全国高中数学联合竞赛1998年试卷及答案
1998年全国卷高考文科数学真题及答案
1998年全国卷高考文科数学真题及答案本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试120分钟．第Ⅰ卷(选择题共65分)一．选择题：本大题共15小题；第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－第(15)题每小题5分，65分．在每小题给出四项选项，只一项符合题目要求的(1) sin600º( )(A)21 (B) －21 (C) 23 (D) －23 (2) 函数y =a |x |(a ＞1)的图像是 ( )(3) 已知直线x =a (a ＞0)和圆(x －1)2＋y 2=4相切，那么a 的值是( )(A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2 (4) 两条直线A 1x ＋B 1y ＋C 1=0，A 2x ＋B 2y ＋C 2=0垂直的充要条件是( )(A) A 1A 2＋B 1B 2=0 (B) A 1A 2－B 1B 2=0 (C)12121-=B B A A (D) 12121=A A BB (5) 函数f (x )=x1( x ≠0)的反函数f －1(x )= ( ) (A) x (x ≠0) (B) x 1(x ≠0) (C) －x (x ≠0) (D) －x 1(x ≠0)(6) 已知点P(sin α－cos α，tg α)在第一象限，则[ 0，2π]内α的取值范围是 ( )(A) (432ππ，)∪(45ππ，) (B) (24ππ，)∪(45ππ，) (C) (432ππ，)∪(2325ππ，) (D) (24ππ，)∪(ππ，43) (7) 已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为( )(A) 120º (B) 150º (C) 180º (D) 240º (8) 复数－i 的一个立方根是i ，它的另外两个立方根是( )(A)2123±I (B) －2123±I (C) ±2123+I (D)±2123-i(9) 如果棱台的两底面积是S，S′，中截面的面积是S0，那么( )(A) 2SSS'+=(B) S0=SS'(C) 2S0=S＋S′(D) SSS'=22(10) 2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共( )(A) 6种 (B) 12种 (C) 18种 (D) 24种(11) 向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图像如右图所示，那么水瓶的形状是( )(12) 椭圆31222yx+=1的焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是( )(A) ±43(B) ±23(C) ±22(D) ±43(13) 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长为61，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为( )(A) 43 (B)23 (C) 2 (D) 3(14) 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角的正弦值为( )(A)251-(B)2252-(C)215-(D)2252+(15) 等比数列{a n}的公比为－21，前n项的和S n满足∞→nlim S n=11a，那么11a的值为( )(A)3± (B)±23 (C) 2± (D) 26± 二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．(16) 设圆过双曲线116922=-y x 的一个顶点和一个焦点，圆心在双曲线上，则圆心到双曲线中心距离是__________(17) (x ＋2)10(x 2－1)的展开的x 10系数为____________（用数字作答）(18) 如图，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件____________时，有A 1C ⊥B 1D 1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考试所有可能的情形)(19) 关于函数f (x )=4sin(2x ＋3π)(x ∈R )，有下列命题 ①y =f (x )的表达式可改写为y =4cos(2x －6π)；②y =f (x )是以2π为最小正周期的周期函数；③y =f (x )的图像关于点⎪⎭⎫⎝⎛-06，π对称； ④y =f (x )的图像关于直线x =－6π对称．其中正确的命题的序号是______ (注：把你认为正确的命题的序号都．填上．) 三．解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (20) (本小题满分10分)设a ≠b ，解关于x 的不等式a 2x ＋b 2(1－x )≥[ax ＋b (1－x )]2．21) (本小题满分11分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，设a ＋c =2b ，A －C=3π，求sin B 的值．以下公式供解题时参考：2cos2sin2sin sin ϕθϕθϕθ-+=+， 2sin2cos2sin sin ϕθϕθϕθ-+=-，2cos 2cos 2cos cos ϕθϕθϕθ-+=+， 2sin 2sin 2cos cos ϕθϕθϕθ-+-=-．(22) (本小题满分12分)如图，直线l 1和l 2相交于点M ，l 1 ⊥l 2，点N ∈l 1．以A 、B 为端点的曲线段C 上的任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等．若△AMN 为锐角三角形，|AM |=17，|AN |=3，且|BN |=6．建立适当的坐标系，求曲线C 的方程．(23) (本小题满分12分)已知斜三棱柱ABC －A 1 B 1 C 1的侧面A 1 ACC 1与底面ABC 垂直，∠ABC =90º，BC =2，AC=23，且AA 1 ⊥A 1C ，AA 1= A 1 C 1．(Ⅰ)求侧棱A 1A 与底面ABC 所成角的大小； (Ⅱ)求侧面A 1 ABB 1 与底面ABC 所成二面角的大小； (Ⅲ)求侧棱B 1B 和侧面A 1 ACC 1的距离．(24) (本小题满分12分)如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱．污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出．设箱体的长度为a 米，高度为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60平方米．问当a ，b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A 、B 孔的面积忽略不计)．(25) (本小题满分12分)已知数列{b n }是等差数列，b 1=1，b 1＋b 2＋…＋b 10=100． (Ⅰ)求数列{b n }的能项b n ； (Ⅱ)设数列{a n }的通项a n =lg(1＋nb 1)，记S n 是数列{a n }的前n 项的和．试比较S n 与21lg b n +1的大小，并证明你的结论．1998年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题(文史类)参考解答及评分标准一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－(15)题每小题5分．满分65分．(1) D (2) B (3) C (4) A (5) B (6) B (7) C (8) D (9) A (10) B (11) B (12) A (13) B (14) C (15) D 二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．(16)316(17) －5120 (18) AC ⊥BD ，或任何能推导出这个条件的其他条件．例如ABCD 是正方形，菱形等 (19)①，③注：第(19)题多填、漏填的错填均给0分． 三．解答题：（20）本小题主要考查不等式基本知识，不等式的解法．满分10分． 