空间向量及其应用(一)
3.1空间向量及其运算 第1课时
教学案3．1 空间向量及其运算（第 1课时）（向量的加法、减法、数乘运算）【学习目标】了解空间向量的概念；掌握空间向量的加、减运算及数乘运算法则，能够正确应用空间向量的加法交换律、加法结合律及数乘的分配律进行运算。
【本课重点】空间向量的概念及加法、减法、数乘运算【本课难点】空间向量的理解和运算【教学过程】一、知识要点：1．空间向量的概念在空间，具有大小和方向的量叫；向量的大小叫做向量的或，记为；长度为零的向量叫做，记为；模为1的向量称为；方向相且模相等的向量称为相等向量；方向相且模相等的向量称为相反向量；2．空间向量与平面向量空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为同一平面内的两个向量。
空间任意三个向量呢？3．向量的加、减运算法则及数乘运算法则4．向量的加法及数乘运算律：加法交换律：加法结合律：数乘分配律： 数乘结合律：二、应用举例：例1．化简下列各式：（1）AB +BA ； （2）AB ++；（3）AB +BC +CD +DE +EA归纳结论：（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：（2）首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：例2．已知平行六面体ABCD -D C B A '''',化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：（1）AB +； （2）AB +AD +A A ；（3） ++21C C '； （4）31(A A '++)n 1n 1n 433221A A A A A A A A A A =++++- A A A A A A A A 1n 433221=++++例3．已知正方体ABCD -D C B A ''''，点E 是上底面D C B A ''''的中心，求下列各式中x,y,z 的值。
（1）D B '=x +y +z A A '；（2）（2）=x +y +z A A '.【课堂小结】向量的加法可以用平行四边法则也可以用三角形法则，空间向量的加法与数乘向量的运算满足的运算律是：加法交换律，加法结合律，数乘分配律。
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案空间向量及其运算1
第六节空间向量及其运算空间向量及其应用(1)理解直线的方向向量与平面的法向量．(2)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．(3)能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．(4)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．知识点一空间向量的有关概念1．空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫作空间向量，其大小叫作向量的长度或模．(2)相等向量：方向相同且模相等的向量．(3)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这些向量叫作共线向量或平行向量，a平行于b记作a∥b.(4)共面向量：平行于同一平面的向量叫作共面向量．2．空间向量中的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb.(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x a＋y b.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一x，y，z使得p＝x a＋y b＋z c.其中{a，b，c}叫作空间的一个基底．个唯一的有序实数组{}3．两个向量的数量积(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.易误提醒(1)共线向量与共面向量区别时注意，平行于同一平面的向量才能为共面向量．(2)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．(3)由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故0不能作为基向量． (4)基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示．[自测练习]1．已知空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点，则MN →＝( )A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12cC.12a ＋12b －12cD.23a ＋23b －12c 解析：如图所示， MN →＝MA →＋AB →＋BN → ＝13OA →＋(OB →－OA →)＋12BC → ＝OB →－23OA →＋12(OC →－OB →)＝12OB →－23OA →＋12OC →＝－23a ＋12b ＋12c .答案：B2．已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可以是( ) A ．2，12B ．－13，12C ．－3,2D ．2,2解析：∵a ∥b ，∴b ＝k a ，即(6,2μ－1,2λ)＝k (λ＋1,0,2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧6＝k (λ＋1)，2μ－1＝0，2λ＝2k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝2，μ＝12，或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－3，μ＝12.答案：A知识点二 空间向量的坐标表示及其应用 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3).向量表示 坐标表示 数量积 a ·b a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 共线 a ＝λb (b ≠0) a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 垂直 a ·b ＝0(a ≠0，b ≠0)a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0模 |a |a 21＋a 22＋a 23夹角 〈a ，b 〉(a ≠0，b ≠0)cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23易误提醒 (1)空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取无关，这是因为一个确定的几何体，其“线线”夹角、“点点”距离都是固定的，坐标系的位置不同，只会影响其计算的繁简．(2)进行向量的运算时，在能建系的情况下尽量建系，将向量运算转化为坐标运算． 必备方法 用空间向量解决几何问题的一般步骤： (1)适当的选取基底{a ，b ，c }． (2)用a ，b ，c 表示相关向量． (3)通过运算完成证明或计算问题．[自测练习]3．在空间直角坐标系中，已知点A (1,0,2)，B (1，－3,1)，点M 在y 轴上，且M 到A 与到B 的距离相等，则M 的坐标是________．解析：设M (0，y,0)，由|MA |＝|MB |得(1－0)2＋(0－y )2＋(2－0)2＝(1－0)2＋(－3－y )2＋(1－0)2，解得y ＝－1.∴M (0，－1,0)．答案：(0，－1,0)考点一 空间向量的线性运算|1．设三棱锥O -ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，G 是△ABC 的重心，则OG →等于( ) A ．a ＋b －c B ．a ＋b ＋c C.12(a ＋b ＋c ) D.13(a ＋b ＋c )解析：如图所示，OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋13(AB →＋AC →)＝OA →＋13(OB →－OA →＋OC →－OA →)＝13(a ＋b ＋c )．答案：D2.如图所示，已知空间四边形O -ABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别为OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG →＝2GN →，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ，y ，z 的值分别为________．解析：∵OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋23MN →＝12OA →＋23(ON →－OM →)＝12OA →＋23ON →－23OM →＝12OA →＋23×12(OB →＋OC →)－23×12OA →＝16OA →＋13OB →＋13OC →，又OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →， 根据空间向量的基本定理，x ＝16，y ＝z ＝13.答案：16，13，13(1)选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求．(2)空间向量问题实质上是转化为平面向量问题来解决的，即把空间向量转化到某一个平面上，利用三角形法则或平行四边形法则来解决．考点二 共线向量与共面向量定理的应用|已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 中边AB ，BC ，CD ，DA 的中点． (1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面； (2)求证：BD ∥平面EFGH ；(3)设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有OM →＝14(OA →＋OB →＋OC →＋OD →)．[证明] (1)连接BG ，则EG →＝EB →＋BG →＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH →＝EF →＋EH →，由共面向量定理知，E ，F ，G ，H 四点共面．(2)因为EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →，所以EH ∥BD .又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ， 所以BD ∥平面EFGH .(3)任取一点O ，并连接OM ，OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OG . 由(2)知EH →＝12BD →，同理FG →＝12BD →，所以EH →＝FG →，即EH 綊FG ， 所以四边形EFGH 是平行四边形， 所以EG ，FH 被点M 平分．故OM →＝12(OE →＋OG →)＝12OE →＋12OG →＝12⎣⎡⎦⎤12(OA →＋OB →)＋12⎣⎡⎦⎤12(OC →＋OD →)＝14(OA →＋OB →＋OC →＋OD →)．证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P ，A ，B ，C 四点共面，只要能证明P A →＝xPB →＋yPC →或对空间任一点O ，有OA →＝OP →＋xPB →＋yPC →或OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ＋y ＋z ＝1)即可．共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件．1．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足OM →＝13(OA →＋OB→＋OC →)．(1)判断MA →、MB →、MC →三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内． 解：(1)由已知OA →＋OB →＋OC →＝3 OM →， ∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)， 即MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →， ∴MA →，MB →，MC →共面．(2)由(1)知MA →，MB →，MC →共面且过同一点M ，所以四点M ，A ，B ，C 共面，从而点M 在平面ABC 内．考点三 利用空间向量证明平行、垂直|如图所示的长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形，O 为AC 与BD 的交点，BB 1＝2，M 是线段B 1D 1的中点．(1)求证：BM ∥平面D 1AC ； (2)求证：OD 1⊥平面AB 1C .[证明] (1)建立如图所示的空间直角坐标系，则点O (1,1,0)，D 1(0,0，2)， ∴OD 1→＝(－1，－1，2)， 又点B (2,2,0)，M (1,1，2)， ∴BM →＝(－1，－1，2)，∴OD 1→＝BM →.又∵OD 1与BM 不共线， ∴OD 1∥BM .∵OD 1⊂平面D 1AC ，BM ⊄平面D 1AC ， ∴BM ∥平面D 1AC .(2)连接OB 1，点B 1(2,2，2)，A (2,0,0)，C (0,2,0)， ∵OD 1→·OB 1→＝(－1，－1，2)·(1,1，2)＝0， OD 1→·AC →＝(－1，－1，2)·(－2,2,0)＝0，∴OD 1→⊥OB 1→， OD 1→⊥AC →，即OD 1⊥OB 1，OD 1⊥AC ， 又OB 1∩AC ＝O ，∴OD 1⊥平面AB 1C .(1)设直线l 1的方向向量为v 1＝(a 1，b 1，c 1)，l 2的方向向量为v 2＝(a 2，b 2，c 2)，则l 1∥l 2⇔v 1∥v 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R )．(2)设直线l 的方向向量为v ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量为n ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ∥α⇔v ⊥n ⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0，l ⊥α⇔v ∥n ⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R )．(3)设平面α的法向量为n 1＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量为n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔n 1∥n 2，α⊥β⇔n 1⊥n 2.2.在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2BC ，E ，F ，E 1分别是棱AA 1，BB 1，A 1B 1的中点．(1)求证：CE ∥平面C 1E 1F ； (2)求证：平面C 1E 1F ⊥平面CEF .证明：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D -xyz ，设BC ＝1，则C (0,1,0)，E (1,0,1)，C 1(0,1,2)，F (1,1,1)，E 1⎝⎛⎭⎫1，12，2.(1)设平面C 1E 1F 的法向量n ＝(x ，y ，z )． ∵C 1E 1→＝⎝⎛⎭⎫1，－12，0，FC 1→＝(－1，0,1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ n ·C 1E 1→＝0，n ·FC 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －12y ＝0，－x ＋z ＝0.令x ＝1，得n ＝(1,2,1)．∵CE →＝(1，－1,1)，n ·CE →＝1－2＋1＝0， ∴CE ⊥n .又∵CE ⊄平面C 1E 1F ， ∴CE ∥平面C 1E 1F .(2)设平面EFC 的法向量为m ＝(a ，b ，c )， 由EF →＝(0,1,0)，FC →＝(－1,0，－1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ·EF →＝0，m ·FC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，－a －c ＝0.令a ＝－1，得m ＝(－1,0,1)．∵m ·n ＝1×(－1)＋2×0＋1×1＝－1＋1＝0， ∴平面C 1E 1F ⊥平面CEF .16.混淆空间“向量平行”与“向量同向”致错【典例】 已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(x ，x 2＋y －2，y )，并且a ，b 同向，则x ，y 的值分别为________．[解析] 由题意知a ∥b ，所以x 1＝x 2＋y －22＝y 3，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，x 2＋y －2＝2x ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－6.当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－6，时，b ＝(－2，－4，－6)＝－2a ，所以a ，b 两向量反向，不符合题意，舍去．当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝3，时，b ＝(1,2,3)＝a ，a 与b 同向，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3. [答案] x ＝1，y ＝3[易误点评] 只考虑a ∥b ，忽视了同向导致求解多解．[防范措施] 两向量平行和两向量同向不是等价的，同向是平行的一种情况，两向量同向能推出两向量平行，但反之不成立，也就是说两向量同向是两向量平行的充分不必要条件．[跟踪练习] (2015·成都模拟)已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2u －1,2λ)，若a ∥b ，则λ与u 的值可以是( )A ．2，12B ．－13，12C ．－3,2D ．2,2解析：由a ∥b 验证当λ＝2，u ＝12时成立．答案：AA 组 考点能力演练1．(2015·深圳模拟)已知三棱锥O -ABC ，点M ，N 分别为AB ，OC 的中点，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，用a ，b ，c 表示MN →，则MN →等于( )A.12(b ＋c －a ) B.12(a ＋b －c ) C.12(a －b ＋c ) D.12(c －a －b ) 解析：MN →＝MA →＋AO →＋ON →＝12(c －a －b )．答案：D2．已知四边形ABCD 满足：AB →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·AB →>0，则该四边形为( )A ．平行四边形B ．梯形C ．长方形D ．空间四边形解析：由AB →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·AB →>0，知该四边形一定不是平面图形，故选D.答案：D3．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)．若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( )A.627B.637C.607D.657解析：由题意得c ＝t a ＋μb ＝(2t －μ，－t ＋4μ，3t －2μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧7＝2t －μ，5＝－t ＋4μ，λ＝3t －2μ.∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝337，μ＝177，λ＝657.答案：D4．(2016·东营质检)已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，OA →＋λOB →与OB →的夹角为120°，则λ的值为( )A ．±66B.66C ．－66D ．±6解析：OA →＋λOB →＝(1，－λ，λ)， cos 120°＝λ＋λ1＋2λ2·2＝－12，得λ＝±66.