北京市朝阳区2020届高三上学期期中质量检测数学试题 Word版含答案
北京市朝阳区2020届高三上学期期中质量检测数学试卷
北京市朝阳区2020届高三上学期期中质量检测数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1.已知集合2{4}A x x =∈<Z ，{1,2}B =-，则A B =（ ） A.1{}-B.{1,2}-C.,0,1,2{1}-D.{2,1,0,1,2}--2.已知π(,π)2α∈，且3sin 5α=，则tan α=（ ）A.34 B.43 C.34- D.43-3.下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是（ ）A.3y x =-B.sin()y x =-C.2log y x =D.22x x y -=-4.关于函数()sin cos f x x x =+有下述三个结论： ①函数的最小正周期为2π； ②函数()f x 的最大值为2；③函数()f x 在区间π(,π)2上单调递减.其中，所有正确结论的序号是（ ） A.①②B.①③C.②③D.①②③5.已知α，β是两个不同的平面，直线m α⊂，下列命题中正确的是（ ） A.若αβ⊥，则//m β B.若αβ⊥，则m β⊥ C.若//m β，则//αβD.若m β⊥，则αβ⊥6.已知函数()|2|1f x x kx =--+恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A.1(0,)2B.1(,1)2 C.(1,2) D.(2,)+∞ 7.已知*{}()n a n ∈N 为等比数列，则“12a a >”是“{}n a 为递减数列”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.设1F ，2F 为椭圆C ：22195x y +=的两个焦点，M 为C 上一点且在第二象限.若12MF F △为等腰三角形，则点M 的横坐标为（ ）A.32C. D.32-9.在ABC △中，90BAC ∠=，2BC =，点P 在BC 边上，且()1AP AB AC ⋅+=，则AP 的取值范围是（ ）A.1(,1]2B.1[,1]2C. D. 10.已知集合A ，B 满足： （ⅰ）A B =Q ，A B =∅；（ⅱ）1x A ∀∈，若2x ∈Q 且21x x <，则2x A ∈； （ⅲ）1y B ∀∈，若2y ∈Q 且21y y >，则2y B ∈. 给出以下命题：①若集合A 中没有最大数，则集合B 中有最小数； ②若集合A 中没有最大数，则集合B 中可能没有最小数； ③若集合A 中有最大数，则集合B 中没有最小数； ④若集合A 中有最大数，则集合B 中可能有最小数. 其中，所有正确结论的序号是（ ） A.①③B.②③C.③④D.①④二、填空题11.已知向量(1,1)=-a ，(3,)m =b ，且//a b ，则=m ________．12.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为________，最长棱的长度为________．13.已知直线20x y a -+=与圆22:2O x y +=相交于A ，B 两点（O 为坐标原点），且AOB △为等腰直角三角形，则实数a 的值为________．14.已知a ，b 是实数，给出下列四个论断：①a b >；②11a b<；③0a >；④0b >. 以其中两个论断作为条件，余下的论断中选择一个作为结论，写出一个正确的命题____________________15.已知函数21,,(),ex a x x a f x x x a-⎧<⎪=⎨⎪⎩≥（a 为常数）．若1(1)2f -=，则a =________；若函数()f x 存在最大值，则a 的取值范围是________．16.2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N 随时间t （单位：年）的衰变规律满足573002t N N -=⋅（0N 表示碳14原有的质量），则经过5730年后，碳14的质量变为原来的________；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的12至35，据此推测良渚古城存在的时期距今约在________年到5730年之间．（参考数据：22log 3 1.6,log 5 2.3≈≈）三、解答题17.在ABC △中，AB =P 在BC 边上，且60APC ∠=，2BP =. （1）求AP 的值；（2）若1PC =，求sin ACP ∠的值.18.已知*{}()n a n ∈N 是各项均为正数的等比数列，116a =，323322a a +=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设23log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ，并求n S 的最大值．19.如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，//AD BC ,CD AD ⊥，24BC CD AD ===，.（1）求证：//CE 平面PAB ； （2）求二面角E AC D --的余弦值；（3）直线AB 上是否存在点Q ，使得//PQ 平面ACE ?若存在，求出AQAB的值；若不存在，说明理CEDBAP由.20.已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>经过两点P，(Q .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆的右焦点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且直线l 与以线段FP 为直径的圆交于另一点E （异于点F ），求AB FE ⋅的最大值. 21.已知函数ln ()xf x x a=+(0)a >． （1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）当1=a 时，证明：1()2x f x -≤； （3）判断)(x f 在定义域内是否为单调函数，并说明理由．函数()f x 的定义域为)0(∞+，，2ln 1()()a x x f x x a -++'=+． （1）因为(1)0f =，1(1)1f a '=+， 所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为10(1)1y x a -=-+， 即(1)10x a y -+-=．………4分()0h x ≤ （2）当1=a 时，ln ()1xf x x =+．欲证1()2x f x -≤， 即证ln 112x x x -+≤， 即证22ln 10x x -+≤． 令2()2ln 1h x x x =-+， 则22(1)(1)()2x x h x x x x--+'=-=． 当x 变化时，(),()h x h x '变化情况如下表：所以1()2x f x -≤．………9分 （3）函数)(x f 在定义域内不是单调函数．理由如下： 令，因为221()0a x ag x x x x+'=--=-<，所以)(x g 在(0,)+∞上单调递减． 注意到(1)+10g a =>． 且11111(e )ln e 1(1)0e e a a a a a g a ++++=-++=-<． 所以存在1(1,e )a m +∈，使得()0g m =．当(0,)x m ∈时，()0g x >，从而()0f x '>，所以函数()f x 在(0,)m 上单调递增； 当(,)x m ∈+∞时，()0g x <，从而()0f x '<，所以函数()f x 在(,)m +∞上单调递减． 故函数)(x f 在定义域内不是单调函数．22.已知无穷数列{}n a ，{}n b ，{}n c 满足：n *∀∈N ，1||||n n n a b c +=-，1||||n n n b c a +=-，1||||n n n c a b +=-．记max{||,||,||}n n n n d a b c =（{}max ,,x y z 表示3个实数x ，y ，z 中的最大值）．（1）若11a =，22b =，33c =，求1b ，1c 的可能值； （2）若11a =，12b =，求满足23d d =的1c 的所有值；（3）设1a ，1b ，1c 是非零整数，且1||a ，1||b ，1||c 互不相等，证明：存在正整数k ，使得数列{}n a ，{}n b ，{}n c 中有且只有一个数列自第k 项起各项均为0．参考答案1.答案：C 解析：2.答案：B解析： 4.答案：B 解析： 5.答案：D 解析： 6.答案：B 解析： 7.答案：B 解析： 8.答案：D 解析： 9.答案：A 解析： 10.答案：B 解析： 11.答案：-3 解析：12.答案：16解析： 13.答案：解析：14.答案：若a b >，0b >，则11a b< 解析： 15.答案：12；(,0]-∞ 解析： 16.答案：12；4011 解析：17.答案：（1）因为60APC ∠=，所以120APB ∠=. 在ABP △中，，120APB ∠=，2=BP ， 由余弦定理2222cos AB AP BP AP BP APB =+-⋅∠， 得22240AP AP +-=. 所以4AP =.（2）在APC △中，4AP =，1PC =，60APC ∠=，由余弦定理2222cos AC AP PC AP PC APC =+-⋅∠，得AC = 由正弦定理sin sin AP AC ACP APC =∠∠，得4sin ACP ∠，所以sin ACP ∠． 解析：18.答案：（1）设{}n a 的公比为q ，因为13216,2332a a a +==， 所以22203q q -=+． 解得2q =-（舍去）或12q =． 因此{}n a 的通项公式为15116()22n n n a --=⨯=．（2）由（Ⅰ）得23(5)log 2153n b n n =-=-， 当2n ≥时，13n n b b --=-，故{}n b 是首项为112b =，公差为3-的单调递减等差数列.AB =则21312(1)(3)(9)22n S n n n n n =+--=--.又50b =，所以数列{}n b 的前4项为正数，所以当4n =或5时，n S 取得最大值，且最大值为4530S S == 解析：19.答案：（1）如图，取PA 中点F ，连结,EF BF . 因为E 为PD 中点，4AD =， 所以//EF AD ，122EF AD ==. 又因为//BC AD ，2BC =， 所以//EF BC ，=EF BC ， 所以四边形EFBC 为平行四边形. 所以//CE BF .又因为CE ⊄平面PAB ,BF ⊂平面PAB ， 所以//CE 平面PAB .（2）取AD 中点O ，连结OP ，OB .因为PAD △为等边三角形，所以PO OD ⊥. 又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD =AD ，所以PO ⊥平面ABCD . 因为//OD BC ，2OD BC ==， 所以四边形BCDO 为平行四边形. 因为CD AD ⊥，所以OB OD ⊥. 如图建立空间直角坐标系O xyz -，则(0,2,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,0,A B C E P -.所以(2,4,0),AC AE ==.设平面ACE 的一个法向量为1(,,)x y z =n ，则110,0,AC AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即240,30.x y y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩F PABDEC令2x =-，则1(2,1,=-n .显然，平面ACD 的一个法向量为2(0,0,1)=n ，所以121212cos ,⋅<>===n n n n n n . 由题知，二面角E AC D --为锐角， 所以二面角E AC D --（3）直线AB 上存在点Q ，使得//PQ 平面ACE .理由如下： 设AQ AB λ=.因为(2,2,0)AB =，(0,2,PA =--，所以(2,2,0)AQ AB λλλ==，(2,22,PQ PA AQ λλ=+=--． 因为PQ ⊄平面ACE ，所以//PQ 平面ACE 当且仅当10PQ ⋅=n .即(2,22,(2,1,0λλ--⋅-=，解得2λ=. 所以直线AB 上存在点Q ，使得//PQ 平面ACE ，此时2AQAB=． 解析：20.答案：（1）因为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>过点P，(Q ，所以22111,2a ab ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故椭圆C 的标准方程为2212x y +=．（2）由题易知直线22(2)210l t y ty ++-=的斜率不为0，设l ：1x ty =+，由221,1,2x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)210t y ty ++-=，显然0∆>. 设1122(,),(,)A x y B x y ， 则12122221,22t y y y y t t --+==++.又12AB y =-.以FP为直径的圆的圆心坐标为，半径为r =， 故圆心到直线l的距离为d =.所以FE ===所以12AB FE y ⋅=-=== 因为211t +≥，所以221(1)21t t +++≥，即221114(1)21t t ++++≤．所以1AB FE ⋅≤．当0t =时，直线与椭圆有交点，满足题意，且1AB FE ⋅=， 所以AB FE ⋅的最大值为1 解析：21.答案： 解析：()ln 1ag x x x=-++ 22.答案：（1）由211||||b c a =-，得1||12c -=，所以13c =±； 由322||||c a b =-，得2||23a -=，所以25a =±，又2111||||||33a b c b =-=--≥，故25a =，1||8b =，18b =±． 所以1b ，1c 的所有可能值为18b =，13c =；18b =，13c =-；18b =-，13c =；18b =-，13c =-．（2）若11a =，12b =，记1,c x =则2222||,||1,1a x b x c =-=-=-，22||,0||1,1,1||2,||1,||2,x x d x x x -<⎧⎪=<⎨⎪-⎩≤≤≥ 3|||1|1a x =--，31|2|||b x =--，3|2||||||1|c x x =---， 当0||1x <≤时，333||,||1,1a x b x c =-=-=，31d =，由32d d =，得||1x =，不符合；当1||2x <≤时，333||2,||1,32||a x b x c x =-=-=-，32||,1|| 1.5,||1,1.5||2,x x d x x -<⎧=⎨-<⎩≤≤ 由32d d =，得||1x =，符合；当||2x ≥时，333||2,3||,1a x b x c =-=-=-，31,2||3,||2,||3,x d x x <⎧=⎨-⎩≤≥ 由32d d =，得||2x =，符合；综上，1c 的所有取值是2,1,1,2--.（3）先证明“存在正整数3k ≥，使,,k k k a b c 中至少有一个为0”． 假设对任意正整数3k ≥，,,k k k a b c 都不为0， 由111,,a b c 是非零整数，且111||,||,||a b c 互不相等，得1d *∈N ，2d *∈N ． 若对任意3k ≥，,,k k k a b c 都不为0，则k d *∈N ， 即对任意1k ≥，k d *∈N ．当1k ≥时，{}1||||||||max ||,||,k k k k k k a b c b c d +=-<≤ 11||||||,||||||k k k k k k k k b c a d c a b d ++=-<=-<，所以，{}1111max ||,||,||k k k k k d a b c d ++++=<． 所以，{}k d 严格单调递减，由2d 为有限正整数， 所以，必存在正整数3m ≥，使得0m d ≤，矛盾．所以，存在正整数3k ≥，使,,k k k a b c 中至少有一个为0． 不妨设0k a =，且10a ≠，20a ≠，，10k a -≠， 则11||||k k b c --=，且111||||||k k k b c a ---=≠， 否则，若111||||||k k k b c a ---==，因为1110k k k a b c ---++=，则必有1110k k k a b c ---===，矛盾． 于是，1111||||0,||||0k k k k k k b c a c a b ----=-≠=-≠，且k k b c =-， 所以，10k a +=，11||,||||k k k k k b c c b c ++==-=-， 依次递推，即有：对11,0,||,||n n k n k n k a b c c c ++∀===-≥，且||0k c ≠， 此时有且仅有一个数列{}n a 自第k 项起各项均为0． 综上，结论成立．解析：。
北京市朝阳区2023-2024学年高三上学期期中质量检测 数学含答案
北京市朝阳区2023~2024学年度第一学期期中质量检测高三数学（考试时间120分钟满分150分）（答案在最后）本试卷分为选择题40分和非选择题110分第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知全集U =Z ，集合{}{}22,1,0,1,2A x x B =∈-<<=-∣Z ，则()U A B ⋂=ð（）A.{}1,2- B.{}1 C.{}0,1 D.{}2【答案】D 【解析】【分析】根据题意可知{}1,0,1A =-，再由补集以及交集定义可得结果.【详解】由题可知{}{}221,0,1A x x =∈-<<=-∣Z，易知{}U A x x A =∈∉∣Zð，所以(){}U 2A B ⋂=ð.故选：D2.下列函数中，既是奇函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是（）A.lg y x =B.3y x =C.1y x x=+D.22x xy -=+【答案】B 【解析】【分析】根据函数的奇偶性和单调性逐一判断即可.【详解】对于A ：因为lg y x =的定义域为()0,∞+，所以不是奇函数，所以A 错误；对于B ：令()3f x x =，则()()()33f x x x f x -=-=-=-，所以是奇函数，又在()0,∞+上单调递增，B 正确；对于C ：1y x x=+在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，所以C 错误；对于D ：因为()22xxf x -=+，()()22xx f x f x --=+=，所以是偶函数，所以D 错误，故选：B3.若sin θθ=，则tan 2θ=（）A.3B.3C.2-D.2【答案】C 【解析】【分析】根据sin θθ=得到tan θ=.【详解】sin tan θθθ=∴=，22tan tan 21tan 42θθθ===---故选：C【点睛】本题考查了二倍角公式，意在考查学生的计算能力.4.已知0.50.65log 0.5,5,0.5a b c ===，则（）A.a c b <<B.a b c<< C.c<a<bD.b<c<a【答案】A 【解析】【分析】利用指对数函数性质判断大小关系即可.【详解】由0.600.5055log 0.5log 100.55150.5a c b <==<=<<===，即a c b <<.故选：A5.函数π2sin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的一条对称轴是（）A.π6x =-B.0x = C.π6x =D.π2x =【答案】C 【解析】【分析】将各项对应自变量代入解析式求函数值，判断2y =±是否成立即可.【详解】π6x =-时π2sin 26π3y ⎛⎫=+≠± ⎪⎝⎭-，不是对称轴；0x =时π2sin 260y ⎛⎫=+≠± ⎪⎝⎭，不是对称轴；π6x =时π2sin 2π36y ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，是对称轴；π2x =时π2sin 26πy ⎛⎫=+≠± ⎪⎝⎭，不是对称轴；故选：C6.设x ∈R ，则“()10x x +>”是“01x <<”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据题意解出不等式比较两范围大小即可得出结果.【详解】解不等式()10x x +>可得0x >或1x <-；显然{}1|0x x <<是{0x x 或}1x <-的真子集，所以可得“()10x x +>”是“01x <<”的必要不充分条件.故选：B7.已知平面内四个不同的点,,,A B C D 满足22BA DB DC =-，则AC BC=（）A.23B.32C.2D.3【答案】D 【解析】【分析】将条件22BA DB DC =-变形，得到,BC AC 的关系，进而可得AC BC的值.【详解】22BA DB DC =-,()22BC CA DC DC CB -∴=++,即3BC AC =,3BC AC ∴= 3AC BC∴= .故选：D.8.已知一个圆锥的高与其底面圆的半径相等，且体积为8π3．在该圆锥内有一个正方体，其下底面的四个顶点在圆锥的底面内，上底面的四个顶点在圆锥的侧面上，则该正方体的棱长为（）A.23B.1C.2D.4-【答案】D 【解析】【分析】根据题意，求得圆锥的高与底面圆的半径为2，作出组合体的轴截面，结合1SO D SOA ∽，列出方程，即可求解.【详解】因为圆锥的高与其底面圆的半径相等，设圆锥的高为h ，底面圆的半径为r ，则r h =，又因为圆锥的体积为8π3，可得23118πππ333r h r ==，解得2r =，则2h =，设圆锥的顶点为S ，底面圆心为O ，则高为2SO =，SO 与正方体的上底面交点为1O ,在该圆锥内有一个正方体，其下底面的四个顶点在圆锥的底面内，上底面的四个顶点在圆锥的侧面上，取其轴截面，如图所示，设正方体的棱长为a，可得CD =，由1SO D SOA ∽，可得11SO O D SO OA=，即22222a a-=，解得4a ==-所以该正方体的棱长为4-故选：D.9.已知函数211,(,0)(),()44ln(1),[0,)x x f x g x x x x x ∞∞⎧+-∈-==--⎨+∈+⎩，设R b ∈，若存在R a ∈，使得()()0f a g b +=，则实数b 的取值范围是（）A.[1,5]-B.(,1][5,)-∞-⋃+∞C.[1,)-+∞D.(,5]-∞【答案】A 【解析】【分析】根据题意，求得函数()f x 的值域为[1,)-+∞，结合题意转化为()1g b -≥-，列出不等式，即可求解.