若直线OP的倾斜角为30°,则椭圆C的离心率为()A. B. C. D.答案B3.(2018四川凉山州模拟,4)以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的长轴的两个三等分点,则该椭圆的离心率是()A. B. C. D.答案D4.(2018湖北武汉模拟,4)曲线+=1与曲线-+-=1(k<9)的()A.长轴长相等B.短轴长相等C.离心率相等D.焦距相等答案D5.(2015课标Ⅰ,5,5分)已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=()A.3B.6C.9D.12答案B考点三直线与椭圆的位置关系过椭圆+=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为.答案炼技法【方法集训】方法1求椭圆的标准方程的方法1.(2018河南郑州二模,4)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点,若△AF1B的周长为12,则C的方程为()A.+y2=1B.+=1C.+=1D.+=1答案D2.(2019届湖南岳阳调研,15)一个椭圆的中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,P(2,)是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆的方程为.答案+=13.(2018江西赣中南五校联考,15)已知点P是圆F 1:(x+1)2+y2=16上任意一点(F1是圆心),点F2与点F1关于原点对称,线段PF2的垂直平分线m 分别与PF,PF2交于M,N两点,则点M的轨迹方程为.1答案+=1方法2求椭圆的离心率(或取值范围)的方法1.(2017课标全国Ⅲ,11,5分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为()A. B. C. D.答案A2.(2019届山东济南第一中学11月月考,11)已知F1,F2分别为椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,点P是椭圆上位于第一象限内的点,延长PF2交椭圆于点Q,若PF⊥PQ,且|PF1|=|PQ|,则椭圆的离心率为()1A.2-B.-C.-1D.-答案D3.(2018河北衡水中学六调,10)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为M,N,若在椭圆C上存在点H,使k MH k NH∈-,则椭圆C 的离心率的取值范围为()A. B. C. D.答案A4.(2019届河南洛阳期中检测,12)已知F1,F2分别为椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,P为椭圆上一点,O为坐标原点,且(+)·=0,||=2||,则该椭圆的离心率为()A. B. C. D.答案C方法3解决弦中点问题的方法1.(2017河北百校联盟联考,14)已知椭圆C1:+=1(a>b>0)与椭圆C2:+=1(a>b>0)相交于A、B、C、D四点,若椭圆C1的一个焦点为F(-,0),且四边形ABCD的面积为,则椭圆C1的离心率e为.答案2.已知中心在原点,一焦点为F(0,4)的椭圆被直线l:y=3x-2截得的弦的中点横坐标为,则此椭圆的方程为.答案+=1过专题【五年高考】A组统一命题·课标卷题组考点一椭圆的定义及其标准方程(2014大纲全国,9,5分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4,则C的方程为()A.+=1B.+y2=1C.+=1D.+=1答案A考点二椭圆的几何性质1.(2018课标全国Ⅰ,4,5分)已知椭圆C:+=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为()A. B. C. D.答案C2.(2017课标全国Ⅰ,12,5分)设A,B是椭圆C:+=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是()A.(0,1]∪[9,+∞)B.(0,]∪[9,+∞)C.(0,1]∪[4,+∞)D.(0,]∪[4,+∞)答案A3.(2016课标全国Ⅰ,5,5分)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为()A. B. C. D.答案B4.(2016课标全国Ⅲ,12,5分)已知O为坐标原点,F是椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为()A. B. C. D.答案A5.(2014课标Ⅱ,20,12分)设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直.直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率;(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.解析(1)根据c=-及题设知M,2b2=3ac.将b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得=或=-2(舍去).故C的离心率为.