高三单元试题八：圆锥曲线方程
高三数学第一轮复习测试及详细解答(8)——圆锥曲线
2y高三数学第一轮复习单元测试（7）—圆锥曲线一、选择题（本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的） 1．若椭圆经过原点,且焦点为 F 1 (1, 0), F 2 (3, 0) ,则其离心率为（）3 2 A ．B ．4321 1 C ．D ．24x 2 y 22．若抛物线 y = 2 px 的焦点与椭圆 + = 1的右焦点重合，则 p 的值为（ ） 6 2A ． -2B ． 2C ． -4D ． 4 3．已知双曲线3x 2 - y 2 = 9 ,则双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离与点 P 到右准线的距离之比等于（）A ．B ．3C ． 2D ．44．与 y 轴相切且和半圆 x 2+ y 2= 4(0 ≤ x ≤ 2) 内切的动圆圆心的轨迹方程是（）A ． y 2= -4(x -1)(0 < x ≤ 1) B ． y 2= 4(x -1)(0 < x ≤ 1) C ． y 2 = 4(x +1)(0 < x ≤ 1)D ． y 2= -2(x -1)(0 < x ≤ 1)5．直线 y = 2k 与曲线9k 2 x 2+ y 2= 18k 2x(k ∈ R , 且k ≠ 0) 的公共点的个数为 （） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 46．如果方程 x2 + y 2 =表示曲线,则下列椭圆中与该双曲线共焦点的是（）- p q1x 2y 2x 2y 2A ． + = 12q + p qB ． + = -12q + p px 2+ y 2 =x 2y 2C ． 2 p + q q 1D ．+ 2 p + qq = -17．曲线x 210 - m2 + = 1(m < 6) 与曲线 6 - mx 2 5 - m y 2 + = 1(5 < m < 9) 的 （ ）9 - m A ．焦距相等 B ．离心率相等 C ．焦点相同 D ．准线相同 8．双曲线 mx 2 + y 2 = 1的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 m = （）A ． - 14B ． -4C ． 4D ． 14 9．设过点 P (x , y )的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A 、B 两点，点Q 与点 P关于 y 轴对称， O 为坐标原点，若 BP = 2PA ，且OQ ⋅ AB = 1，则 P 点的轨迹方程是2 32（）A ． 3x 2+ 3y 2= 1(x > 0, y > 0)2C ． 3x 2- 3y 2= 1(x > 0, y > 0)2B ． 3x 2- 3y 2= 1(x > 0, y > 0)2D ． 3 x 2+ 3y 2= 1(x > 0, y > 0)210．抛物线 y = -x 2上的点到直线 4x + 3y - 8 = 0 距离的最小值是 （）4 7 8 A ．B ．C ．355D ． 311．已知抛物线 x 2= y + 1上一定点 A (-1, 0) 和两动点 P , Q 当 PA ⊥ PQ 是,点Q 的横坐标的取值范围是 （）A ． (-∞, -3]B ． [1, +∞)C ． [-3,1]D ． (-∞, -3] [1, +∞)12．椭圆 x4y231= 1上有 n 个不同的点: P 1 , P 2 ,....P n , ,椭圆的右焦点为 F ,数列{| P n F |}是公差大于100的等差数列,则 n 的最大值为（ ）A ．199B ．200C ．198D ．201二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中的横线上)x 2 y 213．椭圆 + 12 3= 1的两个焦点为 F 1 , F 2,点 P 在椭圆上.如果线段 PF 1 的中点在 y 轴上,那么| PF 1 |是| PF 2 |的倍.214．如图把椭圆 x + y = 1 的长轴 AB 分成 8 等25 16分,过每个分点作 x 轴的垂线交椭圆的上半部分于 P 1,P 2,…,P 7 七个点,F 是椭圆的焦点,则|P 1F|+|P 2F|+…+|P 7F|=.15．要建造一座跨度为 16 米,拱高为 4 米的抛物线拱桥,建桥时,每隔 4 米用一根柱支撑,两边的柱长应为.16．已知两点 M (-5, 0), N (5, 0) ,给出下列直线方程:① 5x - 3y = 0 ;② 5x - 3y - 52 = 0 ;③x - y - 4 = 0 .则在直线上存在点 P 满足| MP |=| PN | +6 的所有直线方程是.(只填序号)三、解答题(本大题共 6 小题, 共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)2航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为1，变轨（即航天器运行轨迹由 17．（本小题满分 12 分）学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：x 2 + y 2= 100 25⎛64 ⎫椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以 y 轴为对称轴、 M 0, ⎝⎪ 为顶点的抛物线的实7 ⎭ 线部分，降落点为 D ( 8, 0 ) . 观测点 A ( 4, 0 )、B ( 6, 0 ) 同时跟踪航天器. （1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在 x 轴上方时，观测点 A 、B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天 器发出变轨指令？18．（本小题满分 12 分）已知三点 P （5，2）、 F 1 （－6，0）、 F 2 （6，0）。
圆锥曲线与方程测试题及参考答案
高中数学选修2—1第二章《圆锥曲线与方程》单元测试题及参考答案（时间120分钟 总分150分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
每小题只有一个选项符合题目意思）1.设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，12PF F ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为 ( C ) A.12 B. 23 C.34 D.452.已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为 ( D )A.2833x y =B. 21633x y = C. 28x y = D. 216x y = 3.已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠= ( C )A.14B.35C.34D.454.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心学率为32.双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点,以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C 的方程为 ( D )A.22182x y += B.221126x y += C.221164x y += D.221205x y += 5.已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于(A)A.5B.42C.3D.56.方程22ay b x c =+中的,,{2,0,1,2,3}a b c ∈-，且,,a b c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有 ( B ) A.28条 B.32条 C.36条 D.48条7.过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点,点O 是原点,若3AF =; 则AOB ∆的面积为 ( C )A.22B.2C.322D.228.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2。
高中试卷-专题15 圆锥曲线的方程(单元测试卷)(含答案)
专题15 《圆锥曲线的方程》单元测试卷一、单选题1．（2020·辽宁省高三月考（文））若抛物线上的点M 到焦点的距离为10，则M 点到y 轴的距离是（ ）A ．6B ．8C ．9D ．10【答案】C 【解析】抛物线的焦点，准线为，由M 到焦点的距离为10，可知M 到准线的距离也为10，故到M 到的距离是9，故选C ．2．（2019·涟水县第一中学高二月考）椭圆的焦距为，则的值等于（ ）A ．B ．C ．或D ．【答案】C 【解析】若椭圆的焦点在轴上时，则有，解得；若椭圆的焦点在轴上时，则有，解得.综上所述，或.故选：C.3．（2018·镇原县第二中学高二期末（文））设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=﹣2，则抛物线的方程是（ ）A ．y 2=﹣8x B ．y 2=8xC ．y 2=﹣4xD ．y 2=4x【答案】B 【解析】∵准线方程为x=﹣2∴=2∴p=424y x =24y x =()10F ，1x =-2214x y m +=2m 53538x 2=5m =y 2=3m =5m =3∴抛物线的方程为y 2=8x 故选B4．（2020·天津高三一模）设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交于，两点，则（ ）AB ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意，得．又因为AB 的方程为，与抛物线联立，得，设，由抛物线定义得，，选C ．5．（2018·镇原县第二中学高二期末（文））已知，，则椭圆的标准方程是（ ）A ．B ．C ．或D ．【答案】C 【解析】由，，，可解得，，则当椭圆的焦点在轴上时，此时椭圆的标准方程为：；当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为：.故选：C6．（2018·镇原县第二中学高二期末（文））双曲线，则（）F 2:3C y x =F 30o C A B AB =6123(,0)4F 0k tan 30==34y x =-2=3y x 21616890x x -+=1122(,),(,)A x y B x y 12AB x x p =++=168312162+=9a b +=3c =221259x y +=2212516x y +=2212516x y +=2251162x y+=221169x y +=9a b +=3c =222a b c =+225a =216b =x 2212516x y +=y 2251162x y +=()2221012x y b b-=>0+=b =A ．3B ．2CD ．【答案】D 【解析】双曲线的焦点在轴，，渐近线方程是，，解得：.故选：7．（2018·民勤县第一中学高二期末（文））已知椭圆的一个焦点为F （0，1），离心率，则椭圆的标准方程为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由题意知，又离心率，所以，，即所求椭圆的标准方程，故选D ．8．（2019·涟水县第一中学高二月考）设双曲线(a >0，b >0)的虚轴长为2，焦距为( )A．y ＝x B ．y ＝±2xC ．y ＝x D ．y ＝±x【答案】C 【解析】由题意知∴,a 2=c 2-b 2x a =by x a=±0+=k ===b =D12e =2212x y +=2212y x +=22143x y +=22134x y +=1c =12e =2a =2223b a c =-=22134x y +=22221x y a b-=12∴渐近线方程为y=±x.故选C.9．（2019·浙江省高二期中）如图，，，是椭圆上的三个点，经过原点，经过右焦点，若且，则该椭圆的离心率为（ ）A．BCD【答案】B【解析】取左焦点，连接，，根据椭圆的对称性可得：是矩形，设，中，即：解得：，则在中即：，.b a A B C 22221x y a b+=()0a b >>AB O AC F BF AC ^3BF CF =121F 111,,AF CF BF BF AC ^1AFBF 11,2,3,23,22CF m CF a m BF AF m AF a m AC a m ==-===-=-1Rt AF C D 22211AF AC CF +=222(3)(22)(2)m a m a m +-=-3am =1,AF a AF a ==1Rt AF F D 22211AF AF FF +=222(2)a a c +=222212,2c a c a ==故选：B10．（2018·安徽省合肥一中高三一模（文））已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆在第一象限上的一个动点，圆与的延长线，的延长线以及线段都相切，且为其中一个切点．则椭圆的离心率为（ ）ABCD【答案】B 【解析】设圆与的延长线相切于点，与相切于点，由切线长相等，得，，，，，由椭圆的定义可得，，，则，即，又，所以因此椭圆的离心率为.故选：B.二、多选题11．（2019·山东省青岛二中高二月考）（多选题）下列说法正确的是（ ）2221(1)x y a a+=>1F 2F A C 1F A 12F F 2AF ()3,0M C 1F A N 2AF T AN AT =11F N F M =22F T F M =1(,0)F c -2(,0)F c 122AF AF a +=()111223+22+F N F M c AF AN a AF AN a AN AT TF ==+==-+=+-222(3)a F M a c =-=--26a =3a =1b =c ==c e a ==A ．方程表示两条直线B ．椭圆的焦距为4，则C ．曲线关于坐标原点对称D ．双曲线的渐近线方程为【答案】ACD 【解析】方程即，表示，两条直线，所以A 正确；椭圆的焦距为4，则或，解得或，所以B 选项错误；曲线上任意点，满足，关于坐标原点对称点也满足，即在上，所以曲线关于坐标原点对称，所以C 选项正确；双曲线即，其渐近线方程为正确，所以D 选项正确.故选：ACD12．（2019·山东省高二期中）已知椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，且短轴长为2，离心率，过焦点作轴的垂线，交椭圆于，两点，则下列说法正确的是（ ）A ．椭圆方程为B ．椭圆方程为C ．D ．的周长为【答案】ACD 【解析】2x xy x +=221102x y m m +=--4m =22259x y xy +=2222x y a b l -=b y xa=±2x xy x +=()10x x y +-=0x =10x y +-=221102x y m m +=--()1024m m ---=()2104m m ---=4m =8m =22259x y xy +=(),P x y 22259x y xy +=(),P x y (),P x y ¢--()()()()22259x y x y --+=--(),P x y ¢--22259x y xy +=22259x y xy +=2222x y a b l -=0l ¹b y x a=±C 1F 2F y 1F y C P Q 2213y x +=2213x y +=PQ =2PF Q D由已知得，2b =2，b =1，又，解得，∴椭圆方程为，如图：∴，的周长为．故选：ACD．13．（2019·江苏省苏州实验中学高二月考）已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论正确的是（ ）A ．的方程为B ．C ．曲线经过的一个焦点D ．直线与有两个公共点【答案】AC 【解析】对于选项A ：由已知，可得，从而设所求双曲线方程为，又由双曲线过点，从而，即，从而选项A 正确；对于选项B ：由双曲线方程可知，，从而离心率为，所以B 选项错误；c a =222a b c =+23a =2213y x +=22b PQ a ===2PF Q D 4a =C (y x =C 2213x y -=C 21x y e -=-C 10x -=C y =±2213y x =2213x y l -=C (22133l ´-=1l =a =1b =2c =c e a ===对于选项C ：双曲线的右焦点坐标为，满足，从而选项C 正确；对于选项D ：联立，整理，得，由，知直线与双曲线只有一个交点，选项D 错误.故选AC 三、填空题14．（2019·江苏省高三三模）双曲线的焦距为______.【答案】【解析】双曲线的焦距为.故答案为：.15．（2019·重庆巴蜀中学高二期中（理））若双曲线的左焦点在抛物线的准线上，则的值为________.【答案】6【解析】双曲线的左焦点为，即，故.故答案为：.16．（2020·浙江省高三二模）已知椭圆，F 为其左焦点，过原点O 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，点A 在第二象限，且∠FAB ＝∠BFO ，则直线l 的斜率为_____．【答案】【解析】设，则，，且，()2,021x y e -=-221013x x y ì-=ïí-=ïî220y +=2420D =-´=C 2212x y -=2212x y -=2c ==22154x y -=22y px =p 22154x y -=()3,0-32p -=-6p =622197x y C +=：()00,A x y ()00,B x y --00x <00y >2200197x y +=∵F 为其左焦点，∴，AB 的斜率．经分析直线AF 的斜率必存在，设为则，又，，∴，又，，可解得：，，∴直线l的斜率为．故答案为：17．（2019·乐清市知临中学高二期末）已知抛物线的焦点为，定点.若抛物线上存在一点，使最小，则点的坐标为________，最小值是______.【答案】 【解析】根据题意，作垂直于准线，画出几何关系如下图所示：()F tan BFO Ð=10y k x =2k =1212tan 1k k FAB k k -Ð==+FAB BFO Ð=Ð=220002x y ++=2200197x y +=0(3,0)x Î-0x =0y =00y x =22y x =F ()32A ，M MA MF +M ()22，72MH根据抛物线定义可知，，因而当在同一直线上时，的值最小，此时，的纵坐标为2，代入抛物线解析式可知，所以的横坐标为2，即，故答案为：，；四、解答题18．（2018·镇原县第二中学高二期末（文））已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线的准线上.（1）求双曲线的焦点坐标；（2）求双曲线的标准方程.【答案】（1）；（2）【解析】因为抛物线的准线方程为，则由题意得，点是双曲线的左焦点.（1）双曲线的焦点坐标.（2）由（1）得，又双曲线的一条渐近线方程是，所以，，所以双曲线的方程为：.19．（2019·湖南省衡阳市八中高二月考）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且点的横坐标为，．MF MH =,,A M H MA MF +72MA MF AH +==M 42x =M ()2,2M ()2,2M 72()222210,0x y a b a b-=>>y =224y x =()6,0F ±221927x y-=224y x =6x =-()16,0F -()6,0F ±22236a b c +==y =ba=29a =227b =221927x y -=22(0)y px p =>F M M 45MF =（1）求抛物线的方程；（2）设过焦点且倾斜角为的交抛物线于两点，求线段的长．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意得，∴，故抛物线方程为．（2）直线的方程为，即．与抛物线方程联立，得，消，整理得，其两根为，且．由抛物线的定义可知，．所以，线段的长是．20．（2020·陕西省西安市远东一中高二期末（理））已知抛物线C 的顶点为坐标原点O ，对称轴为x 轴，其准线过点.(1)求抛物线C 的方程；(2)过抛物线焦点F 作直线l ，使得抛物线C 上恰有三个点到直线l 的距离都为l 的方程.【答案】(1)；(2)【解析】(1)由题意得，抛物线的焦点在轴正半轴上，设抛物线C 的方程为，因为准线过点，所以，即. 所以抛物线C 的方程为.(2)由题意可知，抛物线C 的焦点为.当直线l 的斜率不存在时，C 上仅有两个点到l 的距离为当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为，F 45°l A B 、AB 24y x =8452p MF +==2p =24y x =l 0tan 45(1)y x -=°⋅-1y x =-214y x y x =-ìí=îy 2610x x -+=12,x x 126x x +=12||628AB x x p =++=+=AB 8()2,1--28y x =20x y ±-=x 22y px =()2,1-22p =4p =28y x =()2,0F ()2y k x =-要满足题意，需使在含坐标原点的弧上有且只有一个点P 到直线l 的距离为，过点P 的直线平行直线且与抛物线C 相切.