解：将原不等式化为(a 2－b 2)x +b 2≥(a －b )2x 2＋2(a －b )bx ＋b 2， 移项，整理后得 (a －b )2(x 2－x ) ≤0， ∵ a ≠b 即 (a －b )2＞0， ∴ x 2－x ≤0， 即 x (x －1) ≤0．解此不等式，得解集 {x |0≤x ≤1}．(21) 本小题考查正弦定理，同角三角函数基本公式，诱导公式等基础知识，考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力．满分11分．解：由正弦定理和已知条件a ＋c =2b 得sin A ＋sin C =2sin B ．由和差化积公式得B CA C A sin 22cos 2sin 2=-+． 由A ＋B ＋C =π，得 2)sin(C A +=2cos B，又A －C =3π，得23cos 2B =sin B ，∴23cos 2B =2sin 2B cos 2B ．∵ 0＜2B ＜2π， 2cos B ≠0，∴sin2B =43， 从而cos2B =2sin 12B -=413 ∴ sin B =⨯23413=839(22) 本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想．考查抛物线的概念和性质，曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力．满分12分．解法一：如图建立坐标系，以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点．依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛线段的一段，其中A 、B 分别为C 的端点．设曲线段C 的方程为y 2=2px (p ＞0)，(x A ≤x ≤x B ，y ＞0)，其中x A ，x B 分别为A ，B 的横坐标，P =|MN |．所以 M (－2P ，0)，N (2P，0)． 由 |AM |=17，|AN |=3得(x A ＋2P )2＋2Px A =17， ① (x A －2P )2＋2Px A =9． ②由①、②两式联立解得x A =P4，再将其代入①式并由p ＞0解得⎩⎨⎧==14A x p 或⎩⎨⎧==22Ax p ． 因为△AMN 是锐角三角形，所以2P＞x A ，故舍去⎩⎨⎧==22A x p ．∴ P =4，x A =1．由点B 在曲线段C 上，得x B =|BN |－2P=4． 综上得曲线段C 的方程为y 2=8x (1≤x ≤4，y ＞0)．解法二：如图建立坐标系，分别以l 1、l 2为x 、y 轴，M 为坐标原点． 作AE ⊥l 1，AD ⊥l 2，BF ⊥l 2，垂足分别为E 、D 、F ． 设 A (x A ，y A )、B (x B ，y B )、N (x N ，0)． 依题意有x A =|ME|=|DA|=|AN|=3， y A =|DM |=22DA AM -=22，由于△AMN 为锐角三角形，故有x N =|AE |+|EN |=4．=|ME |+22AE AN -=4X B =|BF |=|BN |=6．设点P (x ，y )是曲线段C 上任一点，则由题意知P 属于集合 {(x ，y )|(x －x N )2+y 2=x 2，x A ≤x ≤x B ，y ＞0}． 故曲线段C 的方程y 2=8(x －2)(3≤x ≤6，y ＞0)．(23) 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，空间的角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．满分12分．注：题中赋分为得到该结论时所得分值，不给中间分． 解：(Ⅰ)作A 1D ⊥AC ，垂足为D ，由面A 1ACC 1⊥面ABC ，得A 1D ⊥面ABC ，∴ ∠A 1AD 为A 1A 与面ABC 所成的角． ∵ AA 1⊥A 1C ，AA 1=A 1C ，∴ ∠A 1AD=45º为所求．(Ⅱ)作DE ⊥AB ，垂足为E ，连A 1E ，则由A 1D ⊥面ABC ，得A 1E ⊥AB ． ∴∠A 1ED 是面A 1ABB 1与面ABC 所成二面角的平面角．由已知，AB ⊥BC ，得ED ∥BC ．又D 是AC 的中点，BC =2，AC =23，∴ DE =1，AD =A 1D =3，tg A 1ED=DEDA 1=3． 故∠A 1ED=60º为所求．(Ⅲ) 作BF ⊥AC ，F 为垂足，由面A 1ACC 1⊥面ABC ，知BF ⊥面A 1ACC 1． ∵ B 1B ∥面A 1ACC 1，∴ BF 的长是B 1B 和面A 1ACC 1的距离． 在Rt △ABC 中，2222=-=BC AC AB ，∴ 362=⋅=AC BC AB BF 为所求． (24) 本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识．满分12分．解法一：设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y =abk，其中k ＞0为比例系数，依题意，即所求的a ，b 值使y 值最小．根据题设，有4b ＋2ab ＋2a =60(a ＞0，b ＞0)， 得 aab +-=230 (0＜a ＜30＝， ① 于是 aa a k ab k y +-==230226432+-+-=a a k⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=264234a a k()2642234+⋅+-≥a a k18k =当a ＋2=264+a 时取等号，y 达最小值．这时a =6，a =－10(舍去)． 将a =6代入①式得b =3．故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小． 解法二：依题意，即所求的a ，b 的值使ab 最大． 由题设知 4a ＋2ab ＋2a =60 (a ＞0，b ＞0) 即 a ＋2b ＋ab =30 (a ＞0，b ＞0)． ∵ a ＋2b ≥2ab ， ∴ 22ab ＋ab ≤30，当且仅当a =2b 时，上式取等号． 由a ＞0，b ＞0，解得0＜ab ≤18．即当a =2b 时，ab 取得最大值，其最大值18． ∴ 2b 2=18．解得b =3，a =6．故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．(25) 本小题主要考查等差数列基本概念及其通项求法，考查对数函数性质，考查归纳，推理能力以及用数学归纳法进行论证的能力．满分12分．解：(Ⅰ)设数列工{b n }的公差为d ，由题意得b 1=1，10b 1＋d2)110(10-=100．解得 b 1=1，d =2．∴ b n =2n －1． (Ⅱ)由b n =2n －1，知S n =lg(1＋1)＋lg(1＋31)＋…＋lg(1＋121-n ) =lg[(1＋1)(1＋31)· … ·(1＋121-n )]，21lg b n ＋1=lg 12+n ． 因此要比较S n 与21lg b n ＋1的大小，可先比较(1＋1)(1＋31)· … ·(1＋121-n )与12+n 的大小．取n =1有(1＋1)＞112+⋅，取n =2有(1＋1)(1＋31)>112+⋅ 由此推测(1＋1)(1＋31)· … ·(1＋121-n )＞12+n ． ①若①式成立，则由对数函数性质可判定：S n ＞21lgb n ＋1． 下面用数学归纳法证明①式． (i)当n =1时已验证①式成立．(ii)假设当n =k (k ≥1)时，①式成立，即 (1＋1)(1＋31)· … ·(1＋121-k )＞12+k ，那么，当n =k ＋1时， (1＋1)(1＋31)· … ·(1＋121-k )(1＋1)1(21-+k )＞12+k (1＋121+k ) =1212++k k (2k ＋2)．∵ [1212++k k (2k ＋2)]2－[32+k ]2=123848422+++++k k k k k=121+k ＞0， ∴1212++k k (2k ＋2) ＞32+k =()112++k ．因而 (1＋1)(1＋31)· … ·(1＋121-k )(1＋121+k )＞1)1(2++k ． 这就是说①式当n =k ＋1时也成立．由(i)，（ii ）知①式对任何正整数n 都成立．由此证得：S n >21lg b n ＋1．。
历年全国高中数学竞赛试卷及答案(77套)
9.若 是双曲线 上的点，则 的最小值是_________.
10. 如图，设正方体 的棱长为1，α为过直线 的平面，则α截该正方体的截面面积的取值范围是_________.
11.已知实数 满足： 的最大值是____.
