高二数学选修2-2导数12种题型归纳(中等难度)
高二数学选修2-2导数12种题型归纳(中等难度)汇编
导数题型分类解析（中等难度）一、变化率与导数函数)(0x f y =在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即)('0x f =0lim →∆x xy∆∆=0lim →∆x x x f x x f Δ)()Δ(00-+，表示函数)(0x f y =在x 0点的斜率。
注意增量的意义。
例1：若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+-- 的值为（ ）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x - D ．0 例2：若'0()3f x =-，则000()(3)limh f x h f x h h→+--=（ ）A.3- B ．6- C ．9- D ．12-例3：求0lim →h hx f h x f )()(020-+二、“隐函数”的求值将)('0x f 当作一个常数对)(0x f 进行求导，代入0x 进行求值。
例1：已知()()232f x x x f '+=，则()='2f例2：已知函数()x x f x f sin cos 4+⎪⎭⎫⎝⎛'=π，则⎪⎭⎫ ⎝⎛4πf 的值为 .例3：已知函数)(x f 在R 上满足88)2(2)(2-+--=x x x f x f ，则曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为（ ）A. 12-=x yB. x y =C. 23-=x yD. 32+-=x y三、导数的物理应用如果物体运动的规律是s=s （t ），那么该物体在时刻t 的瞬间速度v=s ′（t ）。
如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v （t ），则该物体在时刻t 的加速度a=v′（t ）。
例1：一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，求物体在3秒末的瞬时速度。
高中数学人教版选修22导数及其应用知识点总结.pdf
数学选修 2-2 数系的扩充和复数的概念知识点必记
30.复数的概念是什么？ 答：形如 a．+．b．i．的数叫做复数，其中 i 叫虚数单位， a 叫实部， b 叫虚部，数集
C = a + bi | a,b R 叫做复数集。
规定：a + bi = c + di a．=．c．且．b．=．d．，强调：两复数不能比较大小，只有相等或不相
和综合法常结合使用，不要将它们：即反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的
否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。
25.反证法的一般步骤是什么？
答：（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；
（2）从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
22.什么是综合法？
答：综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条
件，直至推出要证的结论。
23.什么是分析法？
答：分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者
一定成立的式子，可称为“由果索因”。
要注意叙述的形式：要证 A，只要证 B，B 应是 A 成立的充分条件. 分析法
个是最小值。 注：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；
9．求曲边梯形的思想和步骤是什么？
答：分割 → 近似代替 → 求和 → 取极限 （“以直代曲”的思想）
10.定积分的性质有哪些？ 根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：
性质 1
b
1dx = b − a
a
性质 5
若 f (x) 0,
特别地：
b
kf (x)dx = k
a
b f (x)dx(k为常数)
a
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导数题型分类剖析〔中等难度〕一、变化率与导数函数 y f ( x0 ) 在x0到x0+x之间的平均变化率，即 f ' ( x0 ) =lim y= limf (x0x) f ( x0 )，表示x 0x x x 函数 y f (x0 ) 在x0点的斜率。
注意增量的意义。
例 1：假设函数y f ( x) 在区间 (a,b) 内可导，且A ．f' ( x )B．2 f'( x0)例 2：假设f'( x0)3，那么lim f ( xh) f ( xh0hA. 3B．6f ( x0h2 ) f ( x0 )例 3：求lim hh0x0 (a,b) 那么limf ( xh) f (xh)的值为〔〕h0hC．2 f'(x0)D．03h)〕〔C．9D．12二、“隐函数〞的求值将 f ' ( x0 ) 看作一个常数对 f (x0 ) 进行求导，代入x0进行求值。
2例 1： f x x3xf 2 ，那么 f2例 2：函数 f x f cos x sin x ，那么f4的值为.4例 3：函数 f ( x) 在R上满足f ()2f(2x)x2 8x8，那么曲线y f ( x) 在点(1, f (1)) 处的切线方程x为〔〕A. y2x 1B.y xC.y3x2D. y2x3三、导数的物理应用若是物体运动的规律是s=s〔t〕，那么该物体在时辰t 的瞬时速度 v=s′〔t 〕。
若是物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v 〔 t〕，那么该物体在时辰t 的加速度 a=v′〔 t〕。
例 1：一个物体的运动方程为s 1t t 2其中 s 的单位是米，t的单位是秒，求物体在 3 秒末的瞬时速度。
例 2：汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶此后停车，假设把这一过程中汽车的行驶行程s 看作时间t 的函数，其图像可能是〔〕s s s sO t O t O t O tA．B．C．D．四、根本导数的求导公式① C0; 〔C为常数〕②x n nx n 1;③ (sin x)cos x ;④ (cos x)sin x ;1;⑧l o g a x 1 log a e.⑤ (e x ) e x ;⑥ (a x)a x ln a ;⑦ln xx x例 1：以下求导运算正确的选项是( )A ． x1 11B ． log 2x=1 C ． 3 x3 xlog 3 e D ． x 2 cosx2xsin xx 2x ln 2x例 2：假设f x x f x f x f xf x， fxf x n N ，那么 fx0 sin ,1 0,2 1,n 1n ,2005五、导数的运算法那么常数乘积： (Cu )' Cu ' . 和差： ( u v)' u ' v ' .乘积： (uv ) 'u ' v uv ' .除法： uu' v uv 'vv 2例 1：〔 1〕函数 yx 3 log 2 x 的导数是〔 2〕函数 x n e 2 x 1 的导数是六、复合函数的求导f [ ( x)] f ( )* (x) ，从最外层的函数开始依次求导。
高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-2《第一章 导数及其应用》知识点、考点、及其例题
第一章导数及其应用知识点及练习题知识点1：导数概念的引入1. 导数的物理意义：瞬时速率。
一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='， 即0()f x '=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。
容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即000()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ',即0()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆考点：导数的几何意义及其应用[例题] 已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2，4)的切线方程； (3)求斜率为4的曲线的切线方程．[变式训练] 已知函数f(x)＝x3＋x －16.(1)求曲线y ＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．知识点2：导数的计算1）基本初等函数的导数公式:1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2 若()f x x α=,则1()f x xαα-'=;3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5 若()xf x a =,则()ln x f x a a '=6 若()x f x e =,则()xf x e '=7 若()log xa f x =,则1()ln f x x a '=8 若()ln f x x =,则1()f x x'=2）导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''•=•+•3. 2()()()()()[]()[()]f x f xg x f x g x g x g x ''•-•'= 3）复合函数求导()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=•考点：导数的求导及运算1、已知()22sin f x x x π=+-，则()'0f =2、若()sin x f x e x =，则()'f x =3.)(x f =ax 3+3x 2+2 ，4)1(=-'f ，则a=（ ）319.316.313.310.D C B A 4.过抛物线y=x 2上的点M )41,21(的切线的倾斜角是（） A.30° B.45° C.60° D.90° 5.如果曲线2932y x =+与32y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x =知识点3：导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增； 如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数()y f x =的极值的方法是:(1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值;(2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤 （1） 求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；（2） 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.考点：1.导数在研究函数单调性中的应用2.导数在求函数极值与最值中的应用题型一：导数在研究函数单调性中的应用[例题] 设函数f (x )＝x e a －x ＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y＝(e －1)x ＋4.(1)求a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间．[变式训练] 设函数f(x)＝xekx(k ≠0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)在区间(－1，1)内单调递增，求k 的取值范围．