南方新课堂高考数学文科一轮总复习配套课件2.3函数的奇偶性与周期性

∵f(x)最大值为 M，最小值为 m， ∴g(x)的最大值为 M－1，最小值为 m－1. 即有 M－1＋m－1＝0，M＋m＝2. 答案：2
2 1－x ≥0， 由 |x＋2|－2≠0，
－1≤x≤1， 得 x≠0且x≠－4.
故 f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称，且有 x＋ 1－x2 1－x2 2＞0，从而有 f(x)＝ ＝ x . x＋2－2 1－－x2 1－x2 ∴f(－x)＝ ＝－ x ＝－f(x). －x 故 f(x)为奇函数.
解：(1)函数的定义域为 x∈(－∞，＋∞)，关于原点对称. ∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1| ＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)， ∴f(x)＝|x＋1|－|x－1|是奇函数.
x>0 }. (2)此函数的定义域为{x 由于定义域不关于原点对称， 故 f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (3)去掉绝对值符号，根据定义判断.
(4)∵函数 f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞). 当 x＞0 时，－x＜0， ∴f(－x)＝(－x)[1－(－x)]＝－x(1＋x)＝－f(x)(x＞0). 当 x＜0 时，－x＞0，∴f(－x)＝－x(1－x)＝－f(x)(x＜0). 故函数 f(x)为奇函数. (5)此函数的定义域为{－1,1}，且 f(x)＝0. 可知图象既关于原点对称、又关于 y 轴对称， 故此函数既是奇函数又是偶函数. (6)函数的定义域为 2x－1≠0，即 x≠0. 2x＋1 － 2 x＋1 2x＋1 2x ∵f(－x)＝ －x ＝ ＝－ x ＝－f(x)， 2 －1 1－2x 2 －1 2x ∴f(x)是奇函数.
【方法与技巧】1函数的奇偶性是函数的一个整体性质， 定义域具有对称性(即若奇函数或偶函数的定义域为 D，则 x∈ D 时都有－x∈D是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件，因 此判断函数的奇偶性应首先考虑函数的定义域. 2分段函数的奇偶性一般要分段证明. 3用定义判断函数的奇偶性的步骤是：定义域关于原点对 称→验证 f－x＝±fx→下结论，还可以利用图象法或定义的 f ( x) 等价命题 f－x± fx＝0 或 ＝± 1[fx≠0]来判断. f ( x)
4.(2012 年广东广州一模)若函数 f(x)＝ln(x2＋ax＋1)是偶函
数，则实数 a 的值为________. 0
5.(2013 年大纲)设 f(x)是以 2 为周期的函数，且当 x∈[1,3) 时，f(x)＝x－2，则 f(－1)＝______. －1 解析：因为f(x)是以2 为周期的函数，且当 x∈[1,3)时，f(x) ＝x－2，则 f(－1)＝f(1)＝1－2＝－1.
f(－x)＝f(x) 或 (2)对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有__________[
f(－x)－f(x)＝0 ，则称 f(x)为偶函数.偶函数的图象关于____ y 轴 _______________]
对称.
注意：通常利用图象或定义判断函数的奇偶性.具有奇偶性 的函数，其定义域关于原点对称(也就是说，函数为奇函数或偶
函数的必要条件是其定义域关于原点对称).
2.函数的周期性 非零常数 T，使得定义域内 对于函数 f(x)，如果存在一个__________
f(x＋T)＝f(x) ，那__
周期 期函数，非零常数 T 叫做这个函数的______.
考纲要求
1.函数的奇偶性 (1) 对 于 函 数 f(x) 的 定 义 域 内 任 意 一 个 x ， 都 有
f(－x)＝－f(x) 或______________] f(－x)＋f(x)＝0 ，则称 f(x)为奇函数.奇函 _______________[
原点 对称. 数的图象关于________
1.函数 y＝ 1－x＋ x－1是( D )
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 2.下列函数中，在其定义域内是奇函数的是( C )
1 2
A.y＝ex
B.y＝ x
C.y＝x3
D.y＝cosx
1 3.函数 f(x)＝x－x 的图象关于( C )
A.y 轴对称 B.直线 y＝－x 对称 C.坐标原点对称 D.直线 y＝x 对称
考点 1 判断函数的奇偶性 例 1：判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝|x＋1|－|x－1|； 1 (2)f(x)＝ x＋ x； 1－x2 (3)f(x)＝ ； |x＋2|－2
x1－x (4)f(x)＝ x1＋x
x<0， x>0；
(5)f(x)＝ 1－x2＋ x2－1； 2x＋1 (6)f(x)＝ x . 2 －1
第3讲
函数的奇偶性与周期性
考情风向标 从近两年的高考试题看，函数 的奇偶性与周期性的应用是高考的 1.结合具体函数，了解 热点，多以选择题、填空题出现， 与函数的概念、图象、性质综合在 函数奇偶性的含义. 2.会运用函数图象理 一起考查，难度不大. 解和研究函数的性质. 预计 2015 年高考将以三角函数的 周期性和抽象函数的周期性为主要 考点，重点考查逻辑推理能力.
考点 2 利用奇偶性求函数值 x＋12＋sinx 的最大 例 2：(1)(2012 年新课标)设函数 f(x)＝ 2 x ＋1 值为 M，最小值为 m，则 M＋m＝________.
2x＋sinx 解析：f(x)＝1＋ 2 ， x ＋1 2x＋sinx 设 g(x)＝f(x)－1＝ 2 ，则 g(x)是奇函数. x ＋1
【互动探究】
1.(2013 年广东)定义域为 R 的四个函数 y＝x3，y＝2x，y＝
x2＋1，y＝2sinx 中，奇函数的个数是( C )
A.4 个
C.2 个 B.3 个 D.1 个
2.(2012 年重庆)若函数 f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数
a＝_______. 4
解析：由函数 f(x)为偶函数，得 f(a)＝f(－a)， 即(a＋a)(a－4)＝(－a＋a)(－a－4)⇒a＝4.