经检验λ＝66不合题意，舍去，∴λ＝－66. 答案：C5．设A (3,3,1)，B (1,0,5)，C (0,1,0)，AB 的中点为M ，则|CM |等于( ) A.534 B.532 C.532D.132解析：设M (x ，y ，z )，则x ＝3＋12＝2，y ＝3＋02＝32，z ＝1＋52＝3，即M ⎝⎛⎭⎫2，32，3，|CM |＝(2－0)2＋⎝⎛⎭⎫32－12＋(3－0)2＝532.故选C. 答案：C6．(2016·合肥模拟)向量a ＝(2,0,5)，b ＝(3,1，－2)，c ＝(－1,4,0)，则a ＋6b －8c ＝________. 解析：由a ＝(2,0,5)，b ＝(3,1，－2)，c ＝(－1,4,0)，∴a ＋6b －8c ＝(28，－26，－7)． 答案：(28，－26，－7)7．已知向量a ，b 满足条件：|a |＝2，|b |＝2，且a 与2b －a 互相垂直，则a 与b 的夹角为________．解析：由于a 与2b －a 互相垂直，则a ·(2b －a )＝0，即2a·b －|a |2＝0，所以2|a ||b |cos a ，b －|a |2＝0，则42cosa ，b －4＝0，则cos a ，b＝22，所以a 与b 的夹角为45°. 答案：45°8．空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，且∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos OA →，BC →的值为________．解析：OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →)＝OA →·OC →－OA →·OB →＝|OA →||OC →|cos OA →，OC→－|OA →||OB→|·cos OA →，OB →．∵OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，∴OA →·BC →＝0，即OA →⊥BC →，∴cos OA →，BC →＝0.答案：09．(2016·唐山模拟)已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1，1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b＝AC →.(1)求a 和b 夹角的余弦值．(2)设|c |＝3，c ∥BC →，求c 的坐标．解：(1)因为AB →＝(1,1,0)，AC →＝(－1,0,2)，所以a ·b ＝－1＋0＋0＝－1，|a |＝2，|b |＝ 5.所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－12×5＝－1010. (2)BC →＝(－2，－1,2)．设c ＝(x ，y ，z )，因为|c |＝3，c ∥BC →，所以x 2＋y 2＋z 2＝3，存在实数λ使得c ＝λBC →，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2λ，y ＝－λ，z ＝2λ联立解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝－1，z ＝2，λ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1，z ＝－2，λ＝－1，所以c ＝±(－2，－1,2)．10．(2016·太原模拟)如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1，底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点．(1)求BN →的模．(2)求cos 〈BA 1→，CB 1→〉的值．(3)求证：A 1B ⊥C 1M .解：如图，建立空间直角坐标系．(1)依题意得B (0,1,0)，N (1，0,1)，所以|BN →|＝(1－0)2＋(0－1)2＋(1－0)2＝ 3.(2)依题意得A 1(1,0,2)，B (0,1,0)，C (0,0,0)，B 1(0,1,2)．所以BA 1→＝(1，－1,2)，CB 1→＝(0,1,2)，BA 1→·CB 1→＝3，|BA 1→|＝6，|CB 1→|＝5，所以cos 〈BA 1→，CB 1→〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→||CB 1→|＝11030. (3)依题意，得C 1(0,0,2)，M ⎝⎛⎭⎫12，12，2，A 1B →＝(－1,1，－2)，C 1M →＝⎝⎛⎭⎫12，12，0. 所以A 1B →·C 1M →＝－12＋12＋0＝0， 所以A 1B →⊥C 1M →.所以A 1B ⊥C 1M .B 组 高考题型专练1．(2014·高考广东卷)已知向量a ＝(1,0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( )A ．(－1,1,0)B ．(1，－1,0)C ．(0，－1,1)D ．(－1,0,1)解析：经检验，选项B 中向量(1，－1,0)与向量a ＝(1,0，－1)的夹角的余弦值为12，即它们的夹角为60°，故选B.答案：B2．(2014·高考江西卷)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝11，AD ＝7，AA 1＝12.一质点从顶点A 射向点E (4,3,12)，遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理)，将第i －1次到第i 次反射点之间的线段记为L i (i ＝2,3,4)，L 1＝AE ，将线段L 1，L 2，L 3，L 4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是( )解析：由对称性知质点经点E 反射到平面ABCD 的点E 1(8,6,0)处．在坐标平面xAy 中，直线AE 1的方程为y ＝34x ，与直线DC 的方程y ＝7联立得F ⎝⎛⎭⎫283，7，0.由两点间的距离公式得E 1F ＝53， ∵tan ∠E 2E 1F ＝tan ∠EAE 1＝125，∴E 2F ＝E 1F ·tan ∠E 2E 1F ＝4.∴E 2F 1＝12－4＝8.∴L 3L 4＝E 1E 2E 2E 3＝E 2F E 2F 1＝48＝12.故选C.答案：C3．(2015·高考浙江卷)已知e 1，e 2是空间单位向量，e 1·e 2＝12.若空间向量b 满足b ·e 1＝2，b ·e 2＝52，且对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋y e 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，则x 0＝________，y 0＝________，|b |＝________.解析：∵e 1，e 2是单位向量，e 1·e 2＝12，∴cos 〈e 1，e 2〉＝12，又∵0°≤〈e 1，e 2〉≤180°，∴〈e 1，e 2〉＝60°.不妨把e 1，e 2放到空间直角坐标系O -xyz 的平面xOy 中，设e 1＝(1,0,0)，则e 2＝⎝⎛⎭⎫12，32，0，再设OB →＝b ＝(m ，n ，r )，由b ·e 1＝2，b ·e 2＝52，得m ＝2，n ＝3，则b ＝(2，3，r )．而x e 1＋y e 2是平面xOy 上任一向量，由|b －(x e 1＋y e 2)|≥1知点B (2，3，r )到平面xOy 的距离为1，故可得r ＝1.则b ＝(2，3，1)，∴|b |＝2 2.又由|b －(x e 1＋y e 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1知x 0e 1＋y 0e 2＝(2，3，0)，解得x 0＝1，y 0＝2. 答案：1,2,22。
1.1.1 空间向量及其线性运算(第1课时)空间向量及其线性运算
思考题1 下列命题是真命题的是( )
A．表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量 不在同一个平面内
B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反
C．若向量A→B，C→D满足|A→B|>|C→D|，且A→B与C→D同向，则A→B>C→D
√D．若两个非零向量A→B与C→D满足A→B＋C→D＝0，则A→B∥C→D
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思考3 向量运算的结果与向量起点的选择有关系吗？ 提示 没有关系．
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【知识拓展】 空间向量与平面向量的一致性 在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完 全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为 相反向量的充要条件是两个向量的模相等，方向相反．
可以记作A→B，其模记为|a|或|A→B|.
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知识点二 几类特殊的空间向量
特殊向量
定义
零向量
模为_0__的向量
单位向量
模为_1__的向量
相反向量 与向量a长度相__等__而方向_相__反_的向量
相等向量
方向_相__同_且模_相__等__的向量
表示法
0 |a|＝1或
|A→B|＝1
－a a＝b或
A→B＝C→D
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课前自学
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知识点一 空间向量的有关概念 (1)定义：在空间，我们把具有_大__小__和_方__向__的量叫做空间向量． (2)空间向量的长度：空间向量的_大__小__叫做空间向量的长度或模．
①几何表示法：空间向量用_有__向__线__段____表示. (3)表示法②字母表示法：若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也
提示 起点、终点未必相同．
空间向量的变换与应用
空间向量的变换与应用空间向量是描述空间中具有大小和方向的物理量的工具。
在数学和物理学中，空间向量广泛应用于解决空间几何、力学、电磁学等问题。
本文将探讨空间向量的变换及其在实际应用中的重要性。
一、空间向量的定义空间向量是指在空间中具有大小和方向的量，通常用箭头来表示。
在三维空间中，一个向量可以用坐标表示为(x, y, z)，其中x、y、z分别表示向量在X轴、Y轴和Z轴上的投影。
向量的大小可以通过求模运算得到，即向量的大小等于各个坐标分量平方和的平方根。
二、空间向量的变换空间向量的变换包括平移、旋转和缩放。
下面将分别介绍这三种变换的定义和应用。
1. 平移变换平移变换是指将向量在空间中沿着某一方向移动一定的距离。
假设有一个向量a(x, y, z)，进行平移变换时，只需要通过给向量的各个坐标分量加上对应平移量d(x, y, z)，即得到平移后的向量b(x+d_x, y+d_y,z+d_z)。
平移变换在计算机图形学中广泛应用，用于实现物体在空间中的移动效果。
比如，在游戏中，我们可以通过平移变换来实现角色的行走和物体的位置调整。
2. 旋转变换旋转变换是指通过旋转角度来改变向量的方向。
一般来说，旋转变换可以绕空间中的任意轴进行，包括X轴、Y轴、Z轴，以及不过原点的任意轴。
旋转变换的具体计算涉及到复杂的三角函数运算，这里不做详细介绍。
在实际应用中，旋转变换常用于计算机动画、机器人运动控制和三维建模中。
3. 缩放变换缩放变换是指通过乘以一个比例因子来改变向量的大小。
假设有一个向量a(x, y, z)，进行缩放变换时，只需要将向量的各个坐标分量分别乘以对应的缩放因子s(x, y, z)，即得到缩放后的向量b(s_x*x, s_y*y,s_z*z)。
缩放变换在计算机图形学和模型设计中非常常见，用于控制物体的大小和比例。
例如，在电影特效中，我们可以通过缩放变换来实现巨大怪兽的呈现效果。
三、空间向量的应用空间向量在物理学、工程学和计算机科学等领域有着广泛的应用。
空间向量的线性关系与应用
空间向量的线性关系与应用在线性代数中，空间向量的线性关系及其应用是一项重要的研究内容。
本文将介绍空间向量的线性关系，分析其应用，并探讨其在实际问题中的应用案例。
一、空间向量的线性关系在三维空间中，向量是由坐标表示的，可以表示为(A1, A2, A3)，其中A1、A2、A3分别代表向量在X、Y、Z轴上的分量。
当多个向量之间存在线性关系时，我们可以通过线性组合的方式来表达这种关系。
具体来说，假设有n个向量v1、v2、v3......vn，每个向量都可以表示为(v1, v2, v3)、(v4, v5, v6)......(vn-2, vn-1, vn)。
如果存在一组实数k1、k2、k3......kn，使得k1v1 + k2v2 + k3v3 + ......+ knvn = 0，则称这些向量之间存在线性关系。
二、空间向量的应用空间向量的线性关系有很多实际应用，下面将介绍其中几个常见的应用。
1. 平面几何在平面几何中，通过空间向量的线性关系可以进行平面求交、相交线的夹角等计算。
通过求解线性方程组，可以确定平面的位置关系，帮助我们更好地理解和解决平面几何问题。
2. 向量运算空间向量的线性关系在向量运算中起着重要作用。
通过对向量的线性组合，我们可以进行向量的加法、减法、数量积、向量积等运算，进一步拓展了向量的应用领域。
3. 物理学空间向量的线性关系在物理学中也有广泛的应用。
以力学为例，我们可以通过空间向量的线性关系来描述物体所受到的力的合成和分解，进而求解物体的运动状态和受力分析。
三、空间向量线性关系的应用案例下面将通过一个实际问题案例来说明空间向量线性关系的应用。
案例：假设有一辆汽车在平面上行驶，其行驶速度可以表达为一个向量v1。
另外，还有两个力F1和F2作用在汽车上，分别表示汽车所受到的推力和阻力，它们也可以用向量表示。
根据牛顿第二定律，我们知道力的合成可以通过向量的线性组合来表示。
假设F1的大小为a，方向与行驶方向相同，F2的大小为b，方向与行驶方向相反。
空间向量的基本概念及其综合应用
空间向量的基本概念及其综合应用随着现代科技的飞速发展，空间向量的应用已经越来越广泛。
本文将介绍空间向量的基本概念以及其在各个领域的综合应用。
一、空间向量的基本概念1. 定义空间向量是指在三维空间中由起点和终点两个点确定的有向线段。
通俗地说，可以将其理解为箭头，箭头的起点和终点均在三维空间内。
2. 表示方法空间向量通常使用坐标表示法进行表述。
在三维直角坐标系中，每个向量可以表示为由三个实数 $(x,y,z)$ 组成的有序数组。
3. 运算法则空间向量的加、减、数量积、向量积等运算法则和二维向量（即平面向量）的运算法则一样。
其中，数量积得到的结果是一个实数，向量积得到的结果是一个向量。
二、空间向量的综合应用1. 三维建模在三维建模软件中，空间向量是非常重要的基本元素。
使用空间向量可以方便地表示各种形状的物体，并进行各种变换和操作，如平移、旋转、缩放等。
2. 物理学在物理学中，向量是描述物理量的重要工具。
例如，重力向量可以表示为指向中心的矢量。
还有一些物理量，如磁场和电场，也可以使用向量来表示。
3. 计算机图形学在计算机图形学中，向量也是非常基础的概念。
例如，在三维空间中，图形元素（如点、线、面等）的坐标通常使用向量来表示。
4. 空间解析几何在空间解析几何中，向量是非常重要的基本元素。
通过向量的运算，可以求出线段的长度、两直线的夹角等问题。
5. 机器学习在机器学习中，向量是非常重要的数据表示方式。
通过向量表示数据，可以方便地使用各种算法进行分类、回归等任务。
总结：本文简单介绍了空间向量的定义、表示方法和运算法则，并介绍了空间向量的综合应用，包括三维建模、物理学、计算机图形学、空间解析几何和机器学习等领域。
在实际应用中，空间向量是非常重要的基础工具，值得深入学习和掌握。
2.2空间向量及其运算(1)
2.2空间向量及其运算（1）一、课程标准经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念，经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程。
二、教学目标1.理解空间向量的概念。
2.掌握空间向量的线性运算。
3.掌握共线向量定理及其应用。
三、内容与学情分析本节课是高中数学选择性必修第二册《第2章空间向量与立体几何》的第2课《空间向量及其运算》第1课时，介绍空间向量的基本概念，空间向量的加减法，向量与实数相乘等部分内容。
本章要学习的空间向量将为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供一个十分有效的工具。
本小节的主要内容可分为两部分，一是空间向量的相关概念；二是空间向量的线性运算。
空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角，本课作为章节的起始章节，是在学生学习了平面向量的基础之后展开的，经历了向量及其运算由平面向空间推广的过程，既复习巩固了平面向量的有关内容，又为后面用向量解决立体几何问题做好铺垫，起到承前启后的作用。
四、教学重难点重点：空间向量的有关概念，掌握空间向量的线性运算，掌握共线向量定理，掌握共线向量定理及其应用。
难点：理解空间向量的概念，掌握共线向量定理及其应用。
五、教学过程设计（一）情景引入国庆期间，某游客从上海世博园（O）游览结束后乘车到外滩（A）观赏黄浦江，然后抵达东方明珠（B）游玩，如图1，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？图1 图2如果游客还要登上东方明珠顶端（D）俯瞰上海美丽的夜景，如图2，那它实际发生的位移是什么？又如何表示呢？（二）新知探究思考1：基本概念的类比a，ABa，|AB|方向相同且长度相等方向相反且长度相等的向量思考2：线性运算法则的类比ka（k为正数，负数，零）思考3：运算律的类比加法 交换律 a b b a +=+加法 结合律 ()()a b c a b c ++=++向量加法分配律和实数加法的分配律()a b a b λλλ+=+ 1212+a a a λλλλ=+（）结论1：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面内的两个向量；结论2：三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的体对角线所表示的向量。
空间向量的应用
空间向量的应用随着科技的发展，空间向量的应用越来越广泛。
从物理学到计算机科学，从工程技术到地理测量，空间向量在各个领域都发挥着重要作用。
本文将讨论空间向量的基本概念和其在不同领域中的应用。
一、空间向量的基本概念在三维几何学中，我们将三维空间中的点表示为向量。
一个空间向量由其起点和终点决定，可以表示为一个有向线段。
空间向量具有长度和方向两个重要属性，可以进行加减法运算，也可以与数乘相乘。
空间向量的加法运算是指将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量。
例如，设有两个空间向量a和b，a = (a1, a2, a3)，b = (b1, b2, b3)，则它们的加法运算为：a + b = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)。
空间向量的数乘运算是指将一个向量的每个分量与一个常数相乘，得到一个新的向量。
例如，设有一个空间向量a = (a1, a2, a3)和一个常数k，则它们的数乘运算为：k * a = (ka1, ka2, ka3)。
二、空间向量在物理学中的应用在物理学中，空间向量被广泛应用于描述物体的运动和力学问题。
利用空间向量的概念，我们可以方便地描述物体在三维空间中的位置和速度。
例如，在力学中，我们可以使用位移向量来表示物体从起点到终点的移动情况。
同时，利用速度向量和加速度向量，我们可以描述物体在空间中的运动状态。
另外，在电磁学中，空间向量也有重要应用。
电场和磁场可以用向量来表示，通过分析场向量的大小和方向，我们可以推导出电磁场的性质和相互作用规律。
三、空间向量在计算机科学中的应用在计算机科学中，空间向量被广泛应用于图形学和计算机视觉领域。
通过使用向量表示空间中的点、线和面，我们可以高效地进行图形渲染和图像处理。
例如，在三维图形学中，我们可以使用向量来描述三维物体的形状和位置。
利用空间向量的加法和数乘运算，我们可以实现物体的平移、旋转和缩放等操作。
另外，在计算机视觉中，空间向量的应用也非常广泛。
高二数学新教材选择性必修第一册1.4.1 空间向量的应用(一)(精讲)(解析版)