题型二：导数在求函数极值与最值中的应用[例题]已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx在区间(－2，1)内，当x＝－1时取极小值，当x＝23时取极大值．(1)求函数y＝f(x)在x＝－2时的对应点的切线方程；(2)求函数y＝f(x)在[－2，1]上的最大值与最小值．[变式训练] 设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]e x.(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程与x轴平行，求a；(2)若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围．知识点4：解决实际问题利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题考点：1、导数在切线方程中的应用2、导数在单调性中的应用3、导数在极值、最值中的应用4、导数在恒成立问题中的应用题型一：导数在切线方程中的运用1.曲线3x y =在P 点处的切线斜率为k,若k=3，则P 点为（ ） A.（－2，－8） B.（－1，－1）或（1，1）C.（2，8）D.（－21，－81）2.曲线53123+-=x x y ，过其上横坐标为1的点作曲线的切线，则切线的倾斜角为（ ） A.6π B.4π C.3π D.π43题型二：导数在单调性中的运用1.函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为( ) A.(2,)+∞ B.(,2)-∞ C.(,0)-∞ D.(0,2)2．关于函数762)(23+-=x x x f ，下列说法不正确的是（ ） A ．在区间（∞-，0）内，)(x f 为增函数 B ．在区间（0，2）内，)(x f 为减函数 C ．在区间（2，∞+）内，)(x f 为增函数 D ．在区间（∞-，0）),2(+∞⋃内,)(x f 为增函数3．已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数()f x 的导函数)，下面四个图象中()y f x =的图象大致是（ ）4、（2010年山东21）（本小题满分12分）已知函数).(111)(R a xaax nx x f ∈--+-= （Ⅰ）当处的切线方程；在点时，求曲线))2(,2()(1f x f y a=-=（Ⅱ）当12a ≤时，讨论()f x 的单调性．题型三：导数在最值、极值中的运用1.函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（ ） A ．2B. 3C. 4D.52．函数5123223+--=x x x y 在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ） A.5 , - 15 B.5 , 4 C.- 4 , - 15 D.5 , - 163.已知函数)0()(3≠++=adcxaxxf是R上的奇函数，当1=x时)(xf取得极值－2.（1）试求a、c、d的值；（2）求)(xf的单调区间和极大值；4.设函数2312)(bxaxexxf x++=-，已知12=-=xx和为)(xf的极值点。
高二数学选修2-2导数及其应用测试题(含答案)
高二数学选修2-2导数及其应用测试题一、 选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案写在答题卡上)1．设xx y sin 12-=，则='y （ ）．A ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2---B ．xx x x x 22sin cos )1(sin 2-+-C ．x x x x sin )1(sin 22-+-D ．xx x x sin )1(sin 22---2．设1ln)(2+=x x f ，则=)2('f （ ）． A ．54 B ．52 C ．51 D ．53 3．已知2)3(',2)3(-==f f ，则3)(32lim3--→x x f x x 的值为（ ）．A ．4-B ．0C ．8D ．不存在 4．曲线3x y =在点)8,2(处的切线方程为（ ）．A ．126-=x yB ．1612-=x yC ．108+=x yD ．322-=x y5．已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点)0,(),0,0(1x ，)0,(2x ，且)(x f 在1=x ，2=x 时取得极值，则21x x ⋅的值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．不确定 6．在R 上的可导函数c bx ax x x f +++=22131)(23，当)1,0(∈x 取得极大值，当)2,1(∈x 取得极小值，则12--a b 的取值范围是（ ）． A ．)1,41( B ．)1,21( C ．)41,21(- D ．)21,21(-7．函数)cos (sin 21)(x x e x f x +=在区间]2,0[π的值域为（ ）． A ．]21,21[2πe B ．)21,21(2πe C ．],1[2πe D ．),1(2πe8．积分=-⎰-aadx x a 22（ ）．A ．241a π B ．221a πC ．2a πD ．22a π9．由双曲线12222=-by a x ，直线b y b y -==,围成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为（ ）A ．238ab π B ．b a 238π C ．b a 234π D ．234ab π 10．由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是（ ）． A ．18B ．338C ．316 D ．1611．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为（ ）． Ａ．3V Ｂ．32V Ｃ．34V D ．32V 12．某人要剪一个如图所示的实心纸花瓣，纸花瓣的边界 由六段全等的正弦曲线弧)0(sin π≤≤=x x y 组成，其中 曲线的六个交点正好是一个正六边形的六个顶点，则这个 纸花瓣的面积为（ ）． A ．2336π+ B ．223312π+ C ．26π+ D ．22336π+第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（每小题4分，共16分。
高二数学选修2-2导数12种题型归纳(中等难度)
导数题型分类解析（中等难度）一、变化率与导数函数)(0x f y =在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即)('0x f =0lim →∆x xy∆∆=0lim →∆x x x f x x f Δ)()Δ(00-+，表示函数)(0x f y =在x 0点的斜率。
注意增量的意义。
例1：若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+-- 的值为（ ）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x - D ．0 例2：若'0()3f x =-，则000()(3)limh f x h f x h h→+--=（ ）A.3- B ．6- C ．9- D ．12-例3：求0lim →h hx f h x f )()(020-+二、“隐函数”的求值将)('0x f 当作一个常数对)(0x f 进行求导，代入0x 进行求值。
例1：已知()()232f x x x f '+=，则()='2f例2：已知函数()x x f x f sin cos 4+⎪⎭⎫⎝⎛'=π，则⎪⎭⎫ ⎝⎛4πf 的值为 .例3：已知函数)(x f 在R 上满足88)2(2)(2-+--=x x x f x f ，则曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为（ ）A. 12-=x yB. x y =C. 23-=x yD. 32+-=x y三、导数的物理应用如果物体运动的规律是s=s （t ），那么该物体在时刻t 的瞬间速度v=s ′（t ）。
如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v （t ），则该物体在时刻t 的加速度a=v′（t ）。
例1：一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，求物体在3秒末的瞬时速度。
高中数学选修2-2全套知识点及练习答案解析
选修2-2 知识点及习题答案解析导数及其应用一.导数概念的引入1. 导数的物理意义：瞬时速率。
一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在x x =处的导数，记作0()f x '或|x x y ='，即0()f x '=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆2.导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。
容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n nn f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即00()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ',即()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆二.导数的计算基本初等函数的导数公式:1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2 若()f x x α=,则1()f x x αα-'=;3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5 若()x f x a =,则()ln x f x a a '=6 若()x f x e =,则()x f x e '=7 若()log xaf x =,则1()ln f x x a '= 8 若()ln f x x =,则1()f x x'=导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2.[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''∙=∙+∙3. 2()()()()()[]()[()]f x f xg x f x g x g x g x ''∙-∙'= 复合函数求导 ()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数(())()y f g x g x '''=∙三.导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间(,)a b 内(1)如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增；(2)如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.求函数()y f x =的极值的方法是:（1）如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值（2）如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤： （1）求函数()y f x =在(,)a b 内的极值； （2） 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.推理与证明考点一 合情推理与类比推理根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理.类比推理的一般步骤:(1) 找出两类事物的相似性或一致性;(2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);(3) 一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的.(4) 一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越可靠.考点二 演绎推理(俗称三段论)由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理. 考点三 数学归纳法1. 它是一个递推的数学论证方法.2. 步骤:A.命题在n=1（或0n ）时成立，这是递推的基础；B.假设在n=k 时命题成立； C.证明n=k+1时命题也成立,完成这两步,就可以断定对任何自然数(或n>=0n ,且n N ∈)结论都成立。