【详解】由题意，作出函数()y f x =的图象，如图所示，所以，当(,0)x ∈-∞时，()()11f x f ≥-=-；当[0,)x ∈+∞时，()()00f x f ≥=，可函数()f x 的值域为[1,)-+∞，设R b ∈，若存在R a ∈，使得()()0f a g b +=成立，即()()f a g b =-，只需()1g b -≥-，即对于R b ∈，满足2441b b -++≥-成立，即2450b b --≤，解得15b -≤≤，所以实数b 的取值范围为[1,5]-.故选：A.10.已知点集{}{}Λ(,)|Z,Z ,(,)Λ|15,15x y x y S a b a b =∈∈=∈≤≤≤≤．设非空点集ΛT ⊆，若对S 中任意一点P ，在T 中存在一点Q （Q 与P 不重合），使得线段PQ 上除了点,P Q 外没有Λ中的点，则T 中的元素个数最小值是（）A.1 B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】根据整点(,),(,)a b c d 的连线内部没有其它整点，当且仅当a c -与b d -互为素数，讨论T 只有一个点(,)x y 得到矛盾，进而有T 中元素不止一个，取{(2,6),(3,6)}T =分析是否满足要求即可.【详解】对于整点(,),(,)a b c d 的连线内部没有其它整点，当且仅当a c -与b d -互为素数，若T 只有一个点(,)x y ，取S 的点(,)a b 使,a x 和,b y 分别同奇偶，,a x b y --有公因子2（或重合），不合题意，故T 中元素不止一个，令{(2,6),(3,6)}T =，对于S 的点(,)P a b ，当1a =或3时，取(2,6)Q ；当2a =或4时，取(3,6)Q ；由于P 、Q 横坐标之差为1±，故PQ 内部无整点；当5a =，{1,3,5}b ∈时，取(3,6)Q ，此时横坐标之差为2，纵坐标之差为奇数，二者互素；当5a =，{2,4}b ∈时，取(2,6)Q ，此时横坐标之差为3，纵坐标之差为4,2--，二者互素；综上，T 中的元素个数最小值是2.故选：B【点睛】关键点睛：根据题设分析出整点(,),(,)a b c d 的连线内部没有其它整点，当且仅当a c -与b d -互为素数为关键.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.已知函数()sin πcos πf x x x =+，则()f x 的最小正周期是__________．【答案】2【解析】【分析】化简函数为π())4f x x =+，结合最小正周期的计算公式，即可求解.【详解】由函数π()sin πcos π)4f x x x x =+=+，所以()f x 的最小正周期为2π2πT ==.故答案为：2.12.已知单位向量a ，b 满足()22a a b ⋅+= ，则向量a与向量b 的夹角的大小为__________．【答案】3π【解析】【分析】根据向量的数量积运算，结合单位向量模长为1，代值计算即可.【详解】因为a ，b均是单位向量，故可得1,1a b == ，故可得()222,2a a b a a b cos a b ⋅+=+=，即2, 1cos a b = ，解得1, 2cos a b = ，又因为向量夹角的范围为[]0,π，故,a b的夹角为3π.故答案为：3π.【点睛】本题考查向量数量积的运算，属基础题.13.设公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为()*N n S n ∈，能说明“若0d <，则数列{}nS 是递减数列”为假命题的一组1,a d 的值依次为__________．【答案】12a =，1d =-（答案不唯一）【解析】【分析】由等差数列前n 项和公式有21()22n d dS n a n =+-且0d <，结合二次函数性质找到一个满足{}n S 不是递减数列的1,a d 即可.【详解】由211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-，其对称轴为112a n d=-，且0d <，结合二次函数性质，只需1113122a a d d-≥⇒≤-，即1a d ≥-，此时{}n S 不是递减数列，如12a =，1d =-，则21525(228n S n =--+，显然12S S <.故答案为：12a =，1d =-（答案不唯一）14.古希腊数学家托勒密对三角学的发展做出了重要贡献，他的《天文学大成》包含一张弦表（即不同圆心角的弦长表），这张表本质上相当于正弦三角函数表．托勒密把圆的半径60等分，用圆的半径长的160作为单位来度量弦长．将圆心角α所对的弦长记为crd α．如图，在圆O 中，60 的圆心角所对的弦长恰好等于圆O 的半径，因此60 的圆心角所对的弦长为60个单位，即crd 6060= ．若θ为圆心角，()1cos 01804θθ=<<，则crd θ=__________【答案】【解析】【分析】根据度量弦长的定义，利用余弦定理求出1cos 4θ=时圆心角θ所对应的弦长2l r =，结合60 的圆心角所对的弦长为60个单位即可求出结果.【详解】设圆的半径为r ，1cos 4θ=时圆心角θ所对应的弦长为l ，利用余弦定理可知2222232cos 2l r r r r θ=+-=，即可得2l r =又60 的圆心角所对的弦长恰好等于圆O 的半径，60 的圆心角所对的弦长为60个单位，即与半径等长的弦所对的圆弧长为60个单位，所以602l =⨯=.故答案为：15.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为AD 的中点，点N 是侧面11DCC D 上（包括边界）的动点，且1B D MN ⊥，给出下列四个结论：①动点N 的轨迹是一段圆弧；②动点N 的轨迹与1CD 没有公共点；③三棱锥1N B BC -的体积的最小值为112；④平面BMN 截该正方体所得截面的面积的最大值为98．其中所有正确结论的序号是__________．【答案】②③④【解析】【分析】作出与1B D 垂直的平面MPQ ，即可得动点N 的轨迹是两平面的交线在侧面内的线段PQ ，可知①错误；显然1//PQ CD ，即②正确；当N 点与P 点重合时到平面1B BC 的距离最小时，此时最小值为112，所以③正确；易知当N 点与Q 点重合时，截面为等腰梯形1BMQC ，此时面积最大为98.【详解】取1,CD DD 的中点分别为,P Q ，连接,,,MP MQ PQ BD ，如下图所示：由正方体性质可知1BB MP ⊥，又因为AC BD ⊥，//MP AC ，所以MP BD ⊥，又1BB BD B ⋂=，1,BB BD ⊂平面1BB D ，所以MP ⊥平面1BB D ；又1B D ⊂平面1BB D ，所以1MP B D ⊥；同理可得11,MQ B D QP B D ⊥⊥，因此1B D ⊥平面MPQ ，若1B D MN ⊥，所以N ∈平面MPQ ，又点N 是侧面11DCC D 上（包括边界）的动点；所以动点N 的轨迹是两平面的交线在侧面内的线段，即PQ ，可知①错误；由于,P Q 是1,CD DD 的中点，所以1//PQ CD ，即动点N 的轨迹与1CD 没有公共点；所以②正确；易知三棱锥1N B BC -的底面1B BC 的面积为定值，即1111122B BC S =⨯⨯= ，当N 点到平面1B BC 的距离最小时，即与P 点重合时，距离最小为12，此时体积值最小为111132212V =⨯⨯=，所以③正确；显然当N 点与Q 点重合时，截面面积最大，此时截面即为四边形1BMQC ，如下图所示：易知1//MQ BC ，且152BM QC ==，12,22MQ BC ==；即四边形1BMQC 为等腰梯形，易知其高为225232244h ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以其面积为192248⎛⨯=⎝；即④正确.故答案为：②③④三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知{}n a是递增的等比数列，其前n项和为()*nS n∈N，满足236,26a S==．（1）求{}n a的通项公式及n S；（2）若2024n nS a+>，求n的最小值．【答案】（1）123nna-=⨯；31nnS=-.（2）7【解析】【分析】（1）根据等比数列的通项公式以及求和的定义，建立方程，求得公比，可得答案；（2）根据对数的性质，可得答案.【小问1详解】设等比数列{}n a的公比为q，由数列{}n a是递增数列，则1q>，由26a=，则216aaq q==，326a a q q==，由312366626S a a a qq=++=++=，整理可得231030q q-+=，则()()3130q q--=，解得3q=，易知22126323n n nna a q---==⨯=⨯，()()1121331113n nnna qSq-⨯-===---.【小问2详解】由（1）可得：1131235312024n n nn nS a--+=-+⨯=⨯->，整理可得1532025n-⨯>，13405n->，61713243405,3729405--==，故n的最小值为7.17.在ABC中，222b c a bc+-=．（1）求A∠；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使ABC存在且唯一确定，求ABC的面积．条件①：11cos 14B =；条件②：12a b +=；条件③：12c =．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分．【答案】（1）π3（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据题意，利用余弦定理求得1cos 2A =，即可求解；（2）根据题意，若选择①②，求得sinB ，由正弦定理求得7,5a b ==，再由余弦定理求得8c =，结合面积公式，即可求解；若①③：先求得sin 14B =，由sin sin()14C A B =+=，利用正弦定理求得212a =，结合面积公式，即可求解；若选择②③，利用余弦定理，列出方程求得0b =，不符合题意.【小问1详解】解：因为222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，又因为(0,π)A ∈，所以π3A =.【小问2详解】解：由（1）知π3A =，若选①②：11cos 14B =，12a b +=，由11cos 14B =，可得53sin 14B ==，由正弦定理sin sin a b A B =353214=，解得7a =，则125b a =-=，又由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可得249255c c =+-，即25240c c --=，解得8c =或3c =-（舍去），所以ABC的面积为11sin 58222S bc A ==⨯⨯⨯=.若选①③：11cos 14B =且12c =，由11cos 14B =，可得sin 14B ==，因为πA BC ++=，可得()111sin sin 2142147C A B =+=⨯+⨯=，由正弦定理sin sin a c A C =27=，解得212a =，所以ABC的面积为1121sin 12222142S ac b ==⨯⨯⨯=.若选：②③：12a b +=且12c =，因为222b c a bc +-=，可得22212(12)12b b b +--=，整理得2412b b =，解得0b =，不符合题意，（舍去）.18.如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面,2,ABC PA AC BC PB ====．（1）求证：BC ⊥平面PAC ；（2）求二面角A PB C --的大小；（3）求点C 到平面PAB 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）60︒；（3.【解析】【分析】（1）利用线面垂直的性质判断异面直线垂直，再由勾股定理证明线线垂直，根据线面垂直的判定证明即可；（2）建立空间直角坐标系，分别求法向量，求出二面角；（3）应用等体积法求点到面的距离即可.【小问1详解】因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，BA ⊂平面ABC ，所以,PA BC PA BA ⊥⊥，又,2PA PB ==，所以AB ==，又因为2AC BC ==，222AC BC AB +=，所以BC AC ⊥，因为AC ⊂平面PAC ,PA ⊂平面PAC ，且AC PA A ⊂=，所以BC ⊥平面PAC ；【小问2详解】过C 作CM //PA ，则CM ⊥平面ABC ，又由（1）知BC AC ⊥，所以以,,CA CB CM 为,,x y z轴建立空间直角坐标系，如下图，则()()()()2,0,0,2,0,2,0,2,0,0,0,0A P B C ，设平面APB 的法向量为()111,,m x y z = ，又()()0,0,2,2,2,0AP AB ==- ，所以1112002200z m AP x y m AB ⎧=⋅=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩ 令11x =，则11y =，则()1,1,0m =u r ，设平面PBC 的法向量为()222,,x n y z = ，又()()2,0,2,0,2,0CP CB == ，所以2222200200x z n CP y n CB ⎧+=⋅=⎧⎪⇒⎨⎨=⋅=⎩⎪⎩ ，令21x =，则21z =-，则()1,0,1n =- ，令二面角A PB C --的平面角为θ，则1cos cos ,2m n m n m n θ⋅=== ，由图知此二面角为锐二面角，所以60θ=︒，故二面角A PB C --为60︒；【小问3详解】设点C 到平面PAB 的距离为h ，122ABC S AC BC =⨯⨯= ，所以1433P ABC ABC V PA S -=⨯⨯=△，又12PBC S PA AB =⨯⨯=△，所以13C PAB PBC P ABC V h S V --=⨯⨯==△，解得h =，所以点C 到平面PAB 的距离为19.已知函数2()e sin (R)x f x x ax a =--∈．（1）若0a =，求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值；（2）若12a <，求证：()f x 在0x =处取得极小值．【答案】（1）最小值为(0)1f =，最大值为π2π()e 12f =-；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用导数研究()e sin x f x x =-在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性，即可求最值；（2）由题设()e cos 2x f x x ax '=--，易得(0)0f '=，构造()e cos 2x g x x ax =--利用导数可得(0)0g '>，得到()f x '在0x =处有递增趋势，即可证结论.【小问1详解】由题设()e sin x f x x =-，则()e cos x f x x '=-，在π0,2⎡⎤⎢⎣⎦上()e cos 0x f x x '=->，即()f x 递增，所以最小值为0(0)e sin 01f =-=，最大值为ππ22ππ()e sin e 122f =-=-.【小问2详解】由题意()e cos 2x f x x ax '=--，则0(0)e cos 000f '=--=，令()e cos 2x g x x ax =--，则()e sin 2x g x x a '=+-，且12a <.所以0(0)e sin 02120g a a '=+-=->，即()f x '在0x =处有递增趋势，综上，若0x ∆>且x ∆无限趋向于0，在(,0)x x ∈-∆上()0f x '<，()f x 递减，在(0,)x x ∈∆上()0f x '>，()f x 递增，所以()f x 在0x =处取得极小值．20.已知函数2()ln 1()f x mx x x m =-+∈R ．（1）当1m =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若()0f x ≤在区间[1,)+∞上恒成立，求m 的取值范围；（3）试比较ln 4的大小，并说明理由．【答案】（1）10x y +-=（2）(],2-∞（3）ln 4<【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解；（2）将()0f x ≤在区间[)1,+∞上恒成立，转化为1ln 0m x x x -+≤，令()1ln g x m x x x =-+，问题转化为()max 0g x ≤，利用导数求函数()max g x 即可得解；（3）由（2）知，2m =时，()0f x ≤在区间[)1,+∞上恒成立，取x =，可得解.【小问1详解】当1m =时，()2n 1l f x x x x -+=，()ln 12f x x x '∴=+-，所以曲线()f x 在点()()1,1f 处切线的斜率()11k f '==-，又()10f =，所以曲线()f x 在点()()1,1f 处切线的方程为()1y x =--即10x y +-=.【小问2详解】()0f x ≤在区间[)1,+∞上恒成立，即2ln 10mx x x -+≤，对[)1,x ∀∈+∞，即1ln 0m x x x -+≤，对[)1,x ∀∈+∞，令()1ln g x m x x x =-+，只需()max 0g x ≤，()222111m x mx g x x x x-+-'=--=，[)1,x ∞∈+，当0m ≤时，有0mx ≤，则()0g x '<，()g x ∴在[)1,+∞上单调递减，()()10g x g ∴≤=符合题意，当0m >时，令()21h x x mx =-+-，其对应方程210x mx -+-=的判别式24m ∆=-，若0∆≤即02m <≤时，有()0h x ≤，即()0g x '≤，()g x ∴在[)1,+∞上单调递减，()()10g x g ∴≤=符合题意，若0∆>即m>2时，()21h x x mx =-+-，对称轴12m x =>，又()120h m =->，方程210x mx -+-=的大于1的根为02m x -=，()01,x x ∴∈，()0h x >，即()0g x '>，()0,x x ∈+∞，()0h x <，即()0g x '<，所以函数()g x 在()01,x 上单调递增，()()10g x g ∴>=，不合题意.综上，()0f x ≤在区间[)1,+∞上恒成立，实数m 的取值范围为(],2-∞.【小问3详解】由（2）知，当2m =时，()0f x ≤，在区间[)1,+∞上恒成立，即22ln 1x x x ≤-，对[)1,x ∀∈+∞，取x =代入上式得1<，化简得ln 4<.21.已知1,11,21,2,12,22,,1,2,(2)m m m m m m m a a a a a a A m a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪=≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭是2m 个正整数组成的m 行m 列的数表，当1,1i s m j t m ≤<≤≤<≤时，记(),,,,,,,i j s t i j s j s j s t d a a a a a a =-+-．设*n ∈N ，若m A 满足如下两个性质：①{},1,2,3;,(1,2,,;1,2,,)i j a n i m j m ∈== ；②对任意{}1,2,3,,k n ∈ ，存在{}{}1,2,,,1,2,,i m j m ∈∈ ，使得,i j a k =，则称m A 为Γn 数表．（1）判断3123231312A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是否为3Γ数表，并求()()1,12,22,23,3,,d a a d a a +的值；（2）若2Γ数表4A 满足(),1,1,1(1,2,3;1,2,3)i j i j d a a i j ++===，求4A 中各数之和的最小值；（3）证明：对任意4Γ数表10A ，存在110,110i s j t ≤<≤≤<≤，使得(),,,0i j s t d a a =．【答案】（1）是；5（2）22（3）证明见详解【解析】【分析】（1）根据题中条件可判断结果，根据题中公式进行计算即可；（2）根据条件讨论1,i j a +的值，根据(),,,,,,,i j s t i j s j s j s t d a a a a a a =-+-，得到相关的值，进行最小值求和即可；（3）当2i r ≥时，将横向相邻两个k 用从左向右的有向线段连接，则该行有1i r -条有向线段，得到横向有向线段的起点总数，同样的方法得到纵向有向线段的起点总数，根据条件建立不等关系，即可证明.【小问1详解】3123231312A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是3Γ数表，()()1,12,22,23,3,,23 5.d a a d a a +=+=【小问2详解】由题可知(),,,,,,,1i j s t i j s j s j s t d a a a a a a =-+-=(1,2,3;1,2,3)i j ==.当1,1i j a +=时，有(),1,1,1,1,(1)(1)1i j i j i j i j d a a a a ++++=--=，所以,1,13i j i j a a +++=.当1,2i j a +=时，有(),1,1,1,1,(2)(2)1i j i j i j i j d a a a a ++++=--=，所以,1,13i j i j a a +++=.所以,1,13(1,2,3;1,2,3).i j i j a a i j +++===所以1,12,23,34,4336,a a a a +++=+=1,32,43,14,23, 3.a a a a +=+=1,22,33,4314a a a ++=+=或者1,22,33,4325a a a ++=+=，2,13,24,3314a a a ++=+=或者2,13,24,3325a a a ++=+=，1,41a =或1,42a =，4,11a =或4,12a =，故各数之和633441122≥++++++=，当41111122212111212A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭时，各数之和取得最小值22.【小问3详解】由于4Γ数表10A 中共100个数字，必然存在{}1,2,3,4k ∈，使得数表中k 的个数满足25.T ≥设第i 行中k 的个数为(1,2,,10).i r i =⋅⋅⋅当2i r ≥时，将横向相邻两个k 用从左向右的有向线段连接，则该行有1i r -条有向线段，所以横向有向线段的起点总数1210(1)(1)10.i i i i r R r r T =≥=∑-≥∑-=-设第j 列中k 的个数为(1,2,,10)j c j =⋅⋅⋅.当2j c ≥时，将纵向相邻两个k 用从上到下的有向线段连接，则该列有1j c -条有向线段，所以纵向有向线段的起点总数1210(1)(1)10.j j j j c C c c T =≥=∑-≥∑-=-所以220R C T +≥-,因为25T ≥,所以220200R C T T T T +-≥--=->.所以必存在某个k 既是横向有向线段的起点，又是纵向有向线段的终点，即存在110110,u v p q <<≤<<≤，使得,,,u p v p v q a a a k ===，所以(),,,,,,,0u p v q u p v p v p v q d a a a a a a =-+-=，。
