全国高中数学联赛模拟试题(02)
历年全国高中数学联赛试题及答案76套题
历年全国高中数学联赛试题及答案76套题（一）2019年全国高中数学联赛试题及答案1. 小川野升平想在一个边长为6米的正方形的地块上建造一个有一堵墙的房子，墙要用沙发垫、玻璃门中的一种建造，沙发垫墙每平方米需要50元，玻璃门墙每平方米需要80元。
为了满足小川野升平的预算，需要选择合适的方案，可以使花费尽可能少。
请求出该房子沙发垫墙和玻璃门墙各多少平方米，以及花费的最小值。
解：由题意得，房子在四周建墙，所以共4个墙面。
墙面中有一个为门，另外3个可以被沙发垫或玻璃门所替代。
因为墙长宽相等，所以选择沙发垫或玻璃门所用的面积是相等的，即我们只需要考虑使用沙发垫或玻璃门的墙面数量即可。
用$x$表示使用沙发垫的墙面数量，则使用玻璃门的墙面数量为$3-x$，进而可列出花费的表达式：$$f(x)=50x+80(3-x)=80x+240$$为获得花费的最小值，我们需要求出$f(x)$的最小值，即求出$f(x)$的极小值。
因为$f(x)$是$x$的一次函数，所以可求出其导函数$f'(x)=80-30x$。
当$f'(x)=0$时，即$x=\frac83$，此时$f(x)$有极小值$f(\frac83)=400$。
当$x<\frac83$时，$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增；当$x>\frac83$时，$f'(x)<0$，$f(x)$单调递减。
所以我们选择使用3个沙发垫的构建方案，所需面积为$3\times6=18m^2$，花费为$50\times18=900$元。
因此，该房子沙发垫墙面积为18平方米，玻璃门墙面积为0平方米，花费最小值为900元。
2. 对于正整数$n$，记$S_n$为$\sqrt{n^2+1}$的小数部分，$T_n$表示$S_1,S_2,\cdots,S_n$的平均值，则$s_n=10T_n-5$。
求$\sum_{k=1}^{2019}s_k$的个位数。
2018全国高中数学联赛模拟试题2及参考答案
由（1）式， x 12 | y2 x 1 | y x 1
x2 x 1
x
y
1
2
．又因为
y 则
为整数，
x 1
2
2
x 1 x2 x 1 为完全平方数．而 x2 x 1 x x 1 1 x 1, x2 x 1 1，
和为 15 的形如 4、5、6 的有 6 种，形如 5、5、5 的有 1 种，形如 6、6、3 的有 3 种，合计 10
种．
8. 2 2, 2 2 ．
解析：设 z2 x yi x, y
．则 z1
z2i z
z2 i
1
y xi
x y 1i
2
2
证明： B ．
4
4
A
3
3
2
2
三、（本题满分 50 分）
设整数 n 4 ， a1, a2, , an 为区间 0, 2n 内两两不同的整数．证明：集合 A a1, a2 , , a n 存在所有
元 素之和能被 2n 整除的子集．
四、（本题满分 50 分）
设有 17 支球队参加足球比赛，采用单循环赛制，比赛中偶尔会出现一个循环的三元集（即集合a,b, c，其中 a 队击败 b 队， b 队击败 c 队， c 队击败 a 队），若没有平局，则比赛结束．问：最多有多少
b a
x 1
,
B
x2
,
b a
x 2
,
P x,
y ．
b
由 OAPB 知， x x1 x2 , y
a
x1
全国高中数学联赛模拟试题(二)(附答案)
AA 1 1 1 图1全国高中数学联赛模拟试题(二)第一试一、选择题（每小题6分，共36分）1、 已知集合()⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=--=123,a x y y x A ，()()(){}1511,2=-+-=y a x a y x B ．若∅=B A ，则a 的所有取值是 （A ）－1，1 （B ）－1，21 （C ）±1，2 （D ）±1，－4，25 2、 如图1，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，点M 、N 分别在AB 1、BC 1AM ＝BN ．那么， ①AA 1⊥MN ； ②A 1C 1∥MN ； ③MN ∥平面A 1B 1C 1D 1；④MN 与A 1C 1异面． 以上4个结论中，不正确的结论的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）43、 用S n 与a n 分别表示区间[)1,0内不含数字9的n 位小数的和与个数．则n n n S a ∞→lim的值为（A ）43 （B ）45 （C ）47 （D ）49 4、 首位数字是1，且恰有两个数字相同的四位数共有（A ）216个 （B ）252个 （C ）324个 （D ）432个5、 对一切实数x ，所有的二次函数()c bx ax x f ++=2（a ＜b ）的值均为非负实数．则cb a a b ++-的最大值是 （A ）31 （B ）21 （C ）3 （D ）26、 双曲线12222=-by a x 的一个焦点为F 1，顶点为A 1、A 2，P 是双曲线上任意一点．则分别以线段PF 1、A 1A 2为直径的两圆一定（A ）相交 （B ）相切（C ）相离 （D ）以上情况均有可能二、填空题（每小题9分，共54分） 1、已知复数i 21+=z ，()1121i 2i 2z z z -++=．若△ABC 的3个内角∠A 、∠B 、∠C 依次成等差数列，且2icos 2cos 2C A u +=，则2z u +的取值范围是 ． 2、点P (a ,b )在第一象限内，过点P 作一直线l ，分别交x 、y 轴的正半轴于A 、B 两点．那么，PA 2＋PB 2取最小值时，直线l 的斜率为 ．3、若△ABC 是钝角三角形，则arccos(sin A )＋arccos(sin B )＋arccos(sin C )的取值范围是 ．4、在正四面体ABCD 中，点M 、P 分别是AD 、CD 的中点，点N 、Q 分别是△BCD 、△ABC的中心．则直线MN 于PQ 的夹角的余弦值为 ．5、在()122++n x 的展开式中，x 的幂指数是整数的各项系数之和是 ．6、集合A 、B 、C （不必两两相异）的并集A ∪B ∪C ＝{1,2,3,…,n }．则满足条件的三元有序集合组(A ,B ,C )的个数是 ．三、（20分）设p ＞0，当p 变化时，C p ：y 2＝2px 为一族抛物线，直线l 过原点且交C p 于原点和点A p ．又M 为x 轴上异于原点的任意点，直线MA p 交C p 于点A p 和B p ．求证：所有的点B p 在同一条直线上．四、（20分）对于公差为d (d ≠0)的等差数列{a n }，求证：数列中不同两项之和仍是这一数列中的一项的充要条件是存在整数m ≥－1，使a 1＝md ．五、（20分）求最大的正数，使得对任意实数a 、b ，均有()222b a b a +λ≤()322b ab a ++．B 图2第二试一、（50分）如图2，⊙O 切△ABC 的边AB 于点D ，切边AC 于点C ，M 是边BC 上一点，AM 交CD 于点N ．求证：M 是BC 中点的充要条件是ON ⊥BC ．二、（50分）求出能表示为()abc c b a n 2++=（a 、b 、c ∈Z +）的所有正整数n ．三、（50分）在一个()()1212-⨯-n n （n ≥2）的方格表的每个方格内填入1或－1，如果任意一格内的数都等于与它有公共边的那些方格内所填数的乘积，则称这种填法是“成功”的．求“成功”填法的总数．参考答案第一试一、选择题：二、填空题：1、⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡25,22；2、a ab -；3、⎪⎭⎫⎝⎛23,2ππ； 4、181； 5、21312++n ；6、7n ．三、证略．四、证略．五、427max =λ．第二试 一、证略；二、1,2,3,4,5,6,8,9．三、1种（每空填1）．。
高中数学联赛模拟卷(含答案)
高中数学联赛模拟卷姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上.1.方程2log sin 2x x π+=在区间(0,]2π上的实根个数为_________________.解析：设2()log sin 2f x x x π=+-，则1()cos ln2f x x x π'=+，∵02x π<≤，∴0cos 1x ≤<，又0ln12π<<，∴()0f x '>，即在区间(0,]2π上单调递增，故方程2log sin 2x x π+=在区间(0,]2π上有且只有一个实根.2.设数列118()3n -⎧⎫⨯-⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则满足不等式1|6|125n S -<的最小整数n 是_________________.解析：易知数列118()3n -⎧⎫⨯-⎨⎬⎩⎭是首项是8，公比是13-的等比数列，∴18[1()]1366()131()3nn n S --==----，于是1|6|125n S -<⇔112132503125n n --<⇔>， ∵53243250=<，63729250=>，故最小整数n 是7. 3.如果：（1）a, b, c, d 都属于{1, 2, 3, 4}；（2）a ≠b, b ≠c, c ≠d, d ≠a ；（3）a 是a, b, c, d 中的最小数。
那么，可以组成的不同的四位数abcd 的个数是________. 解析：46个。
abcd 中恰有2个不同数字时，能组成C 24=6个不同的数。
abcd 中恰有3个不同数字时，能组成1212121213C C C C C +=16个不同数。
abcd 中恰有4个不同数字时，能组成A 44=24个不同数，所以符合要求的数共有6+16+24=46个。
高中数学竞赛模拟试题(含详细答案)
高中数学竞赛模拟试题(含详细答案)高中数学竞赛试题（模拟）一、选择题：共10个小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.已知函数f(x)是R上的奇函数，g(x)是R上的偶函数，若f(x)-g(x)=x+9x+12，则f(x)+g(x)=（。
）。
A。
-x+9x-12B。
x+9x-12C。
-x-9x+12D。
x-9x+122.有四个函数：①y=sinx+cosx②y=sinx-cosx③y=sinxcosx④y=（空缺）其中在(x,y)上为单调增函数的是（。
）。
A。
①B。
②C。
①和③D。
②和④3.方程x+x-1=xπ2的解集为A（其中π为无理数，π=3.141…，x为实数），则A中所有元素的平方和等于（。
）。
A。
B。
C。
1D。
44.已知点P(x,y)满足(x-4cosθ)+(y-4sinθ)=4（θ∈R），则点P(x,y)所在区域的面积为（。
）。
A。
36πB。
32πC。
20πD。
16π5.将10个相同的小球装入3个编号为1、2、3的盒子（每次要把10个球装完），要求每个盒子里球的个数不少于盒子的编号数，这样的装法种数为（。
）。
A。
9B。
12C。
15D。
186.已知数列{an}为等差数列，且S5=28，S10=36，则S15等于（。
）。
A。
807.已知曲线C：y=-x2-2x与直线l:x+y-m=0有两个交点，则m的取值范围是（。
）。
A。
(-2-1,2)B。
(-2,2-1)C。
[,2-1)D。
(,2-1)8.过正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1的截面面积为S，Smax和Smin分别为S的最大值和最小值，则Smax/Smin的值为（。
）。
A。
B。
C。
D。
9.设x=.82,y=sin1,z=log2237，则x、y、z的大小关系为（。
）。
A。
x<y<zB。
y<z<xC。
z<x<yD。
z<y<x10.如果一元二次方程x-2(a-3)x-b+9=0中，a、b分别是投掷骰子所得的数字，则该二次方程有两个正根的概率P=（。
全国高中数学联赛模拟训练题.docx