(2)由题意,知原点O为F1F2的中点,MF2∥y轴,所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点,故=4,即b2=4a,①由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.设N(x1,y1),由题意知y1<0,则---即--代入C的方程,得+=1.②将①及c=-代入②得-+=1.解得a=7,b2=4a=28.故a=7,b=2.考点三直线与椭圆的位置关系1.(2018课标全国Ⅲ,20,12分)已知斜率为k的直线l与椭圆C:+=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0).(1)证明:k<-;(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且++=0.证明:2||=||+||.解析本题考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系.(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1,+=1.两式相减,并由--=k得+·k=0.由题设知=1,=m,于是k=-.由题设得0<m<,故k<-.(2)证明:由题意得F(1,0).设P(x3,y3),则(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).由(1)及题设得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m<0.又点P在C上,所以m=,从而P-,||=.于是||=-=--=2-.同理||=2-.所以||+||=4-(x1+x2)=3.故2||=||+||.2.(2016课标全国Ⅱ,21,12分)已知A是椭圆E:+=1的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.(1)当|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;(2)当2|AM|=|AN|时,证明:<k<2.解析(1)设M(x1,y1),则由题意知y1>0.由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为.又A(-2,0),因此直线AM的方程为y=x+2.(2分)将x=y-2代入+=1得7y2-12y=0.解得y=0或y=,所以y=.1因此△AMN的面积S△=2×××=.(4分)AMN(2)证明:将直线AM的方程y=k(x+2)(k>0)代入+=1得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.由x·(-2)=-得x1=-,1故|AM|=|x+2|=.1由题设,直线AN的方程为y=-(x+2),故同理可得|AN|=.(7分)由2|AM|=|AN|得=,即4k3-6k2+3k-8=0.(9分)设f(t)=4t3-6t2+3t-8,则k是f(t)的零点,f'(t)=12t2-12t+3=3(2t-1)2≥0,所以f(t)在(0,+∞)内单调递增.又f()=15-26<0,f(2)=6>0,因此f(t)在(0,+∞)内有唯一的零点,且零点k在(,2)内,所以<k<2.(12分)B组自主命题·省(区、市)卷题组考点一椭圆的定义及其标准方程1.(2015广东,8,5分)已知椭圆+=1(m>0)的左焦点为F1(-4,0),则m=()A.2B.3C.4D.9答案B2.(2018天津,19,14分)设椭圆+=1(a>b>0)的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,|AB|=.(1)求椭圆的方程;(2)设直线l:y=kx(k<0)与椭圆交于P,Q两点,l与直线AB交于点M,且点P,M均在第四象限.若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍,求k的值.解析(1)设椭圆的焦距为2c,由已知有=,又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由|AB|==,从而a=3,b=2.所以,椭圆的方程为+=1.(2)设点P的坐标为(x1,y1),点M的坐标为(x2,y2),由题意,x2>x1>0,点Q的坐标为(-x1,-y1).由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍,可得|PM|=2|PQ|,从而x2-x1=2[x1-(-x1)],即x2=5x1.易知直线AB的方程为2x+3y=6,由方程组消去y,可得x=.由方程组消去y,可得x1=.2由x=5x1,可得=5(3k+2),两边平方,整理得18k2+25k+8=0,解得k=-或k=-.2当k=-时,x=-9<0,不合题意,舍去;2当k=-时,x=12,x1=,符合题意.2所以,k的值为-.3.(2016天津,19,14分)设椭圆+=1(a>)的右焦点为F,右顶点为A.已知+=,其中O为原点,e为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B(B 不在x 轴上),垂直于l 的直线与l 交于点M,与y 轴交于点H.若BF ⊥HF,且∠MOA=∠MAO,求直线l 的斜率.解析 (1)设F(c,0),由+ = ,即 + = -,可得a 2-c 2=3c 2, 又a 2-c 2=b 2=3,所以c 2=1,因此a 2=4. 