12.设集合 则集合A中元素的个数是___________
二．填空题(本大题共4小题，每小题10分)：
1．设x≠y，且两数列x，a1，a2，a3，y和b1，x，b2，b3，y，b4均为等差数列，那么 =．
解：a2－a1= (y－x)，b4－b3= (y－x)， = ．
2．( +2)2n+1的展开式中，x的整数次幂的各项系数之和为．
解：( +2)2n+1－( －2)2n+1=2(C 2xn22n+1)．
1．设x≠y，且两数列x，a1，a2，a3，y和b1，x，b2，b3，y，b4均为等差数列，那么 =．
2．( +2)2n+1的展开式中，x的整数次幂的各项系数之和为．
3．在△ABC中，已知∠A=α，CD、BE分别是AB、AC上的高，则 =．
4．甲乙两队各出7名队员，按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，……直至一方队员全部淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程的种数为．
⑴ 点(1，1)∈ln，(n=1，2，3，……)；
⑵kn+1=an－bn，其中kn+1是ln+1的斜率，an和bn分别是ln在x轴和y轴上的截距，(n=1，2，3，……)；
⑶knkn+1≥0，(n=1，2，3，……)．
1998年全国高中数学联赛试题及详细解析
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1． 若a > 1, b > 1, 且lg(a + b )=lg a +lg b , 则lg(a –1)+lg(b –1) 的值( ) （A ）等于lg2 （B ）等于1(C ) 等于0 (D ) 不是与a , b 无关的常数2.若非空集合A={x |2a +1≤x ≤3a – 5},B={x |3≤x ≤22},则能使A ⊆A ∩B 成立的所有a 的集合是( )（A ）{a | 1≤a ≤9} (B ) {a | 6≤a ≤9} (C ) {a | a ≤9} (D ) Ø6.在正方体的8个顶点, 12条棱的中点, 6个面的中心及正方体的中心共27个点中, 共线的三点组的个数是( )(A ) 57 (B ) 49 (C ) 43 (D )37 二、填空题( 本题满分54分,每小题9分) 各小题只要求直接填写结果.1．若f (x ) (x ∈R )是以2为周期的偶函数, 当x ∈[ 0, 1 ]时,f (x )=x 11000，则f (9819)，f (10117)，f (10415)由小到大排列是 ． 2．设复数z=cos θ+i sin θ(0≤θ≤180°)，复数z ，(1+i )z ，2－z 在复平面上对应的三个点分别是P , Q , R .当P , Q , R 不共线时,以线段PQ , PR 为两边的平行四边形的第四个顶点为S , 点S 到原点距离的最大值是___________.3．从0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9这10个数中取出3个数, 使其和为不小于10的偶数, 不同的取法有________种.4．各项为实数的等差数列的公差为4, 其首项的平方与其余各项之和不超过100, 这样的数列至多有_______项.5．若椭圆x 2+4(y －a )2=4与抛物线x 2=2y 有公共点，则实数a 的取值范围是 ．6．∆ABC 中, ∠C = 90o , ∠B = 30o, AC = 2, M 是AB 的中点. 将∆ACM 沿CM 折起,使A ,B 两点间的距离为 2 2 ，此时三棱锥A -BCM 的体积等于__________.三、（本题满分20分）已知复数z=1－sinθ+i cosθ(π2<θ<π)，求z的共轭复数－z的辐角主值．四、（本题满分20分）设函数f (x) =ax 2 +8x +3 (a<0)．对于给定的负数a , 有一个最大的正数l(a) ,使得在整个区间 [0, l(a)]上, 不等式| f (x)| ≤ 5都成立．问：a为何值时l(a)最大? 求出这个最大的l(a)．证明你的结论.五、（本题满分20分）已知抛物线y2= 2px及定点A(a, b), B( –a, 0) ,(ab≠ 0, b2≠ 2pa)．M是抛物线上的点, 设直线AM, BM与抛物线的另一交点分别为M1, M2．求证：当M点在抛物线上变动时(只要M1, M2存在且M1 ≠M2)，直线M1M2恒过一个定点．并求出这个定点的坐标．第二试二、（满分50分）设a1，a2，…，a n，b1，b2，…，b n∈[1，2]且nΣi=1a2i=nΣi=1b2i，求证：nΣi=1a3ib i≤1710nΣi=1a2i．并问：等号成立的充要条件．三、（满分50分）对于正整数a、n，定义F n(a)=q＋r，其中q、r为非负整数，a=qn＋r，且0≤r＜n．求最大的正整数A，使得存在正整数n1，n2，n3，n4，n5，n6，对于任意的正整数a≤A，都有F n6(F n5(F n4(F n3(F n2(F n1(a))))))=1．证明你的结论．一九九八年全国高中数学联赛解答 第一试一．选择题（本题满分36分，每小题6分）2．若非空集合A={x |2a +1≤x ≤3a – 5},B={x |3≤x ≤22},则能使A ⊆A ∩B 成立的所有a 的集合是( )（A ）{a | 1≤a ≤9} (B ) {a | 6≤a ≤9} (C ) {a | a ≤9} (D ) Ø 【答案】B【解析】A ⊆B ，A ≠Ø．⇒ 3≤2a +1≤3a －5≤22，⇒6≤a ≤9．故选B ．4.设命题P ：关于x 的不等式a 1x 2 + b 1x 2 + c 1 > 0与a 2x 2+ b 2x + c 2 > 0的解集相同;命题Q ：a 1a 2=b 1b 2=c 1c 2． 则命题Q ( )(A ) 是命题P 的充分必要条件(B ) 是命题P 的充分条件但不是必要条件 (C ) 是命题P 的必要条件但不是充分条件(D ) 既不是是命题P 的充分条件也不是命题P 的必要条件【答案】D【解析】若两个不等式的解集都是R ，否定A 、C ，若比值为－1，否定A 、B ，选D ．5.设E , F , G 分别是正四面体ABCD 的棱AB ,BC ,CD 的中点,则二面角C —FG —E 的大小是( )(A ) arcsin 63 (B ) π2+arccos 33 (C ) π2－arctan 2 (D ) π－arccot226.在正方体的8个顶点, 12条棱的中点, 6个面的中心及正方体的中心共27个点中, 共线的三点组的个数是( )(A ) 57 (B ) 49 (C ) 43 (D )37【答案】B【解析】8个顶点中无3点共线，故共线的三点组中至少有一个是棱中点或面中心或体中心．⑴ 体中心为中点：4对顶点，6对棱中点，3对面中心；共13组； ⑵ 面中心为中点：4×6=24组；⑶ 棱中点为中点：12个．共49个，选B ．二、填空题( 本题满分54分,每小题9分) 各小题只要求直接填写结果.1．若f (x ) (x ∈R )是以2为周期的偶函数, 当x ∈[ 0, 1 ]时,f (x )=x 11000，则f (9819)，f (10117)，f (10415)由小到大排列是 ．2．设复数z=cos θ+i sin θ(0≤θ≤180°)，复数z ，(1+i )z ，2－z 在复平面上对应的三个点分别是P , Q , R .当P , Q , R 不共线时,以线段PQ , PR 为两边的平行四边形的第四个顶点为S , 点S 到原点距离的最大值是___________. 【答案】3【解析】 →OS =→OP +→PQ +→PR =→OP +→OQ －→OP +→OR －→OP =→OQ +→OR －→OP=(1+i )z +2－z －z=iz +2－z=(2cos θ－sin θ)+i (cos θ－2sin θ)．∴ |OS |2=5－4sin2θ≤9．即|OS |≤3，当sin2θ=1，即θ=π4时，|OS |=3．4．各项为实数的等差数列的公差为4, 其首项的平方与其余各项之和不超过100, 这样的数列至多有_______项.【答案】8【解析】设其首项为a ，项数为n ．则得a 2+(n －1)a +2n 2－2n －100≤0．△=(n －1)2－4(2n 2－2n －100)=－7n 2+6n +401≥0．∴ n ≤8． 取n=8，则－4≤a ≤－3．即至多8项．(也可直接配方：(a +n －12)2+2n 2－2n －100－(n －12)2≤0．解2n 2－2n －100－(n －12)2≤0仍得n ≤8．)6．∆ABC 中, ∠C = 90o , ∠B = 30o, AC = 2, M 是AB 的中点. 将∆ACM 沿CM 折起,使A ,B 两点间的距离为 2 2 ，此时三棱锥A －BCM 的体积等于 ．【答案】223【解析】由已知，得AB=4，AM=MB=MC=2，BC=23，由△AMC 为等边三角形，取CM 中点，则AD ⊥CM ，AD 交BC 于E ，则AD=3，DE=33，CE=233．折起后，由BC 2=AC 2+AB 2，知∠BAC=90°，cos ∠ECA=33． ∴ AE 2=CA 2+CE 2－2CA ·CE cos ∠ECA=83，于是AC 2=AE 2+CE 2．⇒∠AEC=90°．∵ AD 2=AE 2+ED 2，⇒AE ⊥平面BCM ，即AE 是三棱锥A －BCM 的高，AE=263． S △BCM =3，V A —BCM =223．三、（本题满分20分）2223222EBCAMD23222AEMDCB四、（本题满分20分）设函数f (x) =ax2 +8x+3 (a<0)．对于给定的负数a , 有一个最大的正数l(a) ,使得在整个区间 [0, l(a)]上, 不等式| f (x)| 5都成立．问：a为何值时l(a)最大? 求出这个最大的l(a)．证明你的结论．五、（本题满分20分）已知抛物线y 2 = 2px 及定点A (a , b ), B ( – a , 0) ,(ab ≠ 0, b 2≠ 2pa ).M 是抛物线上的点, 设直线AM , BM 与抛物线的另一交点分别为M 1, M 2． 求证：当M 点在抛物线上变动时(只要M 1, M 2存在且M 1 ≠ M 2.)直线M 1M 2恒过一个定点．并求出这个定点的坐标.第二试一、（满分50分）如图，O 、I 分别为△ABC 的外心和内心，AD 是BC 边上的高，I 在线段OD 上。