的交点为交、C.现有以A为焦点，过B、C且开口向左的抛物线，抛物线的顶点坐标当椭圆的离心率e满足|<^2<1,求实数秫的取值范围.四、(20分)。
、b、c均为实数，奸b, b?c, c^a.证明：2/M.2C|+"-M|+|C3-24<2.2 \a - b\ + \b - c\ + \c - a\五、(20分)已知fi^x^ax^+b^+cx^+dx,满足(i)。
、》、c、d均大于0； (ii)对于任一个{-2, -1,0,1,2},/3)为整数；(iii,/(5)=70.试说明，对于每个整数X, Rr)是否为整数.弟—试—、(50分)设K为、AB C的内心，点G、瓦分别为边A3、AC的中点，直线AC与GK交于点B2,直线AB于BiK交于点C2.若△AB2C2于△ABC的面积相等，试求ZCAB.二、(50 分) 设w = cosy + isin,/(.V)=(.V-M')(A'-VV3)(.V-VV7)(A'-M'9).求证：/U)为一整系数多项式，且Rx)不能分解为两个至少为一次的整系数多项式之积.三、(50分)在圆上有21个点.求在以这些点为端点组成的所有的弧中，不超过120°的弧的条数的最小值.参旁答案第一试(3 ,目、三、1,兰士 .四、证略.五、是.第二试一、60°；二、证略.三、100.I 4 J金国高甲够样联赛模拟试茎(^)ZvZv 、_41弟一试一、选择题：(每小题6分，共36分)1、设log力是一个整数，且log a - > log a4b > \og b a2,给出下列四个结论b®— > 4b > a2；②logaZ?+log*=0；③OV Q V^VI；④沥一1=0.b 」」其中正确结论的个数是(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4金国高中够样联赛模拟试茎(^)ZvZv 、_41弟一试一、选择题：(每小题6分，共36分)1、a、0是异面直线，直线c与a所成的角等于c与。
全国高中数学联赛模拟试题总
2015年全国高中数学联赛模拟试题01第一试一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分. 1.设127()3x f x x +=-+，11()(())n n f x f f x +=，2,3x x ≠-≠-，则2013(2014)f =______. 2. 设(2,4)A =-，2{|40,}R B x x ax x =++=?．若A B I 的非空子集个数为1， 则实数a 的取值范围是 ．3.设R 是满足00[][]5x y x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+++≤⎩，，的点(),x y 构成的区域，则区域R 的面积为_______.（其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数）.4.二元函数()f x y ，的最大值为___ 5. 已知B 是双曲线22:2410C x y -+=上靠近点(0,)(1)A m m >的一个顶点．若以点A 为圆心，AB 长为半径的圆与双曲线C 交于3个点，则m 的取值范围是 ． 6.甲、乙两人玩游戏，规则如下：第奇数局，甲赢的概率为34，第偶数局，乙赢的概率为34.每一局没有平局，规定：当其中一人赢的局数比另一人赢的局数多2次时游戏结束.则游戏结束时，甲乙两人玩的局数的数学期望为________. 7.设五边形ABCDE 满足120A B C D ∠=∠=∠=∠=o ，则AC BDAE ED⋅⋅的最小值为8.过正四面体ABCD 的顶点A 作一个形状为等腰三角形的截面，且使截面与底面BCD 所成的角为075.这样的截面共可作出 个 .MDO 2O 1O 3CBA二、解答题：本大题共3小题，共56分.9.（本小题满分16分）.试求实数a 的取值范围，使得2是不等式22log (23)21log x x a a+->+的最小整数解.10.（本小题满分20分）、数列{}1n n a ≥定义为11a =，24a =，)2n a n =≥.⑴ 求证：数列{}1n n a ≥为整数列；⑵ 求证：121n n a a ++()1n ≥是完全平方数. 11.（本小题满分20分）已知S,P(非原点)是抛物线y=x 2上不同的两点,点P 处的切线分别交x,y 轴于Q,R.(1)若λ=,求λ的值;(2)若⊥,求ΔPSR 面积的最小值.2015年全国高中数学联赛模拟试题01加试一、（本小题满分40分）一、如图，设A 为12,O O e e 的一个交点，直线l 切12,O O e e 分别于,B C ，3O 为ABC ∆的外心，3O 关于A 的对称点为D ，M 为12O O 的中点.求证：12O DM O DA ∠=∠.二、（本小题满分40分）设)(131211*N n nS n ∈++++=Λ.证明:对任意m ∈N *,存在n ∈N *,使得[S n ]=m.三、（本小题满分50分）试求所有的正整数n ，使得存在正整数数列12n a a a <<<L ，使得和()1i j a a i j n +≤<≤互不相同，且模4意义下各余数出现的次数相同.四、（本小题满分50分）集合S 是由空间内2014个点构成，满足任意四点不共面.正整数m 满足下列条件：将任意两点连成一条线段，并且在此线段上标上一个m ≤的非负整数，使得由S 中顶点构成的任何一个三角形，一定有两边上的数字是相同的，且这个数字小于第三边上的数字.试求m 的最小值.2015全国高中数学联赛模拟试题02一、填空题（每小题8分，共64分）1.在如下图所示的正方体''''D C B A ABCD -中， 二面角''C BD A --等于 （用反三角函数表示） 2.如果三角形ABC ∆的三个内角C B A ,,满足C B A cot ,cot ,cot 依次成等差数列，则角B 的最大值是3.实数列{}n a 满足条件：)2(2,12,12211121≥+-=++=+=--+n a a na a a a n n n n ， 则通项公式=n a )1(≥n 。
2024年全国高中数学联赛(浙江预赛)试题(含答案)
2024年全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛试题本卷共15道题目，12道填空题，3道解答题，所有答案填写在答题纸上，满分150分一、填空题（每小题8分，共计96分）1.设集合10,21x A xx ⎧−⎫=≤⎨⎬−⎩⎭集合2{20}B x x x m =++≤。
若A B ⊆，则实数m 的取值范围为 。
2.设函数{}{}:1,2,32,3,4f → 满足 ()()1()ff x f x −=，则这样的函数有_______个。
3.函数22sin sin 1sin 1x x y x ++=+的最大值与最小值之积为 。
4.已知数列{}n x满足：11,12n x x x n +==≥，则通项n x =__________。
5 .已知四面体A BCD −的外接球半径为1，1,60BC BDC =∠=，则球心到平面BDC 的距离为______________。
6.已知复数z 满足24510(1)1zz =−=，则z =__________________。
7.已知平面上单位向量,a b 垂直，c 为任意单位向量，且存在(0,1)t ∈，使得向量(1)a t b +−与向量c a −垂直，则a b c +−的最小值为__________________________。
8. 若对所有大于2024的正整数n ，成立202420240, ii n i i na C a ==∈∑，则12024a a +=_________。
9.设实数,,(0,2]a b c ∈，且3b a ≥或43a b +≤，则max{,,42}b a c b c −−−的最小值为 ___ __ __。
10.在平面直角坐标系xOy 上，椭圆E 的方程为221124x y +=，1F 为E 的左焦点；圆C 的方程为222())x a y b r −+−=（ ，A 为C 的圆心。
直线l 与椭圆E 和圆C 相切于同一点(3,1)P 。
则当1OAF ∠最大时，实数r =_____________________。
全国高中数学联赛模拟卷(2)(一试+二试_附详细解答)
全国高中数学联赛模拟卷(2)一试一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1. 函数1cos sin 1cos sin ++-=x x x x y 的值域是___________2. 设a , b , c 为RT △ACB 的三边长, 点(m , n )在直线ax +by +c =0上. 则m 2+n 2的最小值是___________3. 若N n ∈，且92422--+n n 为正整数，则.________=n4. 掷6次骰子, 令第i 次得到的数为i a , 若存在正整数k 使得61=∑=ki i a 的概率mnp =，其中n m ,是互质的正整数. 则n m 76log log -= .5. 已知点P 在曲线y =e x 上，点Q 在曲线y =lnx 上，则PQ 的最小值是_______6. 已知多项式f (x )满足：222(3)2(35)61017()f x x f x x x x x R +++-+=-+∈, 则(2011)f =_________7. 四面体OABC 中, 已知∠AOB =450,∠AOC =∠BOC =300, 则二面角A －OC －B 的平面角α的余弦值是 __________8. 设向量)cos sin ,cos sin 2(),,3(θθθθβαa a x x +=+=满足对任意R x ∈和θ∈[0, π2],2||≥+βα恒成立. 则实数a 的取值范围是________________.二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）9．设数列{}n a 满足0a N +∈,211nn n a a a +=+.求证：当1200+≤≤a n 时,n a a n -=0][. (其中[]x 表示不超过x 的最大整数)．10. 过点)3,2(作动直线l 交椭圆1422=+y x 于两个不同的点Q P ,，过Q P ,作椭圆的切线，两条切线的交点为M ， ⑴ 求点M 的轨迹方程；⑵ 设O 为坐标原点，当四边形POQM 的面积为4时，求直线l 的方程.11. 若a 、b 、c R +∈，且满足22)4()(c b a b a cb a kabc++++≤++，求k 的最大值。
02-2012全国高中联赛全真模拟(二)答案陶平生
清北学堂-高中学业规划专家
个数为 1007 ．
3 、将棱长为 1 的正方体的八个顶点按红、蓝间隔染色，使得每条棱上的两顶点不同色；
那么，由红色顶点连成的四面体与 由蓝色顶点连成的四面体的公共部分的体积 是 答案：
．
1 ． 6
D1 A1 B1 D A B C1
解： S A1BD
an 1 an n 1 ，而 a2 a1 1 ； an an 1 n 1
an 1 an
an 1 an an an 1 a a n 1 n 2 n 3 1 3 2 (a2 a1 ) 1 an an 1 an 1 an 2 a2 a1 n 1 n n 1 3
清北学堂-高中学业规划专家
归纳得， g ku kg u ，令 k 25, u 1 ，得 g 25 25 g1 因此 f 5
，即
f
1 25
25 f
1
，
2 ． 25 c1 ，取 x 1 得 x2
（注：若看出 ○ 1 为柯西方程，则可以直接得到 g u cu ，所以 f x
C
DA0 DC0 ，故 BA0 D BC0 D ，所以 BA0 D BC0 D ，即是说，棱 BD 关于两相
邻面上切点的张角相等.其它棱的情况与此类似。 在 ABD 中，设 AC0 B , BC0 D , AC0 D ，则 于是， AD0 B , BA0C , AB0 D 在 BCD 中，设 CA0 D 1 , BA0C 1 ，因为 BA0 D ，所以
c1 2 ， f x
2022年全国高中数学联赛考前冲刺模拟好卷合集(一至四)
满足上述条件的所有实数对 (a, b) 构成的集合为
.