所以,椭圆的方程为 +=1. (2)设直线l 的斜率为k(k ≠0),则直线l 的方程为y=k(x-2).设B(x B ,y B ),由方程组-消去y,整理得(4k 2+3)x 2-16k 2x+16k 2-12=0. 解得x=2,或x=-,由题意得x B =-,从而y B =-. 由(1)知,F(1,0),设H(0,y H ),有 =(-1,y H ), = -.由BF ⊥HF,得 · =0,所以- +=0,解得y H = -.因此直线MH 的方程为y=- x+ -. 设M(x M ,y M ),由方程组 ---消去y,解得x M =.在△MAO 中,∠MOA=∠MAO ⇔|MA|=|MO|,即(x M -2)2+ = +,化简得x M =1,即=1,解得k=-,或k=.所以,直线l 的斜率为-或.考点二 椭圆的几何性质1.(2017浙江,2,4分)椭圆 +=1的离心率是( ) A.B.C.D.答案 B2.(2016江苏,10,5分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,F 是椭圆 +=1(a>b>0)的右焦点,直线y=与椭圆交于B,C 两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是 .答案3.(2014江西,14,5分)设椭圆C: +=1(a>b>0)的左,右焦点为F 1,F 2,过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A,B 两点,F 1B 与y 轴相交于点D,若AD ⊥F 1B,则椭圆C 的离心率等于 .答案考点三直线与椭圆的位置关系1.(2018江苏,18,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C过点,焦点F1(-,0),F2(,0),圆O的直径为F1F2.(1)求椭圆C及圆O的方程;(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标;②直线l与椭圆C交于A,B两点.若△OAB的面积为,求直线l的方程.解析解法一:(1)因为椭圆C的焦点为F(-,0),F2(,0),1所以可设椭圆C的方程为+=1(a>b>0).又点在椭圆C上,所以-解得因此,椭圆C的方程为+y2=1.因为圆O的直径为FF2,1所以其方程为x2+y2=3.(2)①设直线l与圆O相切于P(x0,y0)(x0>0,y0>0),则+=3.所以直线l的方程为y=-(x-x)+y0,即y=-x+.消去y,得由-(4+)x2-24x0x+36-4=0.(*)因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点,所以Δ=(-24x)2-4(4+)(36-4)=48(-2)=0.因为x,y0>0,所以x0=,y0=1.因此,点P的坐标为(,1).②因为三角形OAB的面积为,所以AB·OP=,从而AB=.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 由(*)得 x 1,2=-,所以AB 2=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=· -. 因为 +=3,所以AB 2=-=,即2 -45+100=0.解得 =( =20舍去),则=,因此P 的坐标为.则直线l 的方程为y=- x+3 .解法二:(1)由题意知c= ,所以圆O 的方程为x 2+y 2=3,因为点在椭圆上,所以2a= --+-=4,所以a=2.因为a 2=b 2+c 2,所以b=1, 所以椭圆C 的方程为+y 2=1.(2)①由题意知直线l 与圆O 和椭圆C 均相切,且切点在第一象限,所以直线l 的斜率k 存在且k<0, 设直线l 的方程为y=kx+m(k<0,m>0),将直线l 的方程代入圆O 的方程,得x 2+(kx+m)2=3, 整理得(k 2+1)x 2+2kmx+m 2-3=0,因为直线l 与圆O 相切,所以Δ=(2km)2-4(k 2+1)·(m 2-3)=0,整理得m 2=3k 2+3, 将直线l 的方程代入椭圆C 的方程,得+(kx+m)2=1, 整理得(4k 2+1)x 2+8kmx+4m 2-4=0, 因为直线l 与椭圆C 相切,所以Δ=(8km)2-4(4k 2+1)(4m 2-4)=0, 整理得m 2=4k 2+1,所以3k 2+3=4k 2+1,因为k<0,所以k=- ,则m=3, 将k=- ,m=3代入(k 2+1)x 2+2kmx+m 2-3=0, 整理得x 2-2 x+2=0,解得x 1=x 2= ,将x= 代入x 2+y 2=3, 解得y=1(y=-1舍去),所以点P 的坐标为( ,1). ②设A(x 1,kx 1+m),B(x 2,kx 2+m), 由①知m 2=3k 2+3,且k<0,m>0,因为直线l 和椭圆C 相交,所以结合②的过程知m 2<4k 2+1,解得k<- , 将直线l 的方程和椭圆C 的方程联立可得(4k 2+1)x 2+8kmx+4m 2-4=0, 解得x 1,2=- -,所以|x 1-x 2|=-,因为AB= - - =|x 1-x 2| = -· ,O 到l 的距离d== ,所以S △OAB = · -··= ·-· · =, 解得k 2=5,因为k<0,所以k=- ,则m=3 , 即直线l 的方程为y=- x+3 .2.(2018北京,20,14分)已知椭圆M: +=1(a>b>0)的离心率为,焦距为2 .斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A,B.