北京市朝阳区2020届高三上学期期末考试数学试题 Word版含解析
北京市朝阳区2019~2020学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【详解】解：复数i（2+i）＝2i﹣1对应的点的坐标为（﹣1，2），故选：C【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用中间量隔开三个值即可.【详解】∵，,,∴，故选：D【点睛】本题考查实数大小的比较，考查幂指对函数的性质，属于常考题型.3.已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，得双曲线的渐近线方程为y＝±x，再由双曲线离心率为2，得到c＝2a，由定义知b a，代入即得此双曲线的渐近线方程．【详解】解：∵双曲线C方程为：1（a＞0，b＞0）∴双曲线的渐近线方程为y＝±x又∵双曲线离心率为2，∴c＝2a，可得b a因此，双曲线的渐近线方程为y＝±x故选：B．【点睛】本题给出双曲线的离心率，求双曲线的渐近线方程，着重考查了双曲线的标准方程与基本概念，属于基础题．4.在中，若，，，则角的大小为（）A. B. C. D. 或【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理即可得到结果.【详解】解：∵b＝3，c，C，∴由正弦定理，可得，可得：sin B，∵c＜b，可得B或，故选：D．点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查计算能力，属于基础题．5.从名教师和名学生中，选出人参加“我和我的祖国”快闪活动．要求至少有一名教师入选，且入选教师人数不多于入选学生人数，则不同的选派方案的种数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可分成两类：一名教师和三名学生，两名教师和两名学生，分别利用组合公式计算即可.【详解】由题意可分成两类：（1）一名教师和三名学生，共；（2）两名教师和两名学生，共；故不同的选派方案的种数是.故选：C【点睛】本题考查组合的应用，是简单题，注意分类讨论、正确计算即可．6.已知函数，则（）A. 是奇函数，且在上单调递增B. 是奇函数，且在上单调递减C. 是偶函数，且在上单调递增D. 是偶函数，且在上单调递减【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性的定义以及单调性的性质判断即可．【详解】函数的定义域为R，，即，∴是偶函数，当时，,为增函数，为减函数，∴在上单调递增，故选：C【点睛】本题考查了函数的奇偶性以及函数的单调性问题，考查推理能力，是一道中档题．7.某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意把三棱锥放入棱长为2的正方体中，得出三棱锥的形状，结合图形，求出该三棱锥的体积．【详解】解：根据题意，把三棱锥放入棱长为2的正方体中，是如图所示的三棱锥P﹣ABC，∴三棱锥P﹣ABC的体积为：，故选：A【点睛】本题考查了利用三视图求空间几何体体积的应用问题，考查空间想象能力，是基础题．8.设函数，则“”是“有且只有一个零点”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】有且只有一个零点的充要条件为,或，从而作出判断. 【详解】f（x ）＝，f′（x）＝3x2﹣3＝3（x+1）（x﹣1），令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣1，令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜1，∴在，上单调递增，在上单调递减，且,,若有且只有一个零点，则,或∴“”是“有且只有一个零点”的充分而不必要条件，故选：A【点睛】本题考查充分性与必要性，同时考查三次函数的零点问题，考查函数与方程思想，属于中档题.9.已知正方形的边长为，以为圆心的圆与直线相切.若点是圆上的动点，则的最大值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立平面直角坐标系，圆的方程为：,，利用正弦型函数的性质得到最值.【详解】如图，建立平面直角坐标系，则，，，圆的方程为：,∴，∴，，∴∴时，的最大值是8，故选：D【点睛】本题考查了向量的坐标运算、点与圆的位置关系，考查了，考查了正弦型函数的性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．10.笛卡尔、牛顿都研究过方程，关于这个方程的曲线有下列说法：①该曲线关于轴对称；②该曲线关于原点对称；③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数．其中正确的是（）A. ②③B. ①④C. ③D. ③④【答案】C【解析】【分析】以﹣x代x，以﹣x代x，﹣y代y，判断①②的正误，利用方程两边的符号判断③的正误，利用赋值法判断④的正误.【详解】以﹣x代x，得到，方程改变，不关于轴对称；以﹣x代x，﹣y代y，得到，方程改变，不关于对称；当时，显然方程不成立，∴该曲线不经过第三象限；令,易得，即适合题意，同理可得适合题意，∴该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数是错误的，故选：C【点睛】本题考查曲线与方程，考查曲线的性质，考查逻辑推理能力与转化能力，属于中档题．第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题4分，共24分11.的展开式中的常数项为______.【答案】24【解析】【分析】先求出二项式展开式通项公式，再令，求出代入运算即可得解.【详解】解：由二项式展开式通项公式为，令，解得，即展开式中的常数项为，故答案为24.【点睛】本题考查了二项式定理，重点考查了二项式展开式通项公式，属基础题.12.已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则_______；数列的前项和的最小值为_____．【答案】 (1). (2).【解析】【分析】运用等比数列中项的性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项，即可得到a2，再由等差数列的求和公式，结合二次函数的最值求法，即可得到所求最小值．【详解】解：等差数列{a n}的公差d为2，若a1，a3，a4成等比数列，可得a32＝a1a4，即有（a1+2d）2＝a1（a1+3d），化为a1d＝﹣4d2，解得a1＝﹣8，a2＝﹣8+2＝﹣6；数列{a n}的前n项和S n＝na1n（n﹣1）d＝﹣8n+n（n﹣1）＝n2﹣9n＝（n）2，当n＝4或5时，S n取得最小值﹣20．故答案为：﹣6，﹣20．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查等比数列中项的性质，以及二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．13.若顶点在原点的抛物线经过四个点，，，中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是________．【答案】或【解析】【分析】分两类情况，设出抛物线标准方程，逐一检验即可.【详解】设抛物线的标准方程为：，不难验证适合，故；设抛物线的标准方程为：，不难验证适合，故；故答案为：或【点睛】本题考查抛物线标准方程的求法，考查待定系数法，考查计算能力，属于基础题.14.春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设为其中成活的株数，若的方差，，则________．【答案】【解析】【分析】由题意可知：，且，从而可得值．【详解】由题意可知：∴，即,∴故答案为：【点睛】本题考查二项分布的实际应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题．15.已知函数的定义域为，且，当时，．若存在，使得，则的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】由f（x +）＝2f（x），得f（x）＝2f（x ﹣），分段求解析式，结合图象可得m的取值范围．【详解】解：∵，∴，∵当时，．∴当时，．当时，．当时，．作出函数的图象：令，解得：或，若存在，使得，则，故答案为：【点睛】本题考查函数与方程的综合运用，训练了函数解析式的求解及常用方法，考查数形结合的解题思想方法，属中档题．16.某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度（每层玻璃的厚度相同）及两层玻璃间夹空气层厚度对保温效果的影响，利用热传导定律得到热传导量满足关系式：，其中玻璃的热传导系数焦耳/（厘米度），不流通、干燥空气的热传导系数焦耳/（厘米度），为室内外温度差．值越小，保温效果越好．现有4种型号的双层玻璃窗户，具体数据如下表：型号每层玻璃厚度（单位：厘米）玻璃间夹空气层厚度（单位：厘米）A型B型C型D型则保温效果最好的双层玻璃的型号是________型．【答案】【解析】【分析】分别计算4种型号的双层玻璃窗户的值，根据值越小，保温效果越好．即可作出判断. 【详解】A型双层玻璃窗户：，B型双层玻璃窗户：，C型双层玻璃窗户：，D 型双层玻璃窗户：，根据，且值越小，保温效果越好．故答案为：B【点睛】本题以双层玻璃窗户保温效果为背景，考查学生学生分析问题解决问题的能力，考查计算能力.三、解答题共6小题，共86分。
2019-2020学年北京市朝阳区高三(上)期中数学试卷试题及答案
2019-2020学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合2{|4}A x Z x =∈<，{1B =-，2}，则(A B = )A ．{1}-B ．{1-，2}C ．{1-，0，1，2}D ．{2-，1-，0，1，2}2．已知(,)2παπ∈，且3sin 5α=，则tan (α= )A ．34B ．43 C ．34-D ．43-3．下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是( ) A ．3y x =-B ．sin()y x =-C ．2log ||y x =D ．22x x y -=-4．关于函数()sin cos f x x x =+有下述三个结论： ①函数()f x 的最小正周期为2π； ②函数()f x 的最大值为2；③函数()f x 在区间(,)2ππ上单调递减．其中，所有正确结论的序号是( ) A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③5．已知α，β是两个不同的平面，直线m α⊂，下列命题中正确的是( ) A ．若αβ⊥，则//m β B ．若αβ⊥，则m β⊥ C ．若//m β，则//αβD ．若m β⊥，则αβ⊥6．已知函数()|2|1f x x kx =--+恰有两个零点，则实数k 的取值范围是( ) A ．1(0,)2B ．1(2，1)C ．(1,2)D ．(2,)+∞7．已知*{}()n a n N ∈为等比数列，则“12a a >”是“{}n a 为递减数列”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．设1F ，2F 为椭圆22:195x y C +=的两个焦点，M 为C 上一点且在第二象限．若△12MF F 为等腰三角形，则点M 的横坐标为( )A ．32B C ． D ．32-9．在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，2BC =，点P 在BC 边上，且()1AP AB AC +=，则||AP 的取值范围是( )A ．1(,1]2B ．1[,1]2C ．,1]D ．[] 10．已知集合A ，B 满足： （ⅰ）AB Q =，AB =∅；（ⅱ）1x A ∀∈，若2x Q ∈且21x x <，则2x A ∈； （ⅲ）1y B ∀∈，若2y Q ∈且21y y >，则2y B ∈． 给出以下命题：①若集合A 中没有最大数，则集合B 中有最小数； ②若集合A 中没有最大数，则集合B 中可能没有最小数； ③若集合A 中有最大数，则集合B 中没有最小数； ④若集合A 中有最大数，则集合B 中可能有最小数． 其中，所有正确结论的序号是( ) A ．①③B ．②③C ．③④D ．①④二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．11．已知向量(1,1)a =-，(3,)b m =，且//a b ，则m = ．12．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 ，最长棱的长度为 ．13．已知直线20x y a -+=与圆22:2O x y +=相交于A ，B 两点(O 为坐标原点），且AOB ∆为等腰直角三角形，则实数a 的值为 ．14．已知a ，b 是实数，给出下列四个论断：①a b >；②11a b<；③0a >；④0b >． 以其中两个论断作为条件，余下的论断中选择一个作为结论，写出一个正确的命题： ．15．已知函数21,,()(,x a x x a f x a x x a e -⎧<⎪=⎨⎪⎩…为常数）．若1(1)2f -=，则a = ；若函数()f x 存在最大值，则a 的取值范围是 ．16．2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N 随时间t （单位：年）的衰变规律满足5730002(t N N N -=表示碳14原有的质量），则经过5730年后，碳14的质量变为原来的 ；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的12至35，据此推测良渚古城存在的时期距今约在 年到5730年之间．（参考数据：2log 3 1.6≈，2log 5 2.3)≈三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17．（13分）在ABC ∆中，AB =P 在BC 边上，且60APC ∠=︒，2BP =． （Ⅰ）求AP 的值；（Ⅱ）若1PC =，求sin ACP ∠的值．18．（13分）已知*{}()n a n N ∈是各项均为正数的等比数列，116a =，322332a a +=． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设23log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ，并求n S 的最大值．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，//AD BC ，CD AD ⊥，2BC CD ==，4AD =． （Ⅰ）求证：//CE 平面PAB ； （Ⅱ）求二面角E AC D --的余弦值；（Ⅲ）直线AB 上是否存在点Q ，使得//PQ 平面ACE ？若存在，求出AQAB的值；若不存在，说明理由．20．（13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过两点(1,)P ，(Q ．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过椭圆的右焦点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且直线l 与以线段FP 为直径的圆交于另一点E （异于点)F ，求||||AB FE 的最大值．21．已知函数()(0)lnxf x a x a=>+． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程； （Ⅱ）当1a =时，证明：1()2x f x -…； （Ⅲ）判断()f x 在定义域内是否为单调函数，并说明理由．22．（13分）已知无穷数列{}n a ，{}n b ，{}n c 满足：*n N ∀∈，1||||n n n a b c +=-，1||||n n n b c a +=-，1||||n n n c a b +=-．记{||n n d max a =，||n b ，||}({n c max x ，y ，}z 表示3个实数x ，y ，z 中的最大值）．（Ⅰ）若11a =，22b =，33c =，求1b ，1c 的可能值； （Ⅱ）若11a =，12b =，求满足23d d =的1c 的所有值；（Ⅲ）设1a ，1b ，1c 是非零整数，且1||a ，1||b ，1||c 互不相等，证明：存在正整数k ，使得数列{}n a ，{}n b ，{}n c 中有且只有一个数列自第k 项起各项均为0．2019-2020学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合2{|4}A x Z x =∈<，{1B =-，2}，则(A B = )A ．{1}-B ．{1-，2}C ．{1-，0，1，2}D ．{2-，1-，0，1，2} 【解答】解：集合2{|4}{1A x Z x =∈<=-，0，1}，{1B =-，2}， {1AB ∴=-，0，1，2}．故选：C ．2．已知(,)2παπ∈，且3sin 5α=，则tan (α= )A ．34B ．43 C ．34-D ．43-【解答】解：已知3sin 5α=， 根据22sin cos 1αα+= 解得：4cos 5α=±由于：(,)2παπ∈所以：4cos 5α=-则sin 3tan cos 4ααα==- 故选：C ．3．下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是( ) A ．3y x =-B ．sin()y x =-C ．2log ||y x =D ．22x x y -=-【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，3y x =-，是奇函数在区间(0,1)上单调递减，不符合题意；对于B ，sin()sin y x x =-=-，是奇函数在区间(0,1)上单调递减，不符合题意； 对于C ，2log ||y x =，有()()f x f x -=，是偶函数不是奇函数，不符合题意；对于D ，22x x y -=-，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增，符合题意； 故选：D ．4．关于函数()sin cos f x x x =+有下述三个结论： ①函数()f x 的最小正周期为2π； ②函数()f x 的最大值为2；③函数()f x 在区间(,)2ππ上单调递减．其中，所有正确结论的序号是( ) A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【解答】解：函数()sin cos )4f x x x x π=+=+，所以函数的周期为：2π，所以①正确；②不正确； 函数的单调减区间为：[24k ππ+，2]k ππ+，k Z ∈，所以函数()f x 在区间(,)2ππ上单调递减．正确； 故选：B ．5．已知α，β是两个不同的平面，直线m α⊂，下列命题中正确的是( ) A ．若αβ⊥，则//m β B ．若αβ⊥，则m β⊥ C ．若//m β，则//αβD ．若m β⊥，则αβ⊥【解答】解：对于选项A ：若αβ⊥，则//m β也可能m β⊥，故错误． 对于选项B ：若αβ⊥，则m β⊥也可能//m β，故错误． 对于选项C ：若//m β，则//αβ也可能α与β相交，故错误．对于选项D ，直线m α⊂，m β⊥，则αβ⊥是面面垂直的判定，故正确． 故选：D ．6．已知函数()|2|1f x x kx =--+恰有两个零点，则实数k 的取值范围是( ) A ．1(0,)2B ．1(2，1)C ．(1,2)D ．(2,)+∞【解答】解：令()0f x =得，1|2|kx x -=-， 设11y kx =-，2|2|y x =-，画出这两个函数的图象， 如右图，黑色曲线为1y 的图象，红线为2y 的图象，且12y 的图象恒过(0,1)-，要使()f x 有两个零点，则1y 和2y 的图象有两个交点， 当1k =时，1y x =（红线）与2y 图象的右侧(1)x >平行， 此时，两图象只有一个交点，12PA k =， 因此，要使1y 和2y 的图象有两个交点，则112k <<， 故选：B ．7．已知*{}()n a n N ∈为等比数列，则“12a a >”是“{}n a 为递减数列”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：{}n a 为等比数列，由12a a >，不能说明{}n a 为递减数列，如数列：1，12-，14；反之，由{}n a 为递减数列，得12a a >．∴ “12a a >”是“{}n a 为递减数列”的必要而不充分条件．故选：B ．8．设1F ，2F 为椭圆22:195x y C +=的两个焦点，M 为C 上一点且在第二象限．若△12MF F 为等腰三角形，则点M 的横坐标为( )A ．32B C ． D ．32-【解答】解：设(,)M m n ，0m <，0n >，椭圆22:195x y C +=中3a =，b =，2c =， 椭圆的左准线方程为：292a x c =-=-，23c e a ==， 由于M 为C 上一点且在第二象限，可得12||||MF MF <， △12MF F 为等腰三角形，可得2||24MF c ==，1||2MF =， 由椭圆的第二定义，可得292()32m =⨯+，解得32m =-， 故选：D ．9．在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，2BC =，点P 在BC 边上，且()1AP AB AC +=，则||AP 的取值范围是( )A ．1(,1]2B ．1[,1]2C ．,1]D ．