8. 若存在正整数 a, b (a < b) 满足 a3 = (ka + 1)b + k, 则称整数 k 为“好的”, 则不超过 2021 的所有好的整
数 k 的和为
.
二、解答题 (本大题共 3 小题, 满分 56 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
.
4. 方程 3(⌊2x − 1⌋ + ⌈2x + 1⌉) = 4x + 2 的所有实数解 x = 最大整数和不小于实数 a 的最小整数.
, 其中 ⌊a⌋, ⌈a⌉ 分别表示不超过实数 a 的
5. 已知二元函数 f (x, y) = |x − 2y| + |4x + 7y + 81| + |3x + 5y − 59|, 其中实数 x, y 满足 x2 + y2 ⩽ 100, 则
1
2022 年全国高中数学联赛考前冲刺全真模拟 (一)
2
10. (本题满分 20 分) 已知抛物线 Γ : y2 = 2px, 其中 p 为正常数, P1(x1, y1), P2(x2, y2), P3(x3, y3) 为抛物线 Γ 上按逆时针的次序 排列的三个互不重合的点, 对于 i = 1, 2, 3, 过点 Pi 作抛物线 Γ 的切线 li, 直线 l2, l3 交于点 A1, 直线 l3, l1 交于点 A2, 直线 l1, l2 交于点 A3, 设 △A1A2A3 的外接圆半径为 R, △P1P2P3 的面积为 S, 证明:
+
cot C 1 − cot A cot B
⩾
k.
11. (本题满分 20 分)
(整理)全国高中数学联赛模拟试题目
全国高中数学联赛模拟试题（一）（命题人：吴伟朝）第一试一、 选择题：（每小题6分，共36分）1、方程6×(5a 2＋b 2)＝5c 2满足c ≤20的正整数解(a ,b ,c )的个数是（A ）1 （B ）3 （C ）4 （D ）52、函数12-=x x y （x ∈R ，x ≠1）的递增区间是（A ）x ≥2 （B ）x ≤0或x ≥2 （C ）x ≤0（D ）x ≤21-或x ≥23、过定点P (2,1)作直线l 分别交x 轴正向和y 轴正向于A 、B ，使△AOB （O为原点）的面积最小，则l 的方程为 （A ）x ＋y －3＝0 （B ）x ＋3y －5＝0 （C ）2x ＋y －5＝0 （D ）x ＋2y －4＝04、若方程cos2x ＋3sin2x ＝a ＋1在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上有两个不同的实数解x ，则参数a 的取值范围是 （A ）0≤a ＜1 （B ）－3≤a ＜1 （C ）a ＜1 （D ）0＜a ＜1 5、数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000项是（A ）42 （B ）45 （C ）48 （D ）516、在1,2,3,4,5的排列a 1,a 2,a 3,a 4,a 5中，满足条件a 1＜a 2，a 2＞a 3，a 3＜a 4，a 4＞a 5的排列的个数是 （A ）8 （B ）10 （C ）14 （D ）16二、 填空题：（每小题9分，共54分）1、[x ]表示不大于x 的最大整数，则方程21×[x 2＋x ]＝19x ＋99的实数解x 是 ．2、设a 1＝1，a n +1＝2a n ＋n 2，则通项公式a n ＝ ．3、数799被2550除所得的余数是 ．4、在△ABC 中，∠A ＝3π，sin B ＝135，则cos C ＝ ．5、设k 、θ是实数，使得关于x 的方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2－1＝0的两个根为sin θ和cos θ，则θ的取值范围是 ． 6、数()n2245+（n ∈N ）的个位数字是 ．三、 （20分）已知x 、y 、z 都是非负实数，且x ＋y ＋z ＝1．求证：x (1－2x )(1－3x )＋y (1－2y )(1－3y )＋z (1－2z )(1－3z )≥0，并确定等号成立的条件．四、 （20分）（1） 求出所有的实数a ，使得关于x 的方程x 2＋(a ＋2002)x ＋a ＝0的两根皆为整数．（2） 试求出所有的实数a ，使得关于x 的方程x 3＋(－a 2＋2a ＋2)x －2a 2－2a ＝0有三个整数根．五、 （20分）试求正数r 的最大值，使得点集T ＝{(x ,y )|x 、y ∈R ，且x 2＋(y －7)2≤r 2}一定被包含于另一个点集S ＝{(x ,y )|x 、y ∈R ，且对任何θ∈R ，都有cos2θ＋x cos θ＋y ≥0}之中．第一试一、选择题：题号 1 23 4 5 6 答案 C CDABD二、填空题：1、38181-或381587；2、7×2n -1－n 2－2n －3；3、343；4、261235-； 5、{θ|θ＝2n π＋π或2n π－2π，n ∈Z } ；6、1（n 为偶数）；7（n 为奇数）．三、证略，等号成立的条件是31===z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧===021z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧===021y z x 或⎪⎩⎪⎨⎧===021z z y ．四、（1）a 的可能取值有0，－1336，－1936，－1960，－2664，－4000，－2040；（2）a 的可能取值有－3，11，－1，9．五、r max ＝24．第二试一、（50分）设a、b、c∈R，b≠ac，a≠－c，z是复数，且z2－(a－c)z－b＝0．求证：()12=-+-+baczcaba的充分必要条件是(a－c)2＋4b≤0．二、（50分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB均是锐角，D是BC边上的内点，且AD平分∠BAC，过点D 分别向两条直线AB、AC作垂线DP、DQ，其垂足是P、Q，两条直线CP与BQ相交与点K．求证：（1）AK⊥BC；AC B DQKP（2） BCS AQ AP AK ABC△2<=<，其中ABC S △表示△ABC 的面积．三、（50分）给定一个正整数n ，设n 个实数a 1,a 2,…,a n 满足下列n 个方程：∑==+=+ni i n j j ji a 1),,3,2,1(124．确定和式∑=+=ni ii a S 112的值（写成关于n 的最简式子）．参考答案第一试一、选择题：题号1 23456答案 CC D A B D二、填空题：1、38181-或381587；2、7×2n -1－n 2－2n －3；3、343；4、261235-； 5、{θ|θ＝2n π＋π或2n π－2π，n ∈Z } ；6、1（n 为偶数）；7（n 为奇数）．三、证略，等号成立的条件是31===z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧===021z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧===021y z x 或⎪⎩⎪⎨⎧===021z z y ．四、（1）a 的可能取值有0，－1336，－1936，－1960，－2664，－4000，－2040；（2）a 的可能取值有－3，11，－1，9．五、r max ＝24．第二试一、证略（提示：直接解出()2i42⋅---±-=b c a c a z ，通过变形即得充分性成立，然后利用反证法证明必要性）．二、证略（提示：用同一法，作出BC 边上的高AR ，利用塞瓦定理证明AR 、BQ 、CP 三线共点，从而AK ⊥BC ；记AR 与PQ 交于点T ，则BCS ABC△2＝AR ＞AT ＞AQ ＝AP ，对于AK ＜AP ，可证∠APK ＜∠AKP ）．三、()11212++-=n S ．。
2017年全国高中数学联赛模拟试题02
2017全国高中数学联赛模拟试题02一、填空题（每小题8分，共64分）1.在如下图所示的正方体''''D C B A ABCD -中， 二面角''C BD A --等于 （用反三角函数表示）2.如果三角形ABC ∆的三个内角C B A ,,满足C B A cot ,cot ,cot 依次成等差数列，则角B 的最大值是3.实数列{}n a 满足条件：)2(2,12,12211121≥+-=++=+=--+n a a n a a a a n n n n ， 则通项公式=n a )1(≥n 。
4.21,F F 是椭圆)0(2222>>=+b a b y a x 的两个焦点，P 为椭圆上任意一点，如果21F PF ∆的面积为1，,2tan ,21tan 1221-=∠=∠F PF F PF 则=a 5.在同一直角坐标系中，函数)0(4)(≠+=a ax x f 与其反函数)(1x f -的图像恰有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是6. 已知正实数12,,,n a a a 与非负实数12,,,n b b b 满足(1) 1212n n a a a b b b n +++++++=;(2) 121212n n a a a b b b +=，则 121212n n n b b b a a a a a a ⎛⎫+++⎪⎝⎭的最大值为__________．7. 已知20块质量为整数克的砝码可称出1,2,,2014克的物品，砝码只能放在天平一端，则最大砝码质量最小值为________________克．8.设)1()(x x x g -=是定义在区间[]1,0上的函数，则函数)(x xg y =的图像与x 轴所围成图形的面积是二、简答题（本大题共3小题，共56分）9.（16分）设数列{}n a 的前n 项和n S 组成的数列满足)1(796221≥++=++++n n n S S S n n n ，已知,5,121==a a 求数列{}n a 的通项公式。