1.4.1 空间向量应用（一）考法一 平面的法向量【例1】（2020年广东潮州）如图已知ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，试建立适当的坐标系． (1)求平面ABCD 的一个法向量； (2)求平面SAB 的一个法向量； (3)求平面SCD 的一个法向量．【答案】见解析【解析】以点A 为原点，AD 、AB 、AS 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (0,1,0)，C (1,1,0)，D ⎝⎛⎭⎫12，0，0，S (0,0,1)． (1)∵SA ⊥平面ABCD ，∴AS →＝(0,0,1)是平面ABCD 的一个法向量．(2)∵AD ⊥AB ，AD ⊥SA ，∴AD ⊥平面SAB ，∴AD →＝⎝⎛⎭⎫12，0，0是平面SAB 的一个法向量． (3)在平面SCD 中，DC →＝⎝⎛⎭⎫12，1，0，SC →＝(1,1，－1)．设平面SCD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )， 则n ⊥DC →，n ⊥SC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧ n ·DC →＝0，n ·SC →＝0，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋y ＝0，x ＋y －z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ，z ＝－y ，令y＝－1，得x＝2，z＝1，∴n＝(2，－1,1)．【一隅三反】1．（2020年广东惠州）正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱A1D1、A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：(1)平面BDD1B1的一个法向量；(2)平面BDEF的一个法向量．【答案】见解析【解析】设正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则D (0,0,0)，B (2,2,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，E (1,0,2)． (1)连接AC (图略)，因为AC ⊥平面BDD 1B 1，所以AC →＝(－2,2,0)为平面BDD 1B 1的一个法向量． (2)DB →＝(2,2,0)，DE →＝(1,0,2)．设平面BDEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )．∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝0，n ·DE →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝0，x ＋2z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ，z ＝－12x . 令x ＝2，得y ＝－2，z ＝－1.∴n ＝(2，－2，－1)即为平面BDEF 的一个法向量.2．（2019·涟水县第一中学高二月考）四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，,AC BD 为正方形ABCD 的对角线，给出下列命题：①BC 为平面P AD 的法向量； ②BD 为平面P AC 的法向量； ③CD 为直线AB 的方向向量；④直线BC 的方向向量一定是平面P AB 的法向量． 其中正确命题的序号是______________ 【答案】②，③，④【解析】①因为底面ABCD 是正方形，所以//BC AD ，由AD ⊂平面P AD 知BC 不是平面P AD 的法向量； ②由底面ABCD 是正方形知BD AC ⊥，因为PA ⊥底面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥，又PA AC A =，PA ⊂平面P AC ，AC ⊂平面P AC ，所以BD ⊥平面P AC ，BD 为平面P AC 的法向量，②正确；③因为底面ABCD 是正方形，所以//AB CD ，则CD 为直线AB 的方向向量，③正确； ④易知BC AB ⊥，因为PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PA BC ⊥，又PA AB A =，PA ⊂平面P AB ，AB平面P AB ，所以BC ⊥平面P AB ，故④正确.故答案为：②，③，④考点二 空间向量证明平行【例2】（2019年广东湛江二中周测）如图所示，平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ＝2，E ，F ，G 分别是线段P A ，PD ，CD 的中点．（1）求证：PB ∥平面EFG . （2）证明平面EFG ∥平面PBC 【答案】见解析 【解析】证明 ∵平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ，∴AB ，AP ，AD 两两垂直，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，2，0)， D (0，2，0)，P (0，0，2)，E (0，0，1)，F (0，1，1)，G (1，2，0)．∴PB →＝(2，0，－2)，FE →＝(0，－1，0)，FG →＝(1，1，－1)，设PB →＝sFE →＋tFG →， 即(2，0，－2)＝s (0，－1，0)＋t (1，1，－1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，t －s ＝0，－t ＝－2，解得s ＝t ＝2，∴PB →＝2FE →＋2FG →，又∵FE →与FG →不共线，∴PB →，FE →与FG →共面．∵PB ⊄平面EFG ，∴PB ∥平面EFG . （2）证明 ∵EF →＝(0，1，0)，BC →＝(0，2，0)，∴BC →＝2EF →，∴BC ∥EF .又∵EF ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，∴EF ∥平面PBC ，同理可证GF ∥PC ，从而得出GF ∥平面PBC .又EF ∩GF ＝F ，EF ，GF ⊂平面EFG ， ∴平面EFG ∥平面PBC .【一隅三反】1.在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是CC 1，B 1C 1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD ． 【答案】见解析【解析】 法一 如图，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，M ⎝⎛⎭⎫0，1，12，N ⎝⎛⎭⎫12，1，1，于是DA 1→＝(1,0,1)，DB →＝(1,1,0)，MN →＝⎝⎛⎭⎫12，0，12.设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥DA 1→，n ⊥DB →，即⎩⎪⎨⎪⎧n ·DA 1→＝x ＋z ＝0，n ·DB →＝x ＋y ＝0，取x ＝1，则y ＝－1，z ＝－1，∴平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(1，－1，－1)．又MN →·n ＝⎝⎛⎭⎫12，0，12·(1，－1，－1)＝0，∴MN →⊥n .∴MN ∥平面A 1BD ． 法二 MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C →＝12(D 1A 1→－D 1D →)＝12DA 1→，∴MN →∥DA 1→，∴MN ∥平面A 1BD ．法三 MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C →＝12DA →－12A 1A →＝12()DB →＋BA →－12()A 1B →＋BA →＝12DB →－12A 1B →. 即MN →可用A 1B →与DB →线性表示，故MN →与A 1B →，DB →是共面向量，故MN ∥平面A 1BD ．2．（2020·上海杨浦.复旦附中高二期中）已知平面α的一个法向量为(1,2,2),(2,1,0)n AB ==-，则直线AB 与平面α的位置关系为_______.【答案】直线AB 在平面α上或直线AB 与平面α平行【解析】由()12+21+200n AB ⋅=⨯-⨯⨯=，所以n AB ⊥.又向量n 为平面α的一个法向量. 所以直线AB 在平面α上或直线AB 与平面α平行. 故答案为：直线AB 在平面α上或直线AB 与平面α平行.3．（2019·江苏海陵.泰州中学高二月考）已知直线//l 平面α，且l 的一个方向向量为()2,,1a m =，平面α的一个法向量为11,,22n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则m =______. 【答案】8-【解析】由题意，知a n ⊥，∴0a n ⋅=，即()12,,11,,202m ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，∴8m =-. 故答案为：8-考法三 空间向量证垂直【例3】（2020.广东.田家炳中学）如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点．求证：AB 1⊥平面A 1BD .【答案】见解析【解析】方法一 设平面A 1BD 内的任意一条直线m 的方向向量为m .由共面向量定理，则存在实数λ，μ，使m ＝λBA 1→＋μBD →.令BB 1→＝a ，BC →＝b ，BA →＝c ，显然它们不共面，并且|a |＝|b |＝|c |＝2，a ·b ＝a·c ＝0，b·c ＝2，以它们为空间的一个基底，则BA 1→＝a ＋c ，BD →＝12a ＋b ，AB 1→＝a －c ，m ＝λBA 1→＋μBD →＝⎝⎛⎭⎫λ＋12μa ＋μb ＋λc ， AB 1→·m ＝(a －c )·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫λ＋12μa ＋μb ＋λc ＝4⎝⎛⎭⎫λ＋12μ－2μ－4λ＝0.故AB 1→⊥m ，结论得证． 方法二 取BC 的中点O ，连接AO . 因为△ABC 为正三角形，所以AO ⊥BC .因为在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，且平面ABC ∩平面BCC 1B 1＝BC ，AO ⊂平面ABC ，所以AO ⊥平面BCC 1B 1.取B 1C 1的中点O 1，以O 为原点，分别以OB ，OO 1，OA 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则B (1，0，0)，D (－1，1，0)，A 1(0，2，3)，A (0，0，3)，B 1(1，2，0)． 设平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，BA 1→＝(－1，2，3)，BD →＝(－2，1，0)． 因为n ⊥BA 1→，n ⊥BD →，故⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA 1→＝0，n ·BD →＝0，即⎩⎨⎧－x ＋2y ＋3z ＝0，－2x ＋y ＝0，令x ＝1，则y ＝2，z ＝－3，故n ＝(1，2，－3)为平面A 1BD 的一个法向量， 而AB 1→＝(1，2，－3)，所以AB 1→＝n ，所以AB 1→∥n ，故AB 1⊥平面A 1BD .【一隅三反】1．（2018·浙江高三其他）已知平面α的法向量为(2,2,4)n =-，(1,1,2)AB =--，则直线AB 与平面α的位置关系为（ ） A ．AB α⊥ B ．AB α⊂C ．AB 与α相交但不垂直D ．//AB α【答案】A 【解析】()()1,1,2,2,2,4,2,//,AB n n AB n AB AB α=--=-∴=-∴∴⊥.本题选择A 选项.2．（2020·安徽池州。
专题01 空间向量及其运算(知识梳理+专题过关)(原卷版)
专题01空间向量及其运算【知识梳理】1、空间向量的概念：（1）在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．（2）向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．（3）向量AB 的大小称为向量的模（或长度），记作A B uuu r．（4）模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量．（5）与向量a 长度相等且方向相反的向量称为a 的相反向量，记作a -．（6）方向相同且模相等的向量称为相等向量．2、空间向量的加法和减法：（1）求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则．即：在空间以同一点O 为起点的两个已知向量a 、b 为邻边作平行四边形C OA B ，则以O 起点的对角线C O 就是a 与b 的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则．（2）求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在空间任取一点O ，作a OA =，b OB =，则a b BA =-．3、实数λ与空间向量a 的乘积a λ是一个向量，称为向量的数乘运算．当0λ>时，a λ与a 方向相同；当0λ<时，a λ与a 方向相反；当0λ=时，a λ为零向量，记为0．a λ的长度是a 的长度的λ倍．4、设λ，μ为实数，a ，b 是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律．分配律：()a b a b λλλ+=+；结合律：()()a a λμλμ=．5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．6、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a ，()0b b ≠，a //b 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=．7、平行于同一个平面的向量称为共面向量．8、向量共面定理：空间一点P 位于平面C AB 内的充要条件是存在有序实数对x ，y ，使x y C AP AB A =+；或对空间任一定点O ，有x y C OP OA AB A =++；或若四点P ，A ，B ，C共面，则()1x y z C x y z OP OA OB O =++++=．9、已知两个非零向量a 和b ，在空间任取一点O ，作a OA =，b OB =，则AOB ∠称为向量a ，b 的夹角，记作a,b 〈〉．两个向量夹角的取值范围是：[]0a,b ,π〈〉∈．10、对于两个非零向量a 和b ，若2a,b π〈〉=，则向量a ，b 互相垂直，记作a b ⊥．11、已知两个非零向量a 和b ，则a b cos a,b 〈〉称为a ，b 的数量积，记作a b ⋅．即a b a b cos a,b ⋅=〈〉．零向量与任何向量的数量积为0．12、a b ⋅等于a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影b cos a,b 〈〉的乘积．13、若a ，b 为非零向量，e 为单位向量，则有()1e a a e a cos a,e ⋅=⋅=〈〉；()20a b a b ⊥⇔⋅=；()3()()a b a b a b a b a b ⎧⎪⋅=⎨-⎪⎩与同向与反向，2a a a ⋅=，a =；()4a b cos a,b a b⋅〈〉=；()5a b a b ⋅≤．14、数量乘积的运算律：()1a b b a ⋅=⋅；()2()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；()3()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅．15、空间向量基本定理：若三个向量a ，b ，c 不共面，则对空间任一向量p ，存在实数组{}x,y,z ，使得p xa yb zc =++．16、三个向量a ，b ，c 不共面，则所有空间向量组成的集合是{}p p xa yb zc,x,y,z R =++∈．这个集合可看作是由向量a ，b ，c 生成的，{}a,b ,c 称为空间的一个基底，a ，b ，c 称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．17、设1e ，2e ，3e 为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以1e ，2e ，3e 的公共起点O 为原点，分别以1e ，2e ，3e 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz O ．则对于空间任意一个向量p ，一定可以把它平移，使它的起点与原点O 重合，得到向量OP p =．存在有序实数组{}x,y,z ，使得123p xe ye ze =++．把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底1e ，2e ，3e 下的坐标，记作()p x,y,z =．此时，向量p 的坐标是点P 在空间直角坐标系xyz O 中的坐标()x,y,z ．【专题过关】【考点目录】考点1：空间向量及其线性运算考点2：共线问题考点3：共面问题考点4：空间向量基本定理考点5：模长、数量积、夹角问题【典型例题】考点1：空间向量及其线性运算1．（2021·福建·浦城县教师进修学校高二期中）给出下列命题①空间中所有的单位向量都相等；②方向相反的两个向量是相反向量；③若,a b 满足a b >，且,a b 同向，则a b >；④零向量的方向是任意的；⑤对于任意向量,a b ，必有a b a b +≤+．其中正确命题的序号为（）A ．①②③B ．⑤C ．④⑤D ．①⑤2．（2021·广东深圳·高二期中）在正方体1111ABCD A B C D -中，111AB D A D D --=（）A ．1AD B ．1AC uuu rC ．1ABD ．1AA 3．（2022·福建龙岩·高二期中）如图，在三棱锥O ABC -中，E 为OA 的中点，点F 在BC 上，满足2BF FC =，记OA ，OB ，OC 分别为a ，b ，c ，则EF =（）A ．112233a b c-++B ．121233a b c-++C ．211322a b c-++D ．211322a b c--4．（2021·安徽宿州·高二期中）如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，E 为AC 与BD 的交点，则下列向量中与1D E 相等的向量是（）A ．111111122A B A D A A -+B ．111111122A B A D A A ++C ．111111122A B A D A A-++D ．111111122A B A D A A --+5．（2021·河北省博野中学高二期中）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 和BD 的交点11=A B a ，若11=A D b ，1=A A c ，则1=M B （）A ．1122a b c-++B ．111222a b ++C ．1122-+a b cD ．1122--+a b c6．（2021·云南·峨山彝族自治县第一中学高二期中）空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，则1122AB BC BD ++=（）A ．EFB ．FAC ．AFD ．FE7．（2021·黑龙江·齐齐哈尔市第八中学校高二期中）如图所示空间四边形ABCD ，连接AC 、BD ，设M 、G 分别满足2BM MC =，2DG GC =，则MG AB AD -+等于（）A ．32DBB ．4MGC ．23GMD ．23MG考点2：共线问题8．（2022·甘肃·高台县第一中学高二期中（理））对于空间任意一点O ，以下条件可以判定点P ､A ､B 共线的是___________（填序号）.①(),0OP OA t AB t t =+∈≠R ；②5OP OA AB =+；③(),0OP OA t AB t t =-∈≠R ；④OP OA AB =-+.9．（2022·全国·高二课时练习）在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 在对角线1D B 上，且113D E EB =，点F 在棱11D C 上，若A 、E 、F 三点共线，则1D F =________1FC ．10．（多选题）（2021·全国·高二期中）下列命题中不正确的是（）A ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线B ．向量a ，b ，c 共面，即它们所在的直线共面C ．若两个非零空间向量AB ，CD ，满足0AB CD +=，则AB ∥CD D ．若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a =λb11．（2022·江西南昌·高二期中（理））已知非零向量324a m n p =--，(1)82b x m n y p =+++，且m 、n 、p 不共面．