1998年全国高考数学试题及答案解析
第 1 页 共 10 页 1998年普通高等学校招生全国统一考试
数学
(理工农医类)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题共65分)
一、 选择题:本大题共15小题;第(1) (10)题每小题4分,第(11) (15)题每小题5分,共65分,
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)设集合M=｛x │0≤x<2｝,集合N=｛x │x 2-2x-3<0｝,集合M ∩N 为
(A)｛x │0≤x<1｝ (B)｛x │0≤x<2｝
(C)｛x │0≤x ≤1｝ (D)｛x │0≤x ≤2｝
[Key] B
(2)如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行,那么系数a 为
32
)(23
)(6)(3)(D C B A ---
[Key] B
(3)函数
)x 31x 21(tg y -=在一个周期内的图象是
[Key] A
(4)已知三棱锥D-ABC 的三个则面与底面全等，且AB=AC=3，BC=2，则BC 为棱,以面BCD 与面BCA 为面的二面角的大小是
32)D (2)C (31
arccos )B (33
arccos )A (ππ
[Key] C
（5）函数x 2cos )x 23sin(y +-π=的最小正周期是
ππππ
4)D (2)C ()B (2)A (
[Key] B。
1998年全国高中数学联赛试题及解答
一九九八年全国高中数学联合竞赛一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1． 若a > 1, b > 1, 且lg(a + b )=lg a +lg b , 则lg(a –1)+lg(b –1) 的值( ) （A ）等于lg2（B ）等于1(C ) 等于0 (D ) 不是与a , b 无关的常数2.若非空集合A={x |2a +1≤x ≤3a – 5},B={x |3≤x ≤22},则能使A ⊆A ∩B 成立的所有a 的集合是( ) （A ）{a | 1≤a ≤9}(B ) {a | 6≤a ≤9}(C ) {a | a ≤9} (D ) Ø3.各项均为实数的等比数列{a n }前n 项之和记为S n ,若S 10 = 10, S 30 = 70, 则S 40等于( )(A ) 150(B ) - 200(C ) 150或 - 200 (D ) - 50或4004.设命题P ：关于x 的不等式a 1x 2+ b 1x 2+ c 1 > 0与a 2x 2+ b 2x + c 2 > 0的解集相同； 命题Q ：a 1a 2=b 1b 2=c 1c 2． 则命题Q ( ) (A ) 是命题P 的充分必要条件(B ) 是命题P 的充分条件但不是必要条件(C ) 是命题P 的必要条件但不是充分条件(D ) 既不是是命题P 的充分条件也不是命题P 的必要条件5.设E , F , G 分别是正四面体ABCD 的棱AB ,BC ,CD 的中点,则二面角C —FG —E 的大小是( ) (A ) arcsin63 (B ) π2+arccos 33 (C ) π2－arctan 2 (D ) π－arccot 226.在正方体的8个顶点, 12条棱的中点, 6个面的中心及正方体的中心共27个点中, 共线的三点组的个数是( )(A ) 57 (B ) 49 (C ) 43 (D )37二、填空题( 本题满分54分,每小题9分) 各小题只要求直接填写结果.1．若f (x ) (x ∈R )是以2为周期的偶函数, 当x ∈[ 0, 1 ]时,f (x )=x 11000，则f (9819)，f (10117)，f (10415)由小到大排列是 ．2．设复数z=cos θ+i sin θ(0≤θ≤180°)，复数z ，(1+i )z ，2－z 在复平面上对应的三个点分别是P ,Q , R .当P , Q , R 不共线时,以线段PQ , PR 为两边的平行四边形的第四个顶点为S , 点S 到原点距离的最大值是___________.3．从0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9这10个数中取出3个数, 使其和为不小于10的偶数, 不同的取法有________种.4．各项为实数的等差数列的公差为4, 其首项的平方与其余各项之和不超过100, 这样的数列至多有_______项.5．若椭圆x 2+4(y －a )2=4与抛物线x 2=2y 有公共点，则实数a 的取值范围是 ．6．∆ABC 中, ∠C = 90o, ∠B = 30o, AC = 2, M 是AB 的中点. 将∆ACM 沿CM 折起,使A ,B 两点间的距离为 2 2 ，此时三棱锥A -BCM 的体积等于__________.三、（本题满分20分）已知复数z=1－sin θ+i cos θ(π2<θ<π)，求z 的共轭复数－z 的辐角主值．四、（本题满分20分）设函数f (x ) = ax 2+8x +3 (a <0)．对于给定的负数a , 有一个最大的正数l (a ) ,使得在整个 区间 [0, l (a )]上, 不等式| f (x )| ≤ 5都成立．问：a 为何值时l (a )最大? 求出这个最大的l (a )．证明你的结论.五、（本题满分20分）已知抛物线y2= 2px及定点A(a, b), B( –a, 0) ,(ab≠ 0, b2≠ 2pa)．M是抛物线上的点, 设直线AM, BM与抛物线的另一交点分别为M1, M2．求证：当M点在抛物线上变动时(只要M1, M2存在且M1 ≠M2)，直线M1M2恒过一个定点．并求出这个定点的坐标．第二试一、（满分50分）如图，O 、I 分别为△ABC 的外心和内心，AD 是BC 边上的高，I 在线段OD 上。
1998年高考数学试题及答案(全国理)
1998年普通高等学校招生全国统一考试数学 (理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共65分) 一、选择题:本大题共15小题;第(1) (10)题每小题4分,第(11) (15)题每小题5分,共65分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1、sin600°的值是23.D 23.C 21.B 21.A --[Key] D2、函数)1a (a y |x |>=的图象是[Key] B3、曲线的极坐标方程θ=ρsin 4化成直角坐标方程为A ． 4)2y (x 22=++B ． 4)2y (x 22=-+C ． 4y )2x (22=+-D ．4y )2x (22=++[Key] B4、两条直线0C y B x A ,0C y B x A 222111=++=++垂直的充要条件是 A ． 0B B A A 2121=+B ． 0B B A A 2121=-C ． 1B B A A 2121-=D ． 1B B A A 2121=[Key] A 5、函数)0x (x 1)x (f ≠=的反函数=-)x (f 1A ． x(x ≠0)B ． )0x (x 1≠C ． -x(x ≠0)D ．)0x (x 1≠-[Key] B6、已知点)tg ,cos (sin P αα-α在第一象限，则在)2,0(π内α的取值范围是A ． )45,()43,2(ππ⋃ππ B ． )45,()2,4(ππ⋃ππ C ． )23,45()43,2(ππ⋃ππ D ． ),43()2,4(ππ⋃ππ[Key] B °7、已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 A ．120° B ．150° C ．180° D ．