2022年全国高中数学联赛试题及解析 苏教版2
二零零二年全国高中数学联赛试卷一试题(2021年10月13日上午8：00—9：40)一．选择题(本小题总分值36分，每题6分)：1．函数f (x )=log 12(x 2－2x －3)的单调递增区间是A ．(－∞，－1)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(3，＋∞)2．假设实数x ，y 满足(x ＋5)2＋(y －12)2=142，那么x 2＋y 2的最小值为 A ．2 B ．1 C ． 3 D ． 23．函数f (x )=x 1－2x －x2A ．是偶函数但不是奇函数B ．是奇函数但不是偶函数C ．既是奇函数也是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数4．直线x 4+y 3=1与椭圆x 216+y 29=1相交于A 、B 两点，该椭圆上点P ，使得ΔPAB面积等于3．这样的点P 共有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．两个实数集合A={a 1，a 2，a 3，…，a 100}，与B={b 1，b 2，…，b 50}，假设从A 到B 的映射f 使得B 中每个元素都有原象，且f (a 1)≤f (a 2)≤…≤f (a 100)，那么这样的映射共有A ．C 50100B ．C 4899 C ．C 49100D ．C 49996．由曲线x 2=4y ，x 2=－4y ，x=4，x=－4围成的图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为V 1；满足x 2＋y 2≤16，x 2＋(y －2)2≥4，x 2＋(y ＋2)2≥4的点绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为V 2，那么 A ．V 1=12V 2 B ．V 1=23V 2 C ．V 1=V 2 D ．V 1=2V 2二．填空题(此题总分值54分，每题9分)7．复数Z 1、Z 2满足|Z 1|=2，|Z 2|=3，假设它们所对应的⎪⎪⎪⎪⎪⎪Z 1+Z 2Z 1－Z 2= ； 向量的夹角为60︒，那么8．将二项式⎝⎛⎭⎪⎫x +124x n 的展开式按x 的降幂排列，假设前三项的系数成等差数列，那么该展开式中x 的幂指数是整数的项共有 个；9．如图，点P 1、P 2、…，P 10分别是四面体顶点或棱的中点，那么在同一平面上的四点组(P 1，P i ，P j ，P k )(1<i <j <k ≤10)有 个；10．f (x )是定义在R 上的函数，f (1)=1且对任意x ∈R 都有 f (x ＋5)≤f (x )＋5，f (x ＋1)≥f (x )＋1,.假设g (x )=f (x )＋1－x ，那么g (2021)= ； 11．假设log 4(x ＋2y )＋log 4(x －2y )=1，那么|x |－|y |的最小值是 ；12．使不等式sin 2x ＋a cos x ＋a 2≥1＋cos x 对于一切x ∈R 恒成立的负数a 的取值范围是 ； 三．解答题(此题总分值60分，每题20分)：13．点A (0，2)和抛物线y 2=x ＋4上两点B ，C ，使得AB ⊥BC ，求点C 的纵坐标的取值范围．P 3414．如图，有一列曲线P 0，P 1，P 2，…，P 0是面积为1的等边三角形，P k ＋1是对P k 进行如下操作得到的：将P k 的每条边三等分，以每边中间局部的线段为边向形外作等边三角形，再将中间局部的线段去掉(k=0，1，2，…)．记S n 为曲线Pn 所围成图形的面积．⑴ 求数列{Sn }的通项公式；⑵ 求lim n →∞S n ．15．设二次函数f (x )=ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R ，a ≠0)满足条件：⑴ 当x ∈R 时，f (x －4)=f (2－x )，且f (x )≥x ；⑵ 当x ∈(0，2)时，f (x )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x +122； ⑶ f (x )在R 上的最小值为0．求最大的m (m >1)，使得存在t ∈R ，只要x ∈[1，m ]，就有f (x ＋t )≤x ．二试题(本卷共三个大题，共150分，每题50分)一．在ΔABC 中，∠BAC=60 ，AB >AC ，点O 为ΔABC 的外心，两条高BE 、CF 的交于点H ，点M 、N 分别在线段BH 与HF 上，且满足BM=CN ．求MH +HNOH的值． 二．实数a ，b ，c 和正数λ使得f (x )=x 3＋ax 2＋bx ＋c 有三个实根x 1，x 2，x 3，且满足⑴ x 2－x 1=λ；⑵ x 3>12(x 1＋x 2)．求2a 3+27c －9ab λ3的最大值． 三．在世界杯足球赛前，F 国的教练员为了考察A 1、A 2、A 3、A 4、A 5、A 6、A 7这七名队员，准备让他们在三场训练比赛(每场比赛90分钟)中都上场，假设在比赛的任何时刻，这些队员都有且只有一人在场上，并且A 1、A 2、A 3、A 4每人上场的总时间(以分钟为单位)均被7整除，A 5、A 6、A 7每人上场的总时间(以分钟为单位)均被13整除．如果每场换人的次数不限，那么，按每名队员上场的总时间计，共有多少种不同的情况？2021年全国高中数学联赛解答一试题(2021年10月13日上午8：00—9：40)一．选择题(本小题总分值36分，每题6分)：1．函数f (x )=log 12(x 2－2x －3)的单调递增区间是A ．(－∞，－1)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(3，＋∞)解：由x 2－2x －3>0，得x <－1或x >3． 在x ∈(－∞，－1)时，u= x 2－2x －3单调减，f (x )单调增；在x ∈(3，+∞)时，u= x 2－2x －3单调增，f (x )单调减．应选A2．假设实数x ，y 满足(x ＋5)2＋(y －12)2=142，那么x 2＋y 2的最小值为 A ．2 B ．1 C ． 3 D ． 2解：令x +5=14cos θ，y －12=14sin θ，那么x 2+y 2=196+28(5cos θ－12sin θ)+169=365+364sin(θ+φ)≥1．选B ．(亦可用几何意义解：圆上点到原点距离平方的最小值)3．函数f (x )=x 1－2x －x2A ．是偶函数但不是奇函数B ．是奇函数但不是偶函数C ．既是奇函数也是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数解：f (x )定义域为(－∞，0)∪(0，+∞)；f (x )－f (－x )= x 1－2x －x2－－x 1－2－x +－x 2=x －x ·2x1－2x －x=0．即f (x )是偶函数．选A ．4．直线x 4+y 3=1与椭圆x 216+y 29=1相交于A 、B 两点，该椭圆上点P ，使得ΔPAB面积等于3．这样的点P 共有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解：直线与椭圆的交线长=5．直线方程3x +4y －12=0．设点P (4cos θ，3sin θ)． 点P 与直线的距离d=12|cos θ+sin θ－1|5，当0≤θ≤π2时，d ≤125(2－1)，S ABC ≤6(2－1)<3．即此时没有三角形面积=3；当π2<θ<2π时，d ≤125(2+1)，S ABC ≤6(2+1)．即此时有2个三角形面积=3．选B ． 5．两个实数集合A={a 1，a 2，a 3，…，a 100}，与B={b 1，b 2，…，b 50}，假设从A 到B 的映射f 使得B 中每个元素都有原象，且f (a 1)≤f (a 2)≤…≤f (a 100)，那么这样的映射共有 A ．C 50100 B ．C 4899 C ．C 49100 D ．C 4999解：不妨设b 1≤b 2≤…≤b 50，在a 1，a 2，…，a 100的每两个数间有1个空档，共99个空档，其中任选49个空档插入1条竖杠， 把a 1，a 2，…，a 100分成50段，从前向后的第i 段中的数映射到b i ，即满足要求．共有C 4999种插法，选D ．6．由曲线x 2=4y ，x 2=－4y ，x=4，x=－4围成的图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为V 1；满足x 2＋y 2≤16，x 2＋(y －2)2≥4，x 2＋(y ＋2)2≥4的点绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为V 2，那么 A ．V 1=12V 2 B ．V 1=23V 2 C ．V 1=V 2D ．V 1=2V 2解：作平面y=h (0≤h ≤4)．与图形⑴交于一个圆环，圆环面积=π(42－x 2)=π(16－4h )；与图⑵交得一个圆环，面积=π(16－h 2)－π(4－(h －2)2)=π(16－h 2－(－h 2+4h ))=π(16－4h )． 说明该平面与两个旋转体截得的面积相等．由祖暅原理知，V 1=V 2，选C ． 二．填空题(此题总分值54分，每题9分)7．