点共线向量表示及其性质应用
共线向量定理及其应用
共线向量定理及其应用知识点：一、共线向量基本定理a （a ≠0 ）与b 共线⇔存在唯一一个实数λ，使b a λ= 。
推论：a 与b共线⇔存在不全为零的实数12,λλ，使120a b λλ+=成立。
二．三点共线1.点A,B,P 共线⇔存在非零实数λ，使AP AB λ=成立。
（1）若点P 在线段AB 上（与A.B 不重合）时，则0<λ<1; (2)若点P 与A 重合时，则λ=0； （3）若点P 与B 重合时，则λ=1；（4）若点P 在线段AB 的延长线上时，则λ>1； (5)若点P 为线段AB 的中点时，则λ=12； （6）点P 在线段BA 的延长线上时，λ<0. 2.对于平面上的任意一点O,点P.A.B 三点共线⇔x (1)()OP OA x OB x R =+-∈3.对于平面上的任意一点O,点P.A.B 三点共线⇔(,)OP xOA yOB x y R =+∈且x+y=1.三．重要结论1.若向量a,b不共线，则12120==0a b λλλλ+= 当且仅当时成立，反之亦然。
2.若向量a,b不共线，则1212a ==0b λλλλ= 当且仅当时成立，反之亦然。
3.若向量a,b不共线，则11221212a ==b a b λμλμλλμμ+=+ 当且仅当且时成立，反之亦然练习部分：1.在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且，点O在线段CD上（与点C、D不重合），若的取值范围是（）A．B．C．D．2.如图所示，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外的点D，若，则m+n的取值范围是A.（0，1）B（1，+∞）C（-∞，-1）D（-1，0）.3.如图，经过∆OAB的重心G的直线与OA.OB分别交于P.Q，设,,,,OP mOA OQ nOB m n R==∈，则11n m+的值为----------- 。
4.如图，一条直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB,AD 分别交于E,F 两点，且交其对角线AC于K ，其中，则λ的值是（）A.15B.14C.13D.125.在△ＡＢＯ中，11,,42OC OA OD OB == ＡＤ与ＢＣ相交于点Ｍ，设,OA a OB b ==，试用a 和b 表示向量OM６.设两个非零向量a 与b 不共线，试确定实数ｋ，使得ka b + 和a kb +共线答案：1.设(01)CO CD λλ=<< ,x (1)AO AB X AC xAB AC xAC =+-=+- , ()AO AC x AB AC ∴-=- ,x ()3CO CB x BC xCD ⇒==-=-,3,x λ∴=-所以，0<-3x<1,103x ∴-<<.2.解：：由C,O.D 三点共线知，(0),1OCOC kOD k k OD=<=<又,所以-1<k<0. 又B.A.D三点共线，(1)OD OA OBλλ∴=+- .(1)OC kOD k OA k OB λλ∴==+- .所以m+n=k λ+(1)k λ-=k (1,0)∈-3.解221111()()3323OG OD OA OB OP OQ m n ==⨯+=+ =1133OP OQ m n+.,,P G Q 三点共线，11111,333m n m n∴+=∴+= 4.解()AK AC AB AD λλ==+=32AE AF λλ+ ,因为K,E,F 三点共线，所以3λ+2λ=1.∴λ=15. ５.解∵D ，M ，A三点共线，∴存在实数m使得m (1)(1);2m O M O D m O A m a b =+-=-+ 又B ，M ，C 三点共线，同理可得，1(1)4n OM nOB n OC a nb -=+-=+62{,1714mn m n m =∴=--=得，1377OM a b ∴=+６.ｋ＝１。
平面向量的三点共线定理及其应用技巧
思路探寻在解答平面向量问题时，经常要用到平面向量的运算法则、定理、几何意义、公式等.对于多点在同一直线上的问题，可以利用平面向量的三点共线定理进行求解.如图1，O 为直线外一点，在△OPA 中， AP =OP - OA ,设 OP =λ OA +μ OB ,则AP =λ OA +μ OB - OA =μ OB+(λ-1) OA =m ( OB - OA )，而在△OBA 中， AB = OB -OA ，即 AB =mAP ，所以A 、B 、P 三点共线.在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是对于平面内任意一点的O ，存在唯一的一对实数x 、y ，使得 OP =x OA +yOB 且x +y =1.这就是平面向量的三点共线定理.该定理常用于判断三点是否共线，证明几个点是否在同一条直线上，求某个向量的表达式，求参数的值等.下面结合实例探讨一下如何运用平面向量三点共线定理解题.例1.已知O 为锐角三角形ABC 的外心，AB =3,AC =6，若 AO =x AB +yAC ，且3x +10y =5，求三角形ABC 的面积.解：由3x +10y =5，得3x 5+2y =1.由题意可得AO =x AB +y AC =3x 5(53 AB )+2y (12AC ),如图2，在直线AB ，AC 上取两点D ,E ，使得 AD =53 AB ， AE =12 AC ，则 AO =3x 5 AD +2y AE ，又3x 5+2y =1，所以O ,D ,E 三点共线.因为O 为△ABC 的外心，且|| AE =|| EC ，则DE ⊥AC ，又|| AD =5，||AE =3，可得sin ∠BAC =45，故S △ABC =12×|| AB ×||AC ×sin ∠BAC=12×3×6×45=365.根据向量式的特点以及3x +10y =5联想到要三点共线定理，于是在直线AB 、AC 上取两点D 、E ，证明 AO =3x 5AD +2y AE ，即可根据三点共线定理证明O ,D ,E 三点共线，从而根据三角形外心的性质和面积公式求得问题的答案.例2.如图3所示，在△ABO 中，OC =14 OA ， OD =12OB ，AD 与BC 相交于点M .设 OA =a ，OB =b ，试用 a 和 b 来表示向量 OM .