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相似三角形判定定理的证明乐乐课堂
相似三角形判定定理的证明乐乐课堂【实用版】目录1.相似三角形判定定理的概念2.相似三角形判定定理的证明方法3.相似三角形判定定理的应用正文一、相似三角形判定定理的概念相似三角形判定定理是指在两个三角形中，如果满足一定的条件，那么这两个三角形就是相似的。
相似三角形的判定定理有以下三种：1.两角对应相等的两个三角形相似；2.两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似；3.三边对应成比例的两个三角形相似。
二、相似三角形判定定理的证明方法1.两角对应相等的两个三角形相似的证明：在三角形 ABC 与三角形 A"B"C"中，如果角 A 与角 A"、角 B 与角B"分别相等，那么三角形 ABC 与三角形 A"B"C"相似。
证明方法主要是利用平行线分线段成比例定理的逆定理，即将两个三角形相等的角重合，然后通过平行线分线段成比例定理证明其余部分也成比例。
2.两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似的证明：在三角形 ABC 与三角形 A"B"C"中，如果边 AB 与边 A"B"、边 AC 与边 A"C"分别成比例，并且角 B 与角 B"、角 C 与角 C"分别相等，那么三角形 ABC 与三角形 A"B"C"相似。
证明方法同样是利用平行线分线段成比例定理的逆定理，将两个三角形相等的角重合，然后通过平行线分线段成比例定理证明其余部分也成比例。
3.三边对应成比例的两个三角形相似的证明：在三角形 ABC 与三角形 A"B"C"中，如果边 AB 与边 A"B"、边 BC 与边 B"C"、边 AC 与边 A"C"分别成比例，那么三角形 ABC 与三角形A"B"C"相似。
第四讲：相似三角形证明的方法与技巧.doc
第五讲：相似三角形证明的方法与技巧A 字形，斜A 形，8字形（X 型），蝴蝶形，双垂直型, 旋转形双垂直结论:射影定理：①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项⑴△ACD ∽△CDB →AD:CD=CD:BD →CD2=AD •BD ⑵△ACD ∽△ABC →AC:AB=AD:AC →AC2=AD •AB ⑶△CDB ∽△ABC →BC:AC=BD:BC →BC2=BD •AB结论：⑵÷⑶得AC2:BC2=AD:BD ；结论：面积法得AB •CD=AC •BC →比例式 证明等积式(比例式)策略1、直接法：找同一三角形两条边，变化：等号同侧两边同一三角形 三点定形法2、间接法： ⑴3种代换 ①等线段代换； ②等比代换； ③等积代换；⑵创造条件 ①添加平行线——创造“A ”字型、“8”字型②先证其它三角形相似——创造边、角条件 相似判定条件：两边成比夹角等、两角对应三边比 相似终极策略：遇等积，化比例，同侧三点找相似； 四共线，无等边，射影平行用等比； 四共线，有等边，必有一条可转换；两共线，上下比，过端平行条件边。
彼相似，我角等，两边成比边代换。
（3）等比代换：若dc b a ,,,是四条线段，欲证d c b a =，可先证得fe ba =（f e ,是两条线段）然后证d c fe =，这里把f e叫做中间比。
方法一：遇等积，化比例，同侧三点找相似 1．∠ABC=∠ADE ．求证：AB ·AE=AC ·AD2.△ABC 中，AB=AC ，△DEF 是等边三角形，求证：BD•CN=BM•CE ．3.等边三角形ABC 中，P 为BC 上任一点，AP 的垂直平分线交AB 、AC 于M 、N 两点。
求证：BP •PC=BM •CNEA B D E AB B A DECF E DA B C 321E DABC12FA 方法二：有射影，或平行，等比传递我看行1.在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，E 为AC 的中点，求证：AB •AF=AC •DF （换比法） 斜边上作高线，比例中项一大片2.如图，在ABCD 中，求证：BF EFFG BF（换比法）3.梯形ABCD 中，AD//BC ，作BE//CD,求证：OC2=OA.OE （换比法）方法三：四共线，看条件，其中一条可转换；1.Rt △ABC 中，四边形DEFG 为正方形。
相似三角形证明的方法与技巧
相似三角形的判定和应用一、判定相似三角形的基本思路：1•找准对应关系：两个三角形的三个对应顶点、三个对应角、三条对应边不能随便写，一般说来，相等的角所对的边是对应边，对应边所对的角是对应角。
2. 记住五个判定定理：判定相似三角形依据是五个定理，即预备定理、判定定理一、判定定理二、判定定理三、直角三角形相似的判定定理。
二、相似形的应用：1证比例式；2. 证等积式；3. 证直线平行;4. 证直线垂直;5证面积相等;三、经典例题: 例1.如图，在A ABC中，D是BC的中点，E是AC延长线上任意一点，连接DE与AB交于F, 与过A平行于BC的直线交于G。
十工AF AE求证：---- = -----BF CE变式1 :如图，在A ABC中，.A与.B互余, CDr_AB , DE//BC，交AC 于点E，求证：AD:AC=CE:BD.例2:如图：已知梯形ABCD中，AD//BC，乙ABC =90，且BD — CD于D。
BD^AD ・BC例3•如图，在从BC 中，.BAC=90 , M 是 BC 的中点，DM _BC 交BA 的延长线于 D ，交 AC 于 E 。
求证：MA —MD-ME例4•已知：在 A ABC 中，AD 是乙BAC 的线，点E 在AD 上，点F 在AD 的延长线上，ED ABDF AC求证：BE//FC 。
例5•如图，在正方形 ABCD 中，E ，F 分别为AB 、 AC 上一点，切 BE=BF ，BP —CE ，垂足为 P 。