设该切线方程为，代入，可得.由，得.，整理得，又，解得，即.因此，直线l 方程为.21．（2019·会泽县第一中学校高二月考（理））设抛物线：的焦点为，是上的点．（1）求的方程：（2）若直线：与交于，两点，且，求的值．【答案】（1）（2）.【解析】（1）因为是上的点，所以， 因为，解得，抛物线的方程为.（2）设，，由得，则，，():2l y k x =-y kx m =+24y x =()222280k x km x m +-+=()2222840km k m D =--=2km =224m k =2km =21k =1k =±20x y ±-=C 22(0)x py p =>F (,1)M p p -C C l 2y kx =+C A B 13AF BF ⋅=k 24x y =1k =±(),1M p p -C ()221p p p =-0p >2p =C 24x y =()11,A x y ()22,B x y 224y kx x y=+ìí=î2480x kx --=216320k D =+>124x x k +=128x x =-由抛物线的定义知，，，则，，，解得.22．（2018·民勤县第一中学高二期末（文））在直线：上任取一点，过作以，为焦点的椭圆，当在什么位置时，所作椭圆长轴最短？并求此椭圆方程.【答案】，【解析】设关于：的对称点，则，，连交于，点即为所求点.：，即，解方程组，，当点取异于的点时，.满足题意的椭圆的长轴最短时，，所以，，.椭圆的方程为：.11AF y =+21BF y =+()()()()12121133AF BF y y kx kx ⋅=++=++()2121239k x x k x x =+++24913k =+=1k =±l 90x y -+=M M ()13,0F -()23,0F M ()5,4M -2214536x y +=()13,0F -l 90x y -+=(),F x y 3909220613x y x y y x -ì-+=ï=-ìïÞíí-=îï=-ï+î()9,6F -2F F l M M 2F F 1(3)2y x =--230x y +-=2305904x y x x y y ì+-==-ìÞíí-+==îî()5,4M -'M M 22''FM M F FF +>22a FF ===a =3c =22245936b a c =-=-=2214536x y +=23．（2019·安徽省高二期末（理））已知点为坐标原点椭圆的右焦点为，离心率为，点分别是椭圆的左顶点、上顶点，的边．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线交椭圆于两点直线分别交直线于两点，求．【答案】（1）；（2）0.【解析】（1）如图所示由题意得为直角三角形，且，所以则所以椭圆的标准方程为：.O 2222:1(0)x y C a b a b+=>>F 12,P Q C POQ △PQ C F l A B 、PA PB 、2x a =M N 、FM FN ⋅uuuu r uuu r 22143x y +=POQ △PQ PQ =222a b c =+=ïïî1a b c ìï=íï=î22143x y +=（2）由题意，如图设直线的方程为：，，，则，，联立方程化简得.则.由三点共线易得，化简得，同理可得.．l 1x my =+()11,A x y ()22,B x y ()34,M y ()44,N y 221143x my x y =+ìïí+=ïî22(34)690m y my ++-=122122634934m y y m y y m ì+=-ïï+íï⋅=-ï+î,,P A M ()31100422y y x --=--+13163y y my =+24263y y my =+1234341266(3,)(3,)9933y y FM FN y y y y my my ⋅==+=+⋅++uuuu r uuu r g ()122121236939y y m y y m y y =++++2222222936()36934990969189(34)()3()93434m m m m m m m m m --´+=+=+=--++-+-+++。
单元素养卷圆锥曲线的方程A卷+答案解析(附后)
单元素养卷圆锥曲线的方程A卷命题人:泉州五中高级教师苏文新一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知抛物线的准线经过点，则抛物线的焦点坐标为 ( )A. B. C. D.2.椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为( )A. B. 8 C. D. 43.已知顶点在x轴上的双曲线实轴长为4，其两条渐近线方程为，该双曲线的焦点为( )A. B. C. D.4.党的十八大报告指出，鼓励共同奋斗创造美好生活，不断实现人民对美好生活的向往。
为响应中央号召，某社区决定在现有的休闲广场内修建一个半径为4m的圆形水池来规划喷泉景观.设计如下：在水池中心竖直安装一根高出水面为2m的喷水管水管半径忽略不计，它喷出的水柱呈抛物线型，要求水柱在与水池中心水平距离为处达到最高，且水柱刚好落在池内，则水柱的最大高度为( )A. B. C. D.5.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则实数m的值是( )A. 2B. 或4C.D. 或26.抛物线的焦点为F，其准线与双曲线相交于A，B两点，若为等边三角形，则( )A. B. C. 2 D. 37.如图所示，，是双曲线C：的左、右焦点，过的直线与C的左、右两支分别交于A，B两点．若，则双曲线的离心率为( )A. 2B.C.D.8.已知椭圆的左，右焦点分别是，，若椭圆上存在一点M，使为坐标原点，且，则实数t的值为( )A. 2B.C.D. 1二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.若方程所表示的曲线为C，则下面四个说法中错误的是( )A. 若，则C为椭圆B. 若C为椭圆，且焦点在y轴上，则C. 曲线C可能是圆D. 若C为双曲线，则10.已知双曲线的一条渐近线方程为，则( )A. 为C的一个焦点B. 双曲线C的离心率为C. 过点作直线与C交于两点，则满足的直线有且只有两条D. 设为C上三点且关于原点对称，则斜率存在时其乘积为11.已知曲线C上任意一点到直线的距离比它到点的距离大2，则下列结论正确的是( )A. 曲线C的方程为B. 若曲线C上的一点A到点F的距离为4，则点A的纵坐标是C. 已知曲线C上的两点M，N到点F的距离之和为10，则线段MN的中点横坐标是5D. 已知，P是曲线C上的动点，则的最小值为512.已知椭圆C：，，分别为它的左右焦点，A，B分别为它的左右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有( )A.存在P使得 B. 的最小值为C. ，则的面积为9D. 直线PA与直线PB斜率乘积为定值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
第八章 圆锥曲线方程 阶段质量检测
第八章 圆锥曲线方程一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．设a ≠0，a ∈R ，则抛物线y ＝ax 2的焦点坐标为 ( ) A ．(a 2，0) B ．(0，12a )C ．(a 4，0)D ．(0，14a )解析：先把抛物线的方程化为标准方程的形式， 由y ＝ax 2得，x 2＝1a y ，∴其焦点坐标为(0，14a )．答案：D2．如果双曲线x 213－y 212＝1上一点P 到右焦点的距离等于13，那么点P 到右准线的距离是 ( ) A.135B ．13C ．5D.513解析：由双曲线方程得a 2＝13，b 2＝12， ∴c 2＝25，∴e ＝c a ＝513，由双曲线的第二定义知|PF 2|d ＝e ＝513，而|PF 2|＝13，∴d ＝135.答案：A3．抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过等轴双曲线x 2－y 2＝1的左焦点，则p ＝ ( )A.22B. 2 C ．2 2 D ．4 2解析：双曲线x 2－y 2＝1的左焦点为(－2，0)，故抛物线的准线为x ＝－2，∴p2＝2，p ＝2 2. 答案：C4．两个正数a 、b 的等差中项是52，等比中项是6，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e 等于( )A.52B.53或52 C.133 D.133或132解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝5ab ＝6，解之得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝3. 当a ＝3，b ＝2时，e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝133；当a ＝2，b ＝3时，e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝132.答案：D5．设椭圆C 1的离心率为56，焦点在x 轴上且长轴长为12.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为 ( ) A.x 216－y 29＝1B.x 210－y 25＝1 C.x 29－y 216＝1D.x 25－y 210＝1 解析：由已知得，在椭圆C 1中，a ＝6，c ＝5，由此可得在双曲线C 2中的a ＝4，c ＝5， 故双曲线C 2中的b ＝3，故双曲线C 2的方程为x 216－y 29＝1.答案：A6．如图，有公共左顶点和公共左焦点F 的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半 轴的长分别为a 1和a 2，半焦距分别为c 1和c 2，且椭圆Ⅱ 的右顶点为椭圆Ⅰ的中心．则下列结论不．正确的是( ) A ．a 1＋c 1>a 2＋c 2 B ．a 1－c 1＝a 2－c 2 C ．a 1c 2<a 2c 1 D ．a 1c 2>a 2c 1 解析：由题意知，a 1＝2a 2，c 1>2c 2，∴a 1c 2<a 2c 1. ∴不正确的为D. 答案：D7．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >0，n >0)的焦点在抛物线y 2＝8x 的准线上，离心率为12，则椭圆的方程为( )A.x 212＋y 216＝1B.x 216＋y 212＝1C.x 248＋y 264＝1D.x 264＋y 248＝1解析：抛物线的准线方程为x ＝－2，故椭圆的左焦点坐标为(－2,0)，显然椭圆的焦 点在x 轴上，且c ＝2，又因为离心率为12，所以a ＝4，故b 2＝a 2－c 2＝12.∴椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.答案：B8．若直线mx ＋ny ＝4与圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为 ( )A ．至多一个B ．2C ．1D ．0 解析：∵直线与圆没有公共点， ∴4m 2＋n2 >2，即m 2＋n 2<4. ∴P (m ，n )在椭圆的内部∴过P 点的直线与椭圆必有两个公共点． 答案：B9．若直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A 、B 两个不同的点，且AB 的中点的横坐标 为2，则k ＝( )A ．2或－1B ．－1C ．2D ．1±5解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2y 2＝8x ，消去y 得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0，故Δ＝16(k ＋2)2－16k 2＝64(1＋k )>0，解得k >－1. 又x 1＋x 2＝4(k ＋2)k 2＝4，解之得k ＝2或k ＝－1(舍)．答案：C10．(2010·宁德摸拟)已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F 恰好是双曲线y 2a 2－x 2b2＝1的一个焦点，且两条曲线交点的连线过点F ，则该双曲线的离心率为 ( ) A.2 B ．1±2 C ．1＋ 2 D ．无法确定解析：由题意知p2＝c ，根据圆锥曲线图象的对称性，两条曲线交点的连线垂直于y 轴，对双曲线来说，这两个交点连线的长度是2b 2a ，对抛物线来说，这两个交点连线的长度是2p ，即4c ，得2b 2a ＝4c ，得b 2＝2ac ，得c 2－a 2＝2ac ，得e 2－2e －1＝0，解得e ＝1±2，因为e >1，所以e ＝1＋ 2. 答案：C11．(2010·温州摸拟)在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的一条切线(切点为T )交双曲线的右支于点P ，若M 为FP 的中点， 则|OM |－|MT |等于( )A ．b －aB ．a －b C.a ＋b 2D ．a ＋b解析：如图，F ′是双曲线的右焦点，由双曲线的定义得，|PF |－|PF ′|＝2a .又M 为 PF 的中点，∴|MF |－|OM |＝a ，即|OM |＝|MF |－a . 又直线PF 与圆相切， ∴|FT |＝OF 2－OT 2＝b ，∴|OM |－|MT |＝|MF |－a －(|MF |－|FT |) ＝|FT |－a ＝b －a . 答案：A12．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B (如图所示)，交其准线 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为 ( )A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x解析：点F 到抛物线准线的距离为p ，又由|BC |＝2|BF |得点B 到准线的距离为|BF |， 则|BF ||BC |＝12，∴l 与准线夹角为30°， 则直线l 的倾斜角为60°.由|AF |＝3，如图作AH ⊥HC ， EF ⊥AH ，垂足分别为H 、E ，则AE ＝3－p ， 则cos60°＝3－p 3，故p ＝32.∴抛物线方程为y 2＝3x . 答案：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上． 13．(2009·杭州模拟)直线x ＋2y －2＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于________．解析：直线过点(2,0)和(0,1)，即为椭圆的一个焦点和一个顶点，又a >b >0，∴焦点在 x 轴上，∴c ＝2，b ＝1，a ＝22＋12＝5，∴e ＝255.答案：25514．(2009·湖南高考)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点作圆x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点分别为A ，B .若∠AOB ＝120°(O 是坐标原点)，则双曲线C 的离心率 为________．解析：∵∠AOB ＝120°，∴∠AOF ＝60°. 在Rt △OAF 中，|OA |＝a ，|OF |＝c ， ∴e ＝c a ＝|OF ||OA |＝1cos60°＝2.答案：215．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的距离的最小值等于________． 解析：由抛物线的方程，可设抛物线上点的坐标为(x ，－x 2)，根据点到直线的距离 公式得d ＝|4x ＋3(－x 2)－8|42＋32＝35(x －23)2＋43，所以当x ＝23时，d 取得最小值43.答案：4316．已知双曲线x 29－y 216＝1的右焦点为F ，点A (9,2)，试在双曲线上求一点M ，使||MA ＋35||MF 的值最小，那么这个最小值是________． 解析：由已知，35与双曲线的离心率53互为倒数．因而35|MF |＝|MF |e ＝d (d 为点M 到相应准线的距离)，所以求|MA |＋35|MF |的最小值，即求|MA |＋d 的最小值．作右准线l ，作MN ⊥l 于N ，AA ′⊥l 于A ′. 由x 29－y 216＝1，可知e ＝53，∴|MF ||MN |＝53，∴|MA |＋35|MF |＝|MA |＋|MN |≥|AA ′|，因此，当A ，M ，N 三点共线时，|MA |＋|MN |最小，M 为AA ′与双曲线右支的交点， M (325，2)，∴|MA |＋35|MF |的最小值为9－a 2c ＝9－95＝365.答案：365三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率为45，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上有一点P ，∠F 1PF 2＝π3，且△PF 1F 2的面积为33，求椭圆的方程．解：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1(－c,0)、F 2(c,0)．因为点P 在椭圆上，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2a . 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得 |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos π3＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1|·|PF 2|， 即4c 2＝4a 2－3|PF 1|·|PF 2|.又因S △PF 1F 2＝33，所以12|PF 1|·|PF 2|sin π3＝33，得|PF 1|·|PF 2|＝12.所以4c 2＝4a 2－36，得b 2＝9，即b ＝3. 又e ＝c a ＝45，故a 2＝259b 2＝25，所以所求椭圆的方程为x 225＋y 29＝1.18．(本小题满分12分)已知点(x ，y )在曲线C 上，将此点的纵坐标变为原来的2倍，对应的横坐标不变，得到的点满足方程x 2＋y 2＝8；定点M (2,1)，平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m (m ≠0)，直线l 与曲线C 交于A ，B 两个不同点． (1)求曲线C 的方程； (2)求m 的取值范围．解：(1)在曲线C 上任取一个动点P (x ，y )， 则点(x,2y )在圆x 2＋y 2＝8上． 所以有x 2＋(2y )2＝8.整理得曲线C 的方程为x 28＋y 22＝1.(2)∵直线l 平行于OM ，且在y 轴上的截距为m ， 又k OM ＝12，∴直线l 的方程为y ＝12x ＋m .由⎩⎨⎧y ＝12x ＋m ，x 28＋y22＝1.得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0∵直线l 与椭圆交于A 、B 两个不同点， ∴Δ＝(2m )2－4(2m 2－4)>0， 解得－2<m <2且m ≠0.∴m 的取值范围是－2<m <0或0<m <2.19．(本小题满分12分)已知平面上一定点C (2,0)和直线l ：x ＝8，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且(PC ＋12PC )·(PC －12PQ )＝0.(1)问点P 在什么曲线上？并求出该曲线的方程；(2)若EF 为圆N ：x 2＋(y －1)2＝1的任一条直径，求PE ·PF的最大值． 解：(1)设P (x ，y )，则Q (8，y )．由(PC ＋12PQ )·(PC －12PQ)＝0得：|PC |2－14|PQ |2＝0，即(x －2)2＋y 2－14(x －8)2＝0，化简得x 216＋y 212＝1.所以点P 在椭圆上，其方程为x 216＋y 212＝1.(2)PE ·PF ＝(NE －NP )·(NF －NP) ＝(－NF －NP )·(NF －NP)＝(－NP )2－NF 2＝NP 2－1，P 是椭圆x 216＋y 212＝1上的任一点，设P (x 0，y 0)，则有x 2016＋y 2012＝1，即x 20＝16－4y 203. 又N (0,1)，所以NP 2＝x 20＋(y 0－1)2＝－13y 20－2y 0＋17＝－13(y 0＋3)2＋20， 因为y 0∈[－23，23]，所以当y 0＝－3时，NP 2取最大值20，故PE ·PF 的最大值为19.20．(本小题满分12分)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (0,2)，离心率e ＝63.(1)求椭圆的方程；(2)直线l ：y ＝kx －2(k ≠0)与椭圆相交于不同的两点M 、N ，且满足MP ＝PN， AP ·MN＝0，求直线l 的方程． 解：(1)设c ＝a 2－b 2，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝63，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，6a 2＝9a 2－9b 2， ∴a 2＝3b 2＝12，即椭圆方程为x 212＋y 24＝1.