解：设 OM =ma +nb ，则 AM = OM - OA =m a +n b - a =(m -1)a +nb ，AD = OD - OA =12 OB - OA =-a +12b ，因为A ,M ,D 三点共线，所以存在实数t ，使得 AM =tAD ，即(m -1)a →+n b →=t (-a →+12b →)，所以ìíîïïm -1=-t ,n =t 2,消去t 得m +2n =1，又因为CM = OM - OC =(m -14)a →+n b →， CB = OB - OC =-14a →+b →，且B ,M ,C 三点共线，所以存在实数t 1，使得 CM =t 1CB ，即(m -14)a →+n b →=t 1（-14a →+b →），所以ìíîïïm -14=-14t 1n =t 1，消去t 1得4m +n =1，由上述两式得m =17，n =37，故 OM =17 a +37b .解答本题需抓住A ,M ,D 三点共线和B ,M ,C 三点共线这两个关键点，再将 OA 和OB 作为基底表示出其他向量，利用待定系数法来求参数的值.向量共线定理是平面向量中的一个重要定理.合理运用三点共线定理，往往能起到化繁为简的功效，使问题快速得解.同学们要重视三点共线定理，将其灵活地应用于解题当中.（作者单位：江苏省盐城市龙冈中学）图1图2图348Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
平面向量中三点共线的证明及其应用
平面向量中三点共线的证明及其应用在平面向量中，三点共线说明这三个点满足下面的条件：重合、向垂直、和向平行。
如果三点共线，这意味着他们在同一条线上，且在同一条平面空间内。
三点共线的证明有两种方式-零空间的方法和二维的方法。
在零空间的方法中，每个点的位置可以用三个极坐标系表示，r,θ,φ是相应的极角度和极坐标（或旋转角度）。
用三维立体的形式表示每个点的位置，我们可以使用下面的表达式来表示：其中，x=r*cosθ*sinφ，y=r*cosθ*cosφ，z=r*sinθ由于这三个点共线，它们将在三维中共同满足右边的方程：a*x+b*y+c*z=0可以看出，这个方程具有三个参数-a,b,c，这意味着它可以用来描述和表示任何三点共线的情况。
另一种方法是二维法，它直接使用三点的平面坐标来证明三点共线。
在这里，两个点的坐标用（x1,y1）和（x2,y2）表示，而另一个点的坐标用（x,y）表示。
为了证明三点共线，需要满足方程m*(x1-x2)+n*(y1-y2)=0在这里，m和n是方程的参数。
如果这个方程能够成立，意味着第三个点（x，y）与其余两个点在同一条线上。
三点共线的数学原理在日常生活中得到广泛的应用。
其中最常见的应用是画图和土木计算，通常需要三角测量。
绘图包括绘制几何形状、图像和其他图案，这些图案通常与空间位置有关，因此必须确保三点共线，以便得出正确的结论。
土木计算中也经常会遇到三点共线的问题，例如评估桥梁的结构安全性时，在桥梁的两端设置两个支撑，这就是一个三点共线的示例。
总之，三点共线是一个重要的数学原理，具有重要的应用。
研究人员、土木工程师，甚至是普通的绘图师都会经常使用这个原理。
平面向量三点共线定理
平面向量三点共线定理
平面向量三点共线定理：
（1）定义
平面向量三点共线定理是指：在三维空间中，若三个任意的点共在一个平面，则它们所在的平面的向量也可以构成一条直线。
（2）正式定义
如果S1、S2、S3是三个同一平面的点，则这三个点的向量形式为：S1S2，S2S3和S1S3，它们围绕原点O构成一种结构，即三角形形式的向量，满足以下条件：
若三个向量都平行，则说明三个点共线。
（3）实际应用
在很多数学知识中，平面向量三点共线定理有着重要的作用。
例如：在平面几何学中，有一个叫“三角平分线定理”的定理，就是用平面向量三点共线定理来推断的结论。
此外，平面向量三点共线定理还可以应用于判断几何图形是否平行、
垂直或成一条直线，甚至可以用于决定三角形的内角和外角，以及三
角形的面积大小等。
（4）证明方式
平面向量三点共线定理是采用数学归纳法来证明的：
设ABC是平面上任意三点，用AB表示AB连线，则有AB+BC=AC。
同理，用BC表示，则有BC+CA=AB，用CA表示，则有CA+AB=BC。
相似地，可以证明，任意N个点在同一平面上的加和结果均为零，即：AB+BC+CD+…+AP=0。
这时，由于任意三个点位于同一平面，包括它们的任意两个连接向量
在内的多个向量的加和结果都是0，因此，任意三个点都必定在一条直线上，这就是平面向量三点共线定理的实际物理意义。
根据向量共线定理的几个推论及其应用,给出10个例子。
根据向量共线定理的几个推论及其应用，给出10个例子。
根据向量共线定理的几个推论及其应用本文将讨论根据向量共线定理得出的几个推论，并给出10个例子进行应用。
推论1：向量共线的充要条件向量共线的充要条件是它们可以表示为等比例的关系。
即，两个向量v和w是共线的，当且仅当存在一个非零常数k，使得v = kw。
实例1：设向量v = ⟨2, 4⟩，向量w = ⟨6, 12⟩，则v和w共线，因为可以表示为v = 3w。
推论2：向量共线的性质向量共线具有以下性质：1. 共线向量的数量不唯一。
对于任意一个向量v，与之共线的向量有无穷多个。
2. 共线向量的方向相同或相反。
共线向量的方向可以是相同的，也可以是相反的。
3. 共线向量的模长比例相同。
共线向量的模长之间存在一个恒定的比例关系。
实例2：考虑两个共线向量v = ⟨1, 2⟩和w = ⟨-2, -4⟩，它们的方向相反，模长的比例为2。
推论3：向量共线与线性相关两个向量共线等价于它们线性相关。
即，向量v和w共线，当且仅当它们的行列式为0。
实例3：设向量v = ⟨3, 6⟩，向量w = ⟨-2, -4⟩，则v和w共线，因为它们的行列式为0。
推论4：向量共线的应用向量共线的理论在实际中有很多应用，其中包括但不限于以下几个方面：1. 几何学：根据向量共线定理，可以判断线段是否共线，计算线段的长度比例等。
2. 物理学：在力学、电磁学等物理学领域中，向量共线定理被广泛应用于描述物体的运动、力的合成等问题。
3. 工程学：在建筑、航空、航天等领域中，向量共线定理可以用于分析和计算结构的稳定性和强度等。
实例4-10：1. 在平面上，三个点A(2, 4)、B(-1, -2)、C(3, 6)共线。
2. 直线L:x/3 = y/2 = z/4，过点P(3, 6, 12)。
3. 三维空间中，平面P1：2x + 4y + 6z = 0 和平面P2：4x + 8y + 12z = 0 共线。
共线向量定理及应用
3.已知向量 a，b 不共线，若向量 m＝4a＋5b 与 n＝2a＋λb 共线，则实数λ的
值为(
C
)
A．5
解析
B．3
5
C.