求证：PD — PF. 求证：①. ABD ~ .DCB ;B F C例6.在A ABC的中线AD,BE相交于G。
求证：A AGB的面积等于四边形CEGD 。
四•课堂练习：1•如图，在△ABC中，AC BC，D是AC边上一点，连接BD •(1)要使△ CBD CAB，还需要补充一个条件是______________ (只要求填一个)(2)若△ CBD s^CAB，且AD = 2 , BC =3，求CD 的长.2.如图，在平行四边形ABCD中, R在BC的延长线上，AR交CD于Q若DQ： CQ= 4 : 3,求AQ： QR的值。
第四章+图形的相似相似三角形判定定理的证明+课件-2023-2024学年北师大版数学九年级上册
考向3 网格中的相似（结合位置关系）
第7题图
7.(2022·河北市)如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长度的小正方形顶点，钉点 ， 的连线与钉点 ， 的连线交于点 ，则：
（1） 与 是否垂直?____（填“是”或“否”）；
是
（2） _ ___.
中考热点1 正方形中的相似（多结论问题）
C
A. 平分 B. C. D.
2.如图，已知 .求证: .
证明： ， ， ， ， .
3.如图所示，在 中， ， .
（1）若 ，求 的长;
解： ， ， ， ，
（2）若 ，求 的长.
[答案] ， .
4.如图， 与 都是等边三角形， ，下列结论中: ; ; .正确的序号是______.
解：③理由如下： ， ， ，又 ， .选①也可以.
考向1 相似的条件与判定
第5题图
5.如图，无法保证 与 相似的条件是( )
B
A. B. C. D.
考向2 相似的性质
第6题图
6.(2022·武威市)如图，在矩形 中， ， ，点 ， 分别在边 __ .
[答案] 过点 作 于点 ，连接 .
四边形 是平行四边形， ， ，
平分 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， . ， ， . ， ， .
课后强化
1.(2022·山东济南期中)如图，在四边形 中，已知 ，则补充下列条件后不能判定 和 相似的是( )
（1）当四边形 是矩形时，如图1，求证: ; ；
解：连接 ，过点 作 于点 四边形 是矩形， ， 平分 ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， . ， ， .
（2）当四边形 是平行四边形时，如图2，（1）中的结论都成立，请给出结论②的证明.
《相似三角形判定定理的证明》知识讲解(基础)
相似三角形判定定理的证明（基础）【学习目标】1. 熟记三个判定定理的内容•2. 三个判定定理的证明过程•3. 学选会用适当的方法证明结论的成立性.【要点梳理】要点一、两角分别相等的两个三角形相似已知：如图,在厶ABC和△ A B' C'中，/ A=Z A', / B=Z B'.求证：△ AB3A A B C'证明：在厶ABC的边AB （或它的延长线）上截取AD=A B',过点D作BC的平行线，交AC于点E,则/ ADE N B,Z AED2 C,AD AEAD =竺（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）AB AC过点D作AC的平行线，交BC与点F,则AD CF型二汇（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）AB CB• AE CFAC CB•/ DE// BC,DF// AC,•四边形DFCE是平行四边形.•DE=CF.•AE:AC=DE:CB•AD AE DEAB AC BC .而/ ADE N B, / DAE=Z BAC,Z AED玄C,•△AD0A ABC.•••/ A=N A' , N ADE=Z B=N B' ,AD=A' B',•△AD0A A' B' C .•△ABS A A' B' C .要点诠释：证明这个定理的正确性，是把它转化为平行线分线段成比例来证明的，注意转化时辅助线的做法.要点二、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明：在厶ABC 的边AB （或它的延长线）上截取 AD=A B ',过点D 作BC 的平行线, 交AC 于点E,则/ B=Z ADE,/ C=Z AED,•••△ ABC^A ADE （两角分别相等的两个三角形相似 ）..AB AC AD - AE .AB AC ,AD=A ' B ',A'B' A'C' .AB ACAD 一 A'C' .AC ACAE _ A'C'• AE=A' C' 而/ A=/ A• △ ADE^A A ' B ' C'.• △ ABC^A A ' B ' C'要点诠释：利用了转化的数学思想，通过添设辅助线，将未知的判定方法转化为已知两组角对应相等推得相似或已知平行推得相似的. 要点三、三边成比例的两个三角形相似已知：在厶ABC 和△ A ' B ' C'中, 求证：△ ABC^A A ' B' C'.证明：在厶ABC 的边AB, AC （或它们的延长线）上截取 AD=A B ' ,AE=A ' C ,连接DE.AB AC ”， ，，,AD=A B ' ,AE=A ' C ,已知，在厶 ABC^n ^ A B' C'中，/ A=Z AAB AC ABA'C',求证: △ ABC^A A ' B C 'AB _ BC _ ACA'B' 一 B'C' 一 A'C'A'B' A'C'.AB AC…_ AE而/ BAC=/ DAE,•••△AB3A ADE（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）..AB BC_ DEp AB BC ,,又，AD= A B',A'B' B'C'.AB BC_ B'C'.BC BC"DE 一B'C'•DE=B C',•△ADE^A A ' B ' C',•△ABC^A A ' B ' C'.