240° [Key] C8、复数-i 的一个立方根是i ，它的另外两个立方根是A ． i 2123±B ．i 2123±-C ．i 2123+± D ． i2123-± [Key] D9、如果棱台的两底面积分别是S ， S'，中截面的面积是S 0，那么A ． 'S S +=22B ． S 'S S =0C ．'S S S +=02 D ．S'S S 220=[Key] A10、向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是[Key] B11、3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有A ．90种B ．180种C ．270种D ．540种 [Key] D12、椭圆131222=+y x 的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍[Key] A13、球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的1/6，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为A ． 34B ．32C ．2D ．3[Key] B14、一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为 A ．215arccos- B ． 215arcsin- C ．251arccos- D ． 251arcsin-[Key] B15、在等比数列{a n }中，a 1>1，且前n 项和S n 满足11lim a S n n =∞→，那么a 1的取值范围是A ．(1,+∞)B ．(1,4)C ．(1,2)D ．(1,2) [Key] D16、设圆过双曲线116922=+y x 的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 _______。
1998年全国数学联赛试卷及答案
1998年全国数学联赛试卷一、选择题：（每小题6分，共30分）1、已知a 、b 、c 都是实数，并且c b a >>，那么下列式子中正确的是（ ） （Ａ）bc ab >（Ｂ）c b b a +>+（Ｃ）c b b a ->-（Ｄ）cb c a > 2、如果方程()0012>=++p px x 的两根之差是1，那么p 的值为（ ） （Ａ）2（Ｂ）4（Ｃ）3（Ｄ）53、在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线，并且BD ⊥CE ，BD=4，CE=6，那么△ABC 的面积等于（ ）（Ａ）12（Ｂ）14（Ｃ）16（Ｄ）18 4、已知0≠abc ，并且p bac a c b c b a =+=+=+，那么直线p px y +=一定通过第（ ）象限 （Ａ）一、二（Ｂ）二、三（Ｃ）三、四（Ｄ）一、四 5、如果不等式组⎩⎨⎧<-≥-0809b x a x 的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对（a 、b ）共有（ ）（Ａ）17个（Ｂ）64个（Ｃ）72个（Ｄ）81个 二、填空题：（每小题6分，共30分）6、在矩形ABCD 中，已知两邻边AD=12，AB=5，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD ，PF ⊥AC ，E 、F 分别是垂足，那么PE+PF=___________。
7、已知直线32+-=x y 与抛物线2x y =相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，那么△OAB 的面积等于___________。
8、已知圆环内直径为a cm ，外直径为b cm ，将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为___________cm 。
9、已知方程()015132832222=+-+--a a x a a x a （其中a 是非负整数），至少有一个整数根，那么a =___________。
10、B 船在A 船的西偏北450处，两船相距210km ，若A 船向西航行，B 船同时向南航行，且B 船的速度为A 船速度的2倍，那么A 、B 两船的最近距离是___________km 。
全国1998年初中数学联合竞赛试题(含解析)
全国1998年初中数学联合竞赛试题（含解析）一、填空题 1.设15+=m ，那么mm 1+的整数部分是 . 2.在直角三角形ABC 中，两条直角边AB ，AC 的长分别为1厘米，2厘米，那么直角的角平分线的长度等于 厘米.3.已知013=--x x ，那么代数式123+-x x 的值是 .4.已知m ，n 是有理数，并且方程02=++n mx x 有一个根是25-，那么n m +的值是 .5. 如图，ABCD 为正方形，A ，E ，F ，G 在同一条直线上，并且AE ＝5厘米，EF ＝3厘米，那么FG ＝ ________________厘米.6.满足19982＋2m ＝19972＋2n )19980(<<<n m 的整数对),(n m ，共有 _______个.7.设平方数2y 是11 个连续整数的平方和，则y 的最小值是 .8.直角三角形ABC 中，直角边AB 上有一点M ，斜边BC 上有一点P ， 已知BMP BC MP ∆⊥,的面积等于四边形MPCA 的面积的一半， BP=2厘米， PC=3厘米，那么直角三角形ABC 的面积是__________平方厘米.9.已知正方形ABCD 的面积35平方厘米， E ， F 分别为边AB ， BC 上的点， AF ， CE 相交于点G ，并且ABF ∆的面积为5平方厘米，BCE ∆的面积为14平方厘米，那么四边形BEGF的面积是____________平方厘米.10.把100个苹果分给若干个人，每人至少分一个，且每人分的数目各不相同，那么至多有__________人.11.设),(b a 为实数，那么b a b ab a 222--++的最小值是__________.12. 1， 2， 3，…98共98个自然数中，能够表示成两整数的平方差的个数是_______. 13.在右边的加法算式中，每一个□表示一个数字，任意两个数字都不相同，那么A 与B 乘积的最大值是____________.14.直线AB 和AC 与圆O 分别为相切于B ，C 两点，P 为圆上一点，P 到AB ，AC 的距离分别为4厘米，6厘米，那么P 到BC 的距离为 厘米.15.每一本书都有一个国际书号: A B C D E F G H I J ，其中A B C D E F G H I 由九个数字排列而成，J 是检查号码.令S ＝10A ＋9B ＋8C ＋7D ＋6E ＋5F ＋4G ＋3H ＋2I ， r 是S 除以11所得的余数，若r 不等于0或1，则规定J ＝11－r.(若r ＝0，则规定J ＝0;若r ＝1，规定J 用x 表示)现有一本书的书号是962y 707015，那么y ＝ .第二试1．求所有正实数a ，使得方程043=+-a ax x 仅有整数根.2．已知P 为□ABCD 内一点，O 为AC 与BD 的交点，M 、N 分别为PB ，PC 的中点，Q 为AN 与DM 的交点，求证:（1）P ，Q ，O 三点在一条直线上; （2）PQ ＝2OQ.3.试写出5个自然数，使得其中任意两个数中的较大的一个数可以被这两个数的差整除.1.设15+=m ，那么mm 1+的整数部分是 .2.在直角三角形ABC 中，两条直角边AB ，AC 的长分别为1厘米，2厘米，那么直角的角平分线的长度等于 厘米.3. 已知013=--x x ，那么代数式123+-x x 的值是 .4.已知m ，n 是有理数，并且方程02=++n mx x 有一个根是25-，那么n m +的值是 .5. 如图，ABCD 为正方形，A ，E ，F ，G 在同一条直线上，并且AE ＝5厘米，EF ＝3厘米，那么FG ＝ ________________厘米.6. 满足19982＋2m ＝19972＋2n )19980(<<<n m 的整数对),(n m ，共有 _______个.7. 设平方数2y 是11 个连续整数的平方和，则y 的最小值是 .8. 直角三角形ABC 中，直角边AB 上有一点M ，斜边BC 上有一点P ， 已知BMP BC MP ∆⊥,的面积等于四边形MP CA 的面积的一半， BP=2厘米， PC=3厘米，那么直角三角形ABC 的面积是__________平方厘米.9. 已知正方形ABCD 的面积35平方厘米， E ， F 分别为边AB ， BC 上的点， AF ， CE 相交于点G ，并且ABF ∆的面积为5平方厘米，BCE ∆的面积为14平方厘米，那么四边形BEGF 的面积是____________平方厘米.10. 把100个苹果分给若干个人，每人至少分一个，且每人分的数目各不相同，那么至多有__________人.11. 设),(b a 为实数，那么b a b ab a 222--++的最小值是__________.12. 1， 2， 3，…98共98个自然数中，能够表示成两整数的平方差的个数是_______.13. 在右边的加法算式中，每一个□表示一个数字，任意两个数字都不相同，那么A与B乘积的最大值是____________.14. 直线AB和AC与圆O分别为相切于B，C两点，P为圆上一点，P到AB，AC的距离分别为4厘米，6厘米，那么P到BC的距离为厘米.15. 每一本书都有一个国际书号: A B C D E F G H I J ，其中A B C D E F G H I 由九个数字排列而成，J 是检查号码.令S ＝10A ＋9B ＋8C ＋7D ＋6E ＋5F ＋4G ＋3H ＋2I ， r 是S 除以11所得的余数，若r 不等于0或1，则规定J ＝11－r.(若r ＝0，则规定J ＝0;若r ＝1，规定J 用x 表示)现有一本书的书号是962y 707015，那么y ＝ .第 二 试1．求所有正实数a ，使得方程043=+-a ax x 仅有整数根.2．已知P为□ABCD内一点，O为AC与BD的交点，M、N分别为PB，PC的中点，Q为AN与DM的交点，求证:（1）P，Q，O三点在一条直线上;（2）PQ＝2OQ.3. 试写出5个自然数，使得其中任意两个数中的较大的一个数可以被这两个数的差整除.11。