2
D．2
因为向量 m＝4a＋5b 与 n＝2a＋λb 共线，所以存在实数 t，使得
t＝2，
2t＝4，
m＝tn，即 4a＋5b＝t(2a＋λb)，又向量 a，b 不共线，所以
解得 λ＝5.
a b
1.设 a，b 都是非零向量，下列四个条件，使 ＝ 成立的充要条件是(
|a| |b|
A．a＝b
B．a＝2b
C．a∥b 且|a|＝|b|
D．a，b 方向相同
解析
D
)
a
b
a b
表示 a 方向上的单位向量， 表示 b 方向上的单位向量，因此 ＝
|a|
|b|
|a| |b|
的充要条件是 a 与 b 同向．
2
3
所以 = −
因为 =
2
3
−
2
9
+
，
=
1
−
3
=
1
3(−
3
2
+
9
+
.
2
9
)，
所以 = 3 ，即 与 共线，
因为 与 有公共点
，所以
， ， 三点共线.
k－2λ＝0
→
→
→
5.若OA＝2a－b，OB＝3a＋b，OC＝a－3b，求证：A，B，C 三点共线.
→
→
证明：∵AB＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，BC＝(a－3b)－(3a＋b)＝－2a－4b
证明三点共线的向量定理
证明三点共线的向量定理证明三点共线的向量定理1. 引言在几何学中，共线是指多个点在同一条直线上。
证明三点共线的向量定理是一种常用的方法，它利用向量的性质来判断三个点是否在同一条直线上。
本文将深入探讨这个定理，通过提供详细的解释和举例，帮助您全面了解这一概念。
2. 向量的基本概念在开始证明之前，我们先了解一些基本的向量概念。
向量是有大小和方向的量，通常用箭头来表示。
向量可以表示为有序数对 (a, b)，其中a 和 b 分别表示向量在水平和垂直方向上的分量。
在这里，我们使用巴斯克定理，这是一个三角学中的基本定理，通过它我们可以找到一个向量的模长和方向。
3. 证明三点共线的向量定理现在我们来证明三个点是否共线的向量定理。
假设有三个点A(x1, y1)、B(x2, y2) 和 C(x3, y3)。
根据向量的定义，我们可以将向量 AB 表示为向量 a = (x2 - x1, y2 - y1)，向量 BC 表示为向量 b = (x3 - x2, y3 -y2)。
如果这两个向量是平行的，那么向量 a 和向量 b 的比例关系为 a= k * b，其中 k 是一个常数。
这意味着点 A、B 和 C 共线。
为了证明这一点，我们可以计算向量 a 和向量 b 的比值，如果比值等于常数 k，那么三个点就共线。
具体计算如下：a = (x2 - x1, y2 - y1)b = (x3 - x2, y3 - y2)k = a / b = (x2 - x1) / (x3 - x2) = (y2 - y1) / (y3 - y2)如果比值 k 等于常数，那么三个点 A、B 和 C 就共线。
4. 举例说明为了更好地理解上述证明过程，我们举个例子来计算三个点是否共线。
假设有三个点 A(1, 2)、B(3, 4) 和 C(5, 6)。
我们可以计算向量 a 和向量 b 的比值：a = (3 - 1, 4 - 2) = (2, 2)b = (5 - 3, 6 - 4) = (2, 2)k = a / b = (2 - 1) / (2 - 1) = 1由于比值 k 等于常数 1，所以点 A、B 和 C 是共线的。
向量的三点共线定理
向量的三点共线定理一、概念向量的三点共线定理，又称之为向量的共线定理，是向量理论中的一个基本定理。
它描述了在三维空间中，如果三个点A、B、C由向量OA、OB、OC表示，并且存在实数λ和μ，使得OC = λOA + μOB，且λ+ μ= 1，则这三个点A、B、C是共线的。
二、定义定义1：共线向量，也称为平行向量，是指方向相同或相反的非零向量。
在平面或空间中，如果两个向量有相同的方向或相反的方向，则这两个向量被称为共线向量。
定义2：如果三个点A、B、C满足OC = λOA + μOB，其中λ和μ是实数，并且λ+ μ= 1，则称这三个点A、B、C是共线的。
三、性质性质1：若三点A、B、C共线，则它们的位置向量之间存在线性关系，即OC = λOA + μOB，且λ+ μ= 1。
性质2：若向量a与向量b共线，则存在唯一实数k，使得a = kb。
特别地，当k = 1时，a与b方向相同；当k = -1时，a与b方向相反。
性质3：共线向量的模长之比等于它们对应分量之比，即若a = kb，则|a|/|b| = |k|。
四、特点特点1：向量的三点共线定理是向量线性组合的一个特殊情况，它揭示了向量之间的线性关系与点的几何位置之间的关系。
特点2：该定理提供了一种通过向量运算判断三点是否共线的方法，为向量在空间中的应用提供了便利。
特点3：向量的三点共线定理与平面几何中的三点共线定理具有类似的性质，但向量的表达方式更具一般性，可以推广到三维空间乃至更高维的向量空间。
五、规律规律1：如果三点A、B、C共线，那么它们的位置向量OA、OB、OC之间存在唯一的线性关系，使得OC = λOA + μOB，且λ+ μ= 1。
这个线性关系中的λ和μ是唯一的，除非A、B、C三点重合。
规律2：在三维空间中，如果三个向量a、b、c满足a = λb + μc，且λ+ μ= 1，则这三个向量是共面的。
特别地，当这三个向量是三个点的位置向量时，这三个点共线。
平面内三点共线的向量表示
§2. 平面内三点共线的向量表示描述平面内三点共线方法有很多种，其中的向量表示，有以下两种，我们可以把它们作为结论来应用．【结论1】点A 、B 、C 共线的充要条件是存在实数t ，使得t =．【结论2】设O 是平面内任意一点，点A 、B 、C 共线的充要条件是存在实数λ、μ，使得 μλ+=，其中1=+μλ．【结论1】很容易理解，下面我们利用【结论1】来证明【结论2】． 先证明充分性：如果存在实数λ、μ，使得OB OA OCμλ+=，其中1=+μλ，则)1(λλ-+=，将这个式子变形后可得)(-=-λ，即AB BC λ=，所以A 、B 、C 三点共线。
再来证明必要性：如果A 、B 、C 三点共线，则存在实数t ，使得t =．在平面内任取一点O ，则有)(OA OB t OA OC -=-，即OB t OA t OC +-=)1(令t -=1λ，t =μ，则存在实数λ、μ，使得μλ+=，其中1=+μλ．故结论2成立。
【说明】（1）由于结论1和结论2中A 、B 、C 三点地位平等，所以结论可以作相应的改变。
（2）由结论2的证明可以理解，三点共线的这两种向量形式可以互化。
下面我们通过一些例题谈一谈三点共线的这两种向量形式的应用。