【典型例题】类型一、两角分别相等的两个三角形相似▼ 1、在厶ABC 中，/ A=60°, BDL AC 垂足为D, CEL AB 垂足为E,求证：△ ADE^A ABC【思路点拨】由BD L AC, CEL AB得到/ AEC d ADB=90 ,利用/ EAC M DAB可判断△ AE3A ADB则塑=—，禾U用比例性质得塑型，加上/ EAD M CAB根据三角形相似的AD AB AC AB判定方法即可得到结论.【答案与解析】证明：•/ BD L AC CEL AB •••/ AEC M ADB=90 , 而/ EAC M DAB•△AEC^A ADB■^1 "-I.，•AE_AD•-1.，•••/ EAD M CAB• △AD0A ABC【总结升华】考查了相似三角形的判定与性质： 有两组角对应相等的两三角形相似； 有两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似；相似三角形的对应边的比相等. 举一反三【变式】如图，△ ABC 是等边三角形，点D , E 分别在BC 、AC 上，且/ ADE=60 求证：BD?CD=AC?CE.【答案】证明：•/ △ ABC 是等边三角形,••• / B=Z C=60 ° , AB=AC ,•/ / B+Z BAD=Z ADE+ZCDE, / B=Z ADE=60 • Z BAD=Z CDE,与DH 的延长线交于点 E ,求证：△ AH SA EBD【思路点拨】 首先利用三角形的内角和定理证明：Z A=Z E ,再有垂直得到90°的角,Z ADH Z ACB=90，从而证明：△ AH SA EBD【答案与解析】 证明：••• HDLAB 于 D,• Z ADH=90 , • Z A+Z AHD=90 ,•••Z ACB=90 ,• Z E+Z AHD=90 , • Z A=Z E , • Z ADH Z ACB=90 , • △ AH SA EBD【总结升华】 考查了垂直定义、 三角形内角和定理以及相似三角形的判定方法：两角法：有 两组角对应相等的两个三角形相似.Rt △ ABC 中，Z ACB=90，点H 在AC 上，且线段 HDL AB 于D, BC 的延长线已知, 即 BD?CD=AC?CE ;类型二、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似应成比例且夹角相等三角形相似，可得△ ABE^A DEF(2 )根据平行线分线段成比例定理，可得CG 的长，即可求得 BG 的长.【答案与解析】(1) 证明：T ABCD 为正方形，••• AD=AB=DC=BQ A=Z D=90 , •/ AE=ED•厂:•/ DF= DC ,4• △ ABE^A DEF(2) 解：T ABCD 为正方形，• ED// BG •工又•/ DF= DC 正方形的边长为 4,4•ED=2 CG=6 • BG=BC+CG=10【总结升华】考查了相似三角形的判定(有两边对应成比例且夹角相等三角形相似) 、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用. 解题的关键是数形结合思想的应用.举一反三【变式】(2015?随州)如图，在 △ ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上,下列条件中不 能判断△ ABC AED 的是()如图，在正方形ABCD 中, E 、F 分别是边 AD CD 上的点,连接EF 并延长交BC 的延长线于点 G. (1) 求证：△ ABE^A DEF(2) 若正方形的边长为 4,求BG 的长.1 I,根据有两边对DFDEAEAE2DF一【思路点拨】DA ./ AED= /B B .上 ADE= /C C .丄丄AE AB【答案】D;提示：I / DAE= / CAB ,•••当/ AED= / B 或/ ADE= / C 时，△ ABC s\ AED ; 当旦='时，△ ABC s\ AED .AC AB故选D .（2014秋？揭西县校级期末）如图，F 为平行四边形ABCD 的边AD 的延长线上的 一点，BF 分别交于 CD 、AC 于 G 、E ,若 EF=32，GE=8，求 BE .【答案与解析】 解：设BE=x , •/ EF=32 , GE=8 , • FG=32 - 8=24,•/ AD // BC ,• △ AFE CBE ,•耳 F _AF•：.■:'， 则亠= •仃1 ①K BC BC•/ DG // AB , •••△ DFGCBG ,•—='代入①BC S+x 32 24 d = +ix 8+x'解得：x= ±6（负数舍去），故 BE=16.C【总结升华】此题主要考查了相似三角形的判定、平行四边形的性质，得出△ DFG CBG是解题关键.举一反三【变式】如图，在4X3的正方形方格中，△DEC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.(1 )填空：/ ABC= _____ ° , BC= ________ ;(2)判断△ ABC与厶DEC是否相似，并证明你的结论.下\一Z D E 【答案】解：(1)Z ABC=135 , BC=匚；(2)相似；BC=：EC=. I =.：；•阳2 _厂BC 2^2厂.•匚「* *CE DE又/ ABC M CED=135 ,• △ABC^A DEC类型三、三边成比例的两个三角形相似少、/、、5、已知：正方形的边长为1(1)如图①，可以算出正方形的对角线为 _,求两个正方形并排拼成的矩形的对角线长, n个呢？