1998年全国高中数学联赛试题及答案详解_PDF压缩
A
hRa=b+ca－a即可。连 AI 并延长交⊙O 于 K，连 OK 交 BC 于 M，则 K、
M 分别为弧 BC 及弦 BC 的中点。且 OK⊥BC。于是 OK∥AD，又 OK=R， 故
hRa=AODK=IIAK=IKAB，
N
O
I
故只须证KIBA=b+ach－a a=12(b+BcM－a)．
B
DM
a 的集合是(
) [来源:学,科,网]
（A）{a | 1≤a≤9}
(B) {a | 6≤a≤9}
(C) {a | a≤9}
(D) Ø
【答案】B
【解析】AB，A≠Ø． 3≤2a+1≤3a－5≤22，6≤a≤9．故选 B．
4.设命题 P：关于 x 的不等式 a1x2 +
b1x2 +
c1 >
0与a
x2
2
+
物线上的点, 设直线 AM, BM 与抛物线的另一交点分别为 M1, M2． 求证：当 M 点在抛物线上变动时(只要 M1, M2 存在且 M1 M2) ，直线 M1M2 恒过一个定点．并
求出这个定点的坐标．
第二试
nn 二、（满分 50 分）设 a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn∈[1，2]且iΣ=1a2i=iΣ=1bi2， 求证：iΣ=n1abi3i≤1170iΣ=n1ai2．并问：等号成立的充要条件． 三、（满分 50 分）对于正整数 a、n，定义 Fn(a)=q＋r，其中 q、r 为非负整数，a=qn＋r， 且 0≤r＜n．求最大的正整数 A，使得存在正整数 n1，n2，n3，n4，n5，n6，对于任意的正整 数 a≤A，都有
历年全国高中数学竞赛试卷及答案(77套)
（5月14日下午14:30—16:30）
题目
一
二
三
总成绩
13
14
15
16
得分
评卷人
复核人
考生注意：1.本试卷共有三大题（16个小题），全卷满分140分
2.用黑（蓝）色圆珠笔或钢笔作答。
3.计算器，通讯工具不准待入考场。
4.解题书写不要超过封线
一，单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
化简得， ①
与抛物线方程联立，得
即 ②
此时，方程②有两个相等的根：
代入①，得
所以直线DE与此抛物线有且只有一个公共点 ……10分
（2） ……15分
设直线DE与xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ交于点G，令
解得
于是
所以 ……20分
16.解：取
（1）先证：
因为
……5分
（2）再证：
综上可知，α的最大值是3，β的最小值是3 ……20分
1988年全国高中数学联赛试题
由归纳原理知，对任意的正整数n，都有
综上，所求实数a的取值范围 ……20分
14.解：因为 ……5分
由
又 ……10分
（2）由
又 ……15分
（3）因为对任意奇质数
所以，存在无穷多个合数n,使得 ……20分
15，解：
（1）设
所以可得
设
于是
设
所以E的坐标为
因此直线DE的斜率为： ， ……5分
所以直线DE的方程是
（2）设直线DE与此抛物线的公共点F，记△BCF与△ADE的面积分别为 ,求 的值.
16.设 为实数，若对任意的实数 恒成立，其中
历年全国高中数学竞赛试卷及答案(77套)
4．已知三个平面α、β、γ，每两个之间的夹角都是θ，且α∩β=a，β∩γ=b，γ∩α=c．若有
命题甲：θ> ；
命题乙：a、b、c相交于一点．
则
A．甲是乙的充分条件但不必要B．甲是乙的必要条件但不充分
C．甲是乙的充分必要条件D．A、B、C都不对
化简得， ①
与抛物线方程联立，得
即 ②
此时，方程②有两个相等的根：
代入①，得
所以直线DE与此抛物线有且只有一个公共点 ……10分
（2） ……15分
设直线DE与x轴交于点G，令
解得
于是
所以 ……20分
16.解：取
（1）先证：
因为
……5分
（2）再证：
综上可知，α的最大值是3，β的最小值是3 ……20分
1988年全国高中数学联赛试题
（2）设直线DE与此抛物线的公共点F，记△BCF与△ADE的面积分别为 ,求 的值.
16.设 为实数，若对任意的实数 恒成立，其中
求 的最大值和 的最小值
2017年全国高中数学联赛（四川初赛）试题
草考答案及评分标准
一，选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
1.A 2.B 3.C 4.C 5.B 6.A
5．在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点叫做整点，我们用I表示所有直线的集合，M表示恰好通过1个整点的集合，N表示不通过任何整点的直线的集合，P表示通过无穷多个整点的直线的集合．那么表达式 ⑴M∪N∪P=I； ⑵N≠Ø． ⑶M≠Ø． ⑷P≠Ø中，正确的表达式的个数是
A．1B．2C．3D．4
解：均正确，选D．
⑴ 点(1，1)∈ln，(n=1，2，3，……)；
1998年全国高中数学联合竞赛试题及解答.
1998年全国高中数学联合竞赛一试一、选择题：本大题共6个小题，每小题6分，共36分。
1998*1、若1,1>>b a 且b a b a lg lg )lg(+=+，则)1lg()1lg(-+-b a 的值( ) A.等于2lg B.等于1 C.等于0 D.不是与b a ,无关的常数 ◆答案：C★解析：由已知得ab b a =+，即()()111=--b a ，由01,01>->-b a ，故01lg )1)(1lg()1lg()1lg(==--=-+-b a b a 。
1998*2、若非空集合{}5312|-≤≤+=a x a x A ,{}223|≤≤=x x B ，则能使B A A ⊆成立的所有a 的集合是( )A.{}91|≤≤a aB. {}96|≤≤a aC. {}9|≤a aD.φ◆答案：B★解析：即B A ⊆，φ≠A ．所以2253123≤-≤+≤a a ，解得96≤≤a 。
故选B ．1998*3、各项均为实数的等比数列{}n a 前n 项和记为n S ，若1010=S ,7030=S ，则40S 等于( )A. 150B.200-C. 150或200-D. 400或50- ◆答案：A★解析：首先1≠q ，于是()1011101=--q q a ，()7011301=--q qa，两式相除得061020=-+q q 得210=q ，1011=-qa ，所以()1501210440=-⨯=S1998*4、设命题P :关于x 的不等式01121>++c x b x a 与02222>++c x b x a 的解集相同；命题Q :212121c c b b a a ==。
则命题Q （ ） A.是命题P 的充分必要条件 B.是命题P 的充分条件但不是必要条件C.是命题P 的必要条件但不是充分条件D.既不是命题P 的充分条件也不是命题P 的必要条件◆答案：D★解析：若两个不等式的解集都是R ，否定A 、C ，若比值为1-，否定A 、B ，选D1998*5、设G F E ,,分别是正四面体ABCD 的棱CD BC AB ,,的中点，则E FG C --的大小是( ) A.36arcsin B. 33arccos 2+π C. 2arctan 2-πD. 22arctan -π◆答案：DB D★解析：取BD AD ,中点M H ,，则BD FG EH ////， 于是EH 在平面EFG 上．设P FG CM = ，Q EH AM = ，则Q P ,分别 为AM CM ,中点，且AC PQ //∵BD AC ⊥，得FG PQ ⊥，FG CP ⊥, 所以CPQ ∠是二面角E FG C --的平面角． 设2=AC ，则3==MA MC ，33cos =∠ACM ．故选D ．1998*6、在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是( )A.57B.49C.43D.37◆答案：B★解析：注意到8个顶点中无3点共线，故共线的三点组中至少有一个是棱中点或面中心或体中心．⑴ 体中心为中点：4对顶点，6对棱中点，3对面中心；共13⑵ 面中心为中点：2464=⨯组； ⑶ 棱中点为中点：12个．共49个，选B ．二、填空题：本大题共6小题，每小题9分，共54分。