高中数学选修2-2知识点总结(最全版)
高中数学选修2-2知识点总结第一章、导数1．函数的平均变化率为=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 注1：其中x ∆是自变量的改变量，平均变化率 可正，可负，可零。
注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim0000.3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率； 函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；6、常见的导数和定积分运算公式:若()g x均可导（可积），则有：f x，().用导数求函数单调区间的步骤:①求函数f(x)的导数'()f x②令'()f x>0,解不等式，得x的范围就是递增区间.③令'()f x<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间；[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。
7.求可导函数f(x)的极值的步骤：(1)确定函数的定义域。
(2) 求函数f(x)的导数'()f x(3)求方程'()f x=0的根(4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，f x在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如检查/()果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值8.利用导数求函数的最值的步骤:求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求)(x f 在[]b a ,上的极值；⑵将)(x f 的各极值与(),()f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
人教版高中数学【选修2-2】[知识点整理及重点题型梳理]_《导数及其应用》全章复习与巩固(提高)(理)
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人教版高中数学选修2-2知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习《导数及其应用》全章复习与巩固【学习目标】1. 会利用导数解决曲线的切线的问题.2. 会利用导数解决函数的单调性等有关问题.3. 会利用导数解决函数的极值、最值等有关问题.4. 能通过运用导数这一工具解决生活中的一些优化问题：例如利润最大、用料最省、效率最高等问题【知识网络】【要点梳理】要点一：有关切线问题直线与曲线相切，我们要抓住三点： ①切点在切线上； ②切点在曲线上；③切线斜率等于曲线在切点处的导数值. 要点诠释：通过以上三点可以看出，抓住切点是解决此类题的关键，有切点直接求，无切点则设切点，布列方程组.要点二：有关函数单调性的问题设函数()y f x =在区间（a ，b ）内可导，（1）如果恒有'()0f x >，则函数()f x 在（a ，b ）内为增函数； （2）如果恒有'()0f x <，则函数()f x 在（a ，b ）内为减函数； （3）如果恒有'()0f x =，则函数()f x 在（a ，b ）内为常数函数. 要点诠释：（1）若函数()f x 在区间（a ，b ）内单调递增，则'()0f x ≥，若函数()f x 在（a ，b ）内单调递减，则'()0f x ≤.（2）'()0f x ≥或'()0f x ≤恒成立，求参数值的范围的方法： ① 分离参数法：()m g x ≥或()m g x ≤.② 若不能隔离参数，就是求含参函数(,)f x m 的最小值min (,)f x m ，使min (,)0f x m ≥. （或是求含参函数(,)f x m 的最大值max (,)f x m ，使max (,)0f x m ≤） 要点三：函数极值、最值的问题 函数极值的问题（1）确定函数的定义域； （2）求导数)(x f '； （3）求方程0)(='x f 的根；（4）检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法) 要点诠释： ①先求出定义域②一般都要列表：然后看在每个根附近导数符号的变化：若由正变负，则该点为极大值点； 若由负变正，则该点为极小值点.注意：无定义的点不用在表中列出③根据表格给出结论：注意一定指出在哪取得极值. 函数最值的问题若函数()y f x =在闭区间],[b a 有定义，在开区间(,)a b 内有导数，则求函数()y f x =在],[b a 上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数)(x f 在),(b a 内的导数)(x f '； （2）求方程0)(='x f 在),(b a 内的根；（3）求在),(b a 内所有使0)(='x f 的的点的函数值和)(x f 在闭区间端点处的函数值)(a f ，)(b f ； （4）比较上面所求的值，其中最大者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最大值，最小者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最小值.要点诠释：①求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可.②若)(x f 在开区间),(b a 内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值. 要点四：优化问题在实际生活中用料最省、利润最大、效率最高等问题，常常可以归结为函数的最大值问题，从而可用导数来解决.我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题.利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤：(1) 分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式()y f x =；(2) 求函数的导数'()f x ，解方程'()0f x =；(3) 比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值． 要点诠释：①解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系.再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具． 利用导数解决优化问题的基本思路：②得出变量之间的关系()y f x =后，必须由实际意义确定自变量x 的取值范围；③在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f ′(x )＝0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值．④在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去． 要点五：定积分的概念如果函数=()y f x 在区间[]a b ，上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[]a b ，等分成n 个小区间，在每个小区间[]1,i i x x -上取点()1,2,,i i n =ξ，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f n==-=∆=∑∑ξξ．当n →+∞时，上述和式n S 无限趋近于常数，那么称该常数为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作：()baf x dx ⎰，即+1()lim()nbi an i b af x dx f n→∞=-=∑⎰ξ．要点诠释： （1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时），记为()baf x dx ⎰，而不是n S ．(2) 定积分是一个数值（极限值），它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即()()()bbbaaaf x dx f u du f t dt ===⎰⎰⎰（称为积分形式的不变性），另外定积分()()baf x d x ⎰与积分区间[a ，b ]息息相关，不同的积分区间，定积分的积分上下限不同，所得的值也就不同，例如120(1)x dx +⎰与320(1)x dx +⎰的值就不同．要点六：定积分的几何意义要点诠释：（1）当()0f x ≤时，由()y f x =、x =a 、x =b 与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方，积分()d baf x x⎰在几何上表示上述曲边梯形面积的相反数（负数）．所以[()]d ()bbaaS f x x f x S =-=-=-⎰⎰，即()d baf x x S =-⎰，如图（b ）．（2）当()f x 在区间[a ，b ]上有正有负时，积分()d b af x x ⎰在几何上表示几个小曲边梯形面积的代数和（x 轴上方面积取正号，x 轴下方面积取负号）．在如图（c ）所示的图象中，定积分132()d baf x x S S S =+-⎰．要点七：定积分的运算性质 性质1：()d ()bba ak f x x k f x kS ==⎰⎰；性质2：[()g()]d ()g()d bb baaaf x x x f x x x ±=±⎰⎰⎰；性质3：定积分关于积分区间具有可加性。
(完整版)高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结,推荐文档
19 反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否 定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。
反证法的一般步骤（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立； （2）从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）从矛盾判定假设不正确， 即所求证命题正确。反证法的思维方法:正难则反。矛盾（1）与已知条件矛盾: （2）与已有公理、定理、定义矛盾； （3）自相矛盾． 20 常见的“结论词”与“反义词”
常见的导数和定积分运算公式:若 f x， g x均可导（可积），则有：