(2)根据图②，求证△ BC0A BED(3)由图③，在下列所给的三个结论中，通过合情推理选出一个正确的结论加以证明，1.M BEC M BDE=45 ;2./ BEC M BED=45 ;3./ BEC M DFE=45【思路点拨】(1)主要是根据勾股定理寻找规律，容易在数据中找到正确结论；(2 )在每个三角形中，根据勾股定理易求出每条边的长度，可利用三组边对应成比例，两三角形相似来判定；(3)欲证/ BEC y DFE=45，在本题中等于45°的角有两个，即/AEB和/BEF,所以在证明第三个结论时，需把这两个角想法转移到已知的一个角中4 / C D A f C D去，利用等腰梯形的性质求解即可.【答案与解析】解：(1)由勾股定理知，在第一个图形中，对角线长=匚=| - | ,第二个图形中，对角线长=匸=一 | ,第三个图形中，对角线长 =^ '■ | ,所以第n个图形中，对角线长=^［；(2 )在厶BCE 中，BC=1, BE=& , EC=^, 在厶BED 中，BE=/^ , BD=2 ED^jj,•••△ BC0A BED(3 )选取③，•/ CD// EF,且CE=DF•四边形CEFD为等腰梯形，•••/ DFE y CEF•••/ BEC y DFE y BEC y CEF=45 .【总结升华】此题主要运用三边对应成比例的两个三角形相似的判定定理、勾股定理的运用、等腰梯形的性质来解决问题的•。
相似三角形性质课件
两个相似三角形的对应角分别相 等，且对应边长度之间存在一定 的比例关系。
相似三角形的判定
01
02
03
角角判定
两个三角形有两组对应角 分别相等，则这两个三角 形相似。
边角判定
两个三角形有两组对应边 分别成比例，并且夹角相 等，则这两个三角形相似 。
边边判定
两个三角形的三组对应边 分别成比例，则这两个三 角形相似。
线角度等。
解决方法
根据实际问题构造相似三角形， 利用相似性质解决问题。
实例
通过观测日影长度计算建筑物高 度；通过测量山脚和山顶的角度 以及山脚到山顶的距离，计算山
的高度。
相似三角形在工程设计中的应用
工程领域
建筑设计、道路设计、桥梁设计等。
应用方式
运用相似三角形的性质进行比例缩放，将实际工 程问题转化为可计算的数学模型。
03
相似三角形的应用
利用相似三角形测量不可直接测量的距离
测量方法
通过构造相似三角形，利 用相似比推算出目标距离 。
应用场景
例如测量不能直接到达的 两点之间的距离，如跨越 河流、山峰等。
优势
相比直接测量，利用相似 三角形的方法更为便捷、 高效。
利用相似三角形解决实际问题
问题类型
涉及距离、高度、角度等实际问 题，如计算建筑物高度、确定视
01
性质描述
相似三角形的对应边成比例，即如果两个三角形相似，则它们的对应边
长之间存在一定的比例关系。
02
证明方法
可以通过相似三角形的定义和性质，运用相似比等概念进行证明。
03
应用场景
这个性质在解决与三角形相关的长度问题时非常有用，例如在计算两个
相似三角形证明技巧(整理)
相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似三角形(1)三角形相似的条件：①；② ；③ . 二、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；找另一角 两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似找一个直角 斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似找另一角 两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例 判定定理2 找顶角对应相等 判定定理1找底角对应相等 判定定理1找底和腰对应成比例 判定定理3e)相似形的传递性 若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。
例1、已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC. 求证: BAAC AF AE（判断“横定”还是“竖定”？ ）a)已知一对等b)己知两边对应成比c)己知一个直d)有等腰关例2、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB吗？说明理由。
相似三角形六大证明技巧(提高类技巧训练)
第 2 讲相似三角形 6 大证明技巧模块一相似三角形证明方法之反A型与反X型回顾相似三角形的判定方法总结：1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.2.三边成比例的两个三角形相似 . （ SSS）3.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (SAS)4.两角分别相等的两个三角形相似.(AA)5.斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL)模型一：反 A 型：如图，已知△ ABC，∠ ADE =∠C，若连 CD 、BE，进而能证明△ ACD ∽△ ABE (SAS) 试一试写出具体证明过程AEDC B模型二：反 X 型：如图，已知角∠BAO=∠CDO ，若连 AD， BC，进而能证明△AOD∽△ BOC.试一试写出具体证明过程BAOD C应用练习：1. 已知△ ABC 中，∠ AEF= ∠ ACB ，求证：（ 1） AE AB AF AC （2）∠ BEO= ∠ CFO ，∠E BO= ∠FCO （ 3）∠ OEF= ∠OBC ，∠ OFE=∠ OCBAEFOB C132.已知在△ABC 中 ,∠ ABC=90°,AB=3,BC=4. 点 Q 是线段 AC 上的一个动点 , 过点 Q 作 AC 的垂线交线段 AB( 如图 1) 或线段 AB 的延长线 ( 如图2) 于点 P.(1)当点 P 在线段 AB 上时 , 求证：△APQ ∽ △ABC ；(2)当△PQB 为等腰三角形时，求 AP 的长。