若//a b ，则x y +=（）．A ．13-B ．5-C ．8D ．1312．（2021·广东·兴宁市叶塘中学高二期中）如图，已知空间四边形ABCD ，点E ，H 分别是AB ，AD 的中点，点F ，G 分别是CB ，CD 上的点，且23CF CB =，23CG CD =.用向量法求证：四边形EFGH 是梯形.13．（2021·全国·高二课时练习）已知A 、B 、P 共线，O 为空间任意一点（O 、A 、B 不共线），且存在实数α、β，使OP OA OB αβ=+，求αβ+的值．14．（2021·重庆市第十一中学校高二期中）边长为4的正方体1111ABCD A B C D -内（包含表面和棱上）有一点P ，M ，N 分别为11A B ，1DD 中点，且(,)AP AM AN R λμλμ=+∈．若111()D P t D C t R =∈，则t =______；若11()A P k A C k R =∈，则三棱锥P ABC -体积为______．15．（2021·全国·高二课时练习）已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，若2OA OB OC μ=+，则μ＝________；存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使0OA mOB nOC λ++=，那么λ＋m ＋n 的值为_______．考点3：共面问题16．（2022·上海市控江中学高二期中）下列条件中，一定使空间四点P ､A ､B ､C 共面的是（）A ．OA OB OC OP++=-uu r uu u r uuu r uu u rB ．OA OB OC OP++=uu r uu u r uuu r uu u r C ．2OA OB OC OP++=uu r uu u r uuu r uu u r D ．3OA OB OC OP++=17．（2022·江苏连云港·高二期中）已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，下列条件中能确定P ，A ，B ，C 四点共面的是（）A ．OP OA OB OC =++B ．2O P O A O B O C=--C ．111532OP OA OB OC=++D ．111333OP OA OB OC=++18．（2022·江苏常州·高二期中）对于空间任意一点O ，若111236OP OA OB OC =++，则A ，B ，C ，P 四点（）A ．一定不共面B ．一定共面C ．不一定共面D ．与O 点位置有关19．（2021·河北保定·高二期中）若{},,a b c 构成空间的一组基底，则下列向量不共面的是（）A ．a b +，a b -，bB ．a b -，a b c -+，c-C ．2a b +，2a b -r r，a c+D ．2a b -r r，42b a -，a c+20．（2022·江苏·高二期中）已知空间A 、B 、C 、D 四点共面，且其中任意三点均不共线，设P 为空间中任意一点，若54BD PA PB PC λ=-+，则λ=（）A ．2B ．2-C ．1D ．1-21．（2021·四川凉山·高二期中（理））已知平面ABCD 外任意一点O 满足15133OA OB OC OD λλ=++-⎛⎫⎪⎝⎭，R λ∈．则λ取值是（）A ．12B ．25C ．13D ．1622．（2019·四川省眉山第一中学高二期中（理））在下列命题中：①若向量,a b 共线，则,a b 所在的直线平行；②若向量,a b 所在的直线是异面直线，则向量,a b 一定不共面；③若三个向量,,a b c 两两共面，则三个向量,,a b c 一定也共面；④已知三个向量,,a b c ，则空间任意一个向量p 总可以表示为p xa yb zc =++.其中正确命题的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．323．（2021·全国·高二期中）已知在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，M 为空间任意两点，如果1111764PM PB BA AA A D =++-，那么点M 必（）A ．在平面1BAD 内B ．在平面1BA D 内C ．在平面11BAD 内D ．在平面11AB C 内24．（2021·全国·高二期中）在四面体OABC 中，空间的一点OM 满足1126OM OA OB OC λ=++，若MA ，MB ，MC 共面，则λ=（）A ．12B ．13C ．512D ．71225．（2022·江西南昌·高二期中（理））已知平行四边形ABCD ，从平面AC 外一点O 引向量OE kOA =，OF kOB =，OG kOC =，OH kOD =.(1)求证：E F G H ，，，四点共面；(2)平面AC ∥平面EG .26．（2021·福建·厦门市国祺中学高二期中）已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．(1)用向量法证明E ，F ，G ，H 四点共面；(2)设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有()14OM OA OB OC OD =+++．考点4：空间向量基本定理27．（2022·江苏·东海县教育局教研室高二期中）在四面体OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 在OA 上，且2OM MA =，N 是BC 的中点，则MN =（）A ．121232a b c-+B ．221332a b c+-r r rC ．111222a b c+-D ．211322a b c-++28．（2022·四川省绵阳南山中学高二期中（理））如图，OABC 是四面体，G 是ABC 的重心，1G 是OG 上一点，且13OG OG =，则（）A ．1OG OA OB OC =++B ．1111333OG OA OB OC=++C ．1111444OG OA OB OC =++D ．1111999OG OA OB OC=++29．（2022·四川成都·高二期中（理））如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11AC 与11B D 的交点，若AB a =，AD b =，1AA c =，则BM =（）A ．1122a b c-+B ．1122a b c++C ．1122a b c--+D ．1122-++a b c30．（2022·江苏扬州·高二期中）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c =，若E 为1DD 的中点，F 在BD 上，且3BF FD =，则EF 等于（）A ．111332a b c--B ．111442a b c--C ．111442a b c-+D ．111233a b c-+31．（2020·陕西·渭南高级中学高二期中（理））已知向量{},,a b c 是空间的一基底，向量{},,a b a b c +-是空间的另一基底，一向量p 在基底{},,a b c 下的坐标为()1,2,3，则向量p 在基底{},,a b a b c +-下的坐标为（）A ．13322⎛⎫⎪⎝⎭，B ．31,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．133,,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．13,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭32．（2021·安徽省六安中学高二期中（文））如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为,OB AC ，,M N 分别为,OA BC 的中点，点G 在线段MN 上，3MG GN =，若OG xOA yOB zOC =++，则x y z ++=（）A ．118B ．98C ．78D ．5833．（2022·福建龙岩·高二期中）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点E 是线段1CD 的中点，3AC AF =，设AB a =，AD b =，1AA c =，则EF =（）A ．521632a b c+-r r rB ．121632a b c ---r r rC ．121632a b c++r r rD ．521632a b c --+r r r34．（2022·江苏·泰州中学高二期中）在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1CM MD =，14CQ QA =，则（）A ．11122AM AB AD AA =++B ．11122AQ AB AD AA =++C ．1113444AQ AB AD AA =++D ．1114555AQ AB AD AA =++35．（2021·天津市第五十五中学高二期中）如图，在空间四边形ABCD 中，2=-AB a c ，568=+-CD a b c ，棱AC ，BD ，BC 的中点分别为E ，F ，G ，若33=--+FE a b c λ，则λ=_____．36．（2022·上海市控江中学高二期中）如图，在四面体ABCD 中，E 是BC 的中点，设1AB e =，2AC e =，3AD e =uuu r u r ，请用1e ､2e ､3e 的线性组合表示DE =uuu r___________.37．（2022·江苏常州·高二期中）已知P 是ABC 所在平面外一点，2=PM MC ，且BM x AB y AC z AP =++，则实数x y z ++的值为____________.考点5：模长、数量积、夹角问题38．（2022·江苏常州·高二期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面是边长为1的正方形，若1160A AB A AD ∠=∠=︒，且12AA =，则1AC 的长为（）AB ．C D39．（2021·安徽·高二期中）正四面体ABCD 棱长为2，E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，则GE GF ⋅的值为（）A ．12B ．1C ．2D ．440．（2022·江苏·海安县实验中学高二期中）已知四面体ABCD ，所有棱长均为2，点E ，F 分别为棱AB ，CD 的中点，则AF CE ⋅=（）A ．1B ．2C ．-1D ．-241．（2022·山东·东营市第一中学高二期中）已知a 、b 都是空间向量，且2,3a b π=，则2,3a b -=（）A ．3πB ．6πC ．23πD ．56π42．（2021·广东·珠海市第二中学高二期中）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，()1,2,,8i P i =是上底面上其余的八个点，则()1,2,,8i AB AP i ⋅=的不同值的个数为（）．A ．1B ．2C ．4D ．843．（多选题）（2022·江苏省镇江中学高二期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M 为11AC 与11B D 的交点，若1,,AB A b c a D AA ===，则下列正确的是（）A ．1122BM a c=-+B ．1AC a b c =++C ．1AC D ．16cos ,3AB AC =44．（2022·江苏·常州市第一中学高二期中）已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，底面边长和侧棱长均为2，1160A AB A AD ∠=∠=︒，则对角线1AC 的长为________．45．（2019·上海市七宝中学高二期中）已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为______．46．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））如图，在平行六面体中，2AB =，1AD =，14AA =，90DAB ∠=︒，1160DAA BAA ∠=∠=︒，点M 为棱1CC 的中点，则线段AM 的长为______．47．（2022·江苏·沛县教师发展中心高二期中）已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE CF ⋅的值为_________.48．（2021·山东济宁·高二期中）已知平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，12AA =，1160A AB A AD ∠=∠=︒．(1)求1AD AC ⋅；(2)求1AC ．49．（2021·湖北·高二期中）已知平行六面体1111ABCD A B C D -，底面ABCD 是正方形，1AD AB ==，12AA =，1160A AB DAA ∠=∠=︒，1113AC NC =，12D B MB =，设AB a =，AD b =，1AA c =.(1)试用a 、b 、c 表示AN ；(2)求MN 的长度.。
空间向量的应用
空间向量的应用一、基本知识点空间向量为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具.学生在运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题时，可以到体会向量方法在研究几何图形中的巨大作用，可以减少繁琐的推理过程，直接通过公式计算解决问题.1、利用向量表示空间直线与平面设点是直线上一定点，是上任意一点，是的一个方向向量，则的向量表示形式为，其中为实数.（Ⅰ）设为平面内一定点，是内任意一点，，分别是内两个不共线的向量，则有向量表示形式，其中，为实数.（Ⅱ）设为平面内一定点，是内任意一点，是平面的一个法向量，则有向量表示形式（点法式）.2、利用向量表示空间直线与平面的位置关系设直线，的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则：线线平行 ； 线面平行 ；面面平行 . 线线垂直 ；线面垂直 ； 面面垂直 .线线夹角 ，的夹角为（），；线面夹角 ，的夹角为（），；面面夹角 ，的夹角为（），.注意：（Ⅰ）这里的线线平行包括重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合.（Ⅱ）这里线线夹角、线面夹角、面面夹角的范围是.二面角的大小可以用其平面角的大小来定义，它的取值范围是，具体取，还是取，建议结合具体问题（例如结合图形）而定.（1）．直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量坐标运算方法设直线l 的方向向量分别为a ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a 2，b 2，c 2)，v ＝(a 3，b 3，c 3)，则(1)线面平行：l ∥α⇔a ⊥μ⇔a ·μ＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0..(2)线面垂直：l ⊥α⇔a ∥μ⇔a ＝k μ⇔a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2.(3)面面平行：α∥β⇔μ∥v ⇔μ＝λv ⇔a 2＝λa 3，b 2＝λb 3，c 2＝λc 3.(4)面面垂直：α⊥β⇔μ⊥ν⇔μ·v ＝0⇔a 2a 3＋b 2b 3＋c 2c 3＝0.（2）．空间角的计算(1)两条异面直线所成的角设直线a ，b 的方向向量为a ，b ，其夹角为θ，则cos φ＝|cos θ|＝|a ·b ||a ||b |(其中φ为异面直线a ，b 所成的角)．(2)直线和平面所成的角如图所示，设直线l 的方向向量为e ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为φ，两向量e与n 的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝|e ·n ||e ||n |.(3)二面角如图所示，二面角α－l －β，平面α的法向量为n 1，平面β的法向量为n 2，〈n 1，n 2〉＝θ，则二面有α－l －β的大小为θ或π－θ.二、 “三部曲”解决问题的基本思想方法用向量方法解决立体几何问题的三部曲是向量应用的一个重要思想方法，它的重要性等同于解析几何中的解析法，我们建议它的教学可以先给出一些具体问题的解法，启发学生归纳出过程中的这三步：①建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；②进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系（距离和夹角等）；③根据运算结果的几何意义来解释相关问题.例 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是.那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？题型一：建系中的问题向量坐标方法在使用时建立坐标系是重要的一环，我们应针对几何体的形状以有利于求向量的坐标为原则来建系.在利用向量坐标方法的初级阶段，试题所给的几何体都是非常规整的，一般会出现“三个垂直”，可以直接利用题目所给的图形和其中的线段建立坐标系，一般不需要添加辅助线，有利于向量方法解题.但随着课程的推进，对题目的设计就会逐渐按照题目本身的面目出现，而不再刻意追求规整的“三个垂直”，目的是使得大家对空间向量方法的有一个全面正确的认识和熟练的使用，即认识到向量方法中也有空间想象能力和推理论证能力的要求.因此，利用向量方法中的“算”应该是以一定的空间想象和思辨论证为基础的.我们看几个例子：1、选择适合位置建系例1、如图，直三棱柱中，，，为的中点，为上的一点，．（Ⅰ）证明：为异面直线与的公垂线；（Ⅱ）设异面直线与的夹角为45°，求二面角的大小．非常规位置放置，考查概念、空间想象能力，建系的灵活性.本题中这样建系，对于平面内的点的坐标是比较容易求解的——选择适合位置建系.变式：如图，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，分别为，，的中点，，．（Ⅰ）设是的中点，证明：平面；（Ⅱ）证明：在内存在一点，使平面，并求点到，的距离．注意：比较两种方法，显然综合法要简捷一些；另外学生利用向量方法计算时的准确率是至关重要的，要注意运算技能的指导与训练.2、先证明后建系例1如图，正方形和四边形所在的平面互相垂直，，，，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求二面角的大小.题型二：求点的坐标问题在建立适当的坐标系后，求向量的坐标是运用向量方法的第二个环节，如果几何体比较规整，则向量的坐标一般比较好求，但有时向量坐标的求解也要与其他方法相结合.例1：如图，四棱锥的底面是菱形，其对角线，，，都与平面垂直，，.（Ⅰ）求二面角的大小；（Ⅱ）求四棱锥与四棱锥公共部分的体积.题型三：含参数问题的处理例1如图，四边形是边长为1的正方形，平面，平面，且，为的中点.（Ⅰ）求异面直线与所成角的余弦值；（Ⅱ）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由.变式：1、在四棱锥中，侧面底面，，为中点，底面是直角梯形，，，，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）设为侧棱上一点，，试确定的值，使得二面角为.2. （本小题满分12分）如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，11AA=，3AB k=，．（Ⅰ）求证：CD ⊥平面ADD 1A 1；（Ⅱ）若直线AA 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为，求k 的值.题型四：基向量方法的运用用坐标向量法求解的难点在于建立空间直角坐标系及求出某些点的坐标（如上底面的顶点）；用传统综合456(0)AD k BC k DC k k ===>，，67几何方法求解的难点在于作出合适的辅助线，以及需要利用某些特殊性质作为基本性质，而在某些情况下利用非坐标向量方法求解，一方面不需要作辅助线，极大地降低了难度，另一方面由于基底可以自由选择，降低了建立空间直角坐标系所需要的某些苛刻要求，从而使得求解过程简洁明了.例1：已知矩形所在平面和矩形所在平面垂直，为公共边.点，分别在对角线，上，且||=||，||=||.变式：1、如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，则异面直线和所成的角的大小是 .例2：在如图所示的几何体中，平面，平面，，且，是的中点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求与平面所成的角.变式：1、已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于（）A． B． C． D．。
空间向量的应用(1)
2
−
= 0,
2
− 1 = 0,
所以
1 − − = 0.