【例1】如图，已知34=，31=，用，表示OP ，则=（ ）O.A OB OA 3431+ .B OB OA 3431+-.C 3431-- .D 3431-【解析】本题根据结论2，不用计算，就能确定答案是.B【例2】在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A ()1,3，B ()3,1-，若点C 满足βα+=，且1=+βα，则点C 的轨迹方程为（ ）.A 01023=-+y x .B 4)1()1(22=-+-y x .C052=-+y x .D 052=-+y x【解析】本题根据结论2，易知A 、B 、C 三点共线，故点C 的轨迹是直线AB ，选.D 【例3】如图，已知点G 是ABC ∆的重心，点M 是边AB 的中点。
向量中三点共线常用结论
向量中三点共线常用结论在向量的研究中，三点共线是一个重要的概念。
当三个点在一条直线上时，我们称它们为共线点。
在向量中，我们可以利用一些常用结论来判断三个向量是否共线。
本文将介绍向量中三点共线的常用结论，并对其进行详细解析。
1. 三点共线的定义在二维平面上，设有三个点A(x1, y1)，B(x2, y2)和C(x3, y3)，如果这三个点满足以下关系式：(x2 - x1)(y3 - y1) = (x3 - x1)(y2 - y1)则称A、B、C三个点共线。
2. 向量表示法判断在向量表示法中，设有两个向量AB和AC，如果这两个向量满足以下关系式：AB = k * AC其中k为一个实数，则可以判断A、B、C三个点共线。
3. 向量坐标法判断在向量坐标法中，设有两个向量AB和AC，若这两个向量满足以下关系式：AB = r * i + s * j AC = p * i + q * j其中i和j分别为x轴和y轴的单位向量，则可以通过计算行列式来判断A、B、C 三个点共线。
行列式的计算公式为：r s |p q |若行列式值为0，则A、B、C三个点共线。
4. 向量夹角法判断在向量夹角法中，设有两个向量AB和AC，若这两个向量的夹角θ满足以下关系式：cosθ = AB·AC / (|AB| * |AC|)其中·表示向量的数量积，|AB|和|AC|分别表示向量AB和AC的模长，则可以通过计算夹角的余弦值来判断A、B、C三个点共线。
若cosθ等于1或-1，则A、B、C 三个点共线。
5. 向量比例法判断在向量比例法中，设有两个向量AB和AC，若这两个向量满足以下关系式：AB/AC = k其中k为一个实数，则可以通过计算向量的比例来判断A、B、C三个点共线。
6. 解析几何法判断在解析几何法中，设有两条直线L1和L2，若这两条直线满足以下关系式：L1: Ax + By + C1 = 0 L2: Ax + By + C2 = 0其中A、B、C1和C2为常数，则可以通过计算直线方程的系数来判断A、B、C三个点共线。
向量三点共线定理及其延伸应用汇总
向量三点共线定理及其延伸应用汇总首先，我们来证明向量三点共线定理。
假设向量AB和AC共线，则存在一个实数k，使得AB=kAC。
又因为向量的相等意味着它们具有相同的长度和方向，所以AB和AC具有相同的方向，这表明点A、B、C共线。
反过来，假设点A、B、C共线，则可以找到一点O，使得向量OA和向量OB在同一条直线上。
将向量OB-OA=AB记作向量u，以及向量OC-OA=AC记作向量v，则AB=u+(−v)和AC=v，我们可以发现向量u和向量v具有相同的方向，因此它们共线。
在证明了向量三点共线定理之后，我们介绍一些具体的应用。
1.已知两个点A和B的坐标，求过这两点的直线方程假设A(x1,y1)和B(x2,y2)是平面上的两个点，我们可以使用向量的三点共线定理来求解过这两点的直线方程。
首先求得向量AB=(x2-x1,y2-y1)，然后选取其中一点作为直线的起点，将AB的坐标代入到直线方程中，可以得到直线的方程。
2.已知三个点A、B和C的坐标，判断它们是否共线可以将向量AB和向量AC进行比较，如果它们的比值相同，则说明向量AB和AC共线，即点A、B、C共线。
这个方法可以使用来判断三个点是否共线。
3.求平面上一个点到一条直线的距离假设直线的方程是Ax+By+C=0，平面上的一个点是P(x0,y0)，我们可以使用向量的方法来求解点P到直线的距离。
首先求得向量n=(A,B)，然后我们可以得到直线上一点Q(x,y)的坐标为Q(x,y)=P+λn，其中λ为实数。
将直线上一点的坐标代入到直线方程中，可以得到λ的值，然后计算点P到直线的距离，即为PQ的模。
4.求平面上一个点到两条直线的距离假设直线的方程分别是A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0，平面上的一个点是P(x0,y0)，我们可以使用向量的方法来求解点P到这两条直线的距离。
首先求得向量n1=(A1,B1)和n2=(A2,B2)，然后我们可以得到直线上一点Q1(x,y)的坐标为Q1(x,y)=P+λn1，以及直线上一点Q2(x,y)的坐标为Q2(x,y)=P+μn2，其中λ和μ为实数。
高中数学向量的共线性质及判定方法
高中数学向量的共线性质及判定方法在高中数学中，向量是一个重要的概念。
向量不仅有大小和方向，还有一些特殊的性质，其中之一就是共线性。
本文将介绍向量的共线性质及判定方法，并通过具体题目举例，说明此题的考点和解题技巧。
一、向量的共线性质共线性是指两个或多个向量在同一直线上。
向量的共线性具有以下性质：1. 零向量与任意向量共线：零向量是指模为零的向量，它与任意向量都共线。
2. 向量的倍数共线：如果两个向量的方向相同或相反，且它们的模之比为常数k，则这两个向量共线。
3. 三个向量共线的判定：如果三个向量的两两共线，则它们三个共线。
二、向量的共线性判定方法1. 向量共线的判定：对于两个向量a和b，可以通过判断它们的向量积是否为零来确定它们是否共线。
如果a × b = 0，则向量a和b共线。
2. 三个向量共线的判定：对于三个向量a、b和c，可以通过判断它们的混合积是否为零来确定它们是否共线。
如果a · (b × c) = 0，则向量a、b和c共线。
三、具体题目举例1. 题目：已知向量a = (2, 4)和向量b = (1, 2)，判断向量a和b是否共线。
解析：根据向量共线的判定方法，计算向量a和b的向量积。
a × b = 2 × 2 - 4 ×1 = 0。
由于向量积等于零，所以向量a和b共线。
2. 题目：已知向量a = (1, 2, 3)、向量b = (2, 4, 6)和向量c = (3, 6, 9)，判断向量a、b和c是否共线。
解析：根据三个向量共线的判定方法，计算向量a、b和c的混合积。
a · (b × c) = (1, 2, 3) · [(2 × 9 - 4 × 6, 4 × 3 - 2 × 9, 2 × 6 - 4 × 3)] = (0, 0, 0)。
由于混合积等于零，所以向量a、b和c共线。
向量三点共线定理推论
向量三点共线定理推论向量三点共线定理是向量的重要性质之一。
它是数学中的一条定理，用于判断三个向量是否共线。
在向量几何中，共线指的是一条直线上的所有点，而三点共线则是指三个点共同位于一条直线上。
这个定理在几何推导和问题解决中具有重要的应用价值。
我们来看一下向量三点共线定理的表述：对于三个向量a、b、c，如果存在一个实数k，使得向量c等于向量a乘以k再加上向量b，即c=ka+b，那么这三个向量就共线。