(1)求椭圆M 的方程;(2)若k=1,求|AB|的最大值;(3)设P(-2,0),直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C,直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D.若C,D 和点Q -共线,求k. 解析 (1)由题意得解得a= ,b=1.所以椭圆M 的方程为+y 2=1.(2)设直线l 的方程为y=x+m,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2). 由得4x 2+6mx+3m 2-3=0. 所以x 1+x 2=- ,x 1x 2= -. |AB|= - - = -= - = -.当m=0,即直线l 过原点时,|AB|最大,最大值为 . (3)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).由题意得 +3 =3, +3 =3.直线PA 的方程为y=(x+2).由得[(x 1+2)2+3 ]x 2+12 x+12-3(x 1+2)2=0.设C(x C ,y C ). 所以x C +x 1=-= -. 所以x C = - -x 1=- -.所以y C =(x C +2)=.设D(x D ,y D ). 同理得x D =- -,y D =. 记直线CQ,DQ 的斜率分别为k CQ ,k DQ , 则k CQ -k DQ = - - - - -- -=4(y 1-y 2-x 1+x 2).因为C,D,Q 三点共线,所以k-k DQ=0.CQ故y-y2=x1-x2.1所以直线l的斜率k=-=1.-C组教师专用题组考点一椭圆的定义及其标准方程1.(2016四川,20,13分)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点P在椭圆E上.(1)求椭圆E的方程;(2)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B,线段AB的中点为M,直线OM与椭圆E交于C,D,证明:|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.解析(1)由已知,a=2b.又椭圆+=1(a>b>0)过点P,故+=1,解得b2=1.所以椭圆E的方程是+y2=1.(2)证明:设直线l的方程为y=x+m(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),由方程组得x2+2mx+2m2-2=0,①方程①的判别式为Δ=4(2-m2),由Δ>0,即2-m2>0,解得-<m<.由①得x+x2=-2m,x1x2=2m2-2.1所以M点坐标为-,直线OM方程为y=-x,得C-,D-.由方程组-所以|MC|·|MD|=(-m+)·(+m)=(2-m2).又|MA|·|MB|=|AB|2=[(x-x2)2+(y1-y2)2]=[(x1+x2)2-4x1x2]=[4m2-4(2m2-2)]=(2-m2),1所以|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.2.(2015天津,19,14分)已知椭圆+=1(a>b>0)的上顶点为B,左焦点为F,离心率为.(1)求直线BF的斜率;(2)设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B),过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q(Q异于点B),直线PQ与y轴交于点M,|PM|=λ|MQ|.(i)求λ的值;(ii)若|PM|sin∠BQP=,求椭圆的方程.解析(1)设F(-c,0).由已知离心率=及a2=b2+c2,可得a=c,b=2c.又因为B(0,b),F(-c,0),故直线BF 的斜率k=- - - ==2. (2)设点P(x P ,y P ),Q(x Q ,y Q ),M(x M ,y M ). (i)由(1)可得椭圆的方程为+=1,直线BF 的方程为y=2x+2c.将直线方程与椭圆方程联立,消去y,整理得3x 2+5cx=0,解得x P =-.因为BQ ⊥BP,所以直线BQ 的方程为y=-x+2c,与椭圆方程联立,消去y,整理得21x 2-40cx=0,解得x Q =. 又因为λ=,及x M =0,可得λ=- - = =. (ii)由(i)有= ,所以 = =, 即|PQ|=|PM|. 又因为|PM|sin ∠BQP=, 所以|BP|=|PQ|sin ∠BQP=|PM|sin ∠BQP=. 又因为y P =2x P +2c=-c, 所以|BP|==c,因此c=,得c=1.所以,椭圆方程为 +=1.3.(2015重庆,21,12分)如图,椭圆 +=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 2的直线交椭圆于P,Q 两点,且PQ ⊥PF 1. (1)若|PF 1|=2+ ,|PF 2|=2- ,求椭圆的标准方程;(2)若|PQ|=λ|PF 1|,且≤λ<,试确定椭圆离心率e 的取值范围.解析 (1)由椭圆的定义得,2a=|PF 1|+|PF 2|=(2+ )+(2- )=4,故a=2. 设椭圆的半焦距为c,由已知PF 1⊥PF 2,因此2c=|F 1F 2|= = - =2 ,即c= ,从而b= - =1. 故所求椭圆的标准方程为+y 2=1. (2)如图,由PF 1⊥PQ,|PQ|=λ|PF 1|,得 |QF 1|= = |PF 1|.