模块一相似三角形证明方法之射影定理与类射影模型三：射影定理如图已知△ ABC，∠ ACB =90°， CH ⊥ AB 于 H ，求证：AC 2AH AB， BC2BHBA ，，HC 2 HAHB ，试一试写出具体证明过程CA HB 模型四：类射影如图，已知AB2BD ABAC AD ，求证：，试一试写出具体证明过程BC ACADC B14应用练习：1.如图，在△ ABC中， AD⊥ BC于 D，DE⊥ AB 于 E，DF⊥ AC 于 F。
4.5 相似三角形判定定理的证明 课件(共21张PPT) 数学北师版九年级上册
1．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若AD＝1，BD＝2，则DE:BC的值为( )A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.1:9 2．如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF∶FC＝( )A．1∶4 B．1∶3 C．2∶3 D．1∶2
D
E
证明 ：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD＝A′B′，
AE＝A′C′
连接DE.
D
E
而∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC∽△ADE
（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）
∴△ADE≌△A′B′C′
∴△ABC∽△A'B'C'
问题1：定理2，3的证明过程与定理1的证明过程共同点是什么？
作平行线→相似→相等→相似
几何语言：
已知：如图，△ABC和△ A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′，
求证 ：△ABC∽△A'B'C'
D
E
证明 ：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD＝A′B′，
过点D作BC的平行线，交AC于点E，
则∠ADE＝∠B，
∠AED＝∠C，
（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）授课老师：时间：204年9月15日BD
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且CD＝2，DE＝1，则BC的长为_______．4．△ABC中，AB=10 ，AC=6 ，点D在AC上且AD=3 ，若要在AB上找一个点E，使△ADE与△ABC相似，则AE= __ ．
5或
同学们再见！
∴△ADE≌△A′B′C′
相似三角形判定定理的证明核心知识
相似三角形判定定理的证明核心知识首先，我们来看一下相似三角形的定义。
两个三角形ABC和DEF是相似的，当且仅当它们的对应角度相等，并且对应边的比值相等。
数学符号表示为：∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，且AB/DE=BC/EF=AC/DF。
现在，我们来证明相似三角形的判定定理。
相似三角形判定定理分为三种情况，即AAA（角-角-角）判定定理、AA（角-角）判定定理和SSS（边-边-边）判定定理。
接下来，我们将分别对这三种情况进行证明。
首先，我们证明AAA判定定理。
假设有两个三角形ABC和DEF，它们的对应角度分别为∠A、∠B、∠C和∠D、∠E、∠F。
我们假设∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，要证明这两个三角形是相似的，我们需要证明它们的对应边的比值相等。
根据正弦定理和余弦定理，我们可以得到三角形的边长与角度的关系。
通过计算可以得到AB/DE=BC/EF=AC/DF，因此，根据对应角度相等和对应边的比值相等的条件，我们可以得出相似三角形判定定理中的AAA判定定理。
接下来，我们证明AA判定定理。
假设有两个三角形ABC和DEF，它们的对应角度分别为∠A、∠B、∠C和∠D、∠E、∠F。
我们假设∠A=∠D，∠B=∠E，要证明这两个三角形是相似的，我们需要证明它们的对应边的比值相等。
首先，我们可以得到∠C=180°-∠A-∠B，∠F=180°-∠D-∠E。
然后，根据正弦定理和余弦定理，我们可以得到三角形的边长与角度的关系。
通过计算可以得到AB/DE=BC/EF，因此，根据对应角度相等和对应边的比值相等的条件，我们可以得出相似三角形判定定理中的AA判定定理。
最后，我们证明SSS判定定理。
假设有两个三角形ABC和DEF，它们的对应边分别为AB、BC、AC和DE、EF、DF。
我们假设AB/DE=BC/EF=AC/DF，要证明这两个三角形是相似的，我们需要证明它们的对应角度相等。
根据余弦定理和正弦定理，我们可以得到三角形的角度与边长的关系。
第13讲 相似三角形判定定理的证明
第13讲 相似三角形判定定理的证明课程标准1.了解相似三角形判定定理的证明过程，会选择恰当的方法证明两个三角形相似；2.会作辅助线来证明两个三角形相似，掌握证明过程。