1988年全国高中数学联合竞赛试题及解答
一、选择题：本大题共 6 个小题，每小题 7 分，共 35 分。
1988*1．设有三个函数，第一个是 y (x) ，它的反函 数是第二个函数，而第三个函数的图象与第
二个函数的图象关于 x y 0 对称，那么，第三个函数是( )
A． y (x)
C. P N M
D.A、B、C 都不成立
◆答案：A
★解析：M 表示以 1,0, 0,1, 1,0, 0,1 为顶点的正方形内部的点的集合(不包括边界)；N 表示
焦点为 1 , 1 ， 1 , 1 ，长轴为 2 2 的椭圆内部的点的集合，P 表示由 x y 1 ，x 1， 2 2 2 2
种比赛过程。那么所有可能出现的比赛的过程种数为
．
◆答案： C174
★解析：画 1 行 14 个格子，每个格子依次代表一场比赛，如果某场比赛某人输了，就在相应的格子
中写上他的顺序号(两方的人各用一种颜色写以示区别)．如果某一方 7 人都已失败则在后面的格子
中依次填入另一方未出场的队员的顺序号．于是每一种比赛结果都对应一种填表方法，每一种填表
B． y (x)
C． y 1(x)
D． y 1(x)
◆答案：B
★解析：第二个函数是 y 1 (x) ．第三个函数是 x 1 ( y) ，即 y (x) ．选 B．
1988* 2.已知原点在椭圆 k 2 x2 y2 4kx 2ky k 2 1 0 的内部，那么参数 k 的取值范围为（ ）
y 1围成的六边形内部的点的集合．故选 A．
1988*4．已知三个平面 、 、 ，每两个之间的夹角都是 ，且 a ， b ，
1998数学竞赛
1998数学竞赛
1998年的数学竞赛涵盖了多个级别和类型的比赛，其中包括
国际、全国、省级和校级的比赛。
以下是一些1998年数学竞
赛的例子：
1. 国际数学奥林匹克（IMO）：1998年IMO比赛于7月12日至7月24日在台湾台北举行。
共有81个国家和地区的277名
学生参加了此次比赛。
2. 全国中学生数学竞赛（NMC）：1998年全国中学生数学竞
赛是指全国中学生数学竞赛的各个学科组，包括小学数学竞赛、初中数学竞赛和高中数学竞赛。
不同年级的学生在各自的比赛中进行了竞争。
3. 省级数学竞赛：各个省市也都举办了本地区的数学竞赛，以选拔出优秀的学生代表参加全国或国际的比赛。
4. 校级数学竞赛：许多学校也组织了自己的数学竞赛，旨在提高学生的数学能力和兴趣。
以上只是1998年数学竞赛的一些例子，实际上还有许多其他
类型的比赛和活动。
这些竞赛旨在鼓励学生们对数学的兴趣，并提供一个展示和比较数学能力的平台。
1998年高中奥林匹克数学全国一等奖雅安
1998年高中奥林匹克数学全国一等奖雅安
【最新版】
目录
1.1998 年高中奥林匹克数学全国一等奖的背景和意义
2.雅安地区的教育状况和数学竞赛的发展
3.1998 年高中奥林匹克数学全国一等奖对雅安地区的影响
正文
1998 年高中奥林匹克数学全国一等奖是当时中国高中数学竞赛中最
高的荣誉之一。
该奖项的设立旨在鼓励和表彰在数学领域表现出色的高中生，激发他们对数学的热爱和兴趣，同时也为他们提供了更好的发展机会。
雅安地区作为中国的一个教育重镇，一直以来都十分重视教育工作，特别是数学竞赛。
在 1998 年，雅安地区的数学竞赛水平在全国范围内已经有了一定的影响力。
当地的学校和教师积极组织和参与数学竞赛，为学生提供了良好的学习环境和竞赛平台。
1998 年高中奥林匹克数学全国一等奖的获得者来自雅安地区，这不
仅是对该地区数学竞赛水平的肯定，也是对当地教育工作的一次巨大鼓舞。
这个奖项的获得，使得雅安地区的数学竞赛得到了更多的关注和认可，同时也激发了更多学生对数学的热爱和追求。
总的来说，1998 年高中奥林匹克数学全国一等奖对雅安地区产生了
深远的影响。
它不仅提高了雅安地区在全国范围内的知名度，也推动了当地教育工作的进一步发展。
第1页共1页。
1998年高考数学试题及答案(全国理)
1998年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共65分)一、选择题:本大题共15小题;第(1) (10)题每小题4分,第(11) (15)题每小题5分,共65分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1、sin600°的值是23.D 23.C 21.B 21.A --[Key] D2、函数)1a (a y |x |>=的图象是[Key] B3、曲线的极坐标方程θ=ρsin 4化成直角坐标方程为A ． 4)2y (x 22=++B ．4)2y (x 22=-+ C ． 4y )2x (22=+- D ．4y )2x (22=++[Key] B4、两条直线0C y B x A ,0C y B x A 222111=++=++垂直的充要条件是A ． 0B B A A 2121=+B ． 0B B A A 2121=-C ． 1B B A A 2121-=D ． 1B B A A 2121=[Key] A5、函数)0x (x 1)x (f ≠=的反函数=-)x (f 1A ． x(x ≠0)B ． )0x (x 1≠C ． -x(x ≠0)D ．)0x (x 1≠-[Key] B6、已知点)tg ,cos (sin P αα-α在第一象限，则在)2,0(π内α的取值范围是A ． )45,()43,2(ππ⋃ππ B ． )45,()2,4(ππ⋃ππ C ． )23,45()43,2(ππ⋃ππ D ． ),43()2,4(ππ⋃ππ[Key] B °7、已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为A ．120°B ．150°C ．180°D ．240°[Key] C8、复数-i 的一个立方根是i ，它的另外两个立方根是A ． i 2123±B ．i 2123±-C ． i 2123+±D ．i 2123-± [Key] D9、如果棱台的两底面积分别是S ， S'，中截面的面积是S 0，那么A ． 'S S +=22B ． S 'S S =0C ． 'S S S +=02D ． S 'S S 220=[Key] A10、向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是[Key] B11、3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有A ．90种B ．180种C ．270种D ．540种[Key] D12、椭圆131222=+y x 的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍[Key] A13、球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的1/6，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为A ． 34B ．32C ．2D ．3[Key] B14、一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为A ． 215arccos -B ． 215arcsin -C ．251arccos - D ． 251arcsin - [Key] B15、在等比数列{a n }中，a 1>1，且前n 项和S n 满足11lim a S n n =∞→，那么a 1的取值范围是A ．(1,+∞)B ．(1,4)C ．(1,2)D ．(1,2)[Key] D16、设圆过双曲线116922=+y x 的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 _______。
1998年高考数学试题及答案(全国理)