(2)∵MP ＝PN ，AP ·MN＝0，∴AP ⊥MN ， 且点P 是线段MN 的中点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 212＋y 24＝1消去y 得x 2＋3(kx －2)2＝12， 即(1＋3k 2)x 2－12kx ＝0，(*)由k ≠0，得方程(*)中Δ＝(－12k )2＝144k 2>0，显然方程(*)有两个不相等的实数根． 设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，线段MN 的中点P (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝12k 1＋3k 2，∴x 0＝x 1＋x 22＝6k1＋3k 2. ∴y 0＝kx 0－2＝6k 2－2(1＋3k 2)1＋3k 2＝－21＋3k 2，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫6k 1＋3k 2，－21＋3k 2.∵k ≠0，∴直线AP 的斜率为k 1＝－21＋3k 2－26k 1＋3k 2＝－2－2(1＋3k 2)6k .由MN ⊥AP ，得－2－2(1＋3k 2)6k ·k ＝－1，∴2＋2＋6k 2＝6，解得k ＝±33，故直线方程为y ＝±33x －2.21．(本小题满分12分)抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，直线x ＋y －1＝0 与抛物线相交于A 、B 两点，且|AB |＝8611.(1)求抛物线的方程；(2)在x 轴上是否存在一点C ，使△ABC 为正三角形？若存在，求出C 点的坐标；若 不存在，请说明理由．解：(1)设所求抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，x ＋y －1＝0，消去y ，得x 2－2(1＋p )x ＋1＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2(1＋p )，x 1·x 2＝1. ∵|AB |＝8611，∴(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝8611， ∴121p 2＋242p －48＝0.∴p ＝211或－2411(舍)．∴抛物线的方程为y 2＝411x .(2)设AB 的中点为D ，则D (1311，－211)．假设x 轴上存在满足条件的点C (x 0,0)， ∵△ABC 为正三角形，∴CD ⊥AB ，∴k CD ＝1， ∴x 0＝1511.∴C (1511，0)，∴|CD |＝2211.又∵|CD |＝32|AB |＝12211，故矛盾， ∴x 轴上不存在点C ，使△ABC 为正三角形．22．(本小题满分12分)(2010·启东模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，直线l 为圆O ：x 2＋y 2＝b 2的一条切线，且经过椭圆C 的右焦点，记椭圆C 的离心率为e . (1)若直线l 的倾斜角为π6，求e 的值；(2)是否存在这样的e ，使得原点O 关于直线l 的对称点恰好在椭圆C 上？若存在，请 求出e 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)设椭圆C 的右焦点为(c,0)，则c ＝a 2－b 2，所以直线l 的方程为y ＝(x －c )×tan π6，即x －3y －c ＝0.因为直线l 与圆O 相切，所以圆心O 到直线l 的距离|－c |2＝b ，即b＝12c .所以a 2＝b 2＋c 2＝54c 2，从而离心率e ＝c a ＝255.(2)假设存在满足条件的e .显然直线l 的斜率不为0，不妨设直线l 的方程为x ＝my ＋c ， 即x －my －c ＝0.因为直线l 与圆O 相切，所以圆心O 到直线l 的距离|－c |1＋m 2＝b ，即m 2＝c 2b 2－1.①设原点O 关于直线l 的对称点为点O ′(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧y 0x 0＝－m x 02＝m y2＋c，解得⎩⎨⎧x 0＝2cm 2＋1y 0＝－2mcm 2＋1，因为点O ′在椭圆C 上，所以x 20a 2＋y 20b2＝1，即4c 2a 2(m 2＋1)2＋4m 2c 2b 2(m 2＋1)2＝1.②将①代入②，化简得b 2＝3c 2，由①可得， 此时m 2＝c 2b 2－1＝－23，不成立．故不存在符合条件的e .。
高三数学圆锥曲线与方程
圆锥曲线与方程1． 已知动抛物线的准线为x 轴，且经过点（0，2），求抛物线的顶点轨迹方程。
解：设抛物线的顶点坐标为)2,(),,(y x y x 则焦点坐标为， ……………………3分由题意得4)22(22=-+y x ， ………………6分即顶点的轨迹方程为.1)1(422=-+y x ………………8分 2.动点P 在x 轴与直线l ：y ＝3之间的区域（含边界）上运动，且到点F （0，1）和直线l的距离之和为4．（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）过点(0,1)Q -作曲线C 的切线，求所作的切线与曲线C 所围成区域的面积． 【解】（1）设P （x ，y ）＋3－y ＝4，化简，得y ＝14x 2（y ≤3）．…………………4分（2）设过Q 的直线方程为y ＝kx －1，代入抛物线方程，整理得x 2－4kx ＋4＝0． 由△＝16k 2－16＝0．解得k ＝±1．于是所求切线方程为y ＝±x －1（亦可用导数求得切线方程）. 切点的坐标为（2，1），（－2，1）．由对称性知所求的区域的面积为S ＝220132(1)d .44x x x ⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦⎰ ………………… 10分 3．已知圆F 1：(x ＋1)2＋y 2＝16，定点F 2(1，0)．动圆M 过点F 2，且与圆F 1相内切．（1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）若过原点的直线l 与（1）中的曲线C 交于A ，B 两点，且△ABF 1的面积为32，求直线l 的方程．解：（方法一）（1）设圆M 的半径为r ． 因为圆M 与圆F 1相内切，所以MF 1＝4－r ． 因为圆M 过点F 2，所以MF 2＝r ．所以MF 1＝4－MF 2，即MF 1＋MF 2＝4．………2分 所以点M 的轨迹C 是以F 1，F 2为焦点的椭圆．………且此椭圆的方程形式为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．其中2a ＝4，c ＝1，所以a ＝2，b ＝3．……………4分所以曲线C 的方程x 24＋y 23＝1．……………5分（方法二）设M (x ,y),由MF 1＋MF 2＝4得4= ……3分化简得x 24＋y 23＝1,所以曲线C 的方程x 24＋y 23＝1．…5分（2）（方法一）当直线l 的斜率不存在时， A ，B 两点的坐标分别是(0，3)，(0，－3)，此时S △ABF 1＝3≠32，不合题意．………………………………………………………6分设直线l 的方程为y ＝kx (k ≠0)，代入椭圆方程x 24＋y 23＝1，得y 1＝12k 23＋4k 2，y 2＝－12k 23＋4k 2．所以S △ABF 1＝S △AOF 1＋S △BOF 1＝12OF 1⋅∣y 1∣＋12OF 1⋅∣y 2∣＝12OF 1⋅(y 1－y 2)＝12k 23＋4k 2．……………………………………………7分因为S △ABF 1＝32，所以12k 23＋4k2＝32．解得k ＝±12． …………………………8分 故所求直线l 的方程为x ±2y ＝0．……………………………………………………10分 （方法二）因为直线l 过椭圆的中心，由椭圆的对称性可知，S △ABF 1＝2S AOF 1．因为S △ABF 1＝32，所以S AOF 1＝34． ………………………………6分 不妨设点A (x 1，y 1)在x 轴上方，则S AOF 1＝12⋅OF 1⋅y 1＝34．所以y 1＝32，x 1＝±3，即点A 的坐标为(3，32)或(－3，32)． (8)分所以直线l 的斜率为±12．故所求的直线l 的方程为x ±2y ＝0．…………………………………………………10分 4. 点(,)n n n P x y 在曲线:xC y e -=上，曲线C 在n P 处的切线n l 与x 轴相交于点1(,0)n n Q x +,直线1n t +：1n x x +=与曲线C 相交于点111(,)n n n P x y +++，（1,2,3,n =L ）.由曲线C 和直线n l ，1n t +围成的图形面积记为n S ，已知11x =.（1）证明：11n n x x +=+； （2）求n S 关于n 的表达式；（3）若数列{}n S 的前n 项之和为n T ，求证：11n n n nT x T x ++<（1,2,3,n =L ）.解（Ⅰ）证明：因为x y e -=，所以xy e -'=-，则切线n l 的斜率nx n k e -=-，所以切线n l 的方程为()nx n n y y ex x --=--，令0y =，得1n Q n x x =+，即11n n x x +=+·2分（Ⅱ）解：因为11x =，所以n x n =，所以11111(2)()()|222n nn x xx n n n n n n n x e e S e dx x x y e e e +---+-+-=--⋅=--⨯=⎰ ·5分（Ⅲ）证明：因为12(2)2()(1)22(1)n n n e e T e e e e e e e ------=++⋅⋅⋅+=--， 所以1111111111n n n n n n n T e e e T e e e e e --++-++---===+---，又1111n nx n x n n ++==+， 故要证11n n n n T x T x ++<，只要证111n e e e n+-<-，即要证1(1)n e e n e +>-+·7分下用数学归纳法（或用二项式定理，或利用函数的单调性）等方法来 证明1(1)n ee n e +>-+（略）·10分5．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点在原点，焦点F 的坐标为（1，0）． （1）求抛物线C 的标准方程；（2）设M 、N 是抛物线C 的准线上的两个动点，且它们的纵坐标之积为－4，直线MO ，NO 与抛物线C 的交点分别为点A 、B ．求证：动直线AB 恒过一个定点．解：（1）设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p ＞0)，则p2＝1，p ＝2．所以抛物线C 的标准方程为y 2＝4x ．………………………………………………3分 （2）(方法一)抛物线C 的准线方程为x ＝－1，设M (－1，y 1)、N (－1，y 2)， 其中y 1y 2＝－4．则直线MO 的方程为：y ＝－y 1x ． 将y ＝－y 1x 与y 2＝4x 联立方程组．解得A 点坐标为(4y 21，－4y 1)．同理可得B 点坐标为(4y 22，－4y 2)．则直线AB 的方程为：y ＋4y 1－4y 2＋4y 1＝x －4y 214y 22－4y 21．整理，得(y 1＋y 2)y －4x ＋4＝0．由⎩⎨⎧y ＝0，－4x ＋4＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝0．故动直线AB 恒过一个定点(1，0)．………………10分(方法二)抛物线C 的准线方程为x ＝－1，设M (－1，y 1)、N (－1，y 2)． 由于y 1y 2＝－4，取y 1＝2，则y 2＝－2，可得M (－1，2)、N (－1，－2)．此时直线MO 的方程分别为y ＝－2x ，由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝－2x ．解得A 点坐标为(1，－2)．同理，可得B 点坐标为(1，2)．则直线AB 的方程为l 1：x ＝1． 再取y 1＝1，则y 2＝－4，同理可得A (4，－4)，B (14，1)．此时直线AB 方程为l 2：4x ＋3y －4＝0．于是可得l 1与l 2的交点为(1，0)． 下面验证对任意的y 1，y 2，当y 1y 2＝－4时，动直线AB 恒过一个定点(1，0)． 直线MO 的方程为：y ＝－y 1x ． 将y ＝－y 1x 与y 2＝4x 联立方程组．解得A 点坐标为（4y 21，－4y 1）．同理可得B 点坐标为（4y 22，－4y 2）．则直线AB 的方程为：y ＋4y 1－4y 2＋4y 1＝x －4y 214y 22－4y 21．整理，得(y 1＋y 2)y －4x ＋4＝0． 可得点(1，0)在直线AB 上．所以动直线AB 恒过一个定点(1，0)．………………………………………………10分 6.（本题满分10分）在平面直角坐标系xoy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点(2,2)A ，其焦点F 在x 轴上。
高三圆锥曲线大题
高三圆锥曲线大题
圆锥曲线大题是高中数学中的一个重要题型，主要涉及椭圆、双曲线和抛物线等圆锥曲线的性质和应用。
以下是一些高三圆锥曲线大题的常见类型和解题技巧：
1.求圆锥曲线的方程：给定一些条件（如焦点、顶点、离心率等），
要求出圆锥曲线的方程。
这类题目需要掌握圆锥曲线的标准方
程和性质，以及如何利用这些条件求解方程。
2.求圆锥曲线的交点：给定两个圆锥曲线方程，要求它们的交点
坐标。
这类题目需要联立两个方程，通过解方程组得到交点坐
标。
在解方程组时，需要运用代数运算和韦达定理等数学知识。
3.求圆锥曲线的离心率：给定圆锥曲线的方程和焦点，要求离心
率。
这类题目需要利用离心率的定义和公式，通过计算得到离
心率。
4.判断圆锥曲线的位置关系：给定两个圆锥曲线，判断它们的位
置关系（如相交、相切、相离等）。
这类题目需要利用圆锥曲线
的几何性质，通过比较半径、距离等参数来判断位置关系。
解题技巧：
1.熟悉圆锥曲线的标准方程和性质，能够灵活运用它们解决问题。
2.掌握代数运算和韦达定理等数学知识，能够熟练处理方程组和
解的问题。
3.注意圆锥曲线的几何性质，如对称性、焦点、离心率等，能够
利用它们简化问题和提高解题效率。
4.多做练习题，熟悉不同类型的圆锥曲线大题，提高解题能力和
思维水平。
高三数学：圆锥曲线与方程
第八章圆锥曲线的方程脑图一、第一定义【利用第一定义求轨迹】例1．（Ⅰ）若ABC ∆的两个顶点坐标为()4,0A -，()4,0B ，ABC ∆的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为 ．（Ⅱ）设点Q 是圆C ：25)1(22=++y x 上一动点，点()1,0A 是圆内一点，AQ 的垂直平分线与CQ 交于点M ，求点M 的轨迹方程．（Ⅲ）动圆M 过定点(4,0)P -，且与圆C ：22(4)16x y -+=相切，求动圆圆心M 的轨迹方程．（Ⅳ）已知1F 、2F 分别为双曲线22221x y a b-=的左、右焦点，点P 为右支上一点，过1F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为M ，求点M 的轨迹． （Ⅴ）——见《直线和圆的方程脑图》例8（Ⅲ）（Ⅳ）．【焦点三角形问题】例2．（Ⅰ）已知P 是椭圆2214x y +=上一点，12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，且1260F PF ∠=︒，则12F PF ∆的面积是 ． （Ⅱ）双曲线221916x y -=的左、右焦点分别是12F F 、，点P 在双曲线上，且直线1PF 、2PF 倾斜角之差为3π，则12F PF ∆的面积为 ． （Ⅲ）在椭圆2214520x y +=上求一点P ，使它与两焦点12F F 、的连线互相垂直． （Ⅳ）12F F 、是椭圆22194x y +=的两个焦点，点P 为其上一动点，当12F PF ∠为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是 ． （Ⅴ）设12F F 、是双曲线2214x y -=的两个焦点，点P 在双曲线上，当12F PF ∆的面积为1时，12PF PF ⋅ 的值是 ．【利用第一定义求最值】例3．（Ⅰ）已知F 是椭圆22195x y +=的左焦点，P 是椭圆上一动点，(1,1)A 为一定点，求PA PF +的最值． （Ⅱ）若P 为双曲线2213x y -=的右支上一动点，F 为双曲线右焦点，已知()3,1A ，求PA PF +的最小值．二、第二定义【利用第二定义求轨迹】例4．（Ⅰ）已知动点(),M x y 满足|43|)2()1(22y x y x +=-+-，则点M 的轨迹是A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．两条相交直线（Ⅱ）已知圆A ：()2221x y ++=与定直线l ：1x =，动圆M 和圆A 外切且与直线l 相切，求动圆的圆心M 的轨迹方程． （Ⅲ）已知圆的方程为224x y +=，动抛物线过点(1,0)A -、(1,0)B ，且以圆的切线为准线，求抛物线焦点的轨迹方程．（Ⅳ）——见《直线和圆的方程脑图》例8（Ⅱ）、例9（Ⅱ）（Ⅸ）．【利用第二定义求最值】例5．（Ⅰ）已知F 是椭圆22195x y +=的左焦点，P 是椭圆上一动点，(1,1)A 为一定点，求32PA PF +的最小值．（Ⅱ）若P 为双曲线2213x y -=的右支上一动点，F 为双曲线右焦点，已知()3,1A ，求（1）PA 的最小值． （Ⅲ）若F 为抛物线x y 22=的焦点，点M 在抛物线上移动，)2,3(A ，求MF MA +的最小值．（Ⅳ）已知点P 是抛物线2y = 2x 上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是7,42⎛⎫⎪⎝⎭，则PA PM +的最小值是 A ．211 B ．4 C ．29 D ．5【焦半径公式】 例6．（Ⅰ）已知点P 在椭圆()222210x y a b a b+=>>上，12F F 、为椭圆的左右焦点，求12PF PF ⋅的取值范围． （Ⅱ）双曲线222x y a -=的两个焦点分别为12F F 、，P 为双曲线上的任意一点，求证：1PF 、PO 、2PF 成等比数列．（Ⅲ）已知抛物线24y x =的一条焦点弦被焦点分成为m 、n 的两部分，求证：m n m n +=⋅． （Ⅳ）若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，在右支上有一点P ，且P 到左焦点1F 与到右焦点2F 的距离之比为4：3，求P 点的横坐标． （Ⅴ）在双曲线2211213y x -=的一支上有不同的三点()11,A x y 、()2,6B x ，()33,C x y 与焦点()0,5F 的距离成等差数列，求13y y +．三、标准方程【待定系数法求圆锥曲线方程】例7．（Ⅰ）已知椭圆焦点在x 轴上，焦距等于4，并且经过点(3,P ，求椭圆的标准方程．（Ⅱ）已知椭圆经过两点)2A -，()B -，求椭圆的标准方程． （Ⅲ）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点()2,6-，求椭圆的标准方程．（Ⅳ）双曲线2222mx my -=的一条准线是1y =，则m 的值为 ．（Ⅴ）已知双曲线的右准线为4x =，右焦点为()10,0F ，离心率2e =，求双曲线方程．（Ⅵ）求与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且经过点(M -的双曲线方程． （Ⅶ）求以椭圆221133x y +=的焦点为焦点，以直线12y x =±为渐近线的双曲线的方程． （Ⅷ）k 为何值时，方程22121x y k k +=--表示①圆；②椭圆；③双曲线？（Ⅸ）抛物线()210y x a a=≠的焦点坐标是 ． （Ⅹ）已知抛物线的准线为2y =，求抛物线的标准方程． （Ⅺ）已知抛物线的焦点在x 轴上，且()2,3A -到焦点的距离是5，求抛物线的标准方程．（Ⅻ）已知抛物线焦点在x 轴上且截直线210x y -+=【利用椭圆的参数方程求最值】例8．已知实数x 、y 满足2214x y +=，①求222u x y y =+-的取值范围；②求v x y =+的取值范围．四、几何性质【求离心率】例9．（Ⅰ）已知12F F 、为椭圆()222210x y a b a b+=>>的焦点，M 为椭圆上一点，1MF 垂直于x 轴，且1260F MF ∠=︒，求离心率． （Ⅱ）椭圆()222210x y a b a b +=>>的左焦点为F ，(),0A a -，()0,B b 是两个顶点，如果F 到直线AB ，求椭圆的离心率． （Ⅲ）椭圆()222210x y a b a b+=>>的两焦点为12F F 、，以12F F 、为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两条边，则椭圆的离心率为 ． （Ⅳ）已知双曲线的两条渐近线方程是34y x =±，求此双曲线的离心率． （Ⅴ）设双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的右焦点为F ，右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两点，如果PQF ∆是直角三角形，则双曲线的离心率是 ． （Ⅵ）已知12F F 、是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅= 的点总在椭圆内部，求椭圆离心率的取值范围． （Ⅶ）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 A ．