A
2
因为上式无解，
所以不存在点在线段上，满足//.
P
E
F
D
C
B
（解法二）
解：采用第（1）问的空间直角坐标系，
若存在点在线段上，
z
P
所以存在 ∈ (0,1)，使得 = .
因为 = 1,1, −1 ，所以 = , , − .
每根绳子所在直线与水平面成角为60°，
30°
其拉力与水平面向上的法向量的夹角为30°.
60°
α
解：设水平面向上的单位法向量为，
其中第根绳子拉力为 ，
则 在上的投影向量为( ⋅ ) .
因为 和水平面所成角为60°，
所以 和的夹角为30°.
所以
3
⋅ =
.
//，请说明理由.
P
F
E
D
A
C
B
问题2： 如何用空间向量来证明 ⊥ ？
计算向量和的数量积.
P
追问1：选择哪三个向量作为基底呢？
，，.
F
追问2：能用这组基向量表示和么？
1
1
1
= + ， = − + − .
2
2
2
E
D
A
C
B
所以，不存在点在线段上，
使得//.
z
P
E
F
D
x
A
C
B
y
小
结
问题5：运用空间向量判断立体几何中位置关系的一般策略是什么？
空间向量及其应用
空间向量及其应用一、 空间向量1、空间向量定义：空间既有大小、又有方向的量叫做空间向量。
用带有箭头的线段表示。
以A 为始点，B 为终点的空间向量记作AB ，也可用a 表示，以AB 表示AB 的模。
2、相等的向量、零向量、负向量、单位向量、向量的平移、向量的平行、向量的夹角等概念与平面向量类似。
3、空间向量的运算：空间向量的和、差、数乘向量、数量积等运算的定义及其运算率与平面向量的相应运算及其运算率类似。
加法的平行四边形法则、三角形法则，减法的三角形法则在空间向量中仍适用。
例1、在平行六面体1AC 中，设111,,BA a BC b BD c ===，用,,a b c 表示下列向量： （1）AB ； （2）1BB ； （3）BD ； （4）1CB ； （5）1AC 。
解：（1）AB b c =-； （2）1BB a b c =+-； （3）BD 2c a b =--； （4）1CB 22a b c =+-；（5）1AC 2b c =-。
例2、已知平行六面体1AC ，点M 在对角线1A B 上，且112A M MB =，点N 在对角线1A C 上，且113A N NC =，求证：1,,M N D 三点共线。
证：设1,,AB a AD b AA c ===， 则()111133A M AB a c ==-， 所以()1111133D M D A A M a b c =+=--， ()111144A N AC a c b ==-+， 所以()1111134D N D A A N a b c =+=--， 1143D M D N =，所以1,,M N D 三点共线。
例3、已知向量a b ⊥，向量c 与,a b 的夹角都为60，且1,2,3a b c ===，求A BC1AD1B1C1DNM（1）()()323a b b c -⋅-； （2）2a b c +-； （3）2a b c +-与b 的夹角θ。
解：30,,32a b a c b c ⋅=⋅=⋅=， （1）()()73232a b b c -⋅-=-； （2）211a b c +-=；（3）()25a b c b +-⋅=，所以cos θ，θ=。
空间向量及其应用
第六节 空间向量及其应用考纲解读1.空间向量及其运算.（1）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；（2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；（3）掌握空间向量的数量积及其表示，能用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 2.空间向量的应用.（1）理解直线的方向向量与平面的法向量；（2）能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系； （3）能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；（4）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的应用. 命题趋势探究立体几何试题中，证明线面、面面的位置关系一般利用传统方法（非向量法）证明，对于空间角和距离的计算，既可用传统方法解答，也可以用向量法解答，而且多数情况下向量法会更容易一些.预测在2015年高考对本专题的考查会在解答题中以中档题出现，分值保持在12分左右. 知识点精讲一、空间向量及其加减运算1.空间向量在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模.空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量a 的起点是A ，终点是B ，则向量a 也可以记作AB ，其模记为a 或AB .2.零向量与单位向量规定长度为0的向量叫做零向量，记作0.当有向线段的起点A 与终点B 重合时，0AB =.模为1的向量称为单位向量. 3.相等向量与相反向量方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量.与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量，记为a -. 4.空间向量的加法和减法运算（1）OC OA OB a b =+=+，BA OA OB a b =-=-.如图8-152所示.（2）空间向量的加法运算满足交换律及结合律 a b b a +=+，()()a b c a b c ++=++ 二、空间向量的数乘运算1．数乘运算实数λ与空间向量a 的乘积a λ称为向量的数乘运算.当0λ>时，a λ与向量a 方向相同；当0λ<时，向量a λ与向量a 方向相反. a λ的长度是a 的长度的λ倍.2.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律()a b a b λλλ+=+，()()a a λμλμ=.3.共线向量与平行向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作//a b .4.共线向量定理对空间中任意两个向量a ，b ()0b ≠，//a b 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=. 5.直线的方向向量如图8-153所示，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线.对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使OP OA ta =+①，其中向量a 叫做直线l的方向向量，在l 上取AB a =，则式①可化为()()1OP OA t AB OA t OB OA t OA tOB =+=+-=-+②①和②都称为空间直线的向量表达式，当12t =，即点P 是线段AB 的中点时，()12OP OA OB =+，此式叫做线段AB 的中点公式. 6.共面向量如图8-154所示，已知平面α与向量a ，作OA a =，如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，则说明向量a 平行于平面α.平行于同一平面的向量，叫做共面向量.7.共面向量定理如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(),x y ，使p xa yb =+.推论：（1）空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在有序实数对(),x y ，使AP xAB y AC =+；或对空间任意一点O ，有OP OA x AB y AC -=+，该式称为空间平面ABC 的向量表达式.（2）已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，满足向量关系式OP xOA yOB zOC =++（其中1x y z ++=）的点P 与点A ，B ，C 共面；反之也成立.三、空间向量的数量积运算1.两向量夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA a =，OB b =，则AOB ∠叫做向量a ，b 的夹角，记作,a b ，通常规定0,a b π≤≤，如果,2a b π=，那么向量a ，b 互相垂直，记作a b ⊥.2.数量积定义已知两个非零向量a ，b ，则cos ,a b a b 叫做a ，b 的数量积，记作a b ⋅，即cos ,a b a b a b ⋅=.零向量与任何向量的数量积为0，特别地，2a a a ⋅=.3.空间向量的数量积满足的运算律： ()()a b a b λλ⋅=⋅，a b b a ⋅=⋅（交换律）； ()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律）. 四、空间向量的坐标运算及应用（1）设()123,,a a a a =，()123,,b b b b =，则()112233,,a b a b a b a b +=+++；()112233,,a b a b a b a b -=---；Aaaα图 8-154O()123,,a a a a λλλλ=； 112233a b a b a b a b ⋅=++；()112233//0,,a b b a b a b a b λλλ≠⇒===； 1122330a b a b a b a b ⊥⇒++=.（2）设()111,,A x y z ，()222,,B x y z ，则()212121,,AB OB OA x x y y z z =-=---. 这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标.（3）两个向量的夹角及两点间的距离公式.①已知()123,,a a a a =，()123,,b b b b =，则221a a a ==+221b b b ==+；112233a b a b a b a b ⋅=++；cos ,a b =；②已知()111,,A x y z ，()222,,B x y z ，则(AB x =或者(),d A B AB =.其中(),d A B 表示A 与B 两点间的距离，这就是空间两点的距离公式.（4）向量a 在向量b 上的射影为cos ,a b a a b b⋅=.（5）设()0n n ≠是平面M 的一个法向量，AB ，CD 是M 内的两条相交直线，则0n AB ⋅=，由此可求出一个法向量n （向量AB 及CD 已知）.（6）利用空间向量证明线面平行：设n 是平面的一个法向量，l 为直线l 的方向向量，证明0l n ⋅=，（如图8-155所示）.已知直线l （l α⊄），平面α的法向量n ，若0l n ⋅=，则//l α.（7）利用空间向量证明两条异面直线垂直：在两条异面直线中各取一个方向向量a ，b ，只要证明a b ⊥，即0a b ⋅=.（8）利用空间向量证明线面垂直：即证平面的一个法向量与直线的方向向量共线.（9）证明面面平行、面面垂直，最终都要转化为证明法向量互相平行、法向量互相垂直.（10）空间角公式.①异面直线所成角公式：设a ，b 分别为异面直线1l ，2l 上的方向向量，θ为异面直线所成角的大小，则cos cos ,a b a b a bθ⋅==.②线面角公式：设l 为平面α的斜线，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量，θ为l 与α所成角的大小，则sin cos ,a n a n a nθ⋅==.③二面角公式：设1n ，2n 分别为平面α，β的法向量，二面角的大小为θ，则12,n n θ=或12,n n π-（需要根据具体情况判断相等或互补），其中1212cos n n n n θ⋅=.（11）点A 到平面α的距离为d ，B α∈，n 为平面α的法向量，则AB n d n⋅=.题型归纳及思路提示题型116 空间向量及其运算思路提示空间向量的运算包括空间向量的加法、减法、数乘、数量积的几何意义及坐标运算，可以类比平面向量的运算法则.一、空间向量的加法、减法、数乘运算例8.41 如图8-156所示，已知空间四边形OABC ，点,M N 分别为OA ，BC 的中点，且OA a =，OB b =，OC c =，用a ，b ，c 表示MN ，则MN=.解析1122OM OA a ==，()()1122ON OB OC b c=+=+，()()111222MN ON OM b c a b c a =-=+-=+-.变式1 如图8-157所示，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M 和N 分别是对边OA 和BC 的中点，点G 在线段MN 上，且2MG GN =，现用基向量OA ，OB ，OC 表示向量OG ，设OG xOA yOB zOC =++，则,,x y z 的值分别是（ ）.A 111,,333x y z ===.B 111,,336x y z ===.C 111,,363x y z ===.D 111,,633x y z ===变式2 如图8-158所示，在四面体O ABC -中，OA a =，OB b =，OC c =，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE = （用a ，b ，c 表示）.变式3 在空间四边形ABCD 中，连接对角线,AC BD ，若BCD ∆是正三角形，且E 为其重心，则1322AB BC DE AD +--的化简结果为 . 变式4 如图8-159所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）.A 1122a b c -++ .B 1122a b c ++.C 1122a b c --+ .D 1122a b c -+二、空间共线向量定理的应用空间共线向量定理：()//0a b b a b λ≠⇔=. 利用此定理可解决立体几何中的平行问题.例8.42 已知3240m a b c =--≠，()182n x a b yc =+++，且,,a b c 不共面，若//m n ，求,x y 的值.解析 因为//m n 且0m ≠，所以n m λ=，即()()182324x a b yc a b c λ+++=--.又因为,,a b c 不共面，所以138224x y λλλ+=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，解得138x y =-⎧⎨=⎩.二、空间向量的数量积运算121212cos ,a b a b a b x x y y z z ⋅==++；求模长时，可根据2222111a a x y z ==++求空间向量夹角时，可先求其余弦值cos ,a b a b a b⋅=.要判断空间两向量垂直时，可以求两向量的数量积是否为0，即0a b a b ⋅=⇔⊥.,a b 为锐角0a b ⇒⋅>；,a b 为钝角0a b ⇒⋅<.由此，通常通过计算a b ⋅的值来判断两向量夹角是锐角还是钝角.例8.43 已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点,E F 分别是,BC AD 的中点，AE ⋅AF 的值为（ ）..A 2a .B 21.2B a 21.4C a 23.4D a 解析 依题意，点,EF 分别是,BC AD 的中点，如图8-160所示，AE ⋅AF ()1122AB AC AD =+⋅()14AB AD AC AD =⋅+⋅ ()22211cos60cos6044a a a =︒+︒=. 