由椭圆的定义得,|PF 1|+|PF 2|=2a,|QF 1|+|QF 2|=2a,进而 |PF 1|+|PQ|+|QF 1|=4a.于是(1+λ+)|PF1|=4a,解得|PF1|=,故|PF2|=2a-|PF1|=-.由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=4c2,从而+=4c2,两边除以4a2,得+-=e2.若记t=1+λ+,则上式变成e2=-=8-+.由≤λ<,并注意到t=1+λ+关于λ的单调性,得3≤t<4,即<≤.进而<e2≤,即<e≤.4.(2014广东,20,14分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点为(,0),离心率为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.解析(1)由题意得c=,∵e==,∴a=3,∴b=-=2,∴椭圆C的标准方程为+=1.(2)当过P点的两条切线的斜率均存在时,不妨设为k1、k2,则过P点的切线方程可设为y-y=k(x-x0)⇒y=kx+y0-kx0,由-消去y,有(4+9k2)x2+18k(y-kx0)x+9[(y0-kx0)2-4]=0,Δ=[18k(y0-kx0)]2-4(4+9k2)×9[(y0-kx0)2-4]=0,整理得(9-)k2+2xy0k-+4=0,∴k1k2=--(x0≠±3),由已知得k1k2=-1,∴--=-1,∴+=13,即此时点P的轨迹方程为+=13.当两条切线中有一条垂直于x轴时,此时两条切线方程应分别为x=3,y=2或x=-3,y=2或x=3,y=-2或x=-3,y=-2,P点坐标为(3,2)或(-3,2)或(3,-2)或(-3,-2),均满足方程+=13(x0≠±3).综上所述,所求P点的轨迹方程为+=13.5.(2013课标Ⅰ,21,12分)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程;(2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.解析由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r=1;圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3.1设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,所以|PM|+|PN|=(R+r)+(r2-R)=r1+r2=4.1由椭圆的定义可知,曲线C是以M、N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左顶点除外),其方程为+=1(x≠-2).(2)对于曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2,所以R≤2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.所以当圆P的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4.若l的倾斜角为90°,则l与y轴重合,可得|AB|=2.若l的倾斜角不为90°,由r≠R知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q,1则=,可求得Q(-4,0),所以可设l:y=k(x+4).由l与圆M相切得=1,解得k=±.当k=时,将y=x+代入+=1,并整理得7x2+8x-8=0,解得x=-.1,2所以|AB|=|x-x1|=.2当k=-时,由图形的对称性可知|AB|=.综上,|AB|=2或|AB|=.考点二椭圆的几何性质1.(2013课标Ⅱ,5,5分)设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为()A. B. C. D.答案D2.(2012课标全国,4,5分)设F1、F2是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为()A. B. C. D.答案C设直线x=a与x轴交于点Q,由题意得∠PFQ=60°,|F2P|=|F1F2|=2c,|F2Q|=a-c,∴a-c=×2c,e==,故选C.23.(2011课标,4,5分)椭圆+=1的离心率为()A. B. C. D.答案D4.(2010全国Ⅰ,16,5分)已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交C于点D,且=2,则C的离心率为.答案5.(2017天津,20,14分)已知椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),右顶点为A,点E的坐标为(0,c),△EFA的面积为.(1)求椭圆的离心率;(2)设点Q在线段AE上,|FQ|=c,延长线段FQ与椭圆交于点P,点M,N在x轴上,PM∥QN,且直线PM与直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c.(i)求直线FP的斜率;(ii)求椭圆的方程.解析(1)设椭圆的离心率为e.由已知,可得(c+a)c=.又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0.