复数Z 1、Z 2满足|Z 1|=2，|Z 2|=3，假设它们所对应的向量的夹角为60︒，那么⎪⎪⎪⎪⎪⎪Z 1+Z 2Z 1－Z 2= ；解：由余弦定理知|Z 1+Z 2|=22+32+2·3=19；|Z 1－Z 2|=22+32－2·3=7， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪Z 1+Z 2Z 1－Z 2=197=1337． 8．将二项式⎝⎛⎭⎪⎫x +124x n的展开式按x 的降幂排列，假设前三项的系数成等差数列，那么该展开式中x 的幂指数是整数的项共有 个；解：前三项系数为1，12n ，18n (n －1)，于是得n=1+18n (n －1)，解得，n=8，和n=1(舍去)．当n=8时，T r +1=C r8(12)r x 12(8－r )－14= C r 8(12)r x16－3r4，当r=0，4，8时x 的指数为整数，∴共有3个．9．如图，点P 1，P 2，…，P 10分别是四面体顶点或棱的中点，那么在同一平面上的四点组(P 1，P i ，P j ，P k )(1<i <j <k ≤10)有 个；解：同在某一侧面上：除P 1外另外5点中任取3点与P 1共4点组成一个四点组，有3 C 35=30组，每条侧棱上三点与对棱中点：3组．∴共有33组． 10．f (x )是定义在R 上的函数，f (1)=1且对任意x ∈R 都有f (x ＋5)≤f (x )＋5，f (x ＋1)≥f (x )＋1,.假设g (x )=f (x )＋1－x ，那么g (2021)= ；解：由后式，f (x +5)≥f (x +4)+1≥f (x +3)+2≥f (x +2)+3≥f (x +1)+4≥f (x )+5．比较前式得f (x +1)=f (x )+1．∴ f (x )=x 对一切x ∈N *成立，∴ 对于x ∈N *，g (x )=f (x )+1－x=x +1－x=1 ∴ g (2021)=1．11．假设log 4(x ＋2y )＋log 4(x －2y )=1，那么|x |－|y |的最小值是 ；解：x >－2y ，x >2y ，x 2－4y 2=4．由对称性，只考虑x >0，y >0的情况．令x=2sec θ，y=tan θ，(0<θ<π2)，u=x －y=2－sin θcos θ表示点(0，2)与点(－cos θ，sin θ)连线的斜率，当直线与单位圆相切时，u 最小为3．即所求最小值为3．(或用判别式法解)12．使不等式sin 2x ＋a cos x ＋a 2≥1＋cos x 对于一切x ∈R 恒成立的负数a 的取值范围是 ；解：即(cos x －a －12)2≤a 2+(a －12)2，假设(1－a －12)2≤a 2+(a －12)2，那么a 2+a －2≥0．∴ a ≤－2或a ≥1，但a <0，故a ≤－2． 三．解答题(此题总分值60分，每题20分)：13．点A (0，2)和抛物线y 2=x ＋4上两点B ，C ，使得AB ⊥BC ，求点C 的纵坐标的取值范围．解：设B (y 02－4，y 0)，C (y 12－4，y 1)．那么P 34k AB =y 0－2y 20－4=1y 0+2．k BC =y 1－y 0y 21－y 20=1y 1+y 0．由k AB ·k BC =－1，得(y 1+y 0)(y 0+2)=－1． ∴ y 02+(y 1+2)y 0+(2y 1+1)=0．∴ △=(y 1+2)2－4(2y 1+1)=y 12－4y 1≥0，∴ y 1≤0，y 1≥4． 当y 1=0时，得B (－3，－1)，当y 1=4时，得B (5，－3)均满足要求，故点C 的纵坐标的取值范围是(－∞，0]∪[4，+∞)．14．如图，有一列曲线P 0，P 1，P 2，…，P 0是面积为1的等边三角形，P k ＋1是对P k 进行如下操作得到的：将P k 的每条边三等分，以每边中间局部的线段为边向形外作等边三角形，再将中间局部的线段去掉(k=0，1，2，…)．记S n 为曲线P n 所围成图形的面积．⑴ 求数列{S n }的通项公式；⑵ 求lim n →∞S n ．解：⑴ 对P 0操作后，每条边变为4条边，共有4×3条边；对P 1操作，也是每条边变为4条边，故P 2共有42×3条边，即P k 有3×4k条边．S 0=1，S 1=S 0+3×132=1+13，S 2=S 1+4×3×134=1+13+433；S 3=1+13+433+4235；依此类推，得S k =1+13+433+…+4k －132－1=1+13·1－(49)k1－49=1+35[1－(49)k ]= 85－35(49)k ．用数学归纳法易证上式正确． ⑵ lim n →∞S n =85． 15．设二次函数f (x )=ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R ，a ≠0)满足条件： ⑴ 当x ∈R 时，f (x －4)=f (2－x )，且f (x )≥x ；⑵ 当x ∈(0，2)时，f (x )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x +122； ⑶ f (x )在R 上的最小值为0．求最大的m (m >1)，使得存在t ∈R ，只要x ∈[1，m ]，就有f (x ＋t )≤x ．解：由f (x －4)=f (2－x )，知f (x )关于x=－1对称．于是－b2a =－1．⇒b=2a ．此时，f (x )有最小值0，∴ a －b +c=0．⇒c=a ．f (x )=ax 2+2ax +a ．由⑴ f (1)=4a ≥1．由⑵ 4a ≤1．∴ a=c=14，b=12．f (x )= 14(x +1)2．假设对于x ∈[1，m ]，f (x +t )－x ≤0，⇒f (1+t )－1=14(t +2)2－1≤0，得－4≤t ≤0．f (m +t )－m ≤0，⇒m 2+2(t －1)m +(t +1)2≤0．解得－(t －1)－2－t ≤m ≤－(t －1)+2－t ． ∴m ≤1－t +2－t ≤9．而当t=－4时，f (x －4)－x=14(x 2－10x +9)= 14(x －1)(x －9)在x ∈[1，9]时，恒有f (x －4)－x ≤0成立．∴ m 的最大值为9．二试题(本卷共三个大题，共150分，每题50分)一．在ΔABC 中，∠BAC=60︒，AB >AC ，点O 为ΔABC 的外心，两条高BE 、CF 的交于点H ，点M 、N 分别在线段BH 与HF 上，且满足BM=CN ．求MH +HNOH的值． 解：记∠ACB=α，连OB 、OC ，那么∠BOC=∠BHC=120︒， ∴ B 、O 、H 、C 四点共圆．设此圆的半径为R '， 那么2R '=BC sin120︒ =BCsin60︒=2R ．HM +NH=(BH －BM )+(CN －CH )=BH －CH ．在ΔBCH 中，∠CBH=90︒－α．∠HCB=90︒－(120︒－α)=α－30︒，∴HM +NH=BH －CH=2R (sin(α－30︒)－sin(90︒－α))=2R (sin αcos30︒－cos αsin30︒－cos α)=2 3 R sin(α－60︒)．在ΔOCH 中，OH=2R sin ∠HCO=2R sin(α－30︒－30︒)=2R sin(α－60︒)．∴ MH +HN OH= 3 ．二．实数a ，b ，c 和正数λ使得f (x )=x 3＋ax 2＋bx ＋c 有三个实根x 1，x 2，x 3，且满足 ⑴ x 2－x 1=λ； ⑵ x 3>12(x 1＋x 2)．求2a 3+27c －9ab λ3的最大值． 解：设x 1=m －12λ，x 2=m ＋12λ，x 3=m ＋k (k >12λ)．a=－(x 1＋x 2＋x 3)=－(3m ＋k )； b=x 1x 2＋x 1x 3＋x 2x 3=3m 2＋2mk －14λ2； c=－x 1x 2x 3=－m 3－m 2k ＋14λ2m ＋14λ2k ．那么2a 3＋27c －9ab=－3(m ＋k )3＋27(－m 3－m 2k ＋14λ2m ＋14λ2k )＋9(3m ＋k )(3m 2＋2mk －14λ2)=－2k 3＋92λ2k ．令k λ=t ，那么1λ3(2a 3+27c －9ab )=－2t 3+92t ．取g (t )=－2t 3+92t ． 那么g'(t )=－6t 2+92，g"(t )=－12t ．令g'(t )=0，得t=±32，而当t=32时g"(t )<0． ∴ 当t=32时，g (t )取得最大值g (32)=－2(32)3+92(32)=332． 假设取λ=1，此时得，k=32．令a=0，得m=－36，代入b 、c 的表达式得b=－12，c=318此时得f (x )=x 3－12x +318满足题意．三．在世界杯足球赛前，F 国的教练员为了考察A 1、A 2、A 3、A 4、A 5、A 6、A 7这七名队员，准备让他们在三场训练比赛(每场比赛90分钟)中都上场，假设在比赛的任何时刻，这些队员都有且只有一人在场上，并且A 1、A 2、A 3、A 4每人上场的总时间(以分钟为单位)均被7整除，A 5、A 6、A 7每人上场的总时间(以分钟为单位)均被13整除．如果每场换人的次数不限，那么，按每名队员上场的总时间计，共有多少种不同的情况？解：设各人上场时间分别为7t 1，7t 2，7t 3，7t 4，13t 5，13t 6，13t 7，(t i 为正整数)． 得方程 7(t 1+t 2+t 3+t 4)+13(t 5+t 6+t 7)=90×3．令t 1+t 2+t 3+t 4=x ，t 5+t 6+t 7=y ，得方程7x +13y=270．即求此方程满足4≤x ≤38，3≤y ≤20的整数解． 即6y ≡4(mod 7)，3y ≡2(mod 7)，y ≡3(mod 7) ∴ y=3，10，17，相应的x=33，20，7．t 5+t 6+t 7=3的解只有1种，t 5+t 6+t 7=10的解有C 29种，t 5+t 6+t 7=17的解有C 216种； t 1+t 2+t 3+t 4=33的解有C 332种，t 1+t 2+t 3+t 4=20的解有C 319种，t 1+t 2+t 3+t 4=7的解有C 36种．∴ 共有1·C 332+ C 29·C 319+ C 216·C 36=42244种．。