1998年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共65分)一、选择题:本大题共15小题;第(1) (10)题每小题4分,第(11) (15)题每小题5分,共65分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1、sin600°的值是23.D 23.C 21.B 21.A --[Key] D2、函数)1a (a y |x |>=的图象是[Key] B3、曲线的极坐标方程θ=ρsin 4化成直角坐标方程为A ． 4)2y (x 22=++B ．4)2y (x 22=-+ C ． 4y )2x (22=+- D ．4y )2x (22=++[Key] B4、两条直线0C y B x A ,0C y B x A 222111=++=++垂直的充要条件是A ． 0B B A A 2121=+B ． 0B B A A 2121=-C ． 1B B A A 2121-=D ． 1B B A A 2121=[Key] A5、函数)0x (x 1)x (f ≠=的反函数=-)x (f 1A ． x(x ≠0)B ． )0x (x 1≠C ． -x(x ≠0)D ．)0x (x 1≠-[Key] B6、已知点)tg ,cos (sin P αα-α在第一象限，则在)2,0(π内α的取值范围是A ． )45,()43,2(ππ⋃ππ B ． )45,()2,4(ππ⋃ππ C ． )23,45()43,2(ππ⋃ππ D ． ),43()2,4(ππ⋃ππ[Key] B °7、已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为A ．120°B ．150°C ．180°D ．240°[Key] C8、复数-i 的一个立方根是i ，它的另外两个立方根是A ． i 2123±B ．i 2123±-C ． i 2123+±D ．i 2123-± [Key] D9、如果棱台的两底面积分别是S ， S'，中截面的面积是S 0，那么A ． 'S S +=22B ． S 'S S =0C ． 'S S S +=02D ． S 'S S 220=[Key] A10、向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是[Key] B11、3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有A ．90种B ．180种C ．270种D ．540种[Key] D12、椭圆131222=+y x 的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍[Key] A13、球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的1/6，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为A ． 34B ．32C ．2D ．3[Key] B14、一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为A ． 215arccos -B ． 215arcsin -C ．251arccos - D ． 251arcsin - [Key] B15、在等比数列{a n }中，a 1>1，且前n 项和S n 满足11lim a S n n =∞→，那么a 1的取值范围是A ．(1,+∞)B ．(1,4)C ．(1,2)D ．(1,2)[Key] D16、设圆过双曲线116922=+y x 的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 _______。
1998年高中奥林匹克数学全国一等奖雅安
1998年高中奥林匹克数学全国一等奖雅安
1998年，我国高中生在奥林匹克数学竞赛中再创佳绩，其中来自雅安的选手凭借出色的表现，荣获全国一等奖。
这场竞赛不仅展示了获奖者的数学才能，更是对他们不懈努力的肯定。
奥林匹克数学竞赛起源于20世纪，旨在选拔和培养青少年数学人才。
自1989年我国加入国际数学奥林匹克竞赛以来，成绩斐然，为国家赢得了无数荣誉。
1998年的竞赛，我国选手在激烈角逐中脱颖而出，再次彰显了我国在国际数学领域的地位。
雅安选手获得全国一等奖，意义非凡。
首先，这是对他们数学才能的肯定。
获奖者在比赛中展现出扎实的基本功、独特的解题思路和严谨的逻辑能力，这些都是数学家所需的基本素质。
其次，这次荣誉的获得，对获奖者和整个雅安地区的教育事业起到了鼓舞人心的作用。
它激励了更多学生投身于数学学习，推动了当地教育事业的发展。
此外，数学竞赛对我国教育事业也起到了积极的推动作用。
一方面，竞赛选拔出了大量优秀的数学人才，为国家未来发展储备了强大的人力资源。
另一方面，竞赛的举办和选拔过程，使得我国数学教育水平不断提高，教育教学方法不断优化。
对于获奖者个人来说，这次荣誉无疑是对他们努力的最好回报。
在竞赛背后，是他们付出了艰辛的努力，积累了丰富的数学知识，锻炼了思维能力。
获奖者在今后的学习和工作中，将更加自信地面对挑战，充分发挥自己的才能。
总之，1998年高中奥林匹克数学全国一等奖的雅安选手，不仅为自己赢得
了荣誉，也为国家和民族争光。
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一九九八年全国高中数学联合竞赛试卷
一、 选择题（本题满分36分，每小题6分）
1． 若a ＞1,b ＞1且lg(a +b )=lg a +lg b ，则lg(a -1)+lg(b -1)的值
(A) 等于lg2 (B)等于1 (C)等于0 (D)不是与a ,b 无关的常数
2． 若非空集合A ={x |2a +1≤x ≤3a -5},B ={x |3≤x ≤22}，则能使A ⊆A B 成立的所有a 的集合是( )
(A){a |1≤a ≤9} (B){a |6≤a ≤9} (C){a |a ≤9} (D)∅
3． 各项均为实数的等比数列{a n }前n 项和记为S n ，若S 10=10,S 30=70，则S 40等于( )
(A) 150 (B) -200 (C) 150或-200 (D)400或-50
4． 设命题P ：关于x 的不等式a 1
x 2
+b 1
x +c 1
＞0与a 2
x 2
+b 2
x +c 2
＞0的解集相同；命题Q ：2
1
212
1c c b b a a ==。
则命题Q
(A)是命题P 的充分必要条件 (B)是命题P 的充分条件但不是必要条件 (C)是命题P 的必要条件但不是充分条件
(D)既不是命题P 的充分条件也不是命题P 的必要条件
5． 设E ,F ,G 分别是正四面体ABCD 的棱AB ,BC ,CD 的中点，则二面角C -FG -E 的大小是( )
(A)
3
6arcsin
(B)
33arccos
2
+π
(C)2arctg 2
-π
(D)
2
2arcctg
-π
6． 在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体
的中心共27个点中，共线的三点组的个数是( ) (A) 57 (B) 49 (C) 43 (D) 37 二、 填空题（本题满分54分，每小题9分） 1． 若
)
)((R x x f ∈是以2为周期的偶函数，当
]
1,0[∈x 时，
1
)(x
x f =，则
)1998(f ,)17101(f ,)
15104(f 由小到大的排列是_________________.
2． 设复数z =θθ
sin cos i +(︒0≤θ≤18︒0)，复数z ,(1+i )z ,2z 在复平面上对应的三个点分别是
P ,Q ,R ，当P ,Q ,R 不共线时，以线段PQ ,PR 为两边的平行四边形的第四个顶点为S ，则点S 到原点距
离的最大值是
_______.
B
D
3． 从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数中取出3个数，使其和为不小于10的偶数，不同的取法有________
种.
4． 各项为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的数列至多有
___________项.
5． 若椭圆4)(422=-+a y x 与抛物线y x 22
=有公共点，则实数a 的取值范围是_____________.
6． △ABC 中，∠C =90°,∠B =30°,AC =2，M 是AB 的中
点，将△ACM 沿CM 折起，使A ,B 两点间的距离为
22，此时三棱锥A -BCM 的体积等于________.
三、 （本题满分20分）
已知复数z =1-sin θ+i cos θ(π
θπ
<<2
)，求z 的共轭复数z 的辐角主值。
四、 （本题满分20分）
设函数
38)(2++=x ax x f (a ＜0)，对于给定的负数a ，有一个最大的正数l (a )，使得在整个区
间[0,l (a )]上，不等式|f
(x )|≤5都成立。
问：a 为何值时l (a )最大？求出这个最大的l (a )，证明你的结论。
五、 （本题满分20分）
已知抛物线
px y 22=及定点),(b a A ,B (-a ,0),)2,0(2pa b ab ≠≠，M
是抛物线上的点，设
直线AM ,BM 与抛物线的另一交点分别为M 1,M 2.
求证：当M 点在抛物线上变动时（只要M 1,M 2存在且M 1≠M 2），直线M 1M 2恒过一个定点，并求出这个定点的坐标。
B
C
1998年全国高中数学联合竞赛答案
一、选择题
1.C
2.B
3.A
4.D
5.D
6.B
二、填空题
1.
)
15
104
(
)
19
98
(
)
17
101
(f
f
f<
<
2.3
3.51
4.8
5. -1≤a≤
8
17
6.
3
2
2
三、
2
4
3θ
π
-
四、a=-8时，l(a)的最大值是2
1
5+
五、定点是(a,
b
pa
2
)。