[] 【解答】解：以BC 的中点O 为原点，过O 垂直于BC 的直线为y 轴，建立如图直角坐标系则(1,0)B -，(1,0)C ，设(,0)P x ，(,)A a b ，||1x …，由1OA =，221a b +=， 则由()1AP AB AC +=，得(x a -，)(b a --，1)2b -=，化简12ax =， 所以2222222||()2AP x a b x ax a b x =-+=-++=， 由221a b +=，因为1a ≠±，所以||1a <，所以11|||2|2x a =>，所以||||AP x =的取值范围为1(2，1]，故选：A ．10．已知集合A ，B 满足：（ⅰ）AB Q =，AB =∅；（ⅱ）1x A ∀∈，若2x Q ∈且21x x <，则2x A ∈； （ⅲ）1y B ∀∈，若2y Q ∈且21y y >，则2y B ∈． 给出以下命题：①若集合A 中没有最大数，则集合B 中有最小数； ②若集合A 中没有最大数，则集合B 中可能没有最小数； ③若集合A 中有最大数，则集合B 中没有最小数； ④若集合A 中有最大数，则集合B 中可能有最小数． 其中，所有正确结论的序号是( ) A ．①③B ．②③C ．③④D ．①④【解答】解：：由（ⅰ）AB Q =，AB =∅；（ⅱ）1x A ∀∈，若2x Q ∈且21x x <，则2x A ∈； （ⅲ）1y B ∀∈，若2y Q ∈且21y y >，则2y B ∈． 可判断集合A 中的元素都小于集合B 中的元素，若集合A 的元素没有最大数，则必然存在一个数x ，使得1x A ∀∈，1x x <； 如果x 是有理数，则x B ∈，且1y B ∀∈，1y x …，则B 有最小数为x ； 如果x 是无理数，则x B ∉，且1y B ∀∈，1y x >，则B 没有最小数； 故②正确；若集合A 的元素有最大数，则必然存在一个有理数x ，使得1x A ∀∈，1x x …； 1y B ∀∈，1y x >，则B 没有最小数；故③正确； 故选：B ．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．11．已知向量(1,1)a =-，(3,)b m =，且//a b ，则m = 3- ． 【解答】解：//a b ，30m ∴+=， 3m ∴=-．故答案为：3-．12．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为6，最长棱的长度为 ．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥P ABC -，底面三角形ABC 为等腰直角三角形， 1AB BC ==，90ABC ∠=︒，高1PO =，则111111326P ABC V -=⨯⨯⨯⨯=；最长棱长为PB ==故答案为：16． 13．已知直线20x y a -+=与圆22:2O x y +=相交于A ，B 两点(O 为坐标原点），且AOB ∆为等腰直角三角形，则实数a 的值为【解答】解：||||OA OB =；又AOB ∆为等腰直角三角形；所以2AB =，则三角形AOB 斜边上的高为1； 即圆心O 到直线的距离为1；∴1d ==，即||a =故答案为：a =；14．已知a ，b 是实数，给出下列四个论断：①a b >；②11a b<；③0a >；④0b >． 以其中两个论断作为条件，余下的论断中选择一个作为结论，写出一个正确的命题： 若a b >，0b >，则a b<．（答案不唯一） ． 【解答】解：①a b >；②11a b<；③0a >；④0b >． 以其中两个论断作为条件，余下的论断中选择一个作为结论，写出一个正确的命题：若a ，b 满足a b >，0b >，则11a b<，即由①④⇒②． （答案不唯一）．故答案为：由a ，b 满足：a b >，0b >，则11a b<． 15．已知函数21,,()(,x a x x a f x a x x a e -⎧<⎪=⎨⎪⎩…为常数）．若1(1)2f -=，则a = 2 ；若函数()f x 存在最大值，则a 的取值范围是 ． 【解答】解：（1）①1a >-时，1(1)2f a -==，12a ∴=， ②1a -…时，2211(1)2f e e ---==-≠， 12a ∴=． （2）111()x x xxe e ---'=， 1x x y e-∴=在(,1)-∞递增，在(1,)+∞递减；又0a >时2y ax =在(,0)-∞递减，()f x ∴不会存在最大值． 0a =时，()f x 的最大值即1x x y e -=的最大值； 0a <时，()f x 的最大值即1x x y e-=的最大值；故答案为：(-∞，0]．16．2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N 随时间t （单位：年）的衰变规律满足5730002(tN N N -=表示碳14原有的质量），则经过5730年后，碳14的质量变为原来的 2；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的12至35，据此推测良渚古城存在的时期距今约在 年到5730年之间．（参考数据：2log 3 1.6≈，2log 5 2.3)≈【解答】解：生物体内碳14的量N 与死亡年数t 之间的函数关系式为：573002tN N -=；5730t =时，10022N N N -==； 所以每经过5730年衰减为原来的12； 由于良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的12至35， ∴573013225t-剟； 两边同时取以2为底的对数，得： 221(log 3log 5)0.75730t---=-剟 40115730t ∴剟；故推测良渚古城存在的时期距今约在4011年到5730年之间． 故答案为：12，4011． 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（13分）在ABC ∆中，AB =P 在BC 边上，且60APC ∠=︒，2BP =． （Ⅰ）求AP 的值；（Ⅱ）若1PC =，求sin ACP ∠的值．【解答】解：（Ⅰ）因为60APC ∠=︒，所以120APB ∠=︒．在ABP ∆中，AB =，120APB ∠=︒，2BP =，由余弦定理2222cos AB AP BP AP BP APB =+-∠，得22240AP AP +-=．所以4AP =．（Ⅱ）在APC ∆中，4AP =，1PC =，60APC ∠=︒，由余弦定理2222cos AC AP PC AP PC APC =+-∠，得AC =由正弦定理sin sin AP ACACP APC=∠∠，得4sin ACP =∠所以sin ACP ∠=． 18．（13分）已知*{}()n a n N ∈是各项均为正数的等比数列，116a =，322332a a +=． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设23log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ，并求n S 的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，因为116a =，322332a a +=， 所以22320q q +-=． 解得2q =-（舍去）或12q =． 因此{}n a 的通项公式为15116()22n n n a --=⨯=．（Ⅱ）由（Ⅰ）得23(5)log 2153n b n n =-=-，当2n …时，13n n b b --=-， 故{}n b 是首项为112b =，公差为3-的单调递减等差数列． 则21312(1)(3)(9)22n S n n n n n =+--=--．又50b =，所以数列{}n b 的前4项为正数，所以当4n =或5时，n S 取得最大值，且最大值为4530S S ==．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，//AD BC ，CD AD ⊥，2BC CD ==，4AD =． （Ⅰ）求证：//CE 平面PAB ； （Ⅱ）求二面角E AC D --的余弦值；（Ⅲ）直线AB 上是否存在点Q ，使得//PQ 平面ACE ？若存在，求出AQAB的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）如图，取PA中点F，连结EF，BF．因为E为PD中点，4AD=，所以//EF AD，122EF AD==．又因为//BC AD，2BC=，所以//EF BC，EF BC=，所以四边形EFBC为平行四边形．所以//CE BF．又因为CE⊂/平面PAB，BF⊂平面PAB，所以//CE平面PAB．（Ⅱ）取AD中点O，连结OP，OB．因为PAD∆为等边三角形，所以PO OD⊥．又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD⋂平面ABCD AD=，所以PO⊥平面ABCD．因为//OD BC，2OD BC==，所以四边形BCDO为平行四边形．因为CD AD⊥，所以OB OD⊥．如图建立空间直角坐标系O xyz-，则(0,2,0),(2,0,0),(2,2,0),A B C E P -．所以(2,4,0),AC AE ==．设平面ACE 的一个法向量为1(n x =，y ，)z ， 则110,0,n AC n AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩即240,30.x y y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 令2x =-，则1(2,1,n =-．显然，平面ACD 的一个法向量为2(0n =，0，1)，所以1212123cos ,||||2n n n n n n -<>===． 由题知，二面角E AC D --为锐角， 所以二面角E AC D --（Ⅲ）直线AB 上存在点Q ，使得//PQ 平面ACE ．理由如下： 设AQ AB λ=．因为(2,2,0)AB =，(0,2,PA =--，所以(2,2,0)AQ AB λλλ==，(2,22,PQ PA AQ λλ=+=--． 因为PQ ⊂/平面ACE ，所以//PQ 平面ACE 当且仅当10PQ n =． 即(2,22,(2,1,3)0λλ----=，解得2λ=． 所以直线AB 上存在点Q ，使得//PQ 平面ACE ，此时2AQAB=．20．（13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过两点(1,)P，(Q ．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过椭圆的右焦点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且直线l 与以线段FP 为直径的圆交于另一点E （异于点)F ，求||||AB FE 的最大值．【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(1,)P，(Q ，所以22111,2a ab ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故椭圆C 的标准方程为2212x y +=，（Ⅱ）由题易知直线l 的斜率不为0，设:1l x ty =+，由221,1,2x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)210t y ty ++-=，显然△0>． 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 则12122221,22t y y y y t t --+==++．又12|||AB y y =-． 以FP为直径的圆的圆心坐标为，半径为r =， 故圆心到直线l的距离为d ==．所以2||81FEt ===+所以122|||||AB FE y y =-=因为211t +…，所以221(1)21t t +++…，即221114(1)21t t ++++…． 所以||||21AB FE =…．当0t =时，直线与椭圆有交点，满足题意，且||||1AB FE =， 所以||||AB FE 的最大值为1． 21．已知函数()(0)lnxf x a x a=>+． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程； （Ⅱ）当1a =时，证明：1()2x f x -…； （Ⅲ）判断()f x 在定义域内是否为单调函数，并说明理由．【解答】解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，21()()a lnx x f x x a -++'=+． （Ⅰ）因为f （1）0=，1(1)1f a '=+， 所以曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为10(1)1y x a -=-+， 即(1)10x a y -+-=；（Ⅱ）证明：当1a =时，()1lnxf x x =+． 欲证1()2x f x -…， 即证112lnx x x -+…， 即证2210lnx x -+…． 令2()21h x lnx x =-+， 则22(1)(1)()2x x h x x x x--+'=-=． 当x 变化时，()h x '，()h x 变化情况如下表：所以函数()h x 的最大值为h （1）0=，故()0h x …． 所以1()2x f x -…； （Ⅲ）函数()f x 在定义域内不是单调函数．理由如下： 令()1ag x lnx x=-++，因为221()0a x ag x x x x+'=--=-<，所以()g x 在(0,)+∞上单调递减． 注意到g （1）10a =+>． 且11111()1(1)0a a a a a g e lne a e e ++++=-++=-<．所以存在1(1,)a m e +∈，使得()0g m =．当(0,)x m ∈时，()0g x >，从而()0f x '>，所以函数()f x 在(0,)m 上单调递增； 当(,)x m ∈+∞时，()0g x <，从而()0f x '<，所以函数()f x 在(,)m +∞上单调递减． 故函数()f x 在定义域内不是单调函数．22．（13分）已知无穷数列{}n a ，{}n b ，{}n c 满足：*n N ∀∈，1||||n n n a b c +=-，1||||n n n b c a +=-，1||||n n n c a b +=-．记{||n n d max a =，||n b ，||}({n c max x ，y ，}z 表示3个实数x ，y ，z 中的最大值）．（Ⅰ）若11a =，22b =，33c =，求1b ，1c 的可能值； （Ⅱ）若11a =，12b =，求满足23d d =的1c 的所有值；（Ⅲ）设1a ，1b ，1c 是非零整数，且1||a ，1||b ，1||c 互不相等，证明：存在正整数k ，使得数列{}n a ，{}n b ，{}n c 中有且只有一个数列自第k 项起各项均为0． 【解答】解：（Ⅰ）由211||||b c a =-，得1||12c -=，所以13c =±； 由322||||c a b =-，得2||23a -=，所以25a =±，又2111||||||33a b c b =-=--…，故25a =，1||8b =，18b =±．所以1b ，1c 的所有可能值为18b =，13c =；18b =，13c =-；18b =-，13c =；18b =-，13c =-． （Ⅱ）若11a =，12b =，记1c x =，则22||a x =-，2||1b x =-，21c =-，232||,0||1,1,1||2,|||1|1||1,||2,x x d x a x x x -<⎧⎪=<=--⎨⎪-⎩………，31|2|||b x =--，3|2||||||1|c x x =---，当0||1x <…时，3||a x =-，3||1b x =-，31c =，31d =，由32d d =，得||1x =，不符合；当1||2x <…时，3||2a x =-，3||1b x =-，332||c x =-，32||,1|| 1.5,||1,1.5||2,x x d x x -<⎧=⎨-<⎩……由32d d =，得||1x =，符合；当||2x …时，3||2a x =-，33||b x =-，31c =-，31,2||3,||2,||3,x d x x <⎧=⎨-⎩…… 由32d d =，得||2x =，符合；综上，1c 的所有取值是2-，1-，1，2．（Ⅲ）先证明“存在正整数3k …，使k a ，k b ，k c 中至少有一个为0”． 假设对任意正整数3k …，k a ，k b ，k c 都不为0， 由1a ，1b ，1c 是非零整数，且1||a ，1||b ，1||c 互不相等，得*1d N ∈，*2d N ∈．若对任意3k …，k a ，k b ，k c 都不为0，则*k d N ∈， 即对任意1k …，*k d N ∈． 当1k …时，1||||||||{||k k k k a b c max b +=-<，||}k k c d …，1||||||||k k k k b c a d +=-<，1||||||||k k k k c a b d +=-<，所以，11{||k k d max a ++=，1||k b +，1||}k k c d +<． 所以，{}k d 严格单调递减， 由2d 为有限正整数，所以，必存在正整数3m …，使得0m d …，矛盾． 所以，存在正整数3k …，使k a ，k b ，k c 中至少有一个为0． 不妨设0k a =，且10a ≠，20a ≠，⋯，10k a -≠， 则11||||k k b c --=，且111||||||k k k b c a ---=≠， 否则，若111||||||k k k b c a ---==，因为1110k k k a b c ---++=，则必有1110k k k a b c ---===，矛盾．于是，11||||0k k k b c a --=-≠，11||||0k k k c a b --=-≠，且k k b c =-， 所以，10k a +=，1||k k b c +=，1||||k k k c b c +=-=-，依次递推，即有：对n k ∀…，0n a =，1||n k b c +=，1||n k c c +=-，且||0k c ≠， 此时有且仅有一个数列{}n a 自第k 项起各项均为0． 综上，结论成立．。
北京市朝阳区2019~2020学年度第一学期高2020届高三年级期中质量检测数学试题(word版,含答案)
高三数学试卷 第1页（共13页）北京市朝阳区2019~2020学年度第一学期高三年级期中质量检测 数学试卷 2019．11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合2{4}A x x =∈<Z ，{1,2}B =-，则AB =（A ）{1}-（B ）{1,2}-（C ）{1,0,1,2}- （D ）{2,1,0,1,2}--（2）已知π(,π)2α∈，且3sin 5α=，则tan α= （A ）34 （B ）43 （C ）34-（D ）43-（3）下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是（A ）3y x =- （B ）sin()y x =-（C ）2log y x =（D ）22x xy -=-（4）关于函数()sin cos f x x x =+有下述三个结论：①函数()f x 的最小正周期为2π； ②函数()f x 的最大值为2；③函数()f x 在区间π(,π)2上单调递减. 其中，所有正确结论的序号是 （A ）①②（B ）①③ （C ）②③（D ）①②③（5）已知α，β是两个不同的平面，直线m α⊂，下列命题中正确的是（A ）若αβ⊥，则//m β （B ）若αβ⊥，则m β⊥ （C ）若//m β，则//αβ （D ）若m β⊥，则αβ⊥高三数学试卷 第2页（共13页）（6）已知函数()|2|1f x x kx =--+恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（A ）1(0,)2 （B ）1(,1)2（C ）(1,2) （D ）(2,)+∞ （7）已知*{}()n a n ∈N 为等比数列，则“12a a >”是“{}n a 为递减数列”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）设1F ，2F 为椭圆C ：22195x y +=的两个焦点，M 为C 上一点且在第二象限.若12△MF F 为等腰三角形，则点M 的横坐标为 （A ）32 （B（C） （D ）32-（9）在△ABC 中，90BAC ∠=，2BC =， 点P 在BC 边上，且()1AP AB AC ⋅+=，则AP 的取值范围是 （A ）1(,1]2（B ）1[,1]2（C）2 （D）[2（10）已知集合A ，B 满足：（ⅰ）A B =Q ，A B =∅；（ⅱ）1x A ∀∈，若2x ∈Q 且21x x <，则2x A ∈； （ⅲ）1y B ∀∈，若2y ∈Q 且21y y >，则2y B ∈. 给出以下命题：① 若集合A 中没有最大数，则集合B 中有最小数； ② 若集合A 中没有最大数，则集合B 中可能没有最小数； ③ 若集合A 中有最大数，则集合B 中没有最小数； ④ 若集合A 中有最大数，则集合B 中可能有最小数. 其中，所有正确结论的序号是（A ）①③ （B ）②③ （C ）③④ （D ）①④高三数学试卷 第3页（共13页）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市朝阳区2020届高三数学上学期期中质量检测试题201911190335