又因为0<e<1,解得e=.所以,椭圆的离心率为.(2)(i)依题意,设直线FP的方程为x=my-c(m>0),则直线FP的斜率为.由(1)知a=2c,可得直线AE的方程为+=1,即x+2y-2c=0,与直线FP的方程联立,可解得x=-,y=,即点Q的坐标为-.由已知|FQ|=c,有-+=,整理得3m2-4m=0,所以m=,即直线FP的斜率为.(ii)由a=2c,可得b=c,故椭圆方程可以表示为+=1.由(i)得直线FP的方程为3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立得-消去y,整理得7x2+6cx-13c2=0,解得x=-(舍去),或x=c.因此可得点P,进而可得|FP|==,所以|PQ|=|FP|-|FQ|=-=c.由已知,线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离,故直线PM和QN都垂直于直线FP.因为QN⊥FP,所以|QN|=|FQ|·tan∠QFN=×=,所以△FQN的面积为|FQ||QN|=,同理△FPM的面积等于,由四边形PQNM的面积为3c,得-=3c,整理得c2=2c,又由c>0,得c=2.所以,椭圆的方程为+=1.6.(2015安徽,20,13分)设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为.(1)求E的离心率e;(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点.证明:MN⊥AB.解析(1)由题设条件知,点M的坐标为,又kOM=,从而=.进而a=b,c=-=2b.故e==.(2)证明:由N是AC的中点知,点N的坐标为-,可得=.又=(-a,b),从而有·=-a2+b2=(5b2-a2).由(1)的计算结果可知a2=5b2,所以·=0,故MN⊥AB.7.(2014安徽,21,13分)设F1、F2分别是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,|AF1|=3|F1B|.(1)若|AB|=4,△ABF2的周长为16,求|AF2|;(2)若cos∠AF2B=,求椭圆E的离心率.解析(1)由|AF1|=3|F1B|,|AB|=4,得|AF1|=3,|F1B|=1.因为△ABF2的周长为16,所以由椭圆定义可得4a=16,|AF1|+|AF2|=2a=8.故|AF2|=2a-|AF1|=8-3=5.(2)设|F1B|=k,则k>0且|AF1|=3k,|AB|=4k.由椭圆定义可得|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k.在△ABF2中,由余弦定理可得|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B,即(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2-(2a-3k)(2a-k).化简可得(a+k)(a-3k)=0,而a+k>0,故a=3k.于是有|AF2|=3k=|AF1|,|BF2|=5k.因此|BF2|2=|F2A|2+|AB|2,可得F1A⊥F2A,△AF1F2为等腰直角三角形.从而c=a,所以椭圆E的离心率e==.8.(2014天津,18,13分)设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B.已知|AB|=·|F1F2|.(1)求椭圆的离心率;(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过点F2的直线l与该圆相切于点M,|MF2|=2.求椭圆的方程.解析(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0).由|AB|=|F1F2|,可得a2+b2=3c2,又b2=a2-c2,所以=.所以,椭圆的离心率e=.(2)由(1)知a2=2c2,b2=c2.故椭圆方程为+=1.设P(x,y0).由F1(-c,0),B(0,c),有=(x0+c,y0),=(c,c).由已知,有 · =0,即(x 0+c)c+y 0c=0.又c ≠0,故有 x 0+y 0+c=0.① 因为点P 在椭圆上,故+=1.② 由①和②可得3+4cx 0=0.而点P 不是椭圆的顶点,故x 0=-c,代入①得y 0=,即点P 的坐标为 -. 设圆的圆心为T(x 1,y 1),则x 1=-=-c,y 1==c,进而圆的半径r= - - =c.由已知,有|TF 2|2=|MF 2|2+r 2,又|MF 2|=2 ,故有+ -=8+c 2, 解得c 2=3.所以,所求椭圆的方程为 +=1.考点三 直线与椭圆的位置关系1.(2017北京,19,14分)已知椭圆C 的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x 轴上,离心率为.(1)求椭圆C 的方程;(2)点D 为x 轴上一点,过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M,N,过D 作AM 的垂线交BN 于点E.求证:△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.解析 (1)设椭圆C 的方程为 +=1(a>b>0). 由题意得解得c= .所以b 2=a 2-c 2=1.所以椭圆C 的方程为+y 2=1. (2)证明:设M(m,n),则D(m,0),N(m,-n). 