和差的导数运算 积的导数运算 商的导数运算 复合函数的导数 微积分基本定理
和差的积分运算
积分的区间可加性
-1-
六安一中东校区高二数学选修 2-x)的导数 f '(x) ②令 f '(x) >0,解不等
证明当 n=k+1 时命题也成立.由(1)，(2)可知，命题对于从 n0 开始的所有正整数
n
都正确
新疆 王新敞
[注]：常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。
b
f (x)dx
a
a
c1
ck
11 定积分的取值情况:定积分的值可能取正值，
也可能取负值，还可能是 0.
( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，
定积分的值取正值，且等于 x 轴上方的图形面积；
（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时， 定积分的值取负值，且等于 x 轴上方图形面积的 相反数；
（3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于 位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值 为 0，且等于 x 轴上方图形的面积减去下方的图 形的面积．
原结论词
反义词
选修2-2导数计算题型大全
导数计算题型一 利用运算法则求导【例1-1】（2019·海南高三月考）下列求导运算正确的是（） A ．(ln 2)'0= B ．(cos )sin x x '=C ．()xxe e--'=D ．()5615xx --=-'【例1-2】（2019·西藏高二期末）求下列函数的导数. （1）2sin y x x =；（2）n 1l y x x=+；（3）322354y x x x =-+-.【举一反三】1.（2019·陕西高二期末（文））求下列函数的导数：（Ⅰ）22ln cos y x x x =++；（Ⅱ）3e xy x =.2．（2017·全国高二课时练习）求下列函数的导数． (1)y ＝x 4－3x 2－5x ＋6；(2)y ＝3x 2＋x cos x ；(3)y ＝22x ＋33x(4)y ＝lg x －21x ；(5)y题型二 复合函数求导【例2】（2019·江苏启东中学高二期中）求下列函数的导函数（1）y =； （2）2sin y x =.（3）()cos 32y x =-； （4）312x y +=.【举一反三】1．（2019·青海高二月考（理））求下列函数的导数：(1)()*()2+1ny x n N ∈＝，； (2)(ln y x =；(3)11x x e y e +=-； (4)2)2(+5y xsin x ＝．2．求下列函数的导数.(1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝ln x ＋；(3)y ＝sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭；(4)y ＝ln(2x －5).题型三 求切线方程【例3】（2019·安徽高二期末）已知函数()3f x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点()1,0处的切线方程； （2）求过点()1,0且与曲线()y f x =相切的直线方程．【举一反三】1．（2019·安徽合肥一中高二期中（文））已知函数3()16f x x x =+- （1）求曲线()y f x =在点(1,14)-处的切线的方程；（2）直线l 为曲线()y f x =的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标. 2．（2019·河北安平中学高二月考）曲线xy sinx e ＝＋在点()0,1处的切线斜率是( )A ．2B ．2-C ．1D ．1-3．（2019·重庆高三（理））已知函数()3123f x x x =-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的倾斜角是（ ）A ．6πB ．4πC ．23πD ．34π4．（2019·黑龙江牡丹江一中高二期中（理））过点(2,6)P -作曲线3()3f x x x =-的切线，则切线方程为（ ）A ．30x y +=或24540x y --=B ．30x y -=或24540x y --=C ．30x y +=或24540x y -+=D ．24540x y --=题型四 利用导数求值【例4】(1)（2019·贵州高三月考（文））已知函数()f x 的导函数为()f x '，且()()22ln 22f x x x f x '=-+，则()2f '=（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5(2)（2019·昌吉市第九中学高二月考）设函数f (x )=ax +3x 2，若f ′(1)=3，则a 等于（ ） A ．1 B ．−1 C ．3 D ．−3【举一反三】1．（2019·四川高三（文））设函数()f x 的导函数为()f x '，若()1ln 1x f x e x x=+-，则()1f '=（） A ．3e - B ．2e -C ．1e -D ．e2．（2019·福建省南安市侨光中学高三月考（理））已知2019()ln f x e x x =+g ，则()1f '=（）A ．1B ．20191e +C ．20191e -D ．2019e3．（2019·江西高二期末（理））已知函数()f x 的图像在点()()22f ,处的切线方程是210x y -+=，若()()f x h x x=，则()2h '=（ ） A ．12 B ．12-C ．18-D ．58题型五 综合运用【例5】（2019·江苏启东中学高二期中）曲线2x y e x =++在点()0,3处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为___________. 【举一反三】 1．曲线y ＝x －1x ＋1在点(0，－1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为( ) A.18 B.14 C.12 D ．1 2．（2019·湖北高二期末（文））设函数()bf x ax x-=，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为3240x y --=.（1）求()f x 的解析式；（2）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形的面积为定值，并求此定值. 课后练习1．（2019·全国高三）已知下列四个命题，其中正确的个数有（） ①'1(2)2x x x -=⋅，②'(sin 2)cos 2x x =，③'(log )ln x a x a a =（0a >，且1a ≠），④'1(ln 2)2=A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．（2019·陕西高二期末）函数2(21)y x =+的导数为（） A ．21y x '=+B ．2(21)y x ='+C ．3(21)y x ='+D ．4(21)y x ='+3．（2019·浙江高二期末）函数2()ln sin 1f x x x x =+++的导函数是（）A ．12cos 1x x x +++ B ．12cos x x x -+ C ．12cos x x x+-D ．12cos x x x++4．（2019·抚顺市第十中学高二期中（理））下列求导运算正确的是（ ） A ．2111x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭B ．21(log )ln 2x x '=C ．3(3)3log e x x'=D ．2(cos )2sin x x x x '=-5．（2019·湖北高二期末（文））下列求导运算正确的是（ ）A ．2()x x '= B ．'=C ．()xxe e --'=D ．2ln 2(log )x x'=6．（2019·昌吉市第九中学高二月考）曲线23y x x =+在点()2,10A 处的切线方程是( ) A ．740x y --= B ．10150x y --= C ．10x y -+=D ．+10x y -=7．（2019·山东高三期中）已知函数()2f x x =的图象在1x =处的切线与函数()e xg x a=的图象相切，则实数a =( )A B ．2C ．2D ．8．（2019·河南高三（理））设曲线(1)ln y a x x =--在点()1,0处的切线方程为33y x =-，则a =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．49．（2019·甘肃临夏中学高三（文））函数()1ln x f x x+=的图像在1e x =处的切线方程是（ ）.A ．10ex y --=B ．10ex y +-=C ．20e x y e +-=D ．20e x y e --=10．（2019·江西高三月考）已知直线y x m =-+ 是曲线23ln y x x =-的一条切线，则m 的值为（ ）A ．0B ．2C ．1D ．311．（2019·山东高考模拟（理））函数()2ln f x x x =-+的图像在1x =处的切线方程为（ ） A ．210x y +-=B ．210x y -+=C ．10x y -+=D ．10x y ++=12．（2019·辽宁高二期末（理））已知过点(1,1)P 且与曲线3y x =相切的直线的条数有（ ）． A ．0B ．1C ．2D ．313．（2019·河南高三期中）已知函数()f x 的导函数为()f x '，()()222f x x xf '+=，则不等式()0f x <的解集为__________．14（2019·全国高三月考（理））已知函数3()2(1)3f x x f x '=+-，则(2)f '=________.15（2019·河北高三开学考试（理））已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2(1)ln f x xf x '=+，则(1)f =______.16．（2019·甘肃高三月考）已知()2123f x x xf ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭，则1()3f '-=_____．17．（2019·贵州高二期末（理））已知函数()f x 的导函数为()f x '，且()()2ln f x xf e x '=-，则()e f '=_____18．（2019·广东高二期末（理））若()sin 2cos2f x x x =+，则'6f π⎛⎫=⎪⎝⎭____ 19．（2019·湖南高二期末（理））已知函数2()xf x e =，则过原点且与曲线()y f x =相切的直线方程为____________.20．已知函数()()()10ln 212f x f x x +'=-+，则()0=f '________. 21（2019·湖南师大附中高三月考（文））曲线cos y x x =+在点(0,1)处的切线方程为__________．22（2019·河北高三月考）若()()321111322f x f x x x '=-++，则曲线() y f x =在点()(1,)1f 处的切线方程是__________．23．（2019·江苏省黄桥中学高三月考（理））函数()2cos f x x =在点(6P π处的切线的倾斜角是_____________.24．（2019·内蒙古高三月考（文））已知曲线()3f x x x =-，则过点()1,0P -，且与曲线相切的直线方程为______.25．（2019·重庆高三（理））已知直线y kx =与曲线ln 2y x =相切，则实数k 的值为_________. 26．（2019·河北高三月考（理））已知曲线3y x x =-在点()00,x y 处的切线平行于直线220x y --=，则0x =______.27．（2019·河南高三月考）已知函数()(0xf x a a =>且1)a ≠，若曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线与直线1y x =+垂直，则a 的值为________.28．（2019·天津高考模拟）已知函数()xf x e ax =+的图象在点()()0,0f 处的切线与曲线ln y x =-相切，则a =______．29．（2019·原平市范亭中学高二月考（理））已知曲线2()f x x = 求: （1）曲线在点(1,1)P 处的切线方程 （2）曲线过点()3,5P 的切线方程30．（2019·福建高二期中（理））已知曲线2:2C y x x =-+. （1）求曲线C 在点()1,2处的切线方程，（2）求过点()2,3且与曲线C 相切的直线的方程．31．（2019·贵州高二期中（理））已知曲线32()2f x x x x =-+. (1) 求曲线()y f x =在()2,2处的切线方程； (2) 求曲线()y f x =过原点O 的切线方程.。