北京市朝阳区2020届高三数学上学期期中质量检测试题（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合2{4}A x x =∈<Z ，{1,2}B =-，则AB =（A ）{1}- （B ）{1,2}-（C ）{1,0,1,2}- （D ）{2,1,0,1,2}--（2）已知π(,π)2α∈，且3sin 5α=，则tan α= （A ）34 （B ）43 （C ）34-（D ）43-（3）下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是（A ）3y x =- （B ）sin()y x =- （C ）2log y x =（D ）22x x y -=-（4）关于函数()sin cos f x x x =+有下述三个结论：①函数()f x 的最小正周期为2π； ②函数()f x 的最大值为2；③函数()f x 在区间π(,π)2上单调递减.其中，所有正确结论的序号是（A ）①② （B ）①③（C ）②③ （D ）①②③（5）已知α，β是两个不同的平面，直线m α⊂，下列命题中正确的是（A ）若αβ⊥，则//m β（B ）若αβ⊥，则m β⊥ （C ）若//m β，则//αβ（D ）若m β⊥，则αβ⊥（6）已知函数()|2|1f x x kx =--+恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（A ）1(0,)2（B ）1(,1)2（C ）(1,2)（D ）(2,)+∞ （7）已知*{}()n a n ∈N 为等比数列，则“12a a >”是“{}n a 为递减数列”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（8）设1F ，2F 为椭圆C ：22195x y +=的两个焦点，M 为C 上一点且在第二象限.若12△MF F为等腰三角形，则点M 的横坐标为 （A ）32（B（C）（D ）32-（9）在△ABC 中，90BAC ∠=，2BC =，点P 在BC 边上，且()1AP AB AC ⋅+=，则AP的取值范围是（A ）1(,1]2（B ）1[,1]2（C）(2 （D）2（10）已知集合A ，B 满足：（ⅰ）A B =Q ，A B =∅； （ⅱ）1x A ∀∈，若2x ∈Q 且21x x <，则2x A ∈；（ⅲ）1y B ∀∈，若2y ∈Q 且21y y >，则2y B ∈. 给出以下命题：① 若集合A 中没有最大数，则集合B 中有最小数；② 若集合A 中没有最大数，则集合B 中可能没有最小数； ③ 若集合A 中有最大数，则集合B 中没有最小数； ④若集合A 中有最大数，则集合B 中可能有最小数.其中，所有正确结论的序号是（A ）①③ （B ）②③ （C ）③④ （D ）①④第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市朝阳区2020届高三上学期期中考试数学理试卷Word版含答案
北京市朝阳区2020届高三上学期期中考试数学理试卷（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合{3,}A x x x =≤∈R ，{10,}B x x x =-≥∈N ，则A B =I （ ） A ．{0,1} B ．{0,12}, C ．{2,3} D ． {1,2,3}2．已知(0,)α∈π，且3cos 5α=-，则tan α=（ ） A ．34 B ．34- C ．43 D ．43-3. 已知等差数列{}n a 的公差为2，若124, , a a a 成等比数列，那么1a 等于（ ） A. 2 B. 1 C. 1- D. 2-4. 给出下列命题：①若给定命题p ：x ∃∈R ，使得210x x +-<，则p ⌝：,x ∀∈R 均有012≥-+x x ； ②若q p ∧为假命题，则q p ,均为假命题；③命题“若0232=+-x x ，则2=x ”的否命题为“若 ,0232=+-x x 则2≠x ，其中正确的命题序号是（ ）A ．① B. ①② C. ①③ D. ②③5.已知函数()sin()(00)2f x A x x A ωϕωϕπ=+∈>><R ，，，的图象（部分）如图所示，则()f x 的解析式是（ ）A ．()2sin()6f x x π=π+B ．()2sin(2)6f x x π=π+C ．()2sin()3f x x π=π+D ．()2sin(2)3f x x π=π+6.设p ：2101x x -≤-，q ：2(21)(1)0x a x a a -+++<，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围x－2y O231 65是（ ）A ．1(0,)2B ．1[0,)2C ．1(0,]2D ．1[,1)27.在ABC ∆中，已知4AB AC ⋅=u u u r u u u r3=，,M N 分别是BC 边上的三等分点，则AM ⋅的值是A ．5B ．421C ．6D ．88.已知定义在R 上的函数⎩⎨⎧-∈-∈+=),0 ,1[,2),1 ,0[,2)(22x x x x x f 且)()2(x f x f =+．若方程()2=0f x kx --有三个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1(,1)3B ．11(,)34--C ．11(,1)(1,)33--UD ．1111(,)(,)3443--U第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9.已知三个数π221(),log 3,log π2，其中最大的数是 ．10．已知平面向量2113()(-)，，，a =b =．若向量()λ⊥a a +b ，则实数λ的值是 ．11．如图，在ABCD Y 中，E 是CD 中点，BE xAB y AD =+u u u r u u u r u u u r ，则x y += ．12.若函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,0ωϕ≠>)是偶函数，则ϕ的最小值为 ． 13. 若函数sin ()cos a x f x x -=在区间ππ(,)63上单调递增，则实数a 的取值范围是 .14. 如图，已知边长为4的正方形ABCD ，E 是BC 边上一动点（与B 、C 不重合），连结AE ，作EF ⊥AE 交∠BCD 的外角平分线于F .设BE x =，记()f x EC CF =⋅u u u r u u u r ，则函数()f x 的值域是 ；当ECF ∆面积最大时，EF =u u u r.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13分）已知函数2()cos2cos 222x x x f x =-.FEDCBA（Ⅰ）求π()3f 的值；（Ⅱ）求函数)(x f 的单调递减区间及对称轴方程.16. （本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差1d =，前n 项和为n S ，且1n nb S =. （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求证：1232n b b b b ++++<L . 17．（本小题满分13分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,．且21cos -=B ． （Ⅰ）若322==b a ,，求角C ； （Ⅱ）求C A sin sin ⋅的取值范围．18. （本小题满分13分）已知函数2()ln (1)2x f x a x a x =+-+． （Ⅰ）当0a >时，求函数()f x 的单调区间; （Ⅱ）当1a =-时，证明1()2f x ≥.19. （本小题满分14分）已知函数2()e (1)xf x ax bx -=++(其中e 是常数，0a >，b ∈R )，函数()f x 的导函数为()f x '，且(1)0f '-=．(Ⅰ)若1a =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； (Ⅱ)当15a >时，若函数()f x 在区间[1,1]-上的最大值为4e ，试求,ab 的值．20. （本小题满分14分）已知实数数列}{n a 满足：),2,1(||12Λ=-=++n a a a n n n ，b a a a ==21,，记集合{|}.n M a n *=∈N （Ⅰ）若2,1==b a ，用列举法写出集合M ；（Ⅱ）若0,0<<b a ，判断数列}{n a 是否为周期数列，并说明理由； （Ⅲ）若0,0≥≥b a ，且0≠+b a ，求集合M 的元素个数的最小值.北京市朝阳区2020届高三上学期期中考试数学理试卷参考答案。
2019-2020学年北京市朝阳区高三(上)期中数学试卷
2019-2020学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合A＝{x∈Z|x2<4}，B＝{−1, 2}，则A∪B＝（）A.{−1}B.{−1, 2}C.{−1, 0, 1, 2}D.{−2, −1, 0, 1, 2}【答案】C【考点】并集及其运算【解析】先求出集合A，再利用并集定义直接求解．【解答】∵集合A＝{x∈Z|x2<4}＝{−1, 0, 1}，B＝{−1, 2}，∴A∪B＝{−1, 0, 1, 2}．2. 已知α∈(π2,π)，且sinα=35，则tanα＝（）A.3 4B.43C.−34D.−43【答案】C【考点】同角三角函数间的基本关系【解析】首先根据三角函数的恒等变换关系式sin2α+cos2α＝1，求出cosα，进一步利用角的范围和tanα=sinαcosα求出结果．【解答】已知sinα=35，根据sin2α+cos2α＝1解得：cosα=±45由于：α∈(π2,π)所以：cosα=−45则tanα=sinαcosα=−343. 下列函数中，既是奇函数又在区间(0, 1)上单调递增的是（）A.y＝−x3B.y＝sin(−x)C.y＝log2|x|D.y＝2x−2−x【答案】D【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【解答】根据题意，依次分析选项：对于A，y＝−x3，是奇函数在区间(0, 1)上单调递减，不符合题意；对于B，y＝sin(−x)＝−sinx，是奇函数在区间(0, 1)上单调递减，不符合题意；对于C，y＝log2|x|，有f(−x)＝f(x)，是偶函数不是奇函数，不符合题意；对于D，y＝2x−2−x，既是奇函数又在区间(0, 1)上单调递增，符合题意；4. 关于函数f(x)＝sinx+cosx有下述三个结论：①函数f(x)的最小正周期为2π；②函数f(x)的最大值为2；③函数f(x)在区间(π2,π)上单调递减．其中，所有正确结论的序号是（）A.①②B.①③C.②③D.①②③【答案】B【考点】命题的真假判断与应用【解析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，求解函数的周期，最值以及判断函数的单调性，找出正确结论即可．【解答】函数f(x)＝sinx+cosx=√2sin(x+π4)，所以函数的周期为：2π，所以①正确；函数的最大值为：√2，所以②不正确；函数的单调减区间为：[2kπ+π4, 2kπ+π]，k∈Z，所以函数f(x)在区间(π2,π)上单调递减．正确；5. 已知α，β是两个不同的平面，直线m⊂α，下列命题中正确的是（）A.若α⊥β，则m // βB.若α⊥β，则m⊥βC.若m // β，则α // βD.若m⊥β，则α⊥β【答案】D【考点】命题的真假判断与应用【解析】直接利用线面垂直和平行的判定和性质的应用求出结果．【解答】对于选项A：若α⊥β，则m // β也可能m⊥β，故错误．对于选项B：若α⊥β，则m⊥β也可能m // β，故错误．对于选项C：若m // β，则α // β也可能α与β相交，故错误．对于选项D ，直线m ⊂α，m ⊥β，则α⊥β是面面垂直的判定，故正确．6. 已知函数f(x)＝|x −2|−kx +1恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A.(0, 12) B.(12, 1)C.(1, 2)D.(2, +∞) 【答案】B【考点】函数的零点与方程根的关系 【解析】先构造两函数y 1＝kx −1，y 2＝|x −2|，问题等价为y 1和y 2的图象有两个交点，再数形结合得出k 的范围． 【解答】令f(x)＝0得，kx −1＝|x −2|，设y 1＝kx −1，y 2＝|x −2|，画出这两个函数的图象， 如右图，黑色曲线为y 1的图象，红线为y 2的图象， 且y 12的图象恒过(0, −1)，要使f(x)有两个零点，则y 1和y 2的图象有两个交点， 当k ＝1时，y 1＝x （红线）与y 2图象的右侧(x >1)平行， 此时，两图象只有一个交点，k PA =12，因此，要使y 1和y 2的图象有两个交点，则12<k <1，7. 已知{a n }(n ∈N ∗)为等比数列，则“a 1>a 2”是“{a n }为递减数列”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】 B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】举例说明不充分，由递减数列的概念说明必要． 【解答】解：{a n }为等比数列，由a 1>a 2，不能说明{a n }为递减数列，如数列：1，−12，14； 反之，由{a n }为递减数列，得a 1>a 2．∴ “a 1>a 2”是“{a n }为递减数列”的必要而不充分条件． 故选B .8. 设F 1，F 2为椭圆C:x 29+y 25=1的两个焦点，M 为C 上一点且在第二象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则点M 的横坐标为（ ） A.32 B.√152C.−√152D.−32【答案】D【考点】椭圆的离心率 【解析】设M(m, n)，m <0，n >0，求得椭圆的a ，b ，c ，e ，由于M 为C 上一点且在第二象限，可得|MF 1|<|MF 2|，△MF 1F 2为等腰三角形，|MF 1|＝2c ，运用椭圆的第二定义，可得所求点的横坐标． 【解答】设M(m, n)，m <0，n >0，椭圆C:x 29+y 25=1中a ＝3，b =√5，c ＝2，椭圆的左准线方程为：x =−a 2c=−92，e =ca =23，由于M 为C 上一点且在第二象限，可得|MF 1|<|MF 2|， △MF 1F 2为等腰三角形，可得|MF 2|＝2c ＝4，|MF 1|＝2， 由椭圆的第二定义，可得2=23×(92+m)，解得m =−32，9. 在△ABC 中，∠BAC ＝90∘，BC ＝2，点P 在BC 边上，且AP →⋅(AB →+AC →)=1，则|AP →|的取值范围是（ ） A.(12,1]B.[12,1]C.(√22,1]D.[√22,1]【答案】 A【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】以BC 的中点O 为原点，过O 垂直于BC 的直线为y 轴，建立直角坐标系，利用向量的坐标法，求出ax =12，|AP →|=|x|，根据题意求出x 的范围，代入即可． 【解答】以BC 的中点O 为原点，过O 垂直于BC 的直线为y 轴，建立如图直角坐标系则B(−1, 0)，C(1, 0)，设P(x, 0)，A(a, b)，|x|≤1，由OA ＝1，a 2+b 2＝1， 则由AP →⋅(AB →+AC →)=1，得(x −a, −b)(−a, −b)=12，化简ax =12， 所以|AP →|2=(x −a)2+b 2＝x 2−2ax +a 2+b 2＝x 2，由a2+b2＝1，因为a≠±1，所以|a|<1，所以|x|=1|2a|>12，, 1]，所以|AP→|=|x|的取值范围为(1210. 已知集合A，B满足：(ⅰ)A∪B＝Q，A∩B＝⌀；(ⅱ)∀x1∈A，若x2∈Q且x2<x1，则x2∈A；(ⅲ)∀y1∈B，若y2∈Q且y2>y1，则y2∈B．给出以下命题：①若集合A中没有最大数，则集合B中有最小数；②若集合A中没有最大数，则集合B中可能没有最小数；③若集合A中有最大数，则集合B中没有最小数；④若集合A中有最大数，则集合B中可能有最小数．其中，所有正确结论的序号是（）A.①③B.②③C.③④D.①④【答案】B【考点】命题的真假判断与应用【解析】根据集合中元素的特点进行判断A，B的关系．【解答】：由(ⅰ)A∪B＝Q，A∩B＝⌀；(ⅱ)∀x1∈A，若x2∈Q且x2<x1，则x2∈A；(ⅲ)∀y1∈B，若y2∈Q且y2>y1，则y2∈B．可判断集合A中的元素都小于集合B中的元素，若集合A的元素没有最大数，则必然存在一个数x，使得∀x1∈A，x1<x；如果x是有理数，则x∈B，且∀y1∈B，y1≥x，则B有最小数为x；如果x是无理数，则x∉B，且∀y1∈B，y1>x，则B没有最小数；故②正确；若集合A的元素有最大数，则必然存在一个有理数x，使得∀x1∈A，x1≤x；∀y1∈B，y1>x，则B没有最小数；故③正确；二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．已知向量a→=(1, −1)，b→=(3, m)，且a→ // b→，则m＝________．【答案】−3【考点】平行向量（共线）【解析】根据a→∥b→即可得出m+3＝0，解出m即可．【解答】∵a→∥b→，∴m+3＝0，∴m＝−(3)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为________，最长棱的长度为________．【答案】16,√3【考点】由三视图求体积【解析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为三棱锥P−ABC，底面三角形ABC为等腰直角三角形，再由棱锥体积公式求体积，由勾股定理求最长棱长．【解答】由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥P−ABC，底面三角形ABC为等腰直角三角形，AB＝BC＝1，∠ABC＝90∘，高PO＝1，则V P−ABC=13×12×1×1×1=16；最长棱长为PB=√12+12+12=√3．已知直线x−2y+a＝0与圆O:x2+y2＝2相交于A，B两点（O为坐标原点），且△AOB为等腰直角三角形，则实数a的值为________±√5．【答案】a=±√5；【考点】直线与圆的位置关系【解析】△AOB为等腰直角三角形，则AB边上的高为1，即圆心O到直线的距离为1，用点到直线的距离公式可求a；【解答】∵|OA|=|OB|=√2；又△AOB为等腰直角三角形；所以AB＝2，则三角形AOB斜边上的高为1；即圆心O到直线的距离为1；∴d=√1+22=1，即|a|=√5；已知a，b是实数，给出下列四个论断：①a>b；②1a <1b；③a>0；④b>0．以其中两个论断作为条件，余下的论断中选择一个作为结论，写出一个正确的命题：________>________，________>0，则1a <1b．（答案不唯一）．【答案】若a,b,b【考点】不等式的基本性质【解析】利用不等式的基本性质可得由①④⇒②．（答案不唯一）．【解答】①a>b；②1a <1b；③a>0；④b>(0)以其中两个论断作为条件，余下的论断中选择一个作为结论，写出一个正确的命题：若a，b满足a>b，b>0，则1a <1b，即由①④⇒②．（答案不唯一）．已知函数f(x)={ax2,x<a,xe x−1,x≥a（a为常数）．若f(−1)=12，则a＝________；若函数f(x)存在最大值，则a的取值范围是________．【答案】12,(−∞, 0]【考点】分段函数的应用【解析】本题（1）利用分段函数求值分类讨论a的取值后分别代入每一段函数中求值；（2）结合二次函数以及xe x−1的函数的图象特点分析求解．【解答】又∵a>0时y＝ax2在(−∞, 0)递减，∴f(x)不会存在最大值．a＝0时，f(x)的最大值即y=xe x−1的最大值（1）a<0时，f(x)的最大值即y=xe x−1的最大值（2）故答案为：(−∞, 0]．2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足N=N⋅2−t5730（N 0表示碳14原有的质量），则经过5730年后，碳14的质量变为原来的 12 ；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的12至35，据此推测良渚古城存在的时期距今约在________年到5730年之间．（参考数据：log 23≈1.6，log 25≈2.3） 【答案】 4011 【考点】根据实际问题选择函数类型 【解析】根据生物体内碳14的质量N 与死亡年数t 之间的函数关系式，t ＝5730代入，得N =N 02，故每经过5730年衰减为原来的一半；利用碳14的残余量约占原来的12至35，建立不等式，即可推算良渚古城的年代． 【解答】∵ 生物体内碳14的量N 与死亡年数t 之间的函数关系式为：N =N 0⋅2−t5730； t ＝5730时，N =N 0⋅2−1=N 02；所以每经过5730年衰减为原来的12；由于良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的12至35， ∴ 12≤2−t5730≤35；两边同时取以2为底的对数，得： −1≤−t5730≤(log 23−log 25)＝−0.7∴ 4011≤t ≤5730；故推测良渚古城存在的时期距今约在4011年到5730年之间．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．在△ABC 中，AB ＝2√7，点P 在BC 边上，且∠APC ＝60∘，BP ＝2． (Ⅰ)求AP 的值；(Ⅱ)若PC ＝1，求sin∠ACP 的值． 【答案】（1）因为∠APC ＝60∘，所以∠APB ＝120∘．在△ABP 中，AB ＝2√7，∠APB ＝120∘，BP ＝2，由余弦定理AB 2＝AP 2+BP 2−2AP ⋅BPcos∠APB ，得AP 2+2AP −24＝（0） 所以AP ＝（4）（2）在△APC 中，AP ＝4，PC ＝1，∠APC ＝60∘，由余弦定理AC 2＝AP 2+PC 2−2AP ⋅PCcos∠APC ，得AC =√13． 由正弦定理APsin∠ACP =ACsin∠APC ，得4sin∠ACP =√13sin60， 所以sin∠ACP =2√3913．【考点】余弦定理解三角形正弦定理【解析】(Ⅰ)在△ABP中，利用余弦定理转化求解AP的值；(Ⅱ)在△APC中，利用余弦定理求出AC，然后利用正弦定理求sin∠ACP的值．【解答】（1）因为∠APC＝60∘，所以∠APB＝120∘．在△ABP中，AB＝2√7，∠APB＝120∘，BP＝2，由余弦定理AB2＝AP2+BP2−2AP⋅BPcos∠APB，得AP2+2AP−24＝（0）所以AP＝（4）（2）在△APC中，AP＝4，PC＝1，∠APC＝60∘，由余弦定理AC2＝AP2+PC2−2AP⋅PCcos∠APC，得AC=√13．由正弦定理APsin∠ACP =ACsin∠APC，得4sin∠ACP=√13sin60，所以sin∠ACP=2√3913．已知{a n}(n∈N∗)是各项均为正数的等比数列，a1＝16，2a3+3a2＝32．(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)设b n＝3log2a n，求数列{b n}的前n项和S n，并求S n的最大值．【答案】（1）设{a n}的公比为q，因为a1＝16，2a3+3a2＝32，所以2q2+3q−2＝（0）解得q＝−2（舍去）或q=12．因此{a n}的通项公式为a n=16×(12)n−1=25−n．（2）由(Ⅰ)得b n＝3(5−n)log22＝15−3n，当n≥2时，b n−b n−1＝−3，故{b n}是首项为b1＝12，公差为−3的单调递减等差数列．则S n=12n+12n(n−1)(−3)=−32(n2−9n)．又b5＝0，所以数列{b n}的前4项为正数，所以当n＝4或5时，S n取得最大值，且最大值为S4＝S5＝3(0)【考点】数列的求和【解析】(Ⅰ)直接利用已知条件求出数列的通项公式．(Ⅱ)直接利用数列的通项公式求出数列的和，进一步利用关系式求出最值．【解答】（1）设{a n}的公比为q，因为a1＝16，2a3+3a2＝32，所以2q2+3q−2＝（0）解得q＝−2（舍去）或q=12．