简言之，如果一个向量可以表示为另外两个向量的线性组合，那么这三个向量就共线。
那么，为什么这个定理成立呢？从几何的角度来理解，向量的线性组合可以看作是对向量进行拉伸和平移的操作。
如果两个向量可以通过拉伸和平移得到第三个向量，那么这三个向量必然共线。
这是因为拉伸只改变向量的长度，平移只改变向量的起点，而不会改变向量的方向。
所以，如果一个向量可以表示为另外两个向量的线性组合，那么它们必然在同一条直线上。
向量三点共线定理在几何证明和问题解决中有着广泛的应用。
在几何证明中，我们可以利用这个定理来证明某些结论。
例如，如果我们需要证明四个点共线，可以构造其中三个点的向量，然后判断第四个点是否可以表示为这三个向量的线性组合，从而得出结论。
在问题解决中，我们可以利用这个定理来求解一些未知量。
例如，如果我们已知两个点的坐标，并且还知道其中一点还有一个向量，我们可以利用向量三点共线定理来求解另一个点的坐标。
除了向量三点共线定理，还有一些相关的定理和推论可以帮助我们更好地理解和应用向量的共线性质。
例如，如果三个向量共线，那么它们的任意一个非零向量都可以表示为另外两个向量的线性组合。
这个推论可以用来求解向量的线性相关性，从而进一步研究向量的性质和关系。
在实际问题中，向量的共线性质也有着广泛的应用。
例如，在力学中，我们可以利用向量共线性来分析物体的平衡状态。
如果一个物体受到几个力的作用，我们可以将这些力表示为向量，并判断它们是否共线。
三点共线向量表示及其性质应用
平面内三点共线的向量表示及其性质应用本文给出了三点共线向量表示的证法探究，以启迪思维和拓展思路之目的，另外又给出了三点共线向 量表示在解题中的应用。
，使得 PC= PA+( 1- )PB . 证法探究：分析： 初看欲证目标，始感实难下手。
我们不妨从结论出发探寻线路，欲 证 PC= PA + (1-) PB ，只需证PC = PA + PB - PBPC - PB = ( PA - PB )BC = BA BC // BA .这样证明思路有了。
证法：•••向量 BC 与向量 BA 共线，• BC = BA ,即 PC - PB = ( PA - PB ),PC = PA +PB - PB ,••• PC = PA + (1- ) PB .证毕，再思考一下实数 的几何意义究竟如何。
考察向量等式BC= BA ，结合图形，易知，当点 C在线段AB 上时，则BC 与BA 同向，有0W < 1;当点C 在线段AB 延长线上时，则 BC 与BA 反向， 有 <0;当点C 在线段BA 延长线上时，则 BC 与BA 同向，有 > 1. 此例题逆命题亦成立，即已知A , B , C 是平面内三个点， P 是平面内任意一点， 若存在实数 ，，有PC = PA + PB , 且 +=1,则A , B , C 三点共线.故此逆命题可作三点共线判定方法。
为方便起见，我们将两命题作为性质叙述如下： 性质1：已知A , B , C 是平面内三个点， P 是平面内任意一点，若 A , B , C 三点共线，则存在实数，使得 PC = PA + (1-) PB .或叙述为：已知A , B , C 是平面内三个点， P 是平面内任意一点，若 A , B , C 三点共线，则存在实数，使得 PC = PA + PB ，则有 +=1.性质2 :已知 A , B , C 是平面内三个点， P 是平面内任意一点，若存在实数， ，有PC= PA + PB ，且 + =1,则 A , B , C 三点共线.三点共线性质在解题中的应用：例1 •如图，在 ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线 AB 、 的两点M 、N ，若AB = mAM , AC =nAN ，则m n 的值为 ________________________ . 1——.解析：连结AO ,因为点O 是BC 的中点，所以有 AO = 1AB mAM2 2 21 1 因为M 、O 、N 三点共线，所以-m -n 1，故m n2 .221 uuir例题：如图，A ，B ，C 是平面内三个点, P 是平面内任意一点，若点 C 在直线AB 上，则存在实数1=1-=，简便求出m n 的值.例2 (湖北省2011届高三八校第一次联考)如图uuir 2,在厶 ABC 中, AN」NC，点P是BC上3的一点，若uuuAPuuu 2 uur mABAC , 则实数m的值为( )11, 9 B_5 小3 r 2A.— c.— D.—11 111 11uuu解：Q B, P,N 三点共线，又Q APuuumAB 2 UULT AC 11UUU 2 mAB— 11UULT 4AN UUU 8 UULT mAB AN 118 3m 1 m ，故选C 11 11 例3 (广东省2015届高三六校联考) 所示: 点G 是厶OAB 的重心,动点，且P 、G 、Q 三点共线•设 OP xOA , OQ yOB , 证明：Q 因为G 是VOAB 的重心, UUL T OG 1 UUU 2(OAUUU QOP uuu xOA UUU 1 UUU OA OP x UULT QOQ UUU yOB UUL T OG1 UUU 3(OA UULT OB) 1 1 uuu 3(XOP1 UULT -OQ) yUULT OG1 UUU OP 3x Q 分别是边OA 、OB 上的 BUUUOB) UU UOB1 证明：- 1 -是定值; 3?O Q又Q P,G,Q 三点共线, 13x例4.如图，在 ABC 中, OC !OA , 4 OD 2OB , OA a,OB AD 与BC 交于M 点，设(I)用a , b 表示OM ； (n)在已知线段 AC 上取一点 ■ - 4 OF qOB .求证：一 7pE , 37q 在线段BD 上取一点 F ，使EF 过点 解析：(I )因为B 、M 、C 三点共线, 1 — — 1 所以存在实数 m 使得OM = mOC (1 pOA ,M •设 0E m)OB=m OA (1 m)OB=— ma (1 m)b ;又因为 A 、M 、D 三点共线，所以存在实数 4 4 n 使得OM =nOA (11 m n, n)OD = na 1(1 n)b •由于a , b 不共线，所以有 42 1 m 弓(1 n), 解得,47, 1 7•故OM = 7(n)因为 1a 3b 7 E 、M 、F 三点共线，所以存在实数 pa (1)qb •结合(I),易得出 (1 使得OM = OE 1 7，消去、 3 )q 7，(1 )OF得, 7P 2 1 • 7q 点评：本题是以a , b 作为一组基底，其他向量都由它们线性表示•解(I) 中的实数,n 的几何意义为：m=^ = 4 |BC| 7 n =1 DM 1 =1, m , n €( o , 1 )；解(n)中的实数 |DA| 7 |FM|FE| 7p例5.