知识点01 相似三角形判定定理的证明（一）相似三角形的判定定理1的证明过程已知：如图,在△ABC 和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B ′.求证：△ABC ∽△A′B′C′.证明：在△ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD=A′B′,过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E, 则∠ADE=∠B ，∠AED=∠C,(.AD AEAB AC=平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例） 过点D 作AC 的平行线，交BC 与点F,则(AD CFAB CB =平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）. ∴AE CFAC CB=∵DE ∥BC,DF ∥AC,∴四边形DFCE 是平行四边形. ∴DE=CF. ∴AE:AC=DE:CB ∴AD AE DEAB AC BC==. 而∠ADE=∠B,∠DAE=∠BAC,∠AED=∠C, ∴△ADE ∽△ABC.∵∠A=∠A′,∠ADE=∠B=∠B′,AD=A′B′, ∴△ADE ∽△A′B′C′.知识精讲目标导航∴△ABC ∽△A′B′C′.（二）相似三角形的判定定理2的证明过程 已知：在△ABC 和△A ′B′C′中，∠A=∠A′,''''AB ACA B A C =,求证：△ABC ∽△A′B′C′.证明：在△ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD=A′B′,过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E, 则∠B=∠ADE,∠C=∠AED,∴△ABC ∽△ADE(两角分别相等的两个三角形相似). ∴AB ACAD AE=. ∵''''AB ACA B A C =,AD=A′B′, ∴''AB ACAD A C =∴''AC ACAE A C =∴AE=A ′C′ 而∠A=∠A ′ ∴△ADE ≌△A ′B ′C ′. ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′.（三）相似三角形的判定定理3的证明过程 已知：在△ABC 和△A ′B′C′中，''''''AB BC ACA B B C A C ==.求证：△ABC ∽△A′B′C′.证明：在△ABC 的边AB ，AC （或它们的延长线）上截取AD=A′B′,AE=A′C′,连接DE. ∵''''AB ACA B A C =，AD=A′B′,AE=A′C′,∴AB ACAD AE=而∠BAC=∠DAE,∴△ABC ∽△ADE(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似). ∴AB BCAD DE=又''''AB BCA B B C =，AD= A′B′, ∴''AB BCAD B C =∴''BC BCDE B C =∴DE=B′C′,∴△ADE ≌△A′B′C′， ∴△ABC ∽△A′B′C′.知识点02 证明相似三角形的一般思路（1）有平行线——用平行线的性质，找“等角”（用判定定理1）。
(word完整版)相似三角形证明技巧(整理)
1相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似三角形(1）三角形相似的条件：① ；② ；③ 。
二、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形,从而使问题得以解决。
三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线),因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等,则只考虑三组对应边是否成比例; 找另一角 两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似找一个直角 斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似 找另一角 两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例 判定定理2a ）已知一对b)己知两边对应成c)己知一个2找顶角对应相等 判定定理1找底角对应相等 判定定理1找底和腰对应成比例 判定定理3e ）相似形的传递性 若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能,则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”;若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
有些学生在寻找条件遇到困难时,往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞,乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。
例1、已知：如图，ΔABC 中，CE ⊥AB ，BF ⊥AC. 求证: BAAC AF AE（判断“横定”还是“竖定”？ ）例2、如图,CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，∠BAC 的 平分线分别交BC 、CD 于点E 、F ，AC ·AE=AF ·AB 吗？ 说明理由。
九上数相似三角形判定定理的证明(3)
A
证明：在线段A ' B （或它的延长线
'
上）截取A ' D AB，过点D再做
DE
B' C ' 交A' C ' 交于点E，可得
A' DE ∽ A' B' C '
∴
B
C
D
E
A' D
DE
A' E
A' B' B' C ' A' C '
AB
BC
AC
∵ A' B' B' C ' A' C ' , A' D AB
1.了解相似三角形判定定理的证明过程；
2.知道构造全等三角形是一种有效的证明方法；
3.进一步掌握相似三角形的判定定理．
学习重点：
掌握相似三角形的判定定理及证明方法．
学习难点：
用已有的知识储备以及构造三角形全等的方法完成
证明过程.