人教版高中数学【选修2-2】[知识点整理及重点题型梳理]_《导数及其应用》全章复习与巩固(基础)(理)
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人教版高中数学选修2-2知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习《导数及其应用》全章复习与巩固【学习目标】1. 会利用导数解决曲线的切线的问题.2. 会利用导数解决函数的单调性等有关问题.3. 会利用导数解决函数的极值、最值等有关问题.4. 能通过运用导数这一工具解决生活中的一些优化问题：例如利润最大、用料最省、效率最高等问题【知识网络】【要点梳理】要点一：有关切线问题直线与曲线相切，我们要抓住三点： ①切点在切线上； ②切点在曲线上；③切线斜率等于曲线在切点处的导数值. 要点诠释：通过以上三点可以看出，抓住切点是解决此类题的关键，有切点直接求，无切点则设切点，布列方程组.要点二：有关函数单调性的问题设函数()y f x =在区间（a ，b ）内可导，（1）如果恒有'()0f x >，则函数()f x 在（a ，b ）内为增函数； （2）如果恒有'()0f x <，则函数()f x 在（a ，b ）内为减函数； （3）如果恒有'()0f x =，则函数()f x 在（a ，b ）内为常数函数. 要点诠释：（1）若函数()f x 在区间（a ，b ）内单调递增，则'()0f x ≥，若函数()f x 在（a ，b ）内单调递减，则'()0f x ≤.（2）'()0f x ≥或'()0f x ≤恒成立，求参数值的范围的方法： ① 分离参数法：()m g x ≥或()m g x ≤.② 若不能隔离参数，就是求含参函数(,)f x m 的最小值min (,)f x m ，使min (,)0f x m ≥. （或是求含参函数(,)f x m 的最大值max (,)f x m ，使max (,)0f x m ≤） 要点三：函数极值、最值的问题 函数极值的问题（1）确定函数的定义域； （2）求导数)(x f '； （3）求方程0)(='x f 的根；（4）检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法) 要点诠释： ①先求出定义域②一般都要列表：然后看在每个根附近导数符号的变化：若由正变负，则该点为极大值点； 若由负变正，则该点为极小值点.注意：无定义的点不用在表中列出③根据表格给出结论：注意一定指出在哪取得极值. 函数最值的问题若函数()y f x =在闭区间],[b a 有定义，在开区间(,)a b 内有导数，则求函数()y f x =在],[b a 上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数)(x f 在),(b a 内的导数)(x f '； （2）求方程0)(='x f 在),(b a 内的根；（3）求在),(b a 内所有使0)(='x f 的的点的函数值和)(x f 在闭区间端点处的函数值)(a f ，)(b f ； （4）比较上面所求的值，其中最大者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最大值，最小者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最小值.要点诠释：①求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可.②若)(x f 在开区间),(b a 内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值. 要点四：优化问题在实际生活中用料最省、利润最大、效率最高等问题，常常可以归结为函数的最大值问题，从而可用导数来解决.我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题.利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤：(1) 分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式()y f x =；(2) 求函数的导数'()f x ，解方程'()0f x =；(3) 比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值． 要点诠释：①解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系.再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具． 利用导数解决优化问题的基本思路：②得出变量之间的关系()y f x =后，必须由实际意义确定自变量x 的取值范围；③在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使'()0f x =的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值．④在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去． 要点五：定积分的概念如果函数=()y f x 在区间[]a b ，上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[]a b ，等分成n 个小区间，在每个小区间[]1,i i x x -上取点()1,2,,i i n =ξ，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f n==-=∆=∑∑ξξ．当n →+∞时，上述和式n S 无限趋近于常数，那么称该常数为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作：()baf x dx ⎰，即+1()lim()nbi an i b af x dx f n→∞=-=∑⎰ξ．要点诠释： （1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时），记为()baf x dx ⎰，而不是n S ．(2) 定积分是一个数值（极限值），它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即()()()bbbaaaf x dx f u du f t dt ===⎰⎰⎰（称为积分形式的不变性），另外定积分()()baf x d x ⎰与积分区间[a ，b ]息息相关，不同的积分区间，定积分的积分上下限不同，所得的值也就不同，例如120(1)x dx +⎰与320(1)x dx +⎰的值就不同．要点六：定积分的几何意义要点诠释：（1）当()0f x ≤时，由()y f x =、x =a 、x =b 与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方，积分()d baf x x⎰在几何上表示上述曲边梯形面积的相反数（负数）．所以[()]d ()bbaaS f x x f x S =-=-=-⎰⎰，即()d baf x x S =-⎰，如图（b ）．（2）当()f x 在区间[a ，b ]上有正有负时，积分()d b af x x ⎰在几何上表示几个小曲边梯形面积的代数和（x 轴上方面积取正号，x 轴下方面积取负号）．在如图（c ）所示的图象中，定积分132()d baf x x S S S =+-⎰．要点七：定积分的运算性质 性质1：()d ()bba ak f x x k f x kS ==⎰⎰；性质2：[()g()]d ()g()d bb baaaf x x x f x x x ±=±⎰⎰⎰；性质3：定积分关于积分区间具有可加性。
高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结
数学选修2-2导数及其应用知识点必记1．函数的平均变化率是什么？答：平均变化率为注1：其中是自变量的改变量，可正，可负，可零。
注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念是什么？答：函数在处的瞬时变化率是，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数，记作或，即=.3.平均变化率和导数的几何意义是什么？答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4导数的背景是什么？答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。
5、常见的函数导数和积分公式有哪些？函数导函数不定积分0 ————————————————6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？答：若，均可导（可积），则有：和差的导数运算积的导数运算特别地：商的导数运算特别地：复合函数的导数微积分基本定理（其中）和差的积分运算特别地：积分的区间可加性6.用导数求函数单调区间的步骤是什么？答：①求函数f(x)的导数②令>0,解不等式，得x的范围就是递增区间.③令<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间；注：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。
7.求可导函数f(x)的极值的步骤是什么？答：(1)确定函数的定义域。
(2) 求函数f(x)的导数(3)求方程=0的根(4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值8.利用导数求函数的最值的步骤是什么？答：求在上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求在上的极值；⑵将的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
注：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；9．求曲边梯形的思想和步骤是什么？答：分割近似代替求和取极限（“以直代曲”的思想）10.定积分的性质有哪些？根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1性质5 若，则①推广：②推广:11定积分的取值情况有哪几种？答：定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0.( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于x轴上方的图形面积；（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于x轴上方图形面积的相反数；（3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等于x轴上方图形的面积减去下方的图形的面积．12．物理中常用的微积分知识有哪些？答：（1）位移的导数为速度，速度的导数为加速度。