(]1,2 B ．()1,2 C ．[)2,+∞ D ．()2,+∞五、直线与圆锥曲线的位置关系【有一个公共点】例10．（Ⅰ）已知椭圆2288x y +=，在椭圆上求一点P ，使P 到直线l ：40x y -+=的距离最小并求出最小值． （Ⅱ）求经过点1,22⎛⎫⎪⎝⎭且与双曲线2241x y -=仅有一个公共点的直线方程．【有两个不同交点】——韦达定理【弦长】例11．（Ⅰ）抛物线212y x =截直线21y x =+所得弦长等于 ．（Ⅱ）已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，直线1y x =+与该椭圆相交于P 和Q ，且OP OQ ⊥ ，PQ =，求椭圆方程． 【弦中点】例12．（Ⅰ）已知椭圆2212x y +=，①求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；②过()2,1A 的直线l 与椭圆相交，求l 被截得的弦的中点轨迹方程；③过点11,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭且被P 点平分的弦所在直线的方程． （Ⅱ）已知双曲线2212y x -=，①过定点()2,1P 作直线交双曲线于12P P 、点，使P 点是12PP 的中点，求此直线方程；②过定点()1,1Q 能否作直线l ，使l 与双曲线相交于两点1Q 、2Q ，且Q 是12Q Q 的中点？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由．【垂直】例13．（Ⅰ）若直线l ：1y ax =+与双曲线2231x y -=交于A 、B 两点,且以AB 为直径的圆过原点，求a 的值.（Ⅱ）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．①求椭圆C 的标准方程；②若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A 、B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标． 【对称】例14．（Ⅰ）已知椭圆C 的方程为22143x y +=，试确定m 的取值范围，使得对于直线4y x m =+，椭圆C 上有不同的两个点关于该直线对称． （Ⅱ）已知抛物线212y x =上总存在关于直线4y x m =+对称的两点，则实数m 的取值范围是 ．【数量积】例15．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()2,0，右顶点为)，①求双曲线C 的方程；②若直线y kx =C 有两个不同的交点A 和B ，且2OA OB ⋅> （O 为原点），求k 的取值范围．【面积】例16．（Ⅰ）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点为()12,0F -、()22,0F ，点(3,P 在双曲线C 上．①求双曲线C 的方程；②记O 为坐标原点，过点()0,2Q 的直线l 与双曲线C相交于不同两点E 、F ，若OEF ∆的面积为l 的方程．（Ⅱ）已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点是()13,0F -20y -=． ①求双曲线C 的方程；②若以()0k k ≠为斜率的直线l 与双曲线C 相交于不同两点,M N ，且线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为812，求k 的取值范围．答案一、第一定义【利用第一定义求轨迹】例1．（Ⅰ）()2210259x y y +=≠．（Ⅱ）224412521x y +=（Ⅲ）221412x y -= （Ⅳ）222x y a +=（Ⅴ）——见《直线和圆的方程脑图》例8（Ⅲ）（Ⅳ）．【焦点三角形问题】例2．（Ⅱ）（Ⅲ）()3,4()3,4-()3,4-()3,4--（Ⅳ）x <<（Ⅴ）0． 【利用第一定义求最值】例3．（Ⅰ）66二、第二定义【利用第二定义求轨迹】例4．（Ⅰ）B （Ⅱ）28y x =-（Ⅲ）22143x y += （Ⅳ）——见《直线和圆的方程脑图》例8（Ⅱ）、例9（Ⅱ）（Ⅸ）．【利用第二定义求最值】例5．（Ⅰ）112（Ⅱ）32（Ⅲ）72（Ⅳ）C 【焦半径公式】 例6．（Ⅰ）2212b PF PF a ≤⋅≤（Ⅱ）证略（Ⅲ）证略（Ⅳ）20x =12三、标准方程【待定系数法求圆锥曲线方程】例7．（Ⅰ）2213632x y +=（Ⅱ）221155x y +=（Ⅲ）22114837x y +=或2215213x y +=（Ⅳ）43-． （Ⅴ）()22211648x y --=（Ⅵ）2219164x y -=或221944x y -=（Ⅶ）22182x y -= （Ⅷ）①32k =②3122k k <<≠且③21k k ><或（Ⅸ）0,4a ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（Ⅹ）28x y =- （Ⅺ）28y x =或224y x =- （Ⅻ）212y x =或24y x =-【利用椭圆的参数方程求最值】例8．①131,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；②⎡⎣四、几何性质【求离心率】例9．（Ⅱ）121．（Ⅳ）54e =或53（Ⅵ）⎛ ⎝⎭（Ⅶ）C 五、直线与圆锥曲线的位置关系【有一个公共点】例10．（Ⅰ）31,83P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，min d =（Ⅱ）5324y x =+，21y x =+，23y x =-+和12x = 【有两个不同交点】——韦达定理 【弦长】例11．（Ⅱ）221223x y +=或221223x y += 【弦中点】例12．（Ⅰ）①444033x y x ⎛⎫+=-<< ⎪⎝⎭②222220x y x y +--=③2430x y +-= （Ⅱ）①470x y --=②不存在【垂直】例13．（Ⅰ）1a =±（Ⅱ）①22143x y +=②2(,0)7 【对称】例14．（Ⅰ）1313x -<<（Ⅱ）216m <-． 【数量积】例15．1,⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【面积】例16．（Ⅰ）①22122x y -=②2y =+ （Ⅱ）①22145x y -=②55,,44⎛⎫⎛⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
高三数学圆锥曲线试题答案及解析
高三数学圆锥曲线试题答案及解析1.设、是定点，且均不在平面上,动点在平面上,且，则点的轨迹为（）A．圆或椭圆B．抛物线或双曲线C．椭圆或双曲线D．以上均有可能【答案】D【解析】以为高线，为顶点作顶角为的圆锥面，则点就在这个圆锥面上，用平面截这个圆锥面所得截线就是点的轨迹，它可能是圆、椭圆、抛物线、双曲线，因此选D.【考点】圆锥曲线的性质.2.已知点是双曲线右支上一点，是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段的中垂线，则该双曲线的离心率是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】设直线:求直线与渐近线的交点,解得：是的中点，利用中点坐标公式，得,在双曲线上，所以代入双曲线方程得：,整理得,解得.故选D.【考点】1.双曲线的几何性质；2.双曲线的方程.3.已知椭圆的焦点重合，则该椭圆的离心率是．【答案】【解析】抛物线的焦点为,椭圆的方程为：,所以离心率.【考点】1、椭圆与抛物线的焦点；2、圆的离心率.4.已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由条件得：，即，而，渐近线为，在上，所以，得，所以双曲线方程为.【考点】1.双曲线方程的求法；2.双曲线的渐近线.5.已知动点到定点和的距离之和为.（Ⅰ）求动点轨迹的方程；（Ⅱ）设，过点作直线，交椭圆异于的两点，直线的斜率分别为，证明：为定值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明过程详见解析.【解析】本题考查椭圆的基本量间的关系及韦达定理的应用.第一问是考查椭圆的基本量间的关系，比较简单；第二问是直线与椭圆相交于两点，先设出两点坐标，本题的突破口是在消参后的方程中找出两根之和、两根之积，整理斜率的表达式，但是在本问中需考虑直线的斜率是否存在，此题中蕴含了分类讨论的思想的应用.试题解析：（Ⅰ）由椭圆定义，可知点的轨迹是以为焦点，以为长轴长的椭圆．由，得．故曲线的方程为． 5分（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设其方程为，由，得． 7分设，，，．从而．11分当直线的斜率不存在时，得，得．综上，恒有． 12分【考点】1.三角形面积公式；2.余弦定理；3.韦达定理；4.椭圆的定义.6.已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由条件得：，即，而，渐近线为，在上，所以，得，所以双曲线方程为.【考点】1.双曲线方程的求法；2.双曲线的渐近线.7.已知椭圆的中心在坐标原点，右准线为，离心率为．若直线与椭圆交于不同的两点、，以线段为直径作圆.（1）求椭圆的标准方程；（2）若圆与轴相切，求圆被直线截得的线段长.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先根据题中的条件确定、的值，然后利用求出的值，从而确定椭圆的方程；（2）先确定点的坐标，求出圆的方程，然后利用点（圆心）到直线的距离求出弦心距，最后利用勾股定理求出直线截圆所得的弦长.试题解析：（1）设椭圆的方程为，由题意知，，解得，则，，故椭圆的标准方程为 5分（2）由题意可知，点为线段的中点，且位于轴正半轴，又圆与轴相切，故点的坐标为，不妨设点位于第一象限，因为，所以， 7分代入椭圆的方程，可得，因为，解得， 10分所以圆的圆心为，半径为，其方程为 12分因为圆心到直线的距离 14分故圆被直线截得的线段长为 16分【考点】椭圆的方程、点到直线的距离、勾股定理8.已知为抛物线的焦点，抛物线上点满足（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）点的坐标为(,)，过点F作斜率为的直线与抛物线交于、两点，、两点的横坐标均不为，连结、并延长交抛物线于、两点，设直线的斜率为,问是否为定值，若是求出该定值，若不是说明理由.【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）利用抛物线的定义得到，再得到方程；（Ⅱ）利用点的坐标表示直线的斜率，设直线的方程，通过联立方程，利用韦达定理计算的值.试题解析：（Ⅰ）由题根据抛物线定义，所以，所以为所求． 2分（Ⅱ）设则，同理 4分设AC所在直线方程为，联立得所以， 6分同理 (8分)所以 9分设AB所在直线方程为联立得， 10分所以所以 12分【考点】抛物线标准方程，直线与抛物线位置关系的应用.9.极坐标系中椭圆C的方程为以极点为原点，极轴为轴非负半轴，建立平面直角坐标系，且两坐标系取相同的单位长度. （Ⅰ）求该椭圆的直角标方程；若椭圆上任一点坐标为，求的取值范围；（Ⅱ）若椭圆的两条弦交于点，且直线与的倾斜角互补，求证:.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析【解析】将椭圆的极坐标方程转化为一般标准方程，再利用换元法求范围，利用参数方程代入，计算得到结果.试题解析：(Ⅰ)该椭圆的直角标方程为， 2分设，所以的取值范围是 4分（Ⅱ）设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则直线的参数方程为（为参数），（5分）代入得：即 7分同理 9分所以（10分）【考点】极坐标、参数方程，换元法应用.10.已知直线，，过的直线与分别交于，若是线段的中点，则等于（）A．12B．C．D．【答案】B【解析】设、，所以、．所以．故选B．【考点】两点之间的距离点评：主要是考查了两点之间的距离的运用，属于基础题。
(18)“圆锥曲线与方程”单元测试
“圆锥曲线与方程”单元测试(第一卷)一、选择题：（每小题5分，计50分）1、(2008海南、宁夏文)双曲线1102x y -=的焦距为（ ）D.2.（2004全国卷Ⅰ文、理）椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的 直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF = （ ）A ．23B ．3C ．27D ．43．（2006辽宁文）方程22520x x -+=的两个根可分别作为（ ）Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率 Ｄ．两椭圆的离心率4．（2006四川文、理）直线ｙ＝ｘ－3与抛物线x y 42=交于A 、B 两点，过A 、B 两点向 抛物线的准线作垂线，垂足分别为P 、Q ，则梯形APQB 的面积为（ ） （A ）48. （B ）56 （C ）64 （D ）72.5.(2007福建理)以双曲线116922=-y x 的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是( )A . B.C . D.6．（2004全国卷Ⅳ理）已知椭圆的中心在原点，离心率21=e ，且它的一个焦点与抛物线 x y 42-=的焦点重合，则此椭圆方程为（ ）A ．13422=+y x B ．16822=+y x C ．1222=+y x D ．1422=+y x7．（2005湖北文、理）双曲线)0(122≠=-mn ny m x 离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为（ ） A ．163 B ．83 C ．316 D ．388. (2008重庆文)若双曲线2221613x y p-=的左焦点在抛物线y 2=2px 的准线上,则p 的值为 ( )(A)2 (B)3 (C)49．（2002北京文）已知椭圆1532222=+n y m x 和双曲线1322222=-n y m x 有公共的焦点，那么 双曲线的渐近线方程是（ ） A ．y x 215±= B ．x y 215±= C ．y x 43±= D ．x y 43±=10．（2003春招北京文、理）在同一坐标系中，方程)0(0122222>>=+=+b a by ax by a x 与的曲线大致是( )二、填空题：（每小题5分，计20分）11. （2005上海文）若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是()0,152，则椭圆的标准方程是_________________________12．(2008江西文)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线方程为y x =，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ．13.（2007上海文）以双曲线15422=-y x 的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的 抛物线方程是 ．14.(2008天津理)已知圆C 的圆心与抛物线x y 42=的焦点关于直线x y =对称.直线0234=--y x与圆C 相交于B A ,两点，且6=AB ,则圆C 的方程为 .“圆锥曲线与方程”单元测试(第二卷)11._______________, 12.________________, 13.________________, 14.________________.三、解答题：（15—18题各13分，19、20题各14分）15.（2006北京文）椭圆C:22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆C 上，且11212414,||,||.33PF F F PF PF ⊥== （Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若直线l 过圆x 2+y 2+4x-2y=0的圆心M , 交椭圆C 于,A B 两点, 且A 、B 关于点M 对称,求直线l的方程..16．（2005重庆文）已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3( （1）求双曲线C 的方程； （2）若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的 交点A 和B ，且2>⋅OB OA （其中O 为原点）. 求k 的取值范围.17.(2007安徽文)设F是抛物线G:x2=4y的焦点.(Ⅰ)过点P（0，-4）作抛物线G的切线,求切线方程:(Ⅱ)设A、B为抛物线G上异于原点的两点，且满足0FA,延长AF、BF分别交抛物线G于点·FBC,D，求四边形ABCD面积的最小值.18．(2008辽宁文) 在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，(0的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ． （Ⅰ）写出C 的方程；（Ⅱ）设直线1y kx =+与C 交于A ，B 两点．k 为何值时OA ⊥OB ？此时AB 的值是多少？19. （2002广东、河南、江苏）A 、B 是双曲线x 2－y22＝1上的两点，点N(1,2)是线段AB 的中点(1)求直线AB 的方程；(2)如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆？为什么？20.（2007福建理)如图，已知点F（1，0），直线l：x＝－1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且＝。
高三一轮测试(理)8圆锥曲线方程(1)(通用版)
圆锥曲线方程—————————————————————————————————————【说明】 本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题格内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案题目要求的)1．双曲线x 216－y 29＝1的焦点坐标为( )A ．(－7，0)、(7，0)B ．(0，－7)、(0，7)C ．(－5,0)、(5,0)D ．(0，－5)、(0,5)2．若拋物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点到准线的距离为4，则其焦点坐标为( )A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(1,0)3．已知双曲线x 24－y 212＝1的离心率为e ，拋物线x ＝2py 2的焦点为(e,0)，则p 的值为( )A ．2B ．1 C.14 D.116 4．过点M (－2,0)的直线l 与椭圆x 2＋2y 2＝2交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P .设直线l 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2等于( )A ．－2B ．2 C.12 D ．－125．若点P (2,0)到双曲线x 2a 2－y2b2＝1的一条渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 2 D ．2 36．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为22，若直线y ＝kx 与椭圆的一个交点的横坐标为b ，则k 的值为( )A.22 B ．±22 C.12 D ．±127．如图所示，设椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的面积为ab π，过坐标原点的直线l 、x 轴正半轴及椭圆围成两区域面积分别设为s 、t ，则s 关于t 的函数图象大致形状为图中的( )8．椭圆x 225＋y 216＝1的右焦点为F ，P 是椭圆上一点，点M 满足|M |＝1，·＝0，则|M |的最小值为( )A ．3 B. 3 C ．2 D. 29．两个正数a ，b 的等差中项是5，等比中项是4.若a >b ，则双曲线x 2a －y 2b＝1的渐近线方程是( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±12xC ．y ＝±24x D ．y ＝±22x10．已知椭圆x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为( )A.95 B ．3 C.977 D.9411．直线l 过抛物线C ∶y 2＝2px (p >0)的焦点F ，且交抛物线C 于A ，B 两点，分别从A ，B 两点向抛物线的准线引垂线，垂足分别为A 1，B 1，则∠A 1FB 1是( )A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．直角或钝角12．