全国高中数学联赛模拟试题02及答案
全国高中数学联赛模拟试题(二)第一试一、选择题(共36分)1. 设M ＝{(x ，y)||tan πy|＋sin 2πx ＝0}，N ＝{(x ，y)|x 2＋y 2≤2}，则M ∩N 的元素个数为 ( ) A.4 B.5 C.8 D.92. 设a ，b ，c 是实数，那么对任意的实数x ，不等式asinx ＋bcosx ＋c ＞0都成立的充要条件是 ( )A.a ＝b ＝0，c ＞0B.a 2＋b 2＝cC.a 2＋b 2＜cD.a 2＋b 2＞c3. 在平面直角坐标系中，若方程m(x 2＋y 2＋2y ＋1)＝(x －2y ＋3)2表示的曲线为椭圆，则m的取值范围是 ( ) A.(0，1) B.(1，＋∞) C.(0，5) D.(5，＋∞)4. 已知x 1＝6，x 2＝4，x n ＋2＝x 2n ＋1－4x n，则数列{x n }适合 ( )A.只有有限项，且满足x n ＋2＝2x n ＋1－x nB.有无限项，且满足x n ＋2＝2x n ＋1－x nC.只有有限项，且满足x n ＋2≠2x n ＋1－x nD.有无限项，且满足x n ＋2≠2x n ＋1－x n5. 二次曲线C:3x 2－8xy ＋7y 2＋4x －2y －109＝0上的整点个数是 ( )A.4B.3C.2D.56. 设a ，b ，c 均为非零复数，且a b ＝b c ＝c a ，则a ＋b －ca －b ＋c＝ ( )A.1B.±ωC.1，ω，ω2D.1，－ω，－ω2二、填空题(共54分)7. 计算cot10º－4cos10º＝_______________.8. 若(x x －1x )6的展开式中第5项的值为152，则∞→n lim (x －1＋x －2＋……＋x －n)＝_________.9. 已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1－1a n，则∑=19981k k a ＝_________________. 10. 已知曲线y 2＝ax 与其关于点(1，1)对称的曲线有两个不同的公共点，如果过这两个公共点的直线的倾斜角为45º，那么实数a ＝_________________. 11. 如图，棱台ABC －A 1B 1C 1的任意两个侧面所成的二面角都是直二面角，高为43417，且底面ABC 中，AB＝AC ＝5，BC ＝42，则棱台的体积为_____________.12. 设ABCDEF 为正六边形，一只青蛙开始在顶点A 处，它每次可以随意地跳动到相邻两点之一，若在5次AA 1B 1C 1BC之内跳到D点，则停止跳动；若在5次之内不能跳到D点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共有______________种.三、解答题(共计60分)13.(20分)在数列{a n}中，a1＝23，a n－1＝8a n4－a n2(n≥2)，求{a n}的通项公式.14.(20分) 设F(x)＝|f(x)g(x)|，其中f(x)＝ax2＋bx＋c，x∈[－1，1]，g(x)＝cx2＋bx＋a，x∈[－1，1]，对任意参数a，b，c，恒有|f(x)|≤1，当a，b，c变化时，求F(x)所能达到的最大值.15.(20分)已知曲线C:x2－y2＝1及直线L:y＝kx－1，曲线C'与C关于直线L对称，求证：不论实数k为何值，C与C'恒有公共点.第二试一、(50分)⊙O 1与⊙O 2相离，AB 为两圆的外公切线，切⊙O 1于A ，切⊙O 2于B ，CD 为两圆的内公切线，切⊙O 1于C ，切⊙O 2于D ，如图，求证：AC 于BD 的交点在线段O 1O 2上.二、(50分)对每一对实数(x ，y)，函数f(t)满足f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)＋xy ＋1.若f(－2)＝－2，试求满足f(a)＝a 的所有整数a.三、(50分)在13×13的正方形表格中，选择k 个小方格的中心，使其中任意四点不是一个矩形(其边与原正方形的边平行)的顶点，求满足上述要求的k 的最大值.全国高中数学联赛模拟试题(二)参考答案 第一试一、选择题 1. D由题意，tan πy ＝0，sin πx ＝0，于是x ＝k ，y ＝h ，(k ，h ∈Z) 故M ＝{(x ，y)|x ∈Z ，y ∈Z}再由x 2＋y 2≤2，所以x ＝±1、0，y ＝±1、0，这样的点一共有9个 2. Casinx ＋bcosx ＋c ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)＋c ，其中tan φ＝b a因为－a 2＋b 2≤asinx＋bcosx ≤a 2＋b 2所以不等式成立的充要条件为a 2＋b 2＜c 3. Dx 2＋(y ＋1)2(x －2y ＋3)2＝1m ，所以x 2＋(y ＋1)2|x －2y ＋31＋(－2)2|＝5m由0＜5m＜1，得m ＞5 4. A由x n ＋2＝x 2n ＋1－4x n可得x 3＝2，x 4＝0，于是，x 6无意义，所以{x n }只有5项，且由x 5＝－2可知A 正确 5. A将变形为(3x －4y ＋2)2＋5(y ＋1)2＝336可知(|3x －4y ＋2|，|y ＋1|)＝(4，8)，(16，4)再解得(x ，y)＝(10，7)，(－14，－9)，(－2，3)，(－2，－5)即为全部整数解6. C. ∵ (a b )3＝a b ·b c ·c a ＝1，故a b ＝1，ω，ω2，若ab＝1，则a ＝b ＝c ，原式＝1 若a b ＝ω，则b c ＝c a ＝ω，原式＝1＋ω2－ω1＋ω－ω2＝－2ω－2ω2＝ω2 若a b＝ω2，同理可得原式＝ω 二、填空题7.3；tan10º－4cos10º＝sin80º－2sin20ºsin10º＝sin80º－2sin(180º－60º)sin10º＝sin80º－2(sin80ºcos60º－cos80ºsin60º)sin10º＝2cos80ºsin60ºsin10º＝ 38.1；由C 64＝(x x)2(－1x )4＝152得x ＝2，故x －1＋x －2＋……＋x －n＝12＋14＋……＋12n ＝1－12n)211(lim n n -∞→＝1 9.999；由已知可得，a 2＝12，a 3＝－1，a 4＝2＝a 1，所以{a n }是以3为周期的数列于是∑=19981k ka＝666(a 1＋a 2＋a 3)＝99910.2；曲线y 2＝ax 关于点(1，1)的对称曲线为(2－y)2＝a(2－x)由⎪⎩⎪⎨⎧-=-=)x 2(a )y 2(ax y 22得y 2－2y ＋2－a ＝0 此方程两根之和y 1＋y 2＝2从而k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝a(y 1－y 2)y 12－y 22＝a y 1＋y 2＝a2＝1 故a ＝2 11.2087；如图，将棱台补成一个棱锥O －ABC ，由题意，OA ，OB ，OC 两两垂直，由AB ＝AC ＝5，BC ＝42及勾股定理，可得OA ＝3，OB ＝OC ＝4，则V O －ABC ＝13×3×12×4×4＝8设O 到平面ABC 的距离为x ，则13xS ABC ＝V O －ABC ＝8S ABC ＝234，故x ＝63417AO B' BC C'A'则V O －A'B'C'＝(x －h x )3V O －ABC ＝827故V ABC －A'B'C'＝8－827＝2082712.26首先，青蛙不可能经过跳1次、2次或4次到达D 点，青蛙的跳法只有以下两类情况： (1)青蛙跳3次到达D 点，有2种跳法；(2)青蛙一共跳5次后停止，这时.第3次的跳法(一定不到达D 点)有23－2种，后两次跳法有22种，这样跳5次的跳法共计(23－2)×22＝24种. 故所求的跳法总数为2＋24＝26种. 三、13．由a n －1＝8a n 4－a n 2(n ≥2)，得a n －12＝2(a n 2)1-(a n 2)2记a n 2＝tan θn (－π2＜θn ＜π2)，于是tan θn －1＝tan2θn ∴ θn －1＝2θn ，且θ1＝arctan 3＝π3，故θn ＝π3·(12)n －1，∴ a n 2＝tan θn ＝tan π3·2n －1，a n ＝2tan π3·2n －114．当x ∈[－1，1]时，恒有|f(x)|≤1∴ |f(1)|＝|a ＋b ＋c|≤1，|f(0)|＝|c|≤1，|f(－1)|＝|a －b ＋c|≤1于是|g(x)|＝|cx 2＋bx ＋a|＝|c(x 2－1)＋a ＋bx ＋c|≤|c||x 2－1|＋|(a ＋c)＋bx|≤|c|＋max{|a ＋b ＋c|，|a －b ＋c|} ≤1＋1＝2 故F(x)＝|f(x)g(x)|≤2而当f(x)＝2x 2－1，g(x)＝－x 2＋2时，满足对x ∈[－1，1]时一定有|f(x)|≤1 取x ＝0，得F(x)＝2，故F(x)能达到的最大值为2.15．⑴当C 与C'有公共点且在直线L 上时，此公共点就是C 与L 的交点，所以方程组⎩⎨⎧=--=1y x 1kx y 22有实数解，即方程(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0有实数根，当k ＝±1时，实数根为±1，C 与L 有两个公共点.