如图, AP平行四边形 ABCD 中，点P 在线段AB 上，且 m , Q 在线段ADPB 上，且AQ QD PR n , BQ 与CP 相交于点"，求怎的值. QD解析：设PR =RC冲PR ，则= PC 1 • 1，BR =_1BA .BC+( 1-) BP .因为 APm ，所以BP1 ---- BA ， m 111PB且 BR= ----BC +-p AQ又•••nAD=n BC ， • BQ'BA AQ ，即 BQn BC BA.又••• BRQDn 1n 1n 1与BQ 共线，n 1 =0,解得n1 n 1 (1)(m'(m 1)(n1)'点评：我们先要确定好组基底BA, BC ，看准BR , BQ 如何由它们线性表示；而欲求目标数值， 因 P, R,C三点共线，中途要以 BP,BC 作基底，BR 由它们线性表出时，分析清楚该两基底系数所表示的几何意义，由性质1,得BR =——BC +（ 1 -------------- ）BP ;最终BR 与BQ 都得转化到由BA, BC 两基底线性表示，1 1此时容易由共线向量性质列出等式，从而求出结果.例6 （汕头市东山中学 2014届高三第二次模拟考试）所示,在平行四边形 ABCD 中，uuu 1 uuu LULT 1 LULTUUU rUUUT r LULTAE-AB , AF — AD ,CE 与 BF 相交于 G 点，记 ABa ,ADb ，贝U AG3 42 r 1 r2 r3 r3 r 1 r4 r orA. -a 丄匕B. -a -bC. -aD. 4a -b77 77 7777'<■分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很 容易联想到点F 、G 、B 以及E,G,C 三点在一条直线上，可用平面内三点共 线定理求解。
平面向量的共线定理和共点定理
平面向量的共线定理和共点定理平面向量是数学中重要的概念之一，其具有广泛的应用。
在平面向量的运算中，共线定理和共点定理是两个重要的定理，对于理解和应用平面向量具有重要意义。
共线定理是指如果两个非零向量的起点相同或终点相同，且它们的方向相同或相反，则这两个向量共线。
换句话说，如果两个非零向量可以通过缩放或反向缩放得到，那么它们是共线的。
举个例子来说，假设有两个非零向量A和B，它们的起点都为点P，且它们的方向相同或相反，那么根据共线定理，可以得出结论：向量A和向量B是共线的。
共线定理可以通过以下公式表示：若向量A和向量B是共线的，则有 A = k * B 或 A = -k * B，其中k 为非零实数。
共点定理是指如果两个非零向量的起点和终点相同，则这两个向量共点。
具体而言，如果两个非零向量的起点都是点P，终点都是点Q，那么根据共点定理，可以得出结论：向量A和向量B是共点的。
共点定理可以通过以下公式表示：若向量A和向量B是共点的，则有 A = B。
根据以上的共线定理和共点定理，我们可以进行一些相关的应用和推论。
首先，利用共线定理和共点定理，我们可以判断两个向量是否共线或共点。
只需判断它们的起点和终点是否相同，以及它们的方向是否相同或相反即可。
其次，共线定理和共点定理还可以用于求解向量的系数。
例如，已知点P、Q和R的位置关系，以及向量PA和向量QA共线，我们可以利用共线定理求解出向量PA和向量QA之间的系数。
同样地，如果已知向量A和向量B共点于点P，并且向量A、向量B和向量C共线，我们可以利用共点定理求解出向量A和向量B之间的系数。
此外，共线定理和共点定理还可以用于证明一些几何性质。
例如，我们可以利用共线定理证明平面中两个角的余弦值相等，或者利用共点定理证明平面中的四边形为平行四边形。
总结起来，平面向量的共线定理和共点定理在求解向量的位置关系、系数和证明几何性质方面起着关键作用。
通过充分理解和应用这两个定理，我们可以更好地理解和运用平面向量的相关概念和运算。
共线向量定义
共线向量定义共线向量是指在同一直线上的向量。
在数学中，向量是有大小和方向的量，可以用箭头来表示。
而共线向量则是指如果两个向量的方向相同或者相反，并且它们的大小成比例，那么这两个向量就是共线的。
共线向量的性质有很多，下面将介绍其中的一些重要性质。
如果两个向量是共线的，那么它们的大小之比是相等的。
也就是说，如果有两个共线向量a和b，那么存在一个实数k，使得a=k*b。
这个实数k被称为两个向量的比例因子。
比例因子k可以是正数、负数或零，它表示了两个向量之间的大小关系。
对于共线向量来说，它们可以通过数乘得到相互转化。
数乘是指将一个向量与一个实数相乘，得到一个新的向量。
如果有两个共线向量a和b，那么存在一个实数k，使得a=k*b。
这个性质可以用来判断两个向量是否共线，只需要判断它们是否可以通过数乘得到相互转化即可。
如果两个向量是共线的，那么它们的方向相同或者相反。
也就是说，如果有两个共线向量a和b，那么它们的方向向量相同或者相反。
方向向量是指一个向量的大小为1，且与原向量方向相同的向量。
可以通过单位向量的概念来理解这一性质。
如果有三个共线向量a、b和c，那么它们之间存在一个数k1和k2，使得a=k1*b+k2*c。
这个性质被称为向量的线性组合。
线性组合是指通过数乘和向量加法将多个向量相加得到一个新的向量。
这个性质可以用来表示一个向量是否可以表示为其他向量的线性组合。
共线向量还有一个重要的性质就是它们的点积为零。
点积是指将两个向量对应位置的分量相乘，并将结果相加得到一个标量。
如果有两个共线向量a和b，那么它们的点积为零。
这个性质可以通过向量的投影来理解。
投影是指将一个向量投影到另一个向量上得到的新向量。
总结起来，共线向量是指在同一直线上的向量。
它们具有一些重要的性质，包括大小之比相等、可以通过数乘得到相互转化、方向相同或者相反、可以表示为其他向量的线性组合以及点积为零。
这些性质可以帮助我们理解向量的性质和应用，进而在解决实际问题时起到重要作用。
两点共线向量公式
两点共线向量公式共线向量是指位于同一直线上的向量。
我们可以通过两点共线向量公式来判断两个向量是否共线，以及求解共线向量的相关性质。
假设有两个向量AB和CD，我们想要判断它们是否共线。
根据两点共线向量公式，我们可以得到以下结论：如果存在一个实数k，使得向量AB=k向量CD，那么向量AB和CD就是共线的。
换句话说，如果两个向量的方向相同或相反，并且它们的大小之比等于某个实数k，那么这两个向量就共线。
例如，我们可以考虑向量A(2, 4)和向量B(4, 8)。
我们可以通过计算它们的分量之比来判断它们是否共线。
即 4/2 = 8/4 = 2。
因此，我们可以找到一个实数k=2，使得向量A=2向量B。
根据两点共线向量公式，我们可以得出结论：向量A和B是共线的。
共线向量的应用非常广泛。
在几何学中，我们可以利用共线向量来判断线段的平行性和共线性。
如果两个线段的向量相等或大小之比相等，那么这两个线段就是平行的或共线的。
共线向量还可以用来求解平面上的向量运算。
例如，我们可以利用共线向量求解向量的加法和减法。
如果有两个共线向量AB和CD，我们可以通过对应分量的加法和减法来求得它们的和向量和差向量。