已知点F 为双曲线x 216－y29＝1的右焦点，M 是双曲线右支上一动点，定点A 的坐标是(5,1)，则4|MF |＋5|MA |的最小值为( )A ．12B ．20C ．9D ．1613．已知点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，点P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且·＝·，则动点P 的轨迹C 的方程是________．14．以双曲线x 24－y 25＝1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的拋物线方程是____________．15．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点是F 1(－c,0)、F 2(c,0)，M 是椭圆上一点，且F 1M ·＝0，则离心率e 的取值范围是________．16．给出如下四个命题：①方程x 2＋y 2－2x ＋1＝0表示的图形是圆；②若椭圆的离心率为22，则两个焦点与短轴的两个端点构成正方形；③抛物线x ＝2y 2的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫18，0；④双曲线y 249－x 225＝1的渐近线方程为y ＝±57x .其中正确命题的序号是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知离心率为45的椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上．双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为234.求椭圆及双曲线的方程．18．(本小题满分12分)若一动点M 与定直线l ：x ＝165及定点A (5,0)的距离比是4∶5.(1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)设所求轨迹C 上有点P 与两定点A 和B (－5,0)的连线互相垂直，求|P A |·|PB |的值．19．(本小题满分12分)抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，直线x ＋y －1＝0与抛物线相交于A 、B 两点，且|AB |＝8611.(1)求抛物线的方程；(2)在x 轴上是否存在一点C ，使△ABC 为正三角形？若存在，求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分12分)如图，已知点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且·＝·.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 的直线交轨迹C 于A ，B 两点，交直线l 于点M ，已知＝λ1，＝λ2，求λ1＋λ2的值．21.(本小题满分12分)如图所示，已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的3倍且经过点M (3,1)．平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m (m ≠0)，且交椭圆于A ，B 两不同点．(1)求椭圆的方程； (2)求m 的取值范围；22．(本小题满分12分)已知双曲线2x 2－2y 2＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 为动点，若|PF 1|＋|PF 2|＝4. (1)求动点P 的轨迹E 的方程； (2)求cos ∠F 1PF 2的最小值．答案： 一、选择题1．C c 2＝a 2＋b 2＝16＋9＝25，c ＝5.2．B 根据p 的几何意义可知p ＝4，故焦点为(2,0)．3．D 依题意得e ＝2，拋物线方程为y 2＝12p x ，故18p ＝2，得p ＝116，选D.4．D 设直线l 的方程为 y ＝k 1(x ＋2)，代入x 2＋2y 2＝2，得(1＋2k 21)x 2＋8k 21x ＋8k 21－2＝0，所以x 1＋x 2＝－8k 211＋2k 21，而y 1＋y 2＝k 1(x 1＋x 2＋4)＝4k 11＋2k 21，所以OP 的斜率k 2＝y 1＋y 22x 1＋x 22＝－12k 1，所以k 1k 2＝－12.5．A 由于双曲线渐近线方程为bx ±ay ＝0，故点P 到直线的距离d ＝2b a 2＋b 2＝2⇒a ＝b ，即双曲线为等轴双曲线，故其离心率e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝ 2.6．B 由e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22得a 2＝2b 2，设交点的纵坐标为y 0，则y 0＝kb ，代入椭圆方程得b 22b 2＋k 2b 2b2＝1，解得k ＝±22，选B.7．B 根据椭圆的对称性，知s ＋t ＝12ab π，因此选B.8．B 依题意得F (3,0)，MF ⊥MP ，故|M |＝|P F →|2－|M F →|2＝|P F →|2－1，要使|M |最小，则需|P |最小，当P 为右顶点时，|P |取最小值2，故|M |的最小值为3，选B.9．B 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝10ab ＝16⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8b ＝2(a >b )．故双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±12x (在这里注意a ，b 与双曲线标准方程中的a ，b 的区别，易由思维定势而混淆)．10．D 设椭圆短轴的一个端点为M . 由于a ＝4，b ＝3，∴c ＝7<b . ∴∠F 1MF 2<90°，∴只能∠PF 1F 2＝90°或∠PF 2F 1＝90°. 令x ＝±7得y 2＝9⎝⎛⎭⎫1－716＝9216，∴|y |＝94.即P 到x 轴的距离为94.11．B 如图，由抛物线定义可知AA 1＝AF ，故∠1＝∠2，又AA 1∥x 轴，故∠1＝∠3，从而∠2＝∠3，同理可证得∠4＝∠6，故∠A 1FB 1＝∠3＋∠6＝12×π＝π2， 故选B.12．C 由题意可知，a ＝4，b ＝3，c ＝5， ∴e ＝54，右准线方程为x ＝165，且点A 在双曲线张口内．则|MF |＝e ·d ＝54d (d 为点M 到右准线的距离)．∴4|MF |＋5|MA | ＝5(d ＋|MA |)，当MA 垂直于右准线时，d ＋|MA |取得最小值，最小值为5－165＝95，故4|MF |＋5|MA |的最小值为9. 二、填空题13．.【解析】 设点P (x ，y )则Q (－1，y )，由·＝·，得(x ＋1,0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，化简得y 2＝4x .故填y 2＝4x . 【答案】 y 2＝4x14．【解析】 双曲线x 24－y 25＝1的中心为O (0,0)，该双曲线的右焦点为F (3,0)，则拋物线的顶点为(0,0)，焦点为(3,0)，所以p ＝6，所以拋物线方程是y 2＝12x .【答案】 y 2＝12x15．【解析】 设点M 的坐标为(x ，y )，则＝(x ＋c ，y )，＝(x －c ，y )． 由·＝0，得 x 2－c 2＋y 2＝0.①又由点M 在椭圆上，得y 2＝b －b 2x 2a 2，代入①，解得x 2＝a 2－a 2b 2c2.∵0≤x 2≤a 2，∴0≤a 2－a 2b 2c 2≤a 2，即0≤2c 2－a 2c 2≤1，0≤2－1e 2≤1.∵e ＞0，解得22≤e ≤1.又∵e ＜1，∴22≤e ＜1. 【答案】 [22，1)16．【解析】 对①，(x －1)2＋y 2＝0，∴x ＝1，y ＝0， 即表示点(1,0)．对②，若e ＝c a ＝22，则b ＝c .∴两焦点与短轴两端点构成正方形．对③，抛物线方程为y 2＝12x ，其焦点坐标为⎝⎛⎭⎫18，0. 对④，双曲线y 249－x 225＝1的渐近线方程为y 7±x5＝0，即y ＝±75x .【答案】 ②③ 三、解答题17．【解析】 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)则根据题意，双曲线的方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1且满足 ⎩⎨⎧a 2－b 2a ＝452a 2＋b 2＝234解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝25b 2＝9∴椭圆的方程为x 225＋y 29＝1，双曲线的方程x 225－y 29＝118．【解析】 (1)设动点M (x ，y )， 根据题意得⎪⎪⎪⎪x －165(x －5)2＋y 2＝45，化简得9x 2－16y 2＝144， 即x 216－y 29＝1. (2)由(1)知轨迹C 为双曲线，A 、B 即为C 的两个焦点， ∴|P A |－|PB |＝±8.①又P A ⊥PB ，∴|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝100.② 由②－①2得|P A |·|PB |＝18.19．【解析】 (1)设所求抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，x ＋y －1＝0，消去y ， 得x 2－2(1＋p )x ＋1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2(1＋p )，x 1·x 2＝1.∵|AB |＝8611， ∴(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝8611，∴121p 2＋242p －48＝0， ∴p ＝211或－2411(舍)．∴抛物线的方程为y 2＝411x .(2)设AB 的中点为D ，则D ⎝⎛⎭⎫1311，－211. 假设x 轴上存在满足条件的点C (x 0,0)，∵△ABC 为正三角形，∴CD ⊥AB ，∴x 0＝1511.∴C ⎝⎛⎭⎫1511，0，∴|CD |＝2211. 又∵|CD |＝32|AB |＝12211，故矛盾，∴x 轴上不存在点C ，使△ABC 为正三角形． 20．【解析】 (1)设点P (x ，y )，则Q (－1，y )，由· ＝·，得(x ＋1,0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，化简得C ：y 2＝4x .(2)设直线AB 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，又M ⎝⎛⎭⎫－1，－2m ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1， 消去x ，得y 2－4my －4＝0， Δ＝(－4m )2＋16＞0，故⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4. 由＝λ1，＝λ2，得y 1＋2m ＝－λ1y 1，y 2＋2m＝－λ2y 2，整理，得λ1＝－1－2my 1，λ2＝－1－2my 2，∴λ1＋λ2＝－2－2m ⎝⎛⎭⎫1y 1＋1y 2 ＝－2－2m ·y 1＋y 2y 1y 2＝－2－2m ·4m－4＝0.21．【解析】 (1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3b 9a 2＋1b2＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝18b 2＝2，所求椭圆的方程为x 218＋y 22＝1(2)∵直线l ∥OM 且在y 轴上的截距为m ，∴直线l 方程为：y ＝13x ＋m由⎩⎨⎧y ＝13x ＋m x 218＋y 22＝1⇒2x 2＋6mx ＋9m 2－18＝0 ∵直线l 交椭圆于A 、B 两点，∴Δ＝(6m )2－4×2(9m 2－18)>0⇒－2<m <2 m 的取值范围为－2<m <2，且m ≠0.22．【解析】 (1)依题意双曲线方程可化为x 212－y 212＝1，则|F 1F 2|＝2， ∴|PF 1|＋|PF 2| ＝4>|F 1F 2|＝2.∴点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆，其方程可设为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 由2a ＝4,2c ＝2， 得a ＝2，c ＝1，∴b 2＝4－1＝3.则所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1，故动点P 的轨迹E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设|PF 1|＝m >0， |PF 2|＝n >0，∠F 1PF 2＝θ， 则由m ＋n ＝4，|F 1F 2|＝2， 可知在△F 1PF 2中， cos θ＝m 2＋n 2－42mn谢谢大家。
高三单元试题八圆锥曲线方程
高三单元试题八：圆锥曲线方程一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，|AB|=4，则AB 中点C 的横坐标是( )A ．2B ．12C ．32D ．522．⊙O 1与⊙O 2的半径分别为1和2，|O 1O 2|=4，动圆与⊙O 1内切而与⊙O 2外切，则动圆圆心轨迹是( )A ．椭圆B ．抛物线C ．双曲线D ．双曲线的一支 3．双曲线tx 2－y 2－1＝0的一条渐近线与直线2x +y +1=0垂直，则双曲线的离心率为（ ）A ．5B ．25C ．23 D ．34．P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆上一点，过焦点F 2作∠F 1PF 2外角平分线的垂线，垂足为M ，则点M 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 5．若抛物线y 2＝2px (p >0)与抛物线y 2＝2q (x －h )(q >0)有公共焦点，则( ) A ．2h ＝p －q B ．2h ＝p +q C ．2h ＝－p －q D ．2h ＝q －p6． 设双曲线12222=-by a x （a ，b ＞0）两焦点为F 1、、F 2，点Q 为双曲线上除顶点外的任一点，过焦点F 1作∠F 1QF 2的平分线的垂线，垂足为P ，则P 点轨迹是 ( ) A ．椭圆的一部分； B ．双曲线的一部分；C ．抛物线的一部分；D ．圆的一部分7．方程12sin 3sin 222=-++θθy x 所表示的曲线为( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在x 轴上的双曲线 D ．焦点在y 轴上的双曲线8．我国发射的“神舟四号”宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心F 2为一个焦点的椭圆，近地点A 距地面为m 千米，远地点B 距地面为n 千米，地球半径为R 千米，则飞船运行轨道的短轴长为( )A ．千米))((2R n R m ++B ．千米))((R n R m ++C ．mn 千米D ．2mn 千米9．双曲线x a y ba b 2222100-=>>()，的离心率e =+152，点A 与F 分别是双曲线的左顶点和右焦点，B （0，b ），则∠ABF 等于( )A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°10．设F 1，F 2是双曲线x y 2241-=的两个焦点，P 在双曲线上，当△F 1PF 2的面积为1时，12PF PF 的值为( )A ．2B ．1C ．21 D ．0 11．设a ,b ∈R ，ab ≠0，则直线ax －y +b =0和曲线bx 2+ay 2=ab 的大致图形是 ( )12．下列命题正确的是（） ①动点M 至两定点A、B 的距离之比为常数)10(≠>λλλ且.则动点M 的轨迹是圆。
数学高三圆锥曲线练习题
数学高三圆锥曲线练习题1. 已知一个圆锥的高为10 cm，底面半径为6 cm。
求解：（1）该圆锥的侧面积。
（2）该圆锥的体积。
解答：（1）圆锥的侧面积可以通过以下公式计算：侧面积= πrl，其中r 为底面半径，l为斜高。
首先计算斜高。
根据勾股定理，斜高可以表示为h = √(r² + h²)，其中h为圆锥的高。
代入已知量，可得h = √(6² + 10²) = √(36 + 100) = √136 ≈ 11.66 cm。
接下来，计算侧面积。
侧面积= πrl = π * 6 * 11.66 ≈ 219.911 cm²。
因此，该圆锥的侧面积约为 219.911 cm²。
（2）圆锥的体积可以通过以下公式计算：体积 = (1/3) * 底面积 * 高。
首先计算底面积。
底面积为圆的面积，可以表示为A = πr²。
代入已知量，可得A = π * 6² = 36π ≈ 113.1 cm²。
接下来，计算体积。
体积 = (1/3) * 113.1 * 10 = 377 cm³。
因此，该圆锥的体积为 377 cm³。
2. 已知一个圆锥的半径为3 cm，侧面积为15π cm²。
求解该圆锥的高和体积。
解答：圆锥的侧面积可以表示为：侧面积= πrl，其中r为底面半径，l为斜高。
已知侧面积为15π cm²，底面半径为 3 cm，代入公式可得15π = 3πl。
解方程，可得斜高 l = 5 cm。
圆锥的高可以通过勾股定理计算：高= √(l² - r²)。
代入已知量，可得高h = √(5² - 3²) = √(25 - 9) = √16 = 4 cm。
因此，该圆锥的高为 4 cm。
圆锥的体积可以通过公式体积 = (1/3) * 底面积 * 高计算。
底面积A = πr² = π * 3² = 9π cm²。
第八章 圆锥曲线方程单元检测题(三)抛物线(A)
第八章 圆锥曲线方程单元检测题（三）抛物线（A ）一、选择题：（每小题6分，共48分）1、抛物线2x 2－5y=0的准线方程是（ ）（A ）x=85（B ）x=45- （C ）y= 45- （D ）y=85 2、已知抛物线y 2=mx 的焦点坐标是（2，0），则m 的值为（ ）（A ）4 （B ）－4 （C ）－8 （D ）83、过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）两点，若 x 1＋x 2=5，那么│P 1 P 2│等于（ ）（A ） 10 （B ）9 （C ）7 （D ）34、抛物线y=ax 2（a ＜0）的准线方程是（ ）（A ）y=a 21（B ）y=－a 21（C ）y=a 41（D ）y=－a 415、抛物线上的点（－5，25）到焦点F （x ，0）的距离是6，则抛物线的标准方程是（ ）（A ）y 2=－2x （B ）y 2=－4x （C ）y 2=－6x （D ）y 2=－18x6、动圆过点（0，1）且与直线y=－1相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）（A ）y=0 （B ）x 2＋y 2=1 （C ）x 2=4y （D ）y 2=4x7、P 是抛物线y=x 2上一动点，当它与直线y=2x －4的距离最短时，P 点坐标为（ ）（A ）（0，0） （B ）（1，3） （C ）（1，1） （D ）（2，4）8、已知A 、B 是抛物线y 2=2px （p ＞0）上两点，O 为坐标原点，若|OA|=|OB|且△AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB 的方程是（ ）（A ）x=p （B ）x=3p （C ）x=23p （D ）x=25p二、填空题：（每小题6分，共24分）9、抛物线y 2=4x 的弦被点A （2，1）平分，则此弦所在直线方程是 。
10、抛物线y 2=10x 的焦点到准线的距离为 。
11.已知抛物线的焦点坐标为（0，－2），准线方程为y=2，则抛物线方程为。
第八章 圆锥曲线方程单元检测题(二)双曲线(B)
第八章 圆锥曲线方程单元检测题（二）双曲线（B ）一、选择题（每小题6分，共48分） 1、已知双曲线与椭圆1166422=+y x 共焦点，双曲线的渐近线方程为x ±3y=0，则双曲线方程为（ ） （A ）1123622=-y x （B ）1123622=-x y （C ）1123622±=-y x （D ）1123622±=-x y 2、双曲线1322=-my mx的一条准线方程为y=6，则实数m 的值为（ ）（A ）－16 （B ）16 （C ）－4 （D ）12 3、有共同渐近线的双曲线12222=-b y a x 与122=-By A x 的关系是（ ）（A ）四个焦点共圆 （B ）互为共轭的双曲线（C ）都是等轴双曲线（D ）22b B aA =4、直线y= k(x －3)与双曲线14922=-y x 只有一个公共点，则满足条件的直线斜率k 的取值有（ ）（A ）3个 （B ）2个 （C ）1个 （D ）无数个 5、设θ 为三角形的一个内角，且sin θ＋cos θ=51，动点P （x ，y ）满足1sin 22=+θθcox y x ，则P 点的轨迹方程为（ ） （A ）1453522=+-y x （B ）1354522=+y x（C ）1354522=-y x（D ）1354522=-y x 或1354522=-x y 6、双曲线的渐近线方程为y=±34x 准线方程为x=±59，则双曲线方程为（ ） （A ）116922=-y x （B ）191622=-x y （C ）13422=-y x （D ）14322=-y x7、双曲线12222=-by ax （a ＞0，b ＞0）的焦点为F 1、F 2，弦AB 过F 1且在双曲线的一支上，若∣A F 2∣＋∣B F 2∣=2∣AB ∣，则∣AB ∣为（ ）（A ）2a （B ）3a （C ）4a （D ）不确定 8、若椭圆122=+ny m x （m ＞n ＞0）和双曲线12222=-by ax （a ＞b ＞0）有相同的焦点F 1、F 2，P是两曲线的一个交点，则∣P F 1∣·∣P F 2∣的值是（ ）（A ）m －a 2（B ）21（m －a ） （C ）m 2－a 2（D二、填空题（每小题6分，共24分）9、双曲线21kx 2－ky 2=3的一个焦点为（0，3），则k 的值是 。