选修2-2导数精选解答题及答案
1．已知函数32()32f x x ax bx =-+在1x =处有极小值1-， （1）试求a b ，的值，并求出()f x 的单调区间．（2）若关于x 的方程a x f =)(有3个不同实根，求实数a 的取值范围.解：（1）函数f （x ）=x 3-3ax 2+2bx 的导数为f ′（x ）=3x 2-6ax+2b∵函数f （x ）=x 3-3ax 2+2bx 在x=1处有极小值-1，∴f ′（1）=0，f （1）=-1 即3-6a+2b=0，1-3a+2b=-1，解得a=1/3，b=-1/2∴f （x ）=x 3-x 2-x ，f ′（x ）=3x 2-2x-1令f ′（x ）=0，即3x 2-2x-1=0，解得，x=-1/3，或x=1又∵当x ＞1时，f ′（x ）＞0，当-1/3＜x ＜1时，f ′（x ）＜0，当x ＜-1/3时，f ′（x ）＞0，∴函数在x=-13时有极大值为f （-1/3）=5/27 函数在x=1时有极小值为f （1）=-1的方程a x f =)(有3个不同实根，则需满足2 )0(>a（1）若)(x f 在[1，)∞+上递增，求a 的取值范围； （2）求)(x f 在[1，4]上的最小值 解（1）a 大于等于2 （2 [1,4]x ∈ （a ）当2a ≥时，在[1,4]x ∈ 上()0f x '≥ ∴min ()(1)f x f a == …………8分 （b ）当01a ≤≤时，在[1,4]x ∈ 上()0f x '≤ ∴min ()(4)22ln 2f x f a ==-…10分 （c上()0f x '≥ 综上所述：min 22ln 21()22ln 22ln 2a a f x a a a a - 0≤≤⎧⎪=-+ 1<≤⎨⎪ 2<⎩3．已知x = 4是函数2()ln 12f x a x x x b =+-+的一个极值点，（a ，b ∈R ）. （Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若函数()y f x =有3个不同的零点，求b 的取值范围.3．…………………2’解得16a=. ……4’（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()()216ln12,0,f x x x x b x=+-+∈+∞,当()0,2x∈时，()'0f x>；当()2,4x∈时，()'0f x<；()4,x∈+∞时，()'0f x>. 所以()f x的单调增区间是()()0,2,4,+∞；()f x的单调减区间是()2,4.…………8’（Ⅲ）由（Ⅱ）知，()f x在()0,2内单调递增，在()2,4内单调递减，在()4,+∞上单调递增，且当2x=或4x=时，()'0f x=.所以()f x的极大值为()216ln220f=-+b，极小值为()432ln232f=-+b.…………10’又因为()()1664ln26416ln2202f b b f=++>-+=,()()23232ln2324f e b b f-<-+<-+=.当且仅当()()402f f<<，()y f x=有三个零点.…………12’所以，b的取值范围为()2016ln2,3232ln2--. ………………………14’4.已知)(xf是定义在[,]e e-上的奇函数，当],0(ex∈时()2ln,().f x ax x a R=+∈（1）求)(xf的解析式；（2）是否存在实数a，使得当)(,)0,[xfex时-∈的最小值是4？如果存在，求出a的值；如果不存在，请说明理由．．解：（1）设[,0),(0,]x e x e∈--∈则()2ln().f x ax x∴-=-+-()f x是奇函数，()()2ln().f x f x ax x∴=--=--…（3分）又(0)0f=…（4分）故函数)(xf的解析式为：2ln(),[,0)()002ln,(0,]ax x x ef x xax x x e--∈-⎧⎪==⎨⎪+∈⎩…（5分）（2）假设存在实数a，使得当[,0),x e∈-时()2ln()f x ax x =--有最小值是4.…（6分） ①当0a ≥或由于.0)(),0,[≥'-∈x f e x 则故函数()2ln()[,0)f x ax x e =---是上的增函数。
高中数学选修2-2导数的概念及应用(包括切线的计算)
导数的概念以及应用一、平均变化率（平均速度）例1.小明运动的路程S满足S(t)=14t2,求（1）小明在0秒到1秒的平均速度（2）在19秒到20秒的平均速度（3）在t1秒到t2秒的平均速度v̅=∆s∆t称为从t1秒到t2秒的平均变化率小结：对于函数y=f(x),当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，它的平均变化率为：f(x2)−f(x1)x2−x1记∆x=x2−x1,∆y= f(x2)−f(x1)，则∆y∆x =f(x2)−f(x1)x2−x1=f(x1+∆x)−f(x1)∆x平均变化率的几何意义：代表割线的斜率二、瞬时变化率（瞬时速度）已知函数f(x)在x=x0的瞬时变化率为lim∆x→0f(x0+∆x)−f(x0)∆x三、导数的定义一般的，函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率为lim ∆x→0f(x0+∆x)−f(x0)∆x=lim∆x→0∆y∆x,我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数，记作f′(x0)或y′｜x=x0,即f′(x0)=lim∆x→0∆y∆x=lim∆x→0f(x0+∆x)−f(x0)∆x小结：求函数y =f (x )在点x 0处的导数的步骤 1. 求函数的增量，∆y = f (x 0+∆x )−f(x 0) 2. 求函数的平均变化率，∆y∆x3. 取极限，得导数四、导数的几何意义(1)切线的概念：如图，对于割线PP n ，当点P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为点P 处的切线．4.(2)导数的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是切线PT 的斜率k ，即k ＝li m Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝f ′(x 0)．题型一、导数定义的应用1．用导数的定义求下列函数的导数：()1 2()y f x x ==；()2 24()y f x x ==2．()1已知000(2)()lim 13x f x x f x x→--=△△△，求0()f x '()2若(3)2f '=，则1(3)(12)lim 1x f f x x →-+=-3. 函数f (x )在x ＝0可导，则lim h →af (h )－f (a )h －a＝( )A ．f (a )B ．f ′(a )C ．f ′(h )D ．f (h )4.已知函数y ＝x 2＋1的图像上一点(1,2)及邻近点(1＋Δx,2＋Δy )，则lim Δx →0ΔyΔx ＝( )A ．2B ．2xC ．2＋ΔxD ．2＋Δx 25.设f (x )为可导函数，且满足lim x →0f (1)－f (1－2x )2x＝－1，则f ′(1)的值为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－26.若一物体运动方程如下：(位移：m ，时间：s)s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2 (t ≥3)， ①29＋3(t －3)2(0≤t <3). ② 求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度v 0；(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．7．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( )A ．不存在B ．与x 轴平行或重合C ．与x 轴垂直D ．与x 轴斜交8．设f (x )＝2x ，则lim x →af (x )－f (a )a －x等于( )A．－2a B.2aC．－2a2 D.2a2题型二、求曲线的切线方程[典例] 已知曲线C：y＝13x3＋43，求曲线C上的横坐标为2的点处的切线方程．【小结】1．过曲线上一点求切线方程的三个步骤2．求过曲线y＝f(x)外一点P(x1，y1)的切线方程的六个步骤(1)设切点(x0，f(x0))．(2)利用所设切点求斜率k＝f′(x0)＝li mΔx→0f x＋Δx－f x0Δx.(3)用(x0，f(x0))，P(x1，y1)表示斜率．(4)根据斜率相等求得x0，然后求得斜率k.(5)根据点斜式写出切线方程．(6)将切线方程化为一般式．【练习】过点(1，－1)且与曲线y＝x3－2x相切的直线方程为( )A．x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0B．x－y－2＝0C．x－y－2＝0或4x＋5y＋1＝0D．x－y＋2＝0题型三、求切点坐标【小结】求切点坐标可以按以下步骤进行(1)设出切点坐标；(2)利用导数或斜率公式求出斜率；(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标；(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标[典例] 已知抛物线y＝2x2＋1分别满足下列条件，请求出切点的坐标．(1)切线的倾斜角为45°.(2)切线平行于直线4x－y－2＝0.(3)切线垂直于直线x＋8y－3＝0.．【练习】直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：y＝x3－x2＋1相切，则a的值为___________，切点坐标为____________．题型四：在点和过点的区别[典例] 已知曲线y ＝1x.(1)求曲线在点P (1,1)处的切线方程； (2)求曲线过点Q (1,0)处的切线方程．练习、当常数k 为何值时，直线y ＝x 与曲线y ＝x 2＋k 相切？请求出切点．题型五、与切线有关的综合问题[典例] (1)函数y ＝2cos 2x 在x ＝π12处的切线斜率为________．(2)已知函数f (x )＝ax 2＋ln x 的导数为f ′(x )， ①求f (1)＋f ′(1)．②若曲线y ＝f (x )存在垂直于y 轴的切线，求实数a 的取值范围．【对点训练】1.若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 的值为( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或72.（2016全国卷Ⅲ）已知f(x)为偶函数，当x ＜0时，f(x)=f （-x ）+3x ，则曲线y=f （x ）在点（1，-3）处的切线方程是（2014新课标全国Ⅱ）设曲线y=ax-ln （x+1）在点（0,0）处的切线方程为y=2x ，则a=A. 0B.1C.2D.34.（2016全国卷Ⅱ）若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln （x+1）的切线，则b=5.（2014江西）若曲线y=e -x 上点P 处的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P 的坐标是6.（2014江苏）在平面直角坐标系中，若曲线y=ax 2+xb（a ，b 为常数）过点P （2，-5），且该曲线在点P 处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b= 7.（2012新课标全国）设点P 在曲线y=21e x上，点Q 在曲线y=ln （2x ）上，则▕PQ ▏的最小值为A.1-ln2B.2（1-ln2）C.1+ln2D.2(1+ln2) 8.若存在过点（1,0）的直线与曲线y=x 3和y=ax 2+415x-9都相切，则a 等于 9.抛物线y=x 2上的点到直线x-y-2=0的最短距离为 A.2B.827C. 22D. 110.已知点P 在曲线y=14+x e 上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是2.切线的条数问题切线的条数问题====以切点0x 为未知数的方程的根的个数 公切线问题：（1）切点相同。