故选C .变式1 如图8-161所示，已知平行六面体1111ABCD A B C D -中，1160A AD A AB DAB ∠=∠=∠=︒，且11A A AB AD ===，则1AC = .变式2 如图8-162所示，设,,,A B C D 是空间不共面的4个点，且满足0AB AC ⋅=，0AD AC ⋅=，0AD AB ⋅=，则BCD ∆的形状是（ ）..A 钝角三角形 .B 直角三角形 .C 锐角三角形 .D 无法确定例8.44 如图8-163所示，在45︒的二面角l αβ--的棱上有两点,A B ，点,C D 分别在,αβ内，且AC AB ⊥，45ABD ∠=︒，1AC BD AB ===，则CD 的长度为 . 分析 求CD 的长度转化为求空间向量CD 的模.解析 因为CD CA AB BD =++，故()22CD CA AB BD =++ 222222CA AB BD CA AB AB BD CA BD =+++⋅+⋅+⋅1110211cos1352CA BD =++++⨯⨯⨯︒+⋅，设点C 在β内的射影为H ，则HA AB ⊥，,135HA BD =︒.故()CA BD CH HA BD CH BD HA BD⋅=+⋅=⋅+⋅10cos1351cos 45cos1352HA BD =+︒=⨯︒︒=-.故22CD =，则2CD =-变式1 已知二面角l αβ--为60︒，动点,P Q 分别在面,αβ内，P 到βQ 到α的距离为,P Q 两点之间距离的最小值为（ ）..2B C .4D变式2 在直角坐标系中，设()3,2A ，()2,3B --，沿y 轴把坐标平面折成120︒的二面角后，AB 的长为（ ）.A B C D例8.45 如图8-164所示，设动点P 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，记11D PD Bλ=.当APC ∠为钝角时，求λ的取值范围. 解析 由题设可知，以1,,DA DC DD 为单位正交基底，建立如图8-165所示的空间直角坐标系D xyz -，则有()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ，()10,0,1D . 由()11,1,1D B =-，()11,,D P D B λλλλ==-，()()()111,0,1,,1,,1PA D A D P λλλλλλ=-=---=---，()()()110,1,1,,,1,1PC DC D P λλλλλλ=-=---=---. 显然APC ∠不是平角，所以APC ∠为钝角，cos cos ,0PA PC APC PA PC PA PC⋅∠==<，等价于0PA PC ⋅<，即()()()()()21110λλλλλ--+--+-<，得113λ<<.因此，λ的取值范围是1,13⎛⎫⎪⎝⎭.评析 利用向量知识将APC ∠为钝角转化为cos ,0PA PC <求解是本题的关键. 变式1 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 在线段1BD 上，当APC ∠最大时，三棱锥P ABC -的体积为（ ）.1.24A 1.18B 1.9C 1.12D 例8.46 如图8-166所示，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为正三角形，底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 为底面ABCD 内的一个动点，且满足MP MC =，则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为（ ）.解析 取AD 的中点O ，以OA 为x 轴，垂直于OA 的OE 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系如图8-167所示.设(),,0M x y ，正方形的边长为a ，30,0,2P a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,,02a C a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()222a MC x y a ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭22234MP x y a =++，MP MC =， 得()22222324a a x y a x y ⎛⎫++-=++ ⎪⎝⎭，即202a x y -+=.所以点M 在正方形ABCD 内的轨迹为一条线段，且过D 点和AB 的中点.故选A .评注 本题利用空间线面位置关系求解也很快.由题意知空间内与两定点距离相等的点均在线段中垂面内，即M 在线段PC 的中垂面内.又M 为底面ABCD 内一动点，则M 的轨迹为两平面的交线落在底面内的部分，排除C 、D .又BP BC >，故排除B .故选A .变式1 到两互相垂直的异面直线距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（ ）..A 直线 .B 椭圆 .C 抛物线 .D 双曲线变式2 空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离，已知平面α，β，γ两两互相垂直，点A α∈，点A 到β，γ的距离都是3，点P 是α上的动点，满足P 到β的距离是点P 到点A 距离的2倍，则点P 的轨迹上的点到γ的距离的最小值是（ ）..33A -.33B -.63C .3D 题型117 空间向量在立体几何中的应用思路提示用向量法可以证点共线、线共点、线（或点）共面、两直线（或线与面、面与面）垂直的问题，也可以求空间角和距离.因此，凡涉及上述类型的问题，都可以考虑利用向量法求解，且其解法一般都比较简单.用向量法解题的途径有两种：一种是坐标法，即通过建立空间直角坐标系，确定出一些点的坐标，进而求出向量的坐标，再进行坐标运算；另一种是基底法，即先选择基向量（除要求不共面外，还要能够便于表示所求的目标向量，并优先选择相互夹角已知的向量作为基底，如常选择几何体上共点而不共面的三条棱所在的向量为基底），然后将有关向量用基底向量表示，并进行向量运算.一、证明三点共线（如A ，B ，C 三点共线）的方法先构造共起点的向量AB ，AC ，然后证明存在非零实数λ，使得AB AC λ=. 例8.47 如图8-168所示，已知在长方体1111ABCD A B C D -中，点M 为1DD 的中点，点N 在AC 上，且:2:1AN NC =，点E 为BM 的中点.求证：1A ，E ，N 三点共线.解析 以D 为坐标原点建立空间直角坐标系-D xyz ，如图8-169所示.不妨设DA a =，DC b =，1DD c =，则0,0,2c M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),,0B a b ，,,224a b c E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,0,A a c ，2,,033a b N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则13,,224a b c A E ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，122,,33a b A N c ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，因为1143A N A E =，故1A ，E ，N 三点共线.变式1 在正方体1111ABCD A B C D -中，E ,F 分别为棱1AA 和1CC 的中点，则在空间中与三条直线11A D ，EF ，CD 都相交的直线（ ）..A 不存在 .B 有且只有两条 .C 有且只有三条 .D 有无数条变式2 如图8-170所示，在空间四边形ABCD 中，M ，N 分别是AB 和CD 的中点，P 为线段MN 的中点，Q 为BCD ∆的重心.求证：,,A P Q 三点共线.二、证明多点共面的方法要证明多点（如A ，B ，C ，D ）共面，可使用以下方法解题.先作出从同一点出发的三个向量（如AB ，AC ，AD ），然后证明存在两个实数,x y ，使得AD x AB y AC =+.例8.48 如图8-171所示，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，90BAD FAB ∠=∠=︒，1//2BC AD ，1//2BE AF .求证：,,,C D E F 四边共面. 解析 由平面ABEF ⊥平面ABCD ，又AF AB ⊥，平面ABEF 平面ABCD AB =， 得AF ⊥平面ABCD ，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -，如图8-172所示.设AB a =，BC b =，BE c =，则(),0,0B a ，(),,0C a b ，()0,2,0D b ，(),0,E a c ， ()0,0,2F c .()0,,CE b c =-，()0,2,2DF b c =-，因为2DF CE =，所以//DF CE ，则 ,CE DF 确定一个平面，即,,,C D E F 四点共面.变式 1 如图8-173所示，已知平行六面体1111ABCD A B C D -，,,,E F G H 分别是棱11111,,,A D D C C C AB 的中点.求证：,,,E F G H 四点共面.三、证明直线和直线平行的方法将证线线平行转化为证两向量共线.设,a b 是两条不重合的直线，它们的方向向量分别为,a b ，则()//,0a b a b R λλλ⇔=∈≠.例8.49 如图8-174所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，MN 是异面直线1A D 与AC 的公垂线段.求证：1//MN BD .解析 以点D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D xyz -，如图8-175所示.设正方体的棱长为a ，则()1,0,A a a ，(),0,0A a ，()0,,0C a ，(),,0B a a ，()10,0,D a .设(),,z MN x y =，由MN 是异面直线1A D 与AC 的公垂线段，得1MN A D ⊥， MN AC ⊥，又()1,0,A D a a =--，(),,0AC a a =-，故100MN A D MN AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，00ax az ax ay --=⎧⎨-+=⎩，令1x =，则1z =-，1y =，所以()1,1,1MN =-，()1,,BD a a a aMN =--=-，即 1//BD MN .因此1//MN BD .四、证明直线和平面平行的方法（1）利用共面向量定理.设,a b 为平面α内不共线的两个向量，证明存在两个实数,x y ，使得l xa yb =+，则//l α.（2）转化为证明直线和平面内的某一直线平行.（3）转化为证明直线的方向向量与平面的法向量垂直（此方法最常用）.例8.50 如图8-176所示，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知122DC DD AD AB ===，AD DC ⊥，//AB DC ，E 是DC 的中点.求证：1//D E 平面1A BD .解析 因为11D E DE DD =-，11DD AA =，E 是DC 的中点，12DE DC AB ==，所以111D E AB AA A B =-=.又因为1D E ⊄平面1A BD ，11//D E A B ，所以1//D E 平面1A BD .评注 利用空间向量证明线面平行，已知直线的方向向量为a ，只要在平面内找到一条直线的方向向量为b ，问题转化为证明a b λ=即可.变式1 如图8-177所示，已知P 是正方形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是PA 、 BD 上的点，且::5:8PM MA BN ND ==.求证：直线//MN 平面PBC .五、证明平面与平面平行的方法（1）证明两平面内有两条相交直线分别平行.（2）转化为证两平面的法向量平行（常用此方法）.例8.51 如图8-178所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，,,M N P 分别是11111,,C C B C C D 的中点.求证：平面//MNP 平面1A BD .解析 解法一：以1D 为坐标原点，11D A 为x 轴，11D C 为y 轴，1D D 为z 轴，建立空间直角坐标系1D xyz -，如图8-179所示.设正方体的棱长为a ，则()1,0,0A a ，()0,0,D a ，()10,,0C a ，()0,,C a a ，()1,,0B a a ，0,,2a M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,,02a P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,,02a N a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,0,A D a a =-，11,0,222a a MN A D ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以1//MN A D ，即1//MN A D ，(),,0BD a a =--，1,,0222a a PN BD ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以//PN BD ，即//PN BD .因为MN PN N =，1A D BD D =，所以平面//MNP 平面1A BD .解法二：设平面MNP 的法向量为()1111,,n x y z =，由1MN n ⊥，1PN n ⊥，得1111022022a a x z a a x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，令11z =，得111111x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以()11,1,1n =-.设平面1A BD 的法向量为()2222,,n x y z =，由12A D n ⊥，2BD n ⊥，得222200ax az ax ay -+=⎧⎨--=⎩，令21z =，得222111x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩， 所以()21,1,1n =-.因为12//n n ，所以平面//MNP 平面1A BD .变式1 如图8-180所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分别是11111,,A D D D D C 的中点.求证:平面//EFG 平面1AB C .六、证明直线与直线垂直的方法设直线12,l l 的方向向量为,a b ，则a b ⊥0a b ⇔⋅=.这里要特别指出的是，用向量法证明两直线尤其是两异面直线垂直是非常有效的方法.例8.52 如图8-181所示，四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，2BC =，2CD =，AB AC =.求证：AD CE ⊥.分析 平面ABC ⊥平面BCDE ，在平面ABC 内作AO BC ⊥AO ⇒⊥平面BCDE ，以点O 为坐标原点建立空间直角坐标系.解析 作AO BC ⊥，垂足为O ，则AO ⊥平面BCDE ，且O 为BC 的中点，以O 为坐标原点，OC 为x 轴，建立如图8-182所示的直角坐标系O xyz -.设()0,0,A a ，由已知条件知()1,0,0C ，()1,2,0D ，()1,2,0E -，()2,2,0CE =-，()1,2,AD a =-.因为0CE AD=⋅，所以CE AD ⊥。