第八章 圆锥曲线方程单元检测题(一)椭圆(A)
第八章 圆锥曲线方程单元检测题（一）椭圆（A ）一、选择题（每小题6分，共48分）1、椭圆两准线间的距离为焦距的3倍，则椭圆离心率为（ ） （A ）31 （B ）33 （C ）22 （D ）32、若椭圆12222=+ayax 的一个焦点是（3-，0），则a 的值为（ ）（A ）3 （B ）－1 （C ）3或－1 （D ）13、线段∣AB ∣=4，∣PA ∣+∣PB ∣=6，M 是AB 的中点，当P 点在同一平面内运动时，PM 的长度的最小值是（ ） （A ）2 （B ）2（C ）5（D ）54、若椭圆13222=++ym x的焦点在x 轴上，且离心率e=21，则m 的值为（ ）（A ）2（B ）2 （C ）－2（D ）±25、 中心在原点，准线方程为x=±4的椭圆的方程为（ ） （A ）13422=+yx（B ）14322=+yx（C ）1422=+yx（D ）1422=+yx6、椭圆131222=+yx 的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段P F 1的中点在y 轴上，那么P F 1是P F 2的（ ）（A ）7倍 （B ）5倍 （C ）4倍 （D ）3倍 7、P 是椭圆192522=+yx上一点，如果P 与椭圆左焦点距离是2，则P 到椭圆的右准线距离等于（ ）（A ）8 （B ）10 （C ）25（D ）48、已知椭圆x 2si n α－y 2cos α=1（0＜α＜2π）的焦点在x 轴上，则α的取值范围是（ ） （A ）（43π，π） （B ）（4π，43π ） （C ）（2π，π） （D ）（2π，43π ）二、填空题（每小题6分，共24分） 9、椭圆2x 2+3y 2=6的焦点是 。
10、若椭圆1222=-+a yax焦点在x 轴上，则a 的取值范围是 。
11、点P 是椭圆16410022=+yx上的一点，F 1、F 2是其焦点，若∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2的面积是 。
高三单元试题八：圆锥曲线方程
高三单元试题八：圆锥曲线方程一'选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分。
在每题给岀的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
1.AB是抛物线y2=2x的一条焦点弦，IABI=4,那么AB中点C的横坐标是()1 3 5A. 2 B・一C・一D・一2 2 22.OOi与002的半径分不为1和2, 10^21=4,动圆与00]内切而与0O?外切，那么动圆圆心轨迹是()A.椭圆B.抛物线C.双曲线D.双曲线的一支3.双曲线圧一尸_ ] =0的一条渐近线与直线Zv+y+l=0垂直，那么双曲线的离心率为( )A. y[5B. —C. —D. V32 24.P是以R、F?为焦点的椭圆上一点，过焦点F?作ZF,PF2外角平分线的垂线，垂足为M, 那么点M的轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线5.假设抛物线y2=2px(p>0)^j抛物线y2=2q(x—h)(q>0)有公共焦点，那么()A. 2h=p—q B・2h=p+q C・2h=—p—q D・2h=q—pv2v26.设双曲线r-亠=1b>0)两焦点为F— F2,点Q为双曲线上除顶点外的任一点，过焦点Fi作ZFiQFz的平分线的垂线，垂足为P,那么P点轨迹是 ()A.椭圆的一部分；B.双曲线的一部分：C.抛物线的一部分：D.圆的一部分2 27.方程, \ + — ' — = !所表示的曲线为()2sin<9 + 3 sin<9 - 2A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在y轴上的椭圆C.焦点在x轴上的双曲线D.焦点在y轴上的双曲线8.我国发射的”神舟四号"宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心F?为一个焦点的椭圆，近地点A距地而为加千米，远地点B距地而为”千米，地球半径为R千米，那么飞船运行轨道的短轴长为()A. 2j(m + + 7?)千米B. + R)(n + 7?)千米C・nm千米 D. 2inn千米9.双曲线二一二= l(d>0, b>0)的离心率点A与F分不是双曲线的左cr 2顶点和右焦点，B (0, b),那么ZABF等于()A.45°B.60°C. 90°D. 120°210•设F" F2是双曲线—-y2 = 1的两个焦点，P在双曲线上，沁F1PF2的而积为1时,4的值为（）A・2 B・1 C・丄D・0211・设a.bwR, abHO,那么直线cix-y+b=O和曲线bx^ay^ib的大致图形是（）12・以下命题正确的选项是（）①动点M至两泄点A、B的距离之比为常数2（2 ＞0且兄H 1）.那么动点M的轨迹是圆。
人教版高中数学选择性必修第一册-第3章-圆锥曲线的方程 单元测试卷(含解析)
第3章 圆锥曲线的方程单元测试卷（原卷版）[时间：120分钟 满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝1，则a 的值为( )A ．4 B ．－4C ．－14D.142．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为13，过F 2的直线l交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为12，则C 的标准方程为( )A.x 23＋y 2＝1B.x 23＋y 22＝1C.x 29＋y 28＝1D.y 29＋x 28＝13．直线l ：y ＝k (x －2)与双曲线x 2－y 2＝1仅有一个公共点，则实数k 的值为( )A ．1 B ．－1C ．1或－1 D ．1或－1或04．已知中心在原点，焦点在y 轴的双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，则此双曲线的离心率为( )A.52 B.5C.52D ．55．设a ，b ∈R ，a ≠b 且ab ≠0，则方程bx －y ＋a ＝0和方程ax 2－by 2＝ab 在同一坐标系下的图象可能是( )6．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2 B ．4C ．6 D ．87.如图，已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝4，P 是双曲线右支上的一点，F 2P 的延长线与y 轴交于点A ，△APF 1的内切圆在边PF 1上的切点为Q ，若|PQ |＝1，则双曲线的离心率是( )A ．3 B ．2C.3 D.28．设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )A ．(1，3) B ．(1，4)C ．(2，3) D ．(2，4)二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．已知点F (1，0)为曲线C 的焦点，则曲线C 的方程可能为( )A ．y 2＝4x B ．x 2＝4yC.x 2cos 2θ＋y 2sin 2θ＝1(0<θ<π2)D.x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1(0<θ<π2)10．已知A ，B 为圆锥曲线E 的焦点，点C 在E 上，若△ABC 为等腰直角三角形，则E 的离心率可能为( )A.2－1B.22C.2D.2＋111．已知P 是椭圆E ：x 28＋y 24＝1上一点，F 1，F 2为其左、右焦点，且△F 1PF 2的面积为3，则下列说法正确的是( )A ．P 点纵坐标为3B ．∠F 1PF 2>π2C ．△F 1PF 2的周长为4(2＋1)D ．△F 1PF 2的内切圆半径为32(2－1)12．已知A ，B 两点的坐标分别是(－1，0)，(1，0)，直线AP ，BP 相交于点P ，且两直线的斜率之积为m ，则下列结论正确的是( )A ．当m ＝－1时，点P 的轨迹为圆(除去与x 轴的交点)B ．当－1<m <0时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆(除去与x 轴的交点)C ．当0<m <1时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的抛物线(除去与x 轴的交点)D ．当m >1时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的双曲线(除去与x 轴的交点)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知a ∈{－2，0，1，3}，b ∈{1，2}，则曲线ax 2＋by 2＝1为椭圆的概率是________．14．抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与双曲线x 2－y 24＝1的两条渐近线所围成的三角形的面积为2，则p ＝________，抛物线焦点到双曲线渐近线的距离为________．(本题第一空2分，第二空3分)15．在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上，与两焦点张角为90°的点可能有________个(填出所有可能情况)．16．设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m ，0)满足|PA |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知Q 点是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b >0)上异于两顶点的一动点，F 1，F 2是双曲线的左、右焦点．从F 2向∠F 1QF 2的平分线作垂线F 2P ，垂足为P ，求P 点的轨迹方程．18．(12分)已知点P 到F 1(0，3)，F 2(0，－3)的距离之和为4，设点P 的轨迹为C ，直线y ＝kx ＋1与轨迹C 交于A ，B 两点．(1)求轨迹C 的方程；(2)若|AB |＝825，求k .19．(12分)已知直线l ：y ＝x ＋m 与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点．(1)若|AB |＝10，求m 的值；(2)若OA ⊥OB ，求m 的值．20．(12分)如图，已知抛物线C 1：y ＝14x 2，圆C 2：x 2＋(y －1)2＝1，过点P (t ，0)(t >0)作不过原点O 的直线PA ，PB 分别与抛物线C 1和圆C 2相切，A ，B 为切点．(1)求点A ，B 的坐标；(2)求△PAB 的面积．注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．21．(12分)已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点为M (－2，0)，离心率为22.(1)求椭圆Γ的方程；(2)过N (1，0)的直线AB 交椭圆Γ于A ，B 两点；当MA → ·MB →取得最大值时，求△MAB 的面积．22．(12分)已知曲线C 上任意一点S (x ，y )都满足到直线l ′：x ＝2的距离是它到点T (1，0)2倍．(1)求曲线C 的方程；(2)设曲线C 与x 轴正半轴交于点A 2，不垂直于x 轴的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点(异于点A 2)．若以AB 为直径的圆经过点A 2，试问直线l 是否过定点？若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由．1．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13<k <12，则椭圆离心率的取值范围是( )A.(14，94)B.(23，1)C.(12，23)D.(0，12)2．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >n >0)和双曲线x 2a －y 2b＝1(a >b >0)有相同的左、右焦点F 1，F 2，P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是( )A ．m －a B.12(m －a )C ．m 2－a 2D.m －a3．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A.433B.233C ．3D ．24．已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y 24＝1 B.x 24－4y 23＝1C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝15．【多选题】已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个顶点分别为A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，P ，Q 的坐标分别为(0，b )，(0，－b )，且四边形A 1PA 2Q 的面积为22，四边形A 1PA 2Q 的内切圆的周长为263π，则双曲线C 的方程为( )A.x 22－y 2＝1B ．x 2－y 22＝1C.x 24－y 22＝1 D.x 22－y 24＝16．【多选题】我们通常称离心率是5－12的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A 1，A 2，B 1，B 2分别为其左、右、上、下顶点，F 1，F 2分别为左、右焦点，P 为椭圆上一点，下列条件中能使椭圆C 为“黄金椭圆”的是( )A ．|A 1F 1|·|F 2A 2|＝|F 1F 2|2B ．∠F 1B 1A 2＝90°C ．PF 1⊥x 轴，且PO ∥A 2B 1D ．四边形A 1B 2A 2B 1的内切圆过焦点F 1，F 27．【多选题】已知方程mx 2＋ny 2＝1，其中m 2＋n 2≠0，则( )A ．mn >0时，方程表示椭圆B ．mn <0时，方程表示双曲线C ．n ＝0时，方程表示抛物线D ．n >m >0时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆8.如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a <b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p >0)经过C ，F 两点，则b a＝________．9．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．10．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1，0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点，若|FQ |＝2，则直线l 的斜率等于________．11.如图，已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．12．已知抛物线y 2＝－4x 的焦点为F ，其准线与x 轴交于点M ，过M 作斜率为k 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，弦AB 的中点为P ，AB 的垂直平分线与x 轴交于E (x 0，0)．(1)求k 的取值范围；(2)求证：x 0<－3.13．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点，若AC → ·DB → ＋AD → ·CB →＝8，求k 的值．14．已知抛物线C 的顶点在原点O ，焦点与椭圆x 225＋y 29＝1的右焦点重合．(1)求抛物线C 的方程；(2)在抛物线C 的对称轴上是否存在定点M ，使过点M 的动直线与抛物线C 相交于P ，Q 两点时，有∠POQ ＝π2.若存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由．15.如图所示，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，A ，B 分别为其长、短轴的一个端点，F 1，F 2分别是其左、右焦点．从椭圆上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1，且AB → 与OM→是共线向量．(1)求椭圆的离心率e ；(2)设Q 是椭圆上异于左、右顶点的任意一点，求∠F 1QF 2的取值范围．第3章 圆锥曲线的方程单元测试卷（解析版）[时间：120分钟 满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝1，则a 的值为( )A ．4 B ．－4C ．－14D.14答案 C2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为13，过F 2的直线l交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为12，则C 的标准方程为( )A.x 23＋y 2＝1B.x 23＋y 22＝1C.x 29＋y 28＝1D.y 29＋x 28＝1答案 C解析 因为△AF 1B 的周长为12，所以4a ＝12，所以a ＝3.又c a ＝13，所以c ＝1，b 2＝8，所以C 的标准方程为x 29＋y 28＝1.3．直线l ：y ＝k (x －2)与双曲线x 2－y 2＝1仅有一个公共点，则实数k 的值为( )A ．1 B ．－1C ．1或－1 D ．1或－1或0答案 C解析 由题意可知直线l 恒过点(2，0)，即双曲线的右焦点，双曲线的渐近线方程为y ＝±x .要使直线l 与双曲线只有一个公共点，则该直线与渐近线平行，所以k ＝±1.故选C.4．已知中心在原点，焦点在y 轴的双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，则此双曲线的离心率为( )A.52 B.5C.52D ．5答案 B解析 由已知可设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．∴±a b ＝±12，∴b ＝2a ，∴b 2＝4a 2，∴c 2－a 2＝4a 2.∴c 2＝5a 2，∴c 2a 2＝5，∴e ＝c a＝5.5．设a ，b ∈R ，a ≠b 且ab ≠0，则方程bx －y ＋a ＝0和方程ax 2－by 2＝ab 在同一坐标系下的图象可能是( )答案 B解析 方程ax 2－by 2＝ab变形为x 2b －y 2a ＝1，直线bx －y ＋a ＝0，即y ＝bx ＋a 的斜率为b ，纵截距为a .当a >0，b >0时，x 2b －y 2a＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，此时直线的斜率b >0，纵截距a >0，故C 错误；当a <0，b <0时，x 2b －y 2a＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，此时直线的斜率b <0，纵截距a <0，故D 错误；当a <0，b >0，且－a ≠b 时，x 2b －y 2a＝1表示椭圆，此时直线的斜率b >0，纵截距a <0，故A 错误．故选B.6．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2 B ．4C ．6 D ．8答案 B解析 由题意，不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)．由|AB |＝42，|DE |＝25，可取A (4p ，22)，D (－p 2，5)，设O 为坐标原点，由|OA |＝|OD |，得16p 2＋8＝p 24＋5，得p ＝4.故选B.7.如图，已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝4，P 是双曲线右支上的一点，F 2P 的延长线与y 轴交于点A ，△APF 1的内切圆在边PF 1上的切点为Q ，若|PQ |＝1，则双曲线的离心率是( )A ．3 B ．