回顾与复习
相似三角形的判定方法:
两角对应相等，两三角形相似. (AA)
＝
ＡＥ
ＢＣ
。求证：ＡＢ＝ＡＥ.
拓展提升
如图，在△AＢＣ中，ＡＢ＝８cm,BC=16cm,动点Ｐ
从点Ａ开始沿ＡＢ边运动，速度为2 cm/s; 动点Ｑ从点
Ｂ开始沿ＢＣ边运动，速度为4 cm/s。如果Ｐ，Ｑ两
动点同时运动，那么何时△ＱＢＰ与△ＡＢＣ相似？
解：设 t 秒后△PBQ 与△ABC 相似，
8－2t 4t
巩固练习
如图，判断4×4方格中的两个三角形是否相似,
(完整版)相似三角形证明技巧(整理)
相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似三角形(1)三角形相似的条件：①；② ；③ . 二、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；找另一角 两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似找一个直角 斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似找另一角 两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例 判定定理2 找顶角对应相等 判定定理1找底角对应相等 判定定理1 找底和腰对应成比例 判定定理3e)相似形的传递性 若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。
例1、已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC. 求证: BAAC AF AE（判断“横定”还是“竖定”？ ）a)已知一对等b)己知两边对应成比c)己知一个直d)有等腰关例2、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB吗？说明理由。
相似三角形的证明步骤
相似三角形的证明步骤证明两个三角形相似在平面几何学中，有时需要证明两个三角形是否相似。
当两个三角形的3条边以及3个内角的比例相同时，则称两个三角形相似，看上去就像同一个三角形的缩放版本，但在大小上有所不同。
比如，如果一个三角形的三条边和内角的长度以及角度分别为：a:b:c=2:3:4，则另一个三角形也必须有同样的比例才能说明它们是相似的，比如：a':b':c'=4:6:8。
两个三角形相似的条件可以总结为下面的定理：定理：两个三角形ABC和A'B'C'相似的充分必要条件是，AB/A'B' = BC/B'C' = AC/A'C'。
证明：假设ABC和A'B'C'是两个相似的三角形，那么在ABC和A'B'C'三角形中，有三条边：AB、BC和AC，以及必要的三个内角：∠A，∠B和∠C，它们之间有条相似性条件：两个三角形的三条边要成比例，而三个内角也要成比例。
由于两个三角形ABC和A'B'C'平行四边形的两个对角线AB和A'B'平行，所以有：AB/A'B' = AC/A'C' (1)同理，由于BC和B'C'平行，所以有：BC/B'C' = AC/A'C' (2)从（1）和（2）可以得到：AB/A'B' = BC/B'C' = AC/A'C'即可证明ABC和A'B'C'相似的充分必要条件，即两个三角形的三条边要成比例，而三个内角也要成比例。
由此可见，任意两个三角形ABC和A'B'C'相似的充分必要条件是：AB/A'B' = BC/B'C' = AC/A'C'，证毕。
相似三角形证明过程
相似三角形证明过程方法一：使用角度对应法1.首先，我们需要确定两个三角形的对应角相等。
假设有两个三角形ABC和DEF，我们需要证明它们相似。
2.为了方便讨论，我们将两个三角形画在同一张图上。
确保两个三角形有一个共同的角A，即∠A=∠D。
3.接下来，我们需要找到三角形中有相等比例的两条边。
假设AC与DF是这样一对边，那么它们应具有相等的比例关系，即AC/DF=m。
4.现在，我们需要找到两个三角形的另外一对边，这两条边之间也应具有相等的比例关系。
假设AB与DE是这样一对边，那么它们应具有相等的比例关系，即AB/DE=n。
5.在得出这两个比例关系后，我们可以推导出AC/DF=AB/DE=m/n。
这是因为这两个三角形的尺寸可能不同，但是它们的比例关系相等。
6.通过这个推导，我们可以得出结论，即三角形ABC与DEF相似。
方法二：使用边对应法1.首先，我们需要找到三角形中相等比例的两对边。
假设有两个三角形ABC和DEF，我们需要证明它们相似。
2.为了方便讨论，我们将两个三角形画在同一张图上。
确保两个三角形有一对边AB和DE具有相等的比例关系，即AB/DE=m。
3.接下来，我们需要找到三角形中的第二对相等比例的边。
假设AC 和DF是这样一对边，那么它们应具有相等的比例关系，即AC/DF=n。
4.在得出这两个比例关系后，我们可以推导出结论，即AC/DF=AB/DE=n/m。
这是因为这两个三角形的尺寸可能不同，但是它们的比例关系相等。
5.通过这个推导，我们可以得出结论，即三角形ABC与DEF相似。
方法三：使用两角对应法1.首先，我们需要确定两个三角形中的两组相等角。
假设有两个三角形ABC和DEF，我们需要证明它们相似。
2.为了方便讨论，我们将两个三角形画在同一张图上。
确保两个三角形有一对角∠A和∠D相等。
3.接下来，我们需要找到另外一对相等角∠B和∠E。
这两个角应满足∠B=∠E。
4.在得出这两组相等角后，我们可以推导出结论，即∠A=∠D，∠B=∠E。
证明相似三角形定理
证明相似三角形定理在数学中，相似三角形定理是几何形状中的一个重要概念。
它描述了当两个三角形的对应角度相等时，它们的对应边长的比值是相等的。
证明这一定理可以用于许多数学应用以及解决各种几何问题。
以下是对相似三角形定理的证明。
设有两个三角形ABC和DEF，其中∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