空间向量应用
空间向量应用空间向量是在三维空间中使用的一种表示方式，通过使用向量的大小和方向来描述物体在空间中的位置和运动状态。
在科学、工程和日常生活中，空间向量的应用非常广泛。
本文将介绍空间向量的几个主要应用。
一、三维建模与计算机图形学在计算机图形学中，空间向量被广泛应用于三维建模和动画制作。
通过定义物体的位置、方向和运动轨迹的向量，可以实现逼真的模拟和渲染效果。
例如，通过使用空间向量，可以精确计算物体的旋转、移动和缩放，从而实现高质量的三维动画效果。
此外，空间向量还可以用于计算机辅助设计（CAD）和虚拟现实应用中，帮助工程师和设计师更好地构建和可视化复杂的物体和场景。
二、物理学与力学分析空间向量在物理学和力学分析中有着重要的应用。
通过使用空间向量，可以描述物体的位置、速度和加速度。
例如，在力学中，通过将物体的位移表示为空间向量的形式，可以简化力学问题的分析和求解。
同时，空间向量还用于描述物体所受的力和力矩，帮助我们理解物体在外力作用下的运动规律和性质。
通过使用空间向量进行物理学和力学分析，我们可以更深入地研究和理解物体的运动和相互作用。
三、航空航天与导航系统在航空航天领域，空间向量被广泛应用于导航系统和飞行控制。
通过使用空间向量来描述飞行器的位置和方向，可以实现准确的导航和自动驾驶。
例如，全球定位系统（GPS）通过测量卫星和接收器之间的空间向量来确定接收器的位置，实现了精确的定位服务。
此外，航空飞行控制系统也利用空间向量来描述飞行器的姿态和运动状态，从而实现安全和高效的飞行操作。
四、机器人技术与自动化控制在机器人技术和自动化控制领域，空间向量的应用也越来越重要。
通过使用空间向量，可以描述机器人的位置、朝向和运动轨迹，实现智能化的机器人控制。
例如，在工业生产中，通过机器人的空间向量来控制机械臂的运动，可以实现高精度和高速度的生产操作。
此外，空间向量还可以用于机器人的感知和导航系统，帮助机器人在复杂的环境中进行路径规划和避障。
空间向量的应用
空间向量的应用一、引言空间向量是描述物体在三维空间中的位置和运动状态的重要工具。
它广泛应用于物理学、工程学、计算机图形学等领域。
本文将介绍空间向量的概念、表示方法以及其在实际应用中的重要性。
二、空间向量的概念与表示方法1. 概念空间向量是指在三维空间中具有大小和方向的量。
它可以表示一个点的位置，也可以表示一个物体的运动方向和速度。
2. 表示方法空间向量通常使用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
向量的起点和终点可以表示一个点的位置。
三、空间向量的应用领域1. 物理学中的应用空间向量在力学、热力学等物理学分支中有广泛的应用。
例如，在力学中，力可以表示为一个空间向量，通过对多个力向量的叠加可以计算物体所受的合力；在热力学中，热传导的过程可以用向量表示，从而帮助分析热传导的机制和特性。
2. 工程学中的应用在工程学领域，空间向量常用于描述物体的运动状态和力学性质。
例如，机械工程中的机械臂运动可以使用空间向量表示，通过对多个关节的向量运动进行计算，实现机械臂的运动控制；建筑工程中，使用向量表示力的作用点和作用方向，通过对多个力向量的计算，可以分析物体的结构和稳定性。
3. 计算机图形学中的应用在计算机图形学中，空间向量是描述和操作三维图形的重要工具。
例如，在三维模型的旋转、平移和缩放过程中，可以用向量表示变换的参数，从而实现图形的变换操作；在光线追踪算法中，通过向量运算可以计算光线的反射、折射和阴影等效果。
四、空间向量应用的案例分析1. 物理学案例假设有一个沿着斜坡滚落的小球，在小球滚动的过程中，可以使用空间向量来表示小球的位置和速度。
通过对空间向量的运算，可以计算小球的滚动加速度、滚动距离等物理量，进而分析小球滚动的规律。
2. 工程学案例考虑一个桥梁结构，需要分析桥上的受力情况。
通过将受力作用在桥梁上的力向量进行分解和合成运算，可以得到桥梁上各个部位的受力情况，进而评估桥梁的结构强度和稳定性。
3.1《空间向量及其运算》教案(新人教选修2-1)
空间向量及其运算( 一 )教课目标：1．理解空间向量的观点，掌握空间向量的加法、减法和数乘运算.2．用空间向量的运算意义和运算律解决立几问题..教课要点：空间向量的加法、减法和数乘运算及运算律.教课难点：用向量解决立几问题.讲课种类：新讲课 .课时安排： 1 课时 .教具：多媒体、实物投影仪.教课过程：一、复习引入：1.向量的观点(1)向量的基本因素：大小和方向 .(2) 向量的表示：几何表示法uuur r r rAB ，a；坐标表示法 a xi yj ( x, y) .(3)向量的长度：即向量的大小，记作｜ a ｜.(4)特别的向量：零向量 a ＝0｜a｜＝ 0.单位向量 a0为单位向量｜ a0｜＝1.(5)相等的向量：大小相等，方向同样( x1 , y1 )( x2 , y2 )x1x2 y1y2(6)平行向量 ( 共线向量 ) ：方向同样或相反的向量，称为平行向量. 记作a∥b . 因为向量能够进行随意的平移( 即自由向量 ) ，平行向量总能够平移到同向来线上，故平行向量也称为共线向量.2.向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数目（内积）及其各运算的坐标表示和性质运算种类几何方法坐标方法运算性质向a b b a量1.平行四边形法例a b( a b)c a (b c)的2.三角形法例( x1x2 , y1y2 )加uuur uuur uuur法AB BC AC向a b a( b)量a b uuur uuur的三角形法例( x1x2 , y1y2 )AB BA减uuur uuur uuur法OB OA AB向 1. a 是一个向量,知足:量 2.>0 时 , a与a同a ( x, y)( a) ()a的向 ;()a a a 乘<0 时, a 与a异法向 ;( a b)a b=0 时 , a =0.a ∥b a ba ?b b ? a向 a ? b 是一个数( a) ? b a ? (b)(a ?b)量 1. a 0或b0 时,的a? b =0 a ?b( a b) ? c a ? c b ? c数 2. a 0且b0 时,x1 x2y1 y2量 a ? b | a || b | cos(a,b) a 2 | a |2| a |x2y2积| a ? b | | a || b |3.重要定理、公式：(1)平面向量基本定理e1 ,e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，关于这个平面内任一直量，有且仅有一对实数 1 ,2，使a1e1 2 e2(2)两个向量平行的充要条件a ∥b a ＝λb x1 y2x2 y10 .(3)两个向量垂直的充要条件a ⊥b a ·b＝O x1 x2y1 y20 .(4)线段的定比分点公式设点 P分有向线段uuur uuur所成的比为λ，即PP＝λ PP，则12uuur1uuur1uuur( 线段的定比分点的向量公式 ) OP ＝OP ＋OP1112x x1x2,1( 线段定比分点的坐标公式 )y y1y2. 1当λ＝1时，得中点公式：uuur1uuur uuur x x1x2 ,2OP ＝2（ OP1＋ OP2）或y1y2y.2(5)平移公式设点 P( x, y) 按向量 a(h, k) 平移后获得点uuur uuur x x h, P (x , y ) ，则 OP ＝ OP+ a或y，y k.曲线 y f (x) 按向量 a(h, k) 平移后所得的曲线的函数分析式为：y k f (x h)(6)正、余弦定理正弦定理：a b c2R. sin A sin B sin C余弦定理： a2b2c22bc cos A cos A b2 c 2a22bcb2 c 2a22ac cos B cos B c2 a 2b22cac2a2b22ab cosC cosC a 2b2c2.2ab二、解说新课：1．空间向量的观点：在空间，我们把拥有大小和方向的量叫做向量.注：⑴空间的一个平移就是一个向量.⑵向量一般用有向线段表示.同向等长的有向线段表示同一或相等的向量.⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示.2．空间向量的运算定义：与平面向量运算同样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算以下（如图）uuur uuur uuur r vOB OA AB a bD'C'CbA'B'a aB bb D CaO AA Buuur uuur uuur r rBA OA OB a buuur rR)OP a(运算律：⑴加法互换律： a b b a⑵加法联合律：( a b ) c a (b c)⑶数乘分派律：( a b)a b3．平行六面体：平行四边形 ABCD 平移向量 a 到 A B C D 的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体， 并记作：ABCD － A B C D .它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱 .三、解说典范：例 1.已知平行六面体 ABCD － A B C D 化简以下向量表达式，标出化简结果的向量.uuur uuur uuur uuur uuur ⑴ AB BC ；⑵ AB AD AA ；uuur uuur1 uuuur1 uuur uuur uuurD'C'⑶AB ADCC；⑷3( AB ADAA).2A'B'M解：如图：uuur uuur uuur ⑴ ABBC AC ；uuur uuur uuur uuur uuur uuuur ⑵ ABADAA =AC AA AC ；GDCABuuur uuur1 uuuuruuur uuuur uuuur⑶设 M 是线段 CC 的中点，则 ABADCCACCMAM ；2⑷设 G 是线段 AC 的三等份点，则1 uuur uuur uuur1 uuuuruuur3 (ABADAA )ACAG .3uuur uuuur uuuur uuur向量 AC, AC , AM , AG 以下图 :例 2 已知空间四边形ABCD ，连接 AC, BD ，设 M ,G 分别是 BC ,CD 的中点，化简以下各表uuur uuur uuur达式，并标出化简结果向量：（1） ABBCCD ；uuur 1 uuur uuur uuur 1 uuur uuur（2） AB ( BD BC) ；（ 3） AG (AB AC)．A2 2解：如图， uuur uuur uuur uuur uuuruuur（1） AB BC CD AC CD AD ；uuur uuur uuur uuur uuur uuurB（2） AB 1 (BD BC ) AB 1 BC 1 BDDuuur 2uuuur uuuur uuur 2 2MGAB BM MG AG ；uuur 1 uuuruuur uuur uuuur uuuur C（3） AG ( ABAC) AG AM MG ．2四、讲堂练习 ：1．如图，在空间四边形ABCD 中， E, F 分别是 AD 与 BC 的中点，uuur1 uuur uuur求证： EF(AB DC)．21 uuur1 uuuruuur uuur uuur uuuruuur证明： EF ED DC CF2 ADDC2CBA1 uuur uuur uuur1 uuur2( ABBD )DCCB2EBDFC1uuur uuur1uuur uuur2AB DC2(CB BD )1 uuur uuur1uuur2AB DC2CD1uuur uuur2( AB DC )r r r r r r r r r r r r r rr2．已知2x3y3a b4c ，3x y8a5b c ，把向量 x, y 用向量 a,b , c 表示.r r r r r r r r r r解 : ∵2x 3y3a b4c， 3x y8a5b cr r r r r r r r∴ x3a2b c ， y a b2c uuur r uuur r uuur r3 ．如图，在平行六面体ABCD ABCD 中，设AB a ， AD b, AA c ， E, F 分别是AD , BD 中点，uuuur uuur D' r r r；C'（ 1）用向量a, b,c表示D B, EFuuur uuur uuur uuuur uuuur （ 2 ）化简：AB BB BC C D2DE；uuuur uuuur uuuur uuur r r r 解 : （ 1）D B D A A B B Bb a cuuur uuur uuur uuur1 uuur r1 uuurEF EA AB BF D A a BDr 2r21r r 1 r1r r ( b c) a( a b )(a c ) 222A'B'EDCFA B五、小结：空间向量的有关的观点及空间向量的表示方法；平行六面体的观点；向量加法、减法和数乘运算 .六、课后作业：如图设 A 是△BCD 所在平面外的一点，G 是△BCD 的重心.求证：uuur 1 uuur uuur uuurAG(AB AC AD) .3A七、板书设计（略）.八、课后记：BG DC3.1《空间向量及其运算》教案(新人教选修2-1)。
332空间向量运算的坐标表示及应用(一) 课件-23学年高二上学期数学(2019)选择性必修第一册
解(1) 2 =2(-1,-3,2)=(-2,-6,4).
(2)因为 +2b=(-1,-3,2)+2(1,2,0)
=(-1,-3,2)+(2,4,0)
=(1,1,2),
-2 +b=-2(-1,-3,2)+(1,2,0)
=(2,6,-4)+(1,2,0)
=(3,8,-4),
所以( +2b) · (-2 +b)=(1,1,2) · (3,8,-4)
自己完成.证明过程如下：
因为 = ₁ ₁ ₁ , = ₂ ₂ ₂ ,所以
根据向量数量积的分配律，
以及i · i=j · j=k · k=1,i · j=j · k=i · k=0,即可得出
⋅ = ₁₂ ⋅ + ₁₂ ⋅ + ₁₂ ⋅ + ₁₂ ⋅ + ₁₂ ⋅
(2)因为 a＝AB
所以 ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)．
因为(ka＋b)⊥(ka－2b)，
所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0，即(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝2k2
＋k－10＝0．
5
解得 k＝2 或 k＝－2．
自探
空间向量平行与垂直
2．已知 a＝(1，2，－y)，b＝(x，1，2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，
₁ሻ
也就是说：一个向量在空间
直角坐标系中的坐标等于表
= ₂ − ₁ + ₂ − ₁ +
示这个向量的有向线段的终
₂ − ₁
点的坐标减去起点的坐标.
= ₂ − ₁ ₂ − ₁ ₂ − ₁ .