因此{a n}的通项公式为a n=16×(12)n−1=25−n．（2）由(Ⅰ)得b n＝3(5−n)log22＝15−3n，当n≥2时，b n−b n−1＝−3，故{b n}是首项为b1＝12，公差为−3的单调递减等差数列．则S n=12n+12n(n−1)(−3)=−32(n2−9n)．又b5＝0，所以数列{b n}的前4项为正数，所以当n＝4或5时，S n取得最大值，且最大值为S4＝S5＝3(0)如图，在四棱锥P−ABCD中，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，E 为PD的中点，AD // BC，CD⊥AD，BC＝CD＝2，AD＝4．(Ⅰ)求证：CE // 平面PAB；(Ⅱ)求二面角E−AC−D的余弦值；(Ⅲ)直线AB上是否存在点Q，使得PQ // 平面ACE？若存在，求出AQAB的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）如图，取PA中点F，连结EF，BF．因为E为PD中点，AD＝4，所以EF // AD，EF=12AD=2．又因为BC // AD，BC＝2，所以EF // BC，EF＝BC，所以四边形EFBC为平行四边形．所以CE // BF．又因为CE平面PAB，BF⊂平面PAB，所以CE // 平面PAB．（2）取AD中点O，连结OP，OB．因为△PAD为等边三角形，所以PO⊥OD．又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PO⊥平面ABCD．因为OD // BC，OD＝BC＝2，所以四边形BCDO为平行四边形．因为CD ⊥AD ，所以OB ⊥OD ． 如图建立空间直角坐标系O −xyz ，则A(0,−2,0),B(2,0,0),C(2,2,0),E(0,1,√3),P(0,0,2√3)． 所以AC →=(2,4,0),AE →=(0,3,√3)． 设平面ACE 的一个法向量为n 1→=(x, y, z)，则{n 1→⋅AC →=0,n 1→⋅AE →=0, 即{2x +4y =0,3y +√3z =0. 令x ＝−2，则n 1→=(−2,1,−√3)．显然，平面ACD 的一个法向量为n 2→=(0, 0, 1)， 所以cos <n 1→,n 2→>=n 1→⋅n 2→|n 1→||n 2→|=√322=−√64． 由题知，二面角E −AC −D 为锐角， 所以二面角E −AC −D 的余弦值为√64．(Ⅲ)直线AB 上存在点Q ，使得PQ // 平面ACE ．理由如下： 设AQ →=λAB →．因为AB →=(2,2,0)，PA →=(0,−2,−2√3)，所以AQ →=λAB →=(2λ,2λ,0)，PQ →=PA →+AQ →=(2λ,2λ−2,−2√3)．因为PQ 平面ACE ，所以PQ // 平面ACE 当且仅当PQ →⋅n 1→=0． 即(2λ,2λ−2,−2√3)⋅(−2,1,−√3)=0，解得λ＝（2） 所以直线AB 上存在点Q ，使得PQ // 平面ACE ，此时AQAB =2．【考点】直线与平面平行二面角的平面角及求法 【解析】(Ⅰ)取PA 中点F ，连结EF ，BF ．推出EF // AD ，证明CE // BF ．利用直线与平面平行的判断定理证明CE // 平面PAB ．(Ⅱ)取AD 中点O ，连结OP ，OB ．说明PO ⊥OD ．推出PO ⊥平面ABCD ．得到OB ⊥OD ．建立空间直角坐标系O −xyz ，求出平面ACE 的一个法向量，平面ACD 的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角E −AC −D 的余弦值．(Ⅲ)直线AB 上存在点Q ，使得PQ // 平面ACE ．设AQ →=λAB →．通过PQ // 平面ACE 当且仅当PQ →⋅n 1=0．转化求解即可． 【解答】（1）如图，取PA 中点F ，连结EF ，BF ．因为E 为PD 中点，AD ＝4， 所以EF // AD ，EF =12AD =2．又因为BC // AD ，BC ＝2， 所以EF // BC ，EF ＝BC ，所以四边形EFBC 为平行四边形． 所以CE // BF ．又因为CE 平面PAB ，BF ⊂平面PAB ， 所以CE // 平面PAB ．（2）取AD 中点O ，连结OP ，OB ．因为△PAD 为等边三角形，所以PO ⊥OD ． 又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ， 所以PO ⊥平面ABCD ．因为OD // BC ，OD ＝BC ＝2， 所以四边形BCDO 为平行四边形． 因为CD ⊥AD ，所以OB ⊥OD ． 如图建立空间直角坐标系O −xyz ，则A(0,−2,0),B(2,0,0),C(2,2,0),E(0,1,√3),P(0,0,2√3)． 所以AC →=(2,4,0),AE →=(0,3,√3)． 设平面ACE 的一个法向量为n 1→=(x, y, z)，则{n 1→⋅AC →=0,n 1→⋅AE →=0, 即{2x +4y =0,3y +√3z =0. 令x ＝−2，则n 1→=(−2,1,−√3)．显然，平面ACD 的一个法向量为n 2→=(0, 0, 1)， 所以cos <n 1→,n 2→>=n 1→⋅n 2→|n 1→||n 2→|=√32√2=−√64． 由题知，二面角E −AC −D 为锐角， 所以二面角E −AC −D 的余弦值为√64．(Ⅲ)直线AB 上存在点Q ，使得PQ // 平面ACE ．理由如下： 设AQ →=λAB →．因为AB →=(2,2,0)，PA →=(0,−2,−2√3)，所以AQ →=λAB →=(2λ,2λ,0)，PQ →=PA →+AQ →=(2λ,2λ−2,−2√3)．因为PQ 平面ACE ，所以PQ // 平面ACE 当且仅当PQ →⋅n 1→=0． 即(2λ,2λ−2,−2√3)⋅(−2,1,−√3)=0，解得λ＝（2） 所以直线AB 上存在点Q ，使得PQ // 平面ACE ，此时AQAB =2．已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过两点P(1,√22)，Q(−√2,0)． (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)过椭圆的右焦点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且直线l 与以线段FP 为直径的圆交于另一点E （异于点F ），求|AB|⋅|FE|的最大值． 【答案】 （1）因为椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)过点P(1,√22)，Q(−√2,0)，所以{a =√2,1a2+12b2=1,得{a =√2,b =1, 故椭圆C 的标准方程为x 22+y 2=1，（2）由题易知直线l 的斜率不为0，设l:x ＝ty +1， 由{x =ty +1,x 22+y 2=1, 得(t 2+2)y 2+2ty −1＝0，显然△>(0) 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 则y 1+y 2=−2t t +2,y 1y 2=−1t +2． 又|AB|=√1+t 2|y 1−y 2|．以FP 为直径的圆的圆心坐标为(1,√24)，半径为r =√24，故圆心到直线l 的距离为d =|1−√24t−1|√1+t 2=|√24t|√1+t 2．所以|FE|=2√r 2−d 2=2√18−18⋅t 2t 2+1=√22√1t 2+1． 所以|AB|⋅|FE|=√22|y 1−y 2|=√22√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√22√4t 2(t 2+2)2+4t 2+2=√22√8t 2+8(t 2+2)2=2√t 2+1(t 2+2)2=2√1(t 2+1)+1t 2+1+2，因为t 2+1≥1，所以(t 2+1)+1t 2+1≥2，即1(t 2+1)+1t 2+1+2≤14．所以|AB|⋅|FE|≤2√14=1．当t ＝0时，直线与椭圆有交点，满足题意，且|AB|⋅|FE|＝1， 所以|AB|⋅|FE|的最大值为（1） 【考点】 椭圆的应用直线与椭圆的位置关系 【解析】(Ⅰ)将两点的坐标代入求出a ，b 的值即可；(Ⅱ)设直线方程为x ＝ty +1，与椭圆方程联立，利用根与系数关系表示出|AB|，根据条件可以求出以FP 为直径的圆的圆心坐标为(1,√24)，半径为r =√24，故圆心到直线l 的距离为d =|1−√24t−1|√1+t2=|√24t|√1+t 2．进而表示出|EF|，因为|AB|⋅|FE|=√22|y 1−y 2|，结合基本不等式即可求出范围．【解答】 （1）因为椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点P(1,√22)，Q(−√2,0)， 所以{a =√2,1a+12b=1, 得{a =√2,b =1, 故椭圆C 的标准方程为x 22+y 2=1，（2）由题易知直线l 的斜率不为0，设l:x ＝ty +1， 由{x =ty +1,x 22+y 2=1, 得(t 2+2)y 2+2ty −1＝0，显然△>(0) 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 则y 1+y 2=−2t t 2+2,y 1y 2=−1t 2+2． 又|AB|=√1+t 2|y 1−y 2|．以FP 为直径的圆的圆心坐标为(1,√24)，半径为r =√24，故圆心到直线l 的距离为d =|1−√24t−1|2=|√24t|2．所以|FE|=2√r 2−d 2=2√18−18⋅t 2t +1=√22√1t +1． 所以|AB|⋅|FE|=√22|y 1−y 2|=√22√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√22√4t 2(t 2+2)2+4t 2+2=√22√8t 2+8(t 2+2)2=2√t 2+1(t 2+2)2=2√1(t 2+1)+1t 2+1+2，因为t 2+1≥1，所以(t 2+1)+1t 2+1≥2，即1(t 2+1)+1t 2+1+2≤14．所以|AB|⋅|FE|≤2√14=1．当t＝0时，直线与椭圆有交点，满足题意，且|AB|⋅|FE|＝1，所以|AB|⋅|FE|的最大值为（1）已知函数f(x)=lnxx+a(a>0)．(Ⅰ)求曲线y＝f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程；(Ⅱ)当a＝1时，证明：f(x)≤x−12；(Ⅲ)判断f(x)在定义域内是否为单调函数，并说明理由．【答案】函数f(x)的定义域为(0, +∞)，f′(x)=−lnx+ax+1(x+a)2．（1）因为f(1)＝0，f′(1)=1a+1，所以曲线y＝f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程为y−0=1a+1(x−1)，即x−(a+1)y−1＝0；（2）证明：当a＝1时，f(x)=lnxx+1．欲证f(x)≤x−12，即证lnxx+1≤x−12，即证2lnx−x2+1≤(0)令ℎ(x)＝2lnx−x2+1，则ℎ(x)=2x −2x=−2(x−1)(x+1)x．当x变化时，ℎ′(x)，ℎ(x)变化情况如下表：所以函数ℎ(x)的最大值为ℎ(1)＝0，故ℎ(x)≤(0)所以f(x)≤x−12；(Ⅲ)函数f(x)在定义域内不是单调函数．理由如下：令g(x)=−lnx+ax+1，因为g′(x)=−1x −ax2=−x+ax2<0，所以g(x)在(0, +∞)上单调递减．注意到g(1)＝a+1>(0)且g(e a+1)=−lne a+1+ae a+1+1=a(1e a+1−1)<0．所以存在m∈(1, e a+1)，使得g(m)＝（0）当x∈(0, m)时，g(x)>0，从而f′(x)>0，所以函数f(x)在(0, m)上单调递增；当x∈(m, +∞)时，g(x)<0，从而f′(x)<0，所以函数f(x)在(m, +∞)上单调递减．故函数f(x)在定义域内不是单调函数．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，计算f(1)，f′(1)的值，求出切线方程即可；(Ⅱ)代入a的值，问题转化为证明2lnx−x2+1≤(0)令ℎ(x)＝2lnx−x2+1，根据函数的单调性证明即可；(Ⅲ)令g(x)=−lnx+ax+1，求出函数的导数，判断函数是否单调即可．【解答】函数f(x)的定义域为(0, +∞)，f′(x)=−lnx+ax+1(x+a)2．（1）因为f(1)＝0，f′(1)=1a+1，所以曲线y＝f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程为y−0=1a+1(x−1)，即x−(a+1)y−1＝0；（2）证明：当a＝1时，f(x)=lnxx+1．欲证f(x)≤x−12，即证lnxx+1≤x−12，即证2lnx−x2+1≤(0)令ℎ(x)＝2lnx−x2+1，则ℎ(x)=2x −2x=−2(x−1)(x+1)x．当x变化时，ℎ′(x)，ℎ(x)变化情况如下表：所以函数ℎ(x)的最大值为ℎ(1)＝0，故ℎ(x)≤(0)所以f(x)≤x−12；(Ⅲ)函数f(x)在定义域内不是单调函数．理由如下：令g(x)=−lnx+ax+1，因为g′(x)=−1x −ax2=−x+ax2<0，所以g(x)在(0, +∞)上单调递减．注意到g(1)＝a+1>(0)且g(e a+1)=−lne a+1+ae a+1+1=a(1e a+1−1)<0．所以存在m ∈(1, e a+1)，使得g(m)＝（0）当x ∈(0, m)时，g(x)>0，从而f ′(x)>0，所以函数f(x)在(0, m)上单调递增；当x ∈(m, +∞)时，g(x)<0，从而f ′(x)<0，所以函数f(x)在(m, +∞)上单调递减． 故函数f(x)在定义域内不是单调函数．已知无穷数列{a n }，{b n }，{c n }满足：∀n ∈N ∗，a n+1＝|b n |−|c n |，b n+1＝|c n |−|a n |，c n+1＝|a n |−|b n |．记d n ＝max{|a n |, |b n |, |c n |}（max{x, y, z}表示3个实数x ，y ，z 中的最大值）．(Ⅰ)若a 1＝1，b 2＝2，c 3＝3，求b 1，c 1的可能值； (Ⅱ)若a 1＝1，b 1＝2，求满足d 2＝d 3的c 1的所有值；(Ⅲ)设a 1，b 1，c 1是非零整数，且|a 1|，|b 1|，|c 1|互不相等，证明：存在正整数k ，使得数列{a n }，{b n }，{c n }中有且只有一个数列自第k 项起各项均为0． 【答案】（1）由b 2＝|c 1|−|a 1|，得|c 1|−1＝2，所以c 1＝±3； 由c 3＝|a 2|−|b 2|，得|a 2|−2＝3，所以a 2＝±5，又a 2＝|b 1|−|c 1|＝|b 1|−3≥−3，故a 2＝5，|b 1|＝8，b 1＝±(8)所以b 1，c 1的所有可能值为b 1＝8，c 1＝3；b 1＝8，c 1＝−3；b 1＝−8，c 1＝3；b 1＝−8，c 1＝−(3)（2）若a 1＝1，b 1＝2，记c 1＝x ，则a 2＝2−|x|，b 2＝|x|−1，c 2＝−1，d 2={2−|x|,0≤|x|<1,1,1≤|x|<2,|x|−1,|x|≥2, a 3＝||x|−1|−1，b 3＝1−|2−|x||，c 3＝|2−|x||−||x|−1|，当0≤|x|<1时，a 3＝−|x|，b 3＝|x|−1，c 3＝1，d 3＝1，由d 3＝d 2，得|x|＝1，不符合；当1≤|x|<2时，a 3＝|x|−2，b 3＝|x|−1，c 3＝3−2|x|，d 3={2−|x|,1≤|x|<1.5,|x|−1,1.5≤|x|<2, 由d 3＝d 2，得|x|＝1，符合；当|x|≥2时，a 3＝|x|−2，b 3＝3−|x|，c 3＝−1，d 3={1,2≤|x|<3,|x|−2,|x|≥3,由d 3＝d 2，得|x|＝2，符合；综上，c 1的所有取值是−2，−1，1，（2）(Ⅲ)先证明“存在正整数k ≥3，使a k ，b k ，c k 中至少有一个为0”． 假设对任意正整数k ≥3，a k ，b k ，c k 都不为0，由a 1，b 1，c 1是非零整数，且|a 1|，|b 1|，|c 1|互不相等，得d 1∈N ∗，d 2∈N ∗． 若对任意k ≥3，a k ，b k ，c k 都不为0，则d k ∈N ∗， 即对任意k ≥1，d k ∈N ∗．当k ≥1时，|a k+1|＝||b k |−|c k ||<max{|b k |, |c k |}≤d k ，|b k+1|＝||c k |−|a k ||<d k ，|c k+1|＝||a k |−|b k ||<d k ，所以，d k+1＝max{|a k+1|, |b k+1|, |c k+1|}<d k ． 所以，{d k }严格单调递减， 由d 2为有限正整数，所以，必存在正整数m ≥3，使得d m ≤0，矛盾．所以，存在正整数k ≥3，使a k ，b k ，c k 中至少有一个为（0） 不妨设a k ＝0，且a 1≠0，a 2≠0，…，a k−1≠0， 则|b k−1|＝|c k−1|，且|b k−1|＝|c k−1|≠|a k−1|，否则，若|b k−1|＝|c k−1|＝|a k−1|，因为a k−1+b k−1+c k−1＝0，则必有a k−1＝b k−1＝c k−1＝0，矛盾． 于是，b k ＝|c k−1|−|a k−1|≠0，c k ＝|a k−1|−|b k−1|≠0，且b k ＝−c k ， 所以，a k+1＝0，b k+1＝|c k |，c k+1＝−|b k |＝−|c k |，依次递推，即有：对∀n ≥k ，a n ＝0，b n+1＝|c k |，c n+1＝−|c k |，且|c k |≠0， 此时有且仅有一个数列{a n }自第k 项起各项均为（0） 综上，结论成立． 【考点】 数列的应用 【解析】（I ）由b 2＝|c 1|−|a 1|，c 3＝|a 2|−|b 2|，a 2＝|b 1|−|c 1|得出即可；(II)求出分段函数d 2，d 3，再分类讨论，求出c 1的所有值；(III)先证明存在正整数k ≥3，使a k ，b k ，c k 中至少有一个为0，再得出对∀n ≥k ，a n ＝0，b n+1＝|c k |，c n+1＝−|c k |，且|c k |≠0，所以有且仅有一个数列{a n }自第k 项起各项均为（0） 【解答】（1）由b 2＝|c 1|−|a 1|，得|c 1|−1＝2，所以c 1＝±3； 由c 3＝|a 2|−|b 2|，得|a 2|−2＝3，所以a 2＝±5，又a 2＝|b 1|−|c 1|＝|b 1|−3≥−3，故a 2＝5，|b 1|＝8，b 1＝±(8)所以b 1，c 1的所有可能值为b 1＝8，c 1＝3；b 1＝8，c 1＝−3；b 1＝−8，c 1＝3；b 1＝−8，c 1＝−(3)（2）若a 1＝1，b 1＝2，记c 1＝x ，则a 2＝2−|x|，b 2＝|x|−1，c 2＝−1，d 2={2−|x|,0≤|x|<1,1,1≤|x|<2,|x|−1,|x|≥2, a 3＝||x|−1|−1，b 3＝1−|2−|x||，c 3＝|2−|x||−||x|−1|，当0≤|x|<1时，a 3＝−|x|，b 3＝|x|−1，c 3＝1，d 3＝1，由d 3＝d 2，得|x|＝1，不符合；当1≤|x|<2时，a 3＝|x|−2，b 3＝|x|−1，c 3＝3−2|x|，d 3={2−|x|,1≤|x|<1.5,|x|−1,1.5≤|x|<2, 由d 3＝d 2，得|x|＝1，符合；当|x|≥2时，a 3＝|x|−2，b 3＝3−|x|，c 3＝−1，d 3={1,2≤|x|<3,|x|−2,|x|≥3,由d 3＝d 2，得|x|＝2，符合；综上，c 1的所有取值是−2，−1，1，（2）(Ⅲ)先证明“存在正整数k ≥3，使a k ，b k ，c k 中至少有一个为0”． 假设对任意正整数k ≥3，a k ，b k ，c k 都不为0，由a 1，b 1，c 1是非零整数，且|a 1|，|b 1|，|c 1|互不相等，得d 1∈N ∗，d 2∈N ∗． 若对任意k ≥3，a k ，b k ，c k 都不为0，则d k ∈N ∗， 即对任意k ≥1，d k ∈N ∗．当k ≥1时，|a k+1|＝||b k |−|c k ||<max{|b k |, |c k |}≤d k ，|b k+1|＝||c k |−|a k ||<d k ，|c k+1|＝||a k |−|b k ||<d k ，所以，d k+1＝max{|a k+1|, |b k+1|, |c k+1|}<d k ． 所以，{d k }严格单调递减， 由d 2为有限正整数，所以，必存在正整数m ≥3，使得d m ≤0，矛盾．所以，存在正整数k≥3，使a k，b k，c k中至少有一个为（0）不妨设a k＝0，且a1≠0，a2≠0，…，a k−1≠0，则|b k−1|＝|c k−1|，且|b k−1|＝|c k−1|≠|a k−1|，否则，若|b k−1|＝|c k−1|＝|a k−1|，因为a k−1+b k−1+c k−1＝0，则必有a k−1＝b k−1＝c k−1＝0，矛盾．于是，b k＝|c k−1|−|a k−1|≠0，c k＝|a k−1|−|b k−1|≠0，且b k＝−c k，所以，a k+1＝0，b k+1＝|c k|，c k+1＝−|b k|＝−|c k|，依次递推，即有：对∀n≥k，a n＝0，b n+1＝|c k|，c n+1＝−|c k|，且|c k|≠0，此时有且仅有一个数列{a n}自第k项起各项均为（0）综上，结论成立．。
北京市朝阳区2024-2025学年高三上学期期中检测数学试卷含答案
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性以及单调性，结合基本初等函数的性质，即可逐一判断.
【详解】对于 A，函数 y 2x 为指数函数，不具备奇偶性，故 A 错误；
对于 B，函数 y ln | x | 的定义域为{x | x 0}，
由于 f (x) ln | x | ln | x | f (x) 为偶函数，故 B 错误；
所以 A B x 1 x 2 .
故选：A.
2. 若函数 f (x) x 4 (x 0) 在 x a 处取得最小值，则 a （ ） x
A. 1
B. 2
C. 2
D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】因为 x 0 ，所以用基本不等式求得最小值，并找到最小值点为 x 2 ，得出结果 a 2 . 【详解】∵ x 0 ，∴ 4 0 ，
对于 C，函数 y tan x ，由正切函数的性质可知 y tan x 为奇函数，
且在
π 2
kπ,
π 2
kπ
,
k
Z
单调递增，故
C
错误；
对于 D，函数 y x 2 的定义域为{x | x 0}， x
由
f
(x)
x
2 x
x
2 x
(x
2) x
f
(x)
，故函数
y
x
2 x
为奇函数，
因为
f (x) 1
然后得出 u 的值.
