北师大版数学必修四：《单位圆与诱导公式》导学案(含解析)

第4课时单位圆与诱导公式

1.借助单位圆,利用点的对称性推导出“-α,π+α,π-α,α+”的诱导公式,并会应用公式求任

意角的三角函数值.

2.会应用公式进行简单的三角函数的化简与求值.

3.通过公式的运用,学会从未知到已知,复杂到简单的转化方法.

我们已经学习了任意角的正弦、余弦函数的定义,以及终边相同的角的正弦、余弦函数值也相等,即sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)与cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z),公式体现了求任意角的正弦、余弦函数值转化为求0°~360°的角的正弦、余弦函数值,那么我们能否将0°~360°间的角的正弦、余弦函数值转化为锐角的正弦、余弦函数值呢?

问题1:将任意角转化成0°~360°间的角的几种情况

因为任意角都可以通过终边相同的角转化成0°~360°间的角,对于任意0°~360°的角β,只有四种可能(其中α为锐角),则有

β=

问题2:(1)角α与-α的正弦函数、余弦函数关系

如图,在单位圆中对任意角∠MOP=α,作∠MOP'=-α,这两个角的终边与单位圆的交点分别为P和P',可知OP与OP'关于轴对称,设P点的坐标为(a,b),则点P'的坐标为(a,-b),所以sin(-α)=-b,cosα=a.即sin(-α)=,cos(-α)=.

(2)角α与α±π的正弦函数、余弦函数关系

如图,在直角坐标系的单位圆中,对任意角∠MOP=α,其终边与单位圆的交点为P,当点P 按逆(顺)时针方向旋转π至点P'时,点P'的坐标为:(cos(α+π),sin(α+π))或(cos(α-π),sin(α-π)),此时点P与点P'关于原点对称,横、纵坐标都互为,故sin(α+π)=,cos(α+π)=;sin(α-π)=,cos(α-π)=.

(3)角α与π-α的正弦函数、余弦函数关系

如图,在单位圆中,当∠MOP=α是锐角时,作∠MOP'=π-α,不难看出,点P和点P'关于y 轴对称,则有sin(π-α)=,

cos(π-α)=.

(4)角α与+α的正弦函数、余弦函数关系

在单位圆中,仿照上面的方法,可以得出,sin(α+)=,cos(α+)=.

问题3:任意角的正弦函数与余弦函数的诱导公式

(1)sin(2kπ+α)=;cos(2kπ+α)=;

(2)sin(-α)=;cos(-α)=;

(3)sin(2π-α)=;cos(2π-α)=;

(4)sin(π-α)=;cos(π-α)=;

(5)sin(π+α)=;cos(π+α)=;

(6)sin(α+)=;cos(α+)=;

(7)sin(-α)=;cos(-α)=.

问题4:讨论几组诱导公式的共同点与规律

(1)2kπ±α,-α,π±α的三角函数值等于α的三角函数值,前面加上一个把α看作角时原三角函数值的符号;

(2)±α的正弦(余弦)函数值分别等于α的()函数值,前面加上一个

把α看作角时原三角函数值的符号.

1.下列等式不正确的是().

A.sin(α+180°)=-sinα

B.cos(-α+β)=-cos(α-β)

C.sin(-α-360°)=-sinα

D.cos(-α-β)=cos(α+β)

2.函数f(x)=cos(x∈Z)的值域为().

A.{-1,-,0,,1}

B.{-1,-,,1}

C.{-1,-,0,,1}

D.{-1,-,,1}

3.若sin(-θ)=,则sin(-θ)=.

4.已知sin(π+α)+sin(-α)=-m,求sin(3π+α)+2sin(2π-α)的值.

利用诱导公式化简

求特殊角的三角函数值.

(1)sin1320°;

(2)cos(-π).

诱导公式在三角函数中的综合运用

已知f(θ)=.

(1)化简f(θ);

(2)若sin(-θ)=,求f(θ)的值.

利用诱导公式对三角函数式化简、求值或证明恒等式

化简:sin(π-α)+cos(π-α)(n∈Z).

求sin(-π)cosπ+cos(-π)·sin(π)的值.

已知f(x)=·,求f(-)的值.

已知cos(π+α)=-,且α是第四象限角,计算(n∈Z)的值.

1.sin(-π)的值等于().

A.-

B.-

C.

D.

2.已知sin(α-)=,则cos(+α)的值为().

A.B.-C.D.-

3.5sin90°+2cos0°-3sin270°+10cos180°=.

4.化简.

(2009年·全国Ⅰ卷)sin585°的值为().

A.-

B.

C.-

D.

考题变式(我来改编):

第4课时单位圆与诱导公式

知识体系梳理

问题1:一二三四

问题2:(1)x-sinαcosα(2)相反数-sinα-cosα-sinα-cosα(3)sinα-cosα(4)cosα-sinα

问题3:(1)sinαcosα(2)-sinαcosα(3)-sinαcosα(4)sinα-cosα(5)-sinα-cosα(6)cosα-sinα(7)cosαsinα

问题4:(1)同名锐(2)余弦正弦锐

基础学习交流

1.B由诱导公式可知,A正确;对于B,cos(-α+β)=cos[-(α-β)]=cos(α-β),故B不正确;对于C,sin(-α-360°)=sin(-α)=-sinα,故C正确;对于D,cos(-α-β)=cos[-(α+β)]=cos(α+β),故D正确.

2.B对x依次赋值0,1,2,3,4,…,很容易选出.

3.-sin(-θ)=sin[π+(-θ)]=-sin(-θ)=-.

4.解:∵sin(π+α)+sin(-α)=-sinα-sinα=-2sinα=-m,∴sinα=,而

sin(3π+α)+2sin(2π-α)=sin[2π+(π+α)]-2sinα=sin(π+α)-2sinα=-sinα-2sinα=-3sinα,故