空间向量运算坐标表示
空间向量的应用(一)(精练) 讲义 (解析版)
1.4.1 空间向量应用（一）【题组一 平面法向量的求解】1．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面ABC 法向量的是( )A ．(－1，1，1)B ．(1，－1,1)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－33，－33 D .⎝ ⎛⎭⎪⎫33，33，－33 【答案】C【解析】设n ＝(x ，y ，z)为平面ABC 的法向量，AB →＝(－1，1，0)，AC →＝(－1，0，1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n·AB →＝0，n·AC →＝0，化简得⎩⎨⎧－x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0，∴x ＝y ＝z.故选 C. 2．（2018·浙江高三其他）平面α的法向量(2,2,2)u =-，平面β的法向量(1,2,1)v =，则下列命题正确的是（ ）A ．α、β平行B ．α、β垂直C ．α、β重合D ．α、β不垂直【答案】B【解析】平面α的法向量(2,2,2)u =-，平面β的法向量(1,2,1)v =，因为2420u v =-+=，所以两个平面垂直．故选：B ．3．（2019·山东历下.济南一中高二期中）在平面ABCD 中，(0,1,1)A ，(1,2,1)B ，(1,0,1)C --，若(1,,)a y z =-，且a 为平面ABCD 的法向量，则2y 等于（ ）A ．2B ．0C ．1D ．无意义 【答案】C 【解析】由题得，(1,1,0)AB =，(1,1,2)AC =--，又a 为平面ABCD 的法向量，则有00a AB a AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即10120y y z -+=⎧⎨-+=⎩，则1y =，那么21y =.故选：C【题组二 空间向量证平行】1．（2019·安徽埇桥，北大附宿州实验学校高二期末（理））已知平面α的法向量是()2,31-，，平面β的法向量是()4,2λ-，，若α//β ，则λ的值是（ ） A ．310-B ．-6C ．6D ．103 【答案】C【解析】因为α//β，故可得法向量()2,31-，与向量()4,2λ-，共线， 故可得23142λ==--，解得6λ=.故选：C. 2（2019·乐清市知临中学高二期末）已知平面α的一个法向量是(2,1,1)-，//αβ，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是（ ）A ．()4,22-，B ．()2,0,4C ．()215--，，D ．()42,2-，【答案】D【解析】平面α的一个法向量是(2,1,1)-，//αβ，设平面β的法向量为(),,x y z ，则()(2,1,1),,,0x y z λλ=≠-，对比四个选项可知，只有D 符合要求，故选：D.3.（2020.广东.华侨中学）如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE ，则M 点的坐标为( )A ．(1,1,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫24，24，1 【答案】 C【解析】设AC 与BD 相交于O 点，连接OE ，∵AM ∥平面BDE ，且AM⊂平面ACEF ，平面ACEF∩平面BDE ＝OE ，∴AM ∥EO ，又O 是正方形ABCD 对角线的交点，∴M 为线段EF 的中点．在空间直角坐标系中，E(0，0，1)，F(2，2，1)．由中点坐标公式，知点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1.4.如图所示，在正方体ABCD －A1B1C1D1中，棱长为a ，M ，N 分别为A1B 和AC 上的点，A1M ＝AN ＝2a3，则MN 与平面BB1C1C 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．MN 在平面BB1C1C 内【答案】 B【解析】以点C1为坐标原点，分别以C1B1，C1D1，C1C 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由于A1M ＝AN ＝2a 3，则M ⎝⎛⎭⎫a ，2a 3，a 3，N ⎝⎛⎭⎫2a 3，2a 3，a ，MN →＝⎝⎛⎭⎫－a 3，0，2a 3. 又C1D1⊥平面BB1C1C ，所以C1D1→＝(0，a ，0)为平面BB1C1C 的一个法向量．因为MN →·C1D1→＝0，所以MN →⊥C1D1→，又MN⊂平面BB1C1C ，所以MN ∥平面BB1C1C.【题组三 空间向量证明垂直】1．（2019·湖北孝感.高二期中（理））已知向量(2,4,)AB x =，平面α的一个法向量(1,,3)n y =，若AB α⊥，则（ ）A ．6x =，2y =B ．2x =，6y =C ．3420x y ++=D ．4320x y ++=【答案】A 【解析】因为AB α⊥，所以AB n ∥，由2413x y ==，得6x =，2y =.故选A2．（2020·宜昌市人文艺术高中（宜昌市第二中学）高二月考）已知直线l 的一个方向向量()2,3,5d =，平面α的一个法向量()4,,u m n =-，若l α⊥，则m n +=______．【答案】16- 【解析】l α⊥，//d u ∴，且()2,3,5d =，()4,,u m n =-，4235m n -∴==，解得6m =-，10n =-.因此，16m n +=-.故答案为：16-.3．（2020·陕西富平.期末（理））若直线l 的方向向量为(1,0,2)a =-，平面α的法向量为(2,0,4)n =-，则直线l 与平面α的位置关系是（ ）A ．l αB ．l α⊥C ．l α≠⊄D ．l 与α斜交【答案】B【解析】由题得，2n a =，则//n a ，又n 是平面α的法向量，a 是直线l 的方向向量，可得l α⊥. 故选：B4. 如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，⊂ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB.求证：平面BCE ⊥平面CDE.【答案】【解析】设AD ＝DE ＝2AB ＝2a ，以A 为原点，分别以AC ，AB 所在直线为x 轴，z 轴，以过点A 垂直于AC 的直线为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A(0，0，0)，C(2a ，0，0)，B(0，0，a)，D(a ，3a ，0)， E(a ，3a ，2a)．所以BE →＝(a ，3a ，a)，BC →＝(2a ，0，－a)，CD →＝(－a ，3a ，0)，ED →＝(0，0，－2a)．设平面BCE 的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，由n1·BE →＝0，n1·BC →＝0可得⎩⎨⎧ ax1＋3ay1＋az1＝0，2ax1－az1＝0，即⎩⎨⎧x1＋3y1＋z1＝0，2x1－z1＝0.令z1＝2，可得n1＝(1，－3，2)． 设平面CDE 的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，由n2·CD →＝0，n2·ED →＝0可得 ⎩⎨⎧ －ax2＋3ay2＝0，－2az2＝0，即⎩⎨⎧－x2＋3y2＝0，z2＝0.令y2＝1，可得n2＝(3，1，0)．因为n1·n2＝1×3＋1×(－3)＋2×0＝0.所以n1⊥n2，所以平面BCE ⊥平面CDE.5.如图所示，已知四棱锥P—ABCD 的底面是直角梯形，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，AB ＝BC ＝PB ＝PC ＝2CD ，侧面PBC ⊥底面ABCD.证明：(1)PA ⊥BD ；(2)平面PAD ⊥平面PAB.【答案】见解析【解析】 (1)取BC 的中点O ，连接PO ，∵平面PBC ⊥底面ABCD ，⊂PBC 为等边三角形，平面PBC∩底面ABCD ＝BC ，PO⊂平面PBC ， ∴PO ⊥底面ABCD.以BC 的中点O 为坐标原点，以BC 所在直线为x 轴，过点O 与AB 平行的直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．不妨设CD ＝1，则AB ＝BC ＝2，PO ＝3，∴A(1，－2,0)，B(1,0,0)，D(－1，－1，0)，P(0，0，3)，∴BD →＝(－2，－1，0)，PA →＝(1，－2，－3)．∵BD →·PA →＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－3)＝0，∴PA →⊥BD →，∴PA ⊥BD.(2)取PA 的中点M ，连接DM ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，32. ∵DM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32，PB →＝(1，0，－3)， ∴DM →·PB →＝32×1＋0×0＋32×(－3)＝0，∴DM →⊥PB →，即DM ⊥PB.∵DM →·PA →＝32×1＋0×(－2)＋32×(－3)＝0， ∴DM →⊥PA →，即DM ⊥PA. 又∵PA∩PB ＝P ，PA ，PB⊂平面PAB ，∴DM ⊥平面PAB.∵DM⊂平面PAD ，∴平面PAD ⊥平面PAB.6.(2019·林州模拟)如图，在四棱锥P—ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E ，F 分别是AB ，PB 的中点．(1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面PAD 内求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论．【答案】见解析【解析】(1)证明 如图，以D 为原点，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设AD ＝a ，则D(0，0，0)，A(a ，0，0)，B(a ，a ，0)，C(0，a ，0)，E ⎝⎛⎭⎫a ，a 2，0，P(0，0，a)，F ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，a 2. EF →＝⎝⎛⎭⎫－a 2，0，a 2，DC →＝(0，a ，0)． ∵EF →·DC →＝0，∴EF →⊥DC →，即EF ⊥CD.(2)解 设G(x ，0，z)，则FG →＝⎝⎛⎭⎫x －a 2，－a 2，z －a 2， 若使GF ⊥平面PCB ，则需FG →·CB →＝0，且FG →·CP →＝0，由FG →·CB →＝⎝⎛⎭⎫x －a 2，－a 2，z －a 2·(a,0,0) ＝a ⎝⎛⎭⎫x －a 2＝0，得x ＝a 2； 由FG →·CP →＝⎝⎛⎭⎫x －a 2，－a 2，z －a 2·(0，－a ，a) ＝a22＋a ⎝⎛⎭⎫z －a 2＝0，得z ＝0. ∴G 点坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，0，0，即G 为AD 的中点．。
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51（1） 空间向量及其应用（一）✧ 考考自己温故知新1、如图1，在平行六面体ABCD-A ’B ’C ’D ’中，E 、F 分别是棱B ’C ’、CD 的中点，设a AB=，=，=，用,,表示=_____________________。
2、已知=(-1,3,m)，=(n,-9,5)，若//则m+n=_____________。
3、已知=(1,2,-2)，=(3,0,4)，则与的夹角大小为___________。
4、已知A(1,2,3)，B(1,0,-1)，C(5,2 ,0)，则平面ABC 的一个法向量是__________。
✧ 问题驱动指点迷津1、()111,,z y x A ，()222,,z y x B ，则=_____________=_____________。
2、()111,,z y x a =，()222,,z y x b =，则b a ±=____________，a ⋅λ=____________，=_______________。
3、()111,,z y x =，()222,,z y x =，则⋅=______________；若、是非零向量，它们的夹角是θ，则θcos =_____________________。
4、a 、b 是非零向量，()111,,z y x a =，()222,,z y x b =，则a //b ⇔_______________⇔___________________________________________。
5、已知()111,,z y x A ，()222,,z y x B ，P 是直线AB 上的一点，且λ=，其中R ∈λ，则点P 的坐标为___________________，当λ=1时，P 是AB 的_______，其坐标为__________________。
6、方向向量：______________________________________________________。
7、法向量：_________________________________________________________。
8、三个基础命题：（1）两条直线平行或重合⇔_________________________________________。
A ’B ’C ’D ’ABCDEF 图1（2）一条直线与一个平面平行⇔____________________________________。
（3）两个平面平行或重合⇔_________________________________________。
师生互动指导训练考点1：空间向量的坐标表示及向量平行的相关概念：例1：=(1,2,3)，点A(6,-4,1)，已知//=，则求点B 的坐标。
分析：求出的坐标，就能够的到点B 的坐标。
解答：AB a // =，由=(1,2,3)，()()6,4,26,4,2---=∴或AB设()z y x B ,,，则由A(6,-4,1)可得：⎪⎩⎪⎨⎧-=-==⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=--=+-=-⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=-584708614426614426z y x z y x z y x z y x 或或()()5,8,47,0,8--∴B B 或评注：注意向量的平行可能是同向，也可能是反向。
考点2：空间向量的模、数量积、垂直等概念： 例2：已知点A(0,2,3)，B(-2,1,6)，C(1,-1,5)（1） 求以,为边的平行四边形的面积；（2） 3=，且为平面ABC 的法向量，求向量的坐标。
分析：第一小题求得向量AC AB ,的坐标，就可以借助向量数量积的公式得到AC AB ,的夹角，利用三角形面积公式可以得到相应的平行四边形的面积；第二小题通过两向量垂直的概念和向量的模的概念，可以得到三个方程，从而求出向量的坐标。
解答：（1）()3,11,2--=AB 14=，()2,3,1-=AC 14= 21c o s ==∠BAC ，︒=∠∴60BAC 37s i n=∠⋅=B A C S（2）设()z y x ,,=， 为平面ABC 的法向量，AB a ⊥∴且AC a ⊥，0,0=⋅=⋅∴AC a AB a⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎩⎨⎧===++⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+--=++∴11111130230323222222z y x z y x z y x z y x z y x z y x z y x 或()1,1,1=∴a 或()1,1,1---=∴a评注：熟悉向量的有关知识，并明确法向量的定义，学会利用方程的思想解决问题。
考点3：定比分点、法向量、方向向量及三个基本命题例3：如图2，在长方体ABCD-A ’B ’C ’D ’中，E 、F 分别是线段A ’D 和AB 上的点，且A ’E=31A ’D ，AF=21BF ，求证：直线EF 平行于平面BB ’D ’D 。
分析：要证明显面平行，只需要证明直线的方形向量垂直于平面的法向量即可，可以借助空间直角坐标系进行运算。
解答：如图3，建立空间直角坐标系。
设c AA b AB a AD ===',,，则()0,0,'a A ，()c D ,0,0，⎪⎭⎫ ⎝⎛∴c a E 31,0,32()c a A ,0,，()c b a B ,,，⎪⎭⎫⎝⎛∴c b a F ,31,，⎪⎭⎫⎝⎛=∴c b a 32,31,31设平面BB ’D ’D 的法向量为()w v u n ,,=()c D D ,0,0'= ，()0,,''b a B D =⎩⎨⎧=⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅∴00000w b v a u c w v u ，0=∴w ，取b u =，则a v -= ∴平面BB ’D ’D 的一个法向量为()0,,a b -=由0=⋅，可知⊥，所以直线EF 平行于平面BB ’D ’D 。
A ’B ’D ’ C ’ A BC D E F 图2评注：灵活使用三个基础命题来验证直线与平面的位置关。
其中的关键在于正确求出直线的方向向量和平面的法向量。
效果反馈巩固提高一、填空题：1、已知点A(1,-4,2)，B(-3,1,5)，C(6,2,7)，=，=，则32+=_______。
2、已知()x ,4,2=，()2,,2y =6=，且⊥，则x+y=______________。
3、已知点A(1,-2,-1)，B(0,-3,1)，C(2,-2,1)，则与的夹角θ=_________。
4、 已知向量(0,1,1)a =- ，(4,1,0)b = ，||a b λ+且0λ>，则λ= ___________。
5、已知空间三点A(5,2,-7)，B(-1,2,5)，C(2,1,3)，若四边形ABCD 是平行四边形，则D 的坐标是_________________。
6、已知空间三点A(5,2,-7)，B(-1,2,5)，C(2,1,3)，若D 是线段AB 的一个三等分点，且AD>BD ，则直线CD 的一个方向向量是_________________。
7、已知空间三点A(5,2,-7)，B(-1,2,5)，C(2,1,3)，则平面ABC 的一个法向量是__________________。
8、已知三棱锥P-ABC ，()0,,3m m AB =，()0,2,0m AC =，()n AP 2,0,0=，则直线AP 与BC 所成角的大小为______________。
9、已知空间三点A(4,0,0)，B(4,2,3)，C(0,0,3)，则以)3,1,2(-=为方向向量的直线l 与平面ABC 的位置关系是______________。
10、 已知空间六点A(4,0,0,)，B(2,1,6)，C(0,0,6)，A ’(0,1,3)，B ’(4,2,0)，C ’(0,2,6)，则平面ABC 与平面A ’B ’C ’的位置关系是__________________。
二、选择题：1、在平行六面体ABCD-A ’B ’C ’D ’中，M 为AC 与BD 的交点，若a AB =，b AD =，A ='，则下列向量与B '相等的是（ ） (A)c b a ++-2121 (B) c b a ++2121 (C) c b a +-2121 (D) c b a +--2121 2、空间四边形ABCD 的每条边及对角线都是2，E 、F 、G 是AB 、AD 、DC 中点，则GF GE ⋅=（ ） (A)21 (B)1 (C)2 (D)223、已知()111,,z y x =，()222,,z y x =，且0222≠z y x ，则212121z zy y x x ==是与同向的（ ）条件。
(A)充分非必要； (B)必要非充分； (C)充要； (D)既非充分又非必要 4、已知非零向量、及平面α，若是平面α的一个法向量，则“以为方向向量的直线与平面α平行”是0=⋅的（ ）条件。
(A)充分非必要 (B)必要非充分 (C)充要 (D) 既非充分又非必要 三、解答题：1、已知空间三点P(-2,0,2)，Q(-1,1,2)，R(-3,0,4)，其中==, （1） 求和的夹角θ（用反三角函数表示）； （2） 试确定实数k ，使k +与k 2-互相垂直2、如图4：四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 为矩形，M 、N 、L 分别为线段AB 、PC 、PB 的中点，求证：MN//AL3、如图5，在棱长为2的正方体ABCD-A ’B ’C ’D ’中，M 、N 、P 为线段A ’B ’、BB ’、B ’C ’的中点，底面正方形ABCD 的中心为O ，求证：OD ’//面MNPP A BCDM N L 图4ABCD A ’ B ’ C ’ D ’ MN PO 图54、如图6，正六棱柱ABCDEF-A ’B ’C ’D ’E ’F ’，M 、N 、L 为线段CD 、EF 、DD ’中点，求证：平面CD ’E ’F 平面MNL掌握规律提炼方法1、学会将平面向量的知识迁移到空间向量中；2、空间向量的坐标表示是学习的重点，也是以后利用空间向量研究立体几何问题的基础；3、学会正确求解放向向量和法向量，并能运用方向向量和法向量来研究直线与平面的位置关系。
L D'C图6。