2C.3 D.2答案 B解析 如图，记AF1，AF 2与△APF 1的内切圆分别相切于点N ，M ，则|AN |＝|AM |，|PM |＝|PQ |，|NF 1|＝|QF 1|，又因为|AF 1|＝|AF 2|，则|NF 1|＝|AF 1|－|AN |＝|AF 2|－|AM |＝|MF 2|，因此|QF 1|＝|MF 2|，则|PF 1|－|PF 2|＝(|PQ |＋|QF 1|)－(|MF 2|－|PM |)＝|PQ |＋|PM |＝2|PQ |＝2，即2a ＝2，则a ＝1.由|F 1F 2|＝4＝2c ，得c ＝2，所以双曲线的离心率e ＝c a＝2.故选B.8．设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )A ．(1，3) B ．(1，4)C ．(2，3) D ．(2，4)答案 D解析 如图，显然当直线l 的斜率不存在时，必有两条直线满足题意，当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1≠x 2，M (x 0，y 0)，则{y 12＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．由于x 1≠x 2，所以y 1＋y 22·y 1－y 2x 1－x2＝2⇒ky 0＝2.①圆心为C (5，0)，由CM ⊥AB ，得k ·y 0－0x 0－5＝－1⇒ky 0＝5－x 0.②由①②解得x 0＝3，即点M 必在直线x ＝3上，将x 0＝3代入y 2＝4x ，得y 02＝12⇒－23<y 0<23，因为点M 在圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)上，所以(x 0－5)2＋y 02＝r 2(r >0)，r 2＝y 02＋4<12＋4＝16.因为斜率存在，所以y 0≠0，所以4<y 02＋4<16⇒2<r <4.故选D.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．已知点F (1，0)为曲线C 的焦点，则曲线C 的方程可能为( )A ．y 2＝4x B ．x 2＝4yC.x 2cos 2θ＋y 2sin 2θ＝1(0<θ<π2)D.x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1(0<θ<π2)答案 AD解析 对于A ，y 2＝4x ，抛物线的焦点为F (1，0)，满足；对于B ，x 2＝4y ，抛物线的焦点为F (0，1)，不满足；对于C ，x 2cos 2θ＋y 2sin 2θ＝1(0<θ<π2)，焦点为(±cos 2θ－sin 2θ，0)或(0，±sin 2θ－cos 2θ)或曲线表示圆不存在焦点，均不满足；对于D ，x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1(0<θ<π2)，双曲线的右焦点为F (1，0)，满足．10．已知A ，B 为圆锥曲线E 的焦点，点C 在E 上，若△ABC 为等腰直角三角形，则E 的离心率可能为( )A.2－1 B.22C.2D.2＋1答案 ABD解析 若圆锥曲线E 为椭圆，不妨设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，设椭圆的离心率为e .因为△ABC 为等腰直角三角形，所以当AB 为斜边时，可以得到b ＝c ＝22a ，则e ＝c a ＝22；当AB 为直角边时，不妨令|AC |＝|AB |＝2c ，所以22c ＋2c ＝2a ，所以e ＝ca＝2－1.若圆锥曲线E 为双曲线，不妨设双曲线方程为x 2a ′2－y 2b ′2＝1(a ′>0，b ′>0)，设双曲线的离心率为e ′.因为△ABC 为等腰直角三角形，所以AB 只能为直角边，不妨令AC ⊥AB ，则|AC |＝|AB |＝2c ，可以得到22c ′＝2a ′＋2c ′，则e ′＝c ′a ′＝2＋1.故选ABD.11．已知P 是椭圆E ：x 28＋y 24＝1上一点，F 1，F 2为其左、右焦点，且△F 1PF 2的面积为3，则下列说法正确的是( )A ．P 点纵坐标为3B ．∠F 1PF 2>π2C ．△F 1PF 2的周长为4(2＋1)D ．△F 1PF 2的内切圆半径为32(2－1)答案 CD解析 设点P 的坐标为(x ，y )，由椭圆E ：x 28＋y 24＝1，可知a 2＝8，b 2＝4，所以c 2＝a 2－b 2＝4，所以c ＝2，F 1(－2，0)，F 2(2，0)．因为△F 1PF 2的面积为3，所以12×2c ×|y |＝12×4×|y |＝3，得到y ＝±32，A 说法错误；将y ＝±32代入椭圆E 的方程，得到x 28＋916＝1，解得x ＝±142，不妨取P (142，32)，因为PF 1→ ·PF 2→＝(－2－142，－32)·(2－142，－32)＝144－4＋94>0，所以∠F 1PF 2为锐角，B 说法错误；因为a ＝22，所以|PF 1|＋|PF 2|＝42，所以△F 1PF 2的周长为4＋42＝4(2＋1)，C 说法正确；设△F 1PF 2的内切圆半径为r ，因为△F 1PF 2的面积为3，所以12×r ×4(2＋1)＝3，解得r ＝32(2－1)，D 说法正确．故选CD.12．已知A ，B 两点的坐标分别是(－1，0)，(1，0)，直线AP ，BP 相交于点P ，且两直线的斜率之积为m ，则下列结论正确的是( )A ．当m ＝－1时，点P 的轨迹为圆(除去与x 轴的交点)B ．当－1<m <0时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆(除去与x 轴的交点)C ．当0<m <1时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的抛物线(除去与x 轴的交点)D ．当m >1时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的双曲线(除去与x 轴的交点)答案 ABD解析 设点P 的坐标为(x ，y )(x ≠±1)，则直线AP 的斜率为k AP ＝y x ＋1，直线BP 的斜率为k BP＝y x －1.因为k AP ·k BP ＝m ，所以yx ＋1·yx －1＝m (x ≠±1)，化简得到点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－m＝1(x ≠±1)，所以正确结论有A 、B 、D.故选ABD.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知a ∈{－2，0，1，3}，b ∈{1，2}，则曲线ax 2＋by 2＝1为椭圆的概率是________．答案 38解析 由题意，得(a ，b )共有8种不同情况，其中满足“曲线ax 2＋by 2＝1为椭圆”的有(1，2)，(3，1)，(3，2)，共3种情况，由古典概型的概率公式，得所求概率P ＝38.14．抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与双曲线x 2－y 24＝1的两条渐近线所围成的三角形的面积为2，则p ＝________，抛物线焦点到双曲线渐近线的距离为________．(本题第一空2分，第二空3分)答案 2 255解析 抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程为x ＝－p2，双曲线x 2－y 24＝1的两条渐近线方程分别为y ＝2x ，y ＝－2x ，这三条直线构成等腰三角形，其底边长为2p ，三角形的高为p 2，因此12×2p×p2＝2，解得p ＝2.则抛物线焦点坐标为(1，0)，且到直线y ＝2x 和y ＝－2x 的距离相等，均为|2－0|5＝255.15．在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上，与两焦点张角为90°的点可能有________个(填出所有可能情况)．答案 0或2或4解析 设该点为P (x ，y )，椭圆的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(c ＞0)，则|PF 1|＝（x ＋c ）2＋y 2＝（x ＋c ）2＋b 2(1－x 2a 2)＝a ＋ex ，|PF 2|＝a －ex .|PF 1|2＋|PF 2|2＝4a 2－2|PF 1|·|PF 2|＝2a 2＋2c 2a2x 2＝4c 2.∴x 2＝2a 2－a 4c 2＝a 2（2c 2－a 2）c 2≥0.∴当a 2＞2c 2时，该点不存在；当a 2≤2c 2时，该点存在，且当a 2＝2c 2时这样的点有2个，当c 2<a 2<2c 2时有4个．16．设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m ，0)满足|PA |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．答案 52解析 利用渐近线与直线方程求出交点A ，B 的坐标，进而得出中点C 的坐标；由|PA |＝|PB |可知，PC 与直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)垂直，利用斜率关系求出a ，b 的关系式．双曲线x 2a2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b ax .由{y ＝bax ，x －3y ＋m ＝0，得A(am 3b －a ，bm3b －a).由{y ＝－bax ，x －3y ＋m ＝0，得B (－am a ＋3b ，bma ＋3b).所以AB 的中点C 的坐标为(a 2m9b 2－a 2，3b 2m 9b 2－a 2).设直线l ：x －3y ＋m ＝0(m ≠0)，因为|PA |＝|PB |，所以PC ⊥l .所以k PC ＝－3，即3b 2m 9b 2－a 2a 2m9b 2－a 2－m＝－3，化简得a 2＝4b 2.在双曲线中，c 2＝a 2＋b 2＝5b 2，所以e ＝c a＝52.四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知Q 点是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b >0)上异于两顶点的一动点，F 1，F 2是双曲线的左、右焦点．从F 2向∠F 1QF 2的平分线作垂线F 2P ，垂足为P ，求P 点的轨迹方程．解析 如图，延长F 2P 交F 1Q 于点A ，连接OP ，则由角平分线的性质，知|AQ |＝|F 2Q |.由三角形中位线性质，知|OP |＝12|F 1A |.∴|OP |＝12(|QF 1|－|QA |)＝12(|QF 1|－|QF 2|)．若点Q 在双曲线的左支上时，|OP |＝12(|QF 2|－|QF 1|)， 即|OP |＝12×2a ＝a ，∴P 点的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2(y ≠0)．18．(12分)已知点P 到F 1(0，3)，F 2(0，－3)的距离之和为4，设点P 的轨迹为C ，直线y ＝kx ＋1与轨迹C 交于A ，B 两点．(1)求轨迹C 的方程；(2)若|AB |＝825，求k .解析 (1)设P (x ，y )，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0，－3)，(0，3)为焦点，长半轴长为2的椭圆，即a ＝2，c ＝3，b ＝22－（3）2＝1，故轨迹C 的方程为x 2＋y 24＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立{x 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1，得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0，则Δ＝4k 2＋12(k 2＋4)＝16(k 2＋3)>0，且x 1＋x 2＝－2kk 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4.则(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝16（k 2＋3）（k 2＋4）2，所以|AB |2＝(1＋k )2(x 1－x 2)2＝(1＋k )2·16（k 2＋3）（k 2＋4）2＝12825，整理得(17k 2＋53)(k 2－1)＝0，解得k 2＝1，所以k ＝±1.19．(12分)已知直线l ：y ＝x ＋m 与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点．(1)若|AB |＝10，求m 的值；(2)若OA ⊥OB ，求m 的值．解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，(1)由{y ＝x ＋m ，y 2＝8x ，得x 2＋(2m －8)x ＋m 2＝0，∴{Δ＝（2m －8）2－4m 2>0，x 1＋x 2＝8－2m ，x 1x 2＝m 2.由|AB |＝2|x 1－x 2|＝2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝10.得m ＝716(m ＜2)．(2)∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.∴x 1x 2＋(x 1＋m )(x 2＋m )＝0.∴2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝0.∴2m 2＋m (8－2m )＋m 2＝0.∴m 2＋8m ＝0，m ＝0或m ＝－8.经检验得m ＝－8.20．(12分)如图，已知抛物线C 1：y ＝14x 2，圆C 2：x 2＋(y －1)2＝1，过点P (t ，0)(t >0)作不过原点O 的直线PA ，PB 分别与抛物线C 1和圆C 2相切，A ，B 为切点．(1)求点A ，B 的坐标；(2)求△PAB 的面积．注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．解析 (1)由题意知直线PA 的斜率存在，故可设直线PA 的方程为y ＝k (x －t )，由{y ＝k （x －t ），y ＝14x 2，消去y ，整理得x 2－4kx ＋4kt ＝0，由于直线PA 与抛物线相切，令Δ＝0，得k ＝t .因此，点A 的坐标为(2t ，t 2)．设圆C 2的圆心为D (0，1)，点B 的坐标为(x 0，y 0)，由题意知点B ，O 关于直线PD 对称，故{y 02＝－x 02t ＋1，x 0t －y 0＝0，解得{x 0＝2t 1＋t 2，y 0＝2t 21＋t 2.因此，点B 的坐标为(2t 1＋t 2，2t 21＋t 2).(2)由(1)知|AP |＝t ·1＋t 2，直线PA 的方程为tx －y －t 2＝0.点B 到直线PA 的距离是d ＝t 21＋t 2.设△PAB 的面积为S ，所以S ＝12|AP |·d ＝t 32.21．(12分)已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点为M (－2，0)，离心率为22.(1)求椭圆Γ的方程；(2)过N (1，0)的直线AB 交椭圆Γ于A ，B 两点；当MA → ·MB →取得最大值时，求△MAB 的面积．解析 (1)由已知a ＝2，ca ＝22，得c ＝2，∴a 2－b 2＝2，即4－b 2＝2，∴b 2＝2，∴椭圆Γ的方程为x 24＋y 22＝1.(2)当直线AB 与x 轴重合时，MA → ·MB →＝0.当直线AB 与x 轴不重合时，设直线AB 的方程为x ＝ty ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则MA →＝(x 1＋2，y 1)，MB →＝(x 2＋2，y 2)．由{x ＝ty ＋1，x 24＋y 22＝1，得(t 2＋2)y 2＋2ty －3＝0.显然Δ>0，∴y 1＋y 2＝－2t t 2＋2，y 1y 2＝－3t 2＋2.∴MA → ·MB →＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋y 1y 2＝(ty 1＋3)(ty 2＋3)＋y 1y 2＝(t 2＋1)y 1y 2＋3t (y 1＋y 2)＋9＝(t 2＋1)·－3t 2＋2＋3t ·－2tt 2＋2＋9＝－3－3t 2－6t 2t 2＋2＋9＝－9t 2－3t 2＋2＋9＝15t 2＋2≤152，∴MA → ·MB →的最大值为152.此时t ＝0，直线AB 的方程为x ＝1.综上可知MA → ·MB →的最大值为152.联立{x ＝1，x 24＋y 22＝1，解得{x ＝1，y ＝62或{x ＝1，y ＝－62，不妨令A (1，62)，B (1，－62)，∴|AB |＝6，又|MN |＝3，∴S △MAB ＝12|MN |·|AB |＝12×3×6＝362.22．(12分)已知曲线C 上任意一点S (x ，y )都满足到直线l ′：x ＝2的距离是它到点T (1，0)2倍．(1)求曲线C 的方程；(2)设曲线C 与x 轴正半轴交于点A 2，不垂直于x 轴的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点(异于点A 2)．若以AB 为直径的圆经过点A 2，试问直线l 是否过定点？若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由．解析 (1)∵曲线C 上任意一点S (x ，y )都满足到直线l ′：x ＝2的距离是它到点T (1，0)的距离的2倍，∴|x －2|＝2·（x －1）2＋y 2，化简，得x 22＋y 2＝1，即曲线C 是椭圆，其方程为x 22＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由{y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4mkx ＋2m 2－2＝0，∴Δ＝(4mk )2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)>0，即2k 2＋1>m 2，x 1＋x 2＝－4mk 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2.∵y 1＝kx 1＋m ，y 2＝kx 2＋m ，∴y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝k 2·2m 2－21＋2k 2＋mk ·－4mk1＋2k 2＋m 2＝m 2－2k 21＋2k 2.∵点A 2(2，0)在以AB 为直径的圆上，∴AA 2⊥BA 2，即AA 2→ ·B A 2→＝0.又AA 2→ ＝(2－x 1，－y 1)，BA 2→＝(2－x 2，－y 2)，∴(2－x 1，－y 1)·(2－x 2，－y 2)＝0，即(2－x 1)(2－x 2)＋y 1y 2＝2－2(x 1＋x 2)＋x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴2＋2·4mk1＋2k 2＋2m 2－21＋2k 2＋m 2－2k 21＋2k 2＝0，化简得2k 2＋42mk ＋3m 2＝0，即(2k ＋m )(2k ＋3m )＝0，∴2k ＋m ＝0或2k ＋3m ＝0.当2k ＋m ＝0时，直线l ：y ＝k (x －2)过定点(2，0)，即过点A 2(2，0)，不满足题意；当2k ＋3m ＝0时，直线l 的方程可化为y ＝k (x －23)，过定点(23，0).综上，直线l 过定点(23，0).1．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13<k <12，则椭圆离心率的取值范围是( )A.(14，94)B.(23，1)C.(12，23)D.(0，12)答案 C解析 由题意知B (c ，b 2a )，∴k ＝b 2ac ＋a ＝a －c a＝1－e ，∴13<1－e <12，∴12<e <23.故选C.2．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >n >0)和双曲线x 2a －y 2b＝1(a >b >0)有相同的左、右焦点F 1，F 2，P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是( )A ．m －a B.12(m －a )C ．m 2－a 2D.m －a答案 A解析 不妨取P 在双曲线的右支上，则{|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，解得|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m －a .∴|PF 1|·|PF 2|＝(m ＋a )(m －a )＝m －a .3．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A.433 B.233C ．3 D ．2答案 A解析 利用椭圆、双曲线的定义和几何性质求解．设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2(r 1>r 2)，|F 1F 2|＝2c ，椭圆长半轴长为a 1，双曲线实半轴长为a 2，椭圆、双曲线的离心率分别为e 1，e 2，由(2c )2＝r 12＋r 22－2r 1r 2cosπ3，得4c 2＝r 12＋r 22－r 1r 2.