选修2-2-《导数及其应用》题型总结
《导数及其应用》经典题型总结一、知识网络结构题型一 求函数的导数及导数的几何意义 考点一 导数的概念，物理意义的应用例1．(1)设函数()f x 在2x =处可导，且(2)1f '=，求0(2)(2)lim2h f h f h h→+--；(2) ()2sin(25)f x x x =+,求()f x '(3)已知()(1)(2)(2008)f x x x x x =+++L ，求(0)f '.考点二 导数的几何意义与物理意义的应用例2: 已知抛物线y=ax 2+bx+c 通过点P(1，1)，且在点Q(2，-1)处与直线y=x-3相切，求实数a 、b 、c 的值 例3：已知曲线y=.34313+x (1)求曲线在（2，4）处的切线方程;(2)求曲线过点（2，4）的切线方程.例4：已知物体运动的位移s 与时间f 关系为s(t)= 221t t -+，则t=1时物体的速度与加速度分别为____________, ___________________题型二 函数单调性的应用考点一 利用导函数的信息判断f(x)的大致形状例1 如果函数y ＝f(x)的图象如图，那么导函数y ＝f(x)的图象可能是( )导 数导数的概念 导数的运算 导数的应用 导数的几何意义、物理意义 函数的单调性 函数的极值 函数的最值常见函数的导数 导数的运算法则例1 求函数5224+-=x x y 的单调区间.（不含参函数求单调区间）例2 已知函数f (x )＝12x 2＋a ln x (a ∈R ，a ≠0)，求f (x )的单调区间．（含参函数求单调区间）练习：求函数xax x f +=)(的单调区间。
例3 若函数f(x)＝x 3－ax 2＋1在(0,2)内单调递减，求实数a 的取值范围．（单调性的逆向应用）练习1：已知函数0],1,0(,2)(3>∈-=a x x ax x f ，若)(x f 在]1,0(上是增函数，求a 的取值范围。
高二数学选修2-2导数12种题型归纳（中等难度）精品名师资料
高二数学选修2-2导数12种题型归纳（中等难度）精品名师资料导数题型分类解析（中等难度）一、变化率与导数函数)(0x f y在x 0到x 0+x 之间的平均变化率，即)('0x f =0lim x xy =0limxxx f x x f Δ)()Δ(00，表示函数)(0x f y在x 0点的斜率。
注意增量的意义。
例1：若函数()yf x 在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b 则0()()limhf x h f x h h的值为（）A ．'0()f x B ．'02()f x C ．'02()f x D ．0例2：若'0()3f x ，则0()(3)limh f x h f x h h（）A.3B ．6C ．9D ．12例3：求0limhhx f h x f )()(020二、“隐函数”的求值将)('0x f 当作一个常数对)(0x f 进行求导，代入0x 进行求值。
例1：已知232f x xxf ，则2f 例2：已知函数x xfxf sin cos 4，则4f的值为 .例3：已知函数)(x f 在R 上满足88)2(2)(2x x x f x f ，则曲线)(x f y在点))1(,1(f 处的切线方程为（）A. 12x yB. xy C. 23x y D. 32x y 三、导数的物理应用如果物体运动的规律是s=s （t ），那么该物体在时刻t 的瞬间速度v=s ′（t ）。
如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v （t ），则该物体在时刻t 的加速度a=v ′（t ）。
例1：一个物体的运动方程为21t ts 其中s 的单位是米，t 的单位是秒，求物体在3秒末的瞬时速度。
例2：汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（）四、基本导数的求导公式①0;C （C 为常数）②1;nn xnx ③(sin )cos x x ; ④(cos )sin x x ; ⑤();xxe e ⑥()ln xxa a a ; ⑦1ln xx;⑧1l g log a a o xe x .stOA ．st Ost OstOB ．C ．D ．。
人教A版高中数学高二选修2-2】1.3重视导数应用的热点题型
重视导数应用的热点题型导数的应用在新高考中已成为新的热点，特别是对实际问题的解答，更应予以重视.下面就具体例题谈谈导数的应用题型及应对策略.1．求切线斜率根据导数的几何意义，函数)(x f 在点0x 处的导数是曲线)(x f 在点))(,(00x f x P 处的切线斜率.因此求函数在某点处的切线斜率，只要求函数在该点处的导数.例1 求曲线0532222=-+-++y x y xy x 在点)1,1(处的切线方程.分析 利用隐函数求导法则，得出在点)1,1(处的切线斜率，从而可求出切线方程. 解 对方程0532222=-+-++y x y xy x 两边关于x 求导，得0'32'22'22=+-+++y yy y xy x .解之得322222'++--=y x yx y .易知)1,1(点在曲线上，72')1,1(-=y .∴曲线在点)1,1(处的切线方程为)1(721--=-x y ，即0972=-+y x .评注：(1)两边对x 求导，特别要注意y 是x 的函数.(2)隐函数的导数表达式中常包含x ，y 两个变量.2．求单调性利用可导函数判断函数单调性的基本方法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果导数0)('>x f ，则函数在这个区间上为增函数；如果导数0)('<x f ，则函数)(x f 在这个区间上为减函数.例2 (2004全国卷Ⅰ理)已知,R a ∈求函数axe x xf 2)(=的单调区间. 解 函数f (x )的导数：.)2(2)(22ax ax ax e ax x e ax xe x f +=+='（I ）当0=a 时，若0<x ，则)(x f '<0，若0>x ,则)(x f '>0.所以当0=a 时，函数f (x )在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数.（II ）当,02,02,02>-<>+>x ax ax x a 或解得由时 由.02,022<<-<+x aax x 解得所以，当0>a 时，函数f (x )在区间（－∞，－a 2）内为增函数，在区间（－a2，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数；（III ）当0<a 时，由022>+ax x ，解得ax 20-<<, 由022<+ax x ，解得0<x 或ax 2->. 所以当0<a 时，函数)(x f 在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，－a2）内为增函数，在区间（－a2，+∞）内为减函数. 3．求极值利用可导函数求函数极值的基本方法：设函数)(x f y =在点0x 处连续且0)('=x f .若在点0x 附近左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，则)(0x f 为函数的极大值；若在点0x 附近左侧0)('<x f ，右侧0)('>x f ，则)(0x f 为函数的极小值.例 3 已知函数1)(3+++=bx ax x x f ，当1-=x ，1=x 时，取得极值，且极大值比极小值大4.(1)求a ，b 的值；(2)求)(x f 的极大值和极小值. 解 (1) b ax x x f ++=2435)('.∵1=x 时有极值，则035)1('=++=b a f . ∴53--=a b 代入)('x f 得)]53(5)[1)(1()('2++-+=a x x x x f .且0)53(52≠++a x .对任意实数x 成立，∴053>+a .∴5->a .)∴当1-=x 时取得极大值，1=x 时取极小值.即4)1()1(=--f f∴3-=+b a .再由53--=a b ，解出1-=a ，2-=b . (2)3)1(=-f 为极大值， 1)1(-=f 为极小值. 4．求最值在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f ，在[]b a ,上必有最大值与最小值，设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在),(b a 内可导，先求出)(x f 在),(b a 内的极值，然后将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 值比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.例4 (2004湖南理)已知函数e a e x x f ax,0,)(2≤=其中为自然对数的底数. （Ⅰ）讨论函数)(x f 的单调性；（Ⅱ）求函数)(x f 在区间[0，1]上的最大值. 解 （Ⅰ）.)2()(axe ax x xf +='（i ）当0=a 时，令 .0,0)(=='x x f 得若),0()(,0)(,0+∞>'>在从而则x f x f x 上单调递增； 若)0,()(,0)(,0-∞<'<在从而则x f x f x 上单调递减.（ii ）当a <0时，令.20,0)2(,0)(ax x ax x x f -===+='或故得 若)0,()(,0)(,0-∞<'<在从而则x f x f x 上单调递减；若)2,0()(,0)(,20a x f x f a x ->'-<<在从而则上单调递增； 若,2a x ->),2()(,0)(+∞-<'ax f x f 在从而则上单调递减.（Ⅱ）（i ）当0=a 时，)(x f 在区间[0，1]上的最大值是.1)1(=f（ii ）当02<<-a 时，)(x f 在区间[0，1]上的最大值是ae f =)1(.（iii ）当a ≤2-时，)(x f 在区间[0，1]上的最大值是.4)2(22ea a f =-5．求实际应用问题中的最值在实际问题中，有时会遇到函数在某区间内只有一个点使0)('=x f ，如果函数在这一点有极值，那么可不与区间端点处的函数值比较，即可断定该极值就是最值.例5 (2000高考)用总长8.14m 的钢条制做一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长5.0m ，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积.解 设容器底面边长为x m ，另一边长为)5.0(+x m ，高为x x x 22.34)5.0(448.14-=+--，由022.3>-x 和6.100<<⇒>x x .设容器的容积为y m 3，则有)6.10)(22.3)(5.0(<<-+=x x x x y即x x x y 6.12.2223++-= 令0'=y ，有06.14.462=++-x x 即154,1041115212-==⇒=--x x x x ，(不合题意，舍去) 所以当1=x 时，8.16.12.22max =++-=y (m 3).。
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导数题型分类解析（中等难度）一、变化率与导数函数)(0x f y =在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即)('0x f =0lim →∆x x y∆∆=0lim →∆x x x f x x f Δ)()Δ(00-+，表示函数)(0x f y =在x 0点的斜率。