【详解】如图，棱 OA ， OB ， OC 两两垂直， 可以 O 为坐标原点， AO 为 x 轴， OB 为 y 轴， OC 为 z 轴，建立空间直角坐标系.
b2 c2 1
设 P a,b, c ，由题意可得： a2 c2 4 ，∴ a2 b2 c2 9 ，
2020届北京市朝阳区高三年级上学期抽样检测数学试题(解析版)
绝密★启用前北京市朝阳区2020届高三上学期教学质量抽样检测数学试题(解析版)第一部分（选择题共40分）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1.已知集合={x R|3x+2>0}A ∈，B={x R|(x+1)(x-3)>0}∈，则A B ⋂=（ ）A. (,1)-∞-B. 2(1,)3--C. 2(,3)3-D.(3,)+∞【答案】D【解析】试题分析：，或,所以,故选D. 考点：集合的运算【此处有视频,请去附件查看】2.已知等比数列{}n a ,满足23210log log 1a a +=,且3681116a a a a =,则数列{}n a 的公比为（）A. 4B. 2C. 2±D. 4± 【答案】B【解析】【分析】利用对数运算公式和对数定义可由23210log log 1a a +=得到3102a a =,由等比数列的下标性质和等比数列各项正负性的性质,可由3681116a a a a =得到3114a a =,最后可以求出等比数列的公比.详解】等比数列{}n a 中,232102310310log log 1log 1()2a a a a a a +=⇒=⇒=①,36821131116)16(a a a a a a =⇒=,由等比数列各项正负性的性质可知：311,a a 同号,故3114a a =②,②除以①,得：等比数列的公比3113102a a a a q ==,故本题选B. 【点睛】本题考查了对数的运算性质及对数的定义,考查了等比数列的下标性质,考查了求等比数列的公比,考查了数学运算能力.3.已知命题:p n N ∀∈,2n >则p ⌝是A. n ∀∈N ,2n ≤B. n ∀∈N ,2n <C. n N ∃∈,2n ≤D. n N ∃∈,2n >【答案】C【解析】 p ⌝为：n N ∃∈,2n ≤选C .4.已知函数84()()2x x a f x a ⨯-=∈R 是奇函数,()ln(e 1)()x g x bx b =+-∈R 是偶函数,则log b a =（）A. 3-B. 13-C. 13D. 3【答案】A【解析】【分析】利用奇函数的性质(0)0f =,可以求出a 的值,由偶函数的性质()()g x g x =-,可以求出b 的值,利用对数的运算公式,可以求出log b a 的值. 【详解】因为函数84()()2x x a f x a ⨯-=∈R 奇函数,所以(0)0f =,即808a a -=⇒=,因为()ln(e 1)()xg x bx b =+-∈R 是偶函数,所以()()g x g x =-,。
2020-2021学年北京市朝阳区高三(上)期中数学试卷
2020-2021学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（4分）已知集合2{|20}A x x x =--，{1B =-，0，1，2，3}，则(A B = )A ．{1-，0，1}B ．{1-，0，1，2}C ．{0，1，2}D ．{0，1，2，3}2．（4分）已知3(0,),sin()225x xππ∈-=，则sin 2(x = )A ．1225B ．2425C ．1225-D ．2425-3．（4分）已知132a -=，21log 3b =，121log 3c =，则( ) A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>4．（4分）如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点．若AB a =，AD b =，则(AC = )A ．32a b -B ．2a b -C ．2a b -+D ．1122a b +5．（4分）“lna lnb >”是“33a b >”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．（4分）已知函数31()cos (0)2f x x x ωωω=->的图象与直线1y =的相邻两个交点间的距离等于π，则()f x 的图象的一条对称轴是( ) A ．12x π=-B ．12x π=C ．3x π=-D ．3x π=7．（4分）在ABC ∆中，4AB =，3AC =，且||||AB AC AB AC +=-，则(BC CA = ) A ．12-B ．9-C ．9D ．128．（4分）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且当(x ∈-∞，0]时，1()23x f x =+，则23(log)(2f=)A．13B．1C．76D．1169．（4分）已知函数22|1|,7(),x x ef xlnx e x e--⎧+-<=⎨⎩若存在实数m，使得2()24f m a a=-成立，则实数a的取值范围是()A．[1-，)+∞B．(-∞，1][3-，)+∞C．[1-，3]D．(-∞，3]10．（4分）已知奇函数()f x的定义域为(,)22ππ-，且()f x'是()f x的导函数．若对任意(,0)2xπ∈-，都有()cos()sin0f x x f x x'+<，则满足()2cos()3f fπθθ<的θ的取值范围是( )A．(,)23ππ-B．(,)(,)2332ππππ--C．(,)33ππ-D．(,)32ππ二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2019-2020学年北京市朝阳区高三(上)期中数学试卷1 (含答案解析)
2019-2020学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷1一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={x|4−x>0}，B={x|x>1}，则A∩B=()A. φB. (1,4)C. (1,+∞)D. (4,+∞)2.已知函数f(x)=sinx−x，则下列错误的是()A. f(x)为奇函数B. f(x)在R上单调递减C. f(x)在R上无极值点D. f(x)在R上有三个零点3.已知向量a⃗=(2,−1)，a⃗+b⃗ =(5,k)，且a⃗⊥b⃗ ，则k=()A. 5B. −5C. 52D. −524.执行如图所示的程序图，输出的S值为()A. −1B. 12C. 1D. 25.已知向量a⃗=(−2,m)，b⃗ =(1,m2)，m∈R，则“a⃗⊥b⃗ ”是“m=2”的()A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件6.设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则能推出m⊥β的是()A. α⊥β，α∩β=l，m⊥lB. α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γC. α⊥γ，β⊥γ，m⊥αD. n⊥α，n⊥β，m⊥α7.某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为()A. 4B. 8C. 43D. 838.已知函数y=f(x)的周期为2，当x∈[0,2]时，f(x)=(x−1)2,如果g(x)=f(x)−log5|x+1|，则函数g(x)的所有零点之和为()A. −10B. −8C. 0D. 8二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.已知sinα=35，且α∈(π2,π)，则cosα=______ ．10.已知等差数列{a n}的公差为3，且a2=−2，则a6=______．11.已知{2x+3y≤6x−y≥0y≥0则z=3x+y的最大值为______ ．12.一天晚上，甲、乙、丙、丁四人要过一座吊桥，这座吊桥只能承受两个人的重量，且过桥需要手电筒照明，其中甲过桥要1min，乙过桥要2min，丙过桥要5min，丁过桥要8min，而且只有一个手电筒，所以过去的人要把手电筒再送过去，则最快过桥需要____________min．13.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin(π6x+φ)+k的图象，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为__________．14.已知函数f(x)={3|x−1|x>0−x2−2x+1x≤0，若关于x的方程f2(x)+(a−1)f(x)=a有7个不等的实数根，则实数a的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知函数f(x)=2√3sinωxcosωx−2sin2ωx(其中ω>0)图象的两条相邻对称轴之间的距离为π2．(1)求ω的值及f(x)的单调减区间；(2)若f(x0)=15,x0∈[−π12,π4]，求f(x0+π6)的值．16.等比数列{a n}的各项均为正数，且a2=2,a4=12．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)设b n=log2a n，求数列{b n}的前n项和T n．17.如图，在四棱锥P−ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，AD=2AB=2PA=2，E为PD的上一点，且PE=2ED．(Ⅰ)若F为PE的中点，求证：BF//平面AEC；(Ⅱ)求三棱锥P−AEC的体积．18.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin(A+B)a+b =sinA−sinBa−c，b=3．(Ⅰ)求角B；(Ⅱ)若cosA=√63，求△ABC的面积．19.设f(x)=e x(ax2+x+1)，且曲线y=f(x)在x=1处的切线与x轴平行．(Ⅰ)求a的值，并求f(x)的极值；(Ⅱ)k(k∈R)如何取值时，函数y=f(x)+kx2e x存在零点，并求出零点．20.已知二次函数ℎ(x)=ax2+bx+2，其导函数y=ℎ′(x)的图象如图，f(x)=6lnx+ℎ(x)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数f(x)在区间(1,m+12)上是单调函数，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵A={x|x<4}；∴A∩B={x|1<x<4}=(1,4)．故选：B．可解出集合A，然后进行交集的运算即可．考查描述法的定义，以及交集的运算．2.答案：D解析：解：∵f(x)=sinx−x，∴f(−x)=sin(−x)+x=−sinx+x=−(sinx−x)，故f(x)为奇函数，即A正确；又∵f′(x)=cosx−1≤0恒成立，故f(x)在R上单调递减，即B正确；故f(x)在R上无极值点，即C正确；故f(x)在R上有且只有一个零点，即D错误；故选：D由已知中函数的解析式，分析出函数的奇偶性，单调性，是否存在极值及零点个数，可得答案．本题考查的知识点是函数的奇偶性，单调性，是否存在极值及零点个数，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题．3.答案：A解析：解：b⃗ =a⃗+b⃗ −a⃗=(3,k+1)；∵a⃗⊥b⃗ ；∴a⃗⋅b⃗ =2⋅3+(−1)⋅(k+1)=0；解得k=5．故选：A．根据a⃗,a⃗+b⃗ 的坐标即可求出b⃗ =(3,k+1)，而由a⃗⊥b⃗ 即可得出a⃗⋅b⃗ =0，这样进行数量积的坐标运算即可求出k的值．考查向量坐标的减法和数量积运算，向量垂直的充要条件．4.答案：A解析：【分析】本题考查的知识要点：程序框图的应用，属于基础题．直接利用程序框图得循环结构求出结果．【解答】解：在执行循环前：k=1，S=2，在执行第一次循环时：由于k<9，，所以：k=2，S=12在执行第二次循环时，k=3，S=−1，在执行第三次循环时，k=4，S=2，，在执行第四次循环时，k=5，S=12在执行第五次循环时，k=6，S=−1，在执行第六次循环时，k=7，S=2，在执行第七次循环时，k=8，S=1，2当k=9时，S=−1，不满足k<9，直接输出S=−1．故选：A．5.答案：B解析：【分析】本题考查了向量的坐标运算，考查充分必要条件的定义，是基础题．由向量垂直的坐标表示求得m值，再根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】)，m∈R，a⃗⊥b⃗ ，解：∵向量a⃗=(−2,m)，b⃗ =(1,m2=0，解得m=±2．∴a⃗⋅b⃗ =0，即−2+m22∴“a⃗⊥b⃗ ”是“m=2”的必要不充分条件．故选：B．6.答案：D解析：【分析】本题主要考查空间线面关系、面面关系等知识，考查空间想象能力、推理论证能力，属于基础题．逐一进行判断即可．【解答】解：对于A，α⊥β，α∩β=l，m⊥l，根据面面垂直的性质定理可知，缺少条件m⊂α，故不正确；对于B，α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；对于C，α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；对于D，n⊥α，n⊥β⇒α//β，而m⊥α，则m⊥β，故正确．故选D．7.答案：C解析：【分析】本题主要考查了棱锥的体积，空间几何体的三视图，属于基础题．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个三棱锥，如图所示，则体积为13×12×22×2=43．故选C．8.答案：B解析：【分析】本题考查了函数的周期性和函数零点与方程根的关系，根据函数f(x)的周期性可画出函数f(x)的图象，在同一坐标系中再画出函数y=log5|x+1|的图象，根据两函数图象的交点情况可以判断出零点的个数．【解答】解：由题意可得g(x)=f(x)−log 5|x +1|，根据周期性画出函数f(x)=(x −1)2的图象以及y =log 5|x +1|的图象，根据y =log 5|x +1|在(−1,+∞)上单调递增函数，当x =6时，log 5|x +1|=1，∴当x >6时，y =log 5|x +1|>1，此时与函数，y =f(x)无交点．再根据y =log 5|x +1|的图象和f(x)的图象都关于直线x =−1对称，结合图象可知有8个交点，则函数g(x)=f(x)−log 5|x +1|的零点个数为− 8，故选B ．9.答案：−45 解析：解：∵sinα=35，且α∈(π2,π)，∴cosα=−√1−sin 2α=−45． 故答案为：−45．本题考查同角三角函数基本关系的运用，利用同角三角函数的平方关系，即可得出结论． 10.答案：10解析：解：在等差数列{a n }中，∵公差为3，且a 2=−2，∴a 1+d =−2，即a 1=−5．则a 6=a 1+5d =−5+5×3=10．故答案为：10．由已知条件求解得到a 1的值，然后利用等差数列的通项公式化简代值即可得答案．本题考查了等差数列的通项公式，是基础题．11.答案：9解析：解：作出不等式组{2x +3y ≤6x −y ≥0y ≥0表示的平面区域得到如图的△AB0及其内部，其中A(3,0)，B(65,65)，O(0,0)设z =F(x,y)=3x +y ，将直线l ：z =3x +y 进行平移，当l 经过点A 时，目标函数z 达到最大值∴z 最大值=F(3,0)=3×3+0=9故答案为：9作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABO及其内部，再将目标函数z=3x+y对应的直线进行平移，可得当x=3，y=0时，z=3x+y取得最大值为9．本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=3x+y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．12.答案：15解析：【分析】此题主要考查了应用类问题，结合实际发现用时最少的两人先过桥往返送灯会节省时间是解题关键，关键是此题的条件中必须有一人来回送手电筒，回来的时间越短，则总时间就越短．【解答】解：根据要求出四个人过桥最少时间，即可得出应首先让用时最少的两人先过桥，让他们往返送灯会节省时间，故：(1)1分钟的甲和2分钟的乙先过桥(此时耗时2分钟)．(2)1分钟的甲回来，(此时共耗时2+1=3分钟)．(3)5分钟的丙和8分钟的丁过桥(共耗时2+1+8=11分钟)．(4)2分钟的乙回来(共耗时2+1+8+2=13分钟)．(5)1分钟的甲和2分钟的乙过桥(共耗时2+1+8+2+2=15分钟).此时全部过桥，共耗时15分钟．故答案为15．13.答案：8解析：【分析】本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数的最值，属基础题．由题意和最小值易得k的值，进而可得最大值．【解答】x+φ)取最小值−1时，解：由题意可得当sin(π6函数取最小值y min=−3+k=2，解得k=5，x+φ)+5，∴y=3sin(π6x+φ)取最大值3时，∴当3sin(π6函数取最大值y max=3+5=8，故答案为8．14.答案：(−2,−1)解析：解：函数f(x)={3|x−1|x >0−x 2−2x +1x ≤0，的图象如图： 关于x 的方程f 2(x)+(a −1)f(x)=a ，即f(x)=−a 或f(x)=1f(x)=1时有3个不等的实数根，f(x)=−a 时，有4个不等的实数根，由函数f(x)图象，可得−a ∈(1,2)，∴a ∈(−2,−1)．故答案为(−2,−1)．画出函数的图象，f(x)=1时有3个不等的实数根，f(x)=−a 时，有4个不等的实数根，利用函数的图象，求解a 的范围．本题考查函数与方程的应用，函数的零点个数的判断与应用，考查数形结合以及计算能力． 15.答案：解：(1)函数f(x)=2√3sinωxcosωx −2sin 2ωx ， =√3sin2ωx −(1−cos2ωx)， =2sin(2ωx +π6)−1，(ω>0)由于函数的图象的两条相邻对称轴之间的距离为π2．故，解得ω=1，所以f(x)=2sin(2x +π6)−1．令π2+2kπ≤2x +π6≤2kπ+3π2(k ∈Z)， 解得：π6+kπ≤x ≤kπ+2π3，(k ∈Z)， 所以f(x)的单调减区间为[π6+kπ,kπ+2π3](k ∈Z)．(2)由于f(x 0)=15,x 0∈[−π12,π4]， 所以：f(x 0)=2sin(2x 0+π6)−1=15，解得：sin(2x 0+π6)=35，由于x 0∈[−π12,π4]，所以：2x 0+π6∈[0,2π3]， 则：cos(2x 0+π6)=45，则：cos2x 0=cos[(2x 0+π6)−π6]=cos(2x 0+π6)cos π6+sin(2x 0+π6)sin π6 =4√3+310 所以f(x 0+π6)=2sin(2x 0+π2)−1=2cos2x 0−1=4√3−25．解析：本题考查的知识要点：两角和与差的三角函数公式，二倍角公式，函数y =Asin(ωx +φ)性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于中档题．(1)首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，根据周期求得ω，得到函数解析式，进一步求出函数的单调区间．(2)利用(1)的函数解析式将f(x 0)=15化简整理，根据cos2x 0=cos[(2x 0+π6)−π6]展开求值，最后代入f(x 0+π6)即可求出结果．16.答案：解：(Ⅰ)设数列a n 的公比为q ，则{a 2=a 1q =2a 4=a 1q 3=12 解得q =12,a 1=4(负值舍去)．所以a n =a 1q n−1=4⋅(12)n−1=2−n+3．(Ⅱ)因为a n =2−n+3，b n =log 2a n ，所以b n =log 22−n+3=−n +3，b n −b n−1=(−n +3)−[−(n −1)+3]=−1，因此数列{b n }是首项为2，公差为−1的等差数列，所以T n =n(2+3−n)2=−n 2+5n 2．解析：(Ⅰ)由a 2=2,a 4=12，利用等比数列的通项公式得{a 2=a 1q =2a 4=a 1q 3=12，解得q =12,a 1=4，由此能求出数列{a n }的通项公式．(Ⅱ)因为a n =2−n+3，b n =log 2a n ，所以b n =log 22−n+3=−n +3，由此能求出数列{b n }的前n 项和T n ．本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．17.答案：(Ⅰ)证明：连接BD 交AC 于O ，连接OE ，∵E 为PD 的上一点，且PE =2ED ，F 为PE 的中点∴E 为DF 中点，OE//BF又∵BF ⊄平面AEC ，∴BF//平面AEC(Ⅱ)解：∵侧棱PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂底面ABCD∴PA⊥CD，∵CD⊥AD，AD∩PA=A，∴CD⊥平面PAD，又AD=2AB=2PA=2，∴三棱锥P−AEC的体积为V P−AEC=V C−AEP=13CD⋅S△PAE=13CD⋅23S△PAD=29×1×12×1×2=29解析：本题考查线面平行，考查三棱锥的体积，解题的关键是掌握线面平行的判定，正确运用转换底面法求体积．(Ⅰ)利用三角形中位线的性质，OE//BF，再利用线面平行的判定定理，即可证得BF//平面AEC；(Ⅱ)证明CD⊥平面PAD，从而三棱锥P−AEC的体积转化为求三棱锥C−AEP的体积，即三棱锥C−PAD的体积的23．18.答案：解：(Ⅰ)因为A+B+C=π，所以A+B=π−C，所以sin(A+B)=sinC，由正弦定理得：ca+b =a−ba−c，整理得a2+c2−b2=ac，由余弦定理得：cosB=a2+c2−b22ac =ac2ac=12.又B∈(0,π)，所以B=π3．(Ⅱ)因为cosA=√63，且A∈(0,π)，所以sinA=√1−cos2A=√33，由正弦定理可得：√33=√32，解得a=2.又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=√33×12+√63×√32=√3+3√26.所以△ABC的面积S=12 absinC=12×2×3×√3+3√26=√3+3√22．解析：本题主要考查了诱导公式，正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．(Ⅰ)由三角形内角和定理和诱导公式，正弦定理化简已知等式得a2+c2−b2=ac，由余弦定理求出cos B的值，结合范围B∈(0,π)，可求B的值；(Ⅱ)利用同角三角函数基本关系式可求sin A，由正弦定理可得a的值，利用两角和的正弦函数公式可求sin C的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．19.答案：解：(Ⅰ)f′(x)=e x(ax2+x+1+2ax+1)…(2分)由已知条件知，f′(1)=0，故a+3+2a=0⇒a=−1…(3分)于是f′(x)=e x(−x2−x+2)=−e x(x+2)(x+1)…(4分)故当x∈(−∞,−2)∪(1,+∞)时，f′(x)<0；当x∈(−2,1)时，f′(x)>0．从而f(x)在x=−2处取得极小值−5e−2，在x=1处取得极大值e…(8分)(Ⅱ)由y=f(x)+kx2e x=e x[(k−1)x2+x+1]=0，得(k−1)x2+x+1=0(∗)…(10分)当k=1时，方程(∗)有一解x=−1，函数y=f(x)+kx2e x有一零点x=−1；…(11分)当k≠1时，方程(∗)有二解⇔△=−4k+5>0⇔k<54，函数y=f(x)+kx2e x有两个零点x=−1±√−4k+52(k−1)；方程(∗)有一解⇔△=0⇔k=54，函数y=f(x)+kx2e x有一个零点x=−2…(13分)综上，当k=1时，函数有一零点x=−1；当k=54时，函数有一零点x=−2；当k<54且k≠1时，函数y=f(x)+kx2e x有两个零点x=−1±√−4k+52(k−1)…(14分)解析：(Ⅰ)求导函数，利用曲线y=f(x)在x=1处的切线与x轴平行，即可求a的值，确定函数的单调性，可求f(x)的极值；(Ⅱ)由y=f(x)+kx2e x=e x[(k−1)x2+x+1]=0，得(k−1)x2+x+1=0，分类讨论，即可得出结论．本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．20.答案：解：(1)由已知，ℎ′(x)=2ax+b，其图象为直线，且过(0,−8)，(4,0)两点，把两点坐标代入ℎ′(x)=2ax+b，∴{2a=2b=−8，解得：{a=1b=−8，∴ℎ(x)=x2−8x+2，ℎ′(x)=2x−8，∴f(x)=6lnx+x2−8x+2，(2)f′(x)=6x +2x−8=2(x−1)(x−3)x，∵x>0，∴x，f′(x)，f(x)的变化如下：要使函数f(x)在区间(1,m+12)上是单调函数，则{m+12≤31<m+12，解得：12<m≤52．解析：本题考查了求函数的解析式问题，考查导数的应用，考查函数的单调性问题，是一道中档题．(1)先求出f(x)的导数，通过待定系数法求出a，b的值，从而求出f(x)的解析式；(2)求出f(x)的导数，得到函数的单调区间，集合函数的单调性求出m的范围即可．。