由{r 1＋r 2＝2a 1，r 1－r 2＝2a 2，得{r 1＝a 1＋a 2，r 2＝a 1－a 2.∴1e 1＋1e 2＝a 1＋a 2c＝r 1c .令m ＝r 12c 2＝4r 12r 12＋r 22－r 1r2＝41＋(r 2r 1)2－r2r 1＝4(r 2r 1－12)2 ＋34，当r 2r 1＝12时，m max ＝163，∴(r 1c )max ＝433.即1e 1＋1e 2的最大值为433.4．已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y 24＝1 B.x 24－4y 23＝1C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1答案 D解析 根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD 为矩形．双曲线的渐近线方程为y ＝±b2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，不妨设交点A 在第一象限，由y ＝b2x ，x 2＋y 2＝4得x A ＝44＋b 2，y A ＝2b 4＋b 2，故四边形ABCD 的面积为4x A y A ＝32b4＋b 2＝2b ，解得b 2＝12，故所求的双曲线方程为x 24－y 212＝1.故选D.5．【多选题】已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个顶点分别为A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，P ，Q 的坐标分别为(0，b )，(0，－b )，且四边形A 1PA 2Q 的面积为22，四边形A 1PA 2Q 的内切圆的周长为263π，则双曲线C 的方程为( )A.x 22－y 2＝1B ．x 2－y 22＝1C.x 24－y 22＝1D.x 22－y 24＝1答案 AB解析 因为A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，P (0，b )，Q (0，－b )，所以|A 1A 2|＝2a ，|PQ |＝2b ，所以|A 1P |＝|A 2Q |＝|A 1Q |＝|A 2P |＝a 2＋b 2＝c .又四边形A 1PA 2Q 的面积为22，所以4×12ab ＝22，即ab＝2.记四边形A 1PA 2Q 的内切圆的半径为r ，则2πr ＝263π，解得r ＝63，所以2cr ＝22，所以c ＝3.又c 2＝a 2＋b 2＝3，所以{a ＝2，b ＝1或{a ＝1，b ＝2，所以双曲线C 的方程为x 22－y 2＝1或x 2－y 22＝1.故选AB.6．【多选题】我们通常称离心率是5－12的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A 1，A 2，B 1，B 2分别为其左、右、上、下顶点，F 1，F 2分别为左、右焦点，P 为椭圆上一点，下列条件中能使椭圆C 为“黄金椭圆”的是( )A ．|A 1F 1|·|F 2A 2|＝|F 1F 2|2B ．∠F 1B 1A 2＝90°C ．PF 1⊥x 轴，且PO ∥A 2B 1D ．四边形A 1B 2A 2B 1的内切圆过焦点F 1，F 2答案 BD解析 ∵椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∴A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，B 1(0，b )，B 2(0，－b )，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．对于A ，若|A 1F 1|·|F 2A 2|＝|F 1F 2|2，则(a －c )2＝(2c )2，∴a －c ＝2c ，∴e ＝13，不符合题意，故A 错误；对于B ，若∠F 1B 1A 2＝90°，则|A 2F 1|2＝|B 1F 1|2＋|B 1A 2|2，∴(a ＋c )2＝a 2＋a 2＋b 2，∴c 2＋ac －a 2＝0，∴e 2＋e －1＝0，解得e ＝5－12或e ＝－5－12(舍去)，符合题意，故B 正确；对于C ，若PF 1⊥x 轴，且PO ∥A 2B 1，则P (－c ，b 2a)，∵k PO ＝kA 2B 1，∴b 2a－c ＝b－a ，解得b ＝c ，又a 2＝b 2＋c 2，∴e ＝c a ＝c 2c ＝22，不符合题意，故C 错误；对于D ，若四边形A 1B 2A 2B 1的内切圆过焦点F 1，F 2，即四边形A 1B 2A 2B 1的内切圆的半径为c ，则由菱形面积公式可得ab ＝c a 2＋b 2，∴c 4－3a 2c 2＋a 4＝0，∴e 4－3e 2＋1＝0，解得e 2＝3＋52(舍去)或e 2＝3－52，∴e ＝5－12，故D 正确．故选BD.7．【多选题】已知方程mx 2＋ny 2＝1，其中m 2＋n 2≠0，则( )A ．mn >0时，方程表示椭圆B ．mn <0时，方程表示双曲线C ．n ＝0时，方程表示抛物线D ．n >m >0时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆答案 BD解析 mx 2＋ny 2＝1表示椭圆的充要条件是m >0，n >0，A 不正确；mx 2＋ny 2＝1表示双曲线的充要条件是mn <0，B 正确；当n ＝0时，mx 2＝1不表示抛物线，C 不正确；mx 2＋ny 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的充要条件是n >m >0，D 正确．故选BD.8.如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a <b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p >0)经过C ，F 两点，则ba＝________．答案 2＋1思路分析 根据正方形的边长及O 为AD 的中点，求出点C ，F 的坐标，将两点坐标代入抛物线方程列式求解．解析 ∵正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b ，O 为AD 的中点，∴C (a2，－a )，F (a2＋b ，b ).又∵点C ，F 在抛物线y 2＝2px (p >0)上，∴{a 2＝pa ，b 2＝2p (a 2＋b )，解得ba＝2＋1.9．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．答案 x 2＋32y 2＝1思路分析 根据题意，求出点B 的坐标代入椭圆方程求解．解析 设点B 的坐标为(x 0，y 0)．∵x 2＋y 2b 2＝1，∴F 1(－1－b 2，0)，F 2(1－b 2，0)．∵AF 2⊥x 轴，∴A (1－b 2，b 2)．∵|AF 1|＝3|F 1B |，∴AF 1→ ＝3F 1B →.∴(－21－b 2，－b 2)＝3(x 0＋1－b 2，y 0)．∴x 0＝－51－b 23，y 0＝－b 23.∴点B 的坐标为(－51－b 23，－b 23).将B (－51－b 23，－b 23)代入x 2＋y 2b 2＝1，得b 2＝23.∴椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.10．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1，0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点，若|FQ |＝2，则直线l 的斜率等于________．答案 ±1解析 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由{y 2＝4x ，y ＝k （x ＋1），得k 2x 2＋2(k 2－2)x ＋k 2＝0.∴x 1＋x 2＝－2（k 2－2）k 2.∴x 1＋x 22＝－k 2－2k 2＝－1＋2k 2，y 1＋y 22＝2k ，即Q (－1＋2k 2，2k).又|FQ |＝2，F (1，0)，∴(－1＋2k 2－1)2 ＋(2k)2＝4，解得k ＝±1.11.如图，已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．解析 方法一：根据题图设焦点坐标为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，M 是椭圆上一点，依题意设M点坐标为(c ，23b ).在Rt △MF 1F 2中，|F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2，即4c 2＋49b 2＝|MF 1|2.而|MF 1|＋|MF 2|＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理，得3c 2＝3a 2－2ab .又c 2＝a 2－b 2，所以3b ＝2a ，所以b 2a 2＝49.所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a2＝1－b 2a 2＝59，所以e ＝53.方法二：设M (c ，23b )，代入椭圆方程，得c 2a 2＋4b 29b 2＝1，所以c 2a 2＝59，所以c a ＝53，即e ＝53.12．已知抛物线y 2＝－4x 的焦点为F ，其准线与x 轴交于点M ，过M 作斜率为k 的直线l与抛物线交于A ，B 两点，弦AB 的中点为P ，AB 的垂直平分线与x 轴交于E (x 0，0)．(1)求k 的取值范围；(2)求证：x 0<－3.解析 (1)由y 2＝－4x ，可得准线x ＝1，从而M (1，0)．设l 的方程为y ＝k (x －1)，联立{y ＝k （x －1），y 2＝－4x ，得k 2x 2－2(k 2－2)x ＋k 2＝0.∵A ，B 存在，∴Δ＝4(k 2－2)2－4k 4>0，∴－1<k <1.又k ≠0，∴k ∈(－1，0)∪(0，1)．(2)证明：设P (x 3，y 3)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，可得x 3＝x 1＋x 22＝k 2－2k 2，y 3＝k(x 1＋x 22－1)＝－2kk2＝－2k.即直线PE 的方程为y ＋2k ＝－1k (x －k 2－2k 2).令y ＝0，x 0＝－2k2－1.∵k 2∈(0，1)，∴x 0<－3.13．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点，若AC → ·DB → ＋AD → ·CB →＝8，求k 的值．解析 (1)设F (－c ，0)，由ca＝33，知a ＝3c .过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ，代入椭圆方程有（－c ）2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±6b3.于是26b 3＝433，解得b ＝2.又a 2－c 2＝b 2，从而a ＝3，c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(2)设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由F (－1，0)得直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组{y ＝k （x ＋1），x 23＋y 22＝1，消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0.由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2.因为A (－3，0)，B (3，0)，所以AC → ·DB → ＋AD → ·CB →＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1)＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2＝6＋2k 2＋122＋3k 2.由已知得6＋2k 2＋122＋3k 2＝8，解得k ＝±2.14．已知抛物线C 的顶点在原点O ，焦点与椭圆x 225＋y 29＝1的右焦点重合．(1)求抛物线C 的方程；(2)在抛物线C 的对称轴上是否存在定点M ，使过点M 的动直线与抛物线C 相交于P ，Q 两点时，有∠POQ ＝π2.若存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由．解析 (1)椭圆x 225＋y 29＝1的右焦点为(4，0)，所以抛物线C 的方程为y 2＝16x .(2)设点M (a ，0)(a ≠0)满足题设，当PQ 的斜率存在时，PQ 的方程为y ＝k (x －a )，则联立{y 2＝16x ，y ＝k （x －a ）⇒k 2x 2－2(ak 2＋8)x ＋a 2k 2＝0，则x 1＋x 2＝2（ak 2＋8）k 2，x 1x 2＝a 2.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则由∠POQ ＝π2，得x 1x 2＋y 1y 2＝0.从而x 1x 2＋k 2(x 1－a )(x 2－a )＝0⇒a 2－16a ＝0⇒a ＝16，若PQ 的方程为x ＝a ，代入抛物线方程得y ＝±4a ，当∠POQ ＝π2时，a ＝4a ，即a ＝16，所以存在满足条件的点M (16，0)．15.如图所示，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，A ，B 分别为其长、短轴的一个端点，F 1，F 2分别是其左、右焦点．从椭圆上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1，且AB → 与OM→是共线向量．(1)求椭圆的离心率e ；(2)设Q 是椭圆上异于左、右顶点的任意一点，求∠F 1QF 2的取值范围．解析 (1)设M (x M ，y M )，∵F 1(－c ，0)，∴x M ＝－c ，y M ＝b 2a ，∴k OM ＝－b 2ac .由题意知k AB ＝－b a，∵OM → 与AB →是共线向量，∴－b 2ac ＝－ba，∴b ＝c ，∴a ＝2c ，∴e ＝22.(2)设|F 1Q |＝r 1，|F 2Q |＝r 2，∠F 1QF 2＝θ，则r 1＋r 2＝2a .又|F 1F 2|＝2c ，∴由余弦定理，得cos θ＝r 12＋r 22－4c 22r 1r 2＝（r 1＋r 2）2－2r 1r 2－4c 22r 1r 2＝a 2r 1r 2－1≥a 2(r 1＋r 22)2－1＝0，当且仅当r 1＝r 2时等号成立，∴cos θ≥0，∴θ∈(0，π2]..。
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高三单元试题八：圆锥曲线方程
一、 选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
1． AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，|AB|=4，那么AB 中点C 的横坐标是( )
A ．2
B ．
12
C ．
32
D ．
52
2．⊙O 1与⊙O 2的半径分不为1和2，|O 1O 2|=4，动圆与⊙O 1内切而与⊙O 2外切，那么动圆圆心轨迹是( )
A ．椭圆
B ．抛物线
C ．双曲线
D ．双曲线的一支 3．双曲线tx 2－y 2－1＝0的一条渐近线与直线2x +y +1=0垂直，那么双曲线的离心率为〔 〕
A ．5
B ．
2
5
C ．
2
3 D ．3
4．P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆上一点，过焦点F 2作∠F 1PF 2外角平分线的垂线，垂足为M ，那么点M 的轨迹是( )
A ．圆
B ．椭圆
C ．双曲线
D ．抛物线 5．假设抛物线y 2＝2px (p >0)与抛物线y 2＝2q (x －h )(q >0)有公共焦点，那么( ) A ．2h ＝p －q B ．2h ＝p +q C ．2h ＝－p －q D ．2h ＝q －p
6． 设双曲线122
22=-b
y a x 〔a ，b ＞0〕两焦点为F 1、、F 2，点Q 为双曲线上除顶点外的任一
点，过焦点F 1作∠F 1QF 2的平分线的垂线，垂足为P ，那么P 点轨迹是 ( ) A ．椭圆的一部分； B ．双曲线的一部分；
C ．抛物线的一部分；
D ．圆的一部分
7．方程
12
sin 3sin 22
2=-++θθy x 所表示的曲线为( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在x 轴上的双曲线 D ．焦点在y 轴上的双曲线
8．我国发射的〝神舟四号〞宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心F 2为一个焦点的椭圆，近地点A 距地面为m 千米，远地点B 距地面为n 千米，地球半径为R 千米，那么飞船运行轨道的短轴长为( )
A ．千米))((2R n R m ++
B ．千米))((R n R m ++
C ．mn 千米
D ．2mn 千米
9．双曲线x a y b
a b 222
2100-=>>()，的离心率e =+152，点A 与F 分不是双曲线的左
顶点和右焦点，B 〔0，b 〕，那么∠ABF 等于( )
A. 45°
B. 60°
C. 90°
D. 120°
10．设F 1，F 2是双曲线x y 2
24
1-=的两个焦点，P 在双曲线上，当△F 1PF 2的面积为1时，
12PF PF 的值为( )
A ．2
B ．1
C ．
2
1 D ．0 11．设a ,b ∈R ，ab ≠0，那么直线ax －y +b =0和曲线bx 2+ay 2=ab 的大致图形是 ( )
12．以下命题正确的选项是〔
〕 ①动点M 至两定点A 、
B 的距离之比为常数)10(≠>λλ
λ且.那么动点M 的轨迹是圆。
②椭圆c c b e b a b
y a x (,22)0(122
22==>>=+则的离心率为半焦距〕。
③双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的焦点到渐近线的距离为b 。
④抛物线y 2＝2px 上两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)且OA ⊥OB(O 为原点),那么y 1y 2＝－p 2。
A ．②③④
B ．①④
C ．①②③
D ．①③
二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分，把答案填在题中横线上。
13．圆x 2+y 2－6x －7=0与抛物线y 2=2px 〔p >0〕的准线相切，那么抛物线的焦点坐标是 。
14．椭圆3x 2+4y 2=12上一点P 与左焦点的距离为
2
5
，那么点P 到右准线的距离为 。
15．以双曲线19
162
2=-y x 的右焦点为顶点，左顶点为焦点的抛物线方程是 。
16．假设平移椭圆4(x +3)2+9y 2=36，使平移后的椭圆中心在第一象限，且它与x 轴、y 轴分
不只有一个交点，那么平移后的椭圆方程是 ______．
三、解答题：本大题共6小题，共74分。
解承诺写出文字讲明，证明过程或演算步骤。
17．在△ABC 中，顶点A 、B 、C 所对三边分不为a 、b 、c ，B 〔－1，0〕，C 〔1，0〕且b 、
a 、c 成等差数列，求顶点A 的轨迹方程。
18．如图，椭圆134:2
21=+y x C
的左右顶点分不为A 、B ，P 为双曲线13
4:222=-y x C 右支上〔x 轴上方〕一点，连AP 交C 1于C ，连PB 并延长交C 1于D ，且△ACD 与△PCD
的面积相等，求直线PD 的斜率及直线CD 的倾斜角.
19．椭圆C 的方程为12222=+b y a x 〔a ＞b ＞0〕，双曲线122
22=-b
y a x 的两条渐近线为l 1．l 2，
过椭圆C 的右焦点F 作直线l ，使l ⊥l 1，又l 与l 2交于P 点，设l 与椭圆C 的两交点从左到右依次为B 、A 〔如图2－3〕，求|
PA ||
PB |的最大值及取得最大值时椭圆C 的离心率e 的值。
20．(本小题总分值12分)AB 是椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的一条弦，M 〔2，1〕是AB
的中点，以M 为焦点，以椭圆的右准线为相应准线的双曲线与直线AB 交于N 〔4，－
1〕
M
x
N
P
l 2
B
l 1
o
A
F
y 图2－3
⑴设椭圆和双曲线的离心率分不为1,2121=⋅e e e e 当和时，求椭圆的方程.
⑵求椭圆长轴长的取值范畴．
21．〔本小题总分值12分〕如图，定直线l 是半径为3的定圆F 的切线，P 为平面上一动
点，作PQ ⊥l 于Q ，假设|PQ|=2|PF|.
⑴点P 在如何样的曲线上？并求出该曲线E 的标准方程；
⑵过圆心F 作直线交曲线E 于A 、B 两点，假设曲线E 的
中心为O ，且23=+， 求点A 、B 的坐标.
22．如图，线段|AB|=4，动圆O ′与线段AB 切于点C ，且|AC|－|BC|=22，过点A ， B 分不作⊙O ′的切线，两切线相交于P ，且P 、O ′均在AB 的同侧
⑴建立适当坐标系，当O ′位置变化时，求动点P 的轨迹E 的方程；⑵过点B 作直线l 交曲线E 于点M 、N ，求△AMN 的面积的最小值.
Q。