注意增量的意义。
例1：若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+-- 的值为（ ）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x - D ．0 例2：若'0()3f x =-，则000()(3)limh f x h f x h h→+--=（ ）A.3- B ．6- C ．9- D ．12-例3：求0lim →h hx f h x f )()(020-+二、“隐函数”的求值将)('0x f 当作一个常数对)(0x f 进行求导，代入0x 进行求值。
例1：已知()()232f x x x f '+=，则()='2f例2：已知函数()x x f x f sin cos 4+⎪⎭⎫⎝⎛'=π，则⎪⎭⎫⎝⎛4πf 的值为 . 例3：已知函数)(x f 在R 上满足88)2(2)(2-+--=x x x f x f ，则曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为（ ）A. 12-=x yB. x y =C. 23-=x yD. 32+-=x y三、导数的物理应用如果物体运动的规律是s=s （t ），那么该物体在时刻t 的瞬间速度v=s ′（t ）。
如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v （t ），则该物体在时刻t 的加速度a=v′（t ）。
例1：一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，求物体在3秒末的瞬时速度。
例2：汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ ）四、基本导数的求导公式①0;C '=（C 为常数） ②()1;n n xnx-'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-;⑤();xxe e '= ⑥()ln xxa a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x'=. 例1：下列求导运算正确的是 ( )A ．2111x x x +='⎪⎭⎫ ⎝⎛+ B ．()='x 2log =2ln 1x C ．()e x x 3log 33=' D ． ()x x x x sin 2cos 2-='例2：若()()()()()()()N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈'=⋯⋯'='==+,,,,sin 112010，，则()=x f 2005五、导数的运算法则常数乘积：.)(''Cu Cu = 和差：(.)'''v u v u ±=±乘积：.)('''uv v u uv += 除法：='⎪⎭⎫ ⎝⎛v u 2''v uv v u - 例1：（1）函数32log y x x =+的导数是 （2）函数12+x n ex 的导数是六、复合函数的求导[()]()*()f x f x ϕμϕ'''=，从最外层的函数开始依次求导。
例1：（1）3(1cos 2)y x =+ （2）21siny x= 七、切线问题 （曲线上的点求斜率）例1：曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°()._________1,y 21,=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=-=n n n n S n n a a x x x y n 项和为的前数列则轴的交点的纵坐标为处的切线与在设曲线例：对正整数（曲线外的点求斜率）例1：已知曲线2y x =，则过点(1,3)P -，且与曲线相切的直线方程为 . 例2：求过点（-1，-2）且与曲线32y x x =-相切的直线方程.A ．B ．C ．D ．（切线与直线的位置关系） 例1：曲线3()2f x x x在0p 处的切线平行于直线41y x ，则0p 点的坐标为（ ）A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)和(1,4)--D ．(2,8)和(1,4)-- 例2：若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++=八、函数的单调性 （无参函数的单调性） 例1：证明：函数ln ()xf x x=在区间（0，2）上是单调递增函数. （带参函数的单调性）例1：已知函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-，讨论l ()x f x x=的单调性； 例2：已知函数),()(23R b a b ax x x f ∈++=，讨论)(x f 的单调性； 例3：已知()ax x x f -=ln ，讨论()x f y =的单调性.九、结合函数单调性和极值求参数范围例1：已知函数32()321f x x x =+-在区间()0,m 上是减函数，则m 的取值范围是 .例2：已知函数()()323m f x x x x m R =+-∈，函数()f x 在区间()2,+∞内存在单调递增区间，则m 的取值范围 .例3：已知函数()()321f x x ax x a R =+++∈，若函数()f x 在区间21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭内单调递减，则a 的取值范围 . 例4：已知函数3211()(2)(1)(0).32f x x a x a x a =+-+-≥若()f x 在[0，1]上单调递增，则a 的取值范围 .例5：已知函数3()f x x ax =+在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是 .例6：已知函数()x a x x f ln 2+=，若()()xx f x g 2+=在[)+∞,1上是单调函数，求实数a 的取值范围 例7：如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递减，则mn 的最大值为（ ）（A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812十、函数的极值与最值 （无参函数的极值与最值）例1：函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c,曲线y=f(x ）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x=32时，y=f(x ）有极值. （1）求a,b,c 的值；（2）求y=f(x ）在［-3，1］上的最大值和最小值. （含参函数的极值与最值） 例1：已知函数f (x )=axex -2(a ＞0),求函数在［1，2］上的最大值.例2：已知()ax x x f -=ln ，求函数在［1，2］上的最大值.十一、函数图像例1：f （x ）的导函数 )(/x f 的图象如右图所示，则f （x ）的图象只可能是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）例2：函数14313+-=x x y 的图像为( )例3：函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点 个数为 .例4：已知函数)(x f x y '=的图象如图所示（其中 )(x f '是函数)(x f 的导函数），下面四个图象中)(x f y =的图象大致是 ( )xy o 4 -4 2 4 -42 -2 -2xyo 4 -4 2 4 -42 -2 -2xyy 4 -4 2 4-42-2 -26 6 6 6 yx-4-2 o4 2 24abxy)(x f y ?=O例5：已知函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如右，则( )A ．函数f (x )有1个极大值点，1个极小值点B ．函数f (x )有2个极大值点，2个极小值点C ．函数f (x )有3个极大值点，1个极小值点D ．函数f (x )有1个极大值点，3个极小值点例6：函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是 ( ) ＜)2('f ＜)3('f ＜f(3)-f(2)＜)3('f ＜f(3)-f(2) ＜)2('f＜f(3)＜)2('f ＜f(3)-f(2)＜f(3)-f(2)＜)2('f ＜)3('f 十二、积分 （代数形式） 例1：⎰-+22)cos (sin ππdx x x 的值为（ ）B.4π例2：函数||)(x e x f =，则=⎰-42)(dx x f例3：定积分⎰---102])1(1[dx x x 等于（ ）A.42-π B. 12-π C. 41-π D. 21-π （面积形式）例1：由曲线y =x 2，y =x 3围成的封闭图形面积为（ ） A.121 B.41 C. 31 D. 127 例2：求由抛物线342-+-=x x y 与它在点A （0,-3）和点B （3,0）的切线所围成的区域面积。
例3：如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为（ ） A.41 B.51 C. 61 D. 71例4：如图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线)0(sin πx x y ≤≤=与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点（该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的），则所投的点落在阴影部分的概率是（ ）A. π1B. π2C. 4πD. π3练习题1.（西安一中2015~2016高二下学期期中）若1Δ)()Δ2(lim000Δ=-+→xx f x x f x ，则)('0x f 等于（ ）A. 2B. -2C.21 D. 21- 2.（西安一中2015~2016高二下学期期中）已知6)1('2)(2-+=xf x x f ，则)1('f 等于（ ） A. 4 B. -2 C. 0 D. 23. ()()()()()()()().________cos sin 201411211=∈'='=-=*++x f N n x f x f x f x f x f x f x x x f n n n n ，则，，，的导函数，即是，练：已知4. 若函数ax x x f -=ln )(在点P （1,b ）处的切线与x+3y-2=0垂直，则2a+b=（ ） D. -25.设曲线P 为曲线C ：y =x 2-2x +3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为]4,0[π，则点P 横坐标的取值范围为（ ）A. ]21,1[--B. ]0,1[-C. ]1,0[D. ]23,1[6. 已知函数x x x x f ln 3421)(2-+-=在区间[t,t+1]上不单调，则t 的取值范围是 7. 函数ax x a ax x g 3)1(2)(23--+=在区间)3,(a -∞内单调递减，则a 的取值范围是8. 若函数2)()(c x x x f -=在x =2处有极大值，则常数c 的值为9. 已知1)6()(23++++=x a ax x x f 有极大值和极小值，则a 的取值范围为10. 已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的导数为)('x f ，0)0('>f ，对于任意实数x 都有0)(≥x f ，则)0(')1(f f 的最小值为（ ）A. 3B. 25C. 2D. 23。