由题设知m ≠±2,且n ≠0. 直线AM 的斜率k AM =,故直线DE 的斜率k DE =-. 所以直线DE 的方程为y=-(x-m). 直线BN 的方程为y=-(x-2). 联立---- 解得点E 的纵坐标y E =---.由点M 在椭圆C 上,得4-m 2=4n 2. 所以y E =-n.又S △BDE =|BD|·|y E |=|BD|·|n|, S △BDN =|BD|·|n|,所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.2.(2014四川,20,13分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F(-2,0),离心率为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设O为坐标原点,T为直线x=-3上一点,过F作TF的垂线交椭圆于P,Q.当四边形OPTQ是平行四边形时,求四边形OPTQ的面积.解析(1)由已知可得,=,c=2,所以a=.又由a2=b2+c2,解得b=,所以椭圆C的标准方程是+=1.(2)设T点的坐标为(-3,m),则直线TF的斜率k TF=----=-m.当m≠0时,直线PQ的斜率kPQ=,直线PQ的方程是x=my-2.当m=0时,直线PQ的方程是x=-2,也符合x=my-2的形式.设P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立,得-消去x,得(m2+3)y2-4my-2=0,其判别式Δ=16m2+8(m2+3)>0,所以y1+y2=,y1y2=-,x1+x2=m(y1+y2)-4=-.因为四边形OPTQ是平行四边形,所以=,即(x1,y1)=(-3-x2,m-y2).所以--解得m=±1.此时,S四边形OPTQ=2S△OPQ=2×·|OF|·|y1-y2|=2-·-=2.3.(2014辽宁,20,12分)圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图).(1)求点P的坐标;(2)焦点在x轴上的椭圆C过点P,且与直线l:y=x+交于A,B两点.若△PAB的面积为2,求C的标准方程.解析(1)设切点坐标为(x,y0)(x0>0,y0>0),则切线斜率为-,切线方程为y-y0=-(x-x0),即x0x+y0y=4.此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S=··=,由+=4≥2xy0知当且仅当x0=y0=时x0y0有最大值,即S有最小值,因此点P的坐标为(,).(2)设C的标准方程为+=1(a>b>0),点A(x1,y1),B(x2,y2).由点P在C上知+=1,并由得b2x2+4x+6-2b2=0,又x1,x2是方程的根,因此--由y1=x1+,y2=x2+,得|AB|=|x1-x2|=·-.由点P到直线l的距离为及S△PAB=×|AB|=2得b4-9b2+18=0,解得b2=6或3,因此b2=6,a2=3(舍)或b2=3,a2=6,从而所求C的方程为+=1.4.(2014陕西,20,13分)已知椭圆+=1(a>b>0)经过点(0,),离心率为,左,右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0).(1)求椭圆的方程;(2)若直线l:y=-x+m与椭圆交于A,B两点,与以F1F2为直径的圆交于C,D两点,且满足=,求直线l的方程.解析(1)由题设知-解得a=2,b=,c=1,∴椭圆的方程为+=1.(2)由(1)知,以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1,∴圆心到直线l的距离d=,d<1得|m|<.(*)∴|CD|=2-=2-=-.设A(x1,y1),B(x2,y2),由-得x2-mx+m2-3=0,由根与系数的关系可得x1+x2=m,x1x2=m2-3.∴|AB|=---=-.由=得--=1,解得m=±,满足(*).∴直线l的方程为y=-x+或y=-x-.【三年模拟】时间:70分钟分值:80分一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2018山东济南一模,5)已知椭圆C:+=1(a>b>0),若长轴长为6,且两焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的标准方程为()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1答案B2.(2018安徽合肥一模,7)如图,椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交椭圆于M,N两点,交y轴于点H.若F1,H是线段MN的三等分点,则△FMN的周长为()2A.20B.10C.2D.4答案D3.(2019届河南郑州一中10月月考,10)在平面直角坐标系中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点A,B分别为椭圆C的左顶点和上顶点,点M为椭圆C上位于第一象限内的一点,AB∥OM,MF⊥F1F2,则椭圆C的离心率为()2A. B. C. D.答案B4.(2018湖南常德模拟,8)椭圆C1:+=1与双曲线C2:-=1(a>b>0)的离心率之积为,直线l:x-y+3=0与椭圆C1相切,则椭圆C1的方程为()A.+y2=1B.+=1C.