除了计算共线向量的和差向量外，我们还可以利用共线向量进行向量的数乘运算。
数乘运算是指将向量的每个分量乘以一个实数。
对于共线向量来说，数乘运算可以简化为将向量的大小乘以一个实数。
共线向量的概念也可以扩展到三维空间中。
在三维空间中，我们可以通过计算向量的分量之比来判断三个向量是否共线。
如果三个向量的方向相同或相反，并且它们的大小之比等于某个实数k，那么这三个向量就共线。
总结起来，两点共线向量公式是判断和求解共线向量的重要工具。
通过计算向量的分量之比，我们可以判断两个向量是否共线，并且可以利用共线向量进行向量的加法、减法和数乘运算。
共线向量的应用范围广泛，包括几何学和向量运算等领域。
通过深入理解和应用共线向量的概念和公式，我们可以更好地解决与共线向量相关的问题。
高中数学三点共线讲解
高中数学三点共线讲解
三点共线是初中数学中的基础知识，而在高中数学中，三点共线的概念更加深入和复杂。
本文将从定义、性质和应用三个方面，对高中数学中的三点共线进行详细讲解。
一、定义
三点共线是指三个点在同一条直线上。
在平面直角坐标系中，设三个点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，则当且仅当它们满足以下条件时，三点共线：
(x2-x1)/(x3-x1) = (y2-y1)/(y3-y1)
这个条件也可以写成：
(x2-x1)*(y3-y1) = (x3-x1)*(y2-y1)
二、性质
1. 三点共线的充分必要条件是它们满足上述条件。
2. 三点共线的直线方程可以用点斜式或两点式表示。
3. 如果三点共线，则它们的向量共线。
4. 如果三点共线，则它们的线段长度比满足以下条件：
AB/AC = x2-x1/x3-x1 = y2-y1/y3-y1
5. 如果三点共线，则它们的重心也在同一条直线上。
三、应用
三点共线在几何中有着广泛的应用，下面列举几个例子：
1. 证明三角形的垂心、重心、外心、内心四点共线。
2. 求解两条直线的交点，可以将它们表示为两点式，然后解方程。
3. 求解平面上的最短距离，可以将点表示为向量，然后求解向量的模长。
4. 求解平面上的中垂线，可以先求出两点的中点，然后求出中垂线的斜率，最后用点斜式表示中垂线的方程。
总之，三点共线是高中数学中的重要概念，它不仅有着广泛的应用，而且还是其他几何概念的基础。
因此，我们需要深入理解三点共线的定义、性质和应用，才能更好地掌握高中数学的知识。
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平面内三点共线的向量表示及其性质应用本文给出了三点共线向量表示的证法探究，以启迪思维和拓展思路之目的，另外又给出了三点共线向量表示在解题中的应用。
例题：如图，A ，B ，C 是平面内三个点，P 是平面内任意一点，若点C 在直线AB 上，则存在实数λ，使得=λ+（1-λ）．证法探究：分析： 初看欲证目标，始感实难下手。
我们不妨从结论出发探寻线路，欲证PC =λPA +（1-λ）PB ，只需证PC =λ+-λ⇔PC -=λ（-）⇔=λ⇔∥．这样证明思路有了。
证法：∵向量与向量BA 共线，∴=λ，即-=λ（-），=λPA +PB -λPB ，∴=λPA +（1-λ）PB ．证毕，再思考一下实数λ的几何意义究竟如何。
考察向量等式=λ，结合图形，易知，当点C 在线段AB 上时，则BC 与BA 同向，有0≤λ≤1；当点C 在线段AB 延长线上时，则BC 与BA 反向，有λ<0；当点C 在线段BA 延长线上时，则与同向，有λ＞1．此例题逆命题亦成立，即已知A ，B ，C 是平面内三个点，P 是平面内任意一点，若存在实数λ，μ，有=λPA +μPB ，且λ+μ=1，则A ，B ，C 三点共线．故此逆命题可作三点共线判定方法。
为方便起见，我们将两命题作为性质叙述如下：性质1：已知A ，B ，C 是平面内三个点， P 是平面内任意一点，若A ，B ，C 三点共线，则存在实数λ，使得=λPA +（1-λ）PB ．或叙述为：已知A ，B ，C 是平面内三个点， P 是平面内任意一点，若A ，B ，C 三点共线，则存在实数λ，μ，使得=λ+μ，则有λ+μ=1．性质2：已知A ，B ，C 是平面内三个点，P 是平面内任意一点，若存在实数λ，μ，有=λPA +μPB ，且λ+μ=1，则A ，B ，C 三点共线．三点共线性质在解题中的应用：例1．如图，在ABC ∆中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若=m ，=AN n ，则n m +的值为 ．解析：连结AO ，因为点O 是BC 的中点，所以有=AC AB 2121+=AN n AM m 2121+，又因为M 、O 、N 三点共线，所以12121=+n m ，故2=+n m ． 点评：因为点O 是BC 的中点，所以λ21||=CB ，由性质1，μ=1-λ=21，简便求出n m +的值． 例2（湖北省2011届高三八校第一次联考）如图2，在△ABC 中，13AN NC =u u u r u u u r ，点P 是BC 上的一点，若211AP mAB AC =+u u u r u u u r u u u r ，则实数m 的值为（ ） A ．911 B. 511 C. 311 D. 211解：,,B P N Q 三点共线，又Q 2284111111AP mAB AC mAB AN mAB AN =+=+⨯=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 8111m ∴+= 311m ∴=，故选C 例3（广东省2015届高三六校联考）所示：点是△的重心，、分别是边、上的动点，且、、三点共线．设，，证明：是定值；证明：Q 因为G 是OAB V 的重心，211()()323OG OA OB OA OB ∴=⨯+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 1OP xOA OA OP x =∴=u u u r u u u r u u u r u u u r Q 1OQ yOB OB OQ y=∴=u u u r u u u r u u u r u u u r Q 111111()()3333OG OA OB OP OQ OG OP OQ x y x y∴=+=+∴=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 又,,P G Q Q 三点共线，11133x y ∴+= 113x y ∴+= 11x y∴+为定值3 例4．如图，在ABC ∆中，OA OC 41=，21=， AD 与BC 交于M 点，设b OB a OA ==,．（Ⅰ）用a ，b 表示OM ；（Ⅱ）在已知线段AC 上取一点E ，在线段BD 上取一点F ，使EF 过点M ．设OA p OE =，OB q OF =．求证：17371=+qp ． 