当k ≠±1时，△＝4k 2＋8(1－k 2)≥0得－2≤k ≤2且k ≠±1 所以当－2≤k ≤2且k ≠±1时，C 与L 有公共点，即C 与C'有公共点⑵当C 与C'有公共点P 但不在直线L 上时，则P 点关于L 的对称点Q 也是C 与C'的公共点所以，P 、Q 两点均在直线C 上，即C 上有不同两点关于直线L 对称，设直线PQ 的方程为y ＝－1k x ＋b(k ≠0)由⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=1y x b x k1y 22 得(1－1k 2)x 2＋2b k x －b 2－1＝0 △＝4b 2k 2＋4(b 2＋1)(1－1k2)＞0设PQ 的中点M(x m ，y m )，它在直线L 上， ∴ x m ＝－2b k 2(1－1k 2)＝kb 1－k 2，y m ＝－1k x m ＋b ＝－bk21－k 2将M 点坐标代入L 的方程得 －bk 21－k 2＝k 2b1－k2－1即b ＝1－k22k 2，代入△中可以解得k ∈(－∞，－1)∪(－55，0)∪(0，55)∪(1，＋∞)， 此时，C 与C'有公共点P 但不在直线L 上综合⑴⑵，当k ∈R 时，C 与C'恒有公共点.第二试一、如图，设O 1O 2交BD 于P 1，交AC 于P 2，又设AB 与CD 交于M ，O 1M 交AC 于L ，O 2M 交BD 于N ∵ MB ＝MD ，MO 1平分∠AMC ，MO 2平分∠BMD ∴ ∠O 1MO 2＝12∠AMC ＋12∠DMB ＝90°连O 1C 与O 2D ，则△MO 2D ∽△O 1MC 且MO 1∥BD ，NO 2∥AC ∴ MN ∶NO 2＝O 1P 1∶O 2P 2，且LO 1∶LM ＝O 1P 1∶O 2P 2， ∴ 四边形AMCO 1∽四边形BO 2DM ∴ MN ∶NO 2＝O 1L ∶LM∴ O 1P 1∶O 2P 2＝O 1P 2∶O 2P 2，即P 1＝P 2，即为点O ，故AC 与BD 的交点O 在垂线段O 1O 2上. 二、当x ＝y ＝0时，得f(0)＝－1当x ＝y ＝－1，由f(－2)＝－2，得f(－1)＝－2 又当x ＝1，y ＝－1，可得f(1)＝1 ∴ x ＝1时，得f(y ＋1)＝f(y)＋y ＋2∴ f(y ＋1)－f(y)＝y ＋2∴ 当y 为正整数时，f(y ＋1)－f(y)＞0于是由f(1)＝1＞0可知，对一切正整数y ，均有f(y)＞0 因此当y ∈N 时，f(y ＋1)＝f(y)＋y ＋2＞y ＋1 即对于一切大于1的正数t 恒有f(t)＞t. 同理可求得f(－3)＝－1，f(－4)＝1下面证明：当整数t ≤－4时，f(t)＞0(≠t) 因为t ≤－4，故－(t ＋2)＞0 又f(t)－f(t ＋1)＝－(t ＋2)＞0即f(－5)－f(－4)＞0，f(－6)－f(－5)＞0，…… f(t ＋1)－f(t ＋2)＞0，f(t)－f(t ＋1)＞0 相加得f(t)－f(－4)＞0 即f(t)＞f(－4)＝1＞0 ∴ f(t)＞0＞t综上所述，满足f(a)＝a 的整数只有a ＝1或a ＝－2 解法二：同解法一，可求出f(1)＝1，当y ＝1时，得 f(x ＋1)＝f(x)＋f(1)＋x ＋1＝f(x)＋x ＋2 ∴ 当x ＝n ∈Z 时，f(n ＋1)－f(n)＝n ＋2用叠加法可求得f(n)＝12n 2＋32n －1令f(n)＝n ，解得n ＝1或－2，即a ＝1或－2 三、设第I 列中有x i 个点(i ＝1，2，……，13)，则∑=131i ix＝k ，任取两点构成一个“点对”，则第i 列的x i 个点构成C 2xi 个“点对”(若x i ＜2，规定C 2xi ＝0)若在13×13正方形边再加一列，且每个“点对”投影到这一列上，由于任意四个不同点不是矩形的顶点，故不同“点对”在新画出的一列上的投影“点对”是不同的，在新画出的一列上共有C 213个不同的“点对”，从而得到不等式∑∑==≤1312131312(i i i i xix x C C，即－1)≤13×12亦即∑=131i 2i x ≤156＋k即 13)(131221311312k x x i i i i=≥∑∑== ∴ k 2≤13＋156＋13k 解得－39≤k ≤52而当k ＝52时，可以构造一个符合条件的图，如下图所示综上所述，k的最大值为52。
全国高中数学联赛模拟试02
AA 1 1 1 图1全国高中数学联赛模拟试题(二)第一试一、选择题（每小题6分；共36分）1、 已知集合()⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=--=123,a x y y x A ；()()(){}1511,2=-+-=y a x a y x B ．若∅=B A ；则a 的所有取值是 （A ）－1；1 （B ）－1；21 （C ）±1；2 （D ）±1；－4；25 2、 如图1；已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1；点M 、N 分别在AB 1、BC 1AM ＝BN ．那么； ①AA 1⊥MN ； ②A 1C 1∥MN ； ③MN ∥平面A 1B 1C 1D 1；④MN 与A 1C 1异面． 以上4个结论中；不正确的结论的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）43、 用S n 与a n 分别表示区间[)1,0内不含数字9的n 位小数的和与个数．则n n n S a ∞→lim 的值为（A ）43 （B ）45 （C ）47 （D ）49 4、 首位数字是1；且恰有两个数字相同的四位数共有（A ）216个 （B ）252个 （C ）324个 （D ）432个5、 对一切实数x ；所有的二次函数()c bx ax x f ++=2（a ＜b ）的值均为非负实数．则cb a a b ++-的最大值是 （A ）31 （B ）21 （C ）3 （D ）26、 双曲线12222=-by a x 的一个焦点为F 1；顶点为A 1、A 2；P 是双曲线上任意一点．则分别以线段PF 1、A 1A 2为直径的两圆一定（A ）相交 （B ）相切（C ）相离 （D ）以上情况均有可能二、填空题（每小题9分；共54分） 1、已知复数i 21+=z ；()1121i 2i 2z z z -++=．若△ABC 的3个内角∠A 、∠B 、∠C 依次成等差数列；且2icos 2cos 2C A u +=；则2z u +的取值范围是 ． 2、点P (a ,b )在第一象限内；过点P 作一直线l ；分别交x 、y 轴的正半轴于A 、B 两点．那么；PA 2＋PB 2取最小值时；直线l 的斜率为 ．3、若△ABC 是钝角三角形；则arccos(sin A )＋arccos(sin B )＋arccos(sin C )的取值范围是 ．4、在正四面体ABCD 中；点M 、P 分别是AD 、CD 的中点；点N 、Q 分别是△BCD 、△ABC 的中心．则直线MN 于PQ 的夹角的余弦值为 ．5、在()122++n x 的展开式中；x 的幂指数是整数的各项系数之和是 ．6、集合A 、B 、C （不必两两相异）的并集A ∪B ∪C ＝{1,2,3,…,n }．则满足条件的三元有序集合组(A ,B ,C )的个数是 ．三、（20分）设p ＞0；当p 变化时；C p ：y 2＝2px 为一族抛物线；直线l 过原点且交C p 于原点和点A p ．又M 为x 轴上异于原点的任意点；直线MA p 交C p 于点A p 和B p ．求证：所有的点B p 在同一条直线上．四、（20分）对于公差为d (d ≠0)的等差数列{a n }；求证：数列中不同两项之和仍是这一数列中的一项的充要条件是存在整数m ≥－1；使a 1＝md ．五、（20分）求最大的正数；使得对任意实数a 、b ；均有()222b a b a +λ≤()322b ab a ++．B 图2第二试一、（50分）如图2；⊙O 切△ABC 的边AB 于点D ；切边AC 于点C ；M 是边BC 上一点；AM 交CD 于点N ．求证：M 是BC 中点的充要条件是ON ⊥BC ．二、（50分）求出能表示为()abc c b a n 2++=（a 、b 、c ∈Z +）的所有正整数n ．三、（50分）在一个()()1212-⨯-n n （n ≥2）的方格表的每个方格内填入1或－1；如果任意一格内的数都等于与它有公共边的那些方格内所填数的乘积；则称这种填法是“成功”的．求“成功”填法的总数．参考答案第一试一、选择题：二、填空题：1、⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡25,22；2、a ab -；3、⎪⎭⎫⎝⎛23,2ππ； 4、181； 5、21312++n ；6、7n ．三、证略．四、证略．五、427max =λ．第二试 一、证略；二、1,2,3,4,5,6,8,9．三、1种（每空填1）．。
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为圆心的同一个圆上，求 m 的取值范围． c 2 3 c2 4 4 3 解：c2＝a2＋b2， ＝ ， 2＝ ，c2＝ a2，b＝ a． a 3 a 3 3 3 x 3y a 3 直线 AB 方程： － ＝1，x－ 3y－a＝0．与原点的距离＝ ＝ ，a＝ 3．b＝1．c＝2． a a 2 2 C、D 由直线 y＝kx＋m， x 与双曲线方程 －y2＝1， 3
2
④