+=1D.+=1答案C5.(2019届广东七校第二次联考,11)已知点P为椭圆+=1上的动点,EF为圆N:x2+(y-1)2=1的任一直径,则·的最大值和最小值分别是()A.16,12-4B.17,13-4C.19,12-4D.20,13-4答案C6.(2019届湖南衡阳第一中学第一次月考,12)已知椭圆+=1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程为x-y+5=0,弦的中点坐标是M(-4,1),则椭圆的离心率是()A. B. C. D.答案C7.(2017江西九江模拟,10)已知椭圆+=1(a>b>0),F1,F2为椭圆的左、右焦点,O为坐标原点,点P为椭圆上一点,|OP|=a,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列,则椭圆的离心率为()A. B. C. D.答案D8.(2019届河南顶级名校第三次联考,12)设椭圆+=1(a>b>0)长轴的端点分别为A,B,点C为椭圆上异于A,B的一点,若将△ABC的三个内角分别记为A,B,C,且满足3tan A+3tan B+tan C=0,则椭圆的离心率为()A. B. C. D.答案A二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2019届辽宁重点中学第三次联考,15)已知点P是椭圆+=1(a>b>0)上的一点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,已知∠F1PF2=120°,且|PF1|=2|PF2|,则椭圆的离心率为.答案10.(2017江西赣州期末,15)已知圆E:x2+-=经过椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点F1,F2,与椭圆在第一象限的交点为A,且F1,E,A三点共线,则该椭圆的方程为.答案+=1三、解答题(共30分)11.(2019届甘肃西北师大附中11月月考,20)已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点P,离心率是.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线l与椭圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M.求直线l与坐标轴围成的三角形的面积.解析(1)设c为椭圆的半焦距,由已知可得=,+=1,c2=a2-b2,解得a=2,b=1,c=.∴椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程得+=1,+=1,两式相减得-+(y1-y2)(y1+y2)=0,由中点坐标公式得x1+x2=1,y1+y2=1,∴k AB=--=-,∴直线AB的方程为y-=--.令x=0,可得y=,令y=0,可得x=,则直线l与坐标轴围成的三角形面积S=××=.12.(2019届广东七校9月调研,20)已知椭圆E:+=1(a>b>0),若椭圆上一点P与其中心及长轴的一个端点构成等腰直角三角形.(1)求椭圆E的离心率;(2)如图,若直线l与椭圆相交于A,B,且线段AB是圆(x-1)2+(y+1)2=5的一条直径,求椭圆E的标准方程.解析(1)由题意得椭圆上点P的坐标为,代入椭圆方程得+=1,即a2=3b2,∴a2=3b2=3(a2-c2),∴2a2=3c2,∴e=.(2)根据(1)可设椭圆方程为+=1,直线AB的方程为y=k(x-1)-1,A(x1,y1),B(x2,y2),则--⇒(3k2+1)x2-6k(k+1)x+3(k+1)2-3b2=0(*),∴x1+x2=,x1x2=-.又x+x2=2,∴k=,∴x1x2=-,1则|AB|=-=×-·-=2.∴b2=,则a2=10,∴椭圆E的标准方程为+=1.13.(2019届四川成都顶级名校9月调研,20)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率e=,连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为4.(1)求该椭圆的方程;(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A,B,已知点A的坐标为(-a,0),点Q(0,y0)在线段AB的垂直平分线上,且·=4,求y0的值.解析(1)由e==得3a2=4c2,再由c2=a2-b2得a=2b.由题意可知,×2a×2b=4,即ab=2.联立结合a>b>0,解得a=2,b=1,所以椭圆的方程为+y2=1.(2)由(1)可知A(-2,0),设B点的坐标为(x1,y1),直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x+2),于是A,B两点的坐标满足方程组消去y,整理得(1+4k2)x2+16k2x+(16k2-4)=0,由-2x=-得x1=-,从而y1=.1设线段AB的中点为M,则M的坐标为-.分两种情况讨论:①当k=0时,点B的坐标为(2,0),线段AB的垂直平分线为y轴,于是=(-2,-y0),=(2,-y0),由·=4,得y0=±2.②当k≠0时,线段AB的垂直平分线方程为y-=-.将(0,y)代入,解得y0=-.又=(-2,-y),=(x1,y1-y0),所以·=-2x-y0(y1-y0)=--+=-=4,1整理得7k2=2,故k=±,所以y=±.综上,y=±2或y0=±.。