我们需要证明三角形ABC与三角形DEF相似。
为了证明相似性，我们将比较两个三角形的边长比值。
首先，我们计算出三角形ABC的边长比值。
根据三角形的性质，我们知道三角形内角和等于180度。
因此，我们可以得到∠A + ∠B + ∠C = 180度。
根据已知条件，我们有∠A =∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
将这些关系代入等式中，得到∠D + ∠E + ∠F = 180度。
由于三角形DEF的内角和也等于180度，我们可以得出两个等式：∠D + ∠E + ∠F = 180度和∠D + ∠E + ∠F = 180度。
根据这两个等式，可以得出∠A + ∠B + ∠C = ∠D + ∠E + ∠F。
现在我们来比较三角形ABC和三角形DEF的边长比值。
假设AB/DE = BC/EF = AC/DF = k。
根据三角形的性质，我们知道在三角形ABC中，根据正弦定理，我们有AB/DE = sin(∠D)/sin(∠A)。
然后我们可以得到sin(∠D)/sin(∠A) = BC/EF和sin(∠D)/sin(∠A) = AC/DF。
由于∠A =∠D，我们可以将等式简化为sin(∠A)/sin(∠A) = BC/EF和sin(∠A)/sin(∠A) = AC/DF。
由于正弦函数中∠A ≠ 0，我们可以将等式简化为1 = BC/EF和1 = AC/DF。
因此，我们得出了AB/DE = BC/EF = AC/DF = 1。
根据我们的假设，我们可以得出AB/DE = BC/EF = AC/DF = k。
而在前面的推理中，我们证明了AB/DE = BC/EF = AC/DF = 1。
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例2.如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高， ∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F， AC·AE=AF·AB吗？说明理由。
“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端 点来确定三角形的方法。具体做法是：先看比例 式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端 点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明 这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”； 若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两 条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角 形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫 做“竖定”。
相似三角形的基本图形
三、母子型 我们常把左图和右图称为母子型或共边共角型，如左图， 若∠ACE＝∠B或∠AEC＝∠ACB，则△ABC∽△ACE；如右图， 若∠ACB＝90°且CE⊥AB于点E，则△ABC∽△ACE.
例1.已知:如图,ΔABC中,CE⊥AB,BF⊥AC. 求证: AE AC
AF BA
例4.如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高， G是DC延长线上一点，过B作BE⊥AG，垂足为E，交CD于点F． 求证：CD2＝DF·DG．
等积过渡法（等积代换法） 思考问题的基本途径是：用三点定形法确定两 个三角形，然后通过三角形相似推出线段成比 例；若三点定形法不能确定两个相似三角形， 则考虑用等量（线段）代换，或用等比代换， 然后再用三点定形法确定相似三角形，若以上 三种方法行不通时，则考虑用等积代换法。
对边平行．平行线型的基本图形通常用来判断相似三角形 的对数，或由其产生相似比求线段的长．
相似三角形的基本图形
二、相交线型 我们常把图1、图2和图3称为相交线型，它们的公共角 或对顶角的对边不平行．一般地，如图1，若∠D＝∠B或 ∠E ＝ ∠C ， 则 △ADE∽△ABC ； 如 图 2 ， 若 ∠ADE ＝ ∠B 或 ∠AED ＝ ∠C ， 则 △ADE∽△ABC ； 如 图 3 ， 若 ∠B ＝ ∠D 或 ∠ACB＝∠AED，则△ABC∽△ADE.
证明三角形相似的进本思路
三角形相似的判定方法
1.两角分别相等的两个三角形相似。 2.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 3.三边成比例的两个三角形相似。
相似三角形的基本图形
一、平行线型 如图所示，当DE∥BC时，都有△ABC∽△ADE，这是相似三
角形中两种最常见的“基本图形”，左图是一种“A型”图， 即公共角的对边平行；右图是一种“X型”图，即对顶角的
例3.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC， ． Eห้องสมุดไป่ตู้AC的中点，ED交AB的延长线于点F．
求证： AB DF
AC AF
等比过渡法（等比代换法） 当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时， 可以考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式 搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证 的结论中某个比相等的比，并进行代换，然后再用三点定形法 来确定三角形。