解析：(Ⅰ)因为B 、M 、C 三点共线，所以存在实数m 使得OM =m m )1(-+=m m )1(41-+⋅=b m a m )1(41-+；又因为A 、M 、D 三点共线，所以存在实数n 使得OM =n n )1(-+=n n )1(21-+．由于，不共线，所以有⎪⎩⎪⎨⎧-=-=),1(211,41n m n m 解得，⎪⎩⎪⎨⎧==．n m 71,74 故OM =7371+． （Ⅱ）因为E 、M 、F 三点共线，所以存在实数λ使得OM =)1(λλ-+ =q p )1(λλ-+．结合（Ⅰ），易得出⎪⎩⎪⎨⎧=-=,73)1(,71q p λλ消去λ得，17371=+q p ． 点评：本题是以，作为一组基底，其他向量都由它们线性表示．解（Ⅰ）中的实数m ，n 的几何意义为：m ==74，n =71， m ，n ∈（0，1）；解（Ⅱ）中的实数λ=p71． 例5．如图，平行四边形ABCD 中，点P 在线段AB 上，且m PBAP =，Q 在线段AD 上，且n QD AQ =，BQ 与CP 相交于点R ，求RC PR 的值．解析：设RC PR =λ，则PC PR =1+λλ，=1+λλ+（1-1+λλ）．因为m PB AP =，所以m 11+=，且BR =1+λλBC +11+λ·BA m 11+． 又n QD AQ =，∴AD n n AQ 1+==n n 1+，∴+=，即n n ++=1．又∵BR 与共线，∴1+λλ-)1)(1(11++⋅+m n n λ=0，解得λ=)1)(1(++n m n ． 点评：我们先要确定好一组基底BC BA ,，看准,如何由它们线性表示；而欲求目标数值，因C R P ,,三点共线，中途要以,作基底，由它们线性表出时，分析清楚该两基底系数所表示的几何意义，由性质1，得=1+λλ+（1-1+λλ）；最终与都得转化到由,两基底线性表示，此时容易由共线向量性质列出等式，从而求出结果．例6（汕头市东山中学2014届高三第二次模拟考试）所示,在平行四边形ABCD 中，13AE AB =u u u r u u u r ,14AF AD =u u u r u u u r ,CE 与BF 相交于G 点，记AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，则AG =u u u r _______ A ．2177a b +r r B. 2377a b +r r C. 3177a b +r r D. 4277a b +r r 分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点F 、G 、B 以及E,G,C 三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。
解：,,E G C Q 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x 使得(1)AG x AE x AC ∴=+-u u u r u u u r u u u r , Q 1133AE AB a ==u u u r u u u r r ,AC a b =+u u u r r r 12(1)()(1)(1)33x AG x a x a b a x b ∴=⨯+-+=-+-u u u r r r r r r …………………① 又,,F G B Q 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数λ使得(1)AG AB AF λλ∴=+-u u u r u u u r u u u r 1144AF AD b ==u u u r u u u r r Q ，，1(1)4AG a b λλ∴=+-u u u r r r …………… ② 由①②两式可得：213114x x λλ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩6737x λ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩ 3177AG a b ∴=+u u u r r r 点评：本题的解法中由两组三点共线（F 、G 、B 以及E,G,C 三点在一条直线上），利用平面内三点共线定理构造方程组求解，避免了用的向量的加法和平面向理基本定理解答本题的运算复杂，达到了简化解题过程的效果。
例6的变式一：在三角形ABC 中,AM ﹕AB=1﹕3,AN ﹕AC=1﹕4,BN 与CM相交于点P ，且a AB ρ=，b AC ρ=，试用a ρ、b ρ表示APP A BC N解：,,N P B Q 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x,y 使得,1AP x AB y AN x y =++=u u u r u u u r u u u r ,Q AN ﹕AC=1﹕4, b ρ4141==1444y y x AP xAB AC xa b xa b -∴=+=+=+u u u r u u u r u u u r r r r r ……① 又,,C P M Q 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数μ,λ使得 ,1AP AM AC μλμλ∴=++=u u u r u u u u r u u u r ∵AM ﹕AB=1﹕3 ∴a ρ3131==，， 133AP a b a b μλλλ-∴=+=+u u u r r r r r …………………………… ② 由①②两式可得：1314x x λλ-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩311211x λ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩ 81,11x y y +=∴=Q 321111AP a b ∴=+u u u r r r 例6的变式二：直线l 过Y ABCD 的两条对角线AC 与BD 的交点O ，与AD 边交于点N,与AB 的延长线交于点M 。
又知AB u u u r ＝ m AM ，AD u u u r ＝n ，则m ＋n=解：因为点O 两条对角线AC 与BD 的交点，所以点O 为AC 的中点1()2AO AB AD ∴=+u u u r u u u r u u u r Q AB u u u r ＝ m AM ，AD u u u r ＝n AN 1()222m n AO mAM nAN AM AN ∴=+=+u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r 又,,M O N Q 三点共线， ∴由平面内三点共线的向量式定理可得：122m n += 2m n ∴+= 解题后反思： 要想达到正确运用三点共线性质解题之目的，首先做到，审视题意，考察图形，确定一组基底，根据=λPA +（1-λ）PB 中λ表示的几何意义确定λ的具体数值。