2 2 2 由|AC|＝|AD|得，x2 1＋(y1＋1) ＝x2＋(y2＋1) ，(x1－x2)(x1＋x2)＋k(x1－x2)[k(x1＋x2)＋2m＋2]＝0．
由 x1≠x2，故(1＋k2)(x1＋x2)＋2k(m＋1)＝0， 6km ∴ (1＋k2) ＋2k(m＋1)＝0，1－3k2＝－4m．代入④中即得，m2－4m＞0． 1－3k2 ∴ m＞4 或 m＜0． 1 又，1－3k2＝－4m＜1，m＞－ ． 4 1 故所求 m 的取值范围是－ ＜m＜0 或 m＞4． 4
2
① ②
联立解得，①代入②： (1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0． ③ 2 2 2 2 2 2 由题意，1－3k ≠0，＝36k m ＋12(m ＋1)(1－3k )＞0．m ＋1－3k2＞0． 3(m ＋1) 6km 设 C、D 的横坐标分别为 x1，x2．则 x1＋x2＝ ；x x ＝－ ． 1－3k2 1 2 1－3k2
2
S E
G F C
f(x) ＝
2
x4－3x2－6x＋13 －
2 2 2 2
x4－x2＋1 的 最 大 值 等 于
2
A B
______________________． 解：f(x)＝ (x －2) ＋(x－3) － (x －1) ＋x 即表示抛物线 y＝x 上的点到 P(3， 2)及 Q(0，1)距离差的最大值，取抛物线与 PQ 延长线的交点即是所求最大的点． 所求距离＝ 10．
3、已知数列{an}满足 3an＋1＋an＝4，且 a1＝9，其前 n 项的和为 Sn，则满足|Sn－n－6|＜ 数n是 ．
1 π 4、设 a、b、c 分别为方程 x＋sinx＝1，x＋sinx＝2 及 x＋ sinx＝2 的根，且 0＜x＜ ，则 a、b、c 的大 2 2 小关系是 ．
5、红、黄、蓝变色灯的拉线开关是这样设计的，接上电源即出现红色，拉第一次开关时，灯色由红变 黄，拉第二次开关时，灯色由黄变蓝，拉第三次开关时，灯色由蓝变红，如此循环往复．现对编号为 1，2， 3，…，2001 的 2001 盏变色灯通上电源，先将编号为 2 的倍数的灯线拉一下，然后再将编号为 3 的倍数的 灯线拉一下，最后将编号为 5 的倍数的灯线拉一下，三次拉完后，黄色灯的盏数为 ．
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全国高中数学联赛模拟试题(01)
2009．05．28．
3、试确定具有下列性质的所有正整数 n：从集合{n，n＋1，n＋2，n＋3，n＋4，n＋5}中可以分出两个 不相交的非空子集，使得一个子集的所有元素之积等于另一个子集的所有元素之积．
4．今有 100 个筐子，每个筐中都装有苹果与李子，证明：可能从中选出 34 个筐子，它们中装的苹果 1 与李子的重量不少于所有苹果、李子重量的 ． 3
-5O
．
．
A1
D1
N B1
C1
M A
D B
C
．
．
y
x
．
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2009．05．28．
解：a2＝x1x2＋y1y2＋2 x1x2· y1y2；b2＝x1x2＋y1y2＋x1y2＋x2y1，b2≣a2．a≢b． SE BF SG 1 9、在三棱锥 S－ABC 中 E、F、G 分别在侧棱 SA、SB、SC 上，且满足 ＝ ＝ ＝ ，则截面 EFG EA SF SC 2 把三棱锥分成的两部分的体积之比为_____________． 1 2 1 1 1 解：SE＝ SA，SF＝ SB，SG＝ SC，Vs－EFG＝ Vs－ABC，故两部分体积比＝ ． 3 3 2 9 8 11 、 函 数
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全国高中数学联赛模拟试题(01)
2009．05．28．
14、已知复数 zk＝ xk＋ yki（xk，yk∈R，k＝1，2，3，…）在复平面上对应的点都在单位圆第一象限 yn－1 xn 内的圆弧上，且 ＝ ． xn－1 1－x2n－1 （1）若 x1＝a，求{xn}和{yn}的通项公式； （2）若 x1＝y1，求{x2nyn＋1}的各项和．
x2 y2 2 3 15、已知双曲线 2－ 2＝1(a＞0，b＞0)的离心率 e＝ ，过点 A（0，－b）和 B（a，0）的直线与原 a b 3 点间的距离为 3 ．设直线 y＝kx＋m（k≠0，m≠0）与双曲线交于不同的两点 C，D，且 C，D 两点都在以 A 2
为圆心的同一个圆上，求 m 的取值范围．
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（二试）
1、半径为 R 的圆内接凸多边形中，怎样的多边形，其边长的平方和最大？试ห้องสมุดไป่ตู้明你的结论，并求出最大值．
2、数列{an}定义如下：a1＝ 2，an＋1＝ 2－ 4－an2，数列{bn}定义为：bn＝2n 1an，n∈N*．
＋
（1）求数列{an}的通项； （2）证明：bn＜bn＋1，n∈N*； （3）证明：bn＜7，n∈N*；
6 、设 x1 ， x2 ，y1 ， y2 均为正实数， a ＝ x1x2 ＋ y1y2 ， b ＝ (x1＋y1)(x2＋y2) ，则 a 、b 的大小关系是 _____________． SE BF SG 1 7、在三棱锥 S－ABC 中 E、F、G 分别在侧棱 SA、SB、SC 上，且满足 ＝ ＝ ＝ ，则截面 EFG EA SF SC 2 把三棱锥分成的两部分的体积之比为_____________． 8、函数 f(x)＝ x4－3x2－6x＋13－ x4－x2＋1的最大值等于______________________． 9、用 1 或 2 两个数字写 n 位数，其中任意相邻两个位置不全为 1，记 n 位数的个数为 f(n)，则 f(10)＝ ______________________． 三、解答题 13、已知函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，|f(0)|≢2，|f(1)|≢1，|f(－1)|≢1，求证：当|x|≢1 时，|f(x)|≢ 17 ． 8
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全国高中数学联赛模拟试题一 （一试） 一．填空题 1、设 P1、P2 是抛物线 x2＝y 的一条弦，且 P1P2 的垂直平分线方程为 y＝－x＋3，则弦 P1P2 所在的直线 方程是 填 y＝x＋2． y2－y1 1 解：设 P1(x1，x12)，P2(x2，x22)， ＝1，x1＋x2＝1． 弦中点轨迹：x＝ ．与 y＝－x＋3 交于点 2 x2－x1 1 5 ( ， )，直线方程 y＝x＋b，代入得 y＝x＋2． 2 2 3、在棱长为 4 的正方体内有一个内切球，过正方体两条互为异面直线的棱的中点作直线，则该直线被 球面截在球内的线段长为 填 2 2． 解：球半径＝2．球心(2，2，2)，MN 中点(2，1，3)．球心到 MN 的距离＝ 2． 弦长＝2 2． 4、已知数列{an}满足 3an＋1＋an＝4，且 a1＝9，其前 n 项的和为 Sn，则满足|Sn 1 －n－6|＜ 的最小正整数 n 是 125 填 7． 1 － 1 － 解：3(an＋1－1)＝－(an－1)．∴ an－1＝(－ )n 1(a1－1)，an＝1＋8(－ )n 1． 3 3 1 (－ )n－1 3 1 1 Sn＝n＋8 ＝＝n－6[((－ )n－1]＝n＋6－6(－ )n． 1 3 3 (－ )－1 3 1 1 ∴ |6(－ )n|＜ ．n≣7． 3 125 1 π 5、设 a、b、c 分别为方程 x＋sinx＝1，x＋sinx＝2 及 x＋ sinx＝2 的根，且 0＜x＜ ，则 a、b、c 的大 2 2 小关系是 填 a＜b＜c． 解：sinx＝1－x，sinx＝2－x，sinx＝4－2x，a＜b＜c， 6、红、黄、蓝变色灯的拉线开关是这样设计的，接上电源即出现红色，拉第一 次开关时，灯色由红变黄，拉第二次开关时，灯色由黄变蓝，拉第三次开关时，灯 色由蓝变红，如此循环往复．现对编号为 1，2，3，…，2001 的 2001 盏变色灯通上 电源，先将编号为 2 的倍数的灯线拉一下，然后再将编号为 3 的倍数的灯线拉一下，最后将编号为 5 的倍 数的灯线拉一下，三次拉完后，黄色灯的盏数为 填 933． 7 、设 x1 ， x2 ，y1 ， y2 均为正实数， a ＝ x1x2 ＋ y1y2 ， b ＝ (x1＋y1)(x2＋y2) ，则 a 、b 的大小关系是 _____________．
2－x－2x2，(－1≢x＜0) ＝ 2 2＋x－2x ， (0≢x≢1)
17 ． 8
∴ |f(x)|≢
17 ． 8
14、已知复数 zk＝ xk＋ yki（xk，yy∈R，k＝1，2，3，…）在复平面上对应的点都在单位圆第一象限 yn－1 xn 内的圆弧上，且 ＝ ． xn－1 1－x2n－1 ⑴ 若 x1＝a，求{xn}和{yn}的通项公式； ⑵ 若 x1＝y1，求{x2 nyn＋1}的各项和． 解：⑴ |zk|＝1，xk＋yk＝1． ∴ yn－1 xn－1 1＋(n－2)a xn 1 1 1 1 a ＝ ， xn＝ ， ＝ ＋1， ＝ ＋(n－1)， xn＝ ， y＝ ． xn xn－1 xn a xn－1 1－x2n－1 1＋xn－1 1＋(n－1)a n 1＋(n－1)a
全国高中数学联赛模拟试题(01)
2009．05．28．
全国高中数学联赛模拟试题一
（一试） 一．填空题 1、设 P1、P2 是抛物线 x2＝y 的一条弦，且 P1P2 的垂直平分线方程为 y＝－x＋3，则弦 P1P2 所在的直线 方程是 ．