北京市朝阳区2020届高三上学期期中质量检测数学试题 Word版含答案
北京市朝阳区2019~2020学年度第一学期高三年级期中 数学试卷2019．11（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合2{4}A x x =∈<Z ，{1,2}B =-，则AB =（A ）{1}-（B ）{1,2}-（C ）{1,0,1,2}- （D ）{2,1,0,1,2}--（2）已知π(,π)2α∈，且3sin 5α=，则tan α= （A ）34 （B ）43 （C ）34-（D ）43-（3）下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是（A ）3y x =- （B ）sin()y x =- （C ）2log y x =（D ）22x x y -=-（4）关于函数()sin cos f x x x =+有下述三个结论：①函数()f x 的最小正周期为2π； ②函数()f x 的最大值为2；③函数()f x 在区间π(,π)2上单调递减.其中，所有正确结论的序号是（A ）①② （B ）①③（C ）②③ （D ）①②③（5）已知α，β是两个不同的平面，直线m α⊂，下列命题中正确的是（A ）若αβ⊥，则//m β（B ）若αβ⊥，则m β⊥ （C ）若//m β，则//αβ（D ）若m β⊥，则αβ⊥（6）已知函数()|2|1f x x kx =--+恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（A ）1(0,)2（B ）1(,1)2（C ）(1,2)（D ）(2,)+∞ （7）已知*{}()n a n ∈N 为等比数列，则“12a a >”是“{}n a 为递减数列”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（8）设1F ，2F 为椭圆C ：22195x y +=的两个焦点，M 为C 上一点且在第二象限.若12△MF F为等腰三角形，则点M 的横坐标为 （A ）32（B（C）（D ）32-（9）在△ABC 中，90BAC ∠=，2BC =，点P 在BC 边上，且()1AP AB AC ⋅+=，则AP的取值范围是（A ）1(,1]2（B ）1[,1]2（C）2 （D）[2（10）已知集合A ，B 满足：（ⅰ）A B =Q ，A B =∅； （ⅱ）1x A ∀∈，若2x ∈Q 且21x x <，则2x A ∈；（ⅲ）1y B ∀∈，若2y ∈Q 且21y y >，则2y B ∈. 给出以下命题：① 若集合A 中没有最大数，则集合B 中有最小数；② 若集合A 中没有最大数，则集合B 中可能没有最小数； ③ 若集合A 中有最大数，则集合B 中没有最小数； ④若集合A 中有最大数，则集合B 中可能有最小数.其中，所有正确结论的序号是（A ）①③ （B ）②③ （C ）③④（D ）①④第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市朝阳区2019-2020学年度高三年级第一学期期中理科数学试卷
北京市朝阳区2019～2020学年度高三年级第一学期期中统一考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．设全集则右图中阴影部分表示的集合为A．B．C．D．2．函数的定义域是A．B．C．D．3．已知条件，条件，则是的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件4．由曲线所围成的封闭图形的面积为A．B．C．D．5．若平面四边形满足，则该四边形一定是A．正方形B．矩形C．菱形D．直角梯形6．已知为等差数列，且，则的值为A．B．C．D．7．已知函数为偶函数，其图象与直线的某两个交点横坐标为、，若的最小值为，则A．B．C．D．8．若函数且）在R上既是奇函数，又是减函数，则函数的图象是二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上。
9．已知是第三象限角，，则________。
10．曲线在点（2，0）处的切线方程为_______________________。
11．设函数为偶函数，则__________；函数的零点是___________。
12．已知，且，则向量与向量夹角的大小是______________；向量在向量上的投影是______________。
13．某学生在一个学期的数学测验成绩一共记录了6次数据52，70，68，55，85，90，运行右面的程序框图并依次将6次成绩输入，则输出的___________，___________，______________。
14．设，定义区间的长度为，已知函数的定义域为，值域为，则区间的长度的最大值与最小值的差为____________。
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15．（本小题共13分）已知数列中，，且点在函数的图象上。
（I）求数列的通项公式；（II）在数列中依次取出第1项，第2项，第4项，第8项，…，第项，按取出顺序组成新的数列，写出数列的前三项，并求数列的通项及前项和。
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北京市朝阳区2019~2020学年度第一学期高三年级期中 数学试卷2019．11（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合2{4}A x x =∈<Z ，{1,2}B =-，则AB =（A ）{1}-（B ）{1,2}-（C ）{1,0,1,2}- （D ）{2,1,0,1,2}--（2）已知π(,π)2α∈，且3sin 5α=，则tan α= （A ）34 （B ）43 （C ）34-（D ）43-（3）下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是（A ）3y x =- （B ）sin()y x =- （C ）2log y x =（D ）22x x y -=-（4）关于函数()sin cos f x x x =+有下述三个结论：①函数()f x 的最小正周期为2π； ②函数()f x 的最大值为2；③函数()f x 在区间π(,π)2上单调递减.其中，所有正确结论的序号是（A ）①② （B ）①③（C ）②③ （D ）①②③（5）已知α，β是两个不同的平面，直线m α⊂，下列命题中正确的是（A ）若αβ⊥，则//m β（B ）若αβ⊥，则m β⊥ （C ）若//m β，则//αβ（D ）若m β⊥，则αβ⊥（6）已知函数()|2|1f x x kx =--+恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（A ）1(0,)2（B ）1(,1)2（C ）(1,2)（D ）(2,)+∞ （7）已知*{}()n a n ∈N 为等比数列，则“12a a >”是“{}n a 为递减数列”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（8）设1F ，2F 为椭圆C ：22195x y +=的两个焦点，M 为C 上一点且在第二象限.若12△MF F为等腰三角形，则点M 的横坐标为 （A ）32（B（C）（D ）32-（9）在△ABC 中，90BAC ∠=，2BC =，点P 在BC 边上，且()1AP AB AC ⋅+=，则AP的取值范围是（A ）1(,1]2（B ）1[,1]2（C）2 （D）[2（10）已知集合A ，B 满足：（ⅰ）A B =Q ，A B =∅； （ⅱ）1x A ∀∈，若2x ∈Q 且21x x <，则2x A ∈；（ⅲ）1y B ∀∈，若2y ∈Q 且21y y >，则2y B ∈. 给出以下命题：① 若集合A 中没有最大数，则集合B 中有最小数；② 若集合A 中没有最大数，则集合B 中可能没有最小数； ③ 若集合A 中有最大数，则集合B 中没有最小数； ④若集合A 中有最大数，则集合B 中可能有最小数.其中，所有正确结论的序号是（A ）①③ （B ）②③ （C ）③④（D ）①④第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（11）已知向量(1,1)=-a ，(3,)m =b ，且//a b ，则=m ________． （12）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为________，最长棱的长度为________．（13）已知直线20x y a -+=A，B 两点（O 为坐标原点），且AOB △为等腰直角三角形，则实数a 的值为________．（14）已知a ，b 是实数，给出下列四个论断：①a b >；②11a b<；③0a >；④0b >. 以其中两个论断作为条件，余下的论断中选择一个作为结论，写出一个正确的命题：________．（15）已知函数21,,(),e≥x a x x a f x x x a-⎧<⎪=⎨⎪⎩（a 为常数）．若1(1)2f -=，则a =________；若函数()f x 存在最大值，则a 的取值范围是________．（16）2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N 随时间t （单位：年）的衰变规律满足573002tN N -=⋅（0N 表示碳14原有的质量），则经过5730年后，碳14的质量变为原来的________；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的12至35，据此推测良渚古城存在的时期距今约在________年到5730年之间．（参考数据：22log 3 1.6,log 5 2.3≈≈）三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（17）（本小题13分）在△ABC中，AB =，点P 在BC 边上，且60APC ∠=，2BP =. （Ⅰ）求AP 的值；（Ⅱ）若1PC =，求sin ACP ∠的值. （18）（本小题13分）已知*{}()n a n ∈N 是各项均为正数的等比数列，116a =，323322a a +=. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设23log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ，并求n S 的最大值．（19）（本小题14分） 如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，//AD BC ,CD AD ⊥，24BC CD AD ===，. （Ⅰ）求证：//CE 平面PAB ；（Ⅱ）求二面角E AC D --的余弦值；（Ⅲ）直线AB 上是否存在点Q ，使得//PQ 平面ACE ?若存在，求出AQAB的值；若不存在，说明理由.EDAP（20）（本小题13分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>经过两点P ，(Q . （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过椭圆的右焦点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且直线l 与以线段FP 为直径的圆交于另一点E （异于点F ），求AB FE ⋅的最大值.（21）（本小题14分）已知函数ln ()xf x x a=+(0)a >． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）当1=a 时，证明：1()2≤x f x -； （Ⅲ）判断)(x f 在定义域内是否为单调函数，并说明理由．（22）（本小题13分）已知无穷数列{}n a ，{}n b ，{}n c 满足：n *∀∈N ，1||||n n n a b c +=-，1||||n n n b c a +=-，1||||n n n c a b +=-．记max{||,||,||}n n n n d a b c =（{}max ,,x y z 表示3个实数x ，y ，z 中的最大值）．（Ⅰ）若11a =，22b =，33c =，求1b ，1c 的可能值； （Ⅱ）若11a =，12b =，求满足23d d =的1c 的所有值；（Ⅲ）设1a ，1b ，1c 是非零整数，且1||a ，1||b ，1||c 互不相等，证明：存在正整数k ，使得数列{}n a ，{}n b ，{}n c 中有且只有一个数列自第k 项起各项均为0．北京市朝阳区2019~2020学年度第一学期高三年级期中质量检测数学参考答案2019．11第一部分（选择题共40分）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）（1）C （2）C （3）D （4）B （5）D （6）B （7）B （8）D （9）A （10）B第二部分（非选择题共110分）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（11）3-（12）1613） （14）若a b >，0b >，则11a b<．（答案不唯一）（15）12；(,0]-∞（16）12；4011三、解答题（共6小题，共80分。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）（17）（本小题13分） 解：（Ⅰ）因为60APC ∠=，所以120APB ∠=.在ABP △中，AB =120APB ∠=，2=BP ， 由余弦定理2222cos AB AP BP AP BP APB =+-⋅∠，得22240AP AP +-=.所以4AP =. ………6分（Ⅱ）在△APC 中，4AP =，1PC =，60APC ∠=，由余弦定理2222cos AC AP PC AP PC APC =+-⋅∠，得AC = 由正弦定理sin sin AP ACACP APC =∠∠，得4sin sin 60ACP =∠，所以sin ACP ∠=………13分（18）（本小题13分）解：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，因为13216,2332a a a +==，所以22203q q -=+． 解得2q =-（舍去）或12q =． 因此{}n a 的通项公式为15116()22n n n a --=⨯=．………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得23(5)log 2153n b n n =-=-，当2≥n 时，13n n b b --=-，故{}n b 是首项为112b =，公差为3-的单调递减等差数列. 则21312(1)(3)(9)22n S n n n n n =+--=--. 又50b =，所以数列{}n b 的前4项为正数，所以当4n =或5时，n S 取得最大值，且最大值为4530S S ==． (13)分（19）（本小题14分）解：（Ⅰ）如图，取PA 中点F ，连结,EF BF .因为E 为PD 中点，4AD =，所以//EF AD ，122EF AD ==. 又因为//BC AD ，2BC =，所以//EF BC ，=EF BC ，所以四边形EFBC 为平行四边形. 所以//CE BF .又因为CE ⊄平面PAB ,BF ⊂平面PAB ， 所以//CE 平面PAB .………4分（Ⅱ）取AD 中点O ，连结OP ，OB .因为△PAD 为等边三角形，所以PO OD ⊥.又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD =AD ， 所以PO ⊥平面ABCD .因为//OD BC ，2OD BC ==， 所以四边形BCDO 为平行四边形. 因为CD AD ⊥，所以OB OD ⊥. 如图建立空间直角坐标系O xyz -，则(0,2,0),(2,0,0),(2,2,0),A B C E P -所以(2,4,0),AC AE ==.设平面ACE 的一个法向量为1(,,)x y z =n ，F PADEy则110,0,AC AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即240,30.x y y +=⎧⎪⎨=⎪⎩令2x =-，则1(2,1,=-n .显然，平面ACD 的一个法向量为2(0,0,1)=n ，所以121212cos ,⋅<>===n n n n n n . 由题知，二面角E AC D --为锐角，所以二面角E AC D --.………10分 （Ⅲ）直线AB 上存在点Q ，使得//PQ 平面ACE .理由如下：设AQ AB λ=.因为(2,2,0)AB =，(0,2,23)PA =--，所以(2,2,0)AQ AB λλλ==，(2,22,2PQPA AQ λλ=+=--． 因为PQ ⊄平面ACE ，所以//PQ 平面ACE 当且仅当10PQ ⋅=n . 即(2,22,(2,1,0λλ--⋅-=，解得2λ=. 所以直线AB 上存在点Q ，使得//PQ 平面ACE ，此时2AQAB=．…………14分 （20）（本小题13分）解：（Ⅰ）因为椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>过点P，(Q ， 所以22111,2a a b⎧=⎪⎨+=⎪⎩得1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故椭圆C 的标准方程为2212x y +=．………4分 （Ⅱ）由题易知直线l 的斜率不为0，设l ：1x ty =+，由221,1,2x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)210t y ty ++-=，显然0∆>.设1122(,),(,)A xy B x y ， 则12122221,22t y y y y t t --+==++. 又12AB y y =-.以FP为直径的圆的圆心坐标为，半径为4r=，故圆心到直线l的距离为d==.所以FE===.所以12AB FE y⋅=-=====因为211≥t+，所以221(1)21≥tt+++，即221114(1)21≤tt++++．所以1≤AB FE⋅=．当0t=时，直线与椭圆有交点，满足题意，且1AB FE⋅=，所以AB FE⋅的最大值为1．…………13分（21）（本小题14分）解：函数()f x的定义域为)0(∞+，，2ln1()()axxf xx a-++'=+．（Ⅰ）因为(1)0f=，1(1)1fa'=+，所以曲线()y f x=在点(1,(1))f处的切线方程为10(1)1y xa-=-+，即(1)10x a y-+-=．………4分（Ⅱ）当1=a时，ln()1xf xx=+．欲证1()2≤x f x -， 即证ln 112≤x x x -+， 即证22ln 10≤x x -+． 令2()2ln 1h x x x =-+， 则22(1)(1)()2x x h x x x x--+'=-=． 当x 变化时，(),()h x h x '变化情况如下表：x (0,1)1(1,)+∞)(x h ' +-)(x h↗极大值↘所以函数)(x h 的最大值为(1)0h =，故()0≤h x ．所以1()2≤x f x -．………9分 （Ⅲ）函数)(x f 在定义域内不是单调函数．理由如下：令()ln 1ag x x x =-++， 因为221()0a x ag x x x x+'=--=-<，所以)(x g 在(0,)+∞上单调递减． 注意到(1)+10g a =>． 且11111(e )ln e 1(1)0eea a a a a g a ++++=-++=-<．所以存在1(1,e)a m +∈，使得()0g m =．当(0,)x m ∈时，()0g x >，从而()0f x '>，所以函数()f x 在(0,)m 上单调递增；当(,)x m ∈+∞时，()0g x <，从而()0f x '<，所以函数()f x 在(,)m +∞上单调递减．故函数)(x f 在定义域内不是单调函数．………14分（22）（本小题13分）解：（Ⅰ）由211||||b c a =-，得1||12c -=，所以13c =±；由322||||c a b =-，得2||23a -=，所以25a =±，又2111||||||33≥a b c b =-=--，故25a =，1||8b =，18b =±． 所以1b ，1c 的所有可能值为18b =，13c =； 18b =，13c =-； 18b =-，13c =；18b =-，13c =-．………3分（Ⅱ）若11a =，12b =，记1,c x =则2222||,||1,1a x b x c =-=-=-，22||,0||1,1,1||2,||1,||2,≤≤≥x x d x x x -<⎧⎪=<⎨⎪-⎩3|||1|1a x =--，31|2|||b x =--，3|2||||||1|c x x =---，当0||1≤x <时，333||,||1,1a x b x c =-=-=，31d =，由32d d =，得||1x =，不符合；当1||2≤x <时，333||2,||1,a x b x c x=-=-=-，32||,1|| 1.5,||1,1.5||2,≤≤x x d x x -<⎧=⎨-<⎩由32d d =，得||1x =，符合；当||2≥x 时，333||2,3||,1a x b x c =-=-=-，31,2||3,||2,||3,≤≥x d x x <⎧=⎨-⎩由32d d =，得||2x =，符合； 综上，1c 的所有取值是2,--. ………8分（Ⅲ）先证明“存在正整数3≥k ，使,,k k k a b c 中至少有一个为0”．假设对任意正整数3≥k ，,,k k k a b c 都不为0，由111,,a b c 是非零整数，且111||,||,||a b c 互不相等，得1d *∈N ，2d *∈N ．若对任意3≥k ，,,k k k a b c 都不为0，则k d *∈N ，即对任意1≥k ，k d *∈N ．当1≥k 时，{}1||||||||max ||,||,≤k k k k k k a b c b c d +=-<11||||||,||||||k k k k k k k k b c a d c a b d ++=-<=-<，所以，{}1111max ||,||,||k k k k k d a b c d ++++=<． 所以，{}k d 严格单调递减，由2d 为有限正整数，所以，必存在正整数3≥m ，使得0≤m d ，矛盾． 所以，存在正整数3≥k ，使,,k k k a b c 中至少有一个为0． 不妨设0k a =，且10a ≠，20a ≠，，10k a -≠， 则11||||k k b c --=，且111||||||k k k b c a ---=≠，否则，若111||||||k k k b c a ---==，因为1110k k k a b c ---++=，则必有1110k k k a b c ---===，矛盾． 于是，1111||||0,||||0k k k k k k b c a c a b ----=-≠=-≠，且k k b c =-， 所以，10k a +=，11||,||||k k k k k b c c b c ++==-=-， 依次递推，即有：对11,0,||,||≥n n k n k n k a b c c c ++∀===-，且||0k c ≠， 此时有且仅有一